Katedra za strojarsku automatiku. Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Osnove prostora stanja - 1. Katedra za strojarsku automatiku
|
|
- ῬαΧάβ Φιλιππίδης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - P X H Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja -
2 R R Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 3 R R Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 4
3 O S N O V N E O P E R A C I J E S M A T R I C A M A Matice označavamo velikim (masnim) slovima : A n m Oznaka etka Oznaka stupca Pimje : A element pvog etka i dugog stupca matice A Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 5 Zbajati i oduzimati se mogu samo matice istih dimenzija! Pimje : + 3 a b c a b 3c A B d e f AB 4d 5e 6 f g h i 7 g 8 h 9 i + Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 6
4 Osnovna pavila množenja : AB BA komutativnost A (BC) = (AB) C A (B+C) = AB + AC... množenje s lijeva /A (B+C) A = BA + CA... množenje s desna /A A nm * B mp C np Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 7 Pimje : a b c 3 4 d e f A, B g h i j k l c c c3 C AB c c c 3 c ad3g4j c be3h4k c cf 3i4l 3 c 5a6d7g8j c 5b6e7h8k c 5c6f 7i8l 3 Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 8
5 Definicija : - adj(a) A =, det(a) = A det(a) T A A A3 Am A A A3 An A A A3 A m A A A3 A n adj(a) A3 A3 A33 A3m A3 A3 A33 An3 An An An3 Anm Am Am A3m Anm Izačun pema algoitmu Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 9 Pimje : A 3 adj(a) A det(a) 3 det (A) (6 ) (4 ) ( 3) 3 3 Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 0
6 Adjugianje matice A : T A A A3 A A A3 adj( A) A A A 3 A A A 3 A3 A3 A33 A3 A3 A33 A A ( ) 4 A 3 ( ) 3 3 A ( ) 3 A 3 ( ) A adj(a)= - 3 ( ) A 33 ( ) A ( ) A ( ) 3 adj(a) A 0 det (A) 3 A 3 ( ) Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - Pikaz sistema u postou stanja: X AX BU jednadžba stanja sistema Y CXDU jednadžba izlaza sistema X deivacija vektoa stanja A = dim (n n) matica koeficijenata sistema X(t) vekto stanja sistema U(t) vekto ulaza sistema B = dim (n m) matica ulaza sistema C = dim (p n) matica izlaza sistema Y(t) vekto izlaza sistema D = dim (p m) matica pijenosa sistema n boj vaijabli stanja = ed sistema m boj ulaznih vaijabli p boj izlaznih vaijabli Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja -
7 X AX BU Y CXDU D U (t) X (t) X(t) Y(t) B C A Blokovski pikaz lineanog vemenski-invaijantnog invaijantnog sistema s koncentianim paametima u postou stanja. Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 3. Fazne vaijable stanja. Kanonske vaijable stanja. Fazne vaijable stanja I slučaj Matematički model zadan je običnom difeencijalnom jednadžbom "n"-tog eda, bez deivacije ulazne vaijable. Biamo tzv. Fazne vaijable stanja, što ezultia time da dobijemo maticu sistema A u tzv. Fobeniusovom obliku A=F Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 4
8 Pimje. Sustav zadan difeencijalnom jednadžbom pevedite u posto stanja! 43 5 n = 3 Rješenje: m = p = u u X A X B U X u Y C D U A = F = a0 a a a3 an Sistem tećeg eda pikazan s ti jednadžbe džb pvog eda! Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 5 Blok pikaz: D B C A 3 u (t) u (t) Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 6
9 Pimje. Sustav zadan difeencijalnom jednadžbom pevedite u posto stanja! Rješenje: n = 4 m = p = u u u X A X B U u 3 4 Y C X D U A=F Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 7 Blok pikaz: Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 8
10 II slučaj Matematički model jednovaijabilnog sistema zadan je običnom č difeencijalnom jednadžbom "n"-tog eda s deivacijama ulazne vaijable ""-tog eda ( n). Vši se pelazak u s-podučje! Pi Pimje 3. Sustav zadan difeencijalnom jednadžbom pevedite u posto stanja! 4 3 5u4u 3u u n=3 =3 Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 9 III slučaj Matematički model jednovaijabilnog sistema zadan je pijenosnom funkcijom u kojoj je izostala dinamika ulazne vaijable, a dinamika izlazne vaijable je "n"-tog eda. Vši se pelazak u vemensko podučje obnutom Laplaceovom tansfomacijom! Time se slučaj III svodi na slučaj I. Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 0
11 Pimje 4. Sustav zadan pijenosnom funkcijom pevedite u posto stanja! Rješenje: (s) 6 G(s) n = 3 u(s) s 7s 4s 8 3 m = p = G(s) (s) 6 3 u(s) s 7s 4s8 3 s (s) 7s (s) 4s(s) 8(s) 6u(s) L - A=F dalje slučaj I u u u X A X B U Y C X D U Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - Blok pikaz: u (t) 3 u D B C A B C A Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja -
12 IV slučaj Matematički model jednovaijabilnog sistema zadan je pijenosnom funkcijom koja ima dinamiku ulazne vaijable ""-tog eda i dinamiku izlazne vaijable je "n"-tog eda. Vši se astav pijenosne funkcije i potom obnuta Laplaceova tansfomacija. Rastav pijenosne funkcije daje dvije pijenosne funkcije od kojih svaka odeđuje jednu jednadžbu postoa stanja! Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 3 Pimje 5. Sustav zadan pijenosnom funkcijom pevedite u posto stanja! (s) 6s 8 G(s) u(s) s 3 7s 4s 8 Rješenje: G(s) (s) u(s) (s) (s) n = 3 m = p = G(s) (s) (s) (s) u(s) u(s) (s) G(s) G( (s) G(s) (s) u(s) N(s) B(s) Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 4
13 (s) (s) L G(s) L - 3 u(s) N(s) s 7s 4s8 L - G(s) B(s) 6s 8 (s) u 3 3 A=F (t) 6 8 (t) u X A X B U Y C X D U u Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 5 Blok pikaz: B C A Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 6
14 Pimje 6. Sustav zadan pijenosnom funkcijom pevedite u posto stanja! 3 L - (s) s 3s 4s 5 G(s) 4 3 5u 4u 3u u n = 3 3 u(s) s 4s 3s m = Pimje 3. p = Rješenje: (s) G(s) 3 u(s) N(s) s 4s 3s u 3 3 (s) L - 3 G (s) B(s) s 3s 4s 5 (s) L - (t) (t) ( 3 43 u) (t) 5 u u X A X B U 3 Y C X D U - -5 u Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 7 Blok pikaz: D u (t) B C A Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 8
15 Pimje MDS sustav S M Blok pikaz: M (t) D D M M D S A=F S D M M M S M 0 0 = + u S D - - M M M X = A X + B U S D u M M M Y C X D U 0 0u Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 9. Kanonske vaijable stanja I slučaj Matematički model jednovaijabilnog sistema zadan je pijenosnom funkcijom s jednostukim polovima. Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 30
16 Pimje. Sustav zadan pijenosnom funkcijom pevedite u kanonsku fomu postoa stanja! Rješenje: (s) 6 G(s) 3 u(s) s 7s 4s 8 3 K.J. s 7s 4s 8 0 G(s) s s s (s) B 6 A A A3 u(s) N s 7s 4s 8 s s s 4 3 n = 3 m = p = ealni jednostuki polovi n A i G(s) ( ) s s i i Heaviside-ov azvoj : B A 6 i A N s si 3s 4s 4 s 6 A 3 3s 4s 4 s 6 A3 3s 4s 4 Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 3 s 4 (s) 3 G(s) u(s) s s s 4 u(s) u(s) u(s) u(s) (s) 3 (s) (s) 3 (s) 3(s) s s s4 (s) 3 (s) (s) u(s) (s) s L - u(s) (s) s L - u(s) 3 ( ) s 4 L - L 3(s) u X A X B U A=Λ Λ = diag [λ i ] B matica jedinica Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 3
17 (s) (s) 3 (s) 3(s) L - (t) Y C X D U u -3 0 C=[A C=[A A... A n ] Blok pikaz: 3 3 odvojena kuga 3 zasebna egulatoa Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 33 II slučaj Matematički model jednovaijabilnog sistema zadan je pijenosnom funkcijom kod koje se pol λ ponavlja puta. Pimjena astava pijenosne funkcije na sumu pacijalnih azlomaka : Y(s) K K K K K K G(s) K U(s) s s s s n K 0 s lim G(s) n 0 (s ) (s ) (i) d i (i) K (s ) G(s), i,,3,..., (i )! ds s Odabiu se kanonske vaijable stanja : (s) i i(s), i,,...,( ) s u(s) (s) s u(s) i(s), i,,...,( i n) s Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 34 i
18 Pimje. Sustav zadan pijenosnom funkcijom pevedite u kanonsku fomu postoa stanja! Rješenje: 3 K.J. s 7s 6s 0 3 (s) s 4s 49s 5 G(s) 3 u(s) s 7s 6s s s s n = 3 m = p = ponavljanje polova = 3 K 0 (s) B s 4s 49s 5 K K K3 G(s) u(s) N (s ) (s 3) (s ) s s 3 Heaviside-ov azvoj : 3 s 4s 49s5 K (s ) G(s) s 0! K s 3 0 lim G(s) s s 3 d s 4s 49s5 K 3! ds s 3 3 s B s 4s 49s 5 K3 4 N 3s 4s 6 s3 s3 Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 35 (s) 3 4 G(s) u(s) (s ) s s 3 u(s) u(s) u(s) u(s) (s) 3 4 u(s) (s ) s s3 (s) (s) 3 (s) 4 3(s) u(s) (s) (s) 3 (s) u(s) u(s) (s) (s ) s s s L - (s) u(s) (s) - s L u(s) (s) - 3 s L u X A X B U A=J Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 36
19 (s) (s) 3 (s) 4 (s) u(s) - 3 L (t) u C = [K K... K 3 ] 3 K 0 Y C X D U Blok pikaz: u (t) Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 37 I slučaj Matematički model multivaijabilnog sistema dat je skupom običnih difeencijalnih jednadžbi, u kojima su izostale deivacije ulaznih vaijabli. Odabiu se fazne vaijable stanja. Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 38
20 Pimje. Sustav zadan sistemom difeencijalnih jednadžbi pevedite u posto stanja! Rješenje: u 3u u 5u n = 6 m = p = u 3u u5u u 5u u3u u u 4 4 u u X A X B U Y C X D U Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 39 Blok pikaz: 4 3 u (t) u (t) Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 40
21 II slučaj č Matematički model multivaijabilnog sistema zadan je skupom običnih difeencijalnih jednadžbi, u kojima se pojavljuje j samo pva deivacija ij jedne ulazne vaijable u svakoj jednadžbi (neobavezno). Ulazna vaijabla koja ima deivaciju, ili njena deivacija, veže se uz odgovaajuću vaijablu stanja. Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 4 Pimje 3. Rješenje Sustav zadan sistemom difeencijalnih jednadžbi pevedite u posto stanja! 3 u3uu n = 4 3 u u m = p = 3u 3u 3 u u 3 u u u 3 7 u 3 3 u X A X B U uu 0 0 u u 3 3 u u Y C X D U Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 4
22 Blok pikaz: 3 3 u (t) (t) 4 u 4 Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 43 Pimje 4. Rješenje: Sustav zadan sistemom difeencijalnih jednadžbi pevedite u posto stanja! 3 u u u u 3u n = 3 m = p = ( u ) 3 u u u 3u u 3 u u 3 u u 4u 3 u u 3 3 u u 3 u 3u 3 u 3u u 3 u X A X B U Y C X Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 44
23 Blok pikaz: 3 u (t) 3 u (t) 3 3 Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 45 Objekt egulacije: Xt A XtB Ut / L Y t C X t D U t / L * sx s A X s B U s Y s C X s D U s sx s A X s B U s si AX s B U s / si A. Y s CsI A B U s D U s Y s C si A B D U s G(s) Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 46 G s CsIA BD C s BD
24 s si A esolventna matica At t L s e fundamentalna matica adj si A si A det si A adj si A G s C BD det si A U(s) G(s) Y(s) Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 47 g (s) g (s) g m (s) u g (s) g (s) g m (s) u g (s) n g n (s) g nm (s) um n G(s) Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 48
25 Matica pijenosnih funkcija G(s) je "pava" matica pijenosnih funkcija, ako je esolventna matica (s) nedegeneativna, odnosno ako je polazna jednadžba stanja, iz koje se izvodi (s) "pava" jednadžba stanja koja jednoznačno opisuje stanja sistema. Matica (s) je nedegeneativna ako i samo ako ne postoji polinom h(s) najniže pvog eda (stupnja) koji je zajednički fakto svih bojnika i svih nazivnika svih elemenata matice (s). Ako je (s) nedegeneativna matica, onda je kaakteistični polinom K(s) matice A, istovemeno i njen minimalni polinom M(s), pa vijedi K(s)=M(s). Rješenje K(s) po s su polovi s, s,..., s n koji su identični vlastitim (svojstvenim) vijednostima matice A, odnosno identični koijenima sistema. Ako je (s) nedegeneativna matica, a u matici pijenosnih funkcija izvedenoj iz takve (s) nema zajedničkih nula u svim elementima G(s) koje bi se mogle pokatiti s identičnim polovima sistema, onda je sistem minimalne ealizacije (ed sistema je minimalan) i ima svojstvo potpune upavljivosti (Contollabilit) i potpune mjeljivosti (Obsevabilit) stanja sistema. Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 49 Pimje. Rješenje: Odedite maticu pijenosnih funkcija za sustav zadan sa: 0 0 A, B, C, D G(s) C si A B D s 0 si A 0 s detsi A s 3s s 0 0 s j A ( ) adj si adj si A s 0 (s) si A det si A s 3s 0 s G(s) s s 3s 0 s 0 C (s) B D G(s) (s ) s s s 0 s 3s s s 0 Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 50
26 3s 5 s 3 (s )(s ) (s )(s ) 0 G(s) s s 0 (s )(s ) (s )(s ) s 6s7 s3 g (s) g (s) s 3s s 3s G(s) s 3 s s g (s) g (s) Y(s) G(s)U(s) ( ) (s) g (s) g (s) u (s) (s) g (s) g (s) u (s) Blok pikaz: (s) u (s) u (s) g g (s) g (s)u (s) g (s)u (s) (s) g (s)u (s) g (s)u (s) g g G(s) (s) Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 5 Pimje. Rješenje: Odedite maticu pijenosnih funkcija za MDS sustav zadan sa: 0 0 u S D M M M X A X B U Y C X D U 0 0u D 0 G(s) C si A B D s si A S D s M M det si A Ms Ds S M G(s) C si A B Ms D 0 M G(s) M 0 M Ms Ds S S G(s) C s Ms Ds S M M M B G(s) Ms Ds S Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 5
27 postupak povjee stabilnosti = postupak ponalaženja polova sistema adj si A Cadj si A B det si A D Gs C BD det sia det si A n n Kaakteistični polinom sistema : det si A a s a s a s a n n 0 Kaakteistična jednadžba sistema : detsi A 0 KORJENI SISTEMA,, 3,...,..., n - kaakteistične vijednosti kaakteistične vijednosti - koijeni ili polovi sistema s, s, s,...,s 3 n - vlastite vijednosti sistema Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 53 Pimje. Odedite stabilnost sistema zadanog sa: 0 A 0 Rješenje: j s 0 si A 0 s det si A (s )(s ) det si A 0 s = - s = - Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 54
28 Pimje. Odedite stabilnost sistema zadanog sa: Rješenje: s 0 si A 0 s 0 4 s A det si A s 5s 4s 0 det si A 0 3 s 5s 4s 0 0 s = s = - s 3 = 5 Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 55 model objekta egulacije opisan jednadžbama stanja: X(t) AX(t) BU(t) Y(t) CX(t) DU(t) jednadžba stanja sistema jednadžba izlaza sistema D B C A OBJEKT REGULACIJE Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 56
29 egulacijsku je petlju (kug) moguće zatvoiti peko : ) Vektoa stanja ) Vektoa izlaza uvodi se matica konstantnih pojačanja K ) dimenzija (m n) za petlju zatvoenu peko vektoa stanja ) dimenzija (m p) za petlju zatvoenu peko vektoa izlaza dobiva se opći model zatvoenog egulacijskog kuga : X(t) A X(t) B W(t) Y(t) C X(t) D W(t) W(t) vekto vođenja sistema dimenzije (m ) uz X 0 =0, može se izvesti matica pijenosnih funkcija zatvoenog kuga: det si A Y(z) C adj si A B det si A D G(z) C si A B D W(z) Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 57 X 0 D W(t) U(t) B X (t) t f X (t) Y (t) ( )dt C t 0 A K X(t) AX(t) BU(t) Y(t) CX(t) DU(t) U(t) = W(t)- KX(t) Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 58
30 X(t) AX(t) B W(t) KX(t) Y(t) CX(t) D W(t) KX(t) X(t) AX(t) BW(t) BKX(t) Y(t) CX(t) DW(t) DKX(t) X(t) A BKX(t) B W(t) A B Y(t) C DKX(t) D W(t) C D A A BK, B B, C C DK, D D X(t) A X(t) B W(t) Y(t) C X(t) D W(t) Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 59 X 0 D W(t) U(t) B X (t) t f X (t) Y (t) ( )dt C t 0 A K X(t) AX(t) BU(t) Y(t) CX(t) DU(t) U(t) () = W(t) ()-KY(t) Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 60
31 X(t) AX(t) BW(t) KY(t) AX(t) BW(t) BKY(t) () Y(t) CX(t) DW(t) KY(t) CX(t) DW(t) DKY(t) () Pema () : Y(t) DKY(t) CX(t) DW(t) I DKY(t) CX(t) DW(t) I DK Y(t) I DK CX(t) DW(t) Q IDK Y(t) QCX(t) QDW(t) (3) C QC D QD Y(t) C X(t) D W(t) Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 6 (3) () : X(t) AX(t) BW(t) BK QCX(t) QDW(t) X(t) AX(t) BW(t) BKQCX(t) BKQDW(t) X(t) AX(t) BKQCX(t) BW(t) BKQDW(t) X(t) A BKQC X(t) B IKQD W(t) A A BKQC, B B I KQD X(t) A X(t) B W(t) X(t) A X(t) B W(t) Y(t) C X(t) D W(t) Q I DK A A BKQC B B IKQD C D QC QD Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 6
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραPismeni dio ispita iz Matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja u zavisnosti od parametra a:
Zenica, 70006 + y+ z+ 4= 0 y+ z : i ( q) : = = y + z 4 = 0 a) Napisati pavu p u kanonskom, a pavu q u paametaskom obliku b) Naći jednačinu avni koja polazi koz pavu p i okomita je na pavu q ate su pave
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραPrikaz sustava u prostoru stanja
Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja je jedan od načina prikaza matematičkog modela sustava (uz diferencijalnu jednadžbu, prijenosnu funkciju itd). Promatramo linearne sustave
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016
ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 016 Θέμα 1. α) (Μον.1.5) Αποδείξτε ότι αν το σύστημα στο χώρο
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραII. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. NLITIČK GEMETRIJ RSTR I. I (Točka. Ravia.) d. sc. Mia Rodić Lipaović 9./. Točka u postou ( ; i, j, k ) Kateijev pavokuti koodiati sustav k i j T T (,, ) oložaj točke u postou je jedoačo odeñe jeim
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραMarch 14, ( ) March 14, / 52
March 14, 2008 ( ) March 14, 2008 1 / 52 ( ) March 14, 2008 2 / 52 1 2 3 4 5 ( ) March 14, 2008 3 / 52 I 1 m, n, F m n a ij, i = 1,, m; j = 1,, n m n F m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραPRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :
PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραINTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραa; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραIterativne metode - vježbe
Iterativne metode - vježbe 5. Numeričke metode za ODJ Zvonimir Bujanović Prirodoslovno-matematički fakultet - Matematički odjel 21. studenog 2010. Sadržaj 1 Eulerove metode (forward i backward). Trapezna
Διαβάστε περισσότεραB G [0; 1) S S # S y 1 ; y 3 0 t 20 y 2 ; y 4 0 t 20 y 1 y 2 h n t: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 1; 3: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 2; 4: r = 10 5 ; a = 10 6 t = 20
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότεραdužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor
I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto
Διαβάστε περισσότεραZadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Διαβάστε περισσότεραa; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτημα. Παράρτημα - Ανάλυση Έλεγχος και Προσομοίωση Δυναμικών Συστημάτων
Παράρτημα Σύνοψη Στο παράρτημα αυτό θα παρουσιαστούν βασικές έννοιες των συστημάτων αυτομάτου ελέγχου απαραίτητες για την κατανόηση της λειτουργίας των υδραυλικών και πνευματικών συστημάτων. Οι έννοιες
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1
Linearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 40 Uvod Matrica: matematički objekt koji se sastoji od brojeva koji su rasporedeni u retke
Διαβάστε περισσότεραDijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.
Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότερα5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMETARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINATAMA
5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMEARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINAAMA 5. Funkcije zadane u paametaskom obliku Ako se koodinate neke tocke,, zadaju u obliku funkcije neke tece pomjenjive, koja se tada naziva paameta,
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραtransformacija j y i x x promatramo dva koordinatna sustava S i S sa zajedničkim ishodištem z z Homogene funkcije Ortogonalne transformacije
promatramo dva oordnatna sustava S S sa zaednčm shodštem z z y y x x blo o vetor možemo raspsat u baz, A = A x + Ay + Az = ( A ) + ( A ) + ( A ) (1) sto vred za ednčne vetore sustava S = ( ) + ( ) + (
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραd 2 y dt 2 xdy dt + d2 x
y t t ysin y d y + d y y t z + y ty yz yz t z y + t + y + y + t y + t + y + + 4 y 4 + t t + 5 t Ae cos + Be sin 5t + 7 5 y + t / m_nadjafikhah@iustacir http://webpagesiustacir/m_nadjafikhah/courses/ode/fa5pdf
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραParts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033
Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότερα4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότερα1. Duljinska (normalna) deformacija ε. 2. Kutna (posmina) deformacija γ. 3. Obujamska deformacija Θ
Deformaije . Duljinska (normalna) deformaija. Kutna (posmina) deformaija γ 3. Obujamska deformaija Θ 3 Tenor deformaija tenor drugog reda ij γ γ γ γ γ γ 3 9 podataka+mjerna jedinia 4 Simetrinost tenora
Διαβάστε περισσότεραVALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su
ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk
Διαβάστε περισσότεραSistemi veštačke inteligencije primer 1
Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότερα