Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΣΤΕΛΙΟΥ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΤΟΛΗ 5-6 Επιμέλεια : Νικόλαος Σαμπάνης Στο φυλλάδιο περιέχονται όλες οι βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης όπως αυτές υπάρχουν στο βιβλίο των Στέλιου Μιχαήλογλου και Ευάγγελου Τόλη «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ»

«Ευχόμαστε ολόψυχα καλή επιτυχία στους μαθητές που δίνουν Πανελλήνιες εξετάσεις» askisopolisteam

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης, αρκεί να βρούμε τις τιμές του για τις οποίες ορίζονται οι πράξεις που αναγράφονται στον τύπο της συνάρτησης Για το λόγο αυτό χρησιμοποιούμε τον παρακάτω πίνακα: ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ v α α α Δεν υπάρχουν Α v g g g g g g lng g g g e g Α / g g h g g ημg g Α / g συνg g Α / g εφg π g κπ, κ Α / Α / Α / Α / π Α / g κπ, κ Α / g κπ, κ σφg g κπ, κ ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Αν τα πεδία ορισμού D, D των συναρτήσεων g, είναι ίσα, τότε αποδεικνύουμε ότι και οι τύποι τους είναι ίσοι, δηλαδή g g Αν D Dg, τότε βρίσκουμε το σύνολο D D Dg και στην περίπτωση που είναι D, εξετάζουμε αν g Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom

3 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Για να ορίσουμε τις συναρτήσεις g, g, g, βρίσκουμε το σύνολο D D Dg και αν D βρίσκουμε τον αντίστοιχο τύπο εκτελώντας τις πράξεις Για την συνάρτηση g κάνουμε τα ίδια όπως και προηγουμένως και επίσης απαιτούμε g 4 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : ΣΗΜΕΙΑ ΤΟΜΗΣ ΜΕ ΑΞΟΝΕΣ ΚΑΙ ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Σημεία τομής Για να βρούμε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης με : Α Τον άξονα : Θέτουμε y σημεία είναι τα,,,,, Β Τον άξονα yy : Θέτουμε είναι το, Έστω,,, κ οι λύσεις της εξίσωσης τότε τα ζητούμενα κ ( αν γίνεται ) και βρίσκουμε το Το ζητούμενο ( αν υπάρχει ) Γ Τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης g : Λύνουμε την εξίσωση g και έστω οι λύσεις της εξίσωσης τότε τα ζητούμενα σημεία είναι τα,,,,,,,, κ y g, κλπ Σχετική θέση γραφικών παραστάσεων y y y όπου Η γραφική παράσταση της βρίσκεται πάνω ή κάτω από τον, όταν ή αντίστοιχα Η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω ή κάτω από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης g, όταν g ή αντίστοιχα g κ κ 5 ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Για να βρούμε τη σύνθεση g των συναρτήσεων gακολουθούμε, την εξής διαδικασία: Α Αρχικά βρίσκουμε τα πεδία ορισμού D, D των συναρτήσεων g, Β Στη συνέχεια βρίσκουμε το σύνολο / D D g Αν g g g g D D D συναληθεύοντας τους περιορισμούς D ορίζεται η g οπότε g g Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom

6 ΑΠΟΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εύρεση συναρτήσεων που συνθέτουν μία σύνθετη συνάρτηση Όταν δίνεται μία συνάρτηση και θέλουμε να την εκφράσουμε ως σύνθεση δύο ή περισσότερων συναρτήσεων, τότε παρατηρώντας τον τύπο της συνάρτησης από «έξω» προς τα «μέσα», προσπαθούμε να βρούμε τις βασικές συναρτήσεις που συνθέτουν την Από την g και την g, να βρεθεί η g Θέτουμε k Λύνουμε την προηγούμενη σχέση ως προς ή ως προς μία παράσταση του έτσι, ώστε να μετατρέψουμε την g στη μορφή k, με ανεξάρτητη μεταβλητή το k Από την g και την, να βρεθεί η g Αντικαθιστούμε στην όπου το g και βρίσκουμε την g Εξισώνουμε την προηγούμενου βήματος με την g g της υπόθεσης και λύνουμε ως προς g g του 7 ΑΠΟΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Σχέσεις της μορφής y Α Για να βρούμε το, συνήθως αντικαθιστούμε y Β Για να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή, συνήθως αντικαθιστούμε y ή y ή ή y Γενικά δίνουμε στα,y κατάλληλες τιμές για να προκύψει το ζητούμενο Σχέσεις της μορφής y Α Για να βρούμε το, συνήθως αντικαθιστούμε y Β Για να προκύψει ισότητα με έναν άγνωστο, συνήθως αντικαθιστούμε ή y ή δίνουμε στα,y κατάλληλες τιμές για να προκύψει το ζητούμενο 8 ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Σχέσεις της μορφής κ α λ β g y Γενικά Έστω α β X X α β : Αντικαθιστούμε στη σχέση όπου το το X και προκύπτει μία άλλη α και Στη συνέχεια λύνουμε το σύστημα των δύο σχέσεων για να σχέση που περιέχει τα Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom 3

υπολογίσουμε τα α και β Εύρεση τύπου από ανισοτικές σχέσεις Αν θέσουμε α u προσδιορίζουμε το u άρα και το Με κατάλληλες αντικαταστάσεις προσπαθούμε να δημιουργήσουμε τις ανισώσεις: g g από τις οποίες προκύπτει ότι g και 9 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να βρούμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης, ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Θεωρούμε, Δ, όπου Δ διάστημα του πεδίου ορισμού ή και το D, αν αυτό δεν αποτελείται από ένωση διαστημάτων, με Στη συνέχεια με διαδοχικές συνεπαγωγές προσπαθούμε να σχηματίσουμε τα και Αν, τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, ενώ αν φθίνουσα στο Δ, η είναι γνησίως ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΗΣ Για να λύσουμε μια ανίσωση της μορφής α ή α κάνουμε τα εξής : για την οποία ισχύει μετατρέπεται στην ή Βρίσκουμε μία προφανή τιμή του Βρίσκουμε τη μονοτονία της Αν η είναι γνησίως αύξουσα, τότε για να είναι είναι ισχύει Αν η είναι γνησίως φθίνουσα, τότε για να είναι είναι ισχύει α και η ανίσωση ισχύει ότι ενώ για να ισχύει ότι ενώ για να ΕΥΡΕΣΗ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Αν η έχει σύνολο τιμών mm, τότε έχει ολικό ελάχιστο το m και ολικό μέγιστο το Μ Αν θέλουμε να βρούμε μόνο το ελάχιστο ή μόνο το μέγιστο της, τότε με διαδοχικές ισοδυναμίες προσπαθούμε να κατασκευάσουμε ανισώσεις m ή M αντίστοιχα Πρέπει να βρίσκουμε και για ποιες τιμές του η παρουσιάζει το ακρότατο, λύνοντας την εξίσωση m ή M αντίστοιχα Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom 4

ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να βρούμε το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Αρχικά βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της Στη συνέχεια θέτουμε y και λύνουμε την εξίσωση ως προς βάζοντας περιορισμούς για το y Απαιτούμε να ισχύουν για το αποτέλεσμα οι αρχικοί περιορισμοί του Τέλος συναληθεύουμε τους περιορισμούς που έχουν προκύψει για το y και βρίσκουμε το σύνολο τιμών της Αν κάνοντας την προηγούμενη διαδικασία βρούμε τριώνυμο ως προς τότε επειδή το τριώνυμο θα έχει τουλάχιστον μία λύση στο, απαιτούμε Δ και από αυτή τη σχέση βγάζουμε τους περιορισμούς για το y 3 Aντιστρέψιμη συνάρτηση Για να αποδείξουμε ότι μία συνάρτηση είναι σε ένα διάστημα Δ, χρησιμοποιούμε κάποιον από τους παρακάτω τρόπους : Α Έστω, Δ στο με Β Έστω, Δ με Στην τελευταία σχέση κάνουμε όλες τις πράξεις και καταλήγουμε Με διαδοχικές συνεπαγωγές επιδιώκουμε να καταλήξουμε στη σχέση Γ Αποδεικνύουμε ότι η είναι γνησίως μονότονη στο Δ, οπότε είναι και Μη Aντιστρέψιμη συνάρτηση Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση δεν είναι αντιστρέψιμη, αρκεί να δείξουμε ότι δεν είναι με έναν από τους παρακάτω τρόπους: Α Μέσω παρατήρησης βρίσκουμε, D με Β Υποθέτουμε ότι Π, Τότε ή τότε β α τέτοια ώστε και με διαδοχικές συνεπαγωγές κατασκευάζουμε το γινόμενο Π, () Αν στην () θέσουμε και η δεν είναι αντιστρέψιμη Γ Αν δίνεται η C τότε αποδεικνύουμε ότι υπάρχει οριζόντια ευθεία που τέμνει τη από ένα σημεία α και προκύψει C σε περισσότερα Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom 5

4 ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Για να λύσουμε μία εξίσωση, στην οποία δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις μεθόδους που μάθαμε στις προηγούμενες τάξεις, κάνουμε τα εξής : - - - Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο ο μέλος και η εξίσωση γίνεται της μορφής Μέσω παρατήρησης βρίσκουμε μια προφανή ρίζα της Αποδεικνύουμε ότι η είναι - οπότε το είναι μοναδική ρίζα της Αν τα δύο μέλη της εξίσωσης είναι συνθέσεις της ίδιας συνάρτησης, τότε ορίζουμε ως τη συνάρτηση αυτή και αποδεικνύουμε ότι η είναι Τότε η εξίσωση γίνεται g h g h 5 ΕΥΡΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ Για να βρούμε την αντίστροφη μιας συνάρτησης, ακολουθούμε την εξής διαδικασία: - Αποδεικνύουμε ότι είναι y ως προς - Λύνουμε την εξίσωση - Βρίσκουμε το σύνολο τιμών της - Θέτουμε y και αλλάζουμε μεταβλητές ( όπου y το αντίστροφα) 6 ΤΙΜΕΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Έστω αντιστρέψιμη συνάρτηση Η γραφική παράσταση της ευθεία y Για να βρούμε την τιμή για ποια τιμή του η έχει τιμή β Υπενθυμίζουμε ότι αν Μ αβ, σημείο της C τότε 7 Η ΕΞΙΣΩΣΗ Για να βρούμε τα κοινά σημεία των, β της αντίστροφης θέτουμε β α β α α είναι συμμετρική της ως προς την και αρκεί να βρούμε β και β α C C, δηλαδή για να λύσουμε την εξίσωση, αποδεικνύουμε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της, οπότε τα ζητούμενα σημεία βρίσκονται επί της ευθείας y Άρα: Αν η δεν είναι γνησίως αύξουσα, τότε βρίσκουμε την και λύνουμε απευθείας την εξίσωση Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom 6

ΟΡΙΑ ΟΡΙΟ ΚΑΛΩΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟ Για να είναι καλώς ορισμένο ένα όριο της μορφής περιοχή της μορφής α,, β lim, πρέπει να υπάρχει στο πεδίο ορισμού ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ - υπολογισμός ορίων με απλή αντικατάσταση lim 7 6 ( ) 7 6( ) 7 6 3 3 3 α) 3 3 5 β) lim 3 3 5 ΟΡΙΟ ΡΗΤΗΣ Κάνουμε αντικατάσταση όπου το, για να διαπιστώσουμε αν είναι όριο της μορφής Παραγοντοποιούμε αριθμητή και παρονομαστή, για να εμφανίσουμε τον παράγοντα Απλοποιούμε το και βρίσκουμε το όριο πηλίκου Αν εμφανιστεί πάλι απροσδιοριστία επαναλαμβάνουμε τα προηγούμενα βήματα Παρατήρηση: Η συνάρτηση που προκύπτει μετά την απαλοιφή του παράγοντα έχει την ίδια γραφική παράσταση με την αρχική με εξαίρεση το σημείο 3 ΑΡΡΗΤΕΣ Άρρητες της μορφής Α Β, Α Β Αν έχουμε απροσδιοριστία, τότε πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με τη συζυγή παράσταση των όρων που περιέχουν τα ριζικά και στη συνέχεια παραγοντοποιούμε και απλοποιούμε Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom 7

Άρρητες της μορφής 3 Α 3 Β Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με την παράσταση 3 Α 3 Α 3 Β 3 Β ώστε να 3 3 Α Β Α Α Β Β Α Β Α Β 3 3 3 3 προκύψει η ταυτότητα 3 3 3 3 v v Γενικά αν τα ριζικά είναι της μορφής Α Β, πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους με την v v v v v v v παράσταση Α Α Β Β Άρρητες της μορφής Α Β Γ ή 3 Α Β Γ Κάνουμε διάσπαση του Γ στους αριθμούς που προκύπτουν αν αντικαταστήσουμε στις ρίζες Α ή 3 Γ ή Β Χωρίζουμε σε επιμέρους κλάσματα και εφαρμόζουμε κάποια από τις προηγούμενες μεθόδους Ριζικά με το ίδιο υπόριζο διαφορετικών τάξεων - Βρίσκουμε το ΕΚΠ = κ των τάξεων και των ριζών - Θέτουμε κ y οπότε αφού τότε y κ 4 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΕ ΚΛΑΔΟΥΣ Όταν η συνάρτηση είναι της μορφής :,,, δηλαδή: lim lim βρίσκουμε τα πλευρικά όρια της στο lim τότε για να βρούμε το και lim Αν αυτά είναι ίσα τότε υπάρχει το lim lim Όταν η συνάρτηση είναι της μορφής : c, c, τότε lim lim ενώ 5 ΟΡΙΟ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Ος Τρόπος ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ Αν κανένα απόλυτο δεν μηδενίζεται για : Απαλλάσσουμε τη συνάρτηση από τις απόλυτες τιμές, ανάλογα με το αν οι παραστάσεις μέσα σε αυτές είναι θετικές ή αρνητικές ( κάνοντας αντικατάσταση και βρίσκοντας το πρόσημο ) Υπολογίζουμε το όριο σύμφωνα με κάποια από τις προηγούμενες μορφές Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom 8

Αν το απόλυτο μηδενίζεται για : Κατασκευάζουμε πίνακα προσήμων των παραστάσεων που περιέχονται στα απόλυτα Παίρνουμε πλευρικά όρια, απαλλάσσοντας, ανάλογα, τη συνάρτηση από τις απόλυτες τιμές Για να υπάρχει το lim lim lim ος Τρόπος, πρέπει : Βρίσκουμε το όριο της παράστασης που περιέχεται στο απόλυτο Με βάση το πρόσημο του ορίου αφαιρούμε τα απόλυτα και υπολογίζουμε το όριο Αν το όριο της παράστασης που βρίσκεται στο απόλυτο είναι ίσο με μηδέν, τότε, όπως και πριν υπολογίζουμε τα πλευρικά όρια 6 ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ Με πράξεις παρεμβάλουμε τη ζητούμενη συνάρτηση g h ανάμεσα σε δύο άλλες συναρτήσεις:, οι οποίες πρέπει να έχουν κοινό όριο όταν Παρατήρηση: Χαρακτηριστικό για την εφαρμογή του κριτηρίου περεμβολής είναι η ύπαρξη διπλής Β Α Γ Α Β Β Α Β ανισότητας ή 7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ Θέτουμε όπου το γιατί: lim ημ ημ, lim συν συν, π lim εφ εφ ( κπ, κ ) Όταν έχουμε απροσδιοριστία ημ συν lim ή lim, τότε προσπαθούμε να εμφανίσουμε τα όρια : Όριο με αλλαγή μεταβλητής: Για να υπολογίσουμε το lim g θέτουμε u uu στο και στη συνέχεια βρίσκουμε το lim u ημ α Ειδικά για το όριο lim u α «Μηδενική επί φραγμένη» θέτουμε α u, τότε Όταν έχουμε γινόμενο συναρτήσεων των μορφών : g, βρίσκουμε u g lim με u u κοντά ημ α ημu lim lim α u u ημ ή g συν όπου g lim g lim εφαρμόζουμε το κριτήριο παρεμβολής, λαμβάνοντας υπόψη ότι ημα, συν α και ημ Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom 9

8 ΟΡΙΑ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Δίνεται : lim Π, lim Τότε: - Θέτουμε με g την παράσταση γνωστού ορίου - Λύνουμε ως προς τη συνάρτηση - Βρίσκουμε το lim Όπου Π = παράσταση που περιέχει την και ζητείται το μέσω της προηγούμενης σχέσης Αν ζητείται η εύρεση του ορίου μιας άλλης συνάρτησης που περιέχει την και έχουμε απροσδιοριστία τότε μορφοποιούμε με προσθαφαιρέσεις ή παραγοντοποιήσεις το ζητούμενο όριο για να καταλήξουμε σε παραστάσεις με γνωστά όρια 9 ΟΡΙΟ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ lim g ΜΕ ΚΑΙ lim g lim Αρχικά απομονώνουμε τον παράγοντα που μηδενίζει τον παρονομαστή lim lim g g g με lim g και lim λ g - Αν g, τότε lim και lim ( ανάλογα με το λ) g g - Αν g, τότε lim και lim ( ανάλογα με το λ) g g - Αν το g αλλάζει πρόσημο στο με πλευρικά όρια, διαπιστώνουμε ότι δεν υπάρχει το lim g, οπότε δεν υπάρχει και το lim g ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Όταν ζητούνται οι τιμές των παραμέτρων, ώστε παραμέτρους και lim g ), τότε lim g λ ( όπου η περιέχει - Θέτουμε : g - Είναι hg h h g lim lim οπότε, προκύπτει μία σχέση με παραμέτρους Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom

- Χρησιμοποιούμε τη σχέση για να βρούμε το παραμέτρους lim g και προκύπτει μία δεύτερη σχέση με Επιλύουμε το σύστημα των παραμετρικών σχέσεων και προσδιορίζουμε τις τιμές τους ΟΡΙΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗΣ ΟΡΙΟ ΡΗΤΗΣ - Το όριο της πολυωνυμικής ισούται με το όριο του μεγιστοβάθμιου όρου του πολυωνύμου - P Οριο ρητής : lim όπου P, Q πολυώνυμα Ισούται με το όριο του πηλίκου των Q μεγιστοβάθμιων όρων του αριθμητή και του παρονομαστή και είναι : Α όταν : βαθμός Q > βαθμός P Β κ * όταν : βαθμός Q = βαθμός P Γ ή, όταν: βαθμός Q < βαθμός P ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ Υπολογισμός lim v g h - Βγάζουμε κοινό παράγοντα μέσα στο υπόριζο τη δύναμη του που αντιστοιχεί στην τάξη της ρίζας - Βγάζουμε το έξω από τη ρίζα Είναι v v - Βγάζουμε κοινό παράγοντα το σε αριθμητή και παρονομαστή - Απλοποιούμε και βρίσκουμε το όριο Υπολογισμός lim A B ή lim A B και όταν ή αν v p v p v p - Θεωρούμε τη παράσταση Π α β ή Π α β όπου α, β οι μεγιστοβάθμιοι όροι των πολυωνύμων v p v p Α και Β αντίστοιχα - Αν Π, βγάζουμε κοινό παράγοντα τη μεγαλύτερη δύναμη του και υπολογίζουμε το όριο - Αν Π, πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με τη συζυγή παράσταση - Βγάζουμε κοινούς παράγοντες, απλοποιούμε και βρίσκουμε το όριο Παρατήρηση : Αν υπάρχει κυβική ρίζα, τότε πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με την παράσταση α αβ β α β α αβ β α 3 β 3, για να εμφανίσουμε την ταυτότητα : v p Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom

3 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ Όριο στο άπειρο με παράσταση της μορφής - Αν lim, τότε θέτουμε ημ ή συν : u και προσπαθούμε να εμφανίσουμε τα βασικά όρια ημu συνu lim και lim u u u u lim τότε χρησιμοποιούμε κριτήριο παρεμβολής (μηδενική επί φραγμένη ) - Αν 4 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Όρια συναρτήσεων της μορφής α g α - Αναλύουμε τις δυνάμεις - Θέτουμε α u - Υπολογίζουμε το όριο που προκύπτει με την αλλαγή της μεταβλητής Όρια συναρτήσεων της μορφής α, β g α, β - Αναλύουμε τις δυνάμεις - Βγάζουμε κοινό παράγοντα σε αριθμητή και παρονομαστή - Αν τη δύναμη της μεγαλύτερης βάσης - Αν τη δύναμη της μικρότερης βάσης ( στόχος είναι να εμφανίσουμε όρια που τείνουν στο ) - Βρίσκουμε το όριο που προκύπτει Όταν έχουμε παράμετρο στη βάση διακρίνουμε περιπτώσεις 5 OΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ Για να υπολογίσουμε το lim g, θέτουμε g Για τη λογαριθμική συνάρτηση, ισχύει ότι: lim ln u και lim ln 6 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΤΟ - Βρίσκουμε το lim ή τα πλευρικά όρια της στο αν η αλλάζει τύπο εκατέρωθεν του - Βρίσκουμε το Αν είναι lim lim, τότε η είναι συνεχής στο Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom

7 ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ Θα πρέπει η συνάρτηση να είναι συνεχής και στα σημεία που αλλάζει τύπο - Βρίσκουμε τα lim, lim - Πρέπει: lim lim και το - Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων που προκύπτουν και υπολογίζουμε τις παραμέτρους 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Αν οι συναρτήσεις, g είναι συνεχείς, τότε και οι συναρτήσεις: v v g, g,,,,,,,, og, go είναι επίσης συνεχείς g Επίσης, όλες οι συναρτήσεις των οποίων ο τύπος ορίζεται με πράξεις βασικών συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχείς 9 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΣΩ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ Όταν δίνεται μία σχέση για μία συνάρτηση, η οποία είναι συνεχής στο και ζητείται το, το οποίο δεν μπορεί να βρεθεί απ ευθείας από την, τότε: Λύνουμε τη δοθείσα σχέση ως προς Υπολογίζουμε το lim Επειδή η είναι συνεχής στο, ισχύει: lim, θέτοντας όλους τους περιορισμούς Για την εύρεση του ορίου θα χρησιμοποιούμε οποιαδήποτε από τις μεθόδους υπολογισμού ορίων θεωρούμε απαραίτητες Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom 3

ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Συνέχεια συνάρτησης μέσω συναρτησιακής σχέσης y Αν γνωρίζουμε ότι η είναι συνεχής στο και θέλουμε να αποδείξουμε ότι είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, τότε: Θέτουμε: h ( ) h όταν είναι h lim () lim ( ) h Τότε: h Αν lim τότε η είναι συνεχής στο τυχαίο Συνέχεια συνάρτησης μέσω συναρτησιακής σχέσης y D, οπότε και σε όλο το D Αν γνωρίζουμε ότι η είναι συνεχής στο και θέλουμε να αποδείξουμε ότι είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, τότε: Θέτουμε: h h Όταν είναι h Τότε: lim lim h h Αν lim τότε η είναι συνεχής στο τυχαίο D, οπότε και σε όλο το πεδίο ορισμού της ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΑΠΟ ΑΝΙΣΟΤΙΚΗ ΣΧΕΣΗ Θέτουμε στη σχέση όπου το για να βρούμε το Βρίσκουμε το lim Ελέγχουμε αν lim, συνήθως με κριτήριο παρεμβολής Ορισμένες φορές ίσως χρειάζεται να τροποποιήσουμε την αρχική σχέση για να μπορέσουμε να εφαρμόσουμε τα παραπάνω βήματα ΥΠΑΡΞΗ ΜΙΑΣ ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΡΙΖΑΣ Ύπαρξη ρίζας εξίσωσης σε διάστημα, Φέρνουμε όλους τους όρους στο ένα μέλος Θεωρούμε συνάρτηση Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom 4

Αναφέρουμε για ποιο λόγο η συνάρτηση είναι συνεχής στο, o Εξετάζουμε αν Bolzano σε άκρα ανοικτού διαστήματος Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο,, - lim () ή τότε υπάρχει, τέτοιο ώστε και θέλουμε να δείξουμε ότι έχει ρίζα στο, τότε παίρνουμε τα όρια της όταν και και αν: - lim () ή τότε υπάρχει, τέτοιο ώστε στη συνέχεια εφαρμόζουμε το θ Bolzano στο,, και 3 4 ΥΠΑΡΞΗ, : g Θεωρούμε τη συνάρτηση h g,, Αναφέρουμε τη συνέχεια της h στο, (συνήθως πράξεις συνεχών συναρτήσεων) Βρίσκουμε τις τιμές h,h και διαπιστώνουμε ότι ΥΠΑΡΧΕΙ, : g,, Θεωρούμε τη συνάρτηση h g h h Αναφέρουμε για ποιο λόγο είναι συνεχής στο, Βρίσκουμε τις τιμές h,h και διαπιστώνουμε ότι Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: - Αν hh τότε ή h ή h, άρα - Αν hh τότε λόγω του θ Bolzano υπάρχει, : h h h Γενικά θα υπάρχει, τέτοιο ώστε: h g Αν δίνεται το σύνολο τιμών, της συνάρτησης ή g, τότε θα είναι και οπότε των h,h, για κάθε,, Θα εκμεταλλευόμαστε τις παραπάνω ανισώσεις για το πρόσημο Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom 5

5 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Αν η είναι στο,, τότε, Αν η είναι στο, τότε, Αν η είναι στο,, τότε lim, Αν η είναι στο,,τότε: lim, lim 6 ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΕΣ ΑΠΟ ΜΙΑ ΡΙΖΕΣ Όταν ζητείται η ύπαρξη περισσοτέρων σημείων ξ,ξ,,ξ ν που να ικανοποιούν κάποια ιδιότητα τότε εφαρμόζουμε ν φορές το θεώρημα Bolzano σε ν υποδιαστήματα που χωρίζουμε το διάστημα, και τα οποία υποδιαστήματα να μην έχουν κοινά εσωτερικά σημεία Τα υποδιαστήματα αυτά καθορίζονται από προσεκτική εξέταση των δεδομένων και των ζητούμενων 7 ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΠΡΟΣΗΜΟΥ Πρόσημο συνάρτησης Για να προσδιορίσουμε το πρόσημο μίας συνεχούς συνάρτησης, στηριζόμενοι στο θ Bolzano, εργαζόμαστε ως εξής: Βρίσκουμε τις ρίζες της Σε καθένα από τα υποδιαστήματα που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες επιλέγουμε έναν αριθμό Βρίσκουμε το Το πρόσημο του είναι και το πρόσημο της στο αντίστοιχο διάστημα Συνάρτηση που διατηρεί σταθερό πρόσημο - Σε ασκήσεις που θέλουμε να δείξουμε ότι μία συνεχής συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο Τότε: Υποθέτουμε ότι η δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Δ, δηλαδή υπάρχουν, με Εφαρμόζουμε το θ Bolzano, οπότε υπάρχει, τέτοιο ώστε Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom 6 Αντικαθιστούμε το ξ στη σχέση που δίνεται και καταλήγουμε σε άτοπο - Αν σε άσκηση γνωρίζουμε ότι η είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και για κάθε, τότε η διατηρεί σταθερό πρόσημο

8 ΘΕΤ Σε ασκήσεις που θέλουμε να δείξουμε ότι μία συνάρτηση παίρνει την τιμή ή ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε, Παρατήρηση:, τότε πρέπει να δείξουμε ότι το κ βρίσκεται μεταξύ των και στη συνέχεια αξιοποιούμε το ΘΕΤ Οι ασκήσεις αυτής της κατηγορίας μπορούν να λυθούν και με τη βοήθεια του θ Bolzano 9 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΘΜΕΤ - ΘΕΤ Όταν δεν γνωρίζουμε τη μονοτονία της συνεχούς συνάρτησης στο, και ζητείται να δειχθεί ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε: v v v v v v με και v,v,,v, τότε: - Επειδή η είναι ορισμένη και συνεχής στο κλειστό διάστημα, όπου m η ελάχιστη και Μ η μέγιστη τιμή της Για κάθε, είναι Με τη βοήθεια αυτής της ανισότητας κατασκευάζουμε: v v m v v v M, θα έχει σύνολο τιμών m,, m M - Σε ασκήσεις που γνωρίζουμε ότι η είναι γνησίως μονότονη στο, και ζητείται ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε: v v v v v v με v,v,,v και τότε με τη βοήθεια της μονοτονίας παρεμβάλλουμε την παράσταση μεταξύ των, v v v v v v και εφαρμόζουμε το ΘΕΤ Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom 7

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΕΥΡΕΣΗ Σε συνάρτηση απλού τύπου Βρίσκουμε το Σχηματίζουμε το λόγο παράγοντα Βρίσκουμε το:, κάνουμε πράξεις, παραγοντοποιήσεις και απαλείφουμε τον lim () Αν υπάρχει το όριο και είναι πραγματικός αριθμός, τότε η είναι παραγωγίσιμη στο, με Αν δεν υπάρχει το όριο () ή είναι, τότε η δεν είναι παραγωγίσιμη στο Σε ορισμένες περιπτώσεις, χρησιμοποιούμε για την εύρεση της παραγώγου στο το h lim, αν το ανάπτυγμα του h απλουστεύει τις πράξεις h h Σε συνάρτηση πολλαπλού τύπου Όταν ζητείται το,όπου είναι σημείο αλλαγής τύπου κλαδωτής συνάρτησης, τότε: Εξετάζουμε πρώτα τη συνέχεια της στο Αν η δεν είναι συνεχής στο, τότε δεν είναι παραγωγίσιμη Βρίσκουμε το Υπολογίζουμε τις πλευρικές παραγώγους: lim, lim Αν οι πλευρικές παράγωγοι είναι ίσες με ένα πραγματικό αριθμό, τότε Διαφορετικά, δεν υπάρχει το Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom 8

ΕΥΡΕΣΗ ΑΠΟ ΑΝΙΣΟΤΙΚΗ ΣΧΕΣΗ Όταν δίνεται μία σχέση της μορφής g ή h g και ζητείται το, Θέτουμε στην ανισότητα όπου το και βρίσκουμε το Μετασχηματίζουμε την ανισότητα για να σχηματίσουμε το λόγο μεταβολής ή διακρίνοντας περιπτώσεις όταν διαιρούμε με αν Εφαρμόζουμε το κριτήριο παρεμβολής και βρίσκουμε την παράγωγο στη θέση τότε: 3 ΕΥΡΕΣΗ ΑΠΟ ΣΧΕΣΗ ΙΣΟΤΗΤΑΣ Όταν δίνεται μία ισότητα που περιέχει μία συνάρτηση για την οποία γνωρίζουμε ότι είναι παραγωγίσιμη στη και ζητείται το, τότε: Θέτουμε όπου και βρίσκουμε το Μετασχηματίζουμε την ισότητα για να σχηματίσουμε το λόγο Παίρνουμε όρια και στα δύο μέλη και είναι: Λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει ως προς lim 4 ΣΥΝΕΧΗΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ Όταν ζητείται να εξετάσουμε αν μία συνάρτηση πολλαπλού τύπου είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στη θέση, όπου σημείο αλλαγής τύπου Τότε: Εξετάζουμε πρώτα τη συνέχεια στο Αν δεν είναι συνεχής στο δεν είναι και παραγωγίσιμη στο Αν είναι συνεχής στο ελέγχουμε αν είναι παραγωγίσιμη με πλευρικές παραγώγους Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom 9

5 ΚΑΙ ΟΡΙΑ Εύρεση του από σχέση ορίου Αν δίνεται ένα όριο που περιέχει μία συνεχή συνάρτηση και θέλουμε να βρούμε την παράγωγο της στο, τότε: Θέτουμε την παράσταση του ορίου, ίση με μία βοηθητική συνάρτηση και λύνοντας βρίσκουμε την Υπολογίζουμε το lim Επειδή η είναι συνεχής στο, ισχύει: lim Στη συνέχεια έχουμε δύο επιλογές: η : Αντικαθιστούμε στο όριο και υπολογίζουμε το όριο ή lim το και το η : Μορφοποιούμε την παράσταση του ορίου, έτσι ώστε να εμφανιστεί ο λόγος και στη συνέχεια υπολογίζουμε το όριό του Υπολογισμός ορίων με βάση τον ορισμό παραγώγου Αν γνωρίζουμε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο, τότε: lim ή h lim h h Με προσθαφαιρέσεις και παραγοντοποιήσεις προσπαθούμε να εμφανίσουμε κάποιο από τα παραπάνω όρια στο ζητούμενο όριο h Αν υπάρχει παράσταση της μορφής, τότε θέτουμε h, οπότε, όταν h h και υπολογίζουμε το παραπάνω όριο με αλλαγή μεταβλητής Είναι: lim Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom

6 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Συναρτησιακή σχέση y Αν δίνεται μία συναρτησιακή σχέση y και γνωρίζουμε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο και θέλουμε να αποδείξουμε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο, τότε: Υπολογίζουμε το α, κάνοντας κατάλληλη αντικατάσταση στη συναρτησιακή σχέση (αν θέτουμε στην y όπου y ) Επειδή η είναι παραγωγίσιμη στο α, τότε: =lim Για να είναι η παραγωγίσιμη στο, αρκεί να υπάρχει στο, το όριο lim, h lim h h Θέτουμε h και το όριο γίνεται: Στη συνέχεια εκμεταλλευόμαστε τη συναρτησιακή σχέση για να υπολογίσουμε το όριο Συναρτησιακή σχέση y Αν δίνεται μία συναρτησιακή σχέση y και γνωρίζουμε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο και θέλουμε να αποδείξουμε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο ή σε τυχαίο Υπολογίζουμε το, τότε: α κάνοντας κατάλληλη αντικατάσταση στη συναρτησιακή σχέση (αν, θέτουμε στην y, όπου y ) Επειδή η είναι παραγωγίσιμη στο α, τότε: =lim Για να αποδείξουμε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο ή στο τυχαίο το όριο: lim, αρκεί να υπάρχει στο h h Θέτουμε h, άρα και h, οπότε το όριο γίνεται: lim h h συνέχεια εκμεταλλευόμαστε τη συναρτησιακή σχέση για να υπολογίσουμε το όριο Στη Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom

7 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Χρησιμοποιούμε το τυπολόγιο και τους κανόνες παραγώγισης 8 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ Σε ασκήσεις όπου ζητείται να βρεθεί η δεύτερη παράγωγος βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο (3), τρίτη παράγωγος,, τότε και στη συνέχεια παραγωγίζουμε διαδοχικά τους τύπους των (3) παραγώγων που έχουμε βρει Είναι:,, 9 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ Έστω - συνάρτηση, με αντίστροφη την Ισχύει: y y, δηλαδή Παραγωγίζοντας έχουμε: και με, προκύπτει: Στη συνέχεια θέτουμε ζητούμενο () y και με βάση την διαδικασία της αποσύνθεσης, καταλήγουμε στο ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Όταν δίνεται μία συναρτησιακή σχέση (ισότητα) και μας ζητά να υπολογιστεί το ή να δειχθεί μία άλλη ισότητα ή να υπολογιστούν κάποιες παράμετροι, τότε παραγωγίζουμε κατά μέλη, εφόσον αναφέρεται ότι οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες Αν g και οι,g παραγωγίσιμες, τότε g Το αντίστροφο δεν ισχύει Αν δεν αναφέρεται ότι οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες σε κάποιο διάστημα, τότε δεν μπορούμε να παραγωγίσουμε κατά μέλη Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom

ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Αν ισχύει μία σχέση με δύο μεταβλητές,y και ζητείται να δειχθεί μία σχέση με παραγώγους, τότε: Παραγωγίζουμε και τα δύο μέλη ως προς, θεωρώντας το y σταθερά Παραγωγίζουμε και τα δύο μέλη ως προς y, θεωρώντας το σταθερά Από τις σχέσεις των παραγώγων που θα προκύψουν, με κατάλληλες πράξεις καταλήγουμε στο ζητούμενο ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΣΕ ΓΝΩΣΤΟ ΣΗΜΕΙΟ M, Βρίσκουμε το, αν δεν δίνεται Βρίσκουμε το και στη συνέχεια το Αντικαθιστούμε στον τύπο y Σε περίπτωση που έχουμε συνάρτηση πολλαπλού τύπου και ζητείται η εξίσωση εφαπτομένης στο σημείο αλλαγής τύπου, βρίσκουμε το, αν υπάρχει, με πλευρικές παραγώγους Εύρεση παραμέτρων Όταν δίνεται μία συνάρτηση και ζητούνται οι τιμές των παραμέτρων έτσι ώστε η M, εφαπτομένη την y και σημείο, τότε ισχύει ΌΤΙ: ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΣΕ ΑΓΝΩΣΤΟ ΣΗΜΕΙΟ Υποθέτουμε ότι C να έχει στο M, είναι το σημείο επαφής που πληροί την συγκεκριμένη ιδιότητα Ανάλογα με την ιδιότητα, έχουμε τις παρακάτω συνθήκες: - Αν η εφαπτομένη ε είναι παράλληλη σε ευθεία : y, τότε: - Αν η εφαπτομένη ε είναι κάθετη σε ευθεία : y, τότε: - Αν η εφαπτομένη έχει κλίση λ, τότε - Αν η εφαπτομένη σχηματίζει γωνία ω με τον άξονα, τότε ισχύει: Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom 3

Εφαπτομένη από σημείο εκτός C Όταν θέλουμε να βρούμε την εξίσωση εφαπτομένης που άγεται από σημείο A, που δεν ανήκει στη γραφική παράσταση της, τότε: Υποθέτουμε ότι το σημείο επαφής είναι το M, Γράφουμε τον τύπο της εξίσωσης εφαπτομένης: : y (), και αντικαθιστούμε τα, εφαπτομένη ε διέρχεται από το σημείο,, οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωση (), δηλαδή: Επειδή η Από την τελευταία σχέση υπολογίζουμε τα, που μπορεί να είναι και περισσότερα από ένα 3 ΚΟΙΝΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ Κοινή εφαπτομένη σε κοινό σημείο Αν οι γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων,g έχουν κοινή εφαπτομένη σε κοινό τους σημείο M,y, τότε: g και g Κοινή εφαπτομένη σε διαφορετικά σημεία Όταν δίνονται δύο συναρτήσεις,g και ζητείται να βρεθεί αν υπάρχει, ευθεία που εφάπτεται και στις δύο γραφικές παραστάσεις Τότε: Εξετάζουμε αρχικά, αν υπάρχει κοινή εφαπτομένη σε κοινό σημείο Υποθέτουμε ότι A, και,g C,C g είναι τα σημεία επαφής της κοινής εφαπτομένης με τις : y ( ) y : y g g y g g g Για να είναι η ίδια ευθεία, πρέπει: g g g Λύνοντας το προηγούμενο σύστημα, βρίσκουμε τα α και β Ευθεία που εφάπτεται στην C Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μία γνωστή ευθεία : y εφάπτεται στην C, τότε: Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων Έστω M,y ένα κοινό σημείο Αν Αν, τότε το Μ είναι σημείο επαφής, και βρίσκουμε τα κοινά τους σημεία, τότε το Μ είναι σημείο τομής Αν η ευθεία δ δεν είναι γνωστή, τότε αρχικά βρίσκουμε την εξίσωσή της και ακολουθούμε τα παραπάνω βήματα Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom 4

4 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Ρυθμός μεταβολής συγκεκριμένης συνάρτησης O ρυθμός μεταβολής μίας συνάρτησης t, δηλαδή το t Προβλήματα Οικονομίας y t, ως προς t, όταν t t, είναι η παράγωγος της στο Στα προβλήματα οικονομίας, η βασική σχέση που ισχύει είναι: Κέρδος = Έσοδα Κόστος Αν K η συνάρτηση κόστους, τότε το μέσο κόστος παραγωγής μονάδων προϊόντος, είναι: K K K Πρόβλημα κίνησης σε καμπύλη Αν δίνεται σώμα που κινείται σε καμπύλη C, τότε: - Καταγράφουμε όλα τα δεδομένα της εκφώνησης, εκφράζοντας τα,y συναρτήσει του χρόνου t t,yt t ή y t ελαττώνεται με ρυθμό α, τότε Αν κάποια από τις συντεταγμένες του σημείου - Υπολογίζουμε τις τιμές των,y τη χρονική στιγμή t που μας ενδιαφέρει Παραγωγίζουμε την εξίσωση της καμπύλης ως προς t και αντικαθιστούμε t t - Κάνουμε αντικατάσταση στην τελευταία σχέση και συνήθως προκύπτει το ζητούμενο 5 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Αν δίνεται σώμα που κινείται επί ευθείας και η συνάρτηση θέσης του κάθε χρονική στιγμή t είναι S t, τότε: Η στιγμιαία ταχύτητά του, τη χρονική στιγμή t, είναι t t Η στιγμιαία του επιτάχυνση t, τη χρονική στιγμή t, είναι t t Το σώμα δεν κινείται όταν t Το σώμα κινείται κατά τη θετική φορά, όταν t και κατά την αρνητική φορά, όταν Το συνολικό διάστημα που διανύει το κινητό, είναι: S t t t t t ό, όπου μέση ταχύτητα του σώματος σε όλη τη διάρκεια κίνησής του, είναι: διάστημα Η ταχύτητα του σώματος αυξάνεται, όταν t t, t οι ρίζες της εξίσωσης (t) Η t ό Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom 5 S, όπου S το συνολικό t και ελαττώνεται όταν t

6 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΣΕ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ Αρχικά κάνουμε σχήμα και εκφράζουμε όλα τα μήκη συναρτήσει του t Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε το διάγραμμα: Πως βρίσκω τη γεωμετρική σχέση που συνδέει τα μεταβλητά μεγέθη του προβλήματος; Ένα τρίγωνο στο σχήμα τυχαίο τρίγωνο ορθογώνιο τρίγωνο Η σχέση συνήθως είναι: Πυθαγόρειο Δύο τρίγωνα στο σχήμα Συνήθως εφαρμόζουμε συνθήκη ομοιότητας τριγώνων (νόμος συνημιτόνων) ή θεώρημα Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας Για επίπεδα σχήματα ή στερεά χρησιμοποιούμε τους τύπους περιμέτρου, εμβαδού ή όγκου Στη διαδικασία επίλυσης ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο: Κάνουμε σχήμα, όπου είναι απαραίτητο και συμβολίζουμε με μεταβλητές τα διάφορα μεγέθη ο: Βρίσκουμε τις γεωμετρικές σχέσεις που συνδέουν τις μεταβλητές και τις κάνουμε συναρτήσεις με μεταβλητή το t 3ο: Υπολογίζουμε τη τιμή των μεταβλητών τη χρονική στιγμή t που μας ενδιαφέρει 4ο: Παραγωγίζουμε τις σχέσεις και με αντικατάσταση προκύπτει το ζητούμενο Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom 6

7 ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Έλεγχος εφαρμογής του Θ Rolle-εύρεση του ξ Εξετάζουμε αν εφαρμόζονται οι τρείς προϋποθέσεις του θεωρήματος Σε περίπτωση που ζητείται να βρεθεί και ο αριθμός Rolle, τότε λύνουμε την εξίσωση, Παραμετρικές θ Rolle και βρίσκουμε τα Σε ασκήσεις στις οποίες ζητείται ο προσδιορισμός παραμέτρων ώστε να εφαρμόζεται το θ Rolle στο διάστημα,, τότε απαιτούμε: Η να είναι συνεχής στο, και στην περίπτωση που έχουμε συνάρτηση πολλαπλού τύπου, να είναι συνεχής στο σημείο αλλαγής τύπου Η να είναι παραγωγίσιμη στο, και αν είναι κλαδωτή, να είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αλλαγής Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων που προκύπτουν από τα 3 προηγούμενα βήματα, προσδιορίζουμε τις παραμέτρους Γεωμετρική ερμηνεία θ Rolle Σε ασκήσεις στις οποίες ζητείται να εξετάσουμε αν υπάρχει σημείο M,, με, τέτοιο ώστε, η εφαπτομένη της C να είναι παράλληλη με τον άξονα, τότε εξετάζουμε αν πληρούνται οι 3 προϋποθέσεις του θ Rolle 8 YΠΑΡΧΕΙ, :,, Για να βρούμε την αρχική συνάρτηση της παράστασης που πρέπει να ορίσουμε για να εφαρμόσουμε το θεώρημα Rolle, θα χρησιμοποιούμε τη παρακάτω λογική: - Φέρνουμε τη σχέση στη μορφή h (μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος θέτοντας ως άγνωστο το ) Αν η παράσταση h περιέχει το και, τότε: Βρίσκω την αρχική της h με βάση τον πίνακα βασικών παραγώγων Είναι: k k k,k, e e,, ln,, Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom 7

Αν η παράσταση h περιέχει το και το, τότε: ο: Αρχικά παρατηρώ αν η παράσταση h είναι ή μπορεί να μετασχηματιστεί σε παράγωγος γινομένου ή πηλίκου g g g g g ή g g ο: Αν δεν ισχύει το προηγούμενο εξετάζω αν η παράσταση h προέρχεται από παράγωγο σύνθεσης k k,k k,, e e ln,,,, 3ο: Αν δεν ισχύει κάποιο από τα προηγούμενα, φέρνω τη παράσταση h στη μορφή g και πολλαπλασιάζω με το αρχική της g Τότε η σχέση γίνεται: G e, όπου G G G e e g G ή G e e G e 9 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ Πολλές φορές για να αποδείξουμε ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε : ή ή δεν συμπεριλαμβάνεται εμφανώς στην εκφώνηση η συνθήκη ή τότε ενδέχεται να πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα του Bolzano ή το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών ήτο θεώρημα του Rolle σε άλλο διάστημα ή σε άλλη συνάρτηση ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΜΙΑ ΡΙΖΑ, Σε ασκήσεις που ζητείται να αποδείξουμε ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα, κάνουμε τα εξής: Εξετάζουμε αν εφαρμόζεται το θ Bolzano για την στο, ή αν η συνάρτηση έχει προφανή ρίζα στο, Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom 8

Αν δεν συμβαίνει το προηγούμενο, τότε θεωρούμε την αρχική συνάρτηση F της (δηλαδή τη F, ) και εφαρμόζουμε γι αυτή, το θ συνάρτηση για την οποία ισχύει για κάθε Rolle Αν ζητούνται τουλάχιστον ν ρίζες στο,, τότε χωρίζουμε το διάστημα σε ν υποδιαστήματα και αποδεικνύουμε ότι σε κάθε διάστημα υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα Για την εύρεση της F χρησιμοποιούμε τις παρακάτω αντιπαραγωγίσεις:,, ln,,, e e, ΤΟ ΠΟΛΥ Κ ΡΙΖΕΣ Για να αποδείξουμε ότι η εξίσωση έχει το πολύ κ ρίζες κάνουμε τα εξής: Υποθέτουμε ότι η έχει ( ) ρίζες,,, με Σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχουν,,,,,, 3 ξ τέτοια, ώστε: Εξετάζουμε αν η μπορεί να έχει κ ρίζες Αν δεν μπορεί, τότε έχουμε καταλήξει σε άτοπο, οπότε η δεν έχει ρίζες και έχει το πολύ κ ρίζες Αν το άτοπο δεν είναι εμφανές στην συνεχίζουμε την προηγούμενη διαδικασία και βρίσκουμε ρίζες στην κοκ ΑΚΡΙΒΩΣ ΜΙΑ ΡΙΖΑ Για να αποδείξουμε ότι μία εξίσωση έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα,, θα αποδεικνύουμε ότι η αντίστοιχη συνάρτηση έχει τουλάχιστον μία και το πολύ μία ρίζα στο διάστημα αυτό Γενικά ισχύει: ά ί ύ ί ώ ί ί Για το «τουλάχιστον μία», θα εφαρμόσουμε: Θεώρημα Bolzano ή Θ Rolle στην αρχική συνάρτηση (αρχική της είναι η F, όταν F ) ή Θα βρούμε προφανή ρίζα της στο διάστημα, Για να αποδείξουμε ότι έχει το πολύ μία ρίζα, θα υποθέσουμε ότι έχει δύο ρίζες,,,, θα καταλήξουμε σε άτοπο, με και εφαρμόζοντας θ Rolle στο Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom 9

3 ΘΜΤ Άμεση εφαρμογή του ΘΜΤ Εξετάζουμε αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο Γεωμετρική ερμηνεία ΘΜΤ, και παραγωγίσιμη στο, Σε ασκήσεις στις οποίες ζητείται να δειχθεί ότι υπάρχει σημείο, της εφαπτομένη είναι παράλληλη σε κάποια χορδή που ορίζεται από τα σημεία B,, θα εξετάσουμε αν εφαρμόζεται το ΘΜΤ στο διάστημα, Ανισοτικές σχέσεις για τιμές της C, στο οποίο η A, και Σε ανισώσεις που θέλουμε να αποδείξουμε μία ανίσωση για συγκεκριμένη τιμή της, θα εφαρμόζουμε, εφόσον πληρούνται οι προϋποθέσεις, ΘΜΤ για την σε κατάλληλο διάστημα Επίσης, αν ισχύει μία ανισοτική σχέση για την, τότε αυτό αποτελεί ένδειξη για εφαρμογή ΘΜΤ 4 ΔΙΑΜΕΡΙΣΜΟΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ Ασκήσεις στις οποίες ζητείται η ύπαρξη,,,,, ώστε να ισχύει: Χωρίζουμε το, σε ν ίσα υποδιαστήματα, που το καθένα έχει πλάτος ΘΜΤ στα διαστήματα αυτά και εφαρμόζουμε το Ασκήσεις στις οποίες ζητείται η ύπαρξη,,,, με d και * Έστω, ώστε να ισχύει:,,, * Χωρίζουμε το, σε ν υποδιαστήματα:,,,,,,, με αντίστοιχα πλάτη: d, d,, d και α δ δ ν δν β εφαρμόζουμε ΘΜΤ σε καθένα από αυτά και στη συνέχεια προσθέτουμε κατά μέλη Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom 3

5 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ύπαρξη, με Εφαρμόζουμε Rolle για την στο διάστημα:,, εφαρμογή του ΘΜΤ Ύπαρξη,, με όπου τα, έχουν προκύψει από Σε ασκήσεις διαδοχικών ερωτημάτων στις οποίες προηγείται υπαρξιακό πρόβλημα (υπάρχει, ) και ακολουθεί πρόβλημα ύπαρξης,,,, τα οποία, να ικανοποιούν μία σχέση, τότε τα, θα προκύψουν από εφαρμογή του ΘΜΤ σε καθένα από τα διαστήματα, και, Ύπαρξη, με ή ή Εφαρμόζουμε διαδοχικά ΘΜΤ ή και ΘRolle, ώστε να βρούμε το πρόσημο των, συνέχεια εφαρμόζουμε ΘΜΤ στην στο, και στη Ύπαρξη,,, με Θα διαμερίζουμε το σύνολο τιμών της σε αντίστοιχα διαστήματα και με χρήση του ΘΕΤ θα βρίσκουμε,,, των οποίων οι τιμές είναι ίσες με τις θέσεις διαμέρισης του συνόλου τιμών Στη συνέχεια θα εφαρμόζουμε το ΘΜΤ στα αντίστοιχα διαστήματα 6 ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Για να αποδείξουμε μία ανίσωση για συγκεκριμένες τιμές της, θα εφαρμόζουμε, εφόσον πληρούνται οι προϋποθέσεις, ΘΜΤ για την σε κατάλληλο διάστημα Σε ανισώσεις δύο μεταβλητών θα προσπαθούμε να σχηματίσουμε τη διαφορά να «ανακαλύψουμε» ποια είναι η και ποιο το διάστημα, έτσι ώστε στο οποίο θα εφαρμόσουμε το ΘΜΤ Στη συνέχεια θα εφαρμόζουμε τον ορισμό μονοτονίας για την στην ανίσωση: 7 ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή, θα αποδεικνύουμε ότι τη σταθερή τιμή της συνάρτησης, θα θέτουμε στη θέση του, κατάλληλο αριθμό Για να βρούμε Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom 3

8 ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ Μορφή h Βρίσκουμε την αρχική Η της g ( H h ) με βάση τους παρακάτω τύπους αντιπαραγώγισης:,, ln,, Τότε η σχέση h γίνεται: Μορφή,, h Βρίσκουμε τη αρχική H της h H H c ο: Αρχικά παρατηρούμε αν το πρώτο μέλος είναι ή μπορεί να γίνει παράγωγος γινομένου ή πηλίκου g g g g g ή g g, e e, Τότε g H g H cή g H ο: Αν δεν ισχύει το προηγούμενο εξετάζω αν το πρώτο μέλος προέρχεται από παράγωγο σύνθεσης k k,k k, e e, ln,,, 3ο: Αν δεν ισχύει κάποιο από τα προηγούμενα, φέρνω το πρώτο μέλος στη μορφή g και πολλαπλασιάζω με το Τότε η σχέση γίνεται: G e, όπου G αρχική της g G G e e g h G ή G e e H G G e H e H c Παρατήρηση: ce, c Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom 3

9 ΜΕΛΕΤΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να μελετήσουμε μία συνάρτηση ως προς τη μονοτονία, μελετάμε το πρόσημο της και εφαρμόζουμε το θεώρημα Σε ορισμένες περιπτώσεις είναι δύσκολο να βρούμε το πρόσημο της Τότε καταφεύγουμε στη δεύτερη παράγωγο Με βάση το πρόσημο της, βρίσκουμε τη μονοτονία της και στη συνέχεια από το πρόσημο της, τη μονοτονία της Για να βρούμε τη μονοτονία της συνάρτησης πολλαπλού τύπου μελετάμε το πρόσημο κάθε κλάδου της, έχοντας υπόψιν ότι τη παραγωγισιμότητα της στο σημείο αλλαγής του τύπου, δεν χρειάζεται να τη γνωρίζουμε γιατί δεν επηρεάζει τη μονοτονία της συνάρτησης Τη συνέχεια όμως της συνάρτησης στο σημείο αλλαγής του τύπου, θα τη μελετάμε αφού χρειάζεται στο θεώρημα μονοτονίας 3 ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ Θα βρίσκουμε το σύνολο τιμών, σε κάθε ένα από τα υποδιαστήματα του πεδίου ορισμού στα οποία η συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως μονότονη 3 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Για να αποδείξουμε μία ανίσωση της μορφής μονοτονία και εφαρμόζουμε τον ορισμό μονοτονίας ή μελετάμε την ως προς τη Στη περίπτωση που η δεν είναι γνησίως μονότονη, εφαρμόζουμε τον ορισμό μονοτονίας σε κάθε ένα από τα διαστήματα που είναι γνησίως μονότονη 3 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Το πολύ μία ρίζα Για να δείξουμε ότι η εξίσωση έχει το πολύ μία ρίζα,έχουμε δύο επιλογές: Μονοτονία: Aν η συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως μονότονη στο,, τότε η εξίσωση έχει το πολύ μία ρίζα στο διάστημα αυτό Rolle και άτοπο: Υποθέτουμε ότι έχει δύο ρίζες, με και εφαρμόζοντας το Θ Rolle για την στο,, καταλήγουμε σε άτοπο Ακριβώς μία ρίζα σε διάστημα ώ ί ί ά ά ί ύ ί Θα αποδεικνύουμε με θbolzano ή με θrolle στην αρχική συνάρτηση ότι η έχει τουλάχιστον μία ρίζα Θα αποδεικνύουμε με μονοτονία ή με Rolle άτοπο ότι η έχει το πολύ μία ρίζα Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom 33

Ακριβώς μία ρίζα, Θα βρίσκουμε προφανή ρίζα και στη συνέχεια θα αποδεικνύουμε ότι η αντίστοιχη συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη Θα Βρίσκουμε το σύνολο τιμών της Αν το ανήκει στο σύνολο τιμών, τότε η συνάρτηση έχει ρίζα η οποία λόγο της μονοτονίας της συνάρτησης θα είναι μοναδική Πλήθος ριζών εξίσωσης Θα βρίσκουμε το σύνολο τιμών της αντίστοιχης συνάρτησης σε καθένα από τα διαστήματα που είναι γνησίως μονότονη Σε όσα από τα προηγούμενα υποσύνολα του συνόλου τιμών περιέχεται το, τόσες ρίζες έχει η εξίσωση Λύση εξίσωσης, Θα βρίσκουμε προφανή ρίζα και στη συνέχεια θα αποδεικνύουμε ότι η αντίστοιχη συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη 33 ΕΥΡΕΣΗ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Τα ακρότατα μίας συνάρτησης, ολικά ή τοπικά, τα αναζητούμε: Στις ρίζες της Στα σημεία που δεν ορίζεται η Στα ακραία σημεία του πεδίου ορισμού, που ανήκουν στο Ακρότατα σε συνάρτηση πολλαπλού τύπου D (3: στάσιμα σημεία) Για να βρούμε τα ακρότατα της συνάρτησης στη θέση,,, αρχικά εξετάζουμε τη συνέχεια - Αν η είναι συνεχής στο, τότε: βρίσκουμε τα ακρότατα της ανά κλάδο και αν αλλάζει η μονοτονία της στο, τότε και αυτό είναι θέση τοπικού ακρότατου - Αν η δεν είναι συνεχής στο, τότε: ενδέχεται η συνάρτηση να παρουσιάζει ακρότατο στο, ακόμη και χωρίς να αλλάζει η μονοτονία της εκατέρωθεν του Αυτό το διαπιστώνουμε με τα πλευρικά όρια της στο και το Αν lim lim στο, τότε η παρουσιάζει τοπικό μέγιστο Αν lim lim, τότε η παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom 34

Εύρεση παραμέτρων μέσω ακροτάτου Σε ασκήσεις που έχουμε μία παραγωγίσιμη συνάρτηση που ο τύπος της περιέχει παραμέτρους τις οποίες ζητάμε να προσδιορίσουμε ώστε η να παρουσιάζει ακρότατο για D, με τιμή y, τότε: Υποθέτουμε, με βάση το Θ Fermat ότι Επειδή η τιμή του ακροτάτου είναι y, ισχύει ότι: y Αφού βρούμε τις παραμέτρους, εξετάζουμε αν εκατέρωθεν του η αλλάζει πρόσημο Μόνο τότε, γίνονται δεκτές οι τιμές των παραμέτρων 34 ΚΡΙΣΙΜΑ ΣΗΜΕΙΑ Αν μια παραγωγίσιμη συνάρτηση έχει κρίσιμο σημείο το τότε από το θεώρημα Fermat ισχύει ότι:, δηλαδή το είναι ρίζα της 35 ΑΚΡΟΤΑΤΟ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Ανισώσεις της μορφής ή Μελετάμε την ως προς τα ακρότατα Αν έχει ελάχιστο στο στο, τότε Δεδομένες ανισώσεις της μορφής (Από ανισοτική σχέση σε σχέση ισότητας) ή, τότε, ενώ αν έχει μέγιστο Αρχικά βρίσκουμε προφανή ρίζα της Έστω ότι, τότε η ανίσωση γίνεται: Σε κάθε περίπτωση η παρουσιάζει ακρότατο στο ή Αν το είναι εσωτερικό του πεδίου ορισμού της και η είναι παραγωγίσιμη, τότε σύμφωνα με το και από αυτή τη σχέση θα προκύπτει το ζητούμενο θεώρημα Fermat, ισχύει Ανισώσεις της μορφής h g Συνήθως οι ανισότητες αυτής της μορφής αποδεικνύονται με δύο τρόπους ος τρόπος: Αποδεικνύω ότι h και προηγούμενης μορφής g που είναι της ος τρόπος: Εφαρμόζω το θεώρημα μέσης τιμής για την σε διάστημα που έχει ως άκρο του το χ (συνήθως, ) Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom 35

Ανισώσεις της μορφής m M ος τρόπος: Βρίσκουμε το σύνολο τιμών της Αν είναι το διάστημα m,m, τότε m M για κάθε χ που ανήκει στο πεδίο ορισμού της ος τρόπος: Αποδεικνύω ότι m και M που είναι της προηγούμενης μορφής 36 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Μέγιστο Κέρδος Ελάχιστο Κόστος Αν θέλουμε να βρούμε την ποσότητα χ ενός προϊόντος, που παράγεται ή πωλείται, για την οποία η επιχείρηση που το παράγει έχει μέγιστο κέρδος ή ελάχιστο κόστος, τότε: Εκφράζουμε τις συναρτήσεις Κέρδους Εσόδων Κόστους, συναρτήσει των μονάδων προϊόντος ή της μίας μονάδας του παραγόμενου προϊόντος, ανάλογα με την εκφώνηση του προβλήματος Είναι: ΚΕΡΔΟΣ = ΕΣΟΔΑ ΚΟΣΤΟΣ Στη συνέχεια βάζουμε περιορισμούς στη συνάρτηση που θέλουμε να βρούμε το ακρότατο Τέλος μελετάμε τη συνάρτηση που μας ενδιαφέρει, ως προς τα ακρότατο Προβλήματα ακροτάτων σε καμπύλες Βρίσκουμε τη συνάρτηση του μεγέθους στο οποίο αναφέρεται το ακρότατο Αν η συνάρτηση περιέχει δύο μεταβλητές, βρίσκουμε μία σχέση που τις συνδέει και υπολογίζουμε τη μία, συναρτήσει της άλλης Βρίσκουμε τους περιορισμούς που διέπουν τη μεταβλητή της συνάρτησης που θέλουμε να βρούμε το ακρότατό της Οι προηγούμενοι περιορισμοί καθορίζουν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Μελετάμε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα Γεωμετρικά προβλήματα Για να βρούμε ένα ακρότατο ενός μεγέθους που περιγράφεται μέσα από γεωμετρικό πρόβλημα, ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Κατασκευάζουμε σχήμα Βρίσκουμε τη συνάρτηση που εκφράζει το μέγεθος, του οποίου ζητάμε το ακρότατο Αν η συνάρτηση περιέχει δύο αγνώστους, τότε μέσω του σχήματος βρίσκουμε μία σχέση που τις συνδέει και αντικαθιστούμε τη μία, συναρτήσει της άλλης Από το σχήμα βρίσκουμε τους περιορισμούς στους οποίους υπόκειται η μεταβλητή Οι περιορισμοί αυτοί, καθορίζουν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Κάνουμε μελέτη μονοτονίας και ακροτάτων της συνάρτησης από όπου προκύπτει το ζητούμενο Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom 36

37 ΜΕΛΕΤΗ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑΣ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ Κάνουμε πίνακα προσήμου της Όπου Τα σημεία του η είναι κυρτή και όπου D που η αλλάζει πρόσημο είναι σημεία καμπής η είναι κοίλη Συνάρτηση πολλαπλού τύπου Σε συνάρτηση πολλαπλού τύπου επιπλέον εξετάζουμε αν ορίζεται εφαπτομένη της C στο σημείο αλλαγής του τύπου Αν ναι και αν η αλλάζει πρόσημο στο σημείο αυτό, τότε είναι σημείο καμπής Παραμετρικές κυρτότητας Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει σημείο καμπής το A,y, τότε: Υποθέτουμε ότι ισχύει το ζητούμενο, οπότε ισχύει: και Από τις προηγούμενες σχέσεις υπολογίζουμε τις παραμέτρους y Κάνουμε αντικατάσταση των τιμών των παραμέτρων στην και επαληθεύουμε την υπόθεση 38 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Η συνεισφορά της κυρτότητας στις ανισώσεις είναι μέσω της μονοτονίας της Αν η είναι κυρτή, η είναι γνησίως αύξουσα και αν η είναι κοίλη, η είναι γνησίως φθίνουσα Αν θέλουμε να αποδείξουμε ανίσωση της μορφής y είναι εφαπτομένη της C και αν η είναι κυρτή ή κοίλη Αν η είναι κυρτή, τότε βρίσκεται κάτω από κάθε εφαπτομένη της, δηλαδή κοίλη ισχύει το αντίθετο 39 Αν έχουμε όριο ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΑ ή lim g ή lim g παρονομαστή είναι και τα δύο ή είναι και τα δύο, τότε: ή, τότε εξετάζουμε αν η, ενώ αν είναι και διαπιστώσουμε ότι τα όρια του αριθμητή και του Εφαρμόζουμε τον κανόνα de l Hospital (DL Η) στην περίπτωση που υπάρχει το όριο των παραγώγων του αριθμητή και του παρονομαστή Αν εμφανίζεται και πάλι απροσδιοριστία, επαναλαμβάνουμε τον κανόνα DL H, lim lim lim g g g Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom 37

Παρατηρήσεις - Ο κανόνας DL H εφαρμόζεται και σε πλευρικά όρια - Αν ο κανόνας DL H εφαρμοστεί σε μη απροσδιόριστη μορφή, προκύπτει λάθος όριο - Πρέπει πάντα να προσέχουμε αν υπάρχει το όριο των παραγώγων που προκύπτουν για να μπορούμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα DL H 4 Αν έχουμε ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΑ,,,,, ή με lim και lim g lim g lim g, τότε, για να άρουμε την απροσδιοριστία, μετασχηματίζουμε σε σύνθετο κλάσμα και περνάμε σε απροσδιοριστίες ή, που τις υπολογίζουμε όπως στην πρώτη μέθοδο Συγκεκριμένα: lim g lim g g lim,,, Όταν έχουμε να υπολογίσουμε όριο της μορφής μορφής ή ή, τότε: g lim και προκύπτει απροσδιοριστία της g gln - Μετασχηματίζουμε e, - Είναι lim g lim e g ln Υπολογίζουμε το όριο του εκθέτη lim g ln εφαρμόσουμε κάποια από τις προηγούμενες μεθόδους, στο οποίο ενδεχομένως να Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom 38

4 ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ Κατακόρυφη ασύμπτωτη Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού D Αν το πεδίο ορισμού έχει ανοικτό άκρο, τότε εξετάζουμε τα όρια lim lim ή lim Αν κάποιο από τα προηγούμενα όρια είναι, τότε η είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη Μπορεί το D και να είναι σημείο αλλαγής τύπου μίας συνάρτησης που δεν είναι συνεχής στο α Αν κάποιο από τα πλευρικά όρια στο α είναι, τότε η είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C Πλάγια - Οριζόντια ασύμπτωτη Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της Αν το έχει πλάγια ή οριζόντια ασύμπτωτη D έχει άκρο ή, τότε ενδεχομένως η C να ή Βρίσκουμε τα lim και lim και Αν lim * της C στο Αν και lim lim, τότε η y είναι πλάγια ασύμπτωτη, τότε η y είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C στο Με όμοιο τρόπο εξετάζουμε την πλάγια ή οριζόντια ασύμπτωτη της ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ C στο ΟΡΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ Υπολογισμός ολοκληρώματος με τον ορισμό Για να υπολογίσουμε το ορισμό, αρχικά βρίσκουμε το Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom 39 d με τον Έπειτα βρίσκουμε το και γράφουμε το, αντικαθιστώντας στην το Σχηματίζουμε το άθροισμα S, όπου με κατάλληλες παραγοντοποιήσεις εμφανίζουμε τα βασικά αθροίσματα:, και 6 3 3 3 Είναι d lim Εφαρμογή των ιδιοτήτων του ορισμένου ολοκληρώματος Κάνουμε χρήση των ιδιοτήτων που αναφέρθηκαν στη θεωρία

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ Τα βασικά ορισμένα ολοκληρώματα τα υπολογίζουμε χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των ολοκληρωμάτων και το θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού: όπου G μια αρχική συνάρτηση της d G G G Ολοκλήρωμα συνάρτησης πολλαπλού τύπου Εξετάζουμε αρχικά την ως προς τη συνέχεια στο διάστημα ολοκλήρωσης Στο σημείο, που η αλλάζει τύπο ισχύει: d d d 3 ΜΕΘΟΔΟΣ ΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ d Q βαθμός βαθμόq A Αν στον αριθμητή με κατάλληλο μετασχηματισμό εμφανίζεται η παράγωγος του παρονομαστή, P Q δηλαδή τότε I Q d Q Q d ln Q Q c B Αν το P δεν παίρνει τη μορφή Έστω: Q 3 Q τότε αναλύουμε το, τότε: P 3 3 Q σε γινόμενο παραγόντων Κάνουμε ομώνυμα στο δεύτερο μέλος και απαιτούμε οι αριθμητές των δύο κλασμάτων να είναι ίσα πολυώνυμα Έτσι δημιουργείται σύστημα, απ όπου βρίσκουμε τα Α,Β,Γ,Δ,Ε,Ζ, Στη συνέχεια υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα με βάση τον τύπο d ln βαθμός P βαθμό το πηλίκο και P P Q Q Q :Κάνουμε την διαίρεση των πολυωνύμων P : Q και έστω το υπόλοιποαπό την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης είναι, τότε: Q P d d Q Q Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom 4

4 ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Χρησιμοποιούμε τον τύπο g d g g d Συνήθως τα ολοκληρώματα που εφαρμόζουμε παραγοντική ολοκλήρωση περιέχουν γινόμενα συναρτήσεων μέσα στις οποίες υπάρχουν e,,, ln h Η συνάρτηση η οποία επιλέγουμε για να αντικαταστήσουμε με την αρχική της για να εφαρμόσουμε τον τύπο, με σειρά επιλογής είναι: e, g πολυώνυμο (αν υπάρχει ολοκλήρωμα ln g d ) 5 ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Για να υπολογίσουμε ολοκληρώματα της μορφής g g d κάνουμε τα εξής: Θέτουμε u g οπότε du g d Αλλάζουμε τα όρια ολοκλήρωσης: Για είναι u g, ενώ για είναι u g Τότε g g u du και το υπολογίζουμε ανάλογα 6 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΕ ΡΙΖΕΣ, d,, ος τρόπος: Θέτουμε και u u και d du ος τρόπος: Θέτουμε u d u du u u άρα Επιμέλεια:Νικόλαος Σαμπάνης Μαθηματικός / nikossab3@gmailcom 4