ΑΝΑΠΤΥΓΜA ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

Transcript

1 Σεραφείµ Καραµογιάς 5. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Περιγράψουµε τον τρόο ανάτυξης σε σειρά Fourir ενός εριοδικού σήµατος διακριτού χρόνου. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourir ενός µη εριοδικού σήµατος διακριτού χρόνου, ο οοίος αρέχει τη δυνατότητα µετάβασης αό το εδίο του χρόνου στο εδίο της συχνότητας. ώσουµε τη φυσική σηµασία του ανατύγµατος σε σειρά Fourir και του µετασχηµατισµού Fourir διακριτού χρόνου. Εφαρµόσουµε το αραάνω ανάτυγµα/µετασχηµατισµό σε εριτώσεις βασικών σηµάτων διακριτού χρόνου.

2 Σεραφείµ Καραµογιάς Θα αναφέρουµε τις ιδιότητες του µετασχηµατισµού Fourir διακριτού χρόνου. Υολογίσουµε το µετασχηµατισµό Fourir µερικών βασικών συναρτήσεων. Θα εριγράψουµε τη λειτουργία της δειγµατοληψίας. Θα ορίσουµε το διακριτό µετασχηµατισµό Fourir και θα αναφέρουµε τις. ιδιότητές του. Θα εριγράψουµε τον ταχύ µετασχηµατισµό Fourir. Θααναφέρουµεσηµαντικέςεφαρµογέςτουµετασχηµατισµού Fourir. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-

3 Σεραφείµ Καραµογιάς ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ -ΣΕΙRA FOURIER Υάρχουν Ν το λήθος διαφορετικά µιγαδικά εκθετικά σήµατα διακριτού χρόνου τα οοίασχηµατίζουνέναορθογώνιοσύνολο, δηλαδή, είναιανάδύοορθογώνια. Τα εριοδικά σήµατα διακριτού χρόνου αριστάνονται µε εερασµένα αθροίσµατα. a k k Ω Ω, k m m Ω, k m) δ k ), k m m ) k k a k k ) εξίσωση σύνθεσης εξίσωση ανάλυσης Το ζεύγος των εξισώσεων αυτών ορίζουν τη σειρά Fourir διακριτού χρόνου discrt tim Fourir sris DTFS)) του εριοδικού σήµατος διακριτού χρόνου ). Οι συντελεστέc a k καλούνταισυντελεστές Fourirήόωςθαδούµεφασµατικέςγραµµές. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-3

4 Σεραφείµ Καραµογιάς Παράδειγµα Ναβρεθείηαράστασησεσειρά Fourirτουσήµατοςδιακριτούχρόνου ) siω ) Αάντηση ) ΤοσήµαείναιεριοδικόµεθεµελιώδηερίοδοΝκαιΩ /. + και a k a k k, ±, ±, ) Αν /Ω /m, δηλαδή, ρητόςαριθµός, τότεω m)/. Υοθέτουµεότιτα mκαι Ν δενέχουνκοινόαράγονταέτσιτο ) έχειθεµελιώδηερίοδοίσηµεν. a m, a m και a k για την υόλοιη ερίοδο 3) Όταν το σήµα είναι µη εριοδικό δεν ανατύσσεται σε σειρά Fourir διακριτού χρόνου. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-

5 Σεραφείµ Καραµογιάς Παράδειγµα Να βρεθεί η αράσταση σε σειρά Fourir διακριτού χρόνου του εριοδικού ορθογώνιου κύµατος ),, < < Αάντηση a k si [ k ) ] + si k ) k,,, ή k, ±, ±, ak + k, ±, ±, Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-5

6 Σεραφείµ Καραµογιάς a a Περιβάλλουσα a a a a Το εριοδικό ορθογώνιο κύµα και το γινόµενο των συντελεστών της σειράς Fourir διακριτού χρόνου εί το λήθοςτωνδειγµάτων τουεριοδικούορθογώνιουκύµατοςγια και, και. Η συνάρτηση si [+ ) Ω / ) ] si Ω / ) είναι η εριβάλλουσα των συντελεστών της σειράς Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-6

7 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ) Ω) dω Ω Ω) ) Ω Σεραφείµ Καραµογιάς Οι εξισώσεις σύνθεσης και ανάλυσης για το µετασχηµατισµό Fourir διακριτού χρόνου discrt tim Fourir trasform DTFT)) εξίσωση σύνθεσης εξίσωση ανάλυσης Η εξισώση εκφράζει την ανάλυση του σήµατος διακριτού χρόνου ) σε εκθετικά σήµατα Ω τα οοία εκτείνονται σε ένα συνεχές φάσµα κυκλικών συχνοτήτων Ω εριορισµένο στο διάστηµα Ω <. Η συνάρτηση Ω) είναι ο µετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου συχνά αναφέρεται και ως φάσµα του ) γιατί εριέχει την ληροφορία ως το ) συντίθεται αό εκθετικά σήµατα διαφορετικών συχνοτήτων. Τοφασµατικόεριεχόµενοστοαειροστόδιάστηµασυχνοτήτων [Ω, Ω + dω] είναι Ω) και η συνεισφορά των συχνοτήτων [Ω, Ω + dω] έχει λάτος Ω)dΩ/). Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-7

8 Σεραφείµ Καραµογιάς Ο µετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου έχει δύο διαφορές αό το µετασχηµατισµό Fourir συνεχούς χρόνου οι οοίες οφείλονται στο γεγονός ότι τα εκθετικά σήµατα διακριτού χρόνου είναι εριοδικά µε ερίοδο. Ο Ω) είναι εριοδικός ενώ ο ω) όχι. Έτσι το ολοκλήρωµα στην εξίσωση σύνθεσης έχει εερασµένο διάστηµα ολοκλήρωσης. Στην ερίτωση του συνεχούς χρόνου, οι χαµηλές συχνότητες εριγράφονται αό διαστήµατα µικρού εύρους κεντραρισµένα στην αρχή των συντεταγµένων, ενώ οι υψηλές συχνότητες είναι τοοθετηµένες µακριά αό την αρχή των αξόνων ρος τα αριστερά ή ρος τα δεξιά του άξονα συχνοτήτων. Στην ερίτωση του διακριτού χρόνου η εριοδικότητα του µετασχηµατισµού Fourir ειβάλλει µία διαφορετική εικόνα. Οι χαµηλές συχνότητες αντιστοιχούν µε διαστήµατα γύρωαότηθέσηω, ήλόγωτηςεριοδικότηταςγύρωαότιςθέσειςω ± k. Οι υψηλές συχνότητες τοοθετούνται κοντά σε εριοχές όου Ω ± ή Ω ±k + ). Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-8

9 Σεραφείµ Καραµογιάς Στην ερίτωση του διακριτού χρόνου η εριοδικότητα του µετασχηµατισµού Fourir ειβάλλει µία διαφορετική εικόνα. Οι χαµηλές συχνότητες αντιστοιχούν µε διαστήµατα γύρωαότηθέσηω, ήλόγωτηςεριοδικότηταςγύρωαότιςθέσειςω ± k. ) Ω ) 3 3 Ω Οι υψηλές συχνότητες τοοθετούνται κοντά σε εριοχές όου Ω ± ήω ±k + ). ) Ω ) 3 3 Ω Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-9

10 Σεραφείµ Καραµογιάς Παράδειγµα Να υολογιστεί ο µετασχηµατισµός Fourir του αιτιατού εκθετικού σήµατος διακριτού χρόνου Αάντηση ) ) a u ) a < a C Ω) a < a < Ω Ω) a 8 ) 8 < a< + a Ω Ω) + a a Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5- Ω

11 Παράδειγµα Να υολογιστεί ο µετασχηµατισµός Fourir του αιτιατού εκθετικού σήµατος διακριτού χρόνου ) a, a < και α R Σεραφείµ Καραµογιάς Αάντηση Ω) + a a a cos Ω) Ω) ) + a a Ω Ηακολουθία ) a όταν a είναιραγµατικόςαριθµός < καιτοφάσµατης. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-

12 Σεραφείµ Καραµογιάς Παράδειγµα Να υολογιστεί ο µετασχηµατισµός Fourir του τετραγωνικού αλµού διακριτού χρόνου Αάντηση ),, > ) Ω) si[ Ω Ν+ )] si[ Ω ) ] Ω) + + Ω Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-

13 Σεραφείµ Καραµογιάς Παράδειγµα Να υολογιστεί το σήµα διακριτού χρόνου ), του οοίου ο µετασχηµατισµός Fourir διακριτούχρόνουείναιορθογώνιοεριοδικόκύµα. Ω),, Ω < Ω Ω) Ω Αάντηση ) si ) ) Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-3

14 Γραµµικότητα Χρονική µετατόιση Ολίσθηση συχνότητας Άθροισµα ιαµόρφωση Ιδιότητες του ΜF διακριτού χρόνου a ) + b ) a Ω) + b ) Ω ) Ω Ω) DTFT Ω ) Ω ) m m) DTFT DTFT DTFT Ω Ω k Ω) + ) δ Ω k) DTFT ) y ) Ωθ) Y θ ) dθ Σεραφείµ Καραµογιάς Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-

15 Σεραφείµ Καραµογιάς Συνέλιξη Αοδεκάτιση DTFT ) y ) Ω) Y Ω) M ) M ) DTFT ) M Ω k ιαφόριση στο εδίο συχνότητας M k M M ) k k ) DTFT d k dω Ω) k ιαφορά DTFT ) ) Ω) Ω) Παρεµβολή M ) ) MΩ) M Θεώρηµα Parsval E ) DTFT DTFT Ω) E dω Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-5

16 Σεραφείµ Καραµογιάς Μετατροή Σήµατος αό Αναλογικό σε Ψηφιακό Τα ερισσότερα σήµατα ου αρουσιάζουν ρακτικό ενδιαφέρον είναι αναλογικά. Για να εεξεργαστούµε αναλογικά σήµατα µε ψηφιακά µέσα ααιτείται η µετατροή αυτών σε ψηφιακή µορφή, δηλαδή, η µετατροή τους σε ακολουθία αριθµών εερασµένης ακρίβειας. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-6

17 Παλµοκωδική ιαµόρφωση PCM) Σεραφείµ Καραµογιάς Η Παλµοκωδική διαµόρφωση Puls Cod Modulatio PCM)) είναι το αλούστερο σχήµα κωδικοοιήσης κυµατοµορφής. Ένας αλµοκωδικός διαµορφωτής αλµών αοτελείται αό τρία βασικά µέρη: ένα δειγµατολήτη, έναν κβαντιστή και ένα κωδικοοιητή. ΣΥΣΤΗΜΑ PC M ειγµατολήτης Κβαντιστής Κωδικοοιητής t ) ) ) t Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-7

18 Σεραφείµ Καραµογιάς ειγµατοληψία αναλογικών σηµάτων εριορισµένου εύρους-ζώνης a t ) Το σήµα α t) είναι ένα αργά µεταβαλλόµενο σήµα, και το κύριο φασµατικό εριεχόµενό του βρίσκεται στις χαµηλές συχνότητες T S TS T S 3T S T S 5T S 6T S 7T S 8T S t a t ) Το σήµα α t) είναι ένα σήµα µε γρήγορες µεταβολές οι οοίες οφείλονται στην αρουσία συνιστωσών σε υψηλές συχνότητες T S TS T S 3T S T S 5T S 6T S 7T S 8T S t Είναι ροφανές ότι η ερίοδος δειγµατοληψίας για το δεύτερο σήµα ρέει να είναι σηµαντικά µικρότερη. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-8

19 Έστω s ) είναι η ακολουθία η οοία ροέρχεται αό τη δειγµατοληψία του συνηµιτονοειδούςαναλογικούσήµατος α t) A cosωt + θ) µεερίοδοδειγµατοληψίας T s. s ) ω T + θ) A cos ω T + θ) T ) A cos a s ΑνΩ είναιηψηφιακήκυκλικήσυχνότητατότε s ) A cosω + θ). Συγκρίνωνταςτις δύοεκφράσειςτου s )έχουµετιςσχέσειςµεταξύαναλογικώνκαιψηφιακώνσυχνότητων Ω ω T s και s F f f s Σεραφείµ Καραµογιάς Αναλογική και Ψηφιακή συχνότητα Συχνότητα ειγµατοληψίας Παρατηρούµε ότι η συχνότητα F είναι µία κανονικοοιηµέµη ή σχετική συχνότητα. Η αναλογική συχνότητα f έχει µονάδα µέτρησης Hz ή c/sc ενώ η διακριτή F δεν έχει διαστάσεις. Είσης η αναλογική κυκλική συχνότητα ω έχει µονάδα µέτρησης rad/sc ενώ η διακριτή Ω έχει µονάδα µέτρησης rad. Για να ροσδιορίστει η ψηφιακή συχνότητα F όταν δίνεται η αναλογική συχνότητα f ρέει ναείναιγνωστήησυχνότηταδειγµατοληψίας f s. s Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-9

20 Σεραφείµ Καραµογιάς Η αεικόνιση της αείρου εύρους εριοχής αναλογικών συχνοτήτων στην εερασµένου εύρους εριοχή ψηφιακών συχνοτήτων Για τα συνηµιτονοειδή σήµατα συνεχούς χρόνου η εριοχή συχνοτήτων είναι ω< και f < Για τα συνηµιτονοειδή σήµατα διακριτού χρόνου η εριοχή συχνοτήτων είναι Ω< και Παρατηρούµε ότι η συχνότητα του συνηµιτονοειδούς σήµατος το οοίο δειγµατολητούµε ρέει να βρίσκεται στην εριοχή f T s s ω< f s T s και s F < f s f s f < T T s Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-

21 Σεραφείµ Καραµογιάς Η εριοδική δειγµατοληψία ενός αναλογικού σήµατος συνεχούς χρόνου οδηγεί στην αεικόνιση της αείρου εύρους εριοχής των αναλογικών συχνοτήτων στην εερασµένη εύρουςεριοχήψηφιακώνσυχνοτήτων. Η µέγιστη αναλογική συχνότητα ου µορεί να δειγµατολητηθεί µε συχνότητα δειγµατοληψίας f s είναι ω < ma T s και f < ma f s Θεώρηµα δειγµατοληψίας ή Θεώρηµα του Shao Ησυχνότητα f s µετηνοοίαλαµβάνονταιταδείγµαταενόςαναλογικούσήµατος, ρέει να είναι τουλάχιστον διλάσια αό τη υψηλότερη αναλογική συχνότητα f ma ου εριέχεται στο σήµα, δηλαδή, f s f ma Για να µη χαθεί ληροφορία θα ρέει να αίρνουµε τουλάχιστον δύο δείγµατα ανά ερίοδο της µεγαλύτερης συχνότητας του αναλογικού σήµατος. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-

22 Ο συνεχούς χρόνου µετασχηµατισµός Fourir CTFT), a ω), ή το φάσµα ενός αναλογικούσήµατος a t)είναι a + Ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Fourir είναι ω t ω ) t) dt + ω ω t a t) a ) dω s Αντοαναλογικόσήµα a t) δειγµατολητηθείµεερίοδοδειγµατοληψίας T s αράγεταιτο σήµα διακριτού χρόνου. ) a Ts ) Ο µετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου DTFT), s Ω), του σήµατος διακριτού χρόνου s ) είναι Ω) ) s Ω Ο αντίστροφος διακριτού χρόνου µετασχηµατισµός Fourir είναι s ) s Ω) Ω dω Σεραφείµ Καραµογιάς Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-

23 Σεραφείµ Καραµογιάς ειγµατοληψία και ανακατασκευή αναλογικών σηµάτων στο εδίο του χρόνου και στο εδίο συχνοτήτων Ο µετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου s Ω) του δειγµατολητηµένου s ) σήµατος διακριτού χρόνου είναι ένα άθροισµα αντιγράφων του µετασχηµατισµού Fourir a ω) του αρχικού αναλογικού σήµατος a t) µετατοισµένων κατά /T s και ολλαλασιασµένωνείσηςµε /T s, δηλαδή, S Ω) T S k a Ω TS + k TS Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-3

24 Σεραφείµ Καραµογιάς ειγµατοληψία και ανακατασκευή αναλογικών σηµάτων στο εδίο του χρόνου και στο εδίο συχνοτήτων S Ω Ω) a + k TS k TS T S ωts ) S TS k ω+ k TS a ) S f TS a f + T S a t) a ω) ω T a s T s T s Τοαναλογικόσήµα a t). ) s t ω ω Το εριορισµένου εύρους φάσµα του αναλογικού σήµατος ω s Ω) ω s T Οόροςτουφάσµατοςτου δειγµατολητηµένου σήµατος για k T s ω T s ω T s < ω ma Τοδιακριτόσήµα s ). ω s T ω T s Τοφάσµαςτουδειγµατολητηµένουσήµατοςγια f s > f ma ω Το φάσµα του αναλογικού σήµατος διατηρείται στο φάσµα του δειγµατολητηµένου σήµατος εοµένως είναι δυνατή η ακριβής ανακατασκευή του αρχικού αναλογικού σήµατος αό τα δείγµατά του. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-

25 a t) a ω) Σεραφείµ Καραµογιάς ειγµατοληψία και ανακατασκευή αναλογικών σηµάτων στο εδίο του χρόνου και στο εδίο συχνοτήτων ω T a s T s T s Τοαναλογικόσήµα a t). t ω ω Το εριορισµένου εύρους φάσµα του αναλογικού σήµατος ω ω s T Οόροςτουφάσµατοςτου δειγµατολητηµένου σήµατος για k ω T s ω ) s s Ω) T s T s < ω ma Τοδιακριτόσήµα s ). 6 ω ω Ts T s Τοφάσµατουδειγµατολητηµένουσήµατοςγια f s < f ma ω Έχουµε το φαινόµενο της φασµατικής εικάληψης ή του χαµηλού ρυθµού δειγµατοληψίας Το φάσµα του αναλογικού σήµατος δε διατηρείται στο φάσµα του δειγµατολητηµένου σήµατος εοµένως δεν είναι δυνατή η ακριβής ανακατασκευή του αρχικού αναλογικού σήµατος αό τα δείγµατά του. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-5

26 Σεραφείµ Καραµογιάς Με τη βοήθεια ενός ιδανικού χαµηλοερατού φίλτρου µε αόκριση συχνότητας H ) ) F F Π όου B< T S H B F) T S B B F είναι δυνατή η ανάκτηση του αρχικού σήµατος µε τη βοήθεια της ˆ a t) t T T S T ) sic S S Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-6

27 Γραφική ερµηνεία της ανακατασκευής του αναλογικού σήµατος αό τα δείγµατά του a S T ) ) ) t T sic ) sic t ) t ) a Σεραφείµ Καραµογιάς S t ) a T S ) ) t sic T S + ) ) t sic ) ) t + 3 sic 3 a T S T S a T S T S + T S T S 3T S TS 5TS 6TS 7TS 8TS 9TS Παρατηρούµε ότι για t ακέραιο ολλαλάσιο του T s,, ±, ±, µόνο µία sic συνεισφέρειµελάτος a T s ), ενώγια t T s σεινεισφέρουνόλες. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-7

28 ίνεται το αναλογικό σήµα a t) Να υολογιστεί και να σχεδιαστεί ο διακριτός µετασχηµατισµός Fourir του διακριτού σήµατος ) το οοίο ροκύτει αό το αναλογικό σήµαµεδειγµατοληψίαστιςσυχνότητες F 5 δείγµατα/sc και δείγµατα/sc. % Αναλογικόσήµα Dt.5; t -.5:Dt:.5; a p-*abst)); % Μετασχηµατισµός Fourir συνεχούςχρόνου ma *pi*; K 5; k ::K; k*ma/k; a a * p-*t'*) * Dt; a rala); [-fliplr), :5)]; % Συχνότητααό - ma to ma a [fliplra), a:5)]; subplot,,) subplot,,);plott*,a); labl'tσε msc.'); ylabl'at)') titl'aalog Sigal') subplot,,);plot/*pi*),a*); t labl'συχνότητα σε KHz'); ylabl'a)*') titl'μετασχηµατισµός Fourir συνεχούς χρόνου ') S F S % Αναλογικόσήµα Dt.5; t -.5:Dt:.5; a p-*abst)); Σεραφείµ Καραµογιάς % ιακριτόσήµα Ts.; -5::5; p-*abs*ts)); % ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourir K 5; k ::K; w pi*k/k; * p-*'*w); ral); w [-fliplrw), w:k+)]; [fliplr), :K+)]; subplot,,) subplot,,);plott*,a); labl'tσε msc.'); ylabl'at)') titl' ιακρτιτόσήµα'); hold o stm*ts*,); gtt'ts msc'); hold off subplot,,);plotw/pi,); labl'συχνότητα σε KHz'); ylabl'w)') titl ' ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourir') Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-8

29 Σεραφείµ Καραµογιάς a t) a ω) Αναλογικό σήµα tσε msc Συχνότητα σε KHz Μετασχηµατισµός Fourir συνεχούς χρόνου ) S Ω) T S, msc tσε msc Συχνότητα σε µονάδες T S msc ) S Ω) ιακριτό σήµα tσε msc Συχνότητα σε µονάδες Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-9

30 Σεραφείµ Καραµογιάς D/A µετατροείς Zro-ordr-hold ZOH) αρεµβολή Η κρουστική αόκριση του φίλτρου είναι ˆ t) ), T < + ) T a, h t), t S T S αλλιɺ ως S figur); clf % Σήµαδιακριτούχρόνου ) : Ts. Ts.; -5::5; Ts *Ts; p-*absts)); % Ανακατασκευή σήµατος µε ZOH αρεµβολή subplot,,); stairsts*,); labl'tσε msc.'); ylabl'at)') titl'ανακατασκευήσήµατος ) χρησιµοοιώντας ZOH'); hold o stm*ts*,); hold off ˆ t) a Ανακατασκευή σήµατος ) χρησιµοοιώντας ZOH t σε msc. First-ordr-hold FOH) αρεµβολή Η κρουστική αόκριση του φίλτρου είναι t +, t TS TS t h t), TS t TS T S, αλλιώς Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-3

31 Cubic spliαρεµβολή ˆ a t) α ) t T 3 α ) + α ) t T S ) 3, T S a t) Σεραφείµ Καραµογιάς S ) + α ) t T < + ) T S S ) Ανακατασκευή σήµατος αό τα δείγµατά του χρησιµοοιώντας cubic splisαρεµβολή figur); clf Ts.; -5::5; Ts *Ts; p-*absts)); % Ανακατασκευή αναλογικού σήµατος Dt.5; t -.5:Dt:.5; a splits,,t); % Έλεγχος rror maabsa - p-*abst)))) subplot,,); plott*,a); labl't i msc.'); ylabl'at)') titl'ανακατασκευή του σήµατος αό τα δείγµατά του ) χρησιµοοιώντας cubic splisαρεµβολή'); hold o stm*ts*,); hold off Σφάλµα.37 Σφάλµα.679 ˆ t) a ˆ t) a F S F S tσε msc. 5 δείγµατα/sc t σε msc. δείγµατα/sc t σε msc. Ανακατασκευή σήµατος αό τα δείγµατά του χρησιµοοιώντας cubic splisαρεµβολή Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-3

32 Σεραφείµ Καραµογιάς Ανακατασκευή σήµατος αό τα δείγµατά του χρησιµοοιώντας τη συνάρτηση δειγµατολειψίας a t) %Ανακατασκευή σήµατος αό τα δείγµατά του χρησιµοοιώντας τη συνάρτηση sic % % Σήµα διακριτού χρόνου ) Ts.; Fs /Ts; -5::5; Ts *Ts; p-*absts)); % Ανακατασκευή αναλογικού σήµατος Dt.5; t -.5:Dt:.5; a * sicfs*oslgthts),)*tts'*os,lgtht)))); % Έλεγχος rror maabsa - p-*abst)))) subplot,,) subplot,,); plott*,a); labl't i msc.'); ylabl'at)') titl'ανακατασκευήσήµατοςαότα ) χρησιµοοιώνταςτησυνάρτηση sic'); hold o stm*ts*,); hold off Σφάλµα.363 ˆ t) Σφάλµα.85 a ˆ t) a F S 5 δείγµατα/sc t σε msc. δείγµατα/sc t σε msc. F S tσε msc. Ανακατασκευή σήµατος αό τα δείγµατά του χρησιµοοιώντας τη συνάρτηση sic Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-3

33 Σεραφείµ Καραµογιάς a t) a t) tσε msc tσε msc. ˆ t) a ˆ t) a Σφάλµα.37 F S 5 δείγµατα/sc Σφάλµα.363 F S 5 δείγµατα/sc t σε msc. ˆ t) a ˆ t) a t σε msc. Σφάλµα.679 F S δείγµατα/sc Σφάλµα.85 F S δείγµατα/sc t σε msc. Ανακατασκευή σήµατος αό τα δείγµατά του χρησιµοοιώντας cubic splisαρεµβολή t σε msc. Ανακατασκευή σήµατος αό τα δείγµατά του χρησιµοοιώντας τη συνάρτηση sic Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-33

34 Παράδειγµα Σεραφείµ Καραµογιάς Τοαναλογικόσήµα t) cost) δειγµατολητείταιµεερίοδοδειγµατοληψίας T s, sc. δ ω+ ) ω) δ ω ) t) ω ω ω T T 3T t Οµετασχηµατισµός Fourir τουσήµατος t) cos ω t). Τοσήµα t) cos ω t). ω) t) ω ω s ω s ω ω ωs ω s +ω ω s 5 ω T T 3T t Ο µετασχηµατισµός Fourir του δειγµατολητηµένου σήµατος. Το δειγµατολητηµένο σήµα. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-3

35 Παράδειγµα Σεραφείµ Καραµογιάς Τοαναλογικόσήµα t) cost) δειγµατολητείταιµεερίοδοδειγµατοληψίας T s /3 sc. δ ω+ ) ω) δ ω ) t) ω ω ω T T 3T t Οµετασχηµατισµός Fourir τουσήµατος t) cos ω t). Τοσήµα t) cos ω t). ω) t) ω ω s ω s ω ω ω s 3 ω 6 ω +ω s s ω T T 3T t Ο µετασχηµατισµός Fourir του δειγµατολητηµένου σήµατος. Το δειγµατολητηµένο σήµα. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-35

36 ειγµατοληψία στο εδίο συχνότητας αναλογικού σήµατος a kδ f + a a t) F kδf t ) t) dt a f ) + a t) f t Ανδειγµατολητήσουµεοµοιόµορφατοφάσµα a f ) µεερίοδο + T S T dt T S δ f [ ] + t T ) S a Σεραφείµ Καραµογιάς s έχουµε kδf t dt Το σήµα t) t T ) p a s είναι εριοδικό έτσι ανατύσσεται σε σειρά Fourir p + k k f t k δf t t) ck c t) T S T S dt αρατηρούµε ότι c k kδ f ) δ f kδ f ), k, ±, ± T S a a,... εοµένως p + t) a t Ts) k a kδf ) k δf t Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-36

37 Αν a t) για t > τκαιειλέξουµε T s > ττότεδενέχουµεχρονικήαλλοίωσηκαιτο φάσµα του σήµατος a f ) µορείειτυχώςναανακατασκευαστείαόταδείγµατατου a k δf ) µετηβοήθειατηςσχέσης: a f ) + k a kδ f )sic [ f kδ f) ] Τοαιτιατόεκθετικόσήµασυνεχούςχρόνου α t) -at ut)έχειµετασχηµατισµό Fourir a f ) a+ δ f f Ανδειγµατολητήσουµεοµοιόµορφατοφάσµα a f ) µεερίοδο T s θαέχουµε t) a f) a a Σεραφείµ Καραµογιάς Το αιτιατό εκθετικό σήµα t). t a Το λάτος του MF του σήµατος t). Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-37 a f

38 p t) a t) p + t) t T ) a s Σεραφείµ Καραµογιάς T s p t) 3 t T s a t) 3 t p t) 3 t T s a t) 3 t p t) 3 t T s a t) 3 t 3 t 3 t Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-38

39 ειγµατοληψία στο εδίο συχνότητας διακριτού σήµατος ) F ) + F ) F Ανδειγµατολητήσουµεοµοιόµορφατοφάσµα Ω) σενσηµείαστοδιάστηµα Ω<, δηλαδή, δω /Νέχουµεγια k,,,, [ ] + l) l + k ) k Σεραφείµ Καραµογιάς k Το σήµα l ) l) p είναι εριοδικό έτσι ανατύσσεται σε σειρά Fourir αρατηρούµε ότι p ) c p k ) k c l k k l) c k k ),, ±,,... k ± a k p ) εοµένως k k Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-39

40 Σεραφείµ Καραµογιάς Μορούµελοιόνναανακατασκευάσουµετοσήµα ) αότοσήµα p )ως ή όουr ) ) ) ) για ) p p R ) είναι ένα τετραγωνικό αράθυρο µήκους p ), -, αλλιώς R ),, - αλλιώς Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-

41 Εφαρµογή Σεραφείµ Καραµογιάς Έστω ),7 u). ΝαδειγµατολητηθείοΩ) σε 5,, και ισαέχοντασηµεία στοδιάστηµα Ω<. Ναανακατασκευαστείαόταδείγµατα βρεθείτοσήµα p ) R ).Ποιεςείναιοιαρατηρήσειςσας; k) Ν τοσήµα p ). Να Γνωρίζουµε ότι ο µετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου του σήµατος ) είναι Ω),7 Ω Ω,7 % Υολογίζονταιτα ισαέχονταδείγµατατου Ω) τουσήµατος ). 5; k ::-; wk *pi*k/; zk p*wk); k zk)./zk-.7); % Προσδιορίζεταιτοεριοδικόσήµα p ) αότα δείγµατα k) µε IDFS ralidfsk,)); tild '* os,8); tild tild:))'; subplot,,); stm:39,tild) ais[,,-.,.5]) Ω Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-

42 ΤοτετραγωνικόαράθυροR 5 ) Σεραφείµ Καραµογιάς 3 Η εριοδική ακολουθία ) η οοία βρίσκεται αό 5 δείγµατατου z)µε IDFS. 3 Τοσήµα ) R 5 ) ). ΤοτετραγωνικόαράθυροR ) 3 Η εριοδική ακολουθία ) η οοία βρίσκεται αό δείγµατατου z)µε IDFS. ΤοτετραγωνικόαράθυροR ) 3 Τοσήµα ) R ) ). 3 Η εριοδική ακολουθία ) η οοία βρίσκεται αό δείγµατατου z)µε IDFS. 3 Τοσήµα ) R ) ). Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-

43 ίνεται το σήµα ) Να υολογιστεί ο µετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου και να γίνουν οι γραφικές αραστάσεις του µέτρου και της φάσης. Να βρεθεί ο DFT - σηµείων του )., 3 ), αλλιώς [,,,,zros,-)]; w [::5]**pi/5; [] frqz,,w); mag abs); pha agl); [,,,,zros,-)]; dft,); mag abs); pha agl)*8/pi Σεραφείµ Καραµογιάς Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-3

44 Ο ΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Ο µετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου είναι συνεχής εριοδική συνάρτηση µε ερίοδο. Για να εεξεργαστούµε το µετασχηµατισµό Fourir µε ψηφιακά µέσα ααιτείται η µετατροή του σε ακολουθία αριθµών εερασµένης ακρίβειας. Θα ρέει λοιόν να δειγµατολητηθεί κατάλληλα ο µετασχηµατισµός Fourir έτσι ώστε να είναι δυνατή η ανακατασκευή του αό τα δείγµατά του. ίνεται η εερασµένου µήκους ακολουθία ), δηλαδή, η ) για. Ο µετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου της ακολουθίας ) όως είναι γνωστό είναι Ω) ) Ω, Ω < Σεραφείµ Καραµογιάς Εάν δειγµατολητήσουµε τη συνεχή συνάρτηση Ω) σε M διακριτές κυκλικές συχνότητες ου είναιολλαλάσιεςτηςω s στοδιάστηµα Ω< αίρνουµεταδείγµατα M k) Ω) Ω kωs ) kω s, k,,..., M Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-

45 Σεραφείµ Καραµογιάς Οαριθµόςτωνδειγµάτωνουθαληφθούνθαρέειναείναικατάλληλοςέτσιώστεαφενόςνα είναι δυνατή η ανάκτηση του µετασχηµατισµού Fourir διακριτού χρόνου για κάθε τιµή της κυκλικής συχνότητας Ω αφετέρου να µην αυξηθούν η ααιτούµενη µνήµη και η ταχύτητα εεξεργασίας. Το θεώρηµα δειγµατοληψίας στο εδίο συχνοτήτων αναφέρει ότι ο µετασχηµατισµός Fourir διακριτούχρόνουµορείναανακτηθείαόταδείγµατάτου M k), k,,..., M- αρκεί τοσήµαδιακριτούχρόνου ) ναείναιεερασµένηςδιάρκειας καιναισχύει M. στην ερίτωσηαυτήισχύειησυνθήκη yquist, δηλαδή, Για την οριακή ερίτωση όου συχνότητες Ω k k Ω s k Ω s Fourir Disctt Fourir Trasform, DFT) τηςακολουθίας ). Ω s, δηλαδή, όταν ο Ω) δειγµατολητείται στις, k,,..., - έχουµε το διακριτό µετασχηµατισµό k) ) Ω) k k k ), k,,..., Ω k Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-5

46 Σεραφείµ Καραµογιάς Αοδεικνύεται ότι µορούµε να ανακατασκευάσουµε την ακολουθία ) αό τα δείγµατα k) τουµετασχηµατισµού Fourirδιακριτούχρόνουµετην ) k) k,,,..., Ηεξίσωσηαυτήαοτελείτοναντίστροφοδιακριτόµετασχηµατισµό Fourir ivrs DFT, IDFT). Οι δύο τελευταίες εξισώσεις αοτελούν του ζεύγος διακριτού µετασχηµατισµού Fourir - σηµείων. Οιακολουθίες ) και Ν k) έχουνίδιοµήκος καιείναιεριοδικέςµεερίοδο. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-6

47 Παράδειγµα ίνεταιη-σηµείωνακολουθία ), 3 ), αλλιώς Να βρεθεί ο µετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου Ω) και να γίνει η γραφική αράσταση του µέτρου του σε συνάρτηση µε τη κυκλική συχνότητα Ω. Να βρεθεί ο διακριτός µετασχηµατισµός Fourir -σηµείων της ακολουθίας ). Αάντηση Ο µετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου της ακολουθίας είναι siω) 3Ω Ω) si Ω / ) Ο διακριτός µετασχηµατισµός Fourir -σηµείων της ακολουθίας ) είναι Ω) k ) {,,, } k ) Σεραφείµ Καραµογιάς Ω 3 k Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-7

48 Κυκλική ανάκλαση ακολουθίας Η κυκλική ανάκλαση µιας ακολουθίας µορεί να αρασταθεί µε τη βοήθεια των υολοίων modulo) ως -)) όουοσυµβολισµός m)) διαβάζεταιως m modulo καισηµαίνειτουόλοιοτηςδιαίρεσηςτου mδιατου καιείναι ) )) ), ), Σεραφείµ Καραµογιάς 5 5 H ακολουθία -σηµείων ) a όου και < a < ) 5 5 η ανάκλασή της η οοία δεν είναι ακολουθία -σηµείων )) 5 5 ηκυκλικήανάκλασή της η οοία είναι ακολουθία -σηµείων. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-8

49 Κυκλική ολίσθηση ακολουθίαc Σεραφείµ Καραµογιάς Η εριοδική εέκταση ανά δείγµατα της εερασµένου µήκους ακολουθίας ) ου έχει δείγµατα στο διάστηµα,,,..., - είναι η εριοδική ακολουθία ) ~ ) k k) Hακολουθία -σηµείων ) a όου και < a < ~ ) )) Η εριοδική εέκταση ανά δείγµατα της εερασµένου µήκους ακολουθίας ) Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-9

50 Σεραφείµ Καραµογιάς Η ολίσθηση µετατόιση) της εριοδικής ακολουθίας ) κατά m δείγµατα ρος τα δεξιά δίνει την είσης εριοδική ακολουθία m). ~ m) k m k) ~ ) )) Η εριοδική εέκταση ανά δείγµατα της εερασµένου µήκους ακολουθίας ) ~ 3) Η γραµµική ολίσθηση κατά 3 δείγµατα ρος τα αριστερά της εριοδικής εέκτασης ανά δείγµατα της ακολουθίας ). Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-5

51 Σεραφείµ Καραµογιάς Η εερασµένου µήκους ακολουθία ~ ~ m), m) R ), αλλιώς όου R ) είναιτοορθογώνιοαράθυροµήκους, δηλαδή, R, ), αλλιώς αοτελείτηνκυκλικήολίσθηση M-σηµείωντηςακολουθίας ). ~ 3) R ) Η γραµµική ολίσθηση κατά 3 δείγµατα ρος τα αριστερά της εριοδικής εέκτασης ανά δείγµατα της ακολουθίας ). Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-5

52 Σεραφείµ Καραµογιάς Η εερασµένου µήκους ακολουθία ~ ~ m), m) R ), αλλιώς όου R ) είναιτοορθογώνιοαράθυροµήκους, δηλαδή, R, ), αλλιώς αοτελείτηνκυκλικήολίσθηση M-σηµείωντηςακολουθίας ). 3)) R ) Η κυκλικά ολισθηµένη ακολουθία κατά 3 δείγµατα ρος τα αριστερά. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-5

53 Κυκλική συνέλιξη Σεραφείµ Καραµογιάς Ηκυκλικήσυνέλιξηδύοακολουθιών ) και ),,, - ορίζεταιαότησχέση y ) ) ) m) m)), m Ηκυκλικήσυνέλιξη y) έχειτηνίδιαµορφήµετηγραµµικήσυνέλιξηέχειόµωςµήκος, όσοδηλαδήκαιτοµήκοςκαθεµιάςαότιςαρχικέςακολουθίες, καιόχιµήκος - όως συµβαίνει στην ερίτωση της γραµµικής συνέλιξης των δύο αυτών ακολουθιών. Η κυκλική συνέλιξη ονοµάζεται είσης και κυκλική συνέλιξη Ν-σηµείων. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-53

54 Σεραφείµ Καραµογιάς Τα βήµατα για τον υολογισµό της κυκλικής συνέλιξης δύο ακολουθιών είναι. κυκλικήανάκλαση κατοτρισµός) τηςµιαςακολουθίας,. κυκλικήολίσθηση µετατόιση) τηςκατοτρικήςακολουθίας, 3. ολλαλασιασµός της µετατοισµένης κατοτρικής ακολουθίας µε τη άλλη ακολουθία σηµείο ρος σηµείο και. άθροισητωνγινοµένων. Τα βήµατα αυτά εαναλαµβάνονται. Παράδειγµα Να ροσδιοριστεί η κυκλική συνέλιξη -σηµείων για τις ακολουθίες ) {3,,} ) {,,3, } Αάντηση y ) {,,, } Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-5

55 Σεραφείµ Καραµογιάς Ιδιότητες του διακριτού µετασχηµατισµού Fourir Μερικές ιδιότητες του διακριτού µετασχηµατισµού Fourir είναι ανάλογες µε τις αντίστοιχεςιδιότητεςτουµετασχηµατισµού Fourirδιακριτούχρόνου. Υάρχουν όµως και διαφορετικές ιδιότητες οι οοίες οφείλονται στο εερασµένο µήκος ου έχουν τόσο όσο οι ακολουθίες όσο και ο διακριτός µετασχηµατισµός Fourir τους Γραµµικότητα Κυκλική ολίσθηση στο χρόνο Κυκλική ολίσθηση στη συχνότητα Κυκλική συνέλιξη a ) + b ) a k) + b k) )) k k k) ) k k )) ) y ) k) k) Πολλαλασιασµός Θεώρηµα Parsval Η οσότητα k ) E ) ) k ) k ) ) E k) k ονοµάζεται φασµατική υκνότητα ενέργειας της ακολουθίας εερασµένηςδιάρκειας. Γιαεριοδικήακολουθίαονοµάζεταιφασµατικήυκνότηταισχύος. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-55

56 Σεραφείµ Καραµογιάς Παράδειγµα Με τη βοήθεια της ιδιότητας της κυκλικής συνέλιξης να υολογιστεί η κυκλική συνέλιξη - σηµείων των ακολουθιών Λύση k) ) k DFT ) [3,,] ) [,,3, ] ) {3,,, } k) [6, DFT,, + ] ) {,,3, } k) [, +,, ] k k) k) ) k [ ] 6,,, [ ],,, 3 [ 6, 8,, 8] ) k k) k ) [,,, ] Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-56

57 Σεραφείµ Καραµογιάς Η γραµµική συνέλιξη µε τη βοήθεια του διακριτού µετασχηµατισµού Fourir ) h ) ) H Ω) Ω k ) h ) ) k) h k y k) Y Ω) H Ω) Ω) y ) h ) ) F Ανηεισόδουείναι ακολουθία -σηµείωνκαιηκρουστικήαόκρισηείναιακολουθία - σηµείωντότεηέξοδοςτουσυστήµατοςείναιακολουθία + - )-σηµείων. Οιακολουθίες ) και h) σχηµατίζονταιαότιςακολουθίες ) και h ) ροσθέτοντας στοιχείαµηδενικής τιµήςσεκάθεµίααόαυτές, έτσιώστετοµήκοςτουςναγίνειίσοµε +. k) H k) y ) h ) ) H k) k) F Η κυκλική συνέλιξη των ακολουθιών ) και h) είναι ισοδύναµη µε τη γραµµική συνέλιξητωνακολουθιών ) και h ). Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-57

58 Σεραφείµ Καραµογιάς Παράδειγµα ΗκρουστικήαόκρισηενόςΓΧΑσυστήµατοςείναι h ) [3,, ]. Μετηβοήθειατου διακριτού µετασχηµατισµού Fourir να υολογίσετε την έξοδο του συστήµατος όταν η είσοδοςείναιτοσήµα ) [,, 3, ]. Αάντηση y ) [3,8,,,, ] Παρατηρήσεις Αν ροσδιορίσουµε την έξοδο του συστήµατος χρησιµοοιώντας κυκλική συνέλιξη 5- σηµείων ροσδιορίζεται η ακολουθία [7, 8,,, ]. Η ακολουθία αυτή έχει ροέλθει αό την [3, 8,,,,]µεαναδίλωσητουστοιχείου, δηλαδή, [7, 8,,, ] [3+, 8,,, ]. Αν ροσδιορίσουµε την έξοδο του συστήµατος χρησιµοοιώντας κυκλική συνέλιξη - σηµείων ροσδιορίζεται η ακολουθία [,,, ]. Η ακολουθία αυτή έχει ροέλθει αό την [3, 8,,,, ]µεαναδίλωσητωνστοιχείων και, δηλαδή, [,,, ] [3+, 8+,, ]. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-58

59 Ο διακριτός µετασχηµατισµός Fourir σε µορφή ινάκων [ ],,,, ) ) DFT ) k k k Αν εφαρµόσουµε την εξίσωση ανάλυσης του διακριτού µετασχηµατισµού Fourir για k,,,..., - έχουµετιςεξισώσεις ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ήµεµορφήινάκων ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Σεραφείµ Καραµογιάς Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-59

60 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ήµετηµορφήινάκων Σεραφείµ Καραµογιάς Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-6 αν είναιη οστη ρίζατηςµονάδαςτότε [ ],,,, ) ) DFT ) k t k k ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) και

61 ήµετηµορφήινάκων Σεραφείµ Καραµογιάς Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-6 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) [ ] k k k ) ) ),, Ο ίνακας δίνεται αό τη σχέση ο ίνακας είναι ένας τετραγωνικός ίνακας και ονοµάζεται ίνακας DFΤ

62 Σεραφείµ Καραµογιάς ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) k ) ) ) ) ) ) ) Η τελευταία σχέση ραγµατοοιείται µε τη βοήθεια του MATLAB χρησιµοοιώντας γινόµενο ίνακα εί διάνυσµα * p - * pi / M ) ). ^ * k ) ; >> ::; >> k ::; >> '*k as Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-6

63 Ο διακριτός µετασχηµατισµός Fourir σε µορφή ινάκων [ ] ) ) IDFT ) k k k k Αν εφαρµόσουµε την εξίσωση σύνθεσης του διακριτού µετασχηµατισµού Fourir για,,,..., - έχουµε Σεραφείµ Καραµογιάς Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-63 * ή ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ), ) k k k

64 Ταχύς µετασχηµατισµός Fourir Σεραφείµ Καραµογιάς Ο ίνακας ο οοίος χρησιµοοιείται κατά τον υολογισµό του διακριτού µετασχηµατισµού Fourir είναι συµµετρικός. Αξιοοιώντας τη συµµετρία και τη εριοδικότητα των τιµών του ίνακα καταλήγουµε σε µεθόδους υολογισµού του διακριτού µετασχηµατισµού Fourir µε αρκετά λιγότερες ράξεις. Έχουν ανατυχθεί ένα λήθος αό διαφορετικούς αλγόριθµους ου ειτυγχάνουν το σκοό αυτό. Οιδιαφορέςτουςβρίσκονταιστολήθοςκαιτοείδοςτωνράξεωνκαθώςκαιστο µέγεθος της ααιτούµενης µνήµης. Θα αναφέρουµε τον αλγόριθµο των Cooly-Tuky, ο οοίο ροτάθηκε το 965. Οαλγόριθµοςαυτόςµορείναεφαρµοστείσεακολουθίες -σηµείων. Με το αράδειγµα ου ακολουθεί θα αρουσιαστεί η δυνατότητα εριορισµού των ααιτούµενων ράξεων λόγω των ιδιοτήτων της συµµετρίας και της εριοδικότητας ου αρουσιάζει ο ίνακας. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-6

65 3) ) ) ) 3) ) ) ) ) ) ) ) 3) ) ) ) Εειδή και έχουµε,, Να βρεθεί ο διακριτός µετασχηµατισµός Fourir -σηµείων της ακολουθίας ) [), ), ), 3)] Παράδειγµα Λύση Αν εφαρµόσουµε την εξίσωση ανάλυσης του διακριτού µετασχηµατισµού Fourir k k k, 3, ) ) για k,, και 3 και εκφράσουµε τιc εξισώσεις σε µορφή ινάκων έχουµε Σεραφείµ Καραµογιάς Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-65

66 3) ) ) ) 3) ) ) ) 3)] ) [ )] ) [ 3) ) ) ) ) g g )] ) [ )] ) [ 3) ) ) ) ) h h + 3)] ) [ )] ) [ 3) ) ) ) ) g g + + 3)] ) [ )] ) [ 3) ) ) ) 3) h h + + Εκµεταλλευόµενοι τη συµµετρία έχουµε Οι σχέσεις αυτές οδηγούν σε ένα αοτελεσµατικό αλγόριθµο ου έχει δύο βήµατα 3) ) ) ) 3) ) ) ) h h g g + + βήµα 3) ) ) ) h h g g h h g g + + βήµα Σεραφείµ Καραµογιάς Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-66

67 3) ) ) ) 3) ) ) ) Η ακολουθία -σηµείων ) διαιρείται σε δύο ακολουθίες -σηµείων µε τις οοίες σχηµατίζονται δύο διανύσµατα στήλες ως h h g g h h g g q p κάθε στοιχείο του ίνακα ολλαλασιάζεται µε { } p q + + 3) ) ) ) 3) ) ) ) 3) ) ) ) 3) ) ) ) h h g g ροσδιορίζεται ο DFT -σηµείων για κάθε στήλη + + 3) ) ) ) h h h h g g g g h h g g h h g g και τέλος ροσδιορίζεται ο DFT -σηµείων για κάθε γραµµή Σεραφείµ Καραµογιάς Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-67

68 ) g ) + ) βήµα g ) + 3) h ) ) βήµα h ) 3) g ) g ) h ) 3) Σεραφείµ Καραµογιάς g h + g h g + h ) ) h ) ) g ) 3) h 3) ιάγραµµα ροής διακριτού µετασχηµατισµού Fourir τεσσάρων σηµείων Η διάταξη των δειγµάτων του διακριτού µετασχηµατισµού Fourir στην έξοδο είναι κανονική, δηλαδή, ), ), ) και Χ3), σε αντίθεση η διάταξη των δειγµάτων εισόδου είναι µηκανονική, ), ), ) και 3). Η διάταξη αυτή ροκύτει αό τη κανονική διάταξη των δειγµάτων µε αντιστροφή της σειράς των δυαδικών ψηφίων στη δυαδική ανααράσταση των δεικτών bit rvrsal). Αό το σχήµα αρατηρούµε ότι σε κάθε στάδιο οι έξοδοι µορούν να αοθηκεύονται στις ίδιες θέσεις µνήµης, ου ήταν αοθηκευµένες οι αντίστοιχες είσοδοι του σταδίου. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-68

69 Στη συνέχεια θα γενικεύσουµε τα συµεράσµατα του αραδείγµατος Αρχικά, ηακολουθίατων όρων ) χωρίζεταισεδύοακολουθίεςµήκους / ηκάθεµία, τις g ) ) και g ) +), για,,...,/-)οιοοίεςαοτελούνταιαό τουςόρουςµεάρτιουςκαιεριττούςδείκτες αντίστοιχα. Η εξίσωση ανάλυσης του διακριτού µετασχηµατισµού Fourir γράφεται k k) ) Σεραφείµ Καραµογιάς k ) + + ) k + ) k ) + k + ) k Εειδή k k k) / k k / έχουµε k k ) ) + G k ) k + / G k ) k) G k) + G k), k,,..., Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-69 k

70 Ειλέον εειδή και αν k k+ k k+ ) + k k έχουµε, k,,..., k+ ) G k) + kg k), k,,..., k) Παρατηρούµε ότι ο υολογισµός του k) έχει εκφραστεί µε τη βοήθεια δύο διακριτών µετασχηµατισµών Fourirµελήθοςσηµείων / οκαθένας. Σεραφείµ Καραµογιάς Η διαδικασία ανάλυσης ου ακολουθήθηκε ροηγουµένως µορεί να συνεχιστεί και για τον υολογισµό των δύο νέων διακριτών µετασχηµατισµών Fourir G k) και G k). Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται µέχρι να φτάσουµε σε διακριτό µετασχηµατισµό Fourir - σηµείων ου είναι εύκολο να υολογιστεί. Σηµειώνεται ότι ο ταχύς µετασχηµατισµός Fourir δεν αοτελεί νέο µετασχηµατισµό Fourir αλλά αοτελεί µία αοδοτική αλγοριθµική µέθοδο µε την έννοια ότι ελαττώνει την υολογιστική ολυλοκότητα, δηλαδή, το συνολικό λήθος ράξεων ολλαλασιασµών και ροσθέσεων). Πράγµατι, η υολογιστική ολυλοκότητα του ταχύ µετασχηµατισµού Fourirείναιτηςτάξεως log καιόχι τουδιακριτούµετασχηµατισµού Fourir. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-7

71 ) ) ) 8) ) 5) 3) 7) 6 6 Σεραφείµ Καραµογιάς 3 7 ιάγραµµα ροής διακριτού µετασχηµατισµού Fourir οκτώ σηµείων 5 6 ) ) ) 3) ) 5) 6) 7) Ηδιάταξητωνδειγµάτωντουδιακριτούµετασχηµατισµού Fourir στηνέξοδοείναικανονική, δηλαδή, ), ), ),, 7). Σε αντίθεση η διάταξη των δειγµάτων εισόδου είναι µη κανονική, δηλαδή, ), ), ), 6), ), 5), 3), 7). Η διάταξη αυτή ροκύτει αό την κανονική διάταξη των δειγµάτων µε αντιστροφή της σειράς των δυαδικών ψηφίων στη δυαδική ανααράσταση των δεικτών bit rvrsal) Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-7

72 Σεραφείµ Καραµογιάς ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Με τη βοήθεια της ιδιότητας της συνέλιξης µορούµε να υολογίσουµε την έξοδο y) ενός ΓΧΑ συστήµατος διακριτού χρόνου το οοίο έχει κρουστική αόκριση h), όταν γνωρίζουµετηνείσοδότου ). Παράδειγµα ίνεται το γραµµικό χρονικά αναλλοίωτο σύστηµα το οοίο έχει κρουστική αόκριση h) a u) Ανηείσοδοςτουσυστήµατοςείναιτοσήµα: ) β u) Να ροσδιοριστεί η έξοδος του συστήµατος. Αάντηση Αν a βηείσοδοςτουσυστήµατοςείναι Αν a β η είσοδος του συστήµατος είναι [ a+ + ] u ) y ) β ab y ) + ) a u ) Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-7

73 Σεραφείµ Καραµογιάς Συστήµατα τα οοία χαρακτηρίζονται αό γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές ) h ) y ) Το σήµα εισόδου ) και το σήµα εξόδου y) ενός ΓΧΑ συστήµατος διακριτού χρόνου ικανοοιούν µία γραµµική εξίσωση διαφορών µε σταθερούς συντελεστές της µορφής k a k y k) M k k k b k k) µε y ) k) h k) a Το σήµα εισόδου, ), και το σήµα εξόδου, y), ενός ΓΧΑ συστήµατος συνδέονται µε το άθροισµα της συνέλιξης. Η αόκριση συχνότητας του ΓΧΑ συστήµατος είναι H Ω) M K M K b k a k kω kω Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-73

74 Σεραφείµ Καραµογιάς Παράδειγµα σύστηµα ρώτης τάξης) ίνεται το ΓΧΑ σύστηµα διακριτού χρόνου, το οοίο αρχικά βρίσκεται σε ηρεµία, και χαρακτηρίζεται αό την εξίσωση διαφορών y) - a y-) ) µε a < Να βρεθούν η αόκριση συχνότητας, η κρουστική αόκριση του συστήµατος και η αόκριση του συστήµατος στο µοναδιαίο βήµα. Αάντηση Η αόκριση συχνότητας του συστήµατος είναι H Ω) Η κρουστική αόκριση του συστήµατος είναι a Ω h ) a u ) Η αόκριση του συστήµατος στο µοναδιαίο βήµα είναι a y ) a + u ) Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-7

75 Παράδειγµα ίνεται το ΓΧΑ σύστηµα διακριτού χρόνου, το οοίο αρχικά βρίσκεται σε ηρεµία, και χαρακτηρίζεται αό την εξίσωση διαφορών Να βρεθούν η αόκριση συχνότητας και η κρουστική αόκριση του συστήµατος. Αν η είσοδος του συστήµατος είναι Να βρεθεί το σήµα εξόδου του συστήµατος. Αάντηση y ) 3 y ) + y ) ) 8 ) Η αόκριση συχνότητας του συστήµατος είναι H Ω) Η κρουστική αόκριση του συστήµατος είναι Το σήµα εξόδου του συστήµατος είναι 3 ) u ) Ω+ 8 Ω ) u ) ) u ) h ) ) ) ) u + ) u ) + 8 ) u ) y ) Σεραφείµ Καραµογιάς Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-75

76 Παράδειγµα ίνεται σύστηµα διακριτού χρόνου του οοίου η σχέση µεταξύ των σηµάτων εισόδου εξόδου εριγράφεται αό την εξίσωση διαφορών Να βρεθεί η κρουστική αόκριση, η αόκριση συχνότητας του συστήµατος και να γίνει η γραφική αράσταση της αόκρισης λάτους. Αάντηση y ) ) + ) Η κρουστική αόκριση του συστήµατος είναι h ) ) + ) δ Η αόκριση συχνότητας του συστήµατος είναι ) Ω Ω Ω H Ω + cos ) Η γραφική αράσταση της αόκρισης λάτους του συστήµατος είναι H Ω) Σεραφείµ Καραµογιάς δ Ω Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-76

77 Παράδειγµα ίνεται σύστηµα διακριτού χρόνου του οοίου η σχέση µεταξύ των σηµάτων εισόδου εξόδου εριγράφεται αό την εξίσωση διαφορών Να βρεθεί η κρουστική αόκριση, η αόκριση συχνότητας του συστήµατος και να γίνει η γραφική αράσταση της αόκρισης λάτους. Αάντηση y ) ) + a ) Η κρουστική αόκριση του συστήµατος είναι h ) ) + a ) Η αόκριση συχνότητας του συστήµατος είναι Ω arg{ }) δ δ H Ω) + a a Η γραφική αράσταση της αόκρισης λάτους του συστήµατος είναι Σεραφείµ Καραµογιάς H Ω),5 a,5 3 H Ω),5 a,9 3,5,5 Ω Ω Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-77

78 Σεραφείµ Καραµογιάς Σε ολλές εφαρµογές ραγµατικού χρόνου, η ακολουθία εισόδου ενός FIR φίλτρου έχει µεγάλο µήκος, αραδείγµατος χάριν η ακολουθία ου ροέρχεται αό σήµα οµιλίας ενός µικροφώνου, η οοία µορεί να θεωρηθεί ως µία ακολουθία αείρου µήκους. Η έξοδος του φίλτρου υολογίζεται µε τη βοήθεια γραµµικής συνέλιξης χρησιµοοιώντας ταχύ µετασχηµατισµό Fourir ο οοίος θα έχει φυσικά µεγάλο µήκος. Ειλέον δεν είναι δυνατός ο υολογισµός της εξόδου ριν εεξεργαστούµε όλα τα δείγµατα της εισόδου, και αυτόδηµιουργείµεγάληκαθυστέρηση. Στις εριτώσεις αυτές υολογίζεται η ειµέρους έξοδοι του συστήµατος όταν είναι γνωστό ένα τµήµα µλοκ) της ακολουθίας εισόδου µε τη βοήθεια ταχύ µετασχηµατισµού Fourir ου τώρα έχει µικρό µήκος. Στη συνέχεια υολογίζεται η έξοδος του φίλτρου µε τη βοήθεια των ειµέρους εξόδων του φίλτρου. Τα αραάνω εεξηγούνται µε το αράδειγµα ου ακολουθεί. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-78

79 Παράδειγµα ίνεται το ΓΧΑ σύστηµα διακριτού χρόνου ου έχει κρουστική αόκριση Αν η είσοδος του συστήµατος είναι η ακολουθία να βρεθεί η έξοδος του συστήµατος µε τη βοήθεια κυκλικής συνέλιξης 6-σηµείων. Λύση: h ) [,, ] ) [,,3,,5, 6, 7,8,9,] Ηκρουστικήαόκρισητουφίλτρουείναιακολουθία 3-σηµείων. Ανηακολουθίαεισόδουκατατµηθείσεακολουθίες 6-σηµείωντότεείναιγνωστόότιηγραµµικήσυνέλιξη κάθευοακολουθίαςµετηνκρουστικήαόκρισηθαείναιακολουθία + -8-σηµείων. Ανχρησιµοοιηθείκυκλικήσυνέλιξη 6-σηµείωντότεταρώταΝ +Ν +-Ν στοιχείακάθεακολουθίαςθαείναιεσφαλµέναλόγωτουφαινοµένουτηςεικάλυψης. ) [,,3,,5, 6, 7,8,9,] 3 ) ) ) Σεραφείµ Καραµογιάς [,,,,3,] [3,,5,6,7,8] [7,8,9,,, ] Κάθε υοακολουθία εικαλύτεται µε την ροηγούµενή της στους δύο ρώτους όρους. Στην τελευταία υοακολουθία έχουν ροστεθεί µηδενικά ώστε να γίνει ακολουθία 6- σηµείων. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-79

80 Σεραφείµ Καραµογιάς Ηκυκλικήσυνέλιξη 6-σηµείωνκάθευοακολουθίας k ), k, και 3 µετηνκρουστική αόκριση του συστήµατος δίνει τις ακολουθίες y ) ) h ) [ 3, y ) ) h ) [,,,,,],,,,] y3 ) 3 ) h ) [7,8,,, 9, ] Αότιςακολουθίες y k ), k, και 3 διαγράφουµετουςδύορώτουςόρουςοιοοίοι λόγω της εικάλυψης είναι εσφαλµένοι και σχηµατίζεται η ακολουθία y ) ) h ) [,,,,,,,,,, 9, ] Η ακολουθία αυτή είναι ίση µε την γραµµική συνέλιξη. Σειρά Μετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου 5-8