Špeciálna teória relativity v Loedelových diagramoch. Boris Lacsný, Aba Teleki

Špeciálna teória relativity v Loedelových diagramoch Boris Lacsný, Aba Teleki Nitra, august 2007

Kapitola 1 Špeciálna teória relativity Teória relativity je cesta poznania nášho sveta. Hovorí nie len o tom, čo vnímame našimi zmyslami, ale aj o tom, prečo to vnímame tak, ako to vnímame. Najdôležitejší poznatok, ktorý musíme pochopiť pri štúdiu teórie relativity je, že nič na svete nevplýva na nás okamžite. Mohli by sme povedať, že to, čo vidíme okolo seba, je vlastne minulosť. Keď sa pozeráme na strom, ktorý je 10 metrov od nás, vnímame jeho obraz, čo je tvar, farba, veľkosť. Vnímame vlastne odrazené svetlo z jeho povrchu, ktoré doletí do nášho oka. V tejto vete je skrytý jeden z najdôležitejších postulátov teórie relativity. V tejto vete sa hovorí, že svetlo musí doletieť, čo znamená, že musí prekonať určitú vzdialenosť za určitý čas. Svetlo prejde vzdialenosť 10 metrov za veľmi malý časový okamih. Nezáleží na dĺžke tohto časového okamihu, ale dôležité je, že je potrebný. Nezáleží na tom, že to je práve rýchlosť svetla, ktorá je hraničnou rýchlosťou, ale dôležité je, že takáto hraničná rýchlosť existuje. To je podstatný rozdiel medzi Newtonovom chápaním sveta, kde sa všetko deje okamžite a čas je absolútny 1 a Einsteinovom prístupe, ktorý tvrdí, že to, čo vnímame, sa udialo presne pred takým časovým intervalom, aký potrebovalo svetlo na prechod vzdialenosti medzi udalosťou (odraz svetla od stromu) a pozorovateľom (nami). Uviedli sme jeden z dvoch základných Einsteinových postulátov teórie relativity. Zapamätaj si: Svetlo sa pohybuje konečnou rýchlosťou, ktorá je konštantná a pre vákuum sa rovná c = 2,998.10 8 m/s. Tento výsledok je potvrdený aj experimentom. Mohli by sme povedať, že vidíme vlastne minulosť všetkých predmetov okolo nás. Obrázok 1.1: Rozdiel medzi Newtonom a Einsteinom by sme mohli nazvať ako absolútny čas a absolútny priestor verzus absolútny časopriestor. E i n s t e i n nebol prvý, ktorý predpovedal koneènú rýchlos svetla. Objavil to dánsky astronóm Ole Christesen Roemer v roku 1676, pri pozorovaní mesiacov Jupitera. 1 Absolútnosť času znamená, že plynie rovnako vo všetkých vzťažných sústavách, nech sa pohybujú akokoľvek a akoľvek rýchlo. 1

2 1. Kapitola Z histórie: Klasická mechanika sa sformovala do modernej podoby v 17. storočí najmä zásluhou Galileiho a Newtona. Podľa Newtona je priestor a čas absolútny. Podľa Galileiho mechanického (klasického) princípu relativity platia rovnaké zákony mechaniky vo všetkých inerciálnych sústavách. Na prelome 19. a 20. storočia však Einstein rozširuje platnosť tohto princípu na všetky fyzikálne deje (teda aj také, ktoré nie sú mechanické napr. elektromagnetické, teda aj na svetlo). Einsteinova špeciálna teória relativity vychádza zo spomínanej rozšírenej platnosti relativity a z existencie maximálnej rýchlosti. Klasická mechanika hovorí, že ak rýchlosť svetla vzhľadom na zdroj je c, a zdroj sa od nás vzďaluje rýchlosťou v, potom sa svetlo zo zdroja vzďaľuje od nás rýchlosťou u = v+c. Existencia maximálnej možnej rýchlosti si však vynucuje nový spôsob skladania rýchlostí (pri ktorej sa maximálna rýchlosť prekročiť nedá), čo sa nedá bez nového spôsobu nazerania na priestor a čas. Rúti sa predstava absolútneho času plynúceho v absolútnom priestore. V Einsteinovej špeciálnej teórii relativity sú čas a priestor spoločne jedinou entitou. Ich vzájomný vzťah je relatívny, ale spolu tvoria absolútny časopriestor. 1.1 Časopriestor a invariantný interval x z y t=1925 Každý bod nášho priestoru môžeme definovať priestorovými súradnicami (napr. x,y,z) a časom (t). Náš svet má teda 4 rozmery, ktoré sa nazývajú časopriestor. Priestor a čas síce tvoria jediný objekt, časopriestor, ale to neznamená, že sú úplne rovnocenné. Urobme si teraz myšlienkový experiment. Nech sú dva body A a B vo vzdialenosti x 2 + y 2 + z 2 od seba. Nech dve udalosti (A v bode A a B v bode B) nastanú naraz (súčasne). Čas, ktorý uplynie medzi týmito dvoma udalosťami je t = 0. Vzdialenosť je medzi nimi nenulová, tieto dve udalosti nastanú nezávisle od seba, nie sú v príčinnom vzťahu. Zoberme si teraz prípad, keď udalosti A a B nebudú súčasné, čiže t 0. Vzdialenosť, ktorú prejde signál za čas t je c t. Nech vzdialenosť medzi bodmi A a B je väčšia, než táto vzdialenosť c t, ktorú svetlo dokáže preletieť za čas, za ktorý sa udejú obidva udalosti ( t), teda (c t) 2 < x 2 + y 2 + z 2. Invariantný interval Potom tieto dve udalosti (A a B) stále nebudú v príčinnom vzťahu, lebo signál nie je schopný túto vzdialenosť za čas t preletieť. Skúsme teraz zapísať tento vzťah medzi udalosťami všeobecne. Označme ( s) 2 = (c t) 2 (x 2 + y 2 + z 2 ).

1.1. ČASOPRIESTOR A INVARIANTNÝ INTERVAL 3 Zapamätaj si: Ak platí, že ( s) 2 < 0 potom udalosti nie sú v príčinnom vzťahu, ( s) 2 0 potom udalosti sú v príčinnom vzťahu. Vzdialenosť s medzi dvoma bodmi (udalosťami) v časopriestore sa nazýva invariantný interval. Invariantnosť tu znamená, že pre každého pozorovateľa bude táto veličina pre dané dve udalosti rovnaká. Zapamätaj si: Invariantný interval je ( s) 2 = (c t) 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) (1.1) Ak ct<x, Súèasné udalosti nie sú v príèinnom vzahu. tie nie sú udalosti v príèinnom vzahu. Ak však ct>x, potom u udalosti sú v príèinnom vzahu. Môu sa navzájom ovplyvòova. Z histórie: James Clark Maxwell zo svojej teórie elektromagnetického poľa zistil, že elektrické a magnetické silové pôsobenie sa v priestore šíri konečnou rýchlosťou, ktorá je rovná rýchlosti svetla. Usúdil z toho, že svetlo je vlastne elektromagnetické vlnenie. Z rovníc sa však nedalo vyčítať, že voči čomu sa vzťahuje táto rýchlosť. Vznikol predpoklad, že elektromagnetické vlnenie (svetlo) má svoj nosič, svoje prostredie, ktoré nazvali éterom. Nakoľko vidíme aj veľmi vzdialené hviezdy, vesmír (absolútny priestor) musí byť vyplnený éterom. Svetlo šíriace sa v éteri si predstavovali ako zvukovú vlnu šíriacu sa vo vzduchu. Domnievali sa, že existencia éteru by sa dala potvrdiť experimentom. Zem sa v priestore (a tým aj v éteri) pohybuje rýchlosťou približne 30 km/s. Svetlo vyžiarené v smere pohybu Zeme by sa malo pohybovať rýchlosťou 300 030 km/s a v protismere len 299 970 km/s. Tento rozdiel by mali namerať, ak je predstava éteru správna. Morley a Michelson v roku 1887 sa tento rozdiel pokúsili zmerať, ale spomínaný efekt unášania svetla éterom sa v experimente neobjavil. Neobjavil sa ani v neskorších, podstatne citlivejších experimentoch. Tak, ako klesala nádej preukázať existenciu éteru, tak naberalo na závažnosti Einsteinovo tvrdenie, že v prírode existuje maximálna rýchlosť a tá je jediná, je rovná rýchlosti svetla vo vákuu. Nakoniec fyzici museli uznať, že pre svetlo a elektromagnetické vlnenie neplatí klasické sčítanie rýchlostí. Albert Einstein v roku 1905 publikoval prácu, v ktorej vysvetlil ako sa priestor spája s časom a dokázal vysvetliť výsledky spomínaných experimentov. Táto práca bola základom špeciálnej teórie relativity a novodobého pohľadu na náš svet.

