Mali vodič kroz astrognoziju

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Mali vodič kroz astrognoziju"

Transcript

1 AAD Rijeka Martina Šupak Mali vodič kroz astrognoziju Rijeka, 2013.

2 0. Uvod U ovom vodiču bit će govora o promatranju neba, no ne nekim skupim teleskopima već golim okom, a ponekad i dalekozorom. Astrognozija je upravo to, prepoznavanje zviježđa i nebeskih objekata te orijentacija pomoću zvijezda. Noćno nebo može biti zanimljivo i bez velikih teleskopa ako znamo što gledamo. Tako ćemo u nastavku naučiti kako se snalaziti na nebu; naučit ćemo koji su uvjeti najpovoljniji za promatranje; naučit ćemo što su to zviježđa i neke zanimljivosti vezane uz pojedina zviježđa. Osim zvijezda, na nebu se golim okom može vidjeti i planete te još mnogo toga. Na kraju, bit će prikazane karte neba za pojedini mjesec kako bi se lakše mogli pripremiti za noćno promatranje. 2

3 1. Nebeska sfera Svi objekti na nebu kreću se kao da su dio velike sfere beskonačnog promjera sa Zemljom u središtu. Tu sferu nazivamo nebeska sfera i prividno se okreće oko Zemlje jednom na dan, no to je samo rezultat Zemljine rotacije. Dio nebeske sfere kojeg možemo vidjeti ovisi o danu u godini, dobu dana te našem položaju na Zemlji. Na nebeskoj sferi nalaze se razne, važne točke i linije slične onima Zemljinog koordinatnog sustava. Iznad Zemljinih polova nalaze se nebeski polovi oko kojih se sfera prividno okreće. Nebeski ekvator je kružnica koja se nalazi iznad Zemljinog ekvatora. Na sferi se nalazi i kružnica koju nazivamo ekliptika, a predstavlja put po kojem se Sunce prividno kreće. Kretanje Sunca zapravo je rezultat Zemljinog kretanja pa je ravnina ekliptike naziv za ravninu po kojoj se Zemlja kreće oko Sunca i ravninu koja je preslikana na nebesku sferu. Zbog nagiba Zemljine osi u iznosu od 23,5, nebeski je ekvator nagnut u odnosu na ekliptiku za ista ta 23,5. Položaj nekog objekta na nebeskoj sferi mjeri se koordinatama koje nazivamo deklinacija i rektascenzija. Rektascenzija je ekvivalentna geografskoj dužini i mjeri se u satima, krećući se po nebeskom ekvatoru suprotno od smjera kazaljke na satu. Početna točka nalazi se na mjestu gdje se sijeku ekliptika i nebeski ekvator i gdje se Sunce počinje kretati prema sjeveru, to mjesto nazivamo proljetna točka. Deklinacija je ekvivalentna geografskoj širini i mjeri se u stupnjevima. Točka na nebeskom ekvatoru ima deklinaciju 0, dok točka na sjevernom polu ima deklinaciju +90, a suprotno - na južnom polu ima deklinaciju 90. 3

4 Koji dio nebeske sfere možemo vidjeti, ovisi o našem položaju na Zemlji, odnosno o našoj geografskoj širini. S bilo kojeg od polova vidljivo je samo pola nebeske sfere; svake noći nebo se okreće oko nebeskog pola no zvijezde ne zalaze, odnosno ne izlaze. Na ekvatoru je vidljiva cijela nebeska sfera kroz godinu dana. Nebeski polovi položeni su u smjeru geografskih polova na horizontu i sve zvijezde izlaze i zalaze. Na mjestima između ekvatora i polova vidljiv je dio nebeske sfere. Na našoj zemljopisnoj širini (+45 SZŠ) vidljiv je dio između nebeskog pola (+90 ) i deklinacije od -45. Zvijezde u blizini nebeskog pola nikada ne zalaze i nazivamo ih cirkumpolarne, nasuprotne zvijezde nikad ne izlaze i nazivaju se anticirkumpolarne; te zvijezde nikad ne možemo vidjeti iz naših krajeva. Zbog Zemljine rotacije zvijezde se kreću nebom i kroz noć nam se pogled stalno mijenja. Nebeska sfera okrene se jednom za ono vrijeme koliko je Zemlji potrebno za jedan okret oko osi (~ 23 sata i 56 minuta). Zato što je, zbog Zemljine revolucije, vrijeme između dva podneva 24 sata zvijezde će svakog dana izlaziti četiri minute ranije. Zbog Zemljine će se revolucije zvijezde u blizini nebeskog ekvatora tijekom godine mijenjati, odnosno određeno zviježđe će u jednom periodu biti vidljivo noću, dok će za oko šest mjeseci biti zaklonjeno sunčevom svjetlošću. Tijekom godine Sunce prolazi kroz pojas zviježđa duž ekliptike. Ta zviježđa nazivaju se zviježđa Zodijaka i planeti se uvijek mogu pronaći u tom području. 4

5 5

6 2. Priprema za promatranje Prvi dio pripreme vršimo prije no što se spusti noć, a uključuje sastavljanje liste objekata koje želimo promatrati. Za detaljno promatranje važno je dati vremena oku da se privikne na svjetlinu promatranog objekta i stoga je potrebno izdvojiti barem 30 minuta po objektu. Listu i karte pripremimo tako da je idući objekt dovoljno blizu prthodnom kako bi se izgubilo što manje vremena na traženje. Na promatranju je dobro imati mali stolić na kojeg možemo odložiti karte i ostalu opremu te možemo koristiti lampicu s crvenim svjetlom koje najmanje smeta očima priviknutim na mrak. Važno je i primjereno se odjenuti, čak i u ljetnim mjesecima noći mogu biti prohladne i zato je dobro obući se slojevito. Drugi dio priprema za promatranje je pronalaženje dobre lokacije. Kod promatranja važni su atmosferski, odnosno promatrački uvjeti. Promatrati možemo uvijek kad je vedro, no slika objekta neće uvijek biti ista. Ako promatramo u blizini grada gdje nam smeta jako svjetlosno onečišćenje; ako je nebo prekriveno tankim oblacima, cirusima, u višim slojevima atmosfere tada nam slika objekta može biti jako mutna i detalji nisu dovoljno razlučivi; ako je Mjesec u visokoj fazi, tada nam svojim sjajem zakloni tamnije objekte pri takvim uvjetima možemo promatrati samo najsjajnije objekte noćnog neba. Za dobro promatranje potrebna je lokacija s tamnim nebom daleko od svjetlosnog onečišćenja. Transparentnost neba je dobra ako je nebo tamno i pruža dobar kontrast zvijezdama; tada možemo promatrati galaksije, maglice i ostale tamnije objekte. Važna karakteristika je i seeing, koji je određen količinom turbulencije u atmosferi, a kao rezultat vidimo treperenje zvijezda. Bolji seeing znači manje treperenja i to omogućuje promatranje sitnijih objekata ili razlučivanje sitnih detalja. Dani s dobrim seeingom omogućuju promatranje dvojnih i višestrukih zvijezda ili planeta. Idealna transparentnost i dobar seeing rijetko se javljaju iste noći i zato su znanstvenici postavili Hubbleov svemirski teleskop izvan atmosfere, u Zemljinu orbitu gdje su uvjeti više nego idealni. One noći koje nemaju idealne promatračke uvjete možemo iskoristiti za učenje lokacija objekata jer nam traženje oduzima najviše vremena koje može biti utrošeno na uživanje u prekrasnom pogledu kroz dalekozor ili teleskop. Kada smo pripremili listu objekata i pronašli dobru lokaciju možemo otići na promatranje. Kada se nađemo u mraku moramo dozvoliti očima da se priviknu na mrak. Kako je već spomenuto svjetlo nam smeta pri promatranju noćnog neba. Na svjetlu, na zjenici su aktivni čunjići, a kada postane mračnije aktivni su štapići. Štapići ne razlikuju boju već sve vide u nijansama sive boje. Kako bi se štapići aktivirali potrebno je vrijeme, a to znači da svaki put kada naše, već priviknuto, oko izložimo svjetlosti aktiviramo čunjiće i poslije opet moramo čekati oko pola sata (možda i više) da se aktiviraju štapići. Vidno polje oka smanji se u mraku, a to je zato što su štapići rjeđe raspoređeni preko zjenice nego što su raspoređeni čunjići. Najmanje štapića ima u središtu i zato objekte bolje vidimo gledajući pored njih nego kada gledamo direktno u njih, ta se metoda naziva promatranje perifernim vidom. Pri promatranju dobro je voditi dnevnik s podatcima poput naziva promatranog objekta, lokacije promatranja, ocjene promatračkih uvjeta, datum i vrijeme promatranja, može se bilježiti dojam i skicirati objekt i sve čega se sjetimo kako bi dnevnik bio potpuniji. 6

7 3. Zviježđa Nebeska sfera podijeljena je na 88 područja koja nazivamo zviježđa. Kada duže promatramo noćno nebo, počinjemo uočavati veze među zvijezdama, neke čine četverokut, neke trokut, križ i razne druge oblike. Spajajući više takvih geometrijskih oblika nastane zviježđe. Sve stare civilizacije podijelile su nebo u zviježđa i dale im imena važna za tu kulturu godine međunarodna astronomska unija usvojila je današnjih 88 zviježđa te točno definirala granice koje koristimo i danas. Zvijezde koje čine zviježđe nisu međusobno gravitacijski vezane već se nalaze u istom smjeru gledanja. Sva zviježđa nisu iste veličine, najveće zviježđe zauzima 3,16% nebeske sfere [Vodena zmija (Hydra)], a najmanje samo 0,17% [Južni križ (Crux)]. Udaljenosti na nebu mjerimo stupnjevima i tu nam pomaže mali trik za koji nam je potrebna samo ruka ispružena u laktu. Mali prst ispružene ruke prekriva 1 i može zakloniti Mjesec ili Sunce. Skupljena šaka prekriva 10, a ruka raširenih prstiju prekriva 25 što je dovoljno za prekrivanje Pegazovog četverokuta. Kada promatramo nebo neke zvijezde čine se sjajnijima od drugih. Prividni sjaj ovisi o tome koliko je zvijezda sjajna, ali i koliko je udaljena od Zemlje. Sjaj zvijezde obilježavamo brojkom koju nazivamo magnituda. Sjajnije zvijezde imaju manju magnitudu od tamnijih. Prividno najsjajnija zvijezda, Sunce, ima magnitudu -26,7 [-26,7 m ], a najtamniji objekti vidljivi okom bez pomagala (pri idealnim uvjetima) imaju magnitudu 6,5. Tu magnitudu nazivamo granična magnituda pri idealnim uvjetima. Pri različitim uvjetima promatranja granična magnituda nije uvijek 6,5. Nekada nam smetaju svjetla obližnjeg grada, nekada svjetlo Mjeseca i drugo. Za približno određivanje granične magnitude noćnog neba pomažu nam poznata zviježđa. Cijelu godinu graničnu magnitudu moguće je odrediti pomoću Malog medvjeda. Osim Malog medvjeda još nekoliko zviježđa može nam pomoći u određivanju granične magnitude. U proljeće je to moguće pomoću zviježđa Lava, ljeti pomoću Labuda, na jesen pomoću zviježđa Andromeda dok zimi graničnu magnitudu možemo pronaći pomoću zviježđa Blizanaca. 7

8 Nije samo sjaj zvijezda drugačiji, već i boja. Kada promatramo zvijezde uočavamo crvene, žute, plave zvijezde, razlika u boji je razlika u površinskoj temperaturi pojedine zvijezde, plava je najtoplija dok je crvena najhladnija. Naše Sunce je žuta zvijezda s površinskom temperaturom malo manjom od 6000 C. Temperatura crvene zvijezde je upola manja, a plave pet puta veća. Od 88 zviježđa noćnog neba, s našeg položaja na Zemlji vidimo 53 zviježđa, što znači da su 35 anticirkumpolarna zviježđa. Od 53 zviježđa koja možemo vidjeti, 7 su cirkumpolarna zviježđa, a ostalih 46 zviježđa podijelili smo po godišnjim dobima na: Ljetno nebo - lipanj, srpanj i kolovoz Herkul Labud Zmija Štit Orao Dupin Škorpion Lira Sjeverna kruna Zmijonosac Strelica Lisica Strijelac Jarac Jesensko nebo - rujan, listopad i studeni Andromeda Gušterica Trokut Ovan 8

9 Ždrijebe Vodenjak Kit Pegaz Ribe Južna riba Zimsko nebo - prosinac, siječanj i veljača Kočijaš Perzej Bik Blizanci Rak Orion Veliki pas Mali pas Jednorog Rijeka Eridan Zec Krma Proljetno nebo - ožujak, travanj i svibanj Lovački psi Volar Lav Mali lav Berenikina kosa Djevica Vaga Vodena zmija Pehar Gavran 9

10 Ljetno nebo Pogled na jug Pogled na sjever Pregled ljetnog neba 10

11 Jesensko nebo Pogled na jug Pogled na sjever Pregled jesenskog neba 11

12 Zimsko nebo Pogled na jug Pogled na sjever Pregled zimskog neba 12

13 Proljetno nebo Pogled na jug Pogled na sjever Pregled proljetnog neba 13

14 Cirkumpolarna zviježđa Zvijezde i drugi objekti koji su za određenog promatrača uvijek iznad horizonta nazivaju se cirkumpolarnim, dok su anticirkumpolarni oni koji nikad ne izlaze iznad obzora. Zviježđa koja mi vidimo kao cirkumpolarna su: Veliki i Mali medvjed, Kasiopeja, Cefej, Zmaj, Žirafa i Ris. Veliki i Mali medvjed Velika kola nisu zviježđe već asterizam, prepoznatljiv dio zviježđa. Veliki medvjed je zapravo puno veće zviježđe. U kasno proljeće vide se medvjeđe šape. Šape se sastoje od tri para zvijezda iza kojih postoji priča o tri skoka jedne gazele. Priča je to o lavu koji je prestrašio gazelu, gazela je odjurila preko celestijalne sfere ostavljajući iza sebe par zvijezda za svaki od tri skoka. Do srpnja se gazelin asterizam izgubi ispod horizonta. Poznato je da medvjedi nemaju tako dugačak rep pa je svaka kultura na svoj način objasnila repove na zviježđima Velikog i Malog medvjeda. Europljani su smatrali da su bogovi, stavljajući medvjede na nebo, rastegnuli njihove repove. Indijanci su također vidjeli medvjede, ali njima su te tri zvijezde predstavljale lovce. Kada zviježđe Velikog medvjeda zađe u jesen, kažu kako su lovci uhvatili medvjeda i zato lišće dobije crvenu boju. Dakle, tri zvijezde su lovci, a jedan od njih, Mizar, poveo je svog psa, Alkora. Srednja zvijezda drške Velikih kola je dvojna zvijezda, Mizar i pratioc Alkor. Ta dvojna zvijezda se u doba starih Grka koristila kao očni test za vojnike. Dvije krajnje zvijezde Velikih kola pokazuju prema Sjevernjači. Polaris ili Sjevernjača dio je Malog medvjeda. 14

15 Kasiopeja Veliko W na sjevernoj strani neba je Kasiopeja. Kasiopeja leži na Mliječnom putu te je puna otvorenih zvijezdanih skupova. Legenda o kraljici Etiopije, Kasiopeji vezana je uz legendu o Andromedi, dalje u tekstu. Cefej Cefej je bio legendarni kralj Etiopije. U Babilonu su smatrali da je sin Enlila, boga neba, vladara cirkumpolarnih zviježđa. Egipćanima je predstavljao Keopsa, graditelja Velike piramide. Zviježđe Cefej ima oblik kućice. µ (mi) Cefeja je najcrvenija zvijezda našeg neba i polna je zvijezda Marsa, za 6000 godina µ Cefeja biti će i naša polna zvijezda. δ (delta) Cefeja je varijabilna zvijezda, zvijezda čija se magnituda vremenom mijenja. U ovom slučaju varira između magnituda ζ (zete) i ε (epsilona) Cefeja kroz pet dana. δ Cefeja je prva takva zvijezda ikad otkrivena te se taj tip varijabilnih zvijezda naziva Cefeide. Cefeide su tolike mase da su na granici stabilnosti i pulsiraju. Površina zvijezde raste i pada u ritmu i ovisi o pravom sjaju zvijezde, što je zvijezda sjajnija duže je vrijeme pulsiranja. Kada je zvijezda bliža čini se sjajnija, a kada je udaljenija čini se tamnija. Ako znamo stvarni sjaj zvijezde znamo i njenu udaljenost. Ako je ta zvijezda dio neke druge galaksije onda znamo koliko je udaljen cijeli taj skup zvijezda. Čak možemo izračunati i udaljenost od središta naše galaksije (28000 svjetlosnih godina). Zmaj Zmaj počinje sa žutom i narančastom zvijezdom koje mu predstavljaju oči, proteže se oko Malog medvjeda i završava između Malog i Velikog medvjeda. Treća zvijezda zmajevog repa je Thuban. Prije 5000 godina, u doba gradnje Keopsove piramide, ova je zvijezda bila Sjevernjača. Sjeverni zemljin pol miče se oko osi kao zvrk, isto tako miče se i sjeverni nebeski pol. Sjeverni nebeski pol čini kružnicu na nebu, sada se nalazi u blizini zvijezde Malog medvjeda, Polaris. Krug će se nastaviti prema Cefeju, proći će pokraj Vege, kroz Herkulove noge natrag preko Thubana i opet na Polaris. 15

16 Ris i Žirafa Ris i Žirafa su zviježđa bez posebno sjajnih zvijezda te su teško uočljivi. Oba su ubačena u 17. st. za popunjavanje praznina između tada postojećih zviježđa. Zviježđa zodijaka Kretanjem Zemlje oko Sunca svaki dan vidimo malo drugačiju sliku noćnog neba. Sunce se prividno kreće kroz zviježđa te se svaki mjesec nalazi u drugom. Dvanaest zviježđa kroz koja se Sunce kreće nazivamo zviježđa zodijaka. Zapravo postoji i trinaesto zviježđe, Zmijonosac, ali ne ubrajamo ga u zodijak. Blizanci i Rak Dvije najsjajnije zvijezde Blizanaca su Kastor i Poluks. Kastor i Poluks nisu bili stvarni blizanci. Prema legendi, Kastor je bio smrtni sin Lede i kralja Sparte, dok je Poluks bio Ledin i 16

17 Zeusov besmrtni sin. Braća su bila toliko bliska da je nakon Kastorove smrti, Zeus ujedinio braću na nebeskom svodu. Pokraj Kastorovih nogu nalazi se otvoreni skup M35. Udaljen je 3000 svjetlosnih godina. ζ (zeta) Blizanaca je Cefeida s periodom od 10 dana godine, Clyde Tombaugh, otkrio je planet Pluton u granicama zviježđa Blizanci. Pokraj δ Blizanaca nalaze se tri zvijezde koje čine trokut. Pogledom kroz teleskop vidimo mrljicu. Mrljica je poznata pod nazivom Eskimo maglica. To je još jedna planetarna maglica s bijelim patuljkom u sredini. Iduće je zviježđe Raka, slabo je vidljivo. Najzanimljiviji dio zviježđa je skup Beehive, vidljiv golim okom i nalazi se u središtu zviježđa. Nakupina zvijezda udaljena je 520 svjetlosnih godina, a stara oko 400 milijuna godina. Skupovi Beehive i Hijade miču se istom brzinom u istom smjeru. Lav Najsjajnija zvijezda je Regul. Regul je dvostruka zvijezda koja ima zlatno žutog pratioca. I γ (gamma) Lava, Algieba, je dvostruka zvijezda, udaljene su 90 svjetlosnih godina. Glavu Lava čine zvijezde u obliku srpa. Prije 4500 godina, u doba Egipćana, Lav je bio najsjevernije zodijačko zviježđe. U vrijeme ljetnog suncostaja Sunce se nalazilo u Lavu. Egipćani su smatrali da Bog Sunce daje posebnu snagu lavu i zato su mu gradili velike kipove i poštivali ga. Djevica Najsjajnija zvijezda Djevice je Spika. Cijeli dio iznad Djevice, obitelj je zvijezda koje su od nas udaljene 250 svjetlosnih godina. Jato u Djevici je veliki skup galaksija, 100 sjajnijih i preko 2000 blijeđih. Škorpion, Vaga i Zmijonosac Zviježđe Škorpiona dominira na ljetnom noćnom nebu. Antares predstavlja srce škorpiona. U zviježđu Škorpiona nalazi se M4, kuglasti skup zvijezda. µ Škorpiona je binarna plava zvijezda, dvije zvijezde udaljene su gotovo jednu svjetlosnu godinu. Dva otvorena skupa, M6 i M7 također se nalaze u zviježđu Škorpiona i primjeri su najljepših skupova plavih zvijezda. Ovakvi skupovi raziđu se nasumičnim događajima i to što su zvijezde još uvijek tako grupirane govori da su skupovi relativno mladi. Zviježđe je prije bilo veće. Rimljani su mu odrezali štipaljke i stvorili novo zviježđe zodijaka, Vagu, kako bi se uklopilo u njihov novi kalendar s dvanaest mjeseci. Dvije najsjajnije 17

18 zvijezde zviježđa Vage zovu se Zubeneschamali (Sjeverna štipaljka) i Zubenelgenubi (Južna štipaljka). Južna štipaljka je prava binarna zvijezda, obje zvijezde su na udaljenosti od 65 svjetlosnih godina. Veliko zviježđe iznad Škorpiona je Zmijonosac. Kroz njega prolazi zviježđe Zmija, glava Zmije je na jednoj, a rep na drugoj strani Zmijonosca. Strijelac Središte naše galaksije nalazi se u zviježđu Strijelca. Kada gledamo u smjeru središta galaksije zapravo vidimo susjedni krak. S našeg položaja nije vidljivo cijelo zviježđe, ali vidi se asterizam Čajnik i Žličica. Zviježđe izgleda kao kentaur koji se sprema strelicom pogoditi divovskog škorpiona pokraj njega. Svjetlije područje Mliječnog puta, koje kao da izlazi iz čajnika, centar je galaksije. Dalekozor otkriva Maglice Lagunu i Trifid. To su difuzne maglice, oblaci plina i prašine unutar kojih se rađaju zvijezde. Ovo je područje bogato mladim zvijezdama i maglicama. Jedino drugo područje s ovoliko rodilišta je Orion i njegova susjedna zviježđa. Lijevo od vrha čajnika, dalekozorom možemo vidjeti mrlju svjetlosti, M22. Teleskopom vidimo kuglu s pola milijuna zvijezda, udaljene 9600 svjetlosnih godina. M22 je nama najbliži kuglasti skup zvijezda. Vodenjak i Jarac Jarac je jako slabo zviježđe i moramo se jako potruditi da bi ga vidjeli. α Jarca, znana i kao Algedi, ima vrlo bliskog susjeda, ali samo prividno. Manje sjajna zvijezda, desno, pet je puta udaljenija i svaka od njih je dvostruka zvijezda. Iznad Jarca i ispod velikog Pegazovog četverokuta nalazi se još jedno zviježđe zodijaka, 18

19 Vodenjak. Jednako je slabog sjaja kao i Jarac. Vodenjak rastače vrč vode u samostojeću urnu. Sama figura vodenjaka je ravna crta iznad zviježđa Jarca. Njegov vrč vode, izgleda kao Y, je najprepoznatljiviji dio zviježđa. Urna je smještena odmah ispod vrča. Usamljena zvijezda na nebu smještena ispod Vodenjaka, zvijezda je prve magnitude, Fomalhaut, predstavlja oko Južne ribe. Južna riba nije zviježđe zodijaka. Ribe i Ovan Zviježđe Riba još je jedno, slabo vidljivo, zviježđe zodijaka. U ovom zviježđu imamo jedan poznati asterizam, Kružić, mali kružić koji predstavlja jednu od riba. Ostatak zviježđa ima oblik slova V. Zvijezda označena TX je crvena zvijezda, već je jako dugo crveni div koji od helija, nastalog sagorijevanjem vodika, stvara ugljik. To znači da je jako stara zvijezda. Iduće zviježđe zodijaka je Ovan. Najlakše vidljiv dio su tri sjajnije zvijezde koje, kao da se savijaju u obliku ovnovih rogova. Iznad Ovna je zviježđe Trokut. Ovo zviježđe sadrži galaksiju M33. Malo je udaljenija od Andromedine galaksije no i ona pripada našoj lokalnoj grupi, velika je i blijeda te se teško vidi čak i teleskopom. Bik Lice Bika sastoji se od skupa zvijezda koje izgledaju kao slovo V. Najsjajnija zvijezda zviježđa je Aldebaran. Na bikovom ramenu nalazi se skup zvijezda, sedam sestrica ili Plejade. Dalekozorom ili teleskopom vidimo da se tamo nalazi mnogo više od sedam zvijezda. Plejade su skup zvijezda rođenih iz istog oblaka plina i prašine, još imaju malo prašine koja daje plavičastu svjetlost oko zvijezda. Udaljene su 400 svjetlosnih godina i stare 100 milijuna godina. Tri puta bliži je skup Hijade. Udaljene 130 svjetlosnih godina, one čine lice Bika. Aldebaran nije dio skupa i udaljen je od nas 65 svjetlosnih godina. Otvoreni zvjezdani skupovi su inače mutne mrljice na nebu, no Hijade su velike i razlučive jer su blizu. Skup se sastoji od oko 400 zvijezdi rođenih u istom oblaku plina i prašine te se pomiču istom brzinom u istom smjeru. Odmiču se od nas putujući prema Betelgezu. 19

20 Putem Mliječne staze Mliječna staza vidljiva je bilo koje vedre noći, ali na izuzetno vedru i mračnu noć daleko od grada i svjetlosnog zagađenja, Mliječna staza svjetli plavkasto - ljubičastim svjetlom. Orao, Labud i Lira Ljetni trokut Neka najzanimljivija zviježđa nalaze se, prividno, na Mliječnoj stazi. Krenemo od Škorpiona i Strijelca dolazimo do Orla. Najsjajnija zvijezda, Altair, jedna je od tri zvijezde ljetnog trokuta, udaljen je 16 svjetlosnih godina. µ Orla, još je jedna Cefeida s periodom od 7 dana, jedna je od tri Cefeide vidljive golim okom. Dalekozorom, zapadno od orlovog repa, možemo pronaći skup Divljih pataka. Gusti skup koji u sredini ima grupu zvijezda nalik na slovo V. Iduće zviježđe je Labud. Ovo zviježđe je poznati sjeverni križ koji u božićno vrijeme stoji pravilno postavljen na bazi, vidljiv na sjeverozapadnom horizontu. Deneb je zvijezda na repu labuda, udaljen je 2600 svjetlosnih godina i jedna je od tri zvijezde ljetnog trokuta. Prividne magnitude jednak Altairu, no puta je sjajniji i 150 puta udaljeniji. Da je blizu kao Altair, bio bi vidljiv i danju, jedna je od najvećih poznatih zvijezda. Albireo, glava labuda, je prekrasna binarna zvijezda, teleskopom razlučujemo žutu i plavu zvijezdu. Istočno od Orla vidimo zvijezde postavljene u mali romb sa repom, to je zviježđe Dupina. Pokraj Dupina malo je i blijedo zviježđe Ždrijebe. Između Orla i Labuda smjestila se Strelica. Kada dalekozorom pronađemo zviježđe Strelice krenemo prema sjeverozapadu i pronaći ćemo Vješalicu, zanimljiv zvjezdani skup. Iznad Strelice nalazi se skup zvijezda u obliku slova M i ravno ispod središnjeg vrha slova M nalazi se maglica Dumbbell, no za vidjeti maglicu potreban je teleskop. Maglica Dumbbell je planetarna maglica, ranim astronomima izgledala je kao planet, no nema nikakve veze s planetima. Planetarne maglice su ono što ostane kada crveni div ostane bez goriva i uruši se u sebe, a vanjski slojevi zvijezde rasprše se u svemir. U središtu planetarnih maglica nalaze se plavi ili bijeli patuljci. Dakle, difuzne maglice su rodilišta zvijezda, a planetarne maglice su umrle zvijezde. Pokraj Labuda nalazi se zviježđe Lira, s poznatom zvijezdom Vega. Vega je filmska zvijezda, dom vanzemaljaca u filmu Kontakt snimljenom prema romanu Carla Sagana. Njena magnituda je 0 i udaljena je 25 godina svjetlosti. Sada smo upoznali sve tri zvijezde ljetnog trokuta, Altair, Deneb i Vega. ε (epsilon) Lire binarna je zvijezda, svaka od tih dviju zvijezda isto 20

21 je binarna, te četiri zvijezde nazivamo double-double, nastale su u istoj maglici. Vrtloženja u maglici su bila toliko jaka da su se stvorile dvije protozvijezde, a svaka od njih uslijed snažnih rotacija rastavila se na dvije zvijezde. β (beta) Lire varijabilna je zvijezda. Ova vrsta varijabilne zvijezde zove se pomrčinska zvijezda to su dvije zvijezde koje se kreću oko zajedničkog centra mase u periodu od 13 dana. Svakih pola perioda jedna zvijezda postavi se ispred druge i spusti se sjaj. Između β i γ Lire teleskopom vidimo poznatu planetarnu maglicu Prsten, M57. Gledajući u smjeru Labuda gledamo niz naš lokalni krak, koji je mala grana u usporedbi sa strijelčevom. Kada gledamo u pravcu Kasiopeje gledamo u vanjski krak naše galaksije. Legenda o Andromedi Idući u nizu na putu po Mliječnoj stazi su Cefej i Kasiopeja, Andromedini roditelji. Na jesenskom nebu dominira veliki Pegazov četverokut. Zvijezde četverokuta su slabog sjaja, ali uočljive jer se nalaze na djelu neba bez posebno sjajnih zvijezda. Okretanjem Zemlje oko Sunca zaokrenuli smo se toliko da sada gledamo prema južnom dijelu naše galaksije. Gornja lijeva zvijezda Pegazovog četverokuta dio je zviježđa Andromeda, točnije Andromedina glava. Ostatak Andromede su dvije zakrivljene linije koje se kreću na sjeveroistok. Od Andromedine glave dođemo do idućeg para zvijezda, pa još jednog. Slijedeći liniju koja povezuje te dvije zvijezde nailazimo na Andromedinu galaksiju. Ponekad je lakše vidjeti galaksiju kada ne gledamo direktno u nju nego malo pokraj, a ako su dobri uvjeti i imamo teleskop, pored velike Andromedine galaksije, možemo uočiti i dvije manje. To su njezini sateliti galaksije. γ (gamma) Andromede je dvostruka zvijezda, sjajnija je žuto narančasta, a druga je plavo zelena. Legenda počinje Andromedinom majkom Kasiopejom. Kasiopeja je bila poznata po svojoj ljepoti, ali to joj nije bilo dovoljno. Naokolo je govorila kako je ljepša čak i od Nereida. Čuvši to, Nereide su se požalile Posejdonu, bogu mora, koji je poslao velikog čudovišnog Kita da unese nemir u kraljevstvo. Zviježđe Kita možemo vidjeti na istočnom horizontu. 21

22 U kraljevstvu Kit radi probleme, a Cefej odlazi do proroka koji mu kaže da će smiriti morsko čudovište tako da žrtvuje svoju kćer. Nažalost, Kralj je poslušao savjet i privezao Andromedu za stijenu da čeka Kita. Da bi spasio Andromedu, dolazi Perzej. Zviježđe Perzeja nalazi se pod Andromedinim nogama. Glavu mu čini trokut zvijezda, jasno je zviježđe i vrlo prepoznatljivo. Čovjek od akcije, vraćajući se od svoje pobjede nad Meduzom, nailazi na svezanu Andromedu. Perzej je spasio Andromedu od čudovišnog Kita tako što mu je pokazao glavu Meduze Gorgone i kit se odmah pretvorio u kamen. Perzej je prikazan kako u ruci drži Meduzinu glavu, vražja zvijezda, Algol, predstavlja Meduzino oko. Algol je dvojna, pomrčinska zvijezda. Najbolji skup u Perzeju je Double Cluster, na pola puta do Kasiopeje. Može ga se naći dalekozorom, ali isplati se vidjeti i teleskopom. Skup bliži Perzeju je stariji, to je vidljivo tako što ima 3 crvena diva, a u skupu bližem Kasiopeji još nema crvenih divova. Perzej putuje na svom krilatom konju Pegazu, zviježđe Pegaza jednostavno je za pronaći. Veliki Pegazov četverokut tijelo je konja, na suprotnoj strani od Andromede nalazi se glava, a na susjednom vrhu četverokuta nalaze mu se prednje noge. Zviježđe predstavlja samo prednju polovicu krilatog konja. Zimski šesterokut Slijedeći Mliječni put dolazimo do zimskog dijela neba. Zimski šesterokut sastoji se od šest sjajnih zvijezda, Kapela, Poluks, Procion, Sirius, Rigel i Aldebaran. Aldebaran i Poluks su zvijezde zodijačkih zviježđa Bik i Blizanci. Kapela je najsjajnija zvijezda Kočijaša. Kočijaš je prikazan držeći malo jare u rukama koje je predstavljeno malim trokutom odmah do peterokuta Kočijaša. Kapela je bitna za navigaciju jer je jedna od najsvjetlijih zvijezdi na našem nebu i vidljiva je gotovo cijelu godinu. 22

23 Kako Kočijaš leži na Mliječnom putu sadrži zanimljive skupove zvijezda. Dalekozorom ili bolje teleskopom, gledajući u te mutne mrljice vidjet ćemo zanimljive skupove zvijezda. M36 deset je puta udaljeniji od Plejada, sastoji se od sjajnih plavih zvijezdi i vrlo je mlad. Na desnoj strani nalazi se M38. U skupu se nalazi žuta zvijezda starija od ostalih plavih. M38 stariji je od M36. Nasuprot M36 nalazi se M37, velik skup, stariji i od M38. Sva tri skupa nalaze se na otprilike istoj udaljenosti od oko 4000 svjetlosnih godina i procjenjuje se da sadrže oko 100 zvijezda. Procion je najsjajnija zvijezda Malog psa, udaljena je 12 svjetlosnih godina. Rigel pripada zviježđu Oriona, najsjajnijem zviježđu na nebu. Orion je bio veliki lovac, smrtni neprijatelj Škorpiona, to je razlog zašto su smješteni na suprotnim stranama neba. U kasno proljeće kada se Orion spušta ispod horizonta, Škorpion proviruje gledajući ako je zrak čist. Dvije najsjajnije zvijezde Oriona su, lijevo rame ili Betelgeuse i Orionovo koljeno ili Rigel. Betelgeuse je crveni super div, udaljen je oko 500 svjetlosnih godina, kao i Antares, crveni super div u Škorpionu. Smješteni su na suprotnim stranama pa se mi nalazimo točno između njih. Gledajući zviježđe Oriona možemo zamisliti mač koji visi s pojasa. Vrh mača sjajna je difuzna maglica, Velika Orionova maglica, M42. Područje Oriona i okolnih zviježđa je bogato maglicama i mladim zvijezdama. Postoji još jedno slično područje i nalazi se u okolici Strijelca. M42 jasno se vidi teleskopom, a moguće ju je vidjeti i bez pomagala pri idealnim uvjetima. Što dulje promatramo to ćemo vidjeti više detalja. U središtu maglice razlučujemo četiri zvijezde, nazivamo ih Trapez. Njihova energija osvjetljava cijelu maglicu koja je od nas udaljena 1500 svjetlosnih godina. Područje kroz koje se prostire široko je 5 do 6 godina svjetlosti. Odmah iznad nalazi se manja maglica, M43. Pokraj njih nalazi se i NGC Kako smo rekli, ovo područje bogato je maglicama pa se ovdje nalazi i M78, malo iznad Orionovog pojasa. Najsjajnija zvijezda našeg noćnog neba je najsjajnija zvijezde zviježđa Veliki pas, Sirius. Sirius je druga najbliža zvijezda vidljiva bez pomagala. Udaljena je 9 svjetlosnih godina. Bliža je samo Alpha Centauri koja je udaljena 4 svjetlosne godine, no vidljiva je samo na južnoj hemisferi. Ako gledamo dalekozorom na mjesto gdje bi bilo srce psa naići ćemo na skup zvijezda, M41. Ovaj skup je dosta sjajan i udaljen je 2400 sjvetlosnih godina. Odmah pokraj Velikog psa, a ispod Oriona nalazi se zviježđe Zec. 23

24 Okolica Volara Slijedeći dršku Velikih kola dolazimo do Arktura, najsjajniije zvijezde Volara. Volar je pastir i čuvar medvjeda. Pored Volara nalazi se sjeverna kruna. Najsjajnija zvijezda je α (alfa) Sjeverne krune, Gemma. Ova zvijezda je u istoj grupi zvijezda kao i većina zvijezda Velikog medvjeda. Ta je skupina nama najbliži skup zvijezda i kreću se u istom smjeru. Skup je udaljen 75 svjetlosnih godina. S druge strane Volara dvije su zvijezde, sjajnija je Cor Caroli (Srce kralja Karla II). Te dvije zvijezde čine zviježđe Lovački psi. Cor Caroli je dio asterizma zvanog Četverokut Djevice, sačinjavaju ga Cor Caroli, Denebola (Lav), Spika (Djevica) i Arktur (Volar). Na istoj strani nalazi se i zviježđe Berenikina kosa. Nekada su te zvijezde predstavljale čupavi lavlji rep. Berenikina kosa je zviježđe čija se legenda temelji na događajima 200 godina prije naše ere kada je u Egiptu vladao kralj Ptolomej. Kada su Asirci ubili njegovu sestru krenuo je s vojskom osvetiti njenu smrt. Kako su Asirci imali lošu reputaciju, kraljica Berenika obećala je Afroditi da će odrezati svoju prekrasnu kosu ako se Ptolomej sigurno vrati kući. Kralj se vratio kući i kraljica je odrezala svoju kosu. Odmah te noći kosa je ukradena iz hrama no kraljevi astronomi spasili su stražu od sigurne smrti pronašavši dio neba na kojem je, zadovoljna Afrodita, smjestila kraljičinu kosu. Galaktički pol naše galaksije nalazi se u zviježđu Berenikina kosa, pa gledajući u tom smjeru vidimo izvan naše galaksije. Zviježđe Herkul Još jedan poznati nebeski asterizam "The Keystone", pripada zviježđu Herkula. Zvijezda koja predstavlja glavu Herkula, α Herkula, crveni je superdiv. Dobrim teleskopom možemo primjetiti kako ova zvijezda ima plavo-zelenog pratioca. U zviježđu Herkula nalazi se najsjajniji kuglasti skup sjeverne hemisfere, M13. Sadrži milijun zvijezda, udaljen je svjetlosnih godina i star je 10 milijardi godina što znači da je nastao prije diska naše galaksije. Kuglasti skupovi veći su i stariji od otvorenih. Zviježđe Herkul legendama je vezano uz mnoga zviježđa budući je kao Zeusov sin imao nadljudske sposobnosti i činio razna djela poput potrage za Zlatnim runom gdje je vezan uz zviježđe Ovna, zatim uz zviježđe Lava koji predstavlja Nemejskog lava kojeg je usmrtio u jednom od svojih 12 zadataka. 24

25 Hidra, Vodena zmija Ispod blijedog zviježđa Raka nalazi se šest zvijezda. Tih šest zvijezdi čine glavu, dva oka, dve nosnice i dvije zvijezde za početak vrata najvećeg zviježđa noćnog neba, zviježđa Hidre. Krenimo niz zviježđe do srca Hidre, zvijezda je poznata kao Alphard ili usamljena zvijezda. To je zvijezda crveni div, zvijezda pri kraju svog životnog puta. Dalje niz Hidru nailazimo na planetarnu maglicu naziva Jupiterov duh. Krećući se niz Hidru nailazimo na zviježđe Pehar. Nakon Pehara nailazimo na Gavrana. Zviježđe ne liči na pticu, ali se poklapa sa starom pričom kada Apolon daje gavranu pehar da mu donese vode. Gavran je stao pojesti smokve i vratio se jako kasno. Izmislio je laž o zmiji koja ga je zadržala na putu, ali Apolon nije povjerovao pa je smjestio gavrana i pehar na nebo u blizini zmije. U blizini Gavrana nalazi se galaksija Sombrero. Niz Hidrin rep pronaći ćemo još jednu galaksiju, M83, udaljenu 10 milijuna svjetlosnih godina. 25

26 4. Promatranje planeta i ostalih objekata Sunčevog sustava Osim objekata dubokog svemira, zanimljivi objekti za promatranje nalaze se i u našem Sunčevom sustavu. Zbog načina nastanka Sunčevog sustava svi planeti kruže u gotovo istoj ravnini koju nazivamo ekliptika, a zviježđa kojima prolaze nazivamo zviježđa Zoodijaka. Pri dužim promatranjima tih zviježđa nerijetko možemo opaziti zvijezdu čija se pozicija mijenja u odnosu na ostale zvijezde, te tu zvijezdu se sigurnošću možemo nazvati zvijezda lutalica, odnosno planet. Razlika između zvijezde i planeta uočljiva je u treperenju ili scintilaciji. Zvijezde, zbog svoje udaljenosti čine točkasti izvor svjetlosti, dok bliži objekti, planeti, izgledaju poput diskova. Zraka svjetlosti koja dolazi sa zvijezde lomi se prolaskom kroz različite slojeve atmosfere i čini nam se kako treperi. Kod planeta, odnosno diskova, trepere samo rubovi što je našem oku teško primjetiti i zato sjaje mirnim, a ne treperavim sjajem. Ponekad možemo vidjeti dva ili više planeta na istoj liniji gledanja i tu pojavu nazivamo planetarna konjunkcija. Druga pojava, okultacija, dogodi se kada jedno nebesko tijelo prođe ispred drugog, kao npr. Mjesec ispred Jupitera. Merkur i Veneru nazivamo unutarnji planeti jer se, s obzirom na Zemlju, nalaze bliže Suncu. Kutna udaljenost Sunca od planeta naziva se elongacija, a najbolje vrijeme za promatranje unutarnjih planeta je kada se nalaze u maksimalnoj elongaciji, odnosno kada su najudaljeniji od Sunca, s naše točke gledanja. Vidljivi su i bez pomagala no samo u sumrak nakon što Sunce zađe ili u zoru prije no što Sunce izađe. Zbog svoje lokacije mogu biti poravnati sa Suncem i tu pojavu nazivamo tranzit. Tada se planet nalazi ispred Sunca i disk planeta kao da putuje preko Sunčevog diska. Zato što su unutarnji planeti, Merkur i Venera pokazuju nam faze poput Mjeseca. Merkur je teško promatrati jer se uvijek nalazi vrlo blizu Sunčevog diska i iz tog je razloga vidljiv samo kada nebo još nije dovoljno tamno. Venera je najveća i najsjajnija u fazi srpa te se tada faza može vidjeti pogledom kroz dalekozor. Nakon Sunca i Mjeseca, Venera je najsjajniji objekt na nebu. Vidljiva je nešto duže od Merkura jer je malo udaljenija od Sunca. 26

27 Osim unutarnjih planeta bez pomagala moguće je vidjeti i vanjske planete Mars, Jupiter i Saturn. Najbliže Zemlji nalaze se u opoziciji, vidljivi su cijelu noć te ih je tada najbolje promatrati. Pri pogledu na Mars odmah zapažamo jaku crveno-narančastu boju. Vrlo brzo se kreće kroz zviježđa od zapada prema istoku. Kada se približava opoziciji, kao da se počinje gibati unatrag prema zapadu. Takvo gibanje naziva se retrogradno gibanje i karakteristično je za vanjske planete kada ih Zemlja, koja se brže giba, pretekne na svom putu oko Sunca. Jupiter ima vrlo visok sjaj te svojim sjajem može zasjeniti i najsjajniju zvijezdu noćnog neba, Sirijus. U opoziciji se nalazi svakih 13 mjeseci. Pri pogledu dalekozorom zapažamo i 4 najveća satelita (Io, Europa, Ganimed i Kalisto) te možemo pratiti njihovu putanju oko Jupitera. Jupiterove oluje i pojasevi vidljivi su isključivo kroz teleskop. Saturn je planet najpoznatiji po svojim prstenovima koje je moguće vidjeti samo kroz teleskop, no malo izduženiji disk (nisu razlučivi prstenovi) moguće je vidjeti i dalekozorima većih povećanja. Promatran golim okom Saturn izgleda poput blijedo žućkaste zvijezde. U opoziciji se nalazi svakih 54 tjedana. Najudaljenije planete, Uran i Neptun, nije moguće vidjeti bez pomagala. Iako izgledaju poput plavkastih zvijezda malog sjaja učestalim promatranjem moguće je pratiti njihov pomak u odnosu na pozadinske zvijezde. U opoziciji se nalaze jednom godišnje, ali razlika u magnitudi nije jako primjetna. Za astronomska promatranja uvijek se veže noćno nebo i često zaboravljamo nama najbližu zvijezdu Sunce. Promatranje Sunca može biti vrlo opasno i zato moramo biti oprezni. Gledajući zvijezdu magnitude -26,7 golim okom možemo oštetiti oko i stoga nikada ne smijemo gledati direktno u Sunce bilo golim okom bilo dalekozorom ili teleskopom. Za sigurna promatranje postoji više metoda. Jedna od metoda je promatranje filterom. Postoji velik broj solarnih filtera koji propuštaju samo jedan dio Sunčevog zračenja pa se nekima mogu vidjeti pjege, nekima prominencije, nekima granulacija i slično. Druga metoda je metoda projekcije kojom sliku Sunca iz okulara projeciramo na bijeli karton. 27

28 Promatranje Sunca daleko je najzanimljivije za vrijeme pomrčine Sunca. Pojavu kada se Sunce, Mjesec i Zemlja poravnaju na način da se Mjesec nađe između Sunca i Zemlje te Mjesečev disk prekrije Sunčev disk, nazivamo pomrčina Sunca. Ima nekoliko vrsta pomrčina Sunca: djelomična, prstenasta i potpuna. Djelomična pomrčina nastaje kada Sunce, Mjesec i Zemlja nisu potpuno poravnati te Mjesec prekrije samo dio Sunčevog diska. Prstenasta pomrčina nastaje kada je Mjesec nešto udaljeniji od Zemlje (i Mjesec je prividno manji), a Zemlja nešto bliža Suncu (i Sunce je prividno veće) te tada Mjesec ne prekrije čitav Sunčev disk već ostane prsten Sunčevog diska oko Mjeseca. Potpuna pomrčina Sunca nastaje kada su Sunce, Mjesec i Zemlja poravnati, i kada su Sunčev i Mjesečev disk prividno iste veličine pa Mjesečev disk može potpuno prekriti Sunce. Trenutak prije totaliteta, kada još malo Sunčevog svjetla prolazi pored Mjeseca naziva se dijamantni prsten. Pri samom totalitetu moguće je i bez filtera gledati u smjeru Sunca te tada zamjećujemo Sunčeve prominencije. Nebo je toliko zamračeno da se mogu vidjeti svijetli planeti i najsjajnije zvijezde. Prvi trenutak nakon prestanka totaliteta pomrčine, kada Sunčeva svjetlost prolazi pokraj Mjesečevih planinskih vrhova naziva se Bailyjeva ogrlica. 28

29 Naš najbliži susjed Mjesec, kao i ostali prirodni sateliti i planeti, ne emitira vlastitu svjetlost već reflektira Sunčevu. Bez pomagala promatranjem Mjeseca uočavamo tamnije dijelove, mora i svjetlije dijelove koji čine udarne kratere i planinske masive. Dugotrajnim promatranjem možemo zamjetiti prolazak kroz faze, ali i kako nam Mjesec uvijek pokazuje istu stranu.. Kao i kod pomrčine Sunca kod pomrčine Mjeseca poravnati su Sunce, Zemlja i Mjesec samo što je sada Zemlja između Sunca i Mjeseca. Pomrčina Mjeseca nastane kada Mjesec uđe u Zemljinu sjenu. Ima nekoliko vrsta pomrčina Mjeseca: djelomična, pomrčina polusjenom i pomrčina sjenom. Pomrčina Mjeseca događa se uvijek u Uštapu, odnosno u fazi punog Mjeseca. 29

30 Tijek pomrčine možemo pratiti postupnim zamračivanjem Mjesečevog diska. Tijekom od nekoliko sati, Mjesec će ulaziti u Zemljinu polusjenu i zatim u sjenu kada će poprimiti lijepu crvenkastu boju. Iznenađujuće je koliko nebo potamni tijekom pomrčine, tada možemo vidjeti i tamnije zvijezde koje su inače zasijenjene Mjesečevom svjetlošću. Promatrajući dalekozorom ili teleskopom na Mjesečevoj površini vidljive su sjene kratera i planinskih lanaca, vidljiva su mora i zaljevi i još mnogo drugih detalja, ali samo ako Mjesec promatramo kada nije u Uštapu. Promatrati pri punom Mjesecu može biti razočaravajuće jer Sunčeva svjetlost pada okomito na Mjesec i nem nikakvih sjena kojima bi se istaknuli detalji na površini. Kada je Mjesec u nekoj fazi promatranje je zanimljivije i ako promatramo u okolici terminatora, granice osvjetljenog i neosvjetljenog dijela, jer tamo sjene daju lijep kontrast te se detalji lakše uočavaju. Ponekad se na nebu pojave i zvijezde repatice, odnosno kometi. Kometi su veliki komadi leda i prašine u orbiti oko Sunca. Kako se komet približava Suncu led se zagrijava, počinje se topiti i stvori se oblak pare oko jezgre. Kada se još više približi Suncu razvije lijepi i prepoznatljivi rep. Jezgre kometa orbitiraju na velikim udaljenostima negdje u Kuiperovom pojasu ili Oortovom oblaku i kada im nešto poremeti ravnotežu krenu prema Suncu. Za sobom, kao dio repa, ostavljaju komadiće prašine. Kada Zemlja, na svom putu oko Sunca, prolazi kroz zaostale komadiće prašine, komadići ulijeću u Zemljinu atmosferu velikom brzinom te sagorijevaju. Sjajni trag koji ostane za njima naziva se meteor. Svake noći možemo vidjeti desetak meteora, a postoji nekoliko perioda godišnje kada u jednoj noći vidimo velik broj meteora. Takvi meteori pripadaju rojevima. Rojevi ili kiše meteora javljaju se svake godine u isto vrijeme što olakšava pripremu za promatranje. Svaki roj ima točku na nebu iz koje prividno izlaze svi meteori, ta se točka naziva radijant. Roj dobije ime po zviježđu u kojemu se nalazi radijant. Najpoznatiji meteorski roj su Perzeidi, vidljivi su u kolovozu, a čine ih čestice koje je za sobom ostavio komet Swift-Tuttle. Ime roja Kvadrantidi Liridi Eta Akvaridi Delta Akvaridi Perzeidi Orionidi Leonidi Geminidi Datum vrhunca 4. siječanj 22. travanj 5. svibanj 29. srpanj 12. kolovoz 21. listopad 18. studeni 14. prosinac 30

31 Često pri promatranju naletimo i na svjetle točkice koje se pomiču. To nisu putujuće zvijezde već avioni ili sateliti u Zemljinoj orbiti. Ako točkica žmiga i jasno se vidi crveno i/ili zeleno svjetlo tada gledamo u avion. Ako točkica ne treperi tada je riječ o jednom od mnogih satelita koji kruže oko Zemlje. Mnogi prođu nezamijećeno jer su slabog sjaja, ali Međunarodna svemirska stanica (ISS) može biti sjajna poput Venere. Još jedna točkica može biti sjajnija od ostalih, a to je Kineska svemirska stanica, Tiangong. Osim putujućih točkica postoji i posebna skupina satelita, Iridium. Oblik Iridium satelita stvara pojavu koju nazivamo Iridium baklja. Svjetlost satelita, čim se pojavi, naglo pojača, bljesne i naglo nestane. 31

32 5. Atmosferske pojave Ponekad je zanimljivo gledati i samo osvjetljenje naše atmosfere. Kada svjetlost ili električki nabijene čestice sa Sunca dođu do naše atmosfere direktno ili reflektirane s Mjeseca, pri posebnim uvjetima proizvedu lijepe prizore. Kada električki nabijene čestice sa Sunca skliznu niz silnice Zemljinog magnetskog polja i dođu do atmosfere, međusobno se sudaraju te nastane polarna svjetlost. Polarna svjetlost vidljiva je samo s područja koja su blizu Zemljinog sjevernog ili južnog pola. Na sjevernoj polutci naziva se Aurora Borealis, dok se na južnoj naziva Aurora Australis. Boje koje vidimo ovise o sastavu i energiji čestica koje sudjeluju u sudarima. Zanimljiva pojava je i halo oko Sunca ili Mjeseca, a nastaje zato što nepravilno raspoređeni kristalići leda u višim slojevima atmosfere lome svjetlost sa Sunca ili Mjeseca. Najčešći halo je onaj promjera 22 oko Sunca ili Mjeseca. Ako su kristalići leda pravilno raspoređeni nastaju i svjetle mrlje na halou s obje strane Sunca ili Mjeseca. Takve pojave nazivamo Pasunca (sporedna Sunca) ili Pamjeseci (sporedni Mjeseci). Ponekad se pojavi i drugi halo koji prolazi kroz pasunca. Pamjeseci su rijeđa pojava jer Mjesec mora biti pun kako bi reflektirao dovoljno svjetlosti u atmosferu. 32

33 6. Mjesečne karte neba Karte koje slijede prikaz su noćnog neba, po mjesecima, vidljivog u večernjim satima (za ljetno računanje vremena dodati 1 sat). Svaki dan noćno nebo pomakne se za četiri minute u odnosu na prethodnu noć. Kroz mjesec dana 4 po 4 minute postanu gotovo dva sata razlike. Nebo koje smo gledali u siječnju u 22 sata, u veljači će biti vidljivo već u 20 sati. Zato za promatranje neba u 22 sata u siječnju možemo koristiti kartu za veljaču. Za bolje snalaženje među kartama, pripadajuća tablica prikazuje vezu datuma, sata i broja karte

34 Mali vodič kroz astrognoziju 1 34

35 Mali vodič kroz astrognoziju 2 35

36 Mali vodič kroz astrognoziju 3 36

37 Mali vodič kroz astrognoziju 4 37

38 5 Mali vodič kroz astrognoziju 38

39 Mali vodič kroz astrognoziju 6 39

40 Mali vodič kroz astrognoziju 7 40

41 Mali vodič kroz astrognoziju 8 41

42 Mali vodič kroz astrognoziju 9 42

43 10 Mali vodič kroz astrognoziju 43

44 11 Mali vodič kroz astrognoziju 44

45 Mali vodič kroz astrognoziju 12 45

ORIJENTACIJA NEBESKE SFERE (SVODA)

ORIJENTACIJA NEBESKE SFERE (SVODA) OSNOVE ORIJENTACIJE ORIJENTACIJA NEBESKE SFERE (SVODA) ODREĐIVANJE OSNOVNIH TOČAKA, PRAVACA, KRUŽNICA I RAVNINA NEBESKE SFERE ORIJENTACIJA NA NEBESKOM SVODU ASTROGNOZIJA POZNAVANJE OBJEKATA NA NEBESKOM

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa Claudius Ptolemeus (100-170) - geocentrični sustav Nikola Kopernik (1473-1543) - heliocentrični sustav Tycho Brahe (1546-1601) precizno bilježio putanje nebeskih tijela 1600. Johannes Kepler (1571-1630)

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Pitanja i zadaci za Školsko natjecanje iz astronomije 2012/ razred osnovne škole. 5. veljače ODGOVORI

Pitanja i zadaci za Školsko natjecanje iz astronomije 2012/ razred osnovne škole. 5. veljače ODGOVORI Pitanja i zadaci za Školsko natjecanje iz astronomije 01/013. 5. razred osnovne škole 5. veljače 013. ODGOVORI Zaokruži slovo ispred točnog odgovora (svaki točan odgovor boda): 1. Na našim geografskim

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Znašli? 1. Što je astronomska jedinica i koliko ona iznosi kilometara? Za ostale astronomske jedinice pogledaj pitanja 257. i 258.

Znašli? 1. Što je astronomska jedinica i koliko ona iznosi kilometara? Za ostale astronomske jedinice pogledaj pitanja 257. i 258. Znašli? 1. Što je astronomska jedinica i koliko ona iznosi kilometara? Za ostale astronomske jedinice pogledaj pitanja 257. i 258. 2. Da li zvijezde koje promatramo bilo s južnog, bilo sa sjevernog pola

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Rješenja PITANJA. A - zaokruži slovo ispred točnog odgovora! (svaki točan odgovor 2 boda)

Rješenja PITANJA. A - zaokruži slovo ispred točnog odgovora! (svaki točan odgovor 2 boda) HRVATSKO ASTRONOMSKO DRUŠTVO Državno povjerenstvo za školska natjecanja i susrete iz astronomije Pitanja i zadaci iz astronomije za županijsko natjecanje 00. 1. &. razred srednje škole Rješenja PITANJA

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

5. razred osnovne škole

5. razred osnovne škole 5. razred osnovne škole PITANJA Odgovori: 1. Kako se zove točka na nebeskoj sferi koja je suprotna zenitu? Nadir. Navedi planete u čijem imenu ima manje od 6 slova! Zemlja, Mars, Uran 3. Oko kojeg planeta

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

PITANJA. A - zaokruži slovo ispred točnog odgovora! (svaki točan odgovor 2 boda)

PITANJA. A - zaokruži slovo ispred točnog odgovora! (svaki točan odgovor 2 boda) HRVATSKO ASTRONOMSKO DRUŠTVO Državno povjerenstvo za školska natjecanja i susrete iz astronomije Pitanja i zadaci iz astronomije za županijsko natjecanje 003. 4. razred osnovne škole PITANJA A - zaokruži

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA.   Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

6 Primjena trigonometrije u planimetriji

6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

4. razred osnovne škole

4. razred osnovne škole 4. razred osnovne škole Zaokruži slovo ispred točnog odgovora! PITANJA. Zviježđa koja su uvijek iznad obzora (nikad ne zalaze) nazivaju se a) cirkumpolarna zviježđa b) zviježđa zodijaka c) zviježđa južnog

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja: Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos

Διαβάστε περισσότερα

1. razred srednje škole

1. razred srednje škole Zaokruži točan odgovor ili odgovori! 1. razred srednje škole PITANJA 1. Pomrčina Sunca je pojava koja može nastati samo kada je mjesec u fazi: a) uštapa b) mlađaka c) u zadnjoj četvrti. Poznati komet koji

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Prostorni spojeni sistemi

Prostorni spojeni sistemi Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα