Teoremi srednje vrijednosti

Transcript

1 Fakultativi kolgij Studtska atjcaja iz matmatik, ak. god. 06./07. Tma br. 3: Tormi srdj vrijdosti Vjkoslav Kovač, Torm Rollov torm srdj vrijdosti. Nka su dai rali brojvi a < b. Ako j fukcija f : [a, b] R prkida a [a, b], drivabila a a, b i zadovoljava fa = fb = 0, tada postoji točka ξ a, b takva da j f ξ = 0. Primjr. Nka su N i a 0, a,..., a R. Ako jdadžba a k k=0 k+ xk+ = 0 ima barm jdo strogo pozitivo rjšj, dokažit da jdadžba k=0 a kx k = 0 takodr ima barm jdo strogo pozitivo rjšj. Rjšj primjra. Prtpostavimo da j x = c > 0 rjšj prv jdadžb. Primjom Rollovog torma srdj vrijdosti a poliomijalu, dakl i drivabilu fukciju a k f : [0, c] R, fx := k + xk+ i opsrvacijom f0 = 0, fc = 0, dobivamo točku ξ 0, c takvu da vrijdi f ξ = 0, tj. jdadžba f x = 0 ima rjšj x = ξ > 0. Prostaj primijtiti f x = a k x k pa j f x = 0 upravo druga jdadžba iz iskaza. k=0 Primjr. Ako j fukcija f : [a, + R prkida a [a, +, drivabila a a, + t zadovoljava fa = 0 i fx = 0, dokažit da tada postoji točka ξ a, + takva da lim x + j f ξ = 0. Dakl, ovaj primjr proširuj Rollov torm srdj vrijdosti i a jdostrao ograič itrval. Rjšj primjra. Idja j kompoirati f s kom fukcijom koja ć stisuti ograiči itrval [a, + a ograiči. Dfiirajmo g : [0, π ] R formulom { fa + tg t za t [0, π gt :=, 0 za t = π. Očigldo j g prkida a [0, π, a zbog k=0 lim gt = [ x = a + tg t ] = lim fx = 0 t π x + j oa prkida a cijlom sgmtu [0, π ]. Osim toga, g j drivabila a 0, π kao kompozicija dviju drivabilih fukcija t vrijdi g t = f a + tg t cos t. Prma Rollovom tormu srdj vrijdosti primijjom a fukciju g postoji točka ζ 0, π takva da j g ζ = 0, odakl j f a + tg ζ = 0. Michl Roll 65 79, fracuski matmatičar. Posbi slučaj ovog rzultata, za poliomijal fukcij, dokazao j 69.

2 Primjr 3. Hrmitovi poliomi H =0 dfiirai su formulom d H x = x dx x. Tako j aprimjr prvih koliko člaova tog iza dao formulama: H 0 x =, H x = x, H x = 4x, H 3 x = 8x 3 x, H 4 x = 6x 4 48x +. Nij tško vidjti da j i općito H poliom i to stupja. Pokažit da za svaki N Hrmitov poliom H ima sv ultočk ral i kratosti. Rjšj primjra 3. Ozačimo f x = d dx x, tako da H i f imaju ist ultočk. Matmatičkom idukcijom po N dokazujmo da f ima ralih mdusobo različitih ultočaka. Kako j H stupja, slijdit ć da su to sv jgov ultočk. Baza idukcij = j trivijala, jr j x = 0 jdia ultočka od f x = x x. Za korak idukcij uzmimo N i prtpostavimo da f ima ral ultočk x < x < < x < x. Za svaki k {,,..., } po Rollovom tormu srdj vrijdosti primijjom a itrvalu [x k, x k+ ] postoji y k x k, x k+ takav da j f y k = 0. Nadalj, kako j f x = H x, x odmah vidimo lim x ± f x = 0 pa po Primjru postoj y 0, x i y x, + takvi da j f y 0 = f y = 0. Zato su ral ultočk fukcij f + = f. y 0 < y < < y < y Torm Lagragov 3 torm srdj vrijdosti. Nka su dai rali brojvi a < b. Ako j fukcija f : [a, b] R prkida a [a, b] i drivabila a a, b, tada postoji točka ξ a, b takva da j fb fa = f ξb a. Roll Lagrag: Primijimo Rollov torm srdj vrijdosti a fukciju dfiirau formulom gx := fx fa fb fa b a x a t uočimo ga = gb = 0 i g x = f x fb fa b a. Lagrag Roll: Uzmimo posba slučaj kada j fa = fb = 0. Primjr 4. Darbouxov 4 torm o mduvrijdostima drivacij Nka su α < β rali brojvi i f : [α, β] R drivabila fukcija. Ako j f α f β, tada za svaki broj y izmdu f α i f β postoji ξ α, β takav da j f ξ = y. Kratko kažmo da drivacija fukcij ima svojstvo mduvrijdosti poput prkidih fukcija, prmda oa sama mora biti prkida. Charls Hrmit 8 90, fracuski matmatičar. Pisao j o tim poliomima 864., ali prij jga su ih vć proučavali Laplac 80. i Čbišv Josph-Louis Lagrag , rod kao Giuspp Lodovico Lagragia, talijasko-fracuski matmatičar i astroom. Rzultat j u ovom obliku prvi dokazao Cauchy Ja-Gasto Darboux 84 97, fracuski matmatičar.

3 Rjšj primjra 4. Dfiirajmo ovu fukciju g : [α, β] R formulom f α za x = α, fx α fα x α za x α, α+β ], gx := fβ fx β β x za x α+β, β, f β za x = β. Lako s provjri da j oa prkida. Naprimjr, fx α fα ft fα lim gx = lim = [t = x α] = lim = f α = gα. x α+ x α+ x α t α+ t α Kako j y broj izmdu gα i gβ, po Bolzao 5 -Wirstrassovom 6 tormu o mduvrijdostima prkid fukcij postoji γ α, β takav da j gγ = y. Ako j γ α, α+β ], tada po Lagragovom tormu srdj vrijdosti postoji ξ α, γ α takav da j f ξ = fγ α fα γ α = gγ = y. Ako j γ α+β, β, tada po Lagragovom tormu srdj vrijdosti postoji ξ γ β, β takav da j f ξ = fβ fγ β β γ = gγ = y. Torm Cauchyjv 7 torm srdj vrijdosti. Nka su dai rali brojvi a < b. Ako su fukcij f, g : [a, b] R prkid a [a, b], drivabil a a, b i g x 0 za svaki x a, b, tada postoji točka ξ a, b takva da j fb fa gb ga = f ξ g ξ. Roll Cauchy: Napomimo da iz Rollovog torma srdj vrijdosti slijdi gb ga 0. Primijimo još Rollov torm srdj vrijdosti a fukciju dfiirau formulom hx := fx fa fb fa gb ga gx ga t uočimo ha = hb = 0 i h x = f x fb fa gb ga g x. Cauchy Lagrag: Uzmimo posba slučaj kada j gx x. Primjr 5. Nka su 0 < a < b i f : [a, b] R drivabila fukcija. Dokažit da postoji ξ a, b takav da j a b a b fa fb = fξ ξf ξ. Rjšj primjra 5. Dfiirajmo fukcij u, v : [a, b] R formulama tako da j ux := fx x, vx := x, u x = f xx fx x, v x = x. Cauchyjv torm srdj vrijdosti primijj a fukcij u i v daj točku ξ a, b takvu da j u ξ v ξ = ub ua vb va, 5 Brard Bolzao , rod kao Brardus Placidus Joha Npomuk Bolzao, čški matmatičar, logičar, filozof i tolog. 6 Karl Thodor Wilhlm Wirstrass , jmački matmatičar. 7 Augusti-Louis Cauchy , fracuski matmatičar. 3

4 što s trasformira u fξ ξf ξ = fb b fa a b a = afb bfa. a b Torm Taylorov 8 torm srdj vrijdosti. Nka su dai rali brojvi a < b i cijli broj 0. Ako j fukcija f : [a, b] R klas C a [a, b] i f + postoji a a, b, tada postoji točka ξ a, b takva da j f k a fb = b a k + f + ξ k! +! b a+. k=0 Aaloga tvrdja vrijdi kada j b < a t s običo dva slučaja objdijuju i samo s kaž da j ξ izmdu a i b. Roll Taylor: Primijimo Rollov torm srdj vrijdosti a fukciju dfiirau formulom hx := gx b x+ ga, pri čmu j gx := fb b x k b a + k=0 k! f k x t uočimo ha = 0, hb = gb = 0, g b x x = f + x,! h x = b x! f + x + + b a + ga, ga = fb k=0 f k a b a k. k! Taylor Lagrag: Uzmimo posba slučaj kada j = 0. Primjr 6. Nka j a R, ka j f dvaput drivabila a a, + i ka su M i := sup f i x x a,+ za i = 0,,. Ako j M > 0, dokažit da vrijdi M 4M 0M. Rjšj primjra 6. Primijtimo da iz M > 0 slijdi i M 0 > 0. Uzmimo x a, +, h > 0. Prma Taylorovom tormu srdj vrijdosti postoji ξ x, x + h takav da j Iz posljdj jdakosti slijdi fx + h = fx + f xh + f ξh. f fx + h fx x h h f ξ h M 0 + h M, a uzimajm suprmuma po x dobivamo M h M 0 + h M. Traža jdakost slijdi odabirom h = M 0 /M. Primjr 7. Prtpostavimo da j fukcija f : R R triput drivabila i da su fukcij f, f, f, f strogo pozitiv a cijlom R. Ako j f x fx za svaki x R, dokažit da vrijdi f x < fx za svaki x R. 8 Brook Taylor , glski matmatičar. Formulirao j vrziju ovog rzultata 7., ali j tk Lagrag poudio ovu prciziju formulaciju. 4

5 Rjšj primjra 7. Fiksirajmo x R i h > 0 t ozačimo A = fx, B = f x, C = f x. Pozato j da su fukcij f, f, f rastuć. Prma Taylorovom tormu srdj vrijdosti postoji ξ x h, x takav da j 0 < fx h = A Bh + f ξ h A Bh + Ch, a uzimajm h = B/C formula za tjm parabol dobivamo B < AC. Takodr prma Taylorovom tormu srdj vrijdosti postoji ξ x h, x takav da j 0 < f x h = B Ch + f ξ h B Ch + }{{} Ah, fξ a uzimajm h = C/A dobivamo C < AB. Dakl, imamo tj. B < A. Primjr 8. Za f C [a, b] i N stavimo := b a B 4 < 4A C < 8A 3 B = A 3 B, f a + k b a b a fxdx. Itrprtirajt kao gršku aproksimacij itgrala kim Rimaovim 9 sumama. Potom dokažit lim = b a fb fa. Rjšj primjra 8. Primijtimo da j razlika Rimaov sum fukcij f za kvidistatu particiju a itrval I k := [ a + k b a, a + k b a ] valuira u dsim krajvima tih itrvala i itgrala fukcij f a sgmtu [a, b]. Zapišimo: b a = f a + k b a fxdx I k = f a + k b a fx dx. I k Prma Lagragovom tormu srdj vrijdosti za svaki x I k postoji ξ I k tako da vrijdi f a + k b a fx = f ξ a + k b a }{{ x. } 0 Ozačimo li s m k i M k rdom miimum i maksimum od f a I k, itgriraj po x I k i korištj a + k b a dx x = b a daju I k b a m k I k f a + k b a fx dx M k 9 Gorg Fridrich Brhard Rima , jmački matmatičar. b a, 5

6 odakl j tj. b a b a b a m k b a M k, m k b a b a M k. U gorjoj ocji prpozajmo izraz za doj i gorj Darbouxov sum fukcij f. Kako j ta fukcija Rima-itgrabila, a očic particija tž u 0, t Darbouxov sum kovrgiraju prma itgralu pa po tormu o sdviču dobivamo i Primjr 9. Dokažit tj. lim = b a k=+ b a k 4 lim f xdx = b a fb fa., kada, k=+ k 4 =. Rjšj primjra 9. Logaritmirajm razlomka iz zadatka dobivamo: l = k=+ k 4 = k=+ l k l 4 + l l + k l l 4 = Promotrimo fukciju f : [0, ] R, fx := l + x. Kako j [ ] u = l + x du = dx l + xdx = +x = x l + x dv = dx v = x 0 gorji logaritamski izraz j upravo za = k f a iz prthodog primjra zamo 0 l + k l 4. fxdx, 0 0 lim = 0 f f0 = l = l. Altrativo s zadatak mož rijšiti korištjm Stirligov formul:!, π kada, xdx + x = l = l 4, tako da s zapiš: k=+ k =!! 4π = 4 π. 6

7 Zadaci za vjžbu. Zadatak. Za ral brojv a < b ka su f, g, h: [a, b] R prkid fukcij koj su drivabil a a, b. Dokažit da postoji točka ξ a, b takva da j f ξ g ξ h ξ fa ga ha fb gb hb = 0. Zadatak. Ako j f rala, dvaput drivabila a [0, ], f0 = f = 0 i dokažit da postoji x 0 0, takav da j f x 0 8. mi fx =, x [0,] Zadatak 3. Prtpostavimo da j f rala, tri puta drivabila a [, ] i takva da j f = 0, f0 = 0, f =, f 0 = 0. Dokažit da postoji x 0, takav da j f 3 x 0 3. Zadatak 4. Ako j fukcija f : [0, + R prkida a [0, + i drivabila a 0, + t ako vrijdi f0 = i fx x za svaki x > 0, dokažit da postoji točka ξ > 0 takva da j f ξ = ξ. Zadatak 5. Ako j f : 0, + R fukcija klas C takva da j lim f x = i lim f x = x 0+ x 0+ fx +, dokažit da vrijdi lim x 0+ f x = 0. Zadatak 6. Profsor Zbujić izračuao j vrlo komplicirau formulu za ku fukciju f : [a, b] R klas C, a žli dokazati da j fx > 0 za svaki x [a, b]. Objasit mu da j dovoljo aći δ, ε, M > 0 takv da j Mδ < ε i brojv a = x 0 < x < < x < x = b takv da vrijdi: x k x k δ za svaki k =,,...,, fx k ε za svaki k = 0,,...,, f x M za svaki x [a, b]. Zadatak 7. Nka su a < b rali brojvi i ka j f : a, b R drivabila fukcija. Prtpostavimo fy fx da za svak različit x, y a, b postoji jdistvi z a, b takav da j = f z. y x Dokažit da j fukcija f ili strogo kovksa ili strogo kokava. Zadatak 8. Nka su dai N 0, rali brojvi a < b, rali brojvi x 0 < x < < x < x iz itrvala [a, b], prkida fukcija f : [a, b] R koja ima + -vu drivaciju a a, b i poliom P stupja ajviš takav da j P x j = fx j za j = 0,,...,. Dokažit da za svaki x [a, b] postoji točka ξ a, b takva da vrijdi fx P x = Zadatak 9. Za f C [a, b] i N stavimo := +! f + ξx x 0 x x x x x x. b a fxdx b a f a + k b a Itrprtirajt kao gršku aproksimacij itgrala kim Rimaovim sumama. Potom dokažit lim = 4 b a f b f a. 7.

8 Zadatak 0. Ozačimo: U := , V := Dokažit da vrijdi: lim U = l, lim V = l, lim l U = 4, lim l V = 3. Napomimo da s posljdj dvij jdakosti mogu altrativo zapisati: U = l 4 + o, V = l 3 + o, kada. Domaća zadaća. Rijšit barm 5 zadataka od gor avdih 0 zadataka za vjžbu. Rok prdaj: ptak Rjšja mi možt uručiti osobo ili poslati pr. skiraa ili uslikaa -mailom. 8