ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ, Υ ΡΑΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΗΜΕΙΑΚΩΝ ΑΝΕΛΙΞΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗ ΒΡΟΧΟΠΤΩΣΗ Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΕΝΟΣ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BARTLETT LEWIS ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΧΡΙΣΤΟΣ Γ. ΕΡΖΕΚΟΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΥΤΣΟΓΙΑΝΝΗΣ ΑΘΗΝΑ, ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 004

2 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θέλω να ευχαριστήσω το ηµήτρη Κουτσογιάννη (αναφερόµενος σε αυτόν όπως σε ένα φίλο, χωρίς τον ααδηµαϊό του τίτλο) για την αθοδήγηση αι βοήθεια, αλλά υρίως για τις «βέλτιστες» συνθήες επιοινωνίας, που έαναν αυτή τη διπλωµατιή εργασία πολύ πιο εύολη. Ευχαριστώ τη Σοφία για την αθόρυβη αι διαριτιή παρουσία της όλα αυτά τα χρόνια, µε την ελπίδα να φανώ αντάξιος των προσδοιών της. Η διπλωµατιή µου εργασία αφιερώνεται στη µνήµη της αγρότισσας Γεωργίας ερζέου, στα «χελωνόδερµα χέρια» της οποίας, οφείλω ένα µεγάλο οµµάτι της πορείας µου. Χρίστος ερζέος Αθήνα, 0-004

3 3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ι ΙΙ - ΙΙΙ ΠΕΡΙΛΗΨΗ Κεφάλαιο ο : ΕΙΣΑΓΩΓΗ -4. Αντιείµενο της εργασίας. Πρωτότυπα σηµεία 3.3 ιάρθρωση της εργασίας 3 Κεφάλαιο ο : ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ Υδρολογιές ανελίξεις αι χρονιές λίµαες 5. Υγρή αταρήµνιση 6.3 Το επεισόδιο βροχής: Ορισµοί αι εσωτεριή δοµή 7.4 Σηµειαές Ανελίξεις - Ανέλιξη Poisson 0.5 Χαρατηριστιές ιδιότητες της Εθετιής ατανοµής.6 Εισαγωγή στα σηµειαά µοντέλα προσοµοίωσης 4 - Η εργασία των Rodriguez-Iturbe et al. (984).7 Η επίδραση της χρονιής λίµαας 8.8 Η παραδοχή της εθετιής ατανοµής 9.9 Εισαγωγή στα µοντέλα συστάδων ορθογωνιών παλµών.0 Το µοντέλο ορθογωνιών παλµών Neyman Scott (NSRPM). Το µοντέλο Bartlett Lewis (BL) 3. Το Τυχαίο Μοντέλο Bartlett Lewis 6.. Εισαγωγή 6.. Η φυσιή σηµασία των παραµέτρων του τυχαίου µοντέλου 8 Bartlett Lewis. Ποιοτιά χαρατηριστιά..3 Το τροποποιηµένο τυχαίο µοντέλο Bartlett Lewis 3.3. Εισαγωγή στο νέο τροποποιηµένο τυχαίο µοντέλο BL.3. Οι εξισώσεις του Τροποποιηµένου Τυχαίου Μοντέλου BL 3 Κεφάλαιο 3 ο : ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΟΥ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BARTLETT LEWIS: ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΚΑΙ ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ Εισαγωγή Η γραµµιή συσχέτιση µέσης τιµής Ε[Y (h) i ] αι στάθµης συνάθροισης, h Εφαρµογή δι-παραµετριών εξισώσεων προσαρµογής στα βασιά 38 στατιστιά µεγέθη της ιστοριής χρονοσειράς Κριτήριο επιλογής των ελάχιστων απαιτούµενων στατιστιών 39 µεγεθών Ένα, ε των προτέρων, ριτήριο αξιολόγησης της µεθόδου 4 προσοµοίωσης 3.4 Ετίµηση της τιµής της παραµέτρου, λ Βελτιστοποίηση: Κριτήρια αξιολόγησης αποτελεσµάτων αι αντιειµενιή συνάρτηση. 46 II Κεφάλαιο 4 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΝΕΟΥ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΟΥ ΤΥΧΑΙΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BARTLETT LEWIS ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑ ΤΟΥ DENVER 50-60

4 4 4. Εισαγωγή Εφαρµογή του τροποποιηµένου τυχαίου µοντέλου BL για την ιστοριή 53 χρονοσειρά του Denver αι για θετιές τιµές της παραµέτρου, ( > 0) 4.3 Εφαρµογή του τροποποιηµένου τυχαίου µοντέλου BL για την ιστοριή 55 χρονοσειρά του Denver αι για αποδετές, αρνητιές τιµές της παραµέτρου Αποτελέσµατα βελτιστοποίησης Παραγωγή συνθετιών χρονοσειρών Συγριτιά αποτελέσµατα 57 Κεφάλαιο 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΝΕΟΥ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΟΥ ΤΥΧΑΙΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BARTLETT LEWIS ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑ ΤΗΣ ΑΘΗΝΑΣ 6-63 Κεφάλαιο 6 ο : ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι: ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΒΕΛΤΙΣΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BL ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙ: Ο ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΕΝΗΣ ΑΝΟΠΤΗΣΗΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΙΙΙ

5 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η δοµιή ασυνέχεια της διεργασίας της βροχής επιβάλλει τη χρήση ειδιών τύπων µοντέλων, όσον αφορά στην ανάλυση χρονοσειρών µιρής χρονιής λίµαας. Τέτοιου είδους µοντέλα, είναι τα µοντέλα σηµειαών ανελίξεων. Τα επεισόδια της βροχόπτωσης προσοµοιώνονται µέσω µεµονωµένων ή οµαδοποιηµένων, σηµειαών ή ορθογωνιών παλµών. Η τοποθέτηση των παλµών αυτών στον άξονα του χρόνου επιτυγχάνεται µέσω µιας ή περισσότερων σηµειαών ανελίξεων Poisson. Απώτερος στόχος της εφαρµογής των σηµειαών µοντέλων είναι η µέγιστη δυνατή προσαρµογή επιθυµητών στατιστιών µεγεθών της ιστοριής χρονοσειράς, για διαφορετιές στάθµες συνάθροισης, µέσω µίας ενιαίας οµάδας παραµέτρων. Η εξέταση νέων, εναλλατιών σηµειαών µοντέλων αποσοπεί στη βελτίωση της ποιότητας προσαρµογής των υπό εξέταση στατιστιών µεγεθών ή στην επέταση της προσαρµογής αυτής σε επιπρόσθετα στατιστιά χαρατηριστιά. Στο πλαίσιο της λογιής αυτής, το λασιό µοντέλο ορθογωνιών παλµών Bartlett-Lewis τροποποιήθηε στο τυχαίο µοντέλο Bartlett-Lewis από τους Rodriguez-Iturbe et al. (988). Ο ύριος στόχος της τροποποίησης αυτής ήταν η προσαρµογή ενός επιπρόσθετου στατιστιού µεγέθους: της πιθανότητας απουσίας βροχόπτωσης. Οι Κουτσογιάννης αι Onof (αδηµοσίευτα είµενα) εξέτασαν το ενδεχόµενο περαιτέρω τροποποίησης του τυχαίου µοντέλου Bartlett-Lewis, προς την ατεύθυνση της βελτίωσης της ποιότητας προσαρµογής των υπό εξέταση στατιστιών µεγεθών. Τα µεγέθη αυτά είναι, υρίως, η µέση τιµή, η διασπορά, ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης ης τάξης αι η πιθανότητα απουσίας βροχόπτωσης, για τις υπό εξέταση στάθµες συνάθροισης. Στόχος της παρούσας εργασίας είναι η εξέταση της σοπιµότητας εφαρµογής του νέου, τροποποιηµένου, τυχαίου µοντέλου Bartlett-Lewis. Για το σοπό αυτό εξετάζονται δύο ιστοριές χρονοσειρές. Η πρώτη αφορά στα ωριαία βροχογραφιά δεδοµένα του σταθµού του αεροδροµίου του Denver (Denver Airport Station, 5/05 6/06, ) αι η δεύτερη στα ωριαία βροχογραφιά δεδοµένα του σταθµού του ΕΜΠ στην Αθήνα (5- έως 5-0, 994 έως 003). Για την εξαγωγή των αποτελεσµάτων χρησιµοποιείται ένας πρωτότυπος αλγόριθµος βελτιστοποίησης, ενώ µέσω µίας διαδιασίας αποσύνθεσης (decomposition) του προβλήµατος βελτιστοποίησης, προύπτουν απλοποιήσεις του µαθηµατιού µοντέλου αι ποιοτιά ριτήρια αξιολόγησης της προσαρµογής των υπό εξέταση στατιστιών µεγεθών. Τα αποτελέσµατα τεµηριώνουν τη σοπιµότητα εξέτασης του νέου τροποποιηµένου µοντέλου Bartlett-Lewis. Πιο συγεριµένα αι όσον αφορά στην ιστοριή χρονοσειρά του Denver, η βελτίωση, που επιτυγχάνεται συγριτιά µε το λασιό τυχαίο µοντέλο, είναι της τάξης του 54%. Τα αποτελέσµατα επιβεβαιώνονται µέσω της στατιστιής επεξεργασίας των παραγόµενων συνθετιών χρονοσειρών. Για την περίπτωση της ιστοριής χρονοσειράς της Αθήνας, η εφαρµογή του νέου µοντέλου απέδωσε πολύ αλύτερα αποτελέσµατα, σε σχέση µε το λασιό, τυχαίο µοντέλο Bartlett-Lewis. Ωστόσο, η σχετιή απόπειρα προσοµοίωσης (παραγωγής συνθετιών χρονοσειρών) οδήγησε, για λόγους, που αναφέρονται ετενώς στο εφάλαιο 5, στην τελιή υιοθέτηση της λύσης του λασιού, τυχαίου µοντέλου Bartlett-Lewis. SUMMARY The analysis and simulation of rainfall time series on fine time scales require the use of special types of stochastic models. This necessity is justified from the intermittent character of rainfall on these time scales. Among the successful model types are the point process models. According to these models, the rainfall events are simulated through the generation of clustered point (instantaneous bursts) or rectangular pulses. The position of these pulses on the time axis is achieved by the use of one or more Poisson processes. The implementation of the models mentioned above aims to optimize the fitting of desirable small-scale rainfall statistics for different levels of aggregation. The objective is the determination of a unique optimal parameter set for all considered levels of aggregation. The original rectangular pulses Bartlett-Lewis Model (BLM) was one of the first used in rainfall modeling. Later, Rodriguez-Iturbe et al. (988) modified it to reproduce the probability of zero rain (or probability dry, PDR) for different levels of aggregation and the new model became known as the Random Bartlett-Lewis Model (RBLM). Koutsoyiannis and Onof (unpublished research) have examined a further modification of RBLM. This modification aimed to introduce a negative correlation between storm intensity and duration. The resulted model is called the Modified Random Bartlett-Lewis Model (MRBLM). The main objective is the improvement of the fitting attained by RBLM. The fitting is meant in the reproduction of mean, variance, lag one auto-covariance and proportion dry, for different levels of aggregation. The purpose of the present study is to examine the behaviour of the MRBLM. Two historical time series are used as case studies. The first one refers to the Denver airport station data ( ), while the second one is referred to the National Technical University of Athens (NTUA) station data ( ). The complexity of the mathematical model, the introduction of non-analytical equations and the presence of many local optimal points create the necessity of applying a direct search ( global ) optimization method. A novel optimization algorithm is developed, while a decomposition approach results in the proposal of several simplifications, to the optimization procedure. Additionally, qualitative, semi empirical criteria are developed, to roughly estimate in advance the model efficiency. In the Denver case, the new model attains a 54% improvement in preserving historical rainfall statistics, in comparison to those of RBLM. The simulation results (statistics of synthetic series) confirm this conclusion. However, in the Athens case, the new model, even though results in better approximation of the historical statistics (in comparison to RBLM), in simulations did not give any improvement due to unacceptable ratio of negative parameter values. As a result, RBLM is preferable from the modified model in the Athens case.

6 Εισαγωγή. Αντιείµενο της εργασίας Η δοµιή ασυνέχεια των βροχογραφιών δεδοµένων µιρής λίµαας οφείλεται στην εναλλαγή µεµονωµένων ή οµαδοποιηµένων, µηδενιών αι µη µηδενιών τιµών του ύψους βροχόπτωσης. Εξαιτίας αυτού του γεγονότος, η µοντελοποίηση των αντίστοιχων ιστοριών χρονοσειρών χρήζει ιδιαίτερης ανάλυσης αι επεξεργασίας. Τα γραµµιά, στοχαστιά, µοντέλα δεύτερης τάξεως δε µπορούν να αποδώσουν τα στατιστιά χαρατηριστιά των χρονοσειρών αυτού του είδους. Τα µοντέλα σηµειαών ανελίξεων µπορούν να αποδώσουν µε ιανοποιητιό τρόπο τη δοµή της βροχόπτωσης στις λεπτές λίµαες. Στα µοντέλα αυτά, η έννοια του επεισοδίου της βροχής έχει έναν περισσότερο µαθηµατιό, παρά φυσιό χαρατήρα. Η, λασιά οριζόµενη, έννοια του χρόνου διαχωρισµού δεν υφίσταται ή στερείται φυσιής σηµασίας. Mεµονωµένοι ή οµαδοποιηµένοι, σηµειαοί ή ορθογωνιοί παλµοί, που αντιπροσωπεύουν ύψος αι ένταση βροχής αντίστοιχα, τοποθετούνται στον άξονα του χρόνου, µέσω µίας ανέλιξης Poisson. Τα µοντέλα Bartlett Lewis αποτελούν µία τέτοια ατηγορία οµαδοποιηµένων ορθογωνιών παλµών. Απώτερος στόχος της εφαρµογής των σηµειαών µοντέλων είναι η µέγιστη δυνατή προσαρµογή επιθυµητών στατιστιών µεγεθών της ιστοριής χρονοσειράς, για διαφορετιές στάθµες συνάθροισης, µέσω µίας ενιαίας οµάδας παραµέτρων. Η εξέταση νέων, εναλλατιών σηµειαών µοντέλων αποσοπεί στη βελτίωση της ποιότητας προσαρµογής των υπό εξέταση στατιστιών µεγεθών ή στην επέταση της προσαρµογής αυτής σε επιπρόσθετα στατιστιά χαρατηριστιά. Στο πλαίσιο της λογιής αυτής, το λασσιό µοντέλο Bartlett Lewis τροποποιήθηε στο τυχαίο µοντέλο Bartlett Lewis από τους Rodriguez Iturbe et al. (988). Ο ύριος στόχος της τροποποίησης αυτής ήταν η προσαρµογή ενός επιπρόσθετου στατιστιού µεγέθους: της πιθανότητας απουσίας βροχόπτωσης, P[Y (h) =0]. Οι Κουτσογιάννης αι Onof (αδηµοσίευτα είµενα) εξέτασαν το ενδεχόµενο περαιτέρω τροποποίησης του τυχαίου µοντέλου Bartlett Lewis, προς την ατεύθυνση της βελτίωσης της ποιότητας προσαρµογής των υπό εξέταση στατιστιών µεγεθών. Τα µεγέθη αυτά είναι, υρίως, η µέση τιµή, η διασπορά, ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης ης τάξης αι η πιθανότητα απουσίας βροχόπτωσης, P[Y (h) =0], για τις υπό εξέταση στάθµες συνάθροισης, h. Στόχος της παρούσας εργασίας είναι η εξέταση της σοπιµότητας εφαρµογής του νέου, τροποποιηµένου, τυχαίου µοντέλου Bartlett Lewis. Για το σοπό αυτό εξετάζονται δύο ιστοριές χρονοσειρές. Η πρώτη αφορά στα ωριαία βροχογραφιά δεδοµένα του σταθµού του αεροδροµίου του Denver (Denver Airport Station, 5/05 6/06, ) αι η δεύτερη στα ωριαία βροχογραφιά δεδοµένα του σταθµού του Ε.Μ.Π. στην Αθήνα (5- έως 5-0, 994 έως 003). Η ωριαία ιστοριή χρονοσειρά του Denver αποτελεί, ατά ένα τρόπο, σηµείο αναφοράς για άθε µελέτη, που βασίζεται στα σηµειαά µοντέλα βροχόπτωσης. Το γεγονός αυτό οφείλεται, υρίως, στις πρώτες εργασίες των Rodriguez Iturbe et al., οι οποίες βασίστηαν στην ανάλυση της χρονοσειράς αυτής.. Πρωτότυπα σηµεία Η προσαρµογή των στατιστιών µεγεθών επιτυγχάνεται µε την εφαρµογή ενός νέου, πρωτότυπου αλγόριθµου βελτιστοποίησης. Ο αλγόριθµος αυτός βασίζεται στις αρχές των αλγόριθµων προσοµοιωµένης ανόπτησης (simulated annealing algorithms). Επίσης, από τη σχετιή µαθηµατιή επεξεργασία των εξισώσεων του τυχαίου αι του τροποποιηµένου τυχαίου µοντέλου Bartlett Lewis, προέυψε:. µία τατιή ετίµησης της βέλτιστης τιµής, µίας ε των παραµέτρων του µοντέλου (παράµετρος, λ). µία µέθοδος επιλογής των ελάχιστων απαιτούµενων, για τη διαδιασία βελτιστοποίησης, στατιστιών µεγεθών.

7 3. µία ανάλυση προ-ετίµησης της επιτυχίας εφαρµογής του τυχαίου αι του τροποποιηµένου τυχαίου µοντέλου BL 4. η δυνατότητα µείωσης των συνολιών µεταβλητών επίλυσης ατά µία, γεγονός, που ενισχύει την αξιοπιστία των αποτελεσµάτων της διαδιασίας βελτιστοποίησης. 5. η αποσαφήνιση αι διατύπωση ριτηρίων αξιολόγησης της ποιότητας των λύσεων. 6. Τα αποτελέσµατα τεµηριώνουν τη σοπιµότητα εφαρµογής του νέου µοντέλου. Για τη χρονοσειρά του Denver επετεύχθη βελτίωση της ποιότητας προσαρµογής των στατιστιών µεγεθών ατά 54%, σε σχέση µε τη λύση των Velghe et al. (994). 7. η διατύπωση ενός, ατάλληλου για το τροποποιηµένο τυχαίο µοντέλο Bartlett Lewis, αλγόριθµου βελτιστοποίησης.(54%) 3.3 ιάρθρωση της εργασίας Στην εργασία περιλαµβάνονται έξι συνολιά εφάλαια αι δύο παραρτήµατα. Στο εφάλαιο γίνεται αναφορά στο θεωρητιό υπόβαθρο των σηµειαών ανελίξεων αι των στοχαστιών µοντέλων ορθογωνιών παλµών. Στο ίδιο εφάλαιο παρατίθεται η θεωρητιή τεµηρίωση αι η µαθηµατιή διατύπωση του τροποποιηµένου τυχαίου µοντέλου Bartlett Lewis. Το εφάλαιο 3 αναφέρεται στη µαθηµατιή ανάλυση του µοντέλου, από τη σοπιά της βελτιστοποίησης. Για την ανάλυση αυτή χρησιµοποιούνται υρίως οι βασιές αρχές της µεθόδου της αποσύνθεσης (decomposition), µε απώτερο στόχο την εξαγωγή ποιοτιών ριτηρίων αξιολόγησης. Παράλληλα, τεµηριώνεται η µείωση των µεταβλητών επίλυσης ατά µία, αθώς αι η προ-ετίµηση της βέλτιστης τιµής µίας επιπλέον παραµέτρου του µοντέλου. Τέλος, διατυπώνεται το τελιό πρόβληµα βελτιστοποίησης, µε τον ορισµό της αντιειµενιής συνάρτησης, των ανισοτιών περιορισµών αι των ριτηρίων ποιοτιής αι ποσοτιής αξιολόγησης των λύσεων. Στο εφάλαιο 4 αναφέρονται τα αποτελέσµατα της διαδιασίας βελτιστοποίησης για την ιστοριή χρονοσειρά του Denver. Η λύση, που προύπτει, συγρίνεται µε τις υπάρχουσες, για τη συγεριµένη χρονοσειρά, δηµοσιευµένες λύσεις αι τεµηριώνεται η υπεροχή του τροποποιηµένου τυχαίου µοντέλου Bartlett Lewis. Η ισχύς της βέλτιστης λύσης επιβεβαιώνεται µέσω της παραγωγής συνθετιών χρονοσειρών, για όλες τις υπό εξέταση στάθµες συνάθροισης. Στο εφάλαιο 5 αναφέρονται τα αποτελέσµατα της διαδιασίας βελτιστοποίησης για την ιστοριή σειρά της Αθήνας. Στο εφάλαιο 6 αναφέρονται τα γενιά συµπεράσµατα. Ο αλγόριθµος βελτιστοποίησης, που χρησιµοποιήθηε, τεµηριώνεται θεωρητιά στο Παράρτηµα ΙΙ, ενώ στο Παράρτηµα Ι, αναφέρονται αποτελέσµατα, παρατηρήσεις αι επισηµάνσεις σχετιά µε το λασιό (µη τυχαίο) µοντέλο Bartlett Lewis.

8 4 Θεωρητιό υπόβαθρο. Υδρολογιές ανελίξεις αι χρονιές λίµαες Ο χωρο-χρονιός χαρατήρας των υδρολογιών φαινοµένων επιβάλλει την εξέταση αι ανάλυση χωρο-χρονιών στοχαστιών ανελίξεων, συνεχών ή διαριτών παραµέτρων. Αν οι χωριές συντεταγµένες (x, y) θεωρηθούν σταθερές, µε αποτέλεσµα, οι σχετιές υλοποιήσεις της υδρολογιής µεταβλητής, να αντιστοιχούν σε ένα δεδοµένο αι σταθερό σηµείο του χώρου, η στοχαστιή ανέλιξη µετεξελίσσεται σε µία τυχαία συνάρτηση του χρόνου, Χ(t). Οι υδρολογιές µεταβλητές µπορεί να είναι συνεχείς ή διαριτές, ανάλογα µε το πεδίο τιµών τους. Οι συναρτήσεις ατανοµής τους είναι αντιστοίχως συνεχείς ή λιµαωτές, ενώ οι αντίστοιχες στοχαστιές ανελίξεις τους χαρατηρίζονται ως συνεχείς ή διαριτές. Στη συντριπτιή πλειονότητα των πρατιών εφαρµογών, οι υδρολογιές µεταβλητές είναι συνεχείς µε πεδίο τιµών το σύνολο των θετιών πραγµατιών αριθµών, R. Ωστόσο, η συνέχεια, ως προσδιοριστιός όρος στις στοχαστιές ανελίξεις υδρολογιών µεταβλητών, εµπεριέχει µια διττή έννοια. Από άποψη «δοµής» ( composition, Shaw, 994, σελ. 373), µια στοχαστιή ανέλιξη συνεχών ή διαριτών υδρολογιών µεταβλητών µπορεί να είναι συνεχής ή διαλείπουσα (intermittent). Αν το * πεδίο τιµών της τυχαίας µεταβλητής, Χ, είναι το R, δηλαδή, x R, x > 0, τότε άθε µηδενιή τιµή προαλεί ένα «ενό» στη δοµή της στοχαστιής ανέλιξης. Στις υδρολογιές ανελίξεις το γεγονός αυτό οφείλεται σε δύο βασιούς λόγους: στην διαλείπουσα φύση του υπό εξέταση υδρολογιού φαινοµένου αι στον τρόπο ή στην χρονιή λίµαα υλοποίησης της τυχαίας υδρολογιής µεταβλητής. Πρατιά, για την υλοποίηση της τυχαίας µεταβλητής απαιτείται η χρονιή της ολολήρωσή σε διαριτά χρονιά διαστήµατα, t n. Αν τα χρονιά αυτά διαστήµατα είναι ίσου µεγέθους, t, τότε το µέγεθος αυτό αθορίζει τη σταθερή χρονιή λίµαα (ή βήµα, Μιµίου, 994, σελ. 8) της ανέλιξης. Η χρονιή παράµετρος αποτά διαριτό χαρατήρα αι άρα η τυχαία χρονοσειρά χαρατηρίζεται ως συνεχής στοχαστιή µονοπαραµετριή ανέλιξη διαριτής παραµέτρου ( continuous state, discrete parameter, stochastic process, VanMarcke, 983, σελ 3). Μία χρονοσειρά υδρολογιών δεδοµένων είναι άρρητα συνδεδεµένη µε την χρονιή αρίβεια αταγραφής των µεταβολών της υπό εξέταση υδρολογιής µεταβλητής αι συνεπώς µε το βήµα της αταγεγραµµένης παρατήρησης ή υλοποίησής της. Θεωρητιά, δεν υφίσταται ποτέ η έννοια της συνεχούς αταγραφής ενός φαινοµένου. Η έννοια αυτή, προσεγγίζεται µέσω µειωµένων χρονιών λιµάων αταγραφής, που άπτονται της ρύθµισης ή της αρίβειας του αταγραφιού οργάνου. Το χρονιό βήµα αταγραφής ή υλοποίησης µιας υδρολογιής µεταβλητής αθορίζει αι το βαθµό προσέγγισης της πραγµατιής υπόστασης ενός υδρολογιού φαινοµένου. Μιρές χρονιές λίµαες µπορούν να αποδώσουν µε ένα πιο ρεαλιστιό τρόπο τη χρονιή εξέλιξη µιας τυχαίας χρονιής συνάρτησης (Box et al., 994, σελ. 399), προσεγγίζοντας µε µεγαλύτερη αρίβεια το συνεχές πεδίο τιµών της χρονιής παραµέτρου. Κατά αυτό τον τρόπο περιορίζεται το µέγεθος των βηµατιών (ορθογωνιών παλµιών) µεταβολών αι η αταγραφή ενός υδρολογιού φαινοµένου αποτά συνεχή χαρατηριστιά. Παρά το ότι η πραγµατιή υπόσταση ενός υδρολογιού φαινοµένου προσεγγίζεται µέσω χρονοσειρών µιρών χρονιών λιµάων, στην πράξη, η τελιή επιλογή της λίµαας της υδρολογιής χρονοσειράς αθορίζεται από τα ιδιάζοντα χαρατηριστιά του υπό µελέτη φυσιού ή τεχνητού συστήµατος. Το µέγεθος, η ιανότητα συσσώρευσης (accumulation, χωρητιότητα) αι η ταχύτητα απόρισης ενός συστήµατος αθορίζει αι την απαιτούµενη (ελάχιστη αποδετή) αρίβεια αταγραφής αι ανάλυσης του δυναµιού χαρατήρα των υδρολογιών φαινοµένων. Στα πλαίσια αυτής της συσχέτισης, για την αξιολόγηση των υδάτινων αποθεµάτων, η χρήση µηνιαίων χρονοσειρών είναι γενιά ιανοποιητιή, ενώ, για τη µελέτη πληµµυριών αιχµών σε αστιές λεάνες απορροής, απαιτείται ωριαία ή λεπτότερη λίµαα.

9 Η στατιστιή δοµή µιας υδρολογιής χρονοσειράς είναι άρρητα συνδεδεµένη µε τη χρονιή της λίµαα. Ο συνεχής ή διαλείπων χαρατήρας της, το σύνολο των προσδιοριστιών αι στοχαστιών ιδιοτήτων της αι τα ύρια στατιστιά χαρατηριστιά της µεγέθη διαφοροποιούνται, αναλόγως του χρονιού βήµατος των αταγεγραµµένων παρατηρήσεων ή υλοποιήσεων της τυχαίας υδρολογιής µεταβλητής. Η ενδεδειγµένη µεθοδολογία ανάλυσης τροποποιείται, αναλόγως της στατιστιής δοµής της χρονοσειράς.. Υγρή αταρήµνιση Η υγρή αταρήµνιση αποτελεί µία από τις πιο ρίσιµες µεταβλητές στη µελέτη των υδρολογιών φαινοµένων. Η έννοια της έντασης της βροχόπτωσης αποτελεί έναν αναλογιό µετασχηµατισµό του ρυθµού εισροής της υγρής µάζας, m in,σε ένα στοιχειώδη λειστό όγο ελέγχου, dv, µοναδιαίου εµβαδού, Α (dv = Α dh = dh). Από τη σχετιή εξίσωση συνέχειας, dm = m dh(t) dh(t) in ρ dv(t) = ρ Α = ρ = min (όπου, ρ, είναι η πυνότητα ύδατος), dt dt dt dt προύπτει η αναλυτιή έφραση της έντασης, i(t), η οποία αποτελεί την πρώτη παράγωγο της τυχαίας, χρονιά µεταβαλλόµενης, συνάρτησης, h(t). Η συνάρτηση, h(t), εφράζει το αθροιστιό ύψος της βροχόπτωσης. t t h(t t) i(t) m in dh(t) t t = = i(t)dt = dh(t) = [ h] h ρ dt t =... t h(t) Για τον υπολογισµό της έντασης, υιοθετείται η απλοποιητιή παραδοχή, της γραµµιής µεταβολής του αθροιστιού ύψους βροχόπτωσης, h(t), για το υπό εξέταση χρονιό διάστηµα ολολήρωσης. Κατά αυτό τον τρόπο, ο ρυθµός µεταβολής του ύψους βροχόπτωσης, dh ( t) αι dt συνεπώς, η τιµή της έντασης, i(t), θεωρείται σταθερή. 5 t t t i(t)dt i t = h i = h t... Στην πράξη, είναι εφιτή η αταγραφή των αθροιστιών τιµών του ύψους βροχόπτωσης,: η ένταση αποτελεί ένα θεωρητιό, ουδέποτε µετρήσιµο, µέγεθος (I. Rodriguez Iturbe & P. S. Eagleson, 987, σελ. 8). Οι σχετιές µετρήσεις αντιστοιχούν σε µια αθροιστιή, διαστηµατιή (interval, ατά τη βασιή ορολογία του Stevens, 946, σελ. 678) λίµαα µέτρησης. Η µετατροπή της αθροιστιής λίµαας µέτρησης σε αναλογιή (ratio scale) επιτυγχάνεται µέσω του υπολογισµού της διαφοράς, h, των αταγεγραµµένων αθροιστιών υψών της βροχόπτωσης ανά τατά χρονιά διαστήµατα, t. Το µέγεθος των διαστηµάτων αυτών αποτελεί αι τη χρονιή λίµαα ή βήµα της προύπτουσας χρονοσειράς των υψών της υγρής αταρήµνισης. Βάσει του βήµατος αυτού, προσδιορίζονται αι οι σταθερές, ανά χρονιό διάστηµα, t, τιµές της έντασης, i. Πρατιά, µια χρονοσειρά βροχογραφιών ή βροχοµετριών δεδοµένων θεωρείται µεγάλης χρονιής λίµαας, όταν το χρονιό βήµα, t, είναι µεγαλύτερο της µιας ηµέρας. Η µιρότερη συνήθης λίµαα ανάγνωσης βροχογραφιών δεδοµένων είναι της τάξεως των πέντε λεπτών της ώρας (η Shaw - 994, σελ διατείνεται πως η συνήθης µιρότερη λίµαα ιανοποιητιής ανάγνωσης βροχογραφιών δεδοµένων είναι της τάξεως των 0 min), ενώ για την περίπτωση των βροχοµετριών σταθµών, η συνήθης µιρότερη λίµαα µετρήσεων είναι της τάξεως των οτώ ωρών. Γι αυτό το λόγο, οι σχετιές χρονοσειρές µιρής λίµαας θα αναφέρονται ως χρονοσειρές βροχογραφιών δεδοµένων. Mία διαθέσιµη χρονοσειρά βροχοµετριών ή βροχογραφιών δεδοµένων συγεριµένου χρονιού βήµατος, t, µπορεί να συναθροιστεί σε µια µιρότερη χρονοσειρά µεγαλύτερου χρονιού βήµατος. Υπό αυτή την έννοια, πολλαπλές διαριτές µετρήσεις του ύψους, h, συναθροίζονται σε µία ενιαία µέτρηση αι η νέα χρονιή λίµαα αποαλείται λίµαα ή

10 περίοδος συνάθροισης (scale - period of aggregation). Η διαδιασία αυτή αποσοπεί στην εξαγωγή µιας νέας χρονοσειράς, περισσότερο ενδεδειγµένης, ως προς τη µελέτη του υπό εξέταση φυσιού ή τεχνητού συστήµατος. Είναι, συνεπώς, πιθανή η διαφοροποίηση της χρονιής λίµαας των βροχοµετριών ή βροχογραφιών δεδοµένων, σε σχέση µε την τελιή επιθυµητή χρονιή λίµαα ανάλυσης. Γενιότερα, η χρονιή λίµαα µιας χρονοσειράς υδρολογιών παρατηρήσεων ενδέχεται να είναι απολύτως δεσµευτιή. Η διαφοροποίηση της χρονιής λίµαας των υδρολογιών δεδοµένων αι της τελιής χρονιής λίµαας ανάλυσης δεν είναι πάντοτε εφιτή αι άπτεται της φύσης της υπό εξέταση υδρολογιής µεταβλητής. Ένα µέγεθος εντατιού χαρατήρα (ένταση βροχόπτωσης, ταχύτητα ροής, ύψος στάθµης) δε µπορεί να συναθροιστεί. Όπως έχει ήδη αναφερθεί, η επιλογή της χρονιής λίµαας των µετρήσεων, t, είναι αθοριστιή, τόσο για τη στατιστιή δοµή µιας υδρολογιής χρονοσειράς, όσο αι για το βαθµό προσέγγισης της πραγµατιής υπόστασης ενός υδρολογιού φαινοµένου. Στη συγεριµένη περίπτωση, οι µεγάλες χρονιές λίµαες δεν αποδίδουν ιανοποιητιά το διαλείποντα χαρατήρα της αταρήµνισης αι επιπλέον, εξοµαλύνουν προς τα άτω, τα µεγέθη της έντασης. Ο ρυθµός διήθησης, στις φυσιές λεάνες απορροής, η παροχετευτιή αποχετευτιή ιανότητα, στις αστιές λεάνες απορροής, το µέγεθος αι η χρονιή ατανοµή της έντασης της βροχόπτωσης, αποτελούν τις βασιές παραµέτρους σχηµατισµού της επιφανειαής απορροής. Γενιότερα, η επιφανειαή απορροή µπορεί, απλοποιητιά, να θεωρηθεί ως η διαφορά µεταξύ του ρυθµού (έντασης) της βροχόπτωσης αι του ρυθµού της µη επιφανειαής απαγωγής της αταρηµνιζόµενης µάζας. Η χρονιή διαύµανση των προαναφερόµενων ρυθµών αθορίζει την εµφάνιση αι τη χρονιή εξέλιξη του πληµµυριού φαινοµένου. εδοµένου του διαλείποντα χαρατήρα της βροχόπτωσης, γίνεται εµφανής η σηµασία της ύπαρξης αι της ανάλυσης των σύντοµων ενδιάµεσων χρονιών διαστηµάτων ανοµβρίας, αθώς αι η σηµασία της διαύµανσης των εντατιών µεγεθών της βροχόπτωσης. Ιδιαίτερα στις αστιές λεάνες, η απόριση απορροής είναι σύντοµη, το ποσοστό διήθησης αι η ιανότητα αποθηευτιότητας αµελητέα αι το φαινόµενο της επιφανειαής απορροής είναι περισσότερο εξαρτηµένο από τα εντατιά µεγέθη της αταρήµνισης. Από το γεγονός αυτό απορρέει αι η αναγαιότητα της πιο λεπτοµερούς αι αναλυτιής προσέγγισης των δυναµιών αι εντατιών χαρατηριστιών του φαινοµένου της βροχόπτωσης. Από τα προαναφερόµενα προύπτει η αναγαιότητα µιας µεγαλύτερης προσέγγισης της πραγµατιής υπόστασης του διαλείποντος φαινοµένου της βροχόπτωσης αι των εντατιών µεγεθών του, µέσω της ανάλυσης βροχογραφιών δεδοµένων µιρών χρονιών λιµάων (Onof et al., 000, σελ. 385). Οι σχετιές χρονοσειρές παρουσιάζουν ιδιάζοντα δοµιά χαρατηριστιά, τα οποία παραπέµπουν σε ιδιαίτερες στατιστιές µεθόδους ανάλυσης αι επεξεργασίας. 6.3 Το επεισόδιο βροχής: Ορισµοί αι εσωτεριή δοµή Η ύρια διαφοροποίηση των χρονοσειρών βροχογραφιών δεδοµένων µιρής λίµαας έγειται στο διαλείποντα χαρατήρα τους. Η σποραδιής φύσεως εµφάνιση, µεµονωµένων ή οµαδοποιηµένων µηδενιών αι µη µηδενιών τιµών του ύψους βροχόπτωσης, προσδίδει στη χρονοσειρά χαρατηριστιά δοµιής ασυνέχειας. Η µοντελοποίηση αυτού του είδους της ασυνέχειας, δεν είναι δυνατό να επιτευχθεί µε τη χρήση των στατιστιών µεθόδων, που χρησιµοποιούνται στις δοµιά συνεχείς (ετήσιες αι µηνιαίες) χρονοσειρές. Συνεπώς, τα σχετιά γραµµιά, στοχαστιά, µοντέλα δεύτερης τάξεως δεν είναι ιανά να αποδώσουν τα επιθυµητά δοµιά αι στατιστιά χαρατηριστιά των χρονοσειρών µιρής λίµαας (Waymire & Gupta, 98, σελ. 6 Κουτσογιάννης, 988, σελ.99). Η διαλείπουσα φύση του φαινοµένου της βροχόπτωσης υποδεινύει την αναγαιότητα του ορισµού αι της χρονιής οριοθέτησης των αµιγών ή συµµιγών βροχερών περιόδων. Για το σοπό αυτό, εισάγεται η έννοια του επεισοδίου ή γεγονότος βροχής. Ένα επεισόδιο βροχής αντιστοιχεί σε µια επιµέρους χρονιή αολουθία µη µηδενιών ή, υπό προϋποθέσεις, αι

11 µηδενιών υψών βροχόπτωσης. Κατά αυτό τον τρόπο, µια χρονοσειρά εξετάζεται υπό το πρίσµα µιας αλληλουχίας βροχερών αι «στεγνών» περιόδων. Όσον αφορά στη σοπιµότητα µιας τέτοιου είδους ανάλυσης, ο Κουτσογιάννης (988, σελ. 0) αναφέρει πως «η εισαγωγή της έννοιας του επεισοδίου στη µελέτη της βροχόπτωσης, µπορεί να οδηγήσει σε απλοποίηση της µαθηµατιής περιγραφής του φαινοµένου». Ωστόσο, όπως επίσης επισηµαίνεται από τον ίδιο, η έννοια του επεισοδίου της βροχής δεν επιδέχεται µία αι µοναδιή ερµηνεία. Ως προς τον ορισµό του επεισοδίου της βροχής, αταγράφονται δύο γενιές τάσεις. Η βασιή διαφοροποίησή τους έγειται στην αποδοχή ή απόρριψη της δυνατότητας αλληλοεπιάλυψης δύο διαδοχιών επεισοδίων. Αν µια τέτοια αλληλοεπιάλυψη δεν είναι αποδετή, τότε η οριοθέτηση των επεισοδίων βροχής, σε ένα ιστοριό δείγµα, είναι εφιτή αι άπτεται της αποδοχής ή µη αποδοχής της ένταξης µηδενιών τιµών βροχόπτωσης µέσα στη δοµή ενός επεισοδίου. Για την περίπτωση, που µια τέτοια, υπό προϋποθέσεις, ένταξη απορρίπτεται, η χρονιή διάρεια ενός επεισοδίου οριοθετείται µεταξύ δύο διαδοχιών στεγνών περιόδων, οποιασδήποτε διάρειας. Ως ε τούτου, το χρονιό σηµείο τερµατισµού άθε στεγνής περιόδου ταυτίζεται µε το σηµείο έναρξης ενός επεισοδίου βροχής. Στην αντίθετη περίπτωση, όπου είναι αποδετή η ένταξη µεµονωµένων ή οµαδοποιηµένων µηδενιών τιµών του ύψους βροχόπτωσης στη δοµή ενός επεισοδίου, προύπτει η αναγαιότητα εισαγωγής της έννοιας του «χρόνου διαχωρισµού», ως του, ελάχιστου σταθερού ή µεταβλητού, χρονιού διαστήµατος µηδενιής βροχόπτωσης, που µεσολαβεί µεταξύ δύο διαδοχιών επεισοδίων βροχής. Επί τη βάσει µιας στατιστιά τεµηριωµένης τιµής του χρόνου διαχωρισµού, γίνεται αποδετή η στοχαστιή ανεξαρτησία άθε επεισοδίου βροχής. Ο Κουτσογιάννης (988) επισηµαίνει την υπεροχή αυτής της θεώρησης, τόσο από µαθηµατιή άποψη, όσο αι από την άποψη της φυσιής ερµηνείας, αυτού αθ αυτού, του φαινοµένου της βροχόπτωσης. Κατά µία δεύτερη, σχετιά µε την απόπειρα ορισµού του επεισοδίου της βροχής, άποψη, η αλληλοεπιάλυψη των επεισοδίων είναι αποδετή, αι ως ε τούτου, δεν υφίσταται θέµα προσδιορισµού ενός ελάχιστου σταθερού ή µεταβλητού χρόνου διαχωρισµού των επεισοδίων. Αυτή η θεώρηση χρησιµοποιείται ευρύτατα στα µοντέλα σηµειαής ανέλιξης (ετενής ανάλυση των οποίων αολουθεί στις επόµενες ενότητες), όπου το ύψος της βροχής αι ο χρόνος εµφάνισής της αποτούν ένα περισσότερο µαθηµατιό, παρά φυσιό (ρεαλιστιό) χαρατήρα. Σε αυτή την περίπτωση η επισήµανση των επεισοδίων βροχής σε ένα ιστοριό δείγµα βροχόπτωσης δεν είναι σαφής. Σύµφωνα µε τα προαναφερόµενα, για τη µοντελοποίηση δεδοµένων µιρής χρονιής λίµαας απαιτείται, αφενός, ο προσδιορισµός της συνάρτησης ατανοµής αι αφετέρου, µια ετίµηση του βαθµού της στοχαστιής εξάρτησης δύο βασιών στοχαστιών µεταβλητών. Η πρώτη µεταβλητή σχετίζεται µε τη διάρεια των επεισοδίων, ενώ η δεύτερη σχετίζεται µε τη µεταξύ τους χρονιή απόσταση. Ο Κουτσογιάννης (988) επισηµαίνει πως στην πλειονότητα των περιπτώσεων, υιοθετείται η παραδοχή της στοχαστιής ανεξαρτησίας, ενώ οι αντίστοιχες συναρτήσεις ατανοµής, όπως είναι αναµενόµενο, εξαρτώνται άµεσα από τον υιοθετούµενο, ατά περίπτωση, ορισµό του επεισοδίου της βροχής. Σε ένα δεύτερο επίπεδο ανάλυσης, απαιτείται η διερεύνηση της εσωτεριής δοµής των επεισοδίων βροχής. Πιο συγεριµένα αι όσον αφορά στα µεγέθη των υψών της βροχόπτωσης, που παρατηρούνται ατά τη διάρεια ενός επεισοδίου, εξετάζεται η συνάρτηση ατανοµής τους αθώς αι η πιθανή στοχαστιή εξάρτηση των διαδοχιών τιµών τους. Σχετιά µε τη στοχαστιή ανεξαρτησία των υψών της βροχόπτωσης αι όσον αφορά στην ανάλυση βροχοµετριών δεδοµένων ηµερήσιας λίµαας, από σταθµούς της βορειοδυτιής Ευρώπης, η Shaw (994, σελ. 389) αναφέρει ενδειτιές τιµές των συντελεστών συσχέτισης στο διάστηµα από 0.0 έως 0.5, για τους χειµερινούς µήνες. Σύµφωνα µε την ίδια, τα ύψη βροχόπτωσης των θερινών µηνών είναι στοχαστιά ανεξάρτητα. Η Shaw προφανώς υπονοεί ότι ο βαθµός συσχέτισης αι ατ επέταση η αταλληλότητα ενός µαθηµατιού µοντέλου προσοµοίωσης εξαρτάται από την υπό εξέταση, οµογενή υδρολογιά, περίοδο. Στην περίπτωση που παρατηρείται εξάρτηση µεταξύ των διαδοχιών υψών, τότε µια 7

12 γραµµιή ανέλιξη Markov µπορεί να ριθεί ατάλληλη για την προσοµοίωση της παρατηρούµενης στοχαστιής εξάρτησης. Ο Κουτσογιάννης (988, σελ. 0), αναφέρει ενδειτιά τις εργασίες των Rodda (976), αθώς αι των Schaake et al. (97), στις οποίες υιοθετήθηε η εφαρµογή ενός Μαροβιανού µοντέλου ης τάξης. Για την περίπτωση, που τα διαδοχιά ύψη της βροχόπτωσης θεωρηθούν στοχαστιά ανεξάρτητα, δεν ενδείνυται η απευθείας εφαρµογή ενός Μαροβιανού µοντέλου. Ως ε τούτου, αναζητούνται µαθηµατιά µοντέλα προσοµοίωσης, συνεπή ως προς την ανυπαρξία συσχέτισης των παρατηρούµενων διαδοχιών υψών. Ο Κουτσογιάννης (988, σελ. 0), επισηµαίνει την εργασία των Waymire αι Gupta (98) στην οποία «τα διαδοχιά ηµερήσια ύψη βροχής έχουν θεωρηθεί ανεξάρτητες µεταβλητές, µε εθετιή ατανοµή». Η ανεξαρτησία των διαδοχιών υψών θεωρείται δεδοµένη στη συντριπτιή πλειονότητα των µοντέλων σηµειαής ανέλιξης (µια σχετιή, πιο λεπτοµερειαή, ανάλυση θα αολουθήσει σε επόµενες ενότητες). Ως αταλείδα, επισηµαίνεται το ότι τα παραπάνω σχόλια αναφέρονται στις µεθόδους µοντελοποίησης του φαινοµένου της βροχόπτωσης σε συνεχή χρονιή λίµαα. Σε αόλουθες ενότητες αι όσον αφορά στα µοντέλα σηµειαής ανέλιξης, θα γίνει ιδιαίτερη µνεία στις διαφορές συνεχών αι διαριτών σηµειαών µοντέλων προσοµοίωσης. Παρά το ότι ο µεγαλύτερος όγος των προσπαθειών ανάλυσης αι µοντελοποίησης δεδοµένων βροχόπτωσης µιρής χρονιής λίµαας αναφέρεται σε ηµερήσιες χρονοσειρές, η Shaw (994, σελ. 390) επισηµαίνει τη δυνατότητα εφαρµογής των ίδιων µεθοδολογιών αι στις περιπτώσεις µιρότερων, της ηµερήσιας, λιµάων..4 Σηµειαές Ανελίξεις - Ανέλιξη Poisson Ως «σηµειαή ανέλιξη» (point process) χαρατηρίζεται ένα σύνολο τυχαίων σηµείων, t i, στον άξονα του χρόνου, όπου το µέγεθος, t i, αντιστοιχεί στο χρόνο έλευσης του σηµείου αυτού σε σχέση µε τη χρονιή αφετηρία, t = 0 (Papoulis, 99, σελ. 97). ύο διαδοχιά σηµεία, t i- αι t i, ορίζουν το µεταξύ τους χρονιό διάστηµα, t i-, i, το οποίο αι αποαλείται «χρόνος διαδοχής» των γεγονότων t i- αι t i (interarrival time, Κουτσογιάννης, 988, σελ.). Σε άθε σηµειαή ανέλιξη, µπορεί να οριστεί µια αολουθία τυχαίων µεταβλητών, t n, τέτοια ώστε: t = t, t = t - t,, t n = t n t n-. Η αολουθία αυτή των τυχαίων µεταβλητών αλείται «ανανεωτιή ανέλιξη» (renewal process). Επίσης, σε άθε σηµειαή ανέλιξη αντιστοιχίζεται µία στοχαστιή ανέλιξη διαριτών τιµών (απαριθµητιή ανέλιξη counting process), N t ή Ν(t), µεγέθους ίσου µε τον αριθµό των σηµείων, t i, στο διάστηµα (0, t]. Από τα προαναφερόµενα προύπτει µια αντιστοιχία µεταξύ της σηµειαής ανέλιξης, t i, της στοχαστιής ανέλιξης διαριτών τιµών, N t ή Ν(t) αι της ανανεωτιής ανέλιξης των τυχαίων µεταβλητών, t n (Papoulis, 99, σελ. 97 Κουτσογιάννης, 988, σελ.0). Στον προαναφερόµενο ορισµό δεν συγαταλέγεται η ατηγορία των διαριτών σηµειαών ανελίξεων, όπου οι χρόνοι διαδοχής αποτελούν πολλαπλάσια ενός δεδοµένου χρονιού διαστήµατος. Σε αυτή την περίπτωση, η χρονιή παράµετρος της σηµειαής ανέλιξης είναι διαριτή αι οι χρόνοι διαδοχής δεν αποτελούν τυχαίες συνεχείς µεταβλητές (Foufoula-Georgiou, Lettenmaier, 986). Κατά συνέπεια, ο ορισµός του Papoulis παραπέµπει στην ειδιή ατηγορία των συνεχών σηµειαών ανελίξεων (Continuous time point processes). Επιπλέον, οι σηµειαές ανελίξεις εντάσσονται στη γενιότερη ατηγορία των τυχαίων πεδίων (random fields) αι αποτελούν µονοπαραµετριά ή πολυπαραµετριά τυχαία πεδία συνεχών παραµέτρων (Erik VanMarcke, 983, σελ 3). Μία τυχαία ή στοχαστιή ανέλιξη αντιστοιχεί στην υλοποίηση µιας τυχαίας µεταβλητής, της οποίας οι τιµές εξαρτώνται από µία ή περισσότερες παραµέτρους (Bras & Rodriguez-Iturbe, 993, σελ. ). Γενιότερα, η έννοια της στοχαστιής ανέλιξης δεν ταυτίζεται απαραίτητα µε ένα µονοπαραµετριό σύνολο τυχαίων χρονιών συναρτήσεων X(t). Υπό αυτή την έννοια, σηµειαή ανέλιξη αποτελεί αι ένα σύνολο τυχαίων σηµείων σε µία ή περισσότερες χωριές διαστάσεις ή γενιότερα σε ένα ή περισσότερα συνεχή ή διαριτά πεδία τιµών, R n. Ωστόσο, είναι γεγονός, πως στις περισσότερες πρατιές εφαρµογές, οι σηµειαές ανελίξεις είναι µονοπαραµετριές αι το δειτοσύνολο των τιµών της τυχαίας 8

13 συνάρτησης - µεταβλητής αντιστοιχεί σε ένα συνεχές, θετιά ορισµένο, χρονιό πεδίο τιµών, R t. Οι Waymire αι Gupta (98, σελ. 74) επισηµαίνουν την εσφαλµένη ονοµασία τυχαίων πεδίων ως σηµειαών ανελίξεων, προσδίδοντας στις στοχαστιές ανελίξεις αι ένα χαρατήρα διατεταγµένης χρονιής αλληλουχίας (ordering) των τυχαίων µεταβλητών. Υπό αυτό το πρίσµα, οι σηµειαές χρονιές ανελίξεις δεν αποτελούν στοχαστιές ανελίξεις αλλά τυχαία πεδία, όπου η χρονιή παράµετρος ταυτίζεται µε ένα ονοµαστιό (nominal) συνεχές δειτοσύνολο. Η διαφοροποίηση αυτή θα γίνει σαφέστερη στις επόµενες παραγράφους, όπου αναλύεται η σηµειαή ανέλιξη Poisson αι οι βασιές στατιστιές ιδιότητες της εθετιής συνάρτησης ατανοµής. H θεωρία τυχαίων πεδίων (VanMarcke, 983), εν αντιθέσει µε την προαναφερόµενη θεώρηση των Waymire αι Gupta, αποδέχεται τις σηµειαές ανελίξεις ως υποατηγορία των τυχαίων πεδίων, ταυτίζοντας την έννοια του τυχαίου πεδίου µε αυτή της στοχαστιής ή τυχαίας ανέλιξης, αι µη αποδεχόµενη τον ατά ανάγη µονοδιάστατο αι χρονιό χαρατήρα, που συχνά τους αποδίδεται. H µονοπαραµετριή (ή µονοδιάστατη) χρονιή ανέλιξη Poisson, η οποία αι στο εξής θα αποαλείται ανέλιξη Poisson για λόγους συντοµίας, αποτελεί µία αολουθία τυχαίων σηµείων, t i, στο χρόνο. Υπό αυτή την έννοια, υπάγεται στην γενιότερη ατηγορία των συνεχών σηµειαών ανελίξεων. Η βασιή ιδιαιτερότητα της σηµειαής ανέλιξης Poisson, είναι πως οι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές, t n, αολουθούν την εθετιή συνάρτηση ατανοµής αι συνεπώς ισχύει η εξίσωση, 9 F(t) = P[ t t] = e λt, t 0.4. Η απαίτηση αυτή αποτελεί ιανή αι αναγαία συνθήη για το χαρατηρισµό µιας σηµειαής ανέλιξης ως ανέλιξης Poisson. εδοµένου του ότι ο χρόνος άφιξης του τυχαίου σηµείου, t k, ισούται µε, t = k k t i i= άφιξης, t i, ισούται µε f, αποδεινύεται πως η συνάρτηση πυνότητας πιθανότητας των χρόνων k λt k > (t) = ( λ t) λe (k )!, Γ(k) = (k -)!, t 0.4. Συνεπώς, οι χρόνοι άφιξης των τυχαίων σηµείων, t i, αολουθούν τη συνάρτηση ατανοµής γάµα δύο παραµέτρων. Επιπλέον αι δεδοµένου του ότι παρατηρούνται τουλάχιστον, k, αφίξεις (Ν t k) στο διάστηµα (0, t], αν αι µόνο αν ο χρόνος της, k, άφιξης είναι µιρότερος ή ίσος του συνολιού υπό εξέταση χρόνου, t, (Ν t k t k t), µε ολολήρωση ατά µέλη προύπτει πως, k j= 0 λt j P(Ν k) = e ( λ t) /j!.4.3 t Από την παραπάνω εξίσωση εξάγεται το συµπέρασµα, πως ο αριθµός των αφίξεων, N t, αολουθεί την ατανοµή Poisson, µε συνάρτηση πυνότητας, λt k P(N t = k) = e ( λ t) /k!, k = 0,,..., n.4.4 Συνεπώς, στη σηµειαή ανέλιξη Poisson τρεις βασιές ατανοµές, περιγράφουν τη συνάρτηση πυνότητας πιθανότητας, f x (x), των χρόνων αφίξεως των τυχαίων σηµείων, t i, του αριθµού των τυχαίων σηµείων, N t, αι των χρόνων, t n, που µεσολαβούν µεταξύ δύο διαδοχιών αφίξεων:. H ατανοµή γάµα (δύο παραµέτρων, Erlang), όσον αφορά στους χρόνους άφιξης, t i.. H εθετιή ατανοµή, όσον αφορά στην τυχαία µεταβλητή, t n. 3. Η ατανοµή Poisson, όσον αφορά στο συνολιό αριθµό τυχαίων σηµείων, Ν t, στο διάστηµα (0, t].

14 Tο µαθηµατιό µοντέλο προσοµοίωσης της ανέλιξης Poisson είναι µονοπαραµετριό, όπως άλλωστε υποδηλώνει αι η ισχύς της εθετιής ατανοµής. Για την προσοµοίωση της ανέλιξης Poisson χρησιµοποιείται η εθετιή ατανοµή αι ατ επέταση ο προσδιορισµός των χρονιών διαστηµάτων, t i, i, που µεσολαβούν µεταξύ των αφίξεων δύο διαδοχιών τυχαίων σηµείων, t i αι t i, στον άξονα του χρόνου. Το γεγονός αυτό αιτιολογείται από το µονοπαραµετριό χαρατήρα της εθετιής ατανοµής, αθώς αι από την απλή αι αναλυτιή έφραση, που εµφανίζει η αντίστροφη συνάρτησή της (Η παραγωγή τυχαίων εθετιών µεταβλητών αποτελεί χαρατηριστιή εφαρµογή της «Μεθόδου Αντίστροφου Μετασχηµατισµού», Inverse Transformation Method Mooney, 997, σελ. 4). Πιο συγεριµένα, η εθετιή συνάρτηση ατανοµής, αθώς αι η αντίστροφη συνάρτησή της, έχουν ως εξής: F (x) = p = P X F x (p) = inf [ x] = e λx x 0, λ > 0 ln( p) { x R : p F (x)} x = λ Θέτoντας, p = U, όπου U (0,), F u (U) = U (οµοιόµορφη ατανοµή) αι F - (p) = t i, i, προύπτει η τελιή εξίσωση, που χρησιµοποιείται για την παραγωγή των τυχαίων µεταβλητών, t i, i. t =, ln( U i ) λ & i,i H χρήση της οµοιόµορφα ατανεµηµένης µεταβλητής, U, στο διάστηµα (0,), εξασφαλίζει τη συνέπεια της µεταβλητής, t i, i, ως προς την αρχιή της εθετιή συνάρτηση ατανοµής, F x (x). Ο χρόνος άφιξης του τυχαίου σηµείου, t i, προύπτει ως άθροισµα των υπολογισθέντων χρονιών διαστηµάτων, t i, i. i ( t j, j ) t i =.4.7 j=.5 Χαρατηριστιές ιδιότητες της Εθετιής ατανοµής. Η αµπύλη της συνάρτησης πυνότητας πιθανότητας, f x (x), της εθετιής ατανοµής έχει ως αφετηρία το σηµείο [x 0, f 0 x (x)] = [0, λ], ενώ, εξ ορισµού, το εµβαδό που περιλείεται από την f x (x) αι τον άξονα (x) ισούται µε τη µονάδα { f x (x)dx [ Fx (x)] } 0 = 0 =. Συνεπώς, αυξανοµένης της παραµέτρου πυνότητας, λ, αναµένεται µείωση των βασιών στατιστιών µεγεθών της ατανοµής. Πιο αναλυτιά, η µέση αι διάµεσος τιµή, αθώς αι η διασπορά των τυχαίων µεταβλητών, που αολουθούν την εθετιή ατανοµή, ισούνται µε: E[X] = /λ x 50% = ln(0,5) λ 0,693/λ var(x) = λ Από τα παραπάνω, προύπτει πως, η τιµή της παραµέτρου πυνότητας, λ, επηρεάζει τα βασιά στατιστιά χαρατηριστιά µεγέθη της ατανοµής ατά τον αόλουθο τρόπο: { Ε[X], x, var(x) } 0 λ 50% λ > λ E[X] < E[X ] x 50% < x 50% var(x) < var(x Αν η τυχαία µεταβλητή, X, αντιστοιχεί σε χρονιά διαστήµατα, t i, i, που µεσολαβούν µεταξύ των αφίξεων δύο διαδοχιών τυχαίων σηµείων, t i αι t i, στον άξονα του χρόνου, είναι σαφές το ότι η πυνότητα των σηµείων αυξάνεται για µεγαλύτερες τιµές της παραµέτρου πυνότητας, λ ).5.3

15 (rate parameter). Σε αυτή την περίπτωση παρατηρείται µια αύξηση του ρυθµού εµφάνισης των γεγονότων της σηµειαής ανέλιξης. Παράλληλα, η µείωση της διασποράς συντελεί στην εµφάνιση µιας µεγαλύτερης οµοιογένειας, όσον αφορά στις αποστάσεις µεταξύ των τυχαίων σηµείων. Συµπερασµατιά, ατά µέσο όρο παρατηρούνται, t mean = / λ, χρονιές µονάδες µεταξύ των διαδοχιών αφίξεων αι συνεπώς, ο µέσος αριθµός αφίξεων στη µονάδα του χρόνου ισούται µε την παράµετρο πυνότητας, λ. Σε αυτή την περίπτωση, η παράµετρος πυνότητας, λ, της εθετιής συνάρτησης ατανοµής συναρτάται άµεσα µε την έννοια της έντασης (intensity) της σηµειαής ανέλιξης Για ένα χρονιό διάστηµα, t, ο µέσος αναµενόµενος αριθµός αφίξεων ισούται µε, λ t. Στο γεγονός αυτό οφείλεται αι ο χαρατηρισµός του µεγέθους, λ, ως παραµέτρου πυνότητας αι του µεγέθους, / λ, ως παραµέτρου λίµαας.. Για την εθετιή συνάρτηση ατανοµής, Fx (x) = P[ X x] = e, x 0, λ > 0 λx συνάρτηση, G (x) = F (x) = P[ X > x] = e, για την οποία ισχύει, x x λx, ορίζεται η G(x t) = G(x)G(t), x, t Η εξίσωση αυτή είναι γνωστή ως «νόµος των εθετών» (law of exponents) αι παραπέµπει στον ορισµό της στοχαστιής ανεξαρτησίας δύο γεγονότων, Α αι Β, όπως αυτή µαθηµατιά περιγράφεται από την εξίσωση, P(A B) = P(A)P(B). Η ισχύς του «νόµου των εθετών» συνεπάγεται αι την παραάτω βασιή ιδιότητα της εθετιής συνάρτησης: P(X > x t X > x) = P(X > t), x, t Βάσει της ιδιότητας αυτής, η δεσµευµένη πιθανότητα, P(X > x t X > x), είναι ανεξάρτητη του, x. Η ιδιότητα αυτή αποαλείται ως «ιδιότητα της απουσίας µνήµης» (memoryless property) αι ισχύει ατά απολειστιότητα για την εθετιή ατανοµή. Όταν η τυχαία µεταβλητή, Χ, αντιστοιχεί στο χρόνο έλευσης ενός γεγονότος, η προαναφερόµενη ιδιότητα σηµαίνει πως αµµία πληροφορία δε µπορεί να εξαχθεί, για το χρόνο άφιξης του γεγονότος αυτού, από τη χρονιή αθυστέρηση της εµφάνισής του..6 Εισαγωγή στα σηµειαά µοντέλα προσοµοίωσης Η εργασία των Rodriguez- Iturbe et al. (984) Ο επιθυµητός βαθµός αρίβειας ενός µαθηµατιού µοντέλου προσοµοίωσης είναι άρρητα συνδεδεµένος µε τον βαθµό της πολυπλοότητάς του, την αρίβεια ή αξιοπιστία των διαθέσιµων, εισαγόµενων δεδοµένων αι τη βαρύτητα των, ατ ανάγη ή ατ επιλογή υιοθετούµενων, απλοποιητιών παραδοχών του. Συχνά, µαθηµατιά µοντέλα, αναιτιολόγητα αυξηµένης αρίβειας αι πολυπλοότητας, δηµιουργούν µια επίφαση εµβάθυνσης αι αξιοπιστίας, εις βάρος άλλων, ανταγωνιστιών µοντέλων απλούστερης δοµής. Υπό αυτό το πρίσµα, η εξέταση των µοντέλων σηµειαής ανέλιξης αποτά ένα διττό χαρατήρα, µαθηµατιό αι φυσιό. Στις ενότητες, που αολουθούν, επιχειρείται µια εισαγωγή στα σηµειαά µοντέλα προσοµοίωσης, βασιζόµενη στην εργασία των Rodriguez-Iturbe et al. (984). Η ανάλυσή τους βασίζεται σε τρία βασιά σηµειαά µοντέλα προσοµοίωσης: το Μοντέλο Λευού Θορύβου Poisson (Poisson White Noise Model), το Μαροβιανό Μοντέλο Ορθογωνιών Παλµών (Rectangular Pulses Markovian Model) αι το Μοντέλο Λευού Θορύβου Neyman-Scott (Neyman-Scott White Noise Model). Οι Rodriguez-Iturbe et al.δεν αποτελούν τους εισηγητές των µοντέλων αυτών (σχετιές είναι προγενέστερες εργασίες µελετητών, όπως οι Waymire & Gupta (98), Cordova & Bras (979)). Ωστόσο, είναι οι πρώτοι, που, βασιζόµενοι στη γενιευµένη χρήση της εθετιής συνάρτησης ατανοµής, µελέτησαν την επίδραση της χρονιής λίµαας των ιστοριών δεδοµένων στις τιµές των παραµέτρων των τριών αυτών θεωρητιών µοντέλων. Αρχιά διεξάγεται µια εξέταση των τριών προαναφερόµενων µοντέλων από αθαρά µαθηµατιή άποψη, στα πλαίσια της οποίας σχολιάζονται ο αριθµός παραµέτρων άθε µοντέλου, οι βασιές απλοποιητιές παραδοχές του, η ευελιξία αι ο βαθµός της πολυπλοότητάς του. Αολούθως,

16 επιχειρείται µια αξιολόγηση των µοντέλων αυτών, αθώς αι των µοντέλων σηµειαής ανέλιξης γενιότερα, από αθαρά υδρολογιή άποψη. Ο βαθµός της στοχαστιής ανεξαρτησίας αι οι συναρτήσεις ατανοµής των τυχαίων µεταβλητών, η εσωτεριή δοµή του επεισοδίου της βροχής, η φυσιή σηµασία των απλοποιητιών παραδοχών, η χρονιή λίµαα αι, γενιότερα, ο βαθµός απόλισης άθε µοντέλου από τα βασιά φυσιά χαρατηριστιά του φαινοµένου της βροχόπτωσης, αποτελούν τις ύριες, υπό εξέταση, συνιστώσες αξιολόγησης. Στα µοντέλα σηµειαής ανέλιξης, οι πραγµατιές µετρήσιµες αταρηµνίσεις προσοµοιάζονται µέσω θεωρητιών παλµών. Η τοποθέτηση των παλµών αυτών στον ορίζοντα του χρόνου, παραπέµπει στη χρήση ατάλληλης στοχαστιής ανέλιξης τυχαίων σηµείων. Συνεπώς, όσον αφορά στην τυχαία µεταβλητή, που αντιστοιχεί στο χρόνο έναρξης των παλµών αυτών, η ύρια µεθοδολογία βασίζεται στις αρχές των σηµειαών ανελίξεων. Η πιο πρόσφορη σηµειαή ανέλιξη, τόσο από άποψη απλότητας, όσο αι από την άποψη των ιδιοτήτων της, είναι η σηµειαή ανέλιξη Poisson. Ως ε τούτου, η ανέλιξη Poisson είναι αυτή που χρησιµοποιείται, σχεδόν ατά απολειστιότητα, για τον προσδιορισµό των τυχαίων χρονιών σηµείων έναρξης, t i, των θεωρητιών παλµών, U i. Σε αυτή την περίπτωση, η εθετιή ατανοµή αλείται να παράξει µια αολουθία τυχαίων µεταβλητών, t n, οι οποίες αντιστοιχούν σε χρονιά διαστήµατα µεταξύ διαδοχιών παλµών ή διαδοχιών οµάδων παλµών. Ο προσδιορισµός των χρόνων έναρξης, t i, εισάγει µία παράµετρο στο συνολιό µαθηµατιό µοντέλο, δεδοµένου του ότι, όπως έχει ήδη αναφερθεί, η µονοδιάστατη σηµειαή ανέλιξη Poisson αποτελεί µια µονο-παραµετριή διεργασία. Αν η έναρξη των υπό εξέταση θεωρητιών παλµών ορίζεται µέσω µιας σηµειαής ανέλιξης Poisson, πρόσθετες παραδοχές απαιτούνται για την µαθηµατιή τεµηρίωση των υπολοίπων δύο βασιών τυχαίων µεταβλητών: της έντασης αι της διάρειας των παλµών αυτών. Οι αταρηµνιζόµενες πραγµατιές ποσότητες, προσοµοιάζονται θεωρητιά µε δύο υρίως τρόπους:. Μέσω ορθογωνιών παλµών, δηλαδή θεωρητιών στοχαστιών αταρηµνίσεων µε δεδοµένη, σταθερή, ένταση αι διάρεια.. Είτε µέσω σηµειαών παλµών, µηδενιής θεωρητιά διάρειας, για τις οποίες η έννοια της έντασης δεν υφίσταται (σε αυτή την περίπτωση θεωρητιά ορίζεται µόνο το µέγεθος της αταρηµνιζόµενης ποσότητας αι η ένταση απειρίζεται). Η µη χρονιή διάσταση των ορθογωνιών παλµών αποαλείται ένταση (intensity) ή ύψος (depth). Οι ορθογωνιοί παλµοί αποτελούν εντατιά θεωρητιά µεγέθη, αθώς αντιστοιχούν στην ένταση αι όχι στο ύψος του φαινοµένου της βροχόπτωσης. Αντιθέτως, στην περίπτωση των σηµειαών παλµών, το µέγεθός τους έχει ποσοτιά χαρατηριστιά αι αντιστοιχεί σε ένα «σηµειαό» - ααριαίο ύψος βροχόπτωσης. Κατά συνέπεια, η ένταση της βροχόπτωσης, ξ(t), προύπτει βάσει της εξίσωσης (Rodriguez-Iturbe et al., 984, σελ. 6), ξ(t)dt = U(t)dN(t).6. όπου, το U(t) συµβολίζει το µέγεθος του σηµειαού παλµού αι το dν(t) αποτελεί µια δυαδιή (0-) µεταβλητή, µε τιµή,, αν ο παλµός υφίσταται το διάστηµα (t, t dt). Στην περίπτωση των ορθογωνιών παλµών απαιτείται ο προσδιορισµός της συνάρτησης ατανοµής δύο τυχαίων µεταβλητών, της έντασης αι της διάρειας των παλµών αυτών. Αντιθέτως, στην περίπτωση των σηµειαών παλµών, για τις οποίες η έννοια της έντασης δεν υφίσταται, µία συνάρτηση ατανοµής επαρεί για τον προσδιορισµό της µοναδιής απαιτούµενης τυχαίας µεταβλητής: του µεγέθους των. Ως ε τούτου, οι σηµειαοί παλµοί εισάγουν λιγότερες ανεξάρτητες µεταβλητές στο µαθηµατιό µοντέλο προσοµοίωσης. Σε άθε περίπτωση, η επιλεγόµενη συνάρτηση ατανοµής, άθε µιας ε των υπό εξέταση τυχαίων µεταβλητών, εισάγει τις αναγαίες, για τη µαθηµατιή περιγραφή της, παραµέτρους. Αν οι τυχαίες αυτές µεταβλητές θεωρηθεί πως αολουθούν την εθετιή ατανοµή, τότε άθε µεταβλητή εισάγει µία αι µοναδιή παράµετρο: την αντίστοιχη παράµετρο λίµαας. Συνεπώς, στην περίπτωση του σηµειαού παλµιού µοντέλου απαιτείται ο προσδιορισµός µιας παραµέτρου, δηλαδή της παραµέτρου λίµαας της εθετιής συνάρτησης ατανοµής των τυχαίων παλµιών µεγεθών. Κατ αντιστοιχία, στην περίπτωση του ορθογωνιού παλµιού

17 µοντέλου, οι δύο τυχαίες µεταβλητές, ένταση αι διάρεια των παλµών, εισάγουν δύο παραµέτρους στο τελιό µαθηµατιό µοντέλο. Οι δύο προαναφερόµενες βασιές ατηγορίες παλµών αι η υιοθέτηση της σηµειαής ανέλιξης Poisson ορίζουν δύο βασιά σηµειαά µοντέλα προσοµοίωσης:. Το µαθηµατιό Μοντέλο Λευού Θορύβου Poisson (Poisson White Noise Model) αι. το Μαροβιανό Μοντέλο Ορθογωνιών Παλµών (Rectangular Pulses Markovian Model). ενώ, η παραδοχή της εθετιής συνάρτησης ατανοµής για τις τυχαίες µεταβλητές, µέγεθος (ύψος) αι διάρεια, απλοποιεί τη δοµή του τελιού µαθηµατιού µοντέλου. Αυτός είναι αι ο ύριος λόγος για τον οποίο, η χρήση της εθετιής συνάρτησης ατανοµής στην εργασία των Rodriguez-Iturbe et al. (984) αποτά γενιευµένο χαρατήρα. Στον πίναα.6.α, συνοψίζονται τα βασιά χαρατηριστιά των δύο προαναφερόµενων σηµειαών µοντέλων. 3 Μοντέλο Λευού Θορύβου Poisson Μοντέλο Ορθογωνιών Παλµών Έναρξη παλµών: Ανέλιξη Poisson (παράµετρος, λ) Ανέλιξη Poisson (παράµετρος, λ) Είδος παλµών: Σηµειαοί παλµοί Ορθογωνιοί παλµοί Μέγεθος παλµών: Εθετιή ατανοµή (παράµετρος, µ) Εθετιή ατανοµή (παράµετρος, µ) ιάρεια παλµών: - Εθετιή ατανοµή (παράµετρος, n) Άγνωστες παράµετροι: (λ, µ) 3 (λ, µ, n) Πίναας.6.α : Βασιά χαρατηριστιά Μοντέλου Λευού Θορύβου Poisson αι Μαροβιανού Μοντέλου Ορθογωνιών Παλµών. Οι Rodriguez-Iturbe et al. (984) επετείνουν τη γενιευµένη χρήση της εθετιής συνάρτησης ατανοµής αι σε ένα τρίτο µαθηµατιό µοντέλο προσοµοίωσης, τεσσάρων παραµέτρων: το Μοντέλο Λευού Θορύβου Neyman-Scott (Neyman-Scott White Noise Model). Το µοντέλο αυτό βασίζεται στην οµαδοποίηση (clusterring) σηµειαών παλµών αι εισάγει τη γενιότερη ατηγορία των σηµειαών µοντέλων, σύµφωνα µε τα οποία, τα γεγονότα της βροχόπτωσης παλµοί οµαδοποιούνται (clustered rainfall models). Στη συγεριµένη περίπτωση, η οµαδοποίηση αυτή εισάγει την αναγαιότητα προσδιορισµού της συνάρτησης ατανοµής δύο επιπλέον τυχαίων µεταβλητών: του αριθµού των παλµών ανά οµάδα αθώς αι των χρονιών διαστηµάτων, που µεσολαβούν µεταξύ διαδοχιών παλµών της ίδιας οµάδας. Αν η µεταβλητή, που αντιστοιχεί στα χρονιά διαστήµατα, που µεσολαβούν µεταξύ διαδοχιών σηµειαών παλµών της ίδιας οµάδας, θεωρηθεί, πως αολουθεί την εθετιή ατανοµή, τότε στο µαθηµατιό µοντέλο εισάγεται µία παράµετρος: η παράµετρος λίµαας της ατανοµής αυτής. Όσον αφορά στη δεύτερη µεταβλητή, δηλαδή τον αριθµό των σηµειαών παλµών ανά οµάδα, το µοντέλο λευού θορύβου Neyman-Scott θεωρεί τον αριθµό αυτό στατιστιά ανεξάρτητο από την συνάρτηση ατανοµής των µεταξύ τους χρονιών διαστηµάτων. Ως αποτέλεσµα τούτου, ενδέχεται άποιοι από τους σηµειαούς παλµούς µιας οµάδας, να υπεισέλθουν στο χρονιό ορίζοντα των παλµών της επόµενης. Η συνάρτηση ατανοµής της µεταβλητής αυτής εισάγει επιπλέον παραµέτρους στο συνολιό µαθηµατιό µοντέλο. Αν η συνάρτηση ατανοµής της θεωρηθεί πως είναι η ατανοµή Poisson, τότε αποδεινύεται πως εισάγεται µία αι µοναδιή επιπλέον παράµετρος. Η παράµετρος αυτή είναι η αναµενόµενη τιµή του αριθµού σηµειαών παλµών ανά οµάδα. Τα βασιά χαρατηριστιά του µοντέλου λευού θορύβου Neyman-Scott συνοψίζονται στον πίναα.6.β: