Valovi. Poglavlje 1. Zadatak 1.1 Uz koje uvjete za konstantu a, funkcija u(x, t) = x 2 + 4axt 4a 2 t 2 zadovoljava valnu jednadžbu: 2 u.

Transcript

1 Poglavlje Valovi Zadatak. Uz koje uvjete za konstantu a, funkcija u(x, t) = x 2 + 4axt 4a 2 t 2 zadovoljava valnu jednadžbu: 2 u x 2 = 2 u v 2? (vidi sliku.) t t s.4.5 x m u x,t.2.5 Slika.: Funkcija u(x, t) = x 2 + 4axt 4a 2 t 2 za a =. Zadatak.2 Jedna točka B elastične sredine udaljena je od izvora valnog gibanja za x = m. Ta točka je pogodena valom nakon t = 3 s od trenutka polaska vala iz izvora i pri tome se udalji od ravnotežnog položaja za 4 mm. Odredite amplitudu tog vala, ako je poznata valna duljina λ = 3 cm i frekvencija ν = 4 Hz. DZ. Pokažite da je ψ(x, t) = f(x vt) rješenje jednodimenzionalne diferencijalne valne jednadžbe. DZ.2 Ako su ψ (x, t) i ψ 2 (x, t) obje rješenja valne jednadžbe, pokažite da je ψ (x, t) + ψ 2 (x, t), takoder, rješenje valne jednadžbe.

2 2 POGLAVLJE. VALOVI DZ.3 Od izvora valova, kroz elastičnu sredinu, šire se transverzalni valovi amplitude A =.5 cm. Njihova valna duljina je λ = 5 cm. Izračunajte elongaciju točke, koja je udaljena od izvora za x = 3 cm, a u trenutku kada je on upravo izvršio jednu oscilaciju, računajući od trenutka kada je prostiranje valova započelo. Zadatak.3 Formulirajte opći uvjet uz koji će fazna brzina v harmonijskog vala, koji se rasprostire zategnutom žicom, biti jednaka najvećoj transverzalnoj brzini u max čestice žice. DZ.4 Tijelo titra na opruzi. Amplituda titranja iznosi 5 cm, a period titranja 2 s. Kolika je brzina tijela, kada je elongacija jednaka polovici amplitude? Zadatak.4 Transverzalni val se širi duž duge zategnute elastične žice s brzinom v = 5 m/s, pri čemu je period titranjaneke točke na žici T =.2 s, a amplituda A = 2 cm. Izračunajte elongaciju, brzinu, te ubrzanje točke, koja se nalazi na udaljenosti x = 45 m od izvora, i to nakon t = 4 s od trenutka kada je počelo kretanje vala. Zadatak.5 Transverzalni sinusni val amplitude A = cm i valne duljine λ = 2 cm giba se u pozitivnom smjeru x-osi s brzinom v = cm/s. U trenutku t = lijevi se kraj žice nalazi u koordinatnom početku i kreće prema dolje. a) Kolika je frekvencija titranja koje pripada valu? b) Nadite jednadžbu vala. c) Napišite jednadžbu titranja točke u koordinatnom početku. d) Kolika je maksimalna brzina proizvoljne točke na žici? e) Nadite pomak i brzinu točke, koja se nalazi na udaljenosti x = 3 m udesno od koordinatnog početka u trenutku t = 2.5 s. Zadatak.6 Harmoničko neprigušeno titranje točke u izvoru vala opisano je jednadžbom: y(x =, t) =.2 sin(πt). a) Napišite jednadžbu vala, koji se od izvora širi brzinom v = 2 m/s. b) Napišite jednadžbu, te nacrtajte sliku titranja točke udaljene x = m od izvora. Na istom grafu nacrtajte brzinu i akceleraciju te točke. (vidi sliku.2) 2.5 y (x=, t) v (x=, t) a (x=, t) t (s) Slika.2: Graf položaja, brzine i akceleracije točke.

3 3 Zadatak.7 Val je predstavljen funkcijom ψ = cos(5x + 25t). Pokažite da ovo predstavlja putujući val, te izračunajte njegovu valnu duljinu, frekvenciju, brzinu, te smjer putovanja. Drugi val ψ 2 = 2 cos(5x + 25t + π/3), interferira s prvim valom. Izračunajte amplitudu i fazu rezultantnog vala. (vidi sliku.3) 3 t = 2 psi psi 2 psi x (m) Slika.3: Grafovi funkcija ψ, ψ 2 i ψ = ψ + ψ 2 DZ.5 Prikažite grafički val, zadan s y(x, t) =. sin(πx 5πt) u trenutku t =.5 s. Kolike su: amplituda, valna duljina, frekvencija, te brzina vala? (vidi sliku.4) y (x, t=.5) x (m) -. Slika.4: Graf funkcije y(x, t) =. sin(πx 5πt) DZ.6 Uniformna, nerastezljiva nit duljine l i ukupne mase M, napeta je vertikalno, te je na vrhu pobudena na titranje, tako da transverzalni impuls krene niz nju. U istom trenutku je iz mirovanja pušteno tijelo, koje zatim slobodno pada od vrha niti. Koliko daleko od dna niti će tijelo dostići impuls?

