ZAVOD ZA GEOTEHNIKU. Sveučilišni diplomski studij
|
|
|
- Τύχων Αντωνοπούλου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Sveučilišni diplomski studij Smjer geotehnika GEOTEHNIČKI LABORATORIJ 3. Predavanje
2 Mehanika stijena Osnovni pojmovi Mehanika stijena teorijska i primijenjena znanost o mehaničkom ponašanju stijena; grana znanosti koja proučava stanje naprezanja u stijenskoj masi izazvano djelovanjem sila iz njene neposredne fizičke okoline. Stijenska masa prirodna geološka formacija čvrste stijene sa svim svojim oslabljenjima odnosno diskontinuitetima.
3 Mehanika stijena Monolitni uzorak stijene ( intact rock ) izvañeni dio stijenske mase koji se koristi za utvrñivanje mehaničkih svojstava stijene.
4 Mehanika stijena Razlike izmeñu tla i stijena Geološka starost - Stijene su redovito geološki starije formacije, a tla su znatno mlaña. Čvrstoća i deformabilnost - Čvrstoća tla je vrlo mala u odnosu na čvrstoću u stijene. Stijenama se mogu smatrati materijali koji imaju jednoosnu tlačnu čvrstoću veću od 1 MPa. Deformabilnost tla je vrlo velika u odnosu na deformabilnost stijene. Sadržaj vlage - Mehaničke osobine kod koherentnih tala jako ovise o sadržaju vlage dok je to kod stijena relativno rijedak slučaj.
5 Mehanika stijena Razlomljenost - Najvažnija razlika u polaznim postavkama mehanike tla i mehanike stijena. Dok se mehanika tla zasniva na mehanici kontinuuma, mehanika stijena bi se trebala zasnivati na mehanici diskontinuuma. Primarno stanje naprezanja - Radovi u tlu izvode se na ili blizu površine pa su primarna naprezanja relativno mala u odnosu na dodatna naprezanja izazvana grañenjem. Kod stijena, posebno kod podzemnih grañevina je obrnuto. U tlu vlada relativno jednostavno primarno stanje naprezanja izazvano gravitacijom. U stijenama, posebno na velikim dubinama, vlada vrlo složeno primarno stanje naprezanja na koje, osim gravitacije, imaju utjecaja tektonika i erozija.
6 7. Klasifikacija stijenske mase GF 7. Klasifikacija stijenske mase Svaka klasifikacija stijenskih masa mora zadovoljavati sljedeće uvjete: 1. podjela odreñene stijenske mase u grupe (kategorije, klase) sa sličnim ponašanjem, 2. osiguranje osnove za razumijevanje karakteristika i ponašanja svake grupe, 3. davanje kvantitativnih podataka za inženjerski projekt, 4. osiguranje zajedničke osnove za uspješnu suradnju svih sudionika u projektu.
7 7. Klasifikacija stijenske mase GF 7. Klasifikacija stijenske mase Svojstva klasifikacija: 1. jednostavna, razumljiva, lako se shvaća i pamti, 2. svaki izraz mora biti jasan, a terminologija opće prihvaćena, 3. uključena samo najznačajnija ajnija svojstva stijenske mase, 4. temeljena na parametrima koji se mogu mjeriti i odrediti brzim i jeftinim pokusima na terenu, 5. temeljena na bodovnom sustavu koji može ocijeniti relativnu važnost klasifikacijskih parametara, 6. daje kvantitativne podatke za projekt podgradnog sustava.
8 7. Klasifikacija stijenske mase GF 7. Klasifikacija stijenske mase Vrste klasifikacija: 1. Terzaghijeva klasifikacija, 2. Laufferova klasifikacija, 3. Rock Quality Designation klasifikacija (RQD), 4. Rock Strukture Rating klasifikacija (RSR), 5. Rock Quality Designation klasifikacija (RQD), 6. Geomehanička klasifikacija (RMR), 7. Rock Tunneling Quality Indeks (Q klasifikacija), 8. Rock Mass Indeks klasifikacija (RMi), 9. GSI klasifikacija.
9 7. Klasifikacija stijenske mase GF 7. Klasifikacija stijenske mase Rock Quality Designation klasifikacija (RQD) Deere et al., Rock Quality Designation (RQD) Index definiran je kao postotak intaktne jezgre koja sadrži odlomke dužine 100 mm (4 incha) ili duže u ukupnoj dužini izbušene jezgre. Za odreñivanje vrijednosti RQD, International Society for Rock Mechanics (ISRM) odreñuje promjer jezgre barem NX 54.7 mm (ili 2.15 inch) bušen s dvostrukom sržnom cijevi.
10 7. Klasifikacija stijenske mase GF 7. Klasifikacija stijenske mase L = 3 8 c m L = 1 7 c m R Q D = d u ž i n a o d l o m a k a je z g r e d u ž e o d 1 0 c m u k u p n a d u ž in a je z g r e L = 0 R Q D = ( ) x = 5 5 % L = 2 0 c m L=2 m L = 3 5 c m L o m j e z g r e u z r o k o v a n b u š e n je m L = 0 N ije iz v añena j e z g r a Postupak mjerenja i izračunavanja RQD indeksa (Deere, 1989)
11 7. Klasifikacija stijenske mase GF 7. Klasifikacija stijenske mase Predložen je sljedeći odnos izmeñu RQD indeksa i kvalitete stijene:
12 7. Klasifikacija stijenske mase GF 7. Klasifikacija stijenske mase RQD indeks koristi se kao jedan od osnovnih elemenata u mnogim, kasnije razvijenim klasifikacijama, a posebno u obje glavne klasifikacije stijenske mase: RMR i Q. Bez obzira što je RQD jednostavna i relativno jeftina metoda odreñivanja kvalitete stijenske mase sama nije dovoljna za adekvatan opis stijenske mase. Glavni nedostaci su što ne uzima u obzir orijentaciju pukotina, širinu i materijal ispune, te posebno kut trenja i hrapavost zidova pukotina. Problemi se javljaju i pri korištenju RQD indeksa za stijensku masu vrlo slabe kvalitete.
13 7. Klasifikacija stijenske mase GF 7. Klasifikacija stijenske mase ZADATAK Za potrebe klasificiranja stijenske mase u tunelu Vrata, izvañene su tri jezgre stijenske mase, dužine 1m, za svaki od tri skupa diskontinuiteta. Treba odrediti RQD indeks. UZORAK 1 UZORAK 2 UZORAK RQD = ( Σdužinaodlomakajezgredužeod 10cm) ukupnadužinajezgre 100 [%] Uzorak RQD = ( ) = 58% Uzorak Uzorak RQD = ( ) = 63% RQD = ( ) = 72%
14 7. Klasifikacija stijenske mase GF 7. Klasifikacija stijenske mase Geomehanička klasifikacija (RMR) Bieniawski, Izvorno je razvijena za potrebe karakterizacije stijenske mase i projektiranje podgradnog sustava za tunele. Brojni autori koji su koristili predmetnu klasifikaciju doprinjeli su svojim zapažanjima na osnovi iskustva pri izvoñenju tunela, podzemnih prostora, kamenoloma i rudnika, pokosa i temeljenja. Posljednju promjenu RMR sustava predložio je Bieniawski godine.
15 7. Klasifikacija stijenske mase GF 7. Klasifikacija stijenske mase Klasifikacijska procedura zasniva se na odreñivanju sljedećih šest parametara: 1. jednoosna tlačna čvrstoća, 2. RQD indeks (Rock Quality Designation, 3. razmak pukotina (diskontinuiteta), 4. stanje pukotina (diskontinuiteta), 5. uvjeti podzemne vode, 6. orijentacija pukotina (diskontinuiteta).
16 7. Klasifikacija stijenske mase GF 7. Klasifikacija stijenske mase Klasifikacija se temelji na bodovanju pri čemu su različitim parametrima pridružene različite numeričke vrijednosti u ovisnosti o njihovoj važnosti za sveukupnu klasifikaciju stijenske mase. Predmetni bodovi se sumiraju i ukupna suma daje vrijednost RMR. Najveći utjecaj u promjeni pojedinih odnosa bodova je težina značaja pridodana utjecaju razmaka diskontinuiteta (pukotina), stanju diskontinuiteta (pukotina) i podzemne vode.
17 7. Klasifikacija stijenske mase GF 7. Klasifikacija stijenske mase
18 7. Klasifikacija stijenske mase GF 7. Klasifikacija stijenske mase
19 7. Klasifikacija stijenske mase GF 7. Klasifikacija stijenske mase
20 7. Klasifikacija stijenske mase GF 7. Klasifikacija stijenske mase
21 7. Klasifikacija stijenske mase GF 7. Klasifikacija stijenske mase Bieniawski je, obzirom na kategoriju stijenske mase, objavio i preporuke za iskop i podgrañivanje tunela potkovičastog oblika, raspona 10 m, iskopanog miniranjem stijenske mase s primarnim vertikalnim naprezanjima u tlu < 25 MPa. Nedostatak RMR klasifikacije je činjenica da je sustav tako osjetljiv da već i male varijacije u kvaliteti stijenske mase mogu utjecati na značajnu promjenu vrijednosti, što uz konzervativno tumačenje može odrediti bitno drugačiji podgradni sustav. Uspostavljena veza izmeñu RMR klasifikacije te kriterija čvrstoće i deformabilnosti daje poseban značaj ovoj klasifikaciji.
22 7. Klasifikacija stijenske mase GF 7. Klasifikacija stijenske mase Rock Tunneling Quality Indeks (Q klasifikacija) Barton et al., Klasifikacija je napravljena primarno za odreñivanje karakteristika st. mase i odgovarajuće tunelske podgrade. Klasifikacija je zasnovana na numeričkoj procjeni kvalitete stijenske mase koja se opisuje sa šest parametara i to: 1. RQD - Rock Quality Designation, 2. J n - broj skupova (familija) pukotina, 3. J - indeks hrapavosti pukotina, 4. J r - alteracije (trošnosti) pukotina, 5. J a - faktor pukotinske vode i w 6. SRF - faktor redukcije naprezanja.
23 7. Klasifikacija stijenske mase GF 7. Klasifikacija stijenske mase Vrijednost indeksa Q varira (u logaritamskom mjerilu) od do 1000, a sama vrijednost indeksa Q odreñena je izrazom: Q RQD = J n J J r a J w SRF Kvocijent (RQD / ) predstavlja cjelokupnu strukturu stijenske mase i reprezentira relativnu veličinu bloka. Kvocijent ( ) predstavlja veličinu približne posmične r J a čvrstoće izmeñu blokova u funkciji hrapavosti i alteracije pukotina. Ustanovljena je veza u kojoj tan 1 J / pukotina. ( J ) r / J a J n odgovara vrijednosti posmične čvrstoće
24 7. Klasifikacija stijenske mase GF 7. Klasifikacija stijenske mase J w / SRF Kvocijent ( ) predstavlja aktivni pritisak kroz odnos pritiska vode u pukotinama i parametra SRF koji predstavlja: 1. opterećenje rastresene zone u području rasjednih zona ili zona stijenske mase s glinom ili 2. naprezanja kod zdravih stijenskih masa ili 3. naprezanja nastala uslijed gnječenja ili bubrenja plastičnih stijenskih masa.
25 7. Klasifikacija stijenske mase GF 7. Klasifikacija stijenske mase
26 7. Klasifikacija stijenske mase GF 7. Klasifikacija stijenske mase
27 7. Klasifikacija stijenske mase GF 7. Klasifikacija stijenske mase
28 7. Klasifikacija stijenske mase GF 7. Klasifikacija stijenske mase
29 7. Klasifikacija stijenske mase GF 7. Klasifikacija stijenske mase Grimstad i Barton, godine predložili su podgradne sustave u odnosu na Q indeks i ekvivalentnu dimenziju iskopa u izdvojenih 9 kategorija stijenske mase. Barton and Grimstad, godine su na osnovi Q indeksa ustanovili: - vezu s RMR klasifikacijom (RMR = 9lnQ + 44), - vezu s deformabilnosti stijenske mase, - vezu s tlakom na podgradni sustav te - vezu s brzinom posmičnih valova u stijenskoj masi.
30 7. Klasifikacija stijenske mase GF 7. Klasifikacija stijenske mase ZADATAK Za potrebe klasificiranja stijenske mase u tunelu Vrata izvedeni su inženjersko-geološki i geotehnički istražni radovi na čelu tunela na stacionaži m. Ustanovljena su tri skupa pukotina u čijem području su izvedena istražna bušenja i odreñeni indeks točkaste čvrstoće (PLT) te indeks kvalitete jezgre (RQD). Utvrñeno je da se radi o dolomitiziranom vapnencu, svijetlo do tamno sive boje sa jasno vidljivim strukturnim elementima. Prvi skup diskontinuiteta se pruža okomito na os tunela, dok je iskop u smjeru suprotnom od nagiba diskontinuiteta 20-45º. Drugi skup diskontinuiteta se pruža okomito na os tunela, dok je iskop u smjeru suprotnom od nagiba diskontinuiteta 45-90º. Treći skup diskontinuiteta se pruža okomito na os tunela, dok je iskop u smjeru nagiba diskontinuiteta 45-90º. Treba klasificirati stijensku masu prema RMR i Q sustavu. Metoda iskopa: Bušenje i miniranje Dnevni napredak: 2,00m Nadsloj: 18,00m Smjer napredova: 240 Diskontinuiteti P. voda Oznaka diskontinuiteta: SKUP 1 SKUP 2 SKUP 3 Is(MPa) 2,80 2,50 3,20 RQD Razmak disk./debljina: mali 0,06-0,2m mali 0,06-0,2m srednji 0,2-0,6m Dužina, perzistencija: 3,0-10,0 m 1,0-3,0 m 3,0-10,0 m Zijev: 1,0-5,0 mm 1,0-5,0 mm > 5,0 mm Hrapavost: neznatno hrapave neznatno hrapave neznatno hrapave tvrda ispuna tvrda ispuna meka ispuna Ispuna: <5mm <5mm <5mm Rastrošenost: umjereno trošne neznatno trošne neznatno trošne Priljev na 10 m tunela: nikakav Opće stanje: potpuno suho Inženjersko geološki izvještaj
31 7. Klasifikacija stijenske mase GF 7. Klasifikacija stijenske mase RMR KLASIFIKACIJA Diskontinuiteti: SKUP 1 SKUP 2 SKUP 3 1. Indeks čvrstoće u točki (MPa): broj bodova RQD (%): broj bodova Razmak diskontinuiteta: mali m mali m srednji m broj bodova Stanje diskontinuiteta: Dužina: m m m broj bodova Zijev: mm mm > 5.0 mm broj bodova Hrapavost: neznatno hrapave neznatno hrapave neznatno hrapave broj bodova Ispuna: tvrda ispuna <5mm tvrda ispuna <5mm meka ispun. <5mm broj bodova Rastrošenost: umjereno trošne neznatno trošne neznatno trošne broj bodova Podzemna voda: Priljev na 10m' tunela (l/min): nikakav Opće stanje: potpuno suho broj bodova Korekcija za utjecaj pružanja i nagiba diskontinuiteta: nepovoljno dobro vrlo povoljno broj bodova UKUPAN BROJ BODOVA: Bodovi <20 Kategorija I II III IV V Opis stijene Vrlo dobra Dobra Povoljna Slaba Vrlo slaba
32 7. Klasifikacija stijenske mase GF 7. Klasifikacija stijenske mase Q KLASIFIKACIJA 1. Indeks kvalitete jezgre (RQD): opis povoljna 50-75% broj bodova Broj skupova pukotina (Jn): opis tri familije pukotina broj bodova 9 3. Indeks hrapavosti pukotina (Jr): opis 4. Indeks alteracije pukotine (Ja): opis 5. Faktor reduk. pukotinske vode (Jw): opis 6. Faktor redukcije napona (SRF): opis hrapave ili nepravilne, ravne broj bodova 1.5 neznatno promijenjeni zid pukotine broj bodova 2 suhi iskop ili manji priliv (<5l/min lokalno/tlak<0,1mpa) broj bodova 1 nizak tlak, blizu površine broj bodova 2.5 Q=(RQD/Jn)x(Jr/Ja)x(Jw/SRF)= RMR = 9 x lnq + 44 = 48 Bodovi <20 Kategorija I II III IV V Opis stijene Vrlo dobra Dobra Povoljna Slaba Vrlo slaba
33 8. Laboratorijski istražni radovi 5.1. Ultrazvučna ispitivanja 5.2. Point Load Test (PLT) 5.3. Jednoosna tlačna ispitivanja 5.4. Sadržaj karbonata
34 Ultrazvučna ispitivanja Ultrazvuk se koristi za odreñivanje brzine širenja elastičnih valova na laboratorijskim uzorcima. Spada u nerazorne metode ispitivanja.
35 Ultrazvučna ispitivanja Ultrazvuk se koristi za: - ispitivanje homogenosti stijene, - mjerenje brzine širenja uzdužnog vala u stijeni, - odreñivanje modula elastičnosti pri malim deformacijama, - procjenu jednoaksijalne tlačne čvrstoće stijene. Princip rada: Generator impulsa preko odašiljača (Tx) impulsa generira uzdužni val koji prolazi kroz uzorak stijene dužine (L) i registrira se u prijemniku (Rx). Vremenski interval od trenutka kada impuls napušta odašiljač, pa do trenutka prijema impulsa, predstavlja vrijeme prolaska impulsa (t). Brzina širenja uzdužnih valova (v) dana je izrazom: L v = / t [ m s]
36 Ultrazvučna ispitivanja Prolaz impulsa može biti: direktan, indirektan i poludirektan. Kada se ultrazvuk koristi za procjenu tlačne čvrstoće stijene, mjerenje vremena prolaska vala izvodi se samo direktnim prolazom impulsa.
37 Ultrazvučna ispitivanja Za razne debljine uzorka ureñaj mora imati sonde čije su frekvencije dane izrazom: f > / gdje je: a - debljina uzorka (mm), f 0 - vlastita frekvencija (khz). Postupak ispitivanja: - izmjerimo dužinu uzorka (L) te promjer i masu uzorka, na osnovi tih dimenzija proračunavamo gustoću ( ) ; - sonde priključimo na ureñaj (obje sonde rade i kao predajnik i kao prijemnik) i uključimo mjerni ureñaj; a ρ
38 Ultrazvučna ispitivanja - pri izboru mjernog mjesta odabiru se ravne, čiste i suhe površine, a ako to nije moguće tada se brušenjem i čišćenjem dovode u takvo stanje; - zbog postizanja dobrog kontakta sonda-stijena stijena površinu ispitnog mjesta u tankom sloju premažemo sredstvom za podmazivanje (gel, neka prikladna mast). Ovim nanošenjem se eliminira zrak na spoju sonda - uzorak čime se povečava točnost mjerenja; - uzorak na kojem se mjeri brzina širenja valova stavlja se izmeñu sondi, pa na taj način možemo odrediti vrijeme
39 Ultrazvučna ispitivanja prolaza ultrazvučnog vala kroz uzorak za duljinu puta koja je definirana razmakom sondi odnosno duljinom uzorka; v v 2 v3 - postupak ponavljamo tri puta te dobivamo brzine 1, i v,, 1 = L / t 1 v 2 = L / t 2 v 3 = L / t3 (iako ispitivanje provodimo na intaktnoj stijeni uzorak u većini slučajeva ima nekakve pukotine ili nepravilnosti pa da bi dobili što točnije rezultate postupak ponavljamo minimalno tri puta); - izračunamo prosječnu brzinu širenja uzdužnih valova kroz uzorak: v = v v3 v2 3
40 Ultrazvučna ispitivanja Modul elastičnosti stijene pri malim deformacijama odreñuje se koristeći prethodno izmjerenu gustoću uzorka: E = ρ v 2 [ GPa] Tlačna čvrstoća se procjenjuje uspostavljanjem korelacijske ovisnosti sa brzinom širenja uzdužnog vala: f b gdje je: - računska tlačna čvrstoća (MPa) v - brzina prolaza uzdužnog vala (km/s) A - konstanta (MPa MPa) B - konstanta (s/km) f b = A e B v
41 Ultrazvučna ispitivanja ZADATAK Na uzorku cilindričnog oblika promjera 9.3 cm, visine 12.6 cm, te mase 2240 g provedeno je ultrazvučno ispitivanje i izmjereno je vrijeme prolaska impulsa (t) kroz uzorak: t1 = µs; t2 = µs; t 3 = µs.. Treba odrediti brzinu širenja uzdužnih valova (v) kroz uzorak te modul elastičnosti stijene pri malim deformacijama (E). 2 L v 1 = = = / 6 t [ m s] 2 L v t / 3 = = = 6 3 [ m s ] 2 L v 2 = = = / 6 t v1 + v2 + v v = = = / [ m s] [ m s] π π 3 M 2240 h = [ cm ] [ ] 3 ρ = = = g / cm 2 d V = = 4 4 V ( ) = [ kn / m ] [ MN / ] 2 E = ρ v =.617 = 2 m
42 Point Load Test (PLT) Point Load Test (PLT) ili Indeks točkaste čvrstoće predstavlja metodu za odreñivanje čvrstoće stijene pri opterećenju u točki. PLT je zamišljen kao indeksni test za klasifikaciju stijenske mase izravno ili u korelaciji s jednoosnom tlačnom čvrstoćom. Princip PLT testa sastoji se u tome da se uzorci stijene lome primjenom koncentriranog opterećenja preko para zaobljenih konusnih šiljaka. Ako je uzorak stijene u obliku jezgre tada se vrše takozvani ''dijametralni dijametralni'' i ''aksijalni aksijalni'' testovi, ako je u obliku rezanih blokova ili je nepravilan vrši se ''blok test'' ili ''test nepravilnih uzoraka'' ''.
43 Point Load Test (PLT) Ureñaj za ispitivanje sastoji se od sustava za nanošenje opterećenja (okvir, pumpa s polugom, klip i konusni šiljci), sustava za mjerenje sile koja je potrebna da se uzorak slomi i sustava za mjerenje razmaka D izmeñu dviju točaka kontakta uzorka sa šiljcima.
44 Point Load Test (PLT) Sustav za nanošenje opterećenja sastoji se od okvira, konusnih šiljaka od tvrdog metala te hidraulične pumpe i potisnog cilindra. Konusni šiljci služe za prijenos opterećenja na uzorak. Šiljci moraju biti izvedeni pod kutom od 60º te radijusom zakrivljenosti od 5 mm na samom vrhu, pri čemu centriranost mora biti dobro osigurana. Razmak izmeñu zaobljenih šiljaka mora biti mm tako da se omogući testiranje uzoraka u traženom rasponu dimenzija. Kapacitet opterećenja mora biti dovoljan da slomi najveće i najčvršće uzorke.
45 Point Load Test (PLT) Stroj za testiranje mora biti konstruiran tako da ne doñe do njegove deformacije prilikom ponavljanog maksimalnog opterećenja. Šiljci moraju biti izrañeni od tvrdog materijala tako da ostanu neoštećeni prilikom testiranja.
46 Point Load Test (PLT) Sustav za mjerenje sile (hidraulička preša) bi trebao omogućiti fiksiranje sile P kod loma, a mjerenje sile ne smije odstupati više od 5 % bez obzira na veličinu i čvrstoću uzorka koji se testira. Sustav treba biti otporan na hidraulička opterećenja i vibracije tako da ponavljanje testiranja ne utječe na preciznost očitanih rezultata. Lom je najčešće iznenadan i ureñaj za maksimalnu silu je bitan tako da se sila loma može zadržati i očitati nakon svakog testiranja.
47 Point Load Test (PLT) Sustav za mjerenje razmaka izmeñu šiljaka treba omogućiti mjerenje udaljenosti D izmeñu dodirnih točaka uzorka i šiljka. Mjerenje razmaka mora biti sa točnošću od 2 % bez obzira na dimenzije uzorka. Sustav treba biti otporan na hidraulička opterećenja i vibracije tako da ponavljanje testiranja ne utječe na preciznost očitanih rezultata. Takoñer treba omogućiti provjeru vrijednosti nultog pomaka kada su šiljci u kontaktu.
48 Point Load Test (PLT) Postupak ispitivanja - uzmemo uzorak cilindričnog oblika, te mu izmjerimo promjer (D), duljinu i masu; - ako je omjer dužine i širine (promjer) veći od 1 provodimo dijametralni test (d); - uključimo ureñaj za PLT; - uzorak umetnemo u stroj za ispitivanje, a šiljci se približe da stvore kontakt duž promjera jezgre; - udaljenost izmeñu dodirne točke šiljka i uzorka do najbližeg slobodnog ruba treba biti najmanje ½ promjera jezgre;
49 Point Load Test (PLT) - udaljenost D izmeñu šiljaka se mjeri sa točnošću 2%, te na taj način još jednom provjerimo izmjereni promjer D; - na monitoru za prešu stisnemo peak da bi nam ureñaj sam "pamtio" silu potrebnu da se uzorak slomi; - nakon toga nanosimo silu do konačnog sloma uzorka; - kada uzorak pukne očitamo maksimalnu silu P i unosimo
50 Point Load Test (PLT) je u za to postojeće formulare; - postupak ponavljamo toliko dugo dok omjer dužine i širine (promjer) više nije veći od 1 odnosno dok ne dobijemo dužine uzoraka pogodne za aksijalno ispitivanje; - aksijalni test (a) provodimo na uzorcima jezgre kojima je omjer dužine i širine 0.3-1;
51 Point Load Test (PLT) - uzorak umetnemo u stroj za ispitivanje, a šiljci se približe tako da čine kontakt duž linije koja je okomita na krajnje površine jezgre; - udaljenost D izmeñu šiljaka se mjeri sa točnošću 2%, širina W okomita na smjer nanošenja opterećenja enja sa točnošću od 5 %; - na monitoru za prešu stisnemo peak da bi nam ureñaj sam "pamtio" silu potrebnu da se uzorak slomi; - nakon toga nanosimo silu do konačnog sloma uzorka; - kada uzorak pukne očitamo maksimalnu silu P; - postupak ponavljamo dok ne potrošimo sav materijal.
52 Point Load Test (PLT) PRORAČUN Nekorigirana čvrstoća pri opterećenju u točki računa se po formuli: gdje je: I = P D s 2 e [ MPa] P - maksimalna sila zabilježena u trenutku sloma [kn], D e - ekvivalentni promjer jezgre [mm]. Za dijametralni test: Za aksijalni test: 2 2 D e = D 2 D e = A / [ ] 2 mm [ ] 2 4 π mm gdje je A minimalna površina presjeka kroz uzorak u ravnini točaka kontakta zaobljenih šiljaka i iznosi A = D W
53 Point Load Test (PLT) Korekcija vrijednosti indeksa čvrstoće u odnosu na dimenzije uzorka I s Vrijednost -a varira kao funkcija od D u dijametralnom testu i kao funkcija od D e u aksijalnom testu. Zbog toga se mora izvršiti korekcija u odnosu na dimenzije uzoraka da bi se dobila unificirana vrijednost PLT-a. Korigirana vrijednost PLT-a definira se kao čvrstoća uzorka izmjerena u dijametralnom testu na uzorku promjera 50 mm (D=50 mm) i označava se kao. I s(50)
54 Point Load Test (PLT) Najpouzdanija metoda korekcije veličine I s je testiranje uzorka različitog D ili D e, te grafički prikaz odnosa P i D e2. Ako se koristi log-log krivulja, odnos izmeñu P i D e2 je najčešće č ć ravna crta. Točke koje odstupaju od pravca, mogu se zanemariti (ali se ne uklanjaju). Korištenjem dijagrama dobije se pravac preko kojeg se odreñuje vrijednost P 50, koja odgovara D e2 = 2500 mm 2. Postupak grafičkog odreñivanja I s(50) iz skupa vrijednosti D e 2
55 Point Load Test (PLT) I s Korekcija vrijednosti (ako se ispituje uzorak koji ne odgovara promjeru od 50 mm) može se izvršiti i pomoću formula gdje je: F faktor korekcije u odnosu na dimenzije, može se dobiti iz dijagrama ili pomoću sljedeće jednadžbe: F D 50 = e 0.45 Graf faktora korekcije s obzirom na dimenziju
56 Point Load Test (PLT) Te je: I s(50) = F I s [ MPa] I s(50) - korigirana vrijednost indeksa točkaste čvrstoće u odnosu na dimenzije uzorka [MPa MPa]. I s(50) Prosječna vrijednost računa se izbacivanjem najveće i najmanje vrijednosti i izračunavanjem srednje vrijednosti preostalih rezultata.
57 Point Load Test (PLT) ZADATAK Na uzorku koji pripada istoj stijenskoj masi kao i uzorak iz prethodnog zadatka provedena su tri dijametralna i tri aksijalna pokusa točkaste čvrstoće (PLT test) i dobiveni su slijedeći rezultati: br. uzorak tip W (mm) D (mm) P (kn) D e 2 (mm 2 ) ( W D) 2 4 D e = π D e (mm) I s (MPa) P I s = D 2 e F F D 50 = e 0.45 I s (50) (MPa) I = F I 1 F-1 d F-1 d F-1 d F-1 a F-1 a F-1 a s(50) s I s ( 50) = [ MPa]
58 Jednoosna tlačna ispitivanja Pokus jednoosnog tlaka (Uniaxial Compressive Strength) je pokus primarno namijenjen za klasifikaciju čvrstoće i karakterizaciju intaktne stijene. Postupak ispitivanja, odgovarajuća oprema te proračun modula elastičnosti na temelju rezultata mjerenja detaljno su prikazani u ASTM D
59 Jednoosna tlačna ispitivanja Pokus jednoosnog pritiska može se obavljati na dva načina: 1) pokus sa kontroliranom deformacijom - deformacija (pomak) je kontrolirana (neovisna) varijabla a naprezanje (sila) je ovisna (mjerena) varijabla (unaprijed je definiran prirast deformacije u vremenu (unaprijed se definira brzina skraćenja ć visine uzorka (mm/min)). 2) pokus sa kontroliranim naprezanjem - naprezanje (sila) je kontrolirana (neovisna) varijabla a deformacija (pomak) je ovisna (mjerena) varijabla. Prirast naprezanja ili deformacija treba biti takav da se slom uzorka ostvari u vremenu izmeñu 2 i 15 minuta.
60 Jednoosna tlačna ispitivanja Postupak ispitivanja: - za ispitivanje krutosti u laboratoriju koriste se cilindrični uzorci stijene dobiveni dijamantnim bušenjem koje najmanje oštećuje stijenu i omogućava dobivanje reprezentativnih mehaničkih parametara stijene; - promjer uzorka treba biti veći od 47 mm. Visina uzorka treba biti puta veća od njegovog promjera. Ravnost plašta uzorka treba biti manja od 0.5 mm, a ravnost baze manja od mm; - nakon postavljanja u ureñaj za ispitivanje uzorak se opterećuje uzdužnom silom uz istovremeno mjerenje
61 Jednoosna tlačna ispitivanja uzdužnih i radijalnih deformacija (pomaci i nanesena sila bilježe se kompjuterski); - promjena visine uzorka ( L) odnosno uzdužna deformacija mjeri se na način da se na uzorak pričvrste nosači senzora za mjerenje pomaka. Razmak izmeñu nosača senzora je početna visina uzorka (L) koja se uzima u proračun modula. Mjerenja se obavljaju na najmanje dva senzora, ravnomjerno rasporeñena oko uzorka, a u proračun se uzima prosječna vrijednost izmjerenih pomaka; - promjena promjera uzorka ( D) odnosno radijalna
62 Jednoosna tlačna ispitivanja deformacija uzorka vrši se na način da se na uzorak pričvrsti senzor za mjerenje promjene opsega uzorka ili najmanje dva senzora (u našem slučaju tri senzora) za mjerenje promjene promjera uzorka, ravnomjerno rasporeñena oko uzorka promjera (D), kod kojih se u proračun uzima prosječna vrijednost izmjerenih pomaka; Deformacija uzoraka u jednoosnom stanju naprezanja
63 Jednoosna tlačna ispitivanja - obzirom da do sloma intaktnih uzoraka stijene dolazi kod vrlo malih deformacija postavljeni su vrlo visoki zahtjevi na mjerne senzore. Deformacije se moraju mjeriti sa rezolucijom od barem 25x10-6 i točnošću unutar 2% za vrijednosti deformacija većih od 250x10-6 odnosno sa rezolucijom i točnošću unutar 5x10-6 za vrijednosti deformacija manjih od 250x10-6 ;
64 Jednoosna tlačna ispitivanja - zbog trenja koje se javlja na krajevima uzorka u dodiru sa pločom, preko koje se prenosi opterećenje, samo je središnji dio uzorka u jednoosnom stanju naprezanja. Najveće tlačno naprezanje koje uzorak stijenske mase može preuzeti neposredno prije sloma naziva se jednoosna tlačna čvrstoća ( ). σ c
65 Jednoosna tlačna ispitivanja Uzdužno tlačno naprezanje: σ = A = P A d 2 π 4 Naponsko deformacijske krivulje u jednoosnom stanju naprezanja Uzdužna deformacija: ε ax = L L Radijalna deformacija: ε rad = D D
66 Jednoosna tlačna ispitivanja Odreñivanje čvrstoće i modula elastičnosti:
67 Sadržaj karbonata Glavni oblik pojavljivanja karbonata u tlu i stijeni je kalcijev karbonat. U postupku odreñivanja sadržaja karbonata solna kiselina djeluje sa karbonatima, formira se klorid i oslobaña ugljični dioksid: CaCO3 + 2HCL CaCl2 + H 2O + CO2 Osloboñeni ugljični dioksid sakuplja se i mjeri mu se volumen, iz čega se zatim odreñuje masa ugljičnog dioksida ako se zna temperatura i atmosferski tlak.
68 Sadržaj karbonata Masa ugljičnog dioksida u ovisnosti o temperaturi i atmosferskom tlaku. Iz mase ugljičnog dioksida i težinskog odnosa prema kalcijevom karbonatu proračuna se masa karbonata u uzorku tla i izrazi u postotku od početne suhe mase.
69 Sadržaj karbonata Sadržaj karbonata u stijeni je odnos mase karbonata prema suhoj masi stijene Ureñaj za odreñivanje sadržaja karbonata (kalciometar po Schleiberu) 1 7
70 Sadržaj karbonata Dijelovi ureñaja - posuda (boca za reakciju) sa gumenim čepom (1), - epruveta koja se stavlja u bocu za reakciju (2), - cijev za prolaz ugljičnog dioksida (3), - graduirana cijev (4), - ventil (5), - cijev za izjednačavanje nivoa vode (6), - bireta, staklena cijevčica za uzimanje i mjerenje tekućine, - kliješta za primanje uzoraka (7), - termometar, - barometar.
71 Sadržaj karbonata Postupak ispitivanja - čista, suha i prazna boca za reakciju (1) stavi se na vagu i nulira se njezina težina, u posudu polako stavljamo oko 2 g pripremljenog uzorka, točnu težinu suhe probe upisujemo u pripremljeni formular; - bocu (1) sa izvaganom količinom uzorka stavimo pored kalcimetra; - u epruvetu (2) pomoću pipete stavimo 5 do 10 ml razrjeñene solne kiseline i pomoću kliješta (7) ju pažljivo spustimo u bocu sa uzorkom pazeći da se kiselina ne prolije po uzorku;
72 Sadržaj karbonata - ventil (5) na gornjem kraju graduirane cijevi (4) otvorimo dok se nivo vode u cijevima (4) i (6) ne izjednači, treba voditi računa da nivo vode u graduiranoj cijevi (4) mora biti na 0 (po potrebi dodamo destiliranu vodu u cijev); - zatvorimo ventil (5) i na bocu (1) sa uzorkom i epruvetom stavimo gumeni čep; - bocu (1) sa uzorkom i solnom kiselinom prevrnemo tako da se kiselina razlije po uzorku te ju dobro protresemo radi što bolje reakcije; - ugljični dioksid koji se oslobaña potiskuje vodu u graduiranoj cijevi (4), a dizanjem cijevi (6) (koja je
73 Sadržaj karbonata pomična) nivoi vode u cijevima (4) i (6) se izjednače; - bocu ponovno protresemo i izjednačimo nivoe vode u cijevima (4) i (6); - postupak protresanja boce ponavljamo dok volumen ugljičnog dioksida u cijevi (4) ne prestane rasti; - nakon završene kemijske reakcije na graduiranoj cijevi (4) očitamo volumen osloboñenog ugljičnog dioksida podatak zapisujemo u formular; - isto tako na barometru i termometru očitamo atmosferski tlak i temperaturu i zapisujemo u formular.
74 Sadržaj karbonata PRORAČUN Rezultat pokusa je količina osloboñenog ugljičnog dioksida. Za poznatu temperaturu i atmosferski pritisak postoje 3 tabele sa podatkom o masi 1 ugljičnog dioksida. cm Sadržaj ugljičnog dioksida izražava se u postocima u odnosu na ukupnu suhu masu uzorka, a može se izračunati prema sljedećoj formuli: D B C = % A gdje je: A - težina suhog uzorka [g], [ ] [ ] CO 2 cm 3 B - količina osloboñenog,
75 Sadržaj karbonata C težina 1 [mg], CO 2 cm 3 CO 2 D - u postotku od suhe mase uzorka [%]. Iz odnosa težina ugljičnog dioksida i kalcijevog karbonata, može se iz poznatog postotka CO 2 izračunati sadržaj kalcijeva karbonata u postotku od mase suhog uzorka prema sljedećoj ć formuli: E = D [%] gdje je: E - kalcijev karbonat u postotku od mase suhog uzorka [%].
Sveučilište u Zagrebu Građevinski fakultet. Preddiplomski studij GEOTEHNIČKO INŽENJERSTVO. 3. predavanje. Laboratorijski istražni radovi
Sveučilište u Zagrebu Građevinski fakultet Preddiplomski studij GEOTEHNIČKO INŽENJERSTVO 3. predavanje Laboratorijski istražni radovi SADRŽAJ PREDAVANJA Ultrazvučna ispitivanja Sklerometar Schimdt hammer
Izravni posmik. Posmična čvrstoća tla. Laboratorijske metode određivanja kriterija čvratoće ( c i φ )
Posmična čvrstoća tla Posmična se čvrstoća se često prikazuje Mohr-Coulombovim kriterijem čvrstoće u - σ dijagramu c + σ n tanφ Kriterij čvrstoće C-kohezija φ -kut trenja c + σ n tan φ φ c σ n Posmična
MJERENJE MALIH DEFORMACIJA U LABORATORIJU
MJERENJE MALIH DEFORMACIJA U LABORATORIJU RAZLOZI MJERENJA DEFORMACIJA U TLU Pri projektiranju dinamički opterećenih temelja treba odrediti sljedeće: kriterije ponašanja (dozvoljene amplitude, brzine,
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Impuls i količina gibanja
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba 4 Impuls i količina gibanja Ime i prezime prosinac 2008. MEHANIKA
Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21,
Kolegij: Konstrukcije 017. Rješenje zadatka. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu 1. ULAZNI PARAETRI. RAČUNSKE VRIJEDNOSTI PARAETARA ATERIJALA.1. Karakteristične vrijednosti parametara tla Efektivna Sloj
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
10. STABILNOST KOSINA
MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Masa, Centar mase & Moment tromosti
FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA
PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Statički sustav glavnog krovnog nosača je slobodno oslonjena greda raspona l11,0 m. 45 0 65 ZAŠTITNI SLOJ BETONA
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
LOGO ISPITIVANJE MATERIJALA ZATEZANJEM
LOGO ISPITIVANJE MATERIJALA ZATEZANJEM Vrste opterećenja Ispitivanje zatezanjem Svojstva otpornosti materijala Zatezna čvrstoća Granica tečenja Granica proporcionalnosti Granica elastičnosti Modul
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
3. OSNOVNI POKAZATELJI TLA
MEHANIKA TLA: Onovni paraetri tla 4. OSNONI POKAZATELJI TLA Tlo e atoji od tri faze: od čvrtih zrna, vode i vazduha i njihovo relativno učešće e opiuje odgovarajući pokazateljia.. Specifična težina (G)
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE
Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA
FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
BETONSKE KONSTRUKCIJE 2
BETONSE ONSTRUCIJE 2 vježbe, 31.10.2017. 31.10.2017. DATUM SATI TEMATSA CJELINA 10.- 11.10.2017. 2 17.-18.10.2017. 2 24.-25.10.2017. 2 31.10.- 1.11.2017. uvod ponljanje poznatih postupaka dimenzioniranja
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Troosni posmik. Troosni posmik. Troosni posmik. Priprema neporemećenog uzorka. Troosnaćelija. Uzorak je u gumenoj membrani Ćelija se ipuni sa vodom
Troosnaćelija Ploha loma Priprema neporemećenog uzorka Uzorak je u gumenoj membrani Ćelija se ipuni sa vodom 1 Oprema za troosna ispitivanja (Institut IGH Zagreb) Test Animation σ1= = σdev = σ1= = σdev
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Otpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika
1. Kinematika Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika Kinematika (grč. kinein = gibati) je dio mehanike koji
Sveučilište u Zagrebu Građevinski fakultet. Preddiplomski studij GEOTEHNIČKO INŽENJERSTVO. 7. predavanje. Opis i čvrstoća diskontinuiteta
Sveučilište u Zagrebu Građevinski fakultet Preddiplomski studij GEOTEHNIČKO INŽENJERSTVO 7. predavanje Opis i čvrstoća diskontinuiteta SADRŽAJ PREDAVANJA Opis diskontinuiteta Čvrstoća diskontinuiteta OPIS
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe
Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
konst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami
BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami Izv. prof. dr.. Tomilav Kišiček dipl. ing. građ. 0.10.014. Betonke kontrukije III 1 NBK1.147 Slika 5.4 Proračunki dijagrami betona razreda od C1/15 do C90/105, lijevo:
Prostorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA
VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA Veličina prostora kojeg tijelo zauzima Izvedena fizikalna veličina Oznaka: V Osnovna mjerna jedinica: kubni metar m 3 Obujam kocke s bridom duljine 1 m jest V = a a a = a 3, V
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA)
Karakterizacija materijala DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA) Dr.sc.Emi Govorčin Bajsić,izv.prof. Zavod za polimerno inženjerstvo i organsku kemijsku tehnologiju Da li je DMA toplinska analiza ili reologija?
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
MATERIJALI I MEHANIČKA SVOJSTVA MATERIJALA. Prof. dr. sc. Ivica Kladarić
MATERIJALI I MEHANIČKA SVOJSTVA MATERIJALA Statički vlačni pokus Prof. dr. sc. Ivica Kladarić 1 UVOD Metalni materijali najviše se upotrebljavaju u tehničkoj praksi zbog povoljnih mehaničkih, tehnoloških,
OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti
MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom
šupanijsko natjecanje iz zike 2017/2018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova)
šupanijsko natjecanje iz zike 017/018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova) U prvom vremenskom intervalu t 1 = 7 s automobil se giba jednoliko ubrzano ubrzanjem
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
AGREGAT. Asistent: Josip Crnojevac, mag.ing.aedif. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU
AGREGAT Asistent: Josip Crnojevac, mag.ing.aeif. jcrnojevac@gmail.com SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU JOSIP JURAJ STROSSMAYER UNIVERSITY OF OSIJEK 1 Pojela agregata PODJELA AGREGATA - PREMA
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Uvod u neparametarske testove
Str. 148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Hi-kvadrat testovi c Str. 149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste c testa:
PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste
PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina
Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1
Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA)
ROS GRED (ROSO OSONJEN GRED) oprečna sila i moment savijanja u gredi y a b c d e a) Zadana greda s opterećenjem l b) Sile opterećenja na gredu c) Određivanje sila presjeka grede u presjeku a) Unutrašnje
VIJČANI SPOJ VIJCI HRN M.E2.257 PRIRUBNICA HRN M.E2.258 BRTVA
VIJČANI SPOJ PRIRUBNICA HRN M.E2.258 VIJCI HRN M.E2.257 BRTVA http://de.wikipedia.org http://de.wikipedia.org Prirubnički spoj cjevovoda na parnom stroju Prirubnički spoj cjevovoda http://de.wikipedia.org
2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.