Μελέτη ιάδοσης Χαµηλών Συχνοτήτων Στο Γήινο Περιβάλλον ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑ ΟΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων Στο Γήινο Περιβάλλον ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του Νικόλαου Γ. Μπαιεδάκη Επιβλέπων : Νικόλαος Γ. Ουζούνογλου Καθηγητής Ε.Μ.Π. Αθήνα, Ιούλιος 3

2

3 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑ ΟΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων Στο Γήινο Περιβάλλον ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του Νικόλαου Γ. Μπαιεδάκη Επιβλέπων : Νικόλαος Γ. Ουζούνογλου Καθηγητής Ε.Μ.Π. Εγκρίθηκε από την τριελή εξεταστική επιτροπή την 16 η Ιουλίου Νικόλαος Ουζούνογλου Καθηγητής Ε.Μ.Π.... Χρήστος Καψάλης Καθηγητής Ε.Μ.Π.... ήητρα Κακλαλάνη Επίκουρος Καθηγητής Ε.Μ.Π. Αθήνα, Ιούλιος 3

4 ... Νικόλαος Γεωργίου Μπαιεδάκης ιπλωατούχος Ηλεκτρολόγος Μηχανικός και Μηχανικός Υπολογιστών Ε.Μ.Π. Copyright Νικόλαος Γεωργίου Μπαιεδάκης, 3. Με επιφύλαξη παντός δικαιώατος. All rights reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανοή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τήατος αυτής, για επορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανοή για σκοπό η κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν ήνυα. Ερωτήατα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συπεράσατα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και δεν πρέπει να ερηνευθεί ότι αντιπροσωπεύουν τις επίσηες θέσεις του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου.

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ...5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ...7 ΠΕΡΙΛΗΨΗ...9 ΑBSTRACT...11 KEΦΑΛΑΙΟ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΟΥ Η/Μ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΙΟΝΟΣΦΑΙΡΑ Χαρακτηριστικά της Ιονόσφαιρας Υπολογισός διηλεκτρικής σταθεράς Ιονόσφαιρας ΛΙΘΟΣΦΑΙΡΑ ΚΑΙ ΜΑΝ ΥΑΣ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ - ΛΥΣΗ ΤΟΥ Η/Μ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7. ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΜΕΛΕΤΗ ΤΩΝ ΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ ΚΑΙ ΕΞΑΓΩΓΗ ΤΩΝ ΠΕ ΙΩΝ...33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ Η/Μ ΠΕ ΙΩΝ ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΧΕΙΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΕΥΡΕΣΗ ΠΟΛΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ ΧΕΙΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΒΡΟΧΟΤΟΜΩΝ ΕΥΡΕΣΗ ΠΕ ΙΩΝ...64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 - ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΑΡΧΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ ΜΕΛΕΤΗ ΠΕ ΙΩΝ ΓΙΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ 1 ΚΗZ Μελέτη συνεισφοράς βροχοτοών Εύρεση πόλων Υπολογισός των πεδίων ΜΕΛΕΤΗ ΓΙΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ 6 ΚΗZ Τα αρχικά εγέθη, οι ρίζες και οι βροχοτοές Υπολογισός των πεδίων ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ...14 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ...15 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ BESSEL...15 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ...19 Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 5

6 Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 6

7 ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήα 1.1 : Μοντελοποίηση της Γης...16 Σχήα 1.:Μεταβολή της πυκνότητας των ηλεκτρονίων της Ιονόσφαιρας σε σχέση ε το ύψος από την επιφάνεια της Γής...17 Σχήα.1 Γεωετρία του Η/Μ προβλήατος...7 Σχήα 3.1 : Ο δρόος ολοκλήρωσης C στο ιγαδικό επίπεδο λ...47 ιάγραα 3. : Το πραγατικό έρος των πόλων z, για σε λογαριθική κλίακα...5 ιάγραα 3.3 : Το φανταστικό έρος των πόλων z, για σε λογαριθική κλίακα...5 ιάγραα 3.4 : Το πραγατικό έρος των πόλων z, για για τρείς διαφορετικές συχνότητες f, f 1, f,( σε λογαριθική κλίακα) ιάγραα 3.5 : Το φανταστικό έρος των πόλων z, για για τρείς διαφορετικές συχνότητες f, f 1, f,( σε λογαριθική κλίακα) ιάγραα 3.6 : Το πραγατικό έρος των πόλων z, για για τρία διαφορετικά ύψη Η, Η 1, Η,( σε λογαριθική κλίακα) ιάγραα 3.7 : Το φανταστικό έρος των πόλων z, για για τρία διαφορετικά ύψη Η, Η 1, Η,( σε λογαριθική κλίακα) ιάγραα 3.8 : Το πραγατικό έρος των πόλων z, για για τρία διαφορετικά πάχη L, L 1, L,( σε λογαριθική κλίακα) ιάγραα 3.9 : Το φανταστικό έρος των πόλων z, για για τρία διαφορετικά πάχη L, L 1, L,( σε λογαριθική κλίακα) ιάγραα 3.1: Μεταβολή του πραγατικού και φανταστικού έρους του παράγοντα τ σε σχέση ε το πάχος L της λιθόσφαιρας...56 Σχήα 3.11 : Χειρισός των βροχοτοών...6 Σχήα 4.1 : Μεταβολή της ολοκληρωτέας συνάρτησης f (λ) πάνω στην βροχοτοή Β Σχήα 4. : Μεταβολή της ολοκληρωτέας συνάρτησης f (λ) πάνω στην βροχοτοή Β Πίνακας 4.1 Οι πόλοι του αγνητικού δυναικού για f =1 KHz ιάγραα 4.3 : Μεταβολή του έτρου της εγκάρσιας συνιστώσας Εz σε σχέση ε την απόσταση ρ για διάφορα ύψη z,φ=9 o, για f =1 KHz...79 ιάγραα 4.4 : Μεταβολή του έτρου της εγκάρσιας συνιστώσας Εz σε σχέση ε το ύψος z για διάφορες αποστάσεις ρ,φ=9 o....8 ιάγραα 4.5 : Μεταβολή του ορίσατος της εγκάρσιας συνιστώσας Εz σε σχέση ε την απόσταση ρ για διάφορα ύψη z,φ=9 o, για f =1 KHz...8 ιάγραα 4.6 : Κανονικοποιηένο πολικό διάγραα του έτρου της εγκάρσιας συνιστώσας Εz σε σχέση ε την γωνία φ από τον κάθετο άξονα x...81 ιάγραα 4.7 : Μεταβολή του έτρου της εγκάρσιας συνιστώσας Εz (λi) του κάθε ρυθού i σε σχέση ε την απόσταση ρ για ύψος z= km,φ=9 o, για f =1 KHz...8 ιάγραα 4.8 : Μεταβολή του έτρου της εγκάρσιας συνιστώσας Εz (λi) του κάθε ρυθού i σε σχέση ε τo ύψος z για ρ =1 km, φ=9 o, για f =1 KHz ιάγραα 4.9 : Μεταβολή του έτρου της εφαπτοενικής συνιστώσας Εx σε σχέση ε την απόσταση ρ για διάφορα ύψη z,φ=45 o, για f =1 KHz ιάγραα 4.1 : Μεταβολή του έτρου της εφαπτοενικής συνιστώσας Εx σε σχέση ε το ύψος z για διάφορες αποστάσεις ρ,φ=45 o, για f =1 KHz...84 ιάγραα 4.11 : Μεταβολή του ορίσατος της εφαπτοενικής συνιστώσας Εx σε σχέση ε την απόσταση ρ για διάφορα ύψη z, φ=45 o, για f =1 KHz...85 ιάγραα 4.1 : Κανονικοποιηένο πολικό διάγραα του έτρου της εfφαπτοενικής συνιστώσας Εx σε σχέση ε την γωνία φ από τον κάθετο άξονα x...85 ιάγραα 4.13 : Μεταβολή του έτρου της εφαπτοενικής συνιστώσας Εx (λi) του κάθε ρυθού i σε σχέση ε την απόσταση ρ για ύψος z= km,φ=45 o, για f =1 KHz...86 ιάγραα 4.14 : Μεταβολή του έτρου της εφαπτοενικής συνιστώσας Εy σε σχέση ε την απόσταση ρ για διάφορα ύψη z,φ= o, για f =1 KHz ιάγραα 4.15 : Μεταβολή του ορίσατος της εφαπτοενικής συνιστώσας Εx σε σχέση ε την απόσταση ρ για διάφορα ύψη z, φ= o, για f =1 KHz ιάγραα 4.16 : Κανονικοποιηένο πολικό διάγραα του έτρου της εfφαπτοενικής συνιστώσας Εy σε σχέση ε την γωνία φ από τον κάθετο άξονα x ιάγραα 4.17 : Μεταβολή του έτρου της εφαπτοενικής συνιστώσας Εy (λi) του κάθε ρυθού i σε σχέση ε την απόσταση ρ για ύψος z= km,φ= o, για f =1 KHz...89 Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 7

8 ιάγραα 4.18 : Μεταβολή του έτρου των εφαπτοενικών συνιστωσών Hx και Hy σε σχέση ε την απόσταση ρ για ύψος z = km, για f =1 KHz...9 ιάγραα 4.19 : Μεταβολή του ορίσατος των συνιστωσών του αγνητικού πεδίου Ηz, Hx και Hy σε σχέση ε την απόσταση ρ για ύψος z = km, για f =1 KHz....9 ιάγραα 4. : Μεταβολή του έτρου της εγκάρσιας συνιστώσας Εz σε σχέση ε την απόσταση ρ για ύψoς z=,φ=9 o, για f =1 KHz....9 ιάγραα 4.1 : Μεταβολή του ορίσατος της εγκάρσιας συνιστώσας Εz σε σχέση ε την απόσταση ρ για ύψος z=,φ=9 o, για f =1 KHz....9 ιάγραα 4.3 : Μεταβολή του έτρου της εγκάρσιας συνιστώσας Εz σε σχέση ε την απόσταση ρ για πάχος L= km για διάφορα ύψη z,φ=9 o, για f =1 KHz ιάγραα 4.4 : Μεταβολή του έτρου της εγκάρσιας συνιστώσας Εz σε σχέση ε την απόσταση ρ για διάφορες τιές του πάχoυς L, z=,φ=9 o, για f =1 KHz...94 Πίνακας 4.: Οι πόλοι του αγνητικού δυναικού για f =6 KHz...95 ιάγραα 4.5 : Μεταβολή του έτρου της εγκάρσιας συνιστώσας Εz σε σχέση ε την απόσταση ρ για διάφορα ύψη z,φ=9 o, για f =6 KHz...96 ιάγραα 4.6 : Μεταβολή του ορίσατος της εγκάρσιας συνιστώσας Εz σε σχέση ε την απόσταση ρ για διάφορα ύψη z,φ=9 o, για f =6 KHz ιάγραα 4.7 : Μεταβολή του έτρου της εγκάρσιας συνιστώσας Εz σε σχέση ε το ύψος z για διάφορες αποστάσεις ρ,φ=9 o...98 ιάγραα 4.8 : Μεταβολή του έτρου της εγκάρσιας συνιστώσας Εz (λi) του κάθε ρυθού i σε σχέση ε την απόσταση ρ για ύψος z= km,φ=9 o, για f =6 KHz...98 ιάγραα 4.9 : Μεταβολή του ορίσατος της εγκάρσιας συνιστώσας Εz (λi) του κάθε ρυθού i σε σχέση ε την απόσταση ρ για ύψος z= km,φ=9 o, για f =6 KHz...99 ιάγραα 4.3 : Μεταβολή του έτρου της εφαπτοενικής συνιστώσας Εx σε σχέση ε την απόσταση ρ για διάφορα ύψη z,φ=45 o, για f =6 KHz...1 ιάγραα 4.31 : Μεταβολή του έτρου της εφαπτοενικής συνιστώσας Εy σε σχέση ε την απόσταση ρ για διάφορα ύψη z,φ=45 o, για f =6 KHz...1 ιάγραα 4.3 : Μεταβολή του έτρου της εγκάρσιας συνιστώσας Εz σε σχέση ε την απόσταση ρ για ύψoς z=,φ=9 o, για f =6 KHz ιάγραα 4.33 : Μεταβολή του ορίσατος της εγκάρσιας συνιστώσας Εz σε σχέση ε την απόσταση ρ για ύψος z=,φ=9 o, για f =6 KHz ιάγραα 4.34: Μεταβολή του έτρου της εγκάρσιας συνιστώσας Εz ως προς την απόσταση ρ για διάφορες τιές του ύψους H, z =, φ=9 o, για f=6 KHz...1 ιάγραα 4.35: Μεταβολή του κανονικοποιηένου ως προς την συχνότητα, έτρου της εγκάρσιας συνιστώσας Εz ως προς την απόσταση ρ για διάφορες τιές της συχνότητας f, z =, φ=9 o, για H=6 km...13 ιάγραα 4.36: Μεταβολή του κανονικοποιηένου ως προς την συχνότητα, έτρου της εγκάρσιας συνιστώσας Εz ως προς την απόσταση ρ για διάφορες τιές της συχνότητας f, z =, φ=9 o, για H=1 km Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 8

9 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Σκοπό της διπλωατικής αυτής εργασίας αποτελεί η ελέτη της διάδοσης χαηλών συχνοτήτων στο γήινο περιβάλλον.πιο συγκεκριένα, αντιετωπίζεται το ηλεκτροαγνητικό πρόβληα εκποπής χαηλών συχνοτήτων από κάθετη βροχοκεραία που τοποθετείται πάνω στην επιφάνεια της γής λαβάνοντας υπόψη την επίδραση της Ιονόσφαιρας και των στρωάτων του εδάφους.τα κυατοδηγούενα πεδία προσδιορίζονται θεωρητικά και ελετάται η συπεριφοράς τους. Αρχικά γίνεται σύντοη αναφορά στις διάφορες περιοχές της γής που ενδιαφέρουν την ελέτη αυτή και παρουσιάζονται οι ιδαιτερότητες τους. Στην συνέχεια,παρουσιάζεται η ορφή της λύση της κυατικής εξίσωσης σε κυλινδρικές συντεταγένες και εκφράζονται ε κατάλληλες ολοκληρωτικές σχέσεις οι συνιστώσες του διεγειρόενου διανυσατικού αγνητικού δυναικού σε κάθε περιοχή.ακολούθως, εφαρόζονται οι οριακές συνθήκες στις διαχωριστικές επιφάνειες και λύνεται το σύστηα των αγνώστων συντελεστών της κάθε συνιστώσας. Η εξαγωγή των αναλυτικών σχέσεων του ηλεκτροαγντηικού πεδίου γίνεται ετατρέποντας τις ολοκλήρωσεις πραγατικής εταβλητής σε ολοκληρώσεις πάνω στο ιγαδικό επίπεδο.για τον σκοπό αυτό χαράσσονται οι αναγκαίες βροχοτοές στο ιγαδικό επίπεδο και προσδιορίζονται οι πόλοι των ολοκληρωτέων συναρτήσεων, Στην συνέχεια, ελετάται η συπεριφορά των πόλων σε σχέση ε τις παραέτρους του αρχικού προβλήατος, υπολογίζονται τα ολοκληρωτικά υπόλοιπα τους και ελετάται ο χειρισός των βροχοτοών για την ορθή αντιετώπιση τους.οπότε καταστρώνονται οι αναλυτικές εκφράσεις των ζητούενων ηλεκτροαγνητικών εγεθών. Τα αποτελέσατα της θεωρητικής ελέτης χρησιοποιούνται στην συνέχεια για τον πρακτικό υπολογισό των συνιστωσών των πεδιακών εγεθών. Με την βοήθεια διαγραάτων ελετάται η συπεριφορά τους σε σχέση ε την απόσταση ρ από την πηγή, το ύψος z από την επιφάνεια της γης και την γωνία φ από τον άξονα της βροχοκεραίας. Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 9

10 Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 1

11 ΑBSTRACT The scope of this thesis is the study of the propagatio of very low frequecies i the Earth s eviromet. The Earth s eviromet, for the purposes of this study, is cosidered to be the ioosphere, the atmosphere ad two differet groud layers. The aim is to specify the electromagetic field geerated by a vertical loop atea situated o the Earth s surface. First of all, a short referece is made to the properties ad characteristics of the differet regios ivolved.next, the expected form of the magetic vector potetial i every regio ad the ecessary boudary coditios are preseted.by applyig those boudary coditios, a system of equatios emerges, ad thus, the ukow coefficiets are foud. Furthermore, the real itegratio is trasformed to a complex itegratio. The poles of the itegrals are specified ad their relatio with the problem s parameters is ivestigated.the ecessary brach cuts are draw o the complex plae ad special attetio is paid to the itegratio aroud them.the residues of the poles are the calculated ad fially,the aalytical expressios of the field compoets are extracted. The outcome of the theoritical aalysis is used to preset the variatio of the field s basic compoets i relatio to the horizotal distace ρ from the source, the height z ad the observatio agle φ. Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 11

12 Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 1

13 KEΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 13

14 Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 14

15 1.1 Πρόλογος Στο πρώτο αυτό κεφάλαιο διατυπώνεται το ηλεκτροαγνητικό πρόβληα του οποίου η λύση ελετάται στην παρούσα εργασία, και παρουσιάζονται αναλυτικότερα οι περιοχές του γήινου περιβάλλοντος και τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά τους που ενδιαφέρουν την ελέτη αυτή. 1. ιατύπωση του Η/Μ Προβλήατος Θέα της παρούσας εργασίας αποτελεί η ελέτη διάδοσης χαηλών συχνοτήτων στο γήινο περιβάλλον. Ως γήινο περιβάλλον θεωρείται,απλοποιηένα, η Ιονόσφαιρα (περιοχή 1) η οποία καταλαβάνει έκταση από το άπειρο έως ύψος Η πάνω από την επιφάνεια της γής, το στρώα αέρα πάχους Η (περιοχή ) που παρεβάλλεται της γής και της Ιονόσφαιρας, ένα στρώα εδάφους ( Λιθόσφαιρα ) πάχους L (περιοχή ) και ένα ηιάπειρο στρώα εδάφους που εκτείνεται από το βάθος L έως το είον άπειρο ( Μανδύας ).Η γή συνεπώς χάνει την σφαιρικότητα της και θεωρείται επίπεδη στην παρούσα εργασία για την απλοποίηση του προβλήατος (Σχήα 1.1).Ουσιαστικά λοιπόν, διερευνάται η λύση του ηλεκτροαγνητικού προβλήατος που προκύπτει κατά την εκποπή χαηλών συχνοτήτων πάνω στην επιφάνεια της γής.θεωρείται ότι τοποθετείται ηλεκτροαγνητική πηγή πάνω στην επιφάνεια της γής (επίπεδο z =) και αναζητούνται τα κυατοδηγούενα πεδία σε κάθε περιοχή σε συνάρτηση ε τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της.το πρόβληα οιάζει ε την ελέτη κυατοδήγης σε κυατοδηγό παραλλήλων πλακών ε δύο διαφορετικά στρώατα. Πιό συγκεκριένα θεωρείται βροχοκεραία πάνω στην επιφάνεια της γής και αναζητούνται οι διεγειρόενοι ρυθοί σε συνάρτηση ε το ύψος Η, το πάχος L, τις διηλεκτρικές σταθερές κάθε περιοχήςκαι την συχνότητα εκποπής.σηειώνεται, ότι η αγνητική διαπερατότητα i κάθε περιοχής λαβάνεταισταθερή και ίση ε την αγνητική διαπερατότητα του αέρα. Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 15

16 1.3 Ιονόσφαιρα Σχήα 1.1 : Μοντελοποίηση της Γης Χαρακτηριστικά της Ιονόσφαιρας Η ιονόσφαιρα αποτελεί στρώα της γήινης ατόσφαιρας το οποίο είναι ισχυρά ιονισένο ( κυρίως λόγω της ηλιακής ακτινοβολίας.κατά την διάρκεια της ηέρας, τα ιονισένα στρώατα εκτείνονται από τα περίπου 6 km έως τα 1 km πάνω από την επιφάνεια της γής ενώ κατά την διάρκεια της νύχτας από τα 1 km έως τα 1 km περίπου.η πυκνότητα N των ηλεκτρονίων είναι της τάξης των 1 1, 1 1 ηλεκτρονίων ανά κυβικό έτρο (electros / m -3 ).Υπάρχουν κυρίως τρία στρώατα στα οποία η πυκνότητα των ηλεκτρονίων αυξάνει σηαντικά : D, E και F. Κατά την διάρκεια της ηέρας το στρώα F χωρίζεται σε δύο υποστρώατα F 1 και F. Το σχήα 1. παρουσιάζει την τυπική εταβολή της πυκνότητας Ν των ηλεκτρονίων σε σχέση ε το ύψος h από την επιφάνεια της γής κατά την διάρκεια της έρας και της νύχτας. Η ύπαρξη των διαφορετικών υποστρωάτων εξηγείται από την διαφορετική ένταση της ηλιακής ακτινοβολίας που προκαλεί τον ιονισό των ορίων των αερίων σε κάθε υψόετρο και την εταβολή της πυκνότητας της ατόσφαιρας.σε εγάλα ύψη, η Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 16

17 ένταση των προσπίπτουσων ακτίνων είναι πολύ υψηλή, αλλά η συγκέντρωση των αέριων ορίων είναι ικρή, παράγοντας τελικά χαηλή συγκέντρωση ηλεκτρονίων. Σε χαηλότερα ύψη όπου η ατόσφαιρα γίνεται πιο πυκνή, παρουσιάζεται αύξηση της συγκέντρωσης των ηλεκτρονίων.ενώ πλησιάζοντας προς την γή, η ένταση των ακτίνων ελλατώνεται λόγω της απορρόφησης των ανωτέρων στρωάτων, δηιουργώντας ικρότερη πυκνότητα ηλεκτρονίων.παράλληλα,το γεγονός ότι η ατόσφαιρα αποτελείται από διαφορετικά αέρια (κυρίως όως οξυγόνο και άζωτο) των οποίων η συγκέντρωση εταβάλλεται ε το ύψος ενώ η συπεριφορά τους κατά τον ιονισό τους διαφέρει, οδηγεί στην δηιουργία τοπικών εγίστων ή ελαχίστων στην συγκέντρωση των ηλεκτρονίων.βέβαια, τα υποστρώατα E και F έχουν όνιη υπόσταση αν και τα ύψη όπου συναντώνται εταβάλλονται σε καθηερινή βάση. Σχήα 1.:Μεταβολή της πυκνότητας των ηλεκτρονίων της Ιονόσφαιρας σε σχέση ε το ύψος από την επιφάνεια της Γής Η συγκέντρωση Ν των ηλεκτρονίων εταβάλλεται κατά την διάρκεια της ηέρας,ανά εποχή,και κατά εγάλες χρονικές περιόδους ετών που συσχετίζονται ε την ηλιακή δραστηριότητα. Η διηλεκτρική σταθερά που εφανίζει εξαρτάται από την συχνότητα εκποπής και την συγκέντρωση Ν των ηλεκτρονίων.έτσι, για ία δεδοένη συγκέντρωση Ν ηλεκτρονίων,υφίστανται ια έγιστη χρήσιη συχνότητα, πάνω από την οποία τα ηλεκτροαγνητικά κύατα διεισδύουν στην Ιονόσφαιρα.Η διάδοση των κυάτων έσω της Ιονόσφαιρα δεν παρέχει πολύ σταθερά χαρακτηριστικά, και κατά συνέπεια οι ζεύξεις που την χρησιοποιούν παρουσιάζουν αρκετά εγάλες διαλείψεις. Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 17

18 Τα υποστρώατα E και F παίζουν κυριάρχο ρόλο στις ραδιοτηλεπικοινωνίες για συχνότητες από 3 έως 4 MHz.Για τις συχνότητες αυτές η Ιονόσφαιρα λειτουργεί ως ανακλαστήρας καθώς οι ραδιοακτίνες δεν πορούν να διεισδύσουν έσα σε αυτήν. Έτσι επιτυγχάνονται ραδιοζεύξεις πολλών χιλιοέτρων. Το υπόστρώα D της Ιονόσφαιρας είναι πλησιέστερα στην επιφάνεια της γής.το ύψος όπου συναντάται κυαίνεται από 6 km έως 7 km κατά την διάρκεια της ηέρας, και από 85 km έως 1 km,κατά την διάρκεια της νύχτας.η έγιστη συγκέντρωση ηλεκτρονίων Ν κυαίνεται από 5x1 8 έως x1 1 ηλεκτρόνια ανά κυβικό έτρο κατά την διάρκεια της έρας, ενώ κατά την διάρκεια της νύχτας λαβάνει τιές ικρότερες κατά ια τάξη εγέθους (από 1 7 έως 1 9 electros/m -3 ). Για τις πολύ χαηλές συχνοτήτες Very Low Frequecies-VLF Bad : 3 KHz-3 KHz και Εxtemely Low Frequecies-ELF Bad: 3 Hz-3 KHz που ενδιαφέρουν την παρούσα ελέτη, η συχνότητα συγκρούσεων ν στο στρώα D της Ιονόσφαιρας είναι πού εγαλύτερη από την κυκλική συχνότητα ω του διεγειρόενου ηλεκτροαγνητικού πεδίου.συνεπώς, η Ιονόσφαιρα λειτουργεί ως ένα αγώγιο έσο ε αρκετά χαηλή αγωγιότητα βέβαια.η γή παροοίως λειτουργεί ως αγώγιο έδαφος δηιουργώντας έτσι ένα ζεύγος ανακλαστήρων που παρέχει ουσιαστικά έναν σφαιρικό κυατοδηγό πάνω στην επιφάνεια της γής.η κυατοπαγίδευση του ηλεκτροαγνητικού πεδίου έσα στο στρώα αυτό προκαλεί σαφώς πολύ ικρότερη απόσβεση σε σχέση ε την απόσταση, στην ένταση του πεδίου από την αντίστοιχη του ελευθέρου χώρου. Ο κυατοδηγός αυτός παρέχει έναν αρκετά σταθερό ονοπάτι διάδοσης, καθιστώντας τις χαηλές συχνότητες ιδανικές για την ετάδοση χρονικών σηάτων και για θαλλάσιες επικοινωνίες. Μειονεκτήατα τους αποτελεί το εγάλο έγεθος των κεραιών εκποπής και λήψης και το ικρό εύρος ζώνης που παρέχει Υπολογισός διηλεκτρικής σταθεράς Ιονόσφαιρας Οπως προαναθέρφηκε,η διηλεκτρική σταθερά (για συγκεκριένη συχνότητα) της Ιονόσφαιρας είναι ένα χρονικά και χωρικά εταβαλλόενο έγεθος, λόγω της Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 18

19 εταβολής της συγκέντρωσης Ν των ηλεκτρονίων ε το ύψος από την επιφάνεια της γής.καθόλη την παρούσα ελέτη, για λόγους απλοποίησης του εξεταζόενου προβλήατος, θεωρείται σταθερή σε όλη την Ιονόσφαιρα ε τιή που προσδιορίζεται από την συχνότητα εκποπής f. Για την εύρεση της διηλεκτρικής σταθεράς της Ιονόσφαιρας,υπολογίζεται αρχικά η διηλεκτρική σταθερά ένος ιονισένου αέριου. Έστω ένα οοιογενές ιονισένο αέριο ε πυκνότητα ηλεκτρονίων Ν και ρυθό συγκρούσεων κάθε ηλεκτρονίου ε ουδέτερα άτοα ν ανά δευτερόλεπτο, έσα στο οποίο διαδίδεται εγκάρσιο ηλεκτρικό πεδίο Εz κατά την διεύθυνση x.η στιγιαία τιή του πεδίου δίνεται από την σχέση : j t E = zˆ E e ω όπου ω η κυκλική συχνότητα του κύατος. (Σηειώνεται ότι για όλα τα χρονικά εταβαλλόενα εγέθη θεωρείται χρονική εξάρτηση της ορφής exp(-jωt) ). m (1.1) Αρχικά,θεωρείται ότι υπάρχει ένα όνο ελεύθερο φορτισένο ηλεκτρόνιο e ε άζα m ανά κυβικό έτρο,δηλαδή Ν=1. Το παλλόενο ηλεκτρικό πεδίο E ασκεί δύναη F στο ηλεκτρόνιο που δίνεται από την σχέση : j t F = zˆ ee e ω και αναγκάζει το ηλεκτρόνιο να ταλαντώνεται στον άξονα z. m (1.) Παράλληλα, στο ηλεκτρόνιο ασκείται η δύναη της τριβής που προέρχεται από τις συγκρούσεις του ε τα υπόλοιπα ουδέτερα άτοα. Θεωρώντας ότι σε κάθε σύγκρουση το ηλεκτρόνιο δίνει όλη του την ορή mdz/dt στο ουδέτερο άτοο,τότε σε κάθε δευτερόλεπτο η ορή του εταβάλλεται κατά νmdz/dt.ο ρυθός αυτός εταβολής της ορής εκφράζει την ασκούενη δύναη τριβής. Οπότε προκύπτει συνολικά : d z dz m ee vm dt dt = (1.3) j t Η λύση της οογενούς διαφορικής εξίσωσης είναι : z = z e ω Είναι αναγκαίο να εκφραστεί η ταχύτητα dz/dt του ηλεκτρονίου ως συνάρτηση της χρονικής εταβολής του ηλεκτρικού πεδίου dε/dt. Ισχύει : m Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 19

20 de = jωe, d z = jω dz (1.4) dt dt dt Αντικαθιστώντας στην παραπάνω διαφορική και λύνοντας ως προς την ταχύτητα dz/dt προκύπτει : e de dz = m ( v jω ) jω dt dt (1.5) dz e de e ve de = = [ + j ] dt jω( v jω) m dt m( ω + v ) ωm( ω + v ) dt Θεωρώντας στην συνέχεια ότι κάθε κυβικό έτρο αερίου περιέχει Ν ηλεκτρόνια,καθ ενός από τα οποία η ταχύτητα περιγράφεται από την παραπάνω σχέση, τότε η συνολική πυκνότητα ρεύατος δίνεται από την σχέση : dz Ne vne de Jc = Ne = [ + j ] dt m( ω + v ) ωm( ω + v ) dt (1.6) Στον αέρα, δίχως ιονισό, ένα εναλλασόενο ηλεκτρικό πεδίο είναι γνωστό ότι de δηιουργεί ένα ρεύα ετατόπισης ε πυκνότητα : Jd = ε dt Συνεπώς η συνολική πυκνότητα ρεύατος είναι : Ne vne de J = Jd + Jc = [ ε + j ] m( ω + v ) ωm( ω + v ) dt (1.7) Οπότε συπεραίνεται ότι η ιγαδική διηλεκτρική σταθερά του αερίου ε i είναι : Ne vne εi = ε + j m( ω + v ) ωm( ω + v ) σ i εi = εi + j (1.8) ω Ne vne εi = ε, σ i = m( ω + v ) m( ω + v ) Ανάλογα ε την σχέση ω και ν διακρίνονται οι εξής περιπτώσεις : Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον

21 α. Αν ω >>ν τότε βρίσκεται ότι : β. Αν ω << ν τότε προκύπτει ότι : Ne vne εi = ε, σ i = mω mω Ne v εi = ε (1 j ) mω ω Ne Ne εi = ε, σ i = mv mv Ne v εi = ε (1 j ) mv ω (1.9) (1.1) Μέχρι τώρα αγνοήθηκε η ύπαρξη των θετικών ιόντων στο αέριο.κατά αναλογία ε τα ηλεκτρόνια, η δηιουργούενη θετική πυκνότητα ρεύατος έχει αντίστοιχη ορφή και κατεύθυνση προφνώς αντίθετη αυτής των ηλεκτρονίων.άρα τα δύο ρεύατα προστίθενται,και κατά συνέπεια στην διηλεκτρική σταθερά ε i εφανίζεται ένας όρος που εκφράζει την συνεισφορά των ιόντων.αν m i η άζα των θετικών ιόντων ισχύει : Ne Ne vne vne εi = ε, σ = + ( ) ( ) ( ) ( ) i m ω + v mi ω + v m ω + v mi ω + v (1.11) Βέβαια, είναι γνωστό ότι άζα των ιόντων είναι πολύ εγαλύτερη από αυτήν των ηλεκτρονίων, οπότε m e <<m i,οπότε η συνεισφορά τους στην διηλεκτρική σταθερά πορεί θα αγνοηθεί σε πρώτη προσέγγιση. Με την βοήθεια των παραπάνω σχέσεων, πορεί να βρεθεί η σχετική διηλεκτρική σταθερά ε i της Ιονόσφαιρας. Ισχύει γενικά σύφωνα ε τα παραπάνω : Ne v ε1= ε (1 j ) (1.1) m( ω + v ) ω Θεωρείται ότι λόγω των χαηλών συχνοτήτων ω << ν. Άρα προκύπτει : Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 1

22 Ne v Ne Ne ε1 ε (1 j ) ε + j = ε(1 + j ) mv ω mωv mωvε ω Ne ε1 ε (1 + j ), ω = ω mvε (1.13) Εκτός από την προσέγγιση ω << ν, θεωρήθηκε επίσης ότι Νe /mv << ε λόγω του ότι ν >>. 1.4 Λιθόσφαιρα και Μανδύας Οι όροι Λιθόσφαιρα και Μανδύας που χρησιοποιούνται για τον χαρακτηρισό των περιοχών κάτω από την επιφάνεια της γής, ουσιαστικά δεν ανταποκρίνονται στην γεωλογική ερηνεία των όρων.χρησιοποιούνται καταχρηστικά για λόγους ευκολίας για να περιγράψουν τα στρώατα του εδάφους. Στην περίπτωση που εξετάζεται στην εργασία αυτή το πάχος L του υπερκείενου στρώατος του εδάφους (περιοχή ) λαβάνεται της τάξεως του ενός ε δύο χιλιόετρα (1- km) ενώ στην πραγατικότητα, η Λιθόσφαιρα έχει πάχος εγαλύτερο των 5 χιλιοέτρων.για να περιγραφεί η εταβολή της διηλεκτρικής σταθεράς ε g σε σχέση ε το βάθος έσα στον φλοιό της γής, χρησιοποιείται η προσέγγιση των επιπέδων στρωάτων στο πρόβληα αυτό.αυτή η διαστρωατωένη αρχιτεκτονική παραπέπει οπτικά στην γεωλογική δοή Λιθόσφαιρα Μανδύα και οδηγεί στην υιοθέτηση αυτών των απλών ονοασιών για τις περιοχές και 3 του προβλήατος.συνεπώς, σε όλη την εργασία ο όρος Λιθόσφαιρα παραπέπει στην ονοασία της περιοχής : Υπερκείενο στρώα εδάφους 1 και ο όρος Μανδύας στην ονοασία της περιοχής 3 : Υποκείενο στρώα εδάφους, και όχι στις γεωλογικές ιδιότητες και ιδιοορφίες των περιοχών αυτών. Λόγω της πολυορφίας του φλοιού της γής και της ανοοιογένειας των συστατικών του, είναι προφανές ότι η διηλεκτρική σταθερά του εδάφους ε g εταβάλλεται και χωρικά και στις κατευθύνσεις ( οριζόντια και κατακόρυφα ) αλλά και χρονικά ε τις ηέρες και τις εποχές.το κάθε συστατικό του εδάφους έχει διαφορετική ηλεκτρική και αγνητική συπεριφορά, επηρεάζοντας έτσι την συπεριφορά του όλου συστήατος.βεβαίως, η ελέτη της διηλεκτρικής συπεριφοράς του εδάφους αποτελεί πεδίο της γεωφυσικής και για τον λόγο αυτό δεν γίνεται εκτενή αναφορά Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον

23 στο θέα αυτό.για την απλοποίηση όως του προβλήατος που εξετάζεται,γίνεται η θεώρηση ότι το έδαφος αποτελείται από οοιογενή στρώατα που χαρακτηρίζονται από τις διηλεκτρικές σταθερές ε g1 και ε g. Η προσέγγιση αυτή έχει βεβαίως λογική βάση και στηρίζεται στην διαφορετική σύσταση του εδάφους σε σχέση ε το βάθος από την επιφάνεια της γής. Ειδικότερα, η σχετική διηλεκτρική σταθερά του εδάφους ε g δίνεται από την σχέση (για χρονική εξάρτηση exp(-jωt) ) : g i j σ i ε = ε + (1.14) ε ω Οι σύνηθεις τιές κυαίνονται ανάεσα στις : ε i : 5 (για υγρό έδαφος), σ i :.1.3 S/m (για υγρό έδαφος). Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 3

24 Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 4

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Λύση του Η/Μ προβλήατος Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 5

26 Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 6

27 .1 Πρόλογος Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιαζεται το πρωτεύουν και τα επαγόενα αγνητικά δυναικά σε κάθε περιοχή και διατυπώνονται οι οριακές συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται στις διαχωριστικές επιφάνειες. Τέλος εφαρόζονται οι οριακές συνθήκες και επιλύεται το σύστηα των αγνώστων συντελεστών.. Λύση της κυατικής εξίσωσης Η κάθετος βροχοκεραία τοποθετείται πάνω στην επιφάνεια της γής στο επίπεδο xy, (z = ) θεωρώντας τον άξονα x κάθετο ως προς το κέντρο της. Το πρωτεύον πεδίο M πρ που δηιουργείται όταν τροφοδοτηθεί ε ρεύα Ι, προκύπτει από την λύση της κυατικής εξίσωσης για κυλινρικές συντεταγένες (ρ,φ,z) για οογενές έσο: αέρας, ε διηλεκτρική σταθερά ε και αγνητική διαπερατότητα. Σχήα.1 Γεωετρία του Η/Μ προβλήατος Το πρωτεύον πεδίο της καθέτου βροχοκεραίας εκφράζεται από το δυναικό : M πρ =( Mx πρ,, ) το οποίο γράφεται ως υπέρθεση στοιχειωδών Bessel συναρτήσεων ηδενικής τάξης. Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 7

28 z z πρ e (,, ) ( ) Mx ρ φ z δ J λρ λd = λ (.1) όπου = k, > k = k λ αν λ λ = λ < k j k λ Επίσης χρησιοποιούνται τα σύβολα : δ : η διέγερση της βροχοκεραίας που δίνεται από την σχέση δ = Α Ι / (4π), όπου Α : το εβαδόν της βροχοκεραίας και Ι : η ένταση του ρεύατος επί της κεραίας, z : το ύψος της βροχοκεραίας πάνω από την επιφάνεια της γής.για την περίπτωση ας για λόγους απλότητος θέτουε z +. J (x): η συνάρτηση Bessel βαθού. Στην συνέχεια, το επαγώενο αγνητικό δυναικό γράφεται σε κάθε περιοχή του χώρου, λαβάνοντας υπόψη ότι τόσο στην Ιονόσφαιρα (Περιοχή 1) όσο και στον Μανδύα (Περιοχή 3) λόγω της ηιάπειρης έκτασής τους ως πρός τον άξονα z,το δυναικό αποσβένεται,δηλαδή έχουε εξάρτηση του δυναικού ως προς z της ορφής exp(- i z ),όπου i ο κυαταριθός στην περιοχή i, ενώ στον Αέρα (Περιοχή ) και στη Λιθόσφαιρα (Περιοχή ) λόγω του περιορισένου ύψους τους το δυναικό γράφεται στην ορφή : cosh( i z )+sih( i z). Το πρόβληα της διάδοσης των πολύ χαηλών συχνοτήτων στο γίηνο περιβάλλον λόγω της εταβολή της διηλεκτρικής σταθεράς ε i στα σύνορα Αέρα Ιονόσφαιρας, Αέρα Λιθόσφαιρας και Λιθόσφαιρας-Μανδύα οιάζει ε το πρόβληα κυατοδήγησης σε διπλό κυατοδηγό παραλλήλων πλακών ε τοιχώατα στις επιφάνειες των συνόρων z =H, z = και z = -L. Η z -συνιστώσα των επαγώενων αγνητικών δυναικών, για να ικανοποιεί τις οριακές συνθήκες (βλέπε παρακάτω), γράφεται ως γινόενο Βessel συναρτήσεων πρώτης τάξης και συνηιτόνου cosφ (J 1 (λρ)cosφ :προκύπτει από την ερική παράγωγο δj (λρ)/δx ). Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 8

29 Αναλυτικά σε κάθε περιοχή οι συνιστώσες του αγνητικού δυναικού γράφονται στην ορφή : α. Περιοχή : z H Αέρας - ιηλεκτρική σταθερά : ε Πρωτεύον δυναικό : z z πρ e (,, ) ( ) Mx ρ φ z δ J λρ λd = λ (.) Επαγώενο δυναικό : επ λ ρφ = λ λρ + Mx (,, z) d J ( ) ( A cosh( z) B sih( z)) επ λ 1 Mz ( ρφ,, z) = dλ cos ϕ J ( λρ ) ( C cosh( z) + D sih( z)) = k A = A B = B C = C D = D λ, ( λ), ( λ), ( λ), ( λ) (.3) Το συνολικό δυναικό είναι : M = ( Mx,, Mz ) πρ επ ( ρφ,, ) Mx z = Mx + Mx = λ z λ = δ dλ J λρ e + dλ J λρ A z + B z ( ) ( ) ( cosh( ) sih( )) (.4) Mz Mz επ = (.5) β. Περιοχή 1 : Η z Ιονόσφαιρα - ιηλεκτρική σταθερά : ε 1 Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 9

30 Το συνολικό δυναικό είναι : M1 = ( Mx1,, Mz1 ) λ Mx ( ρφ,, z) = dλ J ( λρ) A e z λ Mz ( ρφ,, z) = dλ cos ϕ J ( λρ) C e = k1, k1 = k 1, A1= A1( ), C1 = C1 λ ε λ 1 z 1 ( λ) (.6) γ. Περιοχή : -L z Λιθόσφαιρα - ιηλεκτρική σταθερά : ε Το συνολικό δυναικό είναι : M = ( Mx,, Mz ) λ Mx ( ρφ,, z) = dλ J ( λρ ) ( A cosh( z) + B sih( z)) λ Mz ( ρφ,, z) = dλ cos ϕ J ( λρ ) ( C cosh( z) + D sih( z)) 1 = λ k, k = k ε, A = A ( λ), B = B ( λ), C = C ( λ), D = D ( λ) (.7) γ. Περιοχή 3 : - z -L Μανδύας - ιηλεκτρική σταθερά : ε 3 Το συνολικό δυναικό είναι : M 3 = ( Mx3,, Mz3 ) Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 3

31 λ Mx ( ρφ,, z) = dλ J ( λρ) A e z λ Mz ( ρφ,, z) = dλ cos ϕ J ( λρ) C e = k3, k3 = k 3, A3 = A3( ), C3 = C3 λ ε λ 3 z 3 ( λ) (.8).3 Μελέτη των οριακών συνθηκών Παρατηρείται ότι σε κάθε περιοχή i (i =,1,,3) το διανυσατικό αγνητικό δυναικό M i δίνεται από την σχέση : M i = ( Mxi,, Mz i ). H ένταση του ηλεκτρικού και αγνητικού πεδίου Ε και Η εκφράζονται από το αγνητικό δυναικό σύφωνα ε τις σχέσεις : k i Ei = j M ˆ i ω εi H k M i = ( i + ) i (.9) 7 όπου: ˆ = 4π 1 H / m : η αγνητική διαπερατότητα του ελευθέρου χώρου (την συβολίζουε ε το καπελάκι για να ην υπάρχει σύγχυση εταξύ αυτής και του κυαταριθού =( λ -k ) 1/ του αέρα ) και ω : η κυκλική συχνότητα της διέγερσης (έχοντας θεωρήσει χρονική εξάρτηση της ορφής exp(-jωt) ). Οπότε, τα αντίστοιχα ηλεκτροαγνητικά πεδία που αναπτύσσονται σε κάθε περιοχή i (i =,1,,3) έχουν τις καρτεσιανές συνιστώσες : Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 31

32 Mxi Mzi Exi = jω, Hxi = ki Mxi + + y x i i i i, i Mx Mz Mx Mz Eyi = jω ( ) Hy = + z x x y z y Mxi Mz x z Mxi Mz Ezi = jω, Hzi = ki Mzi + + y x z z i i (.1) Οι οριακές συνθήκες, που επιτρέπουν τον υπολογισό των αγνώστων συντελεστών σε κάθε περιοχή, προκύπτουν από την συνέχεια των εφαπτοενικών πεδίων Εx, Ey, Hx και Hy στις διαχωριστικές επιφάνειες z =, z = H και z = -L. Ex Eyi Οπότε πρέπει να ισχύει: Hx i Hy i i = Ex = Ey = Hx = Hy i+ 1 i+ 1 i+ 1 i+ 1 για i ={,1,} στις επιφάνειες z ={ -L,, H} Aντικαθιστώντας τα πεδία από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει : Mz Mz Ex = Ex = Mz = Mz i y y i i+ 1 i i+ 1 i + 1 (.11) Mx Mz Mx Mz Eyi = Eyi+ 1 = z x z x Mxi Mxi+ 1 aπ ό (.11) = z z i i+ 1 i+ 1 i+ 1 (.1) Hy Hx i i = Hyi x z x z = Hx i+ 1 Mxi Mzi Mxi+ 1 Mz i + 1 = (.13) Mxi Mzi Mxi+ 1 Mzi+ 1 i i + + i+ 1 i k Mx = k Mx x xz x xz Mxi Mzi Mxi+ 1 Mzi+ 1 ki Mxi + ( + ) = ki+ 1Mxi+ 1 + ( + ) x x z x x z i i i+ 1 i+ 1 απ ό (.13) k Mx = k Mx (.14) Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 3

33 Oπότε τελικά προκύπτουν οι τέσσερις παρακάτω οριακές συνθήκες που αφορούν το και εφαρόζονται σε κάθε διαχωριστική αγνητικό δυναικό M = ( Mx,, Mz i επιφάνεια (z =, z= H,z = -L) : i i ) Mz i = Mz i+ 1 Mxi Mxi+ 1 = z z Mx Mz Mx Mz + = + x z x z i i i+ 1 i+ 1 i i = i+ 1 i+ 1 k Mx k Mx (.11) (.1) (.13) (.14) (.15).4 Εφαρογή των οριακών συνθηκών και εξαγωγή των πεδίων Aντικαθιστώντας τις συνιστώσες του αγνητικου δυναικού κάθε περιοχής ε τις παραπάνω αναλυτικές εκφράσεις (σχέσεις.4-.8) και εφαρόζοντας τις οριακές συνθήκες (σχέση.15) προκύπτουν οι άγνωστοι συντελεστές. Αναλυτικότερα, οι οριακές συνθήκες δίνουν : ΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ : Για z = - L : 3 3L α. Mz = Mz3 C3 = e [ Ccosh( L) Dsih( L )] (.16) δ Mx β. δz 3 δ Mx 3L = A3 = e [ Asih( L) + Bcosh( L)] (.17) δz ε3 3L ε γ. kmx = kmx 3 3 A3 = e [ Acosh( L) Bsih( L)] (.18) 3 Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 33

34 δ Mx δmz δmx3 δmz3 δ. + = + δx δz δx δz 1 [ A cosh( L ) + B sih( L )] Csih( L) + Dcosh( L) = L 3 e = + 3 Για z = : L A e C α. Mz = Mz C δ Mx β. δz C (.19) = (.) δ Mx = B + δ = B (.1) δz γ. kmx = kmx A = ( A + δ ) (.) ε δ Mx δmz δmx δmz 1 1 δ. + = + ( A + δ ) + D = A + D δx δz δx δz Για z = H : α. Mz1 = Mz δ Mx β. δz 1 H 1 1 (.3) 1 e 1 C = [ C cosh( H ) + D sih( H )] (.4) δ Mx 1H = Ae 1 = [ Asih( H) + Bcosh( H)] δ e δz 1 1 γ. kmx= kmx H 1 1H e Ae [ A cosh( H ) B sih( H )] δ H (.5) ε1 1 = + + (.6) 1 δ Mx1 δmz1 δmx δmz δ. + = + δx δz δx δz 1 [ cosh( ) sih( ) H A H + B H + δe ] + C sih( H) + Dcosh( H) = H 1 e = 1 H A e C (.7) Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 34

35 Aπό τις οριακές συνθήκες προκύπτει ένα η οογενές σύστηα 1 εξισώσεων ε 1 αγνώστους : Α, Β, C, D, Α 1, C 1, Α, B, C, D, Α, B, C 3. Μελετώντας τις εξισώσεις παρατηρείται οτί τα 6 εγέθη Α, Β, Α 1, Α, B, Α 3 επλέκονται στις εξισώσεις (.17),(.18),(.1),(.),(.5),(.6) δηιουργώντας ένα αυτόνοο η οογενές σύστηα 6x6, το οποίο προκύπτει από τις οριακές συνθήκες που αφορούν αποκλειστικά το πεδίο στον άξονα x : Mx, Mx 1, Mx, Mx 3. Αρχικά, επιλύεται το η οογενές σύστηα 6x6 καταλήγοντας τελικώς ετά από σειρά πράξεων στις εξής αναλυτικές εκφράσεις για τους άγνωστους πεδιακούς συντελεστές Α, Β, Α 1, Α, B, Α 3 : A H ε ε3 ( ε 1 1) ( tah( L) ) H 3 e + + cosh( ) = δ { ε ε ( tah( L) + ) ( + ε tah( H)) ε ε3 ε ε3 + ( 1tah( H) + ε 1) [( tah( L) + ) ( + tah( L))] 3 ε 3 } ε ε + H + + ah( L)) 3 ( 1tah( ) ε1) ( t ε 3 (.8) Χρησιοποιώντας την σχέση : ε ε3 + tah( L) 3 Γ=, ε ε ε tah( L) H e = 1 tah( H ), θέτοντας ώς : cosh( H ) 1+ ε 1tah( H ) Ζ= και εκτελώντας 1tah( H ) + ε1 ερικές πράξεις,ο συντελεστής Α δίνεται από την εξής απλή σχέση : Α = ( 1) δ = ( 1) δ Ζ+Γ (.9), όπου : = Ζ +Γ (.3) Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 35

36 Οι υπόλοιποι συντελεστές βρίσκονται και εκφράζονται ε την βοήθεια των συβολικών παραστάσεων, Ζ και Γ για λόγους συντοίας : Περιοχή Αέρας : A = ( 1) δ (.31), Β = ( Γ 1) δ (.3) Περιοχή 1 - Ιονόσφαιρα : 1H 1 e Α 1 = 1tah( H) + ε 1 cosh( H) δ (.33) Περιοχή - Λιθόσφαιρα : Α = δ (.34), δ ε Β = Γ (.35) Περιοχή 3 - Μανδύας : L e Α 3 = δ ε ε tah( L) + cosh( L) 3 3 (.36) Παρατηρώντας τις εκφράσεις Ζ και Γ, συπεραίνεται ότι ο εν πρώτος όρος Ζ οφείλεται στην επίδραση της Ιονόσφαιρας ενώ ο δε όρος Γ οφείλεται στην ύπαρξη του στρώατος της Λιθόσφαιρας. Στην συνέχεια υπολογίζονται οι υπόλοιποι 6 συντελεστές C, D, C 1, C, D,C 3 που αναφέρονται στα εγκάρσια στην γή αγνητικά δυναικά Μz, Μz 1, Μz, Μz 3 : Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 36

37 C δ ( tah( H ) + ) 1 = { M ε ε3 3 ( tah( L) + ) 3 ε 1 ε ε3 [(1 ) (1 tah ( )) + ( 1) ( tah( ) + 1) ( tah( L) + )] + ε ε 3 3 L 3 L 3 ( ε 1 1) (1 tah ( H)) ( tah( L) + 1) + } tah( H ) + ε 1 1 (.37) 3 Χρησιοποιώντας ως σύβολα τους κεφαλαίους ελληνικούς χαρακτήρες Π, Ψ, Χ, Ξ, απλοποιείται η ορφή των σχέσεων που δίνουν τους άγνωστους συντελεστές : όπου : C δ Π+Ξ = (.38) Ψ +Χ ε 3 L ε ε3 tah( L) + 1 tah( L) tah ( ) 1 1 Π= {(1 ) + ( 1)} ε ε H ( 1 1) 1 H 1 (.39) 1 tah ( ) 1 Ξ= ε (.4) tah( ) + tah( H) + ε tah( L) 1+ tah( H ) Ψ=, Χ= 1tah( H ) + 3 tah( L) + 1 (.41) Από τις αναλυτικές αυτές εκφράσεις φαίνεται καθαρά η αντιστοιχία στην ορφή των των αναλυτικών εκφράσεων των εγεθών Μx και Mz. Οι παραστάσεις Ψ και Χ βρίσκονται σε πλήρη αντιστοιχία ε τις παραστάσεις Ζ και Γ, καθώς διαφέρουν όνο στην παρουσία των σχετικών διηλεκτρικών σταθερών ε 1, ε και ε 3.Επίσης, οι εκφράσεις του αριθητή Ξ και Π προέρχονται από την επίδραση Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 37

38 της Ιονόσφαιρας και της Λιθόσφαιρας αντίστοιχα.οπότε παρατηρείται ένας σαφής διαχωρισός των όρων που οφείλονται στην επίδραση κάθε περιοχής. Οι υπόλοιποι συντελεστές υπολογίζονται και δίνονται από τις παρακάτω αναλυτικές σχέσεις και εκφράζονται ε την βοήθεια των παραστάσεων Π, Ψ, Χ,Ξ : Περιοχή Αέρας : C Περιοχή 1 - Ιονόσφαιρα : δ Π+Ξ =, D δ Ξ Χ Π Ψ = Ψ+Χ Ψ+Χ (.4) C 1H δ 1 e cosh( H) (1 tah ( H)) 1 = Π +Ξ +Χ Ψ+Χ 1tah( H ) + Περιοχή - Λιθόσφαιρα : [ (1 tah( H))] (.43) C δ Π+Ξ = C = (.44) Ψ +Χ δ 1 δ Ξ Χ Π Ψ 1 D = D + ( 1) = [ + 1] ε Ψ+Χ ε (.45) Περιοχή 3 Μανδύας : C 3 L 3 3 e δ cosh( L) = Ψ+Χ 1 tah ( L) 1 L 3 tah( L) + 1 Π [ ( +Ψ tah( )) +Ξ ( 1) ( Ψ+Χ) tah( L)] ε (.46) Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 38

39 Παρατηρείται από τις παραπάνω αρκετά πολύπλοκες εκφράσεις για τους συντελεστές C 1 και C 3, η αντιστοιχία που υπάρχει στα πεδία έσα στην Ιονόσφαιρα και τον Μανδύα της γης. Συνεπώς, τα αγνητικά δυναικά γνωστά και δίνονται από τις αναλυτικές εκφράσεις : M i σε κάθε περιοχή i (i=,1,,3) είναι πλέον Περιοχή - Αέρας : J ( ) Mx (,, z) d λ λρ ρφ = δ λ {cosh( z) Ζ sih( z)} (.47) Ζ+Γ λ J1( λρ) Π+Ξ ΞΧ ΠΨ ρφ = δ λ φ + ( Ζ+Γ) Ψ+Χ Ψ+Χ Mz (,, z) d cos { cosh( z) sih( z)} Περιοχή 1 - Ιονόσφαιρα : (.48) 1 ( z H λ J ) ( λρ) e ρφ = δ λ 1 H + ε 1 Ζ+Γ H Mx1(,, z) d (.49) tah( ) cosh( ) λ J1( λρ ) cosh( H) 1( z H) Mz1( ρφ,, z) = δ dλ cosφ e ( Ζ+Γ) Ψ+Χ Περιοχή - Λιθόσφαιρα : (1 tah ( H )) [ Π +Ξ (1+Χ tah( H ))] tah( H ) + 1 (.5) J ( ) Mx (,, z) d λ λρ ρφ = δ λ {cosh( z) +Ω sih( z)} (.51) ε Ζ+Γ λ J1( λρ) = ( Ζ+Γ) Mz ( ρφ,, z) δ dλ cosφ ( Π+Ξ) Ξ Χ Π Ψ { cosh( z) ( 1) sih( z)} ( Ψ+Χ) Ψ+Χ ε (.5) Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 39

40 Περιοχή 3 Μανδύας : 3 ( z+ L ) λ J( λρ) e Mx3( ρφ,, z) = δ dλ ε ε ( tah( L) + ) Ζ+Γ cosh( L) λ J1( λρ ) cosh( L) 3( z+ L) Mz3( ρφ,, z) = δ dλ cosφ e ( Ζ+Γ) Ψ+Χ 1 tah ( L) 1 L 3 tah( L) + 1 (.53) Π [ ( +Ψ tah( )) +Ξ ( 1) ( Ψ+Χ) tah( L)] ε (.54) Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 4

41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Προσδιορισός των Η/Μ πεδίων Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 41

42 Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 4

43 3.1 Πρόλογος Στο κεφάλαιο αυτό επιχειρείται ο υπολογισός των ολοκληρωατικών σχέσεων που παρέχουν τα ηλεκτροαγνητικά πεδία σε κάθε περιοχή. Αρχικά,η πραγατική ολοκλήρωση της εταβλητής λ ανάγεται σε ολοκλήρωση στο ιγαδικό επίπεδο.στην συνέχεια, βρίσκονται οι πόλοι και τα σηεία συνέχειας των ολοκληρωτέων συναρτήσεων, υπολογίζονται τα ολοκληρωτικά υπόλοιπα και χειρίζονται ε κατάλληλο τρόπο οι βροχοτοές.τέλος, κάνοντας ορισένες προσεγγίσεις και υπολογίζοντας τις ερικές παραγώγους που επλέκονται στον υπολογισό των πεδίων, προσδιορίζονται έτσι τα ζητούενα ηλεκτροαγνητικά εγέθη. 3. Χειρισός των ολοκληρωάτων Ο αναλυτικός υπολογισός των παραπάνω ολοκληρωάτων για την εύρεση των εκφράσεων του αγνητικού δυναικού και στην συνέχεια, του παραγόενου ηλεκτροαγνητικού πεδίου στον χώρο είναι πολύ δύσκολος καθώς περιλαβάνει περίπλοκες αθηατικές εκφράσεις των οποίων ο χειρισός είναι εξαιρετικά δυσχερής.επιπλέον, η εφαρογή αριθητικής ολοκλήρωσης χρησιοποιώντας συγκεκριένες τιές για τις εταβλητές ( ρ, φ, z ), είναι χρήσιη όνο για τον υπολογισό του δυναικού σε συγκεκριένα σηεία του χώρου. Αντίθετα, χρησιοποιώντας την γνωστή σχέση που συνδέει τις συναρτήσεις Bessel ε τις αντίστοιχες Hakel πρώτου και δεύτερου είδους (βλέπε Παράρτηα), η ολοκλήρωση της πραγατικής εταβλητής λ ανάγεται σε ιγαδική ολοκλήρωση.ισχύουν οι σχέσεις : 1 (1) () J( x) = ( H ( x) + H ( x)) (3.1) (1) = + H ( x) J ( x) j Y ( x) () = H ( x) J ( x) j Y ( x) (3.) Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 43

44 Εφαροζόντας τις παραπάνω σχέσεις για τις συνάρτησεις Bessel ηδενικής (=) και πρώτης (=1) τάξης και θέτοντας όπου x =λρ, στις ολοκληρωατικές σχέσεις που εκφράζουν τις συνιστώσες του αγνητικού δυναικού (Mx,Mz) σε κάθε περιοχή, είναι δυνατή η ετατροπή των ολοκληρωάτων σε ια πιο προσιτή ορφή. Αναλυτικότερα για κάθε συνιστώσα προκύπτει : Η συνιστώσα x στην περιοχή i,(i=,1,,3) του αγνητικού δυναικού γραφεί ως εξής : M i πορεί να 1 (1) () Mxi = J ( λρ) Fxi( λ) λdλ = ( ( ) ( )) ( ) H λρ + H λρ Fxi λ λdλ = 1 (1) 1 () = H ( λρ) Fxi( λ) λdλ + H ( λρ) Fxi( λ) λdλ (3.3) Αντίστοιχα,η συνιστώσα z στην περιοχή i,(i=,1,,3) του αγνητικού δυναικού M i πορεί να γραφεί ως εξής : 1 (1) () Mzi = J 1( λρ) Fzi( λ) λ dλ = ( 1 ( ) 1 ( )) ( ) H λρ + H λρ Fzi λ λ dλ = 1 (1) 1 () = H 1 ( λρ) Fzi( λ) λ dλ + H 1 ( λρ) Fzi( λ) λ dλ (3.4) Για την ετατροπή του δεύτερου ολοκλήρωατος της Hakel συνάρτησης δεύτερου είδους, και στις δύο περιπτώσεις, γίνεται αλλαγή εταβλητής, θέτοντας όπου λ την εταβλητή -u.οπότε προκύπτει για το διαφορικό dλ= -du και νέα όρια ολοκλήρωσης από έως -. Εξετάζοντας τις αναλυτικές εκφράσεις των συνιστωσών του αγνητικού δυναικού σε κάθε περιοχή, παρατηρείται ότι οι συναρτήσεις F xi (λ) και F zi (λ) είναι άρτιες για κάθε i καθώς είναι συνάρτησεις των εταβλητών i =f(λ ) (i=,1,,3),οπότε : F xi (-u) = F xi (u) και F zi (-u)= F zi (u). Τέλος, εφαρόζεται η παρακάτω γνωστή ιδιότητα των συναρτήσεων Hakel : () jπ jνπ (1) ν H ( z e ) = e Hν ( z) (3.5) Oπότε για τις συναρτήσεις ηδενικής και πρώτης τάξης που επλέκονται στις αναλυτικές εκφράσεις ισχύει : Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 44

45 () (1) v= H ( z) = H () (1) 1 1 v= 1 H ( z) = H ( z) ( z) (3.6) Συνολικά προκύπτει για την συνιστώσα Mx i : () (1) udu = λdλ, u, F ( u) = F ( u), H ( uρ) = H ( uρ ) xi (3.7) οπότε το δεύτερο ολοκλήρωα γράφεται στην ορφή: () () xi H ( λρ) F ( λ) λdλ = H ( uρ) F ( u) udu = (1) (1) ρ xi = H ( u ) F ( u) udu = H ( uρ) F ( u) udu xi xi xi (3.8) Ενώ το συνολικό δυναικό Μx i (i=,1,,3 ) γίνεται : Ενώ για την συνιστώσα Mz i : 1 (1) Mxi H ( λρ) Fxi( λ) λd = λ (3.9) () (1) λ λ zi zi 1 ρ 1 udu= d, u, F( u) = F( u), H ( u ) = H ( uρ) οπότε το δεύτερο ολοκλήρωα γράφεται στην ορφή: () () 1 ( λρ) zi( λ) λ λ = 1 ( ρ) zi( ) H F d H u F u u du = (1) (1) 1 ( ρ) zi( ) 1 ( ρ) zi( ) = H u F u u du = H u F u u du (3.1) (3.11) Ενώ το συνολικό δυναικό Μz i (i=,1,,3 ) γίνεται : 1 (1) Mzi H1 ( λρ) Fzi( λ) λ d = λ (3.1) Συνεπώς,για τον υπολογισό της κάθε συνιστώσας πρέπει να γίνει ο υπολογισός του παραπάνω αντίστοιχου ολοκληρώατος στο ιγαδικό επίπεδο όπου η εταβλητή λ κινείται παράλληλα στον πραγατικό άξονα από το έως (δρόος Γ ).. Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 45

46 3.3 Μιγαδική ολοκλήρωση Λόγω της παρουσίας στις υπόολοκλήρωσην συναρτήσεις των τετραγωνικών ριζών i =(λ -k i ) 1/ οι οποίες δεν είναι ονοσήαντα ορισένες, είναι αναγκαίος ο προσδιορισός κατάληλλων βροχοτοών που εξασφαλίζουν τις αναγκαίες συνθήκες ακτινοβολίας Re[ 1 ]>, Re[ 3 ]> στις περιοχές της Ιονόσφαιρας και του Μανδύα της Γής όπου και έχουε εκθετική εξασθένηση του πεδίου προς τις κατευθύνσεις z και z - αντίστοιχα.η εύρεση των σηείων ασυνέχειας (brach poits) πορεί να γίνει πρακτικά, εξετάζοντας κάθε όρο i ξεχωριστά και παρατηρώντας αν η αλλαγή προσήου από i σε - i αλλάζει την ορφή της υπο ολοκλήρωσην συνάρτησης. Εφαρόζοντας τον παραπάνω πρακτικό κανόνα για τις συναρτήσεις F xi, F zi (i=,1,,3),συπεραίνεται ότι για τους όρους και που αναφέρονται στις περιοχές κυατοδήγησης του πεδίου, Αέρα και Λιθόσφαιρα, οι εταβολές προσήου για κάθε όρο χωριστά, αλληλοαναιρούνται αφήνοντας αναλλοίωτες τις ολοκληρωτέες συναρτήσεις.αντίθετα, για τους όρους 1 και 3 που αναφέρονται στις περιοχές εξασθένησης του πεδίου, Ιονόσφαιρα και Μανδύα, η εταβολή του προσήου τους οδηγεί σε αλλαγή της ορφής της ολοκληρωτέας συνάρτησης και κατά συνέπεια καθίσταται αναγκαίος ο ορισός κατάλληλων βροχοτοών που ξεκινούν από τα σηεία ασυνέχειας ±k 1 και ±k 3 και εκτείνονται έως το άπειρο. Ο δρόος ολοκλήρωσης Γ στο ιγαδικό επίπεδο φαίνεται σχηατικά στο παρακάτω διάγραα, πάνω στο οποίο είναι σηειωένες και οι βροχοτοές που προκύπτουν στα σηεία ασυνέχειας. Για τον υπολογισό του ολοκληρώατος ο δρόος ολοκλήρωσης Γ κλείνεται ε ένα ηικύκλιο Π ε πολύ εγάλη ακτίνα που τείνει στο άπειρο,και χαράσσονται οι δρόοι ολοκλήρωσης Β + 1 και Β - 1,Β + 3 και Β - 3, γύρω από τις βροχοτοές στα σηεία +k 1 και +k 3 αντίστοιχα, που παρεβάλλονται στον δρόο ολοκλήρωσης. Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 46

47 Σχήα 3.1 : Ο δρόος ολοκλήρωσης C στο ιγαδικό επίπεδο λ. Σύφωνα ε το θεελιώδες θεώρηα του Cauchy για ιγαδικές συναρτήσεις, το ολοκλήρωα της συνάρτησης f(z) στον κλειστό δρόο C (=Γ+Π+Β + 1+Β - 1+Β + 3+Β - 3) ισούται ε το άθροισα των ολοκληρωτικών υπολοίπων της συνάρτησης f(z) στους πόλους της z i που περικλείονται από τον δρόο C.Οπότε προκύπτει για το ζητούενο ολοκλήρωα : C f( z) dz = π j Res( f, zi ) C f( z) dz = ( ) f( z) dz i Γ Π Β Β Β Β f ( zdz ) = π j Res( f, z) ( ) f( zdz ) Γ i Π Β Β i Β3 Β3 (3.13) Επειδή ο δρόος Π εκτείνεται στο άπειρο όπου η υπό ολοκλήρωσην συνάρτηση ηδενίζεται ( Η (1) (x) για x ), η συβολή του ολοκληρώατος αυτού είναι ηδενική : f( z) dz = Π Άρα για τον υπολογισό του ζητούενου ολοκληρώατος πάνω στον δρόο Γ, είναι αναγκαίος ο υπολογισός των ολοκληρωτικών υπολοίπων της συνάρτησης f(z) στους Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 47

48 πόλους z i και της συβολής των επικαπύλιων ολοκληρωάτων πάνω στις βροχοτοές Β 1 και Β Εύρεση πόλων Για τον υπολογισό των ολοκληρωτικών υπολοίπων των ολοκληρωτέων συναρτήσεων είναι αναγκαίος ο προσδιορισός των πόλων.παρατηρώντας τις αναλυτικές εκφράσεις,είναι φανερό ότι οι πόλοι των υποολοκλήρωσην συναρτήσεων προκύπτουν από τις ρίζες των παρονοαστών τους : Συνιστώσα x : Z+Γ =. Συνιστώσα z : Z+Γ = και Ψ + Χ =. Είναι αναγκαία λοιπόν, η επίλυση των εξίσωσεων Ζ + Γ = και Ψ + Χ =. Η εξίσωση Ζ+Γ= γράφεται στην ορφή : tah( H ) + tah( H ) + ( + ) Ω= ε ε ε ε ε ε3 + tah( L) 3 όπου Ω= ε ε tah( L) (3.14) Σχεδιάζοντας την συνάρτηση φ(λ) = Ζ(λ)+Γ(λ) για λ R, παρατηρείται ότι για τιές γύρω από το λ k, η φ(λ) προσεγγίζει το ηδέν. Άρα, συπεραίνεται ότι οι ρίζες της εξίσωσης φ(λ)= βρίσκονται στην περιοχή αυτή και άλιστα είναι ιγαδικές, όπως άλλωστε υποδεικνύει και η φυσική αλήθεια του προβλήατος. Θεωρώντας f 1 KHz k 1-5 και Im(ε 1 1/ ), Im(ε 1/ ), Im(ε 1/ )>>1, για λ k πορούν να γίνουν οι εξής προσεγγίσεις : 1 j k ε 1, j k ε, 3 j k ε3 (3.15) Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 48

49 1 tah( ) tah( ) H kh H kh εε ε ε H ε ε (3.16) Οπότε η εξίσωση (3.14) γράφεται : Ω 1 1 k k k H Ω j + tah( H) j = ε ε ε ε 1 Ω kh Ω tah( H) = j k τ, τ = + j ε ε ε ε 1 1 (3.17) Αναλύοντας την υπερβολική εφαπτοένη : πρός e Η : e kτ 1+ j = kτ 1 j H βρίσκεται η εξής προσεγγιστική σχέση : e e tah( H ) = e H H 1, λύνοντας ώς + 1 και λαβάνοντας υπόψην ότι k <<, τ <<, k τ 1+ j (3.18) H Λογαριθίζοντας την ιγαδική αυτή σχέση, λύνεται η εξίσωση : H = πj+ l(1+ jkτ ) πj+ jk τ Ο παράγοντας τ δίνεται από την σχέση : π kτ = j+ j, (3.19) H H τ 1 Ω kh Ω = + j (3.). ε1 ε εε 1 Ο όρος Ω θεωρώντας τις παραπάνω προσεγγίσεις για τους παράγοντες 3,, γράφεται ώς εξής : Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 49

50 ε ε ε 3 ε3 + tah( L) + tah( jk εl) 3 jk jk Ω= ε ε tah( L) + ε ε tah( jk ε L) jk jk Ω 3 1 j ta( k εl) ε ε3 ε ε j ta( k ε L) (3.1) Οπότε οι τελικές ρίζες της εξίσωσης φ(λ) =Ζ+Γ = δίνονται από τις σχέσεις : τ = λ = k 1+ j kh π τ λ = k 1 ( ) + j, =1,,.. kh kh (3.) Για κάθε αριθό προκύπτει ένα ζεύγος ριζών {λ, λ} λόγω της ύπαρξης της τετραγωνικής ρίζας το οποίο βρίσκεται αντιδιαετρικά της αρχής των αξόνων.οι εν θετικές ρίζες λ βρίσκονται στο πρώτο τεταρτηόριο του ιγαδικού επιπέδου καθώς Re[λ]> και Im[λ]>, ενώ οι αντίστοιχες αρνητικές λ στο τέταρτο τεταρτηόριο ε Re[λ]< και Im[λ]<. Ο δρόος ολοκλήρωσης C που έχει επιλεγεί περικλείει τον θετικό φανταστικό άξονα (Im[z]>), οπότε οι ζητούενοι πόλοι z i προκύπτουν από τις θετικές ρίζες λ (z i = = λ). Βεβαίως, ότι ισχύει για τις θετικές ρίζες λ, ισχύει αντίστοιχα και για τις αντιδιαετρικές τους λ. Μελετώντας τις σχέσεις που δίνουν τις ρίζες λ, παρατηρείται ότι ανάλογα ε την τάξη προκύπτουν ρίζες ε εγάλο φανταστικό έρος για π kh > 1 που αντιστοιχούν σε εξασθενούντες ρυθούς και ρίζες ε ικρό φανταστικό έρος για π kh < 1 που αντιστοιχούν σε κυατοδηγούενους ρυθούς. Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 5

51 Ανάλογα ε τις τιές της συχνότητας f και του ύψους Η της Ιονόσφαιρας, ο αριθός Μ των κυατοδηγούενων ρυθών, εταβάλλεται : Μ= N+1, όπου Ν η kh εγαλύτερη τάξη κυατοδηγούενου ρυθού, N = π (ο όρος +1 προκύπτει λόγω της ύπαρξης του πόλου ηδενικής τάξης ). Οι ρίζες (πόλοι) λ που προκύπτουν για κυατοδηγούενους ρυθούς έχουν το χαρακτηριστικό ότι βρίσκονται πολύ κοντά στον πρωτεύοντα κυαταριθό k της αρχικής διέγερσης και έχουν πολύ ικρό φανταστικό έρος.αντίθετα, οι πόλοι των εξασθενούντων ρυθών έχουν πολύ ικρό πραγατικό έρος και βρίσκονται ουσιαστικά πάνω στον φανταστικό άξονα.μάλιστα, όσο αυξάνεται η τάξη τους,αυξάνεται και το φανταστικό τους έρος, ετατοπίζοντας τους προς τα πάνω στον φανταστικό άξονα.στα διαγράατα που ακολουθούν έχει σχεδιασθεί η εταβολή του πραγατικού Re[λ] και του φανταστικού έρους Im[λ] όσο αυξάνεται η τάξη των πόλων.οι τιές των παραέτρων ε i (i=1,,3), k, H και L έχουν ληφθεί ε βάση την αναλυτική ελέτη της κυατοδήγησης που γίνεται παρακάτω για συχνότητα f = 1KHz.Στην συνέχεια εξετάζεται αναλυτικότερα η επίδραση των εγεθών k, H και L στο πραγατικό και φανταστικό έρος των ριζών λ.όλα τα διαγράατα είναι σε λογαριθική κλίακα. Οπότε ελετάται η συπεριφορά των πόλων λ ανάλογα ε : α. την τάξη : Φαίνεται καθαρά από τις γραφικές παραστάσεις: - το εγάλο πραγατικό και το ικρό φανταστικό έρος του κυατοδηγούενου ρυθού =, σε σχέση ε τα αντίστοιχα έρη των εξασθενούντων ρυθών ( 1), - η ελάττωση του πραγατικού έρους ε την αύξηση της τάξης των ρυθών και αύξηση του φανταστικού τους έρους. Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 51

52 ιάγραα 3. : Το πραγατικό έρος των πόλων z, για σε λογαριθική κλίακα. ιάγραα 3.3 : Το φανταστικό έρος των πόλων z, για σε λογαριθική κλίακα. β.την συχνότητα f : Ως αρχική συχνότητα θεωρείται η f =1 KHz, και σχεδιάζονται οι πόλοι για τις πολλαπλάσιες συχνότητες f 1 =3 f =3 KHz και f =6 f =6 KHz.Είναι προφανές ότι η Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 5

53 αύξηση της συχνότητας προκαλεί ετατόπιση αριθού ριζών από τον φανταστικό άξονα, κοντά στον πραγατικό άξονα και οδηγεί σε αύξηση του αριθού Μ των κυατοδηγούενων ρυθών.γενικά,σε όσες ρίζες δεν εταβαίνουν από την εξασθενήση στην κυατοδήγηση, προκαλείται αύξηση του πραγατικού τους έρους ενώ το φανταστικό τους έρος δεν εταβάλλεται ουσιαστικά.από τα διαγράατα παρατηρείται ότι για : f :Μ =1, f 1 : Μ =, f : Μ =3. Πραγατικό έρος πόλων z 1,E-3 Re(z) 1,E-5 1,E-7 f f1 = 3*f f = 6*f 1,E Τάξη ιάγραα 3.4 : Το πραγατικό έρος των πόλων z, για για τρείς διαφορετικές συχνότητες f, f 1, f,( σε λογαριθική κλίακα). Φανταστικό έρος πόλων z 1,E-4 Ιm(z) 1,E-6 f f1 = 3*f f = 6*f 1,E Τάξη ιάγραα 3.5 : Το φανταστικό έρος των πόλων z, για για τρείς διαφορετικές συχνότητες f, f 1, f,( σε λογαριθική κλίακα). Μελέτη ιάδοσης Χαηλών Συχνοτήτων στο Γήινο Περιβάλλον 53