Helena Prović GRAFIČKI POSTUPCI ANALIZE RAVNINSKIH REŠETKASTIH NOSAČA

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Helena Prović GRAFIČKI POSTUPCI ANALIZE RAVNINSKIH REŠETKASTIH NOSAČA"

Transcript

1 Sveučilište u Zagrebu Građevinski fakultet Helena rović GRFIČKI OSTUCI NLIZE RVNINSKIH REŠETKSTIH NOSČ (ZVRŠNI RD) Zagreb, 00. 0

2 Sadržaj. Uvod. Rešetkasti nosači. Grafičke metode određivanja sila rešetkastih nosača 6.. Elementarna pravila koja vrijede općenito za rešetkaste nosače Metoda čvorova Maxwell Cremonin plan sila Metode presjeka Culmannova metoda Ritterova metoda Grafičko određivanje pomaka rešetkastih nosača.. Williotov plan pomaka..... omaci konzolnog rešetkastog nosača..... omaci grednih rešetkastih nosača rimjer 8.. Maxwell Cremonin plan sila Ritterova metoda..... Culmannova metoda..... Williotov plan pomaka Zaključak 6 7. Literatura 7

3 . UVOD U ovom ćemo radu obraditi statički određene rešetkaste nosače, grafičko određivanje sila u štapovima te crtanje pomaka čvorova tih nosača. Uz opću metodu čvorova, kod grafičkog određivanja sila u rešetkastim nosačima, posebno ćemo proučiti određivanje sila pomoću Maxwell Cremoninog plana sila. To je postupak kojeg je 86. godine pronašao engleski fizičar J.C. Maxwell, a detaljno ga je razradio profesor politehnike u Milanu L. Cremona 87. godine. U kontinentalnom dijelu Europe taj postupak određivanja sila u štapovima rešetkastih nosača obično se naziva Cremoninim planom sila. roučit ćemo rješavanje rešetkastih nosača pomoću metoda presjeka, odnosno u prvom planu bit će Culmannov postupak, a spomenut ćemo još i Ritterovu metodu, jer iako je ona u osnovi analitička, najčešće je u primjeni kao grafoanalitička. Na kraju ćemo odrediti i pomake rešetkastih nosača primjenom grafičke metode Williotovog plana. U prvom dijelu rada slijedi teorijska obrada načina rješavanja rešetkastih nosača te pravila konstruiranja Williotovog plana pomaka. U drugom dijelu rada slijedi primjer rješavanja i crtanja rešetkastog nosača za koji ćemo prvo nacrtati Maxwell-Cremonin plan sila, a zatim tako dobivena riješenja provjeriti Ritterovom i Culmannovom metodom. Za kraj ćemo nacrtati Williotov plan pomaka.

4 . REŠETKSTI NOSČI U ovom dijelu definirat ćemo neke osnovne pojmove vezane uz rešetkaste nosače, počevši od definicije rešetkastih nosača do osnovnih prepostavki koje je potrebno utvrditi prije nego što se počne s određivanjem vanjskih i sila u štapovima takvih nosača, te njihovim pomacima. Važno je pri tome napomenuti da ćemo se baviti samo ravninskim sustavima i nećemo ulaziti u problematiku prostornih sistema. Rešetkasti nosači su konstrukcijski sistemi koji su sastavljeni od dovoljnog broja ispravno raspoređenih, međusobno zglobno spojenih štapova, s dovoljnim brojem vanjskih veza. ri tome se prepostavlja da su ti štapovi pravocrtni, konstantnog poprečnog presjeka, a opterećenja su zadana u osi štapa i u čvorovima sustava. Uz navedene, jedna od osnovnih prepostavki kod statičkog proračuna (kako analitičkog, tako i grafičkog) jest da je rešetkasti konstruktivni sistem geometrijski nepromjenjiv i statički određen, jer se samo takvi sistemi smatraju nosačima. rije nego što opišemo postupak ispitivanja geometrijske nepromjenjivosti kod ovakvih nosača, definirat ćemo sam pojam. Geometrijska nepromjenjivim sistemima smatramo one kod kojih može doći do pomaka samo zbog deformacije elemenata. Ispitivanje se može provesti statičkim i kinematičkim metodama. Kako bi se došlo do nužnog uvjeta geometrijske nepromjenjivosti rešetkastog diska polazi se od najjednostavnije strukture rešetkastog diska. Osnovna geometrijski nepromjenjiva figura sastavljena od štapova je trokut koji se sastoji od tri čvora i tri štapa. očevši od te figure postupnim spajanjem svakog dodatnog čvora s dvama štapovima dolazi se do geometrijski nepromjenjivog rešetkastog diska. Na slici. prikazano je konstruiranje jednog takvog diska: na osnovnu figuru, trokut,, prvo se s dva štapa priključio čvor, te daljnim postupnim dodavanjem čvorova,6,7 i 8 i njihovim vezivanjem dobiva se rešetkasti disk Slika. ko se sa nš označi broj štapova u rešetki, a sa nč broj čvorova, tada se može dobiti izraz za broj štapova koji je dovoljan da bi opisana konstrucija rešetkastog diska bila geometrijski nepromjenjiva. Dakle, slijedi: nš = + (nč - ) = nč - Da bi ta rešetka postala rešetkastim nosačem, potrebno je dodati tri vanjske veze. ko te veze pretvorimo u tri štapa slijedi:

5 nš = nč. Zaključujemo kako je za geometrijsku i statičku određenost rešetkastog konstruktivnog sistema nužno imati dvostruko više štapova od broja čvorova. Opisali smo najjednostavniji slučaj kada je rešetkasti nosač sastavljen od elementarnih geometrijskih nepromjenjivih figura tj. trokuta. No, ako i diskovi nisu na prvi pogled sastavljeni od trokuta, može se analognim postupkom dokazati geometrijska nepromjenjivost diska, odnosno konstruktivnog sistema. Na primjeru sistema prikazanog na slici postoji polazni trokut od kojeg može početi konstrukcija postupnim dodavanjem čvora vezivanjem s po dva štapa koji ne leže na istom pravcu. Slika. Moguć je i treći, mnogo složeniji slučaj, kada se opisanim postupkom ne može dokazati da li se radi o geometrijski nepromjenjivom konstruktivnom sistemu, jer nije sastavljen od trokuta, a nema ni osnovnog trokuta od kojeg bi se moglo krenuti. Kao primjer uzimamo sustav na slici Slika. Kod ispitivanja nepromjenjivosti ovakvog sistema poslužit ćemo se jednom od statičkih metoda, tj. metodom nultog opterećenja. Najprije ćemo formulirarti tu metodu: ko je u statički određenom konstruktivnom sistemu na koji ne djeluje opterećenje trivijalno rješenje jedino moguće, tada je sustav geometrijski nepromjenjiv; u suprotnom, kada su moguća i druga rješenja, sistem je geometrijski promjenjiv.

6 s s s s7 s s s8 s9 s6 s7 s9 s s s s s8 s s6 Slika. Ispitivanje nepromjenjivosti započinjemo tako da prepostavljamo da postoji sila u štapu 7 bilo koje veličine i krećemo od čvora uspostavljanjem ravnoteže u istom, te na taj način dobivamo sile S i S u štapovima i kao što je prikazano na slici. ostupak nastavljamo obilazeći čvorove, s lijeve strane, odnosno, s desne strane i rješavajući uvjete ravnoteže u njima. Kada dođemo konačno do čvora, svi su smjerovi sila već određeni (S, S, S7). Vidimo da u vertikalnom pravcu sve tri sile imaju isti smisao. Zaključujemo da se ravnotežni uvjet može zadovoljiti samo ako su sve tri sile u čvoru jednake nuli. Kako je trivijalno rješenje ovakvog sistema i jedino moguće, zaključujemo da je sustav geometrijski nepromjenjiv. Drugim riječima, nemoguće je postojanje unutarnjih sila bez vanjskog opterećenja.

7 . GRFIČKE METODE ODREĐIVNJ SIL U REŠETKSTIM NOSČIM.. Elementarna pravila koja vrijede općenito za rešetkaste nosače rije nego nastavimo s metodama grafičkog određivanja sila, korisno je navesti neka elementarna pravila koja bitno mogu pojednostaviti postupak određivanja sila u štapovima rešetkastih nosača: a. b. S S=S=0 S S S=- S= S S S c. d. S S S S e. S S S S Slika. ko na čvor u kojem se sastaju dva štapa ne djeluje vanjsko opterećenje, tada su sile u tim štapovim jednake nuli (slika a). ko na čvor u kojem se sastaju dva štapa djeluje sila u pravcu koji se poklapa s jednim od od štapova, sila u drugom štapu jednaka je nuli (slika b). ko se u čvoru na koji ne djeluje vanjsko opterećenje sastaju tri štapa od kojih dva leže na istom pravcu, tada je sila u trećem jednaka nuli (slika c). ko na čvor u kojem se sastaju tri štapa od kojih dva leže na istom pravcu djeluje vanjsko opterećenje, sila u trećem pravcu može se odrediti iz zbroja projekcija na os okomitu na pravac na kojem leže dva štapa (slika d). ko postoji neopterećeni čvor u kojem se sastaju četiri štapa od kojih po dva leže na istom pravcu, onda su sile u štapovima koji leže na istom pravcu međusobno jednake (slika e)... Metoda čvorova Ova metoda se naziva još i metodom izrezivanja čvorova ili metodom ravnoteže čvorova. rema toj metodi čvorovi se izrezuju iz rešetkastog nosača, odnosno, zamišlja se da se to uradilo, pa se postavljauju uvjeti ravnoteže. To uravnoteženje moguće je provoditi grafičkim i analitičkim postupcima, no mi ćemo se zadržati na grafičkim metodama. Određivanje sila u rešetkastom nosaču metodom čvorova moguća su na dva načina: 6

8 . krećući se nekim unaprijed određenim redosljedom od čvora do čvora, crtajući poligone sila neovisno,. jedinstvenim planom u kojem se svaka sila pojavljuje jedanput, odnosno Maxwell Cremoninim planom sila. Važno je napomenuti da se u jednom čvoru mogu postaviti najviše dvije jednadžbe ravnoteže u obliku zbroja projekcija svih sila koje djeluju na dvije neparalelne osi. Najčešće se odabiru horizontalna i vertikalna os i postavljaju se uvjeti ravnoteže : ΣX = 0 i ΣY = 0 a. j i Sij ij ij ij Slika 6. Tako za čvor na slici 6 vrijedi: ΣS ij cosα ij = i cosβ i ΣS ij sinα ij = i sinβ i Zaključujemo da je broj nepoznanica u tako postavljenim jednadžbama jednak broju štapova koji su priključeni u čvor, pa kako se u jednom čvoru mogu postaviti najviše dvije jednadžbe ravnoteže, zaključujemo da ćemo postupak rješavanja rešetkastih nosača (kako grafičkog, tako i analitičkog) započeti u onom čvoru u kojem se sastaju dva štapa (ili veći broj štapova uz uvjet da su u najviše dva štapa sile nepoznate) jer će u tom slučaju broj nepoznanica biti jednak broju jednadžbi. Sljedeći čvor u kojem postavljamo jednadžbe ravnoteže jest onaj u kojem su nepoznate dvije sile u priključenim štapovima. Na taj način dobivamo jednoznačno rješiv sustav jednadžbi. Na slici 6 tako bi smo postupak određivanja sila u rešetkastom nosaču započeli u čvoru ili 8, uz uvjet da smo ranije odredili reakcije koje se javljaju u ležajevima i. Čvorovi u rešetki na slici 7 označeni su redosljedom kako bi se i rješavali kada bi se postupak uravnotežavanja započeo u čvoru. Tada bi kod grafičkog rješavanja morali za svaki čvor crtati zaseban poligon, što bi značilo da bi se sila u svakom štapu pojavljivala u dva poligona. Takva je grafička konstrukcija neprikladna i nepregledna, pa se javlja veća mogućnost gomilanja pogrešaka. 7

9 .. Maxwell Cremonin plan sila Ovaj postupak spada također u metode čvorova, ali za razliku od već spomenutog načina određivanja sila u čvorovim u kojem se svaka sila pojavljuje dva puta, kod Maxwell-Cremoninovog plana sila svi se čvorovi slažu u jedinstveni plan u kojem se svaka sila pojavljuje jedanput, pa je na taj način manje podložan greškama. roučit ćemo detaljnije M-C postupak na primjeru rešetkastog nosača sa slike 7. Rešetkasti je nosač opterečen vanjskim aktivnim silama do u čvorovima,,. Za početak potrebno je odrediti reakcije. Kako je čitav postupak grafički i reakcije se određuju grafički, pomoću verižnoga poligona (slika 7). 7 8 z z Slika 7. Nakon što smo odredili reakcije, poligon vanjskih sila treba konstrurati tako da je redosljed sila u njemu onakav kakav je redosljed kojim se nailazi na te sile ako se oko rešetke obilazi u unaprijed odabranom smislu, jer će se taj smisao zadržati do kraja konstrukcije M-C plana sila. reporučljivo je na slici označiti taj smisao. U promatranom primjeru odabran je smisao vrtnje kazaljke na satu, pa je u redosljed vanjskih sila u poligonu:,,,, (slika 8). Kada smo ispravno raporedili sile u poligonu, tražimo čvor u kojem se sastaju dva štapa, kako bi smo odredili sile u njima. Takvi su čvorovi i. Započinjemo uravnoteženjem čvora silama S i S. Znamo iznos i smjer sile i smjerove sila S i S te možemo zatvoriti poligon sila (slika 8). 8

10 8 S 7 9 z S 6 Slika 8. Kada su određene sile u štapovima S i S, prelazi se na čvor u kojem su sada nepoznate sile u štapovima i, jer je sila u štapu određena iz predhodno uravnoteženog čvora. ostupak je identičan kao i u prethodnom čvoru. olazeći od štapa, odnosno sile S, jer je to prva poznata sila na koju se nailazi ako se obilazi oko čvora u smislu kazaljke na satu (unaprijed odabrani smisao) uravnotežuje se čvor i dobivaju se preostale dvije nepoznate sile u štapovima tog čvora (S i S) iz četverokuta sila ;, S, S, S (slika 9). 8 S 7 9 z S S S 6 Slika 9. Sljedeći čvor za koji se konstrira poligon sila je čvor. Iz tog poligona dobiju se sile u štapovima i 6 (S, S6 ) jer su sile S i S dobivene iz prethodno uravnoteženih čvorova. Dalje se može nastaviti konstruiranje poligona sila za čvor i zatim za čvor. Na kraju će se pokazati je li grafička konstrukcija ispravno provedena, kad se dođe do čvora (ležaj). Kako se u tom čvoru sastaju tri sile (, S9 i S8) koje su predhodno određene reakcija pomoću verižnog poligona, a sile S9 i S8 iz ravnoteže čvorova- te tri sile moraju zatvarati trokut sila. Na slici 0 prikazana je konačna konstrukcija M-C plana sila. 9

11 z S7 S S9 S6 S S S8 S S Slika 0. ko se dogodi da prethodno određena reakcija i sile u štapovima ne zatvaraju poligon sila, napravljena je pogreška u postupku. Razlog tome jest što se i uz preciznu grafičku konstrukciju, prave sitne greške koje se gomilaju. Mogu se tolerirati ako su u prihvatljivim granicama. Na kraju se umjesto točke kojom se zatvara poligon dobiva trokutić koji nazivamo trokutom pogreške. ko je taj trokut toliko velik da se ne može pretvoriti u točku bez posljedica na točnost konstrukcije, postupak treba ponoviti. Također je važno napomenuti da se mogućnost pogreške povećava ako se sistem rješava od početka do kraja krečući se samo s jedne strane, naročito kad nosač ima veći broj štapova. Da bi se to u što većoj mjeri izbjeglo, najbolje je postupak provoditi tako da se rješava s obje strane. rikazana je grafička konstrukcija Maxwell- Cremonina plana postupnim uravnoteživanjem čvorova u čemu je sadržano i statičko objašnjenje problema. ostoji, međutim, geometrijski odnos između zadanog nosača s opterećenjem i plana sila, pa se zahvaljujući tom odnosu može pojednostaviti konstruiranje Maxwell-Cremonina plana sila. Taj plan je figura recipročna zadanom nosaču s opterećenjem. Uvođenjem nekih dodatnih oznaka na prethodnom primjeru (slika ) pokušat ćemo objasniti te recipročnosti te odnose koji ih karakteriziraju.. Svakom polju rešetkastog nosača odgovara u M-C planu sila jedna točka U rešetkastom nosaču postoje unutarnja i vanjska polja. Unutarnja su omeđena štapovima rešetke, a vanjska štapovima rešetke i vanjskim silama. Uobičajeno je da se vanjska polja označavaju velikim, a unutarnja malim slovima. Tako je u prethodnom primjeru sa slike unutarnje polje omeđeno sa štapovima,,, označeno malim slovom a. Isto to polje u M-C planu sila predstavlja točka u kojoj se sijeku sile iz štapova,,. olje G je četvorkut kojeg omeđuju sile u štapovima i 6 te pravci djelovanja sila i, dakle vanjsko polje, koje u M- C planu predstavlja točku u kojoj se sijeku upravo one sile koje ga omeđuju. Između dva polja u rešetkastom nosaču nalazi se ili štap, odnosno sila u štapu ili vanjska sila tako da se u 0

12 recipročnoj figuri između dvije točke nalazi sila. U M-C planu stoga i nije potrebno još posebno označavati sile, pa čak ni na zadanom nosaču, jer su one obilježene oznakama polja u nosaču, odnosno točkama u planu. Da pojasnimo određivanje predznaka sile u M-C planu promotrit ćemo silu S, koja se nalazi između polja a i b jer ona nailaze tim redosljedom. Naime, polazimo u ranije odabranom smisao (smisao kazaljke na satu) i promatramo čvor. Smisao a b iz M-C plana određuje predznak sile u štapu. Strelica ide prema čvoru, što znači da je sila negativna, odnosno tlačna. Opisani sistem označavanja polja i točaka, a time i sila, uveo je engleski inženjer ow (ou) pa je pod imenom owov način i poznat.. Svakoj točki (čvoru) rešetkastog nosača odgovara u Maxwell- Cremoninom planu sila jedno polje, tj. poligon. Stranice poligona recipročne figure paralelne su s pravcima štapova, odnosno sila koje djeluju u čvoru rešetke. Statički je ovo logično, jer se u svakom čvoru rešetkastog nosača sastaju štapovi čije sile čine uravnoteženi sistem sila zajedno s vanjskim silama koje djeluju na taj čvor.. ko se površina nosača s pripadajućim vanjskim silama može podijeliti na dijelove ograničene pravcima sila, tako da svaka točka koja ne leži na pravcima koji omeđuju polja pripada samo jednom polju, onda je za takav nosač moguće pronaći Maxwell-Cremonin plan sila. C C a b D c 6 G 7 E 8 d 9 F z d S7 S c S9 b S6 S a F S S8 S G S D E Slika.

13 Slika. Kao i kod postupka u kojem se rješavanje sila u štapovima započinje u čvoru u kojem se sastaju samo dva štapa, tako je i konstrukcija M-C plana sila moguća samo ako u nosaču postoji takav čvor. Naiđe li se na nosač u kojem nema čvorova s dvije nepoznate sile od kojih bi se moglo krenuti (slika ) ili se unutar rešetke naiđe na čvor u su nalazi više od dvije sile nepoznate, tada je potrebno ispitati postoji li mogućnost da se uz predhodnu intervenciju ipak primijeni ovaj grafički postupak ili treba na neki drugi način tražiti sile u štapovima. C Slika. romotrit ćemo rešetkasti nosač na slici. Iako na prvi pogled ne postoji čvor od kojeg bismo započeli konstrukciju M-C plana sila, ako zadani nosač promatramo kao sistem sa zategom, iz uvjeta da je moment u zglobu C jednak nuli, možemo izračunati silu u štapu, te ju zajedno s vanjskim silama unijeti u poligon. Daljni je postupak konstrukcije M-C plana jednostavan. Idući u smislu kazaljke na satu (odabrani smisao), može se postupno konstruirati recipročna figura. Kako su zadano opterećenje i zadani rešetkasti nosač geometrijski simetrični, M-C plan sila crtat ćemo samo do osi simetrije. ri tome ćemo maksimalno pojednostaviti postupak, tako da u ovom primjeru, za razliku od prethodnog nećemo označavati sile u štapovima.

14 D a E b c F d e G C l H f g J h K j k L M D E F d simetrala M-C plana a l c G M e b H J K L Slika. Nakon što smo odredili reakcije u ležajevima i u štapu, odabiremo smisao obilaska sila (u našem slučaju u smislu kazaljke na satu) i crtamo poligon sila. Određivanje sila u štapovima započinjemo ili u ležaju ili. U našem slučaju krenuli smo od ležaja. Znamo reakciju i silu u štapu koju smo predhodno odredili, tako da ostaju dvije nepoznate sile u dva priključena štapa. Nakon što uravnotežimo taj čvor, prelazimo na čvor, i nastavljamo onim redosljedom kojim su čvorovi i označeni. Kada dođemo do polja e na crtežu, lako ćemo provjeriti jesmo li postupak izveli točno. Naime, dvije sile u tom polju već smo odredili uravnotežavajući čvorove i, tako da ostaje samo jedna nepoznata sila, pa ako postavimo paralelu s njom na planu sila u točku e (recipročna figura polja e na slici) ona bi trebala zatvarati poligon sila s predhodno određenim silama iz čvora. U predhodnom primjeru promotrili smo slučaj kada se u jednom čvoru sastaju više od dva štapa kod kojeg je moguće nacrtati recipročnu figuru u M-C planu sila, no to nije uvijek slučaj (slika ).

15 Slika. Također treba razmotriti i slučaj kada na prvi pogled nije moguće konstruirati recipročnu figuru zbog već spomenutog uvjeta da svaka točka koja ne leži na pravcima koji omeđuju polja pripada samo jednom polju, tj. drugim riječima, da je moguće napraviti M-C plan samo za one sisteme kod kojih se polja ne preklapaju. Međutim, ako se križaju samo po dva štapa, može se naći način da se takav nosač pretvori u onaj za koji je moguće nacrtati M-C plan sila. Činjenica je da se sile u štapovima ne mjenjaju ako se pretpostavi da su štapovi na mjestima križanja prekinuti i međusobno zglobno vezani. Naime, izvršavanjem takve zamjene ne mijenja se geometrijska nepromjenjivost niti statička određenost, jer se ubacivanjem zgloba broj čvorova povećava za jedan, a broj štapova za dva. Takvom zamjenom, koja je prikazana na slici 6, umjesto rešetkastog nosača s ukrštenim štapovima, dobiva se rešetkasti nosač čiji se štapovi ne križaju i za koji se može nacrtati recipročna figura. preklapanje polja nč= nš= ne= S=nč-nš-ne S=( ) - - = 0 a. D a E b c F nč= nš=7 ne= S=nč-nš-ne S=( ) = 0 b. Slika 6.

16 Nakon ubacivanja zgloba, nastavljamo postupak kao što smo to već opisali u prethodna dva primjera i kao što je prikazano na slici 7. D a E b c F z D b a c E z 0 Slika 7. otrebno je napomenuti da prekidanje štapova i ubacivanje zglobne veze na mjestima gdje se mimoilaze tri ili više štapova ne može vršiti jer se time mijenja konstrukcijski sistem, odnosno statički određeni sistem postaje neodređen. Obradit ćemo još jedan primjer nosača kod kojeg su opterećeni unutarnji čvorovi. Naime, na nosaču sa slike 8 unutarnja i vanjska polja se preklapaju, no dodavanjem pomoćnih štapova 7-7' i 8-8' u pravcima djelovanja sila i i prepostavljanjem da su stvoreni novi čvorovi 7' i 8' nosač ostaje i dalje statički određen i geometrijski nepromjenjiv.

17 7 8 nč=0 nš=7 ne= a. 6 S=nč - nš - ne S=( 0) =0 b. 7 b c a 7' G C d e f 8 g h 8' 6 F D i j E nč= nš= ne= S=nč - nš - ne S=( ) - - =0 Slika 8. Na ovakvom, zamjenskom nosaču moguće je odrediti sile u štapovima pomoću M-C plana sila. Jedina je korekcija koju na kraju proračuna treba napraviti da se stavi da su sile u dodanim, pomoćnim štapovima jednake nuli te da štapovi -6 i -6 nisu podjeljeni u po dva štapa. Crtanje recipročne figure za ovakav nosač prikazan je na slici 9. C 7 b e f 8 i D a G c 7' d g h 8' 6 F j E h j d f b C i e D c a Slika 9. 6

18 .. Metode presjeka Metode presjeka su metode u kojima presjekom dijelimo nosač na dva djela ili izdvajamo dio nosača, tako da se presijeku najviše tri štapa čiji se pravci ne sjeku u istoj točki. Moguće je presjeći i više štapova, ali među njima samo tri s nepoznatim silama. Kod ove metode određivanja sila u rešetkastim nosačima, jedan se dio nosača promatra, a drugi odbacuje. romatrani dio mora biti u ravnoteži pod djelovanjem vanjskih sila i sila kojima odbačeni dio djeluje na njega. Razlika kod određivanja unutarnjih sila kod punostjenih i rešetkastih nosača jest ta što se kod rešetkastih nosača umjesto momenta savijanja, poprečne i uzdužne sile u presjeku pojavljuju samo uzdužne sile kao unutarnje sile, koje se jednostavno nazivaju silama u štapovima. Metode presjeka mogu biti analitičke, grafičke, te grafoanalitičke. rikladno ih je primjenjivati kada treba odrediti sile samo u nekim štapovima rešetkastog nosača. Iz uvjeta ravnoteže u ravnini proizlazi da se iz jednog presjeka mogu odrediti najviše tri sile, pa ako se dogodi da neki presjek ima četiri štapa, zadatak je rješiv ako je u jednom od tih štapova mogla biti predhodno određena sila iz nekog drugog presjeka ili na neki drugi način. Moguć je i slučaj kada se iz presjeka kojim su presječena više od tri štapa mogu odrediti sile u nekim štapovima, a da prethodno ni jedna sila u presječenim štapovima nije određena, ali samo onda kada se svi štapovi presjeka, osim jednoga, sijeku u jednoj točki... Culmannova metoda Grafički postupak određivanja sila u štapovima rešetkastih nosača naziva se Culmannovom metodom, a svodi se na rastavljanje sile u tri pravca koji se ne sijeku u jednoj točki. Zapravo se radi o primjeni grafičkog uvjeta ravnoteže četiriju sila. Sile u trima štapovima su nepoznate, a poznata je rezultanta vanjskih sila koje djeluju na promatrani, isječeni dio nosača. Grafički uvjet ravnoteže za četiri sile formuliran je tako da su četiri sile u ravnoteži ako rezultanta dviju sila leži na istom pravcu s rezultantom drugih dviju sila, jednaka je s njom po veličini, a suprotna po smjeru. Taj se pravac naziva još i Culmannovim pravcem. Culmannov način određivanja sila u štapovima prikazan je na slici 0. rvo su određene reakcije grafički pomoću verižnog poligona i poligona sila (slika 0 a i b). Odabran je za promatranje lijevi dio nosača, a desni je ''odbačen''. Na promatrani (lijevi) dio nosača djeluju vanjske sile,, i te sile u presječenim štapovima S, S i S, kojima ''odbačeni'' dio djeluje na promatrani. Kod grafičkog rješavanja nije potrebno pretostaviti pozitivne predznake u sila u štapovima i označavati orijentacije. Treba sačekati konačan rezultat i onda označiti orijentacije i tako dobiti i predznake u sila u štapovima. 7

19 S S S 7 a. z S 6 6 Rl K C S S D c. Rl S K S z S b. Rl 6 Slika 0. Nakon što smo odredili reakcije, tražimo rezultantu svih sila koje djeluju na lijevi dio i označavamo je sa Rl. oložaj rezultante određen je pomoću verižnog poligona (slika 0 b). Iz poligona sila vidi se da je rezultanta Rl rezultanta sila u zrakama z i, pa će sila u planu sila (slika 0 a) prolaziti kroz točku u kojoj se sijeku te dvije zrake verižnog poligona (točka C).Tako se došlo do četiri sila koje djeluju na promatrani dio nosača. Na temelju već rečenog određeno je presjecište pravaca sila Rl i S i dobivena točka kroz koju prolazi njihova rezultanta (točka D, slika 0 a). Rezultanta sila S i S prolazi kroz točku, a kako te dvije rezultante moraju biti u ravnoteži, leže na istom pravcu, pa je time dobiven pravac D- na kojem leže rezultante sila Rl i S te S i S (Culmannov pravac). Taj se pravac označava slovom K. Da bi se dobile sile u štapovima potrebno je konstruirati zatvoren poligon sila. it će to četverokut, jer se radi o četiri sile. rvo se uravnoteži rezultanta R l sa silom S i pravcem K, tako se dobije trokut Rl, S i K, a zatim se sila K sa suprotnom orijentacijom uravnoteži sa silama S i S. Tako se sila K poništava i ostaje zatvoreni četverokut iz kojeg se mogu očitati veličine sila u štapovima. Orijentacije sila su dobivene iz poligona sila i preneseni su u plan sila (na štapove). Dobiveno je da je sila S pozitivna (vlačna), dok su sile u ostala dva štapa (S i S ) negativne (tlačne). 8

20 .. Ritterova metoda U ovom dijelu spomenut ćemo Ritterovu metodu,koja je u osnovi analitička,ali najčešće je u primjeni kao grafoanalitička, zbog toga što se neke geometrijske veličine obično ne određuju analitički već se direktno mjere iz nacrta nosača s opterećenjem. Geometrijske veličine do kojih se na taj način dolazi najčešće su krakovi sila. Ova metoda naziva se i metodom momentnih točaka. t i Va Vc n Vb Va Vc h Vb v t Slika. Ukoliko se dogodi da su od triju štapova dva paralelna, nije moguće Ritterovom metodom odrediti silu u trećem štapu, jer se tada Ritterova točka nalazi u beskonačnosti (na presjeku dvaju paralelnih štapova). U takvim slučajevima primjenjuje se metoda projekcija. rimjena te metode prikazana je na nosaču sa slike, koji je opterećen u svim čvorovima silama proizvoljnog pravca i smisla djelovanja. romatran je dio nosača lijevo od presjeka t-t. Sila u dijagonali može se odrediti iz sume projekcija na os y svih sila koje djeluju na promatrani dio nosača. Kad se ta suma postavi, dobiva se: D sin α + V i sin β i =0, odnosno: D sin α = ( V i sin β i ). Izraz u zagradi na desnoj strani gornje jednadžbe poprečna je sila proste grede istog raspona i opterećenja kao zadani rešetkasti nosač, pa je opći izraz za silu u dijagonali: D i = ± sin α i T i Za promatrani primjer i za silu u dijagonali u odabranom presjeku predznak na desnoj strani je negativan. ko bi, međutim, presječena dijagonala bila silazna, a ne uzlazna kao što je u odabranom presjeku, predznak na desnoj strani bio bi pozitivan. Zbog toga su u općem izrazu na desnoj strani stavljeni alternativni predznaci. Unutar presječenog polja poprečna je sila konstantna i ne ovisi o mjestu gdje je slučajno naznačen presjek. Sile u štapovima vertikala (V a,v b,v c ) u primjeru na slici ne bi trebalo tražiti niti Ritterovom metodom niti metodom projekcija, iako bi i to bilo moguće nakon prethodnog određivanja sile u četvrtom presječenom štapu. Te sile treba određivati metodom čvorova. Način izrezivanja čvorova prikazan je na slici. 9

21 Sile u vertikalama nad ležajevima također bi se određivale iz ravnoteže čvorova, ali to su jednostavni slučajevi kada su u čvoru samo dvije nepoznate sile, a vanjske su projicirane u smjeru štapova. Direktno se dobiva da su te sile jednake vertikalnim komponentama reakcija. U ostalim vertikalama sile bi se trebale odrediti Ritterovom metodom. Na primjeru sa slike, prikazana je mogućnost određivanja sila u nekim štapovima metodom momentnih točaka i kada se ne može napraviti presjek kroz samo tri štapa. U rešetkastom nosaču prikazanom na slici moguće je odrediti silu u štapu gornjeg pojasa presjeka d-d iako su presječena četiri štapa zbog toga što se sva tri preostala štapa sijeku u jednoj točki koja je momentna točka za taj štap. U istom primjeru očito je da se ni jednom metodom presjeka direktno ne mogu odrediti sile u štapovima presjeka b-b i c-c jer su presječena po četiri štapa, a tri od njih se ne sijeku u istoj točki, no ako se krene iz presjeka a-a u kojem je, između ostalog, moguće odrediti i silu u dijagonalnom štapu koja se pojavljuje i u presjeku b-b, lako možemo odrediti preostale sile u presjeku b-b. Nakon određivanja sila u b-b, analogno možemo odrediti sile iz presjeka c-c. a b c d a b c d Slika. rimjer na slici posebno je zanimljiv, jer na prvi pogled izgleda da je kod njega nemoguće odrediti sile u štapovima metodom presjeka s obzirom na to da se ne može napraviti presjek kroz tri štapa koji se ne sijeku u jednoj točki niti kroz četiri, a da se tri od njih sijeku sijeku u jednoj točki. ored toga, kod tog nosača u svim se čvorovima sastaju po tri štapa s nepoznatim silama u njima. Inače, lako je dokazati geometrijsku nepromjenjivost i statičku određenost nosača. 0

22 R S R S S R S nč=6 nš=9 ne= H S V a. S S=n č-nš-ne S=( 6)-9-=0 S S b. S S S S H V c. Slika. Štapovi - i - mimoilaze se sa štapovima - i - i nisu na mjestima križanja međusobno spojeni. Do određenih dilema kod promatranog nosača dolazi se zbog toga što se često šablonski smatra da presjek treba napraviti jednom neprekinutom linijom. Kada se to napravi nosač je podijeljen na dva djela prikazana na slici b i c, te je moguće odrediti sile u štapovima Ritterovom metodom. Na slici prikazane su Ritterove (momentne) točke. Ovaj je primjer zanimljiv stoga što se s njime proširuje pojam određivanja presjeka. Zaključujemo kako nije nužno da se presjek pravi neprekinutom linijom, već je bitno da se štapovi nosača mogu sijeći na taj način da se jedna dio nosača odijeli od ostalih. U promatranom primjeru moguća su još dva presjeka kojima se pokazuje da se sile u štapovima mogu odrediti Ritterovom metodom, a načinjeni su neprekinutim linijama. Ti su presjeci prikazani na silakama a i b.

23 S S S S S S S S S I S S S H S S v I a. S S S S I S v b. S I Slika. resjekom I-I na slici a, odbacuje se dio izvan presjeka, a zadržava se dio unutar presjeka. Na slici je prikazano da na promatrani disk,, djeluju iste sile kao i u načinu presjecanja na slici. resjekom I-I (slika a) štapovi - i - dva puta su presječeni, pa one sile koje su u tim presjecanjem ostale unutar presjeka (S i S) u ravnoteži, tako da ih se može eliminirati iz daljnjeg razmatranja. Očito je da presjek na slici b daje iste rezultate kao i presjek na slici.

24 GRFIČKO ODREĐIVNJE OMK REŠETKSTIH NOSČ.. Williotov plan pomaka Određivanje pomaka temelji se na konstruiranju plana pomaka iz poznatih promjena duljina štapova l i pomaka susjednih čvorova. ostupak je analogan crtanju plana brzina. Za ilustraciju samog postupka promatra se jednostavan sistem sastvaljen od dva štapa i jednog čvora u kojem djeluje sila (slika ). Iz ravnoteže čvora C određuju se sile u štapovima C i C,i promjene duljina štapova : L C = S C L C E C i L C = S C L C E C. Točke i mogu biti susjedni čvorovi ili ležajevi koji imaju poznate pomake. omak točke C od pomaka točaka i, δc' prikazan je na slici 6 a. a ac c ' a) C C' C' c) C C C' C' C'' C b) C C bc ' C'' C'' C'' b Slika. Slika 6. Na pravac C nanese se produljenje štapa LC, a na pravac C skraćenje štapa LC i povuku se okomice iz krajeva vektora pomaka. Dobit ćemo pomaknuti položaj čvora C u točki C'' (slika 6 b). Vektor CC'' prestavlja pomak točke C, δc'', od promjene duljina štapova i C. Isprekidanim linijama označen je pomaknuti položaj štapova. Ukupni pomak točke C bit će δ C =δ' C +δ'' C (slika 6 c ) Slika pomaka točke C ovisit će o mjerilu slike nosača. Kako su pomaci vrlo male veličine u odnosu na duljine štapova, odnosno veličinu nosača, to će i rezultati ovakvog načina određivanja pomaka biti nepouzdani. Na slici 7 prikazan je postupak određivanja pomaka točke C neovisno o mjerilu slike nosača čime se postiže dostatna točnost.

25 ' ' C' a) C b) C C,,C C' C'' c),,c C C ' C'' ' C'' Slika 7. Odabere se početni položaj točaka, i C u planu pomaka (sl.7 b). Iz početnog položaja nanose se vektori pomaka δ i δ. Iz kraja vektora δ povlači se okomica na pravac C, a iz kraja vektora δ okomica na pravac C. Na sječištu okomica dobiva se položaj C'. Iz točke C' nanosi se vektor LC paralelno pravcu C i vektor LC paralelno pravcu C. ri tome treba obratiti pozornost na to da li se radi o produljenju ili skraćenju štapa kako bismo te vektore nanijeli u pravom smislu. Iz kraja vektora LC povlači se okomica na pravac C, a iz kraja vektora LC okomica na C. Na sijecištu ovih okomica nalzi se položaj točke C''. Vektor CC' određuje pomak točke C zbog pomaka točaka i, a vektor C'C'' određuje pomak točke C zbog promjene duljine štapova. Ukupni pomak točke C određen je vektorom CC''=δ C (slika 7 b). Na slici 7 c prikazan je plan pomaka bez određivanja položaja C'... omaci konzolnog rešetkastog nosača Za određivanje linije pomaka nosača u osnovi se koristi prethodno opisan postupak. Na analogan se način konstruira plan pomaka čvorova rešetkastog nosača neovisno o slici nosača. romotrit ćemo primjer sa slike 8. retpostavit ćemo da je rešetkasti nosač sa slike opterećen silom, te kako bi dodatno pojednostavili primjer pretpostavit ćemo da su i produljenja, odnosno skraćenja štapova rešetke predhodno određeni (tablica ). Štap li, cm +0,0-0,0 +0,0-0,0-0,0 6 +0,0 7 +0,0 8-0,0 C 6 D E 7 8 F Tablica. Slika 8.

26 rije konstruiranja plana pomaka potrebno je odrediti mjerilo u kojem ćemo nanositi pomake. Crtanje plana pomaka počinjemo od čvora C, koji je povezan štapovima i za čvorove i. Kako su ti čvorovi nepomični, tako se točke i poklapaju s polom O. olazeći od pola nanosimo vektore l i l u odabranom mjerilu, koji prestavljaju produljenje štapa, odnosno skraćenje štapa. Iz kraja vektora l i l povlače se okomice na štap, odnosno štap. U sjecištu okomica nalazi se točka C'. Vektor OC' prestavlja pomak čvora C. Sljedeći čvor za koji možemo odrediti pomaj je D. U točki C' nanosimo vektor l, a u točki l. U sjecištu okomica na štapove i, koje postavljamo na krajeve vektora l i l nalazi se točka D'. omak čvora D određen je vektorom OD'. nalogno određujemo pomak čvora E i F, te na taj način konstruiramo konačan Williotov plan pomaka iz kojeg možemo očitati veličinu pomaka svakog čvora promatrane rešetke. ri očitavanju pomaka treba obratiti pozornost na mjerilo u kojem je plan crtan. Cijeli postupak prikazan je na slici 9. U našem smo primjeru nakon crtanja plana pomaka prenjeli pomake čvorova (OC',OD',OE',OF') u nešto manjem mjerilu (radi preglednosti) na crtež nosača (slika 9 c) radi ilustrativnog prikaza deformiranog oblika cijelog nosača. C 6 D 7 F b) l 0,, l l C' l l6 l 8 E' D' E l8 l7 a) F' c) Slika 9.

27 .. omaci grednih rešetkastih nosača ri određivanju plana pomaka konzolnog rešetkastog nosača s obzirom na poznate pomake dviju točaka ( i ) mogao se jednoznačno odrediti položaj svakog čvora. Za rešetkasti nosač na slici 0 poznat je pomak jedne točke tj. za nepomičan ležaj i pravac pomaka točke D. Za konstruiranje plana pomaka potrebno je uvesti dodatnu prepostavku. repostavljamo da štap E ostaje horizontalan i nakon deformacije. Dakle, čvor E ima samo horizontalan pomak. Kako je nosač statički određen, produljenja (skraćenja) štapova lako je izračunati, pa nećemo ulaziti u detalje njihovog proračuna već ćemo uzeti vrijednosti zadane u tablici. Štap li, cm -0,006 0,00-0,009 0,006 E 0, ,00 7-0,006 Tablica. Slika 0. C 7 6 D Nakon što smo odredili mjerilo u kojem ćemo crtati plan pomaka, uzimamo da točka pada u pol plana. Kako smo već zaključili da će ćvor E imati samo horizontalni pomak (zbog navedene pretpostavke koju smo morali uvesti), znamo pomake dviju točaka ( i E) tako da možemo odrediti pomak čvora, povezanog za ova dva para preko štapova i. ostupajući kao i u prethodnim primjerima nastavljamo s konstruiranjem plana pomaka pazeći pritom da smo produljenja, odnosno skraćenja nanijeli u odgovarajućem smislu (slika b). D' ' C C' 7 E E' 6 D' D l7 C' a) b) l ' 0, l l l l E' Slika 9. 6

28 ko vektore, odnosno pomake čvorova O',OC',OE',OD' u nekom manjem mjerilu vratimo na nosač očito je da deformirani oblik nosača nije moguć tj. u ležaju D nije moguć vertikalni pomak. To se dogodilo stoga što smo konstruiranje započeli s netočnom prepostavkom da štap E ostaje horizontalan. otrebno je ispraviti ovu netočnu prepostavku da zadovoljimo uvjet na ležaju D. Kako bismo to korigirali, treba zaokrenuti deformiranu rešetku oko nepomičnog ležaja sve dok točka D' ne dođe u položaj horizontalne linije D. Dakle ''pravi'' pomaci čvorova jednaki su zbroju pomaka s Williotovog plana pomaka i pomaka zbog zaokretanja rešetkastog nosača. omaci zbog zaokretanja određuju se na sljedeći način: Kako je deformirani oblik rešetke 'C'D'E' zapravo jako blizak svom prvobitnom obliku, sa dovoljnom točnošću možemo možemo pretpostaviti da se čvor D' za vrijeme rotacije kreće okomito na pravac D, da se čvor C' kreće okomito na pravac C itd. Dakle, veličina ovih pomaka biti će proporcionalna s radiusima D, C itd. Traženi zaokret točke D' očigledno je jednak vertikalnoj komponenti pomaka vektora DD' određenog vektorom OD' na planu pomaka. Kako smo na ovaj način dobili zaokret točke D', dalje lako određujemo odgovarajuće pomake ostalih čvorova (slika ). OD'' jednak je vertikalnoj komponenti vektora OD', a ostali se pomaci zbog zaokreta nosača određuju ucrtavanjem figure O''C''D''E'', geometrijski slične figuri CDE same rešetke, ali zaokrenute za 90. Vektori O'', OC'', OD'', OE'' prestavljaju pomake zbog zaokreta nosača. Ovo proizlazi iz geometrijske sličnosti i zaokrenutosti figura za 90 ; vektori su proporcionalni duljinama odgovarajućih radijusa, a okomiti su na njih. Kada smo odredili pomake zbog zaokreta zbrajamo ih s onima iz Williotovog plana pomaka, pa je očito da su konačni pomaci čvorova prestavljeni vektorima ''', C'C'', D'D'', E'E''. D'' D' C C'' 7 l7 C' E'' E D 6 '' a) b) l ' 0, l l l l E' Slika 0. 7

29 . RIMJER, b b a =0 kn =00 kn a=,m b=,6m 8

30 9.. Maxwell Cremonin plan sila Z Z a S S S S6 b b c a S8 S7 c S9 S0 S S d d e e f S S f g S H H I I J J K K MJERILO cm : 0 kn

31 OČITNE SILE U ŠTOVIM: ŠT DULJIN (m) SIL (kn),9 0, 0, -9,0,0 86,6,8,0 6, -89, 7,0 -, 8,,7 9, -6,6 0, -,8,7 8,0, 6,,9-69,6, -6,9, 9,0 6, 0 7,6 0 OČITNE REKCIJE LEŽJEV: =, kn = 77, Kn 0

32 .. Ritterova metoda I, b b I a r7 I S6 R8 r6 S7 r8 R6 I S8 R7 OČITNI KRKOVI SIL: r6 =, m r7 =, m r8 =, m

33 M = 0 - a - a + a = 0 = 0, ( + ) = 0, ( ) = 77, kn M = 0 - a + a + a = 0 = 0, ( - ) = 0, ( ) =, kn MR6 = 0 - a + S6 r6 = 0 S6 = 0,8 (,, ) = 89,8 kn MR7 = 0-8,77 + 6, 0 + S7 r7 = 0 S7 = 0,07 ( 8,77, - 6,0 0 ) =,68 kn MR8 = 0 - a + a + S8 r8 = 0 S8 = 0, (,8,, 0 ) =,6 kn

34 .. Culmannova metoda II S0, b S C.. b S Z II 0 MJERILO cm : 0 kn 0 Z Rd = Rl= - Rd = - S0 OČITNE SILE U ŠTOVIM S0 =, kn S = 80, kn Rl C.. S S = 6,6 kn S

35 .. Williotov plan pomaka l i = S i l i E E =, 0⁵ N/mm² = 000 mm² ŠT DULJIN (m) SIL (kn) li (mm),9 0 0, 0 0, -9,0 -,6,0 86,6 0,99,8,0 0,8 6, -89, -,0 7,0 -, -0,8 8,,7,0 9, -6,6-0,97 0, -,8 -,,7 8,0,, 6, 0,7,9-69,6-0,97, -6,9-0,7, 9,0,7 6, 0 0 7,6 0 0

36 ' = '' '' '' 7'' '' '' 6'' 8'' ' =6,7 mm =6,7 mm =7,8 mm 6 =8,7mm 7 =,9mm 8 =,9mm 7 9'' 0'' 0' 9' l 7' l l 8 l 8' l ' l l8 l l ' ',O l9 l7 6 l0 6' l GORNJI OJS DONJI OJS DEFORMIRNI OLIK NOSČ

37 6. ZKLJUČK Nakon rješavanja zadatka M-C planom sila te zatim Ritterovom i Cullmanovom metodom, dobili smo približno jednaka rješenja. Možemo zaključiti da su sve tri metode zadovoljavajuće točne te da nije bilo grešaka u postupku. Willotovim planom pomaka pokazali smo kako se rešetka deformira za zadana opterećenja i konstruirali progibne linije gornjeg i donjeg pojasa rešetkastog nosača. 6

38 7. LITERTUR. V. Simović: Građevna statika I, Građevinski institut Zagreb M. nđelić: Građevna statika II, Građevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu, 00. S. Timosenko & D. H. Young: Statika inzenjerskih konstrukcija,gradjevinska knjiga, eograd, 96. 7

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Prostorni spojeni sistemi

Prostorni spojeni sistemi Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA)

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA) ROS GRED (ROSO OSONJEN GRED) oprečna sila i moment savijanja u gredi y a b c d e a) Zadana greda s opterećenjem l b) Sile opterećenja na gredu c) Određivanje sila presjeka grede u presjeku a) Unutrašnje

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1 Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II 1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)

ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici.

Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici. Za adani sustav prostornih sila i j k () oktant i j k () oktant koje djeluju na materijalnu toku odredite: a) reultantu silu? b) ravnotežnu silu? a) eultanta sila? i j k 8 Vektor reultante: () i 8 j k

Διαβάστε περισσότερα

Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:

Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom: Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b

Διαβάστε περισσότερα

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona.

Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona. Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona Prema osnovnoj formuli za dimenzionisanje maksimalni tangencijalni napon τ max koji se javlja u štapu mora biti manji

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

6 Primjena trigonometrije u planimetriji

6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008

Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima. M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

ISPIT GRUPA A - RJEŠENJA

ISPIT GRUPA A - RJEŠENJA Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga AB oslonjena je na dva čelična štapa u A i B i opterećena trouglastim opterećenjem, kao na slici desno. Ako su oba štapa iste dužine L,

Διαβάστε περισσότερα

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Statički sustav glavnog krovnog nosača je slobodno oslonjena greda raspona l11,0 m. 45 0 65 ZAŠTITNI SLOJ BETONA

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek, 15. rujna 2015. Dragana Zekić SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.

, 81, 5?J,. 1o~,mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pten:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M. J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI STTIČKI ODREĐENI SUSTVI STTIČKI ODREĐENI SUSTVI SVOJSTV SUSTV Kod statički određenih nosača rješenja za reakcije i unutrašnje sile su jednoznačna. F C 1. F x =0 C 2. M =0 3. F y =0 Jednoznačno rješenje

Διαβάστε περισσότερα

CREMONIN PLAN SILA (ZAVRŠNI RAD)

CREMONIN PLAN SILA (ZAVRŠNI RAD) Sveučilište u Zagrebu Građevinski fakultet Marko Rihtarić CREMONIN PLAN SILA (ZAVRŠNI RAD) Zagreb, 2010. Sadržaj 1. Uvod... 1 2. Biografija... 2 3. Cremonin plan sila... 3 3.1. Cremonin plan sila u ravnini...

Διαβάστε περισσότερα

TOLERANCIJE I DOSJEDI

TOLERANCIJE I DOSJEDI 11.2012. VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel OSNOVE STROJARSTVA TOLERANCIJE I DOSJEDI 1 Tolerancije dimenzija Nijednu dimenziju nije moguće izraditi savršeno točno, bez ikakvih odstupanja. Stoga, kada

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Algebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske

Algebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske Algebra Vektora 1 Algebra vektora 1.1 Definicija vektora pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske veličine za opis skalarne veličine trebamo zadati samo njezin iznos (npr.

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami

BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami Izv. prof. dr.. Tomilav Kišiček dipl. ing. građ. 0.10.014. Betonke kontrukije III 1 NBK1.147 Slika 5.4 Proračunki dijagrami betona razreda od C1/15 do C90/105, lijevo:

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A : PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKKULTET ZAVRŠNI RAD

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKKULTET ZAVRŠNI RAD SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKKULTET ZAVRŠNI RAD SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKKULTET ZAVRŠNI RAD TEMA: IZRAČUN UNUTRAŠNJIH SILA I PLANOVA

Διαβάστε περισσότερα