Katedra za strojarsku automatiku. Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Osnove prostora stanja - 1. Katedra za strojarsku automatiku
|
|
|
- ῬαΧάβ Φιλιππίδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - P X H Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja -
2 R R Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 3 R R Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 4
3 O S N O V N E O P E R A C I J E S M A T R I C A M A Matice označavamo velikim (masnim) slovima : A n m Oznaka etka Oznaka stupca Pimje : A element pvog etka i dugog stupca matice A Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 5 Zbajati i oduzimati se mogu samo matice istih dimenzija! Pimje : + 3 a b c a b 3c A B d e f AB 4d 5e 6 f g h i 7 g 8 h 9 i + Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 6
4 Osnovna pavila množenja : AB BA komutativnost A (BC) = (AB) C A (B+C) = AB + AC... množenje s lijeva /A (B+C) A = BA + CA... množenje s desna /A A nm * B mp C np Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 7 Pimje : a b c 3 4 d e f A, B g h i j k l c c c3 C AB c c c 3 c ad3g4j c be3h4k c cf 3i4l 3 c 5a6d7g8j c 5b6e7h8k c 5c6f 7i8l 3 Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 8
5 Definicija : - adj(a) A =, det(a) = A det(a) T A A A3 Am A A A3 An A A A3 A m A A A3 A n adj(a) A3 A3 A33 A3m A3 A3 A33 An3 An An An3 Anm Am Am A3m Anm Izačun pema algoitmu Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 9 Pimje : A 3 adj(a) A det(a) 3 det (A) (6 ) (4 ) ( 3) 3 3 Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 0
6 Adjugianje matice A : T A A A3 A A A3 adj( A) A A A 3 A A A 3 A3 A3 A33 A3 A3 A33 A A ( ) 4 A 3 ( ) 3 3 A ( ) 3 A 3 ( ) A adj(a)= - 3 ( ) A 33 ( ) A ( ) A ( ) 3 adj(a) A 0 det (A) 3 A 3 ( ) Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - Pikaz sistema u postou stanja: X AX BU jednadžba stanja sistema Y CXDU jednadžba izlaza sistema X deivacija vektoa stanja A = dim (n n) matica koeficijenata sistema X(t) vekto stanja sistema U(t) vekto ulaza sistema B = dim (n m) matica ulaza sistema C = dim (p n) matica izlaza sistema Y(t) vekto izlaza sistema D = dim (p m) matica pijenosa sistema n boj vaijabli stanja = ed sistema m boj ulaznih vaijabli p boj izlaznih vaijabli Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja -
7 X AX BU Y CXDU D U (t) X (t) X(t) Y(t) B C A Blokovski pikaz lineanog vemenski-invaijantnog invaijantnog sistema s koncentianim paametima u postou stanja. Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 3. Fazne vaijable stanja. Kanonske vaijable stanja. Fazne vaijable stanja I slučaj Matematički model zadan je običnom difeencijalnom jednadžbom "n"-tog eda, bez deivacije ulazne vaijable. Biamo tzv. Fazne vaijable stanja, što ezultia time da dobijemo maticu sistema A u tzv. Fobeniusovom obliku A=F Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 4
8 Pimje. Sustav zadan difeencijalnom jednadžbom pevedite u posto stanja! 43 5 n = 3 Rješenje: m = p = u u X A X B U X u Y C D U A = F = a0 a a a3 an Sistem tećeg eda pikazan s ti jednadžbe džb pvog eda! Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 5 Blok pikaz: D B C A 3 u (t) u (t) Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 6
9 Pimje. Sustav zadan difeencijalnom jednadžbom pevedite u posto stanja! Rješenje: n = 4 m = p = u u u X A X B U u 3 4 Y C X D U A=F Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 7 Blok pikaz: Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 8
10 II slučaj Matematički model jednovaijabilnog sistema zadan je običnom č difeencijalnom jednadžbom "n"-tog eda s deivacijama ulazne vaijable ""-tog eda ( n). Vši se pelazak u s-podučje! Pi Pimje 3. Sustav zadan difeencijalnom jednadžbom pevedite u posto stanja! 4 3 5u4u 3u u n=3 =3 Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 9 III slučaj Matematički model jednovaijabilnog sistema zadan je pijenosnom funkcijom u kojoj je izostala dinamika ulazne vaijable, a dinamika izlazne vaijable je "n"-tog eda. Vši se pelazak u vemensko podučje obnutom Laplaceovom tansfomacijom! Time se slučaj III svodi na slučaj I. Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 0
11 Pimje 4. Sustav zadan pijenosnom funkcijom pevedite u posto stanja! Rješenje: (s) 6 G(s) n = 3 u(s) s 7s 4s 8 3 m = p = G(s) (s) 6 3 u(s) s 7s 4s8 3 s (s) 7s (s) 4s(s) 8(s) 6u(s) L - A=F dalje slučaj I u u u X A X B U Y C X D U Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - Blok pikaz: u (t) 3 u D B C A B C A Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja -
12 IV slučaj Matematički model jednovaijabilnog sistema zadan je pijenosnom funkcijom koja ima dinamiku ulazne vaijable ""-tog eda i dinamiku izlazne vaijable je "n"-tog eda. Vši se astav pijenosne funkcije i potom obnuta Laplaceova tansfomacija. Rastav pijenosne funkcije daje dvije pijenosne funkcije od kojih svaka odeđuje jednu jednadžbu postoa stanja! Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 3 Pimje 5. Sustav zadan pijenosnom funkcijom pevedite u posto stanja! (s) 6s 8 G(s) u(s) s 3 7s 4s 8 Rješenje: G(s) (s) u(s) (s) (s) n = 3 m = p = G(s) (s) (s) (s) u(s) u(s) (s) G(s) G( (s) G(s) (s) u(s) N(s) B(s) Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 4
13 (s) (s) L G(s) L - 3 u(s) N(s) s 7s 4s8 L - G(s) B(s) 6s 8 (s) u 3 3 A=F (t) 6 8 (t) u X A X B U Y C X D U u Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 5 Blok pikaz: B C A Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 6
14 Pimje 6. Sustav zadan pijenosnom funkcijom pevedite u posto stanja! 3 L - (s) s 3s 4s 5 G(s) 4 3 5u 4u 3u u n = 3 3 u(s) s 4s 3s m = Pimje 3. p = Rješenje: (s) G(s) 3 u(s) N(s) s 4s 3s u 3 3 (s) L - 3 G (s) B(s) s 3s 4s 5 (s) L - (t) (t) ( 3 43 u) (t) 5 u u X A X B U 3 Y C X D U - -5 u Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 7 Blok pikaz: D u (t) B C A Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 8
15 Pimje MDS sustav S M Blok pikaz: M (t) D D M M D S A=F S D M M M S M 0 0 = + u S D - - M M M X = A X + B U S D u M M M Y C X D U 0 0u Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 9. Kanonske vaijable stanja I slučaj Matematički model jednovaijabilnog sistema zadan je pijenosnom funkcijom s jednostukim polovima. Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 30
16 Pimje. Sustav zadan pijenosnom funkcijom pevedite u kanonsku fomu postoa stanja! Rješenje: (s) 6 G(s) 3 u(s) s 7s 4s 8 3 K.J. s 7s 4s 8 0 G(s) s s s (s) B 6 A A A3 u(s) N s 7s 4s 8 s s s 4 3 n = 3 m = p = ealni jednostuki polovi n A i G(s) ( ) s s i i Heaviside-ov azvoj : B A 6 i A N s si 3s 4s 4 s 6 A 3 3s 4s 4 s 6 A3 3s 4s 4 Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 3 s 4 (s) 3 G(s) u(s) s s s 4 u(s) u(s) u(s) u(s) (s) 3 (s) (s) 3 (s) 3(s) s s s4 (s) 3 (s) (s) u(s) (s) s L - u(s) (s) s L - u(s) 3 ( ) s 4 L - L 3(s) u X A X B U A=Λ Λ = diag [λ i ] B matica jedinica Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 3
17 (s) (s) 3 (s) 3(s) L - (t) Y C X D U u -3 0 C=[A C=[A A... A n ] Blok pikaz: 3 3 odvojena kuga 3 zasebna egulatoa Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 33 II slučaj Matematički model jednovaijabilnog sistema zadan je pijenosnom funkcijom kod koje se pol λ ponavlja puta. Pimjena astava pijenosne funkcije na sumu pacijalnih azlomaka : Y(s) K K K K K K G(s) K U(s) s s s s n K 0 s lim G(s) n 0 (s ) (s ) (i) d i (i) K (s ) G(s), i,,3,..., (i )! ds s Odabiu se kanonske vaijable stanja : (s) i i(s), i,,...,( ) s u(s) (s) s u(s) i(s), i,,...,( i n) s Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 34 i
18 Pimje. Sustav zadan pijenosnom funkcijom pevedite u kanonsku fomu postoa stanja! Rješenje: 3 K.J. s 7s 6s 0 3 (s) s 4s 49s 5 G(s) 3 u(s) s 7s 6s s s s n = 3 m = p = ponavljanje polova = 3 K 0 (s) B s 4s 49s 5 K K K3 G(s) u(s) N (s ) (s 3) (s ) s s 3 Heaviside-ov azvoj : 3 s 4s 49s5 K (s ) G(s) s 0! K s 3 0 lim G(s) s s 3 d s 4s 49s5 K 3! ds s 3 3 s B s 4s 49s 5 K3 4 N 3s 4s 6 s3 s3 Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 35 (s) 3 4 G(s) u(s) (s ) s s 3 u(s) u(s) u(s) u(s) (s) 3 4 u(s) (s ) s s3 (s) (s) 3 (s) 4 3(s) u(s) (s) (s) 3 (s) u(s) u(s) (s) (s ) s s s L - (s) u(s) (s) - s L u(s) (s) - 3 s L u X A X B U A=J Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 36
19 (s) (s) 3 (s) 4 (s) u(s) - 3 L (t) u C = [K K... K 3 ] 3 K 0 Y C X D U Blok pikaz: u (t) Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 37 I slučaj Matematički model multivaijabilnog sistema dat je skupom običnih difeencijalnih jednadžbi, u kojima su izostale deivacije ulaznih vaijabli. Odabiu se fazne vaijable stanja. Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 38
20 Pimje. Sustav zadan sistemom difeencijalnih jednadžbi pevedite u posto stanja! Rješenje: u 3u u 5u n = 6 m = p = u 3u u5u u 5u u3u u u 4 4 u u X A X B U Y C X D U Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 39 Blok pikaz: 4 3 u (t) u (t) Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 40
21 II slučaj č Matematički model multivaijabilnog sistema zadan je skupom običnih difeencijalnih jednadžbi, u kojima se pojavljuje j samo pva deivacija ij jedne ulazne vaijable u svakoj jednadžbi (neobavezno). Ulazna vaijabla koja ima deivaciju, ili njena deivacija, veže se uz odgovaajuću vaijablu stanja. Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 4 Pimje 3. Rješenje Sustav zadan sistemom difeencijalnih jednadžbi pevedite u posto stanja! 3 u3uu n = 4 3 u u m = p = 3u 3u 3 u u 3 u u u 3 7 u 3 3 u X A X B U uu 0 0 u u 3 3 u u Y C X D U Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 4
22 Blok pikaz: 3 3 u (t) (t) 4 u 4 Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 43 Pimje 4. Rješenje: Sustav zadan sistemom difeencijalnih jednadžbi pevedite u posto stanja! 3 u u u u 3u n = 3 m = p = ( u ) 3 u u u 3u u 3 u u 3 u u 4u 3 u u 3 3 u u 3 u 3u 3 u 3u u 3 u X A X B U Y C X Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 44
23 Blok pikaz: 3 u (t) 3 u (t) 3 3 Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 45 Objekt egulacije: Xt A XtB Ut / L Y t C X t D U t / L * sx s A X s B U s Y s C X s D U s sx s A X s B U s si AX s B U s / si A. Y s CsI A B U s D U s Y s C si A B D U s G(s) Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 46 G s CsIA BD C s BD
24 s si A esolventna matica At t L s e fundamentalna matica adj si A si A det si A adj si A G s C BD det si A U(s) G(s) Y(s) Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 47 g (s) g (s) g m (s) u g (s) g (s) g m (s) u g (s) n g n (s) g nm (s) um n G(s) Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 48
25 Matica pijenosnih funkcija G(s) je "pava" matica pijenosnih funkcija, ako je esolventna matica (s) nedegeneativna, odnosno ako je polazna jednadžba stanja, iz koje se izvodi (s) "pava" jednadžba stanja koja jednoznačno opisuje stanja sistema. Matica (s) je nedegeneativna ako i samo ako ne postoji polinom h(s) najniže pvog eda (stupnja) koji je zajednički fakto svih bojnika i svih nazivnika svih elemenata matice (s). Ako je (s) nedegeneativna matica, onda je kaakteistični polinom K(s) matice A, istovemeno i njen minimalni polinom M(s), pa vijedi K(s)=M(s). Rješenje K(s) po s su polovi s, s,..., s n koji su identični vlastitim (svojstvenim) vijednostima matice A, odnosno identični koijenima sistema. Ako je (s) nedegeneativna matica, a u matici pijenosnih funkcija izvedenoj iz takve (s) nema zajedničkih nula u svim elementima G(s) koje bi se mogle pokatiti s identičnim polovima sistema, onda je sistem minimalne ealizacije (ed sistema je minimalan) i ima svojstvo potpune upavljivosti (Contollabilit) i potpune mjeljivosti (Obsevabilit) stanja sistema. Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 49 Pimje. Rješenje: Odedite maticu pijenosnih funkcija za sustav zadan sa: 0 0 A, B, C, D G(s) C si A B D s 0 si A 0 s detsi A s 3s s 0 0 s j A ( ) adj si adj si A s 0 (s) si A det si A s 3s 0 s G(s) s s 3s 0 s 0 C (s) B D G(s) (s ) s s s 0 s 3s s s 0 Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 50
26 3s 5 s 3 (s )(s ) (s )(s ) 0 G(s) s s 0 (s )(s ) (s )(s ) s 6s7 s3 g (s) g (s) s 3s s 3s G(s) s 3 s s g (s) g (s) Y(s) G(s)U(s) ( ) (s) g (s) g (s) u (s) (s) g (s) g (s) u (s) Blok pikaz: (s) u (s) u (s) g g (s) g (s)u (s) g (s)u (s) (s) g (s)u (s) g (s)u (s) g g G(s) (s) Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 5 Pimje. Rješenje: Odedite maticu pijenosnih funkcija za MDS sustav zadan sa: 0 0 u S D M M M X A X B U Y C X D U 0 0u D 0 G(s) C si A B D s si A S D s M M det si A Ms Ds S M G(s) C si A B Ms D 0 M G(s) M 0 M Ms Ds S S G(s) C s Ms Ds S M M M B G(s) Ms Ds S Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 5
27 postupak povjee stabilnosti = postupak ponalaženja polova sistema adj si A Cadj si A B det si A D Gs C BD det sia det si A n n Kaakteistični polinom sistema : det si A a s a s a s a n n 0 Kaakteistična jednadžba sistema : detsi A 0 KORJENI SISTEMA,, 3,...,..., n - kaakteistične vijednosti kaakteistične vijednosti - koijeni ili polovi sistema s, s, s,...,s 3 n - vlastite vijednosti sistema Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 53 Pimje. Odedite stabilnost sistema zadanog sa: 0 A 0 Rješenje: j s 0 si A 0 s det si A (s )(s ) det si A 0 s = - s = - Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 54
28 Pimje. Odedite stabilnost sistema zadanog sa: Rješenje: s 0 si A 0 s 0 4 s A det si A s 5s 4s 0 det si A 0 3 s 5s 4s 0 0 s = s = - s 3 = 5 Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 55 model objekta egulacije opisan jednadžbama stanja: X(t) AX(t) BU(t) Y(t) CX(t) DU(t) jednadžba stanja sistema jednadžba izlaza sistema D B C A OBJEKT REGULACIJE Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 56
29 egulacijsku je petlju (kug) moguće zatvoiti peko : ) Vektoa stanja ) Vektoa izlaza uvodi se matica konstantnih pojačanja K ) dimenzija (m n) za petlju zatvoenu peko vektoa stanja ) dimenzija (m p) za petlju zatvoenu peko vektoa izlaza dobiva se opći model zatvoenog egulacijskog kuga : X(t) A X(t) B W(t) Y(t) C X(t) D W(t) W(t) vekto vođenja sistema dimenzije (m ) uz X 0 =0, može se izvesti matica pijenosnih funkcija zatvoenog kuga: det si A Y(z) C adj si A B det si A D G(z) C si A B D W(z) Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 57 X 0 D W(t) U(t) B X (t) t f X (t) Y (t) ( )dt C t 0 A K X(t) AX(t) BU(t) Y(t) CX(t) DU(t) U(t) = W(t)- KX(t) Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 58
30 X(t) AX(t) B W(t) KX(t) Y(t) CX(t) D W(t) KX(t) X(t) AX(t) BW(t) BKX(t) Y(t) CX(t) DW(t) DKX(t) X(t) A BKX(t) B W(t) A B Y(t) C DKX(t) D W(t) C D A A BK, B B, C C DK, D D X(t) A X(t) B W(t) Y(t) C X(t) D W(t) Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 59 X 0 D W(t) U(t) B X (t) t f X (t) Y (t) ( )dt C t 0 A K X(t) AX(t) BU(t) Y(t) CX(t) DU(t) U(t) () = W(t) ()-KY(t) Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 60
31 X(t) AX(t) BW(t) KY(t) AX(t) BW(t) BKY(t) () Y(t) CX(t) DW(t) KY(t) CX(t) DW(t) DKY(t) () Pema () : Y(t) DKY(t) CX(t) DW(t) I DKY(t) CX(t) DW(t) I DK Y(t) I DK CX(t) DW(t) Q IDK Y(t) QCX(t) QDW(t) (3) C QC D QD Y(t) C X(t) D W(t) Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 6 (3) () : X(t) AX(t) BW(t) BK QCX(t) QDW(t) X(t) AX(t) BW(t) BKQCX(t) BKQDW(t) X(t) AX(t) BKQCX(t) BW(t) BKQDW(t) X(t) A BKQC X(t) B IKQD W(t) A A BKQC, B B I KQD X(t) A X(t) B W(t) X(t) A X(t) B W(t) Y(t) C X(t) D W(t) Q I DK A A BKQC B B IKQD C D QC QD Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 6
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Pismeni dio ispita iz Matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja u zavisnosti od parametra a:
Zenica, 70006 + y+ z+ 4= 0 y+ z : i ( q) : = = y + z 4 = 0 a) Napisati pavu p u kanonskom, a pavu q u paametaskom obliku b) Naći jednačinu avni koja polazi koz pavu p i okomita je na pavu q ate su pave
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Prikaz sustava u prostoru stanja
Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja je jedan od načina prikaza matematičkog modela sustava (uz diferencijalnu jednadžbu, prijenosnu funkciju itd). Promatramo linearne sustave
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016
ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 016 Θέμα 1. α) (Μον.1.5) Αποδείξτε ότι αν το σύστημα στο χώρο
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. NLITIČK GEMETRIJ RSTR I. I (Točka. Ravia.) d. sc. Mia Rodić Lipaović 9./. Točka u postou ( ; i, j, k ) Kateijev pavokuti koodiati sustav k i j T T (,, ) oložaj točke u postou je jedoačo odeñe jeim
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
March 14, ( ) March 14, / 52
March 14, 2008 ( ) March 14, 2008 1 / 52 ( ) March 14, 2008 2 / 52 1 2 3 4 5 ( ) March 14, 2008 3 / 52 I 1 m, n, F m n a ij, i = 1,, m; j = 1,, n m n F m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :
PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
![Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.](/thumbs/72/66829778.jpg "Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.")
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Iterativne metode - vježbe
Iterativne metode - vježbe 5. Numeričke metode za ODJ Zvonimir Bujanović Prirodoslovno-matematički fakultet - Matematički odjel 21. studenog 2010. Sadržaj 1 Eulerove metode (forward i backward). Trapezna
B G [0; 1) S S # S y 1 ; y 3 0 t 20 y 2 ; y 4 0 t 20 y 1 y 2 h n t: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 1; 3: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 2; 4: r = 10 5 ; a = 10 6 t = 20
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor
I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto
Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Παράρτημα. Παράρτημα - Ανάλυση Έλεγχος και Προσομοίωση Δυναμικών Συστημάτων
Παράρτημα Σύνοψη Στο παράρτημα αυτό θα παρουσιαστούν βασικές έννοιες των συστημάτων αυτομάτου ελέγχου απαραίτητες για την κατανόηση της λειτουργίας των υδραυλικών και πνευματικών συστημάτων. Οι έννοιες
MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Linearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1
Linearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 40 Uvod Matrica: matematički objekt koji se sastoji od brojeva koji su rasporedeni u retke
Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.
Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMETARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINATAMA
5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMEARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINAAMA 5. Funkcije zadane u paametaskom obliku Ako se koodinate neke tocke,, zadaju u obliku funkcije neke tece pomjenjive, koja se tada naziva paameta,
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
transformacija j y i x x promatramo dva koordinatna sustava S i S sa zajedničkim ishodištem z z Homogene funkcije Ortogonalne transformacije
promatramo dva oordnatna sustava S S sa zaednčm shodštem z z y y x x blo o vetor možemo raspsat u baz, A = A x + Ay + Az = ( A ) + ( A ) + ( A ) (1) sto vred za ednčne vetore sustava S = ( ) + ( ) + (
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
d 2 y dt 2 xdy dt + d2 x
y t t ysin y d y + d y y t z + y ty yz yz t z y + t + y + y + t y + t + y + + 4 y 4 + t t + 5 t Ae cos + Be sin 5t + 7 5 y + t / m_nadjafikhah@iustacir http://webpagesiustacir/m_nadjafikhah/courses/ode/fa5pdf
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033
Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
1. Duljinska (normalna) deformacija ε. 2. Kutna (posmina) deformacija γ. 3. Obujamska deformacija Θ
Deformaije . Duljinska (normalna) deformaija. Kutna (posmina) deformaija γ 3. Obujamska deformaija Θ 3 Tenor deformaija tenor drugog reda ij γ γ γ γ γ γ 3 9 podataka+mjerna jedinia 4 Simetrinost tenora
VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su
ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk
Sistemi veštačke inteligencije primer 1
Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati
POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.