υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 5.
|
|
- Ζηνόβιος Ευταξίας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι
2 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Cyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών -. Με ειφύλαξη αντός δικαιώµατος. All rights reserved. Ααγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αοθήκευση και διανοµή της αρούσης εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τµήµατος αυτής, για άσης φύσεως εµορικό ή εαγγελµατικό σκοό. Ειτρέεται η ανατύωση, αοθήκευση και διανοµή για σκοό µη κερδοσκοικό, εκαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υό την ροϋόθεση να αναφέρεται η ηγή ροέλευσης και να διατηρείται το αρόν µήνυµα
3 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Εκαιδευτική Ενότητα 5 η Μελέτη αόκρισης συστήµατος σε αρµονική διέγερση µε ανάλυση Furier Εισαγωγικά στοιχεία Στα ροηγούµενα µαθήµατα ασχοληθήκαµε µε την αόκριση ενός δυναµικού συστήµατος m c k ενός βαθµού ελευθερίας, όταν σε αυτό ασκείται εξωτερική αρµονική διέγερση. Τα βασικότερα συµεράσµατα στα οοία καταλήξαµε είναι τα εξής: Η συχνότητα ταλάντωσης του συστήµατος, στη µόνιµη αόκριση, ισούται µε τη συχνότητα ταλάντωσης του διεγέρτη. Το λάτος της µόνιµης αόκρισης είναι δυνατόν να είναι µικρότερο, ίσο ή και ολύ µεγαλύτερο της στατικής µετατόισης (θεωρώντας στατική διέγερση), ανάλογα µε την τιµή του λόγου q και την τιµή του λόγου αόσβεσης ζ του συστήµατος. Είσης, εξετάσαµε δύο βασικά τεχνολογικά αραδείγµατα. Στο ρώτο αράδειγµα, µελετήσαµε τον τρόο µε τον οοίο µία εριστρεφόµενη αζυγοστάθµητη µάζα ροκαλεί αρµονική διέγερση σε µία µηχανή. Στο δεύτερο αράδειγµα, γνωρίσαµε τον µηχανισµό µέσω του οοίου η ειβολή µίας κινηµατικής διέγερσης στη βάση µίας µηχανής ροκαλεί αρµονική διέγερση της µηχανής. Και στα δύο αραδείγµατα, η διέγερση ήταν αρµονικής µορφής. Ωστόσο, υάρχουν και άλλα είδη διεγέρσεων. Πιο συγκεκριµένα, µία ρώτη κατηγοριοοίηση των διεγέρσεων είναι η εξής: Περιοδικές διεγέρσεις: ρόκειται για διεγέρσεις, οι οοίες εαναλαµβάνονται χρονικά µε ανοµοιότυο τρόο. Σε αυτήν την κατηγορία, ο λέον χαρακτηριστικός αντιρόσωος είναι η αρµονική διέγερση, ενώ το λέον χαρακτηριστικό τεχνολογικό αράδειγµα είναι οι εριστρεφόµενες µηχανές µε σταθερές στροφές λειτουργίας, όως είναι οι µηχανές ηλεκτροαραγωγής. Οι συγκεκριµένες µηχανές λειτουργούν σε σταθερές στροφές διότι ρέει να αράξουν ρεύµα σταθερής συχνότητας. Σηµειώνεται ότι όλες οι εριοδικές διεγέρσεις είναι δυνατόν να αναχθούν σε αρµονικές διεγέρσεις αξιοοιώντας την ανάλυση Furier. Μεταβατικές διεγέρσεις: ρόκειται για διεγέρσεις, οι οοίες ειβάλλονται σταδιακά ή αότοµα σε µία µηχανή. Χαρακτηριστικά αραδείγµατα αυτής της κατηγορίας είναι η ειβολή ενός κρουστικού φορτίου σε µία κατασκευή, ή η αότοµη διακοή της λειτουργίας µίας µηχανής. Τυχαίες διεγέρσεις (ή, ισοδύναµα, στοχαστικές διεγέρσεις): ρόκειται για διεγέρσεις, η µορφή των οοίων καθορίζεται αό υψηλό οσοστό τυχαιότητας, δηλαδή η εµφάνισή τους δεν ακολουθεί κάοιον, γνωστό σε εµάς, αιτιοκρατικό κανόνα. Σε αυτήν την κατηγορία, υάρχει λήθος χαρακτηριστικών αραδειγµάτων, όως είναι ο σεισµός, τα καιρικά φαινόµενα, ο κυµατισµός της θάλασσας, η διαµόρφωση του οδοστρώµατος, κοκ. Πιο συγκεκριµένα και αναφερόµενοι στο σεισµό, κάθε συγκεκριµένος σεισµός αοτελεί µία µεταβατική διέγερση, την ειτάχυνση της οοίας (ειτάχυνση του εδάφους) είµαστε σε θέση να µετρήσουµε. Ωστόσο, η καταµέτρηση ενός ή ερισσοτέρων σεισµών δεν αοτελεί ικανή και αναγκαία συνθήκη ροκειµένου να ρολέξουµε ακριβώς την χρονική µορφή ενός µελλοντικού σεισµού. Με άλλα λόγια, οι σεισµικές διεγέρσεις, ως σύνολο,
4 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - δεν ξέρουµε τι θα εριέχουν. Εκείνο, λοιόν, ου µορεί να κάνει ο Μηχανικός είναι, βάσει της καταγεγραµµένης σεισµικής δραστηριότητας, να εξαγάγει βασικά στατιστικά χαρακτηριστικά, τα οοία θα χρησιµοοιήσει ροκειµένου να µελετήσει την εάρκεια µίας κατασκευής έναντι σεισµού. Όσον αφορά στον κυµατισµό της θάλασσας, ένα λοίο, εν µέσω κακοκαιρίας, ταλαντώνεται γύρω αό τη θέση ισορροίας του εξ αιτίας των κυµάτων. Κάθε συγκεκριµένο κύµα αοτελεί µία µεταβατική διέγερση. Ωστόσο, εάν θέλουµε να µελετήσουµε στατιστικά ένα λοίο σε τρικυµία, θα ρέει να µελετήσουµε τη συµεριφορά του λοίου στο σύνολο των κυµάτων. Αυτό σηµαίνει ότι θα ρέει να µελετήσουµε τα στατιστικά χαρακτηριστικά του κυµατισµού της θάλασσας. Τέτοια χαρακτηριστικά αοτελούν το ύψος των κυµάτων, η αόσταση των διαδοχικών κυµάτων και η συχνότητα διαδοχικών κυµάτων. Μέσω αυτών των χαρακτηριστικών, είναι δυνατόν να εριγράψουµε έναν τυχαίο κυµατισµό. Άλλο χαρακτηριστικό αράδειγµα αοτελεί η µελέτη της ανάρτησης των οχηµάτων. Βασικό στοιχείο σε µία τέτοια µελέτη αοτελεί η κυµατοµορφή του οδοστρώµατος. Ωστόσο, κάθε οδόστρωµα έχει τη δική του κυµατοµορφή και εειδή δεν είναι δυνατόν να γνωρίζουµε το σύνολο των δρόµων της γης, άρα και τις αντίστοιχες κυµατοµορφές, ρέει, µε κάοιον τρόο, να αντλήσουµε εαρκή στοιχεία ροκειµένου να λύσουµε το τεχνολογικό ρόβληµα της σχεδίασης των αναρτήσεων των οχηµάτων. Αυτός ο τρόος είναι η χρήση κοινών στατιστικών στοιχείων των οδοστρωµάτων. Σε αυτό το σηµείο διευκρινίζεται ότι κάθε τυχαία διέγερση είναι δυνατόν, µέσω της ανάλυσης φάσµατος, να αναχθεί σε ένα σύνολο αρµονικών διεγέρσεων. Στο λαίσιο του µαθήµατος υναµική Μηχανών Ι θα γνωρίσουµε καλύτερα τις εριοδικές και τις µεταβατικές διεγέρσεις, ενώ οι τυχαίες διεγέρσεις θα εξετασθούν στο λαίσιο του µαθήµατος υναµική Μηχανών ΙΙ. ιευκρινίζεται ότι η αόκριση σε αρµονική διέγερση αοτελεί τη βάση µε την οοία αναλύουµε όχι µόνον τις εριοδικές διεγέρσεις αλλά και το σύνολο της δυναµικής συµεριφοράς των µηχανών. Ανάλυση εριοδικής συνάρτησης κατά Furier Μία εριοδική συνάρτηση εριγράφεται αό την ακόλουθη µαθηµατική σχέση: f ( t) f ( t+ T P ) () όου t είναι η ελεύθερη µεταβλητή και T P είναι η ερίοδος. Βάσει της ανάλυσης Furier, η εριοδική συνάρτηση µορεί να ανατυχθεί σε σειρά σύµφωνα µε την ακόλουθη εξίσωση: ( + ) + cs( Ω ) + si( Ω ) f t f t T a a t b t () Η συχνότητες Ω των όρων του ανατύγµατος αοτελούν ακέραια ολλαλάσια µίας συχνότητας Ω, η οοία καλείται βασική συχνότητα. Με άλλα λόγια, ισχύει: Ω Ω (3)
5 Ο συνδυασµός των Εξ.(,3) δίδει: Η, δε, βασική συχνότητα ορίζεται ως: υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ( + ) + cs( Ω ) + si( Ω ) f t f t T a a t b t (4) Ω T όου T είναι η ερίοδος εανάληψης. Οι συντελεστές a, a και b ορίζονται ως εξής: (5) a T T T b f t t dt (6) f ( t) dt T a f ( t) cs( Ωt) dt T si( Ω ) T Η φυσική σηµασία των ανωτέρω αραστάσεων είναι αρκετά ενδιαφέρουσα. Πιο συγκεκριµένα, η Εξ.(4) ληροφορεί τον τρόο µε τον οοίο µία εριοδική διέγερση είναι δυνατόν να εκφρασθεί ως υέρθεση αρµονικών διεγέρσεων. Με άλλα λόγια, εάν σε µία κατασκευή ασκείται µία εριοδική διέγερση, τότε αυτό είναι ισοδύναµο µε την άσκηση µίας εαλληλίας αρµονικών διεγέρσεων, οι συχνότητες των οοίων είναι ολλαλάσιες της βασικής συχνότητας Ω. Οι συντελεστές a ληροφορούν σχετικά µε το βαθµό οµοιότητας της συνάρτησης f µε συνηµίτονο, ενώ οι συντελεστές b ληροφορούν σχετικά µε το βαθµό οµοιότητας της συνάρτησης f µε ηµίτονο. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΑΡΕΝΘΕΣΗ Η µαθηµατική ερµηνεία των ανωτέρω αραστάσεων είναι, είσης, αρκετά ενδιαφέρουσα. Πιο συγκεκριµένα, εάν θεωρήσουµε µία οοιαδήοτε συνάρτηση f ως διάνυσµα σε ένα χώρο συναρτήσεων και είσης θεωρήσουµε µία βάση του χώρου αό τις τριγωνοµετρικές συναρτήσεις ηµίτονο και συνηµίτονο, τότε η σειρά Furier αοτελεί τον τρόο µε τον οοίο η συνάρτηση f εριγράφεται συναρτήσει της εν λόγω βάσης (ή, ισοδύναµα, εριγράφει τις ροβολές της συνάρτησης f στο σύστηµα βάσης). Οι, δε, συντελεστές a και b αοτελούν τα εσωτερικά γινόµενα της συνάρτησης f µε τις συναρτήσεις βάσης. Σηµειώνεται ότι η ενασχόληση µε την ανάλυση Furier, στην αρούσα φάση, αοσκοεί και στην εξοικείωση µε έννοιες, τις οοίες θα συναντήσουµε σε εόµενη Εκαιδευτική Ενότητα, όταν θα εξετάσουµε την ανάλυση σε ιδιοανύσµατα (ισοδύναµα, ανάλυση σε ιδιοδιανύσµατα). Η ιδιοανυσµατική ανάλυση αοτελεί µία τεχνική, η οοία χρησιµοοιείται σε ευρύτατο φάσµα τεχνολογικών εφαρµογών. Εκτός των συναρτήσεων ηµιτόνου και συνηµιτόνου, υάρχει λήθος άλλων συναρτήσεων, τις οοίες είναι δυνατόν να χρησιµοοιήσουµε ροκειµένου να ανατύξουµε µία συνάρτηση σε
6 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - σειρά. Μία σύγχρονη ροσέγγιση του θέµατος αοτελούν οι λεγόµενες συναρτήσεις κυµατιδίων (wavelets), µε τις οοίες είναι δυνατόν να εριγράψουµε και µεταβατικά φαινόµενα. Αυτός είναι και ο λόγος για τον οοίο οι συναρτήσεις κυµατιδίων χρησιµοοιούνται ευρύτατα σε τεχνολογικές εφαρµογές µε µεταβατικές διεγέρσεις Αναφορικά µε την αξιοοίηση της ανάλυσης Furier σε ροβλήµατα δυναµικής, έστω το γνωστό, λέον, µονοβάθµιο σύστηµα m c k και έστω ότι θέλουµε να καταγράψουµε τη µόνιµη αόκρισή του σε σειρά Furier. Όως φαίνεται και αό την Εξ.(), αρκεί να εκτιµήσουµε την αόκριση του συστήµατος σε κάθε µία αό τις αρµονικές διεγέρσεις του ανατύγµατος Furier και στο τέλος να αθροίσουµε τις εί µέρους συνεισφορές. Μία ολύ βασική αρατήρηση σχετικά µε την ανάτυξη µίας συνάρτησης κατά Furier αφορά στο λήθος των ααιτουµένων όρων της σειράς. Αό µαθηµατικής αόψεως, ααιτείται ένα άειρο λήθος όρων (βλ. Εξ.()). Ωστόσο, αό την οτική γωνία του Μηχανικού και για τεχνολογικές εφαρµογές, ααιτείται µόνον ένα µικρό λήθος τέτοιων όρων, ροκειµένου να διαµορφωθεί µία αοδεκτή ροσέγγιση της συνάρτησης (δηλαδή µία ροσέγγιση στην οοία θα συµµετέχουν µόνον όροι µε ουσιαστική συµβολή). Αυτό καθίσταται κατανοητό µε τη βοήθεια του διαγράµµατος ( H vs q), δηλαδή του διαγράµµατος Συντελεστού υναµικής ιέγερσης συναρτήσει του λόγου q (βλ. Σχήµα & Εκαιδευτική Ενότητα 3 / Σχήµα ). H 3.5 ZONE I ZONE II ZONE III q Σχήµα : Γραφική αράσταση του Συντελεστού υναµικής Ενίσχυσης H συναρτήσει του λόγου q Αό το Σχήµα ροκύτει ότι όσο µεγαλύτερος είναι ο λόγος q, δηλαδή όσο µεγαλύτερη είναι η συχνότητας της διέγερσης αό την φυσική ιδιοσυχνότητα του συστήµατος, τόσο µικρότερο είναι το λάτος της αόκρισης του συστήµατος. Συνεώς, η συµβολή των αρµονικών υψηλοτέρας τάξεως (δηλαδή, των αρµονικών ου σχετίζονται µε υψηλές συχνότητες διέγερσης) στην αόκριση των κατασκευών καθίσταται ολύ µικρή, άρα, αό τεχνικής αόψεως, είναι δυνατόν να αµελήσουµε όρους της σειράς Furier, στους οοίους εµλέκονται οι εν λόγω αρµονικές (αρµονικές µε αµελητέα συµβολή)
7 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Εφαρµογή Έστω η συνάρτηση F( t ) του Σχήµατος, δηλαδή έστω µία ηµιτονοειδής συνάρτηση, στην οοία διατηρείται µόνον το θετικό τµήµα. Σχήµα : Γραφική αράσταση της εξεταζόµενης συνάρτησης F( t ) Η µαθηµατική εξίσωση της συνάρτησης F( t ) είναι: F t F si Ωt t T / T / < t T (7) Είσης, έστω ότι η συνάρτηση F( t ) αεικονίζει τη διέγερση ενός συστήµατος, η φυσική ιδιοσυχνότητα του οοίου έστω ότι, για τις ανάγκες του αραδείγµατος, ισούται µε: 8 ω 3T (8) Οµοίως για λόγους αλότητος του αραδείγµατος, έστω ότι το σύστηµα χαρακτηρίζεται αό µηδενική σταθερά αόσβεσης, δηλαδή έστω ότι ισχύει : c (9) Ζητείται η µόνιµη αόκριση του συστήµατος σε ανάτυγµα κατά Furier και µε εαρκές, για τεχνολογικούς σκοούς, λήθος όρων. Λύση Βήµα : Περιγραφή εξωτερικής διέγερσης F( t ) ως ανάτυγµα Furier Αό την Εξ.(4), θα είναι: + cs( Ω ) + si( Ω ) F t a a t b t () Στην ράξη, άντοτε υάρχει αόσβεση, η οοία συµµετέχει µόνο στη µεταβατική αόκριση του συστήµατος. Η είδραση της αόσβεσης, είτε ως υερκρίσιµη είτε ως υοκρίσιµη είδραση, µετά αό κάοιο χρονικό διάστηµα θα άψει να υάρχει. Συνεώς, στη µόνιµη αόκριση δεν υάρχει συµµετοχή της αόσβεσης
8 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Εοµένως, αρκεί να υολογίσουµε τους συντελεστές a, a και b για διάφορες τιµές του µετρητή. Αό την Εξ.(6), µε χρήση τυολογίου, µετά αό αντικατάσταση και εκτέλεση ράξεων, ροκύτει: T T F a F( t) dt F si( Ω t) dt T T () T : T εριττός a F( t) cs( Ω t) dt F si( Ωt) cs( Ω t) dt F T T : άρτιος T T F, b F( t) si( Ω t) dt F si( Ωt) si( Ω t) dt T T, > (3) () Οι τιµές των συντελεστών a, a και b για διάφορα φαίνονται στον Πίνακα. Πίνακας : Συντελεστές ανατύγµατος Furier a F a a b a F ( F ) F ( F ) F ( F ) F ( F ), Αό τον Πίνακα, αρατηρούµε ότι για > 6, υάρχει διαφορά µίας τάξης µεγέθους µεταξύ των συντελεστών του ανατύγµατος Furier για και 8, οότε όροι µε > 6 έχουν αµελητέα συνεισφορά. Συνεώς, το ζητούµενο ανάτυγµα ροκύτει αντικαθιστώντας στην Εξ.() τις τιµές του Πίνακα, µέχρι και τον όρο 6 : F
9 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - F F F F F F t t t t t si( Ω ) cs( Ω ) cs( 4Ω ) cs( 6Ω ) (4) Ισοδύναµα, ισχύει: F t F t t t t si( Ω ) cs( Ω ) cs( 4Ω ) cs( 6Ω ) (5) Όως φαίνεται και αό την Εξ.(5), τελικά, αό την οτική γωνία του Μηχανικού, χρειαζόµαστε µόνον τις τέσσερεις αρµονικές (Ω, Ω, 4Ω, 6Ω ) για την εριγραφή της F( t ), και όχι άειρο λήθος αρµονικών, όως υαγορεύει η οτική γωνία των µαθηµατικών. Αό το Βήµα, εριγράψαµε την εξωτερική διέγερση F( t ) ως: F( t) F + Ωt Ωt Ωt Ωt α b α α4 α6 si cs ( ) cs ( 4 ) cs ( 6 ) (6) δηλαδή, ως ανάτυγµα µίας σειράς Furier, στην οοία συµµετέχει µικρό λήθος όρων (συνολικά, έντε όροι). Ειδικότερα, ο ρώτος όρος της σειράς είναι µία σταθερή οσότητα, ενώ οι υόλοιοι τέσσερεις όροι είναι αρµονικές οσότητες. Το εόµενο βήµα είναι να υολογισθεί, για κάθε έναν όρο του ανατύγµατος (συνιστώσα διέγερσης), η αντίστοιχη συνιστώσα της µόνιµης αόκρισης του συστήµατος (συνιστώσα αόκρισης). Βήµα : Υολογισµός εί µέρους συνιστωσών αόκρισης Όως έχει ειωθεί σε ροηγούµενη Εκαιδευτική Ενότητα (βλ. Εκαιδευτική Ενότητα 3): η µόνιµη αόκριση ενός συστήµατος, υό την ειβολή µίας χρονικά σταθερής δύναµης F (στατική διέγερση), είναι χρονικά σταθερή (στατική αόκριση) και ισούται µε: F k (7) η µόνιµη αόκριση ενός συστήµατος, υό την ειβολή µίας αρµονικής διέγερσης F cs( Ω t) µε συχνότητα διέγερσης Ω, είναι αρµονικής µορφής µε ιδιοσυχνότητα Ω, δηλαδή ίσης µε αυτήν της διεγείρουσας δύναµης, και ισούται µε: όου x cs( Ω t ϑ ) (8) είναι το λάτος της ταλάντωσης και ϑ είναι η διαφορά φάσης µεταξύ διέγερσης και αόκρισης, ίσης ρος (βλ. Εκαιδευτική Ενότητα 3/Πίνακας 3): Ω ζω q Ω ω ζ q ϑ ta ω Ω q ϑ ta (9)
10 Σχετικά µε τον υολογισµό του λάτους ταλάντωσης υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: -, ήδη γνωρίζουµε, αό το ορισµό του Συντελεστού υναµικής Ενίσχυσης H (βλ. Εκαιδευτική Ενότητα 3/Εξ.), ότι ισχύει: H H st () st Η Εξ.() ισχύει όταν στο σύστηµα ειβληθεί µία εξωτερική αρµονική διέγερση. Όταν, ωστόσο, ειβληθούν ερισσότερες εξωτερικές αρµονικές διεγέρσεις, τότε θα ρέει να γραφεί η Εξ.() για κάθε µία αό τις διεγέρσεις αυτές. Συνεώς, για τον οστή αρµονική διέγερση του ανατύγµατος της F( t ) θα είναι: H (), Στην Εξ.(), το Ισοδύναµο Στατικό Πλάτος, οφείλεται στην ειβολή της στατικής δύναµης F,, η οοία οφείλεται στη οστή αρµονική διέγερση του ανατύγµατος της F( t ) και αριθµητικά ισούται µε το λάτος υολογίσουµε το λάτος και το Συντελεστή υναµικής Ενίσχυσης F της διέγερσης αυτής. Συνεώς, για να ρέει να υολογίσουµε το Ισοδύναµο Στατικό Πλάτος, H. Για τον υολογισµό του Ισοδύναµου Στατικού Πλάτους,, αρατηρούµε ότι (βλ.εξ.(6)): α α F F F F () α 3 α F 3 F F F (3) α α4 F 5 F F F (4) α α6 F 35 F F F (5) Αό τις Εξ.(,3,4,5) είναι φανερό ότι η στατική δύναµη F, γράφεται ως εξής: F F α F (6), Συνεώς, το Ισοδύναµο Στατικό Πλάτος,, το οοίο οφείλεται στην ειβολή µίας στατικής δύναµης F,, ισούται µε: F, αf ( F k),, α (7) k k Για τον υολογισµό του Συντελεστή υναµικής Ενίσχυσης H, ήδη γνωρίζουµε ότι ισχύει (βλ. Εκαιδευτική Ενότητα 3/Εξ.):
11 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - H (8) ( q) + ( ζ q) Για µηδενικό λόγο αόσβεσης ζ, όως στην εξεταζόµενη ερίτωση, ισχύει: H (9) ( q ) Για κάθε έναν όρο του ανατύγµατος της F( t ), ο λόγος q, εξ ορισµού, θα είναι: q Ω ω (3) Ωστόσο, αό την εκφώνηση δίδεται ότι ισχύει (βλ. και Εξ.(8)): 8 ω 3T (3) Είσης, αό την εκφώνηση δίδεται ότι ισχύει: Εξ ορισµού, δε, για την ιδιοσυχνότητα Ω ισχύει: Ω Ω (3) Ω T (33) Ο συνδυασµός των Εξ(3,3,3,33), δίδει: q Ω Ω T 6 q.75 ω ω 8 8 3T (34) Σύνοψη ιαδικασίας Συνοψίζοντας όλα τα αραάνω, καταλήγουµε στην ακόλουθη διαδικασία υολογισµού: Γράφουµε την εξωτερική διέγερση του συστήµατος στη µορφή της Εξ.(6), η οοία εαναλαµβάνεται για λόγους ληρότητας του κειµένου: F( t) F + Ωt Ωt Ωt Ωt α α α α4 α6 si cs ( ) cs ( 4 ) cs ( 6 ) (35)
12 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - όου οι συντελεστές α είναι αυτοί ου σηµειώνονται στην Εξ.(35). Για τον σταθερό όρο του ανατύγµατος της Εξ.(35): αναγνωρίζουµε στην εν λόγω εξίσωση την αντίστοιχη στατική δύναµη F (στην εξεταζόµενη εφαρµογή είναι F ( F ) ), υολογίζουµε την αντίστοιχη σταθερή αόκριση αό την Εξ.(7) (στην εξεταζόµενη εφαρµογή είναι ( F k) ( F k). Για κάθε αρµονικό όρο του ανατύγµατος της Εξ.(35): αναγνωρίζουµε στην εν λόγω εξίσωση τον αντίστοιχο συντελεστή α, εκτιµούµε το λάτος της αρµονικής δύναµης F αό τις Εξ.(6,35), εντοίζουµε την αντίστοιχη συχνότητα διέγερσης Ω αό την Εξ.(35), υολογίζουµε το λόγο q αό την Εξ.(34), υολογίζουµε το Ισοδύναµο Στατικό Πλάτος αό την Εξ.(7), υολογίζουµε το Συντελεστή υναµικής ιέγερσης H αό την Εξ.(8), υολογίζουµε το λάτος της αόκρισης αό την Εξ.(), και υολογίζουµε τη διαφορά φάσης ϑ αό την Εξ.(9). Με βάση τα ροαναφερθέντα, σχηµατίζεται ο Πίνακας. Πίνακας : Στοιχεία για τον υολογισµό αρµονικών συνιστωσών αόκρισης α, ( ) ( 3 ) 4 ( 5 ) 6 ( 35 ) F α k q ( Ω ) ω F k F 3 k F 5 k F 35 k H H, ϑ.75 ( 6 7 ).5 ( 4 5 ) 3. ( 8 ) 8 F 7 k 8 F 5 k F 6 k ο 8 ο 8 ο Με βάση τον Πίνακα, ο λόγος των συντελεστών για τα λάτη και 4 είναι: (36) Αυτό σηµαίνει ότι η συµβολή του όρου 4 είναι 3 φορές µικρότερη αό τη συµβολή του όρου 6, οότε αό τεχνολογικής αόψεως, είναι δυνατόν να θεωρηθεί ότι η συµβολή των όρων µε 4 είναι αµελητέα
13 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Πιο λετοµερής ανάλυση σχετικά µε τους υολογισµούς των µεγεθών του Πίνακα αρατίθεται στο Παράρτηµα Β. Βήµα 3: Άθροιση όλων των εί µέρους συνιστωσών αόκρισης του Βήµατος Η συνολική µόνιµη αόκριση x( t ) του συστήµατος γράφεται ως εξής: όου (37) + cs( Ω ) x t t ϑ είναι η αόκριση ου οφείλεται στο σταθερό όρο του ανατύγµατος F( t ) (βλ. Εξ.(6), ος όρος), είναι το λάτος της ταλάντωσης ου ροκαλείται αό τον οστό όρο του ανατύγµατος της F( t ) και ϑ είναι η αντίστοιχη διαφορά φάσης. Μία ροσέγγιση για τη συνολική µόνιµη αόκριση x( t ) του συστήµατος βρίσκεται αθροίζοντας τις εί µέρους αοκρίσεις του Βήµατος. Λαµβάνοντας υ όψιν τις Εξ.(7,8), καθώς και τον Πίνακα, ροκύτει (αµελώντας όρους µικρής συµµετοχής): si( ϑ ) cs( 4 ϑ ) x t + Ωt + Ωt (38) 4 4 Αντικαθιστώντας στην Εξ.(38) µε στοιχεία αό τον Πίνακα, ροκύτει: F 8 F 8 F x t t t k 7 k 5 k + si( Ω ) cs( Ω ) (39) Αό την τριγωνοµετρία, είναι γνωστό ότι ισχύει: cs ( a ) cs( a) (4) Αό το συνδυασµό των Εξ.(39,4), µετά αό εκτέλεση ράξεων, ροκύτει ότι η ροσέγγιση για τη συνολική µόνιµη αόκριση x( t ) του εξεταζοµένου συστήµατος ισούται µε: F 8 8 x t + si( Ω t) + cs( Ωt) (4) k 7 5 Αό την Εξ.(4), καθίσταται φανερό ότι η αόκριση x( t ) είναι µία σύνθεση αρµονικών ταλαντώσεων γύρω αό τη θέση, η οοία καθορίζεται αό τον σταθερό όρο του ανατύγµατος F( t ) (βλ. Εξ. 6, ος όρος). Παρατηρήσεις. Αό την Εξ.(4) ροκύτει ότι, αό τεχνολογικής αόψεως, τελικά χρειάζονται µόνον τρεις όροι για την εριγραφή της συνολικής µόνιµης αόκρισης x( t ), σε αντίθεση µε την µαθηµατική ροσέγγιση, η οοία ααιτεί τη χρήση αείρου λήθους όρων
14 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: -. Ο σταθερός όρος a στην Εξ.() εκφράζει µία Ισοδύναµη Στατική Φόρτιση, δηλαδή είναι ο µέσος όρος της δύναµης, η οοία ασκείται στο σύστηµα κατά τη διάρκεια του εξεταζόµενου χρονικού διαστήµατος. 3. Αό την τριγωνοµετρία, είναι γνωστό ότι ισχύει: ( a) ( a ) si cs + (4) Με άλλα λόγια, µεταξύ της συνάρτησης ηµίτονο και της συνάρτησης συνηµίτονο υάρχει, συνεώς κάθε ηµιτονοειδής οσότητα γράφεται ως διαφορά φάσης συνηµιτονοειδής και αντίστροφα. Συνεώς, για τον ηµιτονοειδή όρο του ανατύγµατος της F( t ), η διέγερση είναι της µορφής: και η αντίστοιχη αόκριση είναι: F si Ω t F cs Ω t+ (43) ( ϑ ) ( ϑ ) ( ϑ ) cs Ω t+ cs Ωt + si Ωt (44) 4. εν γνωρίζουµε εκ των ροτέρων οιο είναι το λήθος των όρων ου ααιτούνται για την εαρκή ανάτυξη µίας συνάρτησης F( t ) κατά Furier. Ωστόσο, το ααιτούµενο λήθος όρων σχετίζεται µε το βαθµό οµοιότητας της συνάρτησης F( t ) µε τη συνάρτηση ηµίτονο (ή, ισοδύναµα, µε τη συνάρτηση συνηµίτονο). Συνεώς, όσο µεγαλύτερη είναι αυτή η οµοιότητα, τόσο λιγότεροι όροι ααιτούνται. Για αράδειγµα, έστω οι συναρτήσεις του Σχήµατος 3. Μεταξύ αυτών, διαισθητικά, εκτιµούµε ότι η συνάρτηση του Σχήµατος (3β) ααιτεί τους ερισσότερους όρους, ενώ η συνάρτηση του Σχήµατος (3α) ααιτεί τους λιγότερους όρους, µεταξύ των εν λόγω συναρτήσεων, για την ανάτυξη κατά Furier.,,,,,9,9,9,9,8,8,8,8,7,7,7,7,6,6,6,6 F(t),5 F(t),5 F(t),5 F(t),5,4,4,4,4,3,3,3,3,,,,,,,,, t, t, t, t (α) (β) (γ) (δ) Σχήµα 3: Θετικά ορισµένες συναρτήσεις F( t ) : (α) ηµιτονοειδής αλµός, (β) τετραγωνικός αλµός, (γ) τριγωνικός αλµός και (γ) κατά τµήµατα ολυωνυµικός αλµός Ακριβέστερα, δεν µιλάµε για µικρότερο ή µεγαλύτερο λήθος όρων αλλά για ρυθµό µείωσης των όρων συναρτήσει της τάξης της αρµονικής. Τεχνολογικές εφαρµογές Η ανάλυση Furier έχει ολύ µεγάλη αξία σε λήθος τεχνολογικών εφαρµογών, δύο χαρακτηριστικές εκ των οοίων είναι οι ανεµογεννήτριες (Α/Γ) και το ηδάλιο των λοίων
15 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Έστω µία τυική µορφή Α/Γ οριζοντίου άξονα, η οοία εδράζεται σε έναν κατακόρυφο υλώνα (βλ. Σχήµα 4α) και έστω ότι φυσάει σταθερός άνεµος κάθετα στο είεδο ου ορίζουν τα τερύγια της (Α/Γ). Εάν τα τερύγια της (Α/Γ) είναι ακίνητα, τότε ο υλώνας θα δέχεται ένα, χρονικά σταθερό, καµτικό φορτίο (στατική φόρτιση). Εάν, όµως, τα τερύγια της (Α/Γ) εριστρέφονται, τότε ο υλώνας θα δέχεται ένα, χρονικά µεταβαλλόµενο, καµτικό φορτίο (δυναµική φόρτιση) λόγω της διαδοχικής κάλυψης και αοκάλυψης του υλώνα αό τα τερύγια (όταν ένα τερύγιο είναι µροστά αό τον υλώνα, τον καλύτει / κρύβει αό τον άνεµο). Το εν λόγω φορτίο είναι εριοδικό µε συχνότητα ίση ρος το γινόµενο του λήθους των τερυγίων εί την ταχύτητα εριστροφής (σε µία Α/Γ µε ένα τερύγιο και σε µία λήρη εριστροφή του άξονα της Α/Γ, ο υλώνας καλύτεται µία φορά, αλλά σε µία Α/Γ µε τερύγια και σε µία λήρη εριστροφή του άξονα της Α/Γ, ο υλώνας καλύτεται φορές). Συνεώς, η, µε αυτόν τον τρόο, δυναµική διέγερση του υλώνα συνίσταται στην εµφάνιση διαφόρων αρµονικών συνιστωσών διέγερσης. ιευκρινίζεται ότι σε µία τυική (Α/Γ), το µήκος των τερυγίων είναι συγκρίσιµο του ύψους του υλώνα (βλ. Σχήµα 4α), συνεώς η δυναµική φόρτιση του υλώνα, µε τον τρόο ου αναφέρθηκε ροηγουµένως, είναι σηµαντική. Ένα δεύτερο χαρακτηριστικό τεχνολογικό αράδειγµα αοτελεί το ηδάλιο στα λοία. Πιο συγκεκριµένα, ροκειµένου ένα λοίο να εκτελέσει έναν ελιγµό (αλλαγή ορείας) κατά τον λου του, το ηδάλιο τοοθετείται σε εστραµµένη, ως ρος τον διαµήκη άξονα του λοίου, θέση. Εξ αιτίας της εριστροφής της έλικας (ροέλα), ανατύσσεται δυναµική φόρτιση στο ηδάλιο, µε τρόο αντίστοιχο µε αυτόν της (Α/Γ). Σε αυτές, λοιόν, τις εριτώσεις, η σχεδίαση ρέει να είναι τέτοια, ώστε να αοφεύγεται ο συντονισµός, δηλαδή η ιδιοσυχνότητα της κατασκευής να µην ταυτίζεται µε τη συχνότητα των εν λόγω διεγέρσεων. Σε διαφορετική ερίτωση, εµφανίζονται ολύ ισχυρές, θέτοντας σε κίνδυνο την ακεραιότητα της κατασκευής. τερύγιο ηδάλιο τερύγια έλικας υλώνας (α) Σχήµα 4: (α) Ανεµογεννήτρια οριζοντίου άξονα και (β) ηδάλιο λοίου (β)
16 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Μέχρι στιγµής είδαµε ότι µε τη σειρά Furier είναι δυνατόν να αναλύσουµε µία οοιαδήοτε εριοδική διέγερση σε αρµονικές συνιστώσες. Συνεώς, ξέρουµε λέον ώς να διαχειριστούµε µία εριοδική διέγερση. Ωστόσο, οι διεγέρσεις δεν είναι άντοτε εριοδικές. Σε ερίτωση, λοιόν, µη-εριοδικής διέγερσης, αρκεί, µε κάοιον τρόο, να µετατρέψουµε τη µη-εριοδική διέγερση σε εριοδική. Η βασική ιδέα είναι να θεωρήσουµε ένα χρονικό αράθυρο σηµαντικά µεγαλύτερης διάρκειας αό τη χρονική διάρκεια εξέλιξης του µηεριοδικού φαινοµένου ου θέλουµε να µελετήσουµε. Για αράδειγµα, ο σεισµός είναι ένα µη-εριοδικό φαινόµενο µικρής διάρκειας,.χ. ενός λετού. Ωστόσο, αό την οτική γωνία του Μηχανικού, είναι δυνατόν να τον θεωρήσουµε ως εριοδικό φαινόµενο µε ερίοδο,.χ. µισής ώρας. Η ειλογή της εριόδου γίνεται µε κριτήριο την εξασφάλιση εαρκούς χρόνου ώστε το διεγειρόµενο σύστηµα,.χ. κτήριο, να έχει ηρεµήσει λήρως. Το µαθηµατικό εργαλείο, µε το οοίο αναλύουµε µη-εριοδικά φαινόµενα (συµεριλαµβανοµένων και των µεταβατικών φαινοµένων), είναι ο λεγόµενος µετασχηµατισµός Furier. Πρόκειται για τη µαθηµατική εέκταση της ανάτυξης σε σειρά Furier, όταν η ερίοδος τείνει στο άειρο, κάτι µε το οοίο θα ασχοληθούµε σε εόµενη Εκαιδευτική Ενότητα
17 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Υολογισµός ολοκληρωµάτων υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Για τον συντελεστή a : T T T / T F a F si( Ω t) dt si( Ω t) dt F si( Ω t) dt+ F si( Ωt) dt T T T T T / T Ο δεύτερος όρος µηδενίζεται, διότι στο διάστηµα t, T µηδενική τιµή. F t έχει, η συνάρτηση Αλλαγή µεταβλητών: dt τ Ωt dτ Ωdt dt Ω t τ τ Ω t t T T T t τ T Αντικατάσταση και εκτέλεση ράξεων: F dτ F a siτ T T Ω Ω siτ dτ Αό τυολόγιο: Χρήσιµη οσότητα: si ax dx ax + C a ( cs ) Ω T T Ω T T Αντικατάσταση και εκτέλεση ράξεων: F dτ F F a siτ siτ dτ [ csτ] T Ω ΩT T Ω F F F Ω T F [ cs cs ] [ ] T T T Ω Ω Ω F a
18 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Για τον συντελεστή a : T T a F( t) cs( Ω t) dt F si( Ωt) cs( Ω t) dt T T T / F si( Ωt) cs( Ω t) dt+ F si( Ωt) cs( Ωt) dt T T T / T Ο δεύτερος όρος µηδενίζεται, διότι στο διάστηµα t, T µηδενική τιµή. Αλλαγή µεταβλητών: όως και ροηγουµένως F t έχει, η συνάρτηση Αντικατάσταση και εκτέλεση ράξεων: F dt F a si( τ) cs( τ ) si( τ) cs( τ ) dτ T Ω ΩT Αό τυολόγιο: cs a b x cs a b x si( bx) cs ( ax) dx + + C, a b a b a+ b ( x) ( x) ( x) ( x) ( ) Αντικατάσταση και εκτέλεση ράξεων: F a si( τ) cs( τ ) dt ΩT cs ( a b) x cs ( a b) x si( bx) cs ( ax) dx + + C, a b ( a b) ( a+ b) cs cs b, a F x + x τ x T Ω + F cs cs + si si ΩT ( x) ( x) ( x) ( x) ( + ) cs cs si si F cs x cs x + si x si x cs x cs x si x si x ( + ) ( ) T Ω + ( + ) cs( x) cs( x) + si( x) si( x) ( ) cs( x) cs( x) si( x) si( x) ( )( ) F T Ω + F Ω ( ) + + cs x cs x si x si x T
19 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ( ( x) ( x) ) ( x) ( x) ( ) F cs cs + si si a T Ω F cs cs si si + ΩT ( ) ( ) F ( cs( ) cs( ) ) ( si( ) si( ) ) + ΩT ( ) F ( cs cs ) ( cs( ) cs( ) ) T ( Ω ) F F ( cs )( ) cs + T ( ) T Ω Ω ( ) F F cs cs + ( ) ( ) + Εάν εριττός: F F F a cs cs [ ] a Εάν άρτιος: a F F F cs cs( ) [ ] a ( ) F
20 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Για τον συντελεστή b : T T b F( t) si( Ω t) dt F si( Ωt) si( Ω t) dt T T T / F si( Ωt) si( Ω t) dt+ F si( Ωt) si( Ωt) dt T T T / T Ο δεύτερος όρος µηδενίζεται, διότι στο διάστηµα t, T µηδενική τιµή. Αλλαγή µεταβλητών: όως και ροηγουµένως F t έχει, η συνάρτηση Αντικατάσταση και εκτέλεση ράξεων: F dt F b si( τ) si( τ ) si( τ) si( τ ) dτ T Ω ΩT ιακρίνουµε δύο εριτώσεις: Περίτωση Α: Ισχύει: F dt F b si( τ) si( τ ) si( τ) si( τ ) dτ T Ω ΩT F F b si( τ) si( τ) dτ si ( τ) dτ ΩT ΩT Αό τυολόγιο: ( ax) x si si ( ax) dx + C 4a Αντικατάσταση και εκτέλεση ράξεων: F b si ( τ) dτ ΩT si( ) a F τ τ b x si( ax) T Ω 4 si ( ax) dx + C 4a F b ΩT si si( ) F Ω T 4 4 T Ω F F b b
