NOGOMETNA MATEMATIKA

Transcript

1 NOGOMETNA MATEMATIKA Æeljko BrËiÊ, Vinkovci Lipanj je, kraj je πkolske godine i poëetak ljetnih praznika. No, umjesto da se priëa o ocjenama ili da se osmiπljavaju planovi za odlazak na more, svi govore o neëemu drugom. Je li bolji Ronaldinho ili Messi, hoêe li Brazil opet biti najbolji i mogu li "Vatreni" ponoviti uspjeh iz Francuske? Naravno, vrijeme je Svjetskog nogometnog prvenstva i svi priëaju samo o tome. Ne kaæe se uzalud da je nogomet najvaænija sporedna stvar na svijetu. No, kakve veze s tim ima atka? Ima, ima! U πkoli ste Ëuli da je matematika sveprisutna znanstvena disciplina koja ima veze sa svim na svijetu pa, naravno, i s nogometom. U Ëlanku koji Ëitate saznat Êete mnoge podatke iz povijesti dosadaπnjih svjetskih prvenstava, kao i one s natjecanja koje se upravo igra u NjemaËkoj, a u sve to ubaëena je - matematika. Svjetska nogometna prvenstva imaju dugu tradiciju. Igraju se svake Ëetvrte godine, a ovogodiπnje prvenstvo u NjemaËkoj osamnaesto je po redu. Primjer 1. Koje je godine odigrano prvo Svjetsko nogometno prvenstvo, ako se zna da su dva termina preskoëena zbog 2. svjetskog rata? Rjeπenje. Da su odigrana i ona dva odgoappleena prvenstva, ovo bi bilo 20. po redu, pa bi izmeappleu prvog i zadnjeg bilo 19 razdoblja po Ëetiri godine. Kako je 19$ 4= 76, a = 1930, slijedi da je prvo svjetsko prvenstvo bilo odigrano godine. Prvi domaêin bio je Urugvaj, a posljednje prvenstvo, ono iz godine, zanimljivo je iz dva razloga. Po prvi put odigrano je izvan Europe ili Amerike, a organizirale su ga zajedniëki dvije zemlje - Japan i Juæna Koreja. I joπ jedna zanimljivost: svaki put kad se prvenstvo igralo izvan Europe, prvak je bio iz Juæne Amerike. Svaki put kada se igralo u Europi, prvak je bila neka europska reprezentacija. Jedina iznimka dogodila se godine kada se igralo u vedskoj, a pobjednik je bio Brazil. Primjer 2. Ne raëunajuêi ovogodiπnje prvenstvo, u Europi je odigrano jedno natjecanje viπe nego u ostatku svijeta. Naslov najboljih na svijetu do sada je nosilo samo 7 dræava, od kojih je uvjerljivo najbolji Brazil, s 5 naslova, a zatim slijede dvije zemlje s po tri osvojena prvenstva. Koliko svjetskih prvaka dolazi iz Europe, a koliko iz Juæne Amerike? Rjeπenje. Do sada je odigrano 17 svjetskih prvenstava, od Ëega u Europi 9, a izvan nje 8. Zbog ranije navedene iznimke, Europa ima 8 naslova, a Juæna Amerika 9. Uz pet brazilskih, Amerika ima joπ Ëetiri naslova. Pri tome imamo tri moguênosti: Postoje Ëetiri zemlje koje su osvajale po jedan naslov. Slijedi da Europa ima samo dva svjetska prvaka, a onda bi barem jedan od njih morao imati naj- 222 atka 15 (2006.) br. 56

2 manje Ëetiri naslova, πto nitko nema. Postoji jedna zemlja s tri i dvije zemlje s po jednim naslovom. Europa bi onda imala tri svjetska prvaka koji su naslov osvajali 8 puta. Jedina moguênost je da su dvije zemlje osvojile naslov tri puta, a jedna dvaput, no to nije moguêe jer bio onda postojale tri zemlje s trostrukim naslovom. Dakle, toëna je tek treêa moguênost: u Juænoj Americi postoje dvije dræave koje su naslov osvajale po dva puta (usput, to su Urugvaj i Argentina). Ostala Ëetiri svjetska prvaka dolaze iz Europe, i to dvije dræave s tri naslova (to su Italija i NjemaËka), te dvije zemlje s jednim naslovom prvaka (Engleska i Francuska). Hrvatska je, od osamostaljenja, sudjelovala na dva svjetska prvenstva u nogometu. U svom premijernom nastupu, godine u Francuskoj, osvojili smo treêe mjesto i bronëanu medalju, a Ëetiri godine kasnije, na svjetskoj nogometnoj smotri u Japanu i Juænoj Koreji, bili smo treêi u skupini i nismo se plasirali u daljnje natjecanje. U Francuskoj smo se u prvom dijelu natjecanja borili s Argentinom, Jamajkom i Japanom, a tablica je nakon πest odigranih susreta, izgledala ovako: 1. Argentina : Hrvatska : Jamajka : Japan : 4 0 Primjer 3. Iz gore navedene tablice rekonstruirajmo rezultate svih utakmica odigranih u naπoj skupini? Rjeπenje. U skupini oëito nije bilo nerijeπenih rezultata, Argentina je pobijedila sve suparnike, Japan je od svih izgubio, a Hrvatska je u borbi za drugo mjesto pobijedila Jamajku. Iz gol-razlika Japana 1:4 zakljuëujemo da je Japan jednu utakmicu izgubio 1:2, a preostale dvije 0:1. BuduÊi da Argentina nije dobila ni jedan gol, rezultat utakmice Argentina - Japan bio je 1:0. Kada bi Japan izgubio od Hrvatske s 1:2, a od Jamajke 0:1, gol-razlika ekipa bez susreta s Japanom bila bi: Argentina 6 : 0 Hrvatska 2 : 1 Jamajka 2 : 9 BuduÊi da Argentina nije primila nijedan gol, to bi znaëilo da je Hrvatska svoja dva gola dala Jamajci, a Jamajka svoja dva Hrvatskoj, odnosno da je rezultat Hrvatska - Jamajka bio 2:2. To nije moguêe jer nerijeπenih susreta nije bilo. ZnaËi, poëetna pretpostavka nije bila toëna, nego su toëni rezultati Hrvatska - Japan 1:0 i Jamajka - Japan 2:1. atka 15 (2006.) br

3 Dalje zakljuëujemo ovako: Hrvatska je dala ukupno 4 gola: Japanu 1, Argentini nijedan, a ostala 3 dobila je Jamajka. Jamajka je dala 3 gola: Japanu 2, Argentini 0, a preostali gol dobila je Hrvatska. Imamo, dakle, joπ jedan rezultat: Hrvatska - Jamajka 3:1. U susretima s Japanom i Jamajkom Hrvatska ima gol-razliku 4:1, πto znaëi da je naπ treêi rezultat bio Argentina - Hrvatska 1:0. I na koncu, Argentina je i Japanu i Hrvatskoj dala po jedan gol, πto znaëi da je posljednji rezultat bio Argentina - Jamajka 5:0. A sada recimo neπto o ovogodiπnjem prvenstvu. Utakmice Êe se igrati u 12 njemaëkih gradova, od najsjevernijeg Hamburga do najjuænijeg Münchena. Najviπe gledatelja, toëno , prima Olimpijski stadion u Berlinu, gdje Êe se 9. srpnja odigrati finalna utakmica. Naravno, svi stadioni na kojima Êe se odigravati nogometni susreti zadovoljavaju stroge meappleunarodne standarde koji, izmeappleu ostalog, propisuju da duljina igraliπta ne smije biti manja od 100 metara, a πirina manja od 65 metara. Primjer 4. Kolike su dimenzije najveêeg moguêeg terena ako je njegova povrπina za 1750 m 2 veêa od povrπine minimalnog terena, pri Ëemu su i duljina i πirina igraliπta poveêane za isti broj metara? Rjeπenje. Pri rjeπavanju zadatka pomoêi Êe nam skica: x m p 1 = 100x p 3 = x 2 65 m p 2 = 65x 100 m x m Dio za koji se poveêala povrπina nogometnog igraliπta (1750 m 2 ) moæe se podijeliti na tri dijela; dva pravokutnika i jedan kvadrat. Povrπine tih Ëetverokuta mogu se izraziti pomoêu dimenzija manjeg terena i veliëine od x metara, za koliko smo poveêali i duljinu i πirinu igraliπta. Treba, dakle, rijeπiti jednadæbu x x + 65x = 1750, odnosno x x = 0. Srednjoπkolci Êe jednadæbu lako rijeπiti poznatom formulom, a osnovnoπkolci mogu dobiti rjeπenje rastavljanjem srednjeg Ëlana i faktorizacijom: 224 atka 15 (2006.) br. 56

4 x x - 10x = 0 x$ ( x+ 175) - 10$ ( x+ 175) = 0 ( x+ 175) $ ( x- 10) = 0 Prvo rjeπenje x=- 175, oëito nema smisla, pa je jedino rjeπenje x= 10m. Dakle, dimenzije najveêeg moguêeg terena su 110 metara i 75 metara. Pred poëetak prvenstva svaki je izbornik morao Svjetskoj nogometnoj federaciji (FIFA) poslati popis 25 nogometaπa koje vodi na natjecanje. Za svaku pojedinu utakmicu izbornik bira 18 nogometaπa, od kojih 11 poëinje susret. Primjer 5. Na koliko raznih naëina izbornik moæe posloæiti sastav za jednu utakmicu? Rjeπenje. IzraËunajmo najprije na koliko se naëina mogu izabrati poëetna 11-torica. Treba napomenuti da se utakmica ne moæe igrati bez golmana, pa zapravo imamo 22 igraëa i 3 golmana, od kojih biramo 10 igraëa i 1 golmana. Prvog igraëa moæemo izabrati na 22 naëina (to moæe biti bilo koji igraë), drugog na 21 naëin (bilo tko, osim veê izabranog), treêeg na 20 naëina itd... Ukupan broj izbora igraëa prvoga tima je 22$ 21$ 20$... $ 13. To sve treba joπ pomnoæiti s 3 jer utakmicu moæe zapoëeti bilo tko od tri golmana. Nakon πto smo izabrali prvotimce, izaberimo joπ i 7 priëuvnih igraëa, meappleu kojima mora biti jedan golman. Preostalo nam je joπ 12 igraëa i 2 golmana pa, prema veê ranije navedenom principu, to moæemo uëiniti na 12$ 11$ 10$ 9$ 8$ 7$ 2 naëina. KonaËno, ukupan broj naëina na koje izbornik moæe sastaviti momëad (prvu postavu i priëuve na klupi) je 22$ 21$ 20$ 19$ 18$ 17$ 16$ 15$ 14$ 13$ 12$ 11$ 10$ 9$ 8$ 7$ 3$ 2. RijeË je o priliëno velikom broju: , pa ne treba Ëuditi πto izbornici Ëesto imaju mnoge dvojbe pri izboru igraëa. Nakon pet rijeπenih primjera, slijedi joπ deset zadataka za samostalni rad. Pokuπajte ih rijeπiti nakon πto ste na televiziji odgledali neku od utakmica Svjetskog nogometnog prvenstva, a zatim odigrali "hakl" s ekipom iz ulice. Nakon nogometa, zabavite se uz matematiku! Zadatak 1. Koje Êe se godine igrati posljednje Svjetsko nogometno prvenstvo u ovome stoljeêu i koje Êe to biti natjecanje po redu? Zadatak 2. Iz tablice odredite rezultate koje je postigla Hrvatska na posljednjem svjetskom nogometnom prvenstvu, godine u Japanu. 1. Meksiko : Italija : Hrvatska : Ekvador : 4 3 atka 15 (2006.) br

5 Zadatak 3. Koliko je u postotcima povrπina najveêeg moguêeg nogometnog terena veêa od povrπine najmanjeg moguêeg terena? Je li povrπina minimalnog terena za isti taj postotak manja od povrπine maksimalnog terena i zaπto? Zadatak 4. U NjemaËkoj Êe sudjelovati 32 reprezentacije koje su podijeljene u 8 skupina. Dvije najbolje reprezentacije odlaze u drugi krug natjecanja i dalje igraju na ispadanje. Koliko Êe se ukupno utakmica odigrati na svjetskom prvenstvu, raëunajuêi i utakmicu za 3. mjesto? Zadatak 5. Svaka zemlja prijavljuje 25 igraëa koji mogu nastupiti na Svjetskom prvenstvu, i oni na majicama nose brojeve od 1 do 25. S koliko nula zavrπava umnoæak svih brojeva napisanih na dresovima jedne reprezentacije? Zadatak 6. Koliki je zbroj brojeva napisanih na dresovima svih igraëa iz svake reprezentacije sudionice prvenstva? Zadatak 7. Na kraju neke utakmice meappleusobno su se rukovali svi igraëi iz obje reprezentacije. Koliko je rukovanja bio? Zadatak 8. U posljednjoj Ëetvrtini neke utakmice iskljuëen je igraë jedne momëadi. U kojoj je to minuti bilo, ako je svih 22 igraëa zajedno u igri provelo 2006 minuta, raëunajuêi i uobiëajenu sudaëku nadoknadu vremena? Koliko je minuta sudac produæio susret? Zadatak 9. Prosjek godina starosti 11 igraëa na terenu iznosi 24 godine. Nakon πto je jedan od njih iskljuëen, prosjek im se poveêao za pola godine. Koliko je godina imao iskljuëeni igraë? Zadatak 10. Pronaappleite zastave triju sudionica svjetskog prvenstva: Nizozemske, Poljske i NjemaËke, te izraëunajte kojim se razlomcima moæe izraziti udio crvene, bijele i plave boje u ukupnoj povrπini njihovih zastava jednakih veliëina? Rjeπenja: 1. Godine igrat Êe se 40. Svjetsko nogometno prvenstvo. 2. Hrvatska - Meksiko 0 : 1, Hrvatska - Italija 2 : 1, Hrvatska - Ekvador 0 : Maksimalni teren je za oko 27% veêi od minimalnog, a minimalni je za oko 21% manji od maksimalnog. Postotci su razliëiti jer se odnose na razliëite povrπine. Naime, razlika povrπina je 1750 m 2, πto je 27% od 6500 m 2, odnosno 21% od 8250 m Odigrat Êe se 64 utakmice. 5. Zavrπava sa 6 nula. 6. Zbroj je Bilo je 231 rukovanje. 8. IskljuËen je u 75. minuti, a sudac je produæio susret 2 minute 9. Imao je 19 godina. 10. Crvena 18 7, bijela 18 5 i plava boja. 226 atka 15 (2006.) br. 56