ZÁKLADNÉ ŠTATISTICKÉ METÓDY

Transcript

1 TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH S T R O J N Í C K A F A K U L T A ZÁKLADNÉ ŠTATISTICKÉ METÓDY Duša Kežo, Miriam Adrejiová, Gabriela Ižaríková 2011

2 RECENZOVALI: prof. RNDr. Marti Bača, CSc. prof. RNDr. Jozef Džuria, CSc. c prof. RNDr. Duša Kežo, CSc. RNDr. Miriam Adrejiová, PhD. Mgr. Gabriela Ižaríková, PhD. 2011

3 Predhovor 3 Predhovor Teto učebý text je určeý poslucháčom prvého ročíka bakalárskeho štúdia Strojíckej fakulty Techickej uiverzity v Košiciach a je zameraý a potreby vyučovaia predmetov orietovaých a základy matematickej štatistiky. Rovako dobre však môže poslúžiť každému čitateľovi, ktorý chce získať základé vedomosti a zručosti zo základov matematickej štatistiky. V učebom texte sú uvedeé podstaté teoretické pozatky potrebé ku riešeiu úloh, riešeé príklady a eriešeé úlohy týkajúce sa popisej štatistiky, teórie pravdepodobosti, áhodej veličiy, teórie odhadu, testovaia hypotéz a regresej a korelačej aalýzy. V závere textu sú uvedeé základé tabuľky potrebé pre riešeie úloh, ktoré text obsahuje. Obsah je dostatočým základom pre štúdium a úspešé absolvovaie spomíaých predmetov. Obom recezetom prof. RNDr. Martiovi Bačovi, CSc. a prof. RNDr. Jozefovi Džuriovi, CSc.ďakujeme za dôsledé posúdeie tejto učebej pomôcky. Ich ceé pripomieky, rady a odporúčaia prispeli ku zvýšeiu kvality tejto publikácie. V Košiciach Autori

4

5 Obsah 1 Popisá štatistika Štatistické spracovaie údajov Základé štatistické pojmy Štatistické triedeie Grafické zobrazeie štatistického súboru Číselé charakteristiky Charakteristiky polohy Charakteristiky variability Miery šikmosti a špicatosti Teória pravdepodobosti Variácie, Permutácie, Kombiácie Priestor elemetárych javov Operácie s javmi Pravdepodobosť áhodého javu Klasická defiícia pravdepodobosti Podmieeá pravdepodobosť Úplá pravdepodobosť, Bayesov vzorec Geometrická defiícia pravdepodobosti Náhodé veličiy Diskréta áhodá veličia Spojitá áhodá veličia Číselé charakteristiky áhodých veličí Niektoré rozdeleia diskrétych áhodých veličí Dvojbodové rozdeleie Biomické rozdeleie Hypergeometrické rozdeleie Poissoovo rozdeleie Niektoré rozdeleia spojitých áhodých veličí Rovomeré rozdeleie Expoeciále rozdeleie Normále a ormovaé ormále rozdeleie Teória odhadu Náhodý výber, jeho realizácia a charakteristiky Bodové odhady Itervalové odhady Itervaly spoľahlivosti a odhad stredej hodoty ormáleho rozdeleia 90 5

6 Itervaly spoľahlivosti a odhad rozptylu σ 2 ormáleho rozdeleia Testovaie hypotéz Jedovýberové testy o parametroch ormáleho rozdeleia Testy stredej hodoty základého súboru Test rozptylu σ 2 základého súboru Dvojvýberové testy o parametroch ormáleho rozdeleia Test zhody rozptylov dvoch ezávislých základých súborov Test zhody stredých hodôt dvoch ezávislých základých súborov Test zhody stredých hodôt dvoch závislých základých súborov Testy odľahlých hodôt Grubbsov test Dixoov test Regresá a korelačá aalýza Regresá aalýza Lieára regresia Kvadratická regresia Ďalšie typy regresých fukcií Korelačá aalýza Párový koeficiet korelácie, párový koeficiet determiácie Idex determiácie, idex korelácie Riešeia úloh kapitoly Riešeia úloh kapitoly Riešeia úloh kapitoly Riešeia úloh kapitoly Riešeia úloh kapitoly Riešeia úloh kapitoly Vybraé tabuľky 177 Literatúra 183

7 Kapitola 1 Popisá štatistika 1.1 Štatistické spracovaie údajov Základé štatistické pojmy Termí štatistika pochádza z latiského slova status, ktoré zameá stav alebo štát a vyjadroval sa ím súbor pozatkov o štáte. Popisá štatistika, úradícka štatistika. K úradým zisťovaiam dochádzalo už iekoľko tisíc rokov pred aším letopočtom v starom Egypte, resp. v Číe, kedy vtedajší vládcovia potrebovali pozať čo ajpresejšie údaje pre vojeské a fiačé účely. Politická aritmetika sa využívala a úplý popis obyvateľstva: atalita, mortalita, vývoj obyvateľstva. Skúmali sa teda hromadé javy, ktorými bolo možé po ich preštudovaí ovplyvňovať mocesky štát (politicky). Iduktíva štatistika (moderá, aalytická) vzikla a začiatku 20. storočia, rozvíjala metódy umožňujúce robiť závery o celku a základe výberov a čiastkových zisťovaí. Štatistiku ako vedú disciplíu možo rozdeliť a dve časti: Popisá (deskriptíva) štatistika, ktorá sa zaoberá metódami zberu, spracovaia, prezetácie a aalýzy dát. Matematická štatistika, ktorá achádza uplateie vtedy, ak zozbieraie údajov ie je z akýchkoľvek dôvodov možé a robíme záver o skúmaej udalosti a základe čiastkových údajov. Štatistika je jazyk pre zhromažďovaie údajov, maipuláciu s imi a ich iterpretáciu. Úlohou štatistiky pri hodoteí iformácií je spracovaie hromadých pozorovaí, ich iterpretácia a aalýza. Predmetom štatistiky ako vedej disciplíy sú hromadé javy, defiujeme ju ako vedu o metódach kvatitatíveho hodoteia vlastostí hromadých javov. Nevyhutým predpokladom každého štatistického skúmaia je teda hromadosť pozorovaia. Hromadé javy sa za prese defiovaých podmieok vecých, časových a priestorových viackrát vyskytujú. Hromadý áhodý jav je ľubovoľý jav, ktorý sa opakuje a skladá sa z veľkého počtu prvkov. Hromadý jav sa skladá z mohých idividuálych javov. Nositelia týchto javov sa azývajú štatistické jedotky. Štatistická jedotka je základý prvok, a ktorom pozorujeme kokréty prejav určitej hromadej udalosti. Teda štatistickou jedotkou je prvok, ktorý je predmetom skúmaia a zbierame údaje o ňom s cieľom získať iformácie o celku, do ktorého uvedeý prvok patrí. Môže to byť osoba, meraá veličia, udalosť a pod. 7