21 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Περίτωση Β: > Τριγωνοµετρική ταυτότητα: si( τ) si( τ ) si( τ) si( τ ) si( τ) si( τ ) + cs( τ) cs( τ ) + si( τ) si( τ ) cs( τ) cs( τ ) si( τ) si( τ ) + cs( τ) cs( τ ) cs( τ) cs( τ ) si( τ) si( τ ) cs( τ τ) cs( τ + τ) cs ( ) τ cs ( + ) τ Άρα ισχύει: F cs ( ) cs ( ) F τ + τ b si( τ) si( τ ) dτ + dτ ΩT ΩT ( ) τ ( + ) F cs cs τ dτ + dτ ΩT F si ( ) si τ + ( + ) τ ΩT ( ) ( + ) F si ( ) τ si ( ) τ + + T Ω ( ) ( + ) F si si si si T Ω + + F si ( ) si ( ) si ( + ) si ( + ) ΩT + ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) F si si + + T Ω + ( + ) si ( ) + ( ) si ( + ) ( )( ) F T Ω + F ( + ) si ( ) + ( ) si ( + ) ΩT b ( )
22 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β: Λετοµερής υολογισµός αρµονικών συνιστωσών αόκρισης Με βάση όσα αναφέρονται στις σελίδες (8-), συµληρώνουµε τον Πίνακα Β., µε τις συµµετέχουσες, στην εξεταζόµενη εφαρµογή, συνιστώσες διέγερσης καθώς και τις αντίστοιχες αοκρίσεις τους. Πίνακας Β.: Συµµετέχουσες συνιστώσες διέγερσης και αντίστοιχες συνιστώσες αόκρισης Συνιστώσα διέγερσης Εξίσωση Περιγραφή υολογισµού Στατική φόρτιση F F µέτρου F Αρµονική διέγερση F si Ωt λάτους F και συχνότητας Ω Αρµονική διέγερση F cs Ωt λάτους F 3 3 και συχνότητας Ω Συνιστώσα αόκρισης Εξίσωση Περιγραφή υολογισµού F k ( si( Ωt ϑ) ) ( cs t ϑ ( Ω ) Στατική αόκριση Αρµονική αόκριση λάτους, µε συχνότητα Ω και διαφορά φάσης θ Αρµονική αόκριση λάτους, µε συχνότητα Ω και διαφορά φάσης ϑ F 5 4 cs( 4Ωt) Αρµονική διέγερση λάτους F 5 και συχνότητας 4Ω ( 4 cs 4 t ϑ4 ( Ω ) Αρµονική αόκριση λάτους 4, µε συχνότητα 4Ω και διαφορά φάσης ϑ F 35 6 cs( 6Ωt) Αρµονική διέγερση λάτους F 35 και συχνότητας 6Ω ( 6 cs 6 t ϑ6 ( Ω ) Αρµονική αόκριση λάτους 6, µε συχνότητα 6Ω και διαφορά φάσης ϑ 6 Τελικά, αό το συνδυασµό των Εξ(7,,8,34), ροκύτει το λάτος της ταλάντωσης : F α k ( q) + ( ζ q) (Β.) Ακολουθεί λετοµερής υολογισµός για κάθε µία συνιστώσα αόκρισης. Ειδικότερα: Για τον ρώτο όρο του ανατύγµατος (σταθερός όρος), αό την Εξ.(6), αναγνωρίζουµε ότι το µέτρο της στατικής δύναµης είναι F ( F ) µόνιµης αόκρισης είναι:, οότε η αντίστοιχη συνιστώσα
23 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - F k Για τον δεύτερο όρο του ανατύγµατος, αό την Εξ.(6), αναγνωρίζουµε ότι, το µέτρο της αρµονικής διέγερσης είναι F F ( F ) διέγερσης,, Ω είναι Ω ΩΩ, ο λόγος q είναι (βλ. Εξ.(34): (Β.), η αντίστοιχη συχνότητα η διαφορά φάσης 3/Σχήµα5): q q (Β.3) ϑ (για ) είναι (βλ. Εξ.(9) & Εκαιδευτική Ενότητα ζ q ζ ϑ ta ϑ q.75< q και το λάτος της αντίστοιχης συνιστώσας αόκρισης είναι (βλ. Εξ.(Β.): (Β.4) F F F k k k ( q ) (.565).75, F F F.43 k.4375 k.4375 k Για τον τρίτο όρο του ανατύγµατος, αό την Εξ.(6), αναγνωρίζουµε ότι, το µέτρο της αρµονικής διέγερσης είναι F F ( F ) διέγερσης (Β.5),, 3, η αντίστοιχη συχνότητα Ω είναι Ω Ω, ο λόγος q είναι (βλ. Εξ.(34): η διαφορά φάσης 3/Σχήµα5): q q (Β.6).75.5 ϑ (για ) είναι (βλ. Εξ.(9) & Εκαιδευτική Ενότητα ζ q ζ ϑ ta ϑ q.5> q και το λάτος της αντίστοιχης συνιστώσας αόκρισης είναι (βλ. Εξ.(Β.): (Β.7) F F F 3 3 k k k ( q ) (.5).5,
24 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - F F 3 3 F.533 k (.5) k.5 k (Β.8) Για τον τέταρτο όρο του ανατύγµατος, αό την Εξ.(6), αναγνωρίζουµε ότι 4, το µέτρο της αρµονικής διέγερσης είναι F F ( F ) διέγερσης,,4 5, η αντίστοιχη συχνότητα Ω είναι Ω 4 4Ω, ο λόγος q είναι (βλ. Εξ.(34): q q (Β.9) η διαφορά φάσης 3/Σχήµα5): ϑ (για 4 ) είναι (βλ. Εξ.(9) & Εκαιδευτική Ενότητα ζ q 4 ζ ϑ4 ta ϑ q 4 4 3> q4 (Β.) και το λάτος της αντίστοιχης συνιστώσας αόκρισης είναι (βλ. Εξ.(Β.): F F F 5 5 k k k ( q ) ( 9) 4 3,4 4 F F 5 5 F 4.66 k ( 8) k 8 k (Β.) Για τον έµτο όρο του ανατύγµατος, αό την Εξ.(6), αναγνωρίζουµε ότι 6, το µέτρο της αρµονικής διέγερσης είναι F F ( F ) διέγερσης,,6 35, η αντίστοιχη συχνότητα Ω είναι Ω 6 6Ω, ο λόγος q είναι (βλ. Εξ.(34): q q (Β.) η διαφορά φάσης 3/Σχήµα5): ϑ (για 6 ) είναι (βλ. Εξ.(9) & Εκαιδευτική Ενότητα ζ q 6 ζ ϑ6 ta ϑ q > q6 (Β.3) και το λάτος της αντίστοιχης συνιστώσας αόκρισης είναι (βλ. Εξ.(Β.):
25 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - F F F k k k ( q ) (.5) 6 4.5,6 6 F F F 6.97 (Β.4) k ( 9.5) k 9.5 k Συγκρίνοντας µεταξύ τους τα λάτη, 4, 6 διαιστώνουµε ότι: F F F , 6.97 k k k (Β.5) Συνεώς, οι όροι 4 και 6 εµφανίζουν ολύ µικρή συµµετοχή και, αό τεχνολογική ροσέγγιση, αµελούνται
26 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ: Ανάτυγµα συνάρτησης F( t ) κατά Furier υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Για την καλύτερη κατανόηση της ανάτυξης της συνάρτησης F( t ) κατά Furier, αρατίθενται οι γραφικές αραστάσεις των συνιστωσών. Πίνακας Γ.: Αρµονικές συνιστώσες του ανατύγµατος της F( t ) κατά Furier,,,,,,,,,,,8,8,8,8,8,6,6,6,6,6,4,4,4,4,4,,,,,,,,,, -, -, -, -, -, -,4 -,4 -,4 -,4 -,4 -, , , , , (Αρµονική Συνιστώσα #) (Αρµονική Συνιστώσα #) (Αρµονική Συνιστώσα #3) (Αρµονική Συνιστώσα #4) (Αρµονική Συνιστώσα #5) Πίνακας Γ.: Προσέγγιση της διέγερσης F( t ) (καµύλη µε κόκκινο χρώµα) χρησιµοοιώντας εερασµένο λήθος όρων του, κατά Furier, ανατύγµατος της F( t ),,,,,,,,,8,8,8,8,6,6,6,6,4,4,4,4,,,,,,,, -, , , , (Προσέγγιση µε όρους) (Αρµονική Συνιστώσα #) + (Αρµονική Συνιστώσα #) (Προσέγγιση µε 3 όρους) (Αρµονική Συνιστώσα #) + (Αρµονική Συνιστώσα # + (Αρµονική Συνιστώσα #3) (Προσέγγιση µε 4 όρους) (Αρµονική Συνιστώσα #) + (Αρµονική Συνιστώσα #) + (Αρµονική Συνιστώσα #3) + (Αρµονική Συνιστώσα #4) (Προσέγγιση µε 5 όρους) (Αρµονική Συνιστώσα #) + (Αρµονική Συνιστώσα #) + (Αρµονική Συνιστώσα #3) + (Αρµονική Συνιστώσα #4)+ (Αρµονική Συνιστώσα #5)
ΑΣΚΗΣΗ 5. έκδοση DΥΝI-EXC b
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 5 έκδοση DΥΝI-EXC05-016b Coyright Ε.Μ.Π. - 016 Σχολή
Διαβάστε περισσότεραPhysics by Chris Simopoulos
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ Χαρακτηριστικά μεγέθη της αλής αρμονικής ταλάντωσης είναι: Α) Αομάκρυνση (x ή y): ονομάζεται η αόσταση του σώματος κάθε χρονική στιγμή αό την θέση ισορροίας (x= ή y=) Β) Το λάτος της
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Η ηµιτονοειδής συνάρτηση
8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Η ηµιτονοειδής συνάρτηση 9. Γενικά για την ηµιτονοειδή συνάρτηση Η συνάρτηση αυτή χρησιµοοιείται ολύ στην Ηλεκτρολογία αλλά και σε άλλες Τεχνικές Ειστήµες. Οι λόγοι είναι οι ακόλουθοι: α Με
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις...
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία... 16 Παραδείγματα... 6 Ασκήσεις... 33 ΕΝΟΤΗΤΑ : ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ... 39 Θεωρία... 39 Ερωτήσεις...
Διαβάστε περισσότερακινητού και να βρούµε ποιο από τα δυο προηγείται, πρέπει να ακολουθήσουµε τα εξής βήµατα:
Ποιο µέγεθος ροηγείται ανάµεσα σε δυο µεγέθη ου αρουσιάζουν διαφορά φάσης µεταξύ τους Προκειµένου να καθορίσουµε τη διαφορά φάσης ανάµεσα σε δύο φυσικά µεγέθη ενός κινητού και να βρούµε οιο αό τα δυο ροηγείται,
Διαβάστε περισσότεραPhysics by Chris Simopoulos
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ Να διαβάσετε τις σελίδες 8-1 του σχολικού βιβλίου. Να ροσέξετε ιδιαίτερα τα σχήµατα 1.1, 1.3 και 1.4 καθώς και τους ορισµούς της αρχικής φάσης και της φάσης της ταλάντωσης.
Διαβάστε περισσότεραΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας,
ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. Η ροσέγγιση συναρτήσεων µέσω ολυωνύµων, την οοία µελετήσαµε στην ροηγούµενη Ενότητα, αρά την αοτελεσµατικότητα και την, σχετική, αλότητά της, αοδεικνύεται ανεαρκής για την εριγραφή/ροσέγγιση
Διαβάστε περισσότεραΤαλαντώσεις ερωτήσεις κρίσεως
Ταλαντώσεις (Γενικές ερωτήσεις κρίσεως) 1. Σώµα εκτελεί γ.α.τ. Τη στιγµή t = 0 είναι x = 0 και υ > 0. Στη διάρκεια µιας εριόδου (Τ) η ταχύτητα του σώµατος αλλάζει φορά: α) δύο φορές, β) τρεις φορές, γ)
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΠΤΥΞΕΩΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER
ΣΧΟΛΗ. Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ Σ.Α.Ε. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΠΤΥΞΕΩΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER ρ. Α. Μαγουλάς Οκτώβριος 4 Παράδειγµα Έστω το ακόλουθο εριοδικό σήµα f ( f
Διαβάστε περισσότεραΜερικές Διαφορικές Εξισώσεις
Πανειστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 17-18, Διδάσκων: Α.Τόγκας 3ο φύλλο ροβλημάτων Ονοματεώνυμο - ΑΜ: ΜΔΕ 3ο φύλλο ροβλημάτων Α. Τόγκας
Διαβάστε περισσότεραΤετραγωνική κυματομορφή συχνότητας 1 Hz
Τετραγωνική κυματομορφή συχνότητας 1 Hz Η κυματομορφή, στην γενική της μορφή θα είναι : V 0 2 3 ωt -V Η κυματομορφή είναι εριττή Η κυματομορφή, όως φαίνεται εύκολα αό το σχήμα, έχει μέση τιμή μηδενική,
Διαβάστε περισσότεραz έχει µετασχ-z : X(z)= 2z 2
ΨΕΣ-Μετασχ- Λύσεις Ασκήσεων Σ.Φωτόουλος ΑΣΚΗΣΗ 4. Βρείτε τον µετασχηµατισµό- των σηµάτων ου φαίνονται στο αρακάτω σχήµα Α4. εκφράζοντάς τους σε όσο το δυνατόν αλούστερη-συµαγέστερη µορφή. a a a -->...
Διαβάστε περισσότεραΤριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις
6 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 1. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Περιοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει T τέτοιος ώστε για κάθε x A να
Διαβάστε περισσότεραΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-12)
ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-) ΛΥΣΕΙΣ 5 ΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ, - Eνότητες: 8,9,,,, αό το βιβλίο «ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ» Γ. άσιου. Παράδοση της εργασίας µεχρι τις 9 /4/
Διαβάστε περισσότερα7.1. Το ορισµένο ολοκλήρωµα
Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 7 Το ορισµένο ολοκλήρωµα 7 Το ορισµένο ολοκλήρωµα Για το αόριστο ολοκλήρωµα βρήκαµε ότι: Αν η συνάρτηση F ( είναι µια αρχική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραυναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 22.
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 0-0 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι -. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 0-0 Cprigh ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 0. Με επιφύλαξη παντός
Διαβάστε περισσότερα1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 1 η δεκάδα θεµάτων εανάληψης 1. ίνεται το ολυώνυµο Ρ(x) = x 3 x 2 4x + 4 Να αοδείξετε ότι ο αριθµός ρ = 1 είναι ρίζα του ολυωνύµου i Να βρείτε το ηλίκο της διαίρεσης του ολυωνύµου Ρ(x) µε το ολυώνυµο
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 6 Αό τα κάτωθι Θέµατα καλείσθε να λύσετε το ο ου εριλαµβάνει ερωτήµατα αό όλη την ύλη του
Διαβάστε περισσότεραΜια εναλλακτική θεμελίωση των κυμάτων
Μια εναλλακτική θεμελίωση των κυμάτων Τα κύµατα δεν είναι η συνέχεια των ταλαντώσεων, όως για διδακτικούς λόγους κάνουµε 1. Η διάδοση ενός αλµού. Έστω ότι έχουµε ένα ελαστικό µέσο,.χ. µια τεντωµένη οριζόντια
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΠΤΥΓΜA -ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ
3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA -ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόο ανάτυξης σε σειρά Fourir ενός εριοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourir ενός µη εριοδικού αναλογικού
Διαβάστε περισσότεραΈνα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα τρεις (3) απλές αρμονικές ταλαντώσεις, που έχουν ίδια διεύθυνση, ίδια θέση ισορροπίας και εξισώσεις:
Εφαρμογή: ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα τρεις () αλές αρμονικές ταλαντώσεις, ου έχουν ίδια διεύθυνση, ίδια θέση ισορροίας και εξισώσεις: x1 ( t) = 0.1 ηµ 99 t (S.I.) ( ) ηµ ( ) x t =
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση (8 µον) Χρησιµοοιώντας την αντικατάσταση acosθ, ή ataθ, για µια κατάλληλη
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΣΜΟΙΩΣΗΣ 1, 23/03/2018 ΘΕΜΑ Α
Λύσεις των θεμάτων ροσομοίωσης //8 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΣΜΟΙΩΣΗΣ //8 ΘΕΜΑ Α Α. Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστο διάστημα a β όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του a β και ειλέον:
Διαβάστε περισσότεραΓ ΚΥΚΛΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ
Προτεινόµενα Θέµατα Γ Λυκείου Νοέµβριος 00 Φυσική κατεύθυνσης ΘΕΜΑ Α Στις ροτάσεις αό -4 να βρείτε την σωστή αάντηση.. Μία αό τις αρακάτω σχέσεις εριγράφει την συχνότητα της αµείωτης ηλεκτρικής ταλάντωσης
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 5 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.) Λύση: f ( ) ( ) ( ) ( )! f α) Ο τύος της σειράς µε κέντρο
Διαβάστε περισσότεραείναι γραµµικώς ανεξάρτητοι, αποτελούν βάση του υποχώρου των πινάκων Β άρα η διάστασή του είναι 2. και 2
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 Ιουλίου 6 Αό τα κάτωθι Θέµατα καλείσθε να λύσετε το ο ου εριλαµβάνει ερωτήµατα αό όλη την ύλη του µαθήµατος, ενώ αό τα Θέµατα,, 4 και 5 µορείτε να ειλέξετε
Διαβάστε περισσότερα08.2 Αναπαράσταση περιοδικών ακολουθιών µε ιακριτές Σειρές Fourier
ΜΑΘΗΜΑ 8: Ο ΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER 8. Εισαγωγή Έχουµε ήδη γνωρίσει τον Μετασχηµατισµό Fourir ιακριτού Χρόνου (ΜΦ Χ) ο οοίος µετασχηµατίζει µια ακολουθία σε µια συνάρτηση της συνεχούς µεταβλητής
Διαβάστε περισσότερασώμα από τη θέση ισορροπίας του με οριζόντια ταχύτητα μέτρου 4 m/s και με φορά προς τα δεξιά.
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΕΛΑΤΗΡΙΑ. Ένα σώμα μάζας m = kg βρίσκεται άνω σε λείο δάεδο και είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = N/m, το άλλο άκρο του οοίου είναι στερεωμένο σε κατακόρυφο
Διαβάστε περισσότεραf(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f.
ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Θεωρία (σειρές Fourier) Εάν μιά συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το και υάρχει αριθμός λ> τέτοιος ώστε να ισχύει: f(x)f(x+λ), x Τότε η συνάρτηση καλείται εριοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για
Διαβάστε περισσότεραΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας
Πρόβλημα 15. Για κάθε μια αό τις ακόλουθες αρχικές τιμές θερμοκρασίας i) να βρεθεί η λύση στην μορφή μια σειράς Fourier της εξίσωσης της θερμότητας με εριοδικές συνοριακές συνθήκες u t = u x x < x
Διαβάστε περισσότεραΟΙ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
ΟΙ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΣΗΝ ΡΙΓΩΝΟΜΕΡΙΑ Νικ. Ιωσηφίδης, Μαθηµατικός Φροντιστής, ΒΕΡΟΙΑ e-mail: iossifid@yahoo.gr Η εργασία αυτή γράφτηκε για τους µαθητές της Β Λυκείου όταν (δεκαετία 98-990) η ριγωνοµετρία δεν
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών Το ρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας (ή τόξου) καθ αό το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται
Διαβάστε περισσότεραΤριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων
1 Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόουλος ρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στην εργασία αυτή εισηµαίνονται και αναλύονται
Διαβάστε περισσότερα3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
1.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός Έστω µία συνάρτηση f µε εδίο ορισµού Α και A Θα λέµε ότι η f είναι εριοδική όταν υάρχει ραγµατικός αριθµός Τ > 0 έτσι ώστε για κάθε Α να ισχύει : i)
Διαβάστε περισσότεραυναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 10.
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι -. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - opyrght ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών -. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος.
Διαβάστε περισσότεραPhysics by Chris Simopoulos
ΠΥΚΝΩΤΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Πυκνωτή ονομάζουμε ένα σύστημα δυο αγωγών οι οοίοι βρίσκονται σε μικρή αόσταση μεταξύ τους και φέρουν ίσα και αντίθετα ηλεκτρικά φορτία. Χαρακτηριστικό μέγεθος των υκνωτών
Διαβάστε περισσότεραπ 5 = 6 δηλ. μας δίνει την αρχή του κύματος (το σημείο Ο), το μέσο που διαδίδεται ( η έκφραση οµογενές
Στην άσκηση για µηχανικό κύµα ο ακοοθεί, γίνεται ανατική εεξεργασία 7 ερωτηµάτων ΑΣΚΗΣΗ Αρµονικό κύµα διαδίδεται κατά µήκος γραµµικού οµογενούς εαστικού µέσο κατά τη διεύθνση το θετικού ηµιάξονα Ox. Η
Διαβάστε περισσότερα1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας
v.5 «Αυτό το ρόβλημα, τούτ η μεγάλη συμφορά για να λυθεί χρειάζεται, δίχως αμφιβολία, όως κοιτάζω α τη δική σου την λευρά, να δεις κι εσύ α τη δική μου τη γωνία».. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2015
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 0 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ. ΘΕΜΑ Α Στις αρακάτω ροτάσεις να ειλέξετε την σωστή αάντηση A. Σε μια αλή αρμονική ταλάντωση η αομάκρυνση και η ειτάχυνση την ίδια χρονική
Διαβάστε περισσότερα3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
. Ι ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 8 8 A Oµάδας.i) Να σχεδιάσετε τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων, στο ίδιο σύστηµα αξόνων: f() = ηµ, g() = 0,5.ηµ, h() = ηµ, 0 0 ηµ
Διαβάστε περισσότεραΑ=5 m ω=314 rad/sec=100π rad/sec
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1. Ασκήσεις με τα χαρακτηριστικά της κίνησης. Μικρές ασκήσεις ου αναφέρονται στους ορισμούς της εριόδου, της συχνότητας, του λάτους και της ενέργειας της ταλάντωσης.
Διαβάστε περισσότεραTριγωνομετρικές εξισώσεις
Tριγωνομετρικές εξισώσεις Εχουμε μάθει να λύνουμε εξισώσεις ρώτου βαθμού και δευτέρου βαθμού ου είναι ισότητες ου εριέχουν έναν άγνωστο και ροσαθούμε να βρούμε για οιά (ή οιές) τιμές αυτού του αγνώστου
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 5- ΛΥΣΕΙΣ Οι ασκήσεις της Εργασίας αυτής βασίζονται στην ύλη των Ενοτήτων 9 του συγγράµατος «Λογισµός Μιας Μεταβλητής»
Διαβάστε περισσότεραΦίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό, ου κρατάς στα χέρια σου ροέκυψε τελικά μέσα αό την εμειρία και διδακτική διαδικασία ολλών χρόνων στον Εκαιδευτικό Όμιλο Άλφα. Είναι το αοτέλεσμα συγγραφής ολλών καθηγητών μας
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ -ΑΡΜΟΝΙΚΟ ΚΥΜΑ-ΣΤΑΣΙΜΟ
ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ -ΑΡΜΟΝΙΚΟ ΚΥΜΑ-ΣΤΑΣΙΜΟ Το σηµείο Ο γραµµικού ελαστικού µέσου το οοίο ταυτίζεται µε τον άξονα χ Οχ, εκτελεί ταυτόχρονα δύο Α.Α.Τ ου γίνονται στην ίδια διεύθυνση, κάθετα στον άξονα χ
Διαβάστε περισσότερα1. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας,
ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΙΔΙΑ ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας, οι οοίες εξελίσσονται γύρω αό την ίδια θέση ισορροίας.
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7. Εισαγωγή στην Ανάλυση Fourier.
7 Σειρές Fourier Κεφάλαιο 7 Εισαγωγή στην Ανάλυση Fourier Mια συνάρτηση : R καλείται εριοδική µε ερίοδο >, αν ισχύει ( x) = ( x+ ) για κάθε x R και ο είναι ο µικρότερος αριθµός για τον οοίο ισχύει αυτή
Διαβάστε περισσότεραΓ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις 1 έως 4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίλα σε κάθε αριθµό το γράµµα ου αντιστοιχεί στη σωστή
Διαβάστε περισσότεραF = y n cos xˆx + sin xŷ. W OABO = F d r. ds + sin(x)dy ds. dy ds = 1 π. ) n 1 cos(s) + sin(s)ds. dy ds = 0. ds = 1 &
Μηχανική Ι Εργασία #4 Μουζλάνοβ Γεώργιος Αριθμός Μητρώου:478 3 Οκτωβρίου 6 Άσκηση Αό τα δεδομένα της άσκησης έχουμε τα εξής: F = y n cos ˆ + sin ŷ Το έργο στην κλειστή διαδρομή O A B O είναι το κλειστό
Διαβάστε περισσότεραΦσζική Γ Λσκείοσ. Θεηικής & Τετμολογικής Καηεύθσμζης. Μηταμικές Ταλαμηώζεις Οι απαμηήζεις. Καλοκαίρι Διδάζκωμ: Καραδημηηρίοσ Μιτάλης
Φσζική Γ Λσκείοσ Θεηικής & Τετμολογικής Καηεύθσμζης Μηταμικές Ταλαμηώζεις Οι ααμηήζεις Καλοκαίρι - Διδάζκωμ: Καραδημηηρίοσ Μιτάλης http://perifysikhs.wordpress.com Πηγή: Study4exams.gr Οι Ααμτήσεις στις
Διαβάστε περισσότεραανάλυση, σχόλια και προεκτάσεις με αφορμή απαντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών που διατυπώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη
ανάλυση, σχόλια και ροεκτάσεις με αφορμή ααντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών ου διατυώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη (αραδείγματα αό τα μαθηματικά του λυκείου) του Δημητρίου Ντρίζου σχολικού
Διαβάστε περισσότεραΤο θεώρηµα Αλλαγής µεταβλητής και οι µετασχηµατισµοί συντεταγµένων
8 Το θεώρηµα λλαγής µεταβλητής και οι µετασχηµατισµοί συντεταγµένων Όως έχουµε ήδη αναφέρει η δεύτερη βασική µέθοδος υολογισµού ολλαλών ολοκληρωµάτων είναι αυτή της αλλαγής µεταβλητής, την οοία έχουµε
Διαβάστε περισσότερα(Μονάδες 15) (Μονάδες 12)
ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκε ί ου τ ράε ζ αθε μάτ ων( 1ηέ κδοση) θέ μαδε ύτ ε ροκαιτ έ τ αρτ ο Κόμβ οςατ σι οούλου01415 δης Ει μέ λε ι α:εμμανουήλκ.σκαλί Αντ ώνηςκ.αοστ όλου Άσκηση 1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 2λ 3 Μονάδες 5
ΘΕΜΑ 1ο ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 11 ΙΟΥΛΙΟΥ 009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ)
Διαβάστε περισσότεραΓ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
Εαναλητικά Θέµατα ΟΕΦΕ 011 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις 1 έως 4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίλα σε κάθε αριθµό το γράµµα
Διαβάστε περισσότερα3.1 Αλυσίδες Markov διακριτού χρόνου
Κεφάλαιο 3 Συστήµατα Markov Μια διαδικασία Markov µε διακριτό χώρο καταστάσεων ονοµάζεται αλυσίδα Markov Ένα σύνολο αό τυχαίες µεταβλητές { } αοτελούν µια αλυσίδα Markov όταν η ιθανότητα η εόµενη τιµή
Διαβάστε περισσότεραΘέµα 1 ο Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ *** ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Στις ερωτήσεις 1-5 να επιλέξετε την σωστή απάντηση :
Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ *** ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµα ο Στις ερωτήσεις - 5 να ειλέξετε την σωστή αάντηση :. Η ερίοδος µιας γραµµικής αρµονικής ταλάντωσης α. εξαρτάται άντα αό τη
Διαβάστε περισσότεραΜοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοοίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 207-208 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Εικ. Καθηγητής v.kouras@fme.aegea.gr
Διαβάστε περισσότεραΡάβδος σε σκαλοπάτι. = Fημθ και Fy
Ράβδος σε σκαλοάτι Ράβδος μήκους ύψους ακουμά σε σκαλοάτι όως φαίνεται στο σχήμα. Το κάτω άκρο της είναι σε εαφή με λείο κατακόρυφο εμόδιο το οοίο μορεί να κρατείται σταερό σε οοιαδήοτε έση. Μεταξύ ράβδου
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ. ii) Στις τρεις διαστάσεις, η ισχύς κατανέµεται σε σφαιρικές επιφάνειες, οπότε θα ισχύει: απ όπου προκύπτει για την ένταση Ι: 1
η Ερώτηση ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ Όταν ρίξουµε µια έτρα στην ειφάνεια µιας ήρεµης λίµνης, τότε στο σηµείο της ειφάνειας ου έεσε η έτρα ροκαλείται µια διατάραξη της ειφανειακής µάζας του νερού στην ειφάνεια
Διαβάστε περισσότεραΕλευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου
Ελευθέριος Πρωτοαάς Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Δεκέμβριος 04 Περιεχόµενα o Θέμα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα 6950 8 6954 9
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι - ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΩΝ : Χρήστος Βοζίκης
ΤΜΗΜΑ Β ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΚΑ. ΕΤΟΣ 5-6 ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 6 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι - ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι
Διαβάστε περισσότεραΤα σώματα του σχήματος έχουν μάζες m = 1 kg και Μ = 2 kg και συνδέονται με νήμα.
Ταλάντωση μετά αό κόψιμο του νήματος. Σώματα δεμένα με νήμα σε κατακόρυο ελατήριο. Τα σώματα του σχήματος έχουν μάζες = g και Μ = g και συνδέονται με νήμα. Το σώμα μάζας αέχει αό το δάεδο αόσταση H = 7
Διαβάστε περισσότεραΦυσική Γ Θετ. και Τεχν/κης Κατ/σης
Φυσική Γ Θετ. και Τεχν/κης Κατ/σης 07-08 Φυσική Γ Θετ. και Τεχν/κης Κατ/σης 07-08 ΣΥΝΘΕΣΗ Α ΤΥΠΟΥ Ασκήσεις - Ερωτήσεις σχολικού: 5,, 4, 5, 45. ΣΥΝΘΕΣΗ Β ΤΥΠΟΥ Ασκήσεις - Ερωτήσεις σχολικού: 6, 6, Σύνθεση
Διαβάστε περισσότεραΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. εφχ = εφθ χ = κ + θ χ = κ π + θ ( τύποι λύσεων σε ακτίνια )
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ηµχ = ηµθ χ = 0 0 κ + θ ή χ = 0 0 κ + 80 0 - θ ( τύοι λύσεων σε µοίρες ) χ = κ + θ ή χ = κ + - θ ( τύοι λύσεων σε ακτίνια ) κ ακέραιος συνχ = συνθ χ = 0 0 κ ± θ ( τύοι λύσεων
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ
ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί i Δίνεται ο μιγαδικός και έστω w α. Να ρεθεί ο μιγαδικός w όταν w. Να δείετε ότι w i γ. Αν η εικόνα του κινείται στον κύκλο κέντρου, και ακτίνας και Μ είναι η εικόνα του w στο μιγαδικό
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ
ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει ραγματικό μέρος φανταστικό μέρος u( x, y) xcos y και v( x, y) xsi y Αό την θεωρία γνωρίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ
ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΚΥΜΑΤΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. Αν γνωρίζουμε την εξίσωση της αομάκρυνσης ενός αρμονικού κύματος μορούμε να βρούμε την εξίσωσης της ταχύτητας
Διαβάστε περισσότεραΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΟΡΔΗΣ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΟΡΔΗΣ Συγγραφή Ειμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΟΜΑΔΑΣ Έχουμε: y i 6 + y + y y Άρα, η λύση του συστήματος
Διαβάστε περισσότεραΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ
Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β E.M.E. (τεύχος 4) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κώστα Βακαλόουλου ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αν κάοιος θέλει να άψει να φοβάται το κεφάλαιο της Τριγωνομετρίας, ρέει ν αοφασίσει να διαβάσει ροσεκτικά τους
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
http://eepgr/pli/pli/studetshtm ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ), - ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤ Τα κάτωθι ροβλήµατα ροέρχονται αό την ύλη και των συγγραµµάτων της
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις κρίσεως στις µηχανικές ταλαντώσεις
Κεφάλαιο 7 ο Ερωτήεις κρίσεως, για καλύτερη κατανόηση της θεωρίας 1 Ερωτήσεις κρίσεως στις µηχανικές ταλαντώσεις Αό τις ακόλουθες ερωτήσεις να σηµειώσετε το γράµµα ου αντιστοιχεί στη σωστή αάντηση. 1.
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013. Ηµεροµηνία: Κυριακή 21 Απριλίου 2013 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Αριλίου 013 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις αό Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιο
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ. ,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα από τα σύνολα (α, x. lim. lim g(x) , λ σταθερά lim g(x) (ισχύει και για περισσότερες από 2
ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ Έστω μια συνάρτηση f η οοία ορίζεται όσο κοντά θέλουμε στο,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα αό τα σύνολα (α, ) (,β) ή (α, ) ή (,β). Όταν οι τιμές της f()ροσεγγίζουν όσο θέλουμε τον ραγματικό
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανολογίας
Εργασία II Χειμερινό Εξάμηνο 7 Τεχνολογικό Εκαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανολογίας Πρόβλημα Μετρήσεις Τεχνικών Μεγεθών Χειμερινό Εξάμηνο 7 Παραδοτέα 7 Πρόοδος Ι & 7 ΕΡΓΑΣΙΑ
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΑΝΩΤΕΡΑ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΙΔΡΥΜΑΤΑ. Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΑΝΩΤΕΡΑ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΙΔΡΥΜΑΤΑ Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: 6
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία Θεώρημα σελ. 145 σχολικού βιβλίου. Α2. Θεωρία Ορισμός σελ. 15 σχολικού βιβλίου
Σελίδα αό ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 8 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Φροντιστήρια Ρούλα Μακρή
Διαβάστε περισσότεραΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017
Στασίνου 6, Γραφ., Στρόβολος, Λευκωσία Τηλ. 57-78 Φαξ: 57-79 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Παρασκευή, 9/5/7 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΜΕΡΟΣ Α ln( x). Να υολογίσετε
Διαβάστε περισσότεραΜηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3.
ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 3.1 - Cpright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 2012. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται
Διαβάστε περισσότεραΜια φθίνουσα ταλάντωση, στην οποία η μείωση του πλάτους δεν είναι εκθετική.
Μια φθίνουσα ταλάντωση, στην οοία η μείωση του λάτους δεν είναι εκθετική. Το ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς =100N/, το οοίο έχει το φυσικό του μήκος, είναι ακλόνητα στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο.
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις σε τρέχοντα µηχανικά κύµατα
Ασκήσεις σε τρέχοντα µηχανικά κύµατα 1. Η ηγή διαταραχής Π αρχίζει τη χρονική στιγµή µηδέν να εκτελεί α.α.τ. λάτους Α=1 cm και συχνότητας f=, Hz. Το κύµα ου δηµιουργεί διαδίδεται κατά µήκος γραµµικού οµογενούς
Διαβάστε περισσότερα5 Ταλαντώσεις. Ταλαντώσεις - κυμάνσεις. Ταλάντωση ορισμός Σύστημα μάζας ελατηρίου Απλό εκκρεμές Φυσικό εκκρεμές Βηματισμός
5 Ταλαντώσεις Ταλάντωση ορισμός Σύστημα μάζας ελατηρίου Αλό εκκρεμές Φυσικό εκκρεμές Βηματισμός Μαρία Κατσικίνη aii@auh.gr uer.auh.gr/aii Ταλαντώσεις - κυμάνσεις Ταλάντωση είναι μια εριοδική κίνηση, δηλαδή
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ
ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» β) Το ραγματικό και το φανταστικό μέρος της f ( ) γράφονται uy (, ) = y και v(, y) = y Οι ρώτες μερικές
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ 010-11 ΘΕΜΑ 1 ο : 1) Κατά τη διάδοση ενός κύματος σ ένα ελαστικό μέσον i) μεταφέρεται ύλη. ii) μεταφέρεται ενέργεια και ύλη. iii) όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου έχουν την ίδια
Διαβάστε περισσότεραΠανελλήνιες Εξετάσεις 2012 Φυσικής Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Μελέτη Σχόλια για το Θέμα Γ.4
Πανελλήνιες Εξετάσεις 01 Φυσικής Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Μελέτη Σχόλια για το Θέμα Γ.4 ΤΟ ΘΕΜΑ: Ομογενής και ισοαχής δοκός ΟΑ μάζας Μ = 6Kg και μήκους l=0,m μορεί να στρέφεται χωρίς
Διαβάστε περισσότεραΠροτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Φυσική Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ
Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Φυσική Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ 1 (β) (γ) 3 (δ) 4 (α) 5 α (Σ), β (Λ), γ (Λ), δ (Λ), ε (Λ) ΘΕΜΑ 1ο ΘΕΜΑ ο 1 (α, στ) Το έργο W της
Διαβάστε περισσότεραt 0 = 0 u = 0 F ελ (+) χ 1 u = 0 t 1
ΑΑΠΑΑΝΗΣΣΙΙΣΣ ΣΣΟ ΙΙΑΑΓΓΩ ΩΝΙΙΣΣΜΑΑ ΦΦΥΥΣΣΙΙΚΚΗΣΣ ΠΡΡΟΣΣΑΑΝΑΑΟΛΛΙΙΣΣ ΣΣΜΟΥΥ ΓΓ ΛΛΥΥΚΚΙΙΟΥΥ 88 -- 55 Θέµα Α Α. α Α. β Α3. α Α4. γ Α5. α. Λ β. Σ γ. Σ δ. Σ ε. Σ Θέµα Β Β. Α. Σωστή αάντηση: (α) Η ιδιοσυχνότητα
Διαβάστε περισσότερα3.4 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις
3.4 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις Περιοδικές συναρτήσεις Ορισμός Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ>0 τέτοιος ώστε για κάθε Α να ισχύει: ( T)A και
Διαβάστε περισσότεραΔύο κύματα στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσον.
Δύο κύματα στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσον. Σε δύο σημεία Ο 1 και Ο, τα οοία αέχουν αόσταση (Ο 1 Ο )=d=4m, ενός άειρου γραμμικού ελαστικού μέσου, υάρχουν δυο ηγές κύματος, οι οοίες αρχίζουν να ταλαντώνονται
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 «Ταλαντώσεις»
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 «Ταλαντώσεις» Μαρία Κατσικίνη aii@auh.gr uer.auh.gr/~aii Οι έντε αισθήσεις Αντίληψη του εριβάλλοντος Όραση Ακοή Γεύση Αφή Όσφρηση φς ήχος κύματα ηλεκτρομαγνητικά μηχανικά Ταλαντώσεις - κυμάνσεις
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αοστολής στον Φοιτητή: 9 Mαίου 7 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας αό τον Φοιτητή: Ιουνίου 7 Άσκηση. ( µον.) ίνεται το σύστηµα
Διαβάστε περισσότεραΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σπουδών) Ασκήσεις που παρουσιάστηκαν στο µάθηµα (2008-09)
ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σουδών) Ασκήσεις ου αρουσιάστηκαν στο µάθηµα (8-9). Η σχέση διασοράς για τη ζώνη αγωγιµότητας Ε c c () ενός κυβικού ηµιαγώγιµου υλικού
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 1ο. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμίας από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.
Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων στη Φυσική Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης - ο ΘΕΜΑ 1ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμίας αό τις αρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίλα το γράμμα ου
Διαβάστε περισσότεραΣειρές συναρτήσεων. Τα μαθηματικά συγκρίνουν τα πιο διαφορετικά φαινόμενα και ανακαλύπτουν τις μυστικές αναλογίες, που τα ενώνουν.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Σειρές συναρτήσεων Καθώς το εερασμένο ερικλείει μία άειρη σειρά Και στο αεριόριστο εμφανίζονται όρια Έτσι και η ψυχή της αεραντοσύνης φωλιάζει στις μικρές λετομέρειες Και μέσα στα ιο στενά όρια,
Διαβάστε περισσότεραΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σπουδών)
ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σουδών) η Σειρά Ασκήσεων //7 Ι. Σ. Ράτης Ειστροφή µέχρι //7. Η σχέση διασοράς για τη ζώνη αγωγιµότητας Ε c c () ενός κυβικού ηµιαγώγιµου
Διαβάστε περισσότεραιαφορικές Εξισώσεις µε Μερικές Παραγώγους, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Τελική Εξέταση Περιόδου Ιουνίου.
ιαφορικές Εξισώσεις µε Μερικές Παραγώγους, Ααντήσεις-Παρατηρήσεις στην Τελική Εξέταση Περιόδου Ιουνίου. Ανδρέας Ζούας 8 Σετεµβρίου Οι λύσεις αλώς ροτείνονται και σαφώς οοιαδήοτε σωστή λύση είναι αοδεκτή!
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Σειρές Fourier - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Σειρές Fourier - Ασκήσεις Αόστολος Γιαννόουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το αρόν εκαιδευτικό υλικό υόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκαιδευτικό υλικό, όως εικόνες, ου υόκειται
Διαβάστε περισσότεραΤΡΙΤΗ, 30 ΜΑΪΟΥ 2000 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ ΠΡΩΤΟ ΤΡΙΤΗ, 30 ΜΑΪΟΥ 000 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α. (α) Πότε ένας γεωµετρικός µετασχηµατισµός ονοµάζεται γραµµικός; (,5 µονάδες) r (β) Αν Μ(x, y) σηµείο
Διαβάστε περισσότεραΆγγελος Λιβαθινός, Μαθηματικός. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ. Α1. Θεωρία ( Σχολικό Βιβλίο, Σελίδα 98. Μέτρο Μιγαδικού αριθμού- ιδιότητα)
ΘΕΜΑ 1 ο ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΕΩΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ Α1 Θεωρία ( Σχολικό Βιβλίο, Σελίδα
Διαβάστε περισσότερα