Αριθμ. Εξαρτημ. λ Βλάβ./hr x10e-5. Αριθμ. Εξαρτημ.

Transcript

1 Rel-S-Jan-5 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ Κεφάαιο -. Ένα ηεκτρονικό εξάρτηα έχει σταθερό ρυθό βαβών ίσο ε.5% /hr και η ωφέιη περίοδος ζωής του είναι hr. α) Αν το εξάρτηα έχει επιβιώσει για 9 hr, ποια είναι η πιθανότητα επιβίωσής του τις επόενες hr; β) Αν σε ένα σύστηα υπάρχουν τέτοια εξαρτήατα, πόσες βάβες αναένονται σε hr ειτουργίας;.5x -5 / hr Re -x.9995 N f N -N-xR 5 βάβες -. Μία ηεκτρονική διάταξη περιαβάνει τα εξαρτήατα που φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Δεδοένου ότι ο χρόνος αποστοής της διάταξης είναι 5 ώρες, να εξεταστεί αν πηρούται η απαίτηση για αξιοπιστία τουάχιστον ίση ε.99. Είδος Εξαρτή. Αριθ. Εξαρτη. Βάβ./hr xe-5 Τρανζίστορ 9. Δίοδος 5. Αντίσταση 68. Πυκνωτής 5. Διακόπτης 9.55 Μετασχ/τής.5 Ηεκ/νόος.65 m s / s hrs R(5 hrs).985 <.9 Είδος Εξαρτή. Αριθ. Εξαρτη. Βάβ./hr xe-5 Χ -5 Τρανζίστορ 9..9 Δίοδος 5.. Αντίσταση Πυκνωτής Διακόπτης Μετασχ/τής.5.5 Ηεκ/νόος s Ένα ραντάρ έχει έσο χρόνο φθοράς T M hr που ακοουθεί την κανονική κατανοή ε τυπική απόκιση hr. Να υποογιστεί η αξιοπιστία του ραντάρ για χρόνο ειτουργίας hr αν α) η ηικία του είναι 9hr και β) η ηικία του είναι hr. Από τη σχ. (-6): r{ A B} r { A IB} r{ A} r{ r{} B r{ B} Με τη βοήθεια του πίνακα. αβάνεται: B A}

2 Ι.Μ. ΚΟΝΤΟΛΕΩΝ vergina.eng.auth.gr/kontoleon/ { t 9 t 9} { t 9} r{ 9 t 9} r{ t 9} r R r } 9 Φ 6 Φ( ) ( r{ t < 9) Φ(. 6) r{ t < 9} 9 ( ) Φ( ) Φ Φ TM 6s TM s f( t) dt. Φ(. 6) Φ( ). 8 f( t) dt α) ( t 9 t > 9).8659, β) ( t t > ). 59 Πίν..: Τιές Κανονικοποιηένης Κανονικής Κατανοής Φ(x) X- σ Σε ένα τηεπικοινωνιακό σταθό χρησιοποιούνται 6 ποποί και δέκτες. Από τα υπάρχοντα δεδοένα έχει προκύψει ότι ένα ποπός έχει MTTF ίσο ε 9hr, ενώ χρόνος αυτός για το δέκτη είναι 585hr. Προκειένου να καθοριστούν οι ανάγκες συντήρησης του σταθού, ζητείται να προσδιοριστεί ο αριθός των αναενοένων βαβών ανά hr ειτουργίας. Π /95.5 x - /hr Δ /585.7 x - /hr Σ Π 6x Π. x - /hr

3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ Σ Δ x Δ.66 x - /hr S.76 x - /hr m S 9.87 hr Κατά έσον όρο συβαίνει ία βάβη καθε περίπου hr. Σε hr θα είναι: N F /9.87. βάβες. -5. Σε ία εταβίβαση δεδοένων εταξύ ενός ποπού και ενός δέκτη η πιθανότητα ενός αποστεόενου bit που είναι να ηφθεί σαν είναι p.95 και η αντίστοιχη πιθανότητα του είναι p.9. Αν η πιθανότητα εκποπής του είναι ίση ε., να υποογιστούν α) η πιθανότητα ήψης του, β) η πιθανότητα ότι στάθηκε το δεδοένου ότι ήφθηκε το. r{λ Ε}.95 r{λ Ε}.9 r{ε }. r{ε }.6 r{λ Ε}- r{λ Ε}.5 r{λ Ε}- r{λ Ε}. α) r{λ}r{λ Ε}x r{} r{λ Ε}x r{}.9 x.6.5 x..56 β) r{ E} r{ Λ Ε}.6x.9 r{ε Λ}. 96 r{ Λ} Ένα σύστηα περιαβάνει δύο υποσυστήατα που έχουν χρόνους βαβών ε εκθετική κατανοή και κύκους εργασίας, αντίστοιχα / και /. Από εέγχους βρέθηκε ότι για ένα έτος συνεχούς ειτουργίας οι αξιοπιστίες των υποσυστηάτων είναι, αντίστοιχα,.9 και.8. Να υποογιστεί η αξιοπιστία του συστήατος για χρόνο ειτουργίας τριών ετών. Re -t lnr-t ln R t ln(.9) 6 Α 5.6x / hr -6. B x /hr T86 x 59 hr T A (/) x 5986 hr T B B (/) x 5978 hr R A. R Β.6 R R A R B.65 B

4 Ι.Μ. ΚΟΝΤΟΛΕΩΝ vergina.eng.auth.gr/kontoleon/ -7. Η η ικανοποιητική ειτουργία ενός συστήατος οφείεται στη βάβη ενός εξαρτήατος, που είναι εξ ίσου πιθανό να βρίσκεται σε ένα από τα τρία υποσυστήατά (Σ i, i,, ). Η πιθανότητα εντοπισού της βάβης στο υποσύστηα Σ i είναι p i.7, i,,, όταν πράγατι η βάβη είναι σε αυτό. Ας υποτεθεί ότι ο έεγχος γίνεται στο πρώτο υποσύστηα και δεν εντοπίζεται η βάβη. Ποια είναι η πιθανότητα να βρίσκεται η βάβη στο υποσύστηα αυτό; Β i Γεγονός βάβης υποσυστ. I Ε Γεγονός ότι ο έεγχος στο πρώτο υποσύστηα δεν εντοπίζει τη βάβη ( p B E B ) r{ } r{ } p. r r{ E} p p. ( ) { B E}. Κεφάαιο -. Να βρεθούν οι εκφράσεις της αξιοπιστίας του παρακάτω συστήατος ε ονάδες που έχουν αξιοπιστία p.8:. Τη έθοδο των διαδροών. Τη έθοδο των οάδων διαχωρισού. Τη έθοδο των αοιβαίως αποκειόενων διαδροών. Τη έθοδο των αοιβαίως αποκειόενων οάδων διαχωρισού 5. Τη έθοδο αποσύνθεσης κατά Bayes 6. Τη έθοδο των δυαδικών διαγραάτων αποφάσεων Επίσης να βρεθεί η έκφραση για το κάτω όριο αξιοπιστίας του συστήατος. Α E C B D. Με τη έθοδο των διαδροών Υπάρχουν διαδροές. Μετά από πράξεις: R p p p p Με p.8: R.98. Με εάχιστες οάδες διαχωρισού Με βάση τις διαδροές και στη συνέχεια ε εφαρογή της άγεβρας Boole, βρίσκονται οι εάχιστες οάδες διαχωρισού: S BD A CE A DE BCE Με q.: R -q -q.96 (κάτω όριο αξιοπιστίας). Mε αοιβαίως αποκειόενες Διαδροές Με εφαρογή της άγεβρας Boole, ετά από διαδοχικές αναπτύξεις και αποποιήσεις. βρίσκονται οι παρακάτω 7 αοιβαίως αποκειόενες διαδροές: S AB ACD ABDE A BCE ABCDE ABCDE A BCDE Με p.8, q: R.98 5

5 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ 5. Αοιβαίως αποκειόενες Οάδες Διαχωρισού Με εφαρογή της άγεβρας Boole, βρίσκονται οι παρακάτω αοιβαίως αποκειόενες οάδες διαχωρισού: S BD A BCE BCDE A BCDE Με p.8, q: Q.579 και R-Q Με τη έθοδο αποσύνθεσης κατά Bayes Επιέγεται η ονάδα Ε. H έκφραση της αξιοπιστίας είναι: 5 R (p p ) p (p p ) ( p) p p p p 6. Με τη έθοδο των δυαδικών διαγραάτων αποφάσεων Β. σύγγραα, σε Η έση απαιτούενη ηεκτρική ισχύς ενός αεροσκάφους είναι 5 kw, ενώ η έγιστη τιή της φθάνει τα kw. Όως, σε περίπτωση ανάγκης, για την ασφαή ποήγηση και επικοινωνία του αεροσκάφους είναι αναγκαία όνο kw. Οι γεννήτριες που επιέγονται για την παραπάνω σχεδίαση είναι: Οίκου κατασκευής Α των kw Οίκου κατασκευής Β των 5 kw Οίκου κατασκευής Γ των kw Να εξεταστεί ποια είναι η πέον αξιόπιστη δοή για τις προαναφερθείσες απαιτήσεις ισχύος, δεδοένου ότι α) οι γεννήτριες όων των οίκων κατασκευής έχουν αξιοπιστία p.95 και β) είναι επιθυητό για πρακτικούς όγους να χρησιοποιηθούν γεννήτριες του ιδίου κατασκευαστή. Για την ικανοποίηση των απαιτήσεων πορεί να χρησιοποιηθούν από ία ως τρεις γεννήτριες: kw 5 kw kw Με ια Γεν. kw Σειράς Σειράς Σειράς p.95 p.95 p.95 Με δύο Γεν. 5 kw Σειράς -από- (παρα. ονάδων) -από- (παρα. ονάδων) p.9 p-p.997 p-p.997 Με τρείς Γεν. kw Σειράς -από- -από- (παρα. ονάδων) p.857 p -p.99 -(-p) p-p p Η πιθανότητα βάβης ενός κινητήρα, κατά την πτήση ενός αεροσκάφους είναι q. Υποθέσατε ότι το αεροσκάφος πορεί να συνεχίσει την πτήση του ακόη και αν υποστεί βάβη το πού το ήισυ των κινητήρων του. Να εξεταστεί αν ένα τετρακινητήριο αεροσκάφος υπερέχει, ως προς την πιθανότητα επιτυχίας του, από ένα δικινητήριο αεροσκάφος.

6 Ι.Μ. ΚΟΝΤΟΛΕΩΝ vergina.eng.auth.gr/kontoleon/ 6 Για το τετρακινητήριο: R ( p p p) p ( p) p p 8 p 6 p( p) p p p Για το δικινητήριο : R Είναι : R R p 8 p 7 p p ( p ) (p ) Συνεπώς, ε p>/ θα ισχύει ότι R > R, ενώ ε p</ θα ισχύει ότι R > R. -. Ας θεωρηθούν δύο ανεξάρτητες νήες, Α και Β, που περιέχουν ίδιες έξεις ε k bits, εκ των οποίων ένα είναι το bit άρτιας ισοτιίας. Κατά την ανάγνωση, διαβάζονται οι δύο αντίστοιχες έξεις από τις δύο νήες. α) Αν και στις δύο έξεις πηρούται ο έεγχος ισοτιίας, τότε η έξη που αβάνεται είναι από τη νήη Α. β) Αν όνο στη ία έξη πηρούται ο έεγχος ισοτιίας, τότε η έξη αβάνεται από τη νήη στη οποία πηρούται ο έεγχος ισοτιίας. γ) Αν και στις δύο έξεις δεν πηρούται ο έεγχος ισοτιίας, τότε δε αβάνεται καία έξη. Αν κάθε bit έχει αξιοπιστία p, να υποογιστεί η πιθανότητα να αναγνωστεί σωστά ία έξη. Ας οριστούν τα γεγονότα: R A : Ορθή ανάγνωση από νήη Α R Β : Ορθή ανάγνωση από νήη Β R : Σωστή ανάγνωση έξης Τότε είναι: Rr{R A }rr B }-r{r B A}r{R BB} r{r A }rr B } B r{ Σφα. Σε Α}r{περιττός αριθ. Σφα. σε Α}r{ Σφά. Σε Β} p k κ k κ k i i k k p ( p) p p i περιττός i i περιττός k i p k i ( p) i -5. Να υποογιστεί η πιθανότητα να υπάρχει ανορθωένο σήα στην έξοδο της παρακάτω διάταξης. Οι δίοδοι έχουν πιθανότητες q και q s, αντίστοιχα, να υποστούν βάβη ανοικτού και κειστού κυκώατος. Να γίνει εφαρογή για q. και q s.. Έξοδος Μετά από διαδοχικές συπτύξεις (σειράς-παράηα) προκύπτει: R Η ηεκτρική σύνδεση και αποσύνδεση εταξύ των σηείων και στο παρακάτω διάταξη επιτυγχάνεται ε ια από τις κατάηες επιογές για την κατάσταση των διακοπτών Δ, Δ, Δ. Λαβάνοντες υπόψη ότι οι διακόπτες πορεί να υποστούν βάβη τύπου «όνια κειστός» ε πιθανότητα q c τύπου «όνια ανοικτός» ε πιθανότητα q o να υποογιστεί η γενική έκφραση για την αξιοπιστία της διάταξης. Να γίνει εφαρογή ε q c. και q o..

