Spojitosť a limity trochu inak Štefan Tkačik Abstrakt Spojitosť funkcie alebo oblastí je základným stavebným kameňom matematickej analýzy. Pochopenie jej podstaty uľahčí chápanie diferenciálneho a integrálneho počtu. Tento článok poskytne pohľad na definovanie pojmu spojitosť jednoduchým spôsobom prístupným aj stredoškolskej matematike Úvod V živote by sme si bez spojitosti neporadili. V niektorých prípadoch hovoríme, že kvantita spojito závisí na inej kvantite, t.j. "malinka" zmena množstva na jednej strane má za následok "malinku" zmenu formy na druhej strane. Tento fenomén spojitosti je skoro všadeprítomný. Mnoho akcií v každodennom živote a vede by nemohlo bez toho eistovať. Napríklad : - malá zmena množstva soli v pohári vody má za následok malú zmenu chuti vody - malá zmena času v pečení koláča má za následok malú zmenu farby koláča - malá dávka liekov má malý vplyv na stav pacienta - pri meraniach malá zmena pri strane kocky má za následok malú zmenu objemu kocky. No eistujú procesy, kde to tvrdiť nemôžeme - pri šoférovaní alebo iných strojoch, malá zmena v stave stroja má za následok podstatnú zmenu. - pri nafukovaní balónu, keď sme pri takzvanej kritickej hodnote jeho objemu aj malá zmena má za následok jeho prasknutie. - varenie vajíčka Nespojitosť súvisí aj s činnosťou človeka. - zapínanie a vypínanie vypínača V matematike modelované objekty znázorňujeme na funkciách. V stredoškolskej matematike sa vyskytujú len funkcie, ktoré sú na nejakom jednostrannom (pravom, ľavom) okolí (hoci ľubovoľne malom) každého bodu monotónne. Príklad takej funkcie je na obrázku 1 Obrázok 1 Samozrejme, eistujú funkcie, ktoré v ľubovoľnom okolí nejakého bodu nie sú nikdy monotónne, príklad takej funkcie pre okolie bodu 0 je na obrázku Našou snahou bude vysvetliť spojitosť pomocou jednoduchších pojmov ako limita a potom definovať pojem limity funkcie v bode pomocou spojitosti funkcie v bode. Tými jednoduchšími pojmami budú pravé, ľavé jednostranné okolie, suprémum, infimum pre intervaly a monotónna funkcia.
Obrázok Spojitosť Už na strednej škole sa zavádza pojem spojitosť funkcie v bode pomocou limity [3] na strane 40, [4] na strane 38. Definovať pojem spojitosť funkcie v bode pomocou limít je často dosť abstraktné, pretože je potrebné pochopiť pojem limita. Preto stoji za úvahu, či by nebolo vhodnejšie definovať najprv pojem spojitosti, ktorá je konkrétnejšia na predstavu a teda je bližšie k pochopeniu študentov a potom pomocou spojitosti budeme definovať pojem limita. Pojem spojitosť by sme definovali najprv pre monotónne funkcie (ako sme už spomínali v stredoškolskej matematike sa vyskytujú len funkcie, ktoré sú na nejakom okolí bodu monotónne) pomocou najmenších horných a najväčších dolných ohraničení, t.j. pomocou supréma a infima. Definícia 1 : Nech funkcia f je nerastúca v ľavom okolí W (ε 1 ľavom okolí B, obrázok 1) bodu B. Ak f(b) je infimum množiny { f() : W, < B }, hovoríme že funkcia f je zľava spojitá v bode B. Definícia : Nech funkcia f je neklesajúca v ľavom okolí W (ε ľavom okolí A, obrázok 1) bodu A. Ak f(a) je suprémum množiny { f(): W < A }, hovoríme že funkcia f je zľava spojitá v bode A. Definícia 3 : Neklesajúca funkcia f v pravom okolí W (ε pravom okolí B, obrázok 1) bodu B je sprava spojitá v bode B ak f(b) = inf {f() : W, B < } Definícia 4 : Nerastúca funkcia f v pravom okolí W (ε 3 pravom okolí A, obrázok 1) bodu A je sprava spojitá v bode A ak f(a) = sup {f() : W, A < } Použitie nasledujúcich definícií pri vyšetrovaní spojitosti funkcií v bode, ktoré sú na pravom, resp. ľavom okolí monotónne demonštrujeme na nasledujúcom príklade. Príklad 1 : Nech f() =, pre každé (-, ), a bod, v ktorom vyšetrujeme spojitosť je a = 3. (Obrázok 3) Riešenie : Funkcia f je neklesajúca (v skutočnosti rastúca) v ľavom okolí W = (0, 3 bodu 3. Teda f() f(3) = 9, pre každé W, < 3. Ak ukážeme, že číslo 9 je najmenším horným ohraničením množiny S = { f() : W, < 3} podľa definícií je funkcia f v bode 3 zľava spojitá. Obrázok 3
Číslo 9 musí byť naozaj najmenším horným ohraničením množiny S, pretože { f() : W, < 3} = { : (0, 3, < 3} = { : (0, 3)} = (0,9) Funkcia f je neklesajúca (v skutočnosti rastúca) v pravom okolí W = 3, 5) bodu 3. Teda 9 = f(3) f(), pre každé W, 3 <. Ak ukážeme, že číslo 9 je najväčším dolným ohraničením množiny S = { f() : W, 3 < } podľa definícií 3 je funkcia f v bode 3 sprava spojitá. Číslo 9 je naozaj najväčším dolným ohraničením množiny S, pretože { f() : W, 3 < } = { : 3, 5), 3 < } = { : (3, 5)} = (9,5) Príklad : Nech f() = + [] pre každé (-, ), a bod, v ktorom vyšetrujeme spojitosť je a = 3. (Obrázok 4) Riešenie : Funkcia f je rastúca na celom definičnom obore (-, ). Interval W = (-, 3 je ľavým okolím bodu 3, v ktorom je funkcia neklesajúca. Preto f() f(3) = 6 pre každý bod W taký, že < 3. Číslo 6 je horným ohraničením množiny S = { f() : W, < 3}, ale nie je najmenším horným ohraničením množiny S, pretože f() = + [] + < 5, pre každé < 3. A teda aj 5, 5,5, sú hornými ohraničeniami množiny S, preto funkcia f nie je zľava spojitá v bode 3. Interval W = 3, 4) je pravým okolím bodu 3, v ktorom je funkcia neklesajúca. Úlohou je ukázať, že f(3) = 6 je najväčším dolným ohraničením množiny { f() : W, 3 < }, lebo potom funkcia f podľa definície 3 bude spojitá Obrázok 4 sprava v bode 3. Číslo 6 je naozaj najväčším dolným ohraničením tejto množiny, pretože { f() : W, 3 < } = { + [] : 3, 4), 3 < } = { + [] : (3, 4)} = { + 3 : (3, 4)} = (6, 7) Ostávajú ešte problémy. Pochopiť najmenšie horné a najväčšie dolné ohraničenie, čo sa zdá však oveľa jednoduchšie, hlavne pre intervaly, ako pochopiť pojem limity. Druhým problémom je, čo s funkciami, ktoré na ľubovoľnom okolí bodu (napríklad funkcia na obrázku v okolí bodu 0), nie sú monotónne. Vyriešiť tento problém by pomohla nasledujúca definícia : Definícia 5 : Funkcia f sa nazýva zľava spojitá (resp. sprava spojitá) v bode a ak eistujú funkcie h,g, monotónne v ľavom( resp. v pravom) okolí bodu a a tieto funkcie sú zľava (sprava) spojité v bode a platí g() f() h() a tiež g(a) = f(a )= h(a). Využitie nasledujúcej definície môžeme ilustrovať na nasledujúcom príklade 0 = 0 1 Príklad 3 : Nech f ( ) =, kde φ ( t) = 1 t +. Ukážte, že funkcia je φ( 1 ) 0 spojitá v bode 0. Riešenie : Graf funkcie f je na obrázku. Pre > 0 sa dá ľahko ukázať, že pre 1, n n, kde n N je funkcia f ( ) = ( n +1 ) 1 rastúca a 1 pre,, kde n N je funkcia f ( ) = 1 n klesajúca n n pre (1, je funkcia f ( ) = 1 pre (, je funkcia f ( ) = 1 [ t]
Pre < 0 sa dá podobne ukázať, že pre 1, n n pre 1, n n f = + pre (-,- je funkcia f ( ) = 1, kde n N je funkcia f ( ) n = 1 klesajúca a, kde n N je funkcia ( ) = ( n ) pre (-,-1 je funkcia ( ) 1 = + 1 1 Ale keď sme si všimli pre 0 f ( ) f ( ) 0 1 pre 0 f ( ) = 1 f rastúca 0 f ( ) ( ) Vezmime si teda pre 0 ( ) 0 g =, obe sú monotónne na (-,0 a zľava spojité v bode 0 h = Hodnoty funkcií g, h sú zhora ohraničené pre všetky <0 a g(0)=f(0)=h(0) g( ) = 0 Vezmime si teda pre 0 ( ) =, obe sú monotónne na 0, ) a sprava spojité v bode 0 h Hodnoty funkcií g, h sú zdola ohraničené pre všetky >0 a g(0)=f(0)=h(0) Zovšeobecnením a pomôckou pre zistenie spojitosti pre ľubovoľnú funkciu by nasledujúca veta 1, z ktorej by sa bez problémov dala odvodiť veta Veta 1 : a) Funkcia f je zľava (resp. sprava) spojitá v bode a, ak a iba ak pre každé okolie V hodnoty f(a) eistuje ľavé (resp. pravé) okolie U bodu a, také že {f() : U } V b) Funkcia f je spojitá v bode a ak a iba ak pre každé okolie V hodnoty f(a) eistuje okolie U bodu a také že {f() : U} V Veta : Funkcia f je spojitá v bode a ak a iba ak pre každé číslo ε > 0, eistuje číslo δ > 0 taká, že platí nerovnosť f ( ) f ( a) < ε, pre každé, pre ktoré platí a < δ. ( ε > )( δ > 0) : a < δ 0 platí f ( ) f ( a) < ε Práve veta sa zdá pre pochopenie oveľa ťažšia ako hociktorá z definícií 1 až 5, a preto vychádzať z nej ako definícií by bolo na škodu zrozumiteľnosti. Práve týmto spôsobom je definovaná limita pre stredoškolákov (strana 15 [4]).Tiež definícia limity pomocou spojitosti by bola jednoduchšia a zrozumiteľnejšia. bola
Definícia 6 : Nech funkcia f je daná, bod a, číslo k, označme F ako funkciu, pre ktorú: i) F() = f() pre každé a v definičnom obore funkcie f ii) F(a)= k Limita (ľavá, pravá) funkcie f v bode a je číslo k, pričom funkcia F definovaná i) ii) je spojitá ( zľava spojitá, resp. sprava spojitá ) v bode a. Záver Domnievame sa, že v školskej prai sa nevenuje dostatočná pozornosť pochopeniu pojmu limita a spojitosť funkcie v bode. Preto študentské vedomosti sú tieto pojmy povrchne lim [ 3 ] dochádza k množstvu chýb pri ( ) pochopené a pri riešení príkladoch typu ( ) 3 riešení. Cieľom bolo ukázať, že spojitosť funkcie v bode je pojmom, ktorý je možné jednoduchšie vysvetliť a tým ľahšie pochopiť. A práve prostredníctvom pochopenia pojmu spojitosti funkcie v bode by bolo jednoduchšie vysvetliť pojem limita funkcie v bode. Literatúra [1] Kluvánek, I.: Jednorozmerný diferenciálny a integrálny počet, interný učebný tet PF KU, Ružomberok [] Kluvávek, I: Čo nie je dobré vo vyučovaní matematickej analýzy?, Matematické obzory 37 (1991), 47-66. [3] Riečan, B., Bero, P., Smida, J., Šedivý, J.: Matematika pre 4.ročník gymnázia, Bratislava, SPN, 1987. [4] Riečan, B., Bero, P.: Matematika pre 4.ročník gymnázií, Diferenciálny a integrálny počet, Bratislava, SPN, 1987.