ΒΑΣΕΙΣ GRÖBNER ΚΑΙ ΠΟΛΥΤΟΠΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Αµπαζη Ελενη ΒΑΣΕΙΣ GRÖBNER ΚΑΙ ΠΟΛΥΤΟΠΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Μεταπτυχιακη ιατριβη ΙΩΑΝΝΙΝΑ, 2011

2

3 Η παρούσα µεταπτυχιακή διατριβή εκπονήθηκε στα πλαίσια του Προγράµµατος Μεταπτυχιακών Σπουδών, για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού ιπλώµατος Ειδίκευσης στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (Ανάλυση- Άλγεβρα-Γεωµετρία), που απονέµει το Τµήµα Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Ιωαννίνων, υπό την επίβλεψη του Αναπληρωτή Καθηγητή κ. Απόστολου Θωµά. Τριµελης Επιτροπη Κρισης Θωµά Απόστολος, Αναπληρωτής Καθηγητής του Τµήµατος Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Ιωαννίνων (Επιβλέπων Καθηγητής) Μπεληγιάννης Απόστολος, Αναπληρωτής Καθηγητής του Τµήµατος Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Ιωαννίνων Χαραλάµπους Χαρά, Καθηγήτρια του Τµήµατος Μαθηµατικών του Αριστοτελείου Πανεπιστηµίου Θεσσαλονίκης

4

5 Αφιερώνεται στην Οικογένειά µου και στο Θοδωρή

6

7 Περιεχόµενα Πρόλογος 9 1 Βάσεις Gröbner Βασική ϑεωρία των Βάσεων Gröbner Βασικά ϑεωρήµατα Πολύτοπα Βασική Θεωρία Πολύτοπων Βεντάλια Gröbner ιαδροµή Gröbner Τορικά Ιδεώδη Εισαγωγή Καθολικές Βάσεις Gröbner για Τορικά Ιδεώδη Πολύτοπο Κατάστασης Τορικών Ιδεωδών Πολύτοπο Κατάστασης Αλγόριθµοι Πολύτοπο Κατάστασης Τορικών Ιδεωδών Βιβλιογραφία 111 Ευρετήριο 114

8

9 Πρόλογος Το ενδιαφέρον της παρούσας διατριβής στρέφεται γύρω από τις ϐάσεις Gröbner και το πολύτοπο κατάστασης τορικών ιδεωδών. Το πολύτοπο κατάστασης ενός ιδεώδους γενικεύει την έννοια του πολύτοπου Newton ενός πολυωνύµου. Το πολύτοπο κατάστασης ενός ιδεώδους I είναι ένα κυρτό πολύτοπο που οι κορυφές του ϐρίσκονται σε ένα προς ένα και επί αντιστοιχία µε τα διαφορετικά αρχικά ιδεώδη του I. Στο πρώτο κεφάλαιο της διατριβής παρουσιάζουµε τη ϐασική ϑεωρία των ϐάσεων Gröbner. Το υλικό του πρώτου κεφαλαίου προέρχεται κυρίως από το ϐιβλίο [1] των William W. Adams και Philippe Loustaunau. Θα αναφερθούµε σε διατάξεις όρων στο δακτύλιο των πολυωνύµων K[x 1,...,x n ] µε συντελεστές από κάποιο σώµα K. Θα δώσουµε τους ορισµούς της ϐάσης Gröbner, της ελαχιστικής ϐάσης Gröbner και της ανάγωγης ϐάσης Gröbner, καθώς και µεθόδους υπολογισµού τους. Γι αυτό το λόγο ϑα παρουσιάσουµε τον αλγόριθµο του Buchberger. Θα ολοκληρώσουµε το πρώτο κεφάλαιο διατυπώνοντας και αποδεικνύοντας κάποια ϐασικά ϑεωρήµατα, τα οποία ϑα µας ϕανούν ιδιαίτερα χρήσιµα στα κεφάλαια 2 και 4. Στο δεύτερο κεφάλαιο µελετάµε τα πολύτοπα. Τα ϐιβλία από τα οποία αντλήσαµε το υλικό του κεφαλαίου είναι τα [7], [14], [18], [21], [23] και [27]. Κάνουµε µία εισαγωγή στη ϐασική ϑεωρία των πολύτοπων και παρουσιάζουµε ϑεµελιώδη ϑεωρήµατα αυτής, όπως είναι το ϑεµελιώδες ϑεώρηµα των γραµµικών ανισοτήτων των Farkas, Minkowski, Καραθεοδωρή και Weyl και κάποια πορίσµατα αυτού, ό- πως το ϑεώρηµα των Farkas, Minkowski και Weyl, το ϑεώρηµα του Motzkin και το Λήµµα του Farkas. Στη συνέχεια του δευτέρου κεφαλαίου µελετάµε τη ϐεντάλια Gröbner, η έννοια της οποίας εισήχθηκε από τους Teo Mora και Lorenzo Robbiano στο άρθρο [15] το Κλείνουµε το κεφάλαιο µε τον αλγόριθµο της διαδροµής Gröbner για τη µετατροπή µίας ϐάσης Gröbner σε µία άλλη, αλλάζοντας τη διάταξη όρων. Τον αλγόριθµο εισήγαγαν οι Stéphane Collart, M. Kalkbrener και Daniel Mall στο άρθρο [4] το Παραπέµπουµε στα άρθρα [24] του Quoc Nam Tran (2000) και [9] των Komei Fukuda, Anders N. Jensen, N. Lauritzen και Rekha R. Thomas (2007), για ϐελτιωµένες εκδοχές του αλγορίθµου. Στο τρίτο κεφάλαιο κάνουµε µία σύντοµη εισαγωγή σε µια ιδιαίτερη κατηγορία πολυωνυµικών ιδεωδών, στα τορικά ιδεώδη, µε τα οποία ϑα εργαστούµε και στο τέταρτο κεφάλαιο. Τα ϐιβλία στα οποία ανατρέξαµε είναι τα [14] και [21]. Θα διατυπώσουµε την έννοια της καθολικής ϐάσης Gröbner τορικών ιδεωδών, έννοια που εισήχθηκε από τον V. Weispfenning στο άρθρο [25] (1987) και τον Niels Schwartz στο άρθρο [19] (1988). Θα ορίσουµε τα κυκλώµατα και τα πρωταρχικά διώνυµα και ϑα µελετήσουµε τη σχέση που συνδέει την καθολική ϐάση Gröbner µε το σύνολο των κυκλωµάτων και µε τη ϐάση Graver των πρωταρχικών διωνύµων. Στο τέλος,

10 10 Περιεχόµενα ϑα συνδέσουµε το τρίτο µε το δεύτερο κεφάλαιο. Συγκεκριµένα, ϑα µελετήσουµε τη σχέση που έχει η ϐάση Hilbert ενός κώνου µε τη ϐάση Graver ενός τορικού ιδεώδους. Στο τέταρτο και τελευταίο κεφάλαιο της διατριβής παρουσιάζουµε το πολύτοπο κατάστασης, το οποίο εισήχθηκε από τους David Bayer και Ian Morrison στο άρ- ϑρο [3] το Βιβλία σχετικά µε το ϑέµα είναι τα [14], [21], και [23]. Σκοπός µας είναι να ορίσουµε την έννοια του πολύτοπου κατάστασης τορικών ιδεωδών και να εξετάσουµε πως σχετίζεται µε τη ϐεντάλια Gröbner. Στην αρχή του κεφαλαίου ορίζουµε το πολύτοπο Newton ενός πολυωνύµου. Γενικεύοντας την κατασκευή του πολύτοπου Newton από τα πολυώνυµα στα ιδεώδη, ορίζουµε το πολύτοπο κατάστασης τυχαίου ιδεώδους I του πολυωνυµικού δακτυλίου. Αποδεικνύουµε ότι η ϐεντάλια Gröbner οµογενούς ιδεώδους είναι πολυτοπική. Αποδεικνύουµε, επίσης, ότι στην περίπτωση που το ιδεώδες είναι οµογενές και κύριο, το πολύτοπο Newton ταυτίζεται µε το πολύτοπο κατάστασης του ιδεώδους. Επειτα, παρουσιάζουµε αλγορίθµους για τον υπολογισµό του πολύτοπου κατάστασης, αλλά και για τον τρόπο µε τον οποίο µπορούµε να µεταβούµε από το πολύτοπο κατάστασης ενός ιδεώδους I στην καθολική ϐάση Gröbner του ιδεώδους I και αντίστροφα. Ορίζουµε τον κώνο Gröbner, το ϐαθµό Gröbner και την ίνα Gröbner, οι οποίες είναι ϐασικές έννοιες µε τη ϐοήθεια των οποίων οδηγούµαστε τελικά στο πολύτοπο κατάστασης τορικών ιδεωδών. Κλείνουµε το κεφάλαιο και συνεπώς τη διατριβή, αποδεικνύοντας ότι η ϐεντάλια Gröbner του τορικού ιδεώδους I A είναι η εσωτερική ορθόθετη ϐεντάλια του πολύτοπου κατάστασης του τορικού ιδεώδους I A. Ευχαριστίες Σε αυτό το σηµείο ϑα ήθελα να εκφράσω τις ευχαριστίες µου σε όλους εκείνους που µε ϐοήθησαν στην εκπόνηση της παρούσας µεταπτυχιακής διατριβής. Θα ήθελα να ευχαριστήσω ιδιαιτέρως τον επιβλέπων καθηγητή µου, Αναπλη- ϱωτή Καθηγητή κ. Απόστολο Θωµά, για την καθοδήγησή του κατά τη διάρκεια των µεταπτυχιακών µου σπουδών. Η ϐοήθεια και η στήριξή του ήταν συνεχείς και συνέβαλαν καθοριστικά στην περάτωση της παρούσας διατριβής. Θα ήθελα επίσης να ευχαριστήσω και τα άλλα µέλη της τριµελούς επιτροπής κρίσης της µεταπτυχιακής διατριβής µου, την Καθηγήτρια κα. Χαρά Χαραλάµπους και τον Αναπληρωτή Καθηγητή κ. Απόστολο Μπεληγιάννη, για τις παρατηρήσεις τους οι οποίες συνέβαλαν στη ϐελτιστοποίηση της διατριβής µου. Ευχαριστώ τον υποψήφιο ιδάκτορα του τµήµατος µας Χρήστο Τατάκη για τις χρήσιµες υποδείξεις του. Ευχαριστώ ακόµη τη µεταπτυχιακή ϕοιτήτρια Κωνσταντίνα Παπάζογλου για τη συµπαράσταση και τη ϕιλία της κατά τη διάρκεια του µεταπτυχιακού προγράµατος σπουδών. Ενα µεγάλο ευχαριστώ οφείλω στους γονείς µου, Κατερίνα και Κώστα. Η ϐοή- ϑεια τους υπήρξε πολύτιµη καθόλη τη διάρκεια των σπουδών µου. Τους ευχαριστώ που µε στήριξαν σε κάθε µου επιλογή και µε αυτό τον τρόπο συνέβαλαν στην επίτευξη των στόχων µου. Παράλληλα ευχαριστώ και τους αδερφούς µου, Χάρη και ηµήτρη, για τις συµβουλές και τη συµπαράστασή τους. Τέλος, επιθυµώ να ευχαριστήσω το Θοδωρή για την κατανόηση και τη ξεχωριστή

11 Περιεχόµενα 11 ηθική στήριξή του κάθε στιγµή των σπουδών µου και κυρίως τα τελευταία χρόνια. Ελένη Κ. Αµπαζή Ιωάννινα, Απρίλιος 2011

12

13 Κεφάλαιο 1 Βάσεις Gröbner Η ϑεωρία των ϐάσεων Gröbner για πολυωνυµικούς δακτυλίους αναπτύχθηκε από τον Αυστριακό µαθηµατικό Bruno Buchberger το 1965, ο οποίος τους έδωσε το όνοµα του επιβλέποντα καθηγητή του Wolfgang Gröbner. Μία παρόµοια ιδέα για τους τοπικούς δακτυλίους αναπτύχθηκε από τον Heisuke Hironaka το 1964, ο οποίος τις ονόµασε κανονικές ϐάσεις (standard bases). Οι ϐάσεις Gröbner είναι ένα ιδιαίτερο σύνολο γεννητόρων ενός ιδεώδους I σε έναν πολυωνυµικό δακτύλιο. Μπορούν να ϑεωρηθούν ως γενίκευση του αλγορίθµου του Ευκλείδη για τον υπολογισµό του µέγιστου κοινού διαι- ϱέτη πολλών µεταβλητών και της µεθόδου της απαλοιφής του Gauss για την επίλυση γραµµικών συστη- µάτων. Ο αλγόριθµος του Buchberger είναι η πιο παλιά και η πιο γνωστή µέθοδος για τον υπολογισµό των ϐάσεων Gröbner. Τα περισσότερα αλγεβρικά προγράµµατα υπολογισµών περιέχουν αλγορίθµους για τον υπολογισµό τους. 1.1 Βασική ϑεωρία των Βάσεων Gröbner Σε αυτή την ενότητα ϑα αναφερθούµε σε ϐασικούς ορισµούς και ϐασικά ϑεωρή- µατα της ϑεωρίας των ϐάσεων Gröbner, τα οποία παραθέτουµε χωρίς απόδειξη. Ο αναγνώστης µπορεί να ανατρέξει στο ϐιβλίο [1] των William W. Adams και Philippe Loustaunau για τις αποδείξεις. Θεωρούµε το δακτύλιο πολυωνύµων K[x 1,...,x n ] µε συντελεστές από κάποιο σώµα K. Εστω f(x 1,...,x n ) ένα πολυώνυµο σε n µεταβλητές µε συντελεστές από το σώµαk. Το πολυώνυµοf(x 1,...,x n ) γράφεται ως πεπερασµένο άθροισµα όρων της µορφής ax 1 b 1...x n b n, όπου a K, b i N 0 = {0,1,2,...}, i = 1,...,n. Τα απλούστερα πολυώνυµα στον K[x 1,...,x n ] είναι τα µονώνυµα. Ορισµός Μονώνυµο (monomial)m καλείται ένα πολυώνυµο τουk[x 1,...,x n ] της µορφής M = x 1 a 1...x n a n, όπου a 1,...,a n N 0 και συµβολίζεται µε x a, όπου a = (a 1,...,a n ).

14 14 Βάσεις Gröbner Το σύνολο των µονωνύµων του K[x 1,...,x n ] συµβολίζεται µε T n. ηλαδή, T n = {x 1 a 1...x n a n, όπου x 1 a 1...x n a n µονώνυµο του K[x 1,...,x n ]}. Ο (µεταθετικός) δακτύλιος των πολυωνύµωνk[x 1,...,x n ] είναι έναςk-διανυσµατικός χώρος µε ϐάση το σύνολο T n. Ορισµός Ο ϕυσικός αριθµός a a n καλείται ϐαθµός του µονωνύµου (degree of the monomial) M και συµβολίζεται µε deg(m). Για παράδειγµα, ο ϐαθµός του µονωνύµου x 1 5 x 2 2 x 3 8 είναι deg(x 1 5 x 2 2 x 3 8 ) = = 15. Ορισµός Εστω ένα πολυώνυµο f K[x 1,...,x n ]. Το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης f = 0, V(f) = {(a 1,...,a n ) K n : f(a 1,...,a n ) = 0} K n καλείται ποικιλότητα που ορίζεται από το πολυώνυµο f (variety of f). Γενικά, V(f 1,...,f s ) = {(a 1,...,a n ) K n : f i (a 1,...,a n ) = 0, για κάθε i = 1,...,s}, όπου f i K[x 1,...,x n ],i = 1,...,s, παριστάνει το σύνολο των λύσεων του συστή- µατος {f 1 = 0,...,f s = 0}. Παρατηρούµε ότι s V(f 1,...,f s ) = V(f i ). Για παράδειγµα, η ποικιλότητα V(x 2 + y 2 1,x 3y 2 ) R 2 είναι η τοµή του κύκλου µε εξίσωση x 2 + y 2 = 1 και της παραβολής µε εξίσωση x = 3y 2, δηλαδή είναι δύο σηµεία του R 2. Επιπλέον, για ένα υποσύνολο S του K[x 1,...,x n ] έχουµε V(S) = {(a 1,...,a n ) K n : f(a 1,...,a n ) = 0, για κάθε f S}. i=1 Ορισµός Ενα µη κενό υποσύνολο I του K[x 1,...,x n ] καλείται ιδεώδες (ideal) του K[x 1,...,x n ] αν: Για κάθε f,g I συνεπάγεται ότι f +g I και Για κάθε f I και h K[x 1,...,x n ] συνεπάγεται ότι hf I. Ορισµός Ενα ιδεώδες I του K[x 1,...,x n ] καλείται πεπερασµένα παραγό- µενο (finitely generated) αν υπάρχει υποσύνολο {f 1,...,f s } του I τέτοιο ώστε s I = { u i f i : u i K[x 1,...,x n ],i = 1,...,s}. i=1 Τότε γράφουµε I = f 1,...,f s και το σύνολο {f 1,...,f s } καλείται σύνολο γεννητόρων (generating set) του ιδεώδους I.

15 1.1 Βασική ϑεωρία των Βάσεων Gröbner 15 Θεώρηµα (Θεώρηµα Βάσης του Hilbert 1 ) Κάθε ιδεώδες I του K[x 1,...,x n ] είναι πεπερασµένα παραγόµενο. Για τη συντοµότερη απόδειξη του Θεωρήµατος Βάσης του Hilbert ο αναγνώστης µπορεί να ανατρέξει στο άρθρο του Heidrun Sarges [17]. Επίσης, αποδείξεις υπάρχουν στα ϐιβλία [1], [2], [13] και [16]. Ορισµός Μερική διάταξη (partial order) σε ένα σύνολο S καλείται µία σχέση µε τις εξής ιδιότητες: δεν ισχύει η σχέση a a για οποιοδήποτε a S και αν a 1 a 2,a 2 a 3 τότε a 1 a 3 για οποιαδήποτε a 1,a 2,a 3 S. Ορισµός Μία µερική διάταξη σε ένα σύνολο S καλείται ολική διάταξη (total order) αν για οποιαδήποτε a 1,a 2 S ισχύει ακριβώς µία από τις παρακάτω σχέσεις: είτε a 1 a 2 ή a 1 = a 2 ή a 2 a 1. Ορισµός ιάταξη όρων (term order) στον K[x 1,...,x n ] καλείται µία ολική διάταξη στο T n µε τις εξής ιδιότητες: (i) 1 x a για κάθε µονώνυµο x a T n και x a 1 και (ii) αν x a 1 x a 2 τότε x a x a 1 x a x a 2 για κάθε µονώνυµο x a T n. 1 Ο Γερµανός µαθηµατικός David Hilbert (23 Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 1943) αναγνω- ϱίζεται ως ένας από τους πιο ισχυρούς µαθηµατικούς όλου του κόσµου. Ανακάλυψε και ανέπτυξε πολλές ϑεµελιώδεις ιδέες σε διάφορες περιοχές των µαθηµατικών. Η πρώτη δουλειά του Hilbert στις αναλλοίωτες συναρτήσεις, τον οδήγησε το 1888 στο Θεώρηµα Βάσης του Hilbert (Hilbert s basis theorem). Είκοσι χρόνια νωρίτερα, ο Paul Gordan είχε αποδείξει το Θεώρηµα του πεπερασµένου αριθµού των γεννητόρων για διωνυµικές µορφές, χρησιµοποιώντας πολύπλοκη υπολογιστική προσέγγιση. Οι προσπάθειες που έγιναν να γενικεύσουν τη µέθοδό του σε συναρτήσεις µε περισσότερες από δύο µεταβλητές, απέτυχαν λόγω του τεράστιου ϐαθµού δυσκολίας των υπολογισµών. Ο Hilbert προσπάθησε αρχικά να ακολουθήσει τη µέθοδο του Gordan, αλλά σύντοµα κατάλαβε ότι ήταν απα- ϱαίτητο να ακολουθήσει µία εντελώς διαφορετική πορεία. Ετσι κατάφερε να αποδείξει το Θεώρηµα Βάσης, για οποιοδήποτε αριθµό µεταβλητών, σε αφηρηµένη όµως µορφή. ηλαδή, ενώ έδειχνε την ύπαρξη ενός πεπερασµένου συνόλου γεννητόρων, δεν κατασκεύαζε ένα τέτοιο σύνολο. Η απόδειξη ήταν περισσότερο απόδειξη ύπαρξης παρά κατασκευαστική. Ο Hilbert έστειλε ένα άρθρο µε την απόδειξη του Θεωρήµατος Βάσης στο περιοδικό Mathematische Annalen. Ο Gordan όµως που ήταν ο ειδικός στη ϑεωρία των αναλλοιώτων για το περιοδικό, δεν εκτίµησε την απόδειξη του Hilbert και έστειλε ένα γράµµα στον Klein, γράφοντας χαρακτηριστικά µεταξύ των άλλων, αυτό δεν είναι µαθηµατικά, είναι ϑεολογία. Οταν ο Hilbert έµαθε για το γράµµα, έγραψε και ο ίδιος µε τη σειρά του στον Klein, επισηµαίνοντάς του ότι δεν είναι διατεθειµένος να αλλάξει τίποτα στην απόδειξή του ούτε και να διαγράψει κάτι. Ωστόσο ο Klein αναγνώρισε τη σπουδαιότητα της δουλειάς του Hilbert και τον διαβεβαίωσε ότι το περιοδικό ϑα την εκδόσει χωρίς καµία αλλαγή, όπως και έγινε. Ο Hilbert αργότερα επέκτεινε τη µέθοδό του και κατάφερε µέσω µιας απόδειξης ύπαρξης να εξάγει και την κατασκευή. Το νέο άρθρο το έστειλε ξανά στο Mathematische Annalen. Ο Klein αφού το διάβασε, έγραψε στον Hilbert ότι ήταν η πιο σηµαντική δουλειά στη γενική άλγεβρα που είχε εκδόσει ποτέ το περιοδικό. Επειτα, και αφού η σπουδαιότητα της µεθόδου του Hilbert αναγνωρίστηκε σε παγκόσµιο επίπεδο, ο Gordan αναγνώρισε και ο ίδιος την αξία της.

16 16 Βάσεις Gröbner Στο δακτύλιο των πολυωνύµων K[x 1 ] υπάρχει µία µόνο διάταξη όρων η 1 < x 1 < x 2 1 <... < xn 1 < xn+1 1 <..., αλλά στο δακτύλιο των πολυωνύµων K[x 1,...,x n ] για n > 1 υπάρχουν άπειρες διατάξεις όρων. Στη συνέχεια αναφέρουµε τρεις από αυτές. Ορισµός Η λεξικογραφική διάταξη όρων (lexicographical order) lex στον K[x 1,...,x n ] µε x 1 > x 2 >... > x n ορίζεται ως εξής: Για a = (a 1,...,a n ),b = (b 1,...,b n ) N n, ισχύει x a lex x b αν και µόνο αν η πρώτη µη µηδενική συντεταγµένη του a b είναι ϑετική. Παράδειγµα Στον K[x 1,x 2 ] µε x 1 > x 2 έχουµε: 1 < x 2 < x 2 2 < x3 2 <... < x 1 < x 1 x 2 < x 1 x 2 2 <... < x2 1 <... Ορισµός Η ϐαθµωτή λεξικογραφική διάταξη όρων (degree lexicographical order) deglex στον K[x 1,...,x n ] µε x 1 > x 2 >... > x n ορίζεται ως εξής: Για a = (a 1,...,a n ),b = (b 1,...,b n ) N n, ισχύει x a deglex x b αν και µόνο αν deg(x a ) > deg(x b ) ή deg(x a ) = deg(x b ) και x a lex x b. Παράδειγµα Στον K[x 1,x 2 ] µε x 1 > x 2 έχουµε: 1 < x 2 < x 1 < x 2 2 < x 1 x 2 < x 2 1 < x 3 2 < x 1 x 2 2 < x 2 1x 2 < x 3 1 <... Ορισµός Η αντίστροφη ϐαθµωτή λεξικογραφική διάταξη όρων (degree reverse lexicographical order) degrevlex στον K[x 1,...,x n ] µε x 1 > x 2 >... > x n ορίζεται ως εξής: Για a = (a 1,...,a n ),b = (b 1,...,b n ) N n, ισχύει x a degrevlex x b αν και µόνο αν deg(x a ) > deg(x b ) ή deg(x a ) = deg(x b ) και η τελευταία µη µηδενική συντεταγµένη του a b είναι αρνητική. Εύκολα προκύπτει ότι η ϐαθµωτή λεξικογραφική διάταξη όρων και η αντίστροφη ϐαθµωτή λεξικογραφική διάταξη όρων στον K[x 1,x 2 ] ταυτίζονται. Αυτό δε συµβαίνει όµως και για n 3. Παράδειγµα Στον K[x 1,x 2,x 3 ] µε x 1 > x 2 > x 3 έχουµε: x 2 1 x 2x 3 deglex x 1 x 3 2 ενώ x 1x 3 2 degrevlex x 2 1 x 2x 3. Για κάθε µετάθεση των µεταβλητών x 1,...,x n προκύπτει και µία νέα διάταξη όρων. Εποµένως, το πλήθος των τριών παραπάνω διατάξεων είναι n!, για κάθε µία από αυτές, όσο είναι δηλαδή και το πλήθος των µεταθέσεων των x 1,...,x n. Υπάρχουν πολλών ειδών ϐαθµοί µονωνύµων. Αλλάζοντας το ϐαθµό προκύπτουν άπειρες διατάξεις όρων. Ο ϐαθµός µπορεί να είναι και διάνυσµα, όπως ϑα δούµε παρακάτω. Πρόταση Εστω µονώνυµα x a,x b T n. Αν το x a διαιρεί το x b τότε ισχύει x a x b, σε οποιαδήποτε διάταξη όρων.

17 1.1 Βασική ϑεωρία των Βάσεων Gröbner 17 Ενα ϐασικό συµπέρασµα για τις διατάξεις όρων το οποίο προκύπτει από το Θεώρηµα Βάσης του Hilbert (1.1.6) είναι το ακόλουθο: Θεώρηµα Κάθε διάταξη όρων είναι καλά διατεταγµένη, δηλαδή για κάθε υποσύνολοaτουt n υπάρχει µονώνυµοx a A έτσι ώστε για κάθε µονώνυµοx b A να ισχύει x a x b. Ορισµός Εστω ένα µη µηδενικό πολυώνυµο f K[x 1,...,x n ]. Αυτό γράφεται στη µορφή f = c 1 x a c s x as, όπου x a 1... x as και c i 0, για κάθε i = 1,..., s, ως προς κάποια διάταξη όρων. Τότε (i) Βαθµός του πολυωνύµουf ως προς τη διάταξη όρων καλείται ο µεγαλύτερος εκθέτης του x που εµφανίζεται στο f και συµβολίζεται µε deg(f). ηλαδή, deg(f) = a 1. (ii) Αρχικός όρος (initial form ή leading term) του f ως προς τη διάταξη όρων καλείται ο όρος του f µε το µεγαλύτερο ϐαθµό ως προς αυτή τη διάταξη και συµβολίζεται µε in (f). ηλαδή, in (f) = c 1 x a 1. Παράδειγµα Θεωρούµε το πολυώνυµο f = 2x 2 yz + 3xy 3 2x 3 του K[x,y,z]. Τότε ο αρχικός όρος του f ως προς: τη λεξικογραφική διάταξη όρων µε x > y > z είναι ο in lex (f) = 2x 3 τη ϐαθµωτή λεξικογραφική διάταξη όρων µε x > y > z είναι ο in deglex (f) = 2x 2 yz την αντίστροφη ϐαθµωτή λεξικογραφική διάταξη όρων µε x > y > z είναι ο in degrevlex (f) = 3xy 3. Ορισµός Εστω f,g,h πολυώνυµα του K[x 1,...,x n ], µε g 0. Θα λέµε ότι το f ανάγεται στο h µόδιο g (f reduces to h modulo g) και ϑα το συµβολίζουµε µε αν και µόνο αν: f g h το αρχικό µονώνυµο του g διαιρεί ένα µη µηδενικό όρο X του f και h = f X in (g) g. Παράδειγµα Θεωρούµε το δακτύλιο Q[x, y] εφοδιασµένο µε τη ϐαθµωτή λεξικογραφική διάταξη όρων µε y > x. Εστω τα πολυώνυµα f = y 2 x+4yx 3x 2,g = 2y +x+1,h = 1 2 yx yx 3x2. Παρατηρούµε ότι το αρχικό µονώνυµοy τουg διαιρεί ένα µη µηδενικό όροx = y 2 x του f και h = f y2 x g g. ηλαδή, f h. 2y

18 18 Βάσεις Gröbner Ορισµός Εστω f,h,f 1,...,f s πολυώνυµα του K[x 1,...,x n ], µε f i 0, για κάθε i = 1,...,s και F = {f 1,...,f s }. Θα λέµε ότι το f ανάγεται στο h µόδιο F και ϑα το συµβολίζουµε µε f F + h αν και µόνο αν υπάρχει ακολουθία δεικτών {i 1,...,i t } {1,...,s} και ακολουθία πολυωνύµων {h 1,...,h t 1 } του K[x 1,...,x n ] έτσι ώστε f f i 1 f i2 f i3 f it 1 f it h1 h2... ht 1 h. Παράδειγµα Θεωρούµε το δακτύλιο Q[x, y, z] εφοδιασµένο µε τη λεξικογραφική διάταξη όρων µε x > y > z. Εστω τα πολυώνυµα και f = x 3 y +2x 2 z +3x 2 xy 2 +7,h = 2x 2 z +3x 2 xz +y 2 +7 ένα σύνολο πολυωνύµων. Τότε F = {f 1 = x 3 y,f 2 = xz 1,f 3 = y 2 z} f f 1 h 1 = 2x 2 z +3x 2 xy 2 +y 2 +7 f 3 h. ηλαδή, f F + h. Παρατηρούµε ότι η διαδικασία της αναγωγής ϑα µπορούσε να συνεχιστεί αφού το αρχικό µονώνυµοxz τουf 2 διαιρεί τους όρους2x 2 z και xz τουhκαι το αρχικό µονώνυµο y 2 του f 3 διαιρεί τον όρο y 2 του h. Ορισµός Ενα πολυώνυµο r καλείται ανάγωγο (reduced) ως προς ένα σύνολο µη µηδενικών πολυωνύµων F = {f 1,...,f s } αν r = 0 ή δεν υπάρχει όρος του r, ο οποίος να διαιρείται από κάποιο αρχικό µονώνυµο των f i, για i = 1,...,s. Στο παράδειγµα , το πολυώνυµο h δεν είναι ανάγωγο ως προς το F. Ορισµός Εστωf,r πολυώνυµα τουk[x 1,...,x n ] καιf = {f 1,...,f s } ένα σύνολο µη µηδενικών πολυωνύµων. Αν το f ανάγεται στο r µόδιο F και το r είναι ανάγωγο ως προς το F, τότε το r καλείται υπόλοιπο (remainder) του f µόδιο F και η διαδικασία της αναγωγής καλείται διαίρεση (division). Παράδειγµα Θεωρούµε το δακτύλιο Q[x, y] εφοδιασµένο µε τη ϐαθµωτή λεξικογραφική διάταξη όρων µε y > x. Εστω το πολυώνυµο f = y 2 x x και το σύνολο των πολυωνύµων F = {f 1 = yx y,f 2 = y 2 x}. Εκτελώντας τη διαίρεση του f µε το σύνολο F έχουµε ότι Το 0 είναι το υπόλοιπο του f µόδιο F. f f 1 h 1 = y 2 x f 2 r = 0. Οι ϐάσεις Gröbner που ϑα ορίσουµε στη συνέχεια, γενικεύουν τη διαίρεση των πολυωνύµων σε µία µεταβλητή. Από την πλευρά της γραµµικής άλγεβρας, γενικεύουν τη διαδικασία µετατροπής ενός πίνακα σε κλιµακωτή µορφή. Ο όρος βάση χρησιµοποιείται µε την έννοια του συνόλου γεννητόρων ενός ιδεώδους I του πολυωνυµικού δακτυλίου K[x 1,...,x n ].

19 1.1 Βασική ϑεωρία των Βάσεων Gröbner 19 Ορισµός Ενα σύνολο µη µηδενικών πολυωνύµων G = {g 1,...,g t } που περιέχεται σε ένα ιδεώδες I, καλείται ϐάση Gröbner (Gröbner basis) του I αν και µόνο αν για κάθε µη µηδενικό πολυώνυµο f I υπάρχει i {1,..., t} έτσι ώστε το αρχικό µονώνυµο του g i να διαιρεί το αρχικό µονώνυµο του f. Η ύπαρξη των ϐάσεων Gröbner, έπεται από το Θεώρηµα Βάσης του Hilbert (1.1.6), αφού αυτό συνεπάγεται ότι µπορούµε να ϐρούµε ένα πεπερασµένο σύνολο γεννητόρων για το αρχικό ιδεώδες του I, το οποίο και ορίζουµε στη συνέχεια. Ορισµός Εστω S K[x 1,...,x n ]. Το ιδεώδες In (S) = in (s) : s S καλείται αρχικό ιδεώδες (initial ideal) του S, ως προς τη διάταξη όρων. Κάθε αρχικός όρος ενός πολυωνύµου του K[x 1,...,x n ] είναι γινόµενο ενός µη µηδενικού στοιχείου του σώµατος K (αρχικός συντελεστής) µε ένα µονώνυµο του K[x 1,...,x n ] (αρχικό µονώνυµο). Οι αρχικοί συντελεστές ως µη µηδενικά στοιχεία του σώµατος K, έχουν αντίστροφο και άρα δεν παίζουν ϱόλο στο αρχικό ιδεώδες. Άρα, αυτό παράγεται και από τα αρχικά µονώνυµα. Αν αλλάξει η διάταξη όρων, µπορεί να αλλάξει και το αρχικό ιδεώδες. Ορισµός Τα µονώνυµα M που δεν ανήκουν στο αρχικό ιδεώδες του S In (S) καλούνται κανονικά (standard) µονώνυµα. Τα κανονικά µονώνυµα µπορεί να είναι διαφορετικά, ανάλογα µε τη διάταξη όρων, αλλά πάντα το πλήθος τους ϑα είναι το ίδιο. Ο αναγνώστης µπορεί να ανατρέξει στο ϐιβλίο [1] για την απόδειξη. Θεώρηµα Εστω I ένα µη µηδενικό ιδεώδες του K[x 1,...,x n ] και έστω G = {g 1,...,g t } I ένα σύνολο µη µηδενικών πολυωνύµων. Οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναµες: (i) Το σύνολο G αποτελεί ϐάση Gröbner του ιδεώδους I. (ii) Ενα πολυώνυµο f ανήκει στο ιδεώδες I αν και µόνο αν το f ανάγεται στο 0 µόδιο G. (iii) Το αρχικό ιδεώδες του G ως προς τη διάταξη όρων ισούται µε το αρχικό ιδεώδες του I ως προς την ίδια διάταξη όρων, δηλαδή In (G) = In (I). Πόρισµα Αν το υποσύνολο G = {g 1,...,g t } του ιδεώδους I αποτελεί ϐάση Gröbner του I, τότε I = g 1,...,g t. Πόρισµα Κάθε µη µηδενικό ιδεώδεςi τουk[x 1,...,x n ] έχει ϐάση Gröbner. Ορισµός Ενα υποσύνολο G = {g 1,...,g t } του K[x 1,...,x n ] καλείται ϐάση Gröbner αν και µόνο αν είναι ϐάση Gröbner του ιδεώδους G που γεννάει.

20 20 Βάσεις Gröbner Το υπόλοιπο της διαίρεσης κάθε πολυωνύµου f του K[x 1,...,x n ] µε τη ϐάση Gröbner G καλείται κανονική µορφή (normal form) του f και συµβολίζεται µε N G (f). ηλαδή, f r G = N G (f). Ενας ακόµα χαρακτηρισµός των ϐάσεων Gröbner είναι ο επόµενος. Θεώρηµα Εστω G = {g 1,...,g t } ένα σύνολο µη µηδενικών πολυωνύµων του K[x 1,...,x n ]. Το G είναι ϐάση Gröbner αν και µόνο αν για κάθε πολυώνυµο f του K[x 1,...,x n ] το υπόλοιπο της διαίρεσης του f µε το G είναι µοναδικό. Μέχρι στιγµής έχουµε ασχοληθεί µε την ύπαρξη των ϐάσεων Gröbner, χωρίς όµως να παρουσιάσουµε κάποια µέθοδο υπολογισµού τους. Στη συνέχεια, ϑα ασχοληθούµε µε αυτό. Πρώτα ϑα ορίσουµε τα S-πολυώνυµα τα οποία είναι το κύριο εργαλείο για τον υπολογισµό των ϐάσεων Gröbner. Ορισµός Εστω δύο µη µηδενικά πολυώνυµαf,g τουk[x 1,...,x n ] καιlτο ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αρχικών µονωνύµων των f και g. Το πολυώνυµο S(f,g) = L in (f) f L in (g) g καλείται S-πολυώνυµο (S polynomial) των πολυωνύµων f και g. Τα S-πολυώνυµα ορίζονται µε τέτοιο τρόπο ώστε οι αρχικοί όροι των δύο πολυωνύµων f και g να απαλοίφονται µεταξύ τους. Το πολυώνυµο που µένει έχει ϐαθµό µικρότερο από το ϐαθµό του ελαχίστου κοινού πολλαπλασίου L, των αρχικών πολυωνύµων των f και g. Παράδειγµα Θεωρούµε το δακτύλιο Q[x, y] εφοδιασµένο µε τη ϐαθµωτή λεξικογραφική διάταξη όρων µε y > x. Εστω τα πολυώνυµα f = 2yx y και g = 3y 2 x. Τα αρχικά τους µονώνυµαyx καιy 2 αντίστοιχα, ως προς την παραπάνω διάταξη όρων, έχουν ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο L = y 2 x. Το S-πολυώνυµο των f και g είναι S(f,g) = y2 x 2yx f y2 x 3y 2g = 1 2 y x2. Το ϑεώρηµα που ακολουθεί οφείλεται στον Buchberger και παρουσιάζει µία µέθοδο υπολογισµού µιας ϐάσης Gröbner. Πρόκειται για τη ϐασική ιδέα του αλγορίθµου του Buchberger. Θεώρηµα (Buchberger) Εστω G = {g 1,...,g t } ένα σύνολο µη µηδενικών πολυωνύµων του K[x 1,...,x n ]. Το σύνολο G είναι ϐάση Gröbner του ιδεώδους I = g 1,...,g t αν και µόνο αν S(g i,g j ) G + 0, για κάθε i,j {1,...,t}, µε i j. Παράδειγµα (i) Θεωρούµε το δακτύλιο Q[x, y, z, w] εφοδιασµένο µε τη λεξικογραφική διάταξη όρων µε x > y > z > w. Το σύνολο G = {g 1 = x y 2 w,g 2 = y zw,g 3 = z w 3,g 4 = w 3 w}

21 1.1 Βασική ϑεωρία των Βάσεων Gröbner 21 αποτελεί ϐάση Gröbner του ιδεώδους I = g 1,g 2,g 3,g 4, αφού και τα έξι S-πολυώνυµα που σχηµατίζονται ανάγωνται στο 0 µόδιο G. Για παράδειγµα, S(g 1,g 2 ) = xy x (x y2 w) xy y (y zw) = y3 w +xzw = xzw y 3 w g 1 y 3 w +y 2 zw 2 g 2 y 2 zw 2 y 2 zw 2 = 0. (ii) Θεωρούµε το δακτύλιο Q[x, y] εφοδιασµένο µε τη λεξικογραφική διάταξη όρων µε y > x. Το σύνολο G = {g 1 = xy x,g 2 = y +x 2 } δεν αποτελεί ϐάση Gröbner του ιδεώδους I = g 1,g 2, αφού το µοναδικό S-πολυώνυµο S(g 1,g 2 ) = x 3 x είναι ανάγωγο µόδιο G και διαφορετικό του µηδενός. Ας περάσουµε στον αλγόριθµο του Buchberger: Αλγόριθµος (Αλγόριθµος του Buchberger) Είσοδος: Ενα σύνολο µη µηδενικών πολυωνύµων F = {f 1,...,f s } του πολυωνυ- µικού δακτυλίου K[x 1,...,x n ]. Εξοδος: Η ϐάση Gröbner G = {g 1,...,g t } του ιδεώδους I = f 1,...,f s. Τα ϐήµατα είναι τα εξής: (i) Εστω G = F και G = {{f i,f j } : f i,f j G και f i f j }. (ii) Οσο το σύνολο G είναι µη κενό: (α ) Επιλέγουµε οποιοδήποτε δισύνολο πολυωνύµων {f, g} G. (ϐ ) Τότε G = G {{f,g}}. (γ ) Το S-πολυώνυµο S(f,g) ανάγεται στο h µόδιο G, όπου το πολυώνυµο h είναι ανάγωγο µόδιο G. (iii) Αν το πολυώνυµο h είναι µη µηδενικό, τότε: (α ) G = G {{u,h} : για κάθε u G}. (ϐ ) G = G {h}. Από τον αλγόριθµο έπεται το εξής ϑεώρηµα: Θεώρηµα Εστω ένα σύνολο πολυωνύµων F = {f 1,...,f s } µε f i 0, για κάθε i {1,...,s}. Ο αλγόριθµος του Buchberger (1.1.39) παράγει µία ϐάση Gröbner για το ιδεώδες I = f 1,...,f s. Παράδειγµα Συνεχίζοντας το παράδειγµα (ii), εκτελώντας τον αλγόριθµο του Buchberger ϐρίσκουµε ότι το σύνολο G = {g 1 = xy x,g 2 = y +x 2,g 3 = x 3 x} αποτελεί ϐάση Gröbner του ιδεώδους I = g 1,g 2.

22 22 Βάσεις Gröbner Αν αλλάξουµε τη διάταξη όρων µπορεί να αλλάξει και η ϐάση Gröbner. Επίσης είναι δυνατό, να ϐρούµε και ϐάσεις Gröbner µε διαφορετικό πλήθος στοιχείων. Παράδειγµα Θεωρούµε το δακτύλιο των πολυωνύµων Q[x, y, z] εφοδιασµένο µε τη λεξικογραφική διάταξη όρων µε z > y > x. Το σύνολο G = {g 1 = z +x,g 2 = y x} αποτελεί ϐάση Gröbner του ιδεώδους I = g 1,g 2 ως προς την προηγούµενη διάταξη όρων, αφού S(g 1,g 2 ) = zy z (z+x) zy y (y x) = yx+zx = zx+yx g 1 yx x 2 g 2 x 2 +x 2 = 0. Το σύνολο G δεν αποτελεί όµως ϐάση Gröbner του ιδεώδους I ως προς τη λεξικογραφική διάταξη όρων µε x > y > z, διότι το S-πολυώνυµο S(g 1,g 2 ) δεν ανάγεται στο µηδέν µόδιο G. Πράγµατι, και αν συνεχίσουµε και S(g 1,g 2 ) = x x (x+z) x x ( x+y) = z +y = y +z = g 3 S(g 1,g 3 ) = xy xy (x+z) x y (y +z) = yz xz = xz +yz g 2 yz yz = 0 S(g 2,g 3 ) = xy x ( x+y) xy y (y+z) = y2 xz = xz y 2 g 2 y 2 yz g 3 yz+yz Εποµένως, το σύνολο = 0. G = {g 1 = x+z,g 2 = x+y,g 3 = y +z} αποτελεί ϐάση Gröbner του ιδεώδους I ως προς τη λεξικογραφική διάταξη όρων µε x > y > z. Επιπλέον, η ϐάση Gröbner ενός ιδεώδους δεν είναι µοναδική ούτε ως προς την ίδια διάταξη όρων. Παράδειγµα Θεωρούµε το δακτύλιο των πολυωνύµων Q[x, y] εφοδιασµένο µε τη λεξικογραφική διάταξη όρων µε y > x. Το σύνολο G 1 = {g 1 = y 2 x+yx+x 2,g 2 = y +x,g 3 = y,g 4 = x 2,g 5 = x} αποτελεί ϐάση Gröbner του ιδεώδους I = g 1,g 2,,g 3 ως προς την παραπάνω διάταξη. Οµως και το σύνολο G 2 = {g 1 = y 2 x+yx+x 2,g 2 = y +x,g 3 = y,g 5 = x} αποτελεί ϐάση Gröbner του ιδεώδους I = g 1,g 2,,g 3 ως προς την ίδια διάταξη όρων, διότι οποιοσδήποτε όρος των πολυωνύµων g i διαιρείται από τον αρχικό όρο in lex (g 4 ) = x 2 διαιρείται και από τον αρχικό όρο in lex (g 5 ) = x και G 1 = G 2.

23 1.1 Βασική ϑεωρία των Βάσεων Gröbner 23 Ορισµός Μία ϐάση Gröbner G = {g 1,...,g t } καλείται ελαχιστική (minimal) αν για κάθε i {1,...,t}, ο αρχικός συντελεστής του πολυωνύµου g i είναι µονάδα και για κάθε i,j {1,...,t}, µε i j, το αρχικό µονώνυµο του g i δε διαιρεί το αρχικό µονώνυµο του g j. Παράδειγµα Θεωρούµε το δακτύλιο Q[x, y] εφοδιασµένο µε τη λεξικογρα- ϕική διάταξη όρων µε y > x. Το σύνολο G = {g 1 = y 2 x+yx+x 2,g 2 = y +x,g 3 = y,g 4 = x 2,g 5 = x} είναι ϐάση Gröbner η οποία δεν είναι όµως ελαχιστική, αφού το αρχικό µονώνυµο του g 3 διαιρεί το αρχικό µονώνυµο του g 2. Αντίστοιχη διαδικασία της µετατροπής µιας ϐάσης Gröbner σε ελαχιστική στη γραµµική άλγεβρα, είναι η διαδικασία µετατροπής ενός πίνακα σε κλιµακωτή µορ- ϕή. Αυτή τη διαδικασία παρουσιάζουµε στο ακόλουθο παράδειγµα. Παράδειγµα Θεωρούµε τα πολυώνυµα f 1 = x+y z,f 2 = 2x+3y +2z,f 3 = x+y +z του R[x,y,z]. Θεωρούµε επίσης το ακόλουθο γραµµικό σύστηµα: x+y z = 0 2x+3y +2z = 0 x+y +z = 0. Ο πίνακας του συστήµατος είναι ο Το σύνολοg = {f 1,f 2,f 3 } δεν αποτελεί ϐάση Gröbner του ιδεώδουςi = f 1,f 2,f 3. Εκτελώντας πράξεις µεταξύ των γραµµών του παραπάνω πίνακα, προκύπτει ο κλιµακωτός πίνακας Το σύνολο G = {f 1 = x+y z,f 2 = y +4z,f 3 = z} αποτελεί ελαχιστική ϐάση Gröbner του ιδεώδους I = f 1,f 2,f 3. Το πόρισµα που ακολουθεί παρουσιάζει τον τρόπο µε τον οποίο από µία ϐάση Gröbner µπορούµε να ϐρούµε µία ελαχιστική ϐάση Gröbner.

24 24 Βάσεις Gröbner Πόρισµα Εστω G = {g 1,...,g t } ϐάση Gröbner του ιδεώδους I. Για να ϐρούµε µία ελαχιστική ϐάση Gröbner από τη G, απαλοίφουµε όλα τα g i, i {1,...,t}, για τα οποία υπάρχει j {1,...,t} µε j i, τέτοιο ώστε το αρχικό µονώνυµο του g j να διαιρεί το αρχικό µονώνυµο του g i. Στα g j που αποµένουν διαιρούµε κάθε όρο µε τον αρχικό συντελεστή του g j. Παράδειγµα Συνεχίζοντας το παράδειγµα , από τη ϐάση Gröbner G µπορούµε να ϐρούµε δύο διακεκριµένες ελαχιστικές ϐάσεις Gröbner, τις G 1 = {x,y} και G 2 = {x,y + x}. Παρατηρούµε ότι οι δύο αυτές ϐάσεις έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων και ότι τα πολυώνυµά τους έχουν τους ίδιους αρχικούς όρους x και y. Η επόµενη πρόταση γενικεύει την τελευταία παρατήρηση. Πρόταση Αν G = {g 1,...,g t } και F = {f 1,...,f s } είναι ελαχιστικές ϐάσεις Gröbner ενός ιδεώδους I, τότε s = t και µπορούµε να τις διατάξουµε έτσι ώστε ο αρχικός όρος in (f i ) του πολυωνύµου f i, ως προς τη διάταξη όρων, να ισούται µε τον αρχικό όρο in (g i ) του πολυωνύµου g i, ως προς την ίδια διάταξη όρων, για κάθε i {1,...,t}. Ορισµός Μία ϐάση Gröbner G = {g 1,...,g t } καλείται ανάγωγη (reduced) αν για κάθε i {1,...,t}, ο αρχικός συντελεστής του g i είναι µονάδα και κάθε πολυώνυµο g i είναι ανάγωγο ως προς το σύνολο G g i. Ισοδύναµα, αν δεν υπάρχει µη µηδενικός όρος του g i, ο οποίος να διαιρείται από κάποιο αρχικό µονώνυµο του g j, για κάθε i,j {1,...,t}, µε i j. Παράδειγµα Από τις δύο ελαχιστικές ϐάσεις Gröbner του τελευταίου πα- ϱαδείγµατος, µοναδική ανάγωγη είναι η G 1 = {x,y}. Παρατηρούµε ότι µία ανάγωγη ϐάση Gröbner είναι και ελαχιστική. Στη γραµµική άλγεβρα αντίστοιχη έννοια της ανάγωγης ϐάσης Gröbner είναι οι γραµµές του ισχυρά κλιµακωτού πίνακα. Για παράδειγµα, αν στο παράδειγµα συνεχίσουµε και τις πράξεις µεταξύ των γραµµών του τελευταίου πίνακα, τον µετατρέπουµε στον ισχυρά κλιµακωτό πίνακα Το σύνολο G = {f 1 = x,f 2 = y,f 3 = z} αποτελεί ανάγωγη ϐάση Gröbner του ιδεώδους I = f 1,f 2,f 3. Στο επόµενο πόρισµα παρουσιάζεται η διαδικασία εύρεσης της ανάγωγης ϐάσης Gröbner ενός ιδεώδους I, αν έχουµε σταθεροποιήσει µία διάταξη όρων, ως προς την οποία έχουµε υπολογίσει µία ελαχιστική ϐάση αυτού. Πόρισµα Εστω G = {g 1,...,g t } µία ελαχιστική ϐάση Gröbner του ιδεώδους I. Θεωρούµε την ακόλουθη διαδικασία αναγωγής:

25 1.1 Βασική ϑεωρία των Βάσεων Gröbner 25 g 1 H 1 + h 1, όπου h 1 ανάγωγο µόδιο H 1 = {g 2,...,g t } g 2 H 2 + h 2, όπου h 2 ανάγωγο µόδιο H 2 = {h 1,g 3,...,g t } g 3 H 3 + h 3, όπου h 3 ανάγωγο µόδιο H 3 = {h 1,h 2,g 4,...,g t }. g t H t + h t, όπου h t ανάγωγο µόδιο H t = {h 1,h 2,...,h t 1 }. Τότε το σύνολο H = {h 1,...,h t } αποτελεί ανάγωγη ϐάση Gröbner του ιδεώδους I. Παράδειγµα Θεωρούµε το δακτύλιοz 5 [x,y] εφοδιασµένο µε τη λεξικογρα- ϕική διάταξη όρων µε x > y και έστω το ιδεώδες I = x 2 +y 2 +1,x 2 y +2xy +x. Το σύνολο G = {x 2 +y 2 +1,x 2 y +2xy +x,3xy +4x+y 3 +y,4y 5 +3y 4 +y 2 +y +3} είναι ϐάση Gröbner του ιδεώδους I. Το σύνολο G = {x 2 +y 2 +1,xy +3x+2y 3 +2y,y 5 +2y 4 +4y 2 +4y +2} είναι ελαχιστική ϐάση Gröbner του ιδεώδους I, η οποία είναι και ανάγωγη. Συµπεραίνουµε λοιπόν, ότι υπάρχουν άπειρες σε πλήθος ελαχιστικές αλλά µοναδική ανάγωγη ϐάση Gröbner, ως προς την ίδια διάταξη όρων. Το συµπέρασµα αυτό περιλαµβάνεται στο Θεώρηµα που αναφέρουµε παρακάτω και το οποίο οφείλεται στον Buchberger. Στα ακόλουθα δύο ϑεωρήµατα συνοψίζουµε τα ϐασικότερα συµπεράσµατα της ϑεωρίας των ϐάσεων Gröbner. Θεώρηµα Εστω ένα σύνολο µη µηδενικών πολυωνύµων G = {g 1,...,g t } και I = G το ιδεώδες που γεννάται από αυτό. Οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναµες: (i) Για κάθε πολυώνυµο f I υπάρχει i {1,...,t}, τέτοιο ώστε το αρχικό µονώνυµο του g i να διαιρεί το αρχικό µονώνυµο του f, δηλαδή το σύνολο G είναι ϐάση Gröbner. (ii) In (G) = In (I). (iii) Ενα πολυώνυµο f I αν και µόνο αν f G + 0. (iv) Για κάθε πολυώνυµο f του K[x 1,...,x n ] αν f G + r 1,f G + r 2 και τα r 1,r 2 είναι ανάγωγα µόδιο G, τότε r 1 = r 2. (v) Για κάθε i j,s(g i,g j ) G + 0. Θεώρηµα (Buchberger) Εστω µία διάταξη όρων στο δακτύλιο των πολυωνύµων K[x 1,...,x n ]. Κάθε µη µηδενικό ιδεώδες I έχει ανάγωγη ϐάση Gröbner ως προς αυτή τη διάταξη. Επιπλέον, αυτή η ανάγωγη ϐάση Gröbner του I είναι µοναδική (ως προς τη συγκεκριµένη διάταξη όρων).

26 26 Βάσεις Gröbner Με τη ϐοήθεια των ϐάσεων Gröbner επιλύουµε αλγοριθµικά πληθώρα προβλη- µάτων που σχετίζονται µε ένα ιδεώδεςi του πολυωνυµικού δακτυλίουk[x 1,...,x n ]. Ενδεικτικά αναφέρουµε κάποια από αυτά: πότε ένα πολυώνυµο f ανήκει σε ένα ιδεώδες I, η εύρεση πολυωνύµων u 1,...,u m ώστε ένα πολυώνυµο f του ιδεώδους I = f 1,...,f m να µπορεί να γραφεί ως f = u 1 f u m f m, η εύρεση αντιπροσώπων για τα σύµπλοκα f +I στο δακτύλιο πηλίκο K[x 1,...,x n ]/I, η εύρεση ϐάσης για τον K-διανυσµατικό χώρο K[x 1,...,x n ]/I, η ισότητα δύο ιδεωδών, η εύρεση της τοµής δύο ιδεωδών. 1.2 Βασικά ϑεωρήµατα Στην προηγούµενη ενότητα παρουσιάσαµε τον τρόπο µε τον οποίο δοθέντος ενός ιδεώδους I του πολυωνυµικού δακτυλίου K[x 1,...,x n ] και µίας διάταξης όρων, µπορούµε να υπολογίσουµε µία ϐάση Gröbner του I. Προφανώς αυτή η ϐάση Gröbner εξαρτάται από τη διάταξη όρων που επιλέξαµε, εφόσον αλλάζοντας τη διάταξη, αλλάζουν οι αρχικοί όροι των πολυωνύµων και άρα αλλάζει το αρχικό ιδεώδες του I. Συµπεράναµε λοιπόν, ότι για κάθε διαφορετική διάταξη όρων µπορούµε να ϐρούµε πιθανώς διαφορετικές ϐάσεις Gröbner για το ιδεώδες I. Θα ξεκινήσουµε αυτή την ενότητα διατυπώνοντας και αποδεικνύοντας ένα ϐασικό λήµµα το οποίο χρειαζόµαστε για να αποδείξουµε τα πορίσµατα και την πρόταση που ακολουθούν. Λήµµα Εστω I ιδεώδες του πολυωνυµικού δακτυλίου K[x 1,...,x n ] και In (I) αρχικό ιδεώδες του I, ως προς κάποια διάταξη όρων. Το σύνολο των συµπλόκων των µονωνύµων του K[x 1,...,x n ] που δεν ανήκουν στο In (I), αποτελεί ϐάση για τον K-διανυσµατικό χώρο K[x 1,...,x n ]/I. Απόδειξη. Θεωρούµε ένα ιδεώδεςi του πολυωνυµικού δακτυλίουk[x 1,...,x n ], µε In (I) αντίστοιχο αρχικό ιδεώδες, ως προς κάποια διάταξη όρων. Για τυχαίο M µονώνυµο του πολυωνυµικού δακτυλίου K[x 1,...,x n ], ϑεωρούµε το σύνολο B = {M +I : M In (I)} = {M +I : M κανονικό µονώνυµο}. Ισχυριζόµαστε ότι τοb αποτελεί ϐάση τουk-διανυσµατικού χώρουk[x 1,...,x n ]/I. Θα δείξουµε ότι το σύνολο B έχει τις ακόλουθες δύο ιδιότητες: (i) το B παράγει τον K-διανυσµατικό χώρο K[x 1,...,x n ]/I και (ii) το B είναι γραµµικά ανεξάρτητο. Εχουµε:

27 1.2 Βασικά ϑεωρήµατα 27 (i) Εστω ένα πολυώνυµο f του K[x 1,...,x n ]. Τότε το f +I K[x 1,...,x n ]/I. Εστω G = {g 1,...,g t } ϐάση Gröbner του ιδεώδους I, ως προς τη διάταξη όρων. Το f ανάγεται στην κανονική του µορφή N G (f) µόδιο G. Συνεπώς, έχουµε ότι f N G (f) I και άρα f +I = N G (f)+i, όπου N G (f) ανάγωγο µόδιο G. ηλαδή, η κανονική µορφή του f, N G (f), είναι γραµµικός συνδυασµός µονωνύµων από τα οποία κανένα δε διαιρείται από κάποιο αρχικό µονώνυµο του g i, για κάθε i. Αυτό σηµαίνει ότι δεν ανήκουν στο αρχικό ιδεώδες In (I), είναι δηλαδή κανονικά µονώνυµα. Εποµένως, N G (f) = l 1 M l s M s, όπου M i κανονικά µονώνυµα, για κάθε i = 1,...,s. Τότε, f +I = N G (f)+i = (l 1 M l s M s )+I = l 1 (M 1 +I)+...+l s (M s +I), δηλαδή το f + I γράφεται ως γραµµικός συνδυασµός των συµπλόκων των κανονικών µονωνύµων M 1 + I,...,M s + I. Άρα, το σύνολο B παράγει τον K-διανυσµατικό χώρο K[x 1,...,x n ]/I. (ii) Εστω G = {g 1,...,g t } ϐάση Gröbner του ιδεώδους I, ως προς τη διάταξη όρων και έστω ότι το σύνολο B δεν είναι γραµµικά ανεξάρτητο. Τότε l 1 (M 1 +I)+...+l s (M s +I) = 0+I, µε (l 1,...,l s ) (0,...,0) και ισοδύναµα l 1 M l s M s +I = 0+I, µε (l 1,...,l s ) (0,...,0). Η τελευταία σχέση είναι µία σχέση γραµµικής εξάρτησης µεταξύ στοιχείων του συνόλου B. Τότε l 1 M l s M s I, άρα l 1 M l s M s G + 0, (1) αφούgϐάση Gröbner του ιδεώδουςi, ως προς τη διάταξη όρων. Επιπλέον, είναι ανάγωγο µόδιο G, δηλαδή l 1 M l s M s G + l 1 M l s M s. (2) Από τις σχέσεις (1), (2) και από το Θεώρηµα (iv), έπεται ότι l 1 M l s M s = 0. Συνεπώς, l 1 =... = l s = 0. Οµως υποθέσαµε ότι (l 1,...,l s ) (0,...,0). Ετσι καταλήξαµε σε άτοπο, εποµένως το σύνολο B είναι γραµµικά ανεξάρτητο. Από τα (i) και (ii) προκύπτει ότι το σύνολοb αποτελεί ϐάση για τονk-διανυσµατικό χώρο K[x 1,...,x n ]/I.

28 28 Βάσεις Gröbner Πόρισµα Αν J = In (I) και L = In (I) είναι δύο αρχικά ιδεώδη ενός ιδεώδους I του K[x 1,...,x n ], ως προς δύο διαφορετικές διατάξεις όρων και αντίστοιχα, µε J L, τότε J = L. Απόδειξη. Εστω J = In (I) και L = In (I) δύο αρχικά ιδεώδη ενός ιδεώδους I του K[x 1,...,x n ], ως προς δύο διαφορετικές διατάξεις όρων και αντίστοιχα. Υποθέτουµε ότι J L. Τα L και J είναι µονωνυµικά αρχικά ιδεώδη, εποµένως υπάρχει µονώνυµο x u του K[x 1,...,x n ] τέτοιο ώστε x u L και x u J. Οµως το L είναι αρχικό ιδεώδες του I, ως προς τη διάταξη όρων, οπότε σύµφωνα µε το Λήµµα 1.2.1, το σύνολο των συµπλόκων των µονωνύµων του K[x 1,...,x n ] που δεν ανήκουν στο L αποτελεί ϐάση για τον K-διανυσµατικό χώρο K[x 1,...,x n ]/I. Το µονώνυµο x u K[x 1,...,x n ], οπότε το x u + I K[x 1,...,x n ]/I και έστω ότι το σύνολο {x u 1 + I,...,x ut + I} αποτελεί ϐάση του K[x 1,...,x n ]/I. Το x u + I δεν ανήκει στην παραπάνω ϐάση του K[x 1,...,x n ]/I, αφού x u L και άρα µπορεί να γραφεί ως γραµµικός συνδυασµός των στοιχείων αυτής. Τότε x u +I = (c 1 x u c t x ut )+I, όπου x ui L, για κάθε i = 1,...,t. Από την τελευταία σχέση έπεται ότι και άρα (x u (c 1 x u c t x ut ))+I = 0+I x u (c 1 x u c t x ut ) I. Εστωf = x u (c 1 x u c t x ut ). Από την αρχική υπόθεση, το µονώνυµοx u J. Επίσης, τα µονώνυµα x ui L, για κάθε i = 1,...,t και επειδή το αρχικό ιδεώδες J είναι υποσύνολο του αρχικού ιδεώδους L, έπεται ότι τα µονώνυµα x ui J, για κάθε i = 1,...,t. Συνεπώς, δεν υπάρχει όρος του πολυωνύµου f, ο οποίος να ανήκει στο J, ως προς τη διάταξη όρων. Εποµένως, το ίδιο ισχύει και για τον αρχικό όρο του πολυωνύµουf. Αυτό είναι άτοπο, διότι από τον ορισµό του αρχικού ιδεώδους γνωρίζουµε ότι J = In (I) = in (f) : f I. Άρα, J = L. Στο δακτύλιο των πολυωνύµων υπάρχουν άπειρες διατάξεις όρων για n 2. Ωστόσο, αν σταθεροποιήσουµε ένα ιδεώδες, οι διατάξεις αυτές µπορούν να οµαδοποιηθούν σε κλάσεις ισοδυναµίας οι οποίες είναι πεπερασµένες σε πλήθος, όπου τα στοιχεία της ίδιας κλάσης έχουν το ίδιο αρχικό ιδεώδες. Αυτό µας το εξασφαλίζει το ϑεώρηµα που ακολουθεί. Πρόταση Εστω I ιδεώδες του K[x 1,...,x n ]. Υπάρχει πεπερασµένο πλήθος διαφορετικών αρχικών ιδεωδών του I. Απόδειξη. Εστω ότι κάποιο ιδεώδεςi τουk[x 1,...,x n ] έχει άπειρο πλήθος αρχικών ιδεωδών. Εστω Σ 0 το σύνολο των αρχικών ιδεωδών του I. Το ιδεώδες I είναι µη µηδενικό, αλλιώς ϑα είχε µόνο ένα αρχικό ιδεώδες, το 0, το οποίο αντίκειται στο ότι το σύνολο Σ 0 είναι µη πεπερασµένο. Συνεπώς, ϑα υπάρχει πολυώνυµο f 1 I και f 1 0. Το πολυώνυµο f 1 έχει πεπερασµένο πλήθος όρων και κάθε αρχικό ιδεώδες M του Σ 0 περιέχει κάποιον όρο του f 1. Υπάρχει τουλάχιστον ένα µονώνυµο m 1 f 1, τέτοιο ώστε το σύνολο Σ 1 = {M Σ 0 : m 1 M}

29 1.2 Βασικά ϑεωρήµατα 29 να είναι άπειρο, διαφορετικά το Σ 0 ϑα ήταν πεπερασµένο. Επειδή, λοιπόν, υπάρχουν άπειρα αρχικά ιδεώδη που περιέχουν το ιδεώδες m 1 (όλα τα ιδεώδη του συνόλου Σ 1 ), υπάρχει διάταξη όρων 1, τέτοια ώστε In 1 (I) m 1. Υπάρχει µονώνυµο N 0 m 1 και N 0 In 1 (I). Το N 0 δεν είναι κανονικό µονώνυµο ως προς τη διάταξη όρων 1, οπότε σύµφωνα µε το Λήµµα 1.2.1, το σύµπλοκο του N 0 γράφεται ως γραµµικός συνδυασµός των συµπλόκων των κανονικών µονωνύµων ως προς τη διάταξη όρων 1, έστω αυτά N 1 +I,...,N t +I. ηλαδή, Άρα, υπάρχει πολυώνυµο N 0 +I = (c 1 N c t N t )+I. f 2 = N 0 (c 1 N c t N t ) I,f 2 0 και κανένα µονώνυµο του f 2 δεν ανήκει στο ιδεώδες m 1, αφού N 0 m 1. Το πολυώνυµο f 2 έχει πεπερασµένο πλήθος όρων και κάθε αρχικό ιδεώδες M του Σ 1 περιέχει κάποιον όρο του f 2. Υπάρχει τουλάχιστον ένα µονώνυµο m 2 f 2, τέτοιο ώστε το σύνολο Σ 2 = {M Σ 1 : m 2 M} να είναι άπειρο, διαφορετικά τοσ 1 ϑα ήταν πεπερασµένο. Το µονώνυµοm 2 m 1, συνεπώς m 1 m 1,m 2. Επειδή, υπάρχουν άπειρα αρχικά ιδεώδη (όλα τα ιδεώδη του συνόλου Σ 2 ) που περιέχουν το ιδεώδες m 1,m 2, υπάρχει διάταξη όρων 2, τέτοια ώστε In 2 (I) m 1,m 2. Υπάρχει µονώνυµο K 0 m 1,m 2 και K 0 In 2 (I). Το K 0 δεν είναι κανονικό µονώνυµο ως προς τη διάταξη όρων 2, οπότε σύµφωνα µε το Λήµµα 1.2.1, το σύµπλοκο του K 0 γράφεται ως γραµµικός συνδυασµός των συµπλόκων των κανονικών µονωνύµων ως προς τη διάταξη όρων 2, έστω αυτά K 1 +I,...,K l +I. ηλαδή, Άρα, υπάρχει πολυώνυµο K 0 +I = (d 1 K d l K l )+I. f 3 = K 0 (d 1 K d l K l ) I,f 3 0 και κανένα µονώνυµο τουf 3 δεν ανήκει στο ιδεώδες m 1,m 2, αφούk 0 m 1,m 2. Το πολυώνυµο f 3 έχει πεπερασµένο πλήθος όρων και κάθε αρχικό ιδεώδες M του Σ 2 περιέχει κάποιον όρο του f 3. Υπάρχει τουλάχιστον ένα µονώνυµο m 3 f 3, τέτοιο ώστε το σύνολο Σ 3 = {M Σ 2 : m 3 M} να είναι άπειρο, διαφορετικά το Σ 2 ϑα ήταν πεπερασµένο.

30 30 Βάσεις Gröbner Συνεχίζοντας µε τον ίδιο τρόπο ϐρίσκουµε µία γνησίως αύξουσα ακολουθία ιδεωδών m 1 m 1,m 2... m 1,...,m k m 1,...,m k,m k+1... η οποία δε σταµατάει ποτέ. Οµως ο πολυωνυµικός δακτύλιος K[x 1,...,x n ] είναι δακτύλιος της Noether, δηλαδή κάθε αύξουσα ακολουθία ιδεωδών αυτού, είναι τελικά σταθερή. Εποµένως, υπάρχει N τέτοιο ώστε m 1,...,m N = m 1,...,m N,m N+1 =... Άρα, καταλήξαµε σε άτοπο. Συνεπώς, κάθε ιδεώδες I του K[x 1,...,x n ] έχει πεπε- ϱασµένο πλήθος διαφορετικών αρχικών ιδεωδών. Βγάζουµε λοιπόν το συµπέρασµα ότι για ένα ιδεώδες I του K[x 1,...,x n ] υ- πάρχει πεπερασµένο πλήθος αναγώγων ϐάσεων Gröbner, διότι, όπως είδαµε στην προηγούµενη ενότητα, µία ανάγωγη ϐάση Gröbner εξαρτάται από τη διάταξη όρων, η οποία µε τη σειρά της επηρεάζει το αρχικό ιδεώδες του I. Πόρισµα Εστω I ιδεώδες του K[x 1,...,x n ]. Υπάρχει πεπερασµένο σύνολο γεννητόρων του I το οποίο αποτελεί ϐάση Gröbner του I ως προς οποιαδήποτε διάταξη όρων. Απόδειξη. Αν τα αρχικά ιδεώδη ενός ιδεώδους I ως προς δύο διαφορετικές διατάξεις όρων 1 και 2 ταυτίζονται, τότε ταυτίζονται και οι ανάγωγες ϐάσεις Gröbner του I ως προς αυτές τις διατάξεις. Πράγµατι, έστω In 1 (I) = In 2 (I) = J και x u ελαχιστοτικός γεννήτορας του J. Για κάθε τέτοιο γεννήτορα x u, έπεται, από το Λήµµα 1.2.1, ότι υπάρχει πολυώνυµοp u (x) = x u q(x) I, όπου κάθε µονώνυµο του q(x) δεν ανήκει στο J. Επιπλέον, αυτό είναι µοναδικό, διότι διαφορετικά η διαφορά δύο τέτοιων πολυωνύµων ϑα παρήγαγε ένα πολυώνυµο f I, τέτοιο ώστε in (f) J. Το πολυώνυµοq(x) ισούται µε την κανονική µορφή τουx u ως προς τις διατάξεις όρων 1 και 2. Η ένωση όλων των πολυωνύµωνp u, καθώς τοx u διατρέχει όλους τους ελαχιστοτικούς γεννήτορες του J, είναι η ανάγωγη ϐάση Gröbner του I, ως προς οποιαδήποτε διάταξη όρων, για την οποία ισχύει In (I) = J. Η ένωση των πεπερασµένων σε πλήθος αρχικών ιδεωδών του I των αντίστοιχων αναγώγων ϐάσεων Gröbner, είναι το Ϲητούµενο πεπερασµένο σύνολο γεννητόρων για το ιδεώδες I, το οποίο αποτελεί ϐάση Gröbner του I ως προς οποιαδήποτε διάταξη όρων. Η ένωση όλων των αναγώγων ϐάσεων Gröbner ενός ιδεώδους I, ως προς όλες τις διατάξεις όρων, ονοµάζεται καθολική (universal) ϐάση Gröbner του I. Η κα- ϑολική ϐάση Gröbner είναι ένα πεπερασµένο υποσύνολο του ιδεώδους I, ως προς οποιαδήποτε διάταξη όρων, που είναι ϐάση Gröbner. Από το τελευταίο πόρισµα έ- πεται ότι για ένα ιδεώδες I πάντα υπάρχει µία καθολική ϐάση Gröbner. Αναλυτικά µε αυτό ϑα ασχοληθούµε στο κεφάλαιο 3 της παρούσας διατριβής.

31 Κεφάλαιο 2 Πολύτοπα Η έννοια του πολύτοπου προήλθε από τα πολύγωνα και τα πολύεδρα, τα οποία ήταν γνωστά από τα αρχαία χρόνια. Το 19ο αιώνα, ανακαλύφθηκαν τα πολύτοπα σε µεγαλύτερες διαστάσεις. Το 1882, ο Hoppe χρησιµοποίησε τη λέξη polytop στα γερµανικά για να αναφερθεί στην πιο γενική έννοια των πολύγωνων και των πολύεδρων. Η Alicia Boole Stott εισήγαγε τη λέξη polytope στα αγγλικά. Η συνεισφορά της στη µελέτη πολύτοπων σε χώρους µεγαλύτερης διάστασης είναι αξιοσηµείωτη, παρόλο που η ίδια δεν είχε γνώσεις γραµµικής άλγεβρας ή τριγωνοµετρίας. Το ϐασικό εργαλείο της, ήταν η αναλογία των διαστάσεων. Στις αρχές του 20ου αιώνα, οι χώροι µεγαλύτερης διάστασης και τα πολύτοπα σε µεγαλύτερη διάσταση ενέπνευσαν καλλιτέχνες όπως τον Picasso να δηµιουργήσουν τον κυβισµό. Η έννοια του πολύτοπου γενικεύτηκε πιο πρόσφατα. Ωστόσο, η απαρίθµηση των πολύτοπων, κυρτών και µη κυρτών, σε τέσσερις ή περισσότερες διαστάσεις, παραµένει άλυτο πρόβληµα. Στις µέρες µας, τα πολύτοπα και οι σχετικές µε αυτά έννοιες, ϐρίσκουν εφαρµογές σε τοµείς όπως γραφικά υπολογιστών, ϐελτιστοποίηση, ερευνητικές µηχανές, κοσµολογία και πολλούς άλλους. Επίσης, χρησιµοποιούνται στο γραµµικό προγραµµατισµό. 2.1 Βασική Θεωρία Πολύτοπων Τα κυρτά πολύτοπα είναι ϑεµελιώδη γεωµετρικά αντικείµενα. Η γεωµετρία τους, ως ένα µεγάλο ϐαθµό, ταυτίζεται µε τη γεωµετρία του d-διάστατου πραγµατικού διανυσµατικού χώρου, R d. Σε αυτή την ενότητα, ϑα παρουσιάσουµε ϐασικά στοιχεία της ϑεωρίας των πολύτοπων. Ορισµός Ενα υποσύνολο U του R d καλείται κυρτό (convex) αν ισχύει λv+(1 λ)w U, για κάθε v,w U και 0 λ 1. Άµεσα προκύπτει από τον ορισµό το ακόλουθο λήµµα. Λήµµα Η τοµή µιας συλλογής κυρτών συνόλων είναι κυρτό σύνολο. Ορισµός Ενα στοιχείο v U R d καλείται κυρτός συνδυασµός (convex combination) των v 1,...,v n R d, αν υπάρχουν λ 1,...,λ n R τέτοια ώστε:

32 32 Πολύτοπα (i) v = λ 1 v λ n v n, (ii) λ λ n = 1 και (iii) λ 1 0,...,λ n 0. Αν δεν ισχύει η τελευταία συνθήκη, το v καλείται συνδυασµός (combination) των v 1,...,v n. Παρατήρηση Οι κυρτοί συνδυασµοί είναι ειδικές περιπτώσεις των συνδυασµών. Ορισµός Το σύνολο όλων των κυρτών συνδυασµών των στοιχείων ενός υποσύνολου V του R d, καλείται κυρτή ϑήκη (convex hull) του V και συµβολίζεται µε conv(v). Ειδικά, ορίζεται conv( ) =. Παρατήρηση Εστω V = {v 1,...,v n } υποσύνολο του R d. Η κυρτή ϑήκη conv(v) του V είναι κυρτό σύνολο. Η κυρτή ϑήκη conv(v) του V είναι το µικρότερο κυρτό σύνολο που περιέχει τα σηµεία v 1,...,v n. Η κυρτή ϑήκη conv(v) του V είναι η τοµή όλων των κυρτών συνόλων που περιέχουν τα σηµεία v 1,...,v n. Αυτό έπεται από το Λήµµα Ορισµός Η κυρτή ϑήκη ενός πεπερασµένου πλήθους σηµείων τουr d καλείται πολύτοπο (polytope). Συµβολίζεται µε n n P = conv({v 1,...,v n }) = { λ i v i : λ i 0, λ i = 1}. i=1 Σε χώρο µηδενικής διάστασης, το µόνο πιθανό πολύτοπο είναι το σηµείο. Σε χώρο διάστασης ένα, τα µόνα πολύτοπα είναι σηµεία και ακµές. Μία ακµή είναι ϕραγµένη από δύο σηµεία, τα άκρα της. Σε χώρο διάστασης δύο, δηλαδή στο επίπεδο, τα πολύτοπα είναι σηµεία, ακµές και πολύγωνα. Το απλούστερο πολύγωνο είναι το τρίγωνο. Ενα τρίγωνο είναι ϕραγµένο από τρεις ακµές (τις πλευρές του) και από τρεις κορυφές (τα άκρα των τριών πλευρών του). Σε χώρο διάστασης τρία, τα πολύτοπα είναι σηµεία, ακµές, πολύγωνα και πολύεδρα. Ενα πολύεδρο είναι ϕραγµένο από πολύγωνα, τα πολύγωνα µε τη σειρά τους είναι ϕραγµένα από ακµές και οι ακµές είναι ϕραγµένες από σηµεία. ηλαδή, ένα πολύεδρο ϕράζεται από τις έδρες του (πολύγωνα), τις ακµές του (διαστήµατα) και τις κορυφές του (σηµεία). Κάθε ακµή ενός πολύεδρου είναι η τοµή δύο εδρών του και κάθε κορυφή του είναι η τοµή δύο ακµών του. Με αυτόν τον τρόπο, κά- ϑε ϕραγµένο πολύτοπο διάστασης n 2, είναι η τοµή δύο ϕραγµένων πολύτοπων διάστασης n 1. Ενα πολύγωνο που έχει όλες τις γωνίες και όλες τις πλευρές του ίσες µεταξύ τους, καλείται κανονικό πολύγωνο. Αντίστοιχα, ένα κυρτό πολύεδρο καλείται κανονικό αν και µόνο αν οι έδρες του είναι κυρτά κανονικά πολύγωνα ίσα µεταξύ τους. Υπάρχουν άπειρα σε πλήθος διαφορετικά κανονικά πολύγωνα, αλλά µόνο πέντε κανονικά κυρτά πολύεδρα. Αυτά είναι τα πέντε πλατωνικά στερεά: i=1

33 2.1 Βασική Θεωρία Πολύτοπων 33 (i) το κανονικό τετράεδρο, που έχει τέσσερις κορυφές, τέσσερις έδρες (που είναι ισόπλευρα τρίγωνα) και έξι ακµές, (ii) το κανονικό εξάεδρο ή κύβος, που έχει οκτώ κορυφές, έξι έδρες (που είναι τετράγωνα) και δώδεκα ακµές, (iii) το κανονικό οκτάεδρο, που έχει έξι κορυφές, οκτώ έδρες (που είναι ισόπλευρα τρίγωνα) και δώδεκα ακµές, (iv) το κανονικό δωδεκάεδρο, που έχει είκοσι κορυφές, δώδεκα έδρες (που είναι κανονικά πεντάγωνα) και τριάντα ακµές, (v) το κανονικό εικοσάεδρο, που έχει δώδεκα κορυφές, είκοσι έδρες (που είναι ισόπλευρα τρίγωνα) και τριάντα ακµές. Ορισµός Μη κενή έδρα (face) ενός πολύτοπουp τουr d καλείται ένα σύνολο της µορφής face c (P) = {x P : c x c y, για κάθε y P}, όπου c είναι ένα οποιοδήποτε διάνυσµα του R d. Το ίδιο το πολύτοπο P και το κενό σύνολο είναι τετριµµένες έδρες του πολύτοπου P. Το P αποδεικνύεται ότι είναι έδρα, αν ϑεωρήσουµε c = 0. Το το ϑεωρούµε πάντα έδρα του πολύτοπου (δεν είναι όµως της παραπάνω µορφής). Επίσης, σε οποιαδήποτε διάσταση κάθε πολύτοπο έχει πεπερασµένο το πλήθος έδρες. Ορισµός Θήκη (span) ενός υποσύνολου V του R d καλείται ο υπόχωρος v+h, όπουv V καιh είναι ο διανυσµατικός υπόχωρος τουr d που γεννάται από το σύνολο {w v : w V}. Για παράδειγµα, η ϑήκη δύο σηµείωνpκαιqτουr d είναι η ευθεία που διέρχεται από αυτά. Πιο συγκεκριµένα, η ϑήκη των σηµείων ( 1,1) και (1,1) του R 2, είναι η ευθείαy = 1, η οποία ισούται µε τη ϑήκη του πολύτοπουconv({( 1,1),(1,1)}), αλλά και του πολύτοπου conv({( 1,1),(0,1),(1,1)}). Η ϑήκη του κύβου στον R 3, είναι ο ίδιος ο R 3. Κάθε έδρα ενός κλειστού κυρτού συνόλου K, είναι κλειστό κυρτό σύνολο. Ορισµός ιάσταση µιας έδρας (dimension of a face) F ενός πολύτοπου P καλείται η διάσταση της ϑήκης της F. Σύµβαση: dim( ) = 1. Οι έδρες µηδενικής διάστασης ενός πολύτοπου καλούνται κορυφές (vertices) και οι έδρες διάστασης ένα καλούνται ακµές (edges). Οι έδρες διάστασης k, καλούνται k-έδρες. Οι ακµές έχουν δύο σηµαντικά χαρακτηριστικά: µία ακµή ενώνει ακριβώς δύο κορυφές και µία ακµή είναι η τοµή ακριβώς δύο 2-εδρών.

34 34 Πολύτοπα Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι έδρες διάστασης (d 1) ενός πολύτοπου διάστασης d. Ορισµός Μία έδρα διάστασης(d 1) ενός πολύτοπου διάστασης d καλείται όψη (facet). Ενα υπερεπίπεδο στον R d είναι ένα σύνολο H = {x R d : a 1 x a d x d = b}, όπου a 1,...,a d,b R. Το υπερεπίπεδο H ορίζει τους εξής δύο ηµιχώρους στον R d : και H = {x R d : a 1 x a d x d b} H + = {x R d : a 1 x a d x d b} (ή H + = {x R d : a 1 x 1... a d x d b}). Η τοµή ηµιχώρων είναι της µορφής {x R d : Ax T b T }, όπου b = (b 1,...,b m ) διάνυσµα του R m και A = (a ij ) ένας m d πίνακας. Μία όψη F είναι της µορφής F = {x : c x = b} P, για κάποιο διάνυσµα c R d και κάποιο b R, όπου P είναι ένα πολύτοπο. Το διάνυσµα c = c F καλείται κάθετο στην όψη (facet normal). Ορισµός Το υπερεπίπεδο {x : c x = b} που αντιστοιχεί στην όψη F ενός πολύτοπου, καλείται υποστηρίζον υπερεπίπεδο (defining hyperplane). Η ακόλουθη πρόταση, περιγράφει ένα πολύτοπο και έπεται από τα προηγού- µενα, για c = c F και b = b F. Πρόταση Εστω P ένα πολύτοπο µε c F κάθετα διανύσµατα στις όψεις του, όπου F όψη του P. Τότε P = {x : c F x b F }, F όψη του P όπου b F = max y P {c F y} και F όψη του P. Θεώρηµα Κάθε πολύτοπο έχει πεπερασµένο το πλήθος όψεις, οι οποίες είναι επίσης πολύτοπα. Απόδειξη. Θεωρούµε το πολύτοποp = conv({x 1,...,x d }), όπουx 1,...,x d σηµεία του R n. Εστω F = H P µία όψη του P και H = {x : c x = b} το υποστηρίζον υπερεπίπεδο του P, όπου τα διανύσµατα x,c R n και το b R. Επιπλέον, το πολύτοποp ϐρίσκεται στον ηµιχώροh = {x : c x b} που ορίζει το υπερεπίπεδο

35 2.1 Βασική Θεωρία Πολύτοπων 35 H. Υποθέτουµε ότι τα σηµείαx 1,...,x s ανήκουν στο υπερεπίπεδοh και τα σηµεία x s+1,...,x d ανήκουν στο εσωτερικό του ηµιχώρου H. Τότε και ή ισοδύναµα, η δεύτερη σχέση γράφεται c x i = b, για i = 1,...,s (1) c x i < b, για i = s+1,...,d c x i = b k i, για i = s+1,...,d, όπου k i > 0. (2) Θεωρούµε ένα σηµείο x στην όψη F, άρα και στο πολύτοπο P. Αυτό ϑα γρά- ϕεται ως κυρτός συνδυασµός των σηµείων x 1,...,x d, δηλαδή ως x = λ 1 x λ d x d, µε λ λ d = 1 και λ 1 0,...,λ d 0. (3) Πρέπει c x = b, επειδή το σηµείο x της όψης F ανήκει και στο υπερεπίπεδο H. Εποµένως, d c ( λ i x i ) = b i=1 d λ i c x i = b. i=1 Από τις σχέσεις (1) και (2) έπεται ότι και από τη σχέση (3) Άρα, πρέπει s λ i b+ i=1 d i=s+1 d λ i b i=1 b d i=s+1 d i=s+1 λ i (b k i ) = b d i=s+1 λ i k i = b λ i k i = b. λ i k i = 0. Οµως k i > 0 και λ i 0 για i = s+1,...,d, οπότε από την τελευταία σχέση έπεται ότι λ s+1 =... = λ d = 0. Άρα, από τη σχέση (1) έχουµε ότι x = s λ i x i, όπου i=1 s λ i = 1,λ i 0. i=1

36 36 Πολύτοπα ηλαδή, ένα σηµείοxτης όψηςf είναι κυρτός συνδυασµός των σηµείωνx 1,...,x s και συνεπώς, η όψη F είναι η κυρτή ϑήκη των σηµείων x 1,...,x d. Αυτό σηµαίνει ότι η όψη F είναι πολύτοπο. Επίσης, επειδή υπάρχουν πεπερασµένο το πλήθος κυρτές ϑήκες στοιχείων του συνόλου {x 1,...,x s }, έπεται ότι το πλήθος των όψεων ενός πολύτοπου είναι πεπε- ϱασµένο. Παράδειγµα Θεωρούµε το τετράγωνο conv({(0, 0),(1, 0),(1, 1),(0, 1)}) στον R 2, το οποίο ϕαίνεται στο επόµενο σχήµα. Οι κορυφές του είναι τα σηµεία (0,0), (1,0), (1,1) και (0,1). Οι έδρες του είναι τα διαστήµατα conv({(0,0),(0,1)}), conv({(0,1),(1,1)}), conv({(0,0),(1,0)}) και conv({(1,0),(1,1)}), οι οποίες είναι και οι όψεις του τετραγώνου. Η µοναδική 2-έδρα είναι όλο το τετράγωνο. Σχήµα 2.1. Το τετράγωνο µε κορυφές τα σηµεία (0, 0),(1, 0),(1, 1),(0, 1) (κόκκινο χρώµα) και έδρες τα διαστήµατα conv({(0,0),(0,1)}), conv({(0,1),(1,1)}), conv({(0,0),(1,0)}) και conv({(1,0),(1,1)}) (µπλε χρώµα). Ορισµός Ενα υποσύνολο C του R d καλείται κυρτός κώνος (convex cone) αν ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες: (i) αν v,w C τότε v+w C και (ii) αν v C και λ > 0 τότε λv C. Στη συνέχεια, όποτε αναφερόµαστε σε κώνο, ϑα εννοούµε κυρτό κώνο. Αντίστοιχος µε τον ορισµό της έδρας ενός πολύτοπου, είναι ο ορισµός της έδρας ενός κώνου. Ορισµός Εδρα (face) ενός κώνου C καλείται ένα σύνολο της µορφής face c (C) = {x C : c x c y, για κάθε y C}. Ορισµός Η τοµή ενός πεπερασµένου πλήθους ηµιχώρων της µορφής {x R d : Ax T b T }, όπου b = (b 1,...,b m ) R m και A = (a ij ) ένας m d πίνακας, καλείται πολύεδρο (polyhedron).

37 2.1 Βασική Θεωρία Πολύτοπων 37 Κλασσικά παραδείγµατα πολύεδρων είναι οι κύβοι, τα πρίσµατα, οι πυραµίδες και ο τριγωνικός κόλουρος κώνος. Σχήµα 2.2. Τριγωνικός κόλουρος κώνος. Ορισµός Αν V = {v 1,...,v n } υποσύνολο του R d τότε το σύνολο pos(v) = { i λ i v i : λ i 0,i = 1,...,n} καλείται ϑετική ϑήκη (positive hull) του συνόλου V ή ο κώνος που γεννάται από το V (the cone spanned by V ). Είναι δηλαδή, ο µικρότερος κώνος που περιέχει τα σηµεία v 1,...,v n. Ενας κώνος ο οποίος προκύπτει µε αυτόν τον τρόπο καλείται πεπερασµένα παραγόµενος (finitely generated). Ο κώνος υπεράνω του κύκλου {x 2 + y 2 = 1,z = 1} δεν είναι πεπερασµένα παραγόµενος καθώς έχει άπειρους γεννήτορες, όλα τα διανύσµατα (x 0,y 0, 1), όπου (x 0,y 0 ) είναι σηµείο του κύκλου. Σχήµα 2.3. Κώνος υπεράνω του κύκλου. Ορισµός Ενας κώνος C καλείται πολυεδρικός (polyhedral) αν είναι πεπερασµένη τοµή ηµιχώρων. ηλαδή, αν είναι της µορφής όπου A = (a ij ) ένας m d πίνακας. {x R d : Ax T 0}, Παρατήρηση Αν C = R d, τότε ο πίνακας A είναι ο µηδενικός πίνακας.

38 38 Πολύτοπα Ενα πολύεδρο είναι τοµή πεπερασµένου πλήθους ηµιχώρων. Τα πολύτοπα και οι κώνοι αποτελούν ειδικές περιπτώσεις πολύεδρων. Τα πολύτοπα είναι ϕραγµένα πολύεδρα, ενώ οι κώνοι είναι πολύεδρα των οποίων η αρχή των αξόνων ανήκει σε κάθε υποστηρίζον υπερεπίπεδο. Προφανώς, κάθε πολυεδρικός κώνος είναι πολύεδρο. Προκύπτει ότι για τους κώνους, οι έννοιες του πολυεδρικού και του πεπερασµένα παραγόµενου είναι ισοδύναµες. Οι Farkas (1898, 1902), Minkowski (1896) και Weyl (1935), απέδειξαν ότι ένας κώνος είναι πολυεδρικός αν και µόνο αν είναι πεπερασµένα παραγόµενος. Για την απόδειξη του ϑεωρήµατος αυτού (2.1.23), χρειαζόµαστε το Θεµελιώδες Θεώρηµα των Γραµµικών Ανισοτήτων, το οποίο οφείλεται στους Farkas (1894, 1898), Minkowski (1896), Καραθεοδωρή (1911) και Weyl (1935). Γεωµετρικά, το ϑεώρηµα έχει την εξής ερµηνεία: ένα διάνυσµα είτε ϑα ϐρίσκεται σε ένα δοθέν κυρτό κώνο είτε ϑα υπάρχει υπερεπίπεδο που ϑα αφήνει στη µία µεριά τον κώνο και στην άλλη το διάνυσµα, αλλά δε µπορεί να συµβαίνουν και τα δύο ταυτόχρονα. Θεώρηµα (Θεµελιώδες Θεώρηµα των Γραµµικών Ανισοτήτων) Εστω a 1,...,a m,b διανύσµατα του R n. Τότε: είτε το διάνυσµα b γράφεται ως µη αρνητικός γραµµικός συνδυασµός κάποιων από τα διανύσµατα a 1,...,a m, δηλαδή b = s j=1 λ i j a ij, όπου λ ij 0 και a ij γραµµικώς ανεξάρτητα, για i j {1,...,m} και j = 1,...,s είτε υπάρχει υπερεπίπεδο{x : c x = 0} που περιέχειt 1 γραµµικώς ανεξάρτητα διανύσµατα από ταa 1,...,a m, τέτοιο ώστεc b < 0 καιc a 1,...,c a m 0, όπου t είναι η διάσταση του χώρου a 1,...,a m,b αλλά όχι και τα δύο ταυτόχρονα. Απόδειξη. Αρχικά, ϑα κάνουµε κάποιες παρατηρήσεις. Πρώτον, οι δύο παραπάνω συνθήκες δε µπορούν να ισχύουν ταυτόχρονα. Πράγ- µατι, αν b = s j=1 λ i j a ij, µε λ ij 0 και υπάρχει διάνυσµα c R n τέτοιο ώστε c a i1,...,c a is 0, για i j {1,...,m} και c b < 0, τότε ϑα έχουµε: 0 > c b = c (λ i1 a i λ is a is ) = λ i1 c a i λ is c a is 0, το οποίο είναι άτοπο. εύτερον, χωρίς ϐλάβη της γενικότητας, ισχυριζόµαστε ότι τα διανύσµαταa 1,..., a m παράγουν τον R n. Εστω αντίθετα όχι. ιακρίνουµε τις εξής περιπτώσεις: Το διάνυσµα b να ανήκει στο χώρο που παράγουν τα διανύσµατα a 1,...,a m ο οποίος είναι ισόµορφος µε τον R k, όπου k < n, οπότε περιορίζουµε τις συνθήκες του ϑεωρήµατος στον R k. ιαφορετικά, το διάνυσµα b δεν ανήκει στο χώρο που παράγουν τα διανύσµατα a 1,...,a m. Τότε δε µπορεί να γραφεί ως γραµµικός συνδυασµός κάποιων γραµµικά ανεξάρτητα διανυσµάτων από τα a 1,...,a m, οπότε δεν ισχύει η πρώτη συνθήκη του ϑεωρήµατος. Μένει να δείξουµε ότι σε αυτή την περίπτωση, ισχύει η δεύτερη συνθήκη. Θεωρούµε την ορθογώνια προβολή π του R n

39 2.1 Βασική Θεωρία Πολύτοπων 39 επί του χώρου που παράγουν τα διανύσµατα a 1,...,a m. Εστω c = π(b) b. Τότε το διάνυσµα c είναι κάθετο στο χώρο που παράγουν τα διανύσµατα a 1,...,a m και άρα c a i = 0, για i = 1,...,m, ενώ c b = (π(b) b) b = π(b) b b 2 = π(b) 2 b 2 < 0, όπου π(b) 2 b 2, γιατί διαφορετικά το διάνυσµα b ϑα ανήκει στο χώρο που παράγουν τα διανύσµατα a 1,...,a m, το οποίο αντίκειται στην υπόθεση. Εποµένως, ισχύει η δεύτερη συνθήκη. Άρα, µπορούµε να υποθέσουµε ότι τα διανύσµαταa 1,...,a m παράγουν τονr n. Στη συνέχεια, ϑα δείξουµε ότι τουλάχιστον µία από τις δύο συνθήκες του ϑεω- ϱήµατος ισχύει. Από τα διανύσµατα a 1,...,a m επιλέγουµε γραµµικά ανεξάρτητα διανύσµατα a i1,...,a in. Θέτουµε D 1 = {a i1,...,a in }. Το σύνολο D 1 είναι ϐάση και για τους δείκτες i 1,...,i n ισχύει i 1 <... < i n. Αν το διάνυσµα b γράφεται ως µη αρνητικός γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων της ϐάσης, δηλαδή b = n j=1 λ i j a ij και λ ij 0, τότε ισχύει η πρώτη συνθήκη. ιαφορετικά, σίγουρα κάποιο από τα λ ij ϑα είναι αρνητικό. Επιλέγουµε το µικρότερο δείκτη, έστω h, από τους i 1,...,i s, για τον οποίο ισχύει λ h < 0 και αφαιρούµε από τη ϐάση D 1 το στοιχείο a h. Τότε αποµένουν n 1 διανύσµατα, τα οποία ορίζουν ένα υπερεπίπεδο {x : c x = 0}. Εποµένως, το εσωτερικό γινόµενο c a h είναι διάφορο του µηδενός. Μπορούµε να επιλέξουµε το διάνυσµα c, έτσι ώστε, c a h = 1. Τότε: c b = c (λ i1 a i λ h a h +...+λ is a is ) = λ i1 c a i λ h c a h +...+λ is c a is = λ h c a h = λ h < 0, επειδή το διάνυσµα c είναι κάθετο σε όλα τα υπόλοιπα διανύσµατα της D 1 (εκτός από το a h ), όλα τα υπόλοιπα εσωτερικά γινόµενα ϑα είναι µηδέν. Ανc a 1,...,c a m 0, τότε ισχύει η δεύτερη συνθήκη. ιαφορετικά, επιλέγουµε το µικρότερο δείκτη d, για τον οποίο ισχύει c a d < 0 και ϑέτουµε D 2 = (D 1 {a h }) {a d } = {a i1,...,a d,...,a is }. Το σύνολο D 2 είναι ϐάση, αφού το σύνολο D 1 {a h } είναι γραµµικά ανεξάρτητο και το στοιχείο a d δεν ανήκει στο υπερεπίπεδο {x : c x = 0}. Επαναλαµβάνουµε την ίδια διαδικασία. Θα δείξουµε ότι κάποια στιγµή η παραπάνω διαδικασία τερµατίζεται. Εστω ότι δεν τερµατίζεται. Τότε σε κάποιο ϐήµα ϑα έχουµε D k = D l, για κάποιο k < l, επειδή υπάρχουν πεπερασµένες σε πλήθος επιλογές για τα D i. Εστω ότι r ήταν ο µεγαλύτερος δείκτης, για τον οποίο αφαιρέσαµε το στοιχείο a r από τη ϐάση στο τέλος κάποιας διαδικασίας, µεταξύ k και l 1. Εστω p το ϐήµα στο οποίο το

40 40 Πολύτοπα αφαιρέσαµε και q το αντίστοιχο που το επανατοποθετήσαµε, όπου και πάλι το q είναι µεταξύ k και l 1. Αυτό συµβαίνει διότι D k = D l. Τότε D k {ar+1,...,a m } = D l {ar+1,...,a m }. Εστω και D p = {a i1,...,a r,...,a is } b = λ i1 a i λ r a r +...+λ is a is, µε λ r < 0 και όλα τα λ ij 0, για i j < r (µετά το r δεν τα έχουµε πειράξει). Στο q ϐήµα, επιλέγουµε ένα διάνυσµα c, τέτοιο ώστε c a r < 0. Σε κάθε ϐήµα της παραπάνω διαδικασίας, ισχύειc b < 0, για όλα τα διανύσµαταc που προκύπτουν. Τότε 0 > c b = c (λ i1 a i λ r a r +...+λ is a is ) διότι: = λ i1 c a i λ r c a r +...+λ is c a is > 0, Αν i j < r, τότε λ ij 0 (αφού ο r είναι ο µικρότερος δείκτης ο οποίος δηµιουργεί πρόβληµα) και c a ij 0. Αν i j = r, τότε λ r < 0 και c a r < 0. Αν i j > r, τότε c a ij = 0 αφού αυτά δεν πειράχθηκαν σε όλη τη διαδικασία και ανήκουν στο υπερεπίπεδο που ορίζεται από το διάνυσµα c. Άρα, καταλήξαµε σε άτοπο. Εποµένως, η διαδικασία τελικά τερµατίζεται και η απόδειξη ολοκληρώθηκε. Τώρα µπορούµε να περάσουµε στο Θεώρηµα των Farkas Minkowski Weyl. Θεώρηµα (Farkas Minkowski Weyl) Ενας κώνος είναι πολυεδρικός αν και µόνο αν είναι πεπερασµένα παραγόµενος. Απόδειξη. Θεωρούµε τον πεπερασµένα παραγόµενο κώνο pos({v 1,...,v n }), που παράγεται από τα διανύσµατα v 1,...,v n του R d. Θα δείξουµε ότι είναι πολυεδρικός. ηλαδή, ϑα δείξουµε ότι pos({v 1,...,v n }) = s i=1 ( ) n H σi, για κάποιο s {1,..., }, d 1 όπου σ i = {v i1,...,v id 1 } {v 1,...,v n }, τα στοιχεία του σ i είναι γραµµικά ανεξάρτητα και H σi είναι ένας ηµιχώρος που το υπερεπίπεδό του ορίζεται από τα διανύσµατα του σ i. Χωρίς ϐλάβη της γενικότητας, υποθέτουµε ότι ο χώρος που παράγεται από τα διανύσµατα v 1,...,v n είναι όλος ο R d, διότι κάθε ηµιχώρος µικρότερης διάστασης µπορεί να επεκταθεί σε ηµιχώρο µεγαλύτερης διάστασης. Αν pos({v 1,...,v n }) = R d, τότε, σύµφωνα µε την Παρατήρηση , ο πεπε- ϱασµένα παραγόµενος κώνος pos({v 1,...,v n }) είναι πολυεδρικός.

41 2.1 Βασική Θεωρία Πολύτοπων 41 Εστω pos({v 1,...,v n }) R d και άρα υπάρχει διάνυσµα b 1 R d και b 1 pos({v 1,...,v n }). Συνεπώς, υπάρχει σ 1 {v 1,...,v n } µε τα στοιχεία του γραµµικά ανεξάρτητα, τέτοιο ώστε b 1 v 1 0,...,b 1 v n 0. Άρα, pos({v 1,...,v n }) H σ1. (1) Αν pos({v 1,...,v n }) = H σ1, τότε ο πεπερασµένα παραγόµενος κώνος pos({v 1,...,v n }) είναι πολυεδρικός. ιαφορετικά, υπάρχει διάνυσµα b 2 H σ1 και b 2 pos({v 1,...,v n }). Συνεπώς, υπάρχει σ 2 {v 1,...,v n } µε τα στοιχεία του γραµµικά ανεξάρτητα, τέτοιο ώστε b 2 v 1 0,...,b 2 v n 0. Άρα, Εποµένως, από τις σχέσεις (1) και (2), έχουµε ότι pos({v 1,...,v n }) H σ2. (2) pos({v 1,...,v n }) H σ1 H σ2. Αν pos({v 1,...,v n }) = H σ1 H σ2, τότε ο πεπερασµένα παραγόµενος κώνος pos({v 1,...,v n }) είναι πολυεδρικός. ιαφορετικά, υπάρχει διάνυσµα b 3 H σ1 H σ2 και b 3 pos({v 1,...,v n }). Συνεχίζουµε µε τον ίδιο τρόπο. Το πολύ σε ( n d 1) ϐήµατα, η διαδικασία αυτή ϑα σταµατήσει. Άρα, pos({v 1,...,v n }) = s i=1 ( ) n H σi, για κάποιο s {1,..., }, d 1 όπου σ i = {v i1,...,v id 1 } {v 1,...,v n }, που σηµαίνει ότι ο πεπερασµένα παραγόµενος κώνος pos({v 1,...,v n }) είναι πολυεδρικός. Αντίστροφα, έστω C πολυεδρικός κώνος, δηλαδή C = {x R d : Ax T 0}, όπου ο A είναι n d πίνακας. Εστω v 1,...,v n οι γραµµές του. Τότε C = {x : v 1 x 0,...,v n x 0}. Θα δείξουµε ότι ο κώνος C είναι πεπερασµένα παραγόµενος. Θεωρούµε τον κώνο V = pos({v 1,...,v n }) = {x : w 1 x 0,...,w t x 0} = {x : Bx T 0}, όπου οb είναιt d πίνακας, οι γραµµές του οποίου, είναι τα διανύσµαταw 1,...,w t. Θα δείξουµε ότι οι γραµές του πίνακα B, παράγουν τον πολυεδρικό κώνο C. ηλαδή, ϑα δείξουµε ότι C = pos({w 1,...,w t }). Εχουµε ότι w j v i 0, για j = 1,...,t και i = 1,...,n, που σηµαίνει ότι τα διανύσµατα w 1,...,w t ανήκουν στον κώνο C. Άρα, ο κώνος pos({w 1,...,w t }), που παράγεται από αυτά, είναι υποσύνολο του κώνου C. ηλαδή, pos({w 1,...,w t }) C. (1) Για την αντίστροφη σχέση, υποθέτουµε ότι υπάρχει διάνυσµα z το οποίο ανήκει στον κώνο C, αλλά δεν ανήκει στον πολυεδρικό κώνο pos({w 1,...,w t }). Από

42 42 Πολύτοπα το Θεµελιώδες Θεώρηµα των Γραµµικών Ανισοτήτων , υπάρχει διάνυσµα d τέτοιο ώστε d w 1 0,...,d w t 0 και d z < 0. Οι σχέσεις έπονται ότι d w 1 0,...,d w t 0, d w 1 0,..., d w t 0. Άρα, το διάνυσµα d ανήκει στον κώνο V, οπότε d = r 1 v r n v n, όπου r 1,...,r n 0. Εποµένως, ϑα είναι d x 0, για κάθε x C, αφού d x = (r 1 v r n v n ) x = r 1 v 1 x+...+r n v n x όπου r 1 0,...,r n 0 και d w 1 0,...,d w t 0. Άρα, ισχύει και για το διάνυσµα z, δηλαδή d z 0. Άρα, d z 0 το οποίο είναι άτοπο, διότι d z < 0. Εποµένως, ο κώνος C είναι υποσύνολο του πεπερασµένα παραγόµενου κώνου pos({w 1,...,w t }), δηλαδή Από τις σχέσεις (1) και (2) έπεται ότι C pos({w 1,...,w t }). (2) C = pos({w 1,...,w t }), που σηµαίνει ότι ο κώνος C είναι πεπερασµένα παραγόµενος. Στη συνέχεια, αναφέρουµε ένα λήµµα, το οποίο πήρε το όνοµά του από τον Julius (ή Gyula) Farkas (28 Μαρτίου εκεµβρίου 1930). Πρόκειται για ένα ακόµα πόρισµα του Θεµελιώδους Θεωρήµατος των Γραµµικών Ανισοτήτων Αρχικά, αποδείχτηκε από τον Farkas το Λήµµα (Farkas) Εστω ένας πίνακας A R d n και ένα διάνυσµα z R d. Τότε: είτε υπάρχει διάνυσµα x R n τέτοιο ώστε Ax T z T είτε υπάρχει διάνυσµα c R d, c 0 και c 0, τέτοιο ώστε ca = 0 και c z < 0, αλλά όχι και τα δύο. Για την απόδειξη του Λήµµατος του Farkas, καθώς και για διαφορετικές µορφές αυτού, ο αναγνώστης µπορεί να ανατρέξει στην ενότητα 1.4 του ϐιβλίου [27] του Günter M. Ziegler ή στην ενότητα 7 του ϐιβλίου [18] του Alexander Schrijver.

43 2.1 Βασική Θεωρία Πολύτοπων 43 Ορισµός Εστω P,Q R d. Το σύνολο {x+y : x P,y Q} καλείται άθροισµα Minkowski (Minkowski sum) των P και Q. Για παράδειγµα, το άθροισµα Minkowski δύο τριγώνων είναι είτε τρίγωνο ή τετράγωνο ή πεντάγωνο ή εξάγωνο, ανάλογα µε τη ϑέση και το είδος των δύο τριγώνων. Παρατηρούµε ότι το άθροισµα Minkowski µπορεί να αυξήσει τη διάσταση. Το άθροισµα Minkowski δύο πολύτοπων, είναι επίσης πολύτοπο. Μία ϐασική ιδιότητα του αθροίσµατος Minkowski, είναι η προσθετικότητα των εδρών των δύο πολύτοπων. Ισχύει δηλαδή, ότι face c (P +Q) = face c (P)+face c (Q), για οποιαδήποτε πολύτοπα P,Q του R d. Από την παραπάνω ιδιότητα συνεπάγεται, ότι αν v είναι κορυφή του πολύτοπου P +Q, τότε υπάρχουν µοναδικές κορυφές x του P και y του Q, έτσι ώστε να είναι v = x+y. Ετσι, κάθε κορυφή του αθροίσµατος MinkowskiP+Q, είναι άθροισµα των κορυφών των πολύτοπων που προσθέτουµε. Ωστόσο, κάποια αθροίσµατα κο- ϱυφών δε δίνουν κορυφές του πολύτοπου P + Q, αλλά εσωτερικά σηµεία ή σηµεία στο σύνορο του P + Q. Επίσης, κάθε ακµή του πολύτοπου P + Q προκύπτει µε παράλληλη µεταφορά µιας ακµής του πολύτοπου P ή µιας ακµής του πολύτοπου Q. Αντίστοιχα συµπεράσµατα ισχύουν και για το άθροισµα Minkowski δύο πολύεδρων. Το ϑεώρηµα που ακολουθεί, παρουσιάζει τη σχέση που συνδέει ένα πολύεδρο, ένα πολύτοπο και έναν πολυεδρικό κώνο. Είναι γνωστό ως Θεώρηµα Ανάλυσης για Πολύεδρα (Decomposition Theorem for Polyhedra) και οφείλεται στον Motzkin (1936). Θεώρηµα (Motzkin) Ενα σύνολο σηµείων P στον R d είναι πολύεδρο αν και µόνο αν µπορεί να γραφεί ως άθροισµα Minkowski ενός πολύτοπου Q και ενός πολυεδρικού κώνου C, δηλαδή αν και µόνο αν P = Q+C. Απόδειξη. Εστω P = {x R d : Ax T b T } ένα πολύεδρο στον R d, όπου b = (b 1,...,b m ) R m και A = (a ij ) ένας m d πίνακας. Θεωρούµε τον πολυεδρικό κώνο C = {(x,λ) : B(x,λ) T 0}, όπου οι πρώτεςdστήλες τουm (d+1) πίνακαb είναι ο πίνακαςaκαι η τελευταία στήλη του είναι το διάνυσµα b T. Ο πολυεδρικός κώνος C, παράγεται από τα πεπερασµένα σε πλήθος διανύσµατα (v 1,λ 1 ),...,(v n,λ n ), όπου v 1,...,v n R d και λ 1,...,λ n R 0. Τα λ i ϑα είναι ή µηδέν ή διάφορα του µηδενός, για i = 1,...,n. Αν λ i 0 και το διάνυσµα (v i,λ i) ανήκει στον πολυεδρικό κώνο C, τότε και κάθε ϑετικό πολλαπλάσιο του ϑα ανήκει στον C και άρα και το 1 λ i (v i,λ i )

44 44 Πολύτοπα ανήκει στον C. Ισοδύναµα, το ( 1 λ i v i,1) ανήκει στον C και ϑέτοντας 1 λ i v i = v i, έχουµε τελικά ότι το διάνυσµα (v i,1) ανήκει στον πολυεδρικό κώνο C, για i = 1,...,n. Εποµένως, µπορούµε να υποθέσουµε ότι λ i = 0 ή λ i = 1, για κάθε i = 1,...,n. Θεωρούµε την κυρτή ϑήκη Q = conv({(v i1,1),...,(v is,1)}) των διανυσµάτων v i µε λ i = 1 και τον πολυεδρικό κώνο C = pos({(v j1,0),...,(v jt,0)}) που παράγεται από τα διανύσµατα v i µε λ i = 0, όπου s+t = n. Τότε το διάνυσµα x P αν και µόνο αν Ax T b T ή, ισοδύναµα, Ax T b T 0. Η τελευταία σχέση ισοδύναµα γράφεταιb(x,1) T 0, που σηµαίνει ότι το διάνυσµα(x,1) ανήκει στον πολυεδρικό κώνο C. Άρα, Συνεπάγεται ότι Τότε (x,1) = l 1 (v 1,λ 1 )+...+l n (v n,λ n ). (x,1) = l i1 (v i1,1)+...+l is (v is,1)+l j1 (v j1,0)+...+l jt (v jt,0). x = s l ik v ik + k=1 δηλαδή x Q+C. Άρα, Αν x Q+C, τότε t l jr v jr και r=1 s l ik = 1,l ik 0,l jr 0, k=1 P Q+C. (1) x = s t l ik v ik + l jr v jr και k=1 r=1 s l ik = 1,l ik 0,l jr 0. k=1 Άρα, που σηµαίνει ότι (x,1) = l i1 (v i1,1)+...+l is (v is,1)+l j1 (v j1,0)+...+l jt (v jt,0), Από τις σχέσεις (1) και (2), έπεται ότι Q+C P. (2) P = Q+C. Αντίστροφα, έστω P = Q + C, για κάποιο πολύτοπο Q και κάποιον πολυεδρικό κώνο C. Θα δείξουµε ότι το P είναι πολύεδρο. ηλαδή, ότι γράφεται ως πεπερασµένη τοµή ηµιχώρων της µορφής {x R d : Ax T b T },

45 2.1 Βασική Θεωρία Πολύτοπων 45 όπου b = (b 1,...,b m ) R m και A = (a ij ) ένας m d πίνακας. Εστω Q = conv({v 1,...,v n }) και C = pos({w 1,...,w t }). Τότε ένα διάνυσµα y, που ανήκει στο σύνολο P = Q+C, γράφεται ως y = s t l ik v ik + l jr v jr και k=1 r=1 s l ik = 1,l ik 0,l jr 0. k=1 Ισοδύναµα, το διάνυσµα (y,1) γράφεται ως (y,1) = l i1 (v i1,1)+...+l is (v is,1)+l j1 (v j1,0)+...+l jt (v jt,0), δηλαδή ανήκει στον πολυεδρικό κώνο pos({(v 1,1),...,(v n,1),(w 1,0),...,(w t,0)}). Από το Θεώρηµα , ο τελευταίος κώνος είναι πεπερασµένα παραγόµενος, δηλαδή είναι της µορφής {(x,λ) : Ax T +λb T 0}, για κάποιο διάνυσµα b R m και κάποιον πίνακα A, του οποίου οι γραµµές είναι τα διανύσµατα (v 1,1),...,(v n,1),(w 1,0),...,(w t,0). Άρα, το διάνυσµα y ανήκει στο σύνολο P αν και µόνο αν ισχύει Ay T b T. Εποµένως, το P γράφεται ως πεπερασµένη τοµή ηµιχώρων της µορφής δηλαδή το P είναι πολύεδρο. {x R d : Ay T b T }, Το Θεώρηµα Πεπερασµένης Βάσης για Πολύτοπα (Finite Basis Theorem for Polytopes), έπεται από το Θεώρηµα Ανάλυσης για Πολύεδρα και οφείλεται στους Minkowski (1896), Steinitz (1916) και Weyl (1935). Θεώρηµα (Minkowski Steinitz Weyl) Ενα σύνολο P είναι πολύτοπο αν και µόνο αν το P είναι ϕραγµένο πολύεδρο. Απόδειξη. Επεται από το προηγούµενο ϑεώρηµα. Στη συνέχεια, ϑα ορίσουµε το εσωτερικό ενός σηµείου ενός πολύτοπου, κα- ϑώς και το εσωτερικό του ως προς τη σχετική τοπολογία. Εσωτερικό καλείται ένα σηµείο, για το οποίο υπάρχει µπάλα διάστασης n µε κέντρο αυτό το σηµείο και ακτίνα οσοδήποτε µικρή, αλλά ϑετική, η οποία να ϐρίσκεται εξ ολοκλήρου µέσα στο πολύτοπο. Το εσωτερικό ενός πολύτοπου του R n, ορίζεται ως το σύνολο όλων

46 46 Πολύτοπα των εσωτερικών σηµείων αυτού. Ενα πολύτοπο έχει εσωτερικό αν και µόνο αν η διάστασή του, συµπίπτει µε τη διάσταση του χώρου στον οποίο ϐρίσκεται. ηλαδή, αν και µόνο αν είναι πλήρους διάστασης. Για παράδειγµα, το εσωτερικό ενός τετραγώνου (πολύτοπο διάστασης 2) στονr 2 είναι το σύνολο {(x 1,x 2 ) R 2 : 0 < x 1 < 1,0 < x 2 < 1}. Οµως το διάστηµαconv({(1,0),(0,1)}) του R 2 δεν έχει εσωτερικό, αφού δεν υπάρχει µπάλα στονr 2 µε κέντρο κάποιο σηµείο του διαστήµατος, η οποία να περιέχεται στο διάστηµα αυτό. Ωστόσο, το διάστηµα αυτό, έχει εσωτερικό αν το ϑεωρήσουµε ως πολύτοπο στη ϑήκη του, όπου είναι πλήρους διάστασης. Το εσωτερικό αυτό, είναι το εσωτερικό του διαστήµατος ως προς τη σχετική τοπολογία του υποσύνολου conv({(1,0),(0,1)}) του R 2 και είναι το σύνολο {(x 1,x 2 ) R 2 : x 1 +x 2 = 1,x 1 > 0,x 2 > 0}. Στη συνέχεια, δίνουµε τον αντίστοιχο ορισµό: Ορισµός Εστω ένα υποσύνολο V του R n. Το εσωτερικό του συνόλου V µέσα στη ϑήκη του, καλείται εσωτερικό ως προς τη σχετική τοπολογία του υποσύνολου V του R n (relative interior). Ουσιαστικά, µπορούµε να ϑεωρήσουµε το εσωτερικό ως προς τη σχετική τοπολογία του υποσύνολου V του R n, ως το V χωρίς το σύνορό του. Σχήµα 2.4. Ενας πολυεδρικός κώνος C και το εσωτερικό του ως προς τη σχετική τοπολογία του υποσύνολου C του R 2. Ορισµός Μία συλλογή πολυεδρικών κώνων του R n, τέτοια ώστε η τοµή οποιωνδήποτε δύο κώνων να είναι έδρα του καθενός, καλείται πολυεδρική ϐεντάλια (polyhedral fan). Ορισµός Μία πολυεδρική ϐεντάλια καλείται πλήρης (complete) αν η ένωση των κώνων της ϐεντάλιας είναι όλος ο R n. Ορισµός Μία ϐεντάλια F καλείται µονοπλεκτική (simplicial) αν κάθε κώνος i-διάστασης της F είναι η ϑετική ϑήκη i διανυσµάτων, για κάθε i. Κάθε ϐεντάλια στον R 1 και στον R 2 είναι µονοπλεκτική. Ορισµός Εστω P ένα πολύεδρο του R n και F µία έδρα του P. Το σύνολο {w R n : face w (P) = F} καλείται ορθόθετος κώνος (normal cone) της έδρας F στο πολύεδρο P και συµβολί- Ϲεται µε N P (F).

47 2.1 Βασική Θεωρία Πολύτοπων 47 Αντίστοιχα ορίζεται και ο ορθόθετος κώνος N P (F) για ένα πολύτοπο P του R n. Η διάσταση ενός ορθόθετου κώνου N P (F) του R n, προκύπτει αν από τη διάσταση του R n αφαιρέσουµε τη διάσταση της αντίστοιχης έδρας, δηλαδή dim(n P (F)) = n dim(f). ΑνF καιf είναι έδρες του πολύεδρουp, τότε ηf είναι έδρα τηςf αν και µόνο αν ο ορθόθετος κώνος N P (F) είναι έδρα του ορθόθετου κώνου N P (F ). Συνεπώς, η συλλογή των ορθόθετων κώνων N P (F), όπου F είναι µη κενή έδρα του P, είναι ϐεντάλια. Αυτή η ϐεντάλια συµβολίζεται µε N(P) και καλείται ορθόθετη ϐεντάλια του πολύεδρου P. Η ορθόθετη ϐεντάλια ενός πολύτοπου είναι πλήρης. Ενας απλός τρόπος να κατασκευάσει κανείς µια ϐεντάλια, είναι µέσω της ορ- ϑόθετης ϐεντάλιας ενός πολύεδρου. Αυτό όµως, δε συµβαίνει πάντα. ηλαδή, δεν προκύπτουν όλες οι ϐεντάλιες ως ορθόθετες ϐεντάλιες πολύεδρων. Ορισµός Μία πολυεδρική ϐεντάλια ενός πολύτοπου P της οποίας οι κώνοι ϐρίσκονται σε ένα προς ένα και επί αντιστοιχία µε τις έδρες τουp, καλείται εξωτερική ορθόθετη ϐεντάλια (outer normal fan) του πολύτοπου P. Ο κώνος που αντιστοιχεί στην έδρα F του πολύτοπου P είναι το κλείσιµο του ανοικτού κώνου C[F] = {c R n : face c (P) = F}, ως προς τη σχετική τοπολογία του R n. Σχήµα 2.5. Ενα πολύτοπο και η εξωτερική ορθόθετη ϐεντάλια του. Στο σχήµα που ακολουθεί (Σχήµα 2.6), έχουµε ένα παράδειγµα µίας εξωτερικής ορθόθετης ϐεντάλιας ενός πολύτοπου, η οποία είναι πλήρης (a) και ένα παράδειγµα µίας εξωτερικής ορθόθετης ϐεντάλιας ενός πολύτοπου, η οποία δεν είναι πλήρης (b).

48 48 Πολύτοπα Σχήµα 2.6. Μία πλήρης εξωτερική ορθόθετη ϐεντάλια (a) και µία όχι πλήρης εξωτερική ορθόθετη ϐεντάλια (b). Ορισµός Μία πολυεδρική ϐεντάλια F καλείται πολυτοπική (polytopal) αν υπάρχει πολύτοπο P για το οποίο η F είναι εξωτερική ορθόθετη ϐεντάλια του P. εν είναι όλες οι πολυεδρικές ϐεντάλιες εξωτερικές ορθόθετες ϐεντάλιες πολύεδρων. 2.2 Βεντάλια Gröbner Σε αυτή την ενότητα ϑα αποδείξουµε, ότι ϑεωρώντας διαφορετικές διατάξεις όρων, µπορούµε να κωδικοποιήσουµε τις πληροφορίες που έχουµε για ένα ιδεώδες σε µια ϐεντάλια. Η ϑεµελιώδης ιδέα πίσω από τη ϐεντάλια Gröbner, είναι ότι ένα διάνυσµα ϐάρουςw = (w 1,...,w n ) R n 0, όπουw i είναι το ϐάρος που δίνεται στη µεταβλητή x i, µπορεί να αντιπροσωπεύσει διάταξη όρων για ένα ιδεώδες I. Η έννοια της ϐεντάλιας Gröbner, εισήχθηκε από τους Teo Mora και Lorenzo Robbiano, το Ο αναγνώστης µπορεί να ανατρέξει στο άρθρο [15] για παραπάνω πληροφορίες. Ορισµός Εστω ένα διάνυσµα w R n 0. Ενα πολυώνυµο f = s i=1 a ix u i, όπουu i R n καιa i R, µεa i 0, καλείταιw-οµογενές ότανw u 1 =... = w u s. Ορισµός Ενα ιδεώδες I του K[x 1,...,x n ] καλείται w-οµογενές όταν υπάρχει σύνολο γεννητόρων f 1,...,f t του I, όπου κάθε f i είναι w-οµογενές πολυώνυµο. Πρόταση Εστω I ένα w-οµογενές ιδεώδες του K[x 1,...,x n ]. Αν F = F d F ds I, όπου σε κάθε F di ανήκουν όλοι οι όροι του F που έχουν w-ϐαθµό d i, τότε συνεπάγεται ότι F di I, για κάθε i = 1,...,s. Απόδειξη. Θεωρούµε το w-οµογενές ιδεώδες I = f 1,...,f s και ένα πολυώνυµο F I. Τότε F = φ 1 f φ s f s, όπου φ 1,...,φ s πολυώνυµα του K[x 1,...,x n ]. Κάθε πολυώνυµοφ i γράφεται ως άθροισµα όρων, κάθε ένας από τους οποίους είναι γινόµενο ενός συντελεστή του σώµατος K µε µονώνυµο του K[x 1,...,x n ]. Άρα, F = N c j X j f ij j=1 όπου i j {1,...,s}, το X j είναι µονώνυµο και το ίδιο πολυώνυµο f i µπορεί να εµφανιστεί περισσότερες από µία ϕορές. Η τελευταία σχέση συνεπάγεται ότι F = c j X j f ij c j X j f ij. w deg(x j )+w deg(f ij )=d 1 w deg(x j )+w deg(f ij )=d s Αφού F = F d F ds, F d1 = w deg(x j )+w deg(f ij )=d 1 c j X j f ij I

49 2.2 Βεντάλια Gröbner 49 F ds =. w deg(x j )+w deg(f ij )=d s c j X j f ij I. Εποµένως, F di I, για κάθε i = 1,...,s και η απόδειξη ολοκληρώθηκε. Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά µε τα οµογενή ιδεώδη, παραπέµπουµε στα ϐιβλία [12] των Martin Kreuzer και Lorenzo Robbiano και [26] των Oscar Zariski και Pierre Samuel. Ορισµός Εστω ένα διάνυσµα w R n 0 και ένα πολυώνυµοf = c u x u του πολυωνυµικού δακτυλίου K[x 1,...,x n ]. Αρχική µορφή (initial form) του f, in w (f), καλείται το άθροισµα των όρων c u x u του f, για το οποίο το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων w u µεγιστοποιείται. Το σύνολο In w (I) = in w (f) : f I καλείται αρχικό ιδεώδες (initial ideal) του I. Αν και ο ορισµός της αρχικής µορφής ενός πολυωνύµου, µοιάζει µε τον ορισµό του αρχικού όρου ενός πολυωνύµου, οι δύο ορισµοί δεν ταυτίζονται. Η διαφορά έγκειται στο ότι ο αρχικός όρος είναι πάντα µονώνυµο, σε αντίθεση µε την αρχική µορφή, η οποία δεν είναι απαραίτητα µονώνυµο. Αντίστοιχα, το αρχικό ιδεώδες του I, In (I), ως προς κάποια διάταξη όρων, είναι πάντα µονωνυµικό ιδεώδες, ενώ το αρχικό ιδεώδες In w (I) µπορεί και να µην είναι. Παράδειγµα Θεωρούµε το ιδεώδες I = x 3 1,x y 2 και το διάνυσµα w = (2,1) του R 2 0. Το σύνολο In w(i) = x 3,x y 2 είναι το αρχικό ιδεώδες του I και δεν είναι µονωνυµικό ιδεώδες. Από την άλλη πλευρά, αν αλλάξουµε διάνυσµα και ϑεωρήσουµε το διάνυσµαw = (1,1), τότε το αρχικό ιδεώδεςin w (I) = x 3,y 2 είναι µονωνυµικό ιδεώδες. Ο υπολογισµός του αρχικού ιδεώδους In w (I) γίνεται παρακάτω, σύµφωνα µε το Λήµµα και την Πρόταση Ορισµός Εστω µία διάταξη όρων και w R n 0. Ορίζουµε νέα διάταξη όρων w ως εξής: x u w x v αν w u w v ή αν w u = w v τότε x u x v. Παρατηρούµε ότι αν κάποια συντεταγµένη w i του w είναι αρνητική, τότε η διάταξη που ορίζει το διάνυσµα w δεν είναι διάταξη όρων. Προφανώς, υπάρχουν ά- πειρα σε πλήθος διανύσµαταw R n 0. Ωστόσο, το πλήθος των ϐάσεων Gröbner για ένα ιδεώδες I του K[x 1,...,x n ], δεν είναι άπειρο, όπως αποδείξαµε στην Πρόταση του πρώτου κεφαλαίου. Ορισµός Το σύνολο {x a i : f = c i x a i, όπου c i 0} καλείται ϕορέας (support) του πολυωνύµου f του K[x 1,...,x n ] και συµβολίζεται µε supp(f).

50 50 Πολύτοπα Για παράδειγµα, έστωf = 3 2 x6 1 x8 5 2x 1 x ένα πολυώνυµο τουk[x 1,...,x 6 ]. Τότε ο ϕορέας του f είναι supp(f) = {x 6 1x 8 5,x 1 x 16 3,1}. Πρόταση Εστω I w-οµογενές ιδεώδες του K[x 1,...,x n ] και x u ελαχιστοτικός γεννήτορας του ιδεώδους In (I), ως προς τη διάταξη όρων. Υπάρχει στοιχείο g του I, w-οµογενές, τέτοιο ώστε x u = in (g). Απόδειξη. Το ιδεώδες I είναι w-οµογενές, άρα µπορούµε να επιλέξουµε γεννήτορες που να είναι w-οµογενή πολυώνυµα. Θα δείξουµε ότι υπάρχει πολυώνυµο g I, µε αρχικό όρο in (g) = x u, ως προς τη διάταξη όρων και το οποίο είναι w-οµογενές. Το g γράφεται ως άθροισµα όρων, κάθε ένας από τους οποίους, είναι γινόµενο ενός συντελεστή c i K και ενός µονωνύµου x u i του K[x 1,...,x n ]. ηλαδή, g = c 1 x u c s x us = g d g ds, όπουg di είναιw-οµογενές ϐαθµούd i,i = 1,...,s καιd 1 >... > d s. Επειδή το ιδεώδες I είναι w-οµογενές, έπεται ότι τα g di I, για κάθεi = 1,...,s. Το µονώνυµο x u = in (g) είναι το µεγαλύτερο από όλα τα µονώνυµα του g, ως προς τη διάταξη όρων. Το x u ϑα ανήκει στο ϕορέα supp(g), αφού supp(g) = {x u 1,...,x us }. Τότε ϑα υπάρχει j, τέτοιο ώστε x u supp(g dj ). Οµως x v x u, για κάθε x v supp(g), ως προς τη διάταξη όρων, αφού x u = in (g). Άρα, x v x u, για κάθε x v supp(g dj ), δηλαδή x u = in (g dj ) και η απόδειξη ολοκληρώθηκε. Πρόταση Για κάθε ιδεώδες I του K[x 1,...,x n ] ισχύει όπου µία διάταξη όρων και w R n 0. Απόδειξη. Εξ ορισµού έχουµε ότι: In (In w (I)) = In w (I), In (In w (I)) = in (g) : g In w (I) και In w (I) = in w (f) : f I. Θα δείξουµε ότι Εστω f I και w R n 0. Τότε in (g) : g In w (I) = in w (f) : f I. f = in w (f)+ X i, όπου X i όροι του f, µικρότερου ϐαθµού από τον αρχικό όρο αυτού, ως προς τη διάταξη όρων w. Από τον ορισµό της διάταξης w, έχουµε ότι in w (f) = in (in w (f)). Άρα, in w (f) : f I in (g) : g In w (I). (1)

51 2.2 Βεντάλια Gröbner 51 Εστω x u ελαχιστοτικός γεννήτορας του αρχικού ιδεώδους In (In w (I)). Τότε, σύµφωνα µε την Πρόταση 2.2.8, x u = in (g), όπου g In w (I) και το πολυώνυµο g είναι w-οµογενές. Θα δείξουµε ότι g = in w (f),f I. Ισχύει: In w (I) = in w (f) : f I. Οµως g In w (I), που σηµαίνει ότι g = h i in w (g i ), για κάποια g i I, όπου h i µονώνυµα και ο αριθµός των µονωνύµων που χρησιµοποιούµε είναι ο µικρότερος δυνατός. Τοh i είναι µονώνυµο και έστω ότι οw-ϐαθµός του είναιd. Τότε ο ϐαθµός κάθε µονωνύµου του h i g i έχει αυξηθεί κατά d από τον αντίστοιχο ϐαθµό του g i. Συνεπώς, in w (h i g i ) = h i in w (g i ). Άρα, g = in w (h i g i ) = in w (h 1 g 1 )+...+in w (h t g t ), όπου το αρχικό µονώνυµο in w (h i g i ) έχει w-ϐαθµό d i, για i = 1,...,t. Εστω ότι το g έχει w-ϐαθµό d. Μπορούµε να υποθέσουµε ότι όλα τα d i είναι ίσα µε d, διότι επιλέξαµε το µικρότερο αριθµό µονωνύµων. Άρα, g = in w ( h i g i ) και επειδή το hi g i I έπεται ότι g = in w (f), όπου f = h i g i I. Εποµένως, in (g) : g In w (I) in w (f) : f I. (2) Από τις σχέσεις (1) και (2) έπεται το Ϲητούµενο. Ως συνέπειες της παραπάνω πρότασης, ακολουθούν το Λήµµα και η Πρόταση Το λήµµα παρουσιάζει µία µέθοδο υπολογισµού ϐάσεων Gröbner µη µονωνυµικών αρχικών ιδεωδών. Λήµµα Εστω µία διάταξη όρων, ένα διάνυσµα w R n 0 και έστω G µία ϐάση Gröbner ενός ιδεώδους I, ως προς τη διάταξη όρων w. Το σύνολο {in w (g) : g G} αποτελεί ϐάση Gröbner του αρχικού ιδεώδους In w (I), ως προς τη διάταξη όρων. Απόδειξη. Από την Πρόταση 2.2.9, γνωρίζουµε ότι In (In w (I)) = In w (I). Επίσης, το σύνολο των πολυωνύµων G = {g 1,...,g t } αποτελεί ϐάση Gröbner του ιδεώδους I, ως προς τη διάταξη όρων w, αν εξ ορισµού: Οµως που σηµαίνει ότι το σύνολο In w (I) = in w (g i ) : g i G. in w (g i ) : g i G = in (in w (g i )) : g i G, {in w (g i ) : g i G} αποτελεί ϐάση Gröbner του αρχικού ιδεώδους In w (I), ως προς τη διάταξη όρων.

52 52 Πολύτοπα R n 0 Η επόµενη πρόταση, παρουσιάζει τον τρόπο µε τον οποίο ένα διάνυσµα w του συνδέεται µε ένα αρχικό ιδεώδες. Πρόταση Σταθεροποιούµε ένα ιδεώδες I του K[x 1,...,x n ] και µία διάταξη όρων. Υπάρχει διάνυσµα w R n 0, ώστε να ισχύει In (I) = In w (I). Απόδειξη. Εστω G = {g 1,...,g r } η ανάγωγη ϐάση Gröbner του ιδεώδους I, ως προς τη διάταξη όρων. Κάθε πολυώνυµο g i,i = 1,...,r, γράφεται ως s i g i = c ij x u ij = c i1 x u i1 +c i2 x u i2 +..., j=1 όπου ο αρχικός του όρος, ως προς τη διάταξη όρων, είναι ο in (g i ) = c i1 x u i1. Εστω ο κώνος C = {w R n 0 : w u i1 > w u ij, για κάθε j 2,i = 1,...,r} = {w R n 0 : w (u i1 u ij ) > 0, για κάθε j 2,i = 1,...,r}. Ισχυριζόµαστε ότι C. Θα υποθέσουµε ότι C = και ϑα καταλήξουµε σε άτοπο. Εστω C =. Τότε το σύστηµα ανισώσεων w (u i1 u ij ) > 0 δεν έχει λύση w R n 0. Σχηµατίζουµε τον s n πίνακα U, του οποίου οι γραµµές είναι τα διανύσµατα u i1 u ij, για j 2,i = 1,...,r, όπου s = ( r i=1 s i) r. Τότε το σύστηµα U w T > 0 δεν έχει λύση w R n 0. Θεωρούµε τον(s+n) n πίνακαu, του οποίου οι πρώτες s-γραµµές είναι οι γραµµές του πίνακα U και οι τελευταίες n-γραµµές είναι οι γραµµές του πίνακα I n (όπου I n είναι ο µοναδιαίος n n πίνακας). Τότε και το σύστηµα U (w ) T ( 1,0) T (1) δεν έχει λύση, όπου w R n, 1 = ( 1,..., 1) }{{} s και 0 = (0,...,0). }{{} (Αν είχε λύση, τότε ϑα είχε λύση και το σύστηµα U w > 0, διότι n U (w ) T ( 1,..., 1) T < 0 άρα U (w ) T > 0 και (w ) T 0 άρα (w ) T 0, δηλαδή w R n 0.) Αφού το σύστηµα (1) δεν έχει λύση, το Λήµµα του Farkas (2.1.24) µας λέει ότι υπάρχει διάνυσµα c R s+n, µε c 0 και c 0, τέτοιο ώστε c U = 0 και c ( 1,0) < 0. Το σύστηµα c U = 0 είναι οµογενές και έχει λύση στο R s+n, άρα η ϐαθµίδα του πίνακα U είναι µικρότερη από το πλήθος των στηλών n, οπότε το

53 2.2 Βεντάλια Gröbner 53 σύστηµα ϑα έχει λύση και στο Q s+n. Σηµειώνουµε ότι τα στοιχεία του πίνακα U είναι ακέραιοι αριθµοί. Πολλαπλασιάζοντας µε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονοµαστών, το σύστηµα ϑα έχει λύση στο Z s+n και αφού c 0 ϑα έχει λύση και στο N s+n 0. Συνεπώς, c N s+n 0. Εστω ότι στη γραµµή u im u i1 του πίνακα U αντιστοιχεί ο συντελεστής c im 0 του διανύσµατοςc. Τότε από τη σχέση c U = 0, έπεται ότι c im (u im u i1 )+c s+1 ( 1,0,...,0)+...+c s+n (0,...,0, 1) = 0, δηλαδή Τότε Άρα, i,m c im (u im u i1 ) = (c s+1,...,c s+n ) 0. i,m το (x u i1 ) c im διαιρεί το (x u im ) c im. i,m i,m(x ui1 ) cim i,m i,m (x u im ) c im, (2) σύµφωνα µε την Πρόταση Οµως, in (g i ) = c i1 x u i1, που σηµαίνει ότι x u im < x u i1. Εποµένως, i,m(x uim ) cim < (x u i1 ) c im. (3) i,m Από τις σχέσεις (2) και (3), έπεται ότι i,m(x ui1 ) cim < i,m (x u i1 ) c im, το οποίο είναι άτοπο. Καταλήξαµε σε άτοπο, διότι υποθέσαµε ότι C =. Τελικά C, οπότε υπάρχει διάνυσµα w R n 0, τέτοιο ώστε το σύστηµα w (u i1 u ij ) > 0 να έχει λύση, για κάθε j 2,i = 1,...,r. Άρα, in (g 1 ) = in w (g 1 ),...,in (g r ) = in w (g r ), οπότε in (g i ) In w (I), για κάθε i = 1,...,r. ηλαδή, κάθε αρχική µορφή in w (g i ), i = 1,...,r, είναι µονώνυµο. Συνεπώς, έχουµε Άρα, in (g i ) = in w (g i ) = in w (g i ), για κάθε i = 1,...,r. In (I) In w (I) και σύµφωνα µε το Πόρισµα 1.2.2, προκύπτει ότι In (I) = In w (I).

54 54 Πολύτοπα Επειδή η G είναι ανάγωγη ϐάση Gröbner του I και ως προς τη διάταξη όρων w, από το Λήµµα έπεται ότι το σύνολο {in w (g) : g G} αποτελεί ϐάση Gröbner του αρχικού ιδεώδους In w (I), ως προς τη διάταξη όρων. Άρα, Οµως In w (G) = In w (I). (4) In w (G) = in w (g i ) : g i G = in (g i ) : g i G = In (I). (5) Από τις σχέσεις (4) και (5), έπεται ότι In w (I) = In (I). Παρατήρηση Οταν ισχύει το συµπέρασµα της παραπάνω πρότασης, δηλαδή In (I) = In w (I), τότε λέµε ότι το διάνυσµα w αναπαριστά τη διάταξη όρων για το ιδεώδες I. Στη συνέχεια, σε κάθε Ϲεύγος (I, w), όπου I ιδεώδες του πολυωνυµικού δακτυλίου K[x 1,...,x n ] και w ένα διάνυσµα του R n 0, ϑα αντιστοιχίσουµε έναν κώνο. Πρόταση Σταθεροποιούµε ένα ιδεώδες I του K[x 1,...,x n ] και έστω w R n 0 ένα διάνυσµα. Το σύνολο C[w] = {w R n 0 : In w(i) = In w (I)} είναι το εσωτερικό κάποιου πολυεδρικού κώνου του R n 0 ως προς τη σχετική τοπολογία. Απόδειξη. Εστω ένα διάνυσµα w R n 0. Θεωρούµε την ανάγωγη ϐάση Gröbner G = {g 1,...,g r } του ιδεώδους I, ως προς τη διάταξη όρων w. Κάθε πολυώνυµο g i G,i = 1,...,r γράφεται στη µορφή g i = j c ij x a ij + j c ijx b ij, για i = 1,...,r, όπου in w (g i ) = j c ijx a ij είναι η αρχική του µορφή ως προς w-οµογένεια (το εσωτερικό γινόµενο w a ij γίνεται µέγιστο). Ισχυριζόµαστε ότι C[w] = {w R n 0 : in w (g) = in w(g), για κάθε g G}. ηλαδή, πρέπει να δείξουµε ότι {w R n 0 : In w(i) = In w (I)} = {w R n 0 : in w(g) = in w (g), για κάθε g G}. Εστω w {w R n 0 : in w(g) = in w (g), για κάθε g G}. Επειδή το σύνολο G αποτελεί ϐάση Gröbner του ιδεώδους I, ως προς τη διάταξη όρων w, το αρχικό ιδεώδεςin w (I) τουi ως προςw-οµογένεια, ως προς τη διάταξη

55 2.2 Βεντάλια Gröbner 55 όρων, ϑα ισούται µε το αρχικό ιδεώδες In w (G) της G, ως προς τη διάταξη όρων w, δηλαδή In (In w (I)) = In w (G). Το αρχικό ιδεώδες In w (I) του I, ως προς w -οµογένεια, ως προς τη διάταξη όρων, ϑα περιέχει σίγουρα τα στοιχεία της G και ίσως να περιέχει και κάποια ακόµα. ηλαδή, ισχύει In (In w (I)) In (In w (I)). Σύµφωνα µε το Πόρισµα 1.2.2, ϑα ισχύει In (In w (I)) = In (In w (I)). Εστω G ϐάση Gröbner του In w (I). Τότε το G είναι υποσύνολο του In w (I) και έχουµε ότι In (G ) = In (In w (I)) = In (In w (I)). Άρα, G ϐάση Gröbner του In w (I). Συνεπώς, In w (I) = G = In w (I). Εποµένως, που σηµαίνει ότι w {w R n 0 : In w(i) = In w (I)}, {w R n 0 : in w(g) = in w (g), για κάθε g G} {w R n 0 : In w(i) = In w (I)}. (1) Αντίστροφα, έστω G ανάγωγη ϐάση Gröbner του ιδεώδους I, ως προς τη διάταξη όρων w και έστω w {w R n 0 : In w (I) = In w (I)}. Θα δείξουµε ότι in w (g) = in w (g), για κάθε g G. Σταθεροποιούµε ένα πολυώνυµο g 1 G. Η αρχική του µορφή in w (g 1 ) In w (I). Τότε και in w (g 1 ) In w (I). Επειδή η G είναι ανάγωγη ϐάση Gröbner του I, ως προς τη διάταξη όρων w, σύµφωνα µε το Λήµµα , το σύνολο In w (G) = {in w (g) : g G} αποτελεί ϐάση Gröbner του αρχικού ιδεώδους In w (I) = In w (I), ως προς τη διάταξη όρων. Τότε in w (g 1 ) Inw(G) + 0, ως προς τη διάταξη όρων. Το µονώνυµο m = in w (g 1 ) είναι το µοναδικό µονώνυµο του g, το οποίο διαιρείται από τον αρχικό όρο ενός πολυωνύµου του In w (G), ως προς τη διάταξη όρων, επειδή η G είναι ανάγωγη ϐάση Gröbner του I, ως προς τη διάταξη όρων w. Ετσι, αυτό ϑα ϐρίσκεται στο in w (g 1 ), ώστε η αναγωγή στο µηδέν να είναι δυνατή, διαφορετικά in w (g 1 ) Inw(G) + in w (g 1 ).

56 56 Πολύτοπα Οµως, in w (g 1 ) = m + h και in w (g 1 ) = m + h, όπου τα h,h είναι αθροίσµατα όρων που δεν ανήκουν στο αρχικό ιδεώδες In w (I). Τότε in w (g 1 ) in w (g 1 ) = m+h (m+h ) = m+h m h = h h που ανήκει στο In w (I). Εποµένως, in (h h ) In w (In w (I)) = In w (I), και άρα, in (h h ) In w (I). (2) Οµως τα h,h είναι αθροίσµατα όρων που δεν ανήκουν στο In w (I), άρα για να ισχύει η σχέση (2) πρέπει h h = 0. Ισοδύναµα, in w (g) in w (g) = 0, το οποίο συνεπάγεται ότι in w (g) = in w (g). Άρα, w {w R n 0 : in w (g) = in w (g), για κάθε g G}. (3) Από τις σχέσεις (1) και (3), έπεται το Ϲητούµενο. Εχουµε ότι C[w] = {w R n 0 : w a ij = w a ik,w a ij > w b ik,i = 1,...,r, για κάθε j,k}, διότι οποιοδήποτε µονώνυµο στο άθροισµα j c ijx a ij έχει τον ίδιο w-ϐαθµό και οποιοδήποτε µονώνυµο στο άθροισµα j c ij xb ij έχει µικρότερο ϐαθµό από το πρώτο. Τότε C[w] = {w R n 0 : w (a ij a ik ) = 0,w (a ij b ik ) > 0,i = 1,...,r, για κάθε j,k}. Η διαφορά a ij a ik αντιστοιχεί σε ένα σύνολο διανυσµάτων, έστω u 1,...,u t. Η σχέση w u j = 0 παριστάνει υπερεπίπεδα κάθετα στο διάνυσµα u j, για κάθε j. Η τοµή υποχώρων είναι υπόχωρος του R n. Η διαφορά a ij b ik αντιστοιχεί σε ένα σύνολο διανυσµάτων, έστω v 1,...,v s. Η σχέση w v l > 0 παριστάνει ανοικτούς ηµιχώρους, για κάθε l. Η τοµή ανοικτών συνόλων είναι ανοικτό σύνολο. Η τοµή υποχώρου και ανοικτού συνόλου ορίζει ανοικτό σύνολο στη σχετική τοπολογία του R n. Ετσι, ορίζεται το σύνολο C[w]. Πρόταση Το σύνολο {C[w] : w R n 0 } σχηµατίζει µία πολυεδρική ϐεντάλια. Απόδειξη. Εστω w, w διανύσµατα του R n 0. Αρχικά, ϑα δείξουµε ότι αν ένα διάνυσµα w ϐρίσκεται σε µία έδρα του C[w], αλλά όχι στο C[w], τότε το C[w ] είναι έδρα του C[w]. Σταθεροποιούµε µία διάταξη όρων και έστω G η ανάγωγη ϐάση Gröbner του I, ως προς τη διάταξη w. Θεωρούµε το J = in w (g) : g G. Επειδή υποθέσαµε ότι το διάνυσµα w ϐρίσκεται σε µία έδρα του C[w], συµπεραίνουµε ότι in w (g) = in w (in w (g)), για κάθε g G.

57 2.2 Βεντάλια Gröbner 57 Εποµένως, In (In w (I)) In (In w (J)). Σύµφωνα µε την Πρόταση 2.2.9, έχουµε ότι Εστω J In w (I). Τότε In (In w (I)) = In w (I). In w (J) In w (In w (I)) = In w,w (I) (και πάλι σύµφωνα µε την Πρόταση 2.2.9), όπου w,w είναι η διάταξη όρων που ορίζεται ως εξής: x u w,w x v ανw u < w v ή ανw u = w v τότεx u w x v, (δηλαδήx u w x v αν w u w v ή αν w u = w v τότε x u x v ). Τότε, In w (I) In w,w (I), το οποίο αντίκειται στο Πόρισµα Άρα, J = In w (I). Αφού έπεται, από το Πόρισµα 1.2.2, ότι In w (I) In w (J) = In w,w (I), In w (I) = In w,w (I). Συνεπώς, η G είναι ανάγωγη ϐάση Gröbner του I και ως προς τη διάταξη όρων w,w. Εποµένως, το σύνολο C[w ] = {w R n 0 : in w (g) = in w (g), για κάθε g G} είναι έδρα του C[w]. Υποθέτουµε ότι C[w 1 ], C[w 2 ] είναι δύο κώνοι που ο ένας δεν περιέχεται στον άλλο. Η τοµή τους (η οποία περιέχει σίγουρα το 0) είναι πεπεραµένη ένωση από κοινές έδρες. Μια τέτοια ένωση µπορεί να είναι κυρτή αν ολόκληρη είναι έδρα. Άρα, η τοµή είναι έδρα και των δύο κώνων, οπότε σύµφωνα µε τον ορισµό , το σύνολο {C[w] : w R n 0 } σχηµατίζει µία πολυεδρική ϐεντάλια. Σχήµα 2.7. Ο πολυεδρικός κώνος C[w].

58 58 Πολύτοπα Ορισµός Η πολυεδρική ϐεντάλια που ορίζεται µε τον παραπάνω τρόπο καλείται ϐεντάλια Gröbner του ιδεώδους I. Παράδειγµα Θεωρούµε το πολυωνυµικό ιδεώδες I = f 1 = x+y,f 2 = x Ο αρχικός όρος του πολυωνύµου f 1, ως προς κάποια διάταξη όρων, ϑα είναι είτε ο x είτε ο y, ενώ του f 2 ϑα είναι ο x 2. Θα ϐρούµε τις πιθανές ϐάσεις Gröbner, σε κάθε περίπτωση. Αν in (f 1 ) = x και in (f 2 ) = x 2, τότε S(f 1,f 2 ) = x2 x2 (x+y) +1) = xy 1 f 1 y 2 1 = f x x 2(x2 3, S(f 1,f 3 ) = xy2 xy2 (x+y) 1) = x+y 3 f 1 y 3 +y f 3 y y = 0, x y 2( y2 S(f 2,f 3 ) = x2 y 2 x 2 (x2 +1) x2 y 2 1) = x 2 +y 2 f 2 y 2 +1 f 3 0. y 2( y2 Άρα, το σύνολο G = {x+y,x 2 +1, y 2 1} αποτελεί ϐάση Gröbner του ιδεώδους I. Από το Θεώρηµα , το αρχικό ιδεώδες του I, In (I), ισούται µε το αρχικό ιδεώδες του G, In (G), αφού G ϐάση Gröbner του ιδεώδους I. ηλαδή, Αν in (f 1 ) = y και in (f 2 ) = x 2, τότε In (I) = x,y 2. S(f 1,f 2 ) = yx2 yx2 (y +x) y x 2 (x2 +1) = y +x 3 f 1 x 3 +x f 2 x x = 0. Άρα, το σύνολο G = {y +x,x 2 +1} αποτελεί ϐάση Gröbner του ιδεώδους I. Από το Θεώρηµα , έπεται ότι In (I) = In (G) = y,x 2. Εποµένως, τα πιθανά αρχικά ιδεώδη είναι δύο, τα x,y 2 και y,x 2. Αν όµως ϑεωρήσουµε το διάνυσµαw = (2,1) τουr 2 0, τότε το αρχικό ιδεώδες τουi, ως προς w, είναι το In w (I) = x,y 2. Τότε το σύνολο C[w] είναι όλα τα διανύσµατα w του R 2 0, για τα οποία ισχύει In w (I) = In w(i) = x,y 2. Αυτό είναι το εσωτερικό ως προς τη σχετική τοπολογία του κώνου που παράγεται από τα διανύσµατα (1,1) και (1,0) του R 2. Τα αρχικά ιδεώδη του I αντιστοιχούν στο εσωτερικό ως προς τη σχετική τοπολογία των κώνων που παράγονται από τα διανύσµατα (1,0),(1,1) και (1,1),(0,1) αντίστοιχα του R 2. Αυτά σχηµατίζουν τη ϐεντάλια Gröbner που ϕαίνεται στο επόµενο σχήµα:

59 2.2 Βεντάλια Gröbner 59 Σχήµα 2.8. Η ϐεντάλια Gröbner του ιδεώδους I = x+y,x Ιδιαίτερη σηµασία παρουσιάζει ο τρόπος µε τον οποίο οι κώνοι σε µία ϐεντάλια κολλάνε ο ένας µε τον άλλο. Στο παραπάνω παράδειγµα, είχαµε δύο κώνους στο επίπεδο, δηλαδή σε χώρο διάστασης δύο. Αυτοί κολλάνε σε µία ευθεία, η οποία παράγεται από ένα διάνυσµα w, για το οποίο το αρχικό ιδεώδες In w (I) δεν είναι µονωνυµικό ιδεώδες. Άρα, δύο προσκείµενοι κώνοι αντιστοιχούν σε κλάσεις ισοδυναµίας κάποιων διανυσµάτων w, όπου ο αρχικός όρος ενός τουλάχιστον από τα στοιχεία της ϐάσης Gröbner αλλάζει. Η ευθεία που ορίζεται από το διάνυσµα (1,1) αντιστοιχεί στο αρχικό ιδεώδες x+y,x 2,y 2. Κλείνοντας την ενότητα, παρουσιάζουµε ένα εντυπωσιακό παράδειγµα. Ο αναγνώστης µπορεί να ανατρέξει στο [10] για περισσότερες πληροφορίες σχετικά µε αυτό. Παράδειγµα Θεωρούµε το ιδεώδες I = x 5 1+z 2 +y 3,y 2 1+z +x 2,z 3 1+y 5 +x 6 του πολυωνυµικού δακτυλίου Q[x, y, z]. Η ϐεντάλια Gröbner του I έχει 360 κώνους πλήρους διάστασης. Η τοµή της ϐεντάλιας Gröbner του I µε το κανονικό 2-µονόπλοκο στον R 3, ϕαίνεται στο σχήµα που ακολουθεί. Σηµειώνουµε ότι το κανονικό 2-µονόπλοκο στον R 3 ορίζεται ως η κλειστή ϑήκη των κανονικών διανυσµάτων e 1 = (1,0,0), e 2 = (0,1,0) και e 3 = (0,0,1). Σχήµα 2.9. Η τοµή της ϐεντάλιας Gröbner του ιδεώδους I µε το κανονικό 2-µονόπλοκο. εξιά είναι ο άξονας των x, αριστερά ο άξονας των y και πάνω ο άξονας των z.