4 4 POGLAVLJE. VALOVI DZ.7 Napišite izraz za harmonijski val (t = ), koji se giba u pozitivnom smjeru x-osi, tako da je u x =, ψ = ; u x = λ/6, ψ = 2; a u x = 5λ/2, ψ =. Zadatak.8 Pokažite da funkcija f(z, t) = Ae (2z+3t)2 može predstavljati val. (vidi slike.5,.6 i.7).8 t s f z,t z m 2 Slika.5: Funkcija f(z, t) = Ae (2z+3t)2 za A =. f (z=z i, t) Titranje tocaka vala raznih elongacija, (A = ) z 3 =.5 m z 2 =.25 m z = m t (s) Slika.6: Graf titranja triju točaka vala s različim prostornim koordinatama. DZ.8 Pokažite da je f(z, t) = A sin 2 4π(t + z) rješenje valne jednadžbe. (vidi sliku.8) DZ.9 Kolike su fazne brzine sljedećih valova: a) f (y, t) = A(y t) 2, b) f 2 (x, t) = A(Bx + Ct + D) 2, c) f 3 (z, t) = Ae Bz2 +BC 2 t 2 2BCzt?

5 5 f (z, t=t i ).25 Titranje tocaka vala u raznim trenucima (A = )? <-- v --> t 3 = 2/3 s t 2 = /3 s t = s z (m) Slika.7: Graf titranja izvora vala u tri različita trenutka..4.3 t s f z,t.2 z m.4 Slika.8: Funkcija f(z, t) = A sin 2 4π(t + z) za A =. DZ. Ako valnu funkciju zapišemo kao ψ = Ae iϕ, pokažite da se ψ ne mijenja kada se faza poveća ili smanji za 2π. DZ. Pokažite da je množenje kompleksne valne funkcije s ±i ekvivalentno pomaku u fazi za ±π/2. DZ.2 Promotrite dva vala iste amplitude, brzine i frekvencije, koji se preklapaju u nekom području prostora, tako da je rezultantni poremećaj Koristeći kompleksne eksponencijale, pokažite da je ψ(y, t) = A cos(ky + ωt) + A cos(ky ωt + π). Ovo je poznato kao stojni val. ψ(y, t) = 2A sin(ky) sin(ωt).

6 6 POGLAVLJE. VALOVI Zadatak.9 Gustoća tekućine povećava se linearno s dubinom, tako da je površinska gustoća jednaka ρ, a na dubini d je 2ρ. Koliki su period i amplituda titranja kuglice gustoće 2ρ, ispuštene na dubini d/2 s početnom brzinom nula? Trenje zanemarite. Zadatak. Fazna brzina površinskog vala na tekućini površinske napetosti T i gustoće ρ je v p = gλ 2π + 2πT λρ. Izračunajte grupnu brzinu v g površinskog vala. Koliko iznosi v g, kada v p poprima minimalnu vrijednost kao funkcija valne duljine? (vidi sliku.9) v p (m/s) λ min λ (m) Slika.9: Graf fazne brzine (kao funkcije valne duljine, v p = v p (λ)) za valove koji se prostiru u vodi (ρ(h 2 O) = 998 kg/m 3, T (H 2 O) =.727 N/m). Zadatak. Fazna brzina v gravitacijskih valova u tekućini dubine h je dana s v 2 = g k tanh(kh). Skicirajte disperzijsku relaciju za takve valove (vidi sliku.), te pokažite da je grupna brzina uvijek izmedu v/2 i v (vidi sliku.). Nadite faznu i grupnu brzinu za gravitacijske valove frekvencije Hz u tekućini dubine. m.

7 7 ω (s - ) ω k ω 2 ~ k ω 2 ~ gk tanh(kh) k (m - ) Slika.: Disperzijska krivulja ω(k) za h =. m..5 x/sinh(2x) x Slika.: Graf funkcije x sinh(2x). Zadatak.2 Dokažite da je grupna brzina v g elektromagnetskih valova u disperzivnom mediju indeksa loma n dana s v g = c n + ω dn, dω gdje je c brzina svjetlosti u slobodnom prostoru. Pulsar je zvijezda koja emitira vrlo oštre pulseve kroz širok opseg radio frekvencija. Pulsevi putuju kroz meduzvjezdani medij po pravcu dok ne stignu na Zemlju. Radio detektori pokazuju da je vrijeme dolaska pulsa, mjeren na frekvenciji od 4 MHz, za 7 ms veće od vremena dolaska istog pulsa, mjerenog na frekvenciji od 4 MHz. Indeks loma meduzvjezdanog medija je dan s n 2 = Ne2 ɛ mω 2, gdje su e i m naboj i masa elektrona, a N je gustoća elektrona, za koju se zna da ima približnu vrijednost od 3 4 m 3 u prostoru izmedu Zemlje i pulsara. Izračunajte udaljenost pulsara od Zemlje.

8 8 POGLAVLJE. VALOVI Zadatak.3 Žica je produljena djelovanjem naprezanja σ unutar granica elastičnosti. Kolika je gustoća energije pohranjena u žici zbog elastične deformacije, ako je Young-ov modul elastičnosti E? Zadatak.4 Čelični štap oblika prizme, dimenzija m.2 m. m, opterećen je sa svih strana naprezanjem (tlakom) od GP a. Koliko iznosi smanjenje volumena štapa zbog tog opterećenja? Koliki je volumni modul elastičnosti B, ako je Young-ov modul elastičnosti, E = 2 GP a, a Poisson-ov broj, tj. omjer relativne poprečne kontrakcije i relativnog uzdužnog produljenja, µ =.3? DZ.3 Kolika je brzina širenja transverzalne deformacije po metalnoj žici zategnutoj silom F = 44 N? Duljina žice je l = 3 cm, a masa žice je m = 3 g. DZ.4 Kroz neku leguru gustoće ρ = 65 kg/m 3, širi se val frekvencije ν = 6 Hz, te brzine v = 4 m/s. Kolika je valna duljina vala, te Young-ov modul elastičnosti legure? DZ.5 Na jednom kraju mosta duljine s = 4 m udari se čekićem. Na drugom kraju mosta, zvuk kroz čelik, čuje se za t =. s prije nego kroz zrak. Odredite Young-ov modul elastičnosti čelika. Zadatak.5 Žica duljine l = 25 cm i linearne gustoće µ =. g/cm, zategnuta je silom F = 2 N. Kolike su frekvencije osnovnog tona, te prva dva harmonijska tona, koje proizvodi ova žica pri svom titranju? DZ.6 Kolikom je najmanjom silom potrebno zategnuti žicu duljine l = 2 cm, promjera 2r =.2 mm, da bi se s njom mogao proizvesti zvuk najniže frekvencije ν = 435 Hz. Zadatak.6 Štap duljine l = m napravljen je od aluminija (ρ Al = 27 kg/m 3 ), Young-ova modula elastičnosti E = 7 GP a. Kolike su frekvencije titranja ovog štapa u intervalu od khz, ako je štap ukliješten u sredini? DZ.7 Metalni štap, duljine l = 6 m, pričvršćen je u dvije točke, koje se nalaze na udaljenosti l/2, ali tako da im je položaj simetričan obzirom na sredinu štapa. Brzina širenja zvuka kroz štap iznosi v z = 4 m/s. Kolike su frekvencije 2. i 26. harmonika oscilacija štapa? DZ.8 U Hundovoj cijevi stvaraju se figure na medusobnoj udaljenosti od d = 4.3 cm. Ako je u cijevi zrak, izračunajte frekvenciju zvuka. (v z = 332 m/s) Zadatak.7 Žica duljine l = 5 cm daje osnovni ton frekvencije ν = 24 Hz. Kolika je minimalna frekvencija tona, kada se ova žica, pri nepromjenjenoj sili zatezanja, skrati za d = 2 cm?

9 9 DZ.9 Koliki je omjer izmedu frekvencija ν i ν 2 osnovnih tonova željezne i srebrne žice istih duljina i debljina, pri istoj sili zatezanja, ako je ρ F e = 78 kg/m 3, a ρ Ag = 8 kg/m 3? DZ.2 Dvije jednake žice duljina l = m, zategnute su istom silom, te daju iste tonove. Kada se, ne mijenjajući silu, jedna žica skrati za l = 2 cm, čuje se, pri titranju žica, 6 zvučnih udara u sekundi. Kolike su frekvencije titranja žica? Zadatak.8 Otvorena staklena cijev je djelomično potopljena u tekućinu, okomito na njezinu slobodnu površinu. Najmanja frekvencija na kojoj dolazi do rezonancije stupca zraka u cijevi je ν = 34 Hz. Za koliko treba skratiti stupac zraka u cijevi, da bi rezonancija bila na najmanjoj frekvenciji ν 2 = 5 Hz? (v z = 36 m/s) DZ.2 Zvučna viljuška s frekvencijom ν = 48 Hz postavi se na vertikalnu staklenu posudu u koju se može uliti tekućina. Dubina posude je h = 55 cm. Do koje visine h treba uliti tekućinu u posudu, da bi došlo do rezonancije viljuške i stupca zraka iznad tekućine? DZ.22 Dokazati relacije za klasični Dopplerov efekt (v - brzina zvuka ili svejtlosti):. izvor miruje, a promatrač se giba brzinom u ( približavanje = ν = ν + u ) ( v udaljavanje = ν = ν u ) v 2. promatrač miruje, a izvor se giba brzinom u približavanje = ν v = ν v + u udaljavanje = ν v = ν v u DZ.23 Avion, približavajući se, nadlijeće promatrača, koji čuje zvuk frekvencije ν =.5 4 Hz, a pri udaljavanju aviona zvuk frekvencije ν = Hz. Izračunajte brzinu aviona, ako je brzina zvuka v z = 33 m/s. Zadatak.9 Poznato je da valna duljina jedne linije helija iznosi λ = nm. Kolika je promjena valne duljine, na osnovi Dopplerovog efekta, ako svjetlost potječe od spiralne maglice, koja se udaljava od Zemlje brzinom u = 54 km/h? Zadatak.2 U spektru zvijezde je odredena valna duljina D linije natrija: λ = 592 nm. Na osnovu Dopplerovog efekta, izračunajte brzinu udaljavanja ove zvijezde, ako je valna duljine iste linije natrija, izmjerene na Zemlji, λ = nm. DZ.24 Metak se giba prema promatraču brzinom u = m/s i pri tome proizvodi zvuk. Kolika je relativna promjena frekvencije zvuka, kojeg čuje promatrač, kada metak dolazi prema njemu i kada je pored njega. (v z = 33 m/s)

10 POGLAVLJE. VALOVI DZ.25 Dva vlaka se gibaju jedan prema drugome stalnim brzinama: u = 72 km/h i u 2 = 54 km/h. Lokomotiva prvog vlaka proizvodi zvuk frekvencije ν = 6 Hz. Kolika je frekvencija zvuka, kojeg čuje strojovoda drugog vlaka, prije i nakon susreta? (v z = 34 m/s) DZ.26 Slijepi miš leti okomito prema stijeni brzinom u = 6 m/s i pri tome proizvodi ultrazvuk frekvencije ν = 45 khz. Kolika je frekvencija ultrazvuka kojeg slijepi miš odašilje i prima, te kolika je njihova razlika? (v z = 34 m/s) Zadatak.2 Približavajući se Zemlji brzinom od.2c, svemirski brod emitira signal zelene svjetlosti, čija valna duljina iznosi.5 µm. Koliku će valnu duljinu signala izmjeriti motritelj na Zemlji? DZ Riješite zadatak uz pretpostavku da svemirski brod putuje istom brzinom, ali u suprotnom smjeru, dakle, udaljavajući se od Zemlje. Zadatak.22 Koliku frekvenciju zvuka registrira motritelj (vidi sliku.2, koji se giba na vrtuljku, polumjera m s ophodnim vremenom 4 s, ako izvor zvuka frekvencije ν miruje i nalazi se vrlo daleko od motritelja u istoj horizontalnoj ravnini? (v z = 34 m/s) 5 25 ν (Hz) T/4 T/2 3T/4 T Slika.2: Ovisnost frekvencije, koju mjeri motritelj na vrtuljku, ν = ν (t), o vremenu (iskazanom preko perioda vrtnje vrtuljka). Primjetite njezinu periodičnost, te simetriju s obzirom na polovicu perioda. Uz pretpostavku da su u trenutku t = vektori brzina motritelja i zvuka paralelni, takoder, primjetite da je u tim trenucima Dopplerov pomak maksimalan, dok kada su vektori okomiti (u trenucima t = T/4 i t = 3T/4), tada razlike u frekvencijama nema, tj. ν = ν. Te dvije činjenice vrijede i općenito. t (s)

11 Poglavlje 2 Geometrijska optika Zadatak 2. Zraka svjetlosti, s donjeg ruba Sunca, prolazi vrhom tornja visine h = 35 m, te pada pod kutem δ = 36 5 na horizontalnu ravninu. Izračunajte duljine sjene i polusjene tornja, ako je prividni promjer Sunca α = 32. DZ 2. Kroz okruglu pukotinu promjera d = 2 23 m zrake Sunca prolaze u sobu. Na udaljenosti a = 3 m od pukotine postavljen je zastor, tako da središnja zraka pada na njega okomito. Koliki je promjer slike Sunca na zastoru, ako je prividni promjer Sunca α = 32? Zadatak 2.2 Zrcalo na zidu mora davati sliku čovjeka visine h =.72 m. Kolika mora biti visina zrcala z, te za koliko mora donji rub zrcala biti iznad poda v, ako su oči tog čovjeka na visini h =.6 m iznad poda? DZ 2.2 Lastavica poleti s vrha stabla visine h = m, koje se nalazi na rubu jezera; preleti jezero, te se zaustavi na tornju visine H = m. Tijekom svog leta, lastavica dodirne površinu jezera u nekoj točki. a) Ako je udaljenost stabla i tornja L = 5 m, nadite kojim putem treba letjeti lastavica na opisani način, a da pri tome utroši najmanje vremena. b) Ako je v lastavice = 36 km/h, za koje je najkraće vrijeme ona preletjela taj put? c) Zadatak riješite pomoću zakona geometrijske optike, te pokažite geometrijskom konstrukcijom da je to zaista njakraći put te vrste. Zadatak 2.3 Pješak se nalazi u točki A ceste, koja nakon 42 m zavija pod kutem od 9. On stići u točku B, udaljenu 3 m od zavoja, kao na slici 2.. Brzina pješaka na cesti je v =.5 m/s, a izvan ceste v 2 =.9 m/s. a) Nadite na koji se način mora gibati pješak da bi u najkraćem vremenu stigao iz A u B. b) Koliko vremena mu je za to potrebno, a koliko kad bi išao dijagonalno iz A prema B? c) Zadatak riješite primjenom zakona geometrijske optike. DZ 2.3 Zraka svjetlosti pada iz zraka ravnu površinu vode indeksa loma n =.34 od koje se djelomično reflektira. Koliki treba biti upadni kut zrake svjetlosti, pa da reflektirana zraka bude okomita na lomljenu?

12 2 POGLAVLJE 2. GEOMETRIJSKA OPTIKA A D C Slika 2.: Skica puta pješaka. B Zadatak 2.4 Na slobodnu površinu vode, pada zraka svjetlosti pod kutem ϕ = 3. a) Koliki je kut loma? b) Odakle i pod kojim kutem treba doći zraka svjetlosti, da se na graničnoj površini totalno reflektira? c) Koliko puta je manja (efektivno) brzina svjetlosti u vodi, nego u zraku? Zadatak 2.5 Na dnu jezera, potpuno pod vodom, okomito je postavljen štap visine h = 2 m. Odredite duljinu njegove sjene, ako zraci padaju na površinu vode pod kutem α = 53. (n v =.33) Zadatak 2.6 Jednokokračna trostrana prizma s kutem ϑ = 42, napravljena je od prozirnog materijala indeksa loma n =.55. Odredite pod kojim kutem α mora pasti zraka svjetlosti na jednu bočnu površinu prizme, da bi nakon totalne refleksije na drugoj bočnoj strani prizme, pala okomito na osnovicu prizme. DZ 2.4 Pravokutna staklena prizma indeksa loma n =.5 postavljena je kao na slici. Strana AB prizme je ravno zrcalo. Svjetlosna zraka pada na gornju stranu prizme i nakon refleksije od zrcala izlazi iz prizme pod kutem α = 6. Kut prizme je ϑ = 3. Odredite upadni kut zrake svjetlosti. (vidi sliku 2.2) n A B Slika 2.2: Put zrake svjetlosti kroz staklenu prizmu.

13 3 DZ 2.5 Dva ravna zrcala nagnuta su jedno prema drugome za kut α. Zraka svjetlosti pada najprije na jedno zrcalo, odbija se, padne na drugo zrcalo, te se opet odbija. Dokažite da ta, dva puta odbijena, zraka zatvara s prvotnom (upadnom) zrakom kut, koji ne ovisi o kutu upada prvotne (upadne) zrake na zrcalo. Koliki je taj kut otklona? DZ 2.6 Zraka svjetlosti prolazi kroz sustav prozirnih planparalelnih ploča naslaganih jedna na drugu. Ploče općenito imaju različite indekse loma. Ako zraka svjetlosti upada na najgornju (prvu) ploču pod kutem α, a najdonja (zadnja) ploča ima isti indeks loma kao i prva, izračunajte kut pod kojim zraka izlazi iz zadnje ploče. DZ 2.7 Paralelni snop zraka bijele svjetlosti pada na prizmu vršnog kuta θ = 3 okomito na jednu od strana. Koliki kut zatvaraju ljubičasta i crvena svjetlost pri izlasku iz prizme, ako je indeks loma za crvenu svjetlost n c =.37, a indeks loma za ljubičastu svjetlost n lj =.42? Zadatak 2.7 Prema Descartesovoj teoriji o formiranju duge, zraka Sunčeve svjetlosti se prvo lomi pri ulasku u kapljicu kiše oblika sfere, zatim se totalno reflektira na unutranjoj površini, te na kraju, ponovno lomi pri izlasku iz kapljice (vidi sliku 2.3). Duga se formira iz zraka, čija je devijacija od početnog smjera ili minimalna ili maksimalna. Pokažite da bi duga trebala, oko točke nasuprot Suncu, činiti luk od 42, te da bi trebala imati širinu od oko.6, i to s crvenom bojom s vanjske strane. Indeks loma za crvenu svjetlost je n c =.33, a indeks loma za ljubičastu svjetlost n lj =.34. Slika 2.3: Put zrake svjetlosti kroz kapljicu kiše pri formiranju duge. Zadatak 2.8 Izdubljeno sferno zrcalo, radijusa zakrivljenosti R = 2 cm, i ispupčeno sferno zrcalo, radijusa zakrivljenosti R 2 = 3 cm, nalaze se na medusobnoj udaljenosti d = 4 cm, okrenuti jedno prema drugome sa zajedničkom optičkom osi. Osvjetljeni predmet visine y = 5 cm postavljen je okomito na optičku os, te udaljen od tjemena izdubljenog zrcala za x = 5 cm. Izračunajte položaj i veličinu slike, koja se dobije tako da se zrake odbijaju prvo od izdubljenog, a zatim od ispupčenog zrcala. DZ Izračunajte položaj i veličinu slike, koja se dobije tako da se zrake odbijaju prvo od ispupčenog, a zatim od izdubljenog zrcala.

14 4 POGLAVLJE 2. GEOMETRIJSKA OPTIKA DZ 2.8 Odredite radijus zakrivljenosti R tanke bikonveksne simetrične leće, napravljene od flint stakla indeksa loma n =.75, ako ta leća daje tri puta veću sliku kada se osvjetljeni predmet nalazi na udaljenosti x = cm od optičkog centra leće. DZ 2.9 Tanka sabirna leća žarišne duljine f =.2 m daje virtualnu sliku realnog predmeta. Oni su medusobno udaljeni 2 cm. Kolike su udaljenosti predmeta i slike od same leće? DZ 2. Predmet je udaljen od prednjeg fokusa sabirne leće za x = 6 cm, a realna slika od zadnjeg fokusa za x 2 = 4 cm. Kolika je udaljenost predmeta i slike? DZ 2. Tanka leća u zraku ima žarišnu duljinu f = 62 cm, a u vodi f 2 = 4 cm. Izračunajte indeks loma izmedu stakla i zraka n, ako je indeks loma izmedu stakla i vode n 2 =.32. Zadatak 2.9 Osvjetljeni predmet se nalazi na udaljenosti x = 8 cm od tanke sabirne leće, žarišen duljine f = 5 cm. Izmedu predmeta i leće se postavi druga sabirna leća, žarišne duljine f 2 = 5 cm, i to na udaljenosti x 2 = 5 cm od predmeta, tako da se osi leća poklapaju. Izračunajte udaljenost konačne slike od prve leće, te povećanje opisanog sustava leća. DZ 2.2 Na udaljenosti x = 3 cm ispred tanke sabirne leće, žarišne duljine f = 2 cm, nalazi se osvjetljeni predmet. Iza ove leće, na istoj osi, nalazi se druga tanka leća, žarišne duljine f 2 = 4 cm. Izračunajte udaljenost leća u slučaju kada je konačna slika realna i iste visine kao i predmet. Zadatak 2. Tipično ljudsko oko se može fokusirati na predmete udaljene izmedu cm i. a) Ako je minimalna udaljenost jasnog vida nekog dalekovidnog oka b =.5 m, kakvu leću treba staviti ispred takvog oka, da bi ono jasno vidjelo i predmet udaljen a = 25 cm? b) Ako je maksimalna daljina jasnog vida nekog kratkovidnog oka b = 2 m, kakvu je leću potrebno staviti ispred takvog oka, da bi ono jasno vidjelo i beskonačno udaljene predmete? Zadatak 2. Slika predmeta, koji je udaljen m od objektiva fotoaparata, je, na filmu, visoka 3 cm. Kada je isti predmet udaljen 6 cm, slika je visoka 5.2 cm. Izračunajte: a) Kutno povećanje objektiva; b) Žarišnu duljinu objektiva; c) Visinu predmeta koji je snimljen. Zadatak 2.2 Udaljenost izmedu predmeta i njegove realne slike, stvorene kroz konvergentnu leću, se drži konstantnom. Pokažite da postoje dva moguća položaja leće, te da je visina predmeta jednaka h h 2, gdje su h i h 2 visine dviju slika.

15 Poglavlje 3 Fotometrija DZ 3. Točkasti izvor svjetlosti ima intenzitet I = 2 cd. Izračunajte: a) Koliki je cjelokupni tok svjetlosti φ koji izlazi iz izvora? b) Koliko iznosi rasvjeta E plohe, koja je d =.5 m udaljena od izvora, ako zrake padaju okomito na plohu? c) Koliko iznosi rasvjeta E plohe, koja je d =.5 m udaljena od izvora, ako zrake padaju na plohu pod kutem α = 6? DZ 3.2 Svjetiljka visi iznad stola na udaljenosti r = m. Rasvjeta stola ispod svjetiljke je 6 lx. Kolika će biti rasvjeta, ako svjetiljku spustimo za 4 cm? Zadatak 3. Izmedu dva zastora treba postaviti svjetiljku, tako da rasvjeta na prvom zastoru bude tri puta veća nego na drugom zastoru. Gdje treba postaviti svjetiljku, ako je medusobna udaljenost zastora D = 4 m? DZ 3.3 Dvije svjetiljke, jakosti 2 cd, vise na visini od 5 m iznad tla, na medusobnoj udaljenosti od 6 m. Kolika je rasvjeta tla u točkama ispod svake od svjetiljki? Zadatak 3.2 Točke P i P 2 leže u horizontalnoj ravnini udaljene d = 2 m. Iznad njih su smještene dvije električne žarulje, i to žarulja jakosti I = 25 cd na visini h = 2 m iznad P, te žarulja jakosti I 2 = 4 cd na visini h 2 = 3 m iznad P 2. Odredite točku P iz iste ravnine, koja je od oba izvora jednako osvjetljena. Zadatak 3.3 Na optičkoj osi konveksnog sfernog zrcala, polumjera zakrivljenosti r, nalazi se točkasti izvor svjetlosti na udaljenosti r/2. Odredite osvjetljenje površine okomite na optičku os na udaljenosti r od zrcala, ako je osvjetljenje površine na udaljenosti 2r jednako lx. Koeficijent reflektivnosti zrcala je. Zadatak 3.4 Izvor svjetlosti oblika kugle, promjera d = mm, udaljen je l = m od zastora. U najbližoj točki zastora, osvjetljenje iznosi E. Lećom, žarišne duljine f = 2 cm, otvora polumjera zakrivljenosti r =.5 cm, se na zastoru dobije uvećana slika izvora. Odredite osvjetljenje slike. Zadatak 3.5 Točkasti izvor svjetlosti se nalazi iznad središta okruglog stola na visini od m. Svjetlosna jakost ovisi o kutu, tako da je osvjetljenje na stolu jednako u svakoj točki i iznosi lx. Odredite funkcionalni oblik ovisnosti svjetlosne jakosti o kutu, te vrijednost jakosti za kut od 2. Zadatak 3.6 Na koju visinu treba postaviti neonsku cijev, svjetlosne jakosti E = cd, dužine 2 m, koja se može postaviti uzduž sredine hodnika, širine 4 m, da bi rasvjeta (osvjetljenje) na podu tik do zida bila maksimalna? Kolika je ta maksimalna rasvjeta? (vidi sliku 3.) 5

16 6 POGLAVLJE 3. FOTOMETRIJA 2 5 E(z) (lx) z(m) Slika 3.: Funkcija ovisnosti osvjetljenja E o visini neonske cijevi z, za I = cd, Y = 2 m i l = 2 m.

17 Poglavlje 4 Fizikalna optika Zadatak 4. Za praćenje radio zvijezda mogu se koristiti mikrovalni detektori. Jedna takva radio zvijezda, koja emitira monokromatske mikrovalove frekvencije ν = Hz, promatra se mikrovalnim detektorom smještenim na rubu jezera na visini d = m iznad površine vode. Kako se zvijezda podiže iznad horizonta, detektor registrira uzastopne minimume i maksimume intenziteta signala. a) Nadite pod kojim kutem ϑ nad horizontom se nalazila radio zvijezda, kada je primjećen prvi maksimum signala. b) Koliki je ukupan broj primljenih maksimuma tijekom podizanja zvijezde? c) Kako se raspodjeljeni kutevi za koje se pojavljuju maksimumi signala? Zadatak 4.2 Razlivena mala količina nekog ulja na površini vode može formirati vrlo tanak intenzivno obojen sloj. Boja tog sloja obično ovisi o kutu pod kojim se promatra. a) Nadite za koju valnu duljinu nastaje konstruktivna interferencija, kada bijela svjetlost upada pod kutem α na tanak sloj ulja debljine d i indeksa loma n. b) Ako je d =.26 µm, a n =.32, nadite pod kojim kutem bi taj sloj bio crven (λ c =.68 µm), žut (λž =.59 µm) ili zelen (λ z =.54 µm). c) Odredite maksimalnu debljinu sloja za koji se još opaža interferencija vidljive svjetlosti, pod uvjetom da ljudsko oko razlikuje nijanse boja, čije se valne duljine razlikuju za minimalno λ =. µm. DZ 4. Na leće i druga optička tijela često se stavlja tanki sloj prozirne tvari indeksa loma n, manjeg od indeksa loma stakla n 2, da bi smanjili refleksiju svjetlosti s njihove površine. Odredite minimalnu debljinu tankog sloja, koji bi spriječio refleksiju središnjeg dijela spektra bijele svjetlosti (λ =.55 µm). Svjetlost upada gotovo okomito na taj sloj, a indeks loma upotrebljene tvari je n =.3. Zadatak 4.3 Kod Youngova uredaja za promatranje interferencije, dva koherentna izvora svjetlosti (pukotine) udaljena su za d = mm. Pruge interferencije promatramo na zastoru udaljenom za L = m od uredaja. a) Ako izvori zrače bijelu boju svjetlosti, tj..42 µm λ.68 µm, izračunajte moguće redove interferencije k, za koje se dobiju tamne pruge na udaljenosti h = 2 cm iznad središte zastora. b) Što bi se vidjelo pomoću spektroskopa, čija bi se ulazna pukotina nalazila na udaljenosti h iznad sredine zastora? 7

18 8 POGLAVLJE 4. FIZIKALNA OPTIKA c) Neka izvori zrače monokromatsku svjetlost valne duljine λ =.55 µm. Nadite udaljenost izmedu susjednih pruga u blizini sredine zastora. DZ 4.2 Udaljenost d izmedu dva koherentna izvora u zraku iznosi d =.5 mm. Udaljenost tih izvora do zastora je l = 4.8 m. Odredite optičku razliku puteva zraka svjetlosti, koje dolaze od izvora, u nekoj točki zastora C, ako je udaljenost te toče os sredine astora x = 6 mm. Zadatak 4.4 Fotografska ploča ima prozirne koncentrične prstenove, koji su medusobno odvojeni tamnim prugama. Na ploču okomito upada paralelni snop monokromatske svjetlosti (λ =.65 µm). a) Nadite koliki trebaju biti polumjeri prozirnih prstenova da bi svjetlost iz svih tih prstenova davala maksimum interferencije u točki F udaljenoj za cm od ploče. b) Koliki bi bio promjer -tog prstena i kako se mijenjaju razmaci izmedu susjednih prozirnih prstenova od sredine prema rubu ploče? Zadatak 4.5 Promotrimo uredaj za promatranje Newtonovih kolobara. Ako je leća osvjetljena crvenom svjetlošću (λ =.68 µm), polumjer 2-tog tamnog prstena je r = cm. a) Nadite polumjer zakrivljenosti leće R. b) Za koliko bi se promjenio polumjer 2-tog tamnog prstena, ako bi se izmedu leće i ploče nalazio tanki sloj prašine debljine d = µm? c) Ako bi prostor izmedu leće i ploče bio ispunjen vodom (n = 4/3), koliki bi tada bio polumjer 2-tog tamnog prstena? Zadatak 4.6 Optička rešetka, koja ima 2 zareza po milimetru, osvjetljena je snopom bijele svjetlosti, koji pada okomito na nju. Udaljenost rešetke i zastora je D =.5 m. Kolika je širina tamne pruge izmedu spektra prvog (k = ) i drugog (k = 2) reda, ako je valna duljina crvene svjetlosti λ = 76 nm, a valna duljina ljubičaste svjetlosti λ 2 = 4 nm?