Περιεχόμενα. Πρόλογος

Transcript

1

2 Περιεχόμενα Πρόλογος v 1 Σύνολα Βασικές Εννοιες Απεικονίσεις ΤοΣύνολοτωνΦυσικώνΑριθμών ΣχέσειςΔιάταξης ΣχέσειςΙσοδυναμίας Πράξεις Ασκήσεις Ακέραιοι Αριθμοί ΚατασκευήτωνΑκεραίωνΑριθμών ΔιαιρετότηταΑκεραίων µκδκαι ǫκπ ΕυκλείδειοςΑλγόριθμος ΟιΠρώτοιΑριθμοί ΣχέσειςΙσοτιμίας ΓραμμικέςΙσοτιμίες Ασκήσεις Ομάδες Ορισμός-Παραδείγματα Υποομάδες ΠαραγωγήΟμάδων ΜονογενείςΟμάδες Θεώρηματου Lagrange ΚανονικέςΥποομάδες i

3 ii Περιεχόμενα 3.7 ΜορφισμοιΟμάδων ΘεωρήματαΙσομορφισμού Υποομάδεςτου Sylow ΕπιλύσιμεςΟμάδες Ασκήσεις Δακτύλιοι Βασικές Εννοιες Ιδεώδη ΜορφισμοίΔακτυλίων ΣώμαΚλασμάτων ΠρώτακαιΤοπικάΜέγισταΙδεώδη Ασκήσεις Πολυώνυμα ΟΔακτύλιοςτωνΠολυωνύμων ΔιαιρετότηταΠολυωνύμων ΑνάγωγαΠολυώνυμα ΡίζεςΠολυωνύμου ΠαράγωγοςΠολυωνύμου ΜιγαδικάΠολυώνυμα Ασκήσεις Πίνακες Ορισμοί-ΒασικέςΙδιότητες ΚλιμακωτοίΠίνακες Ορίζουσες ΒαθμίδαΠίνακα ΓραμμικάΣυστήματα Ασκήσεις Γραμμικοί Χώροι Ορισμός-Παραδείγματα ΓραμμικοίΥποχώροι ΑθροίσματαΥποχώρων ΠαραγωγήΥποχώρων ΓραμμικήΕξάρτησηΔιανυσμάτων Βάσεις Ασκήσεις...296

4 Περιεχόμενα iii 8 Γραμμικές Απεικονίσεις Ορισμός-ΒασικέςΙδιότητες Γραμμικές Απεικονίσεις στην Πεπερασμένη Διάσταση ΔυϊκόςΧώρος ΠίνακαςΓραμμικήςΑπεικόνισης Ιδιοτιμές-Ιδιοδιανύσματα Διαγωνιοποίηση ΕλάχιστοΠολυώνυμοΕνδομορφισμού ΚανονικήΜορφήτου Jordan Ασκήσεις Χώροι με Εσωτερικό Γινόμενο ΕσωτερικόΓινόμενο ΟρθοκανονικέςΒάσεις Ισομετρίες ΠροσαρτημένοςενόςΕνδομορφισμού ΑυτοπροσαρτημένοιΕνδομορφισμοί ΤετραγωνικέςΜορφές ΚανονικοίΕνδομορφισμοί Ασκήσεις Αντιμεταθετικοί Δακτύλιοι ΔακτύλιοιΜονογενώνΙδεωδών ΜοναδικήΠαραγοντοποίηση ΑπαλοίφουσαΔύοΠολυωνύμων Δακτύλιοιτης Noether ΔακτύλιοιΚλασμάτων Ασκήσεις Πρότυπα Ορισμός-Παραδείγματα ΜορφισμοίΠροτύπων Πρότυπατης Noether ΕλεύθεραΠρότυπα ΤανυστικόΓινόμενο ΑκριβείςΑκολουθίες ΠρότυπαΚλασμάτων Άλγεβρες Ασκήσεις

5 iv Περιεχόμενα 12 Επεκτάσεις Σωμάτων ΑκέραιαΣτοιχεία ΑλγεβρικέςΕπεκτάσεις ΚατασκευέςμεΚανόνακαιΔιαβήτη ΑλγεβρικόΚάλυμμα ΧαρακτηριστικόΠολυώνυμο ΚανονικέςΕπεκτάσεις ΔιαχωρίσιμεςΕπεκτάσεις ΑπλέςΥπερβατικέςΕπεκτάσεις ΥπερβατικέςΒάσεις Ασκήσεις Θεωρία του Galois Επεκτάσειςτου Galois ΤοΘεμελιώδεςΘεώρημα ΠεπερασμέναΣωμάτα ΚυκλοτομικέςΕπεκτάσεις ΕπίλυσηΕξισώσεωνμεΡιζικά Ασκήσεις Βιβλιογραφία 575 Ευρετήριο Ορων 577

6 Πρόλογος Η Άλγεβρα είναι ένας από τους βασικότερους και παλαιότερους κλάδους της Μαθηματικής Επιστήμης. Η σπουδαιότητά της δεν οφείλεται μόνο στη ποικιλία των μεθόδων και προβλημάτων της, αλλά και στις σημαντικές εφαρμογές της σε άλλους κλάδους της επιστήμης, όπως για παράδειγμα στη Κβαντική Μηχανική, Θεωρία Ελέγχου, Κρυπτογραφία και Θεωρία Κωδίκων. Τοπαρόνσύγγραμμαπεριέχειτηνύλητηςάλγεβραςηοποίαδιδάσκεται στο προπτυχιακό πρόγραμμα ενός Τμήματος Μαθηματικών, καθώς και θέματα τα οποία περιλαμβάνονται συνήθως σε μεταπτυχιακά μαθήματα. Επίσης, περιέχει πολλά παραδείγματα, καθώς και άλυτες ασκήσεις ποικίλης δυσκολίας. Οι προαπαιτούμενες γνώσεις για την κατανόηση του περιεχομένου του περιορίζονται σ αυτές της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Σκοπός αυτού του συγγράμματος είναι ν αποτελέσει χρήσιμο βοήθημα για οποιονδήποτε επιθυμεί να μελετήσει τα θέματα που διαπραγματεύεται. Το σύγγραμμα αυτό αποτελείται από 13 κεφάλαια. Στο πρώτο δίνονται οι βασικές ιδιότητες των συνόλων, των σχέσεων, των απεικονίσεων, η αξιωματική θεμελίωση των φυσικών αριθμων και εισάγονται οι πιο απλές αλγεβρικές δομές της ημιομάδας και του μονοειδούς. Το δεύτερο κεφάλαιο ασχολείται με τους ακέραιους αριθμούς. Παρουσιάζεται η αξιωματικής τους θεμελίωση και μελετώνται η Ευκλείδεια διαίρεση, ο μέγιστος κοινός διαιρέτης, το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, οι πρώτοι αριθμοί και οι ιδιότητες της σχέσης ισοτιμίας. Στο τρίτο κεφάλαιο δίνεται μία εισαγωγή στη θεωρία ομάδων. Παρουσιάζονται οι βασικές ιδιότητές των ομάδων, οι μορφισμοί τους, οι υποομάδες τους, τα θεωρήματα των Lagrange, και Sylow, καθώς και οι επιλύσιμες ομάδες. Στο τέταρτο κεφάλαιο περιγράφουμε την δομή των δακτυλίων, τα ιδεώδη τους, τους μορφισμούς τους και το σώμα κλασμάτων ενός πεδίου v

7 vi Πρόλογος ακεραιότητας. Ο δακτύλιος των πολυωνύμων είναι το θέμα του πέμπτου κεφαλαίου. Σ αυτό μελετώνται, η διαιρετότητα των πολυωνύμων, οι ρίζες τους και δίνεται μία απόδειξη του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας, καθώς και οι μέθοδοι επίλυσης των εξισώσεων τρίτου και τετάρτου βαθμού. Στο έκτο κεφάλαιο μελετώνται ο δακτύλιος των πινάκων, οι ορίζουσες και η εφαρμογή τους στη επίλυση των συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Το έβδομο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στη μελέτη των γραμμικών χώρων, των υποχώρων τους, στη γραμμικη εξάρτηση των στοιχείων τους, καθώς και στις βάσεις τους. Οι γραμμικές απεικονίσεις είναι το θέμα του όγδου κεφαλαίου. Σ αυτό εξετάζουμε τις βασικές τους ιδιότητες, την παράστασή τους από πίνακα, τις ιδιοτιμές τους, την διαγωνιοποίησή τους, καθώς και την κανονική μορφή του Jordan. Στο ένατο κεφάλαιο εισάγονται οι γραμμικοί χώροι με εσωτερικό γινόμενο και μελετώνται οι ορθοκανονικές βάσεις τους, οι ισομετρίες τους, οι προσαρτημένοι ενδομορφισμοί τους, οι κανονικοί ενδομορφισμοί και οι τετραγωνικές μορφές. Το θέμα του δέκατου κεφαλαίου είναι οι αντιμεταθετικοί δακτύλιοι. Πιο συγκεκριμένα, εισάγονται οι Ευκλείδειοι δακτύλιοι, οι δακτύλιοι μονογενών ιδεωδών, οι δακτύλιοι μοναδικής παραγοντοποίησης οι δακτύλιοι της Noether, οι δακτύλιοι κλασμάτων και δίνονται βασικές τους ιδιότητες. Το ενδέκατο κεφάλαιο ασχολείται με την μελέτη των προτύπων επί ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου των υποπροτύπων τους και των μορφισμών τους. Επίσης, παρουσιάζονται τα ελεύθερα πρότυπα, τα πρότυπα της Noether, τα τανυστικά γινόμενα και οι ακριβείς ακολουθίες. Στο δωδέκατο κεφάλαιο μελετώνται τα ακέραια στοιχεία επί ενός δακτυλίου και στη συνέχεια οι αλγεβρικές και υπερβατικές επεκτάσεις σωμάτων. Παρουσιάζονται τα άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας και η σύνδεσή τους με τις επεκτάσεις σωμάτων. Δίνεται η κατασκευή του αλγεβρικού καλύμματος ενός σώματος, οι κανονικές επεκτάσεις, οι διαχωρίσιμες επεκτάσεις, καθώς και οι υπερβατικές. Το τελευταίο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στις επεκτάσεις του Galois, στα πεπερασμένα σώματα και τις κυκλοτομικές επεκτάσεις. Τέλος, μελετάται το κλασσικό πρόβλημα της επιλυσιμότητας μίας αλγεβρικής εξίσωσης με ριζικά.

8 Πρόλογος vii Ευχαριστώ θερμά τον συνάδελφό μου καθηγητή Α. Πάπιστα ο οποίος διάβασε μέρος του κειμένου και μου έκανε χρήσιμες παρατηρήσεις. Θεσσαλονίκη Αύγουστος 2014

9 Κεφάλαιο 1 Σύνολα Σ αυτό το κεφάλαιο παρουσιάζονται οι βασικές ιδιότητες των συνόλων και των απεικονίσεων. Δίνεται η αξιωματική θεμελίωση του συνόλου των φυσικών αριθμών του Peano, εισάγονται οι θεμελιώδεις σχέσεις της διάταξης και της ισοδυναμίας, καθώς και οι βασικές τους ιδιότητες. Τέλος, εισάγεται η έννοια της πράξης επί ενός συνόλου, της ημιομάδας και του μονοειδούς. 1.1 Βασικές Εννοιες Η έννοια του συνόλου ως πρωτογενής έννοια δεν είναι δυνατόν να οριστεί με απόλυτη μαθηματική ακρίβεια. Ετσι, λοιπόν, λέμε διαισθητικά ότι σύνολο είναι μία συλλογή διακεκριμμένων και αυστηρώς καθορισμένων αντικειμένων τα οποία λαμβάνονται ως μία ενότητα. Τα αντικείμενα που το αποτελούν ονομάζονται στοιχεία του. Η συλλογή αυτή μπορεί να μην περιέχει κανένα στοιχείο. Το σύνολο αυτό καλείται κενό και συμβολίζεται με Ø. Παράδειγμα 1.1 Σημαντικά σύνολα είναι το σύνολο N των φυσικών αριθμών 0, 1, 2,..., το σύνολο Z των ακεραίων αριθμών 0, ±1, ±2,..., όπως επίσης και τα σύνολα Q, R και C των ρητών, πραγματικών και μιγαδικών αριθμών, αντίστοιχα. Αν x είναι στοιχείο ενός μη κενού συνόλου S, τότε θα γράφουμε x S, ενώ στην αντίθετη περίπτωση x S. Π.χ. 2 Z και 2 N. Ενα σύνολο S με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων μπορεί να παρασταθεί δι αναγραφής όλων των στοιχείων του. Πιό συγκεριμένα, αν 1

10 2 1. Σύνολα x 1, x 2,..., x n είναι όλα τα στοιχεία του S, τότε γράφουμε S = {x 1, x 2,..., x n }. Αν το S αποτελείται από στοιχεία ενός συνόλου T που έχουν μία συγκεκριμένη ιδιότητα P, τότε γράφουμε S = {x T/ x έχει την ιδιότητα P }. Παράδειγμα 1.2 Το σύνολο των άρτιων φυσικών E μπορεί να παρασταθεί ως εξής: E = {x N/ υπάρχει y N τέτοιο, ώστε x = 2y}. Ορισμός 1.1 Δύο σύνολα A και B καλούνται ίσα και γράφουμε A = B, αν αποτελούνται από τα ίδια ακριβώς στοιχεία. Παράδειγμα 1.3 Τα σύνολα A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} και είναι ίσα. B = {x N/ x 10} Ορισμός 1.2 Ας είναι A και B δύο σύνολα. Το A καλείται υποσύνολο του B ή το B υπερσύνολο του A, αν για κάθε x A έχουμε x B. Τότε γράφουμε A B ή B A. Δεχόμαστε ότι το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου. Ας είναι A, B και C σύνολα. Εύκολα βλέπουμε ότι ισχύουν οι εξής ιδιότητες: 1. A A. 2. A = B αν και μόνον αν A B και B A. 3. Αν A B και B C, τότε A C. Ορισμός 1.3 Ας είναι A και B δύο σύνολα. Το A καλείται γνήσιο υποσύνολο του B ή το B γνήσιο υπερσύνολο του A, αν A B και υπάρχει x B με x A. Τότε γράφουμε A B ή B A.

11 1.1. Βασικές Εννοιες 3 Παράδειγμα 1.4 Το σύνολο N είναι γνήσιο υποσύνολο του Z, το Z γνήσιο υποσύνολο του Q, το Q γνήσιο υποσύνολο του R και το R γνήσιο υποσύνολο του C. Ορισμός 1.4 Ας είναι A ένα σύνολο. Καλούμε δυναμοσύνολο του A και το συμβολίζουμε με P(A) το σύνολο όλων των υποσυνόλων του. Παράδειγμα 1.5 Ας είναι A = {1, 2, 3}. Το δυναμοσύνολο του A είναι το σύνολο: P(A) = {Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, A}. Στη συνέχεια θα ορίσουμε μερικές πράξεις επί των συνόλων. Ορισμός 1.5 Καλούμε τομή των συνόλων A και B, και συμβολίζουμε με A B, το σύνολο των στοιχείων που ανήκουν και στα δύο σύνολα, δηλαδή A B = {x/ x A και x B}. Αν A B = Ø, τότε τα A και B καλούνται ξένα μεταξύ τους. Παράδειγμα 1.6 Ας είναι A = {2, 3, 4}, B το σύνολο των αρτίων αριθμών και C = {x C/ x 3 = 1}. Εχουμε A B = {2, 4} και A C = Ø. Ορισμός 1.6 Καλούμε ένωση των συνόλων A και B, και συμβολίζουμε με A B, το σύνολο των στοιχείων που ανήκουν είτε στο A είτε στο B, δηλαδή A B = {x/ x A ή x B}. Παράδειγμα 1.7 Ας είναι A = {1, 3, 5} και B = {1, 2, 3}. Τότε A B = {1, 3, 5, 2, 3}. Αν A, B και C είναι σύνολα, τότε ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: 1. A A = A, A A = A. 2. A B = B A, A B = B A. 3. (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C).

12 4 1. Σύνολα 4. A Ø = Ø, A Ø = A. 5. A B A, A B B, A B A, A B B. 6. A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C). Θ αποδείξουμε μόνο την δεύτερη από τις ισότητες (6). Εχουμε x A (B C), αν και μόνον αν είτε x A είτε x B C. Καθώς, όμως, x B C ισοδυναμεί με x B και x C, έχουμε x A (B C), αν και μόνον αν είτε x A και x B είτε x A και x C. Ετσι, x A (B C), αν και μόνον αν είτε x A B είτε x A C που ισοδυναμεί με x (A B) (A C). Άρα η ισότητα ισχύει. Ορισμός 1.7 Καλούμε διαφορά του B από το A, το σύνολο A \ B = {x/ x A και x B}. Παράδειγμα 1.8 Ας είναι A = {1, 2, 3, 4} και B το σύνολο των περιττών ακεραίων. Τότε A \ B = {2, 4}. Ορισμός 1.8 Αν A X, τότε το σύνολο X \ A καλείται συμπλήρωμα του A μέσα στο X. Αν είναι σαφές σε ποιό σύνολο X αναφερόμαστε, τότε συμβολίζουμε το συμπλήρωμα του A μέσα στο X με A c. Παράδειγμα 1.9 Το συμπλήρωμα του συνόλου των άρτιων φυσικών αριθμών μέσα στο N είναι το σύνολο των περιττών φυσικών αριθμών Π = {x N/ υπάρχει y N τέτοιο, ώστε x = 2y + 1}. Ας είναι X ένα σύνολο και A, B υποσύνολά του. Τότε ισχύουν οι εξής ιδιότητες: 1. A A c = X, A A c = Ø. 2. (A c ) c = A. 3. A B αν και μόνον αν A c B c.

13 1.1. Βασικές Εννοιες 5 4. (A B) c = A c B c, (A B) c = A c B c. Θ αποδείξουμε μόνο την πρώτη από τις ισότητες (4). Εχουμε x (A B) c αν και μόνον αν x A B που ισοδυναμεί με x A και x B. Αυτό όμως συμβαίνει αν και μόνον αν x A c και x B c που είναι ισοδύναμο με x A c B c. Άρα, x (A B) c αν και μόνον αν x A c B c. Συνεπώς, (A B) c = A c B c. Ορισμός 1.9 Ας είναι a και b δύο αντικείμενα. Καλούμε διατεταγμένο ζεύγος με πρώτο στοιχείο το a και δεύτερο το b το σύνολο (a, b) = {{a}, {a, b}}. Εχουμε (a, b) = (c, d), αν και μόνον αν a = c και b = d. Πράγματι, αν (a, b) = (c, d), τοτε {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}. Ετσι, {a} = {c} ή {a} = {c, d}. Αν {a} = {c, d}, τότε c {a} και επομένως a = c. Ομοια, αν {a} = {c}, τότε παίρνουμε a = c. Οπότε, έχουμε {a, b} = {a, d}, απ όπου b = d. Αντίστροφα, αν a = c και b = d, τότε {a} = {c} και {a, b} = {c, d}, απ όπου (a, b) = (c, d). Η έννοια του διατεταγμένου ζεύγους μπορεί να επεκταθεί σε περισσότερα από δύο αντικείμενα. Αν a, b και c είναι τρία αντικείμενα, τότε ο- ρίζουμε το διατεταγμένο ζεύγος (a, b, c) με πρώτο στοιχείο το a, δεύτερο το b και τρίτο το c να είναι το ((a, b), c), δηλαδή (a, b, c) = ((a, b), c). Συνεχίζοντας μ αυτόν τον τρόπο, μπορούμε να ορίσουμε το διατεταγμένο ζεύγος (a 1,..., a n ) για οποιαδήποτε n αντικείμενα a 1,..., a n. Επίσης, θα έχουμε (a 1,..., a n ) = (b 1,..., b n ), αν και μόνον αν a i = b i (i = 1,..., n). Ορισμός 1.10 Αν A 1,..., A n είναι σύνολα, τότε καλούμε Καρτεσιανό γινόμενο των A 1,..., A n το σύνολο A 1 A n = {(a 1,..., a n )/ a i A i, i = 1,..., n}. Αν A 1 =... = A n = A, τότε θα γράφουμε A n αντί για A A. Ας είναι A, B και C σύνολα. Τότε ισχύουν τα εξής: 1. A Ø = Ø A = Ø. 2. A (B C) = (A B) (A C).

14 6 1. Σύνολα 3. A (B C) = (A B) (A C). Ορισμός 1.11 Ας είναι A και B δύο σύνολα. Κάθε υποσύνολο R του Καρτεσιανού γινομένου A B καλείται σχέση από το A στο B. Αν R είναι μία σχεση από ένα σύνολο A στο A θα λέμε πιο απλά ότι R είναι μία σχέση στο A. Επίσης, αν (x, y) R, τότε συχνά θα γράφουμε xry. Παράδειγμα 1.10 Το σύνολο είναι μία σχέση στο R. C = {(x, y) R 2 / x 2 + y 2 = 1} Ορισμός 1.12 Ας είναι R μία σχέση στο σύνολο A. Η R καλείται ανακλαστική, αν για κάθε a A ισχύει ara. Η R καλείται συμμετρική, αν ισχύει arb = bra. Η R καλείται αντισυμμετρική, αν ισχύει arb και bra = a = b. Τέλος, η R καλείται μεταβατική, αν ισχύει arb και brc = arc. Παράδειγμα 1.11 Ας είναι A ένα μη κενό σύνολο. Το σύνολο A = {(a, a) A 2 / a A} καλείται διαγώνιος του A. Η διαγώνιος του A είναι μία σχέση ανακλαστική, συμμετρική, αντισυμμετρική και μεταβατική. Παράδειγμα 1.12 Το σύνολο C του Παραδείγματος 1.10 είναι μία συμμετρική σχέση στο R η οποία δεν είναι ανακλαστική, μεταβατική και αντισυμμετρική. Παράδειγμα 1.13 Το σύνολο B = {(p, r) R 2 / 1 < p 2 < r} μία σχέση μεταβατική στο R που δεν είναι ανακλαστική, συμμετρική και αντισυμμετρική.

15 1.2. Απεικονίσεις Απεικονίσεις Σ αυτή την ενότητα θα εισάγουμε ένα από τα πλέον σημαντικά είδη σχέσεων. Ορισμός 1.13 Καλούμε απεικόνιση ή συνάρτηση από ένα σύνολο A σ ένα σύνολο B κάθε σχέση f από το A στο B τέτοια, ώστε για κάθε a A υπάρχει μοναδικό b B έτσι, ώστε afb. Το στοιχείο b καλείται εικόνα του a διά μέσου της f και συμβολίζεται με f(a). Το σύνολο A καλείται πεδίο ορισμού της f και το B πεδίο τιμών. Διαισθητικά, μία απεικόνιση από ένα σύνολο A σ ένα σύνολο B είναι ένας κανόνας που αντιστοιχίζει σε κάθε στοιχείο του A ακριβώς ένα στοιχείο του B. Γράφουμε f : A B για να δηλώσουμε ότι η f είναι μία απεικόνιση με πεδίο ορισμού το A και πεδίο τιμών το B. Συχνά, για να δείξουμε ότι το στοιχείο b B είναι η εικόνα του a A γράφουμε a b. Ετσι, για να περιγράψουμε την απεικόνιση f που αντιστοιχεί κάθε πραγματικό αριθμό x στο 2x 2 + 1, γράφουμε f : R R, x 2x ή f : R R με f(x) = 2x Παράδειγμα 1.14 Ας είναι X ένα σύνολο. Μία απεικόνιση της μορφής f : N X καλείται ακολουθία στοιχείων του X. Ας είναι a 0 = f(0), a 1 = f(1),.... Τότε γράφουμε f = (a 0, a 1,...) ή σύντομα f = (a n ) n N. Παράδειγμα 1.15 Ας είναι I ένα σύνολο και X ένα σύνολο του οποίου τα στοιχεία είναι σύνολα. Αν f : I X είναι μία απεικόνιση και X i = f(i), για κάθε i I, τότε η f καλείται οικογένεια συνόλων με δείκτες από το I και γραφουμε f = (X i ) i I. Ορισμός 1.14 Δύο απεικονίσεις f : A B και g : A B καλούνται ίσες, και γράφουμε f = g, αν για κάθε a A ισχύει f(a) = g(a). Ορισμός 1.15 Ας είναι f : A B μία απεικόνιση και C A. Καλούμε εικόνα του C διά μέσου της f το σύνολο f(c) = {f(a)/ a C}.

16 8 1. Σύνολα Αν E και F είναι υποσύνολα του A, τότε εύκολα διαπιστώνουμε ότι ισχύουν οι εξής σχέσεις: 1. f(e F ) = f(e) f(f ), 2. f(e F ) f(e) f(f ). Το παρακάτω παράδειγμα δείχνει ότι στην σχέση (2) δεν ισχύει γενικά η ισότητα. Παράδειγμα 1.16 Ας είναι A = {1, 2, 3, 4} και f : A E με f(1) = 2, f(2) = 1, f(3) = 1, f(4) = 2. Αν E = {1, 2, 3} και F = {2, 3, 4}, τότε f(e F ) = f({2, 3}) = {1} και f(e) f(f ) = {1, 2}. Άρα f(e F ) f(a) f(b). Ορισμός 1.16 Ας είναι f : A B μία απεικόνιση και D B. Καλούμε αντίστροφη εικόνα του D διά μέσου της f το σύνολο f 1 (D) = {a A/ f(a) D}. Αν K, L είναι υποσύνολα του B, τότε εύκολα αποδεικνύονται τα εξής: 1. f 1 (K L) = f 1 (K) f 1 (L), 2. f 1 (K L) = f 1 (K) f 1 (L). 3. f 1 (K c ) = f 1 (K) c. Ορισμός 1.17 Ας είναι f : A B μία απεικόνιση. Η f καλείται ένεση αν για κάθε x, y A με x y ισχύει f(x) f(y), έφεση αν φ(a) = B, και αμφίεση αν είναι συγχρόνως ένεση και έφεση. Παρατηρούμε αμέσως ότι η απεικόνιση f είναι ένεση, αν για κάθε x, y A, με f(x) = f(y), συνεπάγεται x = y. Παράδειγμα 1.17 Η απεικόνιση σ : N Z, n n 2 είναι ένεση. Πράγματι, αν x, y N με x 2 = y 2, τότε, καθώς x, y N, έχουμε x = y. Άρα, η σ είναι ένεση.

17 1.2. Απεικονίσεις 9 Παράδειγμα 1.18 Η απεικόνιση τ : C C, z z 2 είναι έφεση και δεν είναι ένεση. Πράγματι, για κάθε w C υπάρχει z C τέτοιο, ώστε z 2 = w. Άρα, η τ είναι έφεση. Αν w 0, τότε υπάρχουν δύο ακριβώς διαφορετικοί μιγαδικοί αριθμοί, οι z και z που έχουν ως εικόνα τον w. Συνεπώς, η τ δεν είναι ένεση. Παράδειγμα 1.19 Ας είναι A ένα σύνολο. Η απεικόνιση I A : A A, a a καλείται ταυτοτική. Η απεικόνιση I A είναι προφανώς αμφίεση. Παράδειγμα 1.20 Θα δείξουμε ότι η απεικόνιση h : Z N με h(x) = { 2x + 1, 2x, αν x > 0, αν x 0, είναι αμφίεση. Ας είναι n N. Τότε υπάρχει k N με n = 2k ή n = 2k + 1. Άρα n = h( k) ή n = h(k) και επομένως η h είναι έφεση. Ας είναι a, b Z με h(a) = h(b). Τότε 2a + 1 = 2b + 1 ή 2a = 2b, απ όπου έχουμε a = b και επομένως η h είναι ένεση. Συνεπώς, η h είναι αμφίεση. Ορισμός 1.18 Ας είναι f : A B και g : B C δύο απεικονίσεις. Η απεικόνιση g f : A C, z g(f(z)) καλείται σύνθεση των απεικονίσεων f και g. Παράδειγμα 1.21 Θεωρούμε τις απεικονίσεις και f : Z N, n n 2 g : N N, n 3n Η σύνθεση των f και g είναι η απεικόνιση g f : Z N, n 3n

18 10 1. Σύνολα Πρόταση 1.1 Ας είναι f : A B, g : B C και h : C D τρεις απεικονίσεις. Τότε ισχύει Επίσης, έχουμε h (g f) = (h g) f. f I A = f και I B g = g. Απόδειξη. Ας είναι x A. Εχουμε και Άρα (h (g f))(x) = h((g f)(x)) = h(g(f(x))) ((h g) f)(x) = (h g)(f(x)) = h(g(f(x))). (h (g f))(x) = ((h g) f)(x) και επομένως h (g f) = (h g) f. Επίσης, για κάθε x A, έχουμε (f I A )(x) = f(i A (x)) = f(x). Άρα f I A = f. Ομοια παίρνουμε I B g = g. Πρόταση 1.2 Ας είναι f : A B και g : B C απεικονίσεις. Αν οι f και g είναι ενέσεις (αντίστοιχα εφέσεις), τότε η απεικόνιση g f είναι ένεση (αντίστοιχα έφεση). Απόδειξη. Ας υποθέσουμε ότι οι f και g είναι ενέσεις. Αν (g f)(x) = (g f)(y), τότε g(f(x)) = g(f(y)) και, καθώς η g είναι ένεση, έχουμε f(x) = f(y). Ομοια, επειδή η f είναι ένεση, παίρνουμε x = y. Άρα, η g f είναι ένεση. Ας υποθέσουμε τώρα ότι οι f και g είναι εφέσεις. Ας είναι z C. Καθώς η g είναι έφεση, υπάρχει y B με g(y) = z. Ομοια, επειδή η f είναι έφεση, υπάρχει x A με f(x) = y και κατά συνέπεια έχουμε (g f)(x) = z. Επομένως, η g f είναι έφεση. Πόρισμα 1.1 Αν οι απεικονίσεις f : A B και g : B C είναι αμφιέσεις, τότε η απεικόνιση g f είναι αμφίεση. Ορισμός 1.19 Μία απεικόνιση f : A B καλείται αντιστρέψιμη, αν υπάρχει απεικόνιση g : B A τέτοια, ώστε να ισχύει g f = I A και f g = I B.

19 1.2. Απεικονίσεις 11 Ας υποθέσουμε ότι η απεικόνιση f : A B είναι αντιστρέψιμη. Αν υπάρχουν δύο απεικονίσεις g : B A και g : B A τέτοιες, ώστε g f = I A, f g = I B και g f = I A, f g = I B, τότε, χρησιμοποιώντας την Πρόταση 1.1, παίρνουμε g = g I B = g (f g ) = (g f) g = I A g = g. Επομένως, η απεικόνιση g είναι μοναδική και συμβολίζεται με f 1. Ορισμός 1.20 Ας είναι f : A B μία αντιστρέψιμη απεικόνιση. Η απεικόνιση f 1 καλείται αντίστροφη απεικόνιση της f. Πρόταση 1.3 Μία απεικόνιση f : A B είναι αντιστρέψιμη, αν και μόνον αν είναι αμφίεση. Απόδειξη. Ας υποθέσουμε ότι η f είναι αντιστρέψιμη. Οπότε, υπάρχει απεικόνιση g : B A τέτοια, ώστε να ισχύει g f = I A και f g = I B. Αν x, y A με f(x) = f(y), τότε g(f(x)) = g(f(y)). Ετσι, έχουμε (g f)(x) = (g f)(y), απ όπου x = y. Άρα, η f είναι ένεση. Αν b B, τότε (f g)(b) = I B (b) και επομένως f(g(b)) = b. Άρα, η f είναι έφεση. Συνεπώς, η f είναι αμφίεση. Αντίστροφα, ας υποθέσουμε ότι η f είναι αμφίεση. Τότε, για κάθε b B υπάρχει μοναδικό a A με f(a) = b. Πράγματι, ένα τέτοιο a υπάρχει γιατί η f είναι έφεση και είναι μοναδικό γιατί η f είναι ένεση. Ετσι, αντιστοιχόντας το b στο a παίρνουμε μία απεικόνιση g : B A τέτοια, ώστε g(b) = a, αν και μόνον αν f(a) = b. Παρατηρούμε ότι (g f)(a) = a, για κάθε a A, και (f g)(b) = b, για κάθε b B. Άρα, έχουμε g f = I A και f g = I B. Επομένως, η απεικόνιση f : A B είναι αντιστρέψιμη. Πρόταση 1.4 Ας είναι f : A B και g : B C αμφιέσεις. Τότε η αντίστροφη απεικόνιση της αμφίεσης g f είναι η (g f) 1 = f 1 g 1. Επίσης, για κάθε αμφίεση f : A B ισχύει (f 1 ) 1 = f. Απόδειξη. Εχουμε (g f) (f 1 g 1 ) = ((g f) f 1 ) g 1 = (g (f f 1 )) g 1 = (g I B ) g 1 = g g 1 = I C.

20 12 1. Σύνολα Ομοια παίρνουμε (f 1 g 1 ) (g f) = I A. Άρα, (g f) 1 = f 1 g 1. Επίσης, από τις σχέσεις f f 1 = I B και f 1 f = I A συνεπάγεται (f 1 ) 1 = f. Ορισμός 1.21 Ας είναι A και B δύο σύνολα. Καλούμε τα A και B ισοπληθή αν υπάρχει μία αμφίεση f : A B. Ενα σύνολο ισοπληθές με το N καλείται αριθμήσιμο. Λέμε ότι ένα σύνολο έχει την δύναμη του συνεχούς, αν είναι ισοπληθές με το R. Επίσης, αν ένα σύνολο A έχει πεπερασμένο πλήθος στοιχείων καλείται πεπερασμένο και συμβολίζουμε με A το πλήθος των στοιχείων του. Παράδειγμα 1.22 Τα σύνολα N και 2N = {2n/ n N} είναι ισοπληθή. Πράγματι, θεωρούμε την απεικόνιση f : N 2N, n 2n. Αν f(n) = f(m), τότε 2n = 2m, απ όπου n = m. Άρα, η f είναι ένεση. Αν z 2N, τότε υπάρχει x N με z = 2x και επομένως z = f(x). Άρα η f είναι και έφεση. Συνεπώς, η f είναι αμφίεση. Ετσι, συνάγεται ότι τα σύνολα N και 2N είναι ισοπληθή. Ας είναι A και B δύο πεπερασμένα σύνολα. Εύκολα αποδεικνύονται οι εξής ιδιότητες: 1. A B = A + B A B, 2. A B = A B. 1.3 Το Σύνολο των Φυσικών Αριθμών Η αξιωματική θεμελίωση του συνόλου των φυσικών αριθμών N δόθηκε το 1882 από τον G. Peano. Σ αυτή την ενότητα θα παρουσιάσουμε Θα παρουσιάσουμε τα αξιώματα του Peano καθώς και τις βασικές ιδιότητες της πρόσθεσης, πολλαπλασιασμού και διάταξης στο N. Τα αξιώματα του G. Peano. Το σύστημα των φυσικών αριθμών είναι ένα σύνολο N εφοδιασμένο με μία απεικόνιση σ : N N και ένα στοιχείο 0 N έτσι, ώστε να ισχύουν τα εξής: Η απεικόνιση σ είναι ένεση.

21 1.3. Το Σύνολο των Φυσικών Αριθμών 13 0 σ(n). Αν S N με 0 S και σ(n) S, για κάθε n S, τότε S = N. Η απεικόνιση σ καλείται απεικόνιση διαδοχής και το σ(x) διάδοχος του x. Το τρίτο αξίωμα καλείται Αρχή της Μαθηματικής Επαγωγής. Απ αυτό έχουμε N = {0, σ(0), σ(σ(0)),...}. Θέτοντας σ(0) = 1, σ(1) = 2, σ(2) = 3,... επανερχόμαστε στη συνηθισμένη γραφή των φυσικών αριθμών. Η Αρχή της Μαθηματικής Επαγωγής αποτελεί την βάση μία αποδεικτικής διαδικασίας που καλείται Μέθοδος της Μαθηματικής Επαγωγής και εφαρμόζεται για την απόδειξη προτάσεων P (n) που εξαρτώνται από τον n. Πιο συγκεκριμένα, θεωρούμε το σύνολο S = {n N/ P (n) αληθής}. Αποδεικνύοντας ότι 0 S και ότι για κάθε n S έχουμε n + 1 S, τότε, από την Αρχή της Μαθηματικής επαγωγής, έχουμε S = N. Επομένως, η πρόταση P (n) είναι αληθής για κάθε n N. Για κάθε m N θέτουμε m + 0 = m, m + 1 = σ(m + 0), m + 2 = σ(m + 1),.... Δηλαδή, για κάθε m, n N έχουμε m + 0 = m και m + σ(n) = σ(m + n). Επίσης, για κάθε k N \ {0} υπάρχει n με σ(n) = k. παραπάνω σχέσεις ορίζουν την απεικόνιση Ετσι, οι + : N N N, (m, n) m + n Ορισμός 1.22 Η απεικόνιση + καλείται πρόσθεση και η εικόνα m+n του ζεύγους (m, n) καλείται άθροισμα των m και n. Ο ορισμός αυτός της πρόσθεσης καλείται επαγωγικός γιατί το ά- θροισμα των m και σ(n) ορίζεται με βάση τον ορισμό του αθροίσματος των m και n. Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω σχέσεις ορισμού, μπορούμε να υπολογίσουμε το άθροισμα δύο οποιωνδήποτε φυσικών. Παράδειγμα 1.23 Εχουμε = 3 + σ(1) = σ(3 + 1) = σ(3 + σ(0)) = σ(σ(3)) = σ(4) = 5, όπως περιμέναμε.

22 14 1. Σύνολα Θέτοντας m 0 = 0 και m σ(n) = m n + m, για κάθε m, n N, ορίζουμε επαγωγικά την απεικόνιση : N N N, (m, n) m n. Ορισμός 1.23 Η απεικόνιση καλείται πολλαπλασιασμός και η εικόνα m n του ζεύγους (m, n) καλείται γινόμενο των m και n. Το γινόμενο m n των φυσικών m και n συμβολίζεται συνήθως πιο απλά με mn. Μπορούμε να βρούμε το γινόμενο δύο φυσικών χρησιμοποιώντας τις επαγωγικές σχέσεις ορισμού. Παράδειγμα 1.24 Εχουμε 3 2 = 3 σ(1) = = 3 σ(0) + 3 = ( ) + 3 = Στο παραπάνω παράδειγμα δείξαμε ότι = 5. Οπότε = 3 + σ(2) = σ(3 + 2) = σ(5) = 6. Οι βασικότερες ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού δίνονται παρακάτω. Πρόταση 1.5 Για κάθε x, y, z N ισχύουν τα εξής: (α) x + (y + z) = (x + y) + z, (β) x + y = y + x, (γ) x(y + z) = xy + xz, (δ) x(yz) = (xy)z, (ε) xy = yx, (στ) x + y = x + z y = z, (η) xy = xz και x 0 y = z. Απόδειξη. (α) Θεωρούμε το σύνολο Από την ισότητα S = {k N/ x + (y + k) = (x + y) + k}. x + (y + 0) = x + y = (x + y) + 0, παίρνουμε 0 S. Ας υποθέσουμε ότι k S. Εχουμε x + (y + σ(k)) = x + σ(y + k) = σ(x + (y + k)) = σ((x + y) + k) = (x + y) + σ(k)

23 1.3. Το Σύνολο των Φυσικών Αριθμών 15 και επομένως σ(k) S. Ετσι, σύμφωνα με την Αρχή της Μαθηματικής Επαγωγής, παίρνουμε S = N. Η απόδειξη των υπολοίπων ιδιοτήτων αφήνεται ως άσκηση. Πρόταση 1.6 Ας είναι m, n N. Τότε ισχύουν τα εξής: (α) m + n = 0 m = n = 0. (β) mn = 0 m = 0 ή n = 0. Απόδειξη. (α) Ας υποθέσουμε ότι m + n = 0. Αν n 0, τότε υπάρχει k N με σ(k) = n και επομένως σ(m + k) = m + σ(k) = m + n = 0. Αυτό όμως είναι άτοπο γιατί 0 σ(n). Άρα n = 0. Ομοια παίρνουμε m = 0. Αντίστροφα, αν m = n = 0, τότε m + n = 0. (β) Αν m = 0 ή n = 0, τότε από τον ορισμό του πολλαπλασιασμού, έχουμε mn = 0. Αντίστροφα, ας υποθέσουμε ότι mn = 0. Αν n 0, τότε υπάρχει k N με σ(k) = n και επομένως 0 = mn = mσ(k) = mk + m. Οπότε, από την (α) έχουμε mk = m = 0. Ορισμός 1.24 Ας είναι m, n N. Ο m καλείται μικρότερος του n και γράφουμε m < n ή ο n μεγαλύτερος του m και γράφουμε n > m, αν υπάρχει k N με k 0 έτσι, ώστε n = m + k. Ο φυσικός k, αν υπάρχει, είναι μοναδικός και συμβολίζεται με n m. Πράγματι, αν υπάρχουν x, y N με n = m + x και n = m + y, τότε m+x = m+y και από την Πρόταση 1.5(στ) παίρνουμε x = y. Επίσης, αν ισχύει m = n ή m < n, τότε γράφουμε m n ή n m. Πρόταση 1.7 (Νόμος της τριχοτομίας) Για κάθε ζεύγος m, n N ισχύει μόνο μία από τις εξής σχέσεις: m < n, n = m, m > n. Απόδειξη. Πρώτα θα δείξουμε ότι το πολύ μία από τις παραπάνω σχέσεις αληθεύει. Ας υποθέσουμε ότι m < n και m = n. Από την σχέση m < n έπεται ότι υπάρχει k N \ {0} με n = m + k. Καθώς n = m και n = m + k, η Πρόταση 1.5(στ) δίνει k = 0 που δεν αληθεύει.

24 16 1. Σύνολα Στη συνέχεια, ας υποθέσουμε ότι m < n και n < m. Τότε υπάρχουν k, l N \ {0} έτσι, ώστε n = m + k και m = n + l. Χρησιμοποιώντας την Πρόταση 1.5(α), παίρνουμε n = m + k = (n + l) + k = n + (k + l). Οπότε, έχουμε k + l = 0 και από την Πρόταση 1.6(α) έχουμε k = l = 0 που είναι άτοπο. Μένει να δείξουμε ότι τουλάχιστον μία από τις τρεις παραπάνω σχέσεις αληθεύει. Αν m = 0, τότε m n. Ας υποθέσουμε ότι m 0. Θεωρούμε το σύνολο S(m) = {k N/ m < k ή m = k ή m > k}. Καθώς m + 0 = m, έχουμε m > 0 και επομένως 0 S(m). Ας είναι k S(m). Θα δείξουμε ότι σ(k) S(m). Καθώς k S(m), μία από τις σχέσεις m < k, m = k, m > k, αληθεύει. Αν m < k, τότε υπάρχει x N \ {0} με m + x = k. Εχουμε m + σ(x) = σ(m + x) = σ(k), απ όπου m < σ(k). Αν m = k, τότε m + 1 = σ(m) = σ(k) και επομένως m < σ(k). Τέλος, ας υποθέσουμε ότι m > k. Τότε υπάρχει x N \ {0} με k + x = m. Εχουμε σ(k) + x = σ(k + x) = σ(m) = m + 1. Καθώς x 0, υπάρχει r N με x = σ(r). Επομένως (σ(k) + r) + 1 = σ(k) + (r + 1) = σ(k) + x = m + 1, απ όπου, σύμφωνα με την Πρόταση 1.5(στ), παίρνουμε σ(k) + r = m. Ετσι, έχουμε σ(k) = m ή σ(k) < m. Άρα σ(k) S(m) και επομένως, σύμφωνα με την Αρχή της Μαθηματικής Επαγωγής, έχουμε S(m) = N. Πρόταση 1.8 Ας είναι m, n, k N. Τότε ισχύουν τα εξής: (α) m m. (β) m n και n m m = n. (γ) m n και n k m k.

25 1.5. Ασκήσεις 35 Οπότε Άρα f(x 1 y 1 ) = f(x 1 ) f(y 1 ) = f(x 2 ) f(y 2 ) = f(x 2 y 2 ). x 1 y 1 x 2 y 2 (R f ) και κατά συνέπεια η ισοδυναμία R f είναι συμβατή με την πράξη. Ετσι, σύμφωνα με την Πρόταση 1.20, το σύνολο X/R f εφοδιασμένο με την πράξη ˆ είναι ημιομάδα. 1.7 Ασκήσεις 1. Ας είναι A, B και C σύνολα. Τότε ισχύουν τα εξής: (α) A \ B A. (β) A B, αν και μόνον αν A \ B = Ø. (γ) A \ B = A \ (A B). (δ) A (B \ C) = (A B) \ (A C). (ε) A (B \ A) = A B. 2. Ας είναι A και B σύνολα. Τότε ισχύουν τα εξής: (α) P(A) P(B) P(A B). (β) P(A) P(B) = P (A B), αν και μόνον αν A B ή A B. 3. Ας είναι A και B σύνολα. Καλούμε συμμετρική διαφορά των A και B το σύνολο A B = (A \ B) (B \ A). Να δειχθεί ότι ισχύουν τα εξής: (α) A (B C) = (A B) (A C). (β) A \ B = A (A B). 4. Ας είναι A, B και C σύνολα. Τότε ισχύουν τα εξής: (α) A B = B A αν και μόνον αν A = Ø, B = Ø ή A = B. (β) A (B \ C) = (A B) \ (A C). 5. Ας είναι f : X Y μία απεικόνιση. Τότε για κάθε A X και κάθε B Y έχουμε A f 1 (f(a)) και B f(f 1 (B)).

26 36 1. Σύνολα 6. Ας είναι f : X Y μία απεικόνιση. Τότε ισχύουν τα εξής: (α) Η f είναι ένεση, αν και μόνον αν f(a B) = f(a) f(b) για κάθε A X και B X. (β) Η f είναι έφεση, αν και μόνον αν f(a c ) f(a) c, για κάθε A X. (γ) Η f είναι αμφίεση, αν και μόνον αν f(a c ) = f(a) c, για κάθε A X. 7. Ας είναι f : X Y μία απεικόνιση. Αν A και B είναι υποσύνολα του X, τότε ισχύει f(a \ B) f(a) \ f(b). 8. Ας είναι f : X Y μία απεικόνιση. Αν C και D είναι υποσύνολα του Y, τότε ισχύει f 1 (C \ D) = f 1 (C) \ f 1 (D). 9. Ας είναι f : X Y μία απεικόνιση. Τότε ισχύουν τα εξής: (α) Η f είναι έφεση, αν και μόνον αν υπάρχει απεικόνιση g : Y X τέτοια, ώστε f g = I Y. (β) Η f είναι ένεση, αν και μόνον αν υπάρχει απεικόνιση g : Y X τέτοια, ώστε g f = I X. 10. Να δειχθεί ότι το σύνολο των ακεραίων Z είναι αριθμήσιμο. 11. Να δειχθεί ότι το σύνολο των θετικών ρητών είναι αριθμήσιμο. 12. Να δειχθεί ότι κάθε ανοικτό διάστημα των πραγματικών αριθμών έχει την δύναμη του συνεχούς. 13. Ας είναι m, n, k N. Τότε ισχύουν τα εξής: (α) m < n και n < k m < k. (β) m < n m + k < n + k. (γ) Αν k 0, τότε m < n mk < nk. 14. (Ανισότητα του Bernoulli) Ας είναι x N με 0 < x < 1. Ν

27 1.5. Ασκήσεις 37 αποδειχθεί, με την χρήση της Μαθηματικής Επαγωγής, ότι για κάθε φυσικό αριθμό n 2 ισχύει: (1 x) n > 1 nx. 15. Ν αποδειχθούν οι ιδιότητες (β)-(η) της Πρότασης Ας είναι a + bı, c + dı, όπου a, b, c, d C και ı = 1, δύο μιγαδικοί αριθμοί. Γράφουμε a + bı c + dı (a < b) ή (a = b και c d). Δείξτε ότι η σχέση είναι μία σχέση διάταξης στο C. 17. Ας είναι A σύνολο και (X, ) ένα διατεταγμένο σύνολο. Συμβολίζουμε με G(A, X) το σύνολο όλων των απεικονίσεων f : A X και ορίζουμε την εξής σχέση στο G(A, X): f g f(a) g(a) για κάθε a A. Δείξτε ότι η είναι μία σχέση διάταξης στο G(A, X). 18. Στο σύνολο R = R \ {0} ορίζουμε μία σχέση R ως εξής: x y (R) xy > 0. Δείξτε ότι η R είναι μία σχέση ισοδυναμίας επί του R και προσδιορίστε τις κλάσεις της. 19. Στο σύνολο R 2 ορίζουμε την σχέση R ως εξής: (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) (R) y 1 x 2 1 = y 2 x 2 2. Δείξτε ότι η R είναι μία σχέση ισοδυναμίας επί του R 2 και προσδιορίστε τις κλάσεις της. 20. Ας είναι P = C n+1 \ {(0,..., 0)}. Στο σύνολο P ορίζουμε την εξής σχέση: (a 1,..., a n+1 ) (b 1,..., b n+1 ) (R) αν και μόνον αν υπάρχει k C \ {0} τέτοιο, ώστε a i = kb i (i = 1,..., n + 1).

28 38 1. Σύνολα Δείξτε ότι η R είναι μία σχέση ισοδυναμίας επί του P και προσδιορίστε τις κλάσεις της. Το σύνολο πηλίκο P/R καλείται προβολικός χώρος διάστασης n επί του C. 21. Στο σύνολο R ορίζουμε μία πράξη ως εξής: x y = ax + by, όπου a, b R. Για ποιες τιμές των a και b είναι η παραπάνω πράξη προσεταιριστική; 22. Να δείξετε ότι η πράξη : R R R, (a, b) a + b ab είναι προσεταιριστική, αντιμεταθετική και έχει ουδέτερο στοιχείο.

29 Κεφάλαιο 13 Θεωρία του Galois Το τελευταίο αυτό κεφάλαιο είναι αφιερωμέμενο στις επεκτάσεις του Galois. Δίνουμε ισοδύναμους χαρακτηρισμούς αυτών των επεκτάσεων, καθώς και το θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας του Galois. Κατόπιν μελετάμε την δομή των πεπερασμένων σωμάτων και τις κυκλοτομικές επεκτάσεις. Τέλος, εξετάζουμε το πρόβλημα της επιλυσιμότητας μίας αλγεβρικής εξίσωσης με ριζικά Επεκτάσεις του Galois Ας είναι L ένα σώμα. Το σύνολο των αυτομορφισμών Aut(L) του L αποτελεί ομάδα (με πράξη την σύνθεση απεικονίσεων). Θεωρούμε μία υποομάδα G του Aut(L). Εύκολα διαπιστώνουμε ότι το σύνολο F ix(l, G) = {x L/ σ(x) = x, για κάθε σ G} είναι ένα υπόσωμα του L. Ορισμός 13.1 Το σώμα F ix(l, G) καλείται σταθερό σώμα της ομάδας G. Πρόταση 13.1 Ας υποθέσουμε ότι η ομάδα G είναι πεπερασμένη και K είναι το σταθερό σώμα της G. Τότε [L : K] = G. Απόδειξη. Από το Πόρισμα 12.5 έχουμε G [L : K]. Ας είναι G = r και ας υποθέσουμε ότι υπάρχει σύνολο από r + 1 στοιχεία 547

30 Θεωρία του Galois {u 0, u 1,..., u r } L που είναι γραμμικά ανεξάρτητο επί του K. Θεωρούμε το γραμμικό σύστημα r σ(u j )X j = 0, (σ G) i=0 που έχει r εξισώσεις και r + 1 αγνώστους. Επομένως, αυτό έχει μία μη μηδενική λύση (a 0,..., a r ) L r+1. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι τα στοιχεία a 0,... a µ είναι 0, a µ+1 =... = a r = 0 και ότι αυτή η λύση έχει τα λιγότερα μη μηδενικά στοιχεία. Ετσι, για κάθε σ G έχουμε µ σ(u 0 ) = b i σ(u i ), i=1 όπου b i = a i /a 0 (i = 1,..., µ). Για σ = I L παίρνουμε µ u 0 = b i u i. i=1 Αν b i K (i = 1,..., µ), τότε, καθώς το σύνολο {u 0,..., u r } είναι γραμμικά ανεξάρτητο επί του K, έχουμε 1 = 0 που είναι άτοπο. Επομένως, κάποια από τα στοιχεία b 1,..., b µ δεν ανήκουν στο K. Ας είναι λοιπόν b 1 K. Τότε, υπάρχει τ G με τ(b 1 ) b 1. Παρατηρούμε ότι όταν το σ διατρέχει τα στοιχεία του G το ίδιο συμβαίνει και για το τ σ. Ετσι, για κάθε σ G έχουμε και επομένως προκύπτει η σχέση µ σ(u 0 ) = τ(b i )σ(u i ) i=1 µ (τ(b i ) b i )σ(u i ) = 0. i=1 Καθώς τ(b 1 ) b 1, παίρνουμε την μη-μηδενική λύση (0, τ(b 1 ) b 1,..., τ(b µ ) b µ, 0,..., 0) του αρχικού γραμμικού συστήματος η οποία έχει λιγότερα μηδενικά από την (a 0,..., a r ) που είναι άτοπο. Άρα [L : K] G. Συνεπώς ισχύει [L : K] = G.

31 13.1. Επεκτάσεις του Galois 549 Παράδειγμα 13.1 Ας είναι K σώμα και t 1,..., t n αλγεβρικά ανεξάρτητα στοιχεία επί του K. Κάθε μετάθεση της συμμετρικής ομάδας S n ορίζει έναν αυτομορφισμό επί του σώματος M = K(t 1,..., t n ) με τον εξής τρόπο. Αν σ S n, τότε ορίζουμε τον αυτομορφισμό φ σ (f(t 1,..., t n )) = f(t σ(1),..., t σ(n) )), για κάθε f(t 1,..., t n ) M. Συμβολίζουμε επίσης με S n το σύνολο αυτών των αυτομορφισμών. Εύκολα απόδεικνύεται ότι το σύνολο αυτό αποτελεί ομάδα. Στη συνέχεια θεωρούμε τα στοιχεία s 1 = t 1 + +t n, s 2 = t 1 t 2 + +t 1 t n + +t n 1 t n, s n = t 1 t n. Ας είναι L = K(s 1,..., s n ). Θα δείξουμε ότι F ix(m, S n ) = L. Πρώτα παρατηρούμε ότι s 1,..., s n F ix(m, S n ) και έτσι έχουμε L F ix(m, S n ). Χρησιμοποιώντας την Πρόταση 13.1, παίρνουμε [M : L] [M : F ix(m, S n )] = S n = n!. Από την άλλη πλευρά, τα στοιχεία t 1,..., t n είναι όλες οι ρίζες του πολυωνύμου F (T ) = T n s 1 T n ( 1) n s n και το M είναι το σώμα ριζών του F (T ) επί του L. Ετσι, έχουμε [M : L] n!. Επομένως, ισχύει [M : L] = [M : F ix(m, S n )], και καθώς L F ix(m, S n ), παίρνουμε F ix(m, S n ) = L. Ας υποθέσουμε ότι K είναι υπόσωμα του L τέτοιο, ώστε η επέκταση L/K είναι αλγεβρική. Συμβολίζουμε με Gal(L/K) το σύνολο των K- αυτομορφισμών του L, δηλαδή το σύνολο των αυτομορφισμών σ του L με σ(x) = x, για κάθε x K. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι το σύνολο Gal(L/K) αποτελεί υποομάδα του Aut(L). Ορισμός 13.2 Η ομάδα Gal(L/K) καλείται ομάδα του Galois του L επί του K. Ας είναι G = Gal(L/K). Ας υποθέσουμε ότι L = K(x 1,..., x n ), όπου x 1,..., x n είναι όλες οι ρίζες ενός πολυωνύμου f(x) K[X]. Κάθε K-αυτομορφισμός ϕ ορίζει μία μετάθεση σ S n τέτοια, ώστε

32 Θεωρία του Galois ϕ(x i ) = x σ(i) (i = 1,..., n). Ετσι, έχουμε μία απεικόνιση Φ : G S n που ορίζεται από την αντιστοιχία ϕ σ. Η απεικόνιση Φ είναι ένας μονομορφισμός ομάδων και επομένως η ομάδα G είναι ισόμορφη με μία υποομάδα του S n. Από τον ορισμό της G έχουμε αμέσως ότι K F ix(l, G). Στη συνέχεια θ ασχοληθούμε με την εύρεση ικανών και αναγκαίων συνθηκών για να ισχύει η ισότητα F ix(l, G) = K. Πρόταση 13.2 Ας είναι L/K μία πεπερασμενη αλγεβρική επέκταση. Τότε ισχύει F ix(l, G) = K αν και μόνον αν [L : K] = G. Απόδειξη. Ας υποθέσουμε ότι [L : K] = G. Θέτουμε M = F ix(l, G). Τότε G = [L : K] = [L : M][M : K]. Από την Πρόταση 13.1 έχουμε [L : M] = G. Ετσι, από την παραπάνω ισότητα παίρνουμε [M : K] = 1 και επομένως F ix(l, G) = K. Αντίστροφα, αν F ix(l, G) = K, τότε η Πρόταση 13.1 δίνει αμέσως [L : K] = G. Ορισμός 13.3 Η αλγεβρική επέκταση L/K καλείται επέκταση του Galois, αν ισχύει κάποια από τις δύο ισοδύναμες σχέσεις της Πρότασης Σ αυτή την περίπτωση, αν η ομάδα G είναι αβελιανή (αντίστοιχα κυκλική), τότε η επέκταση του Galois L/K καλείται αβελιανή (αντίστοιχα κυκλική). Παράδειγμα 13.2 Ας είναι d ένας ακέραιος ελεύθερος τετραγώνου. Θα δείξουμε ότι το σώμα K = Q( d) είναι μία επέκταση του Galois επί του Q. Η ομάδα G = G(K/Q) έχει το πολύ δύο στοιχεία. Από την άλλη πλευρά, η ταυτοτική απεικόνιση του K και η απεικόνιση τ : K K, a + b d a b d είναι στοιχεία της G. Επομένως G = 2 = [K : Q] και κατά συνέπεια το K είναι μία επέκταση του Galois επί του Q. Παράδειγμα 13.3 Ας είναι K ένα τέλειο σώμα, K ένα αλγεβρικό κάλυμμα του K και G = Gal( K/K). Θα δείξουμε ότι η επέκταση K/K είναι επέκταση του Galois. Ας είναι x F ix( K, G) \ K. Τότε το ελάχιστο πολυώνυμο του x έχει και άλλη ρίζα y K με x y. Οπότε υπάρχει ένας K-μονομορφισμός σ : K(x) K. Σύμφωνα με

33 13.1. Επεκτάσεις του Galois 551 το Λήμμα 12.1, ο σ επεκτείνεται σ ένα K-μονομορφισμό σ : K K. Από την Πρόταση έχουμε ότι ο σ είναι αυτομορφισμός. Καθώς έχουμε σ(x) x παίρνουμε x F ix( K, G) που είναι άτοπο. Άρα F ix( K, G) = K και κατά συνεπεια η K/K είναι επέκταση του Galois. Θεώρημα 13.1 Ας είναι L/K μία αλγεβρική επέκταση. Τα παρακάτω είναι ισοδύναμα: (α) Η επέκταση L/K είναι επέκταση του Galois. (β) Η επέκταση L/K είναι κανονική και διαχωρίσιμη. (γ) Το L είναι η σύνθεση μίας οικογένειας σωμάτων ριζών διαχωρισίμων πολυωνύμων του K[X]. Απόδειξη. Θέτουμε G = Gal(L/K). Ας υποθέσουμε ότι η επέκταση L/K είναι επέκταση του Galois. Ας είναι a L και f(x) το ελάχιστο πολυώνυμο του a. Τότε για κάθε σ G έχουμε f(σ(a)) = 0 και επομένως το σύνολο C(a) = {σ(a)/ σ G} είναι πεπερασμένο. Ας είναι σ G. Αν x C(a), τότε υπάρχει τ G τέτοιο, ώστε x = τ(a). Οπότε, έχουμε σ(x) = (σ τ)(a). Καθώς σ τ G, παίρνουμε σ(x) C(a). Άρα σ(c(a)) C(a). Αντίστροφα, έχουμε x = σ((σ 1 τ)(a)). Καθώς σ 1 τ G, παίρνουμε x σ(c(a)). Συνεπώς, για κάθε σ G έχουμε σ(c(a)) = C(a). Ας είναι a 1 = a, a 2,..., a r όλα τα στοιχεία του C(a) και Καθώς g(x) = (X a 1 ) (X a r ) = X r + b 1 X r b r. r b 1 = a i, b 2 = a i a j,..., b r = ( 1) r a 1 a r, i=1 i<j έχουμε σ(b i ) = b i για κάθε σ G (i = 1,..., r). Άρα, b 1,..., b r K γιατί η L/K είναι επέκταση του Galois. Οπότε, έχουμε f(x) g(x) και deg g(x) deg f(x). Άρα g(x) = f(x). Συνεπώς, το a είναι απλή ρίζα του f(x) και το f(x) έχει όλες τις ρίζες του στο L. Άρα, η επέκταση L/K είναι διαχωρίσιμη και κανονική. Ας υποθέσουμε ότι η επέκταση L/K είναι κανονική και διαχωρίσιμη. Τότε L = K({a i / i I}), όπου το στοιχείο a i είναι διαχωρίσιμο επί

34 Θεωρία του Galois του K και όλες οι ρίζες του ελαχίστου πολυωνύμου του f i (X) επί του K βρίσκονται μέσα στο K. Επομένως, το L είναι η σύνθεση των σωμάτων ριζών των πολυωνύμων f i (X) (i I) που είναι διαχωρίσιμα. Τέλος, ας υποθέσουμε ότι το L είναι η σύνθεση μίας οικογένειας F σωμάτων ριζών διαχωρισίμων πολυωνύμων f i (X) (i I) του K[X]. Ας είναι a L \ K. Τότε υπάρχουν f i(1) (X),..., f i(n) (X) F έ- τσι, ώστε το a ν ανήκει στη σύνθεση E των σωμάτων ριζών των f i(1) (X),..., f i(n) (X). Καθώς αυτά τα πολυώνυμα είναι διαχωρίσιμα, οι ρίζες τους είναι διαχωρίσιμα στοιχεία επί του K και επομένως η επέκταση E/K είναι διαχωρίσιμη. Ας είναι K είναι ένα αλγεβρικό κάλυμμα του K με a K. Σύμφωνα με την Πρόταση 12.21, το πλήθος των K-μονομορφισμών σ : E K ισούται με [E : K]. Αν για κάθε τέτοιο μονομορφισμό σ ισχύει σ(a) = a, τότε το πλήθος των K(a)- μονομορφισμών E K ισούται με [E : K]. Από την Πρόταση όμως παίρνουμε ότι το πλήθος των K(a)-μονομορφισμών E K είναι [E : K(a)] < [E : K]. Ετσι, καταλήξαμε σε άτοπο και κατά συνέπεια υπάρχει ένας K-μονομορφισμός σ : E K με σ(a) a. Από το Λήμμα 12.1 έχουμε ότι ο σ επεκτείνεται σ ένα μονομορφισμό σ : L K. Επίσης, από την Πρόταση έχουμε ότι ο σ είναι αυτομορφισμός του L. Άρα F ix(l, G) = K και κατά συνέπεια η επέκταση L/K είναι μία επέκταση του Galois. Πόρισμα 13.1 Ας είναι L/K μία επέκταση του Galois και M υπόσωμα του L με K M. Τότε η επέκταση L/M είναι μία επέκταση του Galois. Παράδειγμα 13.4 Θεωρούμε το πολυώνυμο f(x) = X 4 2X Θα προσδιορίσουμε το σώμα ριζών K του f(x) επί του Q και την ομάδα G = Gal(K/Q). Εχουμε X 4 2X = X 4 6X X 2 = (X 2 3) 2 + 4X 2 = (X ıX)(X 2 3 2ıX) και επομένως οι ρίζες του f(x) είναι οι ±ı ± 2. Επομένως, το σώμα ριζών του f(x) είναι K = Q(ı + 2, ı + 2, ı 2, ı 2) = Q(ı, 2). Θα βρούμε τον βαθμό της. Το πολυώνυμο X 2 2 είναι ανάγωγο επί του Q και επομένως [Q( 2) : Q] = 2. Επίσης, το πολυώνυμο X είναι

35 13.2. Το Θεμελιώδες Θεώρημα 553 ανάγωγο επί του Q( 2) και επομένως [K : Q( 2)] = 2. Συνεπώς, έχουμε [K : Q] = 4. Καθώς η επέκταση K/Q είναι μία επέκταση του Galois, παίρνουμε G = [K : Q] = 4. Οι τέσσερεις αυτομορφισμοί του G ορίζονται από την δράση τους επί των στοιχείων ı και 2. Ετσι, εκτός τον ταυτοτικό αυτομορφισμό I K, έχουμε τους αυτομορφισμούς σ και τ που ορίζονται από τις σχέσεις σ(ı) = ı, σ( 2) = 2 και τ(ı) = ı, τ( 2) = 2 καθώς και την σύνθεσή τους σ τ που ορίζεται από τις σχέσεις (σ τ)(ı) = ı, (σ τ)( 2) = 2. Παρατηρούμε ότι ισχύει σ 2 = τ 2 = I K και σ τ = τ σ. Επομένως, η ομάδα G είναι ισόμορφη με την ομάδα του Klein, Z 2 Z 2, και έτσι, έχουμε G = Z 2 Z 2. Παράδειγμα 13.5 Ας είναι f(x) Q ένα κανονικό ανάγωγο πολυώνυμο με deg f = 3 και x 1, x 2, x 3 οι ρίζες του. Θέτουμε L = Q(x 1, x 2, x 3 ) και G = Gal(L/Q). Τότε η επέκταση L/Q είναι επέκταση του Galois και η ομάδα G είναι ισόμορφη είτε με την A 3, είτε με την S 3. Ειδικότερα, έχουμε L = Q(x 1 ) αν και μόνον αν η G είναι ισόμορφη με την A 3. Ας είναι (f) η διακρίνουσα του f(x) και δ(f) = (x 1 x 2 )(x 1 x 3 )(x 2 x 3 ). Τότε (f) Q και (f) = δ(f) 2. Άρα, για κάθε σ G έχουμε σ(δ(f)) = ±δ(f). Ειδικότερα, έχουμε σ(δ(f)) = δ(f) αν και μόνον αν ο αυτομορφισμός σ αντιστοιχεί σε άρτια μετάθεση. Οπότε έχουμε L = K(x 1 ) αν και μόνον αν δ(f) Q που ισοδυναμεί με το (f) να είναι τετράγωνο μέσα στο Q. Συνεπώς, η επέκταση Q(x 1 )/Q είναι επέκταση του Galois αν και μόνον αν η διακρίνουσα (f) είναι τετράγωνο μέσα στο Q Το Θεμελιώδες Θεώρημα Ας είναι L/K μία επέκταση του Galois και G = Gal(L/K). Για κάθε υπόσωμα M του L με K M θέτουμε M = {σ G/ σ(x) = x, για κάθε x M} και για κάθε υποομάδα H του G θέτουμε H = {x L/ σ(x) = x, για κάθε σ H}.

36 Θεωρία του Galois Αν M 1, M 2 είναι υποσώματα του L με K M 1 M 2, τότε M1 M2. Επίσης, αν H 1, H 2 είναι υποομάδες της G με H 1 H 2, τότε H1 H 2. Παρατηρούμε ότι M M και H H. Οπότε έχουμε M (M ) και M (M ). Επομένως M = M. Ομοια παίρνουμε H = H. Ορισμός 13.4 Ας είναι H μία υποομάδα της G. Καλούμε κάλυμμα της H στη G την υποομάδα H = H. Η H καλείται κλειστή στη G, αν ισχύει H = H. Το παρακάτω αποτέλεσμα είναι γνωστό ως Θεμελιώδες Θεώρημα της Θεωρίας του Galois. Θεώρημα 13.2 Ας είναι L/K μία επέκταση του Galois και G = Gal(L/K). Τότε ισχύουν τα εξής: (α) Οι αντιστοιχίες M M και H H ορίζουν μία αμφίεση μεταξύ των υποσωμάτων M του L με K M και των κλειστών υποομάδων της G. (β) Η επέκταση M/K είναι μία επέκταση του Galois αν και μόνον αν η M είναι κανονική υποομάδα της G. Τότε Gal(M/K) = G/M. (γ) Κάθε υποομάδα H της G με [G : H] < είναι κλειστή στη G. Τότε η επέκταση H /K είναι πεπερασμένη και [H : K] = [G : H]. Αν η επέκταση M/K είναι πεπερασμένη, τότε [G : M ] = [M : K]. Απόδειξη. (α) Ας είναι M υπόσωμα του L με K M. Ισχύει M = M και επομένως η υποομάδα M είναι κλειστή. Καθώς η L/M είναι επέκταση του Galois με Gal(L/M) = M, έχουμε M = M. Από την άλλη πλευρά, αν H είναι μία κλειστή ομάδα της G, τότε H = H. Συνεπώς, οι αντιστοιχίες M M και H H ορίζουν μία αμφίεση μεταξύ των υποσωμάτων M του L με K M και των κλειστών υποομάδων της G. (β) Η επέκταση L/K ως επέκταση του Galois είναι διαχωρίσιμη και επομένως και η M/K είναι διαχωρίσιμη. Θα δείξουμε ότι η M/K είναι κανονική αν και μόνον αν η M είναι κανονική υποομάδα της G. Πρώτα θα δείξουμε ότι για κάθε σ G ισχύει (σ(m)) = σm σ 1. Πράγματι, αν x M, τότε έχουμε τ (σ(m)) αν και μόνον αν τ(σ(x)) = σ(x) που ισοδυναμεί με (σ 1 τ σ)(x) = x. Άρα τ (σ(m)) αν και μόνον αν σ 1 τ σ M που ισοδυναμεί με τ σm σ 1. Ετσι, αν η υποομάδα M είναι κανονική, τότε (σ(m)) = M. Άρα, σύμφωνα με το (α), για κάθε σ G ισχύει σ(m) = M. Ετσι, αν a M, τότε

37 13.2. Το Θεμελιώδες Θεώρημα 555 όλες οι ρίζες του ελαχίστου πολυωνύμου του a βρίσκονται μέσα στο M. Συνεπώς, η επέκταση M/K είναι κανονική. Αντίστροφα, ας υποθέσουμε ότι η επέκταση M/K είναι κανονική. Καθώς η επέκταση M/K είναι και διαχωρίσιμη έχουμε ότι η M/K είναι επέκταση του Galois. Θεωρούμε τον μορφισμό ομάδων ϕ : G Gal(M/K), σ σ M, όπου σ M είναι ο περιορισμός του σ επί του M. Παρατηρούμε ότι ο πυρήνας του ϕ είναι η ομάδα M. Ας είναι σ Gal(M/K). Αν K ένα αλγεβρικό κάλυμμα του K με L K, τότε, σύμφωνα Λήμμα 12.1, ο σ επεκτείνεται σ ένα K-μονομορφισμό σ : L K και από την Πρόταση έχουμε ότι σ Gal(L/K). Επομένως, ο ϕ είναι επιμορφισμός και κατά συνέπεια έχουμε Gal(M/K) = G/M. (γ) Ας είναι M/K πεπερασμένη επέκταση με M L. Τότε M = K(a 1,..., a n ), όπου a 1,..., a n L. Θεωρούμε την σύνθεση E των σωμάτων ριζών των ελαχίστων πολυωνύμων των a 1,..., a n. Καθώς η επέκταση L/K είναι κανονική, έχουμε E L. Επίσης, από την Πρόταση έπεται ότι η επέκταση E/K είναι κανονική. Επιπλέον, η επέκταση E/K είναι διαχωρίσιμη γιατί η L/K είναι διαχωρίσιμη. Συνεπώς, η E/K είναι μία πεπερασμένη επέκταση του Galois. Από το Πόρισμα έπεται ότι και η E/M είναι μία επέκταση του Galois. Επομένως, από το (β) έχουμε Gal(E/K) = G/E και Gal(E/M) = M /E. Ετσι, η Πρόταση 13.2 δίνει [M : K] = [E : K]/[E : M] = G/E / M /E = [G/E : M /E ]. Καθώς (G/E )/(M /E ) = G/M, έχουμε [M : K] = [G : M ]. Ας είναι H μία υποομάδα της G με [G : H] < και ένα αλγεβρικό κάλυμμα K με L K. Θεωρούμε δύο διακεκριμμένους K- μονομορφισμούς σ i : H K (i = 1, 2). Από το Λήμμα 12.1 ο σ i επεκτείνεται σ ένα μονομορφισμό σ i : L K (i = 1, 2). Σύμφωνα με την Πρόταση ο σ i είναι αυτομορφισμός του L γιατί η επέκταση L/K είναι κανονική. Αν σ 1 H = σ 2 H, τότε (σ 2 ) 1 σ 1 H και επομένως σ 1 = σ 2 που είναι άτοπο. Άρα σ 1 H σ 2 H και κατά συνέπεια [H : K] S [G : H ]. Καθώς η επέκταση H /K είναι διαχωρίσιμη και H H έχουμε [H : K] = [H : K] S [G : H ] [G : H] <.

38 Θεωρία του Galois Από την άλλη πλευρά, ας είναι σ G. Τότε για κάθε τ H οι περιορισμοί των μονομορφισμών σ τ και σ επί του H συμπίπτουν. Ετσι, διαφορετικές (αριστερές) κλάσεις της H ορίζουν διαφορετικούς μονομορφισμούς H K. Επομένως, έχουμε [G : H] [H : K] S. Συνδυάζοντας αυτή την ανισότητα με την παραπάνω παίρνουμε [G : H] = [H : K] και [G : H ] = [G : H] <. Καθώς ισχύει H H, έχουμε H = H και κατά συνέπεια η ομάδα H είναι κλειστή. Τελειώνοντας την ενότητα δίνουμε την εξής πρόταση. Πρόταση 13.3 Ας είναι K ένα σώμα, f(x) K[X]\K και L σώμα με K L. Αν ˆK και ˆL είναι τα σώματα ριζών του f(x) επί του K και L, αντίστοιχα, τότε η ομάδα E = Gal(ˆL/L) είναι ισόμορφη με μία υποομάδα της G = Gal( ˆK/K). Απόδειξη. Ας είναι x 1,..., x n όλες οι διαφορετικές ρίζες του f(x). Τότε ˆK = K(x 1,..., x n ) και ˆL = L(x1,..., x n ). Για κάθε σ E συμβολίζουμε με ˆσ τον περιορισμό του σ επί του ˆK. Η απεικόνιση ˆσ : ˆK ˆL είναι ένας L ˆK-μονομορφισμός. Καθώς K L ˆK και η επέκταση ˆK/K είναι κανονική, από την Πρόταση έχουμε ότι ˆσ G. Ετσι, παίρνουμε την απεικόνιση α : E G, με α(σ) = ˆσ, η οποία, όπως εύκολα διαπιστώνουμε, είναι μορφισμός ομάδων. Αν α(σ) = I ˆK, τότε σ(x i ) = x i (i = 1,..., n) και επομένως σ = IˆL. Άρα, ο μορφισμός α είναι ένεση και επομένως η ομάδα E είναι ισόμορφη με μία υποομάδα της G Πεπερασμένα Σωμάτα Σ αυτή την ενότητα θα μελετήσουμε την δομή των πεπερασμένων σωμάτων. Ας είναι λοιπόν K ένα πεπερασμένο σώμα. Θα συμβολίζουμε με K την πολλαπλασιαστική του ομάδα. Σύμφωνα με την Πρόταση 5.14 η ομάδα αυτή είναι κυκλική. Ορισμός 13.5 Καλούμε πρωτογενή ρίζα της μονάδας στο K κάθε γεννήτορα της κυκλικής ομάδας K.

39 13.3. Πεπερασμένα Σωμάτα 557 Παράδειγμα 13.6 Θεωρούμε το σώμα Z 2 = {0, 1} και το πολυώνυμο f(x) = X 3 +X +1. Καθώς f(0) = f(1) = 1, συμπεραίνουμε ότι το f(x) είναι ανάγωγο. Επομένως, ο δακτύλιος K = Z 2 [X]/(f(X)) είναι ένα σώμα με 8 στοιχεία. Η ομάδα K έχει 7 στοιχεία και επομένως κάθε κλάση του K διαφορετική από την 1+(f(X)) είναι γεννήτορας της και κατά συνέπεια πρωτογενής ρίζα της μονάδας στο K. Ειδικότερα, η κλάση X + (f(x)) είναι πρωτογενής ρίζα της μονάδας. Πρόταση 13.4 Η χαρακτηριστική του K είναι ένας πρώτος αριθμός p και K = p n, όπου n είναι ακέραιος > 0. Επίσης, αν a είναι ένας γεννήτορας της ομάδας K, τότε K = F (a), όπου F είναι ένα υπόσωμα του K με p στοιχεία. Απόδειξη. Αν η χαρακτηριστική του K ισούται με 0, τότε το K θα περιείχε ένα σώμα ισόμορφο με το Q που είναι άπειρο. Αυτό όμως είναι άτοπο. Άρα η χαρακτηριστική του K είναι ένας πρώτος αριθμός p και κατά συνέπεια ένα υπόσωμά του F είναι ισόμορφο με το Z p. Ετσι, το K είναι ένας γραμμικός χώρος επί του F πεπερασμένης διάστασης n και επομένως K = p n. Κάθε στοιχείο της ομάδας K είναι μία δύναμη του a και επομένως K F (a). Από την άλλη πλευρά, καθώς το F είναι υπόσωμα του K και a K, έχουμε K F (a). Άρα K = F (a). Παράδειγμα 13.7 Θα κατασκευάσουμε ένα σώμα με 9 στοιχεία. Θα παριστάνουμε πιο απλά με 0, 1, 2 τα στοιχεία του Z 3. Θεωρούμε το πολυώνυμο f(x) = X 2 +X +2. Καθώς f(0) = 2, f(1) = 1 και f(2) = 2, το f(x) δεν έχει ρίζες επί του Z 3 και επομένως είναι ανάγωγο. Ας είναι a μία ρίζα του f(x). Τότε το σώμα K = F 3 (a) έχει 9 στοιχεία. Εχουμε a 2 = 2a + 1, a 3 = 2a 2 + a = 2(2a + 1) + a = 2a + 2, a 4 = 2a 2 + 2a = 2(2a + 1) + 2a = 2, a 5 = 2a, a 6 = 2a 2 = 2(2a + 1) = a + 2, a 7 = a 2 + 2a = (2a + 1) + 2a = a + 1. Συνεπώς, το a είναι μία πρωτογενής ρίζα στο K.