7 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ 7 Δ Δ Ο διακόπτης Δ δεν επηρεάζει την αξιοπιστία της διάταξης. Η έκφραση της τερατικής αξιοπιστίας για κάδους καταστάσεων είναι R T p-p. Θέτοντας στη σχέση αυτή p pq c.7, αβάνεται R T.9. Συνεπώς, για το δίκτυο καταστάσεων είναι Q o -R T.9. Αν στην προηγούενη σχέση τεθεί p q c, τότε R T.9, οπότε για το δίκτυο καταστάσεων είναι Q S.9 και R-Q o -Q S.7. Κεφάαιο -. Ένα σύστηα περιαβάνει δύο επεξεργαστές που επιτεούν τις ίδιες ακριβώς ειτουργίες ανά διαστήατα των sec. Κάθε επεξεργαστής αυτοεέγχεται, ε διαγνωστικές ρουτίνες ώστε, αν ανιχνευτεί ία βάβη, να τεθεί εκτός ειτουργίας. Στην περίπτωση αυτή, το σύστηα εξακοουθεί να ειτουργεί ε τον εναποένοντα επεξεργαστή. Αν d η πιθανότητα ανίχνευσης ιας βάβης ε διαγνωστικές ρουτίνες, και -8 hr - ο ρυθός βαβών του κάθε επεξεργαστή, να σχεδιαστεί το διάγραα ετάβασης καταστάσεων και να δοθεί ο πίνακας των πιθανοτήτων ετάβασης καταστάσεων, ε τρόπο ώστε να είναι δυνατόν να υποογιστούν α) η αξιοπιστία του συστήατος, β) η πιθανότητα διακοπής της ειτουργίας του και γ) η πιθανότητα της η ασφαούς ειτουργίας του. Β. Κεφ. -. Στο σύστηα που περιγράφεται στο Πρόβηα 6, να θεωρηθεί ότι αν οι διαγνωστικές ρουτίνες δε δείξουν βάβη σε κανέναν επεξεργαστή, οι έξοδοι τους συγκρίνονται ώστε να διαπιστωθεί αν υπάρχει συφωνία. Σε περίπτωση ασυφωνίας, διακόπτεται από το χειριστή η ειτουργία του παραπάνω συστήατος. Αν c είναι η πιθανότητα ανίχνευσης της βάβης ε σύγκριση, να σχεδιαστεί το διάγραα ετάβασης καταστάσεων, ε τρόπο ώστε να είναι δυνατόν να υποογιστούν α η αξιοπιστία του συστήατος, β) η πιθανότητα διακοπής της ειτουργίας του συστήατος και γ) η πιθανότητα της η ασφαούς ειτουργίας του συστήατος. Β. Κεφ. Κεφάαιο -. Ένα παράηο σύστηα δύο όοιων ονάδων, κάθε ία ε -5 /hr, που υπόκειται σε απή επιδιόρθωση (ένα συνεργείο επισκευής) ε ρυθό./hr προορίζεται για ία αποστοή ενός έτους. Αν τα ζητούενα είναι η αξιοπιστία και η διαθεσιότητα του συστήατος, να καταστρωθούν τα κατάηα διαγράατα ετάβασης καταστάσεων και οι πίνακες ετάβασης καταστάσεων για οντεοποίηση ε: α) Μοντέο Markov διακριτού χρόνου (ε Δt της επιογής σας) και β) Μοντέο Markov συνεχούς χρόνου. Ση. Για το οντέο διακριτού χρόνου Δt x -5 και ο αριθός βηάτων είναι 65. Δ -. Να επαναηφθεί το πρόβηα - ε οντέο Markov συνεχούς χρόνου, δεχόενοι ότι υπάρχει κοινό αίτιο βάβης ε ρυθό c -8 /hr και δύο συνεργεία επισκευής. Β. σε. 6

8 Ι.Μ. ΚΟΝΤΟΛΕΩΝ vergina.eng.auth.gr/kontoleon/ 8 -. Να βρεθεί η έκφραση της διαθεσιότητας στην κατάσταση ισορροπίας συστήατος ε δύο ανόοιες ονάδες που ειτουργούν παράηα, ε δυνατότητα απής επιδιόρθωσης (από ένα όνο συνεργείο επισκευών). Η επιδιόρθωση, ανά πάσα χρονική στιγή, εφαρόζεται ξεκινώντας από τη ονάδα που πιο πρόσφατα έχει υποστεί βάβη. Οι ρυθοί βαβών και επισκευών των δύο ονάδων είναι αντίστοιχα και. Να γίνει εφαρογή για./hr και./hr. Να σχεδιαστεί επίσης το διάγραα ετάβασης καταστάσεων για την περίπτωσης παράηης επιδιόρθωσης. Για την περίπτωση αυτή ισχύει το διάγραα εταβάσεων του παρακάτω σχήατος. Από το διάγραα αυτό, οι σχέσεις εταξύ των πιθανοτήτων στην κατάσταση ισορροπίας είναι: ) ( ) ( ) ( ε S S S S S Με επίυση των παραπάνω αβάνονται: οπότε, A S -. Να βρεθεί η έκφραση της διαθεσιότητας στην κατάσταση ισορροπίας συστήατος ε δύο όοιες ονάδες που ειτουργούν παράηα, ε δυνατότητα απής επιδιόρθωσης. Οι ρυθοί βαβών και επισκευών των δύο ονάδων είναι αντίστοιχα, και. Να γίνει εφαρογή για./hr και./hr.

9 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ 9 Το διάγραα των πιθανοτήτων ετάβασης του συστήατος ε ένα συνεργείο επισκευής, φαίνεται στο παρακάτω σχήα. Ο πίνακας των πιθανοτήτων ετάβασης είναι: - S A S S - Συνεπώς, είναι: ( A I) i i ή ( ) Με επίυση των παραπάνω, προκύπτουν: Έτσι, είναι: Συνεπώς, αβάνονται: Το άθροισα o δίνει τη διαθεσιότητα στην κατάσταση ισορροπίας: A S -5. Να βρεθεί η έκφραση της διαθεσιότητας στην κατάσταση ισορροπίας συστήατος ε δύο όοιες ονάδες που ειτουργούν παράηα, ε δυνατότητα παράηης επιδιόρθωσης. Οι ρυθοί βαβών και επισκευών των δύο ονάδων είναι αντίστοιχα και. Να γίνει εφαρογή για./hr και./hr.

10 Ι.Μ. ΚΟΝΤΟΛΕΩΝ vergina.eng.auth.gr/kontoleon/ Για την περίπτωση των δύο συνεργείων επισκευής ισχύει το διάγραα του παρακάτω σχήατος. Από το διάγραα εταβάσεων, οι σχέσεις εταξύ των πιθανοτήτων στην κατάσταση ισορροπίας είναι: Σ(Ρυθ. Αναχώρησης x Πιθανότητα) Σ(Ρυθ. Άφιξης x Πιθανότητα) - S ε -- ( ) Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτουν: S S - οπότε, A S -6. Να βρεθεί ο χρόνος MTTF ενός παράηου συστήατος ε δύο όοιες ονάδες που όταν και οι δύο είναι σε ειτουργική κατάστασης έχουν ρυθούς βαβών. Aν όως ία ονάδα από αυτές υποστεί βάβη, τότε ο ρυθός βαβών αυτής που αποένει γίνεται. Να γίνει εφαρογή ε./hr,./hr. Προκύπτει: MTTF -7. Να βρεθεί ο χρόνος MTTF ενός παράηου συστήατος ε δύο ανόοιες ονάδες που όταν και οι δύο είναι σε ειτουργική κατάστασης έχουν ρυθούς βαβών. Σε περίπτωση βάβης της ίας ονάδας ο ρυθός βαβών αυτής που αποένει γίνεται ενώ η ονάδα που έχει υποστεί βάβη υπόκειται σε επιδιόρθωση ε ρυθό. Να γίνει εφαρογή ε./hr,./hr και./ hr.

11 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ Β. σε. 67. Με βάση τη σχ. (-) προκύπτει: MTTF -8. Να βρεθούν οι γενικές εκφράσεις των χρόνοι MUT, MDT και MTBF παράηου συστήατος δύο όοιων ονάδων ε παράηη επιδιόρθωση των ονάδων του. - - Α - ( ) Α - Ι - ( ) S -- S S - ε ( ) Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτουν: οπότε, και Άρα G

12 Ι.Μ. ΚΟΝΤΟΛΕΩΝ vergina.eng.auth.gr/kontoleon/ Επίσης F A A [ ] H E [ ] MUT ( G H) A E G και ( F E) MDT A H F MC T MUT MDT -9. Στο παρακάτω σύστηα οι ονάδες που χρησιοποιούνται έχουν τις διαθεσιότητες και χρόνους MUT που φαίνονται στον πίνακα. Να υποογιστεί ο χρόνος MTBF του συστήατος. Α/Α Διαθεσιότητα MUT (hr) Β. Σε. 8. Με διαδοχικές συπτύξεις προκύπτει: MTBF58 hr Ας θεωρηθεί το παρακάτω σύστηα που περιαβάνει πέντε υποσυστήατα ε Α.9, Α.95, Α.96, Α.97, Α 5.98 και u 75 hr, u 8 hr,u 85 hr, u 9 hr και u 5 95 hr. Να υποογιστεί ο χρόνος MTBF του συστήατος. 5 Θεωρώντας το υποσύστηα k ξεχωριστά από τα υπόοιπα υποσυστήατα, είναι: T T T [ F] r{ Sj} r{ Sk } r{ S j} u u u j j k j k j

13 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ T T T r{ Sk } r{ S jk, G} Ak r{ Sjk, F} A u k j k u j j k u j όπου S j, kg και S j, kf είναι αντίστοιχα οι οριακές καταστάσεις του υποσυστήατος j ε το υποσύστηα k σε ικανοποιητική και η ικανοποιητική ειτουργία. Συνεπώς, r{ Sk } A k A k MTBF u MTBF MTBF ή MTBF k k G k F r{ Sk } A k A k u MTBF MTBF k k G k F Για την αποσύνθεση κατά Bayess επιέγεται το υποσύστηα 5 (k5). Οι διαδροές εταξύ της εισόδου και εξόδου του διαγράατος αξιοπιστίας, που περιαβάνουν το υποσύστηα 5, είναι: 5 και 5. Συνεπώς, οι οριακές καταστάσεις του υποσυστήατος 5 είναι: 5 και 5. Εποένως, η πιθανότητα της οριακής κατάστασης για το υποσύστηα 5 είναι: r{ S5 } AA A A A5 AA AA A 5.9 k (α) (β). Με το υποσύστηα 5 σε ικανοποιητική ειτουργία Α A.6 Α A. Η διαθεσιότητα του παράηου συνδυασού των υποσυστηάτων και είναι: A A A MUT MDT A 7. 55hr A MUT MDT A. 875hr A MTBF 95. hr A A MDT MDT Εποένως, ο χρόνος MUT των υποσυστηάτων και είναι: MUT MTBF A 9. 7hr

14 Ι.Μ. ΚΟΝΤΟΛΕΩΝ vergina.eng.auth.gr/kontoleon/ Οοίως, για τα παράηα υποσυστήατα και είναι: Α A.5 Α A. A A A MUT MDT A.77 hr A MUT MDT A hr A MTBF 77. hr A A MDT MDT MUT MTBF A 7. 5 hr Η διαθεσιότητα, Α kg του σε σειρά συνδυασού των παραπάνω υποσυστηάτων είναι: A kg A. A.996 Συνεπώς, MTBF 5 G 68. A k G MUT MUT. Με το υποσύστηα 5 σε η ικανοποιητική ειτουργία A A. A.89 MTBF hr A MUT MUT MDT MTBF ( A ) hr Οοίως, για τα υποσυστήατα και είναι: A A. A.9 MTBF hr A MUT MUT MDT MTBF A ). 5 hr ( Η διαθεσιότητα, Α kf του παράηου συνδυασού των παραπάνω υποσυστηάτων είναι: A kf (- A ). (- A ) 7.66x - Συνεπώς, MTBF5 F hr Ak F MUT MUT hr

15 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ 5 Έτσι, ο χρόνος MTBF του αρχικού συστήατος είναι: MTBF 59. hr r{ S5} A5 A5 u MTBF MTBF 5 5 G 5 F -. Στη διάταξη του Προβ. - να βρεθούν οι οριακές καταστάσεις του υποσυστήατος. Κεφάαιο Να συγκριθούν η αξιοπιστία, για χρόνο αποστοής hr, και οι χρόνοι MTTF: α) ενός παράηου συστήατος δύο όοιων ονάδων, β) ενός συστήατος TMR, γ) ενός συστήατος Cold Standby όοιων ονάδων, δ) ενός συστήατος Cold Standby όοιων ονάδων ε εταγωγέα που έχει ρυθό βαβών S - /hr. Υποθέσατε ότι ο ρυθός βαβών των ονάδων είναι - /hr. Α) R Π.99, ΜΤΤF Π 5 hr. B) R TRM.975, ΜΤΤF TMR 8. hr. Γ) R CS.995, ΜΤΤF CS hr. Δ) R CS.985, ΜΤΤF CS 7.5 hr ( ) s s 5-. Να συγκριθούν οι χρόνοι MTTF ενός συστήατος Hot Standby ε ιδανικό εταγωγέα και ενός συστήατος Cold Standby, όοιων ονάδων ε εταγωγέα που έχει ρυθό βαβών S-/hr. Υποθέσατε ότι ο ρυθός βαβών των ονάδων είναι -/hr. ΜΤΤF HS 8. hr 6 ΜΤΤF CS ( ) ( ) s s s 8.67 hr 5-. Σε ένα σύστηα TMR κάθε ονάδα έχει ρυθό βαβών -/hr και πορεί να επισκευάζεται ανεξάρτητα από τις υπόοιπες ονάδες ε ρυθό επιδιόρθωσης -/hr. Να υποογιστεί η γενική έκφραση της στιγιαίας διαθεσιότητας του συστήατος αυτού στο χρόνο t hr, και η τιή της. Το κύκωα απόφασης της πειοψηφίας έχει αξιοπιστία ίση ε.999. Β. σε. 8, 9: Α S (t hr).99 Συνεπώς, Α S (TMR) AS ( t) AS ( t) ( AS ( t)) Δύο από τέσσερις όοιους και ανεξάρτητους επεξεργαστές πρέπει να ειτουργούν σωστά προκειένου ένα υποογιστικό σύστηα να έχει τις απαιτούενες επιδόσεις. Στο παραπάνω σύστηα, βρέθηκε ότι ο χρόνος MTFF είναι ίσος ε 8 hr. Να υποογιστεί ο χρόνος MTFF που θα προκύψει αν οι τέσσερις επεξεργαστές αποτεέσουν τις ονάδες ενός υβριδικού συστήατος (,). Β. σε. 56: MTTF 8 hr, άρα 6.85 x -5 /hr Το υβριδικό σύστηα (,) αστοχεί ε περισσότερες από βάβες, οπότε:

16 Ι.Μ. ΚΟΝΤΟΛΕΩΝ vergina.eng.auth.gr/kontoleon/ 6 R(t) 6e 8e e MTTF 8 hr Κεφάαιο 6 t t t 6-. Στο παρακάτω δίκτυο να βρεθεί η συβοική έκφραση της τερατικής αξιοπιστίας R S,T και η τιή της, ε βάση α) τις αοιβαίως αποκειόενες διαδροές, β) ε τις εάχιστες οάδες διαχωρισού, γ) ε αποσύνθεση κατά Bayes. Να υποογιστεί επίσης το κάτω όριο της τερατικής αξιοπιστίας του δικτύου. Στη συνέχεια, ας υποτεθεί ότι δίνεται ένας πρόσθετος κάδος (επίσης χωρίς κατεύθυνση) ε αξιοπιστία p x.77 που πορεί να συνδεθεί παράηα στον κάδο x ή στον κάδο x. Που πρέπει να συνδεθεί αυτός ο κάδος ώστε να υπάρχει η εγαύτερη βετίωση στην τερατική αξιοπιστία του δικτύου;. Οι αξιοπιστίες των κάδων να ηφθούν ίσες ε p.85 και οι κόβοι να θεωρηθούν ιδανικοί. Β. σε., 69, 7 και Πρόβηα - S x x x x 5 x x 6 Υπάρχουν αοιβαίως αποκειόενες διαδροές, 6 οάδες διαχωρισού και 8 αοιβαίως αποκειόενες οάδες διαχωρισού. Η ακριβής έκφραση της αξιοπιστίας είναι: 5 6 R p p p p Με p.85, αβάνεται R.97. Με βάση τις 6 οάδες διαχωρισού, το κάτω όριο της αξιοπιστίας είναι ίσο ε.975. Με αποσύνθεση κατά Bayes, η γενική έκφραση της αξιοπιστίας είναι: R p p p p p p p p p p p p p6 p p p p p p p5 p5 p p p p5 p6 p p p p5 p6 p p p p5 p6 p p p p p p (ε όοιους κάδους R p p p p ) Με παραγώγιση της γενικής σχέσης ως προς p, p, κ..π., βρίσκεται ότι η εγαύτερη βετίωση στη αξιοπιστία προκύπτει ε την προσθήκη του νέου κάδου παράηα προς τον κάδο x. 5 T 6-. Στο δίκτυο του παρακάτω σχήατος υπάρχει πρόβεψη για ένα εφεδρικό κάδο τύπου cold Standby που σε περίπτωση βάβης του κάδου 5 ετάγει, ε ιδανικό εταγωγέα, τα δεδοένα έσω του εφεδρικού κάδου. Αν οι ρυθοί βαβών των κάδων είναι. /hr, να υποογιστεί η τερατική αξιοπιστία εταξύ των κόβων S και T για ώρες ειτουργίας. x x S T x 5 x x Η πιθανότητα επιτυχίας του κάδου 5 (cold stand-by όοιων ονάδων) είναι ίση ε.995.

17 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ 7 Η αξιοπιστία του δικτύου ε πιθανότητες των κάδων p p p p p e -t.98 και p είναι ίση ε Με τη έθοδο των αποποιήσεων κατά Bayes, να υποογιστεί η οική αξιοπιστία του παρακάτω δικτύου, υποθέτοντας ότι οι κόβοι είναι ιδανικοί (αξιόπιστοι) και ότι όοι οι κάδοι έχουν αξιοπιστίες ίσες ε Β. σε.. Με διαδοχικές αποποιήσεις αβάνεται η οική αξιοπιστία του δικτύου: p 5 p p p.95 R o 6-. Στην παρακάτω διάταξη κάθε κάδος ( ως 5) περιαβάνει ία επαφή ενός ηεκτρονόου (relay). Οι καταστάσεις των επαφών είναι Ο (όνια ανοικτοκυκωένη), Κ (όνια βραχυκυκωένη) και G (επαφή σε καή κατάσταση, δη. πορεί κατά βούηση να ανοίξει ή να κείσει). Οι πιθανότητες αστοχίας των επαφών σε βάβη τύπου-ο και σε βάβη τύπου-κ είναι αντίστοιχα q o. και q k.. Ζητείται να υποογιστεί η πιθανότητα να πορεί, κατά βούηση, να ανοικτοκυκώνονται ή να βραχυκυκώνονται τα κοβικά σηεία S, T S T 5 Β. Πρόβηα -6. Η ζητούενη αξιοπιστία βρίσκεται ίση ε R Κεφάαιο Το παρακάτω κύκωα περιαβάνει δύο συσσωρευτές, καθένας από τους οποίους χρησιεύει για την παροχή τάσης στο απτήρα. Αρχικά, ο διακόπτης βρίσκεται στη θέση, οπότε χρησιοποιείται ο συσσωρευτής A. Σε περίπτωση βάβης αυτού του συσσωρευτή, ο διακόπτης γυρίζει από τη θέση στη θέση. Υποτίθεται ότι ο διακόπτης πορεί να υποστεί δύο ειδών βάβες που είναι: α) να είναι όνια κειστός, όταν είναι στη θέση και β) να είναι όνια ανοικτός, όταν είναι στη θέση. Συσσωρευτής Α Διακόπτης Λαπτήρας Συσσωρευτής Β Να εκτιηθεί η πιθανότητα του γεγονότος να ην υπάρχει φωτισός. Να επαναηφθεί ο υποογισός υποθέτοντας ότι αρχικά ο διακόπτης βρίσκεται στη θέση. Τα πρωτεύοντα γεγονότα και οι αντίστοιχες πιθανότητές τους είναι: L Βάβη απτήρα q L.5

18 Ι.Μ. ΚΟΝΤΟΛΕΩΝ vergina.eng.auth.gr/kontoleon/ 8 A Βάβη συσσωρευτή q Α. Β Βάβη συσσωρευτή q Β. Ε Διακόπτης όνια κειστός στη θέση q Ε. F Διακόπτης όνια ανοικτός στη θέση q F.