UNIVERZITET U SARAJEVU GRAĐEVINSKI FAKULTET SARAJEVO

Katedra za matematiku, programirane, nacrtnu geometriu i fiziku UNIVERZITET U SARAJEVU GRAĐEVINSKI FAKULTET SARAJEVO --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Saraevo, 6. 11. 010. Ispitna pitana za prvi parc. ispit iz teor. osnova predmeta «VJEROVATNOĆA I STATISTIKA» Akademska godina 010/011 Predmetni nastavnik/nositel: Van. Prof. Dr. sci. Huse Fatkić E mail: hfatkic@etf.unsa.ba 1. Šta e teoria verovatnoće (teoria veroatnosti)? Poam, predmet, počeci i znača teorie verovatnoće.. Za koi skup kažemo da e konačan, a za koi da e beskonačan? Definirate pomove konačnog niza, prebroivog, diskretnog i neprebroivog skupa. Navedite i odgovarauće primere.. Faktorielne funkcie (ednostruki i dvostruki faktoriel i nihove veze). 4. Binomni koeficienti (definicia, osnovna svostva, računane, Pascalov trougao). Funkcia a ( ak, ) a, ( a R, k N0). k 5. Newtonova binomna formula (formulacia i izvođene). 6. Trinomna formula (nena formulacia i računane trinomnih koeficienata). Polinomna formula i polinomni /multinomni koeficienti. 7. Variacie (bez ponavlana) definicia i formule (formulacia i izvođene). 8. Permutacie (bez ponavlana) definicia i formula (formulacia i izvođene). 9. Kombinacie (bez ponavlana) definicia i formula (formulacia i izvođene). 10. Definirate poam variacia sa ponavlanima klase k skupa S od n elemenata, a zatim izvedite formulu za izračunavane ukupnog broa takvih variacia i napišite sve variacie sa ponavlanima klase skupa S od od četiri elementa : a, b, c, d. 11. Permutacie sa ponavlanima definicia i formule (formulacia i izvođene). 1. Poam multiskupa. Definirate poam multiskupa, a zatim navedite i odgovaraući netrivialni primer dvau (međusobno) ednakih beskonačnih multiskupova. 1. Kombinacie sa ponavlanima definicia i formula (formulacia i izvođene). 14. Formula uklučivana isklučivana (formula inkluzie-ekskluzie) - formulacia i dokaz. 15. Definirate (strogo/precizno ili intuitivno) ili obasnite sledeće pomove: slučaan eksperiment, slučaan događa, siguran /pouzdan događa, nemoguć događa i prostor elementarnih događaa (prostor uzoraka). 16. Obasnitie pomove verovatnoće a priori i verovatnoće a posteriori. 17. Kako glasi klasična matematička (teoretska, Laplaceova) definicia poma verovatnoće? 1

Obasnite nene nedostatke. Navedite odgovarauće primere. 18. Kako glasi klasična statistička (empiriska) definicia poma verovatnoće? Obasnite nene osnovne nedostatke. 19. Formulišite osnovne teoreme klasične teorie verovatnoće i dvie od nih dokažite. 0. Definirate pomove nezavisnosti i zavisnosti događaa. Formulišite multiplikativnu teoremu u slučau kad su događai nezavisni. 1. Definirate poam uslovne (relativne) verovatnoće, a zatim formulišite multiplikativnu teoremu u slučau kad su događai zavisni.. Izvedite formulu totalne (potpune, pune) verovatnoće, a zatim ilustrovati nenu primenu.. Izvedite Bayesovu formulu (Bayesovo pravilo). 4. Geometriska definicia verovatnoće. Razmotriti primer: Kolika e verovatnoća da suma dvau pozitivnih slučano uzetih broeva tako da svaki od nih ne bude veći od 1, nie veća od 1, a nihov proizvod nie veći od 9? (Rezultat. 1 1 1 1 / 1 P = + d d ln ln 0,487, y x = + x x 9 = + = + x 9 1/ 9 1 1 P 0,49 (= 49 %).) 5. Aksiomatska (opšta) definicia poma verovatnoće. 6. Kako glase osnovne teoreme, formula potpune verovatnoće i Bayesova formula opšte teorie verovatnoće (obasnite koe su razlike u odnosu na odgovarauće teoreme klasične teorie verovatnoće). 7. Definirate/obasnite pomove konačnog i diskretnog prostora verovatnoće. 8. Što e slučana veličina (slučana promenliva veličina, slučana promenliva, slučana variabla)? Formulišite intuitivnu (opisnu) definiciu i preciznu (strogu, formalnu) definiciu poma slučane veličine, a zatim navedite primere slučanih veličina. 9. Definirate/obasnite sledeće pomove: distribucia (raspodela, razdioba, raspored) verovatnoće slučane veličine, funkcia verovatnoće/zakon verovatnoće slučane veličine; grafik, poligon i histogram; očekivane (matematičko očekivane, matematička nada), variansa/disperzia i standardna deviacia za slučane veličine na: a) konačnom prostoru verovatnoće ; b) diskretnom prostoru verovatnoće; c) proizvolnom (opštem, ne nužno diskretnom) prostoru verovatnoće. 0. Definirate/obasnite poam (teoretske, kumulativne) funkcie distribucie (funkcie raspodele) i poam funkcie gusoće/gustine (verovatnoće) slučane veličine na opštem prostoru verovatnoće, a zatim formulišite (i po edno od nih dokažite) osnovna svostva tih funkcia. 1. Klasificirate slučane veličine, odnosno definirate pomove : diskretna (specialno, konačna) slučana veličina, neprekidna (kontinualna) slučana veličina, slučana veličina mešovitog tipa. Navedite po edan primer diskretne i kontinualne slučane veličine.. Modeli distribucie verovatnoće : definicia i vrste. Definirate /obasnite neke važne klase diskretnih i neprekidnih slučanih veličina/distribucia specialne (teoretske) distribucie (Bernoullieva, binomna, Poissonova, normalna/gaussova, ).. Što e to Bernoulliev pokus, Bernoullieva shema? Obasnite karakteristike binomne distribucie.

4. Koe su osnovne karakteristike Poissonove distibucie? 5 Koe su osnovne karakteristike normalne (Gaussove) distribucie)? Standardizirana normalna distribucia. Kako se zove nen grafički prikaz? 6 Definirate Hi kvadrat distribuciu, Studentovu distribuciu (t distribuciu) i Fisherovu distribuciu (F distribuciu). 7. Šta nazivamo zavisnom, a šta nezavisnom slučanom variablom? 8. Definirate/obasnite sledeće pomove za slučane veličine na proizvolnom (opštem) prostoru verovatnoće: distribucia (raspodela, razdioba, raspored), osnovne numeričke karakterisike/parametri distribucia :očekivane (matematičko očekivane, matematička nada), variansa/disperzia i standardna deviacia. 9. Koa su osnovna svostva očekivana i varianse slučanih veličina? Napišite formule za izračunavane očekivana i varianse neprekidnih slučanih veličina. 40. Definirate/obasnite sledeće pomove za slučane veličine na konačnom,općenito,na proizvolnom (ne nužno diskretnom) prostoru verovatnoće: zaednička funkcia gustoće (verovatnoće), zaednička funkcia distribucie i kovarinsa dviu ili više slučanih veličina (dvodimenzionalne i, općenito, n - dimenzionalne slučane veličine/slučanog vektora). D o d a t a k : Neki primeri ispitnih zadataka Zadatak 1. Koliko bi se kolona na tiketu sportske prognoze od 1 parova trebalo ispuniti da bi se sigurno pogodio rezultat (obezbiedilo 1 tačnih pogodaka)? Koliko ako se zna rezultat 5 susreta? Zadatak. Na koliko načina se mogu dobiti dvie četvrtice i tri broa različita od 4 prilikom pet uzastopnih bacana igraće kocke? Zadatak. U paketu imamo 10 karata koe na licu imau oznake 1,,... 10. Na koliko načina se može iz paketa izvući 6 karata od koih e edna as, tri karte imau na sebi oznake, 4 ili 5, dok su dvie ostale karte? Kako se miena bro načina ukoliko se nakon svakog izvlačena izvučena karta vraća u paket, tako da se svako izvlačene uviek vrši iz kompletnog paketa? Zadatak 4. Kako glasi 15-ta permutacia od osnovne 0000111? ( Rešene: Očito vriedi: 6! 5! 14 : = 14:0, nie delivo, dakle prva cifra e 0; 14 : = 14:10= 1(4), dakle izostaviti nulu i!!!! 4!! sledeća cifra e 1; 4: = 4:6, nie delivo, dakle naredna cifra e 0; 4: = 4:= 1(1), dakle!!! izostaviti nulu i sledeća cifra e 1; 1:!, nie delivo, dakle naredna cifra e 0; 1 :1= 1 (0), dakle preskočiti nulu i sledeća cifra e 1. Prema tome, tražena 5-ta permutacia glasi 0101010.) Zadatak 5. Koliko elemenata ima partitivni skup skupa od n elemenata?

n (Rešene: Skup od n elemenata ima podskupova od k elemenata. Zato e ukupan bro k podskupova ednak brou n n = (1 + 1) =.) k = 0 k n n Zadatak 6. Ako su i Y konačni skupovi, koliko ima svih preslikavana(funkcia) iz u Y? ( Rešene: Neka e = { x1, x,..., xm} i card ( Y) n e određena m-torkom ( f ( x ), f( x ),..., f( x )). Kako e f x Y i { n} = (t. neka e Y skup od n elemenata). Funkcia f : Y 1 m ( i) ( 1,,..., ), to e bro svih uređenih m-torki ( f ( x1), f( x),..., f( x m )) ednak ukupnom brou svih variacia klase m skupa od m n elemenat, t. svih traženih preslikavana (funkcia) iz u Y ima ukupno n.) Zadatak 7. Neka su bačene tri kocke. Kolika e verovatnoća da e bro koi se poavi na svako od tri kocke - neparan bro? ( Rešene: Za prostor uzoraka Ω u ovom pokusu se može uzeti skup svih uređenih troki (i,, k) prirodnih broeva i,, k { 1,,, 4, 5, 6}. Otuda skup Ω ima 6 = 16 elemenata. Događa E, da bro koi se poavi na svako od tri kocke bude neparan, sastoi se od svih troki (i,, k) prirodnih broeva između 1 i 6, takvih da su i,, k svi neparni. Otuda skup E ima = 7 elemenata, pa e k( E) 1 1 P( E) = = = 1,5%. = = k ( ) 6 ) Ω 8 Zadatak 8. U kutii se nalazi 5 loptica označenih broevima od 1 do 5, od koih su prve tri crne, a posledne dvie crvene. Vrši se izvlačene uzorka od dvie loptice s ponovnim vraćanem u kutiu izvučenih loptica. Neka e B 1 događa koi odgovara činenici da e prva izvučena loptica crne boe, a B događa koi odgovara činenici da e druga izvučena loptica crne boe. a) Opišite prostor uzoraka eksperimenta i prikazati događae B 1, B i B 1 * B. b) Nađite verovatnoće događaa u a). c) Ponovite a) i b) za sluča izvlačena loptica bez ponovnog vraćana u kutiu izvučenih loptica. Zadatak 9. Telefonski bro sastoi se iz šest cifara. Izračunate verovatnoću da su sve cifre takvog telefonskog broa međusobno različite. 6 ( Rešene: Bro svih telefonskih šestocifrenih broeva iznosi n = 10 kao ukupan bro svih variacia klase k = 6 od 10 elemenata: 0, 1,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9 s ponavlanem, a bro svih telefonskih šestocifrenih broeva s različitim ciframa iznosi m = 10! (bro svih variacia 6-te klase 4! od 10 elemenata bez ponavlana). Ako sa D označimo posmatrani događa, a sa P(D) negovu m 10! verovatnoću, onda e P( D) = = =.... ) 6 n 4!10 Zadatak 10. Na edan ispit e izašlo osam studenata, od koih su svi prosečno spremni, tako da za svakog od nih možemo smatrati da e ednako verovatno da će položiti odnosno da neće položiti. Nakon pregledana polovine radova, ispostavilo se da su u pregledano polovini tri studenta položila a edan student pao. Odredite kolika e verovatnoća da će u skupini od naredna tri rada za pregledane biti edan dobar i dva loša rada. 4

Zadatak 11. (Problem rođendana): Odaberimo r studenata na nekom fakultetu i zabiležimo nihove dane rođena, bez podataka o godini rođena. Neka niedan od tih studenata nie rođen 9. februara prestupne godine (odnosno ne uzmimo u obzir studente rođene 9. februara prestupne godine). Označimo dane u godini broevima 1,,..., 65. Odrediti odgovaraući prostor uzoraka u ovom slučau i izvesti formulu za verovatnoću P( E r ) događaa E r da bar dva studenta od r odabranih studenata imau rođendan istog dana, a zatim izračunati verovatnoće P( E) i P( E ) i komentirati dobiene rezultate. ( Rešene: Odgovaraući prostor uzoraka posmatranog ogleda e : S : ={ (x 1, x,..., x r ) : x { 1,,..., 65} za i = 1,,..., r} r i ima 65 elemenata. Pretpostavimo da svaki od 65 r i rasporeda rođendana studenata po datumima ima verovatnoću 1/ 65 r. Bro rasporeda studenata po različitim datumima e 65 64... (65 - r + 1), a bro povolnih rasporeda da bar dva studenta imau rođendan istog dana iznosi 65 r 65 64... (65 - r + 1), pa e tražena verovatnoća data formulom P( E ) = 1 65 64... (65 r + 1) / 65. ) r r ( ) P E r Koristeći se logaritamskim tablicama ili džepnim računarima, lako se proveri da u ovom problemu imamo da e P ( E ) 0, 467, P ( E ) 0,507. Prema tome, ako na posmatranom fakultetu ima više od studenta, onda e veća verovatnoća da postoe dva studenta sa istim rođendanom, nego da takva dva studenta ne postoe. Zadatak 1. Prilikom kupovine vrši se kontrola proizvoda. Ako se u ednom pakovanu od 5o proizvoda slučano odabere 5 proizvoda sukcesivno i bez vraćana i oni su ispravni, onda se prihvata čitavo pakovane. Kolika e verovatnoća da će pakovane biti prihvaćeno ako se u nemu nalazi 0 % neispravnih proizvoda? ( Rešene: Prema multiplikacionom teoremu sliedi da e PA ( 1 A A A4 A5) = PA ( 1) PA ( A1) PA ( A1 A) 40 9 8 7 6 PA ( 4 A1 A A) PA ( 5 A1 A A A 4) = = 1%. ) 50 49 48 47 46 Zadatak 1. Tri stroa Ti ( i = 1,,) proizvode respektivno 60%, 0% i 10% od ukupne količine proizvoda neke tvornice. Iz stroa T 1 izlazi %, iz stroa T % i iz stroa T 4% neispravnih proizvoda. Kolika e verovatnoća da e slučano odabrani proizvod defektan a proizveden stroem T? ( Rešene: Označimo sa D događa da e odabiranem dobiven defektan proizvod, a sa PT ( D) označimo verovatnoću (uslovnu verovatnoću) da e odabrani proizvod defektan a proizveden na strou T. Tada prema Bayesovom teoremu sliedi da e PT ( ) PD ( T) PT ( D) = PT ( ) PD ( T) + PT ( ) PD ( T ) + PT ( ) PD ( T ) 1 1 0, 10 0, 04 4 = = 0, 60 0, 0 + 0, 0 0, 0 + 0, 10 0, 04 5 pa posmatrani događa nie verovatan.) < 50 %, 5

Zadatak 14. Dva strielca gađau metu, pri čemu e poznato da verovatnoće pogotka mete za prvog i drugog strielca iznose 70% i 80% respektivno. Kolika e verovatnoća da e meta pogođena nakon što oba strielca ispale po edan hitac? Zadatak 15. U skupini od 100 mikroprocesora 10 mikroprocesora e neispravno. Neko nasumice izabere 5 mikroprocesora iz te skupine. Odredite verovatnoću da će a) svi izabrani mikroprocesori biti ispravni; b) tačno edan mikroprocesor biti neispravan; c) barem edan mikroprocesor biti neispravan; d) naviše tri mikroprocesora biti ispravna. Zadatak 16. Na koliko načina e moguće iz špila od 5 karte izvući 5 karata, od koih su karte sa slikom i asa? Zadatak 17. Odredite verovatnoću da će u skupini od 7 nasumično izvučenih karata iz dobro izmiešanog špila od 5 karte dvie karte biti sa slikom i četiri karte crvene boe (herc ili karo). Zadatak 18. Odredite kolika e verovatnoća da u 5 uzastopnih bacana savršeno pravične igraće kocke tačno puta padne paran bro i tačno puta padne bro veći od. Zadatak 19. Neka e kontinualna slučana veličina sa funkciom gustoće verovatnoće: kx,0 x< 8, f( x) = 0, inače. Odredite vriednost konstante k, funkciu distribucie F, očekivane, variansu, modus i medianu zadane slučane veličine. Pri tome skicirate grafike funkcie gustoće i funkcie distribucie, a zatim geometriski interpretirate dobiene vriednosti traženih numeričkih parametara zadane slučane veličine. Zadatak 0. Funkcia gustoće (zakon verovatnoće) slučane variable zadana e formulom f 1 ( x): = 10 x + 6 B, 0 x 4, 0, inače. Odredite koeficient B i analitički oblik funkcie distribucie F, a zatim izračunate matematičko očekivane (sredinu E( )), variansu i verovatnoću P(1< ) za zadanu slučanu variablu, te skicirate grafike funkcia f i F. Zadatak 1. Funkcia distribucie neke slučane promenlive zadana e formulom 0, x, x F ( x) : = a+ b arc sin, x, 1, x. Odredite vriednost konstanti a, b, te analitički oblik funkcie gustoće f verovatnoće, modus, median, variansu, koeficiente variacie, asimetrie i sploštenosti za zadanu slučanu variablu,a zatim skicirate grafike funkcia F i f. 6

Zadatak. Funkcia gustoće slučane variable zadana e formulom f Acos x, x π, ( x): = 0, x > π. a) Odredite koeficient A i analitički oblik funkcie distribucie F. b) Izračunate matematičko očekivane i standardnu deviaciu zadane slučane variable. c) Skicirate grafike funkcia f i F. Zadatak. Funkcia gustoće (zakon verovatnoće) slučane variable zadana e formulom f Asin x, 0 < x π, ( x): = 0, inače. a) Odredite koeficient A i analitički oblik funkcie distribucie F. b) Izračunate matematičko očekivane, variansu i verovatnoću P(1< ) za zadano. c) Skicirate grafike funkcia f i F. Zadatak 4. Funkcia gustoće slučane variable zadana e formulom f ( x): = h x Axe x >, 0, 0, x 0. Odredite koeficient A i analitički oblik funkcie distribucie F, a zatim izračunate matematičko očekivane, variansu i standardnu deviaciu zadane slučane variable, te skicirate grafike funkcia f i F. + + (Uputa. Iz f ( x) d x = 1 sliedi da e A = h, pa iz E( ) = x f ( x) d x i Var( ) = E( ) ( E( )) dobiemo očekivane E( ) i variansu Var( ).) Zadatak 5. Slučana veličina ima zakon (gustoće) verovatnoće zadan formulom: 0, x 0, x μ 1 a) f ( x) = x ; b) g( x) = e σ, (LaPlaceova s. v.), n σ σ ax e, x> 0, ( n N, σ > 0) 1) Nađite vriednost konstante a i (verovatnosnu) funkciu distribucie (u a)), a zatim skicirate grafike zadanih funkcia gustoće. ) Izračunate variansu, modus i medianu za sluča b). Zadatak 6. Funkcia distribucie slučane veličine Y zadana e formulom 0, y, F ( ): Y y = y arc sin, < y 6, π A, y > 6. 7

a) Odredite vriednost konstante A, te modus, medianu, srednu vriednost, disperziu i analitički oblik funkcie gustoće za zadanu slučanu veličinu, a zatim skicirate grafike zadane funkcie distribucie i dobiene funkcie gustoće. b) Izračunate karakteristike položaa, asimetrie, ekscesa i druge važne karakteristike zadane slučane veličine Y. Zadatak 7. Funkcia raspodele slučane variable zadana e formulom 0, x < 0, F ( x): = 0,5, 0 x< 1, A, x 1. Odredite koeficient A i analitički oblik funkcie verovatnoće f, a zatim izračunate matematičko očekivane (sredinu E( )), variansu i verovatnoću P(0< 0,6) za zadanu slučanu variablu, te skicirate grafike funkcia f i F. Zadatak 8. Zadana e zaednička funkcia verovatnoće diskretnih slučanih variabli, Y (odnosno dvodimenzionalnog diskretnog slučanog vektora/slučane veličine (, Y ), t. zadana e funkcia pi, x xi, y y, fy, ( x, y): P( x, Y y) = = 0, inače, = = = = gde su x i vriednosti slučane variable, a y vriednosti variable Y) sledećom tabelom: \ Y - 4 1 0,1 0, Odredite analitičke oblike i grafički predstavite marginalne funkcie verovatnoće (t. funkcie f ( x) = f ( x, y ),( x= x); f ( y) = f ( x, y ),( y= )) i nihove odgovarauće funkcie, Y i i Y, Y i i 0, 0,1 y distribucie, te izračunate očekivana E () i E(Y) i kovariansu C (, Y) (t. odredite bro Cov(, Y): = E ( E( )) ( Y E( Y )) ). Zatim ispitate zavisnost zadanih slučanih veličina, Y i [ ] odredite očekivane slučane veličine Z : = 5Y. (Rezultat. Marginalne funkcie verovatnoće f i g tabelama: 0, 0,1 slučanih veličina i Y su date sledećim x i 1 f ( x i ) 0,5 0,5 y - 4 g( y ) 0,4 0, 0, E () =, E(Y) = 0, 6; C (, Y) = - 1,; EZ ( ) = E ( ) 5 EY ( ) = 5 0,6= 1. Iz f (1) = 0, 5, g ( ) = 0, 4, h(1, ) = 0, 1, gde e h zaednička funkcia verovatnoće, sliedi da e h(1, ) f (1) g( ), pa su slučane veličine i Y zavisne..) Zadatak 9. Primenom neednakosti Čebysheva (t. primenom činenice: Neka e slučana veličina s konačnim očekivanem i variansom. Tada za proizvolan ε> 0 vriedi neednakost Var( ) P( ε).) ε riešite sledeći zadatak: 8

Sredna vriednost brzine vetra na izvesno visini iznosi 5 km/h, a standardna deviacia e = 4,5. Kakva se brzina vetra očekue na to visini s verovatnoćom koa nie mana od 0,9? (Rezultat. 10,8 9, [km/h].) Zadatak 0. Iz tačke (0, a) ( a > 0) povučen e pravac pod uglom α prema osi y. Odredite verovatnosnu funkciu distribucie apscise secišta tog pravca s osi x ako ugao α ima uniformni zakon distribucie u intervalu 0, π, t. ako e funkcia distribucie ugla α zadana formulom 0, α 0, π F( α) = α, 0 < α <, π π 1, α. 0, x 0, x x (Rešene: Gx ( ) = P ( x) = Pa ( tg α x) = P( α arctg ) = G( arctg ) = x a a arc tg, 0 < x. ) π a σ NAPOMENA. Osim ovde navedenih, kao pripremne zadatke za prvi parcialni ispit koristiti slične i druge zadatke/primere u pribileškama i štampanim materialima sa predavana i demonstratorskih vežbi, te odgovarauće zadatke u preporučeno literaturi za predmet «VJEROVATNOĆA I STATISTIKA»! Pri tome se posebno preporučue da se prerade zadaci 1-47. iz Zbirke zadataka iz Matematike III autora Stepana Skoka. (Ovo ne podrazumieva da će neki od navedenih zadataka obavezno biti zadatak na prvom parcialnom (redovnom ili popravnom) ispitu ili na integralnom pismenom ispitu ili na završnom ispitu iz ovog predmeta!)... @ Saraevo, 6. 11. 010. ---------------------------------- * Za slučane veličine (statistička obileža), Y kažemo da su nekorelirane ako e Cov(, Y ) = 0. Pokazue se da za nezavisne slučane veličine (statistička obileža), Y vriedi Cov(, Y ) = 0, te da iz Cov(, Y ) = 0 ne sliedi da su, Y nezavisne slučane veličine (statistička obileža). 9