Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný
Táto publikácia vznikla za finančnej podpory z Európskeho sociálneho fondu v rámci Operačného programu VZDELÁVANIE. Prioritná os 1 Reforma vzdelávania a odbornej prípravy Opatrenie 1.2 Vysoké školy a výskum a vývoj ako motory rozvoja vedomostnej spoločnosti. Názov projektu: Balík inovatívnych prvkov pre reformu vzdelávania na TUKE Autor: Štefan Berežný ISBN: 978-80-553-1067-1 Rukopis neprešiel jazykovou úpravou. Za odbornú a obsahovú stránku zodpovedá autor.
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný
Numerická matematika Prvé vydanie Autor: c RNDr. Štefan BEREŽNÝ, PhD., 2012 Recenzovali: Vydavateľ: prof. RNDr. Jozef DŽURINA, CSc. RNDr. Ján BUŠA, CSc. Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky ISBN: 978-80-553-1067-1 Za odbornú a jazykovú stránku tejto vysokoškolskej učebnice zodpovedajú autori. Rukopis neprešiel redakčnou ani jazykovou úpravou.
4 Predhovor Tento učebný text obsahuje prehľadnú teóriu, riešené príklady a neriešené úlohy k učivu preberanému v predmete Numerická matematika pre externých študentov bakalárskeho štúdia odboru aplikovaná informatika na Fakulte elektrotechniky a informatiky Technickej univerzity v Košiciach. Učebnica je rozdelená do piatich kapitol. Každá kapitola je rozdelená na podkapitoly podľa jednotlivých oblastí. V závere každej kapitoly sú podkapitoly riešených úloh, neriešených úloh a výsledky k nim. Táto učebnica numerickej matematiky je elektronickou verziou tlačenej učebnice Numerická matematika. Tlačená verzia má obmedzený počet strán, čomu zodpovedá aj rozsah a forma prezentovanej teórie a riešených príkladov. Táto učebnica obsahuje aj obrázky k teórii aj k príkladom, rozšírený komentár a súbory neriešených úloh aj s výsledkami. Okrem numerickej matematiky sú v tejto učebnici doplnené aj teória a príklady o základné informácie z matematickej analýzy a lineárnej algebry, keďže si to vyžaduje študijný odbor Aplikovaná informatika. Táto učebnica je k dispozícii na CD a na web stránke KMTI FEI TUKE a v systéme Moodle, ktorý je spravovaný na FEI TUKE. Košice 31. augusta 2012 Autor
5 Zoznam skratiek a symbolov SLR sústava lineárnyh algebraických rovníc HSLR homogénna sústava lineárnych algebraických rovníc N množina prirodzených čísel Z množina celých čísel Q množina racionálnych čísel R množina reálnych čísel C množina komplexných čísel D(f) definičný obor funkcie f H(f) obor hodnôt funkcie f det(a) determinant matice A h(a) hodnosť matice A A transponovaná matica k matici A v vektor Ω(S) množina riešení SLR S
ZOZNAM OBRÁZKOV 6 Zoznam obrázkov 1 Konštantná funkcia........................ 15 2 Lineárna funkcia......................... 16 3 Kvadratická funkcia........................ 18 4 Odmocninová funkcia....................... 19 5 Exponenciálna funkcia...................... 21 6 Logaritmická funkcia....................... 22 7 Goniometrická funkcia: sin x................... 23 8 Goniometrická funkcia: cos x................... 23 9 Goniometrická funkcia: tg x................... 24 10 Goniometrická funkcia: cotg x.................. 25
7 ZOZNAM TABULIEK Zoznam tabuliek 1 Tabuľka pre metódu bisekcie................... 48 2 Riešenie rovnice metódu bisekcie................. 53 3 Riešenie rovnice Newtonovou metódu.............. 54 4 Riešenie rovnice iteračnou metódu................ 56 5 Lichobežníková metóda...................... 82 6 Riešenie SLR Jacobiho iteračnou metódu............ 107
OBSAH 8 Obsah Predhovor 4 Zoznam skratiek a symbolov 5 Zoznam obrázkov 6 Zoznam tabuliek 7 Obsah 9 1 Reálna funkcia jednej reálnej premennej 10 1.1 Množina reálnych čísel a ďalšie číselné množiny........ 10 1.2 Reálna funkcia jednej reálnej premennej............ 13 1.3 Limita funkcie........................... 26 1.4 Derivácia funkcie......................... 31 1.5 Riešené príklady......................... 38 1.6 Neriešené úlohy.......................... 41 1.7 Výsledky neriešených úloh.................... 44 2 Riešenie algebraických rovníc s jednou reálnou neznámou 45 2.1 Separácia koreňov......................... 45 2.2 Metóda bisekcie.......................... 46 2.3 Metóda prostej iterácie...................... 48 2.4 Newtonova metóda........................ 51 2.5 Riešené príklady......................... 53 2.6 Neriešené úlohy.......................... 57 2.7 Výsledky neriešených úloh.................... 58 3 Aproximácia funkcie 59 3.1 Interpolácia............................ 59 3.2 Metóda najmenších štvorcov................... 61 3.3 Riešené príklady......................... 65 3.4 Neriešené úlohy.......................... 67 3.5 Výsledky neriešených úloh.................... 68
9 OBSAH 4 Výpočet určitého integrálu 69 4.1 Primitívna funkcia........................ 69 4.2 Určitý integrál........................... 71 4.3 Numerické metódy výpočtu určitého integrálu......... 75 4.4 Riešené príklady......................... 80 4.5 Neriešené úlohy.......................... 84 4.6 Výsledky neriešených úloh.................... 87 5 Lineárna algebra 88 5.1 Vektorový priestor........................ 88 5.2 Matice............................... 92 5.3 Determinanty........................... 95 5.4 Sústavy lineárnych rovníc.................... 97 5.5 Numerické riešenie sústav lineárnych rovníc........... 101 5.6 Riešené príklady......................... 106 5.7 Neriešené úlohy.......................... 108 5.8 Výsledky neriešených úloh.................... 113 Register 118 Literatúra 118
1 REÁLNA FUNKCIA JEDNEJ REÁLNEJ PREMENNEJ 10 1 Reálna funkcia jednej reálnej premennej 1.1 Množina reálnych čísel a ďalšie číselné množiny Prirodzené čísla 1, 2, 3, 4, 5,... sú čísla, ktorými vyjadrujeme počet. Množinu prirodzených čísel budeme označovať písmenom N. Pre prirodzené čísla platí princíp úplnej matematickej indukcie. Ak N je nejaká množina prirodzených čísel, ktorá obsahuje číslo 1 a ktorá s každým prirodzeným číslom n obsahuje aj číslo n + 1, potom množina N obsahuje všetky prirodzené čísla, t. j. N=N. Celé čísla dostaneme rozšírením množiny prirodzených čísel N o číslo 0 (nula) a o čísla 1, 2, 3,.... Množinu celých čísel označíme písmenom Z. Prirodzené čísla N sa nazývajú kladné celé čísla a čísla 1, 2, 3,... sa nazývajú záporné celé čísla. Racionálne čísla dostaneme rozšírením celých čísel o zlomky, t. j. o čísla v tvare a, kde a a b sú celé čísla, b 0. Platí, že a = c práve vtedy, ak b b d platí a d = c b. Množinu racionálnych čísel budeme označovať písmenom Q. Usporiadanie racionálnych čísel je husté, t.j. medzi každými dvoma rôznymi racionálnymi číslami leží nekonečne veľa racionálnych čísel, ale toto husté usporiadanie má medzery, t. j. existuje rozklad množiny racionálnych čísel na dve také neprázdne podmnožiny A a B, že platí: (1) A B je množina všetkých racionálnych čísel (2) pre každé číslo a A a pre každé číslo b B platí a < b (3) množina A nemá najväčší prvok a množina B nemá najmenší prvok. Takýmto rozkladom môžu byť napríklad množiny B = {b Q + : b 2 > 2} a A = Q B. Ak vyplníme tieto medzery medzi racionálnymi číslami novými číslami tzv. iracionálnymi číslami, potom dostaneme reálne čísla, ktoré označíme písmenom R. Definícia 1.1.1 Ak reálne číslo a je kladné, potom píšeme a > 0. Hovoríme, že číslo a je menšie ako číslo b, ak b a > 0 a píšeme a < b. Ak reálne číslo a je záporné, potom píšeme a < 0. Hovoríme, že číslo a je väčšie ako číslo b, ak a b > 0 a píšeme a > b. Zápis a b znamená, že a < b alebo a = b. Analogicky chápeme aj zápis a b. Veta 1.1.1 Množina reálnych čísel je usporiadaná vzhľadom na reláciu <. Toto usporiadanie má nasledujúce vlastnosti: (1) Pre každé dve reálne čísla a a b nastane práve jedna z možností: a < b alebo a > b alebo a = b.
11 1.1 Množina reálnych čísel a ďalšie číselné množiny (2) Pre každé a, b, c R: a < b b < c a < c. (3) Pre každé a, b, c, d R: a < b c d a + c < b + d. (4) Pre každé a, b, c R: a < b c > 0 ac < bc. (5) Pre každé a, b, c R: a < b c < 0 ac > bc. Veta 1.1.2 Reálne čísla môžme sčítavať, odčítavať, násobiť a deliť. Pre tieto binárne operácie platia nasledujúce pravidlá (predpokladáme, že a, b, c R): (1) asociatívny zákon pre sčítanie: (a + b) + c = a + (b + c), (2) komutatívny zákon pre sčítanie: a + b = b + a, (3) asociatívny zákon pre násobenie: (a b) c = a (b c), (4) komutatívny zákon pre násobenie: a b = b a, (5) distributívny zákon: (a + b) c = a c + b c a (b + c) = a b + a c. (6) Pre každé a platí: a + 0 = a. (7) Pre každé a platí: a 1 = a. (8) Ku každému číslu a existuje také číslo a, že platí: a + ( a) = 0. (9) Ku každému číslu a 0 existuje také číslo a 1 R: a a 1 = 1. Veta 1.1.3 Každé racionálne číslo q Q môžme napísať v tvare q = a b, kde a Z a b N. Veta 1.1.4 Každé iracionálne čísla r R Q môžme vyjadriť nekonečným neperiodickým desatinným zápisom. Racionálne čísla q Q môžme vyjadriť konečným zlomkom alebo nekonečným periodickým desatinným zápisom. Veta 1.1.5 Racionálne čísla môžme usporiadať takto: Ak q, r Q, q = a a r = c, kde a, c Z a b, d N, potom platí: b d (1) q < r, ak a d < b c, (2) q = r, ak a d = b c, (3) q > r, ak a d > b c. Definícia 1.1.2 Reálne číslo α sa nazýva algebraické, ak je koreňom nejakej algebraickej rovnice x n +a 1 x n 1 +a 2 x n 2 +a 3 x n 3 + +a n 1 x 1 +a n = 0 s racionálnymi koeficientami a 1, a 2, a 3,..., a n. Ak číslo α nie je algebraické, tak sa nazýva transcendentné. Transcendentné sú napríklad čísla π alebo e.
1 REÁLNA FUNKCIA JEDNEJ REÁLNEJ PREMENNEJ 12 Definícia 1.1.3 Množina K R reálnych čísel sa nazýva zhora ohraničená, ak existuje také reálne číslo M, že M je väčšie ako všetky čísla z množiny K. Množina K R reálnych čísel sa nazýva zdola ohraničená, ak existuje také reálne číslo m, že m je menšie ako všetky čísla z množiny K. Množina K sa nazýva ohraničená, ak je ohraničená zhora aj zdola. Nech K R. Horným ohraničením množiny K nazývame každé reálne číslo h R, pre ktoré platí: x K je x h. Nech K R. Dolným ohraničením množiny K nazývame každé reálne číslo d R, pre ktoré platí: x K je x d. Definícia 1.1.4 Najmenšie horné ohraničenie množiny K R sa nazýva suprémum množiny K. Označíme ho sup K. Najväčšie dolné ohraničenie množiny K sa nazýva infimum množiny K. Označíme ho inf K. Veta 1.1.6 Každá zhora ohraničená neprázdna množina reálnych čísel má suprémum. Každá zdola ohraničená neprázdna množina reálnych čísel má infimum. Na základe vyššie uvedenej vety je zrejmé, že usporiadanie reálnych čísel nemá medzery. Veta 1.1.7 Nech K R. Maximom množiny K nazývame také reálne číslo M K, pre ktoré platí: x K je x M. Nech K R. Minimom množiny K nazývame také reálne číslo m K, pre ktoré platí: x K je x m. Ak množina K R reálnych čísel má najväčší prvok (t. j. prvok M je maximom množiny K, M = max K), potom sup K = max K. Ak množina K R reálnych čísel má najmenší prvok (t. j. prvok m je minimom množiny K, m = min K), potom inf K = min K. Veta 1.1.8 Medzi dvomi rôznymi reálnymi číslami leží nekonečne veľa racionálnych čísel a nekonečne veľa iracionálnych čísel. Poznámka 1.1.1 Nech je daná množina K R. Pre množinu K platí, že inf K a sup K môžu, ale nemusia patriť do danej množiny K. Vyplýva to z tvrdenia vety 1.1.7. Poznámka 1.1.2 (Číselná os) Reálne čísla znázorňujeme ako body na priamke. Ak zvolíme na priamke p počiatočný bod O, určitú orientáciu priamky p a jednotku dĺžky l, potom každému reálnemu číslu a prislúcha
13 1.2 Reálna funkcia jednej reálnej premennej práve jeden bod A na priamke p so súradnicou a. Naopak, každý bod na priamke p má určitú súradnicu, ktorá zodpovedá nejakému reálnemu číslu. Priamku p nazývame číselná os. Body na číselnej osi často priamo stotožňujeme s reálnymi číslami. Reálne číslo a je menšie ako reálne číslo b, ak bod a leží na číselnej osi skôr ako bod b vzhľadom na jej orientáciu (t. j. pri obvyklej orientácii číselnej osi leží bod a naľavo od bodu b). 1.2 Reálna funkcia jednej reálnej premennej Definícia 1.2.1 Hovoríme, že na neprázdnej množine A R je definovaná funkcia f: A B, ak ku každému prvku x A je podľa nejakého pravidla f priradené jediné reálne číslo y B (označme ho f(x)). Potom premennú x nazývame nezávislou premennou a premennú y nazývame závislou premennou alebo funkčnou hodnotou. Množinu A nazývame definičný obor funkcie f a označujeme ho D(f). Množinu všetkých funkčných hodnôt f(x) nazývame oborom hodnôt funkcie f a označíme ho H(f). Funkciu f jednej reálnej premennej x zadanú predpisom f(x) zapíšeme takto: f: y = f(x). Grafom funkcie f je množina G f = {[x, y] : y = f(x); x A}. Definícia 1.2.2 Nech funkcia f má definičný obor D(f) a nech M D(f). Ak pre každá dve čísla x 1, x 2 M také, že x 1 < x 2 a platí: (a) f(x 1 ) < f(x 2 ), tak hovoríme, že funkcia f je rastúca na množine M, (b) f(x 1 ) > f(x 2 ), tak hovoríme, že funkcia f je klesajúca na množine M, (c) f(x 1 ) f(x 2 ), tak hovoríme, že funkcia f je neklesajúca na množine M, (d) f(x 1 ) f(x 2 ), tak hovoríme, že funkcia f je nerastúca na množine M. Poznámka 1.2.1 Ak sú funkcie rastúce, klesajúce, nerastúce alebo neklesajúce, tak takéto funkcie nazývame monotónne. Funkcie rastúce a funkcie klesajúce sa nazývajú rýdzo-monotónne funkcie. Definícia 1.2.3 Nech je daná funkcia f s definičným oborom D(f). Nech pre všetky x D(f) je aj x D(f). Potom hovoríme, že (1) funkcia f je párna, ak pre všetky x D(f) platí: f( x) = f(x), (2) funkcia f je nepárna, ak pre všetky x D(f) platí: f( x) = f(x).
1 REÁLNA FUNKCIA JEDNEJ REÁLNEJ PREMENNEJ 14 Poznámka 1.2.2 Graf párnej funkcie je symetrický podľa osi o y. Graf nepárnej funkcie je symetrický vzhľadom na začiatok súradného systému, t. j. bod O = [0, 0]. Definícia 1.2.4 Nech funkcia f má definičný obor D(f) a nech p je kladné reálne číslo. Hovoríme, že funkcia f je periodická s periódou p, ak (1) x D(f): x + p D(f) a (2) x D(f): f(x + p) = f(x). Poznámka 1.2.3 Najmenšie kladné reálne číslo p s uvedenými vlastnosťami sa nazýva perióda funkcie f. Definícia 1.2.5 Nech sú dané funkcie g: z = g(x) z množina A do množiny C a h: y = f(x) z množiny C do množiny B (kde A, B a C sú podmnožiny množiny reálnych čísel). Potom funkciu F : y = F (x) = f(g(x)) z množiny A do množiny B nazývame zloženou funkciou z funkcií f a g, pričom g sa nazýva vnútorná (vedľajšia) zložka a funkcia f sa nazýva vonkajšia (hlavná) zložka zloženej funkcie F. Definícia 1.2.6 Hovoríme, že funkcia f: y = f(x) je prostá (jednoznačná), ak pre každé x 1, x 2 D(f) také, že x 1 x 2 platí: f(x 1 ) f(x 2 ). Definícia 1.2.7 Nech funkcia f: y = f(x) je prostá s definičným oborom D(f) a oborom hodnôt H(f). Funkciu, ktorá priradí každému reálnemu číslo y H(f) také číslo x D(f), pre ktoré platí y = f(x), nazývame inverznou funkciou k funkcii f a označujeme ju symbolom f 1. Pre inverznú funkciu f 1 k funkcii f platí: D(f 1 ) = H(f) a H(f 1 ) = D(f). Poznámka 1.2.4 Grafy funkcií f a f 1 sú symetrické vzhľadom na priamku p: y = x. Pre všetky x D(f) platí, že f 1 (f(x)) = x a pre všetky y D(f 1 ) platí, že f(f 1 (y)) = y. Inverzná funkcia existuje len k prostej funkcii. ELEMENTÁRNE FUNKCIE Konštantná funkcia Všeobecný tvar konštantnej funkcie f je f: y = k, kde k R. Definičným oborom konštantnej funkcie je množina všetkých reálnych čísel, D(f) = R. Oborom hodnôt je jednoprvková množina s prvkom k, H(f) = {k}. Grafom
15 1.2 Reálna funkcia jednej reálnej premennej y 4 f 1 1 4 1 0 1 2 4 x 1 f 2 4 Obr. 1: Funkcia f 1 (x) je daná predpisom f 1 : y = 3 a funkcia f 2 (x) je daná predpisom f 2 : y = 2 konštantnej funkcie je priamka rovnobežná s osou x, ktorá pretína os y v bode [0, k]. Pozri obrázok 1. Lineárna funkcia Všeobecný tvar lineárnej funkcie f je f: y = a x+b, kde a, b R a a 0. Definičný obor funkcie f a aj obor hodnôt funkcie f tvorí množina reálnych čísel, D(f) = H(f) = R. Grafom lineárnej funkcie je priamka. Koeficienty lineárnej funkcie a a b majú nasledujúci význam: 1 a = tg ϕ smernica priamky, ktorá je grafom lineárnej funkcie. a > 0 lineárna funkcia je rastúca a < 0 lineárna funkcia je klesajúca b úsek vyťatý priamkou na osi y b = 0 priamka prechádzajúca počiatkom súradnicového systému a = 0 priamka je rovnobežná s osou x 1 ϕ je uhol, ktorý zviera priamka (graf lineárnej funkcie) s kladnou orientáciou osi x
1 REÁLNA FUNKCIA JEDNEJ REÁLNEJ PREMENNEJ 16 Príkladom lineárnej funkcie môžu byť funkcie na obrázku 2, kde funkcia f 1 je daná predpisom y = x. Grafom funkcie f 1 je priamka, ktorá pretína os y v bode [0, 0] a funkcia f 1 je rastúca. Funkcia f 2 je daná predpisom y = x + 2. Graf funkcie f 2 vznikol posunutím grafu funkcie f 1 v kladnom smere osi y o +2. Grafom je priamka, ktorá pretína os y v bode [0, 2] a funkcia f 2 je rastúca. Funkcia f 3 je daná predpisom y = x 1. Grafom je priamka, ktorá pretína os y v bode [0, 1] a funkcia f 3 je klesajúca. y f 2 4 f 1 1 4 1 0 1 2 4 x 1 4 f 3 Obr. 2: Lineárna funkcia: grafy funkcií f 1 (x), f 2 (x) a f 3 (x) Kvadratická funkcia Kvadratická funkcia f má tvar f: y = a x 2 + b x + c, kde a, b, c R a a 0. Definičný obor funkcie f tvorí množina reálnych čísel, D(f) = R a oborom hodnôt kvadratickej funkcie je množina H(f) = b2 + c, ), ak 4 a a > 0 alebo H(f) = (, b2 + c, ak a < 0. Grafom kvadratickej funkcie 4 a je parabola, ktorej os je rovnobežná s osou y. Pre kladné hodnoty parametra a je parabola otvorená smerom hore a pre záporné hodnoty parametra a je
17 1.2 Reálna funkcia jednej reálnej premennej parabola otvorená smerom dole. Vrchol paraboly V má súradnice: V = Špeciálne tvary kvadratickej funkcie: [ ] b 2 a, b2 4 a + c. f: y = a x 2 parabola s vrcholom v bode V = [0, 0], f: y = a x 2 + c parabola s vrcholom v bode V = [0, c], f: y = a (x + d) 2 parabola s vrcholom v bode V = [ d, 0], f: y = a (x + d) 2 + k parabola s vrcholom v bode V = [ d, k], f: y = x 2 + p x + q normovaná parabola s vrcholom v bode [ V = p 2, ( p 2 ) 2 + q ]. Na obrázku 3 sú zobrazené grafy troch kvadratických funkcií f 1 (x), f 2 (x) a f 3 (x). Funkcia f 2 (x) je daná predpisom f 2 : y = x 2, ktorej grafom je parabola s vrcholom v bode [0, 0], ktorý je minimom funkcie f 2. Funkcia f 3 (x) je daná predpisom f 3 : y = x 2 4, ktorej grafom je parabola s vrcholom v bode [0, 4]. Tento vrchol je minimom funkcie f 3. Funkcia f 1 (x) je daná predpisom f 1 : y = 4 x 2, ktorej grafom je parabola. Funkcia f 1 nadobúda vo vrchole [0, 4] maximum funkcie f 1. Mocninová funkcia: Mocninová funkcia f má tvar f: y = a x k, kde k N a a R {0}. Definičným oborom mocninovej funkcie je množina všetkých reálnych čísel, D(f) = R. pre a > 0 a k = 2n, n N je grafom funkcie f parabola k-teho stupňa s vrcholom v počiatku súradnicového systému V = [0, 0], ktorá je otvorená smerom hore a oborom hodnôt je množina H(f) = 0, ), pre a < 0 a k = 2n, n N je grafom funkcie f parabola k-teho stupňa s vrcholom v počiatku súradnicového systému V = [0, 0], ktorá je otvorená smerom dole a oborom hodnôt je množina H(f) = (, 0, pre a > 0 a k = 2n + 1, n N je grafom funkcie f parabola k- teho stupňa, ktorá leží v prvom a treťom kvadrante, ktorej stredom súmernosti je počiatok súradnicového systému, bod V = [0, 0] a oborom hodnôt je množina H(f) = R,
1 REÁLNA FUNKCIA JEDNEJ REÁLNEJ PREMENNEJ 18 y f 2 4 f 3 1 4 1 0 1 2 4 x 1 f 1 4 Obr. 3: Kvadratická funkcia: grafy funkcií f 1 (x), f 2 (x) a f 3 (x) pre a < 0 a k = 2n + 1, n N je grafom funkcie f parabola k- teho stupňa, ktorá leží v druhom a štvrtom kvadrante, ktorej stredom súmernosti je počiatok súradnicového systému, bod V = [0, 0] a oborom hodnôt je množina H(f) = R. Ak exponent k môže nadobúdať aj záporné hodnoty, tak dostaneme funkciu v tvare f: y = a x k, kde k N a a R {0}. Definičným oborom tejto funkcie je množina všetkých reálnych čísel okrem nuly, D(f) = R {0}. pre a > 0 a k = 2n, n N je grafom funkcie f hyperbola k-teho stupňa, ktorá leží v prvom a druhom kvadrante a oborom hodnôt je množina H(f) = (0, ),
19 1.2 Reálna funkcia jednej reálnej premennej pre a < 0 a k = 2n, n N je grafom funkcie f hyperbola k-teho stupňa, ktorá leží v treťom a štvrtom kvadrante a oborom hodnôt je množina H(f) = (, 0), pre a > 0 a k = 2n + 1, n N je grafom funkcie f hyperbola k- teho stupňa, ktorá leží v prvom a treťom kvadrante, ktorej stredom súmernosti je počiatok súradnicového systému, bod V = [0, 0] a oborom hodnôt je množina H(f) = R {0}. Pre n = 0 dostávame funkciu y = 1 x (nepriama úmernosť), pre ktorú platí: f = f 1 a jej grafom je rovnoosá hyperbola., pre a < 0 a k = 2n + 1, n N je grafom funkcie f hyperbola k- teho stupňa, ktorá leží v druhom a štvrtom kvadrante, ktorej stredom súmernosti je počiatok súradnicového systému, bod V = [0, 0] a oborom hodnôt je množina H(f) = R {0}. Ak by sme exponent k zvolili z množiny racionálnych čísel, tak získame grafy funkcií, ktoré zodpovedajú odmocninám y z reálnych čísel. Príkladom takejto funkcie môžu byť funkcie zobrazené na obrázku 4. Tieto funkcie majú nasledujúce predpisy: f 1 : y = x, f 2 : y = x 2 a f 3 : y = 2 x. 4 f 1 1 f 2 0 3 4 5 6 8 x 1 f 3 4 Obr. 4: Funkcia druhá odmocnina: grafy funkcií f 1 (x), f 2 (x) a f 3 (x)
1 REÁLNA FUNKCIA JEDNEJ REÁLNEJ PREMENNEJ 20 Exponenciálna funkcia Exponenciálna funkcia f má tvar f: y = a x, kde a > 0 a a 1. Definičným oborom exponenciálnej funkcie je množina všetkých reálnych čísel, D(f) = R. Oborom hodnôt je množina kladných reálnych čísel, H(f) = (0, ). Grafom exponenciálnej funkcie je exponenciálna krivka, ktorá prechádza bodom [0, 1]. Funkcia je prostá. Rastie pre hodnoty a > 1 a klesá pre hodnoty a (0, 1). Medzi najvýznamnejšie exponenciálne funkcie patrí funkcia y = e x, kde e = 2,7182818... (známe Eulerovo číslo), ktorá sa nazýva prirodzená exponenciálna funkcia. Exponenciálna funkcia patrí medzi transcendentné funkcie. Príklady grafov exponenciálnych funkcií sú zobrazené na obrázku 5. Funkcia f 1 má predpis y = e x. Pretína os y v bode [0, 1] a je rastúca. Funkcia f 2 má predpis y = e x 5. Os y pretína v bode [0, 1] a tiež je to rastúca a prostá funkcia. Funkcia f 3 má funkčný predpis y = 4 e x. Os y pretína v bode [0, 3]. Funkcia f 3 je klesajúca a prostá. Logaritmická funkcia Logaritmická funkcia je inverznou funkciou k odpovedajúcej exponenciálnej funkcii. Všeobecný tvar logaritmickej funkcie jef: y = log a x, kde a > 0 a a 1. Definičným oborom logaritmickej funkcie je množina všetkých kladných reálnych čísel, D(f) = (0, ). Oborom hodnôt je množina všetkých reálnych čísel, H(f) = R. Grafom logaritmickej funkcie je logaritmická krivka, ktorá prechádza bodom [1, 0]. Funkcia je prostá. Rastie pre hodnoty a > 1 a klesá pre hodnoty a (0, 1). Medzi najvýznamnejšie logaritmické funkcie patria funkcia y = log e x = ln x, kde e = 2,7182818..., ktorá sa nazýva prirodzená logaritmická funkcia (prirodzený logaritmus) a y = log 10 x = log x, ktorý nazývame dekadický logaritmus. Logaritmická funkcia tiež patrí medzi transcendentné funkcie. Na obrázku 6 sú zobrazené príklady logaritmickej funkcie. Funkcia f 1 : y = ln x. Os x pretína v bode [1, 0] a je rastúca. Graf funkcie f 2 : y = 2 ln x pretína os x v bode [1, 0]. Je to rastúca a prostá funkcia. Funkcia f 3 : y = 2 ln x je prostá a klesajúca. Goniometrické funkcie Goniometrické funkcie je spoločný názov pre funkcie sínus (symbolicky y = sin x), kosínus (y = cos x), tangens (y = tg x) a kotangens (y = cotg x). Definičným oborom funkcií sínus a kosínus je množina všetkých reálnych čísel, D(f) = R a oborom hodnôt je uzavretý interval medzi 1 a
21 1.2 Reálna funkcia jednej reálnej premennej y f 1 5 1 f 2 4 1 0 1 2 4 x 1 4 f 3 Obr. 5: Exponenciálna funkcia: grafy funkcií f 1 (x), f 2 (x) a f 3 (x) 1, H(f) = 1, 1. Definičným oborom funkcie tangens je množina D(f) = R { π +kπ, k Z} a funkcie kotangens je množina D(f) = R {kπ, k Z}. 2 Oborom hodnôt funkcií tangens aj kotangens je množina všetkých reálnych čísel, H(f) = R. Goniometrické funkcie sú periodické. Funkcie sínus a kosínus
1 REÁLNA FUNKCIA JEDNEJ REÁLNEJ PREMENNEJ 22 y 4 f 2 f 1 1 0 1 3 4 5 6 f 3 x 1 4 Obr. 6: Logaritmická funkcia: grafy funkcií f 1 (x), f 2 (x) a f 3 (x) majú periódu 2π a funkcie tangens a kotangens majú periódu π. Pre tieto funkcie platia nasledujúce rovnosti pre všetky x D(f): sin x = sin(x + 2π k) pre k Z, cos x = cos(x + 2π k) pre k Z, tg x = tg (x + k π) pre k Z, cotg x = cotg (x + k π) pre k Z. Grafy goniometrických funkcií sú: f 1 = {[x, y] : y = sin x, x R, y 1, 1 } f 2 = {[x, y] : y = cos x, x R, y 1, 1 } f 3 = {[x, y] : y = tg x, x R { π + kπ, k Z}, y R} (tangentoida), 2 f 4 = {[x, y] : y = cotg x, x R {kπ, k Z}, y R} (sínusoida), (kosínusoida), (kotangentoida). Na obrázkoch 7, 8, 9 a 10 sú znázornené grafy goniometrických funkcií sínus, kosínus, tangens a kotangens. Funkcia sin x je na obrázku 7 ako funkcia f 1. Funkcia f 2 má predpis y = 1 + sin x. Graf funkcie f 3 má funkčný predpis y = 2 sin x.
23 1.2 Reálna funkcia jednej reálnej premennej y 3 f 2 1 f 1 2π π π 2 0 1 π 2 π 2π x f 3 3 Obr. 7: Funkcia sínus: grafy funkcií f 1 (x), f 2 (x) a f 3 (x) Funkcia cos x je na obrázku 8. Graf funkcie f 1 má funkčný predpis y = cos x. Funkcia f 2 má predpis y = 1+cos x a graf funkcie f 3 je daný predpisom y = 3 cos x. Na obrázku 9 je znázornený graf funkcie f: y = tg x a na obrázku 10 je znázornený graf funkcie f: y = cotg x. Body, ktoré nepatria do definičného oboru týchto dvoch funkcií, sú znázornené priamkami kolmými na os x. y 3 1 f 2 f 1 2π π π 2 0 1 π 2 π 2π x f 3 3 Obr. 8: Funkcia kosínus: grafy funkcií f 1 (x), f 2 (x) a f 3 (x)
1 REÁLNA FUNKCIA JEDNEJ REÁLNEJ PREMENNEJ 24 y f 3 1 3π 2 π π 2 1 0 π 2 π 3π 2 x 3 5 Obr. 9: Funkcia tangens: graf funkcie f: y = tg x Cyklometrické funkcie Goniometrické funkcie nie sú prosté na svojom definičnom obore, preto k ním neexistujú inverzné funkcie. Ak zúžime definičný obor na vhodný interval tak, aby na ňom bola funkcia prostá, potom môžeme k ním definovať inverzné funkcie. Takto vytvorené inverzné funkcie ku goniometrickým funkciám nazývame cyklometrické funkcie. 1. Funkcia arkussínus: Funkcia y = sin x je rastúca a prostá na uzavretom intervale π, π a zobrazuje tento interval na uzavretý interval 1, 1. 2 2 Inverzná funkcia k funkcii sin x, pre x π, π D(f) je funkcia 2 2 arkussínus, y = arcsin x. Definičným oborom funkcie y = arcsin x je interval D(f) = 1, 1 a oborom hodnôt je interval H(f) = π, π. 2 2 Funkcia je rastúca a prostá na intervale 1, 1. 2. Funkcia arkuskosínus: Funkcia y = cos x je klesajúca a prostá na uzavretom intervale 0, π a zobrazuje tento interval na uzavretý interval
25 1.2 Reálna funkcia jednej reálnej premennej y 5 f 2 1 2π 3π 2 π π π 0 3π 2 2 2 2π 1 x 3 5 Obr. 10: Funkcia kotangens: graf funkcie f: y = cotg x 1, 1. Inverzná funkcia k funkcii cos x, pre x 0, π D(f) je funkcia arkuskosínus, y = arccos x. Definičným oborom funkcie y = arccos x je interval D(f) = 1, 1 a oborom hodnôt je interval H(f) = 0, π. Funkcia je klesajúca a prostá na intervale 1, 1. 3. Funkcia arkustangens: Funkcia y = tg x je rastúca a prostá na otvorenom intervale ( π, ) π 2 2 a zobrazuje tento interval na množinu všetkých ( reálnych čísel (, ). Inverzná funkcia k funkcii tg x, pre x π, ) π 2 2 D(f) je funkcia arkustangens, y = arctg x. Definičným oborom funkcie y = arctg x je množina všetkých reálnych čísel D(f) = R a oborom hodnôt je interval H(f) = ( π, ) π 2 2. Funkcia je rastúca a prostá na množine (, ). 4. Funkcia arkuskotangens: Funkcia y = cotg x je klesajúca a prostá na otvorenom intervale (0, π) a zobrazuje tento interval na množinu všetkých reálnych čísel (, ). Inverzná funkcia k funkcii cotg x, pre x (0, π) D(f) je funkcia arkuskotangens, y = arccotg x. Definičným oborom funkcie y = arccotg x je množina všetkých reálnych čísel D(f) = R a oborom hodnôt je interval H(f) = (0, π). Funkcia je klesajúca a prostá na množine (, ).
1 REÁLNA FUNKCIA JEDNEJ REÁLNEJ PREMENNEJ 26 1.3 Limita funkcie Definícia 1.3.1 Hovoríme, že funkcia f : y = f(x) má v bode a limitu zprava rovnú číslu L, ak platí: ( ε > 0)( δ > 0)( x (a; a + δ) : (0 < x a < δ = f(x) L < ε)). Píšeme: lim x a + f(x) = L Definícia 1.3.2 Hovoríme, že funkcia f : y = f(x) má v bode a limitu zľava rovnú číslu L, ak platí: ( ε > 0)( δ > 0)( x (a δ; a) : (0 < x a < δ = f(x) L < ε)). Píšeme: lim f(x) = L x a Definícia 1.3.3 Hovoríme, že funkcia f : y = f(x) má v bode a limitu rovnú číslu L, ak má limitu zľava aj zprava, t.j. platí: ( ε > 0)( δ > 0)( x (a δ; a + δ) : (0 < x a < δ = f(x) L < ε)). Píšeme: lim f(x) = L x a Veta 1.3.1 Ak x c lim g(x) = b a g(x) b v istom okolí bodu c a lim f(z) = a, z b tak x c lim f(g(x)) = a. Veta 1.3.2 (Základné pravidlá pre počítanie s limitami) Nech sú dané funkcie f: y = f(x) a g: y = g(x). Nech x c lim f(x) = a R a x c lim g(x) = b R. Potom platí: (1) lim x c f(x) = a, (2) lim x c (f(x) + g(x)) = lim x c f(x) + lim x c g(x) = a + b, (3) lim x c (f(x) g(x)) = lim x c f(x) lim x c g(x) = a b, (4) lim x c (f(x) g(x)) = lim x c f(x) lim x c g(x) = a b,
27 1.3 Limita funkcie (5) Ak pre všetky x z okolia bodu c je g(x) 0 a lim g(x) 0, tak x c ( ) lim f(x) lim f(x) x c g(x) = x c = a. lim g(x) b x c Veta 1.3.3 Nech sú dané funkcie f: y = f(x) a g: y = g(x). Nech lim x c f(x) = 0 a funkcia g je ohraničená funkcia. Potom lim x c (f(x) g(x)) = 0. Veta 1.3.4 Nech sú dané funkcie f: y = f(x) a g: y = g(x). Potom platí: (1) ak lim x c f(x) =, tak lim x c ( f(x)) =, (2) ak lim x c f(x) =, tak lim x c ( f(x)) =, (3) ak lim x c f(x) = alebo lim x c ( f(x)) =, tak lim x c f(x) =, (4) ak lim x c f(x) = a množina H(g) (obor hodnôt funkcie g) je zdola ohraničená, tak lim x c (f(x) + g(x)) =, 1 (5) ak f(x) > 0 a lim f(x) = 0, tak lim =. x c x c f(x) 1 (6) ak lim f(x) =, tak lim = 0. x c x c f(x) Základné vzorce na výpočet limít 2 [ sin x (1) lim = 1 0 x 0 x [ 0] e (2) lim x 1 = 1 0 x 0 x ) 0] x = e [1 + ] ( (3) x lim 1 + 1 ( x (4) lim 1 + 1 x x ) x = e [1 ] 1 (5) lim = neexistuje [ ] 1 x 0 x 0 1 (6) lim = [ ] 1 x 0 x 0 1 (7) lim = [ ] 1 x 0 + x 0 + (8) x lim a x =, pre a > 1 [a ] 2 V hranatých zátvorkách je uvedený typ limity.
1 REÁLNA FUNKCIA JEDNEJ REÁLNEJ PREMENNEJ 28 (9) lim a x = 1, pre a = 1 [a ] x (10) x lim a x = 0, pre a (0, 1) [a ] (11) lim x ax = 0, pre a > 1 [a ] (12) lim x ax = 1, pre a = 1 [a ] (13) lim x ax =, pre a (0, 1) [a ] (14) x lim e x = [e ] (15) lim x ex = 0 [e ] (16) lim ln x = [ln 0] x 0 + (17) lim ln x = [ln ] x (18) x lim x n =, pre n N [ n ] (19) lim x xn =, pre n N, n párne [( ) n ] (20) lim x xn =, pre n N, n nepárne [( ) n ] [ ] 1 1 = 0, pre n N x n (± ) [ ] n =, pre n N, n párne 1 (0) n (21) lim x ± 1 (22) lim x 0 x n 1 (23) lim = neexistuje, pre n N, n nepárne [ ] 1 x 0 x n (0) n 1 (24) lim x 0 1 (25) lim x 0 + x n =, pre n N, n nepárne [ 1 x n [ =, pre n N, n nepárne (26) lim x ( π 2 ) tg x = [ (27) lim tg x = + x ( π 2 ) (0 ) n ] ] 1 (0 + ) n ] [ tg π 2 ] tg π 2 (28) lim cotg x = [cotg 0] x 0 (29) lim cotg x = [cotg 0] x 0 + (30) lim arctg x = π [arctg ] x 2 (31) lim arctg x = π [arctg ] x 2 (32) lim x arccotg x = 0 [arccotg ] arccotg x = π [arccotg ] (33) lim x (34) lim x ± (35) lim x ± sin x = neexistuje cos x = neexistuje [sin ± ] [cos ± ]
29 1.3 Limita funkcie Poznámka 1.3.1 Pri výpočte limity funkcie lim x c f(x) môžeme dostať takéto výsledky: lim x c f(x) = b, b R existuje vlastná limita, lim x c f(x) = ± existuje nevlastná limita, limita lim f(x) neexistuje, ale existujú jednostranné limity, pre ktoré x c platí: lim f(x) = a a lim f(x) = b a a b, x c + x c limita nemá zmysel (nie je definovaná), pretože funkcia f nie je definovaná v okolí bodu c resp. v pravom alebo v ľavom okolí bodu c. Definícia 1.3.4 Nech funkcia f je definovaná v nejakom okolí bodu a I D(f). Hovoríme, že funkcia f je spojitá v bode a, ak platí x a lim f(x) = f(a) t. j. ( ε > 0)( δ > 0)( x I : x a < δ)( f(x) f(a) < ε). Hovoríme, že funkcia f je spojitá v bode a sprava, ak lim f(x) = f(a). Hovoríme, že x a + funkcia f je spojitá v bode a zľava, ak lim f(x) = f(a). x a Definícia 1.3.5 Funkcia f je spojitá, ak je spojitá v každom bode definičného oboru funkcie f. Funkcia f je spojitá na množine I D(f), ak je spojitá v každom bode množiny I. Definícia 1.3.6 Hovoríme, že funkcia f je spojitá na otvorenom intervale (a, b), ak je spojitá v každom bode tohto intervalu. Hovoríme, že funkcia f je spojitá na uzavretom intervale a, b, ak je spojitá v každom bode intervalu (a, b) a naviac je spojitá v bode a sprava a spojitá v bode b zľava. Veta 1.3.5 Ak je funkcia f spojitá sprava a súčasne aj zľava v bode a, tak je spojitá v bode a. Veta 1.3.6 Nech funkcie f: y = f(x) a g: y = g(x) sú spojité v bode a D(f) a nech α R. Potom v bode a sú spojité aj funkcie f + g, f g, α f, f g, f. Ak platí, že g(a) 0, tak v bode a je spojitá aj funkcia f g. Veta 1.3.7 Nech funkcia f: y = f(x) je spojitá v bode a a funkcia g: y = g(x) je spojitá v bode f(a), potom funkcia y = f(g(x)) je spojitá v bode a.
1 REÁLNA FUNKCIA JEDNEJ REÁLNEJ PREMENNEJ 30 Veta 1.3.8 Každá elementárna funkcia je spojitá na svojom definičnom obore. Veta 1.3.9 Nech funkcia f je spojitá na uzavretom intervale a, b. Potom funkcia f nadobúda minimum aj maximum na intervale a, b a funkcia f nadobúda každú hodnotu medzi minimom a maximom. Veta 1.3.10 Nech funkcia f je spojitá na uzavretom intervale a, b a nech f(a) f(b) < 0. Potom existuje bod c (a, b) taký, že f(c) = 0. Poznámka 1.3.2 Ak lim x a f(x) = b, tak platí jedno z nasledujúcich tvrdení: Ak f(a) = b, tak funkcia f je spojitá v bode a. Ak f(a) b, tak funkcia f nie je spojitá v bode a, ale je v bode a definovaná. Ak existuje lim x a f(x) = b, ale f(a) nie je definovaná, tak funkcia f nie je spojitá v bode a a súčasne funkcia f nie je definovaná v bode a.
31 1.4 Derivácia funkcie 1.4 Derivácia funkcie Definícia 1.4.1 Nech funkcia f : y = f(x) je definovaná v okolí bodu x 0 D(f). Derivácia funkcie f v bode x 0 je číslo: resp. f (x 0 ) = lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 (1) f (x 0 ) = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h (2) Definícia 1.4.2 Hovoríme, že funkcia f: y = f(x) má v bode x 0 R deriváciu zľava, ak je definovaná v istom ľavom okolí bodu x 0 D(f) a existuje limita: resp. f (x 0 ) = lim x x 0 f (x 0 ) = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h f(x) f(x 0 ) x x 0 (3) Hovoríme, že funkcia f: y = f(x) má v bode x 0 R deriváciu sprava, ak je definovaná v istom pravom okolí bodu x 0 D(f) a existuje limita: f +(x 0 ) = lim x x + 0 (4) f(x) f(x 0 ) x x 0 (5) resp. f +(x 0 ) = lim h 0 + f(x 0 + h) f(x 0 ) h (6) Veta 1.4.1 Ak funkcia f má v bode x 0 deriváciu, tak funkcia f je v tomto bode spojitá. Veta 1.4.2 Nech je daná funkcia f: y = f(x) a bod x 0 D(f) je vnútorným bodom definičného oboru funkcie f. Funkcia f má v bode x 0 deriváciu f (x 0 ) práve vtedy, ak má v bode x 0 deriváciu zľava f (x 0 ), deriváciu sprava f +(x 0 ) a platí rovnosť: f (x 0 ) = f +(x 0 ).
1 REÁLNA FUNKCIA JEDNEJ REÁLNEJ PREMENNEJ 32 Veta 1.4.3 Nech je daná funkcia f: y = f(x) a bod T = [x 0, y 0 ], kde x 0 D(f), y 0 H(f) a y 0 = f(x 0 ). Ak existuje derivácia funkcie f v bode x 0 (f (x 0 )), tak dotyčnica t ku grafu funkcie f v bode T má rovnicu: t : y y 0 = f (x 0 ) (x x 0 ). (7) Veta 1.4.4 Nech je daná funkcia f: y = f(x) a bod T = [x 0, y 0 ], kde x 0 D(f), y 0 H(f) a y 0 = f(x 0 ). Ak existuje derivácia funkcie f v bode x 0 (f (x 0 )) a f (x 0 ) 0, tak normála n ku grafu funkcie f v bode T má rovnicu: n : y y 0 = 1 f (x 0 ) (x x 0). (8) Veta 1.4.5 (Základné pravidlá derivovania) Nech funkcie f: y = f(x) a g: y = g(x) majú v bode x 0 derivácie f (x 0 ) a g (x 0 ). Necjh c R. Potom platí: (1) (c f(x 0 )) = c f (x 0 ), (2) (f(x 0 ) + g(x 0 )) = f (x 0 ) + g (x 0 ), (3) (f(x 0 ) g(x 0 )) = f (x 0 ) g (x 0 ), (4) (f(x 0 ) g(x 0 )) = f (x 0 ) g(x 0 ) + f(x 0 ) g (x 0 ), (5) ( f(x 0 ) g(x 0 ) ) = f (x 0 ) g(x 0 ) f(x 0 ) g (x 0 ) g 2 (x 0 ), Veta 1.4.6 (Derivácia zloženej funkcie) Nech zložená funkcia h: y = f ( g(x) ) je definovaná na intervale (a, b) a nech x 0 (a, b). Nech funkcia g má v bode x 0 deriváciu g (x 0 ) a nech funkcia f má v bode z 0 = g(x 0 ) deriváciu f (z 0 ). Potom funkcia h má v bode x 0 deriváciu h (x 0 ) = f (z 0 ) g (x 0 ). Základné vzorce pre derivovanie (1) (c) = 0, kde c je konštanta c R, (2) (x) = 1, (3) (x n ) = n x n 1, pre n R, (4) (sin x) = cos x, pre x R, (5) (cos x) = sin x, pre x R, (6) (tg x) = 1 cos 2 x, pre x R { (2k+1)π 2 ; k Z},
33 1.4 Derivácia funkcie (7) (cotg x) = 1, pre x R {kπ; k Z}, sin 2 x (8) (arcsin x) = 1 1 x 2, pre x ( 1, 1), (9) (arccos x) = 1 1 x 2, pre x ( 1, 1), (10) (arctg x) = 1, pre x R, 1+x 2 (11) (arccotg x) = 1, pre x R, 1+x 2 (12) (ln x) = 1, pre x (0, ), x (13) (log a x) = 1, kde a > 0 a a 1, pre x (0, ), x ln a (14) (e x ) = e x, pre x R, (15) (a x ) = a x ln a, kde a > 0 a a 1, pre x R. Ukážeme, ako derivovať funkciu, ktorá má tvar y = f(x) g(x), kde f(x) > 0 pre všetky x D(f). y = ( f(x) g(x)) = ( e ln(f(x)g(x) ) ) = ( e g(x) ln f(x) ) = ( e g(x) ln f(x) ) [g(x) ln f(x) ] = = ( f(x) g(x)) [g (x) ln f(x) + g(x) (ln f(x)) ] = = ( [ ] f(x) g(x)) g 1 (x) ln f(x) + g(x) f(x) f (x) Dostali sme ďalší derivačný vzorec v tvare: ( ) [ f(x) g(x) = f(x) g(x) g (x) ln f(x) + g(x) ] f(x) f (x) Veta 1.4.7 Nech je daná funkcia f: y = f(x) a nech a, b D(f). Nech funkcia f nadobúda vo vnútornom bode c intervalu a, b najväčšiu resp. najmenšiu hodnotu. Ak funkcia f má v bode c deriváciu, tak platí f (c) = 0. Veta 1.4.8 (Rolleho veta) Nech funkcia f: y = f(x) je spojitá na uzavretom intervale a, b, má prvú deriváciu na otvorenom intervale (a, b) a platí, že f(a) = f(b). Potom na otvorenom intervale (a, b) existuje aspoň jeden bod ξ taký, že f (ξ) = 0. Veta 1.4.9 (Lagrangeova veta) Nech funkcia f: y = f(x) je spojitá na uzavretom intervale a, b a má prvú deriváciu na otvorenom intervale (a, b). Potom existuje aspoň jeden bod ξ na otvorenom intervale (a, b) taký, že f (ξ) = f(b) f(a). b a (9)
1 REÁLNA FUNKCIA JEDNEJ REÁLNEJ PREMENNEJ 34 Veta 1.4.10 (Cauchyho veta) Nech funkcie f: y = f(x) a g: y = g(x) sú spojité na uzavretom intervale a, b a majú prvú deriváciu na otvorenom intervale (a, b). Nech g (x) 0 pre x (a, b). Potom na otvorenom intervale (a, b) existuje aspoň jeden bod ξ taký, že f (ξ) g (ξ) = f(b) f(a) g(b) g(a). Veta 1.4.11 (L Hospitalovo pravidlo) Nech funkcie f: y = f(x) a g: y = g(x) majú derivácie v prstencovom okolí bodu a R {± }. Nech lim f(x) = lim g(x) = 0 alebo lim g(x) = +. Ak existuje (vlastná alebo x a x a x a f nevlastná) limita lim (x) f(x), tak existuje aj limita lim a platí: x a g (x) x a g(x) f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x). Veta 1.4.12 Nech funkcia f: y = f(x) je spojitá na intervale I a má deriváciu vo všetkých vnútorných bodoch intervalu I. Potom platí: (1) Ak funkcia f je na intervale I neklesajúca, tak f (x) 0 pre každý vnútorný bod intervalu I. (2) Ak funkcia f je na intervale I nerastúca, tak f (x) 0 pre každý vnútorný bod intervalu I. (3) Ak funkcia f je na intervale I rastúca, tak f (x) 0 pre každý vnútorný bod intervalu I a f je nenulová na každom otvorenom podintervale intervalu I. (4) Ak funkcia f je na intervale I klesajúca, tak f (x) 0 pre každý vnútorný bod intervalu I a f je nenulová na každom otvorenom podintervale intervalu I. Veta 1.4.13 Nech funkcia f: y = f(x) je spojitá na intervale I a má deriváciu vo všetkých vnútorných bodoch intervalu I. Potom platí:
35 1.4 Derivácia funkcie (1) ak f (x) > 0 pre každý vnútorný bod intervalu I, tak f je rastúca na intervale I, (2) ak f (x) < 0 pre každý vnútorný bod intervalu I, tak f je klesajúca na intervale I, (3) ak f (x) 0 pre každý vnútorný bod intervalu I, tak f je neklesajúca na intervale I, (4) ak f (x) 0 pre každý vnútorný bod intervalu I, tak f je nerastúca na intervale I. Definícia 1.4.3 Hovoríme, že funkcia f: y = f(x) má vo vnútornom bode x 0 I, kde I D(f), lokálne maximum, ak existuje prstencové okolie bodu x 0 také, že pre všetky body z tohoto okolia platí: f(x) f(x 0 ). Hovoríme, že funkcia f: y = f(x) má vo vnútornom bode x 0 I, kde I D(f), lokálne minimum, ak existuje prstencové okolie bodu x 0 také, že pre všetky body z tohoto okolia platí: f(x) f(x 0 ). Hovoríme, že funkcia f: y = f(x) má vo vnútornom bode x 0 I, kde I D(f), ostré lokálne maximum, ak existuje prstencové okolie bodu x 0 také, že pre všetky body z tohoto okolia platí: f(x) < f(x 0 ). Hovoríme, že funkcia f: y = f(x) má vo vnútornom bode x 0 I, kde I D(f), ostré lokálne minimum, ak existuje prstencové okolie bodu x 0 také, že pre všetky body z tohoto okolia platí: f(x) > f(x 0 ). Hovoríme, že bod x 0 je stacionárny bod funkcie f: y = f(x), ak existuje f (x 0 ) a platí: f (x 0 ) = 0. Veta 1.4.14 Nech existuje f (x 0 ). Ak funkcia f má v bode x 0 lokálny extrém, tak f (x 0 ) = 0. 3 Definícia 1.4.4 Funkcia f: y = f(x) sa nazýva konvexná na intervale I D(f), ak pre každú trojicu bodov x 1, x 2, x 3 I takú, že x 1 < x 2 < x 3, je bod [x 2, f(x 2 )] pod priamkou, ktorá je určená bodmi [x 1, f(x 1 )] a [x 3, f(x 3 )], alebo leží na tejto priamke. Funkcia f: y = f(x) sa nazýva konkávna na intervale I D(f), ak pre každú trojicu bodov x 1, x 2, x 3 I takú, že x 1 < x 2 < x 3, je bod [x 2, f(x 2 )] 3 Podmienka f (x 0 ) = 0 je len nutnou podmienkou pre existenciu lokálneho extrému. Z tejto podmienky nevyplýva automaticky, že funkcia f má v bode x 0 lokálny extrém. Funkcia f môže mať lokálny extrém aj v bodoch, ktoré nie sú stacionárnymi bodmi funkcie f t. j. aj v bodoch, v ktorých funkcia f nemá deriváciu.
1 REÁLNA FUNKCIA JEDNEJ REÁLNEJ PREMENNEJ 36 nad priamkou, ktorá je určená bodmi [x 1, f(x 1 )] a [x 3, f(x 3 )], alebo leží na tejto priamke. Funkcia f: y = f(x) sa nazýva rýdzo konvexná na intervale I D(f), ak pre každú trojicu bodov x 1, x 2, x 3 I takú, že x 1 < x 2 < x 3, je bod [x 2, f(x 2 )] pod priamkou, ktorá je určená bodmi [x 1, f(x 1 )] a [x 3, f(x 3 )]. Funkcia f: y = f(x) sa nazýva rýdzo konkávna na intervale I D(f), ak pre každú trojicu bodov x 1, x 2, x 3 I takú, že x 1 < x 2 < x 3, je bod [x 2, f(x 2 )] nad priamkou, ktorá je určená bodmi [x 1, f(x 1 )] a [x 3, f(x 3 )]. Veta 1.4.15 Nech funkcia f: y = f(x) má deriváciu f vo všetkých vnútorných bodoch intervalu I D(f). Ak pre každú dvojicu bodov x 0, x 1 I takú, že x 0 x 1, je bod [x 1, f(x 1 )] nad dotyčnicou ku grafu funkcie f v bode T = [x 0, f(x 0 )], tak funkcia f je rýdzo konvexná. Veta 1.4.16 Nech funkcia f: y = f(x) má deriváciu f vo všetkých vnútorných bodoch intervalu I D(f). Ak pre každú dvojicu bodov x 0, x 1 I takú, že x 0 x 1, je bod [x 1, f(x 1 )] pod dotyčnicou ku grafu funkcie f v bode T = [x 0, f(x 0 )], tak funkcia f je rýdzo konkávna. Veta 1.4.17 Nech funkcia f: y = f(x) je spojitá na intervale I a má druhú deriváciu vo všetkých vnútorných bodoch intervalu I. Potom platí: (1) ak f (x) > 0 pre každý vnútorný bod intervalu I, tak funkcia f je na intervale I rýdzo konvexná, (2) ak f (x) < 0 pre každý vnútorný bod intervalu I, tak funkcia f je na intervale I rýdzo konkávna, (3) ak f (x) 0 pre každý vnútorný bod intervalu I, tak funkcia f je na intervale I konvexná, (4) ak f (x) 0 pre každý vnútorný bod intervalu I, tak funkcia f je na intervale I konkávna. Definícia 1.4.5 Nech funkcia f: y = f(x) je spojitá na intervale I D(f). Bod x 0 I nazývame inflexným bodom funkcie f, ak funkcia f je v nejakom ľavom okolí bodu x 0 rýdzo konkávna (rýdzo konvexná) a v nejakom pravom okolí bodu x 0 je rýdzo konvexná (rýdzo konkávna).
37 1.4 Derivácia funkcie Veta 1.4.18 Nech existuje f (x 0 ). Ako bod x 0 je inflexným bodom funkcie f, tak platí f (x 0 ) = 0. 4 Veta 1.4.19 Nech f (x 0 ) = 0 a f (x 0 ) 0, potom funkcia f má v bode x 0 inflexný bod. Veta 1.4.20 Nech funkcia f: y = f(x) má vo vnútornom bode x 0 intervalu I D(f) nenulovú n-tú deriváciu f (n) (x 0 ) 0, pre n 2. Nech f (x 0 ) = f (x 0 ) = = f (n 2) (x 0 ) = f (n 1) (x 0 ) = 0. Potom platí: (1) Ak n je párne číslo a f (n) (x 0 ) > 0, tak funkcia f má v bode x 0 ostré lokálne minimum. (2) Ak n je párne číslo a f (n) (x 0 ) < 0, tak funkcia f má v bode x 0 ostré lokálne maximum. (3) Ak n je nepárne číslo, tak funkcia f má v bode x 0 inflexný bod. 4 Podmienka f (x 0 ) = 0 je nutná podmienka pre existenciu inflexného bodu, preto z tejto podmienky automaticky nevyplýva, že bod x 0 je inflexným bodom funkcie f.
1 REÁLNA FUNKCIA JEDNEJ REÁLNEJ PREMENNEJ 38 1.5 Riešené príklady Príklad 1.5.1 Určte definičný obor funkcie: f : y = x + 3 x 2 9 + ln (x + 4) 16 x 2, x R. Riešenie: Pre túto funkciu máme tri podmienky. V prvom sčítanci nesmie byť menovateľ rovný nule. V druhom sčítanci musí byť argument logaritmickej funkcie kladný a v treťom sčítanci musí byť výraz pod odmocninou nezáporný. Formálne to zapíšeme takto: x 2 9 0 x + 4 > 0 16 x 2 0. Vyriešime tieto nerovnosti a dostávame nasledujúce množiny: x R { 3, 3} x ( 4, ) x 4, 4. Prienik týchto množín je výsledný definičný obor D(f) = ( 4, 3) ( 3, 3) (3, 4. Príklad 1.5.2 Určte definičný obor funkcie: ( ) x + 3 x + 2 f : y = (x 2 9) 16 x + arcsin, x R. 2 6 Riešenie: Napíšeme jednotlivé podmienky, ktoré musia byť splnené, aby funkcia f bola definovaná. x 2 9 0 1 x+2 1 16 x 2 0 16 x 2 0. Tieto 6 podmienky prepíšeme do nasledujúceho tvaru: x 2 9 0 6 x + 2 x + 2 6 16 x 2 > 0. Vyriešime tieto nerovnosti a dostávame nasledujúce množiny: x R { 3, 3} x 8, ) x (, 4 x ( 4, 4). Prienik týchto množín je výsledný definičný obor D(f) = ( 4, 3) ( 3, 3) (3, 4). Príklad 1.5.3 Vypočítajte deriváciu k daným funkciám: f 1 : y = x 3 2x 2 + x 5 + e3 1 x + 2 4 5x f 2 : y = x + 5 x 4 + x2 x 3 1 x e x f 3 : y = x 2 (3 2 ln x) + 2 3x x 1 f 4 : y = ln(e e 2x ) f 5 : y = arccos ( ) 1 x 2
39 1.5 Riešené príklady Riešenie: Postupne vypočítame derivácie jednotlivých funkcií. f 1 : y = ( x 3 2x 2 + x 5 + e3 1 x + 2 ) = 4 5x = (x 3 ) 2(x 2 ) + 1 5 x + e 3 (1) (x 4 ) + 2 5 (x 1 ) = = 3x 2 4x + 1 5 + e3 0 ( 4)x 5 + 2 5 ( 1)x 2 = = 3x 2 4x + 1 5 + 4 x 5 2 5x 2 f 2 : y = = ( x ) + ( = ( x 1 2 ( x + 5 x 4 + x2 x 3 1 ) = x e x ( ) ) ( ) 5 4 x 2 ( ) 1 x x + 3 = x e x ) + ( x 1 5 ) ( 4x 1 2 ) + ( x2 x 1 3 ) ( e x ) = = 1 2 x 1 2 1 + 1 ( 5 x 1 5 1 4 1 ) x 1 2 1 + ( ) x 5 3 e x ( x) = 2 = 1 2 x 1 2 + 1 4 5 x 5 + 2x 3 5 2 + 3 x 2 3 e x ( 1) = = 1 2 x + 1 5 5 x 4 + 2 x x + 5 3 3 x2 + 1 e x ( f 3 : y = x 2 (3 2 ln x) + 2 3x ) = x 1 = ( x 2 (3 2 ln x) ) ( ) 2 3x + = x 1 = (x 2 ) (3 2 ln x)+x 2 (3 2 ln x) + (2 3x) (x 1) (2 3x)(x 1) (x 1) 2 =
1 REÁLNA FUNKCIA JEDNEJ REÁLNEJ PREMENNEJ 40 ( = 2x (3 2 ln x) + x 2 0 2 1 ) x + = 4x 4x ln x + ( 3)(x 1) (2 3x)(1) (x 1) 2 = 1 (x 1) 2 f 4 : y = ( ln(e e 2x ) ) = 1 (e e 2x ) (e e2x ) = = 2e2x (e e 2x ) 1 (e e 2x ) (0 e2x (2x) ) = f 5 : y = [ arccos ( )] 1 1 x 2 = 1 ( ) ( 1 x 2) = 2 1 x 2 = 1 1 (1 x 2 ) ( ) (1 x 2 ) 1 1 2 = 1 x 2 2 (1 x2 ) 1 2 1 (1 x 2 ) = = 1 2 x 1 ±1 (0 2x) = 1 x 2 1 x 2 Príklad 1.5.4 Zderivujte funkciu f: f : y = x ln x. Riešenie: Použijeme vzťah (9) zo strany 33. f : y = ( x ln x) = ( x ln x ) = ( x ln x) [ (ln x) ln x + ln x ] x (x) [ ] 1 ln x ln x + x x 1 = ( x ln x) [ ] 2 ln x x =
41 1.6 Neriešené úlohy 1.6 Neriešené úlohy 1.1 Určte definičný obor daných funkcií: a) f : y = 3 x 4x 2 1 b) f : y = (5x + 1) sin x 2x 3 + 3x c) f : y = x + x 2 4 x 2 + ex 2x 1 1 x 2 d) f : y = ln ( ) x 1 1 + x e) f : y = x2 5x + 6 1 + ln x 1 ( ) 5x f) f : y = ln ln (1 x) 8x 2 + 1 g) f : y = 1 1 1 x x + 1 arccos 10x 16 + x 2 h) f : y = i) f : y = ln(1 x) ln(x + 1) 3x 2 + 2 ln [ln(ln x)] 3e 3x + 2e 2x + e x + 1 j) f : y = ex arccos(1 + x) x + 3 + 2x k) f : y = ln (3x 6) 4x x 2 l) f : y = m) f : y = (ln x) arccos (6x 5) x2 1 1 + x 2 2 + 3x + x 2
1 REÁLNA FUNKCIA JEDNEJ REÁLNEJ PREMENNEJ 42 n) f : y = log 1 (x 2 2x + 1) 3 8 + x 3 1.2 Vypočítajte prvú deriváciu daných funkcií: a) f : y = 3x 5 x4 2 + 7x 6 + 2x3 ln 2 cos 1 b) f : y = 5 3 2x 3 x + 3 1 4 x 8x c) f : y = ( 1 x ) (1 + x) d) f : y = 1 x2 x ( e) f : y = x5 5 ln x 1 ) (x 2)2 5 x f) f : y = e x ( x 3 3x 2 + 6x 6 ) g) f : y = x cos x sin x 2 h) f : y = x 2 1 + x2 2 i) f : y = ex + 1 e x 1 j) f : y = e x x 3 cos x k) f : y = ln ( ) 2 + x 2 x l) f : y = (2x 3 4) 5 arctg x m) f : y = arctg x 1 x + 1 arctg 1 x n) f : y = 1 2 x arcsin 2 1 + x 2
43 1.6 Neriešené úlohy 1.3 Vypočítajte druhú deriváciu daných funkcií: a) f : y = 4x 3 x 4 b) f : y = x2 2 ln (x 1) 2 c) f : y = 2x + ln(cos x) d) f : y = x2 x 1 e) f : y = 7 + x2 3 + x 2 f) f : y = x2 + 1 1 x 2 g) f : y = x 2 e x h) f : y = x + arctg x 1.4 Napíšte rovnicu dotyčnice t k danej funkcii f v danom bode T = [x 0, y 0 ]: a) f : y = x2 x 1, ak x 0 = 3 b) f : y = arctg x, ak x 0 = 1 c) f : y = ln x x, ak x 0 = e d) f : y = 2x + 1, ak x x 2 0 = 2 e) f : y = 1 x 2, ak x 0 = 2 2
1 REÁLNA FUNKCIA JEDNEJ REÁLNEJ PREMENNEJ 44 1.7 Výsledky neriešených úloh 1.1 a) D(f) = (, 2) ( 2, 2) (2, ) b) D(f) = R {0} c) D(f) = ( 2, 1 (0, 2 d) D(f) = (, 1) (1, ) e) D(f) = 1, 1) (1, ) f) e D(f) = (0, 1) g) D(f) = (, 8 2, 1 1, 2 8, ) h) D(f) = ( 1, 1) i) D(f) = (e, ) j) D(f) = 3, 1) ( 1, 0) k) D(f) = (2, 4 l) 2 D(f) = 1, 0 m) D(f) = (, 2) (1, ) n) D(f) = 0, 1) (1, 2 2 1.2 a) y = 15x 4 2x 3 + 6x 2 ln 2 + 7 b) y = 15 2x 4 + 3 x 2 1 6x 3 x 2 x c) y = 1 3 2 x 1 2 x d) y = 1 2x x 3 2 x e) y = x 4 ln x 1 + 4 x 2 f) y = x 3 e x g) y = sin 2 x h) y = x arctg x i) y = 2ex (e x 1) 2 j) y = x 2 e x (x cos x + 3 cos x x sin x) k) y = 4 4 x 2 l) y = 30x 2 (2x 3 4) 4 m) y = 2 1+x 2 n) y = x4 1 x 4 +1 1.3 a) y = 12x (2 x) b) y = (x 1)2 1 c) y = 1 d) y = 2 e) (x 1) 2 (cos x) 2 (x 1) 3 y x = 24 2 1 f) y = 4 3x2 +1 g) y = (2 4x + x 2 ) e x h) y = 2x (3+x 2 ) 3 (1 x 2 ) 3 (x 2 +1) 2 1.4 a) T = [3, 9], t : 3x 4y + 9 = 0 b) T = [ 1, π ], t : 2x 2y + 2 π = 0 2 4 c) T = [e, 1], t : e y 1 = 0 d) T = [ 2, 3 ], t : x + 4y + 5 = 0 e) e 4 T = [ 2, 2 ], t : x y + 2 = 0 2 2
45 2 Riešenie algebraických rovníc s jednou reálnou neznámou V tejto kapitole ukážeme niektoré základné numerické metódy na riešenie rovnice f(x) = 0 s jednou reálnou neznámou. Ukážeme, či dané metódy konvergujú k riešeniu vždy, alebo len za určitých podmienok. Naznačíme aj rýchlosť konvergencie jednotlivých metód. 2.1 Separácia koreňov Nech je daná nelineárna rovnica f(x) = 0. Snažíme sa nájsť také body c R, pre ktoré platí f(c) = 0. Tieto body c nazývame korene rovnice f(x) = 0. Pri riešení tejto rovnice f(x) = 0 sa snažíme určiť koľko koreňov má táto rovnica a hľadáme intervaly, v ktorých sa nachádza práve jeden koreň rovnice. Proces hľadania týchto intervalov sa nazýva separácia koreňov rovnice f(x) = 0. Hovoríme, že rovnica f(x) = 0 má odseparované korene, ak platí: (1) D(f) = a 1, b 1 a 2, b 2 a n 1, b n 1 a n, b n ), 5 (2) (a i, b i ) (a j, b j ) =, pre i, j {1, 2,..., n}, i j (3) Každý interval a i, b i, i {1, 2,..., n} obsahuje najviac jeden koreň rovnice f(x) = 0. Potom takto odseparované korene budeme hľadať niektorou z nižšie popísaných približných metód. Pre hľadanie koreňov rovnice je užitočná nasledujúca veta. Veta 2.1.1 Nech je daná funkcia f: y = f(x) a nech a, b D(f). Ak je funkcia f spojitá na intervale a, b a platí: f(a) f(b) < 0, (10) potom v intervale a, b leží aspoň jeden koreň rovnice f(x) = 0. Podmienka (10) vo vete 2.3.1 znamená, že znamienka funkčných hodnôt v bodoch a a b sú opačné. V danom intervale a, b môže byť aj viac ako jeden koreň. Ale ak podmienka (10) vo vete 2.3.1 nie je splnená, tak aj tak môže interval a, b obsahovať korene rovnice f(x) = 0 6. 5 Predpokladáme, že b i = a i+1 pre i {1, 2,..., n 1}. 6 Napríklad rovnica x 2 = 0 má koreň c = 0, ale na žiadnom intervale a, b nemôže byť splnená podmienka (10).