Iskazna logika se bavi rečenicama kao celinama, i ne zalazi u njihovu unutrašnju strukturu, ne razlikuje njihove posebne elemente.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Iskazna logika se bavi rečenicama kao celinama, i ne zalazi u njihovu unutrašnju strukturu, ne razlikuje njihove posebne elemente."

Transcript

1

2 Zadatak predikatske logike Iskazna logika se bavi rečenicama kao celinama, i ne zalazi u njihovu unutrašnju strukturu, ne razlikuje njihove posebne elemente. Zbog toga se pomoću iskaznih formula ne može izraziti sve ono što inače izražavamo u matematici. Na primer, iskaznom formulom se ne može izraziti postoji element u skupu X koji nije u skupu Y. Za simboličko izražavanje takvih rečenica očito nisu dovoljni samo iskazna slova i iskazni veznici. Pored toga, postoje primeri logičke argumentacije koji izgledaju savršeno ispravni, ali se ne mogu izraziti korišćenjem iskazne logike. Matematička logika 2 Predikatska logika - I deo

3 Zadatak predikatske logike Primer 1: 1. Svi mačori imaju repove. 2. Tom je mačor. Iz ovih dveju rečenica trebalo bi da smo u stanju da zaključimo sledeće: 3. Tom ima rep. Da bi pokazali da je ova argumentacija ispravna, moramo biti u stanju da identifikujemo individue, kao što je Tom, zajedno sa njihovim svojstvima i predikatima. To je zadatak predikatske logike. Matematička logika 3 Predikatska logika - I deo

4 Zadatak predikatske logike Generalno, predikati se koriste da se opišu izvesna svojstva i odnosi izmed u individua i objekata. Primer 2: U Petar i Marko su braća, izraz su braća je predikat. Entiteti povezani na ovakav način, kao što su Petar i Marko, nazivaju se termi. Naziv term bi se mogao prevesti kao izraz. Med utim, kako se pojam izraz ovde koristi u opštijem i neformalnom smislu, to se kod nas naziv term odomaćio baš u takvom obliku. U predikatskoj logici termi igraju ulogu sličnu onoj koju u prirodnom jeziku igraju imenice i zamenice, a predikati ulogu sličnu glagolima. Matematička logika 4 Predikatska logika - I deo

5 Zadatak predikatske logike Pored terma i predikata, u predikatskoj logici koriste se i kvantifikatori ili kvantori. Njihova uloga je da naznače koliko često je neko tvrd enje tačno. Univerzalni kvantifikator se koristi da naznači da je tvrd enje uvek tačno. Sa druge strane, egzistencijalni kvantifikator se koristi da naznači da je tvrd enje ponekad tačno. Primer 3: U Svi mačori imaju repove, rečju svi ističe se da je tvrd enje mačori imaju repove univerzalno tačno. Matematička logika 5 Predikatska logika - I deo

6 Zadatak predikatske logike Predikatska logika je uopštenje iskazne logike. Zbog toga, pored terma, predikata i kvantifikatora, jezik predikatske logike sadrži i iskazne promenljive, konstante i veznike. Značajnu ulogu igraju i funkcije, koje su ključne kada se razmatraju jednačine. Matematička logika 6 Predikatska logika - I deo

7 Predikatska logika u Informatici Predikatska logika predstavlja osnovu jezika logičkog programiranja, kakav je Prolog. Predikatska logika se sve više korisiti u specificiranju zahteva računarskih aplikacija. U oblasti verifikacije korektnosti programa, predikatska logika omogućava da se precizno utvrdi pod kakvim uslovima program daje korektan izlaz. Matematička logika 7 Predikatska logika - I deo

8 Domen Primer 4: Razmotrimo sledeću argumentaciju: 1. Marija je Petrova majka. 2. Marija je Markova majka. 3. Svake dve muške osobe koje imaju istu majku su rod ena braća. 4. Petar i Marko su rod ena braća. Med utim, istinitist tvrd enja Marija je Petrova majka može se proceniti samo unutar odred enog konteksta. Postoji puno osoba koje se zovu Marija i Petar, i bez preciznijih informacija tvrd enje se odnosi na mnogo različitih ljudi, što ga čini višesmislenim. Matematička logika 8 Predikatska logika - I deo

9 Domen Da bi se sprečile takve višesmislenosti uvodi se sledeći pojam: Domen ili univerzum razmatranja je kolekcija svih osoba, ideja, simbola, struktura podataka, itd., na koje se odnosi logička argumentacija koju razmatramo. U ranijem primeru o Mariji, Petru i Marku, višesmislenost se može izbeći ako domen ograničimo na osobe koje žive u odred enoj kući, stambenoj zgradi i slično. Mnoge argumentacije uključuju brojeve, i u takvim slučajevima moramo precizirati da li je domen skup prirodnih, celih, racionalnih, realnih ili kompleksnih brojeva. Matematička logika 9 Predikatska logika - I deo

10 Domen Istinitost tvrd enja može zavisiti od domena koji smo izabrali. Na primer, tvrd enje postoji najmanji broj je tačno ako je domen skup prirodnih brojeva, ali nije tačno ako je domen skup celih brojeva. Elemente domena nazivamo individue. Individua može biti osoba, broj, struktura podataka, ili bilo šta drugo što zahteva da se o njemu rasud uje. Da bi se izbegao trivijalan slučaj, dogovorićemo se da svaki domen mora da sadrži bar jednu individuu. Umesto naziva individua ponekad se koristi naziv objekat. Matematička logika 10 Predikatska logika - I deo

11 Domen Da bi uputili na izvesnu konkretnu individuu ili objekat, koristimo identifikatore koje nazivamo individualne konstante. Ako se domen sastoji od osoba, individualne konstante mogu biti njihova imena. U slučaju prirodnih brojeva, individualne konstante su cifre koje predstavljaju te brojeve. Svaka individualna konstanta mora jednoznačno da identifikuje jednu konkretnu individuu, i nijednu drugu. Matematička logika 11 Predikatska logika - I deo

12 Predikati Generalno, predikatima se izražavaju tvrd enja o individuama, kao u Petar i Marko su rod ena braća. Ana je Markova majka. Tom je mačak. Zbir brojeva 2 i 3 je 5. U ovim primerima individue smo označili plavom bojom. U svakom od ovih tvrd enja postoji lista individua, koja je zadata listom argumenata, zajedno sa frazama koje opisuju izvesna svojstva ili relacije izmed u individua navedenih u listi argumenata. Ta svojstva ili relacije nazivamo predikatima. Matematička logika 12 Predikatska logika - I deo

13 Predikati U tvrd enju Petar i Marko su rod ena braća lista argumenata sa satoji od Petar i Marko, tim redom, dok je predikat opisan frazom su rod ena braća. Sliņo, tvrd enje Tom je mačak ima listu argumen ata sa samo jednim elementom Tom, a predikat je opisan sa je mačak. Elemente liste argumenata nazivamo argumentima. Argumenti mogu biti ili promenljive, ili individualne konstante, ali pošto još uvek nismo govorili o promenljivim, zadržaćemo našu pažnju samo na slučajeve kada su svi argumenti individualne konstante. Matematička logika 13 Predikatska logika - I deo

14 Predikati U predikatskoj logici, svaki predikat je zadat svojim imenom, za kojim sledi lista argumenata, koja je ograd ena malim zagradama. Na primer, da bi izrazili tvrd enje Ana je Markova majka možemo izabrati identifikator, recimo majka da izrazi predikat je majka od, tako što ćemo pisati majka(ana, Marko). Da bi pojednostavili pisanje, najčešće koristimo samo jedno slovo kao ime predikata ili konstante. Tako umesto majka(ana, Marko) možemo pisati M(a, m), gde je M ime predikata je (čija) majka, dok su a i m imena individualnih konstanti Ana i Marko. Matematička logika 14 Predikatska logika - I deo

15 Predikati Primetimo da je redosled argumenata izuzetno bitan. Na primer, predikati majka(ana, M arija) i majka(m arija, Ana) imaju potpuno drugačiji smisao, dok za predikat majka(m arko, Ana) možemo čak reći i da je besmislen. Broj elemenata u listi argumenata nazivamo arnost ili dužina predikata. Na primer, predikat majka(ana, Marko) ima arnost 2. Arnost predikata je fiksirana. Na primer, isti predikat ne može imati dva argumenta u jednom slučaju, a tri argumenta u drugom slučaju. Predikati sa različitom arnošću su različiti. Matematička logika 15 Predikatska logika - I deo

16 Predikati Ilustrujmo ovo sledećim primerom: Suma brojeva 2 i 3 je 5. Suma brojeva 2, 3 i 4 je 9. Da bi ovo izrazili na jeziku predikatske logike, možemo koristiti dva imena predikata, na primer zbir2 i zbir3, čime dobijamo predikate zbir2(2, 3, 5) i zbir3(2, 3, 4, 9). Druga mogućnost je da, jedn ostavnosti radi, za oba ova predikata koristimo isto ime, na primer zbir, pri čemu implicitno podrazumevamo da su zbir(2, 3, 5) i zbir(2,3, 4, 9) različiti predikati. Matematička logika 16 Predikatska logika - I deo

17 Predikati Predikat arnosti n nazivamo n-mestni predikat. Jednomestan predikat nazivamo svojstvo. Drugim rečima, arnost predikata se može shvatiti kao broj mesta u zapisu predikata na koja se stavljaju odgovarajući argumenti. Primer 5: U Tom je mačak imamo da je mačak jeste jednomestan predikat, tj. svojstvo. U Ana je Markova majka predikat je majka od je dvomestan. U Suma brojeva 2 i 3 je 6 predikat je suma brojeva je tromestan. Matematička logika 17 Predikatska logika - I deo

18 Atomične formule Ime predikata, praćeno listom argumenata u zagradama, nazivamo atomičnom formulom. Atomične formule mogu se kombinovati pomoću logičkih veznika, poput iskaza, odnosno iskaznih formula. Na primer, ako su cat(t om) i hastail(t om) dve atomične formule, kojima je izraženo da je Tom mačak, odnosno da ima rep, onda možemo formirati složenu formulu cat(t om) hastail(t om) koja izražava tvrd enje da ako je Tom mačak, onda on ima rep. Matematička logika 18 Predikatska logika - I deo

19 Atomične formule U slučaju kada su svi argumenti predikata individualne konstante, što je jedini tip predikata koje smo do sada razmatrali, tada rezultujuća atomična formula mora biti ili tačna ili netačna. To je deo definicije predikata. Na primer, ako se domen sastoji od individua Dejan, Ana, Marko i Petar, tada za svaki ured eni par individua treba da znamo da li je na tom paru dvomestni predikat je majka od tačan ili ne. To može biti urad eno u obliku tabele. Metod koji svim mogućim kombinacijama individua predikata pridružuje istinitosne vrednosti naziva se dodeljivanje. Matematička logika 19 Predikatska logika - I deo

20 Atomične formule Na primer, sledeća tabela je dodeljivanje za predikat je majka od. Dejan Ana Marko Petar Dejan Ana Marko Petar Matematička logika 20 Predikatska logika - I deo

21 Atomične formule Drugi primer dodeljivanja je sledeći. Domen se sastoji od brojeva 1, 2, 3 i 4, a predikat veći je ta v can ako je prvi argument veći od drugog argumenta. Na primer, predikat veći(4, 3) je tačan, a predikat veći(3, 4) je netačan. Prema tome, dodeljivanje za predikat veći je Matematička logika 21 Predikatska logika - I deo

22 Atomične formule U slučaju konačnog domena, dodeljivanja za n-arne predikate mogu se predstaviti n-dimenzionalnim nizovima. Primetimo i da matematičke relacije <,, > i jesu predikati. Ipak, te predikate obi v cno pišemo u infiks notaciji, pod čime podrazumevamo da su znaci kojima ih označavamo smešteni izmed u argumenata, a ne ispred argumenata. Na primer, da bi smo izrazili da je 2 veće od 1, radije pišemo 2 > 1 nego > (2, 1). Matematička logika 22 Predikatska logika - I deo

23 Promenljive Često se ne želi da se kao argumenti atomičnih formula razmatraju konkretne individue. U takvim prilikama, umesto individualnih konstanti koriste se promenljive. Za označavanje promenljivih najčešće se koriste poslednja slova latiničnog alfabeta: x, y i z, sa ili bez donjih indeksa. Primer 6: cat(x) hastail(x) dog(y) brown(y) grade(x) (x 0) (x 100) Prva i treća formula sadrže promenljivu x, a druga promenljivu y. Matematička logika 23 Predikatska logika - I deo

24 Promenljive Kao i u iskaznom računu, formulama možemo dati imena. Na primer, možemo definisati A sa A = cat(x) hastail(x) Gledano sa aspekta sintakse, promenljive je moguće koristiti na svim mestima na kojima je dozvoljeno koristiti individualne konstante. Prema tome, pojam term se koristi da predstavi ilikonstantu, ili promenljivu. Uopšteno govoreći, term je bilo šta što se može koristiti umesto individua. Matematička logika 24 Predikatska logika - I deo

25 Promenljive Često se javlja potreba da se sva pojavljivanja neke konkretne promenljive u formuli zamene termom. Na primer, u izrazu cat(x) hastail(x) može se javiti potreba da se sva pojavljivanja promenljive x zamene termom Tom, što daje cat(t om) hastail(t om). Neka je sa A označena formula, sa x promenljiva a sa t term. Tada sa S x t A označavamo formulu dobijenu zamenom svih pojavljivanja promenljive x u formuli A termom t. S x t A se naziva instancijacija formule A, a za t se kaže da je instanca promenljive x. Matematička logika 25 Predikatska logika - I deo

26 Promenljive Primer 7: Neka su a, b i c individualne konstante, neka su P i Q jednomestni predikati i neka su x i y promenljive. Tada: S x a (P(a) Q(x)) = P(a) Q(a); S y a (P(y) Q(y)) = P(a) Q(a); S y a (Q(a)) = Q(a); S y a (P(x) Q(x)) = P(x) Q(x). S X t je zapravo operacija koja se može vršiti nad predikatima. Matematička logika 26 Predikatska logika - I deo

27 Kvantifikatori Razmotrimo sledeća tri tvrd enja: Sve mačke imaju repove. Neki ljudi vole sirovo meso. Svako mora jednom da se odmori. Sva ova tvrd enja ukazuju na to koliko često su neke stvari tačne. U predikatskoj logici se za takve potrebe koriste kvantifikatori: univerzalni kvantifikator egzistencijalni kvantifikator Matematička logika 27 Predikatska logika - I deo

28 Univerzalni kvantifikator Neka A predstavlja formulu a x promenljivu. Ako želimo da ukažemo da je formula A tačna za sve moguće vrednosti promenljive x, onda pišemo ( x)a ili x A, pri čemu kažemo sledeće: ( x)a je univerzalni kvantifikator; formula A je oblast dejstva ovog kvantifikatora; promenljiva x je vezana ovim kvantifikatorom; simbol čitamo za svaki, za svaku, za svako ili za sve. Matematička logika 28 Predikatska logika - I deo

29 Univerzalni kvantifikator Kvantifikator i vezana promenljiva koja sledi treba da se tretiraju kao celina, i ta celina deluje poput unarnog veznika. Tvrd enja koja sadrže reči svaki, svako, svi, bilo koji, ma koji i slično, obično ukazuju na univerzalnu kvantifikaciju. Takva tvrd enja se mogu preformulisati tako da počnu sa za svaki x, što se potom prevodi u x. Na primer, neka je T ranije razmatrani predikat imati rep. Tada je sa T(x) označeno tvrd enje x ima rep. Prema tome, tvrd enje svaka mačka ima rep se može izraziti sa ( x)t(x). Matematička logika 29 Predikatska logika - I deo

30 Univerzalni kvantifikator Naravno, ovde se podrazumevalo da domen, gde promenljiva x uzima svoje vrednosti, jeste kolekcija mačaka. Med utim, ako domen nismo tako odredili, onda moramo da uvedemo i predikat C: biti mačka, odnosno C(x): x je mačka, i onda se svaka mačka ima rep se može izraziti sa ( x)(c(x) T(x)). U ovom slučaju formula A, tj. oblast dejstva kvantifikatora, je A = C(x) T(x). Matematička logika 30 Predikatska logika - I deo

31 Egzistencijalni kvantifikator Neka A predstavlja formulu a x promenljivu. Ako želimo da ukažemo da je formula A tačna za bar jednu vrednost promenljive x, onda pišemo pri čemu kažemo sledeće: ( x)a ili x A, ( x)a je egzistencijalni kvantifikator; formula A je oblast dejstva ovog kvantifikatora; promenljiva x je vezana ovim kvantifikatorom; simbol čitamo postoji, odnosno ( x)a čitamo postoji x tako da važi A ili postoji x tako da A. Matematička logika 31 Predikatska logika - I deo

32 Egzistencijalni kvantifikator Tvrd enja koja sadrže reči neki, za neki, bar jedan i slično, obično ukazuju na egzistencijalnu kvantifikaciju. Takva tvrd enja se mogu preformulisati tako da počnu sa postoji x tako da, što se potom prevodi u x. Na primer, neka je V predikat voleti sirovo meso. Tada je ( x)p(x) oznaka za Postoje ljudi koji vole sirovo meso ili Neki ljudi vole sirovo meso. Matematička logika 32 Predikatska logika - I deo

33 Napomene o kvantifikatorima Kao što smo već rekli, x i x se mogu shvatiti kao unarni veznici. Poput negacije, kvantifikatori su višeg prioriteta u odnosu na binarne veznike, što znači da prvo primenjujemo kvantifikatore, pa tek onda binarne veznike. Na primer, neka P(x) znači x je živo a Q(x) znači x je neživo. Tada ( x)(p(x) Q(x)) ukazuje na to da je bio šta ili živo ili neživo. Sa druge strane, ( x)p(x) Q(x) znači da je bilo šta živo, ili da je x neživo. Matematička logika 33 Predikatska logika - I deo

34 Napomene o kvantifikatorima Promenljiva x u izrazu x ili x je samo nešto što bi se na engleskom jeziku moglo nazvati placeholder (držac, nosilac mesta). To znači da ako imamo formulu ( x)a, odnosno ( x)a, gde je A oblast dejstva kvantifikatora, onda u x, odnosno x, i svuda u A, promenljivu x možemo zameniti bilo kojom drugom promenljivom y koja se ne javlja u A, i pri tome se ništa neće promeniti. Naime, formule ( x)p(x) i ( y)p(y) imaju isto značenje, one su logički ekvivalentne. Matematička logika 34 Predikatska logika - I deo

35 Napomene o kvantifikatorima Drugim rečima, promenljiva x je zajedničko ime za sve individue iz datog domena, pa se značenje predikatskih formula se neće promeniti ako to ime, svuda gde se ono koristi, zamenimo nekim drugim, koje se ne koristi za neke druge individue. Za formulu kažemo da je varijanta formule ( x)a ako je oblika ( y)s x y A, gde je y bilo koja promenljiva, a Sx ya je formula dobijena iz A zamenom svih pojavljivanja promenljive x sa promenljivom y. Na potpuno isti način se definiše i varijanta formule ( x)a Matematička logika 35 Predikatska logika - I deo

36 Napomene o kvantifikatorima Kvantifikatori mogu biti ugnježdavani (engleski nested). To ilustrujemo sledećim primerom. Rečenicu Postoji neko ko poznaje svakog prevesti na jezik predikatske logike. Koristiti oznaku K(x, y) za x poznaje y. Najbolje je da se ovo uradi postupno. Neformalno pišemo ( x)(x poznaje svakog). Izraz x poznaje svakog je i dalje u govornom jeziku, i znači da za svako y važi da x poznaje y. Prema tome, x poznaje svakog se može izraziti sa ( y)k(x, y). Matematička logika 36 Predikatska logika - I deo

37 Napomene o kvantifikatorima Dakle, postoji neko ko poznaje svakog se može izraziti sa ( x)( y)k(x, y). Tvrd enje Niko nije savršen takod e uključuje kvantifikator niko koji ukazuje na odsustvo individue koja ima odred eno svojstvo. U predikatskoj logici činjenica da niko nema svojstvo P se može izraziti direktno. Naime, činjenica da ne postoji x za koje važi A se može izraziti bilo sa ( x)a ili sa ( x) A. Ako sa P označimo svojstvo biti savršen, onda i ( x)p(x) i ( x) P(x) ukazuju na to da niko nije savršen. Matematička logika 37 Predikatska logika - I deo

38 Vezane i slobodne promenljive Za pojavljivanje promenljive x u samom zapisu kvantifikatora x ili x, ili u oblasti dejstva jednog od tih kvantifikatora, kažemo da je vezano pojavljivanje, a za promenljivu x da je vezana. Na primer, u izrazu ( x)(p(x) Q(x)) promenljiva x se javlja tri puta, i sva tri pojavljivanja su vezana. Pojavljivanje promenljive koji nije vezano naziva se slobodno pojavljivanje, a promenljiva se naziva slobodnom. Kasnije ćemo videti da ista promenljiva u jednoj formuli može imati i vezana i slobodna pojavljivanja. U takvim slučajevima je neophodno jasno istaći poziciju na kojoj se javlja promenljiva o kojoj govorimo. Matematička logika 38 Predikatska logika - I deo

39 Vezane i slobodne promenljive Primer 8: Odrediti slobodne promenljive u ( z)(p(z) Q(x)) ( y)q(y). Samo je promenljiva x slobodna, dok su sva pojavljivanja promenljivih y i z vezana. Primetimo da se status promenljive može promeniti kada se iz formule izdvoji podformula. Na primer, u ( x)p(x) promenljiva x se javlja dva puta, oba puta kao vezana. Ova formula sadrži P(x) kao podformulu, i u njoj je x slobodna promenljiva. Matematička logika 39 Predikatska logika - I deo

40 Vezane i slobodne promenljive Instancijacija, zamena promenljive termom, utiče samo na slobodne promenljive. Preciznije, ako je A formula, onda S x t pojavljivanja promenljive x u A. A utiče samo na slobodna Na primer, S x y ( x)p(x) je ( y)p(y), a to je sa aspekta logike, kako smo već napomenuli, isto što i ( x)p(x). Dakle, ovom zamenom nismo ništa promenili. Sa druge strane, S x y (Q(x) ( x)p(x)) daje Q(y) ( x)p(x). Matematička logika 40 Predikatska logika - I deo

41 Vezane i slobodne promenljive Prema tome, instancijacija se prema promenljivim odnosi različito, zavisno od toga da li su slobodne ili vezane, čak i ako se ista promenljiva javlja dva puta u istom izrazu, jednom kao slobodna a drugi put kao vezana. Očigledno, dve stvari su identične samo ako uvek imaju identičan tretman. To povlači da, ako se promenljiva javlja i kao slobodna i kao vezana u istoj formuli, onda mi zapravo imamo dve različite promenljive za koje se samo desilo da imaju isto ime. Zbog toga se treba truditi da promenljive, koje su faktički različite, različito i označavamo. Matematička logika 41 Predikatska logika - I deo

42 Napomene o promenljivim Vezane promenljive možemo tretirati kao lokalne u okviru oblasti dejstva kvantifikatora, upravo onako kako su parametri i lokalno deklarisane promenljive u PASCAL-u lokalne u procedurama u kojima su deklarisane. Analogija sa PASCAL-om se može dalje proširiti i ako razmatramo ime promenljive u kvantifikatoru kao deklaraciju. Ova analogija takod e sugeriše da, ako nekoliko kvantifikatora koristi istu vezanu promenljivu za kvantifikaciju, tada su sve te promenljive lokalne u okviru oblasti dejstva odgovarajućeg kvantifikatora, i prema tome, različite su. Matematička logika 42 Predikatska logika - I deo

43 Napomene o promenljivim Kada se formiraju varijante, preba paziti da se ne remete lokalne definicije. Da bi smo ilustrovali ovo, razmotrimo tvrd enje y ima majku. Ako sa M označimo predikat je majka od, tada se to tvrd enje može izraziti sa ( x)m(x, y). Jasno je da u ovoj formuli promenljivu x ne smemo zameniti sa y, jer u tom slučaju dobijamo ( y)m(y, y), što znači da je y sebi majka. Sa druge strane, ilegalna je i instancijacija S y x (( x)m(x, y)) jer i ona daje ( x)m(x, x). Matematička logika 43 Predikatska logika - I deo

44 Napomene o promenljivim Iz svega napred rečenog zaključujemo da za instancijacije (zamene promenljivih termima) moraju da postoje neka ograničenja. Instancijacija koje dovodi do toga da promenljiva koja je imala slobodno pojavljivanje postane vezana naziva se sukob promenljivih. Jasno, svi sukobi promenljivih se moraju izbeći. Matematička logika 44 Predikatska logika - I deo

45 Restrikcija kvantifikatora Ponekad se kvantifikovanje vrši samo nad podskupom domena. Na primer, uzmimo da je domen kolekcija svih životinja. Kako izraziti rečenice poput Svi psi su sisari ili Neki psi su rid i? Razmotrimo prvo tvrd enje Svi psi su sisari. Kako kvantifikator treba da se ograniči na pse, možemo preformulisati tvrd enje sa Ako je x pas, onda je x sisar, što dovodi do formule ( x)(p(x) S(x)). Generalno, ta formula može da se prevede sa Sve individue sa svojstvom P(x) imaju svojstvo S(x). Matematička logika 45 Predikatska logika - I deo

46 Restrikcija kvantifikatora Razmotrimo sada drugo tvrd enje Neki psi su rid i. To znači da postoje neke životinje koje su psi i koje su rid e. Jasno, tvrd enje x je pas i x je rid se prevesti u P(x) R(x) pa se postoje neki rid i psi može prevesti u ( x)(p(x) R(x)). Generalno, ta formula može da se prevede sa Neke individue sa svojstvom P(x) imaju takod e i svojstvo R(x). Matematička logika 46 Predikatska logika - I deo

47 Restrikcija kvantifikatora Prema tome, kada univerzalni kvantifikator treba da primenimo samo na individue sa datim svojstvom, onda koristimo implikaciju da bi ograničili domen. Ako na sličan način želimo da ograničimo primenu egzistencijalnog kvantifikatora, onda koristimo konjunkciju. Umesto ( x)(p(x) Q(x)) obično pišemo ( x D) Q(x), gde je D = {x P(x)} skup svih individua sa svojstvom P(x), dok umesto ( x)(p(x) Q(x)) pišemo ( x D) Q(x). Matematička logika 47 Predikatska logika - I deo

48 Jezik predikatske logike Posle objašnjenja osnovnih koncepata predikatske logike, stigli smo i do formalne definicije jezika predikatske logike. Jezik predikatske logike, u oznaci L p sastoji se od sledećih osnovnih simbola: znaci konstanti: a 1, a 2, a 3,... U slučajevima kada radimo sa manjim brojem konstanti, umesto ovih možemo koristiti i znake a, b, c,... znaci promenljivih: x 1, x 2, x 3,... Kada radimo sa ne velikim brojem promenljivih, možemo koristiti i znake x, y, z,... Matematička logika 48 Predikatska logika - I deo

49 Jezik predikatske logike Ponegde se koristi i konvencija da se vezane i slobodne promenljive označavaju drugačije, na primer, za vezane promenljive koriste se znaci x, y, z,..., ili sa odgovarajućim indeksima, za slobodne promenljive koriste se znaci u, v, w,..., ili sa odgovarajućim indeksima. funkcijski znaci: f 1 1, f1 2,..., f2 1,..., fj i,... Dozvoljeni su i neki drugi znaci, kao što su f, g, h,... Ovi znaci se koriste za označavanje funkcija proizvoljnih arnosti (dužine), pomoću kojih gradimo složenije terme. Matematička logika 49 Predikatska logika - I deo

50 Jezik predikatske logike predikatski ili relacijski znaci: R 1 1, R1 2,..., R2 1,..., Rj i,... ili P, Q, R,... Ovi znaci se koriste za označavanje relacija, odnosno predikata, takod e proizvoljnih arnosti. logički veznici:,,,,, kvantifikatori:, pomoćni znaci: zagrade ( i ), zapeta, Matematička logika 50 Predikatska logika - I deo

51 Jezik predikatske logike Svaka posebna matematička teorija ima svoj specifičan jezik, svoj skup polaznih simbola oznaka konstanti, funkcijskih i relacijskih znaka. Kada se zadaje takav specifičan jezik, onda se za svaki funkcijski znak, odnosno relacijski znak, mora jasno odrediti njegova arnost (dužina, broj argumenata). Kada se to učini, onda će se znati da se funkcijskim znakom arnosti n označavaju samo operacije iste te arnosti, a relacijskim znakom arnosti n samo relacije iste te arnosti. U označavanju funkcijskih i relacijskih znaka sa f j i, odnosno Rj i, gornji indeks označava arnost tog znaka, a donji služi za razlikovanje znakova iste dužine, kada radimo sa više takvih znakova. Matematička logika 51 Predikatska logika - I deo

52 Jezik predikatske logike Ipak, kod znakova konstanti, promenljivih, funkcijskih i relacijskih znaka često i ne pišemo gornje ili donje indekse gornji se izostavljaju ako je jasno koja je arnost razmatranih simbola, a donji se izostavljaju ako na neki drugi način možemo da napravimo razliku izmed u tih simbola. Logički simboli i promenljive su svuda isti, uz napred već izrečenu napomenu da promenljive mogu biti i slova bez indeksa (na primer x, y, z), velika slova, slova grčkog alfabeta itd. U mnogim slučajevima razmatrani jezik će sadržati i binarni relacijski znak =, koji interpretiramo upravo kao jednakost. Matematička logika 52 Predikatska logika - I deo

53 Jezik predikatske logike Primer 9: U strogom zasnivanju strukture prirodnih brojeva, sa operacijama sabiranja i množenja i uobičajenom relacijom poretka, imamo sledeće: Simbol konstante je samo broj 1, Operacijski znaci su f 2 1 i f2 2, i označavaju se redom sa + (plus) i (puta), Relacijski znaci su R 2 1 i R2 2, a njihove uobičajene oznake su redom = i. Dakle, ovde uzimamo da je jedina konstanta 1, dok ostale prirodne brojeve dobijamo na sledeći način: 2 def = 1 + 1, 3 def = 2 + 1, 4 def = 3 + 1,... Matematička logika 53 Predikatska logika - I deo

54 Jezik predikatske logike U manje formalnom (ali češćem) izlaganju, konstantom se smatra oznaka svakog prirodnog broja. Isto važi i za druge strukture brojeva. Tako je i u primerima koji slede. Matematička logika 54 Predikatska logika - I deo

55 Termi Definicija terma je induktivna: (i) Promenljive i znaci konstanti su termi. (ii) Ako je f n m funkcijski znak (arnosti n), a t 1,..., t n su termi, onda je term i izraz f n m (t 1,..., t n ). (iii) Termi su oni i samo oni izrazi koji se mogu formirati primenom pravila (i) i (ii) konačan broj puta. Prema tome, termi se grade samo od konstanti, promenljivih i funkcijskih znaka. Matematička logika 55 Predikatska logika - I deo

56 Termi Primer 10: Primeri terma su: f 1 1 (x 1), f 3 1 (x 1, x 2, f 1 1 (x 2)), f 2 2 (x 1, f 2 1 (x 2, a 1 )). Na jeziku prirodnih brojeva uobičajeno je da se, na primer, term f 2 2 (x 1, f 2 1 (x 2, a 1 )) beleži sa x(y + 1) i sl. Matematička logika 56 Predikatska logika - I deo

57 Atomične formule Kao što je rečeno, od terma se do rečenica (formula) dolazi tek kada se termi povežu simbolima relacija. Kada se termi povežu odgovarajućim relacijskim znakom, dobijaju se najjednostavnije formule koje se nazivaju atomarne ili atomične formule. Naime, neka R n i jeste n-arni relacijski znak i t 1,..., t n su termi. Tada se izraz oblika R n i (t 1,..., t n ) naziva atomična formula. Matematička logika 57 Predikatska logika - I deo

58 Atomične formule Primer 11: Atomične formule su, na primer R 3 1 (f1 1 (x 2), x 1, f 2 1 (x 2, x 3 )), R 2 2 (a 1, f 1 1 (x 2)), R 1 1 (f3 1 (x 1, x 1, x 2 )). U jeziku teorije skupova jedna atomična formula je X Y Z, a u strukturi prirodnih brojeva je to, na primer, x y + z. Prema dogovorima o označavanju, obe ove formule su u stvari uobičajeni zapisi, u odgovarajućem jeziku, jedne iste formule R 2 1 (x 1, f 2 1 (x 2, x 3 )). Matematička logika 58 Predikatska logika - I deo

59 Atomične formule Primer 12: U jeziku algebarskih struktura obično postoji relacijski znak dužine 2, koji se označava sa = i interpretira se kao jednakost. Atomična formula t 1 = t 2, gde su t 1 i t 2 termi naziva se identitet ili algebarski zakon. Identiteti su, na primer, x + y = y + x i x(y + z) = xy + xz za brojeve, kao i A (B A) = A za skupove, i sl. Matematička logika 59 Predikatska logika - I deo

60 Predikatske formule Definicija predikatske formule je takod e induktivna: (i) Svaka atomična formula je predikatska formula. (ii) Ako su F i G predikatske formule, a x je promenljiva, onda su i sledeći izrazi predikatske formule: F, (F G), (F G), (F G), (F G), (( x)f), (( x)f). (iii) Prediktske formule su oni i samo oni izrazi koji se mogu formirati konačnim brojem primena pravila (i) i (ii). Jednostavnosti radi, nadalje ćemo govoriti samo formule. Matematička logika 60 Predikatska logika - I deo

61 Predikatske formule Primer 13: Primeri formula su: (( x 1 )(( x 2 )R 2 2 (x 1, x 2 ))), ((( x 2 )R 2 1 (x 1, f 2 2 (x 1, x 2 ))) (( x 1 )R 2 2 (f2 2 (x 1, x 2 ), x 2 ))) Prva od ovih formula se u jeziku strukture prirodnih brojeva beleži sa ( x)( y)(x y). Kao i kod iskaznih formula, podformula predikatske formule se definiše se svaki podniz (podreč) formule koji je i sam formula. Matematička logika 61 Predikatska logika - I deo

62 Oblast dejstva kvantifikatora Oblast dejstva kvantifikatora ( x), odnosno ( x), koji se pojavljuje u formuli, je sam kvantifikator zajedno sa najmanjom podformulom koja neposredno sledi iza njega. Primer 14: U formuli ((( x 1 ) R 2 1 (x 1, x 2 )) R 1 1 (x 2)), oblast dejstva kvantifikatora ( x 1 ) je formula (( x 1 ) R 2 1 (x 1, x 2 )). Matematička logika 62 Predikatska logika - I deo

63 Oblast dejstva kvantifikatora U formuli ( x)(x 1 ( y)(y x)) oblast dejstva kvantifikatora ( x) je formula ( x)(x 1 ( y)(y x)), a oblast dejstva kvantifikatora ( y) je formula ( y)(y x). Matematička logika 63 Predikatska logika - I deo

64 Brisanje zagrada Kao što smo već rekli, jednostavnosti radi, funkcijski znaci se često označavaju bez indeksa, i to sa f, g, h,..., a relacijski malim slovima grčkog alfabeta. U jezicima pojedinih matematičkih teorija se, med utim, koriste već poznati funkcijski i relacijski znaci (+,,, = itd.) i ustaljena pravila o zagradama. Pri zapisivanju predikatskih formula se prihvataju isti dogovori o izostavljanju zagrada navedeni za iskazne formule, pri čemu su kvantifikatori iza veznika i, koji su iza veznika i. Matematička logika 64 Predikatska logika - I deo

65 Brisanje zagrada Primer 15: (a) Na osnovu dogovora o izostavljanju zagrada, umesto ((( x 1 ) R 2 1 (x 1, x 2 )) R 1 1 (x 2)) piše se ( x 1 ) R 2 1 (x 1, x 2 ) R 1 1 (x 2). (b) U formuli ( x)( y)((α(x, y) α(f(x, y), f(y, x))), α je relacijski, a f funkcijski znak, oba dužine 2. Matematička logika 65 Predikatska logika - I deo

66 Brisanje zagrada (c) I u formuli ( x)( y)(x y y x + 1), i + su redom relacijski i funkcijski znak dužine 2. Drugi relacijski znak dužine 2 je =, ali je umesto (y = x + 1), zabeleženo kraće y x + 1. Ovo su uobičajene oznake u jezicima struktura brojeva. Matematička logika 66 Predikatska logika - I deo

67 Vezane i slobodne promenljive Pojavljivanje promenljive x u nekoj formuli je vezano ako se x javlja u oblasti dejstva nekog od kvantifikatora ( x) odnosno ( x). Slobodno pojavljivanje promenljive u formuli je ono koje nije vezano. Primer 16: (a) U formuli ( x)α(x) (( y)β(x, y) γ(y)) prva dva pojavljivanja promenljive x su vezana, a treće je slobodno; prva dva pojavljivanja promenljive y su vezana, a treće je slobodno. (b) U formuli ( x)(α(x) (( y)β(x, y) γ(y))) sva tri pojavljivanja promenljive x su vezana, prva dva za y su vezana a treće je slobodno. Matematička logika 67 Predikatska logika - I deo

68 Vezane i slobodne promenljive (c) U formuli ( x)(α(x) ( y)(β(x, y) γ(y))) su sva pojavljivanja obeju promenljivih vezana. Promenljiva x je slobodna ili vezana u formuli A ako u njoj ima redom slobodno ili vezano pojavljivanje. Kao što se vidi iz prethodnih primera, promenljiva može biti i vezana i slobodna u istoj formuli. Matematička logika 68 Predikatska logika - I deo

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Matematička logika. novembar 2012

Matematička logika. novembar 2012 Predikatska logika 1 Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia novembar 2012 1 različiti nazivi: predikatska logika, logika prvog

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia. Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu

Διαβάστε περισσότερα

Predikatska logika - II deo. Jelena Ignjatović

Predikatska logika - II deo. Jelena Ignjatović Predikatska logika - II deo Jelena Ignjatović Logika i teorija skupva Ugnježdeni kvantifikatori Ugnježdeni kvantifikatori U matematici i informatici se često sreću kvantifikatori koji se javljaju u oblasti

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Napravimo neformalnu rekapitulaciju osnovnih pojmova koje smo obradili na prethodnom predavanju.

Napravimo neformalnu rekapitulaciju osnovnih pojmova koje smo obradili na prethodnom predavanju. Predikatske formule rekapitulacija Napravimo neformalnu rekapitulaciju osnovnih pojmova koje smo obradili na prethodnom predavanju. Izraz je proizvoljan niz simbola. Naravno, većina izraza nema nikakav

Διαβάστε περισσότερα

Predikatska logika - III deo. Jelena Ignjatović

Predikatska logika - III deo. Jelena Ignjatović Predikatska logika - III deo Jelena Ignjatović Termi i formule Matematički izrazi i formule Matematičke izraze i formule gradimo od raznorodnih elemenata. Osnovni elementi matematičkih izraza i formula

Διαβάστε περισσότερα

8 Predikatski račun kao deduktivni sistem

8 Predikatski račun kao deduktivni sistem 26 8 Predikatski račun kao deduktivni sistem Neka je L neki jezik prvog reda. Da bismo odredili predikatski račun K L tipa L, prvo ćemo se dogovoriti šta će biti azbuka nad kojom radimo. Znamo da se svaka

Διαβάστε περισσότερα

Predikatska logika. January 8, 2012

Predikatska logika. January 8, 2012 Predikatska logika January 8, 2012 1 O predikatskoj logici Pre nego što počnemo razmatranje predikatske logike, zadržimo se na nekoliko napomena koje će, nadamo se, pomoći da se rasčiste pre svega terminološke

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

Diskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić

Diskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić Diskretna matematika Prof. dr Olivera Nikolić onikolic@singidunum.ac.rs 1 OSNOVNI POJMOVI MATEMATIČKE LOGIKE 2 1. Diskretna matematika 2. Kontinualna matematika 3 Pojam diskretne matematike Diskretna matematika

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

6 Preneksna forma i skolemizacija

6 Preneksna forma i skolemizacija 20 6 Preneksna forma i skolemizacija Dve korisne tehnike koje možemo koristiti prilikom rešavanja različitih problema u predikatskoj logici jesu konstrukcija preneksne forme date formule, kao i tzv. skolemizacija.

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Relacije poretka ure denja

Relacije poretka ure denja Relacije poretka ure denja Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je ➀ refleksivna ➁ antisimetrična ➂ tranzitivna Umesto relacija poretka često kažemo i parcijalno ured enje ili samo ured enje.

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

Deljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.

Deljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

U raznim oblastima se često javlja potreba da se izmed u izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije.

U raznim oblastima se često javlja potreba da se izmed u izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije. Šta je to relacija? U raznim oblastima se često javlja potreba da se izmed u izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije. Na primer, često se javlja potreba da se izvesni objekti uporede

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

10 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku

10 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku 10 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku Definicija 20 Iskazni račun je deduktivni sistem H = X, F orm, Ax, R, gde je X = S {,, (, )}, gde S = {p 1, p 2,..., p n,... }, F orm je skup iskaznih

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Sintaksa i semantika u logici

Sintaksa i semantika u logici Sintaksa i semantika u logici PMF Matematički odsjek Sveučilište u Zagrebu 13. listopad 2012., Zadar Sintaksa i semantika u logici 1 / 51 1. Logika sudova 1.1. Sintaksa jezik 1.2. Semantika logike sudova

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Osnovno svojstvo iskaza, ma kako složen bio, jeste da je on ili tačan, ili netačan.

Osnovno svojstvo iskaza, ma kako složen bio, jeste da je on ili tačan, ili netačan. Iskazna algebra Osnovno svojstvo iskaza, ma kako složen bio, jeste da je on ili tačan, ili netačan. Da bi se pravila za odred ivanje istinitosti precizno formalizovala, uvodi se sledeća matematička struktura.

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa. f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}

Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa. f 1 = {(b, a) B A (a, b) f} Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f} nazivamo inverznom korespondencijom korespondencije f. A f B A f 1 B

Διαβάστε περισσότερα

[1] Formalni jezik iskazne logike

[1] Formalni jezik iskazne logike [1] Formalni jezik iskazne logike Svaka formalna teorija (formalni sistem) sastoji se iz tri komponente: formalnog jezika, aksioma i pravila izvođenja (zaključivanja) Formalni jezik [4] sastoji se iz osnovnih

Διαβάστε περισσότερα

Automatsko rezonovanje beleške sa predavanja Rezonovanje u logici prvog reda

Automatsko rezonovanje beleške sa predavanja Rezonovanje u logici prvog reda Automatsko rezonovanje beleške sa predavanja Rezonovanje u logici prvog reda Filip Marić Milan Banković Matematički fakultet, Univerzitet u Beogradu Proletnji semestar 2018. Uvod Pregled 1 Uvod 2 Sintaksa

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

1 Algebarske operacije i algebraske strukture

1 Algebarske operacije i algebraske strukture 1 Algebarske operacije i algebraske strukture Defnicija 1.1 Neka su I i A skupovi. I-familija elemenata skupa A, ili familija elemenata iz A indeksirana skupom I, je funkcija a : I A koju radije zapisujemo

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Automatsko rezonovanje beleške sa predavanja Rezonovanje u logici prvog reda

Automatsko rezonovanje beleške sa predavanja Rezonovanje u logici prvog reda Automatsko rezonovanje beleške sa predavanja Rezonovanje u logici prvog reda Filip Marić Matematički fakultet, Univerzitet u Beogradu Proletnji semestar 2011. Uvod. Pregled 1 Uvod. 2 3 Normalne forme 4

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}

Διαβάστε περισσότερα

ISKAZI. U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obično se sreću rečenice koje su ili tačne

ISKAZI. U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obično se sreću rečenice koje su ili tačne ISKAZI U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obično se sreću rečenice koje su ili tačne ili netačne, tj rečenice koje imaju logičkog smisla.ovakve rečenice se u matematici nazivaju iskazi.dakle,

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t)

(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t) Izvodi Definicija. Neka je funkcija f definisana i neprekidna u okolini tačke a. Prvi izvod funkcije f u tački a je Prvi izvod funkcije f u tački : f f fa a lim. a a f lim 0 Izvodi višeg reda funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja...

1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja... Sadržaj 1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA 3 1.1 Zadaci............................... 6 1.2 Rešenja.............................. 8 2 SKUPOVI 13 2.1 Zadaci............................... 16 2.2 Rešenja..............................

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Logika prvog reda. Zapisivanje rečenica.

Logika prvog reda. Zapisivanje rečenica. Logika prvog reda.. Danijela Petrović May 3, 2016 Logika prvog reda Osnovna novina u odnosu na iskaznu logiku uvoženje egzistencijalnog i univerzalnog kvantifikatora. Logika prvog reda Osnovna novina u

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα