Relacijski model podataka i osnove relacijske algebre
|
|
|
- ĒΜιχαήλ Τοκατλίδης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 i osnove relacijske algebre 4. tjedan T. Carić, T. Erdelić Zavod za inteligentne transportne sustave Fakultet prometnih znanosti Sveučilište u Zagrebu Baze podataka T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)1/48
2 Pregled 1. poglavlja T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)2/48
3 Gdje smo sada? T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)3/48
4 Podlogu postavio Edgar Frank Codd 70-tih godina prošlog stoljeća Počiva na matematičkoj teoriji relacijske algebre i računa Početne implementacije su bile spore, ali su porastom računalne snage postale prevladavajući model U relacijskom modelu je brzina žrtvovana zbog fleksibilnosti T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)4/48
5 1970. E. F. Codd A Relational Model of Data for Large Shared Data Banks, Communications of the ACM, Vol. 13, No. 6, lipanj 1970 T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)5/48
6 Nulto pravilo DBMS koji se smatra relacijskim mora upravljati bazom podataka isključivo na relacijski način 1. pravilo - Predstavljanje informacija Sve informacije isključivo se predstavljene vrijednostima u tablici tj. relacijama 2. pravilo - Pravilo pristupa Svakoj zapisanoj vrijednosti može se logički pristupiti preko imena ili kombinacije imena tablica, primarnog ključa i atributa 3. pravilo - Tretiranje NULL vrijednosti NULL vrijednost može zamjeniti bilo koji tip vrijednosti i predstavlja nepostojeću informaciju T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)6/48
7 4. pravilo - Relacijski pristup online katalogu baze Na lokalnom nivo baza podataka opisana je na isti način kao i podaci, tako da se može koristiti isti relacijski jezik za pristup katalozima baze 5. pravilo - Pravilo sveobuhvatnog jezika Mora postojati jezik za komunikaciju sa bazom podataka koji podržava definiranje podataka i pogleda, manipulaciju podacima, administraciju, upravljanje transakcijama pravilo - Pravilo pogleda Svi pogledi koji se po relacijskoj teoriji mogu ažurirati, moraju se moći ažurirati i implementirati u model T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)7/48
8 7. pravilo - Visok nivo unosa, ažuriranja i brisanja Svojstva manipulacije podacima kod dohvaćanja moraju biti moguća i pri unosu, ažuriranju i brisanju podataka 8. pravilo - Nezavisnost fizičkih podataka Sve aktivnosti koje poduzimaju korisnici i aplikacije prema bazi podataka ne smiju biti ovisne o fizičkom načinu spremanja podataka 9. pravilo - Nezavisnost logičkih podataka Odnosi medu tablicama se mogu mijenjati tako de sa ne utječe na funkcije aplikacije koje se spajaju na te tablice T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)8/48
9 10. pravilo - Nezavisnost integriteta podataka Sam DBMS mora se brinuti o integritetu podataka, a ne aplikacije izvana 11. pravilo - Distribuirana nezavisnost Aplikacija mora nastaviti operativno raditi kada se uvede distribuirana verzija DBMS-a ili kada se distribuirana verzija centralizira 12. pravilo - Pravilo o nenarušavanju integriteta Integritet podataka ne smije biti narušen drugim putevima u bazu podataka koja zaobilaze pravila integriteta i ograničenja T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)9/48
10 - objekti Elementi skupa objekata u relacijskom modelu podataka su relacije (ili tablice) Svaka relacija sadrži listu atributa (ili stupaca) Svaki atribut ima svoju domenu (ili tip) Odreduje kojeg je podatkovnog tipa vrijednost atributa Koji raspon vrijednosti može poprimiti Svaka relacija sastoji se od skupa n-torka (ili redaka) Svaka n-torka ima vrijednosti svih atributa relacije N-torke sa istim vrijednostima nisu dopuštene T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)10/48
11 Primjer jedne relacije T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)11/48
12 Nazivi - formalni i neformalni Neformalni naziv Tablica Stupac Sve moguće vrijednosti stupca Redak Definicija tablice Popunjenost tablice Rezultat upita Formalni naziv Relacija Atribut Domena N-torka Relacijska shema Stanje relacije Izvedeni račun T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)12/48
13 Relacijska shema R(a 1, a 2,..., a n ) je relacijska shema relacije (tablice) R predstavlja naziv relacije a 1, a 2,..., a n predstavljaju atribute relacije Relacijska shema - specificira kako će podaci biti strukturirani logički (definicija tablice) Rijetko se mijenja Instanca sheme (podaci)- predstavlja stanje relacije (popunjenost tablice) Često se mijenja stanje relacije T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)13/48
14 Relacijska shema - primjer Što je na slici iznad relacijska shema, a što instanca sheme? T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)14/48
15 Relacijska shema - primjer Što je na slici iznad relacijska shema, a što instanca sheme? Relacijska shema obuhvaća naziv relacije (Student) i skup atributa (JMBAG, Ime, Prezime, DatumRodjenja) Instanca sheme je { < , Mario, Marić, >, < , Jura, Jurić, >,... } T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)14/48
16 Relacijska shema Postoje četiri osnovna svojstva relacijske sheme Tablica ne sadrži dva jednaka atributa Redosljed stupaca u tablici nije bitan Tablica ne sadržava dva potpuno jednaka redka Redosljed redaka u tablici nije bitan T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)15/48
17 Elementarni podatak Elementarni podatak (atomic data value) je najmanji element relacijskog modela U tablici je predstavaljen jednom ćelijom Ne može se rastaviti na manje dijelove bez gubljenja semantičkih svojstava Primjer naziva marke automobila MERCEDES ima značenje Elementi naziva marke automobila M,E,R,C,E,D,E,S gube značenje Elementarni podatak se naziva i vrijednost atributa T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)16/48
18 Domena Domena je skup svih vrijednosti koje atribut može poprimiti Svaki atribut ima samo jednu domenu Više atributa u istoj tablici može imati istu domenu Primjer atributa i domene Za atribut MjestoOdrzavanjaPredavanja domena je skup svih dvorana Za atribut BojaAutomobila domena je skup svih boja Za atribut Ocjena domena su cijeli brojevi od 1 do 5 T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)17/48
19 Domena Karakteristike domene Može postojati više atributa sa istom domenom u istoj tablici MjestoRodjenja i MjestoBoravka BojaKose, BojaAuta i BojaKuće Sadržaj domene se ne mijenja s vremenom Aktivna domena je podskup domene i sastoji se od svih vrijednosti atributa koje su trenutno zapisane u tablici Sadržaj aktivne domene se mijenja sa vremenom Ako imamo aute sa bojama crna, plava i žuta te tri boje su trenutno aktivna domena Ako nabavimo još jedan auto koji je zelene boje mijenja se aktivna domena tj. zelena postaje njen dio T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)18/48
20 NULL vrijednost Informacije koje nedostaju u relaciji iz bilo kojeg razloga prikazuju se kao poseban oblik podatka NULL vrijednost 3. Coddovo pravilo - tretiranje NULL vrijednosti NULL vrijednost može zamjeniti bilo koji tip vrijednosti i predstavlja nepostojeću informaciju Omogućuje baratanje s vrijednostima koje ne postoje upotrebom relacijske algebre Neovisna je o tipu podatka i različita je od svih ostalih vrijednosti T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)19/48
21 NULL vrijednost - primjer Sa NULL vrijednosti se prikazuju podaci koji nedostaju tj. nisu poznati u tome trenutku NULL vrijednost je različita od primjerice 0 - u brojčanim tipovima podataka - praznine u znakovnim tipovima T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)20/48
22 Primarni ključ Primarni ključ Primarni ključ je atribut ili skup atributa koji na jedinstven način identificira/ju svaku n-torku u relaciji (redak u tablici) 2. Coddovo pravilo - pravilo pristupa Svakoj zapisanoj vrijednosti može se logički pristupiti preko naziva ili kombinacije naziva relacija, primarnog ključa i atributa T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)21/48
23 Primarni ključ - osnovni uvjeti Primarni ključ mora zadovoljavati tri osnovna uvjeta 1. Jedinstvenost - u tablici ne mogu postojati dva retka s istom vrijednošću primarnog ključa 2. Minimalnost - ako je primarni ključ složen tj. sastoji se od više atributa, tada se niti jedna njegova komponenta ne može ukloniti, a da se ne naruši pravilo jedinstvenosti 3. Pravilo integriteta primarnog ključa Niti jedna komponenta primarnog ključa ne smije imati NULL vrijednost ( kardinalitet(1,1)) Pravilo integriteta posljedica je pravila minimalnosti - ako bi neki atribut koji je dio primarnog ključa mogao poprimiti NULL vrijednost to znači da se n-torke relacije mogu identificirati bez njega Iz toga proizlazi da takav atribut uopće ne treba biti dio primarnog ključa tj. narušilo bi se pravilo minimalnosti T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)22/48
24 Primarni ključ - primjer Uz pomoć prirodne relacijske operacije selekcije moguće je dohvatiti svaku pojedinu n-torku prema atributu JMBAG koji je primarni ključ relacije Student Primarni ključ se može sastojati od od više atributa T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)23/48
25 Strani ključ Strani ključ Strani ključ predstavlja primarni ključ jedne tablice, koji se kao veza prema svojoj originalnoj tablici javlja u drugoj tablici Veze izmedu tablica u relacijskom modelu se ostvaruju pomoću njega Veze se ostvaruju stvarnim zapisom i o njima se brine sam korisnik Strani ključ uvijek referencira neki primarni ključ T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)24/48
26 Strani ključ - primjer T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)25/48
27 Pregled 2. poglavlja T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)26/48
28 podrazumijeva definiranje operacija nad tablicama (relacijama) Na osnovu nje je nastao jezik za upite u relacijskim bazama podataka Karakteristika relacijske algebre je njezina proceduralnost - navodi se redoslijed operacija koje se provode nad relacijama T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)27/48
29 su Unija (T := R S) Presjek (T := R S) Razlika (T := R S) Kartezijev produkt (T := R x S) Projekcija (T := R[a]) Selekcija (T := R where a = x) Dijeljenje (T := R S) Spajanje Inner join (T := R S) Left outer join (T := R LO S) Right outer join (T := R RO S) Full outer join (T := R FO S) Preimenovanje (ρ) Agregacija i grupiranje T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)28/48
30 Unija Unija skupova R i S je skup T koji je skup svih elemenata koji su članovi ili skupa A ili skupa B T := R S T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)29/48
31 Presjek Presjek skupova R i S je skup T koji je skup svih elemenata koji su članovi i skupa A i skupa B T := R S T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)30/48
32 Razlika Razlika skupova R i S je skup T koji se sastoji od svih elemenata koji pripadaju skupu R a ne pripadaju skupu S T := R S T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)31/48
33 Produkt Produkt skupova R i S je skup T koji se sastoji od svih kombinacija uredenih parova skupova R i S Još se naziva i Kartezijev produkt T := R x S T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)32/48
34 Pravila Za operacije unije, presjeka i produkta vrijede pravila asocijativnosti i komutativnosti (R S) T = R (S T ) = R S T (R S) T = R (S T ) = R S T (R x S) x T = R x (S x T ) = R x S x T Meduovisnost operacija R S = R (R S) = S (S R) R S = R (R S) T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)33/48
![Projekcija Operacijom projekcije (T := R[a]) tablice nad atributima izdvajaju se atributi tablice na kojima se vrši projekcija Projekcija tablice R nad atributima A jest tablica T sa zaglavljem](/docs-images/84/89304204/images/35-0.jpg "head(t ) = {A} koja sadržava sve redove koji su sadržani u tablici R Kao rezultat operacije projekcije dobije se nova tablica koja predstavlja vertikalni podskup zadane tablice T. Carić, T.")
35 Projekcija Operacijom projekcije (T := R[a]) tablice nad atributima izdvajaju se atributi tablice na kojima se vrši projekcija Projekcija tablice R nad atributima A jest tablica T sa zaglavljem head(t ) = {A} koja sadržava sve redove koji su sadržani u tablici R Kao rezultat operacije projekcije dobije se nova tablica koja predstavlja vertikalni podskup zadane tablice T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)34/48
36 Selekcija Selekcija (T := R where a = x) nad tablicom R izdvaja skup redova koji zadovoljavaju postavljeni uvjet Rezultat operacije selekcije sadrži sve atribute kao i izvorna tablica, ali samo one redove koji zadovoljavaju traženi uvjet Dobivena tablica predstavlja horizontalni podskup izvorne tablice T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)35/48
37 Dijeljenje Ako je R relacija stupnja n, a S relacija stupnja m i neka su svi atributi od S pojavljuju i u R Rezultat djeljenja (R S) je skup svih (n m)-torki < x > takvih da se n-torke < x, y > pojavljuje u R za sve m-torke < y > u S Sa x i y su označene grupe od jednog ili više vrijednosti atributa, dok stupanj relacije govori koliko pojedina relacija sadrži atributa T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)36/48
38 Unutrašnje spajanje Operacijom untrašnjeg spajanja (T := R S) povezuju se tablice na način da se spajaju redovi tablica po istim vrijednostima zajedničkog atributa Spajaju se redovi koji u stupcima istog naziva u obje tablice imaju istu vrijednost T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)37/48
39 Lijevo vanjsko spajanje Operacijom lijevog vanjskog spajanja (T := R LO S) proširuje se unutarnje spajanje Na unutrašnje spajanje dodaju se oni elementi tablice s lijeve strane koji ne sudjeluju u vezi T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)38/48
40 Desno vanjsko spajanje Operacijom desnog vanjskog spajanja (T := R RO S) proširuje se unutarnje spajanje Na unutrašnje spajanje dodaju se oni elementi tablice s desne strane koji ne sudjeluju u vezi T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)39/48
41 Potpuno vanjsko spajanje Operacijom potpunog vanjskog spajanja (T := R FO S) dobije se unija lijevog i desnog vanjkog spajanja relacija Vrijedi da je T := R FO S = R LO S R RO S T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)40/48
42 Preimenovanje Ako je zadana relacija R(A 1, A 2,..., A n ) moguće je Preimenovanje relacije: operacijom preimenoanja ρs (R) dobiva se relacija S koja ima jednaku relacijsku shemu i sadržaj kao i relacija R Preimenovanje relacije i atributa: operacijom preimenoanja ρ s(b1,b 2,...,B n)(r) dobiva se relacija S čija relacijska shema umjesto atributa (A 1, A 2,..., A n ) sadrži atribute (B 1, B 2,..., B n ), a sadržaj relacije S jednak je sadržaju relacije R T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)41/48
43 Prioriteti operatora Prioritet operatora je sljedeći 1. Projekcija 2. Selekcija 3. Spajanje, Djeljenje 4. Razlika 5. Unija, Presjek T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)42/48
44 često se primjenjuju u relacijskoj algebri kod operacije selekcije tj. kod postavljanja složenijih upita za izdvajanje redaka iz tablice Logički operatori su AND, OR i NOT Operatori AND i OR su binarni dok je operator NOT unaran T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)43/48
45 - unutrašnja veza (1/4) Unutrašnju vezu može se izraziti kombinacijom produkta, selekcije i projekcije... T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)44/48
46 - unutrašnja veza (2/4) 1. KORAK: Operacija Kartezijevog produkta C := R X S T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)45/48
47 - unutrašnja veza (3/4) 2. KORAK: Izdvajanje redaka gdje atributi istog naziva u obje tablice imaju istu vrijednost D := C where R.B = S.B D := (R X S) where R.B = S.B Rezultantna tablica ima jedan atribut više u odnosu na rezultat operacije unutrašnje veze T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)46/48
48 - unutrašnja veza (4/4) 3. KORAK: projekcija: T := D[A, R.B, C, D] T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)47/48
49 Pitanja T. Carić, T. Erdelić ITS::Baze podataka (4. tjedan)48/48
Doc. dr. sc. Markus Schatten. Zbirka rješenih zadataka iz baza podataka
Doc. dr. sc. Markus Schatten Zbirka rješenih zadataka iz baza podataka Sadržaj 1 Relacijska algebra 1 1.1 Izračun upita....................................... 1 1.2 Relacijska algebra i SQL.................................
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom.
1 Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. Pravilo 2. Svaki atribut entiteta postaje atribut relacione šeme pod istim imenom. Pravilo 3. Primarni ključ entiteta postaje
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Projektovanje informacionih sistema 39
Projektovanje informacionih sistema 39 Glava 3 3.0 Osnove relacione algebre - uvod Za manipulisanje podacima i tabelama u relacionim bazama podataka potrebna su osnovna znanja iz relacione algebre. Relaciona
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Osnovne karakteristike: Sve se predstavlja relacijama (tabelama) Zasniva se na strogoj matematičkoj teoriji Minimalna redundansa podataka Jednostavno
1 Osnovne karakteristike: Sve se predstavlja relacijama (tabelama) Zasniva se na strogoj matematičkoj teoriji Minimalna redundansa podataka Jednostavno ažuriranje podataka Izbegnute su anomalije ažuriranja
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Svaki red se može jednoznačno odrediti (postoji primarni ključ)
1 Osnovne karakteristike: Sve se predstavlja relacijama (tabelama) Zasniva se na strogoj matematičkoj teoriji Minimalna redudansa podataka Jednostavno ažuriranje podataka Izbegnute su anomalije ažuriranja
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
ELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.
Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od
DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Zadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
PRAKTIKUM ZA ŠKOLSKU GODINU
Ekonomski fakultet u Osijeku Osijek, Gajev trg 7 Baze podataka i poslovni procesi PRAKTIKUM ZA ŠKOLSKU GODINU 2014/2015 Student: Indeks br.: Smjer: Predano: UPUTE ZA UPOTREBU PRAKTIKUMA Ovaj je praktikum
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Moguća i virtuelna pomjeranja
Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
konst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Dve karakteristike čine relacioni model još uvek najpopularnijim i najšire primenjivanim:
RELACIONI MODEL RELACIONI MODEL Dve karakteristike čine relacioni model još uvek najpopularnijim i najšire primenjivanim: Struktura modela je veoma jednostavna, prihvatljiva svakom korisniku, jer relaciona
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Otpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1
Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 32 Podsjetnik teorije skupova Operacije sa skupovima: A B = {x : x A x B} A B = {x : x A
Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo