Слика 38: Низ од n еквидистантних узорака, x i означава позицију i, f(x i ) означава вредност на месту узорковања x i

Transcript

1 4 Вариограм 4. Једнодимензиони вариограм Уочимо низ од n узорака распоређених на истом међусобном растојању d дуж линије дужине L. Нека је x (=,n) координата која одговара броју узорка, а f(x ) његова вредност (садржај корисне компоненте или нека друга карактеристика од значаја). Ова нотација је краћи математички начин означавања, да је вредност, f(x ), узорка са бројем, функција позиције x (тј. места узорковања), а f(x ) је вредност садржаја (f) измереног на месту узорковања x. Када вредност променљиве, као што је рецимо садржај, зависи од места његовог узорковања променљива се зове регионализована променљива. Слика 38 приказује распоред n узорака дуж линије. Слика 38: Низ од n еквидистантних узорака, x означава позицију, f(x ) означава вредност на месту узорковања x Узорци могу бити било ког типа, али се претпоставља да сви имају исту подршку (геометријски облик, запремину и оријентацију), линија може да представља истражну бушотину (језгро исечено на приближно једнаке дужине d) или линију бразде (узорци дужине d узети дуж стуба или зида. Вариограм за узорак на растојању d је половина средње квадратне разлике између свих парова узорака који се налазе на растојању d. То се означава са γ(d): (n ) γ( d) = {[f (x) f (x )] + [f (x ) f (x 3)] [f (x n ) f (x n )] или краће: γ( d) = (n ) n = [f(x ) f(x )] + За растојање d вариограм је: (n ) γ( d) = {[f(x) f(x3 )] + [f(x ) f(x 4 )] [f(xn ) f(xn )] или краће: γ( d) = (n ) n = [f(x ) f(x )] +

2 У општем случају, за растојање md, односно за удаљеност m интервала (размака) између узорака вариограм је: γ( md) = (n m) n m = [f(x ) f(x+ m )] Уочимо да би резултат био исти да је прорачун почео са узорком f(x ) са краја линије и ако се изводи уназад до првог узорка f(x ). Као пример размотримо вредности олова, у узорцима са слике 39, узетим дуж стуба у интервалима од.5m. Слика 39. Вредности олова у узорцима узетим на.5m интервалима Једноставан начин ручног рачунања вариограма је да се направе две копије линије узорака са слике 39. За размак од.5m поставе се две линије узорака једна до друге и једна од њих се помери у десно тако да су узорци са размаком од.5m раздвојени (поравнати) као што је приказано на слици 40. Слика 40. Рачунање вариограма за растојање од једног размака (интервала) узорка Вариограм за растојање d=.5m рачуна се као: γ 6 (.5m) = [(5 0) + (0 ) + ( ) ( 5) ] = 3(%) Да би се израчунао вариограм за удаљеност од 3m, доња линија узорака се помери за још један интервал у десно, тако да се први и трећи узорак поравнају као што је приказано на слици 4. Слика 4. Рачунање вариограма за растојање од два интервала узорка Вариограм за растојање од 3m је: γ 5 ( 3m) = [(5 ) + (0 ) + ( 6) ( 5) ] = 47(%)

3 Слично: γ(4.5m) = 57 (%) γ(6m) = 49 (%) γ(7.5m) = 4 (%) γ(9m) = 40 (%) γ(0.5m) = 43 (%) Ове вредности се могу нацртати као на слици 4. да би се добила графичка репрезентација вариограма. Слика 4. Експериментални вариограм за вредности узорака са слике Дводимензиони вариограм Уочимо две линије вредности олова у узорцима узетим у интервалима од.5m дуж паралелних зидова откопа као што је приказано на слици 43.Ширина откопа је 30m. Слика 43. Вредности олова у узорцима узетим у интервалима од.5m дуж паралелних зидова откопа Вариограм се може израчунати за сваку линију. У ствари, вариограм за горњу линију је израчунат у претходном поглављу. Вредности вариограма, заједно са бројем парова вредности, које су коришћени за израчунавање појединачних вредности вариограма су: 3

4 γ (.5m) = 3 (%) n (.5m) = 6 парова узорака γ (3m) = 47 (%) n (3m) = 5 парова узорака γ (4.5m) = 57 (%) n (4.5m) = 4 парова узорака γ (6m) = 49 (%) n (6m) = 3 парова узорака γ (7.5m) = 4 (%) n (7.5m) = парова узорака γ (9m) = 40 (%) n (9m) = парова узорака γ (0.5m) = 43 (%) n (0.5m) = 0 парова узорака Вредности вариограма за другу линију су: γ (.5m) = 7 (%) n (.5m) = 30 парова узорака γ (3m) = 4 (%) n (3m) = 9 парова узорака γ (4.5m) = 8 (%) n (4.5m) = 8 парова узорака γ (6m) = 35 (%) n (6m) = 7 парова узорака γ (7.5m) = 4 (%) n (7.5m) = 6 парова узорака γ (9m) = 50 (%) n (9m) = 5 парова узорака γ (0.5m) = 44 (%) n (0.5m) = 4 парова узорака За свако одстојање узорка х (=.5m, 3m, 4.5m,...) постоје две вредности вариограма. Просечни вариограм, γ(х), у правцу откопа се добија тежинском средином вредности вариограма ове две линије: На пример: n (h) γ (h) + n (h) γ (h) = γ( h) = = n(h) + n(h) n (h) γ (h) = n (h) n (.5m) γ (.5m) + n (.5m) γ (.5m) γ (.5m) = = = 0(%) n(.5m) + n (.5m) Слично: γ(3m) = 35 (%) γ(4.5m) = 4 (%) γ(6m) = 4 (%) γ(7.5m) = 4 (%) γ(9m) = 45 (%) γ(0.5m) = 44 (%) У општем случају, ако имамо m линија вариограма, γ (х) (=,,...,m), може се израчунати за сваку линију, и просечни вариограм у правцу линија би био: γ( h) = m = n (h) γ (h) m = n (h) 4

5 Уз то је могуће израчунати вредности вариограма и у другим правцима. Уочимо линије серија вредности олова на интервалима од 30m,a што је приказано на слици 44. Вариограм се може рачунати под правим углом на линије на потпуно исти начин као и дуж линија. На пример, вариограм за растојање 30m за линију број (тачкаста линија на слици 44) се рачуна као: За 60m: [(8 5) + (5 9) + (9 4) (9 9) ] γ ( 30m) = = 8(%) 9 [(8 9) + (5 4) (4 9) ] γ ( 60m) = = 0(%) 8 и тако даље за друге умношке од 30m. Слика 44. Вредности олова у узорцима узетим у више истражних линија на међусобном растојању од 30m Вариограм се затим може израчунати за сваку следећу паралелну линију вредности и коначно се може израчунати и средњи вариограм за овај правац. У ствари, вариограм се може израчунати за друге правце, нпр. за 45 у односу на линију узорка, и тада би се он рачунао за умношке (чиниоце) од: = 30.04m 5

6 4.3 Тродимензиони вариограм Уочимо линије узорака на свакој од паралелних равни на слици 45. Слика 45. Линије узорака на паралелним равнима Вариограми се могу израчунати на свакој равни као што је описано у претходном поглављу и затим се упросече да би се добио средњи вариограм за било који појединачни правац. Уз то, вариограми се могу рачунати на исти начин у правцу нормалном на равни. На пример, линије могу да представљају зидове откопа и равни могу бити нивои у руднику. Дводимензиони и тродимензиони случајеви су једноставна (проста) проширења једно-димензионог случаја. Овде приказани примери су на једнаком растојању (интервалима) и једнако су поравнати (за D). На жалост, геолошки подаци су ретко расположиви у том облику, тако да се морају вршити бројне апроксимације. Дескриптивна својства вариограма Након израчунавања и цртања (конструисања) вариограма следи интерпретација информација које он изражава. Зоне утицаја У општем случају, вариограм је растућа функција од растојања. У просеку разлика између вредности измерених на две удаљене локације тежи да се повећа са повећањем растојања између њих. Износ повећања вариограма се одражава на вредност у којој утицај узорка опада са растојањем. Величина повећања може да буде променљива у односу на правац. На пример, уочимо два вариограма на слици 46. Вариограм за минерализацију А се повећава дупло у односу на B, што говори да вредности узорака узете из B варирају много спорије него оне које су узете из узорка А. Зона утицаја узетих у B је већа него зона утицаја узорака узетих код А, па према томе 6

7 проширење вредности узорка на дату област ће бити поузданије код B него код А. Разлика може да потиче од различите минерализације или од различитих типова узорака. Слика 46. Вариограми за две различите минерализације: А и Б Континуитет (непрекидност) Континуитет минерализације је одраз вредности раста вариограма преко малих растојања. Ако постоји висок степен континуитета тада ће, у просеку, бити врло мале разлике између ближих узорака и вредности вариограма за мале удаљености ће бити мале. Са друге стране, што су ниже вредности вариограма, у просеку, сличније су вредности узорака који се користе при израчунавању. Такође, нагле промене у вредностима узорка доводе до већих вредности вариограма. Разликујемо четири категорије континуитета и оне су приказане на слици 47 по опадајућем континуитету. Вариограм (а) је веома близу нуле за мале вредности х, што упућује да су промене вредности узорака веома поступне. Овај тип вариограма представља стриктно континуалну променљиву као што је моћност слојевитих лежишта, код које се јављају веома мале, ако их уопште и има, деформације као што су раседи и распадање. Вариограм (б), у просеку, упућује на поступне промене у узорку. Промене нису увек мале као код типа (а), неке промене могу бити и велике, неке мале, али су у просеку прилично поступне. Ова врста континуитета је типична за седиментна лежишта и за ширине стратиграфских рудних тела. Слика 47. Четири врсте вариограма у односу на континуитет 7

8 Вариограм (c) има дисконтинуитет на почетку што говори да се нагле промене вредности у узорку јављају код малих растојања. Наравно, теоријски, вредност вариограма за растојање 0 (х=0) мора бити 0. Ипак, ако се минерализација појављује као нугет (nugget) или концентрација у малим жилама тада се брзе промене могу јавити и код веома малих растојања. Разлика између две половине језгра бушотине, која је разматрана у 3..3, ће произвести овај тип вариограма. Дисконтинуитет је мера случајне промене и делимично је функција интервала у ком се узимају узорци. Узорци узети на мањој удаљености могу да је смање или чак елиминишу. То је такође функција величине узорка, што је већи узорак то је вероватније да ће обухватити микроструктуре које се појављују у случајним променама, па се стога дисконтинуитет вариограма смањује. Очигледно, дисконтинуитет се назива нугет ефекат, односно ефекат грумена. Вариограм (d) представља променљиву која нема континуитет уопште, њене вредности су потпуно случајне. У минералном лежишту, такви вариограми најчешће упућују на чињеницу да је интервал узорковања већи од променљивости геолошких структура. На пример, размотримо лежиште у ком се минерализација појављује у вертикалним жилама и пукотинама. Ако је размак истражних бушотина већи од просечног растојања између жила, тада има мало шансе да истражна бушотина пресеца жилу и резултујући вариограм ће бити сличан са (d). Ова четири типа понашања за мала растојања илуструју како вариограм идентификује обим случајних промена. За типове (а) и (b) је свака промена структурна; за тип (c) однос (пропорционалност) на који упућује дисконтинуитет је случајан; за тип (d) све промене су случајне. Транзиционе структуре (појаве прелаза, прелазни ефекат) Многе минерализације дају вариограме сличне овим приказаним на слици 48. Слика 48. Вариограми који илустују прелаз од континуитета до не-континуитета У сваком случају, има више или мање континуалног увећања до извесног растојања којe се назива домет, вредности вариограма постају релативно стабилне. Ови вариограми се могу поделити на два дела. Први, у ком се вредности повећавају, одговара неком од вариограма (а), (b) или (c) са слике 47, и има исту интерпретацију. Други, код ког се вредности крећу око константне вредности назване праг, који одговара случају (d) са слике 47. Интерпретација овог другог дела је слична оном са слике 47(d), сем што је случајно понашање вариограма пре проузроковано занемарљивом корелацијом између вредности на већој удаљености од домета, него понашањем саме минерализације. Домет ставља максималну вредност на зону утицаја. Утицај узорка се смањује са растојањем док потпуно не нестане. Анизотропија 8

9 Карктеристике минерализације могу да се мењају у зависности од правца. На пример, у слојевитим лежиштима, зона утицаја и степен континуитета могу бити значајно већи у правцима паралелним са слојевима него кроз слојеве. Вариограми треба увек да се рачунају у разним правцима да би се открило постојање анизотропије. Вертикални и хоризонтални вариограми са слике 49 имају различите зоне утицаја. Приближна зона утицаја за узорак у овој минерализацији би био елипсоид са осама: 30m (вертикално), 90m (север-југ) и 50m (исток-запад). Пропорција домета се зове пропорција анизотропије и то је 30:90:50, односно :3:5. Различити домети вариограма са слике 49 упућују на величину (степен) промена вредности узорака у односу на правац. Да би се запазио исти степен промене у свим правцима, потребно је прећи 3m правцем север-југ, 5m правцем исток-запад за сваки m вертикалног померања. Важна последица ове чињенице се односи на интервале узорака: оптималан размак узорковања је у односу :3:5. Ови исти коментари се могу применити на нагибе не-транзиционих типова вариограма. Слика 49. Вариограми са различитим зонама утицаја Домети вариограма по правцима идентификују облик зоне утицаја и из тог разлога се овај тип анизотропије често зове геометријска анизотропија. Постоје и други типови анизотропије као што су промене по правцу у континуитету и случајне варијације. Слојевита лежишта код којих слој има јасан домет вредности садржаја могу дати вариограме као на слици 50. Слика 50. Могући вариограми за слојевита лежишта 9

10 Већа вредност прага вертикалног вариограма је мера веће варијације у вредностима садржаја у том правцу. Пример: Стратиграфско Ag/Pb/Zn рудно тело Вариограми се израчунавају за део стратиграфског Ag/Pb/Zn рудног тела које се састоји од низа од три сочива. Узорци из језгра истражних бушотина, дужине.5m, анализирани су на сребро, олово и цинк. Средњи вариограм је израчунат за сваки елемент. Слика 5 приказује вариограме израчунате за два правца (оба у равни профила) за сребро. Слика 5. Вариограми за сребро израчунати за два правца у равни профила Гледајући вариограм за хоризонтални правац (0 +/-0 ) уочава се да је почетна вредност за удаљеност од.5m око 500 (ppm Аg) и да се постепено повећава, док око 6m она полако почне да благо осцилира око вредности од 4500 (ppm Аg) што је приближно једнако статистичкој промени вредности анализа. Ово је очигледно транзициони тип вариограма са дометом od око 6m. Није могуће нацртати вредности за растојање мање од.5m јер је минимална величина изабраног узорка била.5m Међутим, уколико се линија која спаја неколико првих тачака пројектује на вертикалну осу, пресећи ће је на отприлике 400 (ppm). Укупна варијација од 4500 (ppm) се тако дели на два дела: први представља случајну варијацију која може бити проузрокована бројним факторима укључујући: микро-структуре на скали мањој од.5m, очекиване варијације између две половине језгра, узорци нису репрезентативни због методе узорковања или оног ко врши узорковање, било која грешка у току припреме узорака пре анализе. Могуће је, користећи геостатистичке методе, да се одвоје варијације због грешака узорковања од осталих извора варијација. Други део укупне варијације са слике 5 [од 400 (ppm) до 4500 (ppm) ] представља варијацију због геолошких фактора на скали већој од.5m, тј. димензионални континуитет, зоне утицаја, дистрибуција или распоред анализа. Другим речима, 0

11 приближно 90% укупне варијације у вредностима анализа потиче од геолошких фактора који утичу на тачност оцена, а који при том могу да се посматрају. Веће варијације се очекују за анализе мерене управно на пад. Ово је очигледно на слици 5. Домет вариограма у овом правцу се такође смањио на око 4.5m. Интересантна карактеристика вариограма је очигледно смањење варијација око 0m. Овај ефекат карактерише рудна тела која се састоје од више удаљених сочива. Због грубих података који су се користили у прорачуну, укуључујући три сочива, ефекат се вероватно јавља због сличности између сочива руде и сличности између уметнутог нископроцентног материјала, тј., на мањим растојањима у израчунавању вариограма, варијације се мере међу сличним типовима материјала (руде или јаловине). На нешто већем растојању, варијације се мере између сочива руде и јаловине, тј. максимална варијација, и на још већем растојању, варијације се мере између различитих сочива руде (који имају упоредиве вредности садржаја) или различите зоне јаловине. Ово проузрокује рупу у вариограму на око 0m. Степен хомогености Један од критеријума за могућност закључивања о карактеристикама минерализације (или бар њеног дела) на основу карактеристика узорака је да мора постојати довољан степен хомогености минерализације као што је измерено на узорцима. У геолошком смислу, ово значи да треба израчунати одвојене вариограме за сваку посебну геолошку зону, али дефиниција зоне зависи од примењене скале. На пример, за низ сочивастих Аg-Pb-Zn рудних тела, прво треба посебнe вариограме израчунати за свако рудно тело или групу рудних тела. Ако су вариограми израчунати кроз значајно различите стратиграфске целине као што је она између главних рудних тела, тада ће разлике између просторних расподела вредности садржаја у свакој целини извитоперити вариограм. На мањој скали, могуће је разликовати појединачне подцелине у оквиру рудног тела, које могу да буду дебљине 0.m или мање. Ово је случај када је величина скале важна. Уколико су подцелине у рудном телу екстремно мале, имајући у виду величину блока који се откопава (нпр. откопавање са засипавањем или отвореним откопима) и за процену тако великих запремина, мало се може добити рачунајући одвојене вариограме за сваку подцелину. У већини случајева, било би немогуће да се тако уради због недостатка података. И трошкови обезбеђивања довољне количине података би били недопустиви. У многим случајевима, геолошки хомогене зоне се могу дефинисати, и могу им се одредити различите карактеристике рачунајући вариограме за сваку зону. У многим другим случајевима, такве зоне се не могу дефинисати и минерализација се не може и даље сматрати довољно хомогеном за врсту закључивања захтевану на задатој скали. На пример, систематско повећање или смањење вредности садржаја у неком правцу би значило да би средња вредност садржаја узорка зависила од места на ком је узет. На основу узорака узетих у једном делу минерализације не могу се изводити закључци о средњој вредности садржаја у другом делу. Да би се извела оваква закључивања потребна за процену рудних резерви, неопходна је одређена хомогеност као што је измерено на узорцима. Хомогеност је довољна када је, на захтеваној скали, средња вредност узорака у једном делу минерализације (или неком њеном делу) мање-више иста као средња вредност узорака у другом делу. Једноставан начин одређивања да ли постоји оваква хомогеност је да се нацртају вредности узорака у односу на средњу вредност Утицај нехомогености на вариограм Вариограм се може изразити као израз варијансе вредности од f(x ) - f(x +h):

12 Var[f(x n(h) n(h) [f(x ) f(x + h)] f(x) f(x + h) = = ) f(x + h)] = [ ] = γ(h) [d(h)] n(h) n(h) Тако, Где је: γ ( h) = var[f(x + ) f(x + h)] [d(h)] n(h) број узорака на растојању h f(x ) вредност узорка на локацији x f(x +h) вредност узорка на локацији x +h, где је h растојање од x d(h) средња вредност разлике вредности узорака на растојању h (Ово омогућава оцену било ког тренда или помака у вредностима анализа у поједином правцу.) Из оваквог израза за вариограм, очигледно је да се вредности вариограма повећавају са квадратом d(h) вредности. Када постоји значајан помак у вредностима узорка, резултујући вариограм може бити видно промењен. Важно је разликовати стварне варијације вредности узорака око средње вредности и варијације саме средње вредности. Када се за помак узме нула (тј d(h) се креће око нуле) тада се вариограм може изразити као половина варијансе инкремента f(x ) - f(x +h): γ ( h) = var[f(x ) f(x + Основна претпоставка у геостатистичкој техници која се користи у овом приказу је да се може претпоставити да је помак нула. Ова претпоставка се може верификовати рачунајући помак заједно са вариограмом. Уколико помак није нула, постоје начини на које се то решава, што није у опсегу овог курса. h)] 4.5. Утицај фактора померања на израчунавање вариограма. По дефиницији, вариограм је једнак половини варијансе разлике Z(x)-Z(x+h): γ(x,x + h) = var[ Z(x) Z(x + h)] =...() γ(x,x + h) = sredna [Z(x) Z(x + h)] {sredna[z(x) Z(x + h)]} Под претпоставком основне унутрашње стационарности, наиме:. очекивана вредност променљиве је константна у целом рудном телу (или бар у делу који се проучава). варијанса разлика је коначна и функција је од h. Други израз са десне стране од () постаје:

13 и вариограм се може написати као: тј., као функција само од h. Истраживање и процена минералних лежишта sredna [Z(x) Z(x + h)] = 0 sredna [Z(x) γ ( h) = +...() Уобичајен начин оцене ове величине у пракси је: * γ ( h) = n( h) = где је n(h) број коришћених парова разлика. Z(x [ z( x ) z( x n( h) h)] + h)] Овакво оцењивање је оптимално само за случај у ком Z(x) и Z(x+h) имају нормалну расподелу. Ако обе претпоставке и нису задовољене тада је тешко, мада не и немогуће, да се даље настави. У таквим случајевима је често могуће да се нађе ограничена област на којој () се може предпоставити и за коју је тако вариограм: γ ( h ) = var[ Z( x) Z( x + h)] Вредност промењљиве није више константна, и у функцији је од своје позиције x: sredna [Z(x)] = m(x)...(3) па се вариограм не може поједноставити више од следећег облика: γ ( h ) = E[ Z( x) Z( x + h)] { E[ Z( x) Z( x + h)]}...(4) Уколико се ово игнорише и вариограм рачуна једноставно као: тада је стварна величина израчуната у (4): E [ Z( x) Z( x + h)] γ ( h ) + { E[ Z( x) Z( x + h)]}...(5) тј., израчуната вредност вариограма је»надувана«вредношћу { E [ Z( x) Z( x + h)]}...(6) Напомена: чак и ако је величина у (6) израчуната и одузета од тотала у (5), резултујући вариограм није од практичне користи. За потребе оцене (бар користећи традиционалне технике криговања) потребне су следеће две величине: 3

14 . m(x)=е[z(x)]. вариограм резидуала: Z(x)-m(x) Питање које се сада намеће je: када израз из (6) постаје значајан? Израз: E[Z(x)-Z(x+h)]...(7) је познат као помак и он је мера присуства систематског увећања или смањења код променљиве Z(x) у правцу вектора h. У геолошким применама помака скоро увек је присутно систематско увећање или умањење на некој скали. Тешко је замислити било које рудно тело тако хомогено да се систематска промена у садржају корисне компоненте не може открити на било којој скали. За примену је важно да ли је скала важна, битна за потребе процене. На сличан начин као за вариограм, помак се може оценити као: n( h) d ( h) = [ z( x ) z( x + h)]... (8) = У идеалном случају ове вредности, кад се нацртају, треба да осцилују око нуле као што је приказано на слици 5. Слика 5. Цртеж средина разлика у одсуству помака на скали дужине од x осе Ако постоји систематско повећање или смањење вредности променљиве цртеж помака може изгледати слично оном приказаном на слици 53. Уз то, значајан помак треба да буде евидентан на експерименталном вариограму, често приказујући скоро параболично повећање у својој вредности где израз (6) постаје значајан. Међутим, ако је растојање (или скала) на којој помак постаје значајан веће него оно преко ког било која процена треба да се уради, тада се обично може игнорисати и ефекат таквог рада се може проценити и проверити у валидацији модела. Вариограм и криговање су приказани у бројним студијама и показује се да су прилично робусни у односу на присуство помака. 4

15 Слика 53. Цртеж средина разлика са присуством помака на скали дужине од x осе 4.6 Квантификација вариограма Да би се искористио експериментални вариограм за било какве практичне примене, информације које се њиме изражавају се морају квантификовати. Ово је углавном већ урађено: приближне димензије зона утицаја су одређене заједно са укупном варијацијом и случајном варијацијом. Бројеви придружени овим параметрима се могу сажети фитовањем једначине са експерименталним вариограмом. Једначина се зове модел. Обзиром да је вариограм варијанса (Одељак 4.4) и како варијанса мора бити позитивна, модел мора за све вредности давати позитивне резултате. Због тога, најбоље је користити неке од разних модела, сачињених на основу богатог искуства и одговарајућих за већину минерализација. У одељку 4.5.., приказано је да се вариограм може изразити као: Ако су f(x ) и f(x +h) независни тада (у пракси, приближно) и тако: γ ( h) = var[ f ( x ) f ( x + h)] γ ( h) = var[ f ( x )] cov[ f ( x ) f ( x + h)] + γ ( h) = var[ f ( x )] cov[ f ( x ) f ( x + h)] cov[ f ( x ) f ( x + h)] = 0 γ h ) = var[ f ( x )] ( var[ f ( x + h)] тј. варијанса узорака коришћених за израчунавање вариограма. За транзициони тип минерализације, f(x ) и f(x +h) су независни када је растојање h веће од домета утицаја. Тако вредност прага транзиционог типа вариограма треба да се апроксимира варијансом узорака коришћених за израчунавање вариограма. 5

16 4.6. Сферични модел Овај модел се најчешће користи за карактеризацију транзиционог типа вариограма. Овај модел је: γ(h) = C γ(h) = C h C{ a + C h a 3 3 } za za h a h a где : C 0 је случајна компонента варијације, тј. нугет варијанса C је структурна компонента варијансе C 0 +C укупна варијација или праг а домет утицаја Модел је приказан цртежом на слици 54. Слика 54. Сферични модел вариограма Метод фитовања сферичним моделом експериментални вариограм је илустрован ослањајући се на вариограм за анализе приказане на слици 55. Кораци које он укључује су:. Нацртати линију кроз вредност око које изгледа да се крећу вредности вариограма. Ова вредност треба да буде приближно једнака варијанси вредности коришћених за прорачун вариограма. Линија за овај пример је приказана на слици 53. Ова линија даје вредност C 0 +C.. Нацртати праву линију кроз прве две или три вредности вариограма и продужити је тако да сече γ(h) осу. Ово даје вредност C 0. Линија за овај пример је приказана на слици 55. Уочимо да можда неће бити могуће нацртати линију која пролази кроз ове тачке као што је у примеру на слици 56. У овом случају, линија треба да апроксимира средњу вредност тачака као што је приказано на слици 56. 6

17 3. По дефиницији, линија у () сече праг (линију нацртану у ()) на растојању једнаком две трећине домета (а). Слика 55. Метод фитовања експерименталног вариограма сферичним моделом Сви параметри (C 0, C и а) сферичног модела су сада дефинисани Закључивање на основу вариограма Извођење закључака о карактеристикама минерализације (или неког њеног дела) на основу карактеристика узорака је разматрано у одељку 4.. Карактеристике узорака, које утичу на тачност процене су сажете у вариограму добијеном на основу ових узорака. Овај вариограм се често назива експериментални вариограм, да би се разликовао од стварног вариограма минерализације који би се добио на основу узорака са свих могућих локација. Уз то, експериментални вариограм је само један међу бесконачно много таквих вариограма који могу бити добијени на основу узорковања са различитих локација. 7

18 Слика 56. Фитовање експерименталног вариограма сферичним моделом Вариограм минерализације се може извести из експерименталног вариограма уколико су узорци који су коришћени у прорачуну довољно репрезентативни за минерализацију. Ипак, експериментални вариограм је увек само процена вариограма минерализације. Показано је (Matheron, 965) да су у просеку вредности експерименталног вариограма једнаке вредностима вариограма минерализације. Међутим, стварне разлике у вредностима два вариограма за поједину вредност h могу бити велике, као што се види на слици 57. Слика 57. Флуктуација (варирање) експерименталног вариограма око модела Практична последица ових разлика је да експериментални вариограм може да не буде (и често није) тако правилан као примери приказани у овом тексту. Ипак, важно је запамтити кад се фитују модели да је модел само општи опис неких карактеристика минерализације и да је то само процена варијансе вредности узорака на растојању h. Све док су параметри модела у сагласности са познатом геологијом, модел треба да буде прихватљив. Уз то, модел се може емпиријски проверити, што је описано у поглављу 5. Очигледно, што је већи број парова узорака који се користе за израчунавање вариограма, то ће он бити ближи стварном вариограму минерализације. Уколико се свака локација лежишта узоркује, ова два вариограма би се поклопила. Опште искуствено правило је да је потребно бар 30 парова узорака за израчунавање вредности вариограма. Уз то, експериментални вариограм треба сматрати поузданим за растојање до половине дужине на којој се рачуна Модели уопштено Модели вариограма ниуком случају не подразумевају (не намеравају) да заузму место геолошком знању или експертизи. Они су једноставно, ефикасан и врло користан начин сажимања бројних фактора који утичу на тачност процене и ништа више. У овом приказу, користиће се само сферични модел, пошто је то најчешће коришћени модел у пракси. Сви прорачуни су потпуно исти и за остале моделе и они се често могу поједноставити као у случају de Wjsan и линеарних вариограма. Овде се разматрају само једноставни модели. Неки вариограми се не могу описати једним моделом, али се могу адекватно представити збиром два или више модела. γ ( h) = γ ( h) + γ ( h)

19 Ово је обично случај када се варијабилност (променљивост) јавља на различитим скалама. То је оно што се у ствари јавља када је присутан нугет ефекат. Нугет варијанса је мера варијације која се јавља на релативно малој скали (тј, разлика између две половине бушотинског језгра; грешке мерења). Остатак вариограма је мера варијација које се јављају на већој скали. Вариограм се може написати као: где је: γ h) = γ ( h) + γ ( h) ( 0 + γ 0 (h) једнако нули када је h једнако нули и повећава се до C 0 негде између h=0 и h=растојање између узорака Вариограми и подршке Вариограм сажима (сумира) факторе који утичу на тачност како је измерено по појединој подршци, тј. језгру бушотина. Сваки тип узорка (тј. подршке) ће произвести различити вариограм. Узорци представљају средње вредности мерене на одређеном (задатом, дефинисаном) геометријском облику оријентисаном у одређеном правцу. Како се повећава узорак, тако се тежи да се обухвати више од структура којима се повећава варијабилност. Посебно ће се тежити да се обухвати врло мала скала што проузрокује повећање нугет вариансе. Нугет варијанса, C 0, је у ствари инверзно-пропорционална запремини узорка. Ако је C 0 нугет варијанса за узорке запремине v, тада је нугет варијанса за узорке запремине V: где је V>v. v V C 0 Са повећањем величине узорка, повећава се и домет утицаја. У нормалном случају, за 0m дуго језгро очекује се већи домет утицаја него за m дуго језгро. У општем случају, варијанса узорака се смањује са повећањем њихове запремине, мада не на линеаран начин. Највећа варијабилност се ствара са најмањим узорцима. Најекстремније, ови узорци могу бити тачке. Очигледно, такви узорци не могу бити узети, али је често корисно у прорачунима користити вариограме за довољно мале узорке, у односу на димензије посматраног проблема они се могу сматрати тачкама. На пример, m дуга језгра у великом расутом лежишту, могу се сматрати тачкама када се пореде са блоковима за откопавање, за чију се оцену користе. Тро-димензиони проблеми се често могу свести на дводимензионе проблеме, уз претпоставку да су дужине тачке. На пример, оцена 50m x 50m x 0m (вертикално) блока са 0m вертикалном дужином језгра, може се сматрати еквивалентом за оцењивање правоугаоника 50m x 50m и тачком на дводимензионој равни. Дајући вариограм за једну подршку, могуће је одредити приближан вариограм за било коју другу подршку. Ако је γ v (h) семи-вариограм за узорке са подршком v тада: γ v (h)= γ(h)-f(v) где је: 9

20 γ(h) семи-вариограм за тачка узорке и f(v) је средња вредност ових тачака семи-вариограма у v. Основна практична примена овог израза је предвиђање (предикција) карактеристика семи-вариограма језгара, узорака из бразде или других линеарних узорака дате дужине ако је дат семи-вариограм за узорке других дужина. На пример, ако је дат семивариограм за m узорке, а треба предвидети семи-вариограм за 0m или 50m узорке. За сферични модел, ако је а домет тачака узорака тада је a =а+l домет утицаја узорака дужине L. F(L) се може израчунати из: 3 L L F ( L) = za a > L 3 a 0a и тако тачка семи-вариограм је приближно: γ L (h)+f(l) Нугет варијанса за тачка семи-вариограм је LC 0 где је C 0 нугет варијанса на семивариограму за узорке дужине L. Када се једном одреди домет и нугет варијанса тачка семи-вариограма, остаје само параметар C (праг) који је за сферични модел дат са: 3 L L C = C a 0a [ 3 где је C праг семи-вариограма за узорке дужине L. ] 4.7 Практични проблеми У пракси, подаци често нису поравнати и нису на једнаком одстојању. Ипак, правећи одговарајуће апроксимације вариограми се могу израчунати Неједнак размак између узорака У пракси, узорци се често узимају на нерегуларним интервалима пре него на једнако распоређеним. Уочимо на пример, узорке узете дуж линије на слици 58. Слика 58. Узорци узети на неједнаким растојањима дуж линије Поново се претпоставља да сви узорци имају исту подршку; случај у ком су подршке различите се разматра касније. 0

21 Просечно растојање између узорака је.0m и то изгледа као одговарајуће изабрано растојање као основа за рачунање вариограма. Међутим, постоје само два пара тачака (бројеви и и бројеви 4 и 5) који су на растојању.0m; нема ниједан на растојању.0m, 3.0m, итд. Као апроксимација, може се изабрати интервал од m±0.3m. Сви парови на растојању од 0.7m до.3m се могу користити за рачунање γ(m); сви парови на растојању од.7m до.3m се могу користити за рачунање γ(m) итд. Тако за γ(m), парови узорака који се користе су ( и ), ( и 3), (4 и 5), (5 и 6) и (7 и 9). За γ(m) су парови узорака ( и 4), (4 и 6) и (6 и 8). За γ(3m) су парови узорака ( и 4), ( и 5), (5 и 7) и (6 и 9). Грешка која је укључена у ову апроксимацију се смањује са растојањем. За γ(m) узорци су уствари у опсегу m±30%; за γ(m) узорци су у опсегу m±5%; за γ(3m) узорци су уствари у опсегу 3m±7.5%, итд. Непоравнати подаци У две димензије, подаци не морају бити поравнати и раније описани метод за одстојања може бити проширен на правац. Сваки правац се може дефинисати као угао плус или минус одређени проценат тог угла, тј. исток-запад правац може се узети као 0 ±0 или 0 ±0 или чак 0 ±45, у зависности од нерегуларности података. Ова класификација у класе углова може бити додата на класификацију у класе растојања. На пример, посматрајмо распоред на слици 59. Слика 59. Апроксимација правца за рачунање вариограма За све узорке који се налазе у шрафираној области се сматра да су на растојању h од узорка у правцу r. Ако је варијација корисне компоненте иста у свим правцима, тада ће угао класификационе технике произвести сличне вариограме оном који би се добио на основу идеално поравнатих података. Међутим, уколико се варијација мења по правцу, тада ће се резултујући вариограм разликовати од оног који би се добио на основу идеално поравнaтих података. Међутим, ако се омогући да угао који се користи за класификацију буде мањи од 45 (тј. ±.5 ) и растојање које се користи за класификацију буде једнако средњем растојању између узорака, експериментални вариограм ће бити прихватљиво близу оном који би се добио од поравнатих и подједнако удаљених података. Тродимензиони проблеми се често могу свести на низ (серију) равни, при чему могу бити коришћене класификације на основу угла и растојања.

22 У многим тродимензионим случајевима, скоро је немогуће наћи довољно поравнате или скоро поравнате податке да би се израчунао вариограм. На пример, лепезно бушење са различитих нивоа у подземним рудницима може да произведе узорке који изгледа као да су случајно распоређени. За општи случај у три димензије распоред приказан на слици 59 може бити замењен купом чији је врх у узорку. Обично је могуће израчунати вариограм дуж сваке истражне бушотине и понекад може бити могуће да се нађе довољно бушотина које су скоро паралелне да би обезбедиле просечан вариограм у неким правцима. Друга техника, позната као кластеровање, дели лежиште на блокове једнаке величине и упросечи сва језгра бушотина која пресеца у сваком блоку. Средња вредност за сваки блок се надаље сматра корисном компонентом тог блока (уколико је обезбеђено да има довољно пресека у њему) па се рачуна вариограм за блокове Неједнаке подршке Идеални вариограми треба да се рачунају за узорке са истим подршкама. Десет-метарски дугачка језгра ће имати различите карактеристике од два-метра дугих језгара; узорци из бразде ће имати различите карактеристике од узорака праха из минских бушотина. Различите подршке производе различите вариограме. Постоји више могућности за прорачун вариограма од који је сваки укратко приказан у наставку текста: () Могуће је узети тежинску средину узорака неједнаких подршки да би се обезбедио скуп вредности са приближно истим подршкама. На пример, посматрајмо језгро на слици 60 које је исечено на неједнаке дужине и анализиран је садржај олова. Слика 60. Анализе узорака неједнаке дужине Дужине језгра бушотине од по једног метра се могу обезбедити на следећи начин: Узорак бр..0m дужине 5% Узорак бр..0m дужине 0% обезбеђено узимајући тежинску средину другог и трећег сегмента и 0.m од четвртог сегмента: = = 0% Узорак бр.3.0m дужине.% обезбеђено узимајући тежинску средину остатка 0.7m од четвртог сегмента и целог петог сегмента језгра: = =.% Узорак бр.4.0m дужине.5% обезбеђено узимајући тежинску средину шестог, седмог и осмог сегмента и 0.m деветог сегмента: = =.5%

23 Узорак бр.5.0m дужине 5.8% обезбеђено узимајући тежинску средину остатка 0.9m од деветог сегмента и целог десетог сегмента језгра: = = 5.8% Узорак бр.6 0.8m дужине 0.4% обезбеђено узимајући тежинску средину од једанаестог и дванаестог сегмента језгра: = = 0.4% Метод који претпоставља да је садржај корисне компоненте константан у сваком оригиналном узорку језгра што наравно није случај. Ова претпоставка значи да корисна компонента од нових узорака од једног метра неће бити тако променљива као они узорци који би били на располагању да је оригинално језго исечено у сегменте од једног метра, па потом анализирано. Разлика код ове две променљивости (варијабилности) зависи од: Варијабилност мале скале минерализације. Што су веће варијације у сваком узорку језгра, то ће бити веће разлике у варијабилности. Дужина новог, вештачког узорка језгра је у односу са средњом дужином стварних узорака. Минимална разлика је омогућена када су две дужине приближно једнаке. Код стратиграфских и жичних лежишта код којих истражна бушотина сече минерализацију од кровинског до подинског бока, може се дефинисати нова променљива, акумулација (нагомилавање). Нагомилавање је производ дебљине и корисне компоненте, тј. 0m истражне бушотине са садржајем.% бакра имаће нагомилавање од.0(m%) бакра. Код ових типова рудних тела уобичајено је да се оцењује нагомилавање и дебљина и да се обезбеди оцена садржаја корисне компоненте на приближан начин, делећи оцењено нагомилавање оцењеном дебљином. Више детаља о овом приступу биће дато у поглављу Унакрсни (Cross) вариограми Често је од интереса да се простудира веза између две или више промењљивих, тј. сребра, олова и цинка или између дубине и дебљине формације. Све што је речено у претходним одељцима се може генералисати и за парове променљивих. Еквивалент вариограму за парове променљивих се зове крос-вариограм. Нека је f(x ) вредност једне променљиве на локацији x и g(x ) вредност друге промењљиве на истој локацији. На пример f(x ) и g(x ) могу бити садржаји олова и цинка редом у парчету језгра из бушотине са локације x. Унакрсни вариограм се рачуна као: γ ( h) = fg n( h) = [ f ( x ) f ( x + h)][ g( x ) g( x n( h) + h)] Уколико не постоји помак у било којој од вредности тада се унакрсни вариограм може изразити као: 3

24 γ γ γ fg fg fg (h) = kovarjansa[f(x ) f(x + h)][g(x ) g(x + h)] (h) = cov[ f(x )g(x )] cov[ f(x + h)g(x )] cov[ g(x (h) = cov[ f(x )g(x )] cov[ f(x + h)g(x )] Истраживање и процена минералних лежишта + h)f(x )] + cov[ f(x + h)g(x + h)] Ако су, после растојања h, (домета утицаја) вредности узорка f(x +h) и g(x ) независни тада: и cov[ f ( x h) g( x )] = 0 (у пракси, приближно) + γ fg( h ) = cov[ f ( x ) g( x )] Тако, за транзициони тип унакрсног вариограма вредност прага је приближно једнака коваријанси између вредности узорака који се користе за израчунавање унакрсног вариограма. Уочимо да унакрсни вариограми могу бити позитивни или негативни. Негативни унакрсни вариограм указује да, у просеку, повећање вредности једне промењљиве прати смањење вредности друге промењљиве и обрнуто; позитивни унакрсни вариограм указује да, у просеку, повећање вредности једне промењљиве прати повећање друге. Модели унакрсног вариограма се фитују на потпуно исти начин као код вариограма. Слика 6 приказује унакрсне вариограме за олово и сребро из стратиграфског Аg/Pb/Zn рудног тела. Унакрсни вариограми су израчунати за четири правца у равни профила. Сви су позитивни, што указује да је повећање садржаја олова обично праћено повећањем садржаја сребра и обрнуто. Коваријанса између олова и сребра за правац нормалан на пад (55+/-0 ) је 4.5%ppm који је узет као вредност прага (C 0 +C), домет утицаја (а) је пет до шест метара и нугет варијанса (C 0 ) је нула. Унакрсни вариограми се могу користити за заједничку процену када анализе једног метала недостају или да се процене недостајуће вредности анализа у композитима језгра. 4

25 Слика 6. Унакрсни вариограм за сребро и олово из стратиграфског рудног тела Ag/Pb/Zn 5