Σημειώσεις Τριγωνομετρίας Β Λυκείου

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σημειώσεις Τριγωνομετρίας Β Λυκείου"

Transcript

1 Χατζημανώλης Νίκος Μαθηματικός, M. Ed. Διδακτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηματικών Σημειώσεις Τριγωνομετρίας Β Λυκείου ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 014 (B ΕΚΔΟΣΗ)

2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Με τις σημειώσεις αυτές ροσαθώ να αοτυώσω τη δική μου διδακτική ροσέγγιση για τη διδασκαλία των βασικών τριγωνομετρικών εννοιών. Για αυτό το λόγο, η έκταση της ρώτης ενότητας είναι σχετικά μεγάλη, διότι θεωρώ ότι η κατανόηση των ιο χρήσιμων εννοιών ρέει να ανατυχθεί σε εκείνο ακριβώς το σημείο. Η κεντρική τριγωνομετρική έννοια ου διέει το νεύμα των σημειώσεων είναι ακριβώς αυτή της τελικής λευράς μιας (τριγωνομετρικής) γωνίας. Ακόμη και στην ενότητα ου αναφέρεται στην είλυση των τριγωνομετρικών εξισώσεων, η τεκμηρίωση γίνεται με τη θέση της τελικής λευράς στον τριγωνομετρικό κύκλο και όχι με τη χρήση των γραφικών αραστάσεων των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Η δική μου εμειρία δείχνει ότι με αυτή την ροσέγγιση, οι μαθητές κατανοούν καλύτερα τον τρόο ου ροκύτουν οι συγκεκριμένοι τύοι. Το συγκεκριμένο όνημα αευθύνεται σε καθηγητές, όσο και σε μαθητές. Ωστόσο, ροσάθησα να καλύψω διάφορα μαθηματικά «κενά» ου θεωρώ ότι υάρχουν στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο. Για να μην αρεξηγηθώ, αναφέρομαι σε μαθηματικά και όχι σε διδακτικά κενά. Κυρίως αναφέρομαι στην ενότητα 4, όου εκεί γίνεται μια ροσάθεια γενικής ροσέγγισης των εριοδικών συναρτήσεων αοδεικνύοντας διάφορα χρήσιμα θεωρήματα. Θεωρώ ότι ένας καθηγητής θα τη βρει χρήσιμη και διαφωτιστική, αλλά μάλλον είναι δύσκολο να κατανοηθεί αό έναν μαθητή. Γενικά, όταν ένας μαθητής βρίσκει δυσκολίες σε κάοια σημεία της θεωρίας, τότε μορεί να τα αραλείψει και να συνεχίσει αρακάτω. Όμοια ο καθηγητής ου θα χρησιμοοιήσει τις σημειώσεις αυτές, μορεί να αραλείψει κάοια σημεία όταν το κρίνει σκόιμο. Στο τέλος των σημειώσεων αραθέτω βιβλιογραφία την οοία θεωρώ χρήσιμη, αλλά δυστυχώς δύσκολα συναντάται στα βιβλιοωλεία σήμερα. Θέλω να τονίσω ότι στόχος των σημειώσεων αυτών είναι να ροσφέρει μια εναλλακτική ροσέγγιση των μαθηματικών εννοιών, κάτι ου κρίνω ότι λείει αό τη σύγχρονη φροντιστηριακή βιβλιογραφία και σχολική βιβλιογραφία. Αό την άλλη, οι σημειώσεις αυτές σίγουρα δεν μορούν να καλύψουν το εύρος των ασκήσεων ου μορούμε να συναντήσουμε σε ένα σύγχρονο και καλό βοήθημα μαθηματικών. Για αυτό ιστεύω ότι το όνημα αυτό δεν μορεί αρά να λειτουργήσει συμληρωματικά με ένα καλό βοήθημα ου ροσφέρει μια ληθώρα ασκήσεων ρος είλυση. Με ευχαρίστηση θα δεχτώ κάθε καλόιστη κριτική και υόδειξη ου θα συμβάλλει στη βελτίωση αυτών των σημειώσεων. Ο συγγραφέας

3 ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΤΗΣ ης ΕΚΔΟΣΗΣ Στη δεύτερη έκδοση ροστέθηκαν οι ενότητες 7 και 8 ου αναφέρονται στους τριγωνομετρικούς αριθμούς αθροίσματος γωνιών και διλάσιας γωνίας αντίστοιχα.

4 Το αρόν όνημα διατίθεται ελεύθερα μέσω του διαδικτύου, ωστόσο διέεται αό τους νόμους ερί νευματικών δικαιωμάτων. Copyright Οκτώβριος 014 Νίκος Χατζημανώλης

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ενότητα 1: Τριγωνομετρικοί αριθμοί. 1 Ενότητα : Τριγωνομετρικές ταυτότητες. 7 Ενότητα : Αναγωγή στο ρώτο τεταρτημόριο. Ενότητα 4: Η έννοια της εριοδικής συνάρτησης. 47 Ενότητα 5: Βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις. 5 Ενότητα 6: Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις. 68 Ενότητα 7: Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Αθροίσματος Γωνιών. 79 Ενότητα 8: Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Διλάσιας Γωνίας. 88 Παράρτημα. 97 Ενδεικτική Βιβλιογραφία. 98

6 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 1 ΕΝΟΤΗΤΑ 1 η :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (1) Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Οξείας Γωνίας Ορθογωνίου Τριγώνου. Ορισμός 1: Έστω ω μια οξεία γωνία του τριγώνου ΑΒΓ. Τότε ορίζουμε τους αρακάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς (βλ. και σχήμα): ημω συνω Αέναντι κάθετη λευρά της ω υοτείνουσα ΑΓ ΒΓ Προσκείμενη κάθετη λευρά της ω υοτείνουσα ΑΒ ΒΓ εφω Αέναντι κάθετη λευρά της ω Προσκείμενη κάθετη λευρά της ω ΑΓ ΑΒ ΣΧ. 1 σφω Προσκείμενη κάθετη λευρά της ω Αέναντι κάθετη λευρά της ω ΑΒ ΑΓ () Τριγωνομετρικός ΚύκλοςΤριγωνομετρική Γωνία. Ορισμός : Έστω ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Οxy. Ο κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ=1 ονομάζεται τριγωνομετρικός κύκλος. Ορισμός : Τριγωνομετρική Γωνία ονομάζουμε κάθε γωνία με λευρές τις Οx και ΟΜ, όου ΟΜ μια ακτίνα του τριγωνομετρικού κύκλου. Ορισμός 4: Έστω ο τριγωνομετρικός κύκλος και η τριγωνομετρική γωνία ωˆ xôm, όου ΟΜ μια ακτίνα του τριγωνομετρικού κύκλου. Ο ημιάξονας Οx ονομάζεται αρχική λευρά της γωνίας ω, ενώ η ακτίνα ΟΜ ονομάζεται τελική λευρά της ω. Είσης η ακτίνα ΟΜ ονομάζεται και ειβατική ακτίνα της γωνίας ω. ΣΧ.

7 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας () Πρόσημο τριγωνομετρικής Γωνίας Όταν ο ημιάξονας Οx κινείται κατά τη θετική φορά, δηλαδή αντίθετα αό τη φορά των δεικτών του ρολογιού, ώστε να συμέσει με μια ακτίνα ΟΜ, τότε στη γωνία ου διαγράφεται αοδίδουμε θετικό ρόσημο. Αντίθετα, όταν ο ημιάξονας Οx κινείται κατά την αρνητική φορά, δηλαδή σύμφωνα με τη φορά των δεικτών του ρολογιού, ώστε να συμέσει με την ακτίνα ΟΜ, τότε στη γωνία ου διαγράφεται αοδίδουμε αρνητικό ρόσημο. Εομένως στα σχήματα και 4 αρακάτω, η γωνία ω είναι θετική και η γωνία φ είναι αρνητική: ΣΧ. ΣΧ. 4

8 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας (4) Γωνίες μεγαλύτερες των 60 ο. Όως γνωρίζουμε, αν την εριφέρεια του κύκλου την «κόψουμε» σε 60 ίσα τόξα, τότε κάθε είκεντρη γωνία ου βαίνει σε κάθε ένα τέτοιο τόξο ορίζουμε να είναι ίση με 1 ο (μία μοίρα). Έστω τώρα, ο τριγωνομετρικός κύκλος. Αν ο ημιάξονας Οx διαγράψει μια γωνία 60 ο και ειλέον κινηθεί κατά μία θετική γωνία ω, τότε θα θεωρούμε ότι η συνολική γωνία φ ου διέγραψε ο θετικός ημιάξονας είναι μεγαλύτερη αό 60 ο και έχει μέτρο φ=60 ο +ω (βλ. σχήμα 5). Όμοια, μορούμε να θεωρήσουμε τον ημιάξονα Οx να διαγράφει k λήρεις εριστροφές είτε κατά τη θετική, είτε κατά την αρνητική φορά. Γενικά το μέτρο μιας τριγωνομετρικής γωνίας φ ανάγεται στη μορφή φ=k 60 ο +ω, όου kζ και 0 ο ω<60 ο. ΣΧ. 5 (5) Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Οοιασδήοτε Γωνίας Ας θεωρήσουμε τον τριγωνομετρικό κύκλο και μια οξεία τριγωνομετρική γωνία ωˆ (βλ. σχήμα 6). ΣΧ. 6

9 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 4 Τότε έχουμε: ΒΜ y ημω y (τεταγμένη του σημείου Μ). ΟΜ 1 ΟΒ x συνω x (τετμημένη του σημείου Μ). ΟΜ 1 ΒΜ y εφω (τεταγμένη του σημείου Μ ρος τετμημένη του ΟΒ x σημείου Μ). ΟΒ x σφω (τετμημένη του σημείου Μ ρος τεταγμένη του ΒΜ y σημείου Μ). Ορισμός 5: Γενικά για μια οοιαδήοτε τριγωνομετρική γωνία ω με τελική λευρά μια ακτίνα ΟΜ, όου Μ σημείο στον τριγωνομετρικό κύκλο, ορίζουμε τους αρακάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς ως εξής: ημω (τεταγμένη του σημείου Μ). συνω (τετμημένη του σημείου Μ). εφω (τεταγμένη του σημείου Μ ρος τετμημένη του σημείου Μ). σφω (τετμημένη του σημείου Μ ρος τεταγμένη του σημείου Μ). Παρατηρήσεις: Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οοιασδήοτε γωνίας ω ταυτίζονται με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της τριγωνομετρικής γωνίας φ ου έχει το ίδιο μέτρο με τη γωνία ω. Αν το σημείο Μ της τελικής λευράς (σχ. 6) έχει συντεταγμένες Μ(x,y), τότε εύκολα βλέουμε ότι 1 x 1 και 1 y 1. Αυτό σημαίνει ότι 1 συνω 1 και 1 ημω 1 για κάθε γωνία ω.

10 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 5 Εφαρμογή 1: Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω=10 ο, με τη βοήθεια του αρακάτω σχήματος: Αάντηση: Σύμφωνα με τους αραάνω ορισμούς, ροκύτει ότι: ημ10 ο ο 1, συν10, εφ10 ο και 1 1 ο 1 σφ10. Παρατηρήσεις: ΣΧ. 7 1) Όταν δύο τριγωνομετρικές γωνίες ω και φ έχουν την ίδια τελική λευρά, τότε η σχέση ου συνδέει τα μέτρα τους είναι της μορφής φ=κ 60 ο +ω, όου κz * : * Με έντονο Ζ θα συμβολίζουμε το σύνολο των ακέραιων αριθμών.

11 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 6 ΣΧ. 8 ) Σύμφωνα με τους αραάνω ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας, ροκύτει ότι δύο τριγωνομετρικές γωνίες έχουν ακριβώς τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς όταν οι τελικές τους λευρές ταυτίζονται. Δηλαδή αν φ και ω είναι δύο γωνίες με την ίδια τελική λευρά θα ισχύει.χ. ημφ=ημω, με φ=κ 60 ο +ω, όου κ ένας ακέραιος αριθμός. Άρα ημ(κ 60 ο +ω)=ημω. Γενικά ισχύουν οι αρακάτω ισότητες: ημ(κ 60 ο +ω)=ημω συν(κ 60 ο +ω)=συνω εφ(κ 60 ο +ω)=εφω σφ(κ 60 ο +ω)=σφω, κz. (τύοι Α) (6) Πρόσημο Τριγωνομετρικών Αριθμών. Σύμφωνα με τους αραάνω ορισμούς, ένας τριγωνομετρικός αριθμός δύναται να έχει και αρνητική τιμή. Το ρόσημο εξαρτάται αό το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται η τελική λευρά. Για αράδειγμα αν μια γωνία έχει τελική λευρά ου βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο, τότε η γωνία αυτή θα έχει θετικό ημίτονο και όλους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς αρνητικούς (βλ. εφαρμογή 1). Ένας χρήσιμος μνημονικός κανόνας, ο κανόνας «ΟΗΕΣ», εριγράφεται στο αρακάτω σχήμα:

12 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 7 ΣΧ. 9 Το Ο σημαίνει «όλα», και με αυτό τον τρόο εννοούμε ότι όλοι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών των οοίων η τελική λευρά βρίσκεται στο ρώτο τεταρτημόριο είναι θετικοί. Το «Η» αναφέρεται στη λέξη «ημίτονο» και σημαίνει ότι οι γωνίες με τελική λευρά ου βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο έχουν μόνο το ημίτονο θετικό και όλους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς αρνητικούς. Το «Ε» αναφέρεται στην εφατομένη και το «ΣΦ» στη συνεφατομένη. Αυτό σημαίνει ότι οι γωνίες με τελική λευρά ου βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο έχουν μόνο την εφατομένη και συνεφατομένη θετική και όλους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς αρνητικούς. Τέλος, το «Σ» αναφέρεται στο συνημίτονο και σημαίνει ότι οι γωνίες με τελική λευρά ου βρίσκεται στο 4 ο τεταρτημόριο έχουν μόνο το συνημίτονο θετικό και όλους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς αρνητικούς. Για αράδειγμα ισχύει συν80 ο >0, ημ80 ο <0, εφ80 ο <0 και σφ80 ο <0, διότι η τελική λευρά της τριγωνομετρικής γωνίας 80 ο βρίσκεται στο 4 ο τεταρτημόριο. (7) Ο άξονας των Εφατομένων Ορισμός 6: Έστω ο τριγωνομετρικός κύκλος και το σημείο του Α(1,0). Αό το σημείο Α φέρνουμε την εφατομένη ε του τριγωνομετρικού κύκλου (βλ. σχήμα 10). Η ευθεία ε ονομάζεται άξονας των εφατομένων.

13 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 8 Έστω ω μια τριγωνομετρική γωνία με λευρά την ΟΜ (σχ. 10). Προεκτείνουμε κατάλληλα την ΟΜ, ώστε να συναντήσει τον άξονα των εφατομένων σε ένα σημείο Β. Το σημείο αυτό έχει συντεταγμένες της μορφής Β(1,μ), όου μr. Αοδεικνύεται ότι εφω=μ. ΣΧ. 10 Εφαρμογή : Να υολογίσετε την εφατομένη της γωνίας ω= 45 ο. Αάντηση: Στο διλανό σχήμα βλέουμε ότι στο ο τρίγωνο ΑΟΒ ισχύει ΑΟˆ Β 45. Εομένως το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΟΒ είναι ισοσκελές (διότι ΑΟˆ Β ΟΒˆ Α ). Άρα ΑΒ=ΟΑ=1. Αυτό σημαίνει ότι το σημείο Β έχει τεταγμένη ίση με μ=1. Δηλαδή Β(1,1) και εομένως εφ(45 ο )= 1. Παρατήρηση: Στις γωνίες με τελική λευρά την ΟΚ ή την ΟΛ (σχ. 11) δεν ορίζεται εφατομένη, διότι η τετμημένη των σημείων Κ και Λ είναι ίση με μηδέν. Με άλλα λόγια, δεν μορούμε να ορίσουμε εφατομένη στις γωνίες με τελική λευρά αράλληλη στον άξονα των εφατομένων. Οι γωνίες αυτές είναι της μορφής ω=κ 180 ο +90 ο, κz. Αν ο ακέραιος κ είναι άρτιος τότε η γωνία ω έχει τελική λευρά την ΟΚ, διαφορετικά αν ο κ είναι εριττός τότε έχει τελική λευρά την ΟΛ.

14 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 9 ΣΧ. 11 (8) Ο άξονας των Συνεφατομένων Ορισμός 7: Έστω ο τριγωνομετρικός κύκλος και το σημείο του B(0,1). Αό το σημείο B φέρνουμε την εφατομένη ζ του τριγωνομετρικού κύκλου (βλ. σχήμα 1). Η ευθεία ε ονομάζεται άξονας των συνεφατομένων. Έστω ω μια τριγωνομετρική γωνία με λευρά την ΟΜ (σχ. 1). Προεκτείνουμε κατάλληλα την ΟΜ, ώστε να συναντήσει τον άξονα των συνεφατομένων σε ένα σημείο Γ. Το σημείο αυτό έχει συντεταγμένες της μορφής Γ(μ,1), όου μr. Αοδεικνύεται ότι σφω=μ.

15 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 10 ΣΧ. 1 Εφαρμογή : Να υολογίσετε την συνεφατομένη της γωνίας ω= 150 ο. Αάντηση: Αρκεί να υολογίσουμε την τετμημένη του σημείου Γ (βλ. διλανό σχήμα). Εειδή ο ΑΟˆ Γ 150, τότε ο ΒΟˆ Γ 60. Άρα ο ΒΓˆ Ο 0. Αό τη γεωμετρία γνωρίζουμε ότι αν ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει μια γωνία ίση με 0 ο, τότε η αέναντι λευρά είναι ίση με το μισό της υοτείνουσας. Εειδή ΟΒ=1, έεται ότι ΟΓ=. Αό το Πυθαγόρειο Θεώρημα ροκύτει ότι ΒΓ ΟΓ ΟΒ 1. Εομένως το σημείο Γ έχει τετμημένη ίση με, δηλαδή Γ(,1). Άρα σφ150 ο =. Παρατήρηση: Στις γωνίες με τελική λευρά την ΟΑ ή την ΟΑ (σχ. 1) δεν ορίζεται συνεφατομένη, διότι η τεταγμένη των σημείων Α και Α είναι ίση με μηδέν. Με άλλα λόγια, δεν μορούμε να ορίσουμε συνεφατομένη στις γωνίες με τελική λευρά αράλληλη στον άξονα των συνεφατομένων. Οι γωνίες αυτές είναι της μορφής ω=κ 180 ο, κz. Αν ο ακέραιος κ είναι άρτιος τότε η γωνία ω έχει τελική λευρά την ΟΑ, διαφορετικά αν ο κ είναι εριττός τότε έχει τελική λευρά την ΟΑ.

16 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 11 ΣΧ. 1 (9) Μονάδες μέτρησης γωνιών Όως γνωρίζουμε αό τη Φυσική και τη Χημεία τα μεγέθη μορούν να εκφράζονται σε διαφορετικές μονάδες μέτρησης. Για αράδειγμα στο μήκος μορούμε να χρησιμοοιούμε τα μέτρα, τα χιλιόμετρα, τις ίντσες, τα όδια κ.τ.λ. Έτσι και η γωνία, ως μέγεθος, μορεί να εκφράζεται σε διαφορετικές μονάδες όως είναι οι μοίρες (degrees ή ιο αλά deg), τους βαθμούς (grades ή ιο αλά grad) και τα ακτίνια (radians ή ιο αλά rad). Ενδεικτικός είναι ο αρακάτω ίνακας με μεγέθη και διάφορες μονάδες μέτρησης: Μέγεθος Μήκος Δύναμη Γωνία Μερικές μονάδες μέτρησης m, km, cm, inch (ίντσες), ft (όδια) Nt, p, kp μοίρες (deg), βαθμοί (grad), ακτίνια (rad) Παρακάτω θα ασχοληθούμε με τις μονάδες μέτρησης της γωνίας.

17 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 1 Μοίρες (deg): Ως μία μοίρα (1 ο ) ορίζουμε το μέτρο της είκεντρης γωνίας ου βαίνει σε τόξο με μήκος ίσο με το 1/60 του μήκος ολόκληρου του κύκλου. Η μία μοίρα χωρίζεται σε 60 λετά (60 ) και το ένα λετό σε 60 δεύτερα (60 ). Εειδή η μία μοίρα είναι ολύ μικρή γωνία, στο αρακάτω σχήμα (σχ. 14) η γωνία ω δεν είναι ΣΧ. 14 στα αλήθεια ίση με 1 ο, αλλά το σχήμα εριγράφει ώς ορίζεται αυτή. Ιστορικά δεν γνωρίζουμε ότε ακριβώς ξεκίνησε η συστηματική χρήση του κύκλου των 60 ο. Φαίνεται ότι ξεκίνησε αό τον αρχαίο αστρονόμο Ίαρχο (ερίου Χ.) ο οοίος ιθανότατα εηρεάστηκε αό τον Υψικλή. Ο Υψικλής είχε χωρίσει την ημέρα σε 60 μέρη, εηρεασμένος με τη σειρά του αό τη Βαβυλωνιακή αστρονομία. * Βαθμοί (grad): Ως γωνία ενός βαθμού (1 grad) ορίζουμε τη γωνία ου είναι ίση με το 1/100 της ορθής γωνίας. Καθιερώθηκε αό τους Γάλλους, κατά τη θεμελίωση του μετρικού συστήματος. Η γενικότερη θεμελίωση του μετρικού συστήματος ξεκινά αό τα μέσα της Γαλλικής Εανάστασης, το Παρακάτω, δεν θα ασχοληθούμε με αυτή τη μονάδα μέτρησης. Αλώς την αναφέραμε για ιστορικούς λόγους. * Η ηγή ροέρχεται αό το βιβλίο «Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ», των C.B. Boyer και U.C. Mezbach, Εκδ. Γ.Α. Πνευματικού ( η Έκδοση, 1997).

18 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 1 ΣΧ. 15 Ακτίνια (rad): Ως μέτρο γωνίας ενός ακτινίου ή rad, εννοούμε εκείνη την είκεντρη γωνία της οοίας το αντίστοιχο τόξο είναι ίσο με μία ακτίνα του κύκλου. ΣΧ. 16 Προφανώς μια είκεντρη γωνία με μέτρο rad θα έχει αντίστοιχο μήκος τόξου ακτίνες, μια γωνία rad θα έχει μήκος τόξου

19 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 14 ακτίνες κ.ο.κ. Εομένως όταν μια είκεντρη γωνία έχει μέτρο α rad, τότε το αντίστοιχο τόξο θα έχει μήκος S=α ρ, όου ρ είναι η ακτίνα του κύκλου. ΣΧ. 17 (10) Μετατροή μοιρών σε ακτίνια και αντίστροφα Στην εόμενη ενότητα, θα δούμε για οιο λόγο ροτιμούμε να χρησιμοοιούμε τα ακτίνια αντί για τις μοίρες. Προς το αρόν θα μάθουμε ώς να εκφράζουμε το μέτρο μιας γωνίας σε ακτίνια, όταν γνωρίζουμε το μέτρο της σε μοίρες και αντίστροφα. Καταρχάς, να αναφέρουμε ότι αό τον τρόο ου ορίστηκαν οι μοίρες και τα ακτίνια, έεται ότι συνδέονται με μια σχέση αναλογίας,. Για να βρούμε αυτή τη σχέση αναλογίας, αρκεί λοιόν να βρούμε μια γωνία ης οοίας να ξέρουμε το μέτρο της τόσο σε μοίρες, όσο και σε ακτίνια. Αν θεωρήσουμε ολόκληρη την εριφέρεια του κύκλου, τότε η αντίστοιχη είκεντρη γωνία ω σε μοίρες είναι 60 ο. Εειδή το τόξο-εριφέρεια του κύκλου έχει μήκος ρ, όου ρ είναι η ακτίνα του κύκλου, τότε αό τον ορισμό του ακτινίου ροκύτει ότι η ίδια γωνία ω σε rad έχει μέτρο (βλ. σχήμα 18):

20 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 15 ΣΧ. 18 Αφού οι μοίρες και τα ακτίνια είναι οσά ανάλογα και εειδή μια γωνία 60 ο είναι ίση με μια γωνία rad, μορούμε να εφαρμόσουμε τη μέθοδο των τριών ως εξής: Η γωνία των 60 μοιρών είναι ίση με τη γωνία rad. Η γωνία των μ μοιρών είναι ίση με τη γωνία α rad. Άρα : α μ α 60 μ α 180 μ. 180 Στις εόμενες εφαρμογές θα δούμε ώς μετατρέουμε τις μοίρες σε ακτίνια και αντίστροφα: Εφαρμογή 4: Να εκφράσετε τη γωνία ω= 0 ο σε ακτίνια. Λύση: Αό τη σχέση α μ 180, τότε για μ=0 ο ροκύτει: α α 1 6 α 6. Άρα 0 ο = 6 rad. Εφαρμογή 5: Να εκφράσετε τη γωνία ω rad σε μοίρες. Λύση: Αό τη σχέση α μ, τότε για α rad ροκύτει: 180

21 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 16 μ 1 μ 180 μ 60. Άρα rad=60 ο ΣΧ. 19 Παρατηρήσεις: Όως ισχύει 00, αλλά m=00cm, έτσι ισχύει και 60 (αφού 1,047) *, αλλά rad=60 ο. Ισχύει rad= 180 ο και rad=90 ο και rad= 60 ο. Είσης ισχύει 180 ότι 1 rad= μοίρες 57, ο. Οι τύοι Α όταν οι γωνίες εκφράζονται σε rad μετασχηματίζονται ως εξής: ημ(κ +ω)=ημω συν(κ +ω)=συνω εφ(κ +ω)=εφω σφ(κ +ω)=σφω, κz. (Τύοι Α ) * Το σύμβολο σημαίνει ερίου ίσο.

22 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 17 Σύμφωνα με αυτά ου αναφέραμε αραάνω για τις εφατομένες και συνεφατομένες, ισχύει ότι για τις γωνίες της μορφής ω κ rad, και τις γωνίες της μορφής φ κ rad όου κz, δεν ορίζονται εφατομένη και συνεφατομένη αντίστοιχα. Μία σύμβαση ου κάνουμε είναι ότι όταν δεν γράφουμε τη μονάδα μέτρησης της γωνίας σε έναν τριγωνομετρικό αριθμό, τότε θα εννοούμε ότι η γωνία εκφράζεται σε rad. Για αράδειγμα, όταν γράφουμε «ημ0» εννοούμε «ημ(0 rad)», ενώ το ημίτονο των 0 μοιρών δηλώνεται όως ξέρουμε ως «ημ0 ο». Μορούμε εύκολα να συνάγουμε τον εξής Τριγωνομετρικό Πίνακα: ω σε μοίρες ω σε rad ημω συνω εφω σφω Δεν ορίζεται 1 1 Δεν ορίζεται 0 (11) Η αναγκαιότητα για χρήση των ακτινίων αντί των μοιρών. Η ανακάλυψη και η χρήση των ακτινίων αντί των μοιρών ως μονάδα μέτρησης των γωνιών οφείλεται στο μαθηματικό Roger Cotes (1714) *. Στο σύστημα S.I. η μονάδα μέτρησης των γωνιών είναι τα rad. Για οιο λόγο όμως να χρησιμοοιήσουμε τα ακτίνια έναντι των μοιρών; Στην ραγματικότητα, η χρήση των μοιρών έλκει την καταγωγή της έμμεσα αό την Βαβυλωνιακή Αστρονομία, ενώ η χρήση των ακτινίων εξυηρετεί μαθηματικούς σκοούς. Χρησιμοοιώντας ακτίνια κάοιοι τριγωνομετρικοί τύοι αλουστεύονται. Ειλέον αοδεικνύεται ότι * Για αράδειγμα, όσοι είναι εξοικειωμένοι με το διαφορικό λογισμό γνωρίζουν ότι (ημx) =συνx, όταν το x εκφράζεται σε ακτίνια. Αντίθετα αν το x εκφράζεται σε μοίρες, τότε ισχύει (ημx ο ) =(ημ((x/180)rad)) =(/180)συνx o.

23 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 18 όταν οι γωνίες x εκφράζονται σε rad, τότε αν αυτές είναι ολύ κοντά στο μηδέν ισχύει ημx x *. Ενδεικτικοί είναι οι αρακάτω ίνακες: ΠΙΝΑΚΑΣ 1 ω σε μοίρες ημ(ω ο ) 1 0, ,5 0,0087 0,4 0, , 0,005 0,1 0,00174 ΠΙΝΑΚΑΣ ω σε rad ημ(ω rad) 1 0, ,5 0,4794 0,4 0,8941 0, 0,955 0,1 0,0998 Βλέουμε στον ίνακα ότι όταν χρησιμοοιούμε ακτίνια, τότε ροσεγγίζουμε ικανοοιητικά το ημίτονο μιας γωνίας αό την ίδια τη γωνία. Δεν συμβαίνει το ίδιο όμως στην ερίτωση ου χρησιμοοιούμε μοίρες. Εφαρμογή αυτής της ροσέγγισης συναντάμε στην ερίτωση του αλού εκκρεμούς όου η ροσέγγιση ημθ θ, για θ ολύ κοντά στο μηδέν, οδηγεί στο συμέρασμα ότι η ταλάντωση του εκκρεμούς δίνεται l αό τον τύο Τ ο =, όου l είναι το μήκος του νήματος και g η g βαρυτική ειτάχυνση. (1) Παραδείγματα. Παράδειγμα 1: Να αοδείξετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ου ισχύουν στον τριγωνομετρικό ίνακα για την ερίτωση της γωνίας των 0 ο. Λύση: Έστω η τριγωνομετρική γωνία ω=0 ο (βλ. σχήμα 0). Αρκεί να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου Μ. Εειδή η τελική λευρά της γωνίας ω βρίσκεται στο 1 ο τεταρτημόριο, έεται ότι x=ob και y=bμ. Όμως στο ΣΧ. 0 * ημx Για όσους είναι εξοικειωμένοι με τα όρια, αυτό ροκύτει αό τη γνωστή ισότητα lim 1, όου x0 x το x εκφράζεται σε rad. Βλέε wikipedia.

24 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 19 ο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΜΒ ισχύει ΜΟˆ Β 0. Αό τη γεωμετρία γνωρίζουμε ότι αν ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει μια οξεία γωνία ίση με 0 μοίρες, τότε η αέναντι λευρά είναι ίση με το μισό της υοτείνουσας. Εειδή ΟΜ=1, έεται ότι ΜΒ= 1. Με εφαρμογή του Πυθαγορείου 1 Θεωρήματος, ροκύτει ότι ΟΒ ΟΜ ΜΒ y Άρα ημω=y= και συνω=x=. Ακόμη εφω=... και σφω= x x.... y Παράδειγμα : Να υολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών: (α) 1740 ο 5 και (β) rad. 4 Λύση: (α) Θα εκφράσουμε τη γωνία 1740 ο στη μορφή κ 60 ο +ω, όου ο ο 0 ω 60 και κ ακέραιος αριθμός. Τότε σύμφωνα με τους τύους Α, θα ισχύει ότι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 1740 ο θα είναι ίσοι με αυτούς της γωνίας ω. * Για αυτό το λόγο εκτελούμε την ευκλείδεια διαίρεση 1740 με το 60 : Εομένως ισχύει 1740= Πολλαλασιάζοντας με 1 ροκύτει ότι 1740= Ο αριθμός 00 δεν ανταοκρίνεται στη γωνία ω ου θέλουμε να 00 εκφράσουμε, διότι ο αριθμός αυτός δεν ανήκει στο διάστημα [0,60). Για αυτό το λόγο, ροσθαφαιρούμε τον αριθμό 60 και ροκύτει: 1740= = Δηλαδή ισχύει ότι 1740 ο =5 60 ο +60 ο. Σύμφωνα με τους τύους Α, οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των 1740 ο θα είναι ίδιοι με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας 60 ο. Εομένως ημ(1740 ο )=ημ60 ο =, συν(1740 ο )=συν60 ο = 1 κ.τ.λ. * Να τονίσουμε ωστόσο ότι οι τύοι Α ισχύουν για κάθε γωνία ω και όχι μόνο για αυτές ου ανήκουν στο διάστημα [0 ο,60 ο ).

25 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 0 5 (β) Θα εκφράσουμε τη γωνία rad στη μορφή (κ +ω) rad, όου 4 0 rad ω rad και κ ακέραιος αριθμός. Τότε σύμφωνα με τους 5 τύους Α, θα ισχύει ότι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας rad 4 θα είναι ίσοι με αυτούς της γωνίας ω. * ( ) 8 Το σκετικό στις αραάνω ράξεις εστιάζεται σε σημεία: Άρα 8 Να σχηματίσουμε την αράσταση. Να χρησιμοοιήσουμε την ισότητα 5= 8+1 ου ροκύτει αό την ευκλείδεια διαίρεση του 5 με το 8. Μετά αό ράξεις και αλοοίηση θα ροκύψει ο όρος της μορφής κ, κz. 5 rad=( 4 4 ) rad. Εομένως οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 5 αυτούς της γωνίας rad. Δηλαδή ημ ημ rad ταυτίζονται με 4 κ.τ.λ. 4 Παράδειγμα : Να υολογίσετε το ρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας φ=1650 ο. Λύση: Όως γνωρίζουμε, το ρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας εξαρτάται αό το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται η τελική λευρά της γωνίας αυτής. Αό την άλλη, δυο γωνίες φ και ω, εκφρασμένες σε μοίρες, έχουν την ίδια τελική λευρά αν και μόνο αν συνδέονται αό μια σχέση της μορφής φ=κ 60 ο +ω, όου κ ένας ακέραιος αριθμός. Θα εκφράσουμε λοιόν τη γωνία φ=1650 ο με τη βοήθεια του ροηγούμενου τύου, όου για τη γωνία ω ειλέον θα ο ο ισχύει 0 ω 60. Με αυτόν τον τρόο θα ροσδιορίσουμε σε οιο τεταρτημόριο βρίσκεται η τελική λευρά της γωνίας ω και άρα και της γωνίας φ. Εκτελώντας την ευκλείδεια διαίρεση του 1650 με το 60, ροκύτει ότι 1650 ο =4 60 ο +10 ο. Εειδή η γωνία ω έχει μέτρο 10 ο, * Αντίστοιχα και με την ροηγούμενη υοσημείωση, έτσι και εδώ οι τύοι Α ισχύουν για κάθε γωνία ω και όχι μόνο για αυτές ου ανήκουν στο διάστημα [0 rad, rad).

26 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 1 έεται ότι η τελική της λευρά βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο και άρα το ίδιο ισχύει και για τη γωνία φ. Εφαρμόζοντας τον μνημονικό κανόνα του «ΟΗΕΣ» ροκύτει ότι ημφ<0, συνφ<0, εφφ>0 και σφφ>0. Παράδειγμα 4: Να υολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω rad. Λύση: Καταρχάς θεωρούμε τη γωνία φ= rad. Αν ΟΜ είναι η τελική λευρά της γωνίας φ, όου Μ είναι το αντίστοιχο σημείο στον τριγωνομετρικό κύκλο, τότε το σημείο Μ θα έχει συντεταγμένες 1, (γιατί;). Εομένως, η γωνία ω θα έχει τελική λευρά την ΟΜ όου ΟΜ είναι η συμμετρική της ΟΜ ως ρος τον άξονα x x. Λόγω 1 αυτής της συμμετρίας έεται ότι το Μ θα έχει συντεταγμένες,. Άρα ΣΧ. 1 1 ημ, συν, εφ και 1

27 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 1 εφ. Παράδειγμα 5: Να αοδείξετε ότι οι γωνίες ω και φ με μέτρα ω=(ρ + 11 ) rad και φ=(λ ) rad, όου ρ και λ δύο ακέραιοι αριθμοί, 7 7 έχουν τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Λύση: Δύο γωνίες ω και φ γενικά έχουν τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς, όταν έχουν την ίδια τελική λευρά. Αυτό συμβαίνει όταν τα μέτρα τους συνδέονται αό μια σχέση της μορφής ω=κ +φ, όου κ ένας ακέραιος αριθμός και δεδομένου ότι τα μέτρα των γωνιών αυτών 11 εκφράζονται σε rad. Έχουμε λοιόν: ωφ= (ρ + )(λ )= (ρλ) +( + )=(ρλ) +=(ρλ+1). 7 7 Δηλαδή ω=(ρλ+1) +φ. Εειδή οι αριθμοί ρ, λ και 1 είναι ακέραιοι, τότε και ο αριθμός κ= ρλ+1 είναι ακέραιος. Εομένως ισχύει ω=κ +φ, με κ ακέραιο αριθμό και άρα οι γωνίες ω και φ έχουν τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Παράδειγμα 6 * : Έστω μια γωνία ω με τελική λευρά την ΟΜ, όου Μ σημείο του τριγωνομετρικού κύκλου. Αν Μ είναι το συμμετρικό του Μ ως ρος την αρχή Ο των αξόνων, τότε να αοδείξετε ότι κάθε γωνία φ με τελική λευρά την ΟΜ ή την ΟΜ θα έχει μέτρο της μορφής φ=ρ +ω όου ρ ακέραιος, δεδομένου ότι τα μέτρα των φ και ω εκφράζονται σε rad. Λύση: Έστω γωνία ω με τελική λευρά την ΟΜ (βλ. σχήμα ). Τότε μια γωνία με τελική λευρά την ΟΜ είναι η λ=ω+=+ω. ΣΧ. Κάθε γωνία με τελική λευρά την ΟΜ θα έχει μέτρο της μορφής κ +ω=κ +ω, όου κ ακέραιος αριθμός. Η μορφή κ αναφέρεται σε όλα τα άρτια ολλαλάσια του όως: 0=0 (κ=0), (κ=1), (κ=1), 4 (κ=), 4 (κ=) κ.τ.λ. * Αυτό το αράδειγμα είναι ολύ σημαντικό, διότι χρησιμοοιείται στις αρακάτω ενότητες για την αόδειξη διαφόρων θεωρημάτων.

28 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας Όμοια, κάθε γωνία με τελική λευρά την ΟΜ θα έχει μέτρο της μορφής κ ++ω=(κ+1) +ω, όου κ ακέραιος αριθμός. Η μορφή (κ+1) αναφέρεται σε όλα τα εριττά ολλαλάσια του όως: 1=1 (κ=0), (κ=1), 1= (κ=1), 5 (κ=), (κ=) κ.τ.λ. Ενδεικτικός είναι ο αρακάτω ίνακας: Γωνίες με τελική λευρά την ΟΜ. [κ +ω] Γωνίες με τελική λευρά την ΟΜ. [(κ+1) +ω] κ=0 0+ω 1+ω κ=1 +ω +ω κ=1 +ω 1+ω κ= 4+ω 5+ω κ= 4+ω +ω Μορφή (Άρτιο ολ/σιο του ) + ω (Περιττό ολ/σιο του ) + ω Τελικό συμέρασμα: Οι γωνίες της μορφής ρ +ω έχουν τελική λευρά την ΟΜ όταν ο ρ είναι άρτιος και τελική λευρά την ΟΜ όταν ο ρ εριττός, αλλά και αντίστροφα. Παράδειγμα 7: Να βρεθούν όλες οι γωνίες φ με radφ4 rad ου να έχουν τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς με αυτούς της γωνίας ω= 8 rad. Λύση: Κάθε γωνία φ ου έχει τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς με τη γωνία ω, έεται ότι έχει την ίδια τελική λευρά με τη γωνία ω και άρα κάθε γωνία φ θα έχει μέτρο, σε rad, της μορφής φ=κ +ω, δηλαδή

29 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 4 φ=κ + 8, όου κz. Όμως, φ4 κ : 17 1 κ 4 κ κ. Οι μοναδικοί ακέραιοι ου ανήκουν στο διάστημα [, ] είναι οι αριθμοί κ1 =1, κ =0, κ =1 και κ 4 =. Εομένως οι ζητούμενες γωνίες είναι: φ 1 =1 + =, φ =0+ =, φ =+ = και φ 4 = + 8 =. 8 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1) Να εκφράσετε σε ακτίνια τις αρακάτω γωνίες των οοίων τα μέτρα σε μοίρες είναι τα εξής: α) ω 1 =15 ο β) ω =50 ο γ) ω =10 ο δ) ω 4 =00 ο ε) ω=140 ο. ) Να εκφράσετε σε μοίρες τις αρακάτω γωνίες των οοίων τα μέτρα σε ακτίνια είναι τα εξής: 5 α) φ 1 = rad β) φ = rad γ) φ =10 rad δ) φ 4 =6 rad 16 4 ε) φ 5 = rad. 5 ) Να υολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών: α) ω 1 =0 ο β) ω = 17 rad γ) ω =1410 ο δ) ω 4 =9 rad. 4

30 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 5 4) Να υολογίσετε την τιμή των αραστάσεων: ο ημ60 συν0 σφ0 Α) ο ο ο εφ0 συν60 ημ0 ο ο. Β) ημ 4 σφ 6 εφ συν Γ) ημ810 ο +συν(1050 ο )+εφ1500 ο 5) Να υολογίσετε τη μέγιστη και την ελάχιστη δυνατή τιμή των αραστάσεων: α) Α= ημx+ β) Β= 45συνx γ) Γ= ημx+συνψ1 5ημx δ) Δ=. Για οιες τιμές των γωνιών x και y συμβαίνει αυτό; 6) Να αοδείξετε στις αρακάτω εριτώσεις ότι οι γωνίες ω και φ έχουν τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς. (Τα μέτρα των γωνιών ω και φ εκφράζονται σε rad) α) ω=ρ+, φ=λ όου ρ,λζ. 10 β) ω=κ, φ=λ+ 8 4 όου ρ,κζ γ) ω=4κ+, φ=10λ όου ρ,λζ. 7) Να δείξετε ότι: α) ημxσυνx>εφx+σφx, για κάθε x(,).

31 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 6 β) εφ(4x)ημ(4x)>συν(4x)σφ(4x), για κάθε x(, ) ) Να εξετάσετε αν είναι δυνατές οι αρακάτω ισότητες: α) ημω= β) συνω= ) Να υολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας: 5 α) ω= rad β) φ= 6 6 rad (Υόδειξη: Σ το β ερώτημα να αραστήσετε στον τριγωνομετρικό κύκλο τη 5 γωνία φ χρησιμοοιώντας την ισότητα ) ) Δίνεται η γωνία θ= 10 rad. Α) Να εκφράσετε με έναν τύο όλες τις γωνίες ου έχουν τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς με τη γωνία θ. Β) Αό τις γωνίες ου αναφέρονται στο ροηγούμενο ερώτημα, να βρείτε αυτές ου ανήκουν στο διάστημα [ rad, rad]. 11) α) Να εκφράσετε με έναν τύο όλες τις γωνίες ου έχουν ημίτονο ίσο με τη μονάδα. β) Με τη βοήθεια του ροηγούμενου ερωτήματος, να λύσετε την εξίσωση ημ x ημx +=0. * * Με το συμβολισμό ημ ν x εννοούμε την αράσταση (ημx) ν. Το ίδιο ισχύει και για τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς.

32 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 7 ΕΝΟΤΗΤΑ η : ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ. (1) Τριγωνομετρικές Ταυτότητες Θεώρημα 1: Πυθαγόρεια Τριγωνομετρική Ταυτότητα (Π.Τ.Τ.) Για κάθε ωr 1* ισχύει ημ ω+συν ω=1. Αόδειξη: Έστω ότι το Μ(x,y) είναι το σημείο τομής της τελικής λευράς της γωνίας ω με τον τριγωνομετρικό κύκλο (βλ. σχήμα 1). Τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΚΜ ισχύει OK x, KM y και OM 1. Με εφαρμογή του Πυθαγορείου Θεωρήματος έχουμε: ΣΧ. 1 OK KM OM x y 1 x y 1 συν ω ημ ω 1. Προσέξτε ότι για την αόδειξη χρησιμοοιήσαμε την ιδιότητα Α Α. Θεώρημα : Ισχύει ότι Ισχύει ότι ημω εφω για κάθε ω κ συνω συνω σφω για κάθε ω κ ημω, κζ., κζ. *1 Με έντονο R θα εννοούμε το σύνολο των ραγματικών αριθμών.

33 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 8 Αόδειξη: Αό το σχήμα 1 και αό τον ορισμό των τριγωνομετρικών y ημω x συνω αριθμών ροκύτει ότι εφω και σφω. Για τους x συνω y ημω εριορισμούς βλέετε στην ρώτη ενότητα, στις αραγράφους (7), (8) και στις αρατηρήσεις της αραγράφου (10). Θεώρημα : Για κάθε ωr με ω κ και ω κ, όου κζ, ισχύει ότι εφω σφω=1. Δηλαδή οι τριγωνομετρικοί αριθμοί εφω και σφω, όταν ορίζονται και οι δύο, είναι αντίστροφοι. Αόδειξη: Προκύτει άμεσα αό το θεώρημα. Θεώρημα 4: Για κάθε ω κ με κζ, ισχύουν οι αρακάτω ταυτότητες: 1 εφ ω Α) συν ω και Β) ημ ω. 1 εφ ω 1 εφ ω Αόδειξη: Για ω κ με κζ, ορίζεται η εφω και τότε ροκύτει ότι: ημ ω συν ω ημ ω 1 Α) 1 εφ ω 1. συν ω συν ω συν ω συν ω 1 1 Δηλαδή 1 εφ ω και άρα συν ω. συν ω 1 εφ ω Β) Αό την (Π.Τ.Τ.) και αό το ροηγούμενο ερώτημα έχουμε ότι ημ 1 εφ ω ω 1 συν ω 1. 1 εφ ω 1 εφ ω () Παραδείγματα. Παράδειγμα 1: Αν x και ημx, τότε να βρεθούν οι 5 υόλοιοι τριγωνομετρικοί αριθμοί. Λύση: Εειδή x(, ), έεται ότι ημx<0, συνx<0, εφx>0 και σφx>0. * * Τα ρόσημα των τριγωνομετρικών αριθμών ροκύτουν εύκολα αό τον κανόνα «ΟΗΕΣ».

34 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας Αό την (Π.Τ.Τ.) έχουμε: συν x 1 ημ x Άρα συνx ή συνx. Άρα συνx ημx Έεται εομένως ότι εφx και σφx. συνx 4 4 εφx 5 Παράδειγμα : Αν x και υόλοιοι τριγωνομετρικοί αριθμοί. σφx 1, τότε να βρεθούν οι Λύση: Εειδή x(, ), έεται ότι ημx>0, συνx<0, εφx<0 και σφx< Έχουμε: σφx εφx. Ακόμη έχουμε: σφx συν x και 1 εφ x εφ x ημ x 1 εφ x Εειδή όμως 9 ισχύει ημx>0 και συνx<0, θα έχουμε τελικά ότι ημx και 10 1 συνx. 10 Παράδειγμα : Να αοδειχθεί ότι δεν υάρχουν τιμές του x για τις οοίες να ισχύει συγχρόνως ότι ημx=0 και συνx=0. Λύση: Αό την (Π.Τ.Τ.) έχουμε ότι ημ x συν x , αδύνατο. Δηλαδή δεν είναι δυνατό το ημίτονο και το συνημίτονο της ίδιας γωνίας να είναι συγχρόνως ίσα με το μηδέν. Παράδειγμα 4: Να αοδειχθούν οι αρακάτω τριγωνομετρικές ταυτότητες: 4 4 Α) ημ ω συν ω 1 ημ ωσυν ω.

35 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας Β) ημ ω συν ω ημ ω 1. Λύση: Α) ημ 4 (ημ Β) ημ 4 4 ω συν ω 1 ημ ωσυν ω (ημ ω) ημ ωσυν ω (συν ω) 1 ω συν ω συν 4 ω) ω (ημ 1 1 ω) (συν 1, ου ισχύει. ω) (ημ ω συν ω) (ημ ω συν ω) ημ ω συν ω ημ ω (1 ημ ω) ημ ω 1. Αό την (Π.Τ.Τ.) συνάγεται η ισότητα συν ω=1ημ ω ου χρησιμοοιήσαμε μόλις αραάνω. 1 ημω συνω Παράδειγμα 5: Δίνονται οι αραστάσεις A και Β. συνω 1 ημω i) Για οιες τιμές του αριθμού ω ορίζεται η κάθε αράσταση; ii) Για τις τιμές του ω ου ορίζονται συγχρόνως και οι δύο αραστάσεις, να αοδείξετε ότι Α=Β. Λύση: i) Η αράσταση Α ορίζεται όταν συνω0. Όμως κάθε γωνία της οοίας το συνημίτονο είναι ίσο με το μηδέν, θα έχει τελική λευρά την ΟΒ ή την ΟΒ (βλ. σχήμα ). 6). Άρα Μια γνωστή γωνία ου έχει τελική λευρά την ΟΒ είναι η θ 1 rad. Εομένως κάθε γωνία ου έχει τελική λευρά την ΟΒ ή την ΟΒ θα έχει μέτρο της μορφής ( κ ) rad με κζ (βλ. ΣΧ. ενότητα 1-αράδειγμα συνω 0 ω κ για κάθε κζ.

36 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 1 Η αράσταση Β ορίζεται όταν 1 ημω 0 ημω 1. Όμως κάθε γωνία της οοίας το ημίτονο είναι ίσο με τη μονάδα, θα έχει τελική λευρά την ΟB (βλ. σχήμα ). Μια γνωστή γωνία ου έχει τελική λευρά την ΟB είναι η θ 1 rad. Προφανώς, κάθε γωνία ου έχει τελική λευρά την ΟB, θα έχει μέτρο της μορφής ( κ ) rad, με κζ. Άρα ημω 1 ω κ για κάθε κζ. ii) Οι αραστάσεις Α και Β ορίζονται συγχρόνως όταν η γωνία ω δεν έχει τελική λευρά ούτε την ΟΒ, ούτε την ΟΒ. Δηλαδή ορίζονται όταν ω κ για κάθε κζ. Τότε έχουμε: 1 ημω συνω Α Β (1 ημω) (1 ημω) συν ω συνω 1 ημω 1 ημ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ω συν ω ημ ω συν ω 1, ου ισχύει. 1) Αν ημx= και x, τότε να βρείτε τους άλλους 5 τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x rad. ) Αν σφx= και x, τότε να βρείτε τους άλλους 5 τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x rad. ) Να αοδείξετε ότι δεν μορεί να ισχύει συγχρόνως: i) ημx= 1 και συνx= 1. ii) ημx=1 και συνx=1. 4) Να αοδείξετε τις αρακάτω τριγωνομετρικές ταυτότητες: i) (ημα+συνα+1)(ημα+συνα1)=ημασυνα ii) ημ 6 α+συν 6 α=1ημ ασυν α iii) ημ α (1+σφ α)+συν α (1+εφ α)=

37 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας iv) 1 1 ημα (εφα ) συνα 1 ημα v) 1 1 εφα ημα συνα εφα ημα 1 1 συνα vi) εφα εφα 1 συνα συνα εφα εφα 1 συνα συνα vii) 1εφ α+εφ 4 α=συν α(1+εφ 6 α) viii) 5ημ α+4συν 5 4σφ α α= (1 εφ α)σφ α ix) 1 συνα συνα εφ α 1 ημα ημα x) ημα συνα 1 ημα 1 ημα συνα 1 συνα xi) ημα συνα εφα σφα 1 xii) 1 1 ημα συνα εφ α σφ α 1 ημ α συν α 1 εφ α 1 σφ α ημα συνα Μορείτε να βρείτε για οιες τιμές του αριθμού α ορίζονται οι αραάνω αραστάσεις; 5) Αν 0<α<, τότε να αοδείξετε ότι 1 συνα 1 συνα 1 συνα 1 συνα ημα. 6) Να αοδείξετε ότι οι αρακάτω αραστάσεις έχουν σταθερή τιμή (ανεξάρτητη του αριθμού α): i) Α=(ημ 6 α+συν 6 α)(ημ 4 α+συν 4 α) ii) Β= ημ 6 ασυν 6 αημ 4 ασυν 4 α+ημ α

38 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας ΕΝΟΤΗΤΑ η : ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ Σε αυτή την ενότητα θα δούμε τεχνικές με τις οοίες η εύρεση των τριγωνομετρικών αριθμών κάθε γωνίας ανάγεται στην εύρεση τριγωνομετρικών αριθμών μιας άλλης γωνίας της οοίας η τελική λευρά βρίσκεται στο ρώτο τεταρτημόριο. (1) Αντίθετες γωνίες Αοδεικνύεται ότι οι αντίθετες γωνίες έχουν συμμετρικές τελικές λευρές ως ρος τον άξονα των συνημιτόνων (βλ. σχήμα 1). Αυτό έχει ως συνέεια δύο αντίθετες γωνίες να έχουν ίσα συνημίτονα και αντίθετους όλους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς: ΣΧ. 1 ημ(ω)=y=ημω συν(ω)=x=συνω y y εφ( ω) εφω x x x x σφ( ω) σφω y y Εφαρμογή 1: Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας φ=0 ο. Λύση: Σύμφωνα με τους αραάνω τύους ισχύει:

39 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 4 ημ(0 ο )=ημ0 ο = 1, συν(0 ο )=συν0 ο =, εφ(0 ο )=εφ0 ο = = και σφ(0 ο )=σφ0 ο =. () Γωνίες με άθροισμα rad (180 μοίρες) Αοδεικνύεται ότι δύο γωνίες με άθροισμα rad έχουν τελικές λευρές ου είναι συμμετρικές ως ρος τον άξονα των ημιτόνων. Αυτό έχει ως συνέεια δύο τέτοιες γωνίες να έχουν ίσα ημίτονα και αντίθετους όλους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Αν φ και ω δύο γωνίες με φ+ω=, τότε φ=ω: ΣΧ. ημ(ω)=ημφ=y=ημω συν(ω)=συνφ=x=συνω y y εφ(ω)=εφφ= εφω x x x x σφ(ω)=σφφ= σφω y y Όταν τα μέτρα των γωνιών εκφράζονται σε μοίρες, τότε η έκφραση «ω» αντικαθίσταται αό την έκφραση «180 ο ω». Π.χ. συν(180 ο ω)=συνω.

40 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 5 Εφαρμογή : Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας φ= rad. Λύση: Εειδή, έχουμε: ημ( 1 )=ημ( )=ημ =, συν( )=συν( )=συν =, εφ( )=εφ( )=εφ = και σφ( )=σφ( )=σφ = (α 1). Καλό είναι να έχουμε υόψη ότι. α α () Γωνίες με διαφορά rad (180 μοίρες) Αοδεικνύεται ότι δύο γωνίες των οοίων οι τελικές λευρές βρίσκονται στον ίδιο φορέα, χωρίς να ταυτίζονται, έχουν διαφορά rad και είναι συμμετρικές ως ρος τον αρχή των αξόνων. Αυτό έχει ως συνέεια δύο τέτοιες γωνίες να έχουν ίσες εφατομένες και συνεφατομένες, ενώ έχουν αντίθετους τους υόλοιους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Αν φ και ω δύο γωνίες με φω=, τότε φ=+ω: ΣΧ.

41 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 6 ημ(+ω)=ημφ=y=ημω συν(+ω)=συνφ=x=συνω y y εφ(+ω)=εφφ= εφω x x x x σφ(+ω)=σφφ= σφω y y Όταν τα μέτρα των γωνιών εκφράζονται σε μοίρες, τότε η έκφραση «+ω» αντικαθίσταται αό την έκφραση «180 ο +ω». Π.χ. ημ(180 ο +ω)=ημω. Εφαρμογή : Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας φ= 4 rad. Λύση: Εειδή 4, έχουμε: ημ( )=ημ( )=ημ =, συν( )=συν( )=συν =, 4 4 εφ( )=εφ( )=εφ = και σφ( )=σφ( )=σφ =. Καλό είναι να έχουμε υόψη ότι (α 1) α α. (4) Γωνίες με άθροισμα / rad (90 μοίρες) Αοδεικνύεται ότι δύο γωνίες με άθροισμα / rad έχουν τελικές λευρές οι οοίες είναι συμμετρικές ως ρος τη διχοτόμο του 1 ου και ου τεταρτημορίου, δηλαδή ως ρος την ευθεία με εξίσωση y=x. Ειλέον, ρέει να έχουμε υόψη μας ότι όταν δυο σημεία Μ και Μ είναι συμμετρικά ως ρος την ευθεία y=x, τότε η τετμημένη του ενός είναι ίση με την τεταγμένη του άλλου και αντίστροφα. Δηλαδή αν το σημείο Μ έχει συντεταγμένες (x,y), τότε το Μ θα έχει συντεταγμένες (y,x). Αυτό έχει ως συνέεια για δύο γωνίες με άθροισμα / rad, το ημίτονο της μιας να ισούται με το συνημίτονο της άλλης, η εφατομένη της μιας να είναι ίση με τη συνεφατομένη της άλλης και αντίστροφα. Αν φ και ω δύο γωνίες με φ ω φ ω :

42 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 7 ΣΧ. 4 ημ( συν( εφ( σφ( ω) ημφ x συνω ω) συνφ y ημω x ω) εφφ σφω y y ω) σφφ εφω x Όταν τα μέτρα των γωνιών εκφράζονται σε μοίρες, τότε η έκφραση «ω» αντικαθίσταται αό την έκφραση «90 ο ω». Π.χ. εφ(90 ο ω)= =σφω. Εφαρμογή 4: Να συγκρίνετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας των 70 ο με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας των 0 ο. Λύση: Εειδή 70 ο +0 ο =90 ο, έχουμε: ημ70 ο =ημ(90 ο 0 ο )=συν0 ο, συν70 ο =συν(90 ο 0 ο )=ημ0 ο, εφ70 ο = =εφ(90 ο 0 ο )=σφ0 ο και σφ70 ο =σφ(90 ο 0 ο )=εφ0 ο.

43 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 8 (5) Αομνημόνευση των αραάνω τύων με τη βοήθεια του κανόνα «ΟΗΕΣ» Τα ροηγούμενα σχήματα εξηγούν ενδεικτικά, όμως αοσασματικά για οιο λόγο ισχύουν οι αραάνω τύοι. Υάρχει όμως και ένας γενικός αομνημονευτικός κανόνας ου στηρίζεται στον κανόνα «ΟΗΕΣ». Το σκετικό είναι το εξής: Αφού οι αραάνω τύοι ισχύουν για κάθε τιμή της γωνίας ω, εφόσον έχουν νόημα οι τύοι για αυτές τις τιμές, τότε οι ίδιοι ακριβώς τύοι ισχύουν και για μικρές θετικές γωνίες ω, δηλαδή για 0 ο <ω<90 ο. Θα δούμε λοιόν το «κόλο» με το οοίο βρίσκουμε τους αραάνω τύους σκεφτόμενοι σαν να είναι η γωνία ω μια μικρή θετική γωνία, δηλαδή σαν να βρίσκεται η τελική λευρά της ω στο 1 ο τεταρτημόριο. Πρώτα αό όλα θα δούμε ενιαία τις τρεις ρώτες εριτώσεις, ενώ θα γενικεύσουμε την τέταρτη ερίτωση. Καταρχάς οι τρεις ρώτες ομάδες τύων ακολουθούν το αρακάτω σχήμα: ημ( )=(;) ημω συν( )= (;) συνω εφ( )= (;) εφω σφ( )= (;) σφω όου το «+» ή το εξαρτάται κατά ερίτωση. Αν θεωρήσουμε ότι για τη γωνία ω ισχύει 0 ο <ω<90 ο (1 ο τεταρτημόριο), τότε η τελική λευρά της γωνίας : (α) ω θα βρίσκεται στο 4 ο τεταρτημόριο (σχ. 1) και άρα αό τον κανόνα «ΟΗΕΣ» μόνο το συνημίτονο είναι θετικό. Άρα συν(ω)=+συνω, ενώ για τους υόλοιους τριγωνομετρικούς αριθμούς θα βάζουμε,.χ. ημ(ω)=ημω. (β) ω θα βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο (σχ. ) και άρα αό τον κανόνα «ΟΗΕΣ» μόνο το ημίτονο είναι θετικό. Άρα ημ(ω)=+ημω, ενώ για τους υόλοιους τριγωνομετρικούς αριθμούς θα βάζουμε,.χ. εφ(ω)=εφω. (γ) +ω θα βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο (σχ. ) και άρα αό τον κανόνα «ΟΗΕΣ» μόνο η εφατομένη και η συνεφατομένη είναι θετικές.

44 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 9 Άρα εφ(+ω)=+εφω, σφ(+ω)=+σφω, ενώ για τους υόλοιους τριγωνομετρικούς αριθμούς θα βάζουμε,.χ. ημ(+ω)=ημω. Τώρα θα δούμε τον τρόο για να βρίσκουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνιών της μορφής κ ω, όου κ εριττός αριθμός, δηλαδή κ=1,, 5 κ.τ.λ. Στην ερίτωση των γωνιών ω το ημίτονο γινόταν συνημίτονο, η εφατομένη γινόταν συνεφατομένη κ.τ.λ. Το ίδιο ισχύει γενικότερα για τις γωνίες της μορφής κ ω, όου κ εριττός αριθμός με τη διαφορά ότι στο ο μέλος της ισότητας βάζουμε «+» ή κατά ερίτωση: ημ(κ ω )=(;) συνω συν(κ ω )=(;) ημω εφ(κ ω )=(;) σφω σφ(κ ω )=(;) εφω Για να διαιστώσουμε αν ρέει να βάλουμε «+» ή θα ρέει να δούμε σε οιο τεταρτημόριο βρίσκεται η τελική λευρά της γωνίας κ ω, θεωρώντας ροσωρινά ότι 0 rad<ω< rad. Η αρακάτω εφαρμογή εξηγεί τον τρόο με τον οοίο δουλεύουμε για να εξάγουμε τους τύους κατά ερίτωση: Εφαρμογή 5: Να συγκρίνετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας της μορφής ω με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. Λύση: Οι τύοι ου θα βρούμε ισχύουν όως είαμε για κάθε τιμή της γωνίας ω, αρκεί να έχουν νόημα οι αραστάσεις. Χάριν ευκολίας λοιόν

45 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 40 θα θεωρήσουμε ότι 0 rad<ω< rad. Σε αυτή την ερίτωση, η τελική λευρά της γωνίας ω θα βρίσκεται στο 4 ο τεταρτημόριο: Εομένως στο συνημίτονο αυτής της γωνίας, στο ο μέλος της ισότητας θα ροσάψουμε θετικό ρόσημο (κανόνας «ΟΗΕΣ»), δηλαδή: συν( ω )= +ημω Στους υόλοιους τριγωνομετρικούς αριθμούς θα ροσάψουμε το ρόσημο : ημ( ω )= συνω, εφ( ω )= σφω και σφ( ω)=εφω. Να τονίσουμε για άλλη μια φορά ότι αυτοί οι τύοι ισχύουν για κάθε τιμή της γωνίας ω και όχι μόνο για 0 rad<ω< rad, δεδομένου ότι έχουν νόημα οι τύοι. (6) Παραδείγματα. Παράδειγμα 1: Να υολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών: α) 70 ο 74 και β) rad. Λύση: α) Εκτελώντας την ευκλείδεια διαίρεση του 70 με το 60 ροκύτει ότι 70 = Άρα 70 ο =6 60 ο 10 ο. Σύμφωνα με τους τύους Α της ενότητας 1, οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των 70 ο θα ταυτίζονται με τη γωνία των 10 ο.

46 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 41 Άρα: ημ(70 ο )=ημ(10 ο )=ημ10 ο =ημ(180 ο +0 ο )=(ημ0 ο )= ημ0 ο = 1. συν(70 ο )=συν(10 ο )=συν10 ο =συν(180 ο +0 ο )=συν0 ο =. εφ(70 ο )=εφ(10 ο )=εφ10 ο =εφ(180 ο +0 ο )=εφ0 ο =. σφ(70 ο )=σφ(10 ο )=σφ10 ο =σφ(180 ο +0 ο )=σφ0 ο =. β) Θα εκφράσουμε τη γωνία στη μορφή κ +ω, όου κ ακέραιος: (1 1 ) 1. * Σύμφωνα με τους τύους Α της ενότητας 1, οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των rad είναι ίσοι με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των Άρα: 74 ημ( )=ημ( )=ημ ( ) =ημ( )= συν( )=συν( )=συν ( ) =συν( )=. 74 εφ( )=εφ( )=εφ ( ) =εφ( )=. 74 σφ( )=σφ( )=σφ ( ) =σφ( )=. rad. 74 Παράδειγμα : Να υολογιστούν με τη βοήθεια της γωνίας ω οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών: α) 90 ο +ω και β) 101 ω rad. * Η ισότητα 74=1 6+ ροκύτει αό την ευκλείδεια διαίρεση του 74 με το 6.

47 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 4 Λύση: α) Αν θεωρούσαμε ροσωρινά ότι 0 o <ω<90 ο, τότε η γωνία 90 ο +ω θα είχε τελική λευρά ου θα βρισκόταν στο τεταρτημόριο και άρα θα είχε μόνο το ημίτονό της θετικό. Εομένως για κάθε γωνία ω, θα ισχύει: ημ(90 ο +ω)=συνω συν(90 ο +ω)=ημω εφ(90 ο +ω)=σφω σφ(90 ο +ω)=εφω Οι αραάνω ισότητες ισχύουν για όλες τις τιμές της γωνίας ω στις οοίες έχουν νόημα οι τύοι. 101 β) Θα γράψουμε τη γωνία αριθμός. Προς τούτο έχουμε: (5 4 1) ω = 5 ω στη μορφή κ +φ, όου κ ακέραιος (5 1 ) 4 5. Άρα και εομένως οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 101 ω rad είναι ίσοι με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω rad οι οοίοι βρέθηκαν ουσιαστικά στο ροηγούμενο ερώτημα, αν και εδώ οι γωνίες εκφράζονται σε rad αντί σε μοίρες. Για αράδειγμα ισχύει: ημ( ω )=ημ( ω )=συνω, συν( ω )=συν( ω )=ημω κ.τ.λ. Παράδειγμα : Να υολογιστεί η τιμή της αράστασης Α=εφ1 ο εφ ο εφ89 ο. Λύση: Εειδή εφ89 ο =εφ(90 ο 1 ο )=σφ1 ο, εφ88 ο =εφ(90 ο ο )=σφ ο κ.τ.λ., η αράσταση Α γράφεται ως εξής Α=εφ1 ο εφ ο εφ89 ο ο =εφ1 ο εφ ο εφ44 ο εφ45 ο σφ44 ο σφ4 ο σφ1 = (εφ1 ο σφ1 ο ) (εφ ο σφ ο ) (εφ44 ο σφ44 ο ) εφ45 ο = εφ45 ο = εφ45 ο =1. 44 αράγοντες

48 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 4 Παράδειγμα 4: Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να αοδειχτεί ότι: Α Β Γ α) ημα=ημ(β+γ) και β) ημ( )=συν( ). Λύση: Οι γωνίες Α, Β και Γ είναι γωνίες τριγώνου και άρα ισχύει Α+Β+Γ= Α=(Β+Γ). Εομένως: α) ημα=ημ((β+γ))=ημ(β+γ) Α (Β Γ) β) ημ( )=ημ( )=ημ( Β Γ )=συν( Β Γ ). Παράδειγμα 5: Να αλοοιηθούν οι αρακάτω αραστάσεις: α) β) ημ( α) συν( α) εφ(5 α) Α συν(5 α) ημ( α) εφ( α) ημ( α) συν( α) εφ( α) Β ημ( α) Λύση: α) Έχουμε: ημ(+α)=ημ(++α)=ημ(+α)= ημα συν( α )=ημα (βλ. εφαρμογή 5) εφ(5+α)=εφ(4++α)=εφ(+α)=εφα συν(5α)=συν(4+α)=συν(α)= συνα ημ( α )= συνα (γιατί;) εφ(+α)=εφα Άρα ημα ημα εφα ημ α A εφ α. συνα ( συνα) εφα συν α

49 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 44 β) Έχουμε: ημ(+α)= ημα συν( α )= ημα εφ( α )= σφα (βλ. εφαρμογή 5) ημ(α)=ημ(α)= ημα Άρα ημα ( ημα) ( σφα) B ημα ( σφα) ημα ημα συνα ημα συνα. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1) Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των αρακάτω γωνιών: α) 10 ο β) 10 ο γ) 150 ο δ) 0 ο ) Να βρείτε τους αρακάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς: 5 α) ημ 6 1 β) συν 6 γ) σφ ) Να αοδείξετε ότι: i) ii) ημ συν εφ ημ συν εφ ο ο ημ(90 ω) συν(180 ω) 1. ο ο εφ(70 ω) σφ(60 ω) 1 iii) ημ συν εφ iv) συν σφ εφ. 6 6 v) 11 5 ημ( α) ημ(15 α) ημ( α) συν α εφ( α) σφ( α) συν( α)

50 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 45 vi) ημ(α)+ημ( α )+ημ(α)ημ( α )=0. vii) συν( α )+ημ(α)ημ(α)+συν( α )=0. viii) 6εφ(+α)+σφ( α ix) συν( α) ημ( α) συν( α) ημ α εφ( α) ημ( α) εφ( α) 4) Να υολογίσετε την τιμή των αρακάτω αραστάσεων: i) συν( ) ημ( ) εφ( ) 4 6 ii) ημ( ) συν( )+εφ( ) σφ( ) 6 iii) ημ(5 ο )+συν(156 ο )+εφ(50 ο )+σφ(45 ο ) iv) ημ( α) σφ( α) συν( α) εφ( α) εφ( α) συν( α) v) ο ο ο εφ(180 α) συν(540 α) εφ(450 α) ο ο ο ημ(90 α) σφ(810 α) εφ(α 70 ) vi) 5 συν(α ) ημ( α) συν( α) 4ημ(7 α) συν(α 4) 5) Να αοδείξετε ότι: α) ημ 90 ο +συν 0 ο =1 και β) ημ 75 ο +ημ 5 ο =1 6) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να αοδείξετε ότι: α) συνα+συν(β+γ)=0 και β) συν A =ημ Γ B. ο 7) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Αˆ 90. Να δείξετε ότι: εφβ 1 γ β, εφόσον γβ. 1 εφ Β συν Β ημ Β γ β 8) Δίνεται τετράλευρο ΑΒΓΔ. Να αοδείξετε ότι:

51 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 46 α) συν(α+γ)=συν(β+δ) και A Γ Β Δ β) ημ =ημ. 9) Να αοδείξετε ότι: α) σφ1 ο σφ ο σφ89 ο =1. β) εφ1 ο εφ ο εφ45 ο εφ91 ο εφ9 ο εφ15 ο = 1. γ) σφ1 ο σφ ο σφ45 ο εφ181 ο εφ18 ο εφ5 ο =1.

52 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 47 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 η : Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Η αρακάτω ενότητα έραν του ορισμού 1 έχει θεωρητικό χαρακτήρα και αευθύνεται στον ααιτητικό αναγνώστη. Ωστόσο τα θεωρήματα αυτής της ενότητας βρίσκουν άμεση εφαρμογή στις τριγωνομετρικές συναρτήσεις ου θα συναντήσουμε στην εόμενη ενότητα. Μια εριοδική συνάρτηση θα λέγαμε με αλά λόγια ότι είναι μια συνάρτηση της οοίας η γραφική εαναλαμβάνεται, όως φαίνεται και στο αρακάτω σχήμα: ΣΧ. 1 Στο σχήμα 1 βλέουμε ότι αν ειλέξουμε τυχαία ένα οοιοδήοτε σημείο x o ου ανήκει στο εδίο ορισμού της συνάρτησης f, τότε f(x o )=f(x o +)=f(x o ). Λέμε τότε ότι ο αριθμός είναι μια ερίοδος της συνάρτησης f. Δίνουμε λοιόν τον τυικό ορισμό μιας εριοδικής συνάρτησης: Ορισμός 1: Έστω μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού ένα σύνολο Α. Αν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ>0, ώστε για κάθε xa να ισχύει: i) x+ta και xta ii) f(x+t)=f(xt)=f(x) τότε λέμε ότι η συνάρτηση f είναι εριοδική με μία ερίοδο τον αριθμό Τ.

53 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 48 Ο ορισμός υονοεί ότι ενδεχομένως μια εριοδική συνάρτηση μορεί να έχει ερισσότερες αό μια εριόδους. Για αράδειγμα στο σχήμα 1 η συνάρτηση f έχει ερίοδο τον αριθμό Τ 1 =. Όμως, αρατηρούμε ότι και ο αριθμός Τ =4 είναι μία ερίοδος της συνάρτησης f, διότι για κάθε x o ου ανήκει στο εδίο ορισμού της ισχύει f(x o )=f(x o +4)=f(x o 4). Παρατηρούμε ότι ο αριθμός 4 είναι ακέραιο ολλαλάσιο του αριθμού. Γενικά ισχύει το αρακάτω θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ 1: Έστω εριοδική συνάρτηση f με εδίο ορισμού το σύνολο Α και Τ μια ερίοδός της. Τότε κάθε αριθμός της μορφής ν Τ, όου ν θετικός φυσικός αριθμός είναι είσης μια ερίοδος της συνάρτησης f. Αόδειξη: Θα δείξουμε ότι για το θετικό αριθμό ν Τ ικανοοιούνται οι συνθήκες (i) και (ii) του ορισμού 1. Έστω xa. Εειδή ο αριθμός Τ είναι μια ερίοδος της συνάρτησης, έεται ότι και x+tα (ιδιότητα (i) του ορισμού 1). Όμοια τώρα, εειδή x+tα, έεται ότι και ο αριθμός (x+t)+t=x+tα. Εαγωγικά φτάνουμε στο συμέρασμα ότι x+ν ΤΑ: xax+tα(x+t)+t=x+tα(x+t)+t=x+tα [x+(ν1)t]+t=x+ν TΑ. Όμοια αοδεικνύεται ότι και xν ΤΑ. Άρα για το θετικό αριθμό ν Τ ικανοοιείται η συνθήκη (i) του ορισμού 1. Είσης βλέουμε ότι: f(x)=f(x+t)=f((x+t)+t)=f((x+t)=f((x+t)+t)=f(x+t)= = =f(x+(ν1) T)=f((x+(ν1) T)+T)=f(x+ν Τ). Όμοια αοδεικνύεται ότι f(x)= f(xν Τ). Εομένως ικανοοιείται η συνθήκη (ii) του ορισμού 1. Η αόδειξη τώρα είναι λήρης.// Έτσι, στο αράδειγμα του σχήματος 1 η f έχει εριόδους τους αριθμούς, =4, =6, 4=8 κ.τ.λ. Παρατηρούμε ότι ο αριθμός είναι η μικρότερη ερίοδος της συνάρτησης f. Οδηγούμαστε στον αρακάτω ορισμό: Ορισμός : Αν για μια εριοδική συνάρτηση f υάρχει ελάχιστος θετικός αριθμός Τ ου ικανοοιεί τις συνθήκες (i) και (ii) του ορισμού 1, τότε ο αριθμός Τ λέγεται ελάχιστη ή ρωτεύουσα ή αρχική ερίοδος της συνάρτησης f.

54 Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 49 Πρέει να τονίσουμε όμως ότι κάθε εριοδική συνάρτηση δεν έχει κατ ανάγκη αρχική ερίοδο. Για αράδειγμα η σταθερή συνάρτηση f: RR με τύο f(x)=5 είναι εριοδική, διότι για κάθε xr και για κάθε Μ>0, ισχύει f(xm)=f(x)=5. Ωστόσο δεν υάρχει ελάχιστος θετικός αριθμός Μ με την ροηγούμενη ιδιότητα. Έστω τώρα μια εριοδική συνάρτηση f με ελάχιστη ερίοδο έναν αριθμό Τ>0. Τότε σύμφωνα με το θεώρημα 1, κάθε αριθμός της μορφής ν Τ όου ν θετικός ακέραιος είναι είσης μια ερίοδος της συνάρτησης f. Το ερώτημα ου γεννάται είναι αν η συνάρτηση f μορεί να έχει και άλλες εριόδους ου δεν είναι ολλαλάσια της ελάχιστης εριόδου. Η αάντηση είναι αρνητική: ΘΕΩΡΗΜΑ : Έστω εριοδική συνάρτηση f με εδίο ορισμού το σύνολο Α και Τ η ελάχιστη ερίοδός της. Τότε κάθε άλλη ερίοδος της συνάρτησης f είναι αναγκαστικά θετικό ακέραιο ολλαλάσιο του αριθμού Τ. Αόδειξη: Έστω Τ >0 μια ερίοδος της f με Τ Τ. Εειδή ο αριθμός Τ είναι η ελάχιστη ερίοδος της f, θα ισχύει Τ<Τ. Έστω n o ο μέγιστος φυσικός αριθμός ο οοίος είναι λύση της ανίσωσης n TT, nν. Τότε n ο TT και (n o +1) T>Τ (1). Είσης ισχύει ότι T n o T0. Θέτω υ= T n o T. Προφανώς υ0. Είσης ισχύει ότι υ<τ, διότι αν υοθέταμε ότι υτ, τότε θα υήρχε μη αρνητικός αριθμός κ, ώστε υ=τ+κ. Άρα σε αυτή την ερίτωση θα είχαμε ότι T = n o T+υ=n o T+Τ+κ=(n o +1) T+κ και εομένως θα ίσχυε ότι (n o +1) TΤ άτοο αό (1). Συνοψίζοντας θα λέγαμε ότι αν Τ Τ, τότε υάρχει ένας φυσικός αριθμός n o και ένας μη αρνητικός αριθμός υ, ώστε T = n o T+υ με 0υ<Τ. Τώρα, για κάθε xa ισχύει f(x)=f(x+t )=f(x+n o T+υ)=f((x+υ)+n o T)=f(x+υ). Όμοια ροκύτει ότι για κάθε xa ισχύει f(x)= f(xυ). Αν υ0, τότε ο αριθμός υ είναι μια ερίοδος της συνάρτησης f μικρότερη αό την ελάχιστη ερίοδο Τ, άτοο. Άρα υ=0 και τότε ροκύτει ότι Τ =n o T. Δηλαδή κάθε ερίοδος της συνάρτησης f είναι αναγκαστικά θετικό ακέραιο ολλαλάσιο της ελάχιστης εριόδου.// ΘΕΩΡΗΜΑ : Έστω εριοδική συνάρτηση f με εδίο ορισμού το σύνολο Α f και Τ μια ερίοδος της. Αν η συνάρτηση g ορίζεται μέσω της f αό τον τύο g(x)=f(αx+β), με α0, τότε η g είναι εριοδική με μία

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών Το ρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας (ή τόξου) καθ αό το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β E.M.E. (τεύχος 4) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κώστα Βακαλόουλου ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αν κάοιος θέλει να άψει να φοβάται το κεφάλαιο της Τριγωνομετρίας, ρέει ν αοφασίσει να διαβάσει ροσεκτικά τους

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 6 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 1. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Περιοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει T τέτοιος ώστε για κάθε x A να

Διαβάστε περισσότερα

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας v.5 «Αυτό το ρόβλημα, τούτ η μεγάλη συμφορά για να λυθεί χρειάζεται, δίχως αμφιβολία, όως κοιτάζω α τη δική σου την λευρά, να δεις κι εσύ α τη δική μου τη γωνία».. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ο ΓΕΛ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ Ειμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ

Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ Γωνίες με την ίδια τελική λευρά Γωνίες με άθροισμα 180 - Γωνίες με διαφορά 180 - Γωνίες αντίθετες Γωνίες με άθροισμα 90 - Γωνίες με διαφορά 90 Γωνίες με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά.

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Αό το Γυμνάσιο ξέρουμε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ημβ = = έάά ί Γ συνβ = = ίάά ί β α εφβ = = έάά ίάά Τριγωνομετρικοί

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ Χαρακτηριστικά μεγέθη της αλής αρμονικής ταλάντωσης είναι: Α) Αομάκρυνση (x ή y): ονομάζεται η αόσταση του σώματος κάθε χρονική στιγμή αό την θέση ισορροίας (x= ή y=) Β) Το λάτος της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε εριοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση ƒ με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ, Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε χ Α να ισχύει α) χ+τ Α, χ -

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις

1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις 11 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Ποια συνάρτηση ονομάζουμε εριοδική; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού το σύνολο Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε x A

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις...

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία... 16 Παραδείγματα... 6 Ασκήσεις... 33 ΕΝΟΤΗΤΑ : ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ... 39 Θεωρία... 39 Ερωτήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις. Ονομασίες Ορισμοί Ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει ακτίνα R. Αρχή μέτρησης των τόξων (γωνιών) είναι το Α, είτε κατά τη θετική φορά (αριστερόστροφα)

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1.Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ ii)συν( ) ΛΥΣΗ i)διαιρώντας το 1125 με το 360 βρίσκω.

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1.Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ ii)συν( ) ΛΥΣΗ i)διαιρώντας το 1125 με το 360 βρίσκω. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ5 0 ii)συν(-660 0 ) i)διαιρώντας το 5 με το 60 βρίσκω και εομένως 0 0 0 5 60 5 5 60 5 5 0 0 0 0 0 ii) ( 660 ) ( 70 60 ) ( 60 60 ) 0 (60 ) Να

Διαβάστε περισσότερα

Tριγωνομετρικές εξισώσεις

Tριγωνομετρικές εξισώσεις Tριγωνομετρικές εξισώσεις Εχουμε μάθει να λύνουμε εξισώσεις ρώτου βαθμού και δευτέρου βαθμού ου είναι ισότητες ου εριέχουν έναν άγνωστο και ροσαθούμε να βρούμε για οιά (ή οιές) τιμές αυτού του αγνώστου

Διαβάστε περισσότερα

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία 0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Ένας αρατηρητής βρίσκεται σε μια όχθη ενός οταμού και βλέει στην αέναντι όχθη ένα δέντρο υό γωνία ύψους 60 ο Αν αομακρυνθεί κατά 40m, βλέει το ίδιο δέντρο υό γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ 16968, 1765, 17656, 17663, 17664, 17681, 1769, 17699, 17704, 1775, 17736, 17739, 17741 ΘΕΜΑΤΑ 4 17837, 17838,

Διαβάστε περισσότερα

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης.

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης. Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σύρος Πανούσης Γιώργος Πααθανάση Κέλλυ Ραμαντάνης Βαγγέλης Σαμάνης Νίκος Τόλης Ευάγγελος -1-01 18808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Κεφάλαιο 3 ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. τριγωνομετρικοι αριθμοι γωνιασ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Έστω οξεία γωνία ω. Αν άνω στη μία αό τις δύο λευρές της γωνίας άρουμε τυχαία σημεία Μ και Ν και φέρουμε τις

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Ελευθέριος Πρωτοαάς Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Δεκέμβριος 04 Περιεχόµενα o Θέμα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα 6950 8 6954 9

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12)

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12) ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκε ί ου τ ράε ζ αθε μάτ ων( 1ηέ κδοση) θέ μαδε ύτ ε ροκαιτ έ τ αρτ ο Κόμβ οςατ σι οούλου01415 δης Ει μέ λε ι α:εμμανουήλκ.σκαλί Αντ ώνηςκ.αοστ όλου Άσκηση 1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί

Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â =90 ο ) φέρουµε το ύψος Α. Ν.δ.ο. Γ ηµβ σφγ =. ΑΒ. Να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας 5 ο. 3. Να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1 Να υολογίσετε τα όρια: 9 i) ii) ( ) 9 iii) 1 1 1 iv) 7 10 5 15 t t t 1 v) vi) t (t )(t ) 1 1 9 i) (ημ συν) ) 1 7 συν vii) 1 ημ viii) 1 5 i) ii) ημ 6 1 009, άν

Διαβάστε περισσότερα

Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο

Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο ΑΛΓΕΒΡΑ ΒΛ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 1-1. -175663 Βασικές Τριγωνομετρικές ταυτότητες Αν 0

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΟΜΑΔΑΣ Έχουμε: y i 6 + y + y y Άρα, η λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία .0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Εύρεση τριγωνομετρικών αριθμών οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α= 90 0 ). Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας ορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων 1 Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόουλος ρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στην εργασία αυτή εισηµαίνονται και αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ =

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ = 17 ο Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό έτος 01-015 ΤΑΞΗ:B' Λυκείου ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ :Αθήνα 8-6-015 ΘΕΜΑ 1ο Α. Nα αοδείξετε ότι αν ένα ολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ. ,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα από τα σύνολα (α, x. lim. lim g(x) , λ σταθερά lim g(x) (ισχύει και για περισσότερες από 2

ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ. ,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα από τα σύνολα (α, x. lim. lim g(x) , λ σταθερά lim g(x) (ισχύει και για περισσότερες από 2 ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ Έστω μια συνάρτηση f η οοία ορίζεται όσο κοντά θέλουμε στο,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα αό τα σύνολα (α, ) (,β) ή (α, ) ή (,β). Όταν οι τιμές της f()ροσεγγίζουν όσο θέλουμε τον ραγματικό

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος 1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η αόσταση του σώµατος αό το έδαφος (σε cm), δίνεται αό την συνάρτηση f(t)=1ηµ t +13, όου t ο χρόνος σε ώρες. α) Να βρείτε την ερίοδο της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. εφχ = εφθ χ = κ + θ χ = κ π + θ ( τύποι λύσεων σε ακτίνια )

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. εφχ = εφθ χ = κ + θ χ = κ π + θ ( τύποι λύσεων σε ακτίνια ) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ηµχ = ηµθ χ = 0 0 κ + θ ή χ = 0 0 κ + 80 0 - θ ( τύοι λύσεων σε µοίρες ) χ = κ + θ ή χ = κ + - θ ( τύοι λύσεων σε ακτίνια ) κ ακέραιος συνχ = συνθ χ = 0 0 κ ± θ ( τύοι λύσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 3ο Κεφάλαιο - Τριγωνομετρία - Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες. , να βρεθούν

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 3ο Κεφάλαιο - Τριγωνομετρία - Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες. , να βρεθούν ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ B Λυκείου Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Αν 3 και < x < 3, να βρεθούν οι ΠΡΟΣΟΧΗ : Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (26/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (26/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου o Θέμα Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1 η (6/11/014) Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Ειμελητών των φακέλων του

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

1.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας . ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Έστω οξεία γωνία ω. Αν πάνω στη μία από τις δύο πλευρές της γωνίας πάρουμε τυχαία σημεία Μ και Ν και φέρουμε

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 3ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανειστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παασταυρίδης Στάυρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Β Γενική Τριγωνομετρία

Β Γενική Τριγωνομετρία Β Γενική Τριγωνομετρία 40 Γενικευμένη γωνία - Γενικευμένα τόξα - Το ακτίνιο Τριγωνομετρικός κύκλος - Τριγωνομετρικοί αριθμοί γενικευμένης γωνίας 1. Η γωνία ω του παρακάτω σχήματος είναι θετική. α) Συνδέστε

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ημφ, εφφ σφφ Μ Δ συνφ Α www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1 N Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Σ Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο 1 ο Τεταρτημόριο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ - ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ http://mathhmagic.blogspot.com/ Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί (Εαναλητικά) Ε ί εδη γωνία είναι η κλίση µεταξύ δυο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 Στασίνου 6, Γραφ., Στρόβολος, Λευκωσία Τηλ. 57-78 Φαξ: 57-79 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Παρασκευή, 9/5/7 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΜΕΡΟΣ Α ln( x). Να υολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕΡΟΣ A ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 1, Στρόβολος 3, Λευκωσία Τηλ. 357-37811 Φαξ: 357-3791 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 13 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Πέμτη, 3/5/13

Διαβάστε περισσότερα

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός Έστω µία συνάρτηση f µε εδίο ορισµού Α και A Θα λέµε ότι η f είναι εριοδική όταν υάρχει ραγµατικός αριθµός Τ > 0 έτσι ώστε για κάθε Α να ισχύει : i)

Διαβάστε περισσότερα

ανάλυση, σχόλια και προεκτάσεις με αφορμή απαντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών που διατυπώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη

ανάλυση, σχόλια και προεκτάσεις με αφορμή απαντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών που διατυπώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη ανάλυση, σχόλια και ροεκτάσεις με αφορμή ααντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών ου διατυώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη (αραδείγματα αό τα μαθηματικά του λυκείου) του Δημητρίου Ντρίζου σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Θέμα Εαναλητικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Α. Αν α>0 με α, τότε για οοιουσδήοτε θ, θ,θ>0 και κ ισχύει log ( θ θ ) = log θ + log θ (7 μονάδες) α α α Β. Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων εανάληψης 1. ίνεται το ολυώνυµο Ρ(x) = x 3 x 2 4x + 4 Να αοδείξετε ότι ο αριθµός ρ = 1 είναι ρίζα του ολυωνύµου i Να βρείτε το ηλίκο της διαίρεσης του ολυωνύµου Ρ(x) µε το ολυώνυµο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Έστω ΑΒΓ ένα ορθογώνιο τρίγωνο Είναι γνωστό ότι: ( ΑΒ) ηµ Γ= ( ΒΓ ) ( ΑΓ) συν Γ= ( ΒΓ ) ( ΑΒ) εφ Γ= ( ΑΓ ) ( ΑΓ)

Διαβάστε περισσότερα

3.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αηµx + βσυνx

3.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αηµx + βσυνx 1.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αηµx + βσυνx Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Oµάδας 1.i) Να βρείτε την ερίοδο, τη µέγιστη τιµή και την ελάχιστη τιµή της αρακάτω συνάρτησης και στη συνέχεια να την αραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

f(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f.

f(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Θεωρία (σειρές Fourier) Εάν μιά συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το και υάρχει αριθμός λ> τέτοιος ώστε να ισχύει: f(x)f(x+λ), x Τότε η συνάρτηση καλείται εριοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί i Δίνεται ο μιγαδικός και έστω w α. Να ρεθεί ο μιγαδικός w όταν w. Να δείετε ότι w i γ. Αν η εικόνα του κινείται στον κύκλο κέντρου, και ακτίνας και Μ είναι η εικόνα του w στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Ο ρ ι σ μ ο ι. Να δειχτει οτι α + α. Ποτε ισχυει το ισον; Ονομαζουμε ημx την τεταγμενη π/ του Μ (εντονο. Aν μπλε) α, β θετικοι, να συγκρινεται

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ Να διαβάσετε τις σελίδες 8-1 του σχολικού βιβλίου. Να ροσέξετε ιδιαίτερα τα σχήµατα 1.1, 1.3 και 1.4 καθώς και τους ορισµούς της αρχικής φάσης και της φάσης της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύου «Σωστό - Λάθος». * Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ. * Αν = α + βi και αβ 0, τότε = α β i. Σ Λ. * Αν = κ + λi κ, λ R, τότε Re () =

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ)

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ) Ελευθέρις Πρωταάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ) Να βρείτε την τιµή των αραστάσεων: o o συν 90 + ηµ 0 -σφ75 α) A =, ηµ o o 0 + συν 80

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου. Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών

Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών ΜΕΡΟΣ Β. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ 491. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών 8 Μ(x,y) 6 ρ 4 180-ω -10-5 5 Ο ω - -4 Οι παραπληρωματικές

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

3.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Ασκσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 88-89 A Oµάδας 1.i) Να λύσετε την εξίσωση ηµx = 0 ηµx = 0 ηµx = ηµ0 x = k + 0 x = k + 0, k Z Σηµείωση: Οι λύσεις αυτές διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 6ος 1η ΕΚΔΟΣΗ

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 6ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 6ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανειστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παασταυρίδης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ορίζω: Ορίζω: ηµω= y ρ. x x

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ορίζω: Ορίζω: ηµω= y ρ. x x 1 ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΑ [1].Τυολόγιο τριγνοµετρίας (Εαναλήψεις) α. Τριγνοµετρικοί αριθµοί σε ορθογώνιο τρίγνο αέναντι Γ Α β υοτείνουσα α γ ροσκείµενη ρίζ: β. Τριγνοµετρικοί αριθµοί σε σύστηµα συντεταγµένν ηµβ=

Διαβάστε περισσότερα

Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν

Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 16950 16954

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λσκείοσ. Τριγωμομετρία. Στέλιος Μιταήλογλοσ. Εσάγγελος Τόλης

Άλγεβρα Β Λσκείοσ. Τριγωμομετρία.  Στέλιος Μιταήλογλοσ. Εσάγγελος Τόλης Άλγεβρα Β Λσκείοσ Τριγωμομετρία Στέλιος Μιταήλογλοσ Εσάγγελος Τόλης www.askisopolis.gr 1. ΤΙΓΩΝΟΜΕΤΙ 1.1. ΒΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΤΙΓΩΝΟΜΕΤΙ Οι αρακάτω έννοιες ου θα αναφέρουµε συµεριλαµβάνονται στη διδακτέα

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση. Ενότητα 4 Τριγωνομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Διαβάστε περισσότερα

α) Αν ονομάσουμε x το πλάτος του Νείλου στην συγκεκριμένη θέση ΑΒ έχουμε: Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εφ45 o = 1 = ΒΓ = x

α) Αν ονομάσουμε x το πλάτος του Νείλου στην συγκεκριμένη θέση ΑΒ έχουμε: Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εφ45 o = 1 = ΒΓ = x ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αιγύτιοι μηχανικοί, για να ροσδιορίσουν το λάτος του οταμού Νείλου μεταξύ δύο σημείων A και B, ροσδιόρισαν με το θεοδόλιχο μια διεύθυνση κάθετη ρος την

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου. Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2017

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2017 Πανελλαδικές Εξετάσεις 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού 9/6/7 ΘΕΜΑ Α Προτεινόμενες λύσεις Α. Έστω, Δ, με

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ολοκληρώνοντας το 1 ο κεφάλαιο στα Μαθηματικά της Γενικής Παιδείας

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων 22 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Κλίση ευθείας Όλοι έχουμε στο δρόμο τα παρακάτω σήματα, που από την εμπειρία μας καταλαβαίνουμε ότι πλησιάζουμε σε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

επιπεδη τριγωνομετρια

επιπεδη τριγωνομετρια ειεδη τριγωνομετρια ο μερος Ш τακης τσακαλακος ... Θυμηθηκα τα αλια. Μια ροσεγγιση σε θεματα Τριγωνομετριας, σαφως ε ηρεασμενος α'τους Δασκαλους μου (Συρο Κανελλο -Παναγιωτη Μαγειρα). Πιστευω να ειναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3 Βασικά σύνολα αριθμών -Σύνολο φυσικών: Ν = {0,., } ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ -Σύνολο ακεραίων: Ζ= { -.-.0.,, } Συμβολίζουμε με ν=κ και τους άρτιους και τους περιττούς αντίστοιχα. * -Σύνολο ρητών: Q =, Z &

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος. Λύσεις των ασκήσεων

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος. Λύσεις των ασκήσεων ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ Μαθηματικά Β μέρος Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σουδών και Σουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Λύσεις των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 6 Αό τα κάτωθι Θέµατα καλείσθε να λύσετε το ο ου εριλαµβάνει ερωτήµατα αό όλη την ύλη του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0

Διαβάστε περισσότερα

Α=5 m ω=314 rad/sec=100π rad/sec

Α=5 m ω=314 rad/sec=100π rad/sec ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1. Ασκήσεις με τα χαρακτηριστικά της κίνησης. Μικρές ασκήσεις ου αναφέρονται στους ορισμούς της εριόδου, της συχνότητας, του λάτους και της ενέργειας της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

Εξετάσεις 9 Ιουνίου Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Εξετάσεις 9 Ιουνίου Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Εξετάσεις 9 Ιουνίου 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου (Θετικών Σουδών και Σουδών Οικονομίας-Πληροφορικής) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ: 777 59 ΑΡΤΑΚΗΣ - Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ:

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου Ζήτηµα ο Α. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x του εδίου ορισµού της να γραφεί η εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης της f

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΛΙΚΥ ΒΙΒΛΙΥ Σχολικό βιβλίο: Απαντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΜΑΔΑΣ Έχουμε: = 4 i = 6 = + = + = = Άρα, η λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 5- ΛΥΣΕΙΣ Οι ασκήσεις της Εργασίας αυτής βασίζονται στην ύλη των Ενοτήτων 9 του συγγράµατος «Λογισµός Μιας Μεταβλητής»

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας,

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. Η ροσέγγιση συναρτήσεων µέσω ολυωνύµων, την οοία µελετήσαµε στην ροηγούµενη Ενότητα, αρά την αοτελεσµατικότητα και την, σχετική, αλότητά της, αοδεικνύεται ανεαρκής για την εριγραφή/ροσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

Γ 2 κριτ.οµοιοτ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΥΣΚΟΛΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ / ΤΑΞΗ : Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ «Θέµατα Β»

Γ 2 κριτ.οµοιοτ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΥΣΚΟΛΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ / ΤΑΞΗ : Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ «Θέµατα Β» ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΥΣΚΟΛΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ «Θέµατα Β» Άσκηση GI_V_GEO 899 [Παράγραφος 8.] Στο αρακάτω σχήµα τα τµήµατα ΑΕ και Β τέµνονται στο Γ. Να αοδείξετε ότι τα τρίγωνα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Κεφάλαιο 2 ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Σε προηγούμενες τάξεις γνωρίσαμε την έννοια της συνάρτησης και μελετήσαμε ορισμένες βασικές συναρτήσεις. Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε στη γενική τους μορφή ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Πώς ; ΣΤ)""Τριγωνομετρία. Ι. Πίνακας βασικών τριγωνοµετρικών γωνιών. π 4 rad 60 ο ή. π 6 rad 45 ο ή εν ορ-ζεται. ΙΙ. Τύποι της Τριγωνοµετρίας.

Πώς ; ΣΤ)Τριγωνομετρία. Ι. Πίνακας βασικών τριγωνοµετρικών γωνιών. π 4 rad 60 ο ή. π 6 rad 45 ο ή εν ορ-ζεται. ΙΙ. Τύποι της Τριγωνοµετρίας. ΣΤ)""Τριγωνομετρία. Ι. Πίνακας βασικών τριγωνοµετρικών γωνιών. Γωνία Τριγωνοµετρικός αριθµός o ή rad o ή 6 rad 45 ο ή 4 rad 6 ο ή rad 9 ο ή rad ημ (ημίτονο) συν (συνημίτονο) εφ (εφατομένη) +εν ορ-ζεται

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: ημ χ+συν χ= ημ χ=-συν χ συν χ=- ημ χ εφχ + σφ χ = εφχ ημχ συνχ = σφχ = ημ χ εφχσφχ σφχ = = συνχ ημχ + εφ χ = συν χ Γωνία χ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ Λύσεις θεμάτων ροσομοίωσης- ο /7 ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ, ΜΑΡΤΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Ααντήσεις Ειμέλεια: Ομάδα Μαθηματικών http://www.othisi.gr ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Παρασκευή, 9 Ιουνίου 7 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ

Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Κ Κ α α ι ι τ τ ο ο Λ Λ υ υ σ σ α α ρ ρ ι ι............ Α Α λ λ λ λ ι ι ω ς ς!!!!!! Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Ε ι μ ε λ ε ι α Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς w w w. d r

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ελευθέριος Πρωτοαάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ ίνεται η συνάρτηση f µε f() = 5 4 +α, όου α R και το είναι ρίζα της εξίσωσης f() =. α) Να βρείτε το α R. β) Να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

4. ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

4. ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ι ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Περιοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού το Α ονομάζεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος ώστε: για κάθε A να ισχύει T A και T A, ισχύει f

Διαβάστε περισσότερα

ΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας

ΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας Πρόβλημα 15. Για κάθε μια αό τις ακόλουθες αρχικές τιμές θερμοκρασίας i) να βρεθεί η λύση στην μορφή μια σειράς Fourier της εξίσωσης της θερμότητας με εριοδικές συνοριακές συνθήκες u t = u x x < x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 12. = e dt. Να αποδείξετε ότι: ΛΥΣΗ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 12. = e dt. Να αποδείξετε ότι: ΛΥΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α) Να αοδείξετε ότι: α) Η συνάρτηση f() = ln, [,] αντιστρέφεται και να ορίσετε την f. β) ln d + d =. Β) Δίνεται η συνάρτηση α) h() h(), για κάθε [, + ). = d. Να αοδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Ζανταρίδης. Χρήσιμες γνώσεις Τριγωνομετρίας. Λυμένες Ασκήσεις. Προτεινόμενες Ασκήσεις

Νίκος Ζανταρίδης. Χρήσιμες γνώσεις Τριγωνομετρίας. Λυμένες Ασκήσεις. Προτεινόμενες Ασκήσεις Νίκος Ζανταρίδης ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Χρήσιμες γνώσεις Τριγωνομετρίας Λυμένες Ασκήσεις Προτεινόμενες Ασκήσεις Αύγουστος 04 Πρόλογος Στο μικρό αρόν όνημα καταβλήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 2ος

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 2ος Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παπασταυρίδης Στάυρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα