Линейная алгебра. Бадьин А. В.

Transcript

1 Линейная алгебра Бадьин А. В. Содержание Содержание Общие сведения о функциях Подпространства Тензорная алгебра Числовые наборы Геометрические объекты Тензоры Возможные обобщения Общие сведения о линейных операторах Матрица линейного оператора Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Инвариантные подпространства линейного оператора Собственные подпространства линейного оператора Характеристический полином линейного оператора Приведение матрицы линейного оператора к жордановой форме Циклический базис подпространства Q A для оператора A Базис Жордана пространства L для оператора A Линейные, билинейные и квадратичные формы Линейные и полулинейные формы Билинейные, полуторалинейные, квадратичные, эрмитовы квадратичные формы Метод Лагранжа, закон инерции, критерий Сильвестра Линейные евклидовы и линейные псевдоевклидовы пространства Линейные евклидовы пространства Линейные псевдоевклидовы пространства Сопряжённый оператор Связь между векторами и линейными формами в евклидовых пространствах Связь между линейными операторами и полуторалинейными формами в евклидовых пространствах Сопряжённый оператор Самосопряжённый оператор Ортогональный оператор Линейный самосопряжённый оператор. Спектральная теория Линейный самосопряжённый оператор

2 Эрмитовы полуторалинейные формы в евклидовом пространстве Кривые и поверхности второго порядка Аффинное пространство Кривые и поверхности второго порядка Общие сведения о группах Список литературы

3 1. Общие сведения о функциях 3 Лекция 1. Общие сведения о функциях Определение прямое произведение множеств. 1. Пусть: N Z, N 2, A 1,...,A N множества. Обозначим: A 1 A N = { x 1,...,x N : x 1 A 1 x N A N } = { y: x 1 x N x1 A 1 x N A N y = x 1,...,x N }. Множество A 1 A N называют прямым произведением множеств A 1,...,A N. 2. Пусть:A множество,n Z,N 2. Обозначим:A 1,...,A N = A,A N = A 1 A N. 3. Пусть A множество. Обозначим, A 1 = A. Определение. 1. Пусть F функция. Обозначим через DF область определения функции F. 2. Пусть F функция. Обозначим: RF = { Fx: x DF } = { y: x x DF y = Fx }. Множество RF называют областью значений функции F образом функции F. Иногда множество RF обозначают через ImF. 3. Пусть A, B множества. Будем писать F: A B, если: F функция, DF A, RF B. Обозначим через funa, B множество всех функций F, удовлетворяющих условию F: A B. 4. Пусть A, B множества. Будем писать F: A = B, если: F функция, DF = A, RF B. Обозначим через FunA, B множество всех функций F, удовлетворяющих условию F: A = B. 5. Пусть: F функция, A множество. Обозначим через F A функцию, удовлетворяющую условиям: DF A = DF A, F A x = Fx при x DF A. Функцию F A называют ограничением функции F на множество A. 6. Пусть: F функция, B множество. Обозначим: F 1 {B} = { x: x DF Fx B }. Множество F 1 {B} называют полным прообразом множества B под действием функции F. 7. Пусть: F функция, A множество. Обозначим: F[A] = { Fx: x DF x A } = { y: x x DF x A y = Fx }. Множество F[A] называют образом множества A под действием функции F. 8. Пусть F 1, F 2 функции. Обозначим через F 2 F 1 функцию, удовлетворяющую условиям: DF 2 F 1 = { x: x DF 1 F 1 x DF 2 }, F 2 F 1 x = F 2 F1 x при: x DF 1, F 1 x DF 2. Функцию F 2 F 1 называют суперпозицией функций F 2, F 1 композицией функций F 1, F 2 ; произведением функций F 2, F 1 ; сложной функцией, образованной функциями F 2, F 1. Иногда функцию F 2 F 1 обозначают через F 2 F 1. Утверждение. Пусть F 1, F 2, F 3 функции. Тогда F 3 F 2 F 1 = F 3 F 2 F 1.

4 4 1. Общие сведения о функциях Доказательство. Очевидно: D { F 3 F 2 F 1 = x: x DF1 F 1 x DF 3 F 2 } = { = x: x DF 1 F 1 x DF 2 F 2 F1 x } DF 3 = = { x: x DF 2 F 1 F 2 F 1 x DF 3 } = D F 3 F 2 F 1. Пусть x D F 3 F 2 F 1. Тогда: F3 F 2 F 1 x = F3 F 2 F 1 x = F 3 F 2 F1 x = F 3 F2 F 1 x = F 3 F 2 F 1 x. В силу произвольности выбора x получаем, что F 3 F 2 F 1 = F 3 F 2 F 1. Определение. 1. Пусть F функция. Будем говорить, что F обратимая функция, если: Fx 1 = Fx 2 = x 1 = x 2 при x 1, x 2 DF. 2. Пусть F обратимая функция. Будем говорить, что ϕ обратная функция к функции F, если: ϕ функция, Dϕ = RF, Rϕ DF, F ϕy = y при y Dϕ. Утверждение. Пусть F обратимая функция. Существует единственная функция ϕ, удовлетворяющая условию: ϕ обратная функция к функции F. Доказательство. Так как F обратимая функция, то y RF!x x DF Fx = y. Тогда существует единственная функция ϕ, удовлетворяющая условиям: Dϕ = RF, ϕy DF, F ϕy = y при y Dϕ. Следовательно, существует единственная функция ϕ, удовлетворяющая условию: ϕ обратная функция к функции F. Определение. Пусть F обратимая функция. Обозначим через F 1 обратную функцию к функции F. Утверждение. 1. Пусть: F 1, F 2 функции; RF 1 DF 2, F 2 F1 x = x при x DF 1. Тогда: F 1 обратимая функция, DF 1 RF Пусть F обратимая функция. Тогда: F 1 функция, DF 1 = RF, RF 1 = DF, F F 1 y = y при y DF 1 ; F 1 Fx = x при x DF. 3. Пусть: F 1, F 2 функции; RF 1 = DF 2, F 2 F1 x = x при x DF 1. Тогда: F 1, F 2 обратимые функции, F 2 = F1 1, F 1 = F Пусть: F 1, F 2 функции; RF 1 DF 2, F 2 F1 x = x при x DF 1 ; RF 2 DF 1, F 1 F2 y = y при y DF 2. Тогда: F 1, F 2 обратимые функции, F 2 = F1 1, F 1 = F 1 2. Доказательство. 1. Пусть: x 1, x 2 DF 1, F 1 x 1 = F 2 x 2. Тогда: x 1 = F 2 F1 x 1 = F 2 F1 x 2 = x 2. В силу произвольности выбора x 1, x 2 получаем, что F 1 обратимая функция. Пусть x DF 1. Тогда: F 1 x DF 2, x = F 2 F1 x. Следовательно, x RF 2. В силу произвольности выбора x получаем, что DF 1 RF Очевидно: F 1 функция, DF 1 = RF, RF 1 DF, F F 1 y = y при y DF 1. Пусть x DF. Тогда Fx DF 1. Следовательно: F 1 Fx DF, F F 1 Fx = Fx. Так как F обратимая функция, то F 1 Fx = x. Так как: RF = DF 1, F 1 Fx = x при x DF, то DF RF 1. Так как: RF 1 DF, DF RF 1, то RF 1 = DF.

5 1. Общие сведения о функциях 5 3. Так как: RF 1 = DF 2, F 2 F1 x = x при x DF 1, то F 1 обратимая функция. Очевидно: DF 2 = RF 1, DF1 1 = RF 1. Пусть y RF 1. Тогда можно указать такой объект x, что: x DF 1, y = F 1 x. Следовательно: F 2 y = F 2 F1 x = x = F1 1 F1 x = F1 1 y. В силу произвольности выбора y получаем, что F 2 = F1 1. Так как F 2 = F1 1, то: RF 2 = DF 1, F 1 F2 y = y при y DF 2. Тогда: F 2 обратимая функция, F 1 = F Так как: RF 1 DF 2, F 2 F1 x = x при x DF 1, то F 1 обратимая функция. Так как: RF 2 DF 1, F 1 F2 y = y при y DF 2, то DF 2 RF 1. Так как: DF 2 RF 1, RF 1 DF 2, то DF 2 = RF 1. Так как: DF 2 = RF 1, RF 2 DF 1, F 1 F2 y = y при y DF 2, то F 2 = F1 1. Аналогично получаем, что: F 2 обратимая функция, F 1 = F 1 Утверждение. 1. Пусть F обратимая функция. Тогда: F 1 обратимая функция, F = F Пусть F 1, F 2 обратимые функции. Тогда: F 2 F 1 обратимая функция, F 1 F2 1 = F 2 F 1 1. Доказательство. 1. Так как: RF 1 = DF, F F 1 y = y при y DF 1, то: F 1 обратимая функция, F = F Пусть x DF 2 F 1. Обозначим, z = F 2 F 1 x. Тогда: x DF 1, F 1 x DF 2, z = F 2 F1 x. Следовательно: x DF 1, z DF2 1, F2 1 z = F 1 x. Тогда: z DF2 1, F2 1 z DF1 1, F1 1 F 1 2 z = x. Следовательно: z DF1 1 F2 1, F1 1 F2 1 z = x. Итак: F 2 F 1 x DF1 1 F2 1, F1 1 F2 1 F 2 F 1 x = x. Пусть z DF 1 1 F2 1. Обозначим, x = F1 1 F2 1 z. Тогда: z DF2 1, F2 1 z DF1 1, x = F1 1 F 1 2 z. Следовательно: z DF2 1, x DF 1, F 1 x = F2 1 z. Тогда: x DF 1, F 1 x DF 2, F 2 F1 x = z. Следовательно: x DF 2 F 1, F 2 F 1 x = z. Итак: F1 1 F2 1 z DF 2 F 1, F 2 F 1 F1 1 F2 1 z = z. Окончательно получаем, что: F 2 F 1 обратимая функция, F1 1 F2 1 = F 2 F Теорема о базисном миноре. Пусть: K {C,R,Q}; N 1, N 2 N, A K N 2 N 1. Пусть: r = 1,min{N 1,N 2 }, i 1,...,i r = 1,N 1, i 1 < < i r, j 1,...,j r = 1,N 2, j 1 < < j r, j 1,...,j r i 1,...,i r A 0. Пусть все миноры матрицы A порядка r+1 равны нулю если они существуют. Тогда: столбцы A i1,...,a ir образуют базис множества {A 1,...,A N1 }; строки A j 1,...,A jr образуют базис множества {A 1,...,A N 2 }. Доказательство. Обозначим, δ = j 1,...,j r i 1,...,i r A. Предположим, что A i1,...,a ir линейно зависимые столбцы. Тогда: δ = i1 A j 1 ir... A jr A j 1 A jr i 1 i r Итак, A i1,...,a ir линейно независимые столбцы. = 0 что противоречит тому, что: δ = j 1,...,j r i 1,...,i r A 0.

6 6 1. Общие сведения о функциях Пусть: i = 1,N 1, j = 1,N 2. Обозначим: A j 1 i1 A j 1 ir A j 1 i Bi,j =.... A jr i 1 A jr i r A jr. i A j i 1 A j i r A j i Пусть i {i 1,...,i r }. Тогда последний столбец матрицы Bi,j равен одному из предыдущих столбцов матрицы Bi,j. Следовательно, det Bi,j = 0. Пусть j {j 1,...,j r }. Тогда последняя строка матрицы Bi,j равна одной из предыдущих строк матрицы Bi,j. Следовательно, det Bi,j = 0. Пусть: i / {i 1,...,i r }, j / {j 1,...,j r }. Тогда det Bi,j равен с точностью до знака одному из миноров матрицы A порядка r +1. Следовательно, det Bi,j = 0. Итак, det Bi,j = 0. Тогда: 0 = det Bi,j = 1 r+1+1 r+1 1 Bi,j A j 1 r+1+r+1 r+1 r+1 Так как: 1 r+1+r+1 r+1 Bi,j = δ 0, то: i r+1+r r+1 r Bi,j A j i. Bi,j A j i r + 1r+1+1 r+1 A j i = 1 Bi,j r+1+r r+1 A j r Bi,j i δ 1 1 A j i δ r. Пусть k = 1,r. Число 1 r+1+k r+1 k Bi,j 1 r+1+k r+1 k Bi,j δ не зависит от номера j. Обозначим, C k i = δ. Тогда A j i = C1 ia j i 1 + +C r ia j i r. В силу произвольности выбора j получаем, что A i = C 1 ia i1 + +C r ia ir. Аналогично проводятся рассуждения для строк.

7 2. Подпространства 7 Лекция 2. Подпространства Определение. Пусть: K {C,R,Q}; L линейное пространство над полем K; r Z, r 2, Q 1,...,Q r L. Обозначим: Q 1 + +Q r = {x 1 + +x r : x 1 Q 1 x r Q r } = { y: x1 x r x 1 Q 1 x r Q r y = x 1 + +x r }. Утверждение. Пусть: K {C,R,Q}; L линейное пространство над полем K. 1. Пусть Q 1, Q 2 L. Тогда: Q 1 +Q 2 = Q 2 +Q Пусть Q 1, Q 2, Q 3 L. Тогда Q 1 +Q 2 +Q 3 = Q 1 +Q 2 +Q Пусть Q L. Тогда Q+{θ} = Q. 4. Пусть: r Z, r 3, Q 1,...,Q r L. Тогда Q 1 + +Q r = Q 1 + +Q r 1 +Q r. 5. Пусть Q 1, Q 2 подпространства пространства L. Тогда: Q 1 +Q 2 подпространство пространства L, Q 1, Q 2 Q 1 +Q Пусть: Q 1 подпространство пространства L, Q 2 Q 1, Q 2. Тогда Q 1 +Q 2 = Q Пусть: r 1, r 2 N, x 1,...,x r1, y 1,...,y r2 L. Тогда: Lx 1,...,x r1 +Ly 1,...,y r2 = Lx 1,...,x r1,y 1,...,y r2. Доказательство. 1. Пусть x Q 1 +Q 2. Тогда можно указать такие векторы x 1, x 2, что: x 1 Q 1, x 2 Q 2, x = x 1 +x 2. Следовательно: x = x 1 +x 2 = x 2 +x 1 Q 2 +Q 1. Пусть x Q 2 +Q 1. Тогда можно указать такие векторы x 1, x 2, что: x 1 Q 2, x 2 Q 1, x = x 1 +x 2. Следовательно: x = x 1 +x 2 = x 2 +x 1 Q 1 +Q Пусть x Q 1 + Q 2 + Q 3. Тогда можно указать такие векторы x 1, x 2, x 3, что: x 1 Q 1, x 2 Q 2, x 3 Q 3, x = x 1 +x 2 +x 3. Следовательно: x = x 1 +x 2 +x 3 = x 1 +x 2 +x 3 Q 1 +Q 2 +Q 3. Пусть x Q 1 + Q 2 + Q 3. Тогда можно указать такие векторы x 1, x 2, x 3, что: x 1 Q 1, x 2 Q 2, x 3 Q 3, x = x 1 +x 2 +x 3. Следовательно: x = x 1 +x 2 +x 3 = x 1 +x 2 +x 3 Q 1 +Q 2 +Q Пусть x Q+{θ}. Тогда можно указать такой вектор x 1, что: x 1 Q, x = x 1 +θ. Следовательно: x = x 1 +θ = x 1 Q. Пусть x Q. Так как θ {θ}, то: x = x+θ Q+{θ}. 4. Пусть x Q 1 + +Q r. Тогда можно указать такие векторы x 1,...,x r, что: x 1 Q 1,...,x r Q r, x = x 1 + +x r. Следовательно: x = x 1 + +x r = x 1 + +x r 1 +x r Q 1 + +Q r 1 +Q r. Пусть x Q Q r 1 + Q r. Тогда можно указать такие векторы x 1,...,x r, что: x 1 Q 1,...,x r Q r, x = x 1 + +x r 1 +x r. Следовательно: x = x 1 + +x r 1 +x r = x 1 + +x r Q 1 + +Q r. 5. Покажем, что Q 1 + Q 2 подпространство пространства L. Очевидно, Q 1 + Q 2 L. Так как Q 1, Q 2, то Q 1 +Q 2. Пусть x, y Q 1 +Q 2. Тогда можно указать такие векторы x 1, x 2, y 1, y 2, что: x 1, y 1 Q 1, x 2, y 2 Q 2, x = x 1 +x 2, y = y 1 +y 2. Следовательно: x+y = x 1 +x 2 +y 1 +y 2 = x 1 +y 1 +x 2 +y 2 Q 1 +Q 2. Пусть: λ K, x Q 1 + Q 2. Тогда можно указать такие векторы x 1, x 2, что: x 1 Q 1, x 2 Q 2, x = x 1 + x 2. Следовательно: λx = λx 1 +x 2 = λx 1 +λx 2 Q 1 +Q 2. Итак, Q 1 +Q 2 подпространство пространства L. Покажем, что Q 1, Q 2 Q 1 +Q 2. Пусть x Q 1. Так как θ Q 2, то: x = x+θ Q 1 +Q 2. Итак, Q 1 Q 1 +Q 2. Пусть x Q 2. Так как θ Q 1, то: x = θ +x Q 1 +Q 2. Итак, Q 2 Q 1 +Q Пусть x Q 1 +Q 2. Тогда можно указать такие векторы x 1, x 2, что: x 1 Q 1, x 2 Q 2, x = x 1 +x 2. Так как Q 2 Q 1, то x 2 Q 1. Тогда: x = x 1 +x 2 Q 1. Пусть x Q 1. Так как Q 2, то можно указать такой вектор x 2, что x 2 Q 2. Так как Q 2 Q 1, то x 2 Q 1. Тогда: x = x+θ = x+ x 2 + x 2 = x 1 + x 2 +x 2 Q 1 +Q Пусть u Lx 1,...,x r1 + Ly 1,...,y r2. Тогда можно указать такие числа α 1,...,α r 1, β 1,...,β r 2 K, что u = α 1 x 1 + +α r 1x r1 +β 1 y 1 + +β r 2y r2. Следовательно: u = α 1 x 1 + +α r 1x r1 +β 1 y 1 + +β r 2y r2 = α 1 x α r 1x r1 +β 1 y 1 + +β r 2y r2 Lx 1,...,x r1,y 1,...,y r2. Пусть u Lx 1,...,x r1,y 1,...,y r2. Тогда можно указать такие числа α 1,...,α r 1, β 1,...,β r 2 K, что u = α 1 x α r 1x r1 + β 1 y β r 2y r2. Следовательно: u = α 1 x α r 1x r1 + β 1 y β r 2y r2 = α 1 x α r 1x r1 + β 1 y 1 + +β r 2y r2 Lx 1,...,x r1 +Ly 1,...,y r2.

8 8 2. Подпространства Определение. Пусть: K {C,R,Q}; L линейное пространство над полем K; r N, Q 1,...,Q r подпространства пространства L. Будем говорить, что Q 1,...,Q r линейно независимые подпространства, если: x x r = θ = x 1 = θ x r = θ при: x 1 Q 1,...,x r Q r. Определение. Пусть: K {C,R,Q}; L линейное пространство над полем K; r Z, r 2, Q 1,...,Q r линейно независимые подпространства пространства L. Обозначим, Q 1 Q r = Q Q r. Сумму линейно независимых подпространств называют прямой суммой. Утверждение. Пусть: K {C,R,Q}; L линейное пространство над полем K; r N, Q 1,...,Q r подпространства пространства L. Подпространства Q 1,...,Q r линейно независимы тогда и только тогда, когда: x 1 + +x r = y 1 + +y r = x 1 = y 1 x r = y r при: x 1,y 1 Q 1,...,x r,y r Q r. Доказательство. Пусть Q 1,...,Q r линейно независимые подпространства. Пусть: x 1,y 1 Q 1,...,x r,y r Q r, x 1 + +x r = y 1 + +y r. Тогда: x 1 y 1 Q 1,...,x r y r Q r, x 1 y 1 + +x r y r = θ. Так как Q 1,...,Q r линейно независимые подпространства, то: x 1 y 1 = θ,...,x r y r = θ. Тогда: x 1 = y 1,...,x r = y r. Пусть: x 1 + +x r = y 1 + +y r = x 1 = y 1 x r = y r при: x 1,y 1 Q 1,...,x r,y r Q r. Пусть: x 1 Q 1,...,x r Q r, x 1 + +x r = θ. Обозначим, y 1,...,y r = θ. Тогда: x 1,y 1 Q 1,...,x r,y r Q r, x 1 + +x r = y 1 + +y r. Следовательно: x 1 = y 1 = θ,...,x r = y r = θ. Итак, Q 1,...,Q r линейно независимые подпространства. Утверждение. Пусть: K {C,R,Q}; L линейное пространство над полем K; Q 1, Q 2 подпространства пространства L. Подпространства Q 1, Q 2 линейно независимы тогда и только тогда, когда Q 1 Q 2 = {θ}. Доказательство. ПустьQ 1,Q 2 линейно независимые подпространства. Так как:θ Q 1, θ Q 2, то θ Q 1 Q 2. Пусть x Q 1 Q 2. Тогда: x Q 1, x Q 2. Следовательно: x Q 1, x Q 2, x+ x = θ. Так как Q 1, Q 2 линейно независимые подпространства, то x = θ. Итак, Q 1 Q 2 = {θ}. ПустьQ 1 Q 2 = {θ}. Пусть:x 1 Q 1,x 2 Q 2,x 1 +x 2 = θ. Тогда:x 1 Q 1,x 1 = x 2 Q 2 ; x 2 = x 1 Q 1, x 2 Q 2. Следовательно: x 1 Q 1 Q 2, x 2 Q 1 Q 2. Так как Q 1 Q 2 = {θ}, то: x 1 = θ, x 2 = θ. Итак, Q 1, Q 2 линейно независимые подпространства. Утверждение. Пусть: K {C,R,Q}; L линейное пространство над полем K. 1. Пусть: r N, Q 1,...,Q r линейно независимые подпространства пространства L, σ S r. Тогда Q σ1,...,q σr линейно независимые подпространства. 2. Пусть: r 1, r 2 N, Q 1,...,Q r1, D 1,...,D r2 линейно независимые подпространства пространства L, Q1,..., Q r1 подпространства пространства L, Q1 Q 1,..., Q r1 Q r1. Тогда Q 1,..., Q r1 линейно независимые подпространства. 3. Пусть: r 1, r 2 N, Q 1,...,Q r1 линейно независимые подпространства пространства L, D 1,...,D r2 = {θ}. Тогда Q 1,...,Q r1, D 1,...,D r2 линейно независимые подпространства. 4. Пусть: r Z, r 3, Q 1,...,Q r подпространства пространства L. Подпространства Q 1,...,Q r линейно независимы тогда и только тогда, когда: подпространства

9 2. Подпространства 9 Q 1,...,Q r 1 линейно независимы, подпространства Q Q r 1, Q r линейно независимы. Подпространства Q 1,...,Q r линейно независимы тогда и только тогда, когда: подпространства Q 2,...,Q r линейно независимы, подпространства Q 1, Q 2 + +Q r линейно независимы. Доказательство. 1. Пусть: x 1 Q σ1,...,x r Q σr, x 1 + +x r = θ. Тогда: x σ 1 1 Q 1,...,x σ 1 r Qr, x σ x σ 1 r = θ. Так как Q 1,...,Q r линейно независимые подпространства, то x σ 1 1,...,x σ 1 r = θ. Тогда x 1,...,x r = θ. Итак, Q σ1,...,q σr линейно независимые подпространства. 2. Пусть: x 1 Q 1,...,x r1 Q r1, x x r1 = θ. Обозначим, y 1,...,y r2 = θ. Тогда: x 1 Q 1,...,x r1 Q r1, y 1 D 1,...,y r2 D r2, x x r1 + y y r2 = θ. Так как Q 1,...,Q r1, D 1,...,D r2 линейно независимые подпространства, то x 1,...,x r1 = θ. Итак, Q1,..., Q r1 линейно независимые подпространства. 3. Пусть: x 1 Q 1,...,x r1 Q r1, y 1 D 1,...,y r2 D r2, x 1 + +x r1 +y 1 + +y r2 = θ. Так как D 1,...,D r2 = {θ}, то y 1,...,y r2 = θ. Тогда: x 1 Q 1,...,x r1 Q r1, x 1 + +x r1 = θ. Так как Q 1,...,Q r1 линейно независимые подпространства, то x 1,...,x r1 = θ. Итак, Q 1,...,Q r1, D 1,...,D r2 линейно независимые подпространства. 4. Пусть Q 1,...,Q r линейно независимые подпространства. Тогда Q 1,...,Q r 1 линейно независимые подпространства. Пусть: y Q 1 + +Q r 1, x r Q r, y+x r = θ. Так как y Q 1 + +Q r 1, то можно указать такие векторы x 1,...,x r 1, что: x 1 Q 1,...,x r 1 Q r 1, y = x x r 1. Тогда: x 1 Q 1,...,x r Q r, x x r = θ. Так как Q 1,...,Q r линейно независимые подпространства, то x 1,...,x r = θ. Тогда: y = x 1 + +x r 1 = θ, x r = θ. Итак, Q 1 + +Q r 1, Q r линейно независимые подпространства. Пусть: Q 1,...,Q r 1 линейно независимые подпространства, Q Q r 1, Q r линейно независимые подпространства. Пусть: x 1 Q 1,...,x r Q r, x x r = θ. Тогда: x x r 1 Q Q r 1, x r Q r, x x r 1 + x r = θ. Так как Q Q r 1, Q r линейно независимые подпространства, то: x x r 1 = θ, x r = θ. Так как: x 1 Q 1,...,x r 1 Q r 1, x x r 1 = θ, Q 1,...,Q r 1 линейно независимые подпространства, то x 1,...,x r 1 = θ. Итак, Q 1,...,Q r линейно независимые подпространства. Аналогично доказывается второе утверждение рассматриваемого пункта. Утверждение. Пусть: K {C,R,Q}; L линейное пространство над полем K; r Z, r 2, N 1,...,N r N. 1. Пусть: Q 1,...,Q r линейно независимые подпространства пространства L; e k,1,...,e k,nk линейно независимые векторы подпространства Q k при k = 1,r. Тогда e 1,1,...,e 1,N1,...,e r,1,...,e r,nr линейно независимые векторы. 2. Пусть: Q 1,...,Q r линейно независимые подпространства пространства L; e k,1,...,e k,nk базис подпространства Q k при k = 1,r. Тогда e 1,1,...,e 1,N1,...,e r,1,...,e r,nr базис подпространства Q 1 + +Q r. 3. Пусть: e 1,1,...,e 1,N1,...,e r,1,...,e r,nr линейно независимые векторы пространства L; Q k = Le k,1,...,e k,nk при k = 1,r. Тогда Q 1,...,Q r линейно независимые подпространства пространства L. Доказательство. 1. Пусть: α k,m K при k = 1,r, m = 1,N k ; при k = 1,r; r α k,m e k,m = θ. Так как Q 1,...,Q r линейно независимые подпространства, то: N k k=1m=1 N k m=1 αk,m e k,m = θ. Тогда: k=1,r, m=1,n k N k m=1 α k,m e k,m Q k α k,m e k,m = θ при k = 1,r. Фиксируем номер k = 1,r. Так как e k,1,...,e k,nk линейно независимые векторы, то: α k,m = 0 при m = 1,N k. Итак, e 1,1,...,e 1,N1,...,e r,1,...,e r,nr линейно независимые векторы. 2. Очевидно: Q Q r = Le 1,1,...,e 1,N1 + + Le r,1,...,e r,nr = Le 1,1,...,e 1,N1,...,e r,1,...,e r,nr. Так как Q 1,...,Q r линейно независимые подпространства, то e 1,1,...,e 1,N1,...,e r,1,...,e r,nr линейно независимые векторы. Тогда e 1,1,...,e 1,N1,...,e r,1,...,e r,nr базис подпространства Q 1 + +Q r.

10 10 2. Подпространства 3. Пусть: x 1 Q 1,...,x r Q r, x x r = θ. Фиксируем номер k = 1,r. Так как x k Q k, то можно указать такие числаα k,1,...,α k,n k K, чтоxk = α k,1 e k,1 + +α k,n k ek,nk. Тогда: θ = r x k = k=1 r N k k=1 m=1 α k,m e k,m = k=1,r, m=1,n k α k,m e k,m. Так как e 1,1,...,e 1,N1,...,e r,1,...,e r,nr линейно независимые векторы, то: α k,m = 0 при k = 1,r, m = 1,N k. Тогда: x k = α k,1 e k,1 + +α k,n k ek,nk = θ при k = 1,r. Итак, Q 1,...,Q r линейно независимые подпространства. Утверждение. Пусть: K {C,R,Q}; L линейное пространство над полем K; r Z, r 2, Q 1,...,Q r подпространства пространства L; dimq k + при k = 1,r. Подпространства Q 1,...,Q r линейно независимы тогда и только тогда, когда dimq 1 + +Q r = dimq 1 + +dimq r. Доказательство. Обозначим: N k = dimq k при k = 1,r. 1. Пусть: N k 0 при k = 1,r. Фиксируем номер k = 1,r. Так как N k N, то можно указать такие векторы e k,1,...,e k,nk, что e k,1,...,e k,nk базис подпространства Q k. Пусть Q 1,...,Q r линейно независимые подпространства. Тогда e 1,1,...,e 1,N1,...,e r,1,...,e r,nr базис подпространства Q Q r. Следовательно: dimq 1 + +Q r = N 1 + +N r. Пусть dimq Q r = N N r. Предположим, что e 1,1,...,e 1,N1,...,e r,1,...,e r,nr линейно зависимые векторы. Тогда: dimq 1 + +Q r = dim Le 1,1,...,e 1,N1 + +Le r,1,...,e r,nr = dim Le 1,1,...,e 1,N1,...,e r,1,...,e r,nr < N 1 + +N r. Итак, e 1,1,...,e 1,N1,...,e r,1,...,e r,nr линейно независимые векторы. Так как: Q k = Le k,1,...,e k,nk при k = 1,r, то Q 1,...,Q r линейно независимые подпространства. 2. Пусть: k = 1,rN k 0, k = 1,rN k = 0. Тогда можно указать такое число p = 1,r 1 и такие числа k 1,...,k p = 1,r, что: k 1 < < k p, N k1,...,n kp 0; N k = 0 при: k = 1,r, k / {k 1,...,k p }. Следовательно: Q k = {θ} при: k = 1,r, k / {k 1,...,k p }. Пусть Q 1,...,Q r линейно независимые подпространства. Тогда Q k1,...,q kp линейно независимые подпространства. Следовательно, dimq k1 + +Q kp = N k1 + +N kp. Тогда: dimq 1 + +Q r = dimq k1 + +Q kp = N k1 + +N kp = N 1 + +N r. Пусть dimq 1 + +Q r = N 1 + +N r. Тогда: dimq k1 + +Q kp = dimq Q r = N 1 + +N r = N k1 + +N kp. Следовательно, Q k1,...,q kp линейно независимые подпространства. Тогда Q 1,...,Q r линейно независимые подпространства. 3. Пусть:N k = 0 приk = 1,r. Тогда:Q k = {θ} приk = 1,r. Следовательно: Q 1,...,Q r линейно независимые подпространства; dimq Q r = dim {θ} = 0 = N N r. Определение. Пусть: K {C,R,Q}; L линейное пространство над полем K; Q 1, Q 2 подпространства пространства L, Q 1 Q 2. Будем говорить, что D линейное дополнение подпространства Q 1 до подпространства Q 2, если: D подпространство пространства L, Q 2 = Q 1 +D; Q 1, D линейно независимые подпространства.

11 2. Подпространства 11 Утверждение. Пусть: K {C,R,Q}; L линейное пространство над полем K; Q 1, Q 2 подпространства пространства L, Q 1 Q 2, dimq 2 +. Тогда можно указать линейное дополнение D подпространства Q 1 до подпространства Q 2. Доказательство. Обозначим: N 1 = dimq 1, N 2 = dimq 2. Так как Q 1 Q 2, то N 1 N Пусть: N 1 0, N 1 N 2. Так как N 1 N, то можно указать такие векторы e 1,...,e N1, что e 1,...,e N1 базис подпространства Q 1. Так как: N 1, N 2 N, N 1 < N 2, то можно указать такие векторы e N1 +1,...,e N2, что e 1,...,e N2 базис пространства Q 2. Обозначим, D = Le N1 +1,...,e N2. Тогда: D подпространство пространства L, Q 1 + D = Le 1,...,e N1 + Le N1 +1,...,e N2 = Le 1,...,e N2 = Q 2. Так как: e 1,...,e N2 линейно независимые векторы, Q 1 = Le 1,...,e N1, D = Le N1 +1,...,e N2, то Q 1, D линейно независимые подпространства. 2. Пусть N 1 = 0. Тогда Q 1 = {θ}. Обозначим, D = Q 2. Тогда: D подпространство пространства L, Q 1 +D = {θ}+q 2 = Q 2 ; Q 1, D линейно независимые подпространства. 3. Пусть N 1 = N 2. Так как: N 1 = N 2, N 2 +, то Q 1 = Q 2. Обозначим, D = {θ}. Тогда: D подпространство пространства L, Q 1 +D = Q 2 +{θ} = Q 2 ; Q 1, D линейно независимые подпространства. Утверждение. Пусть: K {C,R,Q}; L линейное пространство над полем K; Q 1, Q 2 подпространства пространства L, dimq 1, dimq 2 +. Тогда dimq 1 +Q 2 = dimq 1 +dimq 2 dimq 1 Q 2. Доказательство. Так как: Q 1 Q 2 Q 2, dimq 2 +, то можно указать линейное дополнениеd подпространстваq 1 Q 2 до подпространстваq 2. Тогда:dimD = dimq 2 dimq 1 Q 2, Q 1 Q 2 D = {θ}. Так как:q 1 Q 2 Q 1,Q 1 Q 2, то:q 1 +Q 2 = Q 1 +Q 1 Q 2 +D = Q 1 +Q 1 Q 2 +D = Q 1 +D. Так как D Q 2, то: Q 1 D = Q 1 D Q 2 = Q 1 Q 2 D = {θ}. Тогда Q 1, D линейно независимые подпространства. Следовательно: dimq 1 + Q 2 = dimq 1 + D = dimq 1 +dimd = dimq 1 +dimq 2 dimq 1 Q 2.

12 12 3. Тензорная алгебра Лекция 3. Тензорная алгебра 3.1. Числовые наборы Замечание. Пусть: K {C,R,Q}; r N, N 1,...,N r N. 1. Обозначим через K N 1 N r множество всех функций A, удовлетворяющих условию A: {1,...,N 1 } {1,...,N r } = K. 2. Пусть A K N 1 N r. Будем говорить, что A числовой набор степени r. 3. Пусть A K N 1 N r. Далее часто будем писать A i1,...,i r вместо Ai 1,...,i r. 4. ПустьA,B K N 1 N r. Тогда:A+B i1,...,i r = A i1,...,i r +B i1,...i r при:i 1 = 1,N 1,...,i r = 1,N r. 5. Пусть: λ K, A K N 1 N r. Тогда: λa i1,...,i r = λa i1,...,i r при: i 1 = 1,N 1,...,i r = 1,N r. 6. Очевидно, K N 1 N r линейное пространство над полем K. 7. Нетрудно показать, что dim K N 1 N r = N1 N r. Утверждение. Пусть: r N, x 1,...,x r различные объекты, D = {x 1,...,x r}; K {C,R,Q}. Фиксируем номер i = 1,r. Пусть: F i x = 1 при x = x i ; F i x = 0 при: x D, x x i. Тогда F 1,...,F r базис пространства FunD,K. Доказательство. Пусть i, k = 1,N. Так как x 1,...,x r различные объекты, то F i x k = δk i r. Покажем, что F 1,...,F r линейно независимые функции. Пусть: C 1,...,C r K, C i F i = Θ. Пусть k = 1,r. Тогда: i=1 r C i F i x = Θx, x D, i=1 r C i F i x k = Θx k, i=1 r C i δi k = 0, i=1 C k = 0. Пусть F FunD,K. Покажем, что F = r Fx i F i. Пусть x D. Тогда можно указать такой номер k = 1,r, что x = x k. i=1 r Следовательно: Fx i F i x = r Fx i F i x k = r Fx i δi k = Fx k = Fx. Итак, F 1,...,F r базис пространства i=1 i=1 i=1 FunD,K. Замечание. Пусть K {C,R,Q}. 1. Пусть: r N, N 1,...,N r N, A K N 1 N r. Далее часто будем писать A i 1,...,i r вместо Ai 1,...,i r. 2. Пусть: p, q N, N 1,...,N p+q N, A K N 1 N p+q. Далее часто будем писать A j 1,...,j q i 1,...,i p вместо Aj 1,...,j q,i 1,...,i p. Замечание. Пусть: K {C,R,Q}; N N. 1. Пусть r N. Обозначим: N 1,...,N r = N, K N,r = K N 1 N r. Обозначим, K N,0 = K. 2. Пусть: r Z +, A K N,r. Будем говорить, что A числовой набор степени r. 3. Пусть r Z +. Очевидно, K N,r линейное пространство над полем K. 4. Пусть r Z +. Очевидно, dim K N,r = N r Геометрические объекты Определение. Пусть: K {C,R,Q}; L линейное пространство над полем K, N N, diml = N.

13 3.2. Геометрические объекты Пусть: x L, e базис пространства L. Будем говорить, что x столбец координат вектора x, если: x K N, x = x j e j. Обозначим через [x]e столбец координат вектора x в базисе e. 2. Пусть e, e базисы пространства L. Обозначим: α i i e,e = [e i ]i e при i, i = 1,N. Матрицу αe,e называют матрицей перехода от базиса e к базису e. Утверждение. Пусть: K {C,R,Q}; L линейное пространство над полем K, N N, diml = N. 1. Пусть e базис пространства L. Тогда αe,e = Ĩ здесь: Ĩ KN N, Ĩ единичная матрица. 2. Пусть e, e, e базисы пространства L. Тогда αe,e = αe,e αe,e. 3. Пусть e, e базисы пространства L. Тогда: det αe,e 0, αe,e 1 = αe,e. 4. Пусть: e базис пространства L, A K N N, deta 0; e i = Ai i e i при i = 1,N. Тогда: e базис пространства L, αe,e = A. 5. Пусть: x L, e, e базисы пространства L. Тогда [x]e = αe,e[x]e [x] j e = α j j e,e[x] j e при j = 1,N. Доказательство. 1. Пусть i = 1,N. Тогда e i = δ j i e j. Следовательно: α j i e,e = δj i при j = 1,N. 2. Пусть i = 1,N. Тогда: e i = αi i e,e e i = αi i e,e αi i e,e e i = α i i e,e αi i e,e e i. Следовательно: α i i e,e = α i i e,e α i i e,e при i = 1,N. 3. Очевидно: αe,e αe,e = αe,e = Ĩ. Тогда: det αe,e 0, αe,e 1 = αe,e. 4. Очевидно, e 1,...,e N L. Пусть: C1,...,C N K, C i e i = θ. Тогда: θ = Ci e i = C i A i i e i = A i i Ci e i. Так как e 1,...,e N линейно независимые векторы, то: A i i Ci = 0 при i = 1,N. Так как deta 0, то: C i = 0 при i = 1,N. Итак, e 1,...,e N линейно независимые векторы. Так как diml = N, то e базис пространства L. Так как: e i = A i i e i при i = 1,N, то αe,e = A. 5. Очевидно: x = [x] j ee j = [x] j e α j j e,ee j = α j j e,e[x] j e e j. Тогда: [x] j e = α j j e,e[x] j e при j = 1,N. Замечание. Пусть: K {C,R,Q}; L линейное пространство над полем K, N N, diml = N; r Z Будем говорить, что A геометрический объект степени r в пространстве L, если A это отображение, которое каждому базису e пространства L ставит в соответствие числовой набор Ae K N,r. 2. Обозначим через GL r множество всех геометрических объектов степени r в пространстве L. 3. Далее часто будем писать A i1,...,i r e вместо Ae i 1,...,i r.

14 14 3. Тензорная алгебра 4. Пусть A, B GL r. Тогда: A+Be = Ae+Be при: e базис пространства L; A+B i1,...,i r e = A i1,...,i r e+b i1,...,i r e при: e базис пространства L, i 1,...,i r = 1,N. 5. Пусть λ K, A GL r. Тогда: λae = λae при: e базис пространства L; λa i1,...,i r e = λa i1,...,i r e при: e базис пространства L, i 1,...,i r = 1,N. 6. Очевидно, GL r линейное пространство над полем K Тензоры Замечание. Пусть: K {C,R,Q}; L линейное пространство над полем K, N N, diml = N. 1. Пусть p, q N. Будем говорить, что A тензор порядка q p в пространстве L, если A это геометрический объект степени p + q в пространстве L, удовлетворяющий условию: A j 1,...,j q i 1,...,i p e = A j 1,...,j q i 1,...,i p eα j 1 j1 e,e α j q j q e,eα i 1 Здесь: e, e базисы пространства L, i 1,...,i p,j 1,...,j q = 1,N. i 1 e,e α ip i p e,e. 2. Пусть p N. Будем говорить, что A тензор порядка 0 p в пространстве L, если A это геометрический объект степени p в пространстве L, удовлетворяющий условию: A i 1,...,i e = A i1,...,i p p eα i 1 i e,e α ip i 1 pe,e. Здесь: e, e базисы пространства L, i 1,...,i p = 1,N. 3. Пусть q N. Будем говорить, что A тензор порядка q 0 в пространстве L, если A это геометрический объект степени q в пространстве L, удовлетворяющий условию: A j 1,...,j qe = A j 1,...,j q eα j 1 j1 e,e α j q j q e,e. Здесь: e, e базисы пространства L, j 1,...,j q = 1,N. 4. Будем говорить, что A тензор порядка 0 0 в пространстве L, если A это геометрический объект степени 0 в пространстве L, удовлетворяющий условию: Здесь e, e базисы пространства L. Ae = Ae. 5. Пусть p,q Z +. Обозначим через TL q p множество всех тензоров порядка q p в пространстве L. Утверждение. Пусть: K {C,R,Q}; L линейное пространство над полем K, N N, diml = N; p,q Z +. Тогда TL q p подпространство пространства GL p+q. Доказательство. 1. Очевидно, TL q p GL p+q. 2. Пусть Θ нулевой элемент пространства GL p+q. Покажем, что Θ TL q p. Пусть: e, e базисы пространства L, i 1,...,i p,j 1,...,j q = 1,N. Тогда: Θ j 1,...,j q i 1,...,i p eα j 1 j1 e,e α j q j q e,eα i 1 i 1 e,e α ip i p e,e = 0 = Θ j 1,...,j q i 1,...,i p e. 3. Пусть A, B TL q p. Покажем, что A+B TL q p. Пусть: e, e базисы пространства L, i 1,...,i p,j 1,...,j q = 1,N. Тогда: A+B j 1,...,j q i 1,...,i p eα j 1 j1 e,e α j q j q e,eα i 1 i 1 j A 1,...,j q i 1,...,i p e+b j 1,...,j q i 1,...,i p e α j 1 j1 e,e α j q j q e,eα i 1 e,e α ip i p e,e = A j 1,...,j q i 1,...,i p e +B j 1,...,j q i 1,...,i p e = A+B j 1,...,j q i 1,...,i p e. i 1 e,e α ip i p e,e =

15 3.3. Тензоры Пусть: λ K, A TL q p. Покажем, что λa TL q p. Пусть: e, e базисы пространства L, i 1,...,i p,j 1,...,j q = 1,N. Тогда: λa j 1,...,j q i 1,...,i p eα j 1 j1 e,e α j q j λa 1,...,j q i 1,...,i p e α j 1 j1 e,e α j q j q e,eα i 1 i 1 j q e,eα i 1 λa j 1,...,j q i 1,...,i p e = λa j 1,...,j q i 1,...,i p e. i 1 e,e α ip i p e,e = e,e α ip i p e,e = Замечание примеры. Пусть: K {C,R,Q}; L линейное пространство над полем K, N N, diml = N. 1. Пусть x L. Очевидно, [x] TL Пусть: δ j i e = δj i при: e базис пространства L, i, j = 1,N. Покажем, что δ TL1 1. Пусть: e, e базисы пространства L, i, j = 1,N. Тогда: δ j i eαj j e,eα i i e,e = δ j i αj j e,eα i i e,e = α j i e,eα i i e,e = δ j i = δ j i e. Утверждение. Пусть: K {C,R,Q}; L линейное пространство над полем K, N N, diml = N; p, q Z +, e 0 базис пространства L. 1. Пусть: A, B TL q p, Ae 0 = Be 0. Тогда A = B. 2. Пусть A 0 K N,p+q. Обозначим: A j 1,...,j q i 1,...,i p e = A 0 j0 1,...,j0 q i 0 1,...,i0 p α j 1e,e j1 0 0 α jq j e,e 0α i0 q 0 1 i1 e 0,e α i0 p i p e 0,e. Здесь: e базис пространства L, i 1,...,i p,j 1,...,j q = 1,N. Тогда: A TL q p, Ae 0 = A 0. Доказательство. 1. Пусть: e базис пространства L, i 1,...,i p,j 1,...,j q = 1,N. Тогда: A j 1,...,j q i 1,...,i p e = A j0 1,...,j0 q B j0 1,...,j0 q i 0 1,...,i0 p i 0 1,...,i0 p e 0 α j 1e,e j1 0 0 α jq j e,e 0α i0 q 0 1 i1 e 0,e α i0 p i p e 0,e = e 0 α j 1e,e j1 0 0 α jq j e,e 0α i0 q 0 1 i1 e 0,e α i0 p i p e 0,e = B j 1,...,j q i 1,...,i p e. 2. Покажем, что A TL q p. Пусть: e, e базисы пространства L, i 1,...,i p,j 1,...,j q = 1,N. Тогда: A 0 j0 1,...,j0 q i 0 1,...,i0 p A j 1,...,j q i 1,...,i p eα j 1 j1 e,e α j q A0 j0 1,...,j0 q i 0 1,...,i0 p j q e,eα i 1 i 1 e,e α ip i p e,e = α j 1e,e j1 0 0 α jq j e,e 0α i0 q 0 1 i1 e 0,e α i0 p i p e 0,e α j 1 j1 e,e α j q α j 1e,e j1 0 0 α j q j q e,eα i 1 i 1 j 0 q e,e 0 α i0 1 i 1 e,e α ip i p e,e = e 0,e α i0 p i p e 0,e = A j 1,...,j q i 1,,i p e. Покажем, что Ae 0 = A 0. Пусть i 1,...,i p,j 1,...,j q = 1,N. Тогда: A j 1,...,j q i 1,...,i p e 0 = A 0 j0 1,...,j0 q i 0 1,...,i0 p α j 1e j1 0 0,e 0 α jq j e 0,e q 0 0 α i0 1 i1 e 0,e 0 α i0 p i p e 0,e 0 = A 0 j0 1,...,j0 q δ j 1 δ jq i 0 1,...,i0 p j1 0 jq 0δi0 1 i1 δ i0 p i p = A 0 j 1,...,j q i 1,...,i p.

16 16 3. Тензорная алгебра Замечание. Пусть: K {C,R,Q}; L линейное пространство над полем K, N N, diml = N; p, q Z +. Пусть e 0 базис пространства L. Обозначим: ϕa = Ae 0 при A TL q p. Очевидно, ϕ изоморфизм пространства TL q p на пространство K N,p+q. Тогда: dim TL q p = dim K N,p+q = N p+q. Определение. Пусть r N. Обозначим через S r множество всех перестановок множества {1,...,N}. Обозначим через S 0 множество всех перестановок множества. Определение. Пусть: K {C,R,Q}; L линейное пространство над полем K, N N, diml = N. 1. Пусть: p 1,q 1 Z +, A TL q 1 p 1 ; p 2,q 2 Z, p 2,q 2 0, B TL q 2 p 2. Обозначим: A B j 1,...,j q1 +q 2 i 1,...,i p1 +p 2 e = A j 1,...,j q1 i 1,...,i p1 eb j q 1 +1,...,j q1 +q 2 i p1 +1,...,i p1 +p 2 e. Здесь: e базис пространства L, i 1,...,i p1 +p 2,j 1,...,j q1 +q 2 = 1,N. Геометрический объект A B называют прямым произведением тензоров A, B. 2. Факультативный материал. Пусть: r Z, r 3; p k,q k Z +, A k TL q k pk при k = 1,r. Обозначим: p k = p 1 + +p k, q k = q 1 + +q k при k = 1,r; A 1 A r j 1,...,j qr i 1,...,i pr e = A 1 j 1,...,j q1 i 1,...,i p1 ea 2 j q 1 +1,...,j q2 i p1 +1,...,i p2 e A r j q r 1 +1,...,j qr i pr 1 +1,...,i pr e. Здесь: e базис пространства L, i 1,...,i pr,j 1,...,j qr = 1,N. Геометрический объект A 1 A r называют прямым произведением тензоров A 1,...,A r. 3. Пусть: p,q N, A TL q p, k = 1,p, m = 1,q. Обозначим: A m k j1,...,j q 1 i 1,...,i p 1 e = A j 1,...,j m 1,i,j m,...,j q 1 i 1,...,i k 1,i,i k,...,i p 1 e. Здесь: e базис пространства L, i 1,...,i p 1,j 1,...,j q 1 = 1,N. Геометрический объект A m k называют свёрткой тензора A. 4. Пусть: p,q Z +, A TL q p, σ 1 S p, σ 2 S q. Обозначим: [A] σ 2 σ 1 j1,...,j q i 1,...,i p e = A j σ 2 1,...,j σ2 q i σ1 1,...,i σ1 p e. Здесь: e базис пространства L, i 1,...,i p,j 1,...,j q = 1,N. Геометрический объект [A] σ 2 σ 1 называют результатом транспонирования тензора A. 5. Пусть: p,q Z +, A TL q p, σ S p. Обозначим: [A]σ j1,...,j q i 1,...,i p e = A j 1,...,j q i σ1,...,i σp e. Здесь: e базис пространства L, i 1,...,i p,j 1,...,j q = 1,N. Геометрический объект [A] σ называют результатом транспонирования тензора A. 6. Пусть: p,q Z +, A TL q p, σ S q. Обозначим: [A] σ j 1,...,j q e = A j σ1,...,j σq i 1,...,i p i 1,...,i p e. Здесь: e базис пространства L, i 1,...,i p,j 1,...,j q = 1,N. Геометрический объект [A] σ называют результатом транспонирования тензора A. Утверждение факультативный материал. Пусть: K {C,R,Q}; L линейное пространство над полем K, N N, diml = N; r Z, r 3; p k,q k Z +, A k TL q k pk при k = 1,r. Тогда: A 1 A r = A 1 A r 1 A r, A 1 A r = A 1 A 2 A r.

17 3.3. Тензоры 17 Доказательство. 1. Обозначим: p k = p 1 + +p k, q k = q 1 + +q k при k = 1,r. Пусть: e базис пространства L, i 1,...,i pr,j 1,...,j qr = 1,N. Тогда: A1 A r 1 A r j1,...,j qr i 1,...,i pr e = A1 j 1,...,j q1 i 1,...,i p1 e...a r 1 j q r 2 +1,...,j qr 1 i pr 2 +1,...,i pr 1 e A r j q r 1 +1,...,j qr i pr 1 +1,...,i pr e = A 1 j 1,...,j q1 i 1,...,i p1 e...a r j q r 1 +1,...,j qr i pr 1 +1,...,i pr e = A 1 A r j 1,...,j qr i 1,...,i pr e. 2. Обозначим: p k = p 1 + +p k, q k = q 1 + +q k при k = 1,r. Пусть: e базис пространства L, i 1,...,i pr,j 1,...,j qr = 1,N. Тогда: A1 A 2 A r j 1,...,j qr i 1,...,i pr e = A 1 j 1,...,j q1 i 1,...,i p1 e A 2 j q 1 +1,...,j q2 i p1 +1,...,i p2 e...a r j q r 1 +1,...,j qr i pr 1 +1,...,i pr e = A 1 j 1,...,j q1 i 1,...,i p1 e...a r j q r 1 +1,...,j qr i pr 1 +1,...,i pr e = A 1 A r j 1,...,j qr i 1,...,i pr e. Утверждение. Пусть: K {C,R,Q}; L линейное пространство над полем K, N N, diml = N. 1. Пусть: p 1,q 1 Z +, A TL q 1 p 1 ; p 2,q 2 Z +, B TL p 2 q 2. Тогда A B TL q 1+q 2 p 1 +p Пусть: p 1,q 1 Z +, A 1,A 2 TL q 1 p 1 ; p 2,q 2 Z +, B TL p 2 q 2. Тогда A 1 +A 2 B = A 1 B +A 2 B. 3. Пусть: λ K; p 1,q 1 Z +, A TL q 1 p 1 ; p 2,q 2 Z +, B TL p 2 q 2. Тогда λa B = λa B. 4. Пусть: p 1,q 1 Z +, A TL q 1 p 1 ; p 2,q 2 Z +, B 1,B 2 TL p 2 q 2. Тогда A B 1 +B 2 = A B 1 +A B Пусть: λ K; p 1,q 1 Z +, A TL q 1 p 1 ; p 2,q 2 Z +, B TL p 2 q 2. Тогда A λb = λa B. 6. Факультативный материал. Пусть: p 1,q 1 Z +, A TL q 1 p 1 ; p 2,q 2 Z +, B TL q 2 p 2. Пусть: σ 1 k = k +p 1 при k = 1,p 2 ; σ 1 k = k p 2 при k = p 2 +1,p 2 +p 1 ; σ 2 k = k + q 1 при k = 1,q 2 ; σ 2 k = k q 2 при k = q 2 +1,q 2 +q 1. Тогда: σ 1 S p1 +p 2, σ 2 S q1 +q 2, A B = [B A] σ 2 σ Пусть: p 1,q 1 Z +, A TL q 1 p 1 ; p 2,q 2 Z +, B TL q 2 p 2 ; p 3,q 3 Z +, C TL q 3 p 3. Тогда A B C = A B C. 8. Пусть: p,q N, A TL q p, k = 1,p, m = 1,q. Тогда A m k TLq 1 p Пусть: p,q N, A,B TL q p, k = 1,p, m = 1,q. Тогда A+B m k = A m k + B m k. 10. Пусть: λ K, p,q N, A TL q p, k = 1,p, m = 1,q. Тогда λa m k = λ A m k. 11. Пусть: p,q Z +, A TL q p, σ 1 S p, σ 2 S q. Тогда [A] σ 2 σ 1 TL q p. 12. Пусть: p,q Z, p,q 0, A,B TL q p, σ 1 S p, σ 2 S q. Тогда [A+B] σ 2 σ 1 = [A] σ 2 σ 1 +[B] σ 2 σ Пусть: λ K, p,q Z +, A TL q p, σ 1 S p, σ 2 S q. Тогда [λa] σ 2 σ 1 = λ[a] σ 2 σ Факультативный материал. Пусть: p,q Z +, A,B TL q p, σ 1,σ 3 S p, σ 2,σ 4 S q. Тогда [ [A] σ 2 σ 1 ] σ4 σ 3 = [A] σ 4σ 2 σ 3 σ 1.

18 18 3. Тензорная алгебра Доказательство. 1. Пусть: e, e базисы пространства L, i 1,...,i p 1 +p 2,j 1,...,j q 1 +q 2 = 1,N. Тогда: A B j 1,...,j q1 +q 2 i 1,...,i p1 +p 2 eα j 1 j1 e,e α j q 1 +q 2 j q1 +q 2 e,eα i 1 i 1 e,e α i p 1 +p 2 i p 1 +p 2 e,e = A j 1,...,j q1 i 1,...,i p1 eb j q 1 +1,...,j q1 +q 2 i p1 +1,...,i p1 +p 2 eα j 1 j1 e,e α j q 1 +q 2 j q1 +q 2 e,e α i 1 i e,e α i p 1 +p 2 1 i e,e = A j 1,...,j q 1 p 1 +p i e B j q 1 +1,...,j q 1 +q 2 2 1,...,i p 1 i e = p 1 +1,...,i p 1 +p 2 A B j 1,...,j q 1 +q 2 i 1,...,i p 1 +p 2 e. 2. Пусть: e базис пространства L, i 1,...,i p1 +p 2,j 1,...,j q1 +q 2 = 1,N. Тогда: A1 +A 2 B j 1,...,j q1 +q 2 i 1,...,i p1 e = +p 2 A1 j 1,...,j q1 i 1,...,i p1 e+a 2 j 1,...,j q1 i 1,...,i p1 e B j q 1 +1,...,j q1 +q 2 i p1 +1,...,i p1 +p 2 e = A 1 j 1,...,j q1 i 1,...,i p1 eb j q 1 +1,...,j q1 +q 2 i p1 +1,...,i p1 +p 2 e+a 2 j 1,...,j q1 i 1,...,i p1 eb j q 1 +1,...,j q1 +q 2 i p1 +1,...,i p1 +p 2 e = A 1 B +A 2 B j 1,...,j q1 +q 2 i 1,...,i p1 +p 2 e. 3. Пусть: e базис пространства L, i 1,...,i p1 +p 2,j 1,...,j q1 +q 2 = 1,N. Тогда: λa B j1,...,j q1 +q 2 i 1,...,i p1 +p 2 e = λa j 1,...,j q1 i 1,...,i p1 e B j q 1 +1,...,j q1 +q 2 i p1 +1,...,i p1 +p 2 e = λ A j 1,...,j q1 i 1,...,i p1 eb j q 1 +1,...,j q1 +q 2 i p1 +1,...,i p1 +p 2 e = λa B j 1,...,j q1 +q 2 i 1,...,i p1 +p 2 e. 4. Пусть: e базис пространства L, i 1,...,i p1 +p 2,j 1,...,j q1 +q 2 = 1,N. Тогда: A B1 +B 2 j 1,...,j q1 +q 2 i 1,...,i p1 +p 2 e = A j 1,...,j q1 i 1,...,i p1 e B 1 j q 1 +1,...,j q1 +q 2 i p1 +1,...,i p1 +p 2 e+b 2 j q 1 +1,...,j q1 +q 2 i p1 +1,...,i p1 +p 2 e = A j 1,...,j q1 i 1,...,i p1 eb 1 j q 1 +1,...,j q1 +q 2 i p1 +1,...,i p1 +p 2 e+a j 1,...,j q1 i 1,...,i p1 eb 2 j q 1 +1,...,j q1 +q 2 i p1 +1,...,i p1 +p 2 e = A B 1 +A B 2 j 1,...,j q1 +q 2 i 1,...,i p1 +p 2 e. 5. Пусть: e базис пространства L, i 1,...,i p1 +p 2,j 1,...,j q1 +q 2 = 1,N. Тогда: A λb j1,...,j q1 +q 2 i 1,...,i p1 +p 2 e = A j 1,...,j q1 i 1,...,i p1 e λb j q 1 +1,...,j q1 +q 2 i p1 +1,...,i p1 +p 2 e = λ A j 1,...,j q1 i 1,...,i p1 eb j q 1 +1,...,j q1 +q 2 i p1 +1,...,i p1 +p 2 e = λa B j 1,...,j q1 +q 2 i 1,...,i p1 +p 2 e. 6. Факультативный материал. Очевидно: σ 1 S p1 +p 2, σ 2 S q1 +q 2. Пусть: e базис пространства L, i 1,...,i p1 +p 2,j 1,...,j q1 +q 2 = 1,N. Тогда: A B j 1,...,j q1 +q 2 i 1,...,i p1 +p 2 e = A j 1,...,j q1 i 1,...,i p1 eb j q 1 +1,...,j q1 +q 2 i p1 +1,...,i p1 +p 2 e = B j q 1 +1,...,j q1 +q 2 i p1 +1,...,i p1 +p 2 ea j 1,...,j q1 i 1,...,i p1 e = B j σ 2 1,...,j σ 2 q 2 i σ1 1,...,i σ 1 p 2 eaj σ 2 1+q 2,...,j σ 2 q 1 +q 2 i σ1 1+p 2,...,i σ 1 p 1 +p 2 e = [B A] σ 2 σ 1 j1,...,j q1 +q 2 i 1,...,i p1 +p 2 e. 7. Пусть: e базис пространства L, i 1,...,i p1 +p 2 +p 3, j 1,...,j q1 +q 2 +q 3 = 1,N. Тогда: A B C j1,...,j q1 +q 2 +q 3 i 1,...,i p1 +p 2 +p 3 e = A j 1,...,j q1 i 1,...,i p1 eb j q 1 +1,...,j q1 +q 2 i p1 +1,...,i p1 +p 2 e C j q 1 +q 2 +1,...,j q1 +q 2 +q 3 i p1 +p 2 +1,...,i p1 +p 2 +p 3 e = A j 1,...,j q1 i 1,...,i p1 e B j q 1 +1,...,j q1 +q 2 i p1 +1,...,i p1 +p 2 ec j q 1 +q 2 +1,...,j q1 +q 2 +q 3 i p1 +p 2 +1,...,i p1 +p 2 +p 3 e = A B C j 1,...,j q1 +q 2 +q 3 i 1,...,i p1 +p 2 +p 3 e.

19 3.3. Тензоры Пусть: e, e базисы пространства L, i 1,...,i p 1,j 1,...,j q 1 = 1,N. Тогда: A m j1,...,j q 1 k i 1,...,i p 1 eα j 1 j1 e,e α j q 1 j q 1 e,eα i 1e,e α i i p 1e,e = A j 1,...,j m 1,i,j m,...,j q 1 i 1,...,i k 1,i,i k,...,i p 1 eα j 1 j1 e,e α j q 1 A j 1,...,j m 1,j,j m,...,j q 1 i 1,...,i k 1,i,i k,...,i p 1 eδ i jα j 1 j1 e,e α j q 1 α i 1 i 1 i 1 j q 1 e,eα i 1 i 1 j q 1 e,eα i 1 e,e α i p 1 i p 1e,e = i 1 e,e α i p 1 i p 1e,e = A j 1,...,j m 1,j,j m,...,j q 1 i 1,...,i k 1,i,i k,...,i p 1 eα i i e,e α i je,eα j 1 j1 e,e α j q 1 e,e α i p 1 i p 1 e,e = A j 1,...,j m 1,i,j m,...,j q 1 i 1,...,i k 1,i,i e = A m k,...,i k p 1 j q 1 e,e j 1,...,j q 1 i 1 p 1e.,...,i 9. Пусть: e базис пространства L, i 1,...,i p 1,j 1,...,j q 1 = 1,N. Тогда: A+B m j1,...,j q 1 k i 1,...,i p 1 e = A j 1,...,j m 1,i,j m,...,j q 1 i 1,...,i k 1,i,i k,...,i p 1 e+b j 1,...,j m 1,i,j m,...,j q 1 i 1,...,i k 1,i,i k,...,i p 1 e = A m k + B m j1,...,j q 1 k i 1,...,i p 1 e. 10. Пусть: e базис пространства L, i 1,...,i p 1,j 1,...,j q 1 = 1,N. Тогда: λa m j1,...,j q 1 k i 1,...,i p 1 e = λa j 1,...,j m 1,i,j m,...,j q 1 i 1,...,i k 1,i,i k,...,i p 1 e = λ A m j1,...,j q 1 k i 1,...,i p 1 e. 11. Пусть: e, e базисы пространства L, i 1,...,i p,j 1,...,j q = 1,N. Тогда: [A] σ 2 j1,...,j q σ 1 i 1,...,i p eα j 1 j1 e,e α j q j q e,eα i 1e,e α ip i e,e = p A j σ 2 1,...,j σ2 q i σ1 1,...,i σ1 p eαj 1 j1 e,e α j q i 1 j q e,eα i 1 A j σ 2 1,...,j σ 2 q i e = [A] σ 2 j 1,...,j q σ 1 1,...,i σ σ 1 p 1 i 1 pe.,...,i i 1 e,e α ip i p e,e = 12. Пусть: e базис пространства L, i 1,...,i p,j 1,...,j q = 1,N. Тогда: [A+B] σ 2 j1,...,j q σ 1 i 1,...,i p e = A j σ 2 1,...,j σ2 q i σ1 1,...,i e+bj σ 2 1,...,j σ2 q σ1 p i σ1 1,...,i e = σ1 p [A] σ 2 σ 1 +[B] σ j1,...,j 2 q σ 1 i 1,...,i p e. 13. Пусть: e базис пространства L, i 1,...,i p,j 1,...,j q = 1,N. Тогда: [λa] σ 2 j1,...,j q σ 1 i 1,...,i p e = λa j σ 2 1,...,j σ2 q i σ1,...,i σp e = λ [A] σ j1,...,j 2 q σ 1 i 1,...,i p e. 14. Факультативный материал. Пусть: e базис пространства L, i 1,...,i p,j 1,...,j q = 1,N. Тогда: [[A] σ 2 σ 1 ] σ4 σ 3 j1,...,j q i 1,...,i p e = [A] σ 2 σ 1 j σ4 1,...,j σ 4 q i σ3 1,...,i σ 3 p e = Aj σ 4 σ 2 1,...,j σ 4 σ 2 q i σ3 σ 1 1,...,i σ 3 σ 1 p e = A j σ 4 σ 2 1,...,j σ 4 σ 2 q i σ3 σ 1 1,...,i σ 3 σ 1 p e = [A] σ 4σ 2 σ 3 σ 1 j1,...,j q i 1,...,i p e. Замечание. Пусть: K {C,R,Q}; L линейное пространство над полем K, N N, diml = N; A TL 1 1. Пусть e базис пространства L. Тогда: tr Ae = A i ie = A 1 1e. Пусть e, e базисы пространства L. Так как A 1 1 TL 0 0, то: tr Ae = A 1 1e = A 1 1e = tr Ae. Так как: A j i e = A j i eαj j e,eαi i e,e при i,j = 1,N, то Ae = αe,eaeαe,e. Тогда: det Ae = det αe,eaeαe,e = det αe,e det Ae det αe,e = det Ae det αe,e αe,e = det Ae detĩ = det Ae.

20 20 3. Тензорная алгебра 3.4. Возможные обобщения 1. Можно рассматривать не наборы чисел из поля K, а наборы математических объектов более сложной природы. Например, базис e линейного пространства L можно интерпретировать как тензор порядка Можно рассматривать геометрические объекты, определённые не для всех базисов линейного пространства. 3. Можно рассматривать геометрические объекты, у которых разные индексы относятся к разным пространствам. Например, матрицу линейного оператора A: L 1 = L 2 можно интерпретировать как тензор порядка 0 1 в пространстве L1 и тензор порядка 1 0 в пространстве L Можно рассматривать тензоры, у которых по крайней мере часть индексов преобразуется с помощью матриц { αi i e,e } i=1,n, { α i i =1,N i e,e } i =1,N здесь: i=1,n αi i e,e число, комплексно-сопряжённое числу αi i e,e, αi i e,e число, комплексно-сопряжённое числу αi i e,e. Например, матрица полуторалинейной формы преобразуется по закону A i j e = A ij eαi i e,e α j j e,e.

21 4. Общие сведения о линейных операторах 21 Лекция 4. Общие сведения о линейных операторах Замечание. 1. Пусть F 1, F 2 функции. Тогда: F 2 F 1 x = F 2 F1 x при: x DF 1, F 1 x DF Пусть: D 1 множество, I 1 x = x при x D 1 ; D 2 множество, I 2 x = x при x D 2 ; F: D 1 D 2. Очевидно: FI 1 = F, I 2 F = F. Пусть F обратимая функция. Очевидно: FF 1 = I 2 RF, F 1 F = I 1 DF. Замечание. Пусть: K {C,R,Q}; D множество, L линейное пространство над полем K. 1. Пусть F 1, F 2 FunD,L. Тогда: F 1 +F 2 x = F 1 x+f 2 x при x D. 2. Пусть: λ K, F FunD,L. Тогда: λfx = λfx при x D. 3. Справедливо утверждение: FunD,L линейное пространство над полем K. 4. Пусть F: D L. Обозначим, kerf = { x: x DF Fx = θ }. Множество kerf называют ядром функции F. Определение. Пусть λ C. Обозначим, λ = Reλ iimλ. Пусть λ R. Обозначим, λ = λ. Пусть λ Q. Обозначим, λ = λ. Определение. Пусть: K {C,R,Q}; L 1, L 2 линейные пространства над полем K. 1. Пусть A: L 1 L 2. Будем говорить, что A линейный оператор, если: DA подпространство пространства L 1 ; Ax+y = Ax+Ay при x, y DA; Aλx = λax при: λ K, x DA. 2. Пусть A: L 1 L 2. Будем говорить, что A полулинейный оператор, если: DA подпространство пространства L 1 ; Ax+y = Ax+Ay при x, y DA; Aλx = λax при: λ K, x DA. 3. Обозначим черезlinl 1,L 2 множество всех функцийa, удовлетворяющих условиям: A: L 1 L 2, A линейный оператор. 4. Обозначим через LinL 1,L 2 множество всех функций A, удовлетворяющих условиям: A: L 1 = L 2, A линейный оператор. Утверждение. Пусть: K {C,R,Q}; L 1, L 2 линейные пространства над полем K. Тогда LinL 1,L 2 подпространство пространства FunL 1,L 2. Доказательство. 1. Очевидно, LinL 1,L 2 FunL 1,L Пусть Θ нулевой элемент пространства FunL 1,L 2. Покажем, что Θ LinL 1,L 2. Очевидно, Θ: L 1 = L 2. Так как DΘ = L 1, то DΘ подпространство пространства L 1. Пусть x, y L 1. Тогда: Θx+y = θ 2 = θ 2 +θ 2 = Θx+Θy. Пусть: λ K, x L 1. Тогда: Θλx = θ 2 = λθ 2 = λθx. 3. Пусть A 1, A 2 LinL 1,L 2. Покажем, что A 1 + A 2 LinL 1,L 2. Очевидно, A 1 + A 2 : L 1 = L 2. Так как DA 1 +A 2 = L 1, то DA 1 +A 2 подпространство пространства L 1. Пусть x, y L 1. Тогда: A 1 +A 2 x+y = A 1 x+y+a 2 x+y = A 1 x+a 1 y + A2 x+a 2 y = A 1 x+a 2 x + A 1 y+a 2 y = A 1 +A 2 x+a 1 +A 2 y. Пусть: λ K, x L 1. Тогда: A 1 +A 2 λx = A 1 λx+a 2 λx = λa 1 x+λa 2 x = λ A 1 x+a 2 x = λa 1 +A 2 x. 4. Пусть:α K,A LinL 1,L 2. Покажем, чтоαa LinL 1,L 2. Очевидно,αA: L 1 = L 2. Так как DαA = L 1, то DαA подпространство пространства L 1.

22 22 4. Общие сведения о линейных операторах Пусть x, y L 1. Тогда: αax+y = αax+y = α Ax+Ay = αax+αay = αax+αay. Пусть: β K, x L 1. Тогда: αaβx = αaβx = α βax = β αax = βαax. Утверждение факультативный материал. Пусть: K {C,R,Q}; L 1, L 2 линейные пространства над полем K; Θx = θ 2 при x L 1. Тогда: 1. linl 1,L 2 funl 1,L 2 ; 2. Θ linl 1,L 2, DΘ = L 1 ; 3. A 1 +A 2 linl 1,L 2, DA 1 +A 2 = DA 1 DA 2 при A 1, A 2 linl 1,L 2 ; 4. αa linl 1,L 2, DαA = DA при: α K, A linl 1,L 2. Доказательство. 1. Очевидно, linl 1,L 2 funl 1,L Очевидно: Θ: L 1 L 2, DΘ = L 1. Покажем, что Θ linl 1,L 2. Так как DΘ = L 1, то DΘ подпространство пространства L 1. Пусть x, y L 1. Тогда: Θx+y = θ 2 = θ 2 +θ 2 = Θx+Θy. Пусть: λ K, x L 1. Тогда: Θλx = θ 2 = λθ 2 = λθx. 3. Пусть A 1, A 2 linl 1,L 2. Очевидно: A 1 + A 2 : L 1 L 2, DA 1 + A 2 = DA 1 DA 2. Покажем, что A 1 + A 2 linl 1,L 2. Так как DA 1 +A 2 = DA 1 DA 2, то DA 1 +A 2 подпространство пространства L 1. Пусть x, y DA 1 + A 2. Тогда: A 1 + A 2 x + y = A 1 x + y + A 2 x + y = A 1 x + A 1 y + A 2 x + A 2 y = A1 x+a 2 x + A 1 y+a 2 y = A 1 +A 2 x+a 1 +A 2 y. Пусть: λ K, x DA 1 + A 2. Тогда: A 1 + A 2 λx = A 1 λx + A 2 λx = λa 1 x + λa 2 x = λ A 1 x + A 2 x = λa 1 +A 2 x. 4. Пусть: α K, A linl 1,L 2. Очевидно: αa: L 1 L 2, DαA = DA. Покажем, что αa linl 1,L 2. Так как DαA = DA, то DαA подпространство пространства L 1. Пусть x, y DαA. Тогда: αax+y = αax+y = α Ax+Ay = αax+αay = αax+αay. Пусть: β K, x DαA. Тогда: αaβx = αaβx = α βax = β αax = βαax. Замечание примеры. Пусть K {C, R, Q}. 1. Пусть: L линейное пространство над полем K; Ix = x при x L. Покажем, что I LinL,L. Очевидно, I: L = L. Так как DI = L, то DI подпространство пространства L. Пусть x, y L. Тогда: Ix+y = x+y = Ix+Iy. Пусть: λ K, x L. Тогда: Iλx = λx = λix. 2. Пусть: N 1, N 2 N, A K N 2 N 1. Обозначим: Âx = Ax при x K N 1. Покажем, что Â LinKN 1,K N 2. Очевидно, Â: K N 1 = K N 2. Так как DÂ = KN 1, то DÂ подпространство пространства K N 1. Пусть x, y K N 1. Тогда: Âx+y = Ax+y = Ax+Ay = Âx+Ây. Пусть: λ K, x K N 1. Тогда: Âλx = Aλx = λax = λâx. Оператор Â называют оператором умножения на матрицу A. 3. Пусть: L линейное пространство над полем K, N N, diml = N; e базис пространства L. Обозначим: U e x = x j e j при x K N. Покажем, что U e LinK N,L. Очевидно,U e : K N = L. Так какdu e = K N, тоdu e подпространство пространства K N. Пусть x,ỹ K N. Тогда:U e x+ỹ = x+ỹ j e j = x j +ỹ j e j = x j e j +ỹ j e j = U e x+u e ỹ. Пусть: λ K, x K N. Тогда: U e λ x = λ x j e j = λ x j e j = λ x j e j = λu e x. Утверждение. Пусть: K {C,R,Q}; L 1, L 2 линейные пространства над полем K; A linl 1,L Справедливы утверждения: θ 1 DA, Aθ 1 = θ Пусть: Q подпространство пространства L 2. Тогда A 1 {Q} подпространство пространства L 1.