8 8 KAPITOLA 1. POPISNÁ ŠTATISTIKA Štatistické jedotky môžu byť vymedzeé z priestorového hľadiska (vymedzeie priestoru, apríklad mesto, kraj), z časového hľadiska (vymedzeie obdobia, resp. okamihu, apríklad mesiac, kaledáry rok) a z vecého hľadiska (obsahové vymedzeie, apríklad študeti 1. ročíka SjF, obyvatelia Košíc). Štatistický zak je vokajší postihuteľý, merateľý prejav skúmaej premelivej vlastosti štatistických jedotiek. Je to teda vlastosť štatistických jedotiek. Podľa spôsobu vyjadreia ich možo rozdeliť a: Kvatitatíve (číselé, merateľé) vyjadrujúce merateľé vlastosti štatistických jedotiek číslami, delíme ich a spojité a diskréte. Spojité adobúdajú ľubovoľé hodoty z ohraičeého alebo eohraičeého itervalu, apríklad teplota vody v bázee. Diskréte adobúdajú izolovaé, väčšiou celočíselé hodoty, apríklad počet áut a parkovisku. Kvalitatíve (slové), ktoré slove vyjadrujú vlastosti štatistických jedotiek a delíme ich a možé a alteratíve. Možé, ak slový zak adobúda viacero variatov, apríklad stupeň ukočeého vzdelaia. Alteratíve, ak slový zak adobúda iba dve obmey, apríklad pohlavie. Štatistický súbor je možia štatistických jedotiek, ktoré majú požadovaé spoločé vlastosti a ktoré vymedzujú štatistický súbor z hľadiska časového, priestorového a vecého. Každý štatistický súbor má svoj rozsah a obsah. Rozsah súboru je určeý počtom štatistických jedotiek v štatistickom súbore, ozačujeme. Obsah súboru je vymedzeý štatistickými zakmi. Základý súbor je štatistický súbor vytvoreý zo všetkých štatistických jedotiek, ktoré doň patria a a ktorých sledujeme hodoty štatistického zaku. Výberový súbor tvoria vybraé štatistické jedotky, ktoré predstavujú reprezetatívu podmožiu základého súboru Štatistické triedeie Triedeie štatistického súboru je prvým krokom pri spracovaí údajov. Pri vyšetrovaí kvatitatíveho zaku štatistického súboru zapisujeme číselé údaje v takom poradí, v akom sme ich získali, dostaeme prvotú tabuľku. Ak usporiadame hodôty štatistického zaku podľa veľkosti, od ajmešej hodoty po ajväčšiu, pričom rovaké hodoty zapíšeme toľkokrát, koľkokrát sa vyskytujú v prvotej tabuľke, dostaeme variačý rad. Ozačme si x (i) hodoty štatistického zaku usporiadaé do variačého radu z prvotej tabuľky, kde i je priebežý idex, za ktorý dosadzujeme poradové číslo hodoty zaku usporiadaého podľa veľkosti jeho hodôt. Variačý rad môžeme teda apísať v tvare: x (1) x (2) x (3)... x ( 1) x (). Celkový počet rôzych hodôt zaku je l, l, rovosť astáva le v prípade, ak každá jedotka súboru adobúda rôze hodoty sledovaého zaku. Počet štatistických jedotiek s rovakou hodotou x i, i = 1, 2,..., l azývame absolútou početosťou hodoty x i. Ozačujeme ju i. Pomocou absolútych početostí i môžeme defiovať absolútu kumulatívu početosť r vzťahom N r = i. Relatívu početosť ozačujeme f i a defiujeme vzťahom f i = i, pre i = 1, 2,..., l.

9 1.1. ŠTATISTICKÉ SPRACOVANIE ÚDAJOV 9 Pomocou relatívych početostí f i môžeme defiovať relatívu kumulatívu početosť, ktorú r ozačujeme F i a defiujeme vzťahom F r = f i. Relatíve početostí sa často udávajú v percetách. Ak štatistický súbor ma l rôzych hodôt, potom platí: l i = N l =, l f i = F l = 1. Z variačého radu si môžeme pomocou čiarkovacej metódy utvoriť variačú tabuľku (tabuľku početostí). Jej podstata spočíva v tom, že vedľa hodoty x (1), do druhého stĺpca, urobíme toľko čiarok, koľkokrát sa hodota x (1) vo variačom rade vyskytuje, pre rýchlejšie spočítavaie piatu čiarku zazačíme vodorove, cez štyri zvislé čiarky. Teto postup zopakujeme pre ďalšie hodoty x (i). i x i čiark. metóda i f i N i F i 1 x (1)... 1 f 1 = 1 N 1 = 1 F 1 = N 1 2 x (2)... 2 f 2 = 2 N 2 = F 2 = N 2 3 x (3)... 3 f 3 = 3 N 3 = F 3 = N l x (l)... l f l = l N l = F l = 1 Triedeie do itervalov Ak ide o štatistické súbory väčšieho rozsahu ( 50), alebo aj v prípade mešieho počtu rôzych hodôt, skúmay štatistický súbor triedime do skupí (itervalov). Ide o variačé triedeie, pri ktorom sa celkový počet štatistických jedotiek v štatistickom súbore rozsahu rozdelí do k tried. Určeie počtu tried V literarúre je uvedeých veľa postupov a vzorcov pre odhad počtu tried. Počet tried emá byť prilíš malý, lebo by sa stratila podstatá časť iformácie, pretože v tomto prípade je dĺžka triedych itervalov väčšia a výpočty sú meej presé. Naopak zvyšovaie počtu tried môže zížiť prehľadosť a zvyšuje pracosť výpočtov. Počet tried je ovplyveý aj rozsahom štatistického súboru. Uvedieme iekoľko vzorcov a určeie počtu tried: k ; 0,55 0,4 k 1,25 0,4 ; k 5 log ; k 1 + 3,322 log. Základé kritériá pri triedeí Pri triedeí štatistických jedotiek do tried musia byť spleé dve zásady: zásada úplosti - triedy musia byť vytvoreé tak, aby každá jedotka mala šacu byť do iektorej z tried zatriedeá a zásada jedozačosti - triedy musia byť vytvoreé tak, aby o každej jedotke bolo jedozače rozhoduté, do ktorej z tried má byť zaradeá. Nech j zameá poradové číslo triedy, t.j. 1 j k. Ako I j ozačujeme j-tý triedy iterval, rozumieme ím I j = (t j, t j+1 alebo I j = t j, t j+1 ), kde t j je dolá hraica a t j+1 horá hraica. Triedy zak z j je stredom j-tého itervalu a vypočítame ho podľa vzťahu: z j = t j + t j+1. 2 Dĺžka itervalu závisí od variačého rozpätia štatistického súboru. Pre variačé rozpätie platí: R v = x max x mi...

10 10 KAPITOLA 1. POPISNÁ ŠTATISTIKA Rozdiel medzi dolou a horou hraicou itervalu je dĺžka triedeho itervalu, ktorú ozačujeme h a určíme podľa vzťahu: h = R v, upravíme ho zaokruhleím ahor. k Prvý riadok variačej tabuľky má tvar: j (t j ; t j+1 ČM z j j f j N j F j Triedeie štatististických jedotiek do tried si ukážeme kokréte v príklade Grafické zobrazeie štatistického súboru Grafy, vedľa tabuliek, sú druhým hlavým vyjadrovacím prostriedkom štatistiky. Pomocou grafov ázore prezetujeme výsledky štatistického spracovaia údajov. Bodové diagramy sú grafy vytvoreé bodmi [x j ; w j ], kde za w j môžeme dosadiť j, N j, f j, F j, j = 1, 2,... k. Spojicové diagramy sú v podstate bodové diagramy, v ktorých sú jedotlivé body spojeé lomeou čiarou. Polygó je spojicový graf, v ktorom sú jedotlivé susedé body spojeé úsečkami. Histogram početosti je stĺpcový graf, ktorý zostrojíme, tak, že ad úsekom a osi x, rovým dĺžke triedeho itervalu, akreslíme obdĺžik, ktorého výška je úmerá w j. Kruhové, koláčové grafy tvorí kruh rozdeleý a výseky. Príklad 1. Na zisteie priemerej deej teploty sme urobili 10 meraí: 27; 26; 25; 28; 29; 25; 28; 27; 25; 26. Zostavme tabuľku početostí pre teto kvatitatívy zak a hodoty zázoríme pomocou bodového grafu a polygóu. Riešeie. Najprv zoradíme hodoty do variačého radu: < < < < 29. Rozsah súboru je = 10. Tabuľka početostí má päť riadkov l = 1, 2,..., 5, keďže sa ám opakuje päť hodôt. Tabuľka početostí i x i ČM i f i N i F i = 0, = 0, = 0,2 3+2= = 0, = 0,2 5+2= = 0, = 0,2 7+2= = 0, = 0,1 9+1= = 1,0 Príklad 2. V akete sa medzi 20 majiteľmi rodiých domov sledovalo 5 zakov: súbor 1 - počet čleov domácosti, súbor 2 - počet bodov, ktoré získali po vypleí dotazíka o bývaí (od 20 do 50), súbor 3 - ročá spotreba studeej vody (m 3 ), súbor 4 - prevažý spôsob vykurovaia (drevo, elektria, ply), súbor 5 - spokojosť so separáciou odpadu v tejto mestskej časti (hodoteá štvorbodovou škálou: spokojý, meej spokojý, espokojý, vôbec espokojý). Údaje sú v tabuľke. Zostavme tabuľky početostí pre jedotlivé zaky. Súbor 1 a 3 zázoríme

11 1.1. ŠTATISTICKÉ SPRACOVANIE ÚDAJOV 11 Bodový graf Polygó pomocou histogramu a polygóu. Súbor 4 zázoríme pomocou kruhového diagramu. Majiteľ Súbor 1 Súbor 2 Súbor 3 Súbor 4 Súbor ply vôbec espokojý elekria vôbec espokojý drevo espokojý ply spokojý ply spokojý elekria vôbec espokojý elekria meej spokojý ply spokojý ply espokojý drevo meej spokojý elekria spokojý drevo meej spokojý elekria vôbec espokojý elekria spokojý ply meej spokojý elekria spokojý ply meej spokojý drevo meej spokojý ply spokojý ply espokojý Riešeie. Zak Počet čleov domácosti - súbor 1 je kvatitatívy diskréty zak s malým počtom obmie, čiže do tabuľky početostí vypíšeme všetky možé obmey hodôt. Medzi údajmi sa opakuje 5 rôzych hodôt, to zameá, že tabuľka bude mať päť riadkov. Čiarkovacou metódou zistíme počet opakovaí.

12 12 KAPITOLA 1. POPISNÁ ŠTATISTIKA Tabuľka početostí i x i ČM i f i N i F i ,20 4 0, ,20 8 0, , , , , , Z tabuľky apríklad vyplýva, že medzi obyvateľmi rodiých domov sú tri šesťčleé rodiy, 25% rodí je päťčleých a 60% rodí má ajviac štyroch čleov. Polygó Histogram Zak Počet bodov v dotazíku - súbor 2 je kvatitatívy diskréty zak s veľkým počtom obmie, preto použijeme itervalové rozdeleie početosti. Dáta rozdelíme do itervalov tak, aby bola spleá podmieka jedozačosti a úplosti. Na určeie počtu tried použijeme vzťah kde = 20, x mi = 26, x max = 48. 0,55 0,4 k 1,25 0,4, počet tried: 0, ,4 k 1, ,4 ; 1,82 k 4,13; zvolíme apr. k = 3, variačé rozpätie: R v = x max x mi = = 22, dĺžka triedy: Tabuľka početostí h = Rv k = 22 3 = 7,33 8, h = 8. j (t j, t j+1 z j ČM j f j N j F j 1 (25, ,35 7 0,35 2 (33, , ,60 3 (41, , ,00 Z tabuľky je zrejmé, že medzi majiteľmi rodiých domov sú siedmi, ktorí v dotazíku mali 25 až 33 bodov, 25% je 33 až 41 bodových a 60% majiteľov dosiahlo aajvýš 41 bodov. Zak Ročá spotreba studeej vody - súbor 3 je kvatitatívy spojitý zak, preto použijeme rozdeleie hodôt do tried. Dáta rozdelíme do itervalov tak, aby sa každá hodota achádzala

13 1.1. ŠTATISTICKÉ SPRACOVANIE ÚDAJOV 13 práve v jedom itervale. Na určeie počtu tried môžeme použiť vzťah k, kde = 20, x mi = 48, x max = 196. počet tried: k = 20 = 4,47; volíme k = 5, variačé rozpätie: R v = x max x mi = = 148, dĺžka triedy: Tabuľka početostí h = R v k = = 29,6 30, h = 30. j (t j, t j+1 z j ČM j f j N j F j (47, 77 2 = ,20 4 0,2 2 (77, , ,55 3 (107, , ,65 4 ( , ,85 5 (167, , ,00 Z tabuľky vyplýva, že v siedmich rodiých domoch je ročá spotreba studeej vody v itervale (77, 107, 10% zo všetkých domácosti má spotrebu v itervale (107, 137 a 85% má spotrebu maximále 167 m 3. Histogram a polygó Zak Prevažý spôsob vykurovaia - súbor 4 je slový zak s tromi obmeami - drevo, elektria, ply. Tabuľka početostí Vykurovaie Obmea zaku Početosť a i absolúta relatíva drevo a 1 4 0,20 elektria a 2 7 0,35 ply a 3 9 0,45

14 14 KAPITOLA 1. POPISNÁ ŠTATISTIKA Z tabuľky vyplýva, že v siedmich rodiých domoch a vykurovaie využívajú prevaže elektriu, 45% zo všetkých domácosti využíva a vykurovaie prevaže ply. Kruhový graf Zak Spokojosť so separáciou odpadu - súbor 5 je kvalitatívý zak so štyrmi obmeami. Slovým zakom priradíme kvatitatíve dáta: 1 - spokojý, 2 - meej spokojý, 3 - espokojý, 4 - vôbec espokojý. Tabuľka početostí Spokojosť so separáciou Obmea zaku Početosť a i absolúta relatíva spokojý 1 7 0,35 meej spokojý 2 6 0,30 espokojý 3 3 0,15 vôbec espokojý 4 4 0,20 Z tabuľky vieme zistiť, že traja majitelia rodiých domoch sú espokojí a 35% zo všetkých majiteľov je spokojých so separáciou odpadu. Úlohy V asledujúcich úlohách ájdite rozdeleie početostí a staovte kompletú tabuľku početostí. Štatistický súbor zázorite graficky pomocou histogramu a polygóu. 1.1 Pri kotrole automatickej liky boli zisteé údaje o váhe automaticky baleých výrobkov. Výsledky (v g) sú: 40; 43; 45; 42; 44; 43; 47; 41; 43; 44; 41; 43; 42; 42; 44; 43; 42; 42; 43; Eergetické áklady a prevádzku závodu počas 46 týždňov (v tis.e) sú: 38,1; 36,7; 37,5; 38,7; 38,1; 37,5; 36,7; 38,1; 36,7; 37,5; 38,7; 38,1; 40,1; 38,1; 36,7; 36,1; 37,5; 39,5; 35,5; 38,7; 38,1; 37,5; 36,7; 38,1; 37,5; 38,7; 36,7; 37,5; 38,1; 38,7; 37,5; 36,1; 38,1; 37,5; 38,1; 36,7; 38,1; 38,7; 37,5; 36,7; 38,7; 38,1; 36,7; 38,1; 39,5; 37, Súčasťou štatistického prieskumu bolo získaie údajov o priemerej hodiovej mzde. Zisteé údaje (v e) sú : 8,1; 10,5; 22; 15,7; 16,2; 10,5; 12,6; 16,3; 10,5; 18; 18,5; 16,4; 25,7; 22,3;

15 1.2. ČÍSELNÉ CHARAKTERISTIKY 15 20,1; 18,3; 17,2; 18,9; 21,5; 23,7; 9,5; 11,4; 19,6; 16, V rovakých časových itervaloch sa meralo elektrické apätie (V) a boli ameraé tieto hodoty: 227; 220; 226; 223; 212; 226; 222; 215; 221; 209; 222; 219; 220; 227; 232; 212; 215; 219; 219; 220; 221; 220; 217; 220; 221; 230; 217; 219; 223; 220; 218; 219; 222; 221; 217; 216; 221; 225; 224; 218; 216; 222; 218; 214; 213; 225; 230; 218; 231; 232; 226; 217; 230; 231; 215; 219; 221; 227; 228; Medzi 15 respodetmi akety sa okrem odpovedí a otázky sledovalo aj pohlavie a vzdelaie. Dáta sú v tabuľke. Zostavte tabuľku početostí pre alteratívy zak pohlavie (žea, muž) a možý zak vzdelaie (základe - ZŠ, stredoškolské - SŠ, vysokoškolské - VŠ). Roztrieďte tieto údaje do tabuľky podľa obidvoch zakov. a) Koľko žie sa zúčastilo akety? b) Koľko percet respodetov akety bolo vysokoškolsky vzdelaých? c) Koľko mužov so stredoškolským vzdelaím sa zúčastilo akety? Respodet Pohlavie Vzdelaie 1 muž SŠ 2 muž SŠ 3 muž SŠ 4 muž VŠ 5 žea VŠ 6 muž SŠ 7 muž SŠ 8 muž SŠ 9 žea VŠ 10 žea VŠ 11 žea SŠ 12 muž SŠ 13 muž VŠ 14 muž SŠ 15 žea VŠ 1.2 Číselé charakteristiky Rozdeleia početostí, prezetovaé formou tabuľky alebo grafom poskytujú le základú predstavu o štatistickom súbore. Samoté roztriedeie je podkladom pre popis a vzájomé porovaie viacerých súborov, ale emôže ho ahradiť. Pre jedozačé vzájomé porovávaie dvoch alebo iekoľkých štatistických súborov potrebujeme také veličiy, ktoré čísele určujú základé vlastosti rozdeleia početostí. Takéto veličiy azývame číselými charakteristikami.

16 16 KAPITOLA 1. POPISNÁ ŠTATISTIKA Patria sem charakteristiky polohy, charakteristiky variability, miery šikmosti a špicatosti Charakteristiky polohy Charakteristiky polohy vyjadrujú určitú úroveň (polohu) zaku, okolo ktorej sú ostaté hodoty viac či meej kocetrovaé. Poloha sa meria pomocou rôzych druhov stredých hodôt. Stredé hodoty rozdeľujeme a: Priemery, sú to hodoty, ktoré závisia od veľkostí hodôt všetkých jedotiek štatistického súboru. Patria sem aritmetický, harmoický a geometricky priemer. Každý z ich môže byť jedoduchý (z etriedeých údajov) alebo vážeý (z údajov usporiadaých do radu rozdeleia alebo z itervalového rozdeleia). Ostaté stredé hodoty, ktoré sú založeé le a iektorých vybraých hodotách súboru, apríklad mediá a modus. Kvatily, ktoré rozdeľujeme a kvartily, decily a percetily. Pozámka: vzorce pre výpočet číselých charakteristík sú ozačeé asledove; (1) pre súbor z etriedeých údajov, (2) pre súbor údajov usporiadaých do variačého radu, (3) pre súbor údajov triedeých do itervalov. Priemery sú základými charakteristikami polohy a platia pre e asledujúce vzťahy: Aritmetický priemer x = 1 x i (1), x = 1 l x i i (2), x = 1 k z j j (3). Harmoický priemer x H = 1 x i (1), x H = l i x i (2), x H = k j z j (3). Geometrický priemer x G = x i (1), x G = l x i i (2), x G = k z j j (3). Platí: x H x G x. Rovosť astáva le v prípade, keď sú všetky hodoty zaku v súbore rovaké. Ostaté stredé hodoty Modus chápeme ako ajpočetejšiu hodotu štatistického zaku, ozačujeme M o = ˆx. Modálu hodotu z radu rozdeleia početostí určíme ako hodotu zaku s ajväčšou početosťou. Ak táto hodota je jediá, hovoríme, že rozdeleie početostí je uimodále, v opačom prípade je polymodále. V prípade itervalového rozdeleia početostí modus vypočítame podľa vzťahu: d 1 Mo = a o + h, d 1 + d 2 a o je začiatok modáleho itervalu, h je dĺžka itervalu, d 1 je rozdiel medzi absolútou početosťou modáleho a predchádzajúceho itervalu, d 2 je rozdiel medzi absolútou početosťou modáleho a asledujúceho itervalu. Mediá chápeme ako prostredú hodotu štatistického súboru. Mediá je číslo, ktoré leží uprostred variačého radu, ozačujeme M e = x. Ak je rozsah štatistického súboru, potom platí:

17 1.2. ČÍSELNÉ CHARAKTERISTIKY 17 pre páre: x = x ( 2 ) + x ( +2 2 ) a pre epáre: x = x 2 ( +1 ). 2 V prípade itervalového rozdeleia početostí mediá vypočítame podľa vzťahu: +1 2 N j 1 Me = a e + h, j a o je začiatok mediáového itervalu, h je dĺžka itervalu, N j 1 je absolúta kumulatíva početosť itervalu pred mediáovým, j je absolúta početosť mediáového itervalu. Vzájomá poloha modusu, mediáu a aritmetického priemeru toho istého štatistického súboru charakterizuje tvar určitého rozdeleia početostí. Ak ˆx = x = x, ide o symetrické rozdeleie početosti. Pre prípad esymetrického rozdeleia rozlišujme: kladé zošikmeie, ak x < ˆx < x a zápore zošikmeie, ak x < x < ˆx. Kvatily Kvatily sú také reále číselé hodoty, ktoré rozdeľujú rad vzostupe usporiadaých hodôt štatistického zaku x (1), x (2), x (3),..., x () a r rovako početých častí. Najpoužívaejšie kvatily sú: mediá (r = 2), kvartily (r = 4), decily (r = 10) a percetily (r = 100) Charakteristiky variability Uvažujme tri trojice čísel 9, 10, 11, 5, 10, 15, 1, 10, 19. Po jedoduchom výpočte zistíme, že všetky trojice majú aritmetický priemer 10, mediáy sú tiež rovaké a rové 10 a predsa ie sú tieto súbory idetické. Odlišosť hodôt štatistického zaku azývame variabilitou. Čím väčšia je variabilita, tým meej je reprezetatíva charakteristika polohy. Variabilitu, rozptyl hodôt zaku v štatistickom súbore vyjadrujú charakteristiky variability. Z charakteristík variability sa ajčastejšie používajú: Priemerá odchýlka štatistického súboru udáva, o koľko sa zisteé hodoty v štatistickom súbore v priemere odchyľujú od ich aritmetického priemeru. Pretože platí: (x i x) = 0, emôžeme použiť súčet odchýliek ako charakteristiku variability, preto zavádzame priemerú odchýlku, kde je uté použiť absolúte hodoty odchýliek. d = 1 x i x (1), d = 1 l x i x i (2), d = 1 k z j x j (3). Rozptyl je ajpoužívaejšou charakteristikou variability. Rozptyl je aritmetický priemer štvorcov odchýliek hodôt štatistického zaku od ich aritmetického priemeru. Rozptyl ozačujeme s 2 a platí: s 2 = 1 (x i x) 2 (1), s 2 = 1 l (x i x) 2 i (2), s 2 = 1 k (z j x) 2 j (3). Smerodajá odchýlka je kladá odmocia z rozptylu, ozačujeme ju s, s = s 2. Čím väčšia je variabilita hodôt x i, tým väčšie sú odchýlky x i x a tým väčšia je hodota s 2 a aj s Miery šikmosti a špicatosti K ďalším číselým charakteristikám štatistických súborov patria momety, pomocou ktorých zavedieme mometové charakteristiky: koeficiet šikmosti, koeficiet špicatosti.

18 18 KAPITOLA 1. POPISNÁ ŠTATISTIKA Všeobecý momet r-tého radu daého štatistického súboru ozačujeme v r a defiujeme asledove: v r = 1 x r i (1), v r = 1 l x r i i (2), v r = 1 k zj r j (3), kde r je prirodzeé číslo. Cetrály momet r-tého radu daého štatistického súboru ozačujeme µ r a defiujeme asledove: µ r = 1 (x i x) r (1), µ r = 1 l (x i x) r i (2), µ r = 1 k (z j x) r j (3), kde r je prirodzeé číslo a x je aritmetický priemer daého štatistického súboru. Koeficiet šikmosti (asymetrie) je mometová miera šikmosti. Koeficiet šikmosti γ 3 defiujeme asledove: γ 3 = µ 3 s 3, kde µ 3 je tretí cetrály momet, ktorý možo určiť podľa vzťahu µ 3 = 1 (x i x) 3 (1), µ 3 = 1 l (x i x) 3 i (2), µ 3 = 1 k (z j x) 3 j (3). Ak je γ 3 < 0, potom väčšia hodôt štatistického zaku daého štatistického súboru leží aľavo od aritmetického priemeru (ľavostraá asymetria). Ak γ 3 = 0, potom hodoty štatistického zaku sú symetrický rozložeé okolo aritmetického priemeru. Ak γ 3 > 0, potom väčšia hodôt štatistického zaku leží apravo od aritmetického priemeru (pravostraá asymetria). Smer asymetrie vyjadruje zamieko koeficieta šikmosti a silu asymetrie vyjadruje jeho hodota. Koeficiet špicatosti (excesu) meria stupeň kocetrácie hodôt štatistického zaku okolo stredej hodoty. Koeficiet špicatosti γ 4 defiujeme asledove: γ 4 = µ 4 s 4 3, kde µ 4 je štvrtý cetrály momet, ktorý možo určiť podľa vzťahu µ 4 = 1 (x i x) 4 (1), µ 4 = 1 l (x i x) 4 i (2), µ 4 = 1 k (z j x) 4 j (3). Ak γ 4 < 0, potom polygó relatívych početostí je plochejší ako krivka ormáleho rozdeleia (pozri 3. kapitolu). Ak γ 4 = 0, potom polygó relatívych početostí má rovakú špicatosť ako krivka ormáleho rozdeleia. Akk γ 4 > 0, potom polygó relatívych početostí je špicatejší ako krivka ormáleho rozdeleia.

19 1.2. ČÍSELNÉ CHARAKTERISTIKY 19 Príklad 3. Pre kvatitatíve zaky (počet čleov domácosti a ročá spotreba studeej vody - súbor 1, 3) z predchádzajúceho príkladu vypočítajme čísele charakteristiky. Riešeie. Počet čleov domácosti - súbor 1 Charakteristiky polohy: Aritmetický priemer x = 1 5 x i i, x = ( ) = 20 = 3,95. Modus je ajpočetejšia hodota, t.j Mo = x = 5. Mediá je prostredá hodota a pre -páre ( = 20) použijeme vzťah Me = x = x ( 2 ) + x ( ) = x (10) + x (11) 2 = 4. Charakteristiky variability: Variačé rozpätie R v = x max x mi = 6 2 = 4. Rozptyl s 2 = 1 5 (x i x) 2 i, s 2 = 1 [ ( 1,95)2 4 + ( 0,95) , , , ] = 1, Smerodajá odchýlka s = s 2 = 1,3592. Priemerá odchýlka d = 1 5 x i x i, d = 1 23,2 (1, , , , ,05 3) = = 1,16. Koeficiet šikmosti: γ 3 = µ 3 s 3 = 1 s 3 5 (x i x) 3 i, γ 3 = [ ( 1,95)3 4 + ( 0,95) , , , ] 20 1, = 0,029.

20 20 KAPITOLA 1. POPISNÁ ŠTATISTIKA Koeficiet špicatosti: γ 4 = µ 4 s 4 3 = 1 s 4 5 (x i x) 4 i 3, γ 4 = [ ( 1,95)4 4 + ( 0,95) , , , ] 20 1, = 1,2397. Ročá spotreba studeej vody - súbor 3 Charakteristiky polohy: Aritmetický priemer Modus x = 1 5 z j j, x = ( ) = = 114,5. d Mo = x = a o + h = d 1 + d 2 (7 4) + (7 2) = 88,25, kde a o je začiatok modáleho itervalu (77, 107, d 1 je rozdiel absolútej početosti modáleho a predchádzajúceho itervalu a d 2 je rozdiel absolútej početosti modáleho a ásledujúceho itervalu. Mediá N j 1 2 Me = x = a e + h = = 104,8571, j 7 kde a e je začiatok mediáového itervalu (77, 107. Charakteristiky variability: Variačé rozpätie R v = x max x mi = = 148. Rozptyl s 2 = 1 5 (z j x) 2 i, s 2 = 1 [ (( 52,5)2 4 + ( 22,5) , , ,5 2 3 ] = 1698, Smerodajá odchýlka Priemerá odchýlka s = s 2 = 41,2159. d = 1 5 z j x i, d = (52, , , , ,5 3) = = 36,75.

21 1.2. ČÍSELNÉ CHARAKTERISTIKY 21 Koeficiet šikmosti: γ 3 = Koeficiet špicatosti: γ 4 = γ 3 = µ 3 s 3 = 1 s 3 5 (z j x) 3 i, [ ( 52,5)3 4 + ( 22,5) , , ,5 3 3 ] γ 4 = µ 4 s 4 3 = 1 s , = 0, (z j x) 4 i 3, [ (( 52,5)4 4 + ( 22,5) , , ,5 4 3) ] 20 41, = 1,2262. Úlohy 1.6 Vypočítajte aritmetický priemer, modus a mediá zámok z písomej práce z matematiky: 3; 2; 1; 1; 2; 2; 3; 4; 4; Vypočítajte aritmetický priemer, modus a mediá bodového hodoteia 15 študetov: 158; 161; 168; 163; 174; 179; 176; 172; 178; 168; 179; 174; 173; 179; Vypočítajte a určte vzťah medzi aritmetickým priemerom, modusom a mediáom asledujúcich hodôt: 17; 21; 22; 20; 25; 15; 12; 23; 10; 8; 12; 23; 12; 5; 8; 10; 15; 23; 20; 11; 12; 7; 24; Vypočítajte a iterpretujte modus krvých skupí: A; 0; 0; B; B; AB; A; A; 0; 0; 0; AB; B; 0; B; A; 0; AB; 0; 0; B; 0; A Vypočítajte a iterpretujte mediá z výsledkov skúšky: a) C; E; B; D; A; A; B; FX; C; C; D (zámky radíme v poradí A, B, C, D, E, FX). b) 61; 49; 35; 74; 53; 82 (v %) Vypočítajte priemer, rozptyl a smerodajú odchýlku z údajov o hmotosti jedeástich baleí zemiakov (v kg): 43; 68; 65; 59; 48; 49; 52; 48; 57; 59; V akete sa 50 vodičov áut pýtali, koľkokrát za posledý rok platili pokutu za prekročeie povoleej rýchlosti. Ich odpovede sú: 0; 2; 5; 5; 4; 2; 2; 0; 1; 5; 3; 2; 3; 1; 1; 2; 3; 2; 1; 6; 1; 2; 3; 4; 2; 3; 0; 4; 5; 0; 2; 1; 2; 2; 2; 0; 3; 4; 4; 4; 3; 3; 4; 6; 1; 2; 3; 4; 2; 1. Pre teto súbor vypočítajte modus, aritmetický priemer a smerodajú odchýlku V emocici bolo v určitom období hospitalizovaých 150 osôb a chirurgickom oddeleí s priemerou dĺžkou hospitalizácie 19 dí, 100 osôb a iterom oddeleí s priemerou dĺžkou hospitalizácie 7 dí a a detskom oddeleí 90 detí s priemerou dĺžkou hospitalizácie 12 dí. Vypočítajte priemerú dĺžku hospitalizácie pre všetkých pacietov.

22 22 KAPITOLA 1. POPISNÁ ŠTATISTIKA V asledujúcich úlohách vypočítajte charakteristiky polohy, variability, koeficiet šikmosti a špicatosti Vykoali sme 36 aalýz a overeie kocetrácie chemickej látky v roztoku. Výsledky (v %) sú: 17; 12; 15; 16; 18; 17; 18; 13; 12; 15; 16; 11; 16; 17; 18; 12; 14; 20; 21; 17; 11; 14; 15; 20; 14; 13; 16; 15; 14; 15; 16; 15; 19; 15; 19; Čas čakaia a trolejbus a zastávke MHD by emal prekročiť 10 mi. Náhode sa urobilo 30 kotrol, pričom sa zazameával čas čakaia (v mi.): 3; 5; 2; 6; 4; 5; 7; 2; 6; 4; 5; 7; 6; 4; 6; 3; 5; 3; 6; 4; 5; 5; 3; 7; 4; 5; 5; 6; 4; V priebehu mesiaca odpracovalo 33 zamestacov firmy teto počet pracových dí: 22; 21; 23; 18; 20; 20; 23; 22; 22; 23; 17; 21; 23; 23; 23; 21; 23; 21; 23; 22; 24; 19; 23; 19; 21; 16; 24; 22; 20; 22; 22; 23; Pri kotrole kvality výrobku boli ameraé odchýlky jedého rozmeru výrobku od staoveej hodoty v stotiách milimetra: 56; 60; 60; 61; 55; 59; 61; 60; 59; 61; 59; 61; 60; 62; 57; 61; 57; 59; 54; 62; 60; 58; 60; 60; 61; 59; 60; 59; 61; 57; zákazíkov si objedalo tovar cez iteret. Od objedávky po doručeie tovaru uplyulo: 16; 18; 19; 16; 12; 14; 15; 18; 17; 14; 12; 13; 19; 18; 16; 15; 15; 17; 12; 16; 15; 14; 13; 15; 17; 18; 16; 15; 13; 14 dí Nasledujúce hodoty udávajú priemer (v mm) 20 brúsych kotúčov: 28,6; 28,5; 28,5; 28,2; 28,6; 28,3; 28,3; 28,8; 28,4; 28,5; 28,4; 28,4; 28,3; 28,4; 28,7; 28,4; 28,6; 28,3; 28,5; 28, V rámci vyhodoteia kvality obchodého reťazca bol počas určitého časového obdobia zazameávaý čas čakaia pri pokladi. Zisteé údaje (v mi.) sú: 5; 6; 2; 3; 7; 5; 3; 5; 5; 3; 2; 3; 6; 5; 7; 7; 2; 7; 3; 4; 5; 5; 2; 5; 6; 3; 3; Výsledky meraí obsahu uhlíka v uhlí (v %) sú: 86; 87; 86; 81; 77; 85; 87; 86; 85; 87; 82; 84; 84; 83; 79; 83; 80; 85; 79; 78; 83; 77; 86; 81; 78; 82; 86; 83; 84; 84; 80; 86; Na začiatku semestra boli zisteé údaje o veku študetov astupujúcich do 1. ročíka exterého štúdia a SjF. Vek poslucháčov je: 33; 30; 34; 26; 24; 27; 31; 32; 36; 34; 37; 26; 23; 28; 36; 30; 25; 29; 40; 33; 31; 35; 36; 38; 32; 36; 33; 39; 32; Meral sa percetuály obsah balastých látok v tavbe. Získaé údaje(v %) sú: 0,091; 0,097; 0,101; 0,099; 0,095; 0,099; 0,089; 0,097; 0,099; 0,093; 0,099; 0,105; 0,091; 0,103; 0,097; 0,099; 0,095; 0,101; 0,099; 0,101; 0,097; 0,093; 0,097; 0,101; 0,095; 0,099; 0,097; 0,091; 0,097; 0,101; 0,097; 0,099; 0,095; 0,101; 0,091; 0,099; 0,099; 0,089; 0,099; 0,097; 0,105; 0,097; 0,099; 0,103; 0,101; 0,093; 0,099; 0,095; 0,095; 0,101; 0,099; 0,097; 0,095; 0,101; 0,097; 0,099; 0,103; 0,097; 0, Výsledky meraí obsahu cíu (v %) v 100 vzorkách rudy sú uvedeé v tabuľke. z j j

23 1.2. ČÍSELNÉ CHARAKTERISTIKY U 50 áhode vybraých študetov sa zisťoval čas, ktorý doma veujú štúdiu. Hodoty sú uvedeé v tabuľke. Čas štúdia (v mi.) Počet študetov Pri prieskume trhu boli zisteé výšky mesačých splátok medzi respodetmi (v e). Údaje sú uvedeé v tabuľke. z j j Meral sa obsah Cu v istej zliatie (v %). Nameraé údaje sú uvedeé v tabuľke. z j 3 3,30 3,60 3,90 4,20 4,50 4,80 j Pri prieskume cie istej komodity sa skúmalo predražeie jej cey v percetách a 1 kg váhy. Údaje sú: 2,1; 1,3; 5,3; 4,9; 5,2; 9,4; 7,9; 8,7; 9,8; 3,2; 4,8; 6,0; 3,4; 7,8; 8,3; 6,7; 8,5; 10,0; 4,8; 3,6; 7,1; 4,1; 8,4; 11,1; 8,8; 8,6; 4,5; 8,1; 7,9; 5,3; 5,1; 9,4; 8,5; 7,3; 6,2; 5, Počas testovaia ovej automatickej liky sa zazameávalo trvaie operácie (v s): 10,9; 9,4; 9,6; 9,7; 10,4; 9,5; 7,9; 10,2; 8,3; 7,3; 8,3; 11,4; 10,4; 9,3; 7,1; 9,6; 9,9; 8,2; 8,8; 11,9; 9,2; 10,4; 11,6; 9,8; 10,1; 11,8; 10,5; 8,1; 8,0; 12,1; 9,7; 9,8; 8,5; 10,2; 12,0; 7,0; 10,7; 9,0; 10,6; 10,0; 11,7; 9,6; 8,8; 8,6; 10,3; 8,9; 11,1; 10,0; 11,0; 9,0; 10,9; 9,4; 8,2; 8,5; 10,7; 8,6; 9,1; 9,5; 8,9; 9,9; 10,5; 9,8; 9,5; 7,5; 9,7; 9,3; 7,2; 11,2; 11,3; 7,0; 8,5; 10,0; 10,6; 7,8; 10,0; 10,2; 8,0; 11,2; 8,4; 7,8; 11,5; 9,2; 9,8; 8,3; 12,3; 9,0; 10,4; 9,3; 12,4; 8,7; 11,4; 10,2; 7,7; 11,0; 10,1; 8,4; 9,4; 10,5; 9,1; 7, Zisťovali sme hmotosť 60 vzoriek (v g). Výsledky experimetu sú: 4,20; 4,54; 4,37; 4,47; 4,29; 4,52; 4,38; 4,21; 4,53; 4,60; 4,56; 4,70; 4,59; 4,73; 4,61; 4,31; 4,42; 4,73; 4,37; 4,64; 4,46; 4,66; 4,50; 4,71; 4,32; 4,69; 4,39; 4,59; 4,34; 4,70; 4,70; 4,28; 4,41; 4,63; 4,80; 4,61; 4,44; 4,86; 4,76; 4,79; 4,56; 4,73; 4,31; 4,72; 4,68; 4,65; 4,33; 4,70; 4,33; 4,53; 4,21; 4,27; 4,42; 4,70; 4,42; 4,36; 4,65; 4,84; 4,78; 4, Životosť určitej súčiastky (v hod.) bola skúšaá a 70 vzorkách. Výsledky sú: 186; 153; 200; 166; 171; 158; 164; 174; 180; 189; 187; 163; 158; 149; 149; 204; 185; 178; 183; 176; 182; 184; 166; 151; 167; 197; 194; 210; 131; 159; 213; 159; 175; 186; 186; 215; 153; 128; 193; 176; 179; 216; 172; 198; 177; 203; 170; 142; 155; 181; 184; 163; 179; 171; 186; 169; 164; 185; 200; 145; 187; 183; 172; 160; 223; 183; 192; 138; 156; Vyšetrovalo sa 100 áhode vybraých priadzí a pevosť v ťahu (MPa). Výsledky meraia sú uvedeé v tabuľke. I j (0,5; 0,7 (0,7; 0,9 (0,9; 1,1 (1, 1; 1,3 (1,3; 1,5 (1,5; 1,7 (1,7; 1,9 j

24 24 KAPITOLA 1. POPISNÁ ŠTATISTIKA amatérskych pretekárov sa zúčastilo jazdeckých pretekov. Počet prekoaých prekážok je uvedeý v tabuľke. I j (0; 6 (6; 12 (12; 18 (18; 24 (24; 30 (30; 36 (36; 42 j Výsledky skúmaia pevosti a tlak (v MPa) pre 200 valcových brikiet sú uvedeé v tabuľke. I j (19; 20 (20; 21 (21; 22 (22; 23 (23; 24 (24; 25 j