MATEMATICĂ. Evaluarea naţională Caba. 103 modele de teste pentru elevii claselor a VII-a şi a VIII-a

Transcript

1 uburuza matematician Gina aba onstantin postol Romică Zăbrăuţanu Marinela anu Nadia ărbieru Marilena Faiciuc drian iupitu Florentina Enea na Poştaru Doina Moldoveanu ostică Lupu Marinela Georgescu Dana Radu Marius Farcaş ediţie digitală MTEMTIĂ Evaluarea naţională modele de teste pentru elevii claselor a VII-a şi a VIII-a breviar teoretic 1 teste recapitulative cuprinzând materia din clasele V VII 16 teste pentru aprofundarea materiei din clasele V VII şi a VIII-a (semestrul I) 70 teste pentru recapitulare finală variante de probe scrise date la examene în perioada răspunsuri, rezolvări, bareme ditura aba

2 MTEMTIĂ pentru Evaluarea Naţională 014

3 uburuza matematician Gina aba onstantin postol Romică Zăbrăuţanu Marinela anu Nadia ărbieru Marilena Faiciuc drian iupitu Florentina Enea na Poştaru Doina Moldoveanu ostică Lupu Marinela Georgescu Dana Radu Marius Farcaş ediţie digitală MTEMTIĂ Evaluarea naţională modele de teste pentru elevii claselor a VII-a şi a VIII-a breviar teoretic 1 teste recapitulative cuprinzând materia din clasele V VII 16 teste pentru aprofundarea materiei din clasele V VII şi a VIII-a (semestrul I) 70 teste pentru recapitulare finală variante de probe scrise date la examene în perioada răspunsuri, rezolvări, bareme ditura aba

4 opyright 014, 01, 01, 011, 010 Editura Toate drepturile sunt rezervate. Nicio parte din aceastã carte nu poate fi reprodusã sau transmisã în orice formã sau prin orice mijloace fãrã acordul prealabil scris al Editurii. Tehnoredactare: ãtãlin Georgescu Oana Georgescu, ristian Stănescu opertã: lina Păun olecþia Didactica Seria Examene e-evaluare Naţională 014 e Publicat: ianuarie 014 Informaţii şi comenzi: Editura Telefon/fax: 01/7..44 Telefon fix: 01/ Telefon mobil: site internet: adresă poştală: OP 9-P D4, sector, cod ucureşti

5 uprins PROGRM pentru disciplina matematică - Evaluare Naţională pentru elevii clasei a VIII-a, anul şcolar LENDRUL de desfăşurare a Evaluării Naţionale REVIR TEORETI...11 Secţiunea 1 Recapitularea materiei din clasele V-VII...54 Testele 1-1 (enunţuri) Secţiunea Recapitularea materiei din clasele V-VII şi a VIII-a semestrul I Testele 1-8 (enunţuri) Secţiunea Recapitulare finală Testele 9-98 (enunţuri) Secţiunea 4 Variante de probe scrise date la examene în perioada Testele (enunţuri) Răspunsuri, rezolvări, bareme Secţiunea Secţiunea Secţiunea... 5 Secţiunea

6 PROGRM pentru disciplina matematică - Evaluare Naţională pentru elevii clasei a VIII-a, anul şcolar I. STTUTUL DISIPLINEI Pentru anul şcolar 01/014, în cadrul Evaluării Naţionale pentru elevii clasei a VIII-a, matematica are statut de disciplină obligatorie. Testul la matematică este o probă scrisă cu durata de ore. II. OMPETENŢE DE EVLUT 1. Utilizarea noţiunii de număr real şi a relaţiilor dintre mulţimile de numere studiate. Identificarea proprietăţilor operaţiilor cu numere reale. plicarea operaţiilor cu numere reale în calcule variate 4. nalizarea unor situaţii practice cu ajutorul rapoartelor, procentelor, proporţiilor 5. Identificarea unor probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor, inecuaţiilor sau a sistemelor de ecuaţii, rezolvarea acestora şi interpretarea rezultatului obţinut 6. plicarea în rezolvarea problemelor a elementelor de logică şi de teoria mulţimilor 7. Utilizarea elementelor de calcul algebric 8. legerea metodei adecvate de rezolvare a problemelor în care intervin dependenţe funcţionale sau calculul probabilităţilor 9. plicarea teoriei specifice funcţiei de forma f :, f(x) = ax + b, a, b є 10. Utilizarea proprietăţilor figurilor geometrice şi a corpurilor geometrice în probleme de demonstraţie si de calcul 11. Reprezentarea, prin desen, a unor figuri geometrice şi a unor corpuri geometrice utilizând instrumente geometrice 1. Transpunerea în limbaj matematic a enunţului unei situaţii-problemă 1. nalizarea şi interpretarea rezultatelor obţinute prin rezolvarea unei probleme practice cu referire la figurile geometrice şi la unităţile de măsură 14. Investigarea valorii de adevăr a unor enunţuri şi construirea unor generalizări 15. Redactarea coerentă şi completă a soluţiei unei probleme III. ONŢINUTURI Mulţimi RITMETIĂ ŞI LGERĂ Mulţimi: relaţii (apartenenţă, egalitate, incluziune); submulţime; operaţii cu mulţimi (reuniunea, intersecţia, diferenţa, produsul cartezian). Mulţimi finite, mulţimi infinite. Mulţimile:,,,, \, Scrierea numerelor naturale în baza zece. Propoziţii adevărate şi propoziţii false. 6

7 Împărţirea cu rest a numerelor naturale. Divizibilitatea în : definiţie, divizor, multiplu; proprietăţi ale relaţiei de divizibilitate; criteriile de divizibilitate cu 10,, 5, ; numere prime şi numere compuse; numere pare şi numere impare; numere prime între ele; descompunerea unui număr natural în produs de puteri de numere prime; cel mai mare divizor comun şi cel mai mic multiplu comun. Divizibilitatea în : definiţie, divizor, multiplu. Fracţii subunitare, echiunitare, supraunitare; reprezentări echivalente ale fracţiilor; fracţii ireductibile. Scrierea unui număr raţional sub formă de fracţie ordinară sau fracţie zecimală. Reprezentarea pe axă a numerelor reale. ompararea şi ordonarea numerelor reale Valoarea absolută (modulul), partea întreaga şi partea fracţionară a unui număr real. Opusul şi inversul unui număr real. Rotunjirea şi aproximarea unui număr real. Intervale în : definiţie, repezentare pe axă. Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect; algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate dintr-un număr natural; scrierea unui număr real pozitiv ca radical din pătratul său. Reguli de calcul cu radicali. Introducerea factorilor sub radical. Scoaterea factorilor de sub radical. Raţionalizarea numitorului de forma a b, a± b, cu a є Z *, b є Z. Operaţii cu numere reale: adunarea, scăderea, înmulţirea, împărţirea, ridicarea la putere cu exponent număr întreg. Ordinea efectuării operaţiilor şi folosirea parantezelor. Factorul comun. Media aritmetică şi media aritmetică ponderată a unor numere raţionale pozitive. Media geometrică a două numere reale pozitive. Rapoarte şi proporţii: raport; proprietatea fundamentală a propoţiilor; proporţii derivate; aflarea unui termen necunoscut dintr-o proporţie; mărimi direct proporţionale şi mărimi invers proporţionale; regula de trei simplă. Procente: p% dintr-un număr real; aflarea unui număr raţional când cunoaştem p% din el; aflarea raportului procentual. Rezolvarea problemelor în care intervin procente. alculul probabilităţii de realizare a unui eveniment. alcul algebric alcul cu numere reprezentate prin litere: adunare, scadere, înmulţire, împarţire, ridicarea la putere cu exponent număr întreg. Formulele de calcul prescurtat: ( a ± b) = a ± ab + b ( a+ b)( a b) = a b ( a + b + c) = a + b + c + ab + bc + ac Descompunerea în factori: metoda factorului comun; utilizarea formulelor de calcul prescurtat; gruparea termenilor şi metode combinate. Rapoarte de numere reale reprezentate prin litere. Simplificare. Operaţii cu rapoarte (adunare, scădere, înmulţire, împărţire, ridicare la putere cu exponent număr întreg). 7

8 Funcţii Noţiunea de funcţie. Funcţii definite pe mulţimi finite exprimate cu ajutorul unor diagrame, tabele, formule; graficul unei funcţii, reprezentarea geometrică a graficului. Funcţii de tipul f :, f(x) = ax + b, a, b є, unde = sau o mulţime finită; reprezentarea geometrică a graficului funcţiei f ; interpretare geometrică. Ecuaţii, inecuaţii şi sisteme de ecuaţii Rezolvarea în a ecuaţiilor de forma ax + b = 0, a є *, b є. Ecuaţii echivalente. Rezolvarea în x a sistemelor de ecuaţii de forma: ax 1 + by 1 = c1, a1, a, b1, b, c1, c ax + by = c Rezolvarea în a inecuaţiilor de forma ax + b 0, (<,, >), unde a є *, b є. Probleme cu caracter aplicativ care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor, inecuaţiilor şi al sistemelor de ecuaţii. Utilizarea metodelor aritmetică sau algebrică pentru rezolvarea unor probleme. GEOMETRIE Figuri şi corpuri geometrice 1. Punctul, dreapta, planul, semiplanul, semidreapta, segmentul de dreaptă, unghiul poziţii relative, clasificare; convenţii de desen şi de notaţii paralelism şi perpendicularitate în plan şi în spaţiu: axioma paralelelor, unghiuri cu laturile respectiv paralele; unghiul a două drepte în spaţiu; drepte perpendiculare; dreapta perpendiculară pe un plan; distanţa de la un punct la un plan; plane paralele; distanţa dintre două plane paralele; teorema celor trei perpendiculare; distanţa de la un punct la o dreaptă; proiecţia ortogonală a unui punct, segment sau a unei drepte pe un plan; unghiul unei drepte cu un plan; lungimea proiecţiei unui segment; unghiul dietru; unghiul plan corespunzător unui unghi dietru; măsura unghiului a două plane; plane perpendiculare; simetria faţă de un punct în plan; simetria faţă de o dreaptă în plan. calculul unor distanţe şi măsuri de unghiuri pe feţele sau în interiorul corpurilor studiate.. Triunghiul perimetrul şi aria; suma măsurilor unghiurilor unui triunghi; unghi exterior unui triunghi; linii importante în triunghi şi concurenţa lor; linia mijlocie în triunghi; triunghiul isoscel si triunghiul echilateral - proprietăţi; 8

9 criteriile de congruenţă a triunghiurilor; triunghiul dreptunghic-teorema înălţimii; teorema catetei; teorema lui Pitagora şi reciproca ei; sinusul, cosinusul, tangenta, cotangenta; rezolvarea triunghiului dreptunghic; teorema lui Thales şi reciproca ei; teorema fundamentală a asemănării triunghiuri asemenea criteriile de asemănare a triunghiurilor.. Patrulaterul convex perimetrul şi aria (paralelogramul, dreptunghiul, rombul, pătratul, trapezul); suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex; paralelogramul proprietăţi referitoare la laturi, unghiuri, diagonale; paralelograme particulare (dreptunghi, romb, pătrat) proprietăţi; trapezul; linia mijlocie în trapez; trapeze particulare (isoscel şi dreptunghic) proprietăţi. 4. ercul centru, rază, diametru, disc; unghi la centru; coarde şi arce în cerc (la arce congruente corespund coarde congruente şi reciproc; proprietatea diametrului perpendicular pe o coardă; proprietatea arcelor cuprinse între două coarde paralele; proprietatea coardelor egal depărtate de centru); unghi înscris în cerc; măsura unghiului înscris în cerc; lungimea cercului; aria discului; calculul elementelor (latură, apotemă, perimetru, arie) în poligoane regulate; triunghi echilateral; pătrat. 5. orpuri geometrice Paralelipipedul dreptunghic, cubul: prisma dreaptă cu baza triunghi echilateral, pătrat sau dreptunghi; piramida triunghiulară regulată, tetraedrul regulat, piramida patrulateră regulată. reprezentarea lor prin desen; convenţii de desen şi de notaţii; descrierea elementelor lor (vârfuri, muchii, feţe laterale, baze, diagonale, înălţimi); desfăşurări; aria laterală, aria totală, volumul. NOTĂ: Programa pentru Evaluarea Naţională 014 la disciplina matematică este realizată în conformitate cu prevederile programelor şcolare în vigoare. Subiectele pentru evaluarea naţională din anul 014 se vor elabora în baza prezentei programe. 9

10 nexa la O.M.E..T.S. nr / privind organizarea şi desfăşurarea Evaluării Naţionale pentru elevii clasei a VIII-a, în anul şcolar LENDRUL DE DESFĂŞURRE EVLUĂRII NŢIONLE PENTRU ELEVII LSEI VIII-, ÎN NUL ŞOLR iunie 014 Încheierea cursurilor pentru clasa a VIII-a iunie 014 Înscrierea la Evaluarea Naţională iunie 014 Limba şi literatura română - probă scrisă 4 iunie 014 Limba şi literatura maternă - probă scrisă 5 iunie 014 Matematica - probă scrisă 7 iunie 014 fişarea rezultatelor (până la ora ) 7 iunie 014 Depunerea contestaţiilor (orele ) 8 iunie-0 iunie 014 Rezolvarea contestaţiilor 1 iulie 014 fişarea rezultatelor finale după contestaţii 10

11 partenenţă REVIR TEORETI RITMETIĂ ŞI LGERĂ 1 7 MULŢIMI Relaţii între mulţimi. Mulţimi finite. aparþine; nu aparþine; inclus Mulþimea vidã este submulþime a oricãrei mulþimi. Orice mulþime este inclusã în ea însãºi. Egalitatea a două mulţimi onsiderăm mulţimile şi D. 7 Incluziune, submulţime D D ; D submulþime a lui nu este submulþime a lui 7 = {6, 5} 5, 6 D D D, 6 D D D = Mulþimile D ºi sunt egale; fiecare este submulþime a celeilalte. Mulþimi finite Exemple: = {1,, 5, 6}, = mulþimea elevilor din ºcoala voastrã, = {0,, 4, 6,..., 01} sunt mulþimi finite. Operaţii cu mulţimi Reuniunea = {x x sau x } Intersecţia = {x x ºi x } reviar teoretic ritmetică şi algebră 11

12 Diferenţa \ \ \ = { x x ºi x } \ = { x x ºi x } Diferenţa simetrică D = ( \ ) ( \ ) (1, 7) (, 7) (5, 7) (6, 7) (1, 6) (, 6) (5, 6) (6, 6) (1, 5) (, 5) (5, 5) (6, 5) Produsul cartezian (5, 6) (6, 6) (7, 6) (5, 5) (6, 5) (7, 5) (5, ) (6, ) (7, ) (5, 1) (6, 1) (7, 1) = {(x, y) x ºi y } (a, b) = (c, d) def a = c ºi b = d. = {(y, x) y ºi x } Mulţimi infinite:,,, N = {0, 1,,,...} N * = {1,,, 4,...} mulþimea numerelor naturale mulþimea numerelor naturale nenule Z = {...,, 1, 0, 1,,...} Z * = Z \ {0} mulþimea numerelor întregi mulþimea numerelor întregi nenule a Q = b a b * Q * = Q \ {0} mulþimea numerelor raţionale mulþimea numerelor raţionale nenule { } I =,, 5,,... mulţimea numerelor iraţionale Toate fracþiile infinite neperiodice sunt numere raþionale. R = Q I R * = R \ {0} mulþimea numerelor reale mulþimea numerelor reale nenule 1 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

13 Incluziunile Ì Ì Ì R \ Q Q \ Z p 4, ,() 1 7,5 Z Q R Z \ N N Scrierea numerelor naturale în baza 10 În baza 10 se utilizeazã cifrele 0, 1,,..., 9. De exemplu, putem scrie: 48 = sau 48 = = sau 56 = = sau 7 4 = În general, în baza 10: Un numãr de douã cifre se scrie: ab = a 10 + b, a 0, a, b {0, 1,,..., 9}. Un numãr de trei cifre se scrie: abc = a b 10 + c, a 0, a, b, c {0, 1,,..., 9}. Un numãr de patru cifre se scrie: abcd = a b c 10 + d, a 0, a, b, c, d {0, 1,,..., 9}. Un numãr de m + 1 cifre se scrie: a m a m 1...a 1 a 0 = a m 10 m + a m 1 10 m a a 0, unde a m, a m 1, a m,..., a 1, a 0 {0, 1,,..., 9}, a m 0, m N *. Propoziţii adevărate şi propoziţii false O propoziþie matematicã este un enunþ despre care are sens sã spunem cã este adevãrat sau fals, într-un anumit context. Dacã o propoziþie este adevãratã, i se atribuie valoarea de adevãr ; dacã este falsã, i se atribuie valoarea de adevãr F. Exemple: propoziþia propoziþia p: + 5 = 8 este adevãratã (); q: + 5 > 9 este falsã (F). reviar teoretic ritmetică şi algebră 1

14 Împărţirea cu rest a numerelor naturale Pentru numere naturale: Dacã a N, b N *, atunci existã q N, r N astfel încât a = bq + r, cu 0 r < b. Exemplu: a =, b = 4 = cât rest Pentru numere întregi: Dacã a Z, b Z *, atunci existã q Z, r Z astfel încât a = bq + r, cu 0 r < b. Exemplu: a =, b = 4 = ( 4) cât rest Divizibilitatea în şi Definiţii, divizori, multipli: În N: a divide b a b def existã c N * astfel încât b = a c. a se numeºte divizor al numãrului natural b; b se numeºte multiplu al numãrului natural a. Exemplu: 14; În Z: a divide b a b def existã c Z * astfel încât b = a c. a se numeºte divizor al numãrului întreg b; b se numeºte multiplu al numãrului întreg a. Exemplu: 14; 7 ( 14). Divizori improprii, divizori proprii în Definiţie: Divizorii a, 1, 1 a ai unui numãr întreg a se numesc divizori improprii. Orice alt divizor al lui a Z se numeºte divizor propriu. Exemple: D N = {1,,, 6, 9, 18} mulþimea divizorilor naturali ai lui 18; 18 D Z = {±1, ±, ±, ±6, ±9, ±18} mulþimea divizorilor întregi ai lui Numerele ±, ±, ±6, ±9 sunt divizori proprii în Z ai numãrului Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

15 Divizor comun, multiplu comun, c.m.m.d.c., c.m.m.m.c. Fie a, b, d N *, m N. d se numeºte divizor comun dacã d a ºi d b. m se numeºte multiplu comun dacã a m ºi b m. el mai mare dintre divizorii comuni ai numerelor a ºi b se numeºte c.m.m.d.c. ºi se noteazã (a, b). el mai mic dintre multiplii comuni ai numerelor a ºi b se numeºte c.m.m.m.c. ºi se noteazã [a, b]. Reþineþi! (a, b) [a, b] = a b. Exemple: D N = {1,,, 6, 1}, D N = {1,,, 6, 9, 18} c.m.m.d.c.(1, 18) = 6; 1 18 M N = {0, 1, 4, 6,...}, M N = {0, 18, 6,...} c.m.m.m.c.[1, 18] = 6; 1 18 Verificare: (1, 18) [1, 18] = Definiţii: Numere pare, numere impare {x x = n, n Z} = {...,, 0,, 4,...} mulþimea numerelor pare. {x x = n + 1, n Z} = {..., 1, 1,,...} mulþimea numerelor impare. Numere prime, numere compuse p, p N, p numãr prim def D Z = { p, 1, 1, p}. p Exemple:,, 5, 7, 11, 1, 17, 19,... Numerele întregi care au divizori proprii se numesc numere compuse. Exemple: 4, 6, 8, 9, 15, 18, 0, 1... Numere prime între ele Definiţie: Douã numere a, b N * pentru care (a, b) = 1 se numesc prime între ele. Exemple: (, ) = 1; (, 5) = 1; (5, 9) = 1. Descompunerea unui numãr în produs de puteri de numere prime Exemple: = 1 1 = Observăm că:.m.m.d.c. (1, 18) = = 6; c.m.m.m.c. [1, 18] = = 6. reviar teoretic ritmetică şi algebră 15

16 Proprietăţi ale relaţiei de divizibilitate în N 1. a a, a N *.. 1 a, a N.. a 0, a N *. 4. a b } a = b, a, b N*. b a 5. a b } a c, a, b N*, c N. b c 6. a x } a x + y, a N*, x, y N. a y 6'. a x } a x y, a N*, x y N. a y 7. a x a xy, a N *, unde x, y N. 8. a x ºi b x } ab x, unde a, b N*, x N. (a, b) = 1 Fracţii Definiţie: O pereche ordonatã de numere întregi de forma a b (b 0) se numeºte fracþie. Definiţie: Exemple: ,,,, a O fracþie (b 0) se numeºte: subunitarã, dacã a < b; b echiunitarã, dacã a = b; supraunitarã, dacã a > b. Definiţie: a c a c Douã fracþii ºi se numesc echivalente, ºi scriem =, dacã ad = bc. b d b d cestea se obþin amplificând sau simplificând o fracþie datã. Exemplu: 15 10, 6, 4 sunt echivalente. ) 6 mplificarea: =. Simplificarea: 0 ( ( 5 15 = = Definiţie: O fracþie care nu se mai poate simplifica se numeºte fracþie ireductibilã. Exemple: 5, 8 6, Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

17 Definiţie: Fracþiile care au numitorul o putere a lui 10 (adicã 10, 100, 1 000, etc.) se numesc fracþii zecimale finite. Exemple: ,,, Scrierea fracţiilor sub formă zecimală partea fracþionarã = 1,8; = 0,07; = 0,579; =,5478 partea întreagã Transformarea fracţiilor zecimale finite în fracţii ordinare,5 = 5 4 ; 0,4 = ; 0,008 = ; 1,4567 = Nu toate fracþiile ordinare se pot transforma în fracþii zecimale finite! Exemplu: 19 19, , =4 00 = = Fracþia zecimalã 0, se scrie 0,1(6) ºi se numeºte fracþie zecimalã periodicã cu perioada 6. Fracţii periodice simple Exemple: 175 = 58,(); = 4,(6) etc. Fracţii periodice mixte Exemple: 1,4(567) ; partea neperiodicã partea periodicã 1,(45); 1,(45); 1,4(5); 0,(7) etc. reviar teoretic ritmetică şi algebră 17

18 Transformarea unei fracţii periodice simple în fracţie ordinară 0,() = 15 8 ; 0,(15) = ; 0,(8) = ;,(6) = 6 9 sau,(6) = 6 4 = ; ,(1) = sau 15,(1) = = ; ,(87) = sau 4,(87) = = Proba se face prin împãrþirea numãrãtorului la numitor. Transformarea unei fracţii periodice în fracţie ordinară 5 0,(5) = = ; 0,1(6) = 16 1 = ,(15) = = ;,4(6) = 46 4 = ,11(7) = = ; ,(456) = = Proba se face prin împãrþirea numãrãtorului la numitor ; 1 90 ; Numere; terminologia specifică; reprezentare pe axă Numere naturale 0 1 N = {0, 1,,,..., n,...}; N * = {1,,,..., n,...}; Numere întregi numere opuse Z = {..., n,...,, 1, 0, 1,,..., n,...}; Z * = Z \ {0}; a este opusul numãrului a. 18 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

19 Numere raţionale Se numeşte număr raţional mulţimea fracţiilor echivalente cu o fracţie dată Q = a b ab,, b 0 ; reprezintă numărul raţional 4, 6, 4 8 Q * = Q \ {0}; Z = m m, deci Z Q. 1 b a este inversul numãrului raþional a (a, b 0); b numãr raþional sub formã fracþionarã: 6 5 5, ,, 990 ; numãr raþional sub formã zecimalã: 1,; 0,5; 0,(6);,(14). fracþii finite fracþii infinite periodice Numere iraţionale Toate numerele infinite neperiodice sunt numere iraþionale. Numerele d, d, unde d nu este pãtrat perfect, 1 sunt numere iraþionale. 0 1 Numere reale Reunind mulþimea numerelor raþionale cu mulþimea numerelor iraþionale obþinem mulþimea Definiţie: numerelor reale. x, dacã x 0 x = { se numeºte modulul numãrului real x. x, dacã x < 0 x 0, oricare ar fi x R. Proprietăţi x = [x] + {x}, [x] Z, 0 {x} < 1 Exemple: [,7] = ; {,7} = 0,7; [,7] = 4; {,7} = 0,7. k [x] {x}{ x partea întreagã a numãrului x k + 1 partea fracþionarã a numãrului x reviar teoretic ritmetică şi algebră 19

20 Dacã a, b N * ºi a < b, atunci a n Dacã a, b R + ºi a < b, atunci: ompararea şi ordonarea numerelor reale b < ºi n n a n > (n N * ). b a n < b n (n N * ); a < b ; 1 a < 1 b. Dintre douã numere negative este mai mare cel cu valoarea absolutã mai micã: a, b < 0 ºi a < b, atunci a > b. a b a < b un numãr mai mic îl precede pe cel mai mare. Dacã a, b R, atunci are loc una ºi numai una dintre relaþiile: a < b, a = b, a > b. Fie a, b R ºi a < b. Intervale mãrginite: (a, b) = {x R a < x < b} [a, b] = {x R a x b} [a, b) = {x R a x < b} (a, b] = {x R a < x b} Intervale nemãrginite: (a, + ) = {x R a < x} [a, + ) = {x R a x} (, a) = {x R x < a} (, a] = {x R x a} Intervale în R: definiţii, reprezentări pe axă x x x a ( b ) + x a [ b ] + x a [ b ) + x a ( b ] + x a ( + x a [ + a ) + a ] + Proprietăţi ale operaţiilor cu numere reale dunarea 1. sociativitatea: (a + b) + c = a + (b + c), oricare ar fi a, b, c R.. Elementul neutru este 0: a + 0 = 0 + a = a, oricare ar fi a R.. Opusul oricãrui numãr real a este a: a + ( a) = ( a) + a = omutativitatea: a + b = b + a, oricare ar fi a, b R. Înmulţirea 1. sociativitatea: (a b) c = a (b c), oricare ar fi a, b, c R.. Elementul neutru este 1: a 1 = 1 a = a, oricare ar fi a R.. Inversul oricãrui numãr real nenul a este 1 a : a 1 a = 1 a a = 1, oricare ar fi a R*. 4. omutativitatea: a b = b a, oricare ar fi a, b R. 0 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

21 Ridicarea la putere cu exponent întreg Fie a R, n N *. Fie a, b R, p, q Z *. a n = a a a... a ap a q = a p + q n factori a 1 = a; a 0 = 1, a 0 a p : a q = a p q, a 0 1 n = 1; 0 n = 0 (a p ) q = a pq a n = 1 a n, a 0 ( 1) n = 1, n par 1, n impar 10 n = n zerouri Radicali (a b) p = a p b p (a : b) p = a p : b p, b 0 p a b b = a, a, b 0 10 n = 000, n cifre p Definiţii: Fie a Q, a 0. Numãrul a se numeºte pãtrat perfect dacã existã x Q astfel încât a = x. Fie a Q, a 0. Numãrul a se numeºte rãdãcina pãtratã a numãrului a ( a este numãrul pozitiv al cãrui pãtrat este a). Proprietãþi: 1. a ( ) = a, a Q +.. a nu existã dacã a < 0.. a 0, a Q a = a, a Q. Reguli de calcul cu radicali a ab = a b, a, b Q + b a =, a, b Q +, b 0 b a b = ab, a, b Q ab= ab, a Q, b Q + + x a x a y b = xy ab, a, b Q + y b = x a y b, a, b Q, y, b 0 + x a ± y a = x± y a n n ( ), a Q + x a x a Raţionalizarea numitorilor b ) x = a b a b) a+ b) x a+ x a x b ab ( ) xa b = b a b ( ) xa+ b = b a b reviar teoretic ritmetică şi algebră n ( ) =, a, b Q + Exemple: ) = ) + ) 1 = = + 4 ( ) 5 5+ = 9 ( ) 5+ = 7 1

22 Medii Fie a, b R *, p, q N *. m a = a+ b este media aritmeticã m ap = pa + qb este media aritmeticã ponderatã p+ q m g = ab este media geometricã Exemple: Fie a = 5, b = + 5. m a = m g = 5 5 = ; ( )( + ) = 9 5 =. Rapoarte şi proporţii Definiţii. Raportul Proprietatea numerelor raþionale fundamentală a ºi b (b 0) a este proporţiilor numãrul a b. Raportul a douã mãrimi este raportul mãsurilor lor exprimate cu aceeaºi unitate de mãsurã. Numãrul r = a b se numeºte valoarea raportului a b. Egalitatea a douã rapoarte a b = c d (b, d 0) se numeºte proporþie. Într-o proporþie a b = c produsul extremilor este egal cu produsul mezilor: ad = bc. d flarea unui termen necunoscut a b = c d a = bc d Proporţii derivate b = ad c c = ad b d = bc a a b c d a b = = b d c d d c = b a a+ b c+ d = b d a b = c d a b = a + c b + d a c b+ a = d + c a c b a = d c a c a b = d b Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

23 Şir de rapoarte egale a c e x a+ c+ e x = = =... = = b d f y b+ d + f y Proporţionalitate directă, proporţionalitate inversă direct proporþionale {a, b, c} {x, y, z} a b x = c y = z {a, b, c} invers proporþionale a b c = = x y z {x, y, z} Procente Definiţie: Fie p Q * +. Raportul p 100 se numeºte raport procentual. Numãrul p din proporþia a b = p se numeºte procent. 100 Notãm p%. vem p% din a = p a. Exemplu: 15% din 700 = flarea unui numãr când cunoaºtem p% din el: p 100 x = a x = a 100. Exemplu: 15% din x = 105 x = 700. p flarea raportului procentual: a b = p 100 p = a 100. Exemplu: = p p = 7,5. b Probabilitatea realizării unui eveniment numãrul cazurilor favorabile evenimentului p = numãrul cazurilor posibile Exemple: 1. Într-o urnã sunt 17 bile albe ºi 1 bile negre. Se extrage o bilã. Probabilitatea ca bila extrasã sã fie albã este: 17 numãrul bilelor albe 0 ( = numãrul total al bilelor ). Se aruncã douã zaruri. Numãrul cazurilor posibile este 6 (toate perechile (x, y), unde x, y sunt numere naturale de la 1 la 6). Probabilitatea sã aparã dubla : 1 (existã 1 caz favorabil: (, )). 6 Probabilitatea sã aparã, respectiv 5: 6 1 = ((; 5) ºi (5; )). 18 reviar teoretic ritmetică şi algebră

24 LUL LGERI Reguli de calcul cu numere reale reprezentate prin litere ax + bx + cx = (a + b + c) x a (x + y + z) = ax + ay + az (a + b) (x + y + z) = ax + ay + az + bx + by + bz Formule de calcul prescurtat (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b (a + b + c) = a + b + c + ab + bc + ca (a + b)(a b) = a b Metoda factorului comun: ab + ac = a(b + c) ab ac + ad = a(b c + d) Descompunerea în factori Utilizarea formulelor de calcul prescurtat: a + ab + b = (a + b) a ab + b = (a b) a + b + c + ab + ac + bc = (a + b + c) a b = (a + b)(a b) Exemple: 4x + 6xy + 9y = (x + y) 4x 6xy + 9y = (x y) 4x 9y = (x y)(x + y) Gruparea termenilor ºi metode combinate: ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b) ax + ay bx by = a(x + y) b(x + y) = (x + y)(a b) a(x ± xy + y ) = a(x ± y) x ± xy + y a = (x ± y) a = (x ± y a)(x ± y + a) a b c + bc = a (b + c bc) = a (b c) = (a b + c)(a + b c) Exemple: 5x 0x + 45 = 5(x 6x + 9) = 5(x ) ; 4x + 4x y = (x + 1) 16y = (x + 1 4y)(x y). 4 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

25 Rapoarte de numere reale reprezentate prin litere amplificarea c) a ac =, b, c 0 b bc adunarea sau scãderea a c a c ± = ±, b 0 b b b puterea cu exponent natural n n a a n b =, b 0, n N * b puterea cu exponent întreg negativ n n a b n b =, a, b 0, n N * a simplificarea (c a a: c =, b, c 0 b b: c înmulþirea a c a c =, b, d 0 b d b d împãrþirea a b : c a d d = b c, b, c, d 0 FUNŢII Sistem de axe ortogonale; reprezentarea punctelor în plan axa ordonatelor ordonata punctului M y 0 y M(x, y) x x axa absciselor abscisa punctului M Oricãrei perechi ordonate (x, y) i se poate asocia un punct M din plan. Noţiunea de funcţie Definiţie: Fiind date douã mulþimi nevide, ºi, ºi o lege de corespondenþã care face ca fiecãrui element x din sã-i corespundã un unic element y din, spunem cã am definit o funcþie pe cu valori în ºi scriem f :. Exemplu: 1 domeniul de definiþie f (x) = x codomeniul (mulþimea în care funcþia ia valori) legea de corespondenþã Im f = {y y = f (x), x } imaginea funcþiei reviar teoretic ritmetică şi algebră 5

26 Funcţii de tipul f : R, f (x) = ax + b, unde a, b R, = mulţime finită Definiţie: Fie f :. Prin graficul funcþiei f vom înþelege mulþimea G f = {(x, f (x)) x }. Deci (a, b) G f f (a) = b ºi a, b. Graficul G f al unei funcþii f are tot atâtea elemente câte are ºi domeniul. Exemplu: Fie funcþia numericã f : {0, 1,, } R, datã prin f (x) = x + 1. G f = {(0, 1), (1, ), (, 5), (, 7)} iar reprezentarea sa geometricã este mulþimea punctelor:,,, D. Funcţii de tipul f : R R, f (x) = ax + b, unde a, b R y um domeniul de definiþie este R, atunci G f este o mulþime infinitã ºi se reprezintã într-un sistem de axe ortogonale printr-o dreaptã. y D x y b 0 a = 0 G f Un punct M(x, y) G f y = ax + b. x a 0 b b a x 0 G f G f Ox = b a,0, G Oy = (0, b) f Reþineþi! Pentru o trasare rapidã a graficului este suficient sã-i determinãm douã puncte. EUŢII ŞI INEUŢII Rezolvarea în R a ecuaţiilor de forma ax + b = 0, a R *, b R ax + b = 0, x D ax = b x = b a. Dacã b a D S = b a. Dacã b D S =. a m notat D domeniul de definiþie al ecuaþiei ºi S mulþimea soluþiilor. Exemplu: 7x + = 0 7x = x = 7. În Q avem S =, dar în R avem S = 7. 6 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

27 * Rezolvarea în R a ecuaţiilor de forma ax + bx + c = 0, unde a, b, c R, a 0 Pentru a rezolva în R ecuaþia ax + bc + c = 0, a 0, a, b, c R, calculãm discriminantul D = b 4ac. Vom avea urmãtoarele situaþii: I. D < 0 S =. II. D = 0 S = b. a b b + III. D > 0 S =,. a a * Notă: ceastă temă nu este cuprinsă în programa pentru evaluare naţională. Rezolvarea în R R a sistemelor de două ecuaţii liniare cu două necunoscute Metoda substituþiei (exemplu) y+ x = 5 y x y x = 5 = 5 x y = 0 x ( 5 x)= 0 x 15+ x = 0 y = 5 x y x x = 5 = S = {(, )}. 5x 15= 0 x = y = Etapele metodei substituþiei: se rezolvã o ecuaþie în raport cu o necunoscutã; înlocuind în cealaltã ecuaþie, se obþine o ecuaþie cu o singurã necunoscutã, care se rezolvã, obþinându-se o componentã a soluþiei; revenind la substituþia fãcutã, se obþine cealaltã componentã a soluþiei. Metoda reducerii (exemplu) x+ 4y = 11 x y + 1 = x y = 0 4 8x 1y = 0 11x / = x = x x x = = = x+ 4y = y = 11 4y = 8 y = Etapele metodei substituþiei: se înmulþeºte convenabil fiecare termen (dintr-o ecuaþie sau din ambele) cu acelaºi numãr; adunând sau scãzând membru cu membru noile ecuaþii, se eliminã una dintre necunoscute; se determinã cealaltã necunoscutã, apoi se înlocuieºte în una dintre ecuaþiile iniþiale. Rezolvarea în R a inecuaţiilor de forma ax + b 0 (<,, >), a R *, b R Dacã a > 0: ax + b 0 x b a Dacã a < 0: ax + b 0 x b a b a + ] + [ b a nalog, pentru formele <,, >. Exemple: 1. x + < 0 x < x <.. x + 0 x x x.. x > 0 x > x < x <. reviar teoretic ritmetică şi algebră 7

28 GEOMETRIE MĂSURRE ŞI MĂSURI Unităţi de măsură pentru lungime mm cm dm m dam hm km submultiplii metrului multiplii metrului 1 m = mm 1 dam = 10 m 1 m = 100 cm 1 hm = 100 m 1 m = 10 dm 1 km = m Reþineþi! Dacã transformãm o unitate mai mare într-o unitate mai micã, înmulþim cu 10, 100, 1 000,... 1 mm = 0,001 m 1 m = 0,1 dam 1 cm = 0,01 m 1 m = 0,01 hm 1 dm = 0,1 m 1 m = 0,001 km Reþineþi! Dacã transformãm o unitate mai micã într-o unitate mai mare, împãrþim la 10, 100, 1 000,... Unităţi de măsură pentru arie mm cm dm m dam hm km submultiplii metrului pãtrat multiplii metrului pãtrat 1 m = mm 1 dam = 100 m 1 m = cm 1 hm = m 1 m = 100 dm 1 km = m Reþineþi! Dacã transformãm o unitate mai mare într-o unitate mai micã, înmulþim cu 100, , ,... 1 mm = 0, m 1 m = 0,01 dam 1 cm = 0,0001 m 1 m = 0,0001 hm 1 dm = 0,01 m 1 m = 0, km Reþineþi! Dacã transformãm o unitate mai micã într-o unitate mai mare, împãrþim la 100, , ,... 1 ha = m 1 ar = 100 m Unităţi de măsură pentru volum mm cm dm m dam hm km submultiplii metrului cub multiplii metrului cub 1 m = mm 1 dam = m 1 m = cm 1 hm = m 1 m = dm 1 km = m Dacã transformãm o unitate mai mare într-o unitate mai micã, înmulþim cu 1 000, , ,... 1 mm = 0, m 1 m = 0,001 dam 1 cm = 0, m 1 m = 0, hm 1 dm = 0,001 m 1 m = 0, km Dacã transformãm o unitate mai micã într-o unitate mai mare, împãrþim la 1 000, , ,... 8 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

29 Unităţi de măsură pentru capacitate ml cl dl l dal hl kl submultiplii litrului multiplii litrului 1 l = ml 1 dal = 10 l 1 m = 100 cl 1 hl = 100 l 1 m = 10 dl 1 kl = l Reþineþi! Dacã transformãm o unitate mai mare într-o unitate mai micã, înmulþim cu 10, 100, 1 000,... 1 ml = 0,001 l 1 l = 0,1 dal 1 cl = 0,01 l 1 l = 0,01 hl 1 dl = 0,1 l 1 l = 0,001 kl Reþineþi! Dacã transformãm o unitate mai micã într-o unitate mai mare, împãrþim la 10, 100, 1 000,... Relaþia de legãturã între unitãþile de volum este 1 dm = 1l Unităţi de măsură pentru masă mg cg dg g dag hg kg submultiplii gramului submultiplii kilogramului 1 g = mg 1 dag = 10 g 1 g = 100 cg 1 hg = 100 g 1 g = 10 dg 1 kg = g 1 mg = 0,001 g 1 g = 0,1 dag 1 cg = 0,01 g 1 g = 0,01 hg 1 dg = 0,1 g 1 g = 0,001 kg 1 q = 100 kg 1 t = kg chintalul tona Unităţi de măsură pentru timp Unitatea principalã de mãsurã pentru timp este secunda (s). lte unitãþi: minutul: ora: ziua: sãptãmâna: luna: anul: deceniul: secolul: mileniul: 1 min = 60 s 1 h = 60 min = 600 s 1 zi = 4 h 1 sãptãmânã = 7 zile 1 lunã are 8, 9, 0 sau 1 zile 65 zile sau 66 zile (an bisect) 10 ani 100 ani ani reviar teoretic Geometrie 9

30 FIGURI ŞI ORPURI GEOMETRIE Punctul, dreapta, planul, semiplanul, semidreapta, segmentul de dreaptă, unghiul Noþiunile primare nu se definesc, ci se descriu prin exemple. Punctul nu are întindere., d d d d = Dreapta este nemãrginitã ºi nu are grosime. a d a d a a Planul este comparabil cu suprafaþa unei ape liniºtite (presupusã nemãrginitã). Dreapta este o mulþime de puncte, numite coliniare. Planul este o mulþime de puncte, numite coplanare. Planul conþine drepte. Semidreapta este mãrginitã la un capãt, numit origine. [ D D [ Semidreapta deschisã ( sau semidreapta închisã [. Segmentul de dreaptã este mãrginit la ambele capete. O dreaptã inclusã într-un plan îl împarte în douã semiplane. [] D D [] Segmentul deschis () sau segmentul închis []. D d a (d [d D [d În desen am haºurat semiplanul deschis (d. Douã semidrepte având aceeaºi origine formeazã un unghi. O Notãm O sau O. 0 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

31 UNGHIURI FORMTE DE DOUĂ DREPTE TĂITE DE O SENTĂ Douã drepte a, b tãiate de o secantã s formeazã urmãtoarele perechi de unghiuri: alterne interne: 5, ( ), 46, ( ) s 1 alterne externe: 17 (, ), 8 (, ) a 4 corespondente: 15 (, ), 6 (, ), 7 (, ), 48 (, ) b 5 6 interne de aceeaºi parte a secantei: 45, 8 7 ( ), 6, externe de aceeaºi parte a secantei: 18 ( ) (, ), 7, ( ) xioma lui Euclid Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o paralelã ºi numai una la dreapta datã. riterii de paralelism s a 4 b 6 a b 8 4 s a b 4 5 s a b 7 s 4 6 a b 4 8 a b 45, supl. a b 7, supl. a b 1 Douã puncte distincte determinã o dreaptã. Punctele, determinã dreapta. xiomele geometriei în spaţiu Trei puncte necoliniare determinã un plan. F E G Existã puncte exterioare unei drepte. d d. Dacã douã puncte ale unei drepte aparþin unui plan, atunci dreapta este inclusã în plan. b I J I, J b IJ b E, F, G necoliniare determinã planul (EFG). Existã puncte exterioare unui plan. H a H a 4 Dacã douã plane au un punct comun atunci au o dreaptã comunã. δ g K L K, L δ g δ g = KL 5 Spaþiul este o mulþime de puncte. Planele ºi dreptele sunt submulþimi ale spaþiului. reviar teoretic Geometrie 1

32 Determinarea planului I. Trei puncte necoliniare determinã un plan. planul () II. O dreaptã ºi un punct care nu îi aparþine determinã un plan. D a planul (D, a) III. Douã drepte paralele determinã un plan. b planul (b, c) c IV. Douã drepte concurente determinã un plan. e d planul (e, d) Poziţiile relative a două drepte în spaţiu Drepte coplanare Drepte necoplanare paralele concurente a b = a b a b = a a a b a a b I a, b a; a, b a; b a; a b a b = {I} a a = {} a b Poziţiile relative ale unei drepte faţă de un plan Dreapta este inclusã în plan Dreapta este paralelã cu planul d Dreapta este inclusã în plan d a d d a a d a a d a Poziţiile relative a două plane Plane paralele Plane secante a a b d b a b a b = d Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

33 Unghiul a două drepte în spaţiu Definiţie: Unghiul a douã drepte în spaþiu este orice unghi ascuþit sau drept cu vârful în orice punct al spaþiului având laturile paralele cu dreptele date. g d Drepte perpendiculare în spaţiu a a b def b m ( ab, ) = 90 d, g necoplanare O O d d, g O O g ( )= Dreapta perpendiculară pe un plan Definiţie: Se numeºte dreaptã perpendicularã pe un plan o dreaptã care este perpendicularã pe orice dreaptã din plan. a d a d a } d a a a riteriul de perpendicularitate Dacã o dreaptã este perpendicularã pe douã drepte concurente dintr-un plan, atunci ea este perpendicularã pe plan. a b a d d a } a, b a d (a, b) a b Teoreme de perpendicularitate şi paralelism Douã plane perpendiculare pe aceeaºi dreaptã sunt paralele. a d } a b b d Douã drepte perpendiculare pe acelaºi plan sunt paralele. a a } a b b a a b d a b a reviar teoretic Geometrie

34 Perpendiculare şi oblice Definiţii: O dreaptã care intersecteazã un plan, dar nu este perpendicularã pe plan, se numeºte oblicã faþã de plan. d d a = {P} P m } def d este oblicã faþã de planul a d, ( a) 90 a Se numeºte distanþa de la un punct la un plan lungimea segmentului care uneºte punctul dat cu piciorul perpendicularei duse din punct pe plan. P a def d(, a) = P a P Distanţa dintre două plane paralele Definiţie: Se numeºte distanþa dintre douã plane paralele lungimea unui segment cuprins între cele douã plane ºi perpendicular pe ele. a a } d(a, b) = b b Proiecţii ortogonale pe un plan Definiţie: Se numeºte proiecþia unui punct pe un plan piciorul perpendicularei duse din acel punct pe plan. = pr a, este proiectanta punctului pe a a Definiţie: Se numeºte proiecþia unei figuri geometrice pe un plan mulþimea proiecþiilor punctelor acelei figuri pe plan. = pr a a 4 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

35 Teoremå: Proiecþia unei drepte pe un plan este o dreaptã sau un punct. Definiţie: Proiecţia unei drepte pe un plan a d d d = pr a d Se numeºte unghiul unei drepte cu un plan unghiul pe care aceastã dreaptã îl face cu proiecþia ei pe plan. (d, a) = (d, d ), unde d = pr a d Lungimea proiecţiei unui segment pe un plan Lungimea proiecþiei unui segment pe un plan este egalã cu lungimea segmentului înmulþitã cu cosinusul unghiului format de dreapta suport a segmentului cu planul. plicaþie: = 5 cm, = 10 cm. vem cos u = = 5 10 = 1 u = 60. d a } a b c b a, b a Distanþa de la un punct la o dreaptã MP a } a b M b d(m, b) = M a b = {} a, b a Teorema celor trei perpendiculare a a d a {} = pr a d d d a u a = cos u d c a b P M c a b P Teoremele reciproce ale teoremei celor perpendiculare Prima teoremå reciprocå a teoremei celor trei perpendiculare d a } c b a b a, b a a b = {} a d a P c b doua teoremå reciprocå a teoremei celor trei perpendiculare d a } a b d a c b a, b a a d a P c b reviar teoretic Geometrie 5

36 Unghiul diedru Se numeºte unghi diedru figura geometricã formatã de douã semiplane delimitate de aceeaºi dreaptã. Definiţii: Se numeºte unghi plan asociat unui unghi diedru unghiul determinat de douã semidrepte conþinute respectiv în semiplanele ce formeazã diedrul, ambele având originea pe muchia diedrului ºi fiind perpendiculare pe aceasta. a d, b d (a, b) este unghiul plan al diedrului de muchie d. d a b Plane perpendiculare Definiţie: Douã plane se numesc perpendiculare dacã formeazã un unghi diedru drept. Teoremå: Dacã un plan conþine o dreaptã perpendicularã pe alt plan, atunci cele douã plane sunt perpendiculare. d a d b } a b b d a Simetria în plan Definiţii: Definiţii: Spunem cã douã puncte ºi sunt simetrice faþã de un punct O, dacã O este mijlocul segmentului [ ]. Spunem cã un punct O este centrul de simetrie al unei figuri geometrice plane dacã orice punct al figurii are simetric faþã de O tot un punct al figurii. Spunem cã douã puncte distincte sunt simetrice faþã de o dreaptã s, dacã dreapta s este mediatoarea segmentului determinat de cele douã puncte. Spunem cã o figurã geometricã planã admite o axã de simetrie s dacã orice punct al figurii are simetric faþã de dreapta s tot un punct al figurii. O ºi sunt simetrice faþã de O F O O este centrul de simetrie al figurii F s O, sunt simetrice faþã de dreapta s F s s este axa de simetrie a figurii F 6 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

37 Triunghiul Triunghiul oarecare, perimetrul ºi aria P = a + b + c perimetrul triunghiului baza înãlþimea = sau = sin m ( ) + m ( ) + m ( ) = 180. aria triunghiului D este unghi exterior triunghiului. Triunghiul isoscel c b a D [] [] Triunghiul echilateral l h l Mediatoarea Definiţie: l reviar teoretic Geometrie [] [] [] m ( ) = m ( ) = m ( ) = 60. P = l; h = l ; = l 4. Linii importante în triunghi Mediatoarea unui segment este perpendiculara dusã prin mijlocul segmentului. Punctul de intersecþie a mediatoarelor unui triunghi este centrul cercului circumscris triunghiului. isectoarea Definiţie: isectoarea unui unghi este semidreapta cu originea în vârful unghiului care împarte unghiul în douã unghiuri congruente. Punctul de intersecþie a bisectoarelor unui triunghi este centrul cercului înscris. Mediana Definiţie: Mediana este dreapta care trece printr-un vârf al triunghiului ºi mijlocul laturii opuse. Punctul de intersecþie a medianelor se numeºte centrul de greutate al triunghiului. I O G M 7

38 Înălţimea Definiţie: Înãlþimea este perpendiculara dusã dintr-un vârf al triunghiului pe latura opusã. Punctul de intersecþie a înãlþimilor se numeºte ortocentrul triunghiului. H M Linia mijlocie în triunghi Definiţie: Segmentul care uneºte mijloacele a douã laturi ale unui triunghi se numeºte linie mijlocie. Teorema asupra liniei mijlocii Într-un triunghi, segmentul care uneºte mijloacele a douã laturi este paralel cu cea de-a treia laturã ºi are lungimea egalã cu jumãtate din lungimea acesteia. MN MN linie mijlocie MN = Teorema reciprocå a teoremei asupra liniei mijlocii [M] [M] } [N] [N] ºi MN = MN M M N N plicaþie: Fie M, N mijloacele laturii [], respectiv [] ale unui triunghi. tunci mijloacele înãlþimii, bisectoarei ºi medianei din vârful aparþin dreptei MN. M N 8 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

39 riteriile de congruenţă a triunghiurilor Definiţie: [] [ ]; ; [] [ ]; ; [] [ ]; azul LUL [] [ ] [] [ ] azul ULU [] [ ] azul LLL [] [ ] [] [ ] [] [ ] [] [ ] azul LUU } def D D } D D } D D } D D } D D riteriile de asemănare a triunghiurilor Definiţie: } ; ; def D ~ D = = riteriul 1 de asemãnare: ; = D ~ D riteriul de asemãnare: ; D ~ D riteriul de asemãnare: = = D ~ D reviar teoretic Geometrie 9

40 Teoreme Fie triunghiul ºi punctele D, E. Teorema lui Thales DE D E D = E Teorema reciprocå a teoremei lui Thales D E = DE D E Teorema fundamentalå a asemånårii DE DDE ~ D D = E = DE = r. D D E D E E Triunghiul dreptunghic oarecare sau m( )= 90 D = Teorema înålæimii m ( )= 90 } D = D D D Triunghiul dreptunghic Teorema catetei m ( )= 90 } = D, = D D Teorema lui Pitagora m( )= 90 = + Teorema reciprocå a teoremei lui Pitagora = + m ( )= 90 Triunghiul dreptunghic isoscel m( )= 90 = = Rapoarte constante în triunghiul dreptunghic [] [] m ( )= m ( )= 45 sin = b a, cos = c a c a b tg = b c, ctg = c b tg = sin cos, ctg = 1 tg sin = cos 40 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

41 Tabele trigonometrice funcþia sin a cos a tg a a ctg a 1 Patrulaterul convex Suma mãsurilor unghiurilor unui patrulater convex este Paralelogramul Patrulaterul convex care are laturile opuse paralele se numeºte paralelogram. D; D def D paralelogram. D Teoremå referitoare la laturi În orice paralelogram laturile opuse sunt congruente. D paralelogram [] [D] ºi [] [D]. Teoremå referitoare la unghiuri În orice paralelogram oricare douã unghiuri opuse sunt congruente ºi oricare douã unghiuri consecutive sunt suplementare. D paralelogram ; D., suplementare. Teoremå referitoare la diagonale În orice paralelogram diagonalele au acelaºi mijloc. [O] [O]; D paralelogram { [O] [OD]. O D Definiţie: Dreptunghiul Paralelogramul care are un unghi drept se numeşte dreptunghi. D paralelogram, m ( )= 90 def D dreptunghi. Teoremå referitoare la unghiuri În orice dreptunghi toate unghiurile sunt congruente, deci drepte. D dreptunghi D. reviar teoretic Geometrie D D D D 41

42 Teoremå referitoare la diagonale În orice dreptunghi diagonalele sunt congruente. D dreptunghi [] [D]. Definiţie: Rombul Paralelogramul care are două laturi consecutive congruente se numeşte romb. D paralelogram, [] [] def D romb. D D Teoremå referitoare la laturi În orice romb toate laturile sunt congruente. D romb [] [] [D] [D]. D Teorema 1 referitoare la diagonale În orice romb diagonalele sunt perpendiculare. D romb D. Teorema referitoare la diagonale În orice romb diagonalele sunt bisectoare. D romb [D] bisectoarea unghiului D. D Definiţie: Pãtratul Un paralelogram care are un unghi drept şi două laturi consecutive congruente se numeşte pătrat. D dreptunghi ºi romb def D pãtrat. D Proprietăţile pătratului Definiţii: Toate laturile sunt congruente. Toate unghiurile sunt drepte. Diagonalele sunt bisectoarele pãtratului. Trapezul Patrulaterul convex care are două laturi opuse paralele şi celelalte două neparalele se numeşte trapez. D ºi D } def D trapez. Diagonalele sunt perpendiculare, congruente ºi au acelaºi mijloc. Trapezul dreptunghic Trapezul care are una dintre laturile neparalele perpendiculară pe bază se numeşte trapez dreptunghic. D trapez, m ( )= 90 def D trapez dreptunghic. D Linia mijlocie în trapez Segmentul care uneºte mijloacele laturilor neparalele ale unui trapez se numeºte linia mijlocie a trapezului. 4 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014 D

43 Teorema asupra liniei mijlocii în trapez [M] [MD]; [N] [N] MN ; MN = + D. M D N Teorema reciprocå asupra liniei mijlocii în trapez [M] [MD]; MN [N] [N]; MN = + D. M D N Definiţie: Trapezul isoscel Trapezul care are laturile neparalele congruente se numeşte trapez isoscel. D trapez, [D] [] def D trapez isoscel. D Teoremå referitoare la unghiuri D trapez isoscel ºi D. D Teoremå referitoare la diagonale D trapez isoscel [] [D]. D Paralelogramul h l L D P D = (L + l) D = L h D = L l sin P D = 4l D = l d = l Pãtratul D Perimetrele şi ariile poligoanelor l Dreptunghiul L D P D = (L + l) D = L l d = L + l d l D P D = 4l D = l h D = d d Rombul l h 1 Trapezul b D P D = + + D + D D = ( + b) h h l reviar teoretic Geometrie 4

44 ercul Mulþimea punctelor din plan situate la distanþa r faþã de punctul O se numeºte cerc de centru O ºi razã r. coardã diametru Definiţii: Segmentul care uneºte douã puncte de pe cerc se numeºte coardã. oarda care trece prin centrul cercului se numeºte diametru, iar capetele diametrului se numesc puncte diametral opuse. centrul razã O r (O, r) Definiţii: Porþiunea dintr-un cerc determinatã de douã puncte distincte ale cercului se numeºte arc de cerc. Dacã extremitãþile unui arc de cerc sunt diametral opuse, atunci arcul se numeºte semicerc. Toate punctele situate, faþã de centrul cercului, la distanþe mai mici decât raza, formeazã interiorul cercului. Toate punctele situate, faþã de centrul cercului, la distanþe mai mari decât raza, formeazã exteriorul cercului. Mulþimea punctelor cercului (O, r) reunitã cu interiorul cercului se numeºte disc de centru O ºi razã r: D(O, r). semicerc O interior exterior arcul mic O O Unghi la centru; sector de cerc Definiţii: Un unghi cu vârful în centrul unui cerc se numeºte unghi la centru. Se numeºte sector de cerc o porþiune dintr-un cerc cuprinsã între douã raze ale sale ºi arcul pe care îl subîntind. D O m( D ) = m O ( ) Într-un cerc, arcelor congruente le corespund coarde congruente. Reciproc, într-un cerc, coardelor congruente le corespund arce congruente. D D [] [D] 44 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

45 Diametrul perpendicular pe o coardã Într-un cerc, diametrul perpendicular pe o coardã trece prin mijlocul arcului subîntins de coardã. O Teoremå privind coardele egal depårtate de centru Douã coarde ale unui cerc sunt congruente dacã ºi numai dacã sunt egal depãrtate de centru. [] [D] d(o, ) = d(o, D) O D Teoremå privind arcele cuprinse între coarde paralele Dacã douã coarde ale unui cerc sunt paralele, atunci arcele cuprinse între ele sunt congruente. D O D D Definiţie: Unghiul înscris în cerc Un unghi cu vârful pe cerc ale cãrui laturi includ douã coarde ale cercului se numeºte unghi înscris în cerc. Mãsura unghiului înscris în cerc este jumãtate din mãsura arcului cuprins între laturile sale. Poziþiile relative ale unei drepte faþã de un cerc O dreaptã poate avea cu un cerc: a) douã puncte comune b) un punct comun s t O ( ) m m ( )= m O m ( )= ( ) c) niciun punct comun e O r O O secantã d(o, s) < r tangentã OT t OT = d(o, t) = r dreaptã exterioarã cercului d(o, e) > r reviar teoretic Geometrie 45

46 Tangente dintr-un punct exterior la un cerc Dintr-un punct exterior unui cerc se pot duce douã tangente ºi numai douã la cerc. O T T Proprietãþile tangentei dintr-un punct exterior la un cerc a) [T] [T ]; b) [O este bisectoarea unghiului TT ; c) [O este bisectoarea unghiului TOT ; d) O este mediatoarea segmentului [TT ]. Mãsura unui unghi cu vârful pe cerc, care are una dintre laturi secantã ºi cealaltã tangentã la cerc, este jumãtate din mãsura T arcului cuprins între laturile sale. O plicaþie: T = 4 cm, m T ( )= 60. m m T ( ( ) Se cere mãsura arcului mic T ºi raza r. )= Soluþie: m( T ) m m T ( )= 60 = ( T ) m ( T )= 10. Deducem uºor cã m OT ( )= 0. Triunghiul TO este isoscel cu baza (T). Se obþine r = 4 cm. Definiţie: Un cerc se numeºte cerc înscris într-un triunghi, dacã laturile triunghiului sunt tangente la cerc. În acest caz, triunghiul se numeºte circumscris cercului. O entrul cercului înscris într-un triunghi se aflã la intersecþia bisectoarelor triunghiului. ercul circumscris unui triunghi Definiţie: Un cerc se numeºte circumscris unui triunghi, dacã vârfurile triunghiului sunt situate pe cerc. În acest caz, triunghiul se numeºte triunghi înscris în cerc. entrul cercului circumscris unui triunghi se aflã la intersecþia mediatoarelor triunghiului. O 46 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

47 Lungimea cercului ºi aria discului; lungimea arcului de cerc; aria sectorului de cerc L cerc = pr; disc = pr R L arc = npr 180 ; = npr sector circular 60 n plicaþii: 1. flaþi raza r ºi lungimea unui cerc cu aria discului egalã cu 0p dm. Soluþie: pr = 0p R = 5 dm; L cerc = p 5 dm.. flaþi raza unui cerc având un arc de cerc cu lungimea 15p cm ºi mãsura unghiului la centru corespunzãtor n = 60. Soluþie: 15p = npr p = 60 pr R = 45 cm. 180 Elemente în poligoane regulate Triunghiul echilateral Pãtratul Hexagonul regulat l R 0 R O a p R l R 45 O a p R O l R R a p 60 l = R a p = R l = R a p = R l = R; a p = R P = 6l; = l reviar teoretic Geometrie 47

48 u baza triunghi echilateral orpuri geometrice. Poliedre Prisma dreaptã u baza pãtrat u baza hexagon regulat muchie lateralã diagonalã faþã lateralã vârf înãlþime muchia bazei bazã Paralelipipedul dreptunghic ubul lungime înãlþime lãþime Feþele unui paralelipiped dreptunghic sunt dreptunghiuri, douã câte douã congruente. D D Feþele unui cub au formã de pãtrat ºi sunt congruente. D D D Desfãºurarea cubului înãlþimea piramidei muchie lateralã Piramida V E vârful piramidei faþã lateralã baza piramidei În funcþie de natura bazei, folosim denumirile: piramidã triunghiularã, patrulaterã, pentagonalã, hexagonalã. D Definiţii: Tetraedrul D Punctele necoplanare,,, D determinã poliedrul cu cel mai mic numãr de feþe numit tetraedru. Reuniunea feþelor tetraedrului se numeºte suprafaþa tetraedrului. 48 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

49 Definiţie: O piramidã care are baza poligon ºi muchiile laterale congruente se numeºte piramidã regulatã. Feþele laterale ale unei piramide regulate sunt triunghiuri isoscele (congruente). M V O apotema piramidei înãlþimea piramidei apotema bazei Piramida regulată, tetraedrul regulat Definiţii: Distanþa de la un vârf la o laturã a bazei se numeºte apotema piramidei. Distanþa de la centrul bazei la o laturã a bazei se numeºte apotema bazei. Un tetraedru cu toate muchiile congruente se numeºte tetraedru regulat. Secţiuni paralele cu baza în poliedre în prismã planul de secþiune în piramidã planul de secþiune Planul de secþiune este un poligon (cu toate punctele interioare) congruent cu bazele ºi paralel cu acestea. Obþinem douã prisme de acelaºi tip cu prisma iniþialã, dar de înãlþimi mai mici. Planul de secþiune este un poligon asemenea cu baza ºi paralel cu aceasta. Obþinem o piramidã micã, al cãrei vârf este vârful piramidei iniþiale iar baza poligonul (cu toate punctele interioare) ºi un trunchi de piramidã. Trunchiul de piramidă Definiţii: Se numeºte trunchi de piramidã corpul geometric obþinut prin secþionarea unei piramide printr-un plan paralel cu baza, situat între bazã ºi planul de secþiune. Distanþa dintre bazele trunchiului se numeºte înãlþimea trunchiului. laturã a bazei mici muchie lateralã baza micã faþã lateralã reviar teoretic Geometrie laturã a bazei mari baza mare 49

50 orpuri rotunde ilindrul circular drept O R D razã generatoare suprafaþã lateralã bazã O R D azele unui cilindru au formã de disc. Definiţii: Raza fiecãreia dintre baze se numeºte raza cilindrului. Suprafaþa care mãrgineºte cilindrul se numeºte suprafaþa lateralã a cilindrului. Desfãºurarea suprafeþei laterale a unui cilindru este dreptunghi. onul circular drept V O vârf generatoare bazã V R O aza unui con are formã de disc. Definiţii: Raza bazei se numeºte raza conului. Desfãºurarea suprafeþei laterale a unui con este un sector de disc. 50 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

51 Secţiuni paralele cu baza în corpuri rotunde în cilindru circular drept în con circular drept planul de secþiune planul de secþiune Planul de secþiune este un disc congruent cu bazele ºi paralel cu acestea. Obþinem doi cilindri având aceeaºi razã cu cilindrul iniþial, dar de înãlþimi mai mici. Planul de secþiune este un disc asemenea cu baza ºi paralel cu aceasta. Obþinem un con mic, al cãrui vârf este vârful conului iniþial, iar baza discul de secþiune ºi un trunchi de con. Trunchiul de con Definiţii: Se numeºte trunchi de con corpul geometric obþinut prin secþionarea unui con circular drept printrun plan paralel cu baza ºi îndepãrtarea conului mic obþinut. Distanþa dintre bazele trunchiului de con se numeºte înãlþimea trunchiului. Desfãºurarea suprafeþei laterale a unui trunchi de con este un sector de coroanã circularã. baza micã suprafaþa lateralã generatoarea raza bazei mici înãlþimea trunchiului raza bazei mari baza mare reviar teoretic Geometrie 51

52 Sfera; descriere. ila O R O R Sferã de centru O ºi razã R S(O, R) S(O, R) = {P P punct din spaþiu a.î. OP = R} Prin rotaþia unui cerc în jurul unui diametru al sãu obþinem o sferã având raza egalã cu raza cercului de rotaþie ºi centrul în centrul cercului de rotaþie. ilã de centru O ºi razã R (O, R) (O, R) = {P P punct din spaþiu a.î. OP R} Planul de secþiune este un disc asemenea cu baza ºi paralel cu aceasta. Obþinem un con mic, al cãrui vârf este vârful conului iniþial, iar baza discul de secþiune ºi un trunchi de con. Secţiuni axiale în corpuri rotunde Definiţie: Spunem cã un corp geometric admite o axã de simetrie s dacã orice punct al corpului are simetric faþã de dreapta s tot un punct al corpului. G R s Secþiunea axialã este dreptunghi de dimensiuni R ºi G G R s triunghi isoscel cu baza R ºi laturile R G R s trapez isoscel cu baza micã r, baza mare R ºi latura neparalelã G R s disc de razã R 5 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

53 Prisma dreaptã h l = suma ariilor feþelor laterale t = l + b V = b h riile şi volumele corpurilor geometrice Piramida regulatã h l = suma ariilor feþelor laterale t = l + b V = b h Trunchiul de piramidã regulatã l = suma ariilor feþelor laterale t = l + + b V = h b b + + h ( ) Raportul volumelor a douã piramide asemenea este cubul raportului de asemãnare. ilindrul onul Trunchiul de con r h G h G h G R G = h l = prg t = pr(r + G) V = pr h Paralelipipedul dreptunghic R G = h + R l = prg t = pr(r + G) V = pr h ubul R G = h + (R r) l = pg(r + r) t = l + + b V = ph (R + r + Rr) Sfera b d c a t = (ab + bc + ca) V = abc d = a + b + c a t = 6a V = a d = a a d a sferei = 4pR V bilei = 4pR R reviar teoretic Geometrie 5

54 Testul 1 (utor: prof. na Poştaru) (areme la pagina 188) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai răspunsurile. 1. el mai mare număr întreg mai mic decât,4 este.... Jumătate din sfertul numărului 48 este.... Dacă x y = 16, atunci 7 6x + 4y este egal cu Triunghiul MT are perimetrul 108 cm. Dacă Q, P, S sunt mijloacele laturilor (M), (T) respectiv (MT), atunci perimetrul triunghiului QPS este egal cu... cm. 5. ria unui cerc, având lungimea de 10 π cm, este egală cu... cm. 6. În tabelul de mai jos sunt prezentate temperaturile înregistrate peste zi pe muntele Semenic în ziua de 10 ianuarie 01. Temperatura medie înregistrată peste zi este... ora temp SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, un romb MTE cu m( )= 40.. rătaţi că oricare ar fi cifrele x şi y nenule ( 10xy 10yx) 15.. Profesorul de sport doreşte să aşeze participanţii la o întrecere sportivă în coloane de câte 4, 6 sau 9 elevi, dar constată că rămân de fiecare dată câte elevi neîncolonaţi. a) are este numărul elevilor, ştiind că este cel mult egal cu 50? b) are este numărul minim de elevi ce pot fi aşezaţi în coloane de 4, 6 sau 9 elevi? { } 4. Fie mulţimea = x x 1< 5. alculaţi suma elementelor mulţimii. 5. Fie = , ;, ; ; π ; ; 0. alculaţi \. 4 SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată este schiţa unei grădini ornamentale. Semicercurile mici sunt identice şi au razele r egale r r cu jumătate din raza R a semicercului mare. a) Exprimaţi perimetrul întregii figuri în funcţie de r şi R numărul iraţional π. b) alculaţi aria semicercului colorat cu gri, pentru R r = 10 m şi π =,14. r r c) alculaţi aria suprafeţei dreptunghiulare D, ştiind D că r = m. d) âte kg de seminţe de gazon sunt necesare, pentru cultivarea suprafeţei D în cazul r = m, dacă 1 kg de seminţe ajunge pentru 0 m? 54 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

55 . O suprafaţă de forma unui trapez dreptunghic D D trebuie pavată cu plăci de gresie. D = m; D = D; m( )= 45. a) alculaţi aria trapezului D. b) alculaţi câtă gresie trebuie cumpărată, ştiind că 10% din cantitate se pierde la tăierea acesteia. Exprimaţi în număr întreg de m. E 45 Testul (utor: prof. Gina aba) (areme la pagina 189) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 15 9 este egal cu.... Numărul n se scrie ca putere astfel.... Mulţimea divizorilor întregi ai numărului 1 este Lungimea laturii unui pătrat cu aria de 6 m este egală cu...m. 5. Un trapez dreptunghic D are m( )= 90, = 6 dm, = 5 dm, D = 9 dm. tunci perimetrul trapezului este egal cu...dm. 6. În graficul de mai jos, este prezentată evoluţia euro/leu în perioada 1 august - 17 septembrie 01. el mai mare curs s-a înregistrat în ziua de septembrie 01 lei (sursa: 1. Recapitularea materiei din clasele V VII 55

56 SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, un romb cu o latură de cm şi un unghi ascuţit de 0.. Un elev are 14 ani. Peste câţi ani va avea de trei ori vârsta de acum?. Într-o urnă sunt 50 de bile numerotate de la 1 la 50. are este probabilitatea ca, luând la întâmplare o bilă, pe aceasta să fie scris: a) un număr prim? b) un număr pătrat perfect? 4. Stabiliţi dacă numărul = este pozitiv, negativ sau zero. n Simplificaţi fracţia n n+ n 1, unde n *, astfel încât să obţineţi o fracţie ireductibilă. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Figura alăturată reprezintă schiţa unui teren împărţit în două triunghiuri dreptunghice având catetele 4 de lungimi m, respectiv 4 m, şi un triunghi echilateral. a) Terenul se împrejmuieşte cu gard a câte 6 rânduri de 4 sârmă. âţi m de sârmă trebuie cumpăraţi? b) Pe suprafeţele triunghiurilor dreptunghice se însămânţează gazon, necesarul fiind de 0,05 kg seminţe pe metrul pătrat, iar costul pe 1 kg gazon este lei. ât a costat gazonul? c) Pe suprafaţa triunghiului echilateral s-au trasat patru ronduri (ca în figură) fiecare în formă de triunghi echilateral asemenea cu triunghiul iniţial, având lungimile laturilor de 4 m, m, m, respectiv 1 m. Pe fiecare latură de rond s-au plantat tufe de trandafiri la distanţe egale cu 0,5 m între ele. âte tufe de trandafiri au fost necesare şi cât s-a plătit, ştiind că la piaţă se vând tufe la 10 lei?. ercul din desenul alăturat are raza de 1 cm. alculaţi: a) lungimea laturii triunghiului echilateral înscris în cerc; b) apotema triunghiului echilateral înscris în cerc; c) raportul dintre aria triunghiului şi aria discului. 1 l 56 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

57 Testul (utor: prof. Marinela anu) (areme la pagina 191) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Restul împărţirii numărului 564 la 10 este.... Dintre numerele,4 şi,(4) este mai mic numărul.... Fie mulţimea = {0; ; 5; 6; 8; 9}. Probabilitatea ca alegând la întâmplare un număr din, acesta să fie divizibil cu, este egală cu În triunghiul dreptunghic în, [M] este mediană având lungimea de 18 cm. Lungimea ipotenuzei este egală cu... cm. 5. Lăţimea unui teren dreptunghiular este 8 m, iar lungimea gardului ce-l înconjoară este de 50 m. Lungimea dreptunghiului este egală cu... m. 6. În schema de mai jos este prezentată: 8 m ea mai mare valoare s-a înregistrat în anul... SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete muncitori termină o lucrare în 15 zile. În câte zile vor termina aceeaşi lucrare 18 muncitori?. Preţul unui produs este egal cu 10 lei. Prima dată preţul creşte cu 50% şi apoi scade tot cu 50%. are va fi preţul final al produsului? 1. Recapitularea materiei din clasele V VII 57

58 . Se consideră numerele: x = : şi y = ( 5) + ( 5 ) + ( ). a) omparaţi numerele x şi y. b) alculaţi media aritmetică şi media geometrică a numerelor x şi y. 4. Dacă a = + +, calculaţi a şi ( a 6 ) (10p) SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Într-un parc se delimitează un teren de joacă de forma unui triunghi, cu <. Se consideră (M bisectoarea unghiului Q, exterior triunghiului, unde M aparţine semidreptei (, şi fie N simetricul lui M faţă de. În punctele M şi N se plantează arbuşti ornamentali. isectoarea unghiului intersectează () în D, iar în punctul E de intersecţie a dreptelor DN şi se fixează o bancă. rătaţi că: a) triunghiul DMN este isoscel; b) M = NE; c) aleile D şi E sunt perpendiculare; d) aleea E este paralelă cu aleea MN.. O sală de sport are forma unui paralelogram D, cu m( )= 60, = 10 m şi D = 6 m. Fie M mijlocul segmentului [], N este mijlocul lui [D]; MP, P D şi NQ D, Q. a) Demonstraţi că terenul MQNP este un dreptunghi. b) Sportivii Mihai şi ndrei parcurg traseele D, respectiv QPD. ine a parcurs traseul cel mai lung? D P N M Q 58 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

59 Testul 4 (utor: prof. Nadia ărbieru) (areme la pagina 19) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului: ( 1) + ( 1) + ( 81) : (+ ) este egal cu.... Inversul numărului + 7 este.... Dacă 5x, atunci valoarea lui x este În triunghiul, m( )= 90 ; = 8cm; = 1cm. ria triunghiului este egală cu...cm. 5. Într-un dreptunghi D, = 7 cm, D ={ O} şi m( OD)= 60. Lungimea diagonalei [] este egală cu...cm. 6. La un test de matematică elevii unei clase au obţinut următoarele note: Nr. elevi Numărul elevilor care au obţinut o notă mai mare decât 6 este... Nota SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un trapez dreptunghic MNPQ.. O cutie de bomboane costă 1,5 lei. Dacă o persoană plăteşte suma de 6,5 lei, câte cutii de bomboane a cumpărat?. Fie numerele a 1 = ; a = a ; a = a 1 + ;...; a 10 = a a) flaţi suma acestor numere. b) ât la sută reprezintă suma numerelor pare din suma numerelor impare? 4. rătaţi că numărul = este natural. 5. Descompuneţi în factori: 4x 4x + 6x. 1. Recapitularea materiei din clasele V VII 59

60 SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Un parc este de forma unui trapez isoscel D, cu D, D şi m ( D) = 0, iar = 6 dam. a) Dacă parcul este înconjurat cu un gard, aflaţi lungimea acestuia. b) alculaţi aria trapezului. c) flaţi aria triunghiului.. Figura reprezintă schiţa unei grădini cu flori în formă de dreptunghi, cu = 10 m, = 10 m, şi M. Dreapta M se prelungeşte astfel încât M D ={ N}. a) flaţi lungimile segmentelor [] şi [M]. b) rătaţi că m ( M) = 60 c) Determinaţi valoarea raportului MN. D M N fig. 1 fig. D D Testul 5 (utor: prof. Florentina Enea ) (areme la pagina 194) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului : 5 este egal cu.... Media aritmetică a numerelor 8, 9, 11, 18 este.... Dacă este soluţia ecuaţiei mx 5m = 15, atunci valoarea parametrului m este Un triunghi echilateral are o latură cu lungimea de 8 cm. Raza cercului circumscris triunghiului are lungimea egală cu...cm. 5. Dacă aria dreptunghiului D este 4 cm şi M (D), atunci aria triunghiului M este egală cu...cm. D M 6. În graficul alăturat este reprezentată evoluţia inflaţiei în perioada ian. 010 dec Inflaţia a avut cea mai scăzută valoare în luna... (sursa: reflectiieconomice) 60 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

61 SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un trapez isoscel de baze [D] şi [].. alculaţi Fie = { 9; 4; 10; 7} şi = {x 1; ; 5y; ( ) } cu x, y. a) Ştiind că x = 0 şi y =, scrieţi elementele comune mulţimilor şi. b) Ştiind că =, determinaţi valorile numerelor x şi y. 4. Rezolvaţi în mulţimea numerelor naturale inecuaţia x < 5. ( ) 5. Stabiliţi dacă numărul p = este natural. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În patrulaterul convex D, M (). Dacă MN, N () şi MP D, P (D), arătaţi că: a) NP D; b) N P + =1. D. În triunghiul cunoaştem = cm, = cm, = 4 cm. a) rătaţi că triunghiul este dreptunghic. b) alculaţi d(, ). c) alculaţi sin + sin. d) alculaţi lungimea segmentului [M], unde M este mijlocul segmentului (). M N P D Testul 6 (utor: prof. drian iupitu) (areme la pagina 195) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. alculând 1111 : se obţine rezultatul.... Dacă x = 5 şi y + z = 0, atunci xy + xz este egal cu.... alculând sin 0 + cos 0 obţinem rezultatul omplementul unghiului de este unghiul el mai mare număr natural de forma x4 y divizibil cu este Recapitularea materiei din clasele V VII 61

62 6. În graficul de mai jos este prezentată creşterea preţurilor la materiile prime pe plan mondial în perioada 8 iunie august 010. O creştere de aproximativ 60% s-a înregistrat la... (sursa: Ziarul Financiar) SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. flaţi preţul unui obiect care, după o scumpire cu 5% costă 15 lei. 15. Determinaţi mulţimea = x ( x ). 4. Se dau numerele: a = şi b = +. a) rătaţi că a b = 1. b) alculaţi (a b). 4. Un dreptunghi are dimensiunile de 9 cm şi 16 cm. flaţi lungimea diagonalei pătratului echivalent cu dreptunghiul dat. 5. Măsura unuia dintre unghiurile rombului D este egală cu 60. flaţi aria şi perimetrul rombului, dacă lungimea diagonalei mici este de 6 cm. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Numerele naturale x, y şi z sunt direct proporţionale cu ; 5 şi 9. a) flaţi cât la sută din y reprezintă x. b) Dacă x + y + 4 z = 75, să se determine x, y şi z.. Fie trapezul D, D. Ştiind că = = D = 1 cm şi D. a) rătaţi că ( este bisectoarea unghiului D. b) flaţi măsurile unghiurilor trapezului. c) alculaţi aria şi perimetrul trapezului. d) alculaţi distanţa de la la. 6 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

63 Testul 7 (utor: prof. onstantin postol) (areme la pagina 196) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. p 1. Ştiind că 10 = 11 = q, valoarea raportului p q, scrisă ca fracţie zecimală, este.... Rezultatul calculului:,1 + 0, 1 + 0,0 0,1 10 este egal cu.... Pentru ca egalitatea x = să fie o proporţie, x trebuie să fie egal cu... x 4. În triunghiul, D ( ), perimetrul triunghiului D este egal cu 10 cm, perimetrul triunghiului D este egal cu 1 cm şi perimetrul triunghiului este egal cu 14 cm. tunci D =...cm Pentru ca raportul m + să fie număr natural, cea mai mică valoare a lui m este... m 1 6. Rata şomajului înregistrat în perioada ianuarie-iunie 01 este prezentată în graficul de mai jos. Rata a fost de 5,1% în luna... 5,4% 5,% 5,% 5,1% 5% 4,9% 4,8% 4,7% 4,6% 4,5% 4,4% Ian. 01 Rata şomajului înregistrat în perioada ianuarie-iunie 01 (la sfârşitul lunii) Feb. 01 Mar. 01 pr. 01 Mai 01 Iun. 01 (sursa: Institutul Naţional de Statistică) SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un triunghi şi puneţi în evidenţă toate unghiurile sale exterioare.. rătaţi că oricare ar fi a *, numărul a ( a + 1) ( = a + ) ( a + ) se poate scrie ca un 4 produs de două numere naturale consecutive. (10p) 1. Recapitularea materiei din clasele V VII 6

64 . Fie triunghiul cu m( ) 90. Pe dreapta se consideră punctul D, astfel încât = D şi pe dreapta se consideră punctul E, astfel încât = E. Notăm cu M, mijlocul segmentului (D) şi cu N, mijlocul segmentului (E). Fie { P}= M N. Demonstraţi că dreptele P şi sunt perpendiculare. 4. Ştiind că a = şi b = , arătaţi că a b a+ b număr raţional. este (10p) SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Determinaţi numerele a, b, c, ştiind că sunt proporţionale cu ; ; şi a + b + c = 17. (10p) x y z. Fie numerele raţionale x, y, z, astfel încât să aibă loc egalitatea: x+ y + y+ z + z+ x =. a) Demonstraţi că xyz 0. b) rătaţi că y z x x+ y + y+ z + z+ x = 1. Într-un cerc cu raza de 6 cm se înscrie un patrulater convex D, având m( )= 60 şi m( )= 45. alculaţi lungimile diagonalelor acestui patrulater. 4. Se dă triunghiul şi D, piciorul bisectoarei din. Ştiind că triunghiurile şi D sunt asemenea, calculaţi măsurile unghiurilor triunghiului. Testul 8 (utor: prof. Marilena Faiciuc) (areme la pagina 197) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului ( ) ( ) ( 4) ( 5) este.... Rezultatul calculului : este numărul întreg.... Dintre 5 şi 10 este mai mare Fie triunghiul cu m( )= 90, D, D ( ). Dacă m( )= 40, atunci m( D)= ria unui romb cu latura de 10 cm şi măsura unui unghi de 60 este egală cu Dacă 0% din numărul total de elevi ai unei clase, adică 5 elevi, joacă baschet, atunci în clasă sunt... elevi. 64 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

65 SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, un trapez dreptunghic MNPQ.. O cantitate de 5500 kg cartofi se distribuie la cantine direct proporţional cu numărul abonaţilor fiecăreia. flaţi câte kg primeşte fiecare cantină, ştiind că prima are 100 de abonaţi, a doua 00 de abonaţi, iar a treia 50 de abonaţi.. Un elev citeşte o carte în zile: în prima zi citeşte o treime din numărul total de pagini, a doua zi jumătate din numărul paginilor rămase şi încă 10 pagini, iar a treia zi ultimele 60 de pagini. flaţi câte pagini are cartea. 4. Pentru a umple un bazin cu apă se folosesc zilnic simultan cele 4 robinete care au acelaşi debit şi astfel bazinul se umple în 4 ore. Într-una din zile, după o oră, unul dintre robinete s-a înfundat. flaţi în cât timp după defecţiune celelalte robinete vor umple bazinul. 5. Dacă elevii unei clase se grupează câte, câte sau câte 5, rămâne de fiecare dată un elev negrupat. flaţi câţi elevi sunt în clasă, ştiind că numărul elevilor este mai mic decât Determinaţi numerele naturale a şi b astfel încât a + b = 14. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Un elev desenează un cerc cu raza de 6 cm, după care, pornind din punctul, cu aceeaşi deschidere a compasului ca şi raza cercului, marchează succesiv pe cerc punctele,, D, E, F. a) Demonstraţi că următoarea marcare va fi în punctul. b) alculaţi aria triunghiului E. c) rătaţi că E F. D E F. Fie trapezul D cu D, = 15 cm, D = 5 cm, D = 6 cm, = 8 cm. a) Dacă F D, F ( ), calculaţi m( F). b) alculaţi aria trapezului D. c) Dacă D ={ S}, calculaţi aria triunghiului S. 1. Recapitularea materiei din clasele V VII 65

66 Testul 9 (utor: prof. ostică Lupu) (areme la pagina 199) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului , este egal cu Dacă x 1 + y 9 = 0, atunci x =..., y =.... Dacă x = y, atunci x 5 y = Dacă apotema unui hexagon regulat este cm, atunci aria hexagonului este egală cu... cm. 5. atetele unui triunghi dreptunghic sunt de 9 cm şi 1 cm. Ipotenuza triunghiului are lungimea de... cm. 6. În diagrama de mai jos este prezentată evoluţia creditelor restante în sistemul bancar. ea mai mare sumă restantă a fost de... mld. lei. Evoluţia creditelor restante Sume restante (mld. lei) dec. 011 ian. 01 feb. 01 mar. 01 apr. 01 mai 01 iun. 01 (sursa: NR) SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Ştiind că x, y şi z sunt proporţionale cu, 4 respectiv 6 şi x + 1 y+ z = 5 4, determinaţi x, y şi z.. Determinaţi cifra a, astfel încât numărul a64 1 a să fie raţional.. rătaţi că pentru orice n, numărul a = Matematică pentru Evaluarea Naţională ,7,,8,5 4 4,8 n+ n+ n+ 1 n+, este pătrat perfect. 4. Pe cercul (O, ) luăm punctele,,, D, în această ordine, astfel încât m( ) = 70, m( ) = 110, m ( D ) = 10. a) flaţi: m( D), m( D), m( D). b) flaţi aria triunghiului OD. 5. Să se arate că, trapezul D ( D), în care = 4 cm, = 10 cm, D = 1 cm şi D = 6 cm, este dreptunghic.

67 SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Fie punctele (0; 6) şi (8; 0), iar M mijlocul segmentului []. a) flaţi lungimea segmentului []. b) Determinaţi coordonatele punctului M.. Fie un triunghi dreptunghic isoscel, cu m( )= 90. Mediana [I], I se prelungeşte cu [ID] [I]. a) Demonstraţi că punctele,,, D formează un pătrat. b) Demonstraţi că mijloacele laturilor acestui pătrat formează de asemenea un pătrat.. Triunghiul are = 7 cm, = 4 cm, = 5 cm. Determinaţi: a) ria triunghiului. b) Lungimea înălţimii corespunzătoare laturii []. Testul 10 (utor: prof. Romică Zăbrăuţanu) (areme la pagina 00) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului ( 45 0 ): 5 este egal cu.... Media geometrică a numerelor a = 1,(6) şi b = 0,6 este.... Un dreptunghi are lungimea egală cu 8 cm, iar lăţimea cu cm mai mică. tunci perimetrul este egal cu... cm. 4. Rezultatul calculului 0% 100 8% 000 este Punctul de intersecţie a dreptelor care includ înălţimile unui triunghi se numeşte... Structura studenţilor, pe grupe de specializări, din 6. În diagrama alăturată suma învăţământul superior, în anul universitar 011/01 procentelor primelor două 1,6% 10,1% artistice (cele mai căutate) specializări medico-farmaceutice 8,% tehnice din învăţământul superior 1,5% juridice este egală cu...% 1,% ştiinţe economice 6,% universitar-pedagogice (sursa: Institutul Naţional de Statistică) SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Fie D un romb. Desenaţi şi denumiţi axele de simetrie ale rombului. a b c. Dacă a, b, c sunt laturile unui triunghi şi b+ c =, justificaţi că triunghiul este a dreptunghic. 1. Recapitularea materiei din clasele V VII 67

68 1. alculaţi 05, ( 1) 4. Să se rezolve ecuaţia: x x = Exprimaţi printr-o formulă: a) Dublul lui a este cu 7 mai mare decât b. b) Triplul lui x reprezintă 0% din y. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. a) Determinaţi valorile lui n pentru care n a + b b) alculaţi, unde a, b * +. a b + b a c) are este zecimala de pe poziţia 60 a numărului 1 7?. Se dă dreptunghiul D în care { O}= D. Ştiind că tg( m( ) )= şi că perimetrul dreptunghiului este 1 cm, aflaţi: a) ria dreptunghiului. b) ria triunghiului O. c) cos (m(<o)). Testul 11 (utor: prof. Marius Farcaş) (areme la pagina 01) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului este egal cu.... Un ceas electronic indică ora 08:08. easul va arăta din nou numere identice la ore şi minute peste minimum... minute.. Virgil a cumpărat de la piaţă kg de mere cu lei/kg şi 5 kg de mere cu 5 lei/kg. Preţul mediu al unui kg de mere este de...lei/kg. 4. unicul măsoară grădina de formă dreptunghiulară şi obţine 45 paşi pe lăţime şi 75 paşi pe lungime. Pasul bunicului este de 80 cm. ria grădinii este egală cu... m. 5. După ce a parcurs două treimi dintr-un traseu montan, un turist constată că a depăşit cu km borna ce indică mijlocul traseului. Lungimea traseului este de...km. 68 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

69 6. heltuielile efectuate de o familie în timpul unei luni sunt prezentate în diagrama alăturată. Dintr-un venit de 000 lei, cheltuielile cu activităţile extraşcolare ale copiilor sunt de...lei. alimente transport 40% 15% 10% excursii 15% 0% îmbrăcăminte activităţi extraşcolare SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi două triunghiuri echilaterale şi D care au latura comună [].. flaţi elementele mulţimilor şi, ştiind că: ={ abcdef,,,,, }, ={ ace,, } şi ={}. b. Dacă mutăm 10 cărţi de pe primul raft al bibliotecii pe al doilea, pe acesta vor fi de două ori mai multe cărţi decât pe primul. Dacă mutăm 10 cărţi de pe al doilea raft pe primul raft, atunci pe cele două rafturi vom avea acelaşi număr de cărţi. âte cărţi sunt pe fiecare raft al bibliotecii? 4. Fie numărul a = a) plicaţi algoritmul pentru a extrage b) alculaţi a. 5. alculaţi ( ) : : ( ) 4 5 : 5 + ( ) SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. O maşină de calcul are trei butoane. utonul roşu dublează numărul de pe ecran, butonul verde măreşte cu 10 numărul de pe ecran, iar butonul albastru, micşorează cu 10 numărul de pe ecran. a) Dacă pe ecran este scris numărul 10 şi se acţionează butonul roşu, apoi cel verde, apoi cel albastru, ce număr se obţine? b) e număr era iniţial pe ecran, dacă în urma acţionării butoanelor roşu, albastru, verde, roşu, se obţine numărul 0? c) Dacă pe ecran este scris numărul, care este ordinea acţionării de ori a fiecărui buton, astfel încât numărul obţinut să fie cel mai mare posibil? 1. Recapitularea materiei din clasele V VII 69

70 . Pentru realizarea unei piscine, un arhitect construieşte un cerc cu centrul în şi raza de 5 m, apoi construieşte un cerc cu centrul în, punct al primului cerc, şi raza tot de 5 m şi, la final, un cerc cu centrul în, punctul de intersecţie a primelor două cercuri şi raza 5 m. (Suprafaţa astfel obţinută reprezintă suprafaţa piscinei.) a) are este distanţa maximă pe care o poate parcurge un înotător în linie dreaptă? b) Triunghiul marchează zona cu adâncimea cea mai mare. are este perimetrul acestuia? c) Pe peretele interior piscinei este montată o balustradă de inox care înconjoară piscina. are este lungimea acestei balustrade? Testul 1 (utor: prof. Dana Radu) (areme la pagina 0) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 4 + este egal cu tunci când se dublează preţul unui obiect, acesta se scumpeşte cu.... Dacă lungimea unui dreptunghi este 5 cm şi perimetrul are 16 cm, atunci lăţimea sa este egală cu... cm. 4. proximarea cu o eroare mai mică de o sutime prin lipsă a numărului este În figura alăturată, patrulaterul D are D, D = 10 cm, D = 6 cm. Dacă M, N, P, Q sunt mijloacele segmentelor [D], [], [], respectiv [D], atunci M P Q N lungimea segmentului [PQ] este PQ =...cm. 6. În diagrama alăturată este prezentată evoluţia salariului mediu net în ucureşti în perioada Nivelul maxim s-a înregistrat în anul.... SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, un hexagon regulat DEF.. Determinaţi numerele raţionale a şi b, ştiind că a = b. 70 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

71 . În triunghiul, fie M, N două puncte pe laturile [], respectiv [] astfel încât MN şi M = N. alculaţi N. 4. flaţi trei numere a, b, c, ştiind că îndeplinesc simultan condiţiile: i) suma celor trei numere este 40; ii) a este de trei ori mai mic decât b; iii) c este de 1 ori mai mare decât a. 5. Fie (1; ), ( 1; 5) şi (4; ). a) Reprezentaţi în sistemul de coordonate punctele,,. b) flaţi coordonatele mijlocului segmentului []. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Fie = { 0; 1; ;...; 99; 100}. Fiecare element al mulţimii se scrie pe câte un cartonaş şi apoi se introduc cartonaşele într-o cutie. a) âte elemente conţine mulţimea? b) are este probabilitatea ca, extrăgând la întâmplare un cartonaş, pe acesta să fie scris un număr raţional? c) are este probabilitatea ca, extrăgând la întâmplare un cartonaş, pe acesta să fie scris un număr pătrat perfect?. În exteriorul triunghiului ascuţitunghic se construiesc triunghiurile echilaterale D şi E. Fie I punctul de intersecţie a dreptelor şi D, iar O punctul de intersecţie a dreptelor E şi D. a) Desenaţi pe figură punctele I şi O. b) Demonstraţi că D E şi [ E] [ D]. c) În cazul particular = = 10 cm şi = 1 cm, aflaţi lungimile înălţimilor triunghiului. D E Testul 1 (utor: prof. Marinela Georgescu) (areme la pagina 0) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Dacă x = 4 şi x Î atunci x este egal cu.... Dacă 8 kg mere costă 48 lei, atunci kg mere costă... lei.. După o ieftinire cu 5% preţul unui obiect devine 870 lei. Preţul iniţial al obiectului a fost de... lei. 4. Un trapez are linia mijlocie de lungime egală cu 80 cm, iar aria sa egală cu 1680 cm. Înălţimea trapezului are lungimea egală cu...cm.. Recapitularea materiei din clasele V VII şi a VIII-a semestrul I 71

72 5. Se consideră prisma dreaptă ''' cu baza triunghi echilateral. Se ştie că = 8 cm şi ' = cm. Distanţa de la ' la este egală cu... cm. 6. În figura alăturată sunt reprezentate temperaturile înregistrate în zilele de miercuri, joi, vineri şi sâmbătă ale primei săptămâni din anul 01. Temperatura medie pentru zilele de miercuri, joi şi vineri este de... º. Temperatura (º) 15 º 10º 5º Miercuri Joi Vineri Sâmbătă ziua SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, prisma regulată dreaptă triunghiulară DEF. ì. Se consideră mulţimea = í ï 1ü xî x < ý ï îï 4 þï. Enumeraţi elementele mulţimii Ç *.. La sfertul numărului x se adună jumătatea acestuia. Din această sumă se scade 1,5 şi se obţine 5,5. Determinaţi numărul x. x x 4. Se consideră expresia Ex ( ) = , x Î \{ ± 5}. x -5 a) Simplificaţi E(x). b) Rezolvaţi ecuaţia Ex ( ) = ( x -5) rătaţi că numărul N = ( x+ 5) -( x+ 10)( x- 5) + ( 5-x) este pătratul unui număr real oricare ar fi x Î. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Un vas în formă de prismă dreaptă D'''D' cu baza pătrat şi muchia bazei de lungime egală cu 5 cm şi înălţime de 1 cm, conţine apă până la o treime din înălţime. a) alculaţi tangenta unghiului format de diagonala [D'] a prismei şi planul (D). b) alculaţi perimetrul triunghiului D'. c) La ce înălţime se va ridica apa, dacă vasul, închis etanş, se va aşeza astfel încât baza să aibă dimensiunile 5 cm şi 1 cm?. Figura alăturată, reprezintă schiţa unui spaţiu comercial de forma unui romb D. În interiorul acestuia se află un spaţiu destinat vânzării E produselor alimentare reprezentat în figură de pătratul EDF, iar punctele E şi F aparţin dreptei. D Se ştie că = 48 m şi D = 14 m. a) alculaţi aria întregului spaţiu comercial. b) alculaţi aria spaţiului în care nu se vând produse alimentare. F c) alculaţi perimetrul spaţiului comercial D. 7 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014 (10p)

73 Testul 14 (utor: prof. Doina Moldoveanu) (areme la pagina 04) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Mulţimea divizorilor întregi ai numărului 1 este.... Descompunerea în factori primi a numărului 0 este.... el mai mare divizor comun al numerelor 1 şi 0 este O sobă consumă 15 kg de lemne pe zi de iarnă. antitatea de 750 kg de lemne ajunge pentru... zile 5. Un atlet a alergat într-o zi 1 km, a doua zi 14, km, a treia zi 16,8 km şi a patra zi 18 km. Distanţa medie parcursă pe zi de către atlet este de... km 6. Oana avea de rezolvat în weekend 1 exerciţii la matematică. Dacă a rezolvat sâmbătă 75% din temă, pentru duminică i-au rămas... exerciţii. SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. La un magazin se fac două oferte la acelaşi produs: i) La 5 kg de zahăr cumpărat primiţi 1 kg în plus. ii) La fiecare două kilograme de zahăr cumpărat, aveţi o reducere de 10%. are ofertă este mai avantajoasă?. Unghiurile O şi O sunt adiacente, (OD este bisectoarea unghiului O. unoscând m( O) = 14 şi m( OD) =, calculaţi: a) m( OD). b) m( O).. Masa individuală a elevilor are blatul de lemn de formă dreptunghiulară cu lungimea de 80 cm şi lăţimea de 65 cm. alculaţi perimetrul mesei. 4. Ileana propune Mariei un joc: gândeşte-te la un număr, înmulţeşte-l cu 5, adună cu 8 şi vei obţine acelaşi rezultat ca atunci când înmulţeşti acel număr cu, aduni cu 5 şi toată suma o înmulţeşti din nou cu. e număr a găsit Maria? 5. Roata stricată a unei biciclete a rămas cu 6 spiţe, deci s-au format 6 unghiuri în jurul unui punct. Dacă măsurile a 5 dintre ele sunt: 80, 45, 65, 70 şi respectiv 60, cât este măsura celui de-al şaselea unghi? SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. O sală de clasă cu lungimea de 10,8 m, lăţimea de 6 m şi înălţimea de 4 m, care are o uşă de 1,80 m înălţime şi 1,0 m lăţime şi trei ferestre dreptunghiulare cu dimensiunile de,5 m şi m, se văruieşte (pereţii şi platforma). a) alculaţi suprafaţa uşii şi suprafaţa unei ferestre. b) Ştiind că la 1 m se folosesc 0, kg de var şi că se văruieşte de două ori, aflaţi câte kilograme de var sunt necesare. c) Dacă pentru un elev sunt necesari 8 m de aer, care este numărul maxim de elevi ce pot învăţa în acea clasă?. Un autoturism se deplasează pe o autostradă cu viteză constantă de 10 km/h. Dacă a plecat de la ora 6 şi s-a oprit la ora 11, aflaţi: a) e distanţă a parcurs după ore? Dar după ore? b) Reprezentaţi grafic mişcarea autoturismului. c) După câte ore a parcurs 540 km?. Recapitularea materiei din clasele V VII şi a VIII-a semestrul I 7

74 Testul 15 (utor: prof. Gina aba) (areme la pagina 05) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 1 5 este egal cu.... Media aritmetică a numerelor 19 şi 91 este.... Fie mulţimile = { 57 ; ; } şi = { 56} ; ;. Mulţimea este egală cu Un romb are latura de lungime 1 cm. Perimetrul rombului este egal cu... cm. 5. Pe planul triunghiului dreptunghic, având lungimile catetelor = cm, = 4 cm, în punctul, se ridică perpendiculara pe planul triunghiului pe care se consideră punctul V astfel încât V =,9 cm. Distanţa de la V la planul () este de... cm. 6. În diagrama alăturată este prezentată evoluţia salariului mediu brut pe ţară în perioada august 011 iulie 01. Diferenţa dintre cel mai mare şi cel mai mic venit salarial mediu lunar a fost de... lei. (sursa: Institutul Naţional de Statistică) SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Prin punctul O, de intersecţie a diagonalelor pătratului D, se ridică perpendiculara [OV] pe plan şi se ia punctul V, astfel încât VO = cm. onstruiţi segmentul a cărui lungime reprezintă d(v, ).. Perimetrul şi aria unui triunghi echilateral sunt exprimate prin acelaşi număr real. flaţi lungimea laturii triunghiului.. Un funcţionar avea salariul de 100 lei lunar. În anul 010 veniturile salariale au fost reduse cu 5%, iar în anul următor cu încă 10%. a) are a fost salariul lunar net al funcţionarului în anul 010? b) u ce sumă s-a redus salariul lunar după a doua reducere şi cât câştigă acum funcţionarul? 4. Un unghi ascuţit al unui trapez isoscel este de 45, iar bazele au lungimile de 4 cm, respectiv 18 cm. alculaţi aria trapezului. 5. Fie numerele x = şi y = flaţi x y. 74 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

75 SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Un fermier deţine un teren de formă dreptunghiulară, latura estică având lungimea de 10 m, iar cea sudică de 108 m. El doreşte să planteze arbuşti fructiferi, pe rânduri, respectând condiţiile: Distanţa dintre rânduri, precum şi de la arbuştii de pe margine la gardul care va împrejmui suprafaţa să fie de m; Distanţa dintre arbuşti (pe fiecare rând) să fie de 1 m; Rândurile orientate de la nord la sud. a) âte rânduri trebuie să proiecteze şi câte plante îi sunt necesare? (Rotunjiţi la sute.) b) Gardul trebuie să fie înalt de 1,80 m şi din plasă de sârmă (aceasta se vinde numai la role de 50 m). e lăţime trebuie să aibă plasa, ştiind că aceasta trebuie îngropată 0 cm în pământ şi câte role trebuie să cumpere? c) âţi stâlpi sunt necesari pentru construcţia gardului, ştiind că aceştia se plasează din m în m? d) Faceţi un calcul estimativ pentru înfiinţarea acestei culturi, ştiind următoarele costuri: 1 plantă: 4,5 lei bucata, 1 rolă de plasă de sârmă: 480 lei, 1 stâlp: 1 lei, iar sistemul de irigaţii costă 9000 lei.. Pentru irigarea unei culturi, un gospodar are nevoie de un sistem de irigare prin picurare. Vânzătorul i-a pus la dispoziţie o schemă ca în figura de mai jos. ultura gospodarului este pe 8 rânduri, având lungimea de 50 m, distanţa dintre rânduri fiind de m, iar până la sursa de apă sunt 150 m. a) âţi m de tub şi câţi m de ţeavă polietilenă trebuie să achiziţioneze? (Ţineţi cont de faptul că este necesar un surplus de 10% la materiale pentru eventuale pierderi.) b) alculaţi necesarul de componente: filtru pentru nisip, racorduri, dopuri şi cârlige pentru fixare, conform schemei şi legendei date. LEGENDĂ Sursa de apă ţeavă aducţiune ţeavă distribuţie Lungime tuburi (l) Lungime suprafaţă (L). Recapitularea materiei din clasele V VII şi a VIII-a semestrul I 75

76 Testul 16 (utor: prof. na Poştaru) (areme la pagina 06) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 1 6: ( 6 ) este.... Probabilitatea ca la aruncarea a două zaruri suma punctelor de pe feţe să fie un număr prim este.... Media geometrică a numerelor 5 1 şi 5+ 1 este Un cerc are aria 1,44π cm. Lungimea cercului este... π cm. 5. Suma lungimilor muchiilor unui cub este 7 cm. Diagonala unei feţe are lungimea de... cm. 6. heltuielile făcute de o gospodină timp de o săptămână sunt trecute în tabelul de mai jos. Suma cheltuită în medie pe zi este de... lei. Ziua săptămânii Suma cheltuită (lei) (exprimaţi suma cu două zecimale) L Ma Mi J V S D , ,5 0 SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi o prismă patrulateră regulată şi haşuraţi bazele.. Ioana şi lexandru au împreună 54 de creioane colorate. Dacă Ioana i-ar da lui lexandru 0 de creioane, acesta ar avea un număr dublu de creioane faţă de Ioana. âte creioane are fiecare?. În cabinetul de biologie se desfăşoară un experiment folosindu-se microscoapele din dotare. Dacă se aşază câte doi copii la un microscop, un copil rămâne neaşezat. Dacă se aşază câte trei copii la un microscop, la un microscop se aşază doar doi copii şi cinci microscoape rămân libere. a) âţi copii sunt în clasă? b) âte microscoape sunt în cabinet? 4. rătaţi că ( x + x) ( x + x+ 6) + 9 este pătrat. 5. Rotunjiţi la zecimi numărul. 76 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

77 SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Trapezul MTE, din figura alăturată, reprezintă suprafaţa unei camere de mansardă. a) Exprimaţi în funcţie de x aria M m triunghiului SET. b) âţi m de parchet sunt necesari S pentru parchetarea încăperii MTE? c) âţi m de plintă sunt necesari, ştiind x că pe latura [M] este prevăzută o uşă cu lăţimea de 1 m? N (exprimaţi printr-un număr întreg) E 4 m d) alculaţi aria suprafeţei MTS, pentru x = m. m T. În figura alăturată, este reprezentată o parte dintr-un teren de baschet. a) alculaţi lungimea arcului de cerc D, ştiind că [D] este un diametru al cercului din care provine arcul D şi D = 4 m. b) Demonstraţi că tangenta în la arcul D (notată a) este perpendiculară pe planul (O). c) alculaţi distanţa de la la dreapta a ştiind că O =,5 m. O D a. Recapitularea materiei din clasele V VII şi a VIII-a semestrul I 77

78 Testul 17 (utor: prof. Marinela anu) (areme la pagina 08) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Opusul numărului este.... Fie y un număr real. Rezultatul calculului y : + y este egal cu Numărul natural din mulţimea = { 0, ( ) ; ; ; 49; 05, } este Fie triunghiul dreptunghic în cu = 1 cm. Dacă sin = 0,8, atunci lungimea [] este egală cu... cm. 5. Punctele,,, D se află pe un cerc în această ordine. D Măsura unghiului D este de 5. tunci măsura unghiului 5 D este egală cu Fie cubul D D. Valoarea de adevăr a propoziţiei: Dreptele şi sunt coplanare este... SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. âţi m de pietriş sunt necesari pentru a acoperi aleea unui parc lungă de 5 m şi lată de, m, dacă pietrişul trebuie să aibă o grosime de 1 cm?. Un grup de 88 de turişti este condus de un ghid care le cere: împărţiţi-vă în două grupe, astfel încât o cincime din numărul turiştilor din grupa întâi să fie egală cu o şesime a numărului din grupa a doua. După câteva minute un turist spune: 40 în grupa întâi, 48 în grupa a doua. um a calculat?. Fie E (x) = x + x x. a) Descompuneţi E (x) în factori. b) Demonstraţi că E (n) 6, n *, n. 4. Fie x = ( 5) 6 : :( 15) 4 ( ) şi y = : a) Verificaţi dacă x ( ; 68 ) b) flaţi partea întreagă a numărului y. (Se notează [y]). SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. O tablă de oţel în formă de hexagon regulat, cu latura de 60 cm, trebuie vopsită pe ambele părţi. a) flaţi suprafaţa ce trebuie vopsită. b) Să se calculeze cantitatea de vopsea necesară, dacă pentru 6,5 cm se consumă 1,5 g de vopsea. 78 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

79 . Fie D un dreptunghi cu = cm, = 4 cm, E mijlocul laturii [D], D ={ O}. De aceeaşi parte a planului (D) se ridică perpendicularele [M] şi [P] astfel încât M = 1 cm şi P = 5 cm. Se cer: a) d(p; E); b) d(p; D); c) poziţia planelor (M) şi (PD); d) m ( (M, D)); m ( (MP, D)). M P D Testul 18 (utor: prof. Nadia ărbieru) (areme la pagina 09) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Soluţia ecuaţiei x + 4 = 7 este egală cu.... Fie mulţimea = {4; 9; 8} şi mulţimea = {, x, }. Ştiind că = atunci valoarea lui x este egală cu.... Dacă x + y = 0 şi y + z = 15 atunci x + 7y + 5z este egală cu Un pătrat are latura de 8 cm. tunci raza cercului circumscris pătratului este egală cu Fie D'''D' cub. Măsura unghiului dintre dreptele D' şi D' este de Figura de mai jos reprezintă graficul deplasării unui autoturism pe parcursul a 7 ore. În acest interval de timp autoturismul a parcurs... km. Distanţa (km) Timpul în ore. Recapitularea materiei din clasele V VII şi a VIII-a semestrul I 79

80 SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un tetraedru regulat MNPQ.. Un copil şi-a cumpărat 4 pachete de biscuiţi şi 5 pachete de napolitane folosind în total suma de 19 lei. Ştiind că pachetul de biscuiţi costă,5 lei, aflaţi care este preţul pachetului de napolitane.. O persoană a cheltuit 1 4 dintr-o sumă de bani în prima zi, a doua zi a cheltuit 0% din sumă iar cea de-a treia zi a cheltuit 5 din sumă rămânând cu 675 lei. a) e sumă de bani a avut iniţial persoana? b) Verificaţi dacă cu suma rămasă de bani persoana îşi poate achiziţiona un televizor care costă cu 4 lei mai puţin, decât suma de bani pe care a cheltuit-o în cea de-a doua zi. 4. Fie funcţia f :, f ( x)= ax + b. Determinaţi a şi b ştiind că reprezentarea grafică a funcţiei trece prin punctele (0; 1) şi prin punctul ( ; 5). 1 ( ) + ( ) 5. rătaţi că numărul = este număr natural. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. O incintă are forma unui cub D'''D' cu muchia de 8 m. a) alculaţi distanţa de la punctul D' la dreapta. b) flaţi aria triunghiului 'D'. c) Dacă pereţii laterali ai incintei se zugrăvesc cu vopsea lavabilă, aflaţi numărul de cutii necesare, ştiind că o cutie de vopsea este necesară pentru zugrăvirea a 40 m.. Figura alăturată reprezintă schiţa unui teren de joacă având lungimea = 8 m şi lăţimea D = 18 m, iar în cadrul terenului este constituită o piscină de forma unui semicerc de diametru []. a) Dacă piscina este înconjurată de un gard, aflaţi lungimea gardului. b) Ştiind că terenul de joacă este acoperit cu gazon, aflaţi suprafaţa gazonului. c) Suprafaţa ce reprezintă fundul bazinului este placată cu gresie. Plăcile de gresie se află în cutii D de 0 de bucăţi, iar o placă de gresie are forma unui pătrat de latură 5 cm. Ştiind că pentru placare a fost necesară achiziţionarea a 110 cutii, aflaţi cât la sută reprezintă pierderile. 80 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

81 Testul 19 (utor: prof. Florentina Enea) (areme la pagina 11) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Restul împărţirii numărului 500 la 00 este egal cu.... el mai mare număr întreg mai mic decât 5,5 este x este număr natural dacă x În paralelogramul NMPQ, măsura unghiului P este de 48 0' 10". tunci măsura unghiului N este Suma lungimilor muchiilor unui cub este egală cu 7 cm. Lungimea diagonalei cubului este de...cm. 6. Dacă D'''D' este cub atunci m ( 'D) =.... SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată de vârf V şi bază.. Fie expresia E (x, y) = x + 4y + 6x + 1y a) alculaţi E (; 0). b) flaţi numerele reale x şi y, ştiind că E (x, y) = 0.. Fie m = + 1 şi n = ( 1+ ) ( 1 ). Determinaţi media aritmetică şi media geometrică a celor două numere. 4. Determinaţi mulţimea soluţiilor reale, scrisă sub formă de interval, a inecuaţiei x + < Determinaţi perimetrul dreptunghiului de dimensiuni x şi y ştiind că x + y = 5 şi xy = 1. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În trapezul isoscel D ( D) cu măsura unghiului de 60 şi laturile neparalele congruente cu baza mică [D], arătaţi că: a). b) Dacă punctul M este mijlocul laturii [], atunci DM. c) Dacă = 8 cm, determinaţi perimetrul triunghiului P, unde { P}= D.. În paralelipipedul dreptunghic D'''D' se cunosc muchiile = cm, = 6 cm, = cm. Punctele M şi N sunt mijloacele muchiilor [''], respectiv ['D']. a) Demonstraţi că planele ('M) şi ('N) sunt paralele. b) Determinaţi măsura unghiului dintre dreptele M şi N. c) Determinaţi distanţa de la la M.. Recapitularea materiei din clasele V VII şi a VIII-a semestrul I 81

82 Testul 0 (utor: prof. drian iupitu) (areme la pagina 1) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. ( ) ( ) ( + ) 1. Rezultatul calculului : 4 este egal cu.... Rezultatul calculului : 4 este egal cu.... Partea întreagă a numărului 0,5 este Suma lungimilor muchiilor unui tetraedru regulat, de muchie 5 cm este egală cu...cm. 5. Dacă x + 8 = y şi x = 1, atunci y = Diagonala cubului de muchie cm este egală cu...cm. SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Determinaţi numărul natural ab, scris în baza 10 de numeraţie, a b, dacă ab ba = 8.. flaţi numerele care, împărţite la 4, dau câtul 10 şi restul diferit de zero.. Pe planul triunghiului isoscel, cu = = 5 cm şi = 8 cm, se ridică perpendiculara [M], M = cm. alculaţi: a) Distanta de la M la. b) ria triunghiului M. 4. Rezolvaţi în ecuaţia x + 1 = Trapezul D, de baze () şi (D), şi dreptunghiul DEF se găsesc plane diferite. rătaţi că dreptele E şi F sunt concurente. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Se consideră un trapez isoscel cu bazele 4 şi 8 şi diagonalele perpendiculare. alculaţi: a) Înălţimea trapezului. b) Lungimea liniei mijlocii a trapezului. c) ria trapezului. d) Lungimea înălţimii corespunzătoare bazei triunghiului isoscel format din prelungirea laturilor neparalele ale trapezului cu baza mare a trapezului.. Se consideră prisma patrulateră regulată DEFGH cu lungimea laturii bazei de 6 cm şi muchia laterală de lungime egală cu 6 cm. a) flaţi distanţa de la E la D. b) Determinaţi măsura unghiului format de planele (ED) şi (GD). E D H D 4 O 8 F G 8 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

83 Testul 1 (utor: prof. ostică Lupu) (areme la pagina 14) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului este egal cu.... Dacă x = 0, atunci ( x+ ) 9x + 5+ x 9x + 1x + 1 =.... Suma 1 S = este este egală cu Laturile unui triunghi sunt de 4 cm şi 5 cm, iar unghiul cuprins între ele de 0. ria triunghiului este... cm. 5. Diagonalele unui romb sunt de 6 cm şi 8 cm. Perimetrul rombului este de atetele unui triunghi dreptunghic sunt de 15 cm şi 0 cm. Înălţimea corespunzătoare unghiului drept este de... SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Fie funcţia f :, care verifică relaţia: f (x 1) = x + 4 f (1), oricare ar fi x. a) alculaţi f (1) + f ( 1). b) Determinaţi funcţia f. c) Rezolvaţi în inecuaţia: f (x) Fie D un dreptunghi cu = a şi = a. Fie P, Q, R mijloacele laturilor [], [D] şi []. Demonstraţi că: a) Triunghiul PQD este congruent cu triunghiul PR. b) [DP este bisectoarea unghiului D. c) Precizaţi natura triunghiului PD. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. D' ' 1. Fie cubul D'''D' din figura alăturată. a) Scrieţi trei drepte paralele cu planul (DD'). ' ' b) Precizaţi două drepte perpendiculare pe planul ('). D. Fie paralelipipedul dreptunghic D'''D' cu = ' = 8 cm şi = 8 cm. a) Determinaţi măsura unghiului dintre dreptele şi D'. b) flaţi lungimea diagonalei ['].. Recapitularea materiei din clasele V VII şi a VIII-a semestrul I 8

84 . Piramida triunghiulară V are baza triunghi echilateral, iar feţele laterale triunghiuri dreptunghice isoscele şi muchiile laterale de lungime 6 cm. alculaţi: a) aria bazei; b) aria unei feţe laterale. Testul (utor: prof. Marilena Faiciuc) (areme la pagina 15) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Un număr din \ este.... Rezultatul calculului este numărul natural.... Mulţimea {x x < } scrisă sub formă de interval este Un tetraedru are un număr de... vârfuri. 5. Fie D un paralelogram situat în planul α, D ={ O} şi un punct V α. Intersecţia planelor (V) şi (VD) este dreapta În cubul D'''D', măsura unghiului format de ' şi D' este egală cu.... SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un triunghi dreptunghic inclus în planul α şi un punct D α.. Stabiliţi dacă ( ) ( )= 8. x x. Dacă x \{ 0 ; ; }, arătaţi că x x 1 x+ 1 : 4 x 4 x 8 = +. ( ). 4. alculaţi + 1 ( ) 5. Stabiliţi dacă este număr natural flaţi x astfel încât x + 1 = 5. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Picioarele unei mese de călcat, () şi (D), au aceeaşi lungime şi se deschid astfel încât triunghiul O este dreptunghic isoscel, d 1 d O d 1, d, D d, D d 4 (d 1, d, d, d 4 sunt dreptele suport ale tijelor de susţinere). a) Stabiliţi de ce planul mesei (ce conţine, d 1 şi d ) este paralel cu podeaua. b) Dacă = 40 cm şi O = O, calculaţi D şi D. d 4 d D 84 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

85 . Pe planul triunghiului, cu = 0, = 15 şi m( ) = 90, se ridică perpendicularele ('), ('), (') astfel încât ' = ' = 16 şi ' = 6. a) rătaţi că ' (') şi că ('). b) alculaţi perimetrul triunghiului '''; '' '', c) alculaţi distanţa de la ' la. d) alculaţi distanţa de la ' la. Testul (utor: prof. onstantin postol) (areme la pagina 16) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Dacă media aritmetică a numerelor 7 şi x este egală cu media geometrică a aceloraşi numere, atunci x =.... În triunghiul are loc relaţia: = +. tunci laturile perpendiculare ale triunghiului sunt... şi.... Dacă numerele x şi 5y sunt proporţionale cu 7 şi 7, atunci x =... y 4. Media geometrică a pătratelor numerelor şi este egală cu O piramidă are, în total, 0 de vârfuri, muchii şi feţe. tunci: numărul de vârfuri este egal cu... numărul de muchii este egal cu... numărul de feţe este egal cu Pentru ca să putem restrânge în pătratul unei diferenţe de două numere reale, la expresia 9m + m + 1, trebuie să adunăm... SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete alculaţi a +, ştiind că a a + 1 = 0. a. Determinaţi măsurile unghiurilor unui triunghi, ştiind că trei dintre unghiurile sale exterioare au măsurile proporţionale cu numerele 14; 14 şi 11 şi suma măsurilor celorlalte trei, egală cu 0.. Rezolvaţi în ecuaţia: x y + 4x y + = Se dă numărul impar n. rătaţi că există o singură pereche de numere naturale consecutive (a, b), pentru care a b = n. 5. rătaţi că orice triunghi, care are două laturi proporţionale cu numerele 6 şi, iar unghiul dintre ele are măsura de 0, este dreptunghic. (10p). Recapitularea materiei din clasele V VII şi a VIII-a semestrul I 85

86 SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Determinaţi toate numerele naturale nenule, care împărţite la 17 dau câtul egal cu restul şi, împărţite la, dau, de asemenea, câtul egal cu restul.. Fie numerele reale pozitive a, b, c, astfel încât b + c + 1 = şi a + c =. a b a) Determinaţi valoarea raportului a + b. c b) rătaţi că a, b, c pot fi lungimile laturilor unui triunghi, ale cărui unghiuri pot fi determinate. (10p). a) Demonstraţi că dacă un număr natural nenul poate fi scris ca produs de trei numere consecutive, atunci acesta poate fi scris şi ca sumă de trei numere consecutive. b) Demonstraţi că dacă un număr natural nenul poate fi scris ca produs de patru numere consecutive, acesta nu poate fi scris ca sumă de patru numere consecutive. Testul 4 (utor: prof. Romică Zăbrăuţanu) (areme la pagina 19) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Dintre fracţiile 5 şi 7 mai mare este.... Media aritmetică a numerelor a = + 1 şi b = este.... Dacă suplementul unui unghi este egal cu dublul măsurii sale, atunci măsura unghiului este Ştiind că a b = 7a b, atunci raportul este egal cu a+ b 5. Partea întreagă a numărului,1 este Dacă două plane au un punct comun, atunci ele au... comună. SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Determinaţi măsura unghiului format de dreptele cu D' în cubul D'''D'.. Descompuneţi în produs de factori ireductibili expresia x 4 + x Un segment de dreaptă are lungimea de cm şi face cu un plan α un unghi de 0. flaţi lungimea proiecţiei segmentului pe plan. { } x 4. Fie mulţimile = x 1 1 < şi = x x 1 1. a) Determinaţi şi. b) Determinaţi. 5. Diagonala unui cub este 6 cm. flaţi aria totală a cubului. 86 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

87 SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Se consideră expresia E(x) = x (m + )x + 6. a) Să se determine m, astfel încât E( 1) = 1. b) Pentru m = simplificaţi E ( x ) x 4. c) Determinaţi x astfel încât x x x +,.. Dreptunghiurile D şi 'D' sunt situate în plane diferite. Fie O şi O' punctele de intersecţie a diagonalelor celor două dreptunghiuri. Demonstraţi că: a) D ('); b) D 'D'; c) OO' (DD'). Testul 5 (utor: prof. Marius Farcaş) (areme la pagina 0) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului este egal cu.... Găsiţi o regulă de scriere a şirului: 0; 1; 4; 9; 16;... şi scrieţi termenul următor.... u ajutorul cifrelor 0; 1 şi 4 se pot forma... numere de cifre. 4. Un tetraedru regulat cu latura de 4 cm are desfăşurarea plană un triunghi echilateral cu latura de... cm. 5. Paralelipipedul dreptunghic D'''D' are = = 8 cm şi = 8 cm. Lungimea diagonalei ['] este egală cu... cm. 6. În tabelul următor sunt prezentate rezultatele unei competiţii. Echipa Nr. puncte Nr. victorii Nr. egaluri Nr. înfrângeri Dacă pentru o victorie se acordă p, pentru un egal 1p şi pentru o înfrângere 0p, echipa de pe primul loc este.... Recapitularea materiei din clasele V VII şi a VIII-a semestrul I 87

88 SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, un cub DEFGH.. Se consideră mulţimea = [ ; 5). Enumeraţi elementele mulţimii N.. Media aritmetică a patru numere este 4,5, iar media aritmetică a primelor două este 6. flaţi media aritmetică a ultimelor două. 4. Numerele reale x şi y verifică relaţiile x + y = 85 şi x + y = 1. a) alculaţi valoarea produsului xy. b) Dacă x > y, calculaţi x y. 5. rătaţi că numărul 1 01 a = + ( + ) ( + ) este natural. ( 5 6 ) SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Un teren de sport are dimensiunile din figură şi 40 m este vopsit în două culori astfel: cercul din centru, precum şi cele două semicercuri cu vopsea galbenă, iar restul cu vopsea albastră. 4 m a) are este aria terenului? b) Dacă pentru vopsirea unui metru pătrat de teren este necesară o cantitate de 00 ml de vopsea, câte cutii cu capacitatea de 0,5l de vopsea galbenă sunt necesare pentru vopsirea terenului? (Se consideră π,14) c) âte cutii de vopsea albastră, cu capacitatea de l, sunt necesare pentru vopsirea terenului? 10 m 10 m 15 m. lex şi tatăl lui au construit o cuşcă pentru iepuri, ca în desenul alăturat (cuşca este fără fund pentru a permite iepurilor să mănânce iarba). Dimensiunile cuştii sunt: 1 m lungimea, 80 cm lăţimea şi 60 cm înălţimea. Scheletul metalic este construit din ţeavă, iar feţele laterale şi cea superioară au fost acoperite cu o plasă de sârmă. a) Dacă pierderile sunt de 0%, care este lungimea ţevii necesară construcţiei? b) are este aria plasei ce acoperă cuşca? c) Într-o zi iepurii mănâncă iarba de pe m. De câte ori trebuie mutată cuşca în timpul a 10 zile? 88 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

89 Testul 6 (utor: prof. Marinela Georgescu) (areme la pagina 1) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Dacă (x + ) = 10, atunci numărul x este egal cu.... Dacă 4 muncitori termină o lucrare în 5 ore atunci muncitori vor termina lucrarea în... ore.. După o majorare cu 0% un stilou costă 54 lei. Preţul iniţial al stiloului a fost de... lei. 4. Un paralelogram are dimensiunile de 6 cm şi 10 cm. Măsura unghiului ascuţit al paralelogramului este egală cu 0. ria paralelogramului este egală cu... cm. D' ' 5. Se consideră cubul D'''D' din figura alăturată. Măsura unghiului dintre dreptele D' şi ' este egală cu... º. ' ' 6. În tabelul de mai jos sunt prezentate rezultatele obţinute de D elevii unei clase la testul de matematică NOT SU NR. ELEVI Numărul elevilor care au obţinut note cel puţin egale cu 7 este egal cu... SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată care are baza şi vârful V.. Se consideră mulţimea = {x Î / x }. Enumeraţi elementele mulţimii Ç.. Numărul întreg n se adună cu dublul numărului 4,5. Suma obţinută se înmulţeşte cu,() şi se obţine rezultatul 14. Determinaţi numărul necunoscut. 4. Se consideră funcţia f :. f (x) = x. a) Reprezentaţi grafic funcţia f. b) Determinaţi numărul real m pentru care punctul (m; n) aparţine reprezentării grafice a funcţiei f. æ ö x 5. Se consideră numărul real a= x- èç ø æ ö ( 1) ( 1 ) èç ø. Determinaţi numărul întreg negativ x, astfel încât x = a. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Un vas în formă de paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de m, 4 m şi 1 m, este plin cu apă. Se goleşte toată apa din acest vas într-un vas cubic cu lungimea muchiei de 6 m. a) alculaţi câţi litri de apă sunt în vasul paralelipipedic. b) alculaţi aria laterală a vasului cubic. c) alculaţi înălţimea la care se ridică apa în vasul cubic.. Recapitularea materiei din clasele V VII şi a VIII-a semestrul I 89

90 . Figura alăturată reprezintă schiţa unei grădini în formă de pătrat în interiorul căreia se află un rond de flori, circular şi tangent laturilor (), (), (D) şi (D) în punctele M, N, P şi Q. Se ştie că = 4 m (,14 < π <,15). a) alculaţi aria rondului. b) Verificaţi dacă dublul ariei porţiunii gri este mai mare decât aria rondului. (10p) c) rătaţi că, oriunde am planta copaci în zona gri a grădinii, distanţa dintre aceştia este mai mică decât 6 m. D P Q N M Testul 7 (utor: prof. Dana Radu) (areme la pagina ) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Numerele întregi care se află în intervalul [ 1,; ] sunt.... Primele două zecimale exacte ale numărului,1 + 1,98 sunt.... ria unui pătrat cu lungimea diagonalei de 8 cm este... cm. 4. În figura alăturată, triunghiul este isoscel, m( ) = 0º, iar triunghiurile D şi E sunt echilaterale. Măsura unghiului format de dreptele D E şi E este...º. 5. Numărul cu 8 mai mare decât numărul egal cu % din 00 este... D' ' 6. Fie cubul D'''D'. ' ' Măsura unghiului format D de dreptele ' şi ' este... º. SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Un burete conţine 99% apă şi cântăreşte kg. ât cântăreşte buretele uscat?. Determinaţi a, b Î ştiind că a 5+ b+ 1= 5- a+ b Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

91 . În figura alăturată, D este un romb cu M lungimea laturii de 6 cm şi măsura unghiului de 60º. Pe perpendiculara în pe planul rombului D se consideră punctul M astfel încât M = 8 cm. a) ompletaţi figura cu diagonala [] şi D 60º centrul O al rombului D. b) alculaţi: i) distanţa de la la (E ^, E Î ); (p) E ii) distanţa de la M la ; iii) distanţa de la M la D; iv) distanţa de la la planul (M). 4. rătaţi că oricare ar fi numerele reale nenegative a şi b, avem: a + b ³ ab. 5. are este soluţia ecuaţiei: 11( x- 4) = 15( x -16), x Î. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. O rochie costă 600 lei. Rochia se ieftineşte cu 0% şi apoi se scumpeşte cu 15%. a) flaţi cât costă rochia după ieftinire. b) flaţi cât costă rochia după scumpire. c) flaţi cu cât la sută trebuie modificat preţul final pentru a fi egal cu cel iniţial.. În figura alăturată, D este paralelogram şi a, b, c, d patru drepte perpendiculare pe planul paralelogramului care trec prin punctele,,, respectiv D. Un plan α intersectează dreptele a, b, c, d, în a d D b c punctele ', ', ', D'. a) ompletaţi figura conform enunţului cu punctul ' şi centrul O al paralelogramului D. D' ' b) rătaţi că planele DD'' şi '' sunt paralele. c) rătaţi că '''D' este paralelogram. '. Recapitularea materiei din clasele V VII şi a VIII-a semestrul I 91

92 Testul 8 (utor: prof. Doina Moldoveanu) (areme la pagina ) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. alculând + obţinem.... ria unui pătrat cu latura de este... m.. Gigel a invitat câţiva prieteni la joacă şi a cumpărat o sticlă de litri cu suc de portocale. Dacă dă fiecăruia câte un pahar de 00 ml cu suc, înseamnă că a invitat... prieteni. 4. Toţi elevii unei clase au susţinut teza la matematică. Rezultatele obţinute sunt reprezentate în tabelul alăturat: Număr elevi Nota obţinută În clasă erau... elevi. 5. Un unghi drept s-a împărţit prin două semidrepte interioare care pornesc din vârful său în trei unghiuri congruente. Măsura unui astfel de unghi este de Din 45 de probleme, numai 6 sunt rezolvate corect. Probabilitatea ca profesorul să găsească o problemă rezolvată corect este... SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Mama a cumpărat 5 kg de cartofi cu 1,50 lei / kg, 4 kg de varză cu 1,0 lei / kg şi kg de carne cu 15 lei / kg. e rest a primit de la casă la o bancnotă de 50 lei?. O bluză costă 140 lei. ât va costa bluza după o reducere de 5%?. La decolare un avion urmează o traiectorie care face cu planul pământului un unghi de 0. Menţinându-şi direcţia, după parcurgerea a km, la ce înălţime faţă de pământ va fi situat avionul? lcătuiţi un desen corespunzător. 4. Figura de mai jos reprezintă o piesă de puzzle, cu dimensiunile indicate în cm. Ştiind că este formată numai din segmente orizontale şi verticale, aflaţi: a) Perimetrul figurii. b) ria figurii din care provine piesa de puzzle. 4,5 5. unicul avea o suprafaţă de teren de 000 m şi a împărţit-o celor 5 nepoţi ai săi în mod egal, fiecare parcelă având formă de pătrat. alculaţi lungimea laturii unei astfel de parcele. 9 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

93 SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Un elev a cumpărat 4 creioane şi stilouri şi a plătit 6 lei. Un alt elev a cumpărat 6 creioane şi 1 stilou (identice cu primele) şi a plătit 0 lei. a) ât costă un creion şi cât costă un stilou? b) are este numărul maxim de creioane pe care le poate cumpăra cu 81 lei, ştiind că din toată suma cumpără creioane şi stilouri identice cu primele?. Un cort are forma unei piramide patrulatere regulate cu muchia bazei de 4 m şi muchia 41 laterală de m. ortul se închide cu un fermoar care porneşte din vârf şi ajunge în mijlocul unei laturi a bazei. a) alculaţi lungimea fermoarului. b) alculaţi înălţimea cortului. c) alculaţi volumul cortului. d) Unde trebuie instalat un bec pentru ca toate feţele laterale şi baza cortului să fie la fel de luminate?. Recapitularea materiei din clasele V VII şi a VIII-a semestrul I 9

94 Testul 9 (utor: prof. Gina aba) (areme la pagina 5) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului + - ( 4+ ) este egal cu.... Fie mulţimile = {1; ; ; 4; 5} şi = { ; 0; }. Mulţimea = {...}.. Se dau numerele: 7; +8;,; 0. Opusele numerelor date sunt Diagonala unui pătrat este de cm. Latura pătratului este egală cu...cm. 5. Dimensiunile unui paralelipiped dreptunghic sunt dm, dm, 4 dm. ria totală a paralelipipedului este egală cu...dm. 6. Un fermier a recoltat căpşuni, în ultima săptămână a lunii mai, conform graficului de mai jos. În acea săptămână fermierul a recoltat...kg căpşuni. kg Luni Marţi Miercuri Joi Vineri Sâmbătă Duminică 4 dm zilele săptămânii dm dm SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, simetrica figurii s faţă de dreapta s.. Într-un coş sunt 15 mere, iar într-o lădiţă sunt de trei ori mai multe mere. u câte mere sunt mai puţine în coş decât în lădiţă?. Daniel îi spune Mariei: Dă-mi zece lei ca să avem sume de bani egale. Maria îi spune lui Daniel: Dă-mi tu 0 de lei ca să am eu de două ori mai mult decât tine. a) are este diferenţa de bani dintre cei doi copii? b) e sume de bani aveau cei doi copii? 4. Se dau numerele - x = + şi y ( ) 1 = +. Stabiliţi dacă (x 1) = 6y. 5. rătaţi că diferenţa pătratelor a două numere întregi impare este multiplu de Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

95 SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Un parc are forma unui pătrat cu latura de 10 m. El este traversat de două alei perpendiculare având lăţimea x m. a) rătaţi că aria suprafeţei celor două alei este x(40 x) m. b) Exprimaţi aria spaţiului verde în funcţie de x. c) În cazul x = 4, aflaţi cantitatea de sămânţă de iarbă necesară pentru întregul parc, ştiind că pentru 100 m de se utilizează kg de sămânţă. 10 m x m x m 10 m d) Pentru pavarea unei singure alei, administraţia parcului a calculat un necesar de dale de beton de formă dreptunghiulară având fiecare lungimea de 0 cm şi lăţimea 15 cm. are este lăţimea unei alei şi câte dale sunt necesare în total pentru pavarea ambelor alei?. Doi stâlpi, având înălţimile de 10 m, respectiv 15 m au fost fixaţi vertical faţă de sol, la distanţa de 1 m unul faţă de celălalt. a) flaţi distanţa dintre vârfurile celor doi stâlpi. 15 m b) La ce distanţă faţă de sol se intersectează firele 10 m x m care unesc vârful unui stâlp, respectiv cu baza celui de-al doilea stâlp? 1 m Testul 0 (utor: prof. Gina aba) (areme la pagina 6) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului,8 100 este egal cu.... el mai mic multiplu comun al numerelor 1 şi 0 este.... Se aruncă un zar. Probabilitatea să apară faţa cu puncte este Lungimea diagonalei unui cub cu latura de 4 cm este de...cm. 5. ria totală a unui tetraedru regulat cu latura de 10 cm este egală cu...cm. 6. În tabelul de mai jos este prezentată distribuţia familiilor dintr-un sat, după numărul copiilor. onform tabelului, în sat sunt... copii. Număr copii Număr familii Recapitulare finală 95

96 SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o prismă triunghiulară regulată '''.. Din două localităţi, situate la 180 km una faţă de cealaltă, pornesc simultan două automobile care se întâlnesc după ore. are au fost vitezele automobilelor, ştiind că unul se deplasează cu 10 km/h mai repede decât celălalt?. Un elev are la dispoziţie plăci dreptunghiulare cu lungimea de 0 cm şi lăţimea de 0 cm. a) flaţi numărul minim de plăci dreptunghiulare necesare elevului pentru a construi un pătrat. 5p) b) alculaţi lungimea laturii unui pătrat construit cu 4 dintre plăcile pe care le are la dispoziţie elevul. 4. Se consideră funcţia f :, f(x) = ax a, unde a este număr real. Punctul (; ) este situat pe dreapta care reprezintă graficul funcţiei f. rătaţi că a = şi reprezentaţi grafic funcţia x =, pentru orice x 1, apoi folosiţi rezultatul 1 - x 5. rătaţi că ( 1 x)( 1 x )( 1 x )( 1 x ) pentru a calcula 1,1 1,01 1,0001 1, SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată, D este un trapez dreptunghic în, având = 4 cm, D = 4 cm, D = 7 cm. D x M 7 Fie M un punct pe baza (D) şi MD = x cm. a) alculaţi, în funcţie de x, aria trapezului MD. b) Determinaţi poziţia punctului M astfel încât 4 4 MD = M.. Pentru a afla volumul unui corp de formă neregulată, Ioana îl scufundă într-un vas cu apă având formă de cub. Se ştie că latura cubului este de 15 cm şi apa în vas se ridică cu 7 cm. a) um trebuie să procedeze Ioana pentru a calcula corect volumul corpului de formă neregulată? b) flaţi volumul corpului c) âţi litri de apă ar putea turna Ioana în vas, după introducerea corpului de formă neregulată? d) Înălţimea corpului este neapărat egală cu înălţimea cu care se ridică apa în vas? Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

97 Testul 1 (utor: prof. Gina aba) (areme la pagina 8) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 4 æ : 8 ö ç - çè 5 ø este egal cu.... Media geometrică a numerelor 8 şi 18 este egală cu.... runcăm un zar care are feţele numerotate cu cifre de la 1 la 6. Probabilitatea ca pe faţa de sus a zarului să apară un număr impar este În figura alăturată, cele două discuri au acelaşi centru O. Diametrul discului mare este 8 cm, iar diametrul discului mic O este de 6 cm. ria porţiunii haşurate este egală cu...cm. 5. Pentru a vopsi o faţă a unui cub ne trebuie 0,5 kg de vopsea. Pentru a vopsi întregul cub avem nevoie de...kg vopsea. filologie 6. La un liceu cu 500 de elevi, repartizarea pe specializări 18% este prezentată în diagrama alăturată. Numărul elevilor ştiinţe ale matematică naturii 45% informatică care învaţă la profilul ştiinţe ale naturii este... % ştiinţe sociale SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, corpul geometric a cărei desfăşurare este prezentată alăturat. 1. Măsura unui unghi este de ori mai mare decât măsura complementului său. flaţi măsurile celor două unghiuri.. La un concurs participă 6 de fete şi 45 de băieţi. Toţi participanţii sunt grupaţi în echipe cu acelaşi număr de copii, iar fiecare echipă are acelaşi număr de fete. a) rătaţi că nu se pot forma 5 echipe. b) are este numărul maxim de echipe care se pot forma? Dar numărul minim? 4. Se consideră funcţia f :, f(x) = x 1. Reprezentaţi grafic funcţia, apoi rezolvaţi ecuaţia f(x) = x. 5. Dacă a, b, c sunt lungimile laturilor unui triunghi şi (a + b c)(a b + c) + (a + b + c)(a b c) = 0, arătaţi că triunghiul este dreptunghic Recapitulare finală 97

98 SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Pentru a-şi pardosi baia, Maria alege un model cu gresie albă sub formă de octogon şi gresie verde sub formă de pătrate (ca în figura alăturată). Ea ştie că plăcile albe au fost obţinute din pătrate cu latura de 10 cm. Vânzătorul îi spune că aria unei plăci verzi este de 6 ori mai mică decât aria 10 cm unei plăci albe. a) jutaţi-o pe Maria să calculeze dimensiunea plăcilor verzi. b) âte plăci albe îi sunt necesare pentru a-şi 10 cm pardosi baia, ştiind că aceasta are forma unui dreptunghi cu dimensiunile de m şi 4 m? c) are este numărul minim de plăci verzi pe care trebuie să le cumpere Maria? d) Plăcile albe se vând în cutii a câte 0 bucăţi, iar cele verzi în cutii a câte 100 bucăţi. âte cutii din fiecare fel trebuie să cumpere, ţinând cont că are nevoie de câte o cutie în plus pentru eventuale pierderi?. O piramidă patrulateră regulată este aşezată pe un cub cu latura l. a) flaţi înălţimea piramidei, în funcţie de l, astfel încât volumele celor două corpuri să fie egale. b) În cazul l = m şi înălţimea aflată la punctul a), aflaţi cantitatea de vopsea necesară pentru vopsirea corpului nou obţinut, ştiind că pentru acoperirea unei suprafeţe de 1 m trebuie 00 ml vopsea. Testul (utor: prof. Gina aba) (areme la pagina 9) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 0, ( ) + este egal cu.... Un obiect care costa 10 lei s-a ieftinit cu 15%. Obiectul s-a ieftinit cu...lei.. Într-o urnă sunt 10 bile roşii şi 15 bile albastre. Se extrage o bilă. Probabilitatea ca bila extrasă să fie roşie este Lungimea unui cerc de rază 7 cm este egală cu...cm. 5. O piramidă patrulateră regulată are înălţimea de 5 cm şi latura bazei de 6 cm. Volumul piramidei este egal cu...cm. 6. Diagrama alăturată reprezintă mediile obţinute la nr. elevi 7 matematică de elevii clasei a VIII-a la 6 sfârşitul semestrului I. Numărul elevilor care 5 au obţinut media 9 este nota Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

99 SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă patrulateră cu toate muchiile congruente.. O persoană depune o sumă de bani la banca X unde dobânda este de 5% pe an şi o altă sumă de bani la banca Y, unde dobânda este de 6% pe an. câştigat 70 de lei după primul an din dobânzi. Dacă ar fi inversat sumele depuse la cele două bănci ar fi câştigat 710 lei după primul an. e sume de bani a depus persoana?. unica are un coş cu ouă. Numărul lor este mai mare decât 70 şi mai mic decât 150. Dacă numără toate ouăle din coş câte, sau 4 câte 4, sau 5 câte 5, de fiecare dată rămâne un ou. a) alculaţi cel mai mic multiplu comun al numerelor, 4 şi 5. b) âte ouă are bunica în coş? 4. Fie x şi y două numere naturale nenule. Raportul dintre x şi y este egal cu 0,5, iar media aritmetică a celor două numere este 50. flaţi cele două numere. 5. Ştiind că x + y = şi xy =, calculaţi x + y şi x 4 + y 4. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată D este trapez ED D, F D şi DE = F = înălţimea trapezului D. ria trapezului D este 60 cm, D = 14 cm, DE = 1 cm. E F a) Stabiliţi natura patrulaterului FE. D b) alculaţi perimetrul figurii DEF. c) flaţi suma ariilor triunghiurilor ED şi F. d) e procent din aria trapezului FE reprezintă aria trapezului D?. O cioară vrea să bea apă dintr-un vas, dar nivelul apei este prea scăzut. Pentru a-şi satisface setea, cioara pune pietricele în vas iar nivelul apei creşte până la marginea vasului. Ştim că vasul are forma unei prisme patrulatere regulate cu latura bazei de 0 cm şi înălţimea 150% din latura bazei. Iniţial, nivelul apei era de 10 cm. a) e volum de pietricele a pus cioara în vas? b) âţi litri de apă erau în vas? Testul (utor: prof. Gina aba) (areme la pagina 0) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 50% din 010 este egal cu Fie mulţimea = x. tunci = {...}. x. runcăm un zar care are feţele numerotate cu cifre de la 1 la 6. Probabilitatea ca pe faţa de sus a zarului să apară cifra 7 este egală cu.... Recapitulare finală 99

100 ,55 m 4. Hexagonul regulat DEF are D = 6 cm. ria hexagonului este egală cu...cm. 5. Un cub are muchia de 5 m. Volumul cubului este egal cu...cm. 6. Distanţele de la domiciliu la şcoală pentru elevii şcolii din comuna ucuieţi sunt înregistrate în tabelul următor. Numărul elevilor şcolii este... distanţa 0 1 km 1 km km 5 km 5 10 km număr de elevi SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, corpul geometric a cărei desfăşurare este prezentată în figura alăturată Două trenuri pleacă din aceeaşi gară, în aceeaşi direcţie şi acelaşi sens. Primul tren pleacă cu o oră înaintea celuilalt şi circulă cu viteza de 45 km/h. După cât timp al doilea tren îl va ajunge pe primul, ştiind că acesta se deplasează cu viteza de 60 km/h?. Fiecare dintre cei 160 de elevi ai clasei a VIII-a ai unei şcoli practică cel puţin un sport de echipă. Dintre aceştia 9 joacă baschet şi 15 handbal. a) âţi elevi practică ambele sporturi? b) âţi elevi practică numai handbal? 1 7 x 1 x+ 4. Fie expresia Ex ( ) = x + : x x 1 x, unde x є \ { ; 1; }. ( x 1) P rătaţi că E(x) = x +. M 5. are este natura triunghiului MNP din figura b a alăturată? b N a SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată am construit cercul de diametru [] şi semicercuri de diametre [M] şi [M]. unoaştem = 6 cm, M є [] şi M = x cm. x x M O 1 O a) alculaţi aria suprafeţei marcate cu punctuleţe în cazul x = 1,5 cm. b) alculaţi, în funcţie de x, aria suprafeţei haşurate. c) flaţi valoarea minimă, respectiv maximă, a ariei suprafeţei haşurate. d) Pentru ce valoare a lui x, aria suprafeţei haşurate este de 0 cm?. Georgel vrea să-şi instaleze în camera sa un dulap nedemontabil procedând ca în desenul alăturat. Înălţimea camerei este de,55 cm, iar dulapul este înalt de,50 m, lat de 0,60 m şi îngust de 0,50 m. a) Va reuşi Georgel, să ridice dulapul, procedând ca în desen? b) re şanse, totuşi, să instaleze dulapul sau trebuie să cumpere altul? 0,60 m 100 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014,50 m

101 Testul 4 (utor: prof. Romică Zăbrăuţanu) (areme la pagina ) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului: 0 10 : este egal cu.... Dacă x = 0, atunci x este egal cu.... Un cub are muchia de 6 cm. Diagonala cubului este de...cm. 4. Un triunghi are baza de 10 cm şi înălţimea corespunzătoare ei de 8 cm. ria triunghiului este... cm. 5. Lungimea unui dreptunghi este de 10 cm, iar lăţimea cu cm mai mică. Perimetrul dreptunghiului este...cm. 6. onform tabelului alăturat, avem o relaţie între l 1 7 latura şi aria unui pătrat. orespunzător laturii de 7 cm, aria va fi...cm ? SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic DEFGH.. În clasa a VIII-a sunt 14 fete şi 1 băieţi. În clasa a VIII-a sunt cu 4 fete mai puţin şi cu băieţi mai mult decât în clasa a VIII-a. âţi elevi sunt în clasa a VIII-a?. Într-un bloc sunt apartamente cu şi camere, în total 5 de camere. a) Verificaţi dacă în bloc pot fi 5 apartamente cu camere. b) Se poate să avem acelaşi număr de apartamente cu respectiv camere în acest bloc? 4. Se consideră funcţia f :, f(x) = x 1. Determinaţi a, b є, ştiind că punctele (, a) şi (b, 1) aparţin graficului funcţiei f. 5. rătaţi că: x 5 5x + 4x = x(x )(x 1)(x + 1)(x + ). SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată avem un trapez isoscel D cu = 4 cm, D = 8 cm şi E = DF = x cm. a) Exprimaţi, în funcţie de x, aria patrulaterului DFE. D b) flaţi înălţimea trapezului, ştiind că perimetrul său este de 5 cm. F E c) ât la sută din aria trapezului D reprezintă aria dreptunghiului DFE?. Figura alăturată reprezintă o prismă patrulateră regulată cu înălţimea OO' = 1 cm şi baze (D), ('''D'), = cm. a) alculaţi aria laterală a piramidei O'D. b) Verificaţi dacă raportul dintre volumul piramidei O'D şi volumul prismei este 1. ' D' D O' O ' M '. Recapitulare finală 101

102 Testul 5 (utor: prof. Romică Zăbrăuţanu) (areme la pagina ) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului : este egal cu.... e element al mulţimii {1,, } este soluţie a ecuaţiei x 4 = 0?. ria unei feţe a unui cub este 9 cm. Muchia cubului are lungimea egală cu...cm. 4. Dacă lungimea unui dreptunghi este 8 cm şi lăţimea 4 cm, atunci perimetrul dreptunghiului este egal cu...cm. 5. Raza unui cerc este de cm. ria discului este egală cu...cm. 6. Într-un şir de 5 numere naturale impare consecutive al doilea termen este 41. Suma celor 5 numere este... SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o prismă triunghiulară regulată '''.. Într-o cămară sunt trei lăzi cu mere, fiecare având câte 0 de kg şi 4 lăzi cu pere, în fiecare fiind 15 kg. e cantitate de fructe se află în cele 7 lăzi?. La cercul de matematică au fost propuse mai multe probleme. Pentru fiecare soluţie corectă se acordă 5 puncte, iar pentru o soluţie eronată se scad 0 de puncte. Pentru 40 de probleme un elev a primit 50 de puncte. a) âte probleme a rezolvat corect? b) âte probleme a rezolvat greşit? 4. Fie f, g :, unde f(x) = x + şi g(x) = x + 4. Determinaţi coordonatele punctului de intersecţie a reprezentărilor grafice ale funcţiilor. 5. rătaţi că x + x+ x+ 1 =, pentru orice x є \ { ; }. x 4 x SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată avem un trapez isoscel ortodiagonal ( este perpendiculară pe D), cu = 1 cm, D = 6 cm. D a) flaţi înălţimea trapezului. O b) rătaţi că OD = O. c) ât la sută din aria triunghiului O reprezintă aria triunghiului OD?. Fie VD o piramidă patrulateră regulată cu înălţimea VO = 4 cm şi muchia laterală de 5 cm, unde D = {O}. a) alculaţi volumul piramidei. b) alculaţi distanţa de la punctul la planul (V). c) rătaţi că D ( V). 10 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

103 Testul 6 (utor: prof. Romică Zăbrăuţanu) (areme la pagina 4) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 1515 : 15 1 este.... Fie mulţimile = {1; } şi = {x 1; }. Mulţimile şi sunt egale, atunci când x este egal cu.... Probabilitatea ca aruncând un zar să obţinem un număr par este Perimetrul unui hexagon regulat este de 4 cm. tunci latura sa x are lungimea de...cm. 5. Dimensiunile unui paralelipiped dreptunghic sunt de cm, 4 cm şi 5 cm. Volumul paralelipipedului este egal cu...cm. 6. Un dispozitiv îşi dublează săritura după fiecare salt. La primul salt el realizează 1,5 cm. La al patrulea salt lungimea parcursă de dispozitiv este de...cm. SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată de vârf V şi bază ().. La un trial au participat 10 de sportivi. După prima probă au rămas jumătate dintre ei. După următoarea probă au mai fost eliminaţi un sfert din cei rămaşi. Ştiind că la ultima probă au părăsit competiţia încă 1 de sportivi, câţi dintre aceştia au rămas în final?. Se dă relaţia: x + 5y = 0, unde x şi y sunt numere naturale. a) Poate fi y un număr natural impar? b) are este maximul sumei 4x + 7y? 4. Se consideră f :, f(x) = x. Să se determine m є, ştiind că punctul (m, m + ) aparţine graficului funcţiei f. 5. rătaţi că: x 4 x 5x+ 4 =, pentru orice x є \ { 1; 1}. x + 1 x 1 SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată, D este un trapez dreptunghic cu D, D ^, = 10 cm, D = 6 cm şi măsura unghiului de 45. D a) Să se afle perimetrul trapezului D. b) Să se afle aria trapezului D. c) ât la sută din aria trapezului reprezintă aria triunghiului D?. ubul D'''D' are diagonala egală cu 6 cm. alculaţi: a) volumul cubului; b) distanţa de la punctul ' la diagonala D; c) distanţa de la punctul ' la planul ('').. Recapitulare finală 10

104 Testul 7 (utor: prof. Romică Zăbrăuţanu) (areme la pagina 5) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului : 100 este.... Fie mulţimile = {x є x < } şi = {; }. Mulţimea este {...}.. Într-o urnă avem bile roşii, 4 albe şi 6 negre. Probabilitatea ca o bilă albă să fie extrasă este egală cu Un romb are diagonalele de 1 cm şi 10 cm. ria rombului este egală cu... cm. 5. ria laterală a unui cub este 100 cm. Muchia acestui cub are lungimea de...cm. 6. Timp de o săptămână s-au înregistrat următoarele temperaturi: zile temperaturi de 6, 4 zile temperaturi de 4 şi o zi temperatura de 7. Temperatura medie în săptămâna respectivă a fost de.... SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă hexagonală regulată de vârf S şi baza DEF.. La proba scrisă la matematică, la clasa a VIII-a, un elev a obţinut la subiectul I: 0 puncte, la subiectul al II-lea: 5 puncte şi la subiectul al III-lea: puncte. âte puncte a obţinut în total elevul, ştiind că se acordă 10 puncte din oficiu?. Pentru a realiza un canal colector pe o lungime de 1,56 km sunt folosite conducte, unele cu lungimea de,75 m, iar altele de 4,5 m. S-au folosit un număr de 400 de conducte. a) âte conducte sunt de fiecare fel? b) Verificaţi dacă pot fi 40 de conducte cu lungimea de,75 m şi 160 de conducte de 4,5 m pentru aceeaşi lungime de 1,56 km. 4. Fie f, g :, unde f(x) = x şi g(x) =. Determinaţi coordonatele punctului de intersecţie a reprezentărilor grafice a celor două funcţii. 5. rătaţi că: 9(x + 1) 4(x ) = (4x + 7)(8x 1), pentru orice x număr real. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. D N 1. În figura alăturată D este un dreptunghi. Se ştie că = 6 cm, m( M) = m( N) = 0, DN = 4 cm. a) alculaţi perimetrul dreptunghiului D. b) flaţi aria trapezului MN. M c) Determinaţi aria pentagonului MPND, unde {P} = M N.. În prisma triunghiulară regulată ''', se dă: = 1 cm şi ' = 6 cm. flaţi: a) aria totală a prismei; b) distanţa de la punctul ' la dreapta ; c) măsura unghiului diedru dintre planele (') şi (). 104 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

105 Testul 8 (utor: prof. Romică Zăbrăuţanu) (areme la pagina 6) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului: : este egal cu.... Fie mulţimile = {x + ; 5} şi = {5; 9}. = dacă x este egal cu.... Media aritmetică a 5 numere este,6. Suma celor 5 numere este Linia mijlocie a unui trapez este de 18 cm, iar înălţimea sa are 5 cm. ria trapezului este egală cu...cm. 5. Dacă muchia unui tetraedru regulat este 1 cm, atunci suma tuturor muchiilor sale este egală cu...cm. 6. Folosind o sticlă de 500 ml, vrem să umplem un vas paralelipipedic cu dimensiunile de 6 dm, 5 dm şi 4 dm. Sticla trebuie golită în vas de... ori. SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi o prismă hexagonală regulată DEF'''D'E'F'.. După ce a parcurs 4,5 km, un turist constată că mai are încă 18,5 km până la jumătatea drumului. flaţi lungimea drumului.. Într-o clasă sunt 5 de elevi. Numărul băieţilor este cu 1 mai mare decât dublul numărului de fete. a) âte fete şi câţi băieţi sunt în clasă? b) Dovediţi că sunt cel puţin două fete născute în aceeaşi zi a unei săptămâni Fie f : unde f(x) = x. Punctele ;4 ; (; 1) şi, sunt coliniare? 5. Să se arate că: =, oricare ar fi x є \ { 1; 0; 1}. x + x x x x 1 SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată, şi sunt tangente la cercul (O, 6 cm), iar m( O) = 0. flaţi: O a) O; b) ; c) O.. Fie ''' un trunchi de piramidă triunghiulară regulată cu = 1 cm, = 6 cm şi măsura unghiului dintre o faţă laterală şi planul () este de 60. alculaţi: a) aria laterală a trunchiului de piramidă; b) volumul piramidei din care face parte trunchiul de piramidă; c) distanţa de la punctul O' la planul (V''), unde O' este centrul feţei (''') şi V este vârful piramidei din care face parte trunchiul de piramidă.. Recapitulare finală 105

106 Testul 9 (utor: prof. Marius Farcaş) (areme la pagina 7) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului: 4 : + 5 este egal cu.... Mulţimea divizorilor naturali ai lui 6 este D 6 = {...}.. Într-un sac sunt 5 mingi roşii şi 7 mingi galbene. George scoate o minge roşie, apoi fără a se uita mai scoate una. Probabilitatea ca şi cea de-a doua minge să fie tot roşie este Lungimea laturii unui triunghi echilateral este de 4 cm. Perimetrul este egal cu...cm. 5. Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile de cm, 4 cm şi 1 cm. Lungimea diagonalei paralelipipedului este egală cu...cm. 6. Vlad a întocmit un grafic cu înălţimile elevilor din clasa sa: numărul de elevi ,0 1, 1,4 1,7 1,0 1, 1, înălţimea (în m) onform graficului, înălţimea medie a elevilor clasei este de...m. SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi pe foaia de examen un cub DEFGH.. Maria a citit luni 8 de pagini, iar marţi cu 15 pagini mai mult decât luni şi a terminat cartea. âte pagini are cartea?. Elevii participanţi la etapa judeţeană a Olimpiadei de Matematică pot fi repartizaţi câte 1, 15 sau 18 într-o sală de clasă. a) rătaţi că elevii pot fi repartizaţi şi câte 0 într-o sală de clasă. b) flaţi numărul elevilor participanţi, ştiind că este mai mic decât Fie funcţia f :, f(x) = x 5. flaţi valorile parametrilor reali m şi n astfel încât punctele M(m; ) şi N(n 1; n + ) să aparţină reprezentării grafice a funcţiei f. x + 6x+ 8 x + x, 4; ; ; 1.. x + 7x+ 1 x + x 5. alculaţi x { } 106 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

107 SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. ălin a primit de ziua lui un joc cu un soldat care se P deplasează pe traseul DE, ca în figură. În fiecare punct în care îşi schimbă direcţia, soldatul staţionează R S 1 S a secunde, iar în punctele P, Q şi R, unde are loc câte o Q luptă, soldatul staţionează b secunde. E D Distanţele,, D, DE şi E sunt egale cu 4 dm. Soldatul parcurge cm într-o secundă. a) Exprimaţi în funcţie de a şi b timpul necesar parcurgerii distanţelor şi E. b) Dacă de la plecarea din până la sosirea în trec 5 de secunde, iar de la plecarea din până la sosirea în E trec 1 minut şi 46 secunde, aflaţi a şi b. c) Suprafaţa S 1 este împărţită în pătrate cu latura de 5 cm iar suprafaţa S este împărţită în triunghiuri echilaterale cu latura tot de 5 cm. În fiecare astfel de pătrat se află un copac iar în fiecare triunghi este o floare. âţi copaci şi câte flori sunt? (10p). Filip a primit un set de piese din lemn. Iniţial acestea erau aşezate într-o cutie sub formă de cub cu latura de 4 dm şi ocupau întreaga cutie, fără a exista goluri între ele. Piesele au forme de cuburi mari cu latura de 10 cm, cuburi mici cu latura de 8 cm şi paralelipipede dreptunghice cu dimensiunile de 8 cm, 6 cm şi 5 cm. Din toate cuburile mari, Filip a făcut 4 cuburi cu latura de 0 cm. Dacă ar mai fi avut două cuburi mici, Filip ar fi putut face din acestea un cub cu latura de 4 cm. a) âte piese de fiecare fel sunt în set? b) Tatăl lui Filip vrea să vopsească piesele. Pentru a vopsi 1 dm, îi trebuie 5 ml de vopsea. âte cutii de 0,5 l vopsea sunt necesare pentru a vopsi toate piesele? Testul 40 (utor: prof. Marius Farcaş) (areme la pagina 8) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului: este egal cu Numerele naturale prime cuprinse între 0 şi 40 sunt.... Un elev are la matematică notele 10, 8, 9, 8, 10, iar la teză nota 7. Media la matematică pe semestrul I este În pătratul D măsura unghiului D este de Un cub are latura de 4 cm. ria totală a cubului este de...cm. 6. În tabelul următor este prezentată o situaţie cu numărul de apartamente şi numărul de camere ale fiecărui apartament dintr-un bloc. onform tabelului, numărul camerelor din bloc este de... Nr. camere 1 cameră camere camere 4 camere Nr. de apartamente Recapitulare finală 107

108 SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, un trunchi de piramidă triunghiulară regulată '''.. flaţi măsurile a două unghiuri complementare, ştiind că măsura unuia este cu 0 mai mare decât o pătrime din măsura celuilalt.. Un pomicultor a cules într-o zi 59 kg vişine şi 67 kg cireşe. După ce le aşază în lădiţe, rămân kg de vişine şi 4 kg de cireşe. Ştiind că într-o lădiţă încape aceeaşi cantitate de cireşe sau de vişine, aflaţi această cantitate. 4. Fie funcţia f :, f(x) = (a + 1)x + b. flaţi valorile reale ale lui a şi b astfel încât punctele M(; ) şi N( 1; 1) să aparţină graficului funcţiei f. (10p) 5. alculaţi: x 1 x 4 + x+ x x 4. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Pe o masă de biliard, o bilă aflată în punctul M este lovită şi urmează traiectoria MNPQM. În fiecare punct în care bila loveşte manta unghiul făcut de mantă cu traiectoria înainte de ciocnire este congruent cu unghiul făcut de mantă cu traiectoria după ciocnire (exemplu: N 1 N ). a) Dacă m( NM) = x, exprimaţi în funcţie de x măsurile unghiurilor: MNP, NPQ, PQM, QMN. M D N 1 b) rătaţi că lungimea traiectoriei M - N - P este egală cu lungimea traiectoriei P - Q - M. 5p) c) Dimensiunile mesei sunt = 1,5 m şi = 1, m iar bila se află în M astfel încât M = 40 cm. flaţi poziţia punctului N unde bila trebuie să ciocnească manta, astfel încât după ce trece şi prin punctele P şi Q să ajungă înapoi în M. d) u dimensiunile de la punctul c), aflaţi aria suprafeţei MNPQ.. Pentru amenajarea unui parc, primăria a dat comandă de 50 de piese de forma celei din figura alăturată. Piesa are forma unui paralelipiped 60 cm dreptunghic cu dimensiunile indicate, iar în interior este săpat un paralelipiped dreptunghic. Grosimea pereţilor, atât cei laterali cât şi cel de 80 cm dedesubt, este de 10 cm. 1 m a) flaţi cât cântăreşte piesa, dacă 1 dm din materialul din care este realizată aceasta cântăreşte kg. b) Piesa este umplută cu pământ. flaţi volumul pământului necesar pentru toate piesele. Q P 108 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

109 Testul 41 (utor: prof. Marius Farcaş) (areme la pagina 9) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 5 6 este egal cu.... Enumerând elementele mulţimii = {x є * x este pătrat perfect, x < 0}, obţinem = {...}.. Suma de 000 de lei este împărţită la doi muncitori proporţional cu numărul de zile lucrate. Primul muncitor a lucrat 9 zile, iar al doilea 16. Suma de bani primită de primul muncitor este de... lei. 4. Triunghiul isoscel ([] = []) are m( ) = 80. Unghiul al triunghiului are măsura de O piramidă patrulateră regulată are latura bazei de 6 cm şi înălţimea de 5 cm. Volumul piramidei este egal cu...cm. 6. Evoluţia cursului leu-euro în timpul unei săptămâni este prezentată prin următorul grafic: lei 4,7 4,6 4,5 4,4 4, 4, 4,1 zilele săptămânii Luni Marţi Miercuri Joi Vineri ea mai mare creştere a valorii euro faţă de leu a fost înregistrată în ziua de... SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă hexagonală regulată de vârf V şi bază DEF.. După ce a parcurs o treime din drum, un călător constată că mai are de parcurs 5 km până la jumătatea traseului. are este lungimea traseului?. unicul are 4 lei şi doreşte să cumpere mere şi portocale pentru nepoţii săi. Un kilogram de mere costă lei, iar un kilogram de portocale costă lei. a) e variante are bunicul astfel încât să cheltuiască toţi banii şi să cumpere un număr întreg de kg de fructe de fiecare fel? b) Dacă bunicul a cumpărat 10 kg de fructe, câte kg de mere şi câte kg de portocale va duce nepoţilor? 4. Verificaţi dacă punctele ( ; 4), ( - ; 0), ( - ; - ) reprezentate într-un sistem de coordonate xoy sunt coliniare. 5. Fie x, y є, x > y > 0 şi x + y = 10, x y = 4. alculaţi x + y şi x y.. Recapitulare finală 109

110 SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Un agricultor are un teren în formă de trapez D, D. a) u ajutorul unei drepte, împărţiţi terenul în două loturi cu aceeaşi arie. figura 1 figura G H E F I J D M N D b) gricultorul face următoarele măsurători (figura 1): M = 1 m, DM = 9 m, MN = 0 m, N = 16 m. Terenul trebuie împrejmuit cu panouri având lungimea de 6 m şi înălţimea de 1,8 m; fiecare panou costă 50 lei. flaţi cât costă gardul. c) Pentru o anumită cultură, agricultorul împarte terenul în dreptunghiuri cu lăţimea de m ca în figura. flaţi aria suprafeţei cultivate.. Un stadion este în formă de trunchi de piramidă D' ' patrulateră regulată. Pătratul D are latura = 7 m, M iar pătratul '''D' are latura '' = 40 m. ' ' Un spectator situat pe ultimul rând în punctul M, D P mijlocul lui ('D'), se află la înălţimea de h = 5 m faţă d N de pământ. a) are este distanţa de la spectatorul situat în punctul M la portarul situat în punctul N, mijlocul lui (D)? b) alculaţi distanţa de la spectatorul situat în punctul M la dreapta d, care desemnează mijlocul terenului. c) Pentru a moderniza stadionul, administratorul doreşte schimbarea scaunelor şi din acest motiv trebuie să calculeze suprafaţa tribunelor. e suprafaţă au acestea? Testul 4 (utor: prof. Marius Farcaş) (areme la pagina 40) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului: 1, 1, + 5 este egal cu.... Fracţiile supraunitare de forma 4 a, a є *, sunt.... În sezonul reducerilor, preţul unui palton care era de 4 lei se reduce cu 5%. Preţul după reducere va fi de...lei. 4. Trapezul D, D are lungimile bazelor de 8 cm şi 14 cm. Lungimea liniei mijlocii este egală cu...cm. 5. O prismă triunghiulară regulată are latura bazei de 8 cm şi aria totală de ( + 10) cm. Înălţimea prismei este egală cu...cm. 110 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

111 6. Toţi elevii unei clase practică unul dintre sporturile: fotbal, handbal, volei, tenis şi baschet, după cum indică diagrama. Dacă în clasă sunt 5 elevi care joacă handbal, atunci în clasă sunt...elevi. handbal fotbal 40% 0% 16% baschet 16% 8% tenis volei SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o prismă patrulateră regulată D'''D'.. Un teren de formă dreptunghiulară este înconjurat cu 11 m de gard. Ştiind că lungimea este cu 0 m mai mare decât dublul lăţimii, aflaţi lungimea şi lăţimea terenului.. nul acesta numărul elevilor din şcoala noastră a scăzut cu 5% faţă de anul trecut, dar procentul fetelor a crescut de la 50% la 60% din numărul elevilor. a) Dacă anul trecut în şcoală erau 100 elevi, câţi elevi sunt anul acesta? b) âte fete sunt anul acesta în şcoală, dacă anul trecut erau 600? 4. Fie funcţiile f :, f(x) = x şi g :, g(x) = f(x + 1). flaţi coordonatele punctului de intersecţie a graficelor celor două funcţii. 5. flaţi numerele reale x şi y care verifică egalitatea: x + 4y + 4xy 8x + 16 = 0. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Într-o competiţie sportivă sunt înscrise 5 echipe de fotbal. Fiecare echipă joacă câte un meci cu fiecare din celelalte echipe. Pentru o victorie se dau puncte echipei câştigătoare şi 0 puncte echipei învinse, iar pentru un meci egal se dă câte un punct fiecărei echipe. a) flaţi câte meciuri s-au jucat în competiţie. b) La final s-a înregistrat următorul clasament: Echipa I: 10p; Echipa II: 8p; Echipa III: 5p; Echipa IV: p; Echipa V: 1 p. Precizaţi care meciuri s-au încheiat cu o victorie şi cine a câştigat, precum şi ce meciuri s-au încheiat la egalitate. c) Stabiliţi dacă la finalul competiţiei, se poate întâmpla ca în clasament, fiecare două echipe vecine să fie despărţite de exact două puncte.. Un constructor de jucării are o piesă în formă de tetraedru regulat DGE cu latura de 8 cm şi doreşte să construiască patru piramide triunghiulare regulate H G ED, GD, FEG şi HEDG, care împreună cu tetraedrul să formeze un cub. E F a) ât trebuie să fie muchia laterală a piramidelor? D b) flaţi lungimea înălţimii care pleacă din spre faţa (ED) în piramida ED. c) flaţi suma ariilor feţelor laterale ale celor 4 piramide triunghiulare.. Recapitulare finală 111

112 Testul 4 (utor: prof. Marius Farcaş) (areme la pagina 41) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului ( ) ( ) + ( 5) este egal cu.... Mulţimea divizorilor întregi ai lui 11 este D 11 = {...}.. La sfârşitul unei lucrări, doi muncitori au primit o primă de 500 de lei împărţită invers proporţional cu numărul pieselor defecte predate de fiecare. Dacă primul a avut piese defecte, iar al doilea doar una, suma de bani primită de primul este de...lei. 4. În dreptunghiul D, O este punctul de intersecţie a diagonalelor. Dacă are lungimea de 10 cm, atunci lungimea lui O este egală cu...cm. 5. Un tetraedru regulat are aria totală de 81 cm. Muchia tetraedrului are lungimea egală cu...cm. 6. În graficul următor este prezentată evoluţia cursului euro-leu şi dolar-leu în prima săptămână a lunii septembrie. curs EURO Diferenţa dintre valoarea unui euro şi valoarea unui dolar în ziua de marţi este de...lei. (lei) curs USD luni marţi miercuri joi vineri SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic DEFGH.. Toţi cei 18 băieţi ai unei clase se întâlnesc o dată pe săptămână pentru a juca fotbal (în ziua de luni) sau baschet (joia). Numărul băieţilor care joacă fotbal este de ori mai mare decât al celor care joacă baschet, dar sunt băieţi care joacă şi baschet şi fotbal. âţi băieţi din această clasă se întâlnesc în ziua de luni la fotbal?. La festivitatea de deschidere a unei competiţii sportive, dacă se aşază participanţii în coloane de câte 5, 7 sau 10, rămâne de fiecare dată ultima coloană cu 4 sportivi. a) Verificaţi dacă numărul participanţilor la competiţie poate fi 14. b) În final, participanţii au fost aşezaţi în coloane de câte 1 sportivi şi formaţia a fost completă. flaţi numărul participanţilor, ştiind că este mai mic de Reprezentarea grafică a funcţiei liniare f intersectează axele de coordonate OX şi OY în punctele, respectiv. bscisa punctului este egală cu triplul ordonatei punctului. Triunghiul determinat de axa OX, axa OY şi G f se află în cadranul I şi are aria de 6u. Determinaţi funcţia f. 11 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

113 5. flaţi numerele raţionale x şi y care verifică egalitatea: ( ) x y= 8 + (1 - y). SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Pentru un depozit în euro, o bancă comercială percepe următoarele comisioane: comision de deschidere cont de 0 de euro, care se încasează la deschiderea contului, comision de administrare cont de 0,% pe lună din suma aflată în cont, impozit de 1% din dobândă şi acordă o dobândă de 6% pe an. Dobânda se calculează şi se acordă la fiecare luni. Tot atunci se calculează şi se încasează comisionul de administrare a contului pentru fiecare din cele luni şi se reţine impozitul pe dobândă. a) O persoană are euro şi îşi deschide un cont pentru luni. e sumă va lua de la bancă după această perioadă? b) are este suma minimă pe care o persoană trebuie să o depună la bancă pentru ca după luni să nu scoată mai puţin decât a depus? c) e perioadă (multiplu de luni) trebuie să ţină la bancă o persoană suma de 80 euro (din care plăteşte comisionul de deschidere cont) pentru a avea profit?. Marcel şi-a construit în grădină o piramidă ornamentală formată din trei bare de lemn S = S = S = m. Pentru stabilitate a fixat punctele de sprijin, şi la distanţe de m, două câte două. În punctul S a legat o sfoară de care este prins un ghiveci cu flori. Lungimea sforii din S până la coş este de 1 m, iar înălţimea ghiveciului este de 0 cm. S M a) Dacă ar dori să acopere feţele S, S şi S cu sticlă, care este suprafaţa acestora? b) La ce înălţime faţă de sol se află coşul? c) La un moment al zilei punctul S are umbra în punctul M, mijlocul lui (). alculaţi lungimea umbrei sforii.. Recapitulare finală 11

114 Testul 44 (utor: prof. na Poştaru) (areme la pagina 4) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului + 1 : 4 este egal cu.... Dintre numerele 4, şi 4, mai mic este..... Numărul x din proporţia = 6 este... x 4. Perimetrul unui romb cu latura de 4 dm este egal cu...dm. 5. O prismă triunghiulară regulată dreaptă cu volumul de 0 cm şi aria bazei de 10 cm are înălţimea egală cu...cm. º 6. În cele şapte zile ale unei săptămâni au fost măsurate, la aceeaşi oră, 1 temperaturile şi notate în graficul alăturat. 0 onform graficului, temperatura 1 medie a săptămânii este de...º l ma m j v s SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 114 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014 d zilele săptămânii 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată cu vârful V şi baza (M).. Un produs costă 10 lei şi se ieftineşte cu 10%. ât va costa după ieftinire? (5p. orina doreşte să-şi aranjeze cărţile pe rafturile bibliotecii sale. Dacă pune 0 de cărţi pe un raft, îi rămân 5 cărţi, iar dacă pune 40 de cărţi pe un raft îi rămân tot 5 cărţi. a) Poate orina să aibă 65 de cărţi? b) are este numărul cărţilor orinei, dacă acesta este cuprins între 50 şi 400? 4. Fie ecuaţia x = 5. Verificaţi care din numerele: 8; 5; sunt soluţii pentru ecuaţia dată. 5. rătaţi că 4x + 4x + > 0, pentru orice x Î. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenul alăturat reprezintă un 10 m parc; partea haşurată reprezintă aleile, iar partea punctată spaţiul verde. a) Exprimaţi în funcţie de x 1 aria destinată spaţiului verde. b) are este valoarea lui x astfel încât aria suprafeţei destinată spaţiului verde să fie egală cu aria suprafeţei aleilor? x c) Pentru împrejmuirea spaţiului verde se folosesc module din lemn cu lungimea de 80 cm. alculaţi de câte module este nevoie, ştiind că x = 1,4 m. d) alculaţi suma necesară pentru împrejmuirea întregului teren cu un gard, ştiind că x = m şi preţul unui metru de gard este de 67 lei. x 5 m

115 . Pentru confecţionarea unui panou publicitar se E foloseşte un cadru metalic format din pătratul D şi triunghiul dreptunghic isoscel E, m( E) = 90º, situate în plane perpendiculare. Ştiind că lungimea laturii pătratului este de 4 m şi pentru susţinere se unesc şi punctele E cu D şi E cu, calculaţi: D a) âţi metri de cadru metalic se folosesc la confecţionarea panoului? proximaţi rezultatul prin adaos la unităţi. b) âţi metri pătraţi de pânză sunt necesari pentru îmbrăcarea suprafeţelor (ED) şi (E), ştiind că 1,5 m se pierd la tăierea şi montarea acesteia? Testul 45 (utor: prof. na Poştaru) (areme la pagina 4) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Numărul raţional care este soluţie a ecuaţiei 4x + 1= 5 este egal cu.... Mulţimea divizorilor întregi ai lui 6 este D 6 = {...}.. Media geometrică (proporţională) a numerelor şi 8 este egală cu ria unui trapez cu lungimea liniei mijlocii de 10 cm şi a înălţimii de 4 cm este de...cm. 5. Un paralelipiped dreptunghic are în total un număr de... muchii. 6. Partea haşurată reprezintă numărul elevilor unei clase, care au ochii căprui, partea punctată, a celor cu ochii verzi, iar cea nemarcată a celor cu ochii albaştri. Din numărul total de elevi, un procent de... au ochii albaştri. SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, un cub, notat D'''D'.. Maria are 8 ani, iar mama ei, de patru ori mai mult. e vârstă avea mama Mariei, atunci când s-a născut Maria?. Un grup de elevi doresc să cumpere un cadou unui coleg, cu ocazia zilei de naştere. Dacă fiecare elev pune 10 lei, mai trebuie 6 lei, iar dacă fiecare elev pune 11 lei, rămân 6 lei. a) âţi elevi sunt în grup? b) are este preţul cadoului? 4. Un caiet costă 1, lei şi un pix costă lei. Marius are 8 lei. Verificaţi dacă poate cumpăra cu aceşti bani caiete şi pixuri. Dar caiete şi pixuri? 5. Fie E(x) = x x 4. rătaţi că E( ) < 0.. Recapitulare finală 115

116 SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Pentru confecţionarea unor ornamente, se foloseşte o coală color pătrată cu latura de 50 cm, din care se decupează un disc de diametru maxim (desenat punctat pe figură). oncentric cu primul disc se desenează al doilea disc cu raza de 10 cm. a) are este deschiderea compasului la construcţia primului cerc? 50 cm b) e suprafaţă din coala color se pierde în urma decupării primului disc? c) alculaţi câţi metri de şnur cu mărgele se folosesc pentru a fi lipiţi pe circumferinţa celor două discuri (pentru calcule se foloseşte π =,14).. Laura doreşte să construiasă în curte un bazin pentru broscuţele ţestoase Kiki şi Riki, sub forma unui cilindru cu diametrul de m şi adâncimea de 1 m. a) alculaţi volumul bazinului şi verificaţi dacă se pot pune în bazin 4000 l de apă. b) Ştiind că ţestoasele au nevoie de minim 1000 l de apă, calculaţi dacă este suficient să se pună apă până la jumătatea bazinului. c) Pentru izolarea bazinului se cumpără folie cu lăţimea de 1,0 m, iar de pe rola de folie se taie doar un număr întreg de metri. alculaţi câţi metri de folie trebuie cumpăraţi, ştiind că pierderile sunt de 5%? Testul 46 (utor: prof. na Poştaru) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. (areme la pagina 44) 1. Numărul x din proporţia = 6 este egal cu.... x 9. el mai mic multiplu comun pentru numerele 1 şi 15 este..... Într-o clasă sunt 0 de elevi dintre care 0% sunt fete. Numărul fetelor este Un dreptunghi are lungimea de 14 cm şi perimetrul de 6 cm. Lăţimea dreptunghiului este Un cub are un număr de... feţe. 6. Rezultatele testului la biologie sunt notate în tabelul de mai jos. Media clasei este egală cu... nr. de elevi nota SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un paralelipiped dreptunghic DEFGH, una dintre baze fiind D.. Ioana şi-a cumpărat 4 caiete cu lei caietul. e rest a primit dacă a plătit la casă cu o bancnotă de 10 lei?. Un elev citeşte dintr-o carte în 4 zile în felul următor: începând cu ziua a doua, citeşte dublul numărului de pagini citite în ziua precedentă. a) âte pagini a citit în cele 4 zile, dacă a doua zi a citit 8 de pagini? b) âte pagini are cartea ştiind că numărul acestora trebuie să fie multiplu de 16, mai mic decât 40? 116 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

117 4 4. Fie mulţimea = ; ; ;0;5 π ;10. Specificaţi care dintre elementele mulţimii 5 sunt numere raţionale. 5. Fie f :, f(x) = x 1, g :, g(x) = x şi h:, h(x) = 4. Verificaţi care dintre reprezentările grafice ale funcţiilor de mai sus conţin originea sistemului de axe. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. urtea lui risti are formă dreptunghiulară, D D = 6 m şi a fost amenajată în felul următor: bazin de apă sub formă de semicerc cu diametrul EF = 6 m, gazon pe porţiunea haşurată (E = F = m), în spaţiul rămas punându-se pietriş şi două bănci. (Pentru calcule se ia π =,14.) m E 6 m F m a) alculaţi aria suprafaţei alocate bazinului. b) flaţi preţul plătit pentru semănarea gazonului, ştiind că pentru 1 m costul este de 0 lei. c) alculaţi aria suprafeţei amenajate cu pietriş. d) âţi metri de gărduleţ decorativ trebuie cumpărat pentru împrejmuirea bazinului, ştiind că nu se vând decât număr întreg de metri?. Pentru amenajarea unei minisere, Miruna îşi cumpără un vas de sticlă în formă de prismă hexagonală regulată dreaptă, cu latura bazei de 40 cm şi muchia laterală de 0 cm. a) alculaţi suprafaţa pe care Miruna o are la dispoziţie, pentru fixarea plantelor. b) La achiziţionarea plantelor, Miruna este sfătuită ca pentru fiecare plantă să asigure un volum de cel puţin 000 cm de aer. are este numărul maxim de plante pe care le poate achiziţiona? Testul 47 (utor: prof. na Poştaru) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Fie fracţia 1. În urma scoaterii întregului din fracţie se obţine Dintre numerele şi 5, mai mic este..... Media aritmetică a numerelor 14 şi 4 este Dacă perimetrul unui pătrat este 4 cm, atunci aria acestuia este de... cm. 5. O piramidă patrulateră regulată care are lungimea înălţimii de 9 cm şi lungimea laturii bazei de 5 cm, are volumul de... cm. 6. În tabelul de mai jos sunt notate cele opt familii ce locuiesc într-un bloc şi numărul de copii ai fiecărei familii. Numărul familiilor care au cel puţin doi copii este.... familia F 1 F F F 4 F 5 F 6 F 7 F 8 nr. de copii 1 4 (areme la pagina 45) SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi o prismă patrulateră regulată dreaptă cu bazele notate DNI şi RELU.. Recapitulare finală 117

118 . lexandra are 54 lei şi mai primeşte de la mama sa 40 lei. âte D-uri, cu 9 lei bucata, poate să-şi cumpere lexandra cu suma pe care o deţine?. Un automobil parcurge un traseu în trei zile în felul următor: în prima zi 0% din traseu, a doua zi 50 % din traseu, iar a treia zi restul de 5 km. a) e procent din drum a parcurs a treia zi? b) are este lungimea drumului? 4. Un elev are la fizică notele: 6; 6; 9. Verificaţi dacă o notă de 9 l-ar ajuta pentru mărirea mediei. (La această disciplină, elevul nu dă teză). 5. rătaţi că fracţia x + x x + 6x+ 9, în urma simplificării, devine x 1, unde x Î \ { }. x + SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Grădina bunicilor are forma din figura alăturată, DE, partea haşurată fiind destinată unui foişor pentru depozitarea diverselor obiecte de grădinărit, restul (DE) pentru cultura de legume. a) Dacă = x, exprimaţi perimetrul grădinii DE. b) Pentru x = 40 m, calculaţi aria suprafeţei destinate E D efectiv culturii, ştiind că 10% din suprafaţă este ocupată de cărări (alei). c) Dacă pe 40% din suprafaţa destinată culturii se seamănă ardei, iar pe 1 m se investesc 10 lei şi se obţin 16 lei, calculaţi profitul obţinut pe cultura de ardei.. Nemulţumit de oferta din magazine, ndrei se hotărăşte să îşi construiască un acvariu mai mare, sub forma unui paralelipiped drept cu L = 60 cm, l = 40 cm şi h = 0 cm, ca în figura alăturată. a) La confecţionarea capacului, dimensiunile acestuia trebuie să fie cu un centimetru mai mari 60 cm (ca să nu cadă în acvariu!). alculaţi aria capacului. b) alculaţi volumul paralelipipedului. c) alculaţi nivelul la care se ridică apa în acvariu, dacă se pun 60 l de apă. Testul 48 (utor: prof. na Poştaru) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. 0% din 100 este egal cu..... Multiplii lui 7, mai mici decât 0 sunt..... Numerele naturale care verifică x sunt Un triunghi dreptunghic are măsura unuia din unghiurile ascuţite de 40º. Măsura celuilalt unghi ascuţit este egală cu ria laterală a unei prisme patrulatere regulate drepte este de 0 cm. ria unei feţe laterale este egală cu... cm. 118 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014 x 0 cm 40 cm (areme la pagina 46)

119 6. În tabelul alăturat sunt prezentate încasările unui vânzător de produse lactate în 5 zile lucrătoare. ât a încasat în medie pe zi? ziua încasări (lei) I II III IV V SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un cub şi haşuraţi bazele.. Într-o clasă sunt 15 băieţi. Numărul fetelor reprezintă 60% din numărul băieţilor. âţi elevi sunt în clasă?. Un elev are la matematică, la oral, notele 6; 7; 7; 9 şi în teză nota 8. a) alculaţi media semestrială a elevului. b) Verificaţi dacă încă o notă de 8 la oral i-ar mări acestuia media. 4. Verificaţi care dintre numerele ; 0; 4; 1,5 sunt soluţii ale inecuaţiei x > rătaţi că intersecţia reprezentărilor grafice ale funcţiilor f :, f(x) = x 1 şi g :, g(x) = x este punctul de coordonate (; 1). SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Familia Ionescu doreşte să-şi renoveze căsuţa de vacanţă, aceasta fiind reprezentată în desenul alăturat printr-un paralelipiped dreptunghic, iar acoperişul printr-o prismă triunghiulară regulată dreaptă. a) alculaţi aria suprafeţei ce trebuie zugrăvită ştiind că dimensiunile uşii sunt, m şi m, iar cele trei geamuri identice au dimensiunile de 1, m şi 1,5 m. (10p) 4 m b) are este costul zugrăvitului dacă pentru 1 m se plătesc 5 lei? c) alculaţi de câte ţigle este nevoie pentru schimbarea acoperişului ştiind că pe 1 m intră, în medie, 4 de bucăţi. (Suprafeţele haşurate sunt placate cu lemn.) d) Pentru cumpărarea unui cazan de încălzire centrală trebuie să se cunoască volumul spaţiului încălzit. alculaţi acest volum, ştiind că o încăpere a casei, având formă de paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de 1,5 m; m şi,5 m, nu este încălzită. e) alculaţi câte bucăţi de grinzi sunt necesare la acoperiş pentru a le înlocui pe cele vechi, ştiind că ele se vând la bucăţi de 4,5 m liniari (grinzile ce trebuie înlocuite la acoperiş reprezintă toate muchiile prismei). m 8 m. Recapitulare finală 119

120 Testul 49 (utor: prof. Doina Moldoveanu) (areme la pagina 47) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 0 : : 10 este..... Din vânzarea a 50 kg de mere de acelaşi fel s-au obţinut 700 lei. Preţul unui kilogram de mere este egal cu... lei.. Soluţia reală a ecuaţiei 7 x = 4 este x = Rezultatul calculului : 6 este egal cu % 5. Diagrama reprezintă procentele corespunzătoare situaţiilor,,. 40% Situaţiei D îi corespunde...%. 0% 6. ria unei feţe a unui cub este de 9 dm. ria totală a cubului este egală cu...dm. D SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. âte case sunt pe partea dreaptă a unei străzi dacă numerele sunt de la la 48, fiecare casă are un număr şi nu sunt numere dublate (spre exemplu, nu există numărul 8 bis)?. flaţi elementele mulţimii: = {x Î < x + 4}.. alculaţi preţul mediu pentru un kilogram de fursecuri dacă se amestecă două kilograme de fursecuri care costă 10 lei kilogramul cu trei kilograme de fursecuri care costă 1 lei /kg? 4. Verificaţi care dintre elementele mulţimii {; ; 5} este soluţie pentru ecuaţia x 7x + 10 = Un trapez isoscel D are bazele = 1 cm şi D = 6 cm, iar m( D) = 60º. Dacă M este mijlocul segmentului [], calculaţi: a) măsura unghiului D şi măsura unghiului M; b) perimetrul patrulaterului MD. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Măsurile unghiurilor,,, D ale patrulaterului convex D sunt direct proporţionale cu numerele 1,, 5 şi 4. Dacă M este mijlocul segmentului [], unde = 1 cm şi M D, aflaţi: a) măsurile unghiurilor patrulaterului D; b) dacă m( ) = 0º, m( ) = 60º şi m( ) = 150º, calculaţi aria triunghiului M; c) în aceleaşi condiţii, calculaţi aria patrulaterului DMN, unde N Î (D), MN ^ D.. utia de lapte pe care o primesc elevii la şcoală are forma unui tetraedru regulat D cu latura de 8 cm. a) Desenaţi tetraedrul regulat D. b) alculaţi aria totală a cutiei, precum şi suprafaţa cartonului folosit pentru confecţionarea ei, ştiind că la îmbinare se foloseşte 10% din suprafaţa totală a cutiei. c) alculaţi volumul cutiei precum şi cantitatea de lapte din ea când este plină. 10 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

121 Testul 50 (utor: prof. Doina Moldoveanu) (areme la pagina 48) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Numărul cu 50 mai mic decât 700 este..... Scris cu cifre, numărul două sute trei mii este..... Un lot agricol în formă de dreptunghi are dimensiunile de 00 m, respectiv 400 m. Exprimată în m, aria sa este egală cu Dacă măsura unui unghi ascuţit al unui triunghi dreptunghic este de 40º, măsura celuilalt unghi ascuţit este de...º. 5. Rezultatul calculului 7 (8 ) este egal cu O maşină, care merge cu viteza constantă de 80 km/h, va străbate în două ore şi jumătate...km. SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o prismă patrulateră regulată D'''D'.. Un produs costă 00 lei. ât va costa acest produs după o scumpire cu 15%?. Dacă la suma de bani pe care o are fiecare elev dintr-o clasă se adaugă încă lei, se obţine relaţia funcţională dată de formula f(x) = x +. Reprezentaţi grafic această funcţie ştiind că suma cea mai mică pe care o avea unul dintre elevi era de 1 leu, iar cea mai mare era de 7 lei. 4. a) Efectuaţi înmulţirea (x y) (y + x). x + 6 b) Rezolvaţi, în mulţimea numerelor naturale, inecuaţia x. 5. Secţiunea diagonală într-un paralelipiped dreptunghic este un pătrat cu latura de 6 cm. alculaţi volumul paralelipipedului dacă baza este tot pătrat. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În centrul O al dreptunghiului MTE cu T = a şi m( OT) = 60º, se ridică perpendiculara a OD = pe planul său. a) alculaţi distanţa de la D la. b) flaţi măsura unghiului format de planul (DT) cu planul dreptunghiului. c) rătaţi că planul (SET) este perpendicular pe planul (DON), unde N este mijlocul segmentului [M], iar S un punct oarecare din spaţiu, S Ï ET. d) Demonstraţi că planele (NO) şi (MED) sunt paralele, fiind mijlocul lui [DT].. Figura alăturată reprezintă o prăjitură tăiată în 10 felii egale în formă de paralelipiped dreptunghic. Suprafaţa unei felii are dimensiunile de 10 cm şi respectiv 6 cm. Dacă o felie de prăjitură cântăreşte 10 g, folosind relaţia 1 dm = 1 kg, aflaţi: a) volumul prăjiturii; b) înălţimea prăjiturii;. Recapitulare finală 11

122 Testul 51 (utor: prof. Doina Moldoveanu) (areme la pagina 48) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Soluţia reală a ecuaţiei x 7 = 0 este..... Un elev are 1 creioane colorate, iar colegul său are cu 8 creioane mai puţin. olegul său are... creioane.. Un triunghi echilateral are latura de 10 cm. Perimetrul său este egal cu... cm. 4. De la ora 10 şi 10 minute, până la ora 11 trec...minute. 5. Un autoturism parcurge o distanţă în ore. Dacă păstrează aceeaşi viteză şi nu se opreşte din drum, parcurge o distanţă de trei ori mai mare decât prima în... ore. 6. Dacă un elev de gimnaziu are, la chimie, pe semestrul întâi, notele: 7, 8, 10, 7, atunci media semestrială va fi.... SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi şi notaţi o piramidă triunghiulară regulată de vârf T şi bază EZ.. itind oferta cumperi un produs, al doilea îl plăteşti la jumătate de preţ şi ştiind că reducerea se aplică produsului mai ieftin, cât va plăti o persoană care vrea să cumpere un produs de 160 lei şi unul de 10 lei?. Mama cumpără copiilor săi 40 de napolitane, iar bunica le cumpără 8 de batoane de ciocolată. Ştiind că aceste dulciuri se împart în mod egal copiilor, câţi copii pot fi în acea familie? 4. Un dreptunghi D are laturile = 4 cm şi = 6 cm. alculaţi aria şi perimetrul dreptunghiului. 5. Se consideră funcţia f :, f(x) = (a + 1) x + 5, unde a este un număr real. a) flaţi valorile lui a pentru care punctul (a; 5) aparţine graficului funcţiei f. b) Pentru a = 4, reprezentaţi grafic funcţia f într-un sistem de axe perpendiculare xoy. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În triunghiul echilateral, punctele M şi P sunt mijloacele laturilor[], respectiv []. Dacă = 4 cm, calculaţi: a) aria triunghiului ; b) aria triunghiului MP.. În cubul D'''D', punctul M este mijlocul segmentului [] şi 'M = 9 cm. a) rătaţi că lungimea segmentului [] este egală cu 6 cm. b) alculaţi aria totală a piramidei triunghiulare regulate ''D. c) Fie P mijlocul segmentului ['']. Demonstraţi că dreapta D'P este perpendiculară pe planul ('M). d) Stabiliţi poziţia dreptelor MQ şi PN, unde M şi P sunt punctele folosite anterior, iar N şi Q sunt mijloacele segmentelor [D], respectiv ['D']. 1 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

123 Testul 5 (utor: prof. Doina Moldoveanu) (areme la pagina 49) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. treia parte dintr-o oră are... minute.. Se consideră funcţia f :, f(x) = x +. Valoarea funcţiei pentru x = este.... a. Valoarea numărului a din proporţia = este Scris ca produs de două numere naturale, numărul 115 este egal cu Latura unui lot agricol în formă de pătrat este de 00 m. Gardul care va înconjura acest teren va avea o lungime de... m. 6. el mai mic număr natural nenul care se poate împărţi exact la şi la 15 este.... SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un cerc de centru O şi rază r, diametrul [], raza [O] şi o coardă MN <.. Într-o cutie sunt 4 bile albe şi negre. Dacă probabilitatea de a extrage o bilă albă este 1 6, câte bile albe sunt în cutie?. Suma vârstelor a doi fraţi este 19. Peste câţi ani suma vârstelor lor va fi 9? 4. Perimetrul unui lot de pământ este de 1 m. âţi lei va costa gardul care înconjoară terenul, dacă se folosesc două rânduri de sârmă şi un metru liniar de sârmă costă 0,0 lei? 5. Fie expresia E(x) = x 4 x + x x + 1, unde x este număr real. a) alculaţi valoarea expresiei E(x) pentru x = 1. b) Fie N = x 4 x + x. rătaţi că N 0 pentru orice x număr real. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Numărul a reprezintă 60% din numărul b. a) Demonstraţi că a şi b sunt invers proporţionale cu numerele 5 şi respectiv. b) flaţi a şi b, ştiind că a + 5b = 10.. Fie prisma dreaptă ''', cu baza triunghi echilateral. Latura bazei are lungimea de 4 cm şi înălţimea prismei are lungimea de 1 cm. a) Desenaţi prisma dreaptă cu baza triunghi echilateral '''. b) alculaţi aria totală a prismei. c) alculaţi distanţa de la punctul la planul ('). d) alculaţi valoarea sinusului măsurii unghiului format de dreptele ' şi '.. Recapitulare finală 1

124 Testul 5 (utor: prof. Doina Moldoveanu) (areme la pagina 51) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. alculând (0,4 + 1,78) : se obţine..... Un sfert din suma 784 lei reprezintă... lei.. Dacă o pâine costă 1,50 lei, patru pâini de acelaşi fel vor costa... lei. 4. alculând 1,5% din 00 se obţine urtea şcolii are formă de dreptunghi. Dacă lungimea este de 50 m şi lăţimea este de 0 m, lungimea gardului care o înconjoară este de... m. 6. La teză se pot lua note de la 1 la 10. Probabilitatea ca un elev să nu ia mai puţin de nota 8 este.... SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un paralelipiped dreptunghic notat LGERI şi puneţi în evidenţă pe desen o secţiune diagonală.. a) rătaţi că (x 1)( + x) = x + 5x. b) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia (x ) (x + 1) = x 19x Un autoturism parcurge o distanţă de 150 km în două ore. u ce viteză medie a mers? 4. În desenul alăturat este reprezentat graficul unei funcţii liniare f. 6 a) Determinaţi funcţia f. 5 4 b) are este valoarea funcţiei pentru x =? 5. Un frigider costa 1500 lei. După o reducere de preţ, frigiderul 1 se vinde cu 100 lei. u câte procente s-a redus preţul frigiderului? SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În trapezul dreptunghic D, D, D < şi m( ) = 90º, perpendiculara d pe latura [D] în mijlocul ei E, intersectează pe în punctul F, care este mijlocul lui [], D = 0 cm, D = 9 cm, = 1 cm. a) rătaţi că D ^ D. b) alculaţi aria trapezului D. c) alculaţi aria triunghiului FE.. În figura alăturată este reprezentată o piesă din oţel. Respectând dimensiunile indicate, calculaţi: a) aria laterală a piesei; b) volumul piesei; c) masa piesei dacă densitatea oţelului este ρ= 7,8 t/m şi m = ρ. 100 cm 00 cm 50 cm 70 cm 70 cm 70 cm 14 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

125 Testul 54 (utor: prof. Nadia ărbieru) (areme la pagina 5) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului ( 4) + este egal.... omplementul unghiului 4 15' este egal cu.... Un triunghi echilateral cu latura de 8 cm are înălţimea egală cu... cm. 4. ria totală a unui cub este de 19 cm. Latura cubului este egală cu... cm. 5. Soluţia ecuaţiei 4x 8 = 1 este egală cu Un grup de prieteni au rezolvat fiecare un număr de probleme de matematică. Numărul de probleme este trecut în graficul de mai jos. În total au rezolvat... probleme. Numărul de probleme na Ioana lex Dana Doru Grupul de prieteni SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi o prismă triunghiulară regulată MNPM'N'P'.. Dorel are într-un clasor 5 de timbre. Dintre acestea o treime i le dă colegei sale Irina. âte timbre îi mai rămân lui Dorel?. Trei numere sunt direct proporţionale cu, şi respectiv 5 şi diferenţa dintre numărul cel mai mare şi cel mai mic este 6. a) flaţi numărul mijlociu. b) e procent reprezintă numărul cel mic din cel mare? 4. Se consideră ecuaţia (x + ) 9 = 0. Verificaţi dacă x = 1 şi x = 5 sunt soluţiile acestei ecuaţii. 5. rătaţi că: x + 6x + 9 y = (x + y)(x + + y), pentru orice y număr real. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată este reprezentat un teren, în care avem: m( ) = 90, = 6 m, = x (x este o distanţă exprimată în metri).. Recapitulare finală x R O 15

126 a) Exprimaţi, în funcţie de x, aria suprafeţei. b) Dacă O este mijlocul laturii [], arătaţi că suprafaţa terenului O este egală cu x. c) flaţi x ştiind că triunghiul O are toate laturile egale. d) Dacă x = 6 şi notăm cu R piciorul perpendicularei din pe, atunci aflaţi de câte ori este mai mare suprafaţa lui R faţă de suprafaţa lui R.. Figura alăturată reprezintă un bazin care are M forma unei piramide triunghiulare regulate D O în care înălţimea bazinului este O = 4 dm, iar înălţimea unei feţe laterale a bazinului este M = 5 dm. D a) flaţi suprafaţa totală a piramidei. b) Dacă bazinul se umple cu apă, atunci încap în el 61l de apă? Justificaţi. Testul 55 (utor: prof. Nadia ărbieru) (areme la pagina 5) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Fie x = + şi y =. tunci x y este egal cu % din 5 este egal cu.... Un triunghi are două unghiuri de 80 şi 45. el de-al treilea are măsura de Dacă MN = 8 cm şi măsura unghiului format de dreapta MN cu planul α este de 60, atunci lungimea proiecţiei segmentului MN pe planul α este egală cu...cm. 5. După simplificare, fracţia 81x 64y 9x 8y devine de elevi fac parte dintr-un club sportiv. Numărul de elevi care au performanţe în acest an este reprezentat în diagrama alăturată. onform diagramei numărul celor care nu au obţinut performanţe sportive în ultimul an este... nu au performanţe 1 elevi baschet 4 elevi înot 5 elevi atletism 1 elevi gimnastică SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi o piramidă patrulateră regulată VD.. Un vânzător vinde o ladă cu mere care conţine 40 kg şi încă o lădiţă care are de 5 ori mai puţin. âte kg de mere vinde vânzătorul?. flaţi toate numerele naturale mai mici decât 1100 care împărţite cu 4; 0 şi 18 dau de fiecare dată restul 7. a) Verificaţi dacă numărul 1087 îndeplineşte condiţiile date. b) Determinaţi numerele care au această proprietate. 16 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

127 4. Determinaţi funcţia f :, f(x) = ax + b unde a, b є, care trece prin punctele ( ; 4) şi (1, 5). 5. rătaţi că x + x x = (x + )(x 1)(x + 1), pentru orice x număr real. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. O cameră avea forma unui dreptunghi D cu = 10 m D = 7 m. Se măresc dimensiunile camerei cu E E = DG = x m. D a) are este perimetrul noii camere formate EFG (în funcţie de x)? G F b) Determinaţi suprafaţa pardoselii EFG. c) flaţi valoarea lui x ştiind că distanţa GE = 15 m. d) Se consideră E = m. O persoană doreşte să cumpere vopsea albă pentru suprafaţa pardoselii D şi vopsea crem pentru pardoseala EFGD. are este preţul pe care îl va da persoana pe vopsea ştiind că 1 l de vopsea costă 11 lei şi se ocupă o suprafaţă de 10 m.. Figura alăturată reprezintă schematic un depozit sub forma unui paralelipiped dreptunghic D''D'. Unghiul dintre dreapta D' D' ' şi planul () are măsura de 0, = 5 m, iar înălţimea DD' = 10 m. ' 10 ' a) flaţi aria totală a paralelipipedului dreptunghic. D b) Verificaţi dacă distanţa de la la dreapta 0 5 ' este de 5 m. Testul 56 (utor: prof. Nadia ărbieru) (areme la pagina 54) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului ( ): 1 este egal cu.... Fie mulţimile = {, 5, 8, 10} şi = {10,, 8}. Mulţimea \ este egală cu.... el mai mic număr întreg par de trei cifre este Lungimea unui cerc este de 1π cm. tunci raza cercului este egală cu... cm. 5. Diagonala unui cub este de 15 6 cm. tunci latura cubului este egală cu... cm. 6. În figura alăturată este reprezentat graficul unei funcţii liniare. onform reprezentării grafice, punctul are coordonatele... y ( 1; ) ( ; 0) O x. Recapitulare finală 17

128 SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, paralelipipedul dreptunghic D'''D'.. Fetele care fac parte din clasa a VIII-a sunt 7, iar băieţi sunt de trei ori mai mulţi decât fetele. âţi elevi are clasa a VIII-a?. Preţul unei bluze este de 5 lei. După o ieftinire cu 0%, urmată de o scumpire, noul preţ este de lei. a) flaţi cât costă bluza după ieftinire. b) Determinaţi procentul de scumpire a bluzei Se consideră funcţia f :, f( x) = x 4. Determinaţi a, ştiind că (a; a 1) aparţine reprezentării geometrice a graficului funcţiei. 5. Se consideră numerele: x = 4 şi y = 4+. rătaţi că (x + y) = 1. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată este reprezentat schematic un teren agricol D, trapez isoscel cu: = = D = 10 dam, D = dam, N D, N = 8 dam, MN = x. a) Determinaţi, în funcţie de x, suprafaţa terenului MD. b) rătaţi că suprafaţa N este de 104 dam. M N D c) flaţi x, ştiind că M este romb. d) Dacă terenul va fi înconjurat cu un gard de sârmă, acesta fiind susţinut de stâlpi de lemn care se află la distanţa de m unul faţă de celălalt. flaţi cât costă investiţia, ştiind că sârma se vinde cu preţul de 5,5 lei/m, iar costul unui stâlp este de 1 lei.. În figura alăturată este reprezentat schematic un cort. VD piramidă patrulateră regulată cu V V triunghi echilateral V = 6 m. a) alculaţi suprafaţa laterală a cortului. b) Dacă P este mijlocul [V], aflaţi distanţa de la P la planul (VD). P D O 18 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

129 Testul 57 (utor: prof. Nadia ărbieru) (areme la pagina 55) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului : este egal cu.... Inversul numărului 7 este robinete umplu un bazin în ore. Dacă se închid două robinete, atunci cele 4 robinete rămase umplu acelaşi bazin în Dacă lungimea unui dreptunghi este de 10 cm şi lăţimea de cm, atunci aria dreptunghiului este egală cu...cm. 5. Volumul unei piramide patrulatere cu latura bazei de 1 cm şi înălţimea de 9 cm este egală cu...cm. 6. Mediile generale ale unei clase de elevi sunt reprezentate în graficul de mai jos. âţi elevi au media generală mai mare sau egală cu 8? număr de elevi ,99 7-7,99 8-8,99 9-9,99 10 media generală SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o prismă patrulateră regulată D'''D'.. În două depozite de află 500 t de porumb. Ştiind că în primul depozit se află de 4 ori mai mult porumb decât în cel de-al doilea, aflaţi cantitatea de porumb din depozite.. Suma a două numere naturale este 48, iar cel mai mare divizor comun al celor două numere este 6. a) flaţi cele două numere care îndeplinesc condiţiile. b) Verificaţi dacă raportul celor două numere poate fi Fie funcţia f : { ; 0; 1; 5}, f(x) = x. Reprezentaţi grafic funcţia. 5. rătaţi că ( ) ( ) x + x + 1 x =, pentru x { ± }. x 4 x +. Recapitulare finală 19

130 SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată este reprezentat schematic un teren agricol de forma D şi o suprafaţă de păşune D. Ştim că = 00 dam şi D = 40 dam, iar ED = x. a) flaţi, în funcţie de x, suprafaţa păşunii D. b) Determinaţi suprafaţa terenului agricol D. c) Dacă E este mijlocul lui (), iar m( ED) = 60, determinaţi valoarea lui x. d) Ştiind că pe terenul agricol se cultivă grâu, iar recolta de grâu a fost de 000 kg/ha, aflaţi câte tone de grâu s-au recoltat.. Un foraj marin este ilustrat schematic în figura de mai jos. VD este o piramidă patrulateră regulată iar (MNP) (). Dacă = 0 8 m; MP = 10 8 m, iar O'O = 18 m. a) Determinaţi aria trapezului PM. b) flaţi volumul VMNPQ, ştiind că acesta va fi umplut cu ciment. M N D E O O' V Q D P Testul 58 (utor: prof. Nadia ărbieru) (areme la pagina 56) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului: ( ) 0 + ( 1) 5 este egal cu.... Media aritmetică a numerelor a = 8 şi b = 6+ este.... Mulţimea soluţiilor reale ale inecuaţiei x + 1 < 5x este Suplementul unghiului de 70 este egal cu Volumul unui cub este egal cu 16 cm. ria totală a cubului este egală cu... cm. 6. Într-un depozit s-a adus marfă, astfel încât depozitul a fost plin. onform diagramei, procentul de smochine din cantitatea de marfă reprezintă...% 4% mere smochine 6% portocale 8% pere antitatea de marfă 10 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

131 SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi cubul D'''D'.. Un turist parcurge un drum în două etape. În prima etapă a parcurs din drum, iar în ultima etapă a parcurs 150 km. flaţi lungimea drumului.. a) Determinaţi numerele raţionale a şi b ştiind că: a+ b = 5b a+ 7. b) Fie mulţimea = { 7; 56; 0,4; ; 5; 8,4. flaţi elementele mulţimii = {x x є, x є }. 4. Fie funcţia f :, 1 f( x) = x. alculaţi f(1) + f() + f() f(10) rătaţi că x 4 56 = (x 4)(x + 4)(x + 16). SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Un triunghi este reprezentat în figura alăturată. vem: = 8 cm, m( ) = 90, m( ) = 60, D. a) flaţi lungimile laturilor şi. b) alculaţi distanţa de la D la centrul cercului circumscris triunghiului. c) Dacă DE, E є (), aflaţi E. d) flaţi raportul dintre aria suprafaţei D şi aria suprafeţei.. În figura alăturată, ''' este un trunchi de piramidă triunghiulară regulată cu O = dam, O = dam, = 7 dam. a) flaţi suprafaţa laterală a trunchiului. b) alculaţi volumul '''. D ' M' O' ' O M '. Recapitulare finală 11

132 Testul 59 (utor: prof. Marinela anu) (areme la pagina 57) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului: (16 : ) 4 este egal cu.... După o reducere cu 10%, preţul unei cărţi a devenit 7 lei. Preţul iniţial a fost...lei.. Fie mulţimile = {1; 4; 7} şi = {0; 4; 7}. Mulţimea = {...}. 4. Un cerc are diametrul de 0 cm. Lungimea cercului este egală cu...cm. 5. Un zar are muchia de 8 mm. ria laterală a zarului este egală cu... mm. 6. Un canal plin cu apă este mărginit de dreptele paralele d şi d'. cest canal este traversat de un pod p ca în figura de mai jos. Valoarea de adevăr a propoziţiei: Unghiurile 1 şi 7 sunt congruente este... 7 p SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată de vârf V şi bază.. e notă trebuie să obţină un elev la istorie, dacă el are deja o notă de 5 şi una de 6 şi doreşte să aibă media 7?. Pentru a face înconjurul unei grădini pătrate, o persoană are nevoie de 1 minute. ceasta face 100 de paşi pe minut. Lungimea unui pas este egală cu 50 cm. a) flaţi perimetrul grădinii. b) are este suprafaţa grădinii? 4 x 5x rătaţi că raportul reprezintă un număr natural, oricare ar fi x natural mai mare decât. x x x+ 5. Fie f :, f(x) = x + 4. flaţi punctul de pe grafic ale cărui coordonate sunt numere opuse. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete.. 1. Se consideră trapezul isoscel D, D, [D] [D] [], = 5 cm, m( ) = 60 a) rătaţi că. b) Dacă M este mijlocul laturii [], arătaţi că DM este romb şi DM. c) Dacă D = {P}, calculaţi perimetrul triunghiului P.. Dintr-o prismă de metal, triunghiulară regulată, cu latura bazei de dm şi înălţimea de 6 dm, se scoate o piramidă cu aceeaşi bază şi aceeaşi înălţime cu prisma. Din metalul rămas se toarnă, prin topire, o nouă prismă triunghiulară regulată cu înălţimea de 1 dm. a) flaţi volumul prismei de metal. b) alculaţi volumul piramidei care se scoate. c) Determinaţi lungimea laturii bazei prismei noi obţinute. 1 Matematică pentru Evaluarea Naţională d' d

133 Testul 60 (utor: prof. Marinela anu) (areme la pagina 58) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. ( ) ( ) 1. Rezultatul calculului: : este egal cu.... dm =...l. a. Dacă 9 b = 6a, atunci are valoarea... b a 4. Un triunghi isoscel are m( ) = 0 şi [] []. Măsura unghiului este egală cu Rezultatul calculului: ( ): este egal cu Într-o grădină, terenul este împărţit în parcele: D una în formă de pătrat D cu = 10 m şi alta de forma unui triunghi dreptunghic isoscel DE, ca în figura alăturată. ria terenului ED este egală cu...m. E SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Suma a două numere naturale este 95. Împărţindu-l pe unul dintre ele la celălalt obţinem câtul şi restul 15. flaţi cele numere.. Fie = {x x є şi x } şi = {x x є R, x 1 = 0}. Determinaţi elementele mulţimii.. 8 caiete şi 6 pixuri costă 5 lei iar 7 caiete şi 14 pixuri costă 6 lei. ât costă un caiet şi cât costă un pix? 4. inci muncitori termină o lucrare în ore şi 48 minute. âţi muncitori trebuie să lucreze pentru a termina aceeaşi lucrare în 1 oră şi 45 minute? 5. Se dă funcţia f :, f(x) = x 5. Să se determine a є, astfel încât punctul M(a; a ) є G f. x+ 6 x 6. Se dă expresia Ex ( ) = ( x 6) +, unde x є \ {±}. x 9 Rezolvaţi ecuaţia E(x) = 5. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. O sală de conferinţe de formă dreptunghiulară cu lungimea de 4 m şi lăţimea de 15 m se parchetează cu parchet având forma de dreptunghi, cu dimensiunile de 5 cm şi 8 cm. flaţi: a) aria podelei sălii de conferinţe; b) câte bucăţi de parchet sunt necesare pentru acoperirea podelei întregii săli? c) cu câţi dm trebuie mărită aria sălii pentru a se obţine aria unui pătrat cu latura de 19 m?. Recapitulare finală 1

134 . coperişul unui turn este de forma unui tetraedru regulat D cu aria totală egală cu 6 cm. a) rătaţi că înălţimea O a acoperişului are lungimea egală cu 6 cm. b) alculaţi volumul acoperişului. c) alculaţi distanţa de la mijlocul M al laturii [D] la faţa (). Testul 61 (utor: prof. Marinela anu) D M (areme la pagina 59) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Fie numărul n = 0,(). Valoarea lui n este.... Se dă fracţia 4 6x. Fracţia este număr natural dacă x є {...}.. Într-un coş sunt 60 de mere dintre care 10 sunt stricate. Probabilitatea ca luând la întâmplare un măr, acesta să fie bun, este egală cu Un gard de forma unui pătrat are 16 m. Diagonala pătratului este egală cu...m. 5. Pentru a vopsi o faţă a unui cub este necesar un kg de vopsea. Pentru a vopsi întregul cub este nevoie de...kg de vopsea. 6. Triunghiul oarecare are aria egală cu 80 cm. Fie D simetricul lui faţă de dreapta. ria patrulaterului D este egală cu...cm. SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi pe foaia de examen, o bară în formă de prismă patrulateră regulată D'''D'.. Fie x = ( ) 80 : : ( 9) 5 + ( 5) 0. Verificaţi dacă x є ( 104 ; ).. Mai multe persoane vor să cumpere un obiect. Dacă fiecare persoană contribuie cu câte 5 lei, nu ajung 50 lei, iar dacă fiecare persoană dă câte 5 lei, sunt în plus 40 lei. a) âte persoane sunt? b) ât costă obiectul? 4. Fie funcţia f :, f( x) = (m ) x+. a) flaţi m є astfel încât reprezentarea grafică a funcţiei trece prin (1; 4). b) Pentru m = 1, calculaţi aria cuprinsă între graficul funcţiei şi axele de coordonate. 14 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

135 SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Un bidon cu 10 l de vopsea este suficient pentru a vopsi o suprafaţă de 50 m. âtă vopsea este necesară pentru a vopsi lambriului unei clase, ştiind că lungimea clasei este de 8,50 m, lăţimea de 6 m, iar înălţimea lambriului este 1,0 m? (Nu luăm în considerare golurile ferestrelor şi uşa). (10p). Pentru construcţia unei clădiri se folosesc cărămizi cu dimensiunile de: 6 cm, 1 cm şi 4 cm. Întreaga clădire are 46 m de zidărie, iar într-un metru cub de zidărie intră 440 de cărămizi. a) âte cărămizi sunt necesare? b) are este volumul cărămizilor? c) âţi metri cubi de mortar se folosesc pentru construcţia clădirii? d) ât la sută din volumul zidului reprezintă mortarul la metrul cub de zidărie? Testul 6 (utor: prof. Marinela anu) (areme la pagina 60) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Fie mulţimea 9 9 ì,(); 1,75; ; 7; ; ü = ï í - - ï ý. Elementele din mulţimea care au ïî 4 10 ïþ valoare absolută mai mică decât sunt.... dintr-o oră reprezintă...minute. 4. Într-o clasă sunt 40 de elevi din care 55% sunt fete. Numărul băieţilor din clasă este egal cu Unghiul dintre acele unui ceasornic ce arată ora şi 0 de minute, are măsura de O cutie are forma de prismă dreaptă cu baza pătrat. Latura bazei este dm, iar muchia laterală 5 dm. Volumul cutiei este egal cu...dm. 6. Un triunghi isoscel are laturile egale şi cu lungimile de 10 cm, iar baza este de 16 cm. Înălţimea (D) a triunghiului are lungimea egală cu...cm. SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi pe foaia de examen, un rezervor de forma unui paralelipiped dreptunghic.. Poetul Mihai Eminescu a trăit 9 de ani şi 5 luni. Ştiind că a murit la 15 iunie 1889, aflaţi la ce dată s-a născut poetul.. Într-un club sportiv sunt mai puţin de 00 de copii. Dacă se împart în echipe de câte 6, de câte 7 sau de câte 8 copii, rămâne de fiecare dată o echipă incompletă de câte copii. âţi copii sunt în acel club sportiv?. Recapitulare finală 15

136 4. O bucată de sfoară trebuie tăiată în două părţi ale căror lungimi să fie în raportul 5, iar prima parte trebuie să fie cu 5 cm mai lungă decât 5 din toată bucata de sfoară. flaţi 9 lungimile celor două părţi. 5. Un trapez isoscel are baza mare egală cu x + 1, latura neparalelă egală cu x 1 şi perimetrul egal cu 4x + 1. flaţi baza mică a trapezului (exprimată cu ajutorul lui x). SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Piciorul unui munte este la 900 de m deasupra nivelului mării şi vârful muntelui la 1500 m. Un teleski care porneşte de la piciorul muntelui până la vârful lui are o lungime de 800 m. La 00 m de la vârful muntelui se află o cabană. La ce înălţime deasupra nivelului mării este situată cabana? (10p). Pe un teren în formă de triunghi dreptunghic cu cateta = 0 m şi ipotenuza = 4 m se marchează un dreptunghi DEF, înscris în acest teren (D є [], E є [], F є []). Perimetrul dreptunghiului este 4,8 m. Pe acest contur DEF se sapă o piscină în formă de paralelipiped dreptunghic având adâncimea de 7,5 m. flaţi: a) lungimea catetei []; b) dimensiunile dreptunghiului DEF; c) aria bazei piscinei; d) volumul piscinei exprimat în l. Testul 6 (utor: prof. Marinela anu) (areme la pagina 61) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Dacă x = + atunci 1 x + este egal cu... x. Ultima cifră a produsului este egală cu.... Soluţia reală a ecuaţiei 4x + 7 = 7 este O placă dreptunghiulară este de două ori mai lungă decât lată. Perimetrul este egal cu 4 m. ria plăcii este egală cu... m. 5. Un vas de forma unui paralelipiped cu baza pătrat, a cărui arie este 400 dm are înălţimea de ori mai mare decât perimetrul bazei. Volumul vasului este egal cu...m. 6. O busolă are acul magnetic de forma unui romb cu diagonalele de 0 mm şi 16 mm. Perimetrul rombului este egal cu... mm. 16 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

137 SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă patrulateră regulată cu vârful V în jos şi baza D.. Suma numerelor ce reprezintă vârstele a doi fraţi este 1. Peste câţi ani suma vârstelor lor va fi 9?. a) Dacă a + b = 5, calculaţi a + a + ab + b + b. b) Ştiind că x y = 70 şi x y = 5, aflaţi media aritmetică a numerelor x şi y. 4. Trei ingineri au executat un proiect astfel: primul 40% din proiect, al doilea 1 din rest plus 5% din tot proiectul, iar al treilea restul proiectului. a) ât la sută din proiect a executat al treilea inginer? b) e sumă de bani a primit fiecare inginer, dacă întregul proiect a costat lei? SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Un panou publicitar este dreptunghiular, are lungimea de 9 ori mai mare decât lăţimea şi perimetrul de 0 m. flaţi: a) dimensiunile dreptunghiului; b) câte cutii de vopsea sunt necesare pentru a vopsi panoul, dacă la 60 dm se consumă o cutie? c) perimetrul unui pătrat echivalent cu dreptunghiul.. a) O masă de biliard se sprijină pe 4 picioare egale ce au forma unor prisme drepte cu bazele triunghiuri echilaterale. Latura bazei este de 6 cm, iar înălţimea piciorului de 8 dm. Să se afle volumul lemnului folosit la construcţia picioarelor. b) Masa de biliard are forma unui paralelipiped dreptunghic cu lungimea de m şi lăţimea de 1,5 m. flaţi câţi m de material sunt necesari pentru a acoperi tăblia mesei. c) Ştiind că 1 m de material costă 5 lei, calculaţi preţul materialului folosit la acoperirea mesei.. Recapitulare finală 17

138 Testul 64 (utor: prof. ostică Lupu) (areme la pagina 6) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 5 : este egal cu a zecimală a numărului 1,(16) este..... Media geometrică a numerelor a = 7 şi b = + 7 este Desenaţi un trapez dreptunghic. Dacă lungimile bazelor sunt egale cu 4 şi respectiv 6 cm, atunci lungimea liniei mijlocii a trapezului este egală cu...cm. 5. Un cub are volumul de 8 cm. Lungimea diagonalei cubului este egală cu... cm. 6. Suma a două numere este 66 7 şi unul dintre ele este 10% din celălalt număr. Media geometrică a celor două numere este egală cu.... SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Două D-uri şi un stick costă 84 lei, iar 1 D şi stick-uri costă 117 lei. are este costul fiecărui obiect?. Tatăl şi fiul au împreună 48 de ani. e vârstă are fiecare, dacă tatăl este de ori mai în vârstă decât fiul?. Se consideră funcţiile: f :, f(x) = x + 1 şi g :, g(x) = x +. a) Determinaţi coordonatele punctului de intersecţie a graficelor celor două funcţii. b) flaţi valoarea sumei S = f(1) + f() f(01) + g(1) + g() g(01). 4. alculaţi numerele naturale a, b, c, ştiind că sunt direct proporţionale cu numerele,, 5 şi că a + 5b + 7 c = alculaţi partea întreagă a lui E(0), dacă E(x) = (x ) + 1 x. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. O piramidă patrulateră regulată VD are latura bazei de 1 cm şi înălţimea VO de 8 cm. a) alculaţi aria laterală a piramidei. b) Întoarcem piramida cu vârful în jos şi o umplem cu apă. âţi mililitri de apă încap? c) La ce distanţă faţă de bază trebuie să vărsăm apa astfel încât volumul apei rămase să fie jumătate din volumul piramidei pline? d) flaţi valoarea sinusului unghiului diedru determinat de planele (V) şi ().. Familia Ionescu doreşte să construiască un cort de forma unui paralelipiped dreptunghic având lungimea de 4 m, lăţimea de m şi înălţimea de,5 m. a) alculaţi lungimea fierului beton necesar construirii cadrului metalic al cortului dacă la partea de deasupra se mai sudează două bare ce unesc mijloacele lungimilor şi respectiv lăţimilor. b) flaţi câţi m de pânză sunt necesari pentru acoperirea cadrului metalic, dacă la coasere se pierde 10% din suprafaţa pânzei. 18 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

139 Testul 65 (utor: prof. ostică Lupu) (areme la pagina 6) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Media geometrică a numerelor 4 şi 9 este..... Scrisă sub formă de număr zecimal, fracţia 7 este Dacă x + y 5 + ( x y+ ) 0, atunci perechea (x, y) este Într-o urnă sunt 10 bile albe şi 15 bile roşii. Probabilitatea ca, extrăgând la întâmplare o bilă, aceasta să fie roşie este Volumul unui paralelipiped dreptunghic care are dimensiunile (în cm) proporţionale cu numerele, 4, 6 şi diagonala de 4 14 cm este egal cu Un obiect costă 500 lei. Preţul obiectului, după o scumpire cu 10% şi apoi o reducere cu 0%, va fi...lei. SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. x flaţi valorile întregi ale lui x pentru care fracţia Î {1}. x 1. Determinaţi cel mai mic număr natural, diferit de zero, care împărţit la 4 dă restul 10, împărţit la 40 dă restul 6 şi împărţit la 50 dă restul 6.. Se consideră funcţiile: f :, f(x) = x 1 şi g :, g(x) = x +. a) flaţi coordonatele punctului de intersecţie a graficelor celor două funcţii. b) alculaţi suma S = f(1) + f() f(01) + g(1) + g() g(01). 4. Produsul a două numere este 14. Dacă din primul număr se scade 6 atunci produsul se micşorează cu 4. flaţi numerele. 5. alculaţi partea întreagă a lui E(0), dacă E(x) = (x + ) x. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Fie o piramidă triunghiulară regulată V de bază (), iar M este mijlocul laturii (). a) Realizaţi desenul piramidei şi al segmentului [VM]. b) Ştiind că latura bazei este de 1 cm, iar perimetrul unei feţe laterale de cm, calculaţi aria laterală a piramidei. c) alculaţi înălţimea piramidei. d) flaţi volumul piramidei.. O cutie fără capac, din tablă, având forma unui paralelipiped dreptunghic, se desfăşoară după un dreptunghi cu lungimea de 6 cm şi lăţimea de 4 cm şi un altul lipit cu dimensiunile de 1 cm, respectiv 6 cm. a) flaţi suprafaţa cutiei fără capac. b) alculaţi volumul cutiei.. Recapitulare finală 19

140 Testul 66 (utor: prof. ostică Lupu) (areme la pagina 64) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Soluţia reală a ecuaţiei 1,()x + 4 = 0 este..... Scris sub formă de număr zecimal, fracţia 9 este el mai mare divizor comun al numerelor 18, 6 şi 7 este de robinete umplu un bazin în 1 ore. 15 robinete umplu acelaşi bazin în... ore. 5. Un cub are aria totală egală cu 1176 cm. Latura cubului are lungimea egală cu... cm. 6. Radu este cu 4 ani mai mare decât Mircea, iar suma vârstelor celor doi copii este ani. Vârsta lui Radu este de... ani. SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. x+ y = 7 1. Rezolvaţi sistemul de ecuaţii. x y = 5. Să se rezolve ecuaţia x =.. Se consideră funcţia f :, f(x) = x + 1. a) Determinaţi coordonatele punctelor, de intersecţie a reprezentării grafice a funcţiei cu axele Ox respectiv Oy. b) flaţi valoarea sumei S = f( 01) + f( 011) f( ) + f( 1) + f(0) + f(1) + f() f(011) + f(01). 4. Într-o magazie sunt 90 kg de pere şi 1170 kg de mere. În fiecare zi se scot câte 0 kg de pere şi 0 kg de mere. După câte zile cantitatea de pere din magazie va fi cât trei sferturi din cantitatea de mere? 5. flaţi lungimea diagonalei unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de: 9 cm, 1 cm şi 15 cm. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Fie o piramidă patrulateră regulată VD cu baza D şi centrul bazei O. a) Realizaţi desenul piramidei şi fixaţi centrul bazei O. b) Ştiind că latura bazei este de 16 cm, iar aria secţiunii ce trece prin mijloacele a două laturi opuse ale bazei şi vârful V este 48 cm, calculaţi aria laterală a piramidei. c) flaţi volumul piramidei. d) alculaţi distanţa de la centrul bazei O la planul (V).. În cubul D'''D', se consideră punctele: M mijlocul segmentului ('D') şi P mijlocul segmentului (D). a) flaţi lungimea muchiei cubului, ştiind că MP =5 6 cm. b) Dacă N este mijlocul muchiei D, calculaţi volumul corpului rămas după eliminarea piramidei MNDD'P. 140 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

141 Testul 67 (utor: prof. ostică Lupu) (areme la pagina 65) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Soluţia ecuaţiei x 1 = este..... Numărul soluţiilor naturale ale inecuaţiei x < 17 este..... ria totală unui tetraedru regulat cu muchia de 6 cm este egală cu Rombul cu diagonalele de 6 cm şi 10 cm are aria egală cu Punctul de coordonate egale ce aparţine reprezentării geometrice a graficului funcţiei f :, f(x) = 4x 6 este Diferenţa a două numere este cât a cincea parte din numărul mic. Raportul celor două numere este.... SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. rătaţi că n + 4( n+ 1) este număr natural pentru orice n Î.. alculaţi media geometrică a numerelor 5 6 şi În triunghiul dreptunghic, m( ) = 90º şi D, iar D = 4 cm, D = 9 cm. a) alculaţi lungimea înălţimii D. b) alculaţi sin(m( )). 4. Într-o clasă numărul fetelor este de ori mai mic decât numărul băieţilor. Dacă pleacă 4 băieţi şi vine o fată, numărul băieţilor va fi de ori mai mare decât al fetelor. âţi băieţi şi câte fete sunt în clasă? 5. âţi litri de apă încap într-un vas cubic cu muchia de lungime m? SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Fie o piramidă patrulateră regulată VD cu baza (D) şi centrul bazei O. a) Realizaţi desenul de piramidei şi fixaţi centrul bazei O. b) Ştiind că latura bazei are lungimea 16 cm şi muchia laterală face cu planul bazei un unghi de 60º, calculaţi înălţimea piramidei. c) flaţi volumul piramidei. d) alculaţi distanţa de la punctul O la muchia V.. Ştiind că latura cubului are lungimea 1 cm, aflaţi: a) lungimea diagonalei cubului; b) sinusul unghiului dintre diagonala cubului şi planul bazei.. Recapitulare finală 141

142 Testul 68 (utor: prof. ostică Lupu) (areme la pagina 66) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Mulţimea soluţiilor ecuaţiei x(x + 5) = 0 este..... el mai mare număr natural care verifică inegalitatea x 4 < 17 este..... Diagonala cubului cu muchia de dm are lungimea egală cu... cm. 4. ria totală a tetraedrului regulat cu muchia de cm este egală cu...cm. 5. Numărul real m pentru care ecuaţia x = mx, x Î, are soluţia 1 este Dintre numerele şi mai mic este numărul.... SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Fie E(n) = , n Î. Demonstraţi că E() este natural. n + 1 n + 7(6 n + 5). Fie expresia E(x) = x 1, x Î. flaţi soluţia negativă a ecuaţiei E(x) = 5.. În triunghiul dreptunghic, m( ) = 90º, ipotenuza = 8 cm şi raportul catetelor este 4. a) alculaţi lungimile catetelor. b) Dacă M este mijlocul lui [], calculaţi valoarea sin (m( M)). 4. Mihai are cu 80 lei mai mult decât lexia. Dacă Mihai cheltuieşte un sfert din suma sa, iar lexia o jumătate din suma sa, băiatul are tot cu 80 lei mai mult decât fata. e sumă are fiecare copil? 5. Determinaţi măsurile unghiurilor triunghiului, ştiind că sunt direct proporţionale cu numerele 1, şi 6. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Fie o prismă dreaptă cu baza un triunghi echilateral, a cărei secţiune ce conţine axa centrelor bazelor şi o muchie laterală de 4 cm este un dreptunghi de arie 1 cm. a) Realizaţi desenul prismei. b) alculaţi aria laterală a prismei. c) flaţi volumul prismei. d) Determinaţi valoarea tangentei unghiului determinat de o diagonală a secţiunii şi planul ().. În triunghiul, cu m( ) = 90º şi m( ) = 0º, construim înălţimea D, D Î. a) Demonstraţi că = 4D. b) Dacă D = 4 cm, calculaţi aria triunghiului. 14 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

143 Testul 69 (utor: prof. Marilena Faiciuc) (areme la pagina 67) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. el mai mare număr par de cifre este.... Un divizor al numărului 18 este.... Efectuând obţinem Perimetrul unui pătrat este 16 cm. tunci latura pătratului este egală cu...cm. 5. Dintre următoarele două numere:,1 şi, este mai mare ria laterală a unui paralelipiped dreptunghic cu laturile bazei de 6 cm şi 8 cm şi înălţimea de 5 cm este egală cu...cm. SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, un tetraedru regulat.. La un magazin, din cele 7 kg de banane, s-a vândut în prima zi o treime din cantitate, iar a doua zi jumătate din cantitatea rămasă. flaţi câte kg de banane au rămas în magazin.. Dacă elevii unei clase se grupează în rânduri de câte 6 elevi atunci nu rămâne niciun elev negrupat. La fel, dacă se grupează câte 8 elevi pe un rând, nu rămâne niciun elev negrupat. a) Verificaţi dacă în clasă pot fi de elevi. b) flaţi câţi elevi sunt în clasă, ştiind că numărul acestora este mai mic decât Un produs care a fost ieftinit cu 0% costă acum 10 lei. flaţi preţul produsului înainte de ieftinire. 5. rătaţi că (x ) 16 = (x 7)(x + 1), pentru orice x număr real. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. O grădină de formă dreptunghiulară D are lungimea de 1 m şi lăţimea de 6 m. D a) Dacă se construieşte un gard care împrejmuieşte grădina format din 5 rânduri de sârmă, aflaţi lungimea sârmei necesare. P M N b) alculaţi distanţa cea mai mare dintre două puncte ale grădinii. c) Dacă se construieşte o magazie de forma unui pătrat MNP în colţul grădinii cu latura M = 1 m, calculaţi aria suprafeţei rămase pentru cultivat. d) Dacă, după construirea magaziei, suprafaţa rămasă a grădinii se împarte în suprafeţele MPD şi DNP, calculaţi ariile celor două suprafeţe.. Un bloc turn are forma paralelipipedului dreptunghic D'''D' cu dimensiunile = 16 m, = 10 m, ' = 0 m. D' ' a) alculaţi distanţa de la D' la. b) Dacă trebuie izolat acoperişul blocului şi se ştie că un muncitor izolează 1 m în ore, aflaţi câţi muncitori trebuie angajaţi ' ' pentru a termina izolarea blocului în 5 zile, dacă toţi au acelaşi ritm D de lucru şi lucrează 8 ore pe zi.. Recapitulare finală 14

144 Testul 70 (utor: prof. Marilena Faiciuc) (areme la pagina 68) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului este.... Un multiplu al numărului 1 este.... Numărul natural exprimat din egalitatea 4 = este... x 5 4. Volumul cubului cu latura de m este egal cu...m m =...dm. 6. La teza la matematică notele unei clase au fost: note de 4; note de 5; 4 note de 6; 6 note de 7; 5 note de 8; note de 9 şi note de 10. Media notelor obţinute de elevi la teză este... (5p SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o prismă triunghiulară regulată.. Un agricultor are 0 kg de miere pe care le pune în borcane de câte 500 g fiecare. flaţi de câte borcane are nevoie pentru a pune întreaga cantitate în borcane.. Fie f :, f(x) = x 5. a) Reprezentaţi grafic funcţia f. b) Determinaţi coordonatele punctului de pe reprezentarea grafică a cărei ordonată este egală cu triplul abscisei. 4. Fie E(x, y) = x + y 6x + 4y + 1. a) alculaţi valoarea expresiei pentru x = şi y =. b) rătaţi că E(x) 0 pentru orice x şi y numere reale. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată, este reprezentată o pârtie pe care schiorii pornesc din şi ajung în. Se ştie că D m( ) = 90, = 100 m şi = 0 m. a) rătaţi că lungimea pârtiei () este mai mică de 10 m. E b) alculaţi tangenta m( ). c) âţi m are înălţimea (DE) la care se găseşte un schior care a parcurs o cincime din lungimea pârtiei?. Trebuie săpat un şanţ în formă de paralelipiped dreptunghic lung de 0 m, adânc de 1,5 m şi lat de 1 m. ' D' D ' ' a) are este volumul şanţului? b) S-a calculat că o echipă de muncitori ar finaliza lucrarea în 0 de ore. După 10 ore rămân doar muncitori. flaţi după câte ore aceşti muncitori vor termina lucrarea dacă păstrează acelaşi ritm de lucru? c) âţi cm ar mai trebui săpaţi în adâncime pentru ca volumul să fie de 40 m? 144 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

145 Testul 71 (utor: prof. Marilena Faiciuc) (areme la pagina 69) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului este egal cu Scrisă ca interval, mulţimea {x є s 1 x P 5} este.... Media geometrică a numerelor 4 şi 9 este ria totală a unui cub cu latura de 4 cm este egală cu Diagonala unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de 1 cm, 16 cm şi 15 cm are lungimea egală cu... cm. 6. Soluţia ecuaţiei 6 : x = 1 este... SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, un trapez dreptunghic.. Pentru o serbare se cumpără kg de bomboane cu preţul de 15 lei kilogramul şi kg cu 10 lei kilogramul. flaţi preţul mediu al unui kg de bomboane.. Într-un bloc sunt 55 de apartamente, unele cu camere şi altele cu camere, în total 145 de camere. a) Stabiliţi dacă în bloc pot fi 0 de apartamente cu camere. b) alculaţi câte apartamente sunt cu camere şi câte cu camere. 4. alculaţi ( 5) ( 5) Determinaţi valoarea lui x є pentru care egalitatea (x ) = (x )(x 5) este adevărată. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Fie rombul D, cu = 6 m şi m(rd) = 60. a) alculaţi lungimea diagonalei (). b) alculaţi distanţa de la la D. O D c) Dacă paralela prin la D intersectează dreapta D în punctul M, calculaţi lungimea segmentului (M).. O piesă are forma unei piramide patrulatere regulate VD cu latura bazei = 1 cm şi muchia laterală V = 4 cm. V a) alculaţi lungimea înălţimii piramidei. b) rătaţi că ( V) ^ ( VD) c) alculaţi distanţa de la punctul de intersecţie a diagonalelor bazei la o faţă laterală.. Recapitulare finală D 145

146 Testul 7 (utor: prof. Marilena Faiciuc) (areme la pagina 70) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 1 5 este.... Scris ca putere cu baza numărul 16 este egal cu.... Un produs are preţul de 150 lei. După o reducere de 10% acesta va costa...lei. 4. potema unui triunghi echilateral cu latura de cm este egală cu...cm. 5. Pe planul pătratului D cu latura = 4 cm se ridică perpendiculara M ^ ( ) cu M = 1 cm. Distanţa de la M la D este egală cu...cm. 6. Volumul unei piramide triunghiulare regulate cu latura bazei de 5 cm şi înălţimea de 1 cm este egal cu... cm. SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un trapez isoscel D.. Un elev a citit 160 de pagini dintr-o carte, ceea ce reprezintă 4 din totalul numărului de 5 pagini. flaţi câte pagini are cartea.. Fie expresia Ex ( ) = x a) alculaţi E( 1) + E(1). x, unde x є \ {; }. 5x+ 6 b) rătaţi că 1 Ex ( ) = x. c) flaţi x є, pentru care E(x) є. 4. alculaţi ( ) SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Triunghiul este isoscel cu = = 1 cm şi = 10 cm, iar MNPQ este un pătrat cu M, N є () P є () şi Q є (). a) alculaţi aria triunghiului. Q P b) Dacă MN = x cm, exprimaţi aria triunghiului PN în funcţie de x. c) Determinaţi valoarea lui x. M N. Un cort are forma unei piramide patrulatere VD cu latura bazei = 4 dm şi înălţimea VO = 16 dm. V a) alculaţi aria suprafeţei laterale a piramidei. b) alculaţi tangenta măsurii unghiului diedru format de o faţă laterală cu planul bazei. D c) alculaţi sinusul unghiului format de V cu planul (VD). O 146 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

147 Testul 7 (utor: prof. Marilena Faiciuc) (areme la pagina 71) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului,5 6 este.... Dintre 5 şi 7 mai mare este numărul.... Dacă = {1,, 8, 9} şi = {1,,, 5} atunci = ria unui cerc cu raza de 5 cm este egală cu... cm. 5. Lungimea diagonalei unui cub cu latura de 6 cm este egală cu...cm. 6. Volumul unui tetraedru regulat cu latura de m este egal cu...m. SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi o piramidă triunghiulară regulată.. Pentru o intrare la o piscină, un elev trebuie să plătească 7 lei, iar un abonament pentru o lună costă 50 lei. Un elev vrea să meargă la piscină într-o lună de 8 ori. Este rentabil să-şi facă abonament? Justificaţi răspunsul.. Un turist parcurge 0 km în zile astfel: în prima zi parcurge 0% din drum, a doua zi 50% din cât a rămas şi în a treia zi restul drumului. a) flaţi câţi km a parcurs în prima zi. b) flaţi câţi km a parcurs în a treia zi. 4. Fie funcţia f :, f(x) = x 4. a) Reprezentaţi grafic funcţia f. b) flaţi a є, pentru care f(a) = 4a 1. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. O curte are forma unui dreptunghi D cu = 4 m, D = 15 m, M = 10 m, unde M є () reprezintă ieşirea din curte, iar M D = { N}. a) alculaţi distanţa d(, M). D M N b) alculaţi distanţa pe care o parcurge un copil pe o bicicletă, dacă porneşte din, trece prin M şi ajunge în punctul N. c) flaţi ce procent din aria dreptunghiului D reprezintă aria triunghiului M.. O piscină în formă de paralelipiped dreptunghic are lungimea de 50 m, lăţimea de 0 m şi adâncimea de m. a) alculaţi volumul bazinului. b) Dacă bazinul se umple cu apă până la înălţimea de,5 m, calculaţi câţi litri de apă intră în bazin. c) Dacă bazinul se umple prin 10 robinete prin care curg 50 l pe minut din fiecare, aflaţi în cât timp (exprimat în ore şi minute) se va umple bazinul până la înălţimea de,5 m.. Recapitulare finală 147

148 Testul 74 (utor: prof. drian iupitu) (areme la pagina 7) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului : 8 este egal cu... æ 1ù. el mai mare număr întreg din intervalul - ; - este... çè úû. 40% din 50 este egal cu Într-un cerc este diametru. Punctul se află pe cerc astfel încât arcele şi sunt congruente. Dacă raza cercului este de 5 cm, atunci lungimea coardei este egală cu...cm. 5. Un tetraedru regulat are muchia de 4 cm. ria totală este egală cu...cm. 6. În figura de mai jos, în sistemul de axe XOY sunt reprezentate punctele şi. Lungimea segmentului () este egală cu... y 4 1 O x SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, un cub DEFGH.. Un biciclist parcurge într-o zi 7 de km, iar a doua zi de două ori mai puţin. e distanţă a parcurs în cele două zile?. Într-un coş sunt mai multe nuci. Dacă nucile se împart în mod egal unui grup de 4, 5 sau 6 copii, în coş rămân de fiecare dată nuci. a) Verificaţi dacă pot fi 18 de nuci. b) are poate fi cel mai mic număr de nuci din coş înainte ca acestea să fie împărţite copiilor? 4. Se consideră funcţia f : (; + ), f(x) = x. Verificaţi dacă punctele M(; 0) şi N(; 1) aparţin reprezentării geometrice a graficului funcţiei. 5. rătaţi că (a ) a + = (a 1)(a )(a ), pentru orice a, număr real. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată, D este un trapez dreptunghic cu = 6 cm, = 9 cm, D = 1 cm, iar punctul M є (). N a) Dacă M = x, exprimaţi în funcţie de x, aria triunghiului M. b) flaţi M = x, astfel încât M = DM. D M 148 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

149 c) Ştiind că M = x = 6 cm, arătaţi că aria triunghiului MN, unde N este mijlocul segmentului [D] este egală cu 1 cm. d) Fie P mijlocul segmentului (D). Demonstraţi că PD este paralelogram, iar aria trapezului este egală cu trei ori aria triunghiului PD. S. În figura alăturată, SD este o piramidă patrulateră regulată cu S = 6 dm şi latura bazei = 6 dm. a) flaţi volumul piramidei SD. D b) alculaţi distanţa de la punctul la faţa laterală (S). O Testul 75 (utor: prof. drian iupitu) (areme la pagina 7) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului este egal cu.... Se consideră mulţimea = {x є s x < 11}. Numărul elementelor mulţimii este egal cu.... Media aritmetică a două numere este 5. Suma celor două numere este egală cu Un romb are perimetrul egal cu 48 cm. Lungimea unei laturi este egală cu...cm. 5. Diagonala unui cub este egală cu 4 cm. Volumul cubului este egal cu...cm. 6. Se consideră un disc. Porţiunea haşurată reprezintă din întregul disc un procent de...%. 45 O SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic.. Mama foloseşte din cele 18 ouă de care dispune la prepararea unui tort şi alte două ouă pentru omletă. âte ouă îi rămân?. Trei numere sunt direct proporţionale cu 6, 7 şi 15. a) Exprimaţi raportul dintre cel mai mic şi cel mai mare număr sub formă zecimală. b) flaţi cele trei numere dacă, împărţind numărul cel mai mare la cel mai mic obţinem câtul şi restul Se consideră f :, f(x) = x a. flaţi a є, astfel încât punctul M(1; 5), să aparţină graficului funcţiei. 5. rătaţi că x + 6 =, pentru x є \ { ; 1}. x + x x 1. Recapitulare finală 149

150 SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată, patrulaterul D este trapez D, = = D = 10 cm şi D a) rătaţi că este bisectoarea unghiului D. 10 b) alculaţi unghiurile trapezului c) Fie E D, E є (D). Demonstraţi că ED este romb. d) alculaţi perimetrul şi aria trapezului D. D. În figura alăturată, DEFGH este prismă patrulateră regulată cu lungimea laturii bazei de dm şi muchia laterală de lungime egală cu dm. a) Determinaţi măsura unghiului format de planele (F) şi (H). b) Verificaţi dacă într-un vas cu dimensiunile prismei DEFGH încap de litri de apă. E H D F G Testul 76 (utor: prof. drian iupitu) (areme la pagina 7) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului : 4 este egal cu.... Se consideră mulţimea ì 9; 16; ; 14 ü = ï í - ï ý. Mulţimea = {...} ïî 5 ïþ. Dacă 5% din numărul a reprezintă 0,5, atunci valoarea lui a este Perimetrul unui pătrat este egal cu 0 cm. ria pătratului este egală cu...cm. 5. O prismă patrulateră regulată are înălţimea de 8 cm şi latura bazei de 4 cm. Volumul este egal cu...cm. 6. În figura de mai jos, este reprezentat graficul funcţiei f : D. Mulţimea D are elementele: {...}. y 1 1 O x 150 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

151 SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen o piramidă patrulateră regulată, SD, de vârf S.. Dorina are cu 54 de nuci mai multe decât ndreea, ceea ce înseamnă că are de 7 ori mai multe nuci decât aceasta. âte nuci are fiecare?. După două scumpiri succesive, una de 5%, cealaltă de 4%, un obiect costă 546 lei. a) flaţi preţul iniţial al obiectului. b) Dacă preţul iniţial a fost 500 lei, aflaţi preţul după prima scumpire. 4. Determinaţi funcţia liniară f :, f(x) = ax + b, dacă punctele (; ) şi ( 1; ) aparţin reprezentării grafice a funcţiei f. 5. rătaţi că E(y) = (y ) (y ) + 1 se poate scrie ca un produs de pătrate perfecte. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată, D este un trapez dreptunghic cu D, m( ) = 90. Ştim că = cm, = 8 cm, D = 5 cm şi M є (). a) Să se afle M = x, astfel încât triunghiul MD să fie dreptunghic în M. b) Pentru x =, aflaţi MD. c) Pentru x =, calculaţi tg(m( MD)). d) Exprimaţi sub forma unui număr zecimal raportul. Prisma triunghiulară regulată DEF are latura bazei = 4 cm, iar înălţimea cm. alculaţi: a) volumul prismei; b) distanţa de la punctul la planul (D). D MD D M, pentru x =. E F D. Recapitulare finală 151

152 Testul 77 (utor: prof. drian iupitu) (areme la pagina 74) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 16 este egal cu.... Valorile naturale ale lui x pentru care x 4 0 sunt.... Dacă y =, atunci numărul y este egal cu ria unui dreptunghi este egală cu 4 cm iar lungimea sa este de 7 cm. Lăţimea este egală cu...cm. 5. Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile egale cu, respectiv 5 cm. Volumul este egal cu...cm. 6. Figura alăturată reprezintă graficul unui drum km pe care-l face un elev de la şcoală până 1 acasă: O (şcoala) şi (acasă). Distanţa parcursă a fost de...m. 0,5 D O minute SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi o piramidă triunghiulară regulată V de vârf V şi bază ().. Doi fraţi au economisit pentru vacanţă 00 lei. ât a economisit fiecare, dacă suma unuia este cu 0 de lei mai mare decât a celuilalt?. Fiul şi tatăl au vârsta de 16 ani, respectiv 40 de ani. a) u câţi ani în urmă tatăl a fost de trei ori mai în vârstă decât fiul? b) Peste câţi ani tatăl va fi de două ori mai în vârstă decât fiul? 4. rătaţi că produsul numerelor a = 7 75 şi b = 1 48 este un număr întreg. 5. Rezolvaţi inecuaţia: ( ) 1- x + în (mulţimea numerelor întregi negative). SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În dreptunghiul D cu = 10 cm şi = 0 cm, se duce M şi se prelungeşte astfel încât M D = {N}. a) alculaţi aria dreptunghiului. N M D b) flaţi raportul M M c) alculaţi MN. d) rătaţi că D = 1 MN 15 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

153 . O piramidă triunghiulară regulată S are latura bazei = 6 cm şi înălţimea SO = cm. a) alculaţi aria laterală şi volumul piramidei. b) rătaţi că S. Testul 78 (utor: prof. drian iupitu) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului + 10 este egal cu Numărul aa este divizibil cu 5. Valoarea cifrei a este egală cu.... Produsul dintre un număr şi inversul lui este egal cu ria rombului cu diagonalele de 6 cm şi 8 cm este egală cu...cm. 5. O prismă triunghiulară are toate feţele laterale pătrate egale cu latura de 6 cm. Volumul prismei este egal cu...cm. 6. Dacă 7 = a, a > 0, atunci a este egal cu... SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi o prismă patrulateră regulată D'''D' de bază (D).. alculaţi suma elementelor mulţimii [ ; 4).. alculaţi aria unui trapez cu bazele de 10 cm, cm şi înălţimea de ( 10- ) cm. 4. Pentru a confecţiona 4 bluze şi rochii, un croitor are nevoie de 14 m de pânză, iar pentru a confecţiona bluze şi rochii, de acelaşi fel, are nevoie de 1 m de pânză. a) flaţi câţi metri de pânză îi trebuie croitorului pentru a confecţiona o bluză, respectiv pentru o rochie b) âţi metri îi sunt necesari pentru a confecţiona bluze şi 4 rochii de acelaşi fel? S O (areme la pagina 75) 5. Se dă expresia: x 4 x x 4 F( x) = + x x, x є \ {}. rătaţi că 1 F( x) = x 1. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Se dă dreptunghiul D. Dimensiunile dreptunghiului sunt egale cu ( x + ) m, ( x- ) m, iar diagonala = 14 m. a) flaţi valoarea lui x. b) Pentru x =, calculaţi perimetrul şi aria dreptunghiului. c) alculaţi distanţa de la la diagonala. d) alculaţi aria discului cu diametrul egal cu.. În paralelipipedul dreptunghic D'''D' se cunosc = 8 cm, = 8 cm, iar triunghiul ' este isoscel. alculaţi: a) diagonala paralelipipedului; b) aria totală şi volumul.. Recapitulare finală 15

154 Testul 79 (utor: prof. Florentina Enea) (areme la pagina 76) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului : 5 este egal cu.... Fie mulţimile = { ; 1; 0; 1; } şi = { 1; 1; }. Mulţimea = {...}. Se aruncă un zar. Probabilitatea să iasă numărul 5 este egală cu Lungimea unui cerc este de 10p m. Lungimea diametrului cercului este de...m. 5. Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile de 6, 8 şi respectiv 10 cm. Lungimea diagonalei paralelipipedului este de...cm. 6. Într-o clasă de 5 elevi, la teza de la matematică s-au obţinut următoarele rezultate: 4 note de 4, 5 note de 5, note de 6, 5 note de 7, note de 8, 4 note de 9 şi o notă de 10. Media clasei este... SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen un tetraedru D.. O trotinetă costă 55 lei şi o bicicletă cu 40% mai mult. are este costul bicicletei?. Raportul a două numere este 1 şi suma lor tot atât. flaţi: 4 a) media aritmetică a numerelor 5p) b) media geometrică a celor două numere. 4. Se consieră funcţia f :, f(x) = x + 1. Determinaţi coordonatele punctului de intersecţie a reprezentării grafice a funcţiei cu axa Ox. 1 x x 5. Simplificaţi fracţia 1 9x 1, x є \ ±. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Fie triunghiul, m( ) = 90 ; m( ) = 60 ; = 8 cm şi D, D є (), ca în figura alăturată. a) alculaţi lungimea catetelor şi a înălţimii D. b) alculaţi distanţa de la D la centrul cercului D circumscris triunghiului. c) Dacă DE, E є (), aflaţi E. d) flaţi raportul dintre aria (D) şi aria ().. O piramidă patrulateră regulată VD are latura bazei de 1 cm şi apotema de 10 cm. V a) alculaţi volumul piramidei. b) Verificaţi dacă, într-un vas confecţionat sub formă de trunchi de piramidă dintr-un corp cu dimensiunile D piramidei VD, prin secţionarea cu un plan paralel O cu baza, situat la un sfert din înălţime faţă de bază, ar încăpea jumătate de litru de apă. M 154 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

155 Testul 80 (utor: prof. Florentina Enea) (areme la pagina 77) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 5 15 este egal cu.... Fie mulţimea = {x є < x + 1 }. Elementele mulţimii sunt.... Probabilitatea ca alegând un număr din mulţimea cifrelor, acesta să fie prim este Un paralelogram cu diagonalele de cm, respectiv cm şi măsura unghiului dintre ele de 45 are aria egală cu...cm. 5. Un tetraedru regulat cu muchia de 6 cm are aria totală egală cu...cm. 6. În figura alăturată, punctele D, E şi F, G împart laturile M (MN ) respectiv (MP) în trei segmente congruente. D F Dacă GE = 4 cm, atunci NP =...cm. E G N P SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o prismă triunghiulară regulată.. Dacă suma a două numere naturale consecutive este 9, determinaţi produsul lor.. După două scumpiri succesive una cu 5%, cealaltă cu 4% un produs costă 546 lei. a) flaţi preţul iniţial al produsului. b) u ce procent din preţul iniţial s-a mărit preţul preţul produsului, după cele scumpiri. 4. Se consideră funcţiile f, g :, f(x) = x +, g(x) = x 7. Determinaţi punctul de intersecţie a reprezentărilor grafice ale celor două funcţii. x 1 x 1 x+ 5. Fie expresia Ex ( ) = + 1, x є \ { 1}. Determinaţi x є pentru x+ 1 x+ 1 4 care E(x) є. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată, D este un trapez dreptunghic în, având bazele (D) şi respectiv () de lungimi 1 m şi 16 m şi m( ) = 60. D a) Determinaţi perimetrul trapezului. b) Dacă D reprezintă suprafaţa unui apartament, determinaţi câţi m de parchet sunt necesari pentru parchetarea întregului apartament. c) Dacă 1 m de parchet costă 0 lei, verificaţi dacă 900 lei sunt suficienţi pentru cumpărarea parchetului necesar.. Recapitulare finală 155

156 . O piramidă triunghiulară regulată are măsura unghiului format de muchia laterală cu planul bazei egal cu 60 iar lungimea înălţimii (VO) a piramidei egală cu 1 cm. a) rătaţi că = 1 cm. b) alculaţi d(o; V). c) La ce distanţă de vârf trebuie secţionată piramida cu un plan paralel cu baza astfel încât ariile laterale ale acelor două corpuri formate să fie egale? 60 V O Testul 81 (utor: prof. Florentina Enea) (areme la pagina 78) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 1 0, este egal cu Un divizor propriu al numărului 8 este.... Dacă a = 4 şi b + c = 19, atunci suma ab + ac este egală cu Un triunghi dreptunghic are catetele de 9 şi respectiv 1 cm. Lungimea înălţimii corespunzătoare ipotenuzei este egală cu...cm. 5. Suma lungimilor muchiilor unui cub este egală cu 10 cm. ria cubului este...cm. 6. În figura alăturată sunt reprezentate notele obţinute de cei 5 elevi ai unei clase la evaluarea naţională, pe tranşe de note. Numărul elevilor care au obţinut note între 7 şi 10 este... 0% note între 5 şi 7 0% note sub 5 note între 7 şi 10 SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi o piramidă patrulateră regulată SD.. Suma a două numere naturale este 1, iar suma inverselor lor este 0,6. flaţi numerele.. flaţi cel mai mic număr de mere care împărţit la cinci copii dă restul, împărţit la 6 copii dă restul 4 şi împărţit la 8 copii dă restul Determinaţi aria suprafeţei determinată de axele de coordonate şi reprezentarea grafică a funcţiei f :, f(x) = x +. n + 4n+ 5. a) rătaţi că este număr natural, oricare ar fi n număr natural. n + æx ö b) rătaţi că + x - x+ x + x+ x- ç : x =, oricare ar fi çè - ø x + 4x+ x -9 x+ 1 x є \ { ; ; 1; }. 156 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

157 SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată, D este un trapez dreptunghic în având bazele (D) şi () de cm, respectiv, 8 cm şi m( DM) = 90, unde M este mijlocul laturii []. a) Dacă = x, exprimaţi MD şi M în funcţie de x. b) onstruiţi DE şi exprimaţi D în funcţie de x D în două moduri, determinând x. c) alculaţi perimetrul trapezului. d) Determinaţi aria trapezului.. ubul D'''D' are muchia de 4 cm. a) alculaţi măsura unghiului format de dreptele D şi ''. b) alculaţi d(,(''d)). ' D D' ' ' Testul 8 (utor: prof. Florentina Enea) (areme la pagina 79) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Numărul cu 84 mai mic decât 14 este egal cu.... Dintre numerele 14 a = şi b = 7,45 mai mic este numărul.... Un sfert de oră are...minute. 4. Un pătrat are lungimea diagonalei de 6 cm. ria pătratului este egală cu...cm. 5. O prismă dreaptă are baza un triunghi echilateral cu latura de 6 cm şi înălţimea de 10 cm. ria laterală a prismei este egală cu...cm. 6. Imaginea funcţiei f : {0; 1; }, a cărei reprezentare grafică este dată în figura alăturată, este mulţimea{...}. y x SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un paralelipiped dreptunghic LGERI.. Perimetrul unui triunghi este egal cu 7 dm, iar lungimile laturilor lui sunt direct proporţionale cu numerele 6, 8 şi 10. flaţi aria triunghiului.. Recapitulare finală 157

158 . Dovediţi că numărul: é ù = ê ú este pătrat perfect. ë û a) ( ) p ê b) q = ( ) 110 este cub perfect. 4. Fie funcţia f :, f(x) = x +. Determinaţi distanţa de la punctul P(; 0) la G f. 5. flaţi valorile reale ale numerelor x şi y pentru care expresia Ex ( ) = x 6x y + 6y+ 10 are valoare minimă. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Se consideră triunghiul isoscel, cu = 6 cm şi = = 0 cm. flaţi: a) aria triunghiului şi lungimea înălţimii din ; b) cos(m( )); c) lungimea cercului circumscris triunghiului ; d) distanţa de la centrul cercului circumscris triunghiului la dreapta.. Fie ''' o prismă dreaptă cu baza triunghi echilateral şi ' ' = {O}, ' = {O'}, ' = 6 cm şi = 8 cm. a) alculaţi d(, OO'). b) flaţi aria totală a prismei. ' O ' O' ' Testul 8 (utor: prof. Florentina Enea) (areme la pagina 80) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Restul împărţirii numărului 406 la 9 este.... Valoarea expresiei 4x x + 8x 90 pentru x = este.... el mai mare număr de trei cifre care împărţit la 9 dă câtul 45 este Un trapez isoscel are baza mică de 7 cm, baza mare de 15 cm şi un unghi ascuţit de 45. ria trapezului este egală cu...cm. 5. Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile egale cu 5, 4 şi respectiv 10 cm. ria paralelipipedului este egală cu...cm. 6. Funcţia al cărui grafic este reprezentat în figura alăturată este f :, f(x) =... y (0; ) O (; 0) x 158 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

159 SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un cub D'''D'.. Rezolvaţi inecuaţia x 4> x Determinaţi numerele raţionale a şi b ştiind că a+ 6b = b a Fie funcţia f :, f(x) = x + 5. a) Determinaţi tangenta măsurii unghiului pe care îl face reprezentarea grafică a funcţiei cu axa Ox. 6 f( x) + 18 b) flaţi x є astfel încât є, x { 14 ; }. f ( x) 9 5. rătaţi că numărul ( ab) ( ba) - este divizibil cu 9, unde ab reprezintă un număr scris în baza 10, cu a 0 şi b 0. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În triunghiul, D, iar M, N şi P sunt mijloacele laturilor [], [] şi respectiv []. a) Demonstraţi că DNPM este trapez isoscel. b) Dacă = 0 cm, = 50 cm, = 40 cm, stabiliţi natura triunghiului şi calculaţi M P perimetrul trapezului. c) alculaţi aria trapezului. d) Demonstraţi că MDP. D N. Fie paralelipipedul dreptunghic D'''D', O mijlocul segmentului D şi M mijlocul segmentului. a) Demonstraţi că OM. b) Dacă paralelipipedul de dimensiuni a, b şi c îşi măreşte dimensiunea a cu x > 0, dimensiunea b cu x, iar dimensiunea c se micşorează cu x astfel încât aria totală rămâne neschimbată, arătaţi că noul paralelipiped nu poate fi cub.. Recapitulare finală 159

160 Testul 84 (utor: prof. Marinela Georgescu) (areme la pagina 8) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 64 : este egal cu.... Fie mulţimea 7 ì 8; 1; ; ; 0 ü = ï í- ï ý. Mulţimea = {...} ïî ïþ. el mai mare dintre numerele 1 şi este Latura unui triunghi echilateral are lungimea de 8 cm. Lungimea fiecărei linii mijlocii a triunghiului este egală cu...cm. 5. ria laterală a unui cub este egală cu 6 cm. Muchia acestui cub are lungimea egală cu...cm. 6. Toţi cei 0 de elevi ai clasei a V-a au participat la 4 concursuri pe discipline organizate în şcoală, 10% fiecare elev participând numai la un concurs. stfel, 40% conform diagramei au participat 40% la matematică, 0% 0% la biologie, 10% la geografie şi restul la concursul sportiv. Numărul elevilor care au participat la concursul sportiv este de... SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen un cub D'''D'.. Preţul unei cărţi este 7 lei iar preţul unui caiet este de ori mai mic. Ştefania cumpără o carte şi un caiet. âţi lei a plătit?. Un grup de copii a primit cărţi. Unul dintre ei a primit 4 cărţi iar ceilalţi câte 6 cărţi fiecare. Ştiind că, dacă fiecare copil ar fi primit câte 4 cărţi, ar fi rămas 8 nedistribuite, aflaţi: a) âţi copii sunt în grup? b) âte cărţi au fost în total? 4. Fie funcţia f :, f(x) = ax ; a є. Determinaţi numărul real a ştiind că M(; 17) aparţine reprezentării geometrice a graficului funcţiei f. 5. rătaţi că (1 + x) (1 x) = 1 + x x x + x 4 + x 5, pentru orice x număr real. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. x 1. În figura alăturată sunt ilustrate schematic două G parcele de teren agricol: D şi EFG, fiecare F având formă de dreptunghi. Se ştie că = 500 m, D = 100 m, EF = 00 m, D GF = x (x este o distanţă exprimată în metri). E 500 m a) Exprimaţi, în funcţie de x, perimetrul terenului agricol format din cele două parcele. 160 Matematică pentru Evaluarea Naţională m 00 m

161 b) Determinaţi x astfel încât ariile suprafeţelor celor două parcele să fie egale. c) Pentru x =,5 hm, aflaţi aria (în hm ) a parcelei EFG. d) Se consideră x = 50 m. Parcela D va fi însămânţată cu grâu, iar EFG va fi însămânţată cu porumb. Pentru sămânţa de grâu, magazinul acordă o reducere de 5%, în cazul în care cantitatea cumpărată este mai mare de 1000 de kg. Se ştie că pentru 1 ha cultivat cu grâu sunt necesare 50 kg sămânţă, preţul grâului fiind 1,5 lei/kg, iar pentru m cultivaţi cu porumb trebuie 17 kg sămânţă de porumb, preţul fiind 10 lei/kg. ât costă în total sămânţa pentru cele două parcele?. Figura alăturată reprezintă schema unui acvariu (fără capac) confecţionat din geam cu grosimea de 0,1 dm. cvariul are forma unui paralelipiped dreptunghic. Se ştie că pentru bază s-a folosit o bucată de geam cu dimensiunile de 6 dm şi dm, iar perpendicular pe aceasta s-au lipit pereţii laterali conform desenului. Preţul unui m de geam este 45 lei. a) âţi litri de apă încap în acvariu? 6 dm b) âţi m de geam au fost necesari şi cât a costat, ştiind că au fost pierderi de 11,6%? 4 dm 0,1 dm dm Testul 85 (utor: prof. Marinela Georgescu) (areme la pagina 8) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 6 6 ( ) este egal cu.... el mai mare divizor comun al numerelor 40 şi 60 este.... Fie mulţimea = 1; ; ; ; π;. Probabilitatea ca la extragerea unui element din 5 acesta să fie număr raţional este egală cu Raza cercului circumscris unui triunghi echilateral este de 4 cm. Înălţimea triunghiului are lungimea egală cu...cm. 5. ria totală a unui tetraedru regulat cu muchia de 9 cm este...cm. 6. Elevii clasei a IX- a au participat, în cadrul unui proiect educativ la un concurs. Ei au vizitat 5 muzee (,, M, S, T) şi apoi au completat un chestionar onnline cu 50 de întrebări referitoare la cunoştinţele acumulate în urma vizitei la cele 5 muzee (câte 10 întrebări despre fiecare muzeu). Pentru fiecare răspuns corect au primit 5 puncte iar Muzeu pentru fiecare răspuns greşit au fost penalizaţi cu puncte. M S T În graficul alăturat sunt reprezentate rezultatele obţinute. lasa a IX-a a obţinut un punctaj final de... puncte. Număr răspunsuri corecte. Recapitulare finală 161

162 SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi o prismă dreaptă cu baza pătrat.. Într-un magazin, cutii cu obiecte de acelaşi fel sunt aşezate pe rafturi. Pe primul raft sunt 4 de cutii, pe al doilea cu 11 mai putin decât pe primul iar pe al treilea sunt de cutii. âte cutii se află în total pe cele trei rafturi?. În clasa a VIII-a numărul de băieţi este egal cu 40% din numărul elevilor clasei. a) Verificaţi dacă în clasă pot fi 5 de elevi. b) ât la sută din numărul băieţilor reprezintă fetele? 4. Se consideră funcţia f :, f(x) = x 4. Reprezentaţi grafic funcţia f. 5. rătaţi că, oricare ar fi x є \ { }, avem egalitatea x + 5x+ 6 x+ =. x + 4x + 4 x + SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată este ilustrat schematic D' ' un teren cu gazon sintetic, pentru fotbal, al unui D club sportiv, reprezentat prin dreptunghiul D cu dimensiunile = 55 m, şi D = 100 m, iar porţiunea haşurată reprezintă pista pentru atletism din jurul terenului, lăţimea acesteia fiind de x lungime x (x este o distanţă exprimată în metri). a) Exprimaţi în funcţie de x, aria porţiunii haşurate. b) Pentru ce valoare a lui x, perimetrul dreptunghiului '''D' este egal cu 50 m? c) Pentru x = 5 m, calculaţi aria porţiunii haşurate. d) Ştiind că fiecare metru pătrat construit al terenului de fotbal costă 4 de euro (incluzând gazonul sintetic, granulele de cauciuc reciclabil, nisipul) şi că pentru această lucrare clubul a obţinut o sponsorizare de 1% din sumă, aflaţi câţi euro mai sunt necesari pentru a achita lucrarea. ' '. Figura alăturată reprezintă schematic bazinul '' (cu capac) în care se face dezinfecţia termică a substratului de cultură la ciupercile Pleurotus. cesta este în formă de prismă D'''D' dreaptă cu baza pătrat cu latura = m. ' D' D a) alculaţi aria (în m ) a capacului. 0,5 m b) alculaţi volumul (în m ) al bazinului. m ' '' ' m 16 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

163 Testul 86 (utor: prof. Marinela Georgescu) (areme la pagina 8) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele Rezultatul calculului 1, + este egal cu Fie mulţimile 1 = ; 4; 6; ; şi 7 = ; 6; ;. Mulţimea \ = {...}. proximarea cu o zecime prin lipsă a numărului este egală cu Dacă DEF, iar = 8 cm şi DE = 5 cm, atunci EF = ria laterală a unei prisme drepte cu baza triunghi echilateral este egală cu 150 cm, iar înălţimea prismei este egală cu 10 cm. Latura bazei are lungimea egală cu...cm. 6. În tabelul de mai jos sunt prezentate rezultatele obţinute de elevii clasei a VIII-a la teza de matematică. Media aritmetică ponderată obţinută de clasa a VIII-a este... Nota Nr. elevi SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen o piramidă triunghiulară regulată.. flaţi cu câţi ani în urmă vârsta tatălui era de trei ori mai mare decât vârsta fiului, dacă în prezent tatăl are 8 de ani iar fiul are 14 ani?. Raportul dintre numerele naturale x şi y este 4. Media geometrică a celor două numere 9 este 48. a) flaţi x şi y. b) alculaţi media aritmetică a celor două numere. f(0) + f(1) + f() f(19) 4. Fie funcţia f :, f(x) = x + 1. alculaţi n = şi f(s) unde s = Fie expresia x 1 6 Ex ( ) = :, x є * \ {1; 4}. rătaţi că E(x) = x + 4. x x x x + 4. Recapitulare finală 16

164 SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Într-un parc din oraş s-a amenajat o porţiune dreptunghiulară PQRS, ilustrată grafic în figura alăturată. stfel: S R s-a plantat gazon (partea haşurată); s-au pavat două alei (reprezentate cu gri pe figură); s-a delimitat spaţiul de joacă adică o porţiune în formă N O circulară (centrul cercului din care provine fiind la jumătatea distanţei dintre centrul O al dreptunghiului RH şi punctul H); s-au plantat arbuşti ornamentali în punctele de pe H M P Q cerc H, M, şi N. Se ştie că R = 1 m şi R = 16 m. a) rătaţi că punctul M se află la jumătatea distanţei dintre H şi, iar N la jumătatea distanţei dintre şi H. b) rătaţi că aria spaţiului de joacă este mai mică de 79 m. c) alculaţi distanţa dintre arbuştii ornamentali H şi. d) Dacă pentru spaţiul de joacă s-au achiziţionat 4 leagăne şi balansoare la preţul de 400 de lei bucata, respectiv 500 de lei bucata, iar magazinul a făcut o reducere de 15%, calculaţi câţi lei s-au plătit în total.. Figura alăturată reprezintă schematic bazinul de înot D' al şcolii. D'''D' este un paralelipiped ' ' dreptunghic cu înălţimea ' = m, = 0 m D şi = 10 m. a) Dacă feţele laterale şi baza sunt placate cu gresie, câţi m de gresie sunt necesari? b) alculaţi volumul apei din bazin, ştiind că bazinul conţine apă până la înălţimea de,5 m. ' 164 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

165 Testul 87 (utor: prof. Marinela Georgescu) (areme la pagina 84) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului ( - ) + 4 este egal cu.... Dintre numerele 17 şi 1 mai mare este.... Dacă 76x atunci x є {...}. 4. Punctele şi aparţin cercului de centru O şi rază cm. Dacă lungimea coardei este egală cu cm, atunci perimetrul triunghiului O este egal cu...cm. 5. Diagonala unui cub are lungimea egală cu 4 6 cm. Muchia acestui cub este de...cm. 6. Tabelul de mai jos prezintă cheltuielile efectuate în anul precedent de societatea agricolă FLOR pentru un hectar (hm ) de teren cultivat cu rapiţă. ostul total pentru cultura de rapiţă din anul precedent dacă au fost cultivate 50 de hectare cu rapiţă este...lei. heltuieli (în lei) pe 1 ha Lucrări mecanice Materiale provizionare rat Discuit Semănat Recoltat Tratamente Transport Sămânţticidcide Insec- Fungi- fito-sanitare tehnologic Forţa de muncă SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic.. Dacă 4 muncitori execută o lucrare în 6 zile, aflaţi în câte zile termină aceeaşi lucrare 8 muncitori.. Într-o şcoală sunt 170 de elevi. Fiecare elev ştie cel puţin una din limbile străine engleză şi franceză. Ştiind că 150 ştiu limba engleză şi 100 ştiu limba franceză, aflaţi: a) numărul elevilor care ştiu numai limba engleză; b) numărul elevilor care ştiu ambele limbi străine. 4. Fie funcţiile f :, f(x) = x + şi g :, g(x) = x +. Punctul M(a; b) aparţine reprezentărilor grafice ale celor două funcţii. flaţi a şi b. 5. rătaţi că (x + x)(x + x + 10) + 5 este pătratul unui număr real, oricare ar fi x є.. Recapitulare finală 165

166 SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată este ilustrat schematic decorul pentru piesa de teatru Vizită de I.L.aragiale, reprezentând un perete în formă de dreptunghi cu dimensiunile din figură, uşa şi fereastra fiind decupate, iar lăţimea uşii având lungimea x (x este o distanţă exprimată în metri). uşă Porţiunea plină a peretelui este acoperită cu tapet. a) alculaţi x astfel încât aria porţiunii pe care se aplică tapetul să fie egală cu 14,64 m. x 40 cm 5 m fereastră 10 cm,6 m b) Pentru x = 0,8 m, calculaţi suma care s-a plătit la achiziţionarea tapetului ştiind că preţul unui metru pătrat de tapet este 5 lei. c) În cazul în care înălţimea uşii ar fi egală cu m şi aria peretelui (fără fereastră şi uşă) ar fi egală cu 14,64 m, calculaţi lăţimea uşii. d) alculaţi valoarea raportului dintre aria ferestrei şi aria uşii, dacă x = 0,8 m. 10 cm,6 m. În figura alăturată este reprezentat schematic un pavilion destinat Târgului Educaţional. D' E'''E' este un paralelipiped dreptunghic iar DE'D'E' este o prismă dreaptă cu baza triunghi echilateral. = 6 m; ' = 10 m; D E' ' '' = 6 m şi DE = 6 m. E ' ' a) alculaţi distanţa de la D la baza (') (înălţimea cortului). b) alculaţi câţi m de prelată sunt necesari pentru a confecţiona pavilionul (feţe laterale şi acoperiş). Rezultatul se va aproxima prin adaos la cel mai apropiat număr întreg. 166 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

167 Testul 88 (utor: prof. Marinela Georgescu) (areme la pagina 84) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului. Fie mulţimea = { xî / x< 0} este Numerele naturale din mulţimea sunt.... Dacă a şi b sunt numere reale pozitive şi a 1 iar 175 = a b, atunci a + b este egal cu Punctele, şi aparţin cercului de centru O şi rază 6, iar m( ) = 45. Măsura unghiului O este egală cu...grade. 5. ria totală a unei piramide patrulatere regulate este egală cu 96 dm iar aria laterală a sa este egală cu 60 dm. Volumul piramidei este egal cu...litri. 6. În graficul alăturat sunt prezentate valorile temperaturilor măsurate la ora în fiecare zi a unei săptămâni din luna decembrie. Media aritmetică a temperaturilor din săptămâna respectivă este egală cu.... Temperatura SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 6 7 ziua 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o prismă dreaptă cu baza triunghi echilateral.. Daniel şi sora lui au în total 5 de mere. Daniel îi dă surorii lui 10 mere şi astfel ei au acelaşi număr de mere. alculaţi numărul merelor pe care le-a avut Daniel.. Pentru serbarea de răciun s-au primit 00 de portocale, 10 de napolitane şi 150 de tablete de ciocolată. cestea vor fi distribuite copiilor în pachete cu acelaşi conţinut (fiecare pachet având portocale, napolitane şi ciocolată). a) Verificaţi dacă pot fi făcute 15 pachete cu acelaşi conţinut. b) flaţi cel mai mare număr de pachete care se pot face cu acelaşi conţinut. 4. Fie funcţia f : {7; 1} {4; }. Ştim că pentru a < b avem f(a) > f(b). Reprezentaţi grafic funcţia f. 5. rătaţi că numărul n = a a este divizibil cu, oricare ar fi a є.. Recapitulare finală 167

168 SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată este ilustrată schematic grădina unei pensiuni agroturistice în care D S P 1 Q 1 R T au fost cultivate flori şi gazon. Grădina are gazon gazon forma dreptunghiului D în care = 1 m şi D = 5 m. ele două alei au fost pavate cu gresie iar dimensiunile din figură sunt exprimate în metri. trandafiri lalele gazon crizanteme ghiocei a) âţi m sunt cultivaţi cu gazon? E 1 G H 1 F b) âţi m sunt cultivaţi cu flori? c) ât costă gresia necesară acoperirii celor două alei dacă un metru pătrat costă 8 lei? d) În cazul în care D = x (x este o distanţă exprimată în metri şi x > 0), arătaţi că valoarea raportului dintre aria suprafeţei cultivate cu flori şi a celei cultivate cu gazon este constantă. alee alee. Figura alăturată reprezintă schematic o vază din sticlă în care apa poate ocupa numai forma unui Q D P cub D'''D'. orpul SMNPQ este o piramidă patrulateră regulată cu înălţimea SO = 40 cm, latura bazei MN = 60 cm, iar punctele,,, D aparţin bazei (MNPQ) şi ', ', ', D' aparţin muchiilor M ' D' O' N ' ' laterale ale piramidei astfel încât ' SO. a) alculaţi aria laterală a piramidei SMNPQ. b) alculaţi volumul maxim (în litri) de apă pe care îl poate conţine vaza. S 168 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

169 Testul 89 (utor: prof. onstantin postol) (areme la pagina 85) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Numărul cu 10,01 mai mare decât 10,10 este.... Soluţia reală a ecuaţiei (x ) = este.... Ştiind că a b =, valoarea raportului a este b 4. Soluţia întreagă a ecuaţiei x 9 + x = 0 este ria paralelogramului D, cu = 15 cm, D = 10 cm şi m( ) = 60, este egală cu Produsul a este cu mai mic decât a. Numărul a este... SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi linia mijlocie, (MN), a trapezului D, cu D.. Determinaţi numerele pozitive x, y, z ştiind că sunt direct proporţionale cu, şi 5, iar suma pătratelor lor este egală cu 76.. rătaţi că suma S = se divide cu Se dă expresia E(n) = 0 n + 1 n n + 1 n + 1 ; arătaţi că E(1) este şi pătrat perfect şi cub perfect. 5. Demonstraţi că orice triunghi care are două laturi proporţionale cu şi, iar unghiul dintre ele de 0, este dreptunghic. 6. Rezolvaţi în ecuaţia (x 5)(5x 5)(7x 5) = 0. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În trapezul isoscel D, cu D, au loc egalităţile: + D = =. a) alculaţi înălţimea trapezului. b) alculaţi aria trapezului.. Se dă piramida patrulateră regulată VD. Ştiind că apotema piramidei este de două ori mai mare decât apotema bazei, iar latura bazei are lungimea de 6 cm, calculaţi: a) aria totală a piramidei; b) volumul piramidei; c) distanţa de la punctul O la planul (V), unde {O} = D; d) cosinusul măsurii unghiului planelor (VD) şi (V).. Recapitulare finală 169

170 Testul 90 (utor: prof. onstantin postol) (areme la pagina 86) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Soluţia negativă a ecuaţiei x x = este.... Numărul a (de o cifră) pentru care 56a se divide cu 9 este.... Lungimea unui cerc este de 6 p cm. Diametrul cercului are lungimea de...cm. 4. treia cifră a câtului împărţirii 0,071 : 7 este alculând suma ( 1 ) ( ) obţinem Ştiind că a 5 = =, atunci, dintre numerele a şi b, mai mare este... b 7 SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un triunghi şi puneţi în evidenţă centrul său de greutate, G.. Determinaţi cea mai mică valoare n є * pentru care numărul 18 n + 1 n +1 este şi pătrat perfect şi cub perfect.. alculaţi măsurile unghiurilor şi din triunghiul, ştiind că m( ) = 0, = 6 cm şi = cm. 4. Rezolvaţi în ecuaţia: x+ x+ x+ 4 x = Din vârful al triunghiului, cu aria 4 cm şi în care = 8 cm, se duce perpendiculara pe bisectoarea unghiului. alculaţi distanţa de la piciorul acestei perpendiculare la dreapta. 6. Se dă numărul real P(x) = x + x 7. flaţi valorile întregi ale lui a, pentru care P(a) este divizibil cu 5. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Se dă un pătrat cu latura de 1 cm. a) onstruiţi un triunghi cu vârfurile pe laturile pătratului, având centrul de greutate în centrul pătratului. b) Este adevărat că un vârf al triunghiului este mijlocul unei laturi a pătratului? c) alculaţi aria acestui triunghi. d) cest triunghi poate fi isoscel? e) Poate fi acest triunghi echilateral?. În tetraedrul regulat V, M şi N sunt mijloacele muchiilor (V), respectiv (), acestea având lungimea de a cm. Determinaţi lungimea segmentului (MN). 170 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

171 Testul 91 (utor: prof. onstantin postol) (areme la pagina 87) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Efectuând calculul (5 ) : (5 ) obţinem.... Dacă x 1 =, x 1, atunci x este egal cu... x 1. O fracţie ordinară din care provine fracţia zecimală periodică 0,() este O diagonală a unui pătrat este cm. ria acestui pătrat este egală cu Dacă x + =, atunci suma x x 1 + este egală cu... x 6. Dintre numerele 0,(5) şi 0,(51), mai mare este... SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un triunghi dreptunghic şi puneţi în evidenţă proiecţiile catetelor pe ipotenuză.. Precizaţi care sunt valorile lui x pentru care (x) este definită: x ( ) = 1 x+ 4+ x 9 x+ x. Rezolvaţi în ecuaţia =, x { ±. } x x+ 4. Determinaţi aria bazei unui tetraedru regulat, ştiind că aria desfăşurării sale este egală cu 7 cm. 5. Se dă funcţia f :, astfel încât f(x + 1) = x +. a) alculaţi f(). b) Precizaţi dacă punctul (; 4) aparţine graficului acestei funcţii. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În triunghiul cunoaştem = 1 cm, m( ) = 75 şi 4m( ) = m( ). a) flaţi măsurile unghiurilor şi. b) alculaţi perimetrul triunghiului. c) flaţi aria triunghiului.. onsiderăm paralelipipedul dreptunghic D'''D' în care = 6 cm şi = = 1 cm. alculaţi: a) lungimea diagonalei ('); b) sinusul măsurii unghiului format de diagonala (') cu faţa (''); c) cosinusul măsurii unghiului dintre diagonala (') şi diagonala (D').. Recapitulare finală 171

172 Testul 9 (utor: prof. onstantin postol) (areme la pagina 88) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele Dacă x + = 1, atunci suma x + este egală cu... x x. Ştiind că y = =, atunci, dintre numerele x şi y, mai mare este... x a 9. Dacă = 7, a, atunci a este egal cu... a + 4. Valoarea raportului x y, unde x = şi y = + 8, este egală cu Împărţind în, numărul la numărul, obţinem restul egal cu Efectuând adunarea ( ) + ( ) + ( ) 4, obţinem suma... SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un paralelipiped dreptunghic D'''D' şi puneţi în evidenţă diagonala (D'). x x 1. Rezolvaţi, în mulţimea, ecuaţia =, x { 1; }. x 1 x. Se dă triunghiul, în care I este centrul cercului înscris în triunghi. alculaţi m( I), ştiind că m( ) = rătaţi că a şi b sunt numere inverse, unde a = şi b = rătaţi că toate ecuaţiile de gradul al II-lea cu coeficienţii diferiţi din mulţimea {; 1; }, au o rădăcină comună. 6. Fie D un patrulater inscriptibil. Pe semidreptele ( şi (D se iau punctele M, respectiv N, astfel încât M = D şi N =. Să se arate că MN. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Un dreptunghi este împărţit de o dreaptă paralelă cu una dintre laturi, în două dreptunghiuri cu ariile de 1 cm şi, respectiv, 6 cm. Determinaţi dimensiunile dreptunghiului iniţial, ştiind că unul dintre cele două dreptunghiuri este pătrat.. a) Determinaţi măsurile unghiurilor triunghiului, ştiind că suplementele unghiurilor şi sunt proporţionale cu 8 şi 7, iar suplementele unghiurilor şi sunt proporţionale cu 14 şi 15. b) Determinaţi rapoartele constante ale măsurii unghiului.. a) Dacă x =, a, care este cel mai mic număr cu care poate fi egal x? Dar cel mai mare? b) Dacă 7x = 9, b, care este cel mai mic număr cu care poate fi egal x? Dar cel mai mare? c) flaţi x când a) şi b) au loc în acelaşi timp. 17 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

173 Testul 9 (utor: prof. onstantin postol) (areme la pagina 90) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Dacă împărţim numărul 0a 16 la 4, câtul este egal cu.... Soluţia reală a ecuaţiei 0,4 x = 1,6 este.... Dacă complementul unghiului are măsura egală cu 7, atunci suplementul unghiului are măsura egală cu Ştiind că a = + +, numărul divizorilor naturali ai lui a este egal cu Dacă x 1 y =, atunci x y este egal cu... SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un triunghi şi puneţi în evidenţă punctul G, centrul de greutate al triunghiului.. Simplificaţi raportul n+ n, n ± { 4 9 }. n. Punctele,, şi D sunt într-un plan, iar M este în afara planului şi au loc egalităţile M = M = M = MD. rătaţi că există un cerc care să conţină punctele,,, D. 4. Se dă funcţia f :, f(x) = mx +. Determinaţi pentru ce valoare a lui m, reprezentarea grafică a funcţiei conţine punctul M(m; 10). 5. ele trei dimensiuni ale unui paralelipiped dreptunghic sunt direct proporţionale cu numerele 5, şi. alculaţi volumul acestui paralelipiped, ştiind că o diagonală a sa are lungimea egală cu 4 cm. 6. Determinaţi cifrele x şi y, astfel încât numărul 5 x y să se dividă cu 15. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. rătaţi că dacă piramida VD, cu baza D pătrat, muchiile laterale sunt congruente, atunci înălţimea piramidei are piciorul în centrul pătratului.. Determinaţi numerele pozitive a şi b, ştiind că sunt direct proporţionale cu b 6 şi a, respectiv invers proporţionale cu a + 1 şi b.. rătaţi că media aritmetică a numerelor x = şi y = 1 4 este un număr raţional. 4. Fie triunghiul ascuţitunghic. Pe semidreapta ( se consideră punctul D, astfel încât = D, iar pe semidreapta ( se consideră punctul E, astfel încât = E. Notăm cu M, mijlocul segmentului (D) şi cu N, mijlocul segmentului (E). Dacă {P} = M N, arătaţi că P. n 4n+ 5. rătaţi că pentru nicio valoare întreagă a lui n, raportul nu este număr n n întreg, n { 0, }. 6. Într-un triunghi, un unghi are măsura de n, iar laturile au lungimile de cm, k 1 cm şi k cm, unde k 1, k є *. flaţi măsurile celorlalte unghiuri ale triunghiului.. Recapitulare finală 17

174 Testul 94 (utor: prof. Dana Radu) (areme la pagina 91) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Numerele întregi care se află în intervalul é - ; ù êë ú sunt... û. Media aritmetică a numerelor 5, 8 şi 8 este.... ria unui pătrat cu lungimea diagonalei de 4 cm este Un obiect costă 45 lei. După o scumpire cu 10% el va costa Fie D un tetraedru regulat cu lungimea muchiei egală cu 1 cm. ria totală a tetraedrului este egală cu...cm. 6. Fie D'''D' un cub cu muchia egală cu 6 cm. Distanţa de la ' la este egală cu...cm. SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. O rochie costă 600 de lei. Rochia se ieftineşte cu 0% şi apoi se scumpeşte cu 15%. a) flaţi cât costă rochia după scumpire. b) flaţi cât costă rochia după ieftinire. c) flaţi cu cât la sută trebuie modificat preţul final pentru a costa la fel cu cel iniţial.. Stabiliţi dacă următoarele numere sunt raţionale: a = , b = 5n+, unde n є.. Determinaţi numerele raţionale a şi b ştiind că a 5+ b+ 7 = 5 a+ b În triunghiul, m( ) = 90, m( ) = 60, = 40 cm, iar D este proiecţia punctului pe. alculaţi: a) lungimea segmentului (); b) lungimea segmentului (D). 5. În patrulaterul D, D, = 10 cm şi D = 6 cm. Dacă M, N, P, Q sunt respectiv mijloacele segmentelor (D), (), () şi (D): alculaţi: a) lungimea segmentului (MN); b) lungimea segmentului (PQ). SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Fie V o piramidă triunghiulară. Un plan α paralel cu dreptele V şi intersectează muchiile V,,, V, în punctele M, N, P respectiv Q. a) rătaţi că MN V. b) rătaţi că MNPQ este paralelogram. c) Dacă VM = 5 cm, M = cm, V = 14 cm, = 5 cm, calculaţi perimetrul patrulaterului MNPQ.. Fie D un paralelogram şi a, b, c, d patru drepte perpendiculare pe planul paralelogramului care trec prin punctele,, respectiv D. Un plan α intersectează dreptele a, b, c, d în punctele ', ', ', D'. rătaţi că: a) Planele DD'' şi '' sunt paralele. b) '''D' este paralelogram. c) Dacă ' = 8 cm, ' = 6 cm, ' = 7 cm, m( ) = 90, = 6 cm, = 10 cm, calculaţi distanţa de la D la D'. 174 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

175 Testul 95 (utor: prof. Dana Radu) (areme la pagina 9) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului (5 + 9) 5 9 este.... Numărul divizorilor întregi ai lui 8 este.... Restul împărţirii numărului 1 la 46 este Se aruncă două zaruri. Probabilitatea ca suma punctelor obţinute pe cele două zaruri să fie un număr natural pătrat perfect este ria unui trapez care are lungimile laturilor egale cu 4 cm, 4cm, 4 cm, 8 cm este egală cu...cm. 6. O prismă regulată are 18 muchii toate de lungime egală cu 4 cm. Perimetrul bazei prismei este...cm. SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Simplificaţi fracţia 4x + 5x 9, x 1: 5. 8x + 1x 5 8 { }. flaţi preţul iniţial al unui obiect, care după două scumpiri succesive cu 0% costă 88 lei.. Fie f :, f(x) = x +. a) Determinaţi coordonatele punctelor de intersecţie a graficului lui f cu axa absciselor. b) Reprezentaţi grafic funcţia f. 4. Fie un triunghi dreptunghic în iar D piciorul înălţimii duse din pe. Ştiind că D = 9 cm şi = 0 cm. flaţi: a) Perimetrul şi aria triunghiului. b) Distanţa de la D la centrul cercului circumscris triunghiului. 5. În triunghiul ( = ) fie puncul E є astfel încât m( E) = m( E). Ştiind că m( ) = 7, arătaţi că = E. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Fie O,,, patru puncte necoplanare astfel încât O O O O. a) Să se arate că O este perpendiculară pe. b) rătaţi că proiecţia lui O pe planul () este ortocentrul triunghiului. c) Dacă O = a, O = b şi O = c arătaţi că lungimea segmentului [OH], unde H este proiecţia lui O pe planul este egală cu OH = abc ab + bc + ca.. O piramidă patrulateră regulată are apotema bazei egală cu cm şi înălţimea egală cu cm. alculaţi: a) aria totală şi volumul piramidei; b) măsura unghiului format de două feţe laterale opuse; c) la ce distanţă de bază trebuie dus un plan paralel cu baza astfel încât ariile laterale ale corpurilor formate să fie egale?. Recapitulare finală 175

176 Testul 96 (utor: prof. Dana Radu) (areme la pagina 9) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 4 + este... ì 1. Mulţimea ï ü í 8; -6; 0; - ; -8 ; 9, 7(65); 6ï ý-( - ) = este egală cu... ïî ïþ. el mai mic număr natural care împărţit la 15 dă restul este Dacă 5 saci cu grâu cântăresc 00 kg, în câţi saci de acelaşi fel au loc 560 kg de grâu? 5. Perimetrul unui romb cu lungimea laturii egală cu cm este...cm. 6. Un bazin sub forma unui paralelipiped dreptunghic are dimensiunile egale cu m, 8 m, 50 m. âţi litri de apă încap în acest bazin? SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. flaţi două numere naturale, ştiind că unul este de 8 ori mai mare decât celălalt, iar diferenţa lor este 87.. Fie f :, f(x) = x. Determinaţi punctul de pe reprezentarea geometrică a graficului funcţiei f care are abscisa egală cu ordonata.. Fie a, b, c trei numere naturale direct proporţionale cu 6, 1, 18. flaţi cele mai mici numere a, b, c. 4. Paralelogramul D are m( ) = 10, = 16 cm, D = 8 cm. a) flaţi aria paralelogramului D. b) alculaţi M, unde M este mijlocul lui [D]. MD 5. Hexagonul regulat DEF are lungimea laturii egală cu 10 cm. ria triunghiului E este...cm. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Fie D'''D' o prismă regulată cu baza D, lungimea muchiei = 5 cm iar ' = 10 cm. Să se calculeze: a) aria totală şi volumul prismei; b) măsura unghiului format de D' cu planul (); c) suma distanţelor unui punct M din interiorul prismei la feţele prismei.. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor de 8 cm şi 16 cm, iar apotema trunchiului de 4 cm. alculaţi: a) suprafaţa laterală şi volumul trunchiului; b) măsura unghiului format de o faţă laterală cu planul bazei mari; c) aria secţiunii obţinute prin intersectarea trunchiului de piramidă patrulateră regulată dat cu un plan paralel cu bazele dus prin mijlocul înălţimii acestuia. 176 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

177 Testul 97 (utor: prof. Dana Radu) (areme la pagina 94) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului : ( ) este.... Numărul de 4 ori mai mare decât 8 este.....m.m.m.c. al numerelor 4 şi 6 este Lungimea diagonalei unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile 5 cm, 1 cm, 1 cm este egală cu...cm. 5. Lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic isoscel cu lungimea catetei de cm este egală cu...cm. 6. ria unui cerc cu raza de 4 cm este egală cu... cm. SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. alculaţi + 5 : x+ y =. Rezolvaţi în x : x = y 5. Fie f :, f(x) = ax + b. a) Determinaţi funcţia f al cărei grafic trece prin punctele (; ) şi ( ; ); b) Stabiliţi dacă punctul M( 1; 4) aparţine graficului funcţiei f determinate anterior. 4. rătaţi că triunghiul care are lungimile laturilor proporţionale cu 4,, 5 este dreptunghic. 5. rătaţi că într-un trapez laturile neparalele determină, pe dreapta paralelă cu bazele care trece prin punctul de intersecţie a diagonalelor trapezului, două segmente congruente. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Trapezul D are D, măsura unghiului este de 90, D = = 4 cm şi D = 8 cm. În punctul se ridică perpendiculara M pe planul trapezului. Dacă M = 4 cm, calculaţi: a) Distanţa de la punctul M la D, respectiv D. b) ria triunghiului MD. c) Volumul unei prisme triunghiulare regulate cu înălţimea egală cu M şi baza echivalentă D.. Paralelipipedul dreptunghic D'''D' are = 9 cm, D = 15 cm şi ' = 0 cm. a) alculaţi suprafaţa laterală, volumul şi diagonala paralelipipedului. b) are este sinusul măsurii unghiului format de diagonala D' şi planul ()? c) alculaţi distanţa de la punctul ' la diagonala (D').. Recapitulare finală 177

178 Testul 98 (utor: prof. Dana Radu) (areme la pagina 95) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. alculaţi: ( 54) ( 8). Un obiect costă 0 lei. După o ieftinire cu 0% el va costa.... Media aritmetică a numerelor ( 5- ) şi ( 5 ) + este ria unui romb cu lungimile diagonalelor 4 cm şi 8 cm este egală cu... cm. 5. ria totală a unui paralelipiped dreptunghic cu lungimile muchiilor egale cu 4 cm, 5 cm şi 6 cm este egală cu...cm. 6. Volumul unui cub cu muchia egală cu 4 cm este egal cu... SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. flaţi x є, astfel încât numerele x, 6x 8 şi 16 x, să fie lungimile laturilor unui triunghi.. Găsiţi x, y є astfel încât: x + y + y + 5 = 4 (x y ).. Pentru plata unei lucrări efectuate de trei muncitori sumele au fost atribuite proporţional cu numărul de ore lucrat de fiecare muncitor. Ştiind că al doilea muncitor a lucrat de două ori mai multe ore decât primul şi de trei ori mai puţine ore decât al treilea, aflaţi ce sumă de bani a primit fiecare muncitor, ştiind că împreună au primit 700 lei. 4. Fie G centrul de greutate al triunghiului şi M mijlocul laturii []. Ştiind că = 15 cm, calculaţi: a) G ; b) raportul dintre aria triunghiului MG şi M. 5. În triunghiul fie M, N puncte pe laturile [], respectiv [], astfel încât MN. M Ştiind că = şi = 16 cm, calculaţi N. M SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. O piramidă patrulateră regulată VD are apotema egală cu a iar unghiul format de două feţe laterale opuse de măsură 60. alculaţi: a) aria totală a piramidei VD; b) volumul piramidei VD; c) distanţa de la O la planul (V).. Fie D''D' o prismă triunghiulară regulată cu feţele laterale pătrate cu latura de 6 cm. Fie simetricul lui faţă de D. alculaţi: a) aria totală şi volumul prismei D''D'; b) distanţa de la ' la dreapta D; c) tangenta măsurii unghiului format de dreapta ' cu planul (D). 178 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

179 Testul 99 (sesiune specială 010) (areme la pagina 96) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 64 : este egal cu.... Inversul numărului este egal cu.... Fie mulţimea = { xî 0 x }. Scrisă sub formă de interval mulţimea este egală cu Un romb D are diagonalele = 5 cm şi D = 4 cm. ria rombului este egală cu... cm. 5. O prismă dreaptă ''' are ca baze triunghiurile echilaterale şi. Dacă = ' = 4 m, atunci suma lungimilor tuturor muchiilor prismei este egală cu... m. 6. În graficul de mai jos, diferenţa dintre temperatura cea mai mare şi cea mai mică este egală cu... º ian. feb. mar. apr. mai. iun. iul. aug. sep. oct. noi. dec. SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată de vârf S şi bază.. Media aritmetică a două numere naturale este 17,50 şi unul dintre ele este 7. Determinaţi al doilea număr.. Preţul unui telefon mobil a scăzut cu 10% şi, după o săptămână, noul preţ a scăzut cu încă 10%. După cele două modificări de preţ, telefonul costă 81 de lei. a) rătaţi că preţul iniţial al telefonului a fost de 100 de lei. b) u ce procent din preţul iniţial s-a micşorat preţul produsului după cele două ieftiniri? 4. Determinaţi valoarea numărului real a, ştiind că punctul (; a) aparţine graficului funcţiei f :, f (x) = ( a) x Simplificaţi raportul x -x-15 x - 10x+ 5 cu x 5, unde x Î \ {5}. 4. Variante date la examene 179

180 SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. D 1. Figura 1 reprezintă schiţa unui cort în formă de prismă dreaptă care are ca baze triunghiurile echilaterale şi DEF. Se ştie că = m şi F = m. a) alculaţi distanţa de la punctul la planul (E). b) alculaţi volumul cortului. c) Verificaţi dacă, pentru confecţionarea cortului, sunt suficienţi m de pânză specială E (toate feţele cortului sunt din pânză, inclusiv podeaua). Figura 1. Figura reprezintă schiţa unui teren al cărui arie P este de 8 hectare. a) Exprimaţi aria terenului în m. Pe acest teren, se sapă un şanţ [P] pentru canalizare (P Î D). Unghiurile P şi P sunt congruente. Valoarea raportului dintre aria Figura triunghiului P şi aria dreptunghiului D este 0,5. b) rătaţi că =. c) alculaţi lungimea, exprimată în metri, a şanţului [P] şi aproximaţi rezultatul cu cel mai apropiat număr natural. F D Testul 100 (variantă dată la examen, mai 010) (areme la pagina 97) SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai răspunsurile. 1. Rezultatul calculului + 4 : este egal cu.... Media aritmetică a numerelor şi 8 este egală cu.... Dacă = {1; ; } şi = {; 4}, atunci mulţimea Ç este egală cu {...}. 4. Un triunghi echilateral are latura de 4 m. ria triunghiului este egală cu... m. 5. O prismă dreaptă are ca baze triunghiurile echilaterale, respectiv '''. Măsura unghiului dintre dreptele şi ' este egală cu... º. 6. Figura alăturată reprezintă graficul deplasării unui vehicul pe parcursul a 5 ore. În această perioadă, 50 vehiculul staţionează timp de... ore Matematică pentru Evaluarea Naţională 014 Distanţa parcursă în km Timpul în ore

181 SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată de vârf S şi bază.. Un elev cumpără 10 cărţi, de literatură şi de matematică. El plăteşte 9 lei pentru o carte de literatută şi 7 lei pentru o carte de matematică, cheltuind astfel 76 lei. âte cărţi de matematică a cumpărat elevul?. O persoană are o sumă S de bani. În prima zi cheltuieşte 0% din suma S, a doua zi cheltuieşte 40% din suma S, iar a treia zi cheltuieşte 1 4 din suma S. a) În ce zi cheltuieşte cel mai puţin persoana respectivă? b) Persoanei îi rămân 100 de lei după cele zile. Determinaţi valoarea sumei S. 4. Reprezentaţi grafic funcţia f :, f (x) = x rătaţi că numărul ( 5 ) ( 5 ) 5( 5) p = este natural. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. D' ' 1. Figura 1 reprezintă schiţa unui bazin în formă de paralelipiped dreptunghic ' ' D'''D'. aza D are = 1 m şi = 4 m, iar înălţimea D paralelipipedului este ' = m. Figura 1 a) alculaţi distanţa dintre punctele şi '. b) alculaţi aria laterală a bazinului. c) În bazin se află litri de apă. alculaţi înălţimea la care se ridică apa în bazin.. Figura reprezintă schiţa unui patinoar format Q P dintr-un dreptunghi MNPQ care are lungimea MN de 40 m şi lăţimea de 0 m şi din două semicercuri de diametre [MQ], respectiv [NP]. M Figura N a) Patinoarul este înconjurat de un gard. alculaţi lungimea gardului care înconjoară patinoarul. b) Verificaţi dacă aria patinoarului este mai mică decât 000 m. (,14 < p <,15) c) Un patinator parcurge distanţele, şi. Punctele şi sunt mijloacele segmentelor [MQ], respectiv [NP] şi este mijlocul segmentului [PQ]. alculaţi valoarea sinusului unghiului. 4. Variante date la examene 181

182 Testul 101 (variantă dată la examen, iunie 011) (areme la pagina 98) Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de ore. SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai răspunsurile. 1. Rezultatul calculului : 4 este egal cu.... Într-o urnă sunt 7 bile albe şi bile albastre. Se extrage o bilă. Probabilitatea ca bila extrasă să fie albastră este egală cu.... Trei kilograme de mere costă 7,5 lei. Patru kilograme de mere de aceeaşi calitate costă... lei. 4. Un dreptunghi are lungimea de 8 cm şi lăţimea egală cu din lungime. 4 Lăţimea dreptunghiului este de... cm. 5. În figura 1 este reprezentată o prismă triunghiulară dreaptă ''' care are toate feţele laterale pătrate. Măsura unghiului dintre dreptele ' şi ' este egală cu.... ' ' ' Figura 1 6. În tabelul de mai jos este prezentată repartiţia elevilor unei şcoli după notele obţinute la un concurs. Note mai mici decât 5 5 5,99 6 6,99 7 7,99 8 8,99 9 9,99 10 Nr. de elevi Numărul elevilor care au obţinut o notă mai mică decât 7 este egal cu... SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată de vârf V şi bază.. Determinaţi perechile de numere naturale (a, b) pentru care are loc egalitatea a 1 = b Preţul unui televizor s-a mărit cu 10%. După un timp, noul preţ al televizorului s-a micşorat cu 10%. După aceste două modificări televizorul costă 1980 lei. Determinaţi preţul iniţial al televizorului. 18 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

183 4. Se consideră funcţia f :, f (x) = x +. a) Reprezentaţi grafic funcţia f. b) Determinaţi coordonatele punctului care are abscisa egală cu ordonata şi aparţine graficului funcţiei f. 5. rătaţi că numărul a = ( + ) ( 5 6)+ ( 1) este natural. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Prisma patrulateră dreaptă D'''D' cu bazele pătrate (figura ), reprezintă schematic un suport pentru umbrele. Segmentul [P] reprezintă o umbrelă care se sprijină în punctul '. Se ştie că = 0 cm, = ' şi P = 90 cm. a) alculaţi înălţimea suportului. b) Determinaţi măsura unghiului dintre dreapta P şi planul (). c) Determinaţi distanţa de la punctul P la planul (). P D' ' ' ' D Figura. Figura reprezintă schiţa unei grădini dreptunghiulare în care sunt plantate flori în trei zone, una în formă de cerc şi două în formă de semicerc, care intersectează laturile [D] şi [] doar în punctele,,, D, E şi F. Zona circulară intersectează cele două zone semicirculare doar în punctele M şi N. Se ştie că = 16 m. a) O albină aşezată pe o floare situată în mijlocul diametrului [] zboară în linie dreaptă, mai întâi până la o floare situată în punctul M, apoi mai departe, tot în linie dreaptă, până la o floare situată în punctul D. alculaţi distanţa parcursă de albină. b) alculaţi aria suprafeţei din grădină plantată cu flori. E c) rătaţi că aria suprafeţei reprezentată de porţiunea haşurată este mai mică M N decât 111 m. (,14 < π <,15) D F Figura 4. Variante date la examene 18

184 Testul 10 (variantă dată la examen, iunie 01) (areme la pagina 00) Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de ore. SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului : 4 este egal cu.... Media aritmetică a numerelor 7 şi este egală cu.... Se consideră mulţimea = {x x 4}. Mulţimea este egală cu intervalul Perimetrul unui romb cu latura de 4 cm este egal cu... cm. 5. În figura 1 este reprezentat cubul DEFGH cu muchia de 5 cm. ria totală a cubului este egală cu... cm. H G E F D Figura 1 6. În diagrama de mai jos sunt reprezentate rezultatele obţinute de elevii unei clase la un test. Numărul elevilor din clasă care au obţinut la test cel puţin nota 8 este egal cu... Numărul elevilor care au obţinut nota n Nota n obţinută la test 184 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

185 SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă patrulateră regulată de vârf V şi bază D.. Se consideră numerele a = şi b = 15 : + 1. alculaţi media geometrică a celor două numere.. Într-o clasă sunt 6 de elevi. Dacă din clasă ar pleca două fete şi trei băieţi, atunci numărul fetelor ar fi egal cu dublul numărului băieţilor. Determinaţi numărul fetelor din clasă. 4. Se consideră funcţia f :, f ( x)= x+. a) Reprezentaţi grafic funcţia f în sistemul de coordonate xoy. b) Determinaţi numărul real a pentru care punctul (a, a) aparţine graficului funcţiei f. x x 5. Se consideră expresia E( x)= : x + 1 ( x+ 1) ( x+ ), unde x este număr real, x 1 şi x 1. rătaţi că E( x)= 9, pentru orice x număr real, x 1 şi x 1. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. O vază are forma unei prisme drepte cu baza pătrat. Înălţimea vazei este de 40 cm, iar latura bazei este de 10 cm. În vază se toarnă trei litri de apă. a) alculaţi aria laterală a vazei. b) Determinaţi înălţimea la care se ridică apa în vază. c) În vază se introduc patru cuburi din piatră, fiecare cub având muchia de 4 cm. Determinaţi cu câţi centimetri creşte nivelul apei din vază, după introducerea celor patru cuburi din piatră.. În figura este reprezentată schematic o placă de gresie în formă de dreptunghi, cu = 8 cm, şi = 1 cm. D E Figura a) alculaţi lungimea segmentului (D). b) Determinaţi aria triunghiului E, unde E este mijlocul laturii (D). c) rătaţi că sinusul unghiului E este egal cu Variante date la examene 185

186 Testul 10 (variantă dată la examen, iunie 01) (areme la pagina 01) Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de ore. SUIETUL I (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului este egal cu.... Dacă a 5 =, atunci numărul a este egal cu el mai mare număr natural care aparţine intervalului (,9] este numărul Perimetrul unui pătrat cu latura de 8 cm este egal cu... cm. 5. În figura 1 este reprezentat un cub DEFGH cu latura de cm. Volumul cubului este egal cu... cm. H G E F D Figura 1 6. În tabelul de mai jos sunt prezentate rezultatele obţinute la un test de elevii unei clase. Notă Număr de elevi La acest test, nota 8 a fost obţinută de un număr de... elevi. SUIETUL II (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată cu vârful S şi baza.. rătaţi că + 8 = 0.. na şi ogdan au împreună 7 mere, iar na şi ălin au împreună 8 mere. Determinaţi câte mere are na, ştiind că, împreună, cei trei copii au 1 mere. 4. Se consideră funcţia f :, f ( x)= x+. a) alculaţi f ( 0)+ f ( ). b) Reprezentaţi grafic funcţia f într-un sistem de coordonate xoy. 186 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

187 x 5. Se consideră expresia E( 1 x)= x :, unde x este număr real, x 4 ( x ) ( x+ ) x şi x. rătaţi că E (x) = 1, pentru orice număr real x, x şi x. SUIETUL III (0 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura este reprezentat un loc de joacă în formă de dreptunghi D, cu D = 0 m şi diagonala D = 40 m. D a) rătaţi că = 0 m. Figura b) Verificaţi dacă unghiul dintre diagonalele dreptunghiului D are măsura egală cu 60. c) rătaţi că aria suprafeţei locului de joacă este mai mică decât 700 m. Se consideră cunoscut faptul că 1, 7< < 174,.. În figura este reprezentat schematic un stup de albine în formă de paralelipiped dreptunghic D'''D'. Dimensiunile stupului sunt = 4 dm, = 6 dm şi ' = 8 dm. H G E F D Figura a) alculaţi perimetrul dreptunghiului D. b) Determinaţi aria totală a paralelipipedului D'''D'. c) rătaţi că PQ = 1 dm, unde {P} = ' ' şi {Q} = ' '. 4. Variante date la examene 187

188 REME DE EVLURE ŞI DE NOTRE SUIETUL I Se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie 5 puncte, fie 0 puncte. Nu se acordă punctaje intermediare. SUIETUL al II-lea şi SUIETUL al III-lea Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem. Total 100 puncte din care 10 sunt din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea punctajului obţinut la 10. Testul 1 SUIETUL I (0 puncte) cm 5 π 0 SUIETUL II (0 puncte) 1. Desenează corect.. 10( 10x+ y 10y x)= (p) 10( 9x 9y)= 90( x y) 15 (p). a) n = nr. elevilor n= 4c + n 1 4 n= 6c + n 6 (4p) n= 9c + n 9 [ 469 ; ; ]= 6 n n= 8. 6 b) [4; 6; 9] = 6 6 copii 4. x 1 < x < 6 : 1 x < = {0; 1; } Suma elementelor este. 188 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

189 5. 144, = 1, = = Numerele iraţionale ale mulţimii sunt 144, ; π ;. (p) SUIETUL III (0 puncte) 1. a) P figurii = l + l + l + D= r+ R+ r+ R D π π π ; cum R = r (p) = πr+ rπ+ πr+ 4r = 4πr+ 4r = 4r ( π + 1 ) m (p) P figurii πr π b) fig. colorată = = 4r = πr = 0π= 0 14, = 68, m 1 c) D = = r 4r = 8r = 8 1 m = 96 m d) 1 kg 0 m (p) x kg 96 m 96 x = =, kg 0. a) D = m; D = D D = 6 m DE = dreptunghi E = 6 m În triunghiul E; m( E)= 90 ; m( )= 45 triunghiul E este dreptunghic isoscel E = E = 6 m. ( D + ) D 1 6 D = = = 6 m b) Notăm cu x cantitatea cumpărată ) x x = x = 6 x = = 40. (p) Trebuie să cumpere 40 m de gresie. (p) (p) SUIETUL I (0 puncte) Testul n + 1 { 1, 6, 4,,, 1, 1,,, 4, 6, 1} sept. 01 Răspunsuri, rezolvări, bareme 189

190 SUIETUL II (0 puncte) 1. Desenează corect unghiul. (p) Desenează corect laturile congruente. (p) = 4 ani reprezintă triplul vârstei actuale (p) 4 14 = 8 Răspuns: peste 8 de ani. (p). a) numărul numerelor prime mai mici decât 50 P (număr prim) = numărul total al bilelor (p) Sunt 15 numere prime (p) 15 = b) numărul pătratelor perfecte mai mici decât 50 P (număr pătrat perfect) = numărul total al bilelor Sunt 7 pătrate perfecte mai mici decât Scriem ca pătrate perfecte: ( ) + = + + = ( + ) 4 = + 1= 1 ; (p) (p) (p) = ( 1) + ( + 1) 6 = = 4 < 0 (p) 5. n+ 1 n n n+ 1 n n = = n n SUIETUL III (0 puncte) 1. a) Ipotenuza triunghiului dreptunghic având catetele de m şi respectiv 4 m are lungimea de 5 m (se află aplicând teorema lui Pitagora). (p) Perimetrul terenului în formă de pentagon este egal cu = 19 m. (p) Gardul are 6 rânduri de sârmă, deci necesarul este 6 19 = 114 m. b) Suprafaţa celor două parcele în formă de triunghi dreptunghic este 4 = 1m. (p) Necesarul:1m 0, 05kg/m = 0, kg gazon. (p 0, = 96, lei a costat gazonul. c) Pe primul rond se plantează 8 = 4 tufe, pe al doilea 6 tufe, pe al treilea 4 tufe, iar pe rondul central tufe. Necesarul este = 60 tufe de trandafiri. 1 tufă costă 10 : lei, deci 60 tufe vor costa 00 lei. (p) 190 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

191 . a) Înălţimea triunghiului echilateral este 18 cm. (p) sin l = l l l =1 cm (p) b) a p = 6 cm. c) = l 4 ( ) = = 4 4 = 108 cm discului = πr = 144 πcm disc 108 = = 144π 4π (p) SUIETUL I (0 puncte) Testul ,4 6 cm 17 m 008 SUIETUL II (0 puncte) 1. 1 muncitori 15 zile 1 muncitor 15 1 zile 18 muncitori zile (p) Răspuns: 10 zile = 60 lei (creşterea); = 180 lei (preţ după creştere); 100 (p) = 90 lei (scăderea); 100 (p) = 90 lei (preţ final) 1. a) x= ; y = 10 x< y b) Ma = ; Mg = a = + a 6 a 6( a 0) 1000 ( a 6) = 0 ( )( + ) + + = = > (10p) Răspunsuri, rezolvări, bareme 191

192 SUIETUL III (0 puncte) 1. a) MD ND( LUL) DM = DN triunghiul DMN isoscel. ( ) M N triunghiul DMN isoscel b) [ M ] [ N ] ipoteza c) ( ) M EN acelasi complement ULU M EN M EN [ ] [ E] triunghiul E isoscel Notam D E ={ P} ;( P P bisectoare E d) a) MN D MN E E D PM MP D D m( )= m( )= m( )= M P N 90 MQNP este dreptunghic b) P D = ( 10+ 6)= m (a parcurs Mihai) QPD trapez isoscel (Q DP şi D = MN = PQ) Q = DP DP + Q = Q + Q = = 10 m P QPD = Q + QP + PD + D = 6 + (Q + DP) = = = m (a parcurs ndrei) SUIETUL I (0 puncte) Testul x { ; 5; 8} SUIETUL II (0 puncte) 1. Q P Desenează corect.. 6,5 : 1,5 = 5 cutii M N 19 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

193 . a) a = ; a = 6; a 4 = 9; a 5 = 1; a 6 = 15; a 7 = 18; a 8 = 1; a 9 = 4; a 10 = 7 (p) a 1 + a a 10 = 17; Suma numerelor impare este: a + a 4 + a 6 + a 8 + a 10 = 75; Suma numerelor pare este: a 1 + a a 9 = 6 P b) 75 6 P % =,( )% = = = + 10 =. 5. 4x 4x + 6x = ( ) = = 4 x x 6 x + 9 = 4x( x ) (p) (p) SUIETUL III (0 puncte) 1. a) m( D)= 0 D = D m( D)= 90 D = 1dam = 6 dam. Fie Q D Q = = dam; Q cos 0 = Q = 6 = 9dam QD = dam D = trapez isoscel PQ = = D QD PQ = 1 = 6 dam = = D = 6 dam P D = + + D + D = = 0 dam b) ( D + ) Q ( 1 + 6) D = = = 7 dam c) = D D (p) D 0 D = 6 6 = 18 dam = 7 18 = 9 dam (p). a) = = 0m. plicăm teorema catetei în = M M = 5 cm M = 15 m; M = M M = 5 m (p) M M M ~ NM = = MN = = MN M 5 MN 15 M 5 m (p) = M M = 5 m b) M sin( m( M ))= = = = m( M )= Răspunsuri, rezolvări, bareme 19

194 M MN c) MN = = = D D D = = = 5 6 m 50 m ; MN D 5 = 6 1 = 50 1 SUIETUL I (0 puncte) Testul SUIETUL II (0 puncte) 1. Desenează corect = = Matematică pentru Evaluarea Naţională mai 010. a) = { 1; 9; 10; 4}; = { 9; 4} b) x, y x 1 = 7 şi 5y = 10 x = 4 şi y = 7 4. x < 7 x<, x x { 01 ; ; } 5. p = 5 + = 5 + = deoarece = 9 < 1 = = + SUIETUL III (0 puncte) 1.. T. Th M N : MN = N P = a) D T. Th M P D: MP D = D D N DP b) D, NP D ( din a) = D N P DP P DP + P + = + = = D D D D D D = 1 R. T. Th NP D RT.. P. a) m 90 + ( ) = + = + = ( )= triunghiul dreptunghic în. b) d(, )= =

195 c) sin sin sin cos 1; sin + = + = am folosit = = cos d) Triunghiul M dreptunghic în TP.. M = + M = 4+ = 7 M = 7 SUIETUL I (0 puncte) Testul SUIETUL II (0 puncte) % x = 15 x = 1 (lei). 948 grâu 5 x 4 D5 1 5 x 59 x 4 = { ± ± } { ; ; }. in. b) ( a b) = a ab+ b = + + = 4. = 144cm = l = 144 l = 1 d = 1 cm 5. Latura romb = 6 cm, P = 4 cm, = 18 cm SUIETUL III (0 puncte) 1. a) x = y = z = k x = k; y = 5 k; z = 9k 5 9 (p) p p% y = x p% 5k = k = p% = 40 % (p) b) k + 5 k + 49 k = k = 75 k = 5 x = 10; y = 5; z = 45. a) = triunghiul isoscel (1) iar D (alterne interne) () Din (1) şi () ( este bisectoarea unghiului D b) Notăm = D = x D = D = x Din triunghiul D (m ( ) = 90 ) avem: x + x = 90 x = 0. Deci: m( D)= m( )= 60 şi m( )= m( )= 10 x D E T x x Răspunsuri, rezolvări, bareme 195

196 T 0 c) Din triunghiul D (m ( ) = 90 ), m( D)= 0 D = 4cm. P D = 60 cm. TP Din triunghiul DE (m ( E) = 90 ), E = 6 cm (înălţime); = 108 cm d) Fie T, T = d(; ) = 6 cm SUIETUL I (0 puncte) Testul ,(40) 18,9 SUIETUL II (0 puncte) 1 sau 1 4 cm sau 6 martie Desenează triunghiul şi pune corect în evidenţă toate unghiurile exterioare.. aa a a a a a a a = = a a ( ) ( 1)( ) + a = + 1 Dacă a este par sau impar, numerele a + a şi a şi consecutive. + a + 1 sunt naturale. În triunghiul isoscel D, (M) este mediană, deci, şi înălţime M În triunghiul isoscel E, (N) este mediană, deci, şi înălţime N. În triunghiul, P este ortocentru, deci, dreapta P include a treia înălţime P. 4. ( ) = + = a = = = 5+ 5 = 1= 1 b = = 7 1 ( 7) = = = = 1= 1 Rezultă a b 1 = care este număr raţional. a+ b SUIETUL III (0 puncte) 1. a b c a b c a+ b+ c 17 = = = = = = = 1. Rezultă a = 9 a = ; b = 4 b = ; c = 4 c = (10p). a) Din egalitatea dată, deducem că x + y 0, y + z 0, z + x 0. 0 Dacă x = 0, egalitatea dată devine: y + + z + 0 = y y + + = y y z z y z y+ z = y = y + z, de unde z = 0, rezultă z + x = 0, ceea ce este fals, căci, z + x 0. Deci x 0. nalog demonstrăm că y 0 şi z 0, deci xyz 0. (10p) (10p) 196 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

197 b) Din egalitatea dată, obţinem: x + y y y z z z x x x+ y y+ z z+ x = y z x y z x = + + = 1. x + y y + z z + x x + y y + z z + x. Dacă ' este punctul diametral opus lui m( D)= m( D)= 60 Din triunghiul 'D, dreptunghic în D sin 60 = D D = sin 60 D = 6 = cm. 4. Din asemănarea ~ D, deducem următoarele congruenţe de unghiuri: D, D,, de unde rezultă că triunghiul D este isoscel cu ( ) ( D), deci şi triunghiul este isoscel, având ( ) ( ). În plus, notând m( )= x, obţinem m( )= m( )=. x vem deci, x + x + x = 180 5x = 180 x = 6 ( )= ( )= ( )= m 6, m m 7. SUIETUL I (0 puncte) Testul SUIETUL II (0 puncte) 1. Q P M N. Fie x, y, z cantităţile pe care le primeşte fiecare cantină: x y z = = = k x + y + z = x = 100 k, y = 00 k, z = 50 k 550 k = 5500 k = 10 cantinele vor primi 1000 kg, 000 kg respectiv 500 kg.. Fie x numărul total de pagini. În prima zi citeşte x pagini rămân de citit x pagini. doua zi citeşte 1 x 10 + = x + 10 rest x x 10 x + = 10. treia zi citeşte x 10 = 60 x = 10 (pagini) Răspunsuri, rezolvări, bareme 197

198 4. Folosim regula de trei simplă pentru partea de bazin care rămâne de umplut după ce un robinet s-a defectat. 4 robinete ore (partea rămasă de umplut) robinete x 4 x = = 4 (ore) 5. Fie n numărul elevilor. n = + 1 n 1= 1 n = + 1 n 1= n = n 1= 5 1 n 1 este multiplu comun al numerelor,, 5. Deoarece c.m.m.m.c. al numerelor, şi 5 este 0 n 1 = 0 n = 1 (elevi) 6. a = 14 b, deci a este număr par şi a 4. (p) Pentru a = 0, rezultă b = 7, pentru a =, obţinem b = 4, iar pentru a = 4, deducem b =. (p) SUIETUL III (0 puncte) 1. a) Dacă O este centrul cercului, triunghiurile O, O, OD, DOE, EOF şi FO' sunt echilaterale, unde ' este punctul care urmează să fie marcat pe cerc după punctul F în jurul punctului O sunt 6 60 = 60 = '. b) triunghiul E este echilateral = 6 = 6 (cm) ria triunghiului E este c) ( ) 6 4 = 7 (cm ) DOE este romb E DO E F fiind perpendiculare pe aceeaşi dreaptă. OF este romb F O. a) FD este paralelogram F = 5 şi F = 6 F = F = 15 5 = 10 F + = F din reciproca teoremei lui Pitagora, m( F)= 90 D E S D 5 b) Dacă E, E () [E] este înălţime în triunghiul F E = 68 ( ) 4, 8 = 48, cm. ria trapezului D este = 48 cm 10 O F F E F c) F ~ S = F = 4 = 9 ; S = 94 = 54 (cm ) 4 S 198 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

199 SUIETUL I (0 puncte) Testul x = 1 y = SUIETUL II (0 puncte) ,8 1. x y z = = = k, de unde înlocuind în ultima relaţie obţinem k = 1, 4 6 de unde x = 4, y = 48, z = 7.. Pentru ca numărul a6 1 a să fie raţional trebuie ca a6 1 a să fie pătrat perfect. Descompunând relaţia dată avem a6 1 a = 7 ( a ), de unde a = 4. n+ n+ n+ 1 n+. Numărul a = 4 6 devine a deci este pătrat perfect. 4. a) n = ( ) ( )= ( )= ( )= m D 90, m D 65, m D 0. b) ria triunghiului OD, = sin10 =. 5. onstruim proiecţiile bazei mici pe baza mare. Notând proiecţiile laturilor neparalele pe bază cu x şi y obţinem sistemul: x+ y = 8, cu soluţia x = 0 şi y = 8 ceea ce arată 6 x = 100 y că trapezul D ( D) este dreptunghic. SUIETUL III (0 puncte) 1. a) Lungimea segmentului [] este = ( 8 0) + ( 0+ 6) = 10. b) oordonatele punctului M, mijlocul segmentului [] sunt x = 4 şi y =. a) Din ipoteză =, iar [I] mediană, I, implică [I] [I] şi [ID] [I], deci D romb. um m( )= 90, deducem D pătrat. b) Segmentele determinate de mijloacele laturilor oricărui pătrat sunt paralele cu diagonalele pătratului şi egale cu jumătate din lungimea lor. um diagonalele unui pătrat sunt perpendiculare, deducem că mijloacele laturilor formează de asemenea un pătrat. Răspunsuri, rezolvări, bareme 199

200 . a) Verificăm relaţia lui Pitagora = 5, deducem că triunghiul c c este dreptunghic şi aria = este de 84 cm. 1 b) Lungimea înălţimii corespunzătoare laturii [] este D = = SUIETUL I (0 puncte) Testul SUIETUL II (0 puncte) 8 0 ortocentru 54,6% 1. şi D sunt axele de simetrie.. a b c a b c b+ c = = a Reciproca Teoremei lui Pitagora xx, 0 x x = = 1 x > 0. xx, < 0 x 5. a) a = b + 7 b) y x = 5 SUIETUL III (0 puncte) 1. a) n + 17 = p p = n + 17 p n = 17 ( p n) ( p+ n)= 117 p n = 1 p = 9 p+ n = 17 n = 8. b) a + b a b + b c = a + b ab+ ab = a + b ( ) = 1 ab a + b ab c) 1 7 = 0, ( 14857). 60 : 6 = 100 şi R = 60-a zecimală este. 00 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

201 . a) tg( m( ) )= = = P = ( + )= 1 = cm şi = 4 cm. = = 8 cm b) O 1 = D = cm 4 c) : m( )= 90, = + = 5 O = O = 5cm. O O sin( m( O) ) 5 sin ( O) O = = ( m ) sin ( 4 m ( O ))= 5 cos( m( O) )= 1 sin m( O) ( ) = = 5 D O SUIETUL I (0 puncte) Testul SUIETUL II (0 puncte) 1. Desenează corect. 4, = { a, ceb,, }, = { a, ced,,, f }. Notăm cu a numărul cărţilor de pe primul raft şi cu b numărul cărţilor de pe al doilea raft, în aşezarea iniţială. ( a 10) = b+ 10 a Obţinem sistemul = 50 a+ 10 = b 10 b = a) 1086 = 104 b) 4. ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( : 5 + ) = 1 5. Obţinem: : : : ( ) = Răspunsuri, rezolvări, bareme 01

202 SUIETUL III (0 puncte) 1. a) Obţinem: = 0. b) Obţinem: (a ) = 0, de unde a = 5. c) Verde. verde, verde, roşu, roşu, roşu, albastru, albastru, albastru. Obţinem ( ) = 6.. a) Notăm cu D punctul de intersecţie a dreptei cu cercul 1 şi cu E punctul de intersecţie a dreptei cu cercul. Segmentul [DE] are lungimea DE = R = 5m = 15 m. b) = = = R = 5 m, deci P = 15 m c) Fie 1 = {, M}, = {, N} şi 1 = {P, }. Pe cercul 1 punctele P,,, M împart cercul în trei arce cu măsura de 60 fiecare, deci arcul exterior PM este un semicerc. La fel arcele PN şi MN. Perimetrul exterior al piscinei este πr = πr = 15π 465,. SUIETUL I (0 puncte) Testul % cm 1,4 cm 008 SUIETUL II (0 puncte) 1. Desenează corect.. Singurul număr raţional care înmulţit cu un număr iraţional dă ca rezultat un număr raţional este zero. Deci a = b, unde ab, a = b = 0... b = a 4. Exprimăm numerele b şi c în funcţie de a: c = 1a tunci a + b + c = 40 a + a + 1a = 40 a = 0, b = 60, c = a) Reprezintă corect punctele în sistemul de axe ortogonale. b) oordonatele mijlocului segmentului [] sunt (0; 4). SUIETUL III (0 puncte) 1. a) b) vem ={ 01 ;; ;...; 10}, deci p = Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

203 c) a) Desenează corect. b) [ D] [ ] [ ] [ E] D E [ E] [ D] D E c) Fie D, D () şi E, E (). D = 8 cm. E = D E = 9,6 cm. SUIETUL I (0 puncte) Testul SUIETUL II (0 puncte) 1. Desenează corect.. {1; ; }. x = 9 4. a) x + 5 x-5 ; b) x = 4 5. N = 10 SUIETUL III (0 puncte) 1. a) 6 5 b) cm c) V apă = 100 cm, 5 1 x = 100, x =1,(6) cm. a) 6 m b) 8 m c) 100 m Răspunsuri, rezolvări, bareme 0

204 SUIETUL I (0 puncte) Testul SUIETUL II (0 puncte) 1. Varianta i).. a) b) ,5 SUIETUL III (0 puncte) 1. a) ria uşii =,16 m ria ferestrei = 5 m b) suprafeţei văruite = l f u + tavan l = 14,4 m tavan = bazei = 64,8 m suprafeţei văruite = 18,04 m antitatea de var = 7,86 kg c) V = 59, m 59, m : 8 m =,4, rezultă elevi. (p). a) 40 km/oră 60 km/oră b) reprezentarea corectă a unui punct al graficului (p) reprezentarea corectă a altui punct al graficului (p) finalizare: reprezentarea grafică este un segment. c) t = 4,5 h = 4 ore şi 0 minute (p) (p) (p) (p) (p) 04 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

205 SUIETUL I (0 puncte) Testul SUIETUL II (0 puncte) {; ; 5; 6; 7} 1. Desenează corect pătratul D în spaţiu V şi diagonalele. Ridică perpendiculara în punctul O şi consideră punctul V. D Duce OM şi arată că M este mijlocul O segmentului []. plică teorema celor trei perpendiculare: M VO ( ) OM VM d( V, )= VM OM, ( ) (p) 48,9 04 lei. Notăm cu x lungimea laturii triunghiului echilateral. P echilateral = echilateral : x 0 x x x = = x = a) În 010 salariatul câştiga: 75 x 5% x = 75% x = 100 = 900 lei lunar. 100 b) În 011, reducerea a fost: 10 10% 900 = 900 = 90 lei (4p) 100 cum salariatul are un venit de = 810 lei lunar. 4. EF = 18 cm DE = F = cm Triunghiul ED este dreptunghic 5. isoscel E = DE = cm (p) ( + D) E trapez = = ( ) = = 6cm. (p) 4 0 x y = = = D E F (p) Răspunsuri, rezolvări, bareme 05

206 SUIETUL III (0 puncte) 1. a) Lungimea unui rând trebuie să fie 10 = 96 m. Se vor planta 97 de arbuşti pe fiecare rând. Vor fi 108 : 1 = 5 rânduri. Numărul de plante necesar (teoretic) 5 97 = 95. Rotunjind, deducem că trebuie să cumpere 400 de arbuşti. N 108 m m m m m S 10 E b) Plasa de sârmă trebuie să aibă lăţimea 1,80 + 0,0 = m. (p) Perimetrul terenului este P = ( ) = 40 m. (p) 40 : 50 = 8,4, deci trebuie să cumpere 9 role. c) Sunt necesari 140 de stâlpi. d) ostul total al investiţiei: 400 4, = 0 00 lei.. a) Necesarul teoretic ar fi: 8 50 = 400 m tub de picurare. Ţeava care distribuie apa la tuburi trebuie să aibă 8 = 4 m, iar cea care aduce apa de la sursă la ţeava de distribuţie are lungimea de 150 m. Practic, gospodarul trebuie să achiziţioneze: = 440m tub de picurare (p) (1 + 10%) = 6,4 6 m ţeavă pentru distribuirea apei la tuburi (p) şi 150 1,1 = 165 m ţeavă aducţiune apă de la sursă b) Mai sunt necesare; 1 filtru pentru nisip, 8 racorduri, 8 dopuri şi 8 cârlige. SUIETUL I (0 puncte) Testul ,4π cm 06 Matematică pentru Evaluarea Naţională ,14

207 SUIETUL II (0 puncte) 1. Desenează corect.. i+ a = 54 i a ( i )= a+ = 8; 0 0 = 16. Notăm cu e numărul de elevi şi cu m numărul de microscoape. m+ 1= e e m 17 e =, = = m 4. Notăm x + x = t t( t+6)+ 9= t + 6t+ 9= ( t+ ) = x + x+ Răspunsuri, rezolvări, bareme ( ) pătrat. 5. = 8 =, 8; rotunjirea la zecimi,8. SUIETUL III (0 puncte) 1. a) 4 x SET = = x ( m ) b) ( M + TE) ME ( + 4) MTE = = = ( 9 m ) c) P MTE 1m = ( 9+ 1) 1= ( 8+ 1) m NT;m( N)= 90 T = N + NT = 9+ 4= 1 T = 1 m < 1 < < 1 + 8< 1 cumpără 1 m. d) MTS MTE SET = = = ( ). a) πr πd L R D = = π = = π( m ) b) O ( D) a O a ( D) a O; O Dar a O( pr. cercului) a ( O) O raza m ( ) c) O ( D) T O a a d( a ; )= O, a ( D) TP.. O m( O)= 90 = O + O = 4 ) + + = = = m 07

208 SUIETUL I (0 puncte) Testul y 49 = 7 = 15 cm 5 F SUIETUL II (0 puncte) 1. V = 5, 0,1 = 9,4 m. x = numărul turiştilor din prima grupă, rezultă că în a doua grupă sunt 88 x turişti. (p) 1 88 x x = x = 40 (p) 5 6. a) E( x)= x( x ) + ( x ) = ( 1 1 x 1) ( x+ )= ( x 1) ( x+ 1) ( x+ ) b) E( n)= ( n 1) ( n+ 1) ( n+ ), n, n ( n+ 1) ( n+ ) produs de nr. consecutive E( n) pt. n = k + 1 E( n)= ( + )( + ) ( ) k k k E n pt. n = k + E( n)= ( k + 1) ( k + ) ( k + ) 4 E( n) * 6, n, n E( n)= ( k + 1) ( k + 1) ( k+ 4) E( n) (, )= 1 4. a) x = 5 : : 5 1= = 5 15( 4+ 11) 8( 11 ) y = + 11 : ( ) ( ) y = y = ( ) y = = omparăm x = 5 51 cu 68. vem: > ( ) > ( ) ( ) > 81 x > x, b) y = , = 1069, [ y]= Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

209 SUIETUL III (0 puncte) 1. a) l = 6 = 5400 cm, deci suprafaţa de vopsit este de aproximativ 1,87 m 4 b) 6,5 cm 1,5 g vopsea 18706,14 cm x 18706, 14 15, x = = 416, 8 g 4, kg vopsea 65,. a) P ( D) TP.. P E PE = P + E E ( D) PE = = E = DE + D = 4+ = 7 PE = 4 cm b) P ( D) D D PD D d ( P, D)= PD D, D ( D) c) M ( D) M P P ( D) D (M) (PD) M ={ },în ( M) P D ={ } ( ),în PD d) D ( M, D)= ( M, )= M M M cm RT m M m( )= = 1 + =. M = cm ( )= 0 Ducem M Q MQ P MQ MQ D P D E D m( ( MP, D) ) = m( ( MP, MQ) ) = m( PMQ) O PQ = P Q = 5 1= 4 cm MPQ PMQ MQ = = 4 dreptunghic isoscel cm m( )= 45 SUIETUL I (0 puncte) Testul P Răspunsuri, rezolvări, bareme 09

210 SUIETUL II (0 puncte) 1. Q M P N. 4,5 + 5 a = 19 5a = 9 a = 1,8 lei. a) 1 x+ 0% x+ x+ 675 = x 0% x+ 5% x+ 40% x+ 675 = x 4 5 x = 4500 lei b) 0% 4500 = 900 lei = 676 lei, preţul televizorului persoana nu poate cumpăra televizorul. 4. f(0) = 1 b = 1 f( ) = a + b = 5 a 1 = 5 a = 4 a = f(x) = x = ( 5) + ( ) 180 = 5 + = 6 5 = ( 5 )+ ( + ) 6 5 = = 6 SUIETUL III (0 puncte) 1. a) DD ( ) D DO d ( D, )= DO DO, ( ) DO D 8 = = = 4 DO = 4 6 m b) D, ( ) 10 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014 ' D' D O ' ' D = 8 = D 8 = m c) l = 4 = 4 64 = 56 m 56 : 40 = 6,4 sunt necesare 7 cutii cu vopsea.

211 . a) 18 8 D = R R = 9 m πr P gard = + P gard = (9π + 18) m b) D = 18 8 = 504 m piscinei = πr 17, 17 m gazon = D piscinei 76,8 m c) 5 5 = 65 cm = 0,065 m suprafaţa unei plăci 0 0,065 = 1,5 m / cutie 17,17 : 1,5 = 101,76 Trebuie cumpărate 10 cutii 1,5 110 = 17,5 m 17,5 17,17 = 10, m p p , =, %, % SUIETUL I (0 puncte) Testul SUIETUL II (0 puncte) x {1; ; ; 4; 6; 1}. a) E (,0) = = '50" 6 b) E( x, y)= x + x + +( y) = ( x+ ) + y+ x x E( x, y)= + = = 0 0 y + = 0 y = ( ) ( ) m = 1+ = am folosit faptul cã 1= 1< ; n = = 1+ ( 1+ )= = m+ n ma = = ; mg = m n = 60 Răspunsuri, rezolvări, bareme 11

212 4. + ( ) ( ) 1< x+ < 1 < x< 1 x ; 1 ( ) = + + ( + ) = + = = 5. x+ y x y xy x y 49 x y 7 P 14 SUIETUL III (0 puncte) 1. a) [ D] [ D] D = isoscel D D D D ( def. ) D ( alterne interne) ( bisectoare D m( D) = 0 = m( D) D trapez isoscel m( D) = m( ) = 60 şi m( D) = m( D) = 10 m( ) = m( D) m( D) = 90 b) În triunghiul, [M ] mediană M = M = M M isoscel m( M) = 0 D M D M; D M DM paralelogram; [D] [D] DM este romb DM c) În triunghiul P: m( ) = m( ) = 60 triunghiul P echilateral P P = 4 cm.. a) ' '; justificăm 'M'N paralelogram 'M 'N M = { }, N = { } ( M) ( N ). b) onstruim Q mijlocul segmentului [] şi demonstrăm că QM' dreptunghi; Justificăm N 'Q m( (M,N)) = m( (M, 'Q)); Determinăm Q = în triunghiul Q dreptunghic în Q = ' QM' pătrat m( (M, 'Q)) = 90 = m( (M,N)) c) d(, M) este egală cu lungimea înălţimii în triunghiul M dreptunghic în M 6 d( M, )= = = M 6 SUIETUL I (0 puncte) Testul cm 5 6 cm 1 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

213 SUIETUL II (0 puncte) 1. 10a+ b 7a b 10b+ a = 8 = a = şi b = 7, (7; ) = 1, ab = 7. a : 4 = 10q + r, unde r < 4, r 0 r {1; ; } Numerele sunt: 41, 4 şi 4.. a) M ( ) T D MD D, ( ) [D] înălţime, D = cm. Din triunghiul MD (m( ) = 90 ) TP MD = cm MD b) M = = 8 cm 4. vem: x + 1 = 7 x = 6 x = sau x + 1 = 7 x = 8 x = 4. Deducem x { 4; } 5. EF D EF EF E F T D ( ; ) = { } 5 M E D D 8 5 F SUIETUL III (0 puncte) 1. b a) Trapez isoscel ortodiagonal i = + = 6 = linia mijlocie b) MN este linie mijlocie = 6 c) = MN i = 7 cm d) Fie D ={ S}. În triunghiul SD, [] linie mijlocie, deci înălţimea triunghiului SD va fi de două ori înălţimea trapezului, deci 1 cm.. a) D ={ O} şi D. Distanţa de la E la D va fi EO (T. ). vem: = 1 cm, O = 6 cm, iar EO = 1 cm. E H D O F G Răspunsuri, rezolvări, bareme 1

214 b) ( ED) ( GD)= D EO D [( ED) ;( GD) ]= ( EOGO ; ) GO D triunghiul EOG echilateral m[ ( ED) ;( GD) ]= 60 SUIETUL I (0 puncte) Testul SUIETUL II (0 puncte) 1. a) Pentru x = 0 obţinem f (1) + f ( 1) = 4. b) Pentru x = deducem f (1) = 5 de unde trecând x x + 1, rezultă f (x) = x + c) Soluţiile naturale ale inecuaţiei f (x) aparţin mulţimii {0; 1}.. a) Deoarece P, Q, R mijloacele laturilor [], [D] şi [], avem [Q] [QD] [R] [R] Q = a, P P = a şi m( ) = m( ) = 90 deci PQD = PR. b) Dacă S este mijlocul laturii [D], patrulaterul PSD este pătrat deci [DP este bisectoarea unghiului D. c) PD = P, de unde [DP] [P], deci triunghiul PD este isoscel. SUIETUL III (0 puncte) 1. a) D, D ( DD ). nalog ' şi ' sunt paralele cu planul (DD'). b) D, ( ). nalog 'D' '', ( ).. a) D, deci unghiului format de dreptele şi D' este DD' şi are măsura egală cu 45. b) Lungimea diagonalei paralelipipedului = 8 7 cm.. a) Latura bazei = 6 de unde aria bazei = 18 cm. b) ria unei feţe laterale este 18 cm. 14 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

215 SUIETUL I (0 puncte) Testul , de exemplu 0 ( ; ) 4 VO 90 SUIETUL II (0 puncte) 1. D α. ( )( + ) = ( )( + ) = = deci nu este egal cu 8. x+ 4) x ) ) 4. x 1 1 x ( x+ ) : ( x )( x+ ) x ( ) = 4 x + 4x x + ( x ) ( x+ ) x + x = ( x ) ( x+ ) x ( x ) ( x+ ) x( x+ ) = = x + x ( + ) + + ( ) = x ( x ) ( x+ ) x = + ( + ) ( )+ = 4 4 = 4 = = = x + 1 = 5 sau x + 1 = 5 de unde x { ; } SUIETUL III (0 puncte) 1. a) Fie α planul podelei şi β planul mesei de călcat. ( O) a = D D ( O) β = α β deoarece unul dintre plane conţine d d 1 două drepte concurente, paralele cu celălalt plan. Răspunsuri, rezolvări, bareme 15

216 b) O O O ~ DO (T.F..) = = DO O D În triunghiul O O = 1600 O = 0 OD 1 = D = 80c D = 40 D = 60. a) ( ) ( ) ( ) ' 0 ' b) '' dreptunghi '' = = 0 ' În TP = + = ' D = 65 = 5 '' trapez dreptunghic 'D = 10 Fie 'D ' în ''D, = 'D + 'D '' = '' = 5 = 5 1 nalog în trapezul dreptunghic '' = = 75 = 5 9 P = c) ( ) T. d(, )= În triunghiul ', m( ) = 90 ' = = 656 = 656 = 4 41 d) Fie D, D () ( ) D d (, )= D D 0 15 D = = 1 D = = ' 6 SUIETUL I (0 puncte) Testul şi 5 16 Matematică pentru Evaluarea Naţională v = f = 8 m = 14 9m

217 SUIETUL II (0 puncte) 1. Evident, a 0 a a+ 1= 0 a a : = 0 a + = a a a + = 9 a + + = 9 a + = 7 a a a. Fie triunghiul ale cărui unghiuri exterioare sunt 180, 180, 180, 180, 180, 180, unde,, sunt măsurile unghiurilor triunghiului. Vom deosebi cazurile: I) = = şi (180 ) + (180 ) + (180 ) = 0, ( + ) = = =. Din a doua condiţie, deducem: ( + )= 0 + = 10. Dar ( + ) + ( + ) = + + = 60, deci + = = = = 10 = = = = 140 = 40 şi 180 = = 110 = = 70. II) = =, adică triunghiul este isoscel, cu = şi (180 ) + (180 ) + (180 ) = = = 0, ceea ce este fals, deci al doilea caz nu poate avea loc. (10p). Ecuaţia se scrie, echivalent, astfel: x + 4x y y = 0 ( x+ ) 1 y+ = ( x y+ ) ( x+ y+ 5)=, unde 4 = 1 = 1 = ( 1) ( ) = ( ) ( 1). vem astfel sistemele: x y+ = 1 x y+ = I), cu soluţia ( 1; 0), II), cu soluţia ( 1, 1), x+ y+ 5= x+ y+ 5= 1 x y+ = 1 x y+ = III), cu soluţia (, 1) IV), cu soluţia (, 0). x+ y+ 5= x+ y+ 5= 1 4. Fie (a + 1; a) perechea de numere naturale consecutive care verifică datele problemei. vem, deci, (a + 1) a = n, unde n este numărul impar dat n a + a+ 1 a = n a+ 1= n a = 1 care este număr natural. n+ n ( a+ 1 ; 1 1 a)= ;, care este unică. Răspunsuri, rezolvări, bareme 17

218 5. Fie un triunghi cu laturile () şi () proporţionale cu 6 şi, iar m( )= 0 = = k = k 6 şi = k. 6 k k k 6 onstruim D (D ) D = şi D = = k 6 k 6 D = D = k 6 =. m obţinut următorul rezultat: În triunghiul D, dreptunghic în D, D = k 6 k şi D =, adică D = D, căci k 6 k =, deci m( D) = 0 ; dar m( D) = 60 m( ) = 90 SUIETUL III (0 puncte) 1. Fie n un număr cu proprietatea din enunţ n = 17c 1 +c 1 = 18c 1, unde c 1 < 17 şi n = c +c =4c, unde c < 18c 1 = c c 1 = 4c, adică 4 c 1 şi c c 1 {4; 8; 1; 16} şi c {; 6; 9; 1; 15; 18; 1}. Deducem că numerele care îndeplinesc cerinţele problemei sunt: 18 4 = 4 = 7; 18 8 = 4 6 = 144; 18 1 = 4 9 = 16 şi = 4 1 = 88.. a) Din egalitatea a + c =, explicităm b şi-l substituim în cealaltă egalitate, b a+ c + c a c a c c obţinând o relaţie între a şi c: b = = = a a b) = + 1 a + c + c = a + a c( 1 + )= a( 1+ ) a = c. Substituim a din egalitatea a + c c+ c = cu c: = c = b b = c b b ( ) = + Deducem că a + b c+ c c + = = c c c. Observăm că numerele a, b, c, care sunt, respectiv, egale cu c, c, c verifică ( ) = ( ) + = +, deci numerele a, b, c relaţia lui Pitagora: c c c 4c c c pot fi lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic cu ipotenuza a şi catetele b, c, prin urmare m( ) = 90. În plus, din a = c, deducem că m( ) = 0, deci m( )=60. (10p) 18 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

219 . a) Fie n, numărul natural, care poate fi scris ca produs de trei numere consecutive. Deducem că n este multiplu de, adică n = k, unde k * n * şi, deci, putem n n n scrie n = , ceea ce pune în evidenţă faptul că n poate fi scris ca sumă de trei numere consecutive. b) Fie n, numărul natural, care poate fi scris ca produs de patru numere consecutive. Deducem că n este multiplu de 4, adică, n = 4k, unde k *. Presupunem că n poate fi scris ca sumă de patru numere consecutive: n = 4k = a + (a + 1) + (a + ) + (a + ) = 4a + 6. Dar 4k 4a + 6, căci 4a + 6 nu este divizibil cu 4. SUIETUL I (0 puncte) Testul SUIETUL II (0 puncte) drepte 1. m(, D') = m(, ') = 45. x 4 + x + 9 = x 4 + 6x + 9 4x = (x + ) (x) = (x x + )(x + x + ). pr. = cos n pr. = cos 0 = 4. a) x = x 1 1 < { } 1 x 1 < x 1 < x 7 : 1 x 1 1 ; < ={ } = cm. { } = x x 1 1 x x x = {0, 1, } b) = 5. d = 6 l = 6 = 6l = 16 cm t Răspunsuri, rezolvări, bareme 19

220 SUIETUL III (0 puncte) 1. a) E( x)= x ( m+ ) x + 6 E( 1)= ( 1) ( m+ ) ( 1)+ 6= 1+ m+ + 6= m+ 9 E( 1)= 1 m+ 9= 1 m =. b) m= E( x)= x 5x+ 6 = x x x+ 6= = x( x ) ( x )= ( x ) ( x ) E( x) x x x x x = ( ) ( ) ( x )( x+ ) =, \{ ± } 4 x + c) x x x x x x x x + + x+ x+ + ( + ) ( ) + 5 x+ { 5, 115,, } x { 7,, 1, }. a) D' ' D D ( ) ) O' D O b) c) D D D D ( O)= ( OD) OO DD OO DD ( O )= ( OD ) DD ( DD ) ( ) SUIETUL I (0 puncte) Testul echipa SUIETUL II (0 puncte) 1. Desenează corect.. ={ 014 ;; ; ; } 0 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

221 . ( a+ b+ c+ d ): 4= 4, 5 a+ b+ c+ d = 18 ( a+ b) : = 6 a+ b = 1 4. c + d c+ d = 18 1 = 6 m a = = ( ) = + + = + a) x+ y x xy y xy, deci xy = 4 ( ) = + = = = b) x y x xy y x y 1 5. Raţionalizăm fracţia 1 ( ) = = ( ) ( + ) = a = SUIETUL III (0 puncte) 1. a) = L l = 40 m 15 m = 600 m. π b) ria suprafeţei galbene este = ( 5m) m 9πm 9106, m. + ( ) = antitatea de vopsea galbenă este de 91,06 0, l = 18,1 l. Sunt necesare 7 de cutii cu vopsea galbenă. c) 600 m 91,06 m = 508,94 m ; 508,94 0, l = 101,788 l Sunt necesare 51 de cutii cu vopsea albastră.. a) Suma celor 1 muchii este de 9,6 m. Fie x lungimea iniţială a ţevii. x 0% x = 9,6 m, deci x = 1 m. π b) ria plasei este l + b =,96 m. c) ria suprafeţei la care au acces iepurii este b = 0,8 m. Timp de 10 zile iepurii mănâncă 0 m de iarbă, deci sunt necesare 0 : 0,8 = 5 mutări. SUIETUL I (0 puncte) Testul SUIETUL II (0 puncte) 1. Desenează corect.. { 1; 0; 1; ; ; 4; 5} Răspunsuri, rezolvări, bareme 1

222 . n = 4. a) Reprezintă corect graficul. b) m = 1 5. x = SUIETUL III (0 puncte) 1. a) l b) 144 m c) 4 m. a) rond = 4π m b) D = 16 m c) = 4 (distanţa maximă dintre cei copaci) 4 = 6= 6 4 < 6m SUIETUL I (0 puncte) Testul ; 0; 1; SUIETUL II (0 puncte) 1. 0 grame.. a =, b = 9.. a) Desenează corect. b) i) E =, ii) 91, iii) 6, iv) 4. Folosim inegalitatea mediilor. 5. { } 49 x 15 ; 4 SUIETUL III (0 puncte) 1. a) 480 lei b) 55 lei c) 8,69% Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

223 . a) Desenează corect. b) Din D ; DD ( DD ) ( ) c) Intersectând planele paralele (DD'') şi ('') cu planul a obţinem dreptele paralele 'D' şi ''. nalog se arată că '' şi 'D' sunt paralele, deci '''D' este paralelogram. SUIETUL I (0 puncte) Testul SUIETUL II (0 puncte) ,50 lei 5 + 1,0 lei lei = 4,0 lei (cheltuiţi) (p) 50 lei 4,0 lei = 7,70 lei (rest) (p) lei = lei (reducerea) (p) 140 lei 5 lei = 105 lei (preţul final) (p) Desenează corect. ateta opusă unghiului de 0 este jumătate din ipotenuză. Finalizare: înălţimea este 1 km. 4. a) Observă că lungimea liniei frânte este egală cu suma lungimilor segmentelor date. (p) Perimetrul = ( cm + 4,5 cm) = 1 cm b) ria = cm 4,5 cm = 9 cm 5. a) ria unei parcele pătrate = 000 m : 5 = 400 m (p) b) ria pătrat = l 400 m =l (p) c) Finalizare: l = 0 m SUIETUL III (0 puncte) 1. a) 4c + s = 6 6c + 1s = 0 preţ creion = lei; preţ stilou = 1 lei b) c + 1s = 81 (p) 81 1s c =, c = 7 4 s (p) Finalizare c = (p) (p) (p) (p) (p) Răspunsuri, rezolvări, bareme

224 . a) a m l p = 4 Finalizare: a p = lungime fermoar =,5 m p p b b) h = a a Finalizare: h p = 1,5 m (p) (p) (p) (p) b hp c) V = b = l; b = 16 m Finalizare: V = 8 m d) Fie P VO şi PN VM, PO = PN = X (O centrul bazei, V vârful piramidei şi M mijlocul unei laturi a bazei) (p) VP PN 15, x x VPN ~ VMO = = VM OM 5, (p) Finalizare: x = PO = m (p) (p) 4 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

225 Testul 9 SUIETUL I (0 puncte) ; 8;,; SUIETUL II (0 puncte) 1. Desenează corect simetrica figurii date faţă de dreapta s.. În lădiţă sunt 15 = 45 mere (p) = 0 Finalizare: În coş sunt cu 0 mere mai puţine decât în lădiţă. (p). a) Fie d suma lui Daniel şi m suma de bani a Mariei. (p) d + 10 = m 10 m d = 0 Finalizare: diferenţa este 0 lei. d + 10 = m 10 b) Obţinerea sistemului: m+ 0 = ( d 0) Rezolvarea sistemului: d = 110, m = 10 Finalizare: Daniel avea 110 lei, iar Maria 10 lei. 4. Membrul stâng al egalităţii: ( ) ( ) ( ) x- 1 = + 1 = + + 1= 4+. (p) alculul lui y, raţionalizând numitorul: / 1 + y = + = + = (p) + 4+ = 6 Û + = + Stabilirea relaţiei: ( ) ( ) 5. Fie n + 1, m + 1, (unde n, m є ), două numere întregi impare alculul diferenţei de pătrate: (n + 1) (m + 1) = 4(n m)(n + m + 1) Se iau cele 4 cazuri: I: n, m pare, II: n, m impare, III: n par, m impar, IV: n impar, m par şi se arată că (n m)(n + m + 1) este divizibil cu, (p) de unde deducem că 4(n m)(n + m + 1) este divizibil cu 8. (p) (p) SUIETUL III (0 puncte) 1. a) Fiecare alee are forma unui dreptunghi cu lungimea de 10 m şi lăţimea x m, deci are aria 10x m. (p) Porţiunea comună a celor două alei are aria x m. Finalizare: aria suprafeţei celor două alei este 10x + 10x x = (40x x )m = x(40 x) m. (p) b) ria spaţiului verde: 10 (40x x ) = 10 10x + x = (10 x) m Răspunsuri, rezolvări, bareme 5

226 c) Spaţiul verde are aria 116 = m 100 m... kg sămânţă m... x kg sămânţă (p) x = (1 456 ) : 100 Þ x = 69,1 Finalizare: necesarul de sămânţă este aproximativ 70 kg. d) ria unei dale: 0 15 = 00 cm = 0,0 m dale 0,0 m = 60 m (aria unei alei) 10x = 60 Þ x = Lăţimea unei alei este de m. Trebuie să scădem porţiunea comună a celor două alei, adică 9 m, echivalentul a 00 dale. Finalizare: în total sunt necesare 700 dale din beton.. a) Diferenţa dintre înălţimile celor doi stâlpi: 5 m. flăm distanţa d dintre vârfurile celor doi stâlpi cu teorema lui Pitagora: d = = = 169 (p) d = 169 = 1 Finalizare: distanţa cerută: 1 m. b) Suntem în cazul unui trapez dreptunghic de baze 10, respectiv 15 şi înălţimea de 1. u notaţiile din figură, folosind teorema T. F.. avem: x y = şi = = (p) Obţinem ecuaţia: x x 10 = 1 x = 0 x 5 x = 0 x = 6 x y 1 y (p) Finalizare: firele se intersectează la distanţa de 6 m faţă de sol. SUIETUL I (0 puncte) Testul SUIETUL II (0 puncte) 1. Desenează corect prisma '''. (4p) Notează corect.. Fie v km/h viteza primului automobil; al doilea automobil se deplasează cu (v + 10) km/h v v + 10 d 180 km 6 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

227 Notează cu d distanţa parcursă de primul automobil, în ore acesta parcurge d = v ; deduce că al doilea automobil parcurge în ore: 180 d = (v + 10) Obţinerea ecuaţiei 180 v = v + 0 v = 40 Finalizare: 40 km/h, respectiv 50 km/h. a) el mai mic multiplu comun al numerelor 0 şi 0 este 60 Deci latura pătratului este de 60 cm. 0 ria pătratului: 600 cm. ria unei plăci: 600 cm. 0 Numărul plăcilor: 600 : 600 = b) u 4 plăci se poate pava o suprafaţă de = m. (p) um numărul este pătrat perfect, deducem că se poate construi un pătrat cu latura de 10 m. (p) 4. (; ) є G f Þ f() = Obţinerea ecuaţiei: a a = Þ a = y Reprezentarea grafică a funcţiei: (p) x 0 5. ( 8 )( 8 ) ( 4 )( 4 )( 8 ) 1- x 16 Membrul drept 1 - x 1 + x 1 - x 1 + x 1 + x = = = 1-x 1-x 1-x ( 1 - x )( 1 + x )( 1 + x 4 )( 1 + x 8 ) ( 1 - x)( 1 + x)( 1 + x )( 1 + x 4 )( 1 + x 8 ) = = 1-x 1-x Simplificare prin 1 x, (x 1) şi obţinerea egalităţii. Pentru x = 0,1 aplicând identitatea demonstrată, se obţine ,1 1-0,1 ( 1+ 0,1)( 1+ 0,1 )( 1+ 0,1 )( 1+ 0,1 ) = = 1-0,1 0, (p) SUIETUL III (0 puncte) 1. a) (x + 4) cm. b) ria triunghiului M este (7 x) cm (p) ( x+ 4) = 7 ( x) x+ 4= 7 x x = x = (p) Finalizare: DM = 1,5 cm.. a) orpul trebuie scufundat complet în apă, iar aceasta nu trebuie să curgă peste marginile vasului. b) Volumul apei dezlocuite, deci al corpului de formă neregulată este = 1575 cm. c) Volumul maxim de apă ce s-ar putea turna după introducerea corpului în cub este = 1800 cm. (4p) 1800 cm = 1,8 dm = 1,8 l d) Nu; dimensiunile corpului nu au nicio legătură cu înălţimea apei dezlocuite Răspunsuri, rezolvări, bareme 7

228 SUIETUL I (0 puncte) Testul π 1,5 75 SUIETUL II (0 puncte) 1. Identifică prisma triunghiulară regulată Desenează corect. (4p) 1 1. Notează cu x măsura unghiului. Scrie corect măsura complementului său: x. x Ecuaţia x + = Soluţia x = x = x = 67,5. 4 Finalizare: 67 0', respectiv 0'.. a) Nu se pot forma cinci echipe pentru că 6 nu se divide cu 5. b) Numărul echipelor trebuie să dividă atât pe 6 cât şi pe 45..m.m.d.c. (6; 45) = 9. (p) Se pot forma maximum 9 echipe (a câte 4 fete şi 5 băieţi) şi minimum echipe (a câte 1 fete şi 15 băieţi) 4. Reprezentarea grafică a funcţiei (p) x = x-1û x - x+ 1= 0Û( x- 1) = 0Þ x= 1 (p) 5. Obţinerea relaţiei a = b + c şi interpretarea: a lungimea ipotenuzei, b, c lungimile catetelor. 1 SUIETUL III (0 puncte) 1. a) Maria observă că octogonul se obţine dintr-un pătrat cu latura de 10 cm din care se taie 4 triunghiuri dreptunghice isoscele. Dar cele 4 triunghiuri au suprafaţa egală cu suprafaţa unei plăci verzi sub formă de pătrat. Dacă notează cu x aria unei plăci verzi atunci aria unei plăci albe este 6 x (conform informaţiei de la vânzător) 100 Obţine ecuaţia x+ 6x = 100 7x = 100 x =. 7 Lungimea laturii unei plăci verzi este 10 7 cm. b) 0 40 = 100 plăci albe. 8 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

229 c) 100 plăci verzi. omentariu: plăcile verzi cu care se vor pardosi marginile suprafeţei (cele de la perete) se vor tăia în 4 părţi după diagonale. Presupunem situaţia ideală când meşterul face tăieri perfecte şi nu dă niciun rebut. d) 100 : = 61 cutii cu plăci octogonale albe (p) 100 : = 1 cutii cu plăci pătrate verzi (p). a) Volumul cubului: l. Volumul piramidei: l h l h = l h = l. (p) b) Trebuie să vopsim aria laterală a cubului şi aria laterală a piramidei. l cub = 4 4 = 16 m. potema piramidei este l + h = = 7 m l piramidă = 4 7 = 4 7 = 4, m Suprafaţa laterală a corpului 40, m ; 00 ml = 0, l. antitatea de vopsea: 40, 0, 8,066 l SUIETUL I (0 puncte) Testul SUIETUL II (0 puncte) 5 1. Identifică piramida patrulateră regulată Desenează corect. (4p). Notează cu x suma depusă la banca X şi cu y suma depusă la banca Y. Prima variantă: 5 6 x+ y = doua variantă: y+ x = Rezolvarea sistemului: x = 6000, y = Finalizare: persoana a depus lei repartizată astfel: 6000 lei la banca X şi 7000 lei la banca Y.. a).m.m.m.c. [; 4; 5] = 60. b) 11 ouă. 14π 60 Răspunsuri, rezolvări, bareme 9

230 4. x x 1 = 0,5 = y y 4 x+ y = 50 Rezolvarea sistemului: x = 80, y = 0 (p) 5. x + y = (x + y) xy = = 5 (p) x 4 + y 4 = (x + y ) x y = 5 4 = 17 (p) SUIETUL III (0 puncte) 1. a) Justificarea FE trapez b) DEF este dreptunghi (Justificare!) (p) E F P DEF = (1 + 14) = 5 cm. (p) 1 D G c) ED + F = FE D DEF (p) Observăm că D = 1 FE Þ FE = 70 cm DEF = 1 14 = 168 cm flă suma ariilor triunghiurilor haşurate: 19 cm d) 50%. a) Înălţimea prismei: 150% 0 = 0 cm. Nivelul apei s-a ridicat cu 0 10 = 0 cm. Pietricelele ar ocupa volumul unui cub cu latura de 0 cm; V cub = 0 = 8000 cm = 8 dm. b) V apă = 0 10 = 4000 cm = 4 dm = 4 l. SUIETUL I (0 puncte) Testul {1; ; 5; 10} SUIETUL II (0 puncte) 1. Desenează şi identifică corect dimensiunile Primul tren are un avans de 45 km faţă de al doilea. Într-un timp t ore (până ce al doilea tren îl ajunge pe primul), primul tren parcurge distanţa d, deci d = 45 t iar al doilea tren parcurge distanţa d + 45, deci d + 45 = 60 t 0 Matematică pentru Evaluarea Naţională 014

231 ,55 m Rezolvarea ecuaţiei: 45t + 45 = 60t Þ t = Finalizare: după ore al doilea tren îl ajunge din urmă pe primul.. a) = 57 elevi practică baschet şi handbal. b) = 68 elevi practică numai handbal x x ( x-1) x+ 6-x Ex ( ) = x- = x- = ( x - ) ( x - 1) x+ x- x x- x+ 6- x ( x+ ) - x( + x) = x- = x- = x- x+ ( x- )( x+ ) = x- (- x) ( x + ) 1 1 ( x-) = x+ 1 = x+. ( x + ) 1 5. Triunghi dreptunghic isoscel (Justificare) SUIETUL III (0 puncte) 1. a) În cazul x = 1,5 cm, punctul M este chiar mijlocul segmentului []. ria suprafeţei marcate cu punctuleţe este, în acest caz. π 9 π 1,5 π 1,5 81π + = cm. b) Raza cercului de diametru [] este de cm, raza semicercului de centru O 1 este x cm, iar raza semicercului de centru O este ( x) cm. π 9 π ( x) π x ria suprafeţei haşurate este: + (p) Finalizare: π x cm. c) Valoarea minimă se obţine când M =, adică pentru x = 0; min = 0 (p) Valoarea maximă se obţine când M =, adică pentru x = ; max = 9π cm (figura haşurată coincide cu cercul de diametru [], în acest caz) (p) 0 d) π x = 0 x =,1 [0;] π. a) Lungimea diagonalei feţei dulapului este,5 + 0,6 = 6,61,57 >,55 (4p) Finalizare: Georgel nu va reuşi să ridice dulapul după primul precedeu deoarece diagonala feţei este mai mare decât înălţimea camerei. b) Da; trebuie să rotească dulapul aproximativ 90 ; diagonala celeilalte feţe a dulapului este:,5 + 0,5 = 6,5,549 <,55,50 m O 1 M 0,50 m O Răspunsuri, rezolvări, bareme 1