ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ OΔΕΥΟΝΤΑ ΚΥΜΑΤΑ - ΚΥΜΑΤΟΜΑΔΕΣ

Transcript

1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ OΔΕΥΟΝΤΑ ΚΥΜΑΤΑ - ΚΥΜΑΤΟΜΑΔΕΣ Σγγραφή Ειμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

2 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ ( 4x8 Δίνεται η σνάρτηση y( x, 5e, ό x η θέση και t χρόνς. Να εξεταστεί αν η έκφραση ατή ατελεί κύμα και αν ναι, να βρεθεί η διεύθνση διάδσης και η φασική τ ταχύτητα. Η δθείσα σνάρτηση μρεί να γραφεί ς: y( x, 5e ( 4x8 y( x, 5e 6( x Δηλαδή είναι σνάρτηση της μρφής f(x+, ό =. Άρα εειδή η y(x, είναι μια εκθετική σνάρτηση τ (x+, ατελεί την κματσνάρτηση ενός κύματς διαδίδεται ρς τα αριστερά (αρνητικά x με ταχύτητα διάδσης (φασική ταχύτητα =m/sec. Σημείση: Αν η σνάρτηση ήταν της μρφής f(x- τότε τ κύμα θα διαδιδόταν ρς τα δεξιά (θετικά x. Είσης εύκλα μρεί να αδειχθεί ότι η δθείσα σνάρτηση ικανιεί την κλασική κματική εξίσση. Δηλαδή λγίζντας τις μερικές αραγώγς y / t, y / x ρκύτει ότι: y y 4 t x Σνεώς και άλι φαίνεται ότι η δθείσα σνάρτηση y(x, αριστάνει κύμα διαδίδεται με ταχύτητα =m/sec. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ Αδείξτε ότι μρεί να εκφραστεί η λύση της κματικής εξίσσης αρακάτ έρθεση δεύντν κμάτν: t y x y με την y=f(x-+(x+ ό f και είναι αθαίρετες σναρτήσεις και η ταχύτητα διάδσης τν κμάτν. Τα δύ δεύντα κύματα f(x- και (x+ είναι κύματα αθαίρετ σχήματς, με τ f(x να δεύει ρς τα θετικά τ άξνα x με ταχύτητα, ενώ τ (x+ να δεύει ρς τα αρνητικά με ταχύτητα. Θέτντας: z=x-t και w=x+t η λύση της κματικής εξίσσης γράφεται: Άρα y=f(z+(w ( ( y f df z d w df ( t t t dz t dw t dz d dw y t d dw df dz ( Και y t ( d dt d dw d dt df dz d dw d dw w t d dz df z dz t d d f y d f d ( ( dw dz t dz dw Ομίς ρκύτει ότι: x y d f dz d dw (4 Αντικαθιστώντας τις ( και (4 στην κματική εξίσση ρκύτει ότι y=f(x-+(x+ την ικανιεί και ατελεί μια λύση ατής., δηλαδή η ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

4 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ Χρδή αείρ μήκς έχει αρχικά για t= σχήμα ταχύτητα τν σημείν της y( x, / t x. Να ρσδιριστεί η εξίσση κίνησης της χρδής για κάθε t. x y( x, e και αρχική εγκάρσια Η γενική μρφή της κίνησης της χρδής, δηλαδή η κματσνάρτηση τν δεύντν κμάτν ανατύσσνται σε ατή είναι: y(x,=f(x-+(x+ ( Αό την αρχική σνθήκη x y( x, e η σχέση ( για t= δίνει: x f ( x ( x e ( Ενώ αό την αρχική σνθήκη y( x, / t x η σχέση ( για t= δίνει: ( y ( x, f ( x ( x x t t t t t df ( x d ( x d( x t d( x t t df ( d( x d d( x t df d df d x ( x ( dx dx dx dx Ολκληρώνντας τη σχέση ( ρκύτει: x df d x dx f x x x c ( ( ( (4 ό c είναι μια αθαίρετη σταθερά λκλήρσης. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

5 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ Αό τις σχέσεις ( και (4 ρκύτει ότι: c x x e x f x ( και c x x e x x ( Αντικαθιστώντας τέλς στην έκφραση της f(x τ x με x-t και στην έκφραση της (x τ x με x+t ρκύτει: c t x t x e t x f t x ( ( ( ( c t x t x e t x t x ( ( ( ( Άρα η κματσνάρτηση y(x, δίνεται αό τη σχέση ( αίρνει τη μρφή: ( ( ( ( ] [, ( ( ( t x t x t x t x e e t x y t x t x

6 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 4 Τ άκρ μιας μγενύς χρδής στ σημεί x=, διεγείρεται αρμνικά με μια σχνότητα ν= Hz και με λάτς cm. Η χρδή έχει άειρ μήκς (ή αλλιώς είναι ρσαρμσμένη στ τέρμα της ώστε να μην άρχν καθόλ ανακλάσεις. Η φασική ταχύτητα είναι 5 m/sec. Περιγράψτε την κίνηση ενός σημεί της χρδής (σναρτήσει τ χρόν, βρίσκεται σε αόσταση,5 m αό τ διεγειρόμεν άκρ. Πια είναι η κίνηση ενός δεύτερ σημεί, βρίσκεται σε αόσταση,5 m αό τ διεγειρόμεν άκρ; Εειδή η χρδή διεγείρεται αρμνικά η αμάκρνση κάθε σημεί της τη χρνική στιγμή t δίνεται αό τη σχέση: y( x, Asin( t x ό Α=cm=,m τ λάτς, η κκλική σχνότητα και κματάριθμς. Αό τη θεμελιώδη εξίσση της κματικής είναι: λν λ ν 5m / sec λ 5m Hz, Οότε: Και: 4 rad / m λ, 5m ν Hz rad / sec Άρα η κίνηση τν σημείν x=,5 m και x=,5m θα εριγράφνται αό τις σναρτήσεις: y( x, 5m,, sin( t 4, 5, sin[( t ] (m y( x, 5m,, sin( t 4, 5, sin[( t 4 ] (m Παρατηρείται ότι εειδή στις σχέσεις y(,5,, y(,5, ι γνίες τν ημιτόνν είναι αραληρματικές ή αλλιώς εειδή τα δύ σημεία αέχν μισό μήκς κύματς λ/=,5m, τότε όταν τ ένα σημεί αρσιάζει κιλία τότε και τ άλλ σημεί θα αρσιάζει κιλία αντίστιχα, ενώ όταν τ ένα σημεί αρσιάζει δεσμό και τ άλλ σημεί θα αρσιάζει δεσμό. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

7 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 5 α Αν μια χρδή ιάν έχει μήκς m και σχνότητα 44 Hz για τ χαμηλότερό της τρό λγίστε τη φασική ταχύτητά της. β Αν η χρδή έχει διάμετρ mm και είναι κατασκεασμένη αό ατσάλι με κνότητα 7, 9r / cm λγίστε την τάση της χρδής σε Nt και σε p. α Η φασική ταχύτητα έχει εισαχθεί για την εριγραφή τν δεύντν κμάτν και ικανιεί τη θεμελιώδη εξίσση της κματικής. λν Στη δθείσα χρδή ιάν, έχει εερασμέν μήκς και σταθερά άκρα δημιργύνται στάσιμα κύματα και εμένς λαμβάνντας τη σημασία τν λ και ν στα στάσιμα κύματα μρεί να λγιστεί η φασική ταχύτητα μελετώντας στάσιμα κύματα αντί για δεύντα. Η σνθήκη για τη δημιργία στάσιμν κμάτν σε μια χρδή είναι: λ, n,,,... n Άρα για τ χαμηλότερ τρό, δηλαδή για n= είναι Εμένς η φασική ταχύτητα είναι: λ m. λν m 44Hz 88m / sec ( β Είναι γνστό ότι η φασική ταχύτητα χρδής δίνεται αό τη σχέση: T T T ρ ( ρ ρ ό ρ η γραμμική κνότητα μάζας της χρδής, η ία σνδέεται με τη δθείσα χρική κνότητα μάζας ρ μέσ της σχέσης: ρ ρa, ό Α τ εμβαδόν διατμής της χρδής τ ί είναι: d A, ό d η διάμετρς της χρδής. 4 d Δηλαδή είναι: ρ ρ και εμένς η ( δίνει: 4 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

8 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ d T ρ 4 ( T 7, 9 6 m 4 4 m 88 m sec T 4844Nt Εειδή είναι p=9,8nt η μετατρή μνάδν της τάσης δίνει: 4844 p T 494p 9, 8 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

9 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 6 Αδείξτε ότι ένα στάσιμ κύμα είναι εαλληλία δύ δεύντν κμάτν και αντιστρόφς, δηλαδή ένα δεύν κύμα είναι εαλληλία δύ στάσιμν κμάτν. Η γενική κματσνάρτηση ενός δεύντς κύματς είναι : y( x, A cos( t x ( Χρησιμιώντας την τριγνμετρική τατότητα : cos( α β cos α cosβ sin αsin b η σχέση ( γράφεται: y( x, A cost cos x Asin t sin x y( x, A cos x cost A cosx cost Δηλαδή τ δεύν κύμα είναι εαλληλία τν στάσιμν κμάτν Αcosxcost και A cos x cost. Αντίστρφα η κματσνάρτηση ενός στάσιμ κύματς είναι: y( x, A cos x cost ( Χρησιμιώντας την τριγνμετρική τατότητα : cosα cosβ [ cos(α β cos(α - β] A η σχέση ( γράφεται: y ( x, cos( x cos( x A A y( x, cos( t x cos( x A Δηλαδή τ στάσιμ κύμα είναι εαλληλία τν δεύντν κμάτν cos( t x και A cos( x. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

10 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 7 Δείξτε ότι τ άθρισμα δύ δεύντν αρμνικών κμάτν A cos( t x φ και A cos( t x φ, διαδίδνται κατά την κατεύθνση τ θετικύ άξνα τν x και έχν την ίδια κκλική σχνότητα είναι δεύν αρμνικό κύμα της ίδιας μρφής. Δηλαδή τ άθρισμα μρεί να γραφεί με τη μρφή A cos( t x φ. Βρείτε τις σχέσεις σνδέν τα Α, φ και τα A, A, φ και. Για αλύστεση τν ράξεν τα δύ δεύντα κύματα σε μιγαδική εκθετική μρφή γράφνται ς: y φ i( txφ ( x, A cos( t x φ Ae y i( txφ ( x, A cos( t x φ A e Εμένς τ άθρισμα τν δύ ατών κμάτν είναι: y x, y i(t-x φ i(t-xφ ( x, y ( x, Ae A e ( iφ i( t x iφ i( tx iφ iφ i( tx e e A e e ( Ae A e e A ( x, ( A cos φ A cos φ cos( t x ( y Δηλαδή αρατηρείται ότι τ άθρισμα έχει τη μρφή A cos( t x φ, ό σύμφνα με την ( φαίνεται ότι A A cos φ A cos φ και φ=. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

11 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 8 Η σχέση διασράς για μια χρδή ιάν δίνεται αό την έκφραση: ( α, ό σταθερά, κματάριθμς και α μια μικρή θετική σταθερά. Υλγίστε τη φασική και μαδική ταχύτητα ς σνάρτηση τ και δείξτε ότι για κάθε. Η φασική ταχύτητα δίνεται αό τη σχέση: α α ( Ενώ η μαδική ταχύτητα δίνεται αό τη σχέση: d d ( α d d α α α α α ( α Αό τις σχέσεις ( και ( εύκλα ρκύτει ότι: α α Δηλαδή είναι για κάθε. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

12 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 9 Η σχέση διασράς σνδέει τη σχνότητα και τ κματάνσμα ενός αρμνικύ κύματς διαδίδεται σε ένα ελαστικό μέσ δίνεται αό τη σχέση α, ό και α σταθερές σότητες. Δείξτε ότι τ γινόμεν της φασικής και της μαδικής ταχύτητας είναι σταθερό και λγίστε τ. Η φασική ταχύτητα είναι: α Και η μαδική ταχύτητα είναι: d d ( α d d α α α α Άρα τ γινόμεν τν αραάν ταχτήτν είναι: α α α α σταθ. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

13 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ Η σχέση διασράς σε κάι λικό δίνεται αό τη σχέση : 4 4 ( 5 6α α, ό και α θετικές σταθερές. Να λγιστεί η φασική, η μαδική ταχύτητα καθώς και η μεταξύ τς σχέση. Για ια τιμή τ η μαδική ταχύτητα γίνεται μέγιστη; Η φασική ταχύτητα είναι: 4 4 ( 5 6α α ( Ενώ η μαδική ταχύτητα είναι: d d [ ( 5 6α α ] ( α 4α d d 4 4 ( α α ( Εειδή είναι η σχέση σνδέει τις και ρκύτει ς εξής: d d ( d d d d Η μαδική ταχύτητα γίνεται μέγιστη, στην τιμή τ για την ία η σνάρτηση ( ( αρσιάζει μέγιστ, δηλαδή όταν: d d ( 4 ( α α α 4 α 4 α α Η δεύτερη αράγγς της είναι: d 4 4α και στ σημεί ακρότατ =/α γίνεται: d ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

14 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ d 4α d / α δηλαδή στ =/α αρσιάζει μέγιστ. Άρα: ( 4 max ( / α 4 α α 4 ( α α α α max 8 α και η αντίστιχη τιμή της κκλικής σχνότητας για =/α είναι: 5 6α α α 4 4 α ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

15 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ α Να αδειχθεί ότι η σχέση σνδέει την μαδική ταχύτητα με τη φασική ταχύτητα και τ μήκς κύματς είναι: d λ dλ σ β Αν για κάι μέσ ισχύει η σχέση: λ, ό, σ, ρ σταθερές, να ρλ ρσδιριστεί τ μήκς κύματς ώστε να μην άρχει διασρά. α Αό τν ρισμό της μαδικής ταχύτητας και εφαρμόζντας τν κανόνα της αλσιδτής αραγώγισης ρκύτει: d d dλ ( d dλ d Αλλά αό τν ρισμό της φασικής ταχύτητας είναι: =/λ ρκύτει: / κι εειδή d λ d dλ ( λ dλ λ Και εειδή: λ dλ d 4 / λ dλ d λ ( Σνεώς αντικαθιστώντας τις (, ( στην ( ρκύτει: d λ dλ λ λ d λ dλ β Για να μην άρχει διασρά, δηλαδή για να είναι κάι μέσ μη διασκριστικό θα ρέει, δηλαδή η να είναι σταθερή, ότε θα είναι και d / dλ. Στ δσμέν μέσ είναι: λ σ (4 ρλ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

16 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Εμένς είναι: d dλ ( 4 λ σ ρλ σ ρλ σ ρλ σ ρλ λ 4 σ λ ρ σ ρ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

17 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ Η φασική ταχύτητα τν κμάτν σε κάι μέσ δίνεται αό τη σχέση: sin(b α, ό α, b σταθερές και κματάριθμς. b α Να λγιστεί η μαδική ταχύτητα. β Να ρσδιριστεί η ριακή τιμή της μαδικής ταχύτητας στα μεγάλα μήκη κύματς. α Αό τν ρισμό της φασικής ταχύτητας ρκύτει η σχέση διασράς ς: sin( b α α sin( b ( b b Εμένς η μαδική ταχύτητα είναι: ( d α bcos( b αcos( b ( d b β Εειδή είναι =/λ η κύματς λ ς: ός δίνεται αό την ( γράφεται σναρτήσει τ μήκς b α cos ( λ Άρα για μεγάλα μήκη κύματς, δηλαδή για b cos, ότε η α. λ λ, λόγς b / λ κι εμένς τ Δηλαδή η ζητύμενη ριακή ταχύτητα της είναι τ α. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

18 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ Η σχέση διασράς για τη διάδση διαμήκν κμάτν μέσα σε μια χαλύβδινη κατασκεή έχει τη μρφή α, ό 4m/sec και α κάια λύ μικρή σταθερά (α<<. α Βρείτε τη φασική ταχύτητα τν διαμήκν κμάτν διαδίδνται μέσα στην κατασκεή και εκφράστε τν κματάριθμ σναρτήσει της σχνότητάς τς. β Εκφράστε τη φασική ταχύτητα και την μαδική ταχύτητα τν αραάν κμάτν σναρτήσει της σχνότητάς τς. γ Αν η μαδική ταχύτητα είναι % μεγαλύτερη αό τη φασική ταχύτητα για σχνότητα ν= Hz, ρσδιρίστε τη σταθερά α. o α Η φασική ταχύτητα είναι: α α ( Αό τη σχέση διασράς ρκύτει: α α Οότε η λύση της αραάν δετερβάθμιας εξίσσης είναι: 4α (Η αρνητική λύση τ αρρίτεται γιατί ρέει άντα >. α Αν τ δεν είναι λύ μεγάλ τότε ισχύει η ρσέγγιση: / 4α 4α 4α 4α α α Οότε: α / α ν ( ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

19 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ β Η σχέση ( λόγ της ( δίνει τη φασική ταχύτητα σναρτήσει της σχνότητας: να ( Η μαδική ταχύτητα είναι: d d ( α 4να (4 γ Αν η είναι % μεγαλύτερη αό τη για ν= Hz θα ισχύει: (,( 4 4να,, να, 94να, 4 m / sec, α, 94ν 94ν 94 4, sec α, 4 m / sec ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

20 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 4 Δείξτε ότι για ένα σύστημα σζεγμένν εκκρεμών η μαδική ταχύτητα είναι μηδέν και στην κάτ και στην άν σχνότητα ακής, δηλαδή στην ελάχιστη και μέγιστη σχνότητα. Να λγιστεί η φασική ταχύτητα στις δύ ατές σχνότητες. Να σχεδιαστεί η σχέση διασράς, δηλαδή να αρασταθεί γραφικά η εξάρτηση της κκλικής σχνότητας αό τν κματάριθμ και να δειχθεί ς ρκύτν η μαδική και η φασική ταχύτητα αό ένα τέτι διάγραμμα. Σύμφνα με τ Θέμα 5 στις εριδικές δμές ταλανττών, η σχέση διασράς τν ημιτνικών κμάτν ανατύσσνται σε ένα σύστημα σζεγμένν εκκρεμών δίνεται αό τη σχέση: 4s α sin ( m ό κματάριθμς, η κκλική σχνότητα και s η σταθερά τν ελατηρίν τ σστήματς. Η κάτ σχνότητα ακής, δηλαδή η ελάχιστη σχνότητα είναι όταν sin ( α / και είναι: d ότε η μαδική ταχύτητα για ατή είναι: d Ενώ η άν σχνότητα ακής, δηλαδή η μέγιστη σχνότητα είναι όταν sin ( α / και είναι: 4s d ότε η μαδική ταχύτητα για ατή είναι: m d Η φασική ταχύτητα στις δύ ατές σχνότητες είναι: / και / 4s / m Η γραφική αράσταση της σχέσης διασράς ( φαίνεται στ ακόλθ σχήμα: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

21 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Α φ Β φ /α Για ένα τχαί σημεί Α τ διαγράμματς η μαδική ταχύτητα δίνεται αό την κλίση της καμύλης, δηλαδή: tαnφ Ενώ η φασική ταχύτητα δίνεται αό την κλίση της καμύλης ς ρς τ αρχικό σημεί Β, δηλαδή: tαnφ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

22 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 5 Να εξαχθεί μια σχέση για την μαδική ταχύτητα τν δεόντν κμάτν σε ένα ελατήρι με σφαιρίδια. Σχεδιάστε τη σχέση διασράς για τ ελατήρι με σφαιρίδια αό = ς τη μέγιστη τιμή max. Είσης σχεδιάστε την μαδική ταχύτητα σναρτήσει τ και τη φασική ταχύτητα σναρτήσει τ αό = ς max. Σύμφνα με τ Θέμα στις εριδικές δμές ταλανττών, η σχέση διασράς τν κμάτν ανατύσσνται στ σύστημα τ ελατηρί με σφαιρίδια δίνεται αό τη σχέση: 4s α s α sin sin ( m m ό s η σταθερά τν ελατηρίν τ σστήματς. Εμένς η μαδική ταχύτητα είναι: ( d s α α s α cos α cos ( d m m Ενώ η φασική ταχύτητα είναι: ( s α s sin( α/ sin α ( m m α / Οι γραφικές αραστάσεις τν σναρτήσεν (, ( και ( φαίννται στα ακόλθα σχήματα. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

23 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ s s max max α m m max max α α p h α max s m max α ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

24 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 6 Η εξίσση διέει τη διάδση εγκάρσι κύματς σε μια μη ιδανική χρδή είναι της 4 y y y μρφής : α 4 t x x ό y=y(x, είναι η εγκάρσια μετατόιση της χρδής και, α σταθερές. Να βρεθεί η σχέση διασράς και να λγιστεί η φασική και η μαδική ταχύτητα. Για τν ρσδιρισμό της σχέσης διασράς =(, αντικαθίσταται η λύση δεύντν κμάτν στη δσμένη κματική εξίσση και ααιτώντας να ισχύει για κάθε χρική και χρνική στιγμή τ ατέλεσμα ρκύτει είναι η σχέση διασράς. Για αλύστεση τν ράξεν χρησιμιείται η λύση τν δεύντν κμάτν διαδίδνται στη χρδή στην μιγαδική τς εκθετική μρφή, δηλαδή: i( tx y( x, Ae ( Η y(x, ικανιεί τη δσμένη κματική εξίσση, ότε: y t y α x 4 y 4 x t [ Ae 4 i( tx i( tx i( tx ] [ Ae ] α [ Ae 4 x x ] ( i Ae i( tx ( i Ae i( tx α ( i 4 Ae x,t i( tx o 4 α α ( 4 Η σχέση ( ατελεί τη ζητύμενη σχέση διασράς. Η φασική ταχύτητα είναι: ( α 4 α 4 α ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

25 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ α Ενώ η μαδική ταχύτητα είναι: 4 4 α α α 4α α d d d d ( ( ( α α (

26 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 7 Η σχέση διασράς τν κμάτν στ νερό είναι: λ γ h tαnh ( ρλ λ ό η ειτάχνση της βαρύτητας, ρ η κνότητα τ γρύ, h τ βάθς τ γρύ και γ η ειφανειακή τάση. α Να βρεθεί τ μήκς κύματς για τ ί η φασική ταχύτητα γίνεται ελάχιστη αν τ γρό είναι λύ βαθύ, δηλαδή για h>>λ. β Να ερενηθύν ι διάφρι όρι της σχέσης ( και θερώντας ότι γ= να βρεθεί η ταχύτητα τν κμάτν στα λύ βαθειά και στα ρηχά. γ Στην ερίτση μιας μάδας μεγάλν θαλάσσιν κμάτν, ταξιδεύν στην ανικτή θάλασσα, δείξτε ότι η μαδική ταχύτητα είναι τ μισό της φασικής ταχύτητας. δ Αν λ<<h και η βαρύτητα είναι αμελητέα να βρεθεί η φασική και η μαδική ταχύτητα. α Αν τ γρό είναι λύ βαθύ, δηλαδή για h>>λ είναι: λ h h λ h λ h h / λ ότε tαnh λ λ Άρα αό τη σχέση διασράς ( ρκύτει ότι η φασική ταχύτητα είναι: λ γ ( ρλ Εμένς η έκφραση για τη γίνεται ελάχιστη όταν: d dλ γ ρλ γ ρλ 4γ γ λ λ ( ρ ρ Κι εειδή η δεύτερη αράγγς είναι: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

27 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ d dλ λλ 4γ ρλ λλ 4γ ρ8 ( γ / ρ / γ ρ ρ γ / η τιμή ( τ λ ατελεί τ μήκς κύματς για τ ί η ελάχιστη., άρα και η γίνεται β Στη σχέση διασράς ( ρώτς όρς στην αρένθεση λ/ εριγράφει την είδραση της βαρύτητας, ενώ δεύτερς όρς γ/ρλ την είδραση της ειφανειακής h τάσης. Τέλς η ερβλική εφατμένη t αnh δίνει την είδραση τ βάθς τ λ γρύ στα κύματα. Για γ= η σχέση ( αλιείται στη μρφή: λ h tαnh (4 λ h Εμένς αν h>>λ, δηλαδή για βαθύ γρό είναι h/λ>> ότε tαnh και η (4 λ δίνει: λ λ (5 Ενώ αν h<<λ, δηλαδή για ρηχό γρό είναι h/λ<< ότε δίνει: h h tanh και η (4 λ λ λ h h h (6 λ γ Στην ερίτση μεγάλν θαλάσσιν κμάτν, ταξιδεύν στην ανικτή θάλασσα εειδή διαδίδνται σε βαθιά νερά η φασική τς ταχύτητα δίνεται αό τη σχέση (5. Δηλαδή: λ (7 ό =/λ κματάριθμς. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

28 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Εμένς η μαδική τς ταχύτητα είναι: ( 7 d d d d ( ( d d d d h δ Αν h>>λ, ότε ός έχει αδειχθεί ρηγύμενα tαn και η βαρύτητα είναι λ αμελητέα, δηλαδή = η σχέση ( δίνει τη φασική ταχύτητα ς: γ γ γ (8 ρλ ρλ ρ Ενώ η μαδική ταχύτητα είναι: ( 8 d d d γ γ d / ( ( d d d ρ ρ d γ ρ γ ρ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

29 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 8 Γιγαντιαί αλιρρϊκό κύμα (τσνάμι ρκαλείται στν Ειρηνικό κεανό αό θαλάσσι σεισμό. Τ κύμα ατό έχει μήκς κύματς λύ μεγαλύτερ αό τ μέσ βάθς τ κεανύ είναι 5m. Υλγίστε την ταχύτητα με την ία κινείται τ τσνάμι. Μέσα σε όσ χρόν θα ρέει να εκκενθεί αραθαλάσσια όλη αν ι αρχές της όλης ληρφρηθύν δύ ώρες μετά τ σεισμό ότι τ είκεντρ βρισκόταν σε αόσταση m αό την όλη; Εειδή τ τσνάμι έχει μήκς κύματς λ λύ μεγαλύτερ αό τ μέσ βάθς τ κεανύ h δηλαδή λ>>h ισχύει σύμφνα με όσα ανατύχθηκαν στ Θέμα 7 η ρσέγγιση: tαn h λ h λ h Οότε η σχέση διασράς ισχύει για τα ειφανειακά κύματα σε γρό κνότητας ρ, ειφανειακής τάσης γ και βάθς h γίνεται: λ γ h ( ρλ λ Αλλά όρς φείλεται στην ειφανειακή τάση είναι ασήμαντς (δηλαδή γ= ότε η ( αίρνει τη μρφή: λ h λ h h Η μαδική ταχύτητα τν κμάτν ατών είναι: d d d ( ( h d d d h Δηλαδή η μαδική είναι ίση με τη φασική τς ταχύτητα. Αντικαθιστώντας τις τιμές βρίσκεται η ταχύτητα με την ία κινείται τ τσνάμι ς: 5 m/ sec 4m / sec ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

30 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Άρα χρόνς ααιτείται για να φτάσει τ κύμα ατό σε αόσταση m είναι: t, 6, 4 sec, 4 4 sec 4h Εμένς αφύ στην όλη ληρφρύνται μετά αό δύ ώρες τ σεισμό, θα ρέει η όλη να εκκενθεί τ λύ μέσα σε δύ ώρες για να διασθεί όλς ληθσμός της. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

31 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 9 Έστ αλμός f( φαίνεται στ σχήμα. Δηλαδή:, A, f ( A,, t T / T / t t T / T / t α Να ρσδιριστύν ι σντελεστές Fourier Α(, Β( και να γίνει η γραφική τς αράσταση. β Αν μια γέφρα ρσμιθεί με χρδή έχει τα άκρα της σταθερά, να εξεταστεί ότε η γέφρα θα εηρεαστεί ερισσότερ αό σεισμό, ίς εριγράφεται αό τν αλμό f(. γ Αν αλμός f( αριστάνει τη μετατόιση τ άκρ x= μιας ημιάειρης χρδής να λγιστεί η μετατόιση y(x, τν σημείν της χρδής σε μρφή λκληρώματς. α Οι σντελεστές Fourier της σνάρτησης f( είναι: ( f ( sin tdt / -Τ/ f( A sin tdt -A T / Τ/ sin tdt t A cos t / cos t / A (cos cos( T / cos( T / cos A A ( cos( T / cos( T / [ cos( T / ] 4A A( sin ( T / 4 ( Και: B( f ( cos tdt / cos tdt T / cos tdt ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

32 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ A sin t T / T / A sin t ( sin sin( T / sin( T / sin o A ( sin( T / sin( T / B( ( Η γραφική αράσταση τ σντελεστή Α( φαίνεται στ ακόλθ σχήμα. Α( ΑΤ/ /Τ 4/Τ 8/Τ Τ μέγιστ 4A 4 / αρσιάζεται όταν: sin 4 4 Είσης σντελεστής Α( μηδενίζεται όταν: 4 sin n n n,,, β Σύμφνα με τη σχέση διασράς μιας χρδής μήκς με ακλόνητα άκρα (η ία ρσμιάζει τη γέφρα, δίνει τις ιδισχνότητές της ς: n n F n,,... ( ρ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

33 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ό F η τάση της χρδής και ρ η γραμμική κνότητα μάζας της. Εειδή η ενέργεια τ σεισμύ είναι μεγάλη στις σχνότητες ό ι σντελεστές Α( ή Β( είναι μεγάλι, αρατηρείται αό τ ρηγύμεν σχήμα ότι αν ι σχνότητες n είναι μεγαλύτερες αό 4/Τ τότε σεισμός δεν εηρεάζει καταστρφικά τη γέφρα, γιατί τ Α( είναι μικρό. Δηλαδή: n ( 4 n F ρ 4 T T 4 n ρ F Σνεώς αό την τελεταία σχέση αρατηρείται ότι όσ μεγαλύτερη είναι η διάρκεια Τ τ σεισμύ τόσ μικρότερες είναι ι καταστρφές ρκαλεί στη γέφρα. γ Σύμφνα με τα δεδμένα είναι y(,=f( και αναλύντας τη σνάρτηση f( σε λκλήρμα Fourier και μετά αντικαθιστώντας τς σντελεστές Α(, Β( ρκύτει: y(, A( sin td (,( ( costd 4A sin ( / 4 y(, sin td (4 Αλλά την κίνηση τ άκρ x= εαναλαμβάνει τ τχαί σημεί x της χρδής μετά αό χρόν x/, ό είναι η ταχύτητα τ κύματς, ότε αντικαθιστώντας τ t με t-x/ στη σχέση (4 ρκύτει η μετατόιση y(x, κάθε σημεί της χρδής. Δηλαδή: 4A sin ( / 4 y( x, sin[ ( t x / ] d ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

34 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα Έστ τετραγνικός χρνικός αλμός τ σχήματς. α Να λγιστύν ι σντελεστές Fourier Α(, Β( και να γίνει η γραφική τς αράσταση. β Αν αλμός ατός αριστάνει την αμάκρνση y(, τ σημεί x ενός μέσ με σχέση διασράς, ό c σταθερά να βρεθεί η αμάκρνση y(x,. Εξετάστε αν τ σχήμα τ αλμύ αλλάζει για x>. c α Οι σντελεστές Fourier της σνάρτησης f( είναι: f( Α -Τ/ Τ/ ( f ( sin tdt T / / sin tdt A cos t T / T / A cos(τ/ cos(-τ/ [ cos( / cos(τ/] ( ( Και : B( f ( cos tdt / / cos tdt sin t T / T / A A ] sin( / sin( / [sin( / sin( T / A sin( / sin( T / B( ( / Η γραφική αράσταση τ σντελεστή Β( φαίνεται στ ακόλθ σχήμα: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

35 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Β( ΑΤ/ -4/Τ -/Τ /Τ 4/Τ Παρατηρείται ότι στ = η σνάρτηση Β( αρσιάζει τη μέγιστη τιμή ΑΤ/, αφύ σύμφνα με τν κανόνα τ De L Hospital είναι: sin( / im / Ενώ σντελεστής Β( μηδενίζεται όταν: sin n n, n,,... β Εειδή y(,=f( αν αναλθεί η f( σε λκλήρμα Fourier και αντικατασταθύν ι σντελεστές Α(, Β( αό τις ( και ( ρκύτει: y(, A( sin td (,( ( cos td A y(, sin( / cos td ( Αντικαθιστώντας τ t με t-x/ ρκύτει η αμάκρνση y(x,ς: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

36 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ A sin( / y( x, cos[ ( t x / ] d ό η φασική ταχύτητα, σύμφνα με τη δθείσα σχέση διασράς είναι: (4 c c (5 Αό τη σχέση (5 αρατηρείται ότι η φασική ταχύτητα είναι ανάλγη τ κματάριθμ, με σνέεια κάθε κύμα αό τ ί ατελείται αλμός να διαδίδεται με διαφρετική ταχύτητα. Δηλαδή αλμός σύμφνα με την (4 είναι εαλληλία σνημιτνειδών κμάτν τα ία διαδίδνται με διαφρετική ταχύτητα. Άρα αλμός θα αλλάξει σχήμα, αφύ κάια κύματα διαδίδνται γρηγρότερα σε σχέση με τα άλλα. Αντίθετα αν η φασική ταχύτητα ήταν ανεξάρτητη τ κματάριθμ, δηλαδή αν δεν ήρχε διασρά, αλμός θα διατηρύσε τ σχήμα τ, αφύ όλες ι σνιστώσες τ θα διαδίδνταν με την ίδια ταχύτητα. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

37 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ Γέφρα μήκς L=m μρεί να ρσμιθεί αό λερά ταλαντώσεν με κλασική χρδή έχει σταθερά τα άκρα της και ταχύτητα διάδσης τν εγκάρσιν κμάτν =4m/sec. Αν η γέφρα ρσβληθεί αό σεισμό μρφής τετραγνικύ αλμύ διάρκειας Δt=sec, να βρεθεί αν κινδνεύει να καταστραφεί αό τ σεισμό. Η γέφρα, η ία ρσμιώνεται με χρδή μήκς L με ακλόνητα άκρα έχει ιδισχνότητες: n n 4m / sec n n n, n,,... ( rad / sec ( L m Εμένς τ εύρς τν σχντήτν Δ τ αλμύ είναι σύμφνα με τ θεώρημα εύρς ζώνης: t rad / sec ( t Άρα για να μην ρκαλύνται εγκάρσιες ταλαντώσεις στη γέφρα αό τ σεισμό, θα ρέει όλες ι ειτρεόμενες σχνότητες εγκάρσιας ταλάντσης της γέφρας να βρίσκνται έξ αό τ διάστημα Δ. Δηλαδή σύμφνα με τις (, (, είναι: n Οότε η γέφρα δεν κινδνεύει να καταστραφεί αό τ σεισμό. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

38 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ Έστ αλμός, f ( t e /, t t Να λγιστύν ι σντελεστές Fourier Α( και Β( της σνάρτησης ατής. Οι σντελεστές Fourier δίννται αό τις σχέσεις: ( f ( sin tdt ia ( if ( sin tdt ( Και: B( f ( cos tdt ( Πρσθέτντας τις (, ( ρκύτει σντελεστής: C( B( ia ( f ( (cos t isin dt f ( e it dt t / it ( i / t ( i/ t e e dt e dt i e di t e i i / it t e e ( i / t / ( e i / e e e ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

39 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ( C( i / i / / i / i / 4 i4 4 C( 4 4 i 4 Άρα: 4 A( και 4 B( 4 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

40 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ Δείξτε ότι αν ένας αλμός f( εριγράφεται με την καμύλη Gauss, δηλαδή t / τ f ( ce σντελεστής Fourier αντιστιχεί σε ατό τν αλμό εριγράφεται είσης αό μια καμύλη Gauss είναι : τc / σ B( e και ότι τ γινόμεν σ Οι σντελεστές Fourier της f( είναι: f ( sin t τ ισύται με τη μνάδα. f ( ( sin tdt γιατί η λκληρτέα σνάρτηση είναι εριττή, ς γινόμεν της άρτιας f( εί την εριττή sint και τα άκρα λκλήρσης είναι αντίθετα. Γενικά ένα λκλήρμα με αντίθετα άκρα λκλήρσης και λκληρτέα σνάρτηση εριττή είναι ίσ με μηδέν. Ενώ: B( f ( cos tdt c e t / τ cos tdt ( Θέτντας t τx dt τdx και α τ η ( γράφεται: c τ B( e x cos αxdx ( Αλλά: e x cos αxdx e α / 4 Οότε η ( δίνει τ σντελεστή Fourier: c B( τ e α / 4 α / 4 τce B( τce τ / τce / σ ό σ=/τ είναι η τική αόκλιση της καμύλης Gauss και αό την ία φαίνεται ότι σ τ=. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

41 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 4 Ένας αλμός έχει εύρς σχντήτν Δ και διαδίδεται κατά μήκς μιας ιδανικής χρδής η ία έχει γραμμική κνότητα ρ και τείνεται με σταθερή τάση Τ. α Να εξεταστεί αν αλμός διατηρεί τ σχήμα τ καθώς διαδίδεται κατά μήκς της χρδής. β Να λγιστεί τ μήκς Δx τ αλμύ ατύ. α Η φασική ταχύτητα στην ιδανική χρδή ς γνστό είναι: /ρ ( δηλαδή είναι ανεξάρτητη τ κματάριθμ. Εμένς εειδή αλμός αναλύεται σε εαλληλία ημιτνειδών κμάτν και ι σνιστώσες ατές τ αλμύ διαδίδνται με την ίδια ταχύτητα είναι ρφανές ότι τ σχήμα τ αλμύ δεν αλλάζει, αλλά διατηρείται. β Αν Δ είναι τ εύρς σχντήτν και Δt η χρνική διάρκεια τ αλμύ τότε σύμφνα με τ θεώρημα εύρς ζώνης ισχύει: t t ( Είσης αν Δx είναι τ μήκς τ αλμύ και χρδή, τότε η χρνική τ διάρκεια Δt είναι: / p η ταχύτητα διάδσής τ στη x x t ( T / ρ Άρα αό τις εξισώσεις ( και ( ρκύτει τ μήκς τ αλμύ: x T / ρ x T ρ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

42 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 5 Ένα ημιτνειδές κύμα y(x,=asin(t-x διαδίδεται σε μγενή ελαστική χρδή γραμμικής κνότητας ρ, τείνεται με τάση Τ. α Να δείξετε ότι η ισχύς P(x, ικανιεί την κματική εξίσση. β Αν ριστεί ς κύμα μεταδιδόμενης ισχύς τ w(x,=p(x,-<p(x,> να ρσδιριστεί η σχνότητα, τ μήκς κύματς και η ταχύτητα διάδσης τ κύματς ισχύς. α Η διαδιδόμενη ισχύς στη χρδή είναι: y P ( x, ( A cos( t x t P( x, A cos ( t x ( ό Tρ είναι η σύνθετη αντίσταση της χρδής. Χρησιμιώντας την τριγνμετρική σχέση cos θ ( cos θ / η ( γίνεται: P( x, A [ cos( t x] ( Υλγίζντας τις μερικές αραγώγς της P(x, ς ρς t και x ρκύτει: ZA t P sin( t x P 4 και ZA cos( t x t P ZA P sin( t x και ZA cos( t x x x Παρατηρείται ότι ι τελεταίες ικανιύν τη σχέση: t P x P ή P t x P ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

43 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ό =/ η ταχύτητα διάδσης τ κύματς. Άρα η ισχύς P(x, ικανιεί την κλασική κματική εξίσση. β Η μέση διαδιδόμενη ισχύς είναι: P( x, ZA ( Σνεώς λόγ τν ( και ( τ κύμα διαδιδόμενης ισχύς γράφεται: w ( x, P( x, P( x, ZA [ cos( t x] ZA w( x, ZA cos( t x / A Παρατηρείται ότι τ κύμα ατό έχει λάτς ίσ με, κκλική σχνότητα και κματάριθμ, δηλαδή έχει διλάσια σχνότητα και κματάριθμ αό τ κύμα y(x,. Είσης τ μήκς κύματός τ είναι: λ λ / λ λ Δηλαδή τ μισό τ μήκς κύματς τ y(x,. Ενώ η ταχύτητα διάδσης τ κύματς ισχύς είναι: Δηλαδή είναι ίση με την ταχύτητα διάδσης τ κύματς y(x,. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

44 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 6 Χρδή αείρ μήκς και γραμμικής κνότητας ρ=,r/cm, τείνεται με τάση 7, 5 dynes διεγείρεται στ σημεί x= σε αρμνική ταλάντση με λάτς Α=cm και σχνότητα ν=hz. Να λγιστεί η μέση χρνική τιμή της ενεργειακής ρής (μέση ακτινβλύμενη ισχύς σε Watt. Η αρμνική ηγή διαταράσσει τη χρδή έχει εξίσση y(x,=asint, ότε τα δεύντα κύματα ανατύσσνται στη χρδή εριγράφνται αό την κματσνάρτηση: y(x,=asin(t-x ( Άρα η ακτινβλύμενη μέση ισχύς είναι: P( x, A, ό κκλική σχνότητα τν κμάτν. Tρ είναι η σύνθετη αντίσταση της χρδής και =ν η Οότε: P( x, A 4 ν ρ ν ρ Αντικαθιστώντας τα αριθμητικά δεδμένα στην τελεταία ρκύτει: P( x, 4, sec cm, 5 7 dyn, r / cm 8 P( x,, 69 er / sec ( Εειδή τ er (έργι είναι μνάδα ενέργειας σε C.G.S. και ισύται με: m J N m r sec cm m r cm sec 7 r cm / sec Joule 7 er η ( τελικά δίνει: P ( x, 6, 9 Joule / sec 6, 9 Watt ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

45 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 7 Σε ελαστική μγενή χρδή τείνεται με τάση Τ και έχει γραμμική κνότητα ρ διαδίδνται δύ δεύντα κύματα: y x, Acos( t x και y x, Acos( t x ( φ ( φ α Να λγιστεί η μέση διαδιδόμενη ισχύς αν και να βρεθεί η σχέση μεταξύ τν για την ία ειτγχάνεται η μέγιστη και η ελάχιστη μέση διαδιδόμενη ισχύς. β Να ααντηθεί τ ρηγύμεν ερώτημα για. γ Εφαρμγή: Να λγιστεί η μέση διαδιδόμενη ισχύς τν δύ κμάτν αν Α=cm, 5 rad / sec, φ, φ / 4, Nt και ρ=, r/m. φ και φ α Γενικά η κίνηση της χρδής εριγράφεται αό την εαλληλία τν κματσναρτήσεν και. Δηλαδή: y ( x, y ( x, y x, Acos( t x φ Acos( t x ( ( φ ό / ρ είναι η ταχύτητα διάδσης. Λόγ της σχέσης διασράς = και εειδή. Οότε η ( γίνεται: / ρ =σταθ. για είναι και y x, Acos( t x φ Acos( t x ( ( φ Σύμφνα με την (5-7 η διαδιδόμενη ισχύς είναι: y P( x, t ( Asin ( t x φ Asin ( t x φ ( P x, ZA [sin ( t x φ sin ( t x φ sin( t x φsin( t x φ] ( ό Z Tρ είναι η σύνθετη αντίσταση της χρδής. Άρα η μέση διαδιδόμενη ισχύς είναι: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

46 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ( P x, A [ sin ( t x φ sin ( t x φ φ sin( t x φ sin( t x ] (4 ό είναι sin ( t x φ sin ( t x φ και χρησιμιώντας την τριγνμετρική σχέση : sin αsin β [cos( α β cos( α β] η μέση τιμή τ γινμέν ημιτόνν είναι: sin( t x φsin( t x φ cos( φ φ cos( t x φ φ cos( φ φ εειδή cos( φ φ cos( φ φ γιατί cos( t x φ φ. Σνεώς η (4 δίνει: φ, φ ανεξάρτητα τ χρόν και P ( x, A cos( φ φ ( P x, A [ cos( φ φ ] (5 Παρατηρείται αό τη σχέση (5 ότι η μέση διαδιδόμενη ισχύς γίνεται μέγιστη όταν cos( φ φ φ φ φ φ δηλαδή όταν τα δύ κύματα είναι σε φάση και τότε είναι: P( x, max A A ρ Ενώ η μέση διαδιδόμενη ισχύς γίνεται ελάχιστη όταν : cos( φ φ φ φ δηλαδή όταν τα δύ κύματα έχν διαφρά φάσης και τότε είναι: P( x, min ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

47 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ β Για είναι ρφανώς 7 και λόγ της ( είναι: y P( x, t ( Asin ( t, ότε η διαδιδόμενη ισχύς σύμφνα με την (5- x φ A sin( t x φ [ ZA sin ( t x φ sin ( t x φ sin( t x φsin( t x φ] (6 Άρα η μέση διαδιδόμενη ισχύς είναι: P(x, ZA [ sin ( t - x φ sin ( t - x φ φ sin( t x φ sin( t x ] (7 ό είναι sin ( t - x φ sin ( t - x φ και sin( t x φsin( t x φ cos[( t ( x φ φ] cos[( t ( x φ φ ] Εμένς η (7 δίνει: P( x, ZA P( x, ZA ZA (8 Παρατηρείται ότι στην ερίτση η μέση διαδιδόμενη ισχύς είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη τν και είναι ίση με τ άθρισμα της μέσης ισχύς κάθε κύματς. φ, φ γ Εειδή η μέση διαδιδόμενη ισχύς δίνεται αό τη σχέση (5 και αντικαθιστώντας τις αριθμητικές τιμές τν μεγεθών ρκύτει: P ( x, ZA [ cos( φ φ] ρa [ cos( φ φ] ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

48 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ , [ cos( / 4] ( cos / [ ( / ] P( x,, 7 Watt ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