4 1. Kapitola Znamená to, že ak je vzdialenosť 2 medzi dvomi dejmi pre nejakého pozorovateľa x (a časový odstup medzi nimi je t), pre iného pozorovateľa je vzdialenosť odlišná x (a je odlišný aj časový odstup t ). Tieto veličiny sa nezachovávajú, zachováva sa však hodnota spomínaného invariantného intervalu s, pre ktorý teda platí ( s) 2 = (c t) 2 ( x) 2 = (c t ) 2 ( x ) 2 = const. (1.2) 1.2 Geometrické znázornenie ct Loedelove diagramy ct' x Obrázok 1.2: Loedelov diagram. x' Geometrické znázornenie dvoch sústav spojených s rôznymi pozorovateľmi je možné v tzv. Loedelových diagramoch. Po dôvtipnej úprave vyššie uvedeného vzťahu (1.2) dostávame dve pravouhlé súradnicové sústavy (c t) 2 + ( x ) 2 = (c t ) 2 + ( x) 2 (1.3) navzájom pootočené o uhol α. Tento vzťah platí pre každú dvojicu udalostí pozorovaných z dvoch inerciálnych sústav K a K. Bez ujmy na všeobecnosti môžeme písanie vypustiť (ct) 2 + x 2 = (ct ) 2 + x 2 (1.4) a tak dostávame dvojicu sústav, kde os ct x a ct x pripomína jednu pravouhlú súradnicovú sústavu pootočenú voči druhej o uhol α (obr.:1.2). Ak hovoríme o osi ct, máme tým na mysli to, že na túto os sa nevynáša čas, ale čas násobený rýchlosťou svetla (vzdialenosť, ktorú svetlo preletí za daný čas). Predstavme si nehybný svietiaci bod A v nečiarkovanej sústave K. Jeho vzdialenosť pre pozorovateľa v bode O v sústave K sa nemení, ale čas plynie, čo znamená, že pozorovateľ sa posúva po osi ct a súčasne aj svietiaci bod A sa posúva po priamke rovnobežnej 3 s časovou osou ct (obr.:1.3). Príslušné priamky nazývame Obrázok 1.3: Zobrazenie v Loedelových diagramoch. svetočiarami. V tomto prípade svetočiarou pozorovateľa a svetočiarou svetelného bodu. 2 Pre jednoduchosť budeme uvažovať len o jednej priestorovej súradnici, čo v skutočnosti nie je pri rovnomernom priamočiarom pohybe obmedzením. Smer takého pohybu sa vždy dá stotožniť so smerom osi x. 3 Pokiaľ by táto priamka nebola rovnobežná s osou ct, potom by sa vzdialenosť svetelného bodu od pozorovateľa menila. To sa nedeje, veď obaja sú voči sebe v pokoji sú v pokoji v rovnakej sústave.

1.3. KONTRAKCIA DĹŽKY 5 Zapamätaj si: V Loedelových diagramoch je svetočiara každého hmotného bodu (predmetu) spoločná pre obidve sústavy (K aj K ). ct ct 1 sin ct' Tak isto všetky udalosti, ktoré pozorovateľ registruje ako súčasné v sústave K musia ležať na priamke rovnobežnej s priamkou x (obr.:1.3). Pozrime sa teraz na fyzikálny význam uhla α (obr.:1.4).máme dve sústavy K a K, kde K sa pohybuje voči K rýchlosťou v v smere osi x. Začiatok súradnicovej sústavy K je bod O a sústavy K je bod O. Nech v čase t = 0 (teda ct = 0) sú tieto body identické O = O. Svetočiara bodu O je v sústave K reprezentovaná priamkou ct. Pozrime sa, ako vyzerá situácia v čase t 1. Bod O sa od bodu O vzdialil na vzdialenosť x 1 = vt 1 (obr.:1.4). Z pravouhlého trojuholníka vyplýva, že x 1 = ct 1 sinα, odkiaľ už dostávame vzťah pre uhol α. Zapamätaj si: Význam uhla α v Loedelových diagramoch ct 1 O=O' x Obrázok 1.4: Význam uhla α. sin α = v c. (1.5) Význam uhla α 1.3 Kontrakcia dĺžky Majme dva body A a B v nečiarkovanej sústave K, ktoré určujú dĺžku tyče l (vzájomnú vz- ct dialenosť koncových bodov tyče). Svetočiara bodu A je rovnobežná s osou ct, pretože bod A je v pokoji v nečiarkovanej sústave. Zrovna tak aj svetočiara bodu B. Svetočiary bodov A a B sú znázornené na obrázku 1.5. ct' l' A l B x Obrázok 1.5: Kontrakcia dĺžky. Pre pozorovateľa v čiarkovanej sústave K je dĺžka tyče určená tiež vzdialenosťou bodov A a B (obr.:1.5), ale ich polohu musí pozorovateľ sústavy K určiť súčasne. Poloha bodu A a B v sústave K je daná priesečníkom svetočiar bodu A a B s osou x. Z pravouhlého trojuholníka na obrázku vidieť, že l l = cos α = 1 sin 2 α kde sin α = v c x' (1.6) Obrázok 1.6: Auto v pokoji (hore) a pohybujúce sa rýchlosťou blízkou rýchlosti svetla (dole).

6 1. Kapitola Kontrakcia dĺžky Zapamätaj si: Kontrakcia dĺžky ( v ) 2. l = l 1 (1.7) c 1.4 Dilatácia času Obrázok 1.8: Hodiny v pohybujúcej sa sústave sa voči nám spomalujú Zoberme si lampu v pokoji v čiarkovanej sústave K. ct vzťah ct' ct 1 ct' 1 2 1 Obrázok 1.7: Dilatácia času. ct ( 1 v = cos α = 1 sin 2 α = 1 ct 1 c x' x Nech táto lampa blikne dvakrát za sebou s časovým odstupom t 1 a označme tieto záblesky 1 a 2 (obr.:1.7). Súradnice týchto signálov boli v sústave K pozorované s časovým odstupom t 1. Podobne, ako v prípade kontrakcie dĺžky, dostávame zo vzniknutého pravouhlého trojuholníka ) 2. (1.8) Vidíme, že deje v pohybujúcej sa sústave sa spomalia (obr.:1.8) Dilatácia času Zapamätaj si: Dilatácia času t = t (. (1.9) v 2 1 c) 1.5 Lorentzove transformácie Odvodenie Lorentzových transformácií pomocou Loedelových diagramov nie je nič iné, ako hľadanie spôsobu vyjadrenia dvojice súradníc ct, x pomocou dvojice čiarkovaných súradníc ct, x a naopak (obr.:1.9).

1.5. LORENTZOVE TRANSFORMÁCIE 7 ct B D ct' x 0 ct 0 ct 0 ct 0 ' x 0 ' O Obrázok 1.9: Lorentzove transformácie. x 0 A E C x' x BAD = α, Zoberme udalosť A, ktorá má v sústave K súradnice ct 0,x 0 a v sústave K súradnice ct 0,x 0 ako ukazuje obrázok (obr.1.9). Ukázali sme si význam uhla α. Tento uhol určuje vzájomnú rýchlosť v pozorovateľov vzťahom sin α = v c. Z (obr.1.9) vyplýva, že a pre veľkosť DB následne platí DB = x 0 sin α. Potom pre veľkosť ct 0 dostávame ct 0 = OD + DB = ct 0 cos α + x 0 sin α. (1.10) Podobne uhol EAC = α odkiaľ máme EC = ct 0 sin α a následne pre x 0 platí x 0 = OE + EC = x 0 cos α + ct 0 sinα. (1.11) Vyjadrením čiarkovaných veličín z týchto rovníc dostávame Lorentzove transformácie ct 0 = ct 0 x 0 sinα cos α Využitím toho, že obdržíme, x 0 = x 0 ct 0 sin α cos α sin α = v ( v 1 c, cos α = c ) 2. kde sin α = v c. ct 0 = ct 0 v c x 0 1 ( ), x 0 = x 0 vt 0 v 2 c 1 ( ), (1.12) v 2 c Zapamätaj si: Lorentzove transformácie t = x = t v x c 2 y = y 1 ( v c )2 x vt z = z. (1.13) 1 ( v c )2 Keďže sa jedná len o pohyb v smere osi x, tak súradnice y a z sa netransformujú. Ku zmene súradníc dochádza vždy len v smere pohybu. Lorentzove transformácie

8 1. Kapitola 1.6 Základy špeciálnej teórie relativity Základy špeciálnej teórie relativity Albert Einstein vybudoval teóriu relativity na dvoch postulátoch, ktoré sme si už v úvode naznačili. Sú to princíp relativity a princíp konštantnej rýchlosti svetla. Loedelove diagramy sú postavené nemennosti hodnoty invariantného intervalu s pre všetkých pozorovateľov. Nezávislosť hodnoty invariantného intervalu a Einsteinove postuláty sú ekvivalentné. Ukážeme, že v Loedelových diagramoch sú Einsteinove postuláty skutočne prítomné. 1.6.1 Princíp relativity Princíp relativity Obrázok 1.11: Hmyz vo flaši nevie, či sa pohybuje vo flaši na bycