SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD

Transcript

1 SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek, 15. rujna Dragana Zekić

2 SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD TEMA: Unutrašnje sile za trozglobni okvir i planovi pomaka Osijek, 15. rujna Dragana Zekić

3 SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZNANSTVENO PODRUČJE: Tehničke znanosti ZNANSTVENO POLJE: Druge temeljne tehničke znanosti ZNANSTVENA GRANA: Tehnička mehanika TEMA: Unutrašnje sile za trozglobni okvir i planovi pomaka PRISTUPNIK: Dragana Zekić NAZIV STUDIJA: Sveučilišni preddiplomski studij Za konstrukcijski sustav na crtežu treba izračunati unutrašnje sile u presjeku n-n klasičnim putem iz uvjeta ravnoteže i metodom virtualnog rada. Potrebno je nacrtati dijagrame unutrašnjih sila te rezultate kontrolirati u jednom od programskih paketa. Za mehanizam odrediti kutove zaokreta tijela 2 i 3, te pomake točaka C, D, E i F. Zadatak je potrebno riješiti pomoću plana brzina. Osijek, 15. rujna Mentor/ica Predsjednik/ica Odbora za završne i diplomske ispite

4

5 SADRŽAJ: 1. Sažetak Unutrašnje sile Ravninski prikaz unutrašnjih sila Konvencije o predznacima Diferencijalne i integralne veze kontinuiranog opterećenja poprečne sile i momenta savijanja u nekom presjeku Zadatak Izračun unutrašnjih sila u presjeku n-n klasičnim postupkom iz uvjeta ravnoteže Izračun reakcija u ležajevima Izračun unutarnjih sila u presjeku n-n Analiza ravnoteže virtualnim radom Načelo virtualnog rada Zadatak Izračun unutrašnjih sila u presjeku n-n metodom virtualnog rada Zadatak Dijagrami unutrašnjih sila Kontrola u programu Autodesk Robot Structural Analysis Professional Proračun kutova zaokreta pomoću plana brzina Uvod Zadatak Literatura Zekić, Dragana 1

6 1. SAŽETAK Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja se bavi zakonima ravnoteže i gibanjima materijalnih tijela. Istražuje najjednostavnije prirodne pojave, a to su mirovanje i gibanje. Gibanje i mirovanje su relativne pojave, jer apsolutno mirovanje i apsolutno gibanje ne postoje u prirodi. Ako tijelo ne mijenja svoj položaj u odnosu na okolinu, može se reći da tijelo miruje. Pri tome tijelo i okolina međusobno djeluju jedno na drugo nekim silama, a takvo stanje mirovanja se zove ravnoteža. Gibanje je pojava pri kojoj materijalna tijela mijenjaju svoj međusobni položaj u prostoru tijekom vremena. Pri svakoj promjeni položaja na tijelo djeluje neki vanjski uzrok koji se naziva sila. Mehanika se bavi i silama, dakle ona istražuje ravnotežno stanje kao i uzroke gibanja. Zekić, Dragana 2

7 2. Unutrašnje sile Postupcima određivanja sila u osloncima i vezama uslijed djelovanja aktivnog vanjskog opterećenja, dobivaju se sve vanjske sile koje djeluju na jedan konstrukcijski sustav i njegove sastavne elemente. Unutrašnje sile u presjecima punih konstrukcija rabe se za određivanje dimenzija elemenata tih konstrukcija. Temeljno načelo koje se rabi pri određivanju unutrašnjih sila u presjeku, jest da je opterećenje izabranog dijela presječenog nosača u ravnoteži sa silama u presjeku. Sile u presjeku izabranog dijela konstrukcije su sile koje prikazuju djelovanje sila odbačenog dijela konstrucije. Sile presjeka su raspoređene po cijeloj površini presjeka te se uvijek mogu prikazati jednom silom i momentom, obično u točki težišta presjeka. Dakle, djelovanje sila presjeka može se prikazati dinamom sila na točku težišta presjeka. Poprečna sila T Y u nekom presjeku nastoji presjeći presjek u smjeru osi Y. Poprečna sila T Z u nekom presjeku nastoji presjeći presjek u smjeru osi Z. Uzdužna sila N X u nekom presjeku nastoji produžiti presjek u smjeru osi X. Moment savijanja M Y u nekom presjeku nastoji saviti presjek oko osi Y. Moment savijanja M Z u nekom presjeku nastoji saviti presjek oko osi Z. Moment uvrtanja M X u nekom presjeku nastoji uvrnuti presjek oko osi X. Slika 1.1 Zekić, Dragana 3

8 Normalna ili uzdužna sila N u nekom presjeku jednaka je zbroju svih uzdužnih projekcija lijevo ili desno od presjeka. Poprečna ili transverzalna sila T u nekom presjeku jednaka je zbroju svih poprečnih prosjekcija lijevo ili desno od presjeka. Moment M u nekom presjeku jednak je zbroju svih momenata lijevo ili desno od presjeka. ZAKLJUČAK Unutrašnje sile u nekom presjeku tvore ravnotežu sa svim silama lijevo ili desno od tog presjeka. Zekić, Dragana 4

9 2.1. Ravninski prikaz unutrašnjih sila Za određivanje unutrašnjih sila nužno je usvojiti određene konvencije o predznacima, kako bi se bez moguće pogrješke dobili stvarni predznaci izračunatih unutrašnjih sila Konvencije o predznacima Predznaci se usvajaju na sljedeči način: Ako se po konstrukcijskom elementu kreće s lijeve strane, odnosno, dio presječene konstrukcije ostaje s lijeve strane, slika 1.2.a, tada se u presjeku pretpostavljaju: pozitivna uzdužna sila, negativna poprečna sila i pozitivni moment. Ako se po konstrukcijskom elementu kreće s desne strane, odnosno, dio presječene konstrukcije ostaje s desne strane, slika 1.2.b, tada se u presjeku pretpostavljaju: negativna uzdužna sila, pozitivna poprečna sila i negativni moment. Slika 1.2. Izračun unutrašnjih sila u nekom presjeku postupcima slijeva ili sdesna ostaje po slobodnom izboru. Uobičajno je izabrati postupak koji je kraći, odnosno, postupak koji izračunima ima manji broj vanjskih sila, dok preostali postupak može služiti kao kontrola. Zekić, Dragana 5

10 2.3. Diferencijalne i integralne veze kontinuiranog opterećenja poprečne sile i momenta savijanja u nekom presjeku Diferencijalnim i integralnim vezama kontinuiranog opterećenja, poprečne sile i momenta savijanja u nekom presjeku, definiran je nagib tangente na krivulju T-x u ovisnosti o vrijednosti q(x), te nagib tangente krivulje M-x u ovisnosti o vrijednosti Tx. Dakle, u svakom presjeku na temelju vrijednosti q(x), moguće je odrediti vrijednosti T X i M X i obrnuto. Neka je jedan diferencijalno mali dio grede opterećen kontinuiranim opterećenjem i uravnotežen silama presjeka kao na slici 1.3. Slika 1.3. ZAKLJUČAK Nagib tangente krivulje poprečne sile u nekom presjeku x proporcionalan je s veličinom kontirnuiranog opterećenja q(x). Nagib tangente krivulje momenta savijanja u nekom presjeku x proporcionalan je s veličinom poprečne sile u tom presjeku. Što je veća poprečna sila T to je veći nagib krivulje M-x. Gdje je poprečna sila jednaka nuli ili mijenja predznak, nagib krivulje M-x nema, a vrijednost momenta savijanja M(x) ima najveću vrijednost ili egstrem. Zekić, Dragana 6

11 3. ZADATAK Izračun unutrašnjih sila u presjeku n-n klasičnim postupkom iz uvjeta ravnoteže Izračun reakcija u ležajevima REAKCIJE: M D DOLJE = 0 F X = 0 M B = 0 3 M A = 0 KONTROLA: F Y = 0 Zekić, Dragana 7

12 Izračun unutarnjih sila u presjeku n-n Presjek lijevo Moment savijanja, Poprečna sila, Uzdužna sila, Zekić, Dragana 8

13 Presjek desno Moment savijanja, Poprečna sila, Uzdužna sila, Zekić, Dragana 9

14 4. Analiza ravnoteže virtualnim radom 4.1. Načelo virtualnog rada Virtualni radovi predstavljaju temeljna načela mehanike i daju opći energetski kriterij ravnoteže mehaničkih sustava. Za većinu zadaća ravnoteže sila, metode koje se temelje na analizi radova često su pogodnije od metoda koje se temelje na jednadžbama ravnoteže. Elementarni rad sile i momenta u razmjeru je s elementarnim pomacima ds i dφ. U slučaju ravnoteže nema gibanja pa su pomaci pretpostavljeni, zamišljeni, dakle x=0. Zamišljeni (virtualni) pomaci označavaju se varijacijama δx i δφ. Virtualni rad je zamišljeni rad nad zamišljenim pomacima koji nisu stvarni, ali su mogući. Uz pomoć stavke virtualnog rada i poznavanja pomaka sustava koji se giba u ravnini s jednim stupnjem slobode, lako se određuju sile u vezama i osloncima te unutarnje sile u presjecima nosača. Osnovno je pravilo u sljedećem: ukloniti vanjsku ili dodati unutarnju vezu kako bi se definirao virtualni rad tražene sile u vezama ili unutarnje sile ono što tražimo to oslobađamo. Preostaje definirati plan pomaka cijelog sustava na temelju preostalih uvjeta veza i oslonca te definirati virtualne radove svih promatranih aktivnih sila. Virtualni radovi sile i momenta nad virtualnim pomacima jednaki su: δw F = F δs, δw M = M δφ Ako je virtualni pomak neke točke M krutog tijela jednak δφ M, onda su virtualni pomaci bilo koje točke i tog tijela jednaki δs i, odnosno vrijedi: δ s i = δ s M + δ s i/m = δ s M + δ ö r i/m Virtualni rad sila i momenata nad virtualnim pomakom δs i, koji djeluje na ruto tijelo, može se napisati kao: δw = F i δ s i = F i (δ s M + δ ö r i/m) Kako su sve sile i momenti koji djeluju na neko kruto tijelo ili statički sustav krutih tijela u ravnoteži, tada su svi radovi nad virtualnim pomacima δs M i δφ jednaki nuli, odnosno može se zapisati uvjet ravnoteže konzervativnih sila δw = 0, δa = 0 Zekić, Dragana 10

15 Taj izraz predstavlja temeljno načelo virtualnog rada za kruto tijelo u ravnoteži i glasi: SILE I MOMENTI KOJI DJELUJU NA KRUTO TIJELO SU U RAVNOTEŽI, AKO JE ZBROJ PRIPADNIH VIRTUALNIH RADOVA SVIH TIH SILA I MOMENATA NAD BILO KOJIM VIRTUALNIM POMACIMA JEDNAK NULI! Zekić, Dragana 11

16 5. Zadatak Izračun unutrašnjih sila u presjeku n-n metodom virtualnog rada Određivanje unutrašnjih momenata u presjeku n-n metodom virtualnog: Ʃ A = 0 - -F Q 2 = 0 = = 0,44 = 0,21 = 0,477 0,46 = -0,23-0,5 = 0,25 =0,119 = 0,48 = 0,24 = 0,23 = 0, Q 2 0,24 = 0 - -F + Zekić, Dragana 12

17 Određivanje unutrašnjih poprečnih sila u presjeku n-n metodom virtualnog rada: Ʃ A = 0 - F - M + = 0 = = = = = 0,25 = 0,23 = 0,23 = 0,24 = 0,48 = 0,44 = 0,21 0,44-0,21 F - M + = 0 Zekić, Dragana 13

18 Određivanje unutrašnjih uzdužnih sila u presjeku n-n metodom virtualnog rada: Ʃ A = 0 - F + = 0 = = = = 2,1 = 0,46 = 0 = 0,46-0,46 F + = 0 Zekić, Dragana 14

19 6. Zadatak Dijagrami unutrašnjih sila Dijagrami unutrašnjih sila rabe se pri dimenzioniranju nosača, kako bi se u svakom presjeku mogle znati vrijednosti pojedinih unutrašnjih sila. Kod crtanja dijagrama unutrašnjih sila potrebno je unutrašnje sile izračunati u karakterističnim presjecima, a to su: 1. mjesta djelovanja koncentriranih opterećenja 2. mjesta početaka i završetaka raspodijeljenih opterećenja 3. mjesta promjene položaja glavne osi nosača Na mjestima djelovanja koncentriranih opterećenja potrebno je izračunati unutrašnju silu s lijeve i desne strane presjeka. To znači sljedeće: Ako na nekom mjestu djeluje koncentrirana poprečna sila, u tom presjeku potrebno je odrediti unutrašnje poprečne sile s obje strane tog presjeka. Ako na nekom mjestu djeluje koncentrirana uzdužna sila, u tom presjeku potrebno je odrediti unutrašnje uzdužne sile s obje strane tog presjeka. Ako na nekom mjestu djeluje koncentrirani moment savijanja, u tom presjeku potrebno je odrediti unutrašnje momente s obje strane tog presjeka. Iz diferencijalnih i integralnih veza mogu se izvesti određeni zaključci koji će biti od pomoći pri konstruiranju dijagrama unutrašnjih sila. ZAKLJUČCI 1. U dijelovima konstrukcije gdje je vrijednost kontinuiranog opterećenja q(x) jednaka nuli, vrijednost poprečne sile T X je konstantna. 2. U dijelovima konstrukcije gdje je vrijednost poprečne sile T X jednaka nuli, vrijednost momenta savijanja M X je konstantna. 3. Dijagram poprečne sile ima skok na mjestu gdje djeluje koncentrirana vertikalna sila. 4. Dijagram momenta savijanja ima skok na mjestu gdje djeluje koncentrirani moment savijanja. Zekić, Dragana 15

20 PRORAČUN UNUTRAŠNJIH SILA U CIJELOM NOSAČU MOMENT SAVIJANJA M Zekić, Dragana 16

21 POPREČNA SILA T Zekić, Dragana 17

22 UZDUŽNA SILA N Zekić, Dragana 18

23 6.2. Kontrola u programu Autodesk Robot Structural Analysis Professional 2014 Dijagram momenta savijanja M Dijagram poprečne sile T Zekić, Dragana 19

24 Dijagram uzdužne sile N Zekić, Dragana 20

25 7. Proračun kutova zaokreta pomoću plana brzina 7.1. Uvod Uz mnogo sličnosti sa virtualnim radom, po sličnom načelu dolazi se i do kinematskih veličina koje su u ovom slučaju stvarne. U pravilu je za zadani mehanizam s jednim stupnjem slobode, na temelju kinematske veličine jednog tijela (pomak, brzina ili ubrzanje), potrebno odrediti kinematske veličine drugog. Postupak se može prikazati u nekoliko koraka: 1) određuju se polovi pomaka i brzina prema uvjetima veza i oslonaca. 2) crta se poznata kinematska veličina jednog tijela. 3) konstruira se plan pomaka preostalog dijela mehanizma, prema uvjetima veza i oslonaca. 4) iz geometrijskih uvjeta određuju se kinematske veličine preostalih tijela kao i tijela za koje se iste traže. 5) prema dobivenim veličinama mogu se odrediti kinematske veličine bilo koje točke mehanizma. Pol pomaka je ona točka tijela kojoj je u promatranom trenutku pomak jednak nuli, a zove se i trenutnim centrom rotacije. To je točka koja u tom trenutku miruje. Naravno, pri općem gibanju tijela u ravnini, položaj pola pomaka u vremenu se mijenja. Zekić, Dragana 21

26 8. Zadatak 2 φ 1 = 3,5 rad Zekić, Dragana 22

27 VERTIKALNI HORIZONTALNI Zekić, Dragana 23

28 POMACI TOČAKA Zekić, Dragana 24

29 9. Literatura 1) Mehanika 1 - Dr. sc. Aleksandar Jurić, dipl. ing. građ., Osijek ) Mehanika 2 - Dr. sc. Aleksandar Jurić, dipl. ing. građ., Osijek ) Grafomehanika - Dr. sc. Aleksandar Jurić, Mr.sc. Đurđica Matošević, Jurko Zovkić, Osijek ) Skripte s predavanja i vježbi Zekić, Dragana 25