2. ÁÑ Ç ÄÉÁÔÇÑÇÓÇÓ ÔÇÓ ÌÁÆÁÓ 2.1 Èåþñçìá ÌåôáöïñÜò ôïõ Reynolds

Transcript

1 2. ÁÑ Ç ÄÉÁÔÇÑÇÓÇÓ ÔÇÓ ÌÁÆÁÓ 2.1 Èåþñçìá ÌåôáöïñÜò ôïõ Reynolds Åóôù Ýíá ðåäßï φ (,t) êáé Ýóôù (t) ψ (t) φ (,t) d ψ ôï ïëïêëþñùìü ôïõ óôï äéüóôçìá [,], Ãéá ðáñüäåéãìá, ôï ðåäßï áõôü èá ìðïñïýóå íá åßíáé ç ãñáììéêþ ðõêíüôçôá ρ (, t), ïðüôå ôï áíôßóôïé ï ïëïêëþñùìá è ôáõôßæïíôáí ìå ôç ìüæá óôï åí ëüãù äéüóôçìá, m(t) ρ (,t)d Áí èýëïõìå ðñüãìáôé ç ψ íá áöïñü ðüíôá ôá ßäéá õëéêü óçìåßá, ç õëéêþ ðáñüãùãïò ψ& dψ dt Ý åé ôï íüçìá ôçò ñïíéêþò ìåôáâïëþò ôçò ψ, üôáí ëüâïõìå õð üøéí üôé äåí ìåôáâüëëåôáé ìüíï ñïíéêü ç õðü ïëïêëþñùóç óõíüñôçóç φ, áëëü, ëüãù ôçò êéíþóåùò ôùí õëéêþí óçìåßùí óôï þñï, üôé ìåôáâüëëåôáé êáé ôï ðåäßï ïëïêëçñþóåùò. ÄçëáäÞ t t dt ψ& dt φ(,t + dt) d φ(,t) d üðïõ êáé åßíáé èýóåéò ôïõ õëéêïý óçìåßïõ ξ êáôü ôç ñïíéêþ óôéãìþ t êáé t t+ dt, áíôéóôïß ùò Χ ( ξ,t), Χ ( ξ,t + dt) Ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôçò ψ&, ìåôáó çìáôßæïõìå ðñþôá ôï áñ éêü ïëïêëþñùìá β ψ(t) φ(,t)d φ(x ( ξ,t))jdξ α

2 44 üðïõ JJ(t) åßíáé ç éáêùâéáíþ ôïõ ìåôáó çìáôéóìïý ξ, d Jdξ, Χ J ξ Ôá üñéá ïëïêëþñùóçò Ε α Χ (,t), Ε βχ (,t) åßíáé óôáèåñü, êáé áíôéóôïé ïýí óôç èýóç áíáöïñüò ôùí õëéêþí óçìåßùí åêåßíùí, ðïõ ôç ñïíéêþ óôéãìþ t êáôý ïõí ôéò èýóåéò êáé áíôéóôïß ùò, ïðüôå, ψ& d dt β β φ Jdξ α α d dt β dφ dj ( φ J)dξ + φ J dξ α dt dt Ðáñáôçñïýìå üôé d dt J Χ t ξ ξ Χ v t ξ Ε v Χ ξ E v J ÅðåéäÞ E v v v êáé E φ φ φ, Ý ïõìå ôåëéêü β dφ v ψ& + φ J dξ dt α ψ& dφ v + φ d dt Ç ðáñáðüíù Ýêöñáóç ãéá ôçí õëéêþ ðáñüãùãï ôçò êáèïëéêþò ðïóüôçôáò ψ ìðïñåß íá ãñáöåß ùò åîþò, dφ v φ φ v ψ & + φ d v d dt + + φ t φ ψ & + ( φv) d t q ψ φ d q Ç ðïóüôçôá

3 45 q φ v êáëåßôáé ñïþ ôçò φ, ïðüôå: φ ψ& d + q() q() t (1) Ïé ðáñáðüíù åêöñüóåéò ãéá ôçí õëéêþ ðáñüãùãï ôçò êáèïëéêþò Þ áèñïéóôéêþò ðïóüôçôáò ψ (t) óõíéóôïýí ôï èåþñçìá ìåôáöïñüò ôïõ Reynolds. Ðáñáôçñïýìå üôé ç ìåôáâïëþ ôçò ψ (t) áðïôåëåßôáé áðü Ýíá ôïðéêü üñï φ d t : ìåôáâïëþ ôçò φ óôï äéüóôçìá [,] êáé üñïõò åê ìåôáöïñüò q() q( ) : (åêñïþ) (åéóñïþ) ôçò φ óôï äéüóôçìá [,]. 2.2 ÄéáôÞñçóç ôçò ÌÜæáò Ùò åöáñìïãþ ôïõ èåùñþìáôïò ìåôáöïñüò ôïõ Reynolds èåùñïýìå Ýíá ìïíïäéüóôáôï Óõíå Ýò ÌÝóï ôïõ ïðïßïõ ç ìüæá ïñßæåôáé ìýóù ôçò (ãñáììéêþò) ðõêíüôçôüò ôïõ: dm d d m(t) ρ (,t) d Äå üìåíïé üôé ôá õëéêü óçìåßá ôïõ ìýóïõ áõôïý êéíïýíôáé, áëëü êáé üôé ç ìüæá ôïõ äåí áëëüæåé, áðáéôïýìå üðùò m& dm 0 dt ρ + ( ρv) d 0 t Ç ðáñáðüíù åîßóùóç óõíéóôü ôçí êáèïëéêþ Ýêöñáóç ôçò Áñ Þò ÄéáôÞñçóçò ôçò ÌÜæáò (Á.Ä.Ì.). Ãéá íá ðáñüãïõìå ôç ëåãüìåíç ôïðéêþ Ýêöñáóç ôçò áñ Þò áõôþò, êüíïõìå ñþóç ôïõ ðáñáêüôù èåùñþìáôïò áðü ôçí ÁíÜëõóç:

4 46 Èåþñçìá: Åóôù f ( ) ìéá óõíå Þò óõíüñôçóç óôï äéüóôçìá [,d] f () d 0 ãéá êüèå, ìå c < < < d, ôüôå c êáé Ýóôù üôé f() 0 [c,d]. Áí äå èïýìå üôé ç ðõêíüôçôá åßíáé óõíå Þò óõíüñôçóç ôçò èýóçò ôüôå ìå âüóç ôï ðáñáðüíù èåþñçìá ðáßñíïõìå ôçí ôïðéêþ ìïñöþ ôçò Á.Ä.Ì.: m & ρ 0 + ( ρv) 0 (2) t Þ dρ v + ρ 0 dt ÅöáñìïãÞ: Áóõìðßåóôá ñåõóôü Áò èåùñþóïõìå ôþñá ôçí ïñéáêþ ðåñßðôùóç åíüò áóõìðßåóôïõ ñåõóôïý, üðïõ åî ïñéóìïý ç ðõêíüôçôá ôùí õëéêþí óçìåßùí äåí áëëüæåé: q q dρ ρ ρ0 σταθ. 0 dt ÅéóñÝïõóá ìüæá ñåõóôïý ÅêñÝïõóá ìüæá ñåõóôïý Áðü ôçí ðáñáðüíù Ýêöñáóç ãéá ôç äéáôþñçóç ôçò ìüæáò ðáßñíïõìå üôé ç ñïþ ìüæáò q ρ v(,t) ìåôáîý äýï èýóåùí êáé åßíáé ç ßäéá. ÐñÜãìáôé, áðü ôçí åîßóùóç äéáôþñçóçò ôçò ìüæáò Ý ïõìå ρ ρ0 σταθ. êáé, v q ρ0 ( ρ0v) 0 Þ

5 47 q d 0 Ç åîßóùóç: q(,t) q(,t) q 0 q(,t) q(,t) ëýãåôáé åîßóùóç óõíý åéáò ôçò ñïþò ãéá áóõìðßåóôá ñåõóôü. 2.3 To Ïéïíåß ÌïíïäéÜóôáôï Óõíå Ýò ÌÝóï ÐïëëÜ Óõíå Þ ÌÝóá åßíáé ó åäüí ìïíïäéüóôáôá, üðïõ ðüëé ìéá äéüóôáóç, Ýóôù êáôü ôç êáôåýèõíóç, åßíáé ç ðñïåîüñ ïõóá êáé ïé äéáóôüóåéò êáèýôùò ðñïò áõôþ åßíáé ó åôéêü ìéêñýò áëëü ü é êáô áíüãêç óôáèåñýò, ìåôáâáëëüìåíåò áóèåíþò óôçí êáôåýèõíóç. Óôçí êáôçãïñßá áõôþ ôùí ëåãüìåíùí ïéïíåß ìïíïäéüóôáôùí 1 Óõíå þí ÌÝóùí áíþêïõí á) áðü ôç Ìç áíéêþ ôïõ Ðáñáìïñöþóéìïõ Óôåñåïý Óþìáôïò ç äïêüò ìåôáâëçôþò äéáôïìþò, êáé â) áðü ôçí Õäñïìç áíéêþ ïé ðïôáìïß êáé áãùãïß ìåôáâëçôþò äéáôïìþò. Óôçí ðåñßðôùóç ðïõ åîåôüæïõìå, ç ôá ýôçôá v ðáñüëëçëá ðñïò ôïí Üîïíá äåí èá åßíáé áõóôçñü óôáèåñþ êáôü ôçí Ýêôáóç ìßáò äéáôïìþò (Á). Áõôü óçìáßíåé üôé ìýóá óôá ðëáßóéá ôçò ïéïíåß ìïíïäéüóôáôçò áíüëõóçò èá äå èïýìå üôé ïé ìáèçìáôéêýò åêöñüóåéò ðïõ áíáðôýóóïõìå äåí áöïñïýí ôçí ôá ýôçôá êáèåáõôþ áëëü ôç ìýóç ôéìþ ôçò ðüíù óôç äéáôïìþ, 1 Áããë. qusi one-dimensionl

6 48 v l < v > 1 A vda (A) Ï äåßêôçò l 2 õðïäçëþíåé üôé ç óõãêåêñéìýíç ìåôáâëçôþ ðåñéãñüöåé ìç áíéêþ éäéüôçôá ôïõ áíôßóôïé ïõ ãñáììùôïý óõíå ïýò. Åôóé ïñßæïõìå ôç ãñáììéêþ ðõêíüôçôá, ρl ρda ρa (A) üðùò êáé ôçí ïëéêþ ðáñï Þ, q q v da Av v l l l l A (A) Êáôüðéí ïëïêëçñþíïõìå ôçí åîßóùóç äéáôþñçóçò ôçò ìüæáò ðüíù óôç äéáôïìþ, ρ t (A) 0 t ( A) (A) + ( ρv ) da 0 ρda + ρvda Áí ôþñá ëüâïõìå õð üøç üôé, ρ da ρa (A) ρvda ρ vda ρav l ρq l ( A) (A) ç ðáñáðüíù Ýêöñáóç ãéá ôç äéáôþñçóç ôçò ìüæáò äßäåé t ( Aρ) + ( Aρv ) 0 l (3) Þ ρl t + ( ρ v ) 0 l l Óôçí åéäéêþ ðåñßðôùóç ðïõ ôï ñåõóôü åßíáé áóõìðßåóôï ρ σταθ. ç Åî. (3) äßäåé 2 Ëáô. lineus, Áñ. Åëë. ëßíåïò

7 49 A q + l 0 t (4) Áí ôýëïò äå èïýìå üôé êáé ç äéáôïìþ äåí áëëüæåé ìå ôï ñüíï (ð.. óôåñåü ôïé þìáôá óùëþíá, óôáèåñïðïéçìýíá ðñáíþ ðïôáìïý êëð.) Ý ïõìå, q A Α() l 0 Þ ql σταθ. Avl σταθ. Ç ôåëåõôáßá Ýêöñáóç ãéá ôçí åîßóùóç óõíý åéáò óå áãùãü ìå ìåôáâëçôþ êáôü ìþêïò äéáôïìþ åßíáé ãíùóôþ ùò ï íüìïò ôá ýôçôáò-åðéöüíåéáò ôïõ eonrdo d Vinci ( ). 2.4 Åîßóùóç Éóéæýãéïõ ìå Ïñïõò ÐáñáãùãÞò Áò èåùñþóïõìå ôï ðáñüäåéãìá åíüò êáíáëéïý ïñèïãùíéêþò äéáôïìþò ðëüôïõò ìå âüèïò ñïþò h. Óôçí ðåñßðôùóç áõôþ èá åéóüãïõìå êáô áñ Þí ôçí Ýííïéá ôïý üãêïõ áíáöïñüò V control. ÓõãêåêñéìÝíá èåùñïýìå ôïí üãêï ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôéò äéáôïìýò 1 0, 2 ìå åìâáäüí A 1 h 1 êáé A 2 h2 ôçí ðáñüðëåõñç äéáâñå üìåíç åðéöüíåéá êáé ôçí åëåýèåñç åðéöüíåéá ìå åìâáäü áíôéóôïß ùò, S δ 2 hd, S ε. ε. 0

8 50 Èåùñïýìå ôþñá ôç ìüæá M (t) óôïí V control, ïðüôå ç ãñáììéêþ ðõêíüôçôá åßíáé ρ l ρh ρa(,t) Åðßóçò äå üìåèá üôé ìýóù ôùí äéáôïìþí A 1 êáé A 2 ç ïëéêþ ðáñï Þ åßíáé áíôéóôïß ùò q l1 qa1, ql2 qa2 åíþ äéá ìýóïõ ôçò ðáñüðëåõñçò åðéöüíåéáò S δ Ý ïõìå áðþëåéåò ýäáôïò α δ ëüãù ìç óôåãáíüôçôáò ôçò êáôáóêåõþò êáé óôçí å.å. Ý ïõìå áðþëåéåò ëüãù åîüôìéóçò α ε.ε., 2 [ ql ], T 3 / T [ α δ ], [ α ε. ε.] 3 / T Áñá, äå üìáóôå üôé ç ìüæá óôïí üãêï áíáöïñüò ðïõ ìåëåôüìå äåí äéáôçñåßôáé. Ç ìåôáâïëþ ôçò Ì óôïí V control (ãéá áóõìðßåóôï ñåõóôü): M & ρv &, ρ σταθ. êáé åêöñüæåôáé áö åíüò ìåí ãåùìåôñéêü, ùò áëëáãþ ôïõ üãêïõ V& Α d t 0

9 51 áö åôýñïõ äå öõóéêü áðü, ôç äéáöïñü ìåôáîý ïëéêþò åéóñïþò êáé åêñïþò óôïí V control V& q l q + αδ + α 0 l d ε. εd 0 0 q l d ( αδ + αε. ε. )d 0 0 Ïðüôå A d t 0 q l 0 + ( αδ + αε. ε. ) d 0 A q + l t 0 + ( αδ + αε. ε. ) d A q + l t ( α δ + α ε.ε. ) (5) Ïé óõíïëéêýò áðþëåéåò ìðïñïýí íá èåùñçèïýí ùò áñíçôéêþ ðáñáãùãþ ìüæáò α αδ + αε. ε. π ïðüôå ç Åî. (5) åßíáé ãåíßêåõóç ôçò ðáñáðüíù Åî. (4), åðåéäþ ðåñéý åé ôïõò üñïõò ðáñáãùãþò äåîß óêýëïò ôçò. ËáìâÜíïíôáò õð üøç üôé A ( ρl / ρ) êáé ç ðáñáðüíù åîßóùóç äéáôþñçóçò ðáßñíåé ôçí ãåíéêþ ìïñöþ åîßóùóçò éóïæýãéïõ 3, (ðõêíüôçôáò) + (ñïþò) (ðáñáãùãþ) t Óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò ÌÝóïõ èá äïýìå óõ íü áõôþ ôç ìïñöþ åîßóùóçò éóïæýãéïõ. Ãéá ôçí åðßëõóç ôçò Åî. (5) ñåéüæïíôáé åðéðëýïí ðëçñïöïñßåò üóïí áöïñü ôéò åìðåéñéêýò ó Ýóåéò ðïõ äéýðïõí ôçí ðáñï Þ áëëü êáé ôéò ãñáììéêýò áðþëåéåò óå óõíüñôçóç ìå ôï ýøïò ñïþò 3 Áããë. lnce eqution

10 52 q l, αδ, αε. ε. f(h) ÔÝôïéåò ó Ýóåéò ìáò ðáñý åé ç Ôå íéêþ ÕäñáõëéêÞ. Ìå ôç âïþèåéá áõôþí ôùí ó Ýóåùí ç ðáñáðüíù Åî. (5) ìðïñåß íá åðéëõèåß ùò ðñïò h h(,t) êáé íá ïäçãþóåé óå ðñáêôéêü óõìðåñüóìáôá ãéá ôçí åîýëéîç ôçò ñïþò óôïí áãùãü ðïõ åîåôüæïõìå. Ð.. ãéá σταθ. A h(,t), ql q(,t)h(,t) αδ δh (,t), αε. ε. ε, δ, ε σταθ. ç Åî. (5) äßäåé, h + (qh) + ( δh + ε) 0 t (6) ÃåíéêÜ áðü ôçí Ôå íéêþ ÕäñáõëéêÞ èá ðüñïõìå ìéá ó Ýóç ìåôáîý ðáñï Þò êáé ýøïõò ñïþò êáé ç ïðïßá èá ëáìâüíåé õð ïøç ôüóï ãåùìåôñéêü óôïé åßá üðùò ç êëßóç ôïõ áãùãïý üóï êáé óôïé åßá ðïõ ó åôßæïíôáé ìå ôçí ðïéüôçôá ôùí åðéöáíåéþí ôïõ áãùãïý. ÔÝëïò èá ðñýðåé íá ôïíßóïõìå, üôé åðåéäþ ç ðáñáðüíù Åî. (5) ðåñéý åé äýï Üãíùóôåò óõíáñôþóåéò q êáé h, ãéá ôçí åðßëõóþ ôçò ãåíéêþò èá ñåéáóèåß íá ëüâïõìå õð üøç êáé ôçí Áñ Þ ÄéáôÞñçóçò ôçò ÏñìÞò (ðñâë. Êåö ). 2.5 Åîßóùóç ÓõíÝ åéáò óå äýï ÄéáóôÜóåéò Èåùñïýìå Ýíá áóõìðßåóôï ñåõóôü, äçëáäþ Ýíá ñåõóôü ìå óôáèåñþ ðõêíüôçôá ρ. Åðßóçò, èåùñïýìå Ýíá óôïé åéþäç üãêï äéáóôüóåùí d êáé d z óôï åðßðåäï O(,z ) ìå ìïíáäéáßï ðü ïò êáèýôùò ðñïò ôï åðßðåäï ôïõ ó Þìáôïò.

11 53 Ï óôïé åéþäçò üãêïò åßíáé, d V d dz 1 Ç åîßóùóç äéáôþñçóçò ôçò ìüæáò åêöñüæåôáé åí ðñïêåéìýíù áðü ôç óõíèþêç óõíý åéáò äçëáäþ áðü ôï ãåãïíüò üôé üóç ðïóüôçôá ñåõóôïý åéóýñ åôáé óôïí üãêï d V áíü ìïíüäá ñüíïõ ôüóç êáé åîýñ åôáé óôïí ßäéï ñüíï: v v v dz1 + v d 1 v + d dz1 + v + z z z dz d1 z v v + z 0 z (7) Þ äéáíõóìáôéêü r div v 0 Áò õðïèýóïõìå ôþñá üôé ç ñïþ åßíáé ìüíéìç, äçëáäþ áíåîüñôçôç ôïõ ñüíïõ t. Ðáñáôçñïýìå üôé áí åéóüãïõìå ìßá óõíüñôçóç Ψ Ψ(,z) Ýôóé þóôå v Ψ z, Ψ vz ôüôå ç ðáñáðüíù åîßóùóç óõíý åéáò Eî. (7) éêáíïðïéåßôáé ùò ôáõôüôçôá 2 Ψ z 2 Ψ z 0 Áò èåùñþóïõìå ôþñá ôç ãñáììþ ñïþò (ÁÂ) óå ìßá äéäéüóôáôç ñïþ. Óôï óçìåßï Ã ôçò ãñáììþò ñïþò ç ôá ýôçôá v r åßíáé åöáðôïìåíéêþ. EðåéäÞ ïé óõíéóôþóåò ôçò ôá ýôçôáò äßäïíôáé áðü ôéò ðáñáðüíù ó Ýóåéò ìýóù ôçò óõíüñôçóçò Ψ Ψ(,z), ðïý åßíáé áíåîüñôçôç ôïõ ñüíïõ t, ïé ãñáììýò ñïþò ôáõôßæïíôáé ìå ôéò óùìáôéäéáêýò ãñáììýò (ìüíéìç ñïþ).

12 54 Ïðüôå vz v dz d vzd vdz 0 Þ Ψ Ψ d + dz 0 z dψ 0 Ç ðáñáðüíù ó Ýóç óçìáßíåé üôé êáôü ìþêïò ìßáò ñïúêþò ãñáììþò ç óõíüñôçóç Ø ðáñáìýíåé óôáèåñþ, äçëáäþ ç êáìðýëç (ÁÂ) ðåñéãñüöåôáé áðü ôçí åîßóùóç, Ψ(,z) c1 : óôáè. Ãéá ôï ëüãï áõôü ç óõíüñôçóç Ψ Ψ(,z) êáëåßôáé ñïúêþ óõíüñôçóç 4. O ìåôáîý äýï ñïúêþí ãñáììþí þñïò ëýãåôáé ñïúêüò óùëþíáò. Ïðüôå óõìðåñáßíïõìå üôé óå ìüíéìç ñïþ ôï ôõ üí óùìáôßäéï ôïõ ñåõóôïý, ðïý êüðïéá óôéãìþ âñßóêåôáé óå óçìåßï ìýóá óôï ñïúêü óùëþíá, èá êéíåßôáé åðß ñïúêþò ãñáììþò ðïõ ó üëç ôçò ôçí Ýêôáóç èá âñßóêåôáé ìýóá óôï ñïúêü óùëþíá áõôü. 4 Áããë. strem function

13 55 Ðñüâëçìá Íá âñåèåß ç óõíüñôçóç ñïþò ôçò äéáäéüóôáôçò áóõìðßåóôçò ñïþò 0 w v l z l z U u(z) v z 2 ðïõ öáßíåôáé óôï ó Þìá. Ëýóç Áíáãíùñßæïõìå ôá ðáñáêüôù áñáêôçñéóôéêü ôïõ ñåõóôïý êáé ôïõ ðåäßïõ ñïþò. ÓõíÝ åéá: 0 z v v z + (8) ÓõíÜñôçóç ñïþò: v, z v z Ψ Ψ (9) Áíôéêáèéóôþíôáò ôç äåäïìýíç ôá ýôçôá óôçí Åî. (9), ðáßñíïõìå

14 56 2 Ψ z z u U y l l Ψ w 0 (11) Ìå ôçí Åî. (10), Ý ïõìå (10) 3 2 z z Ψ U + f 2 1 3l 2l ( ) (12) êáé áðü ôçí Åîßóùóç (11) Ψ f 2 ( z) (13) Ç óõíüñôçóç ñïþò Ψ ðñýðåé íá éêáíïðïéåß êáé ôéò äýï áðáéôþóåéò áðü ôéò Åî. (12) êáé (13). ÓõãêñßíïíôÜò ôéò åîéóþóåéò áõôýò ðáßñíïõìåý ïõìå f 1 ( ) σταθ. (14) f2 ( z) 3 z U 2 3l 2 z (15) 2l Åôóé, ñçóéìïðïéþíôáò åßôå ôéò Åî. (12) êáé (14) åßôå ôéò (13) êáé (15), âñßóêïõìå üôé ç óõíüñôçóç ñïþò Ψ åßíáé: z 1 z Ψ Ul 3 l 2 l (16) Ðáñáôçñïýìå üôé èá ìðïñïýóáìå íá ðñïóèýóïõìå ìßá óôáèåñü c êáé óôéò äýï Åî. (12) êáé (13) Ýôóé þóôå ç Åî. (16) íá ãßíåé

15 z 1 z Ψ Ul + c (17) 3 l 2 l Ç ôéìþ ôçò c åßíáé áóþìáíôç êáé åîáñôüôáé áðü ôçí åðéëïãþ ôçò ãñáììþò ñïþò ôçí ïðïßá êáíåßò åðéèõìåß íá êáèïñßóåé ðáñáìåôñéêü ùò Ψ 0. Åßíáé åýêïëï íá åðéëýîåé ôç ãñáììþ ñïþò êáôü ìþêïò ôïõ ðõèìýíá ôïõ áãùãïý ãéá Ψ 0. Ôüôå èá ðñýðåé ôï c íá åßíáé ìçäýí Ýôóé þóôå Ψ 0 ãéá z 0, ç ïðïßá åßíáé ç ðåñßðôùóç ôçò Åî. (16). ÁóêÞóåéò 1. Äßäåôáé ç ñïúêþ óõíüñôçóç 2 2 Ψ 3 + 2z Íá õðïëïãéóèïýí êáé íá ó åäéáóèïýí óôï åðßðåäï O(,z) ïé ñïúêýò ãñáììýò Ψ 0, Ψ 1, Ψ Äßäåôáé ç ñïúêþ óõíüñôçóç Ψ e Íá õðïëïãéóèåß ç ôá ýôçôá êáé íá ó åäéáóèåß ôï ðåäßï ñïþò ìýóù êáôüëëçëçò åðéëïãþò ñïúêþí ãñáììþí. 3. Äßäåôáé ôï ðåäßï ôá õôþôùí v 2 u(), vz w(,z) 2z Íá õðïëïãéóèåß ç åîßóùóç ôùí ñïúêþí ãñáììþí.

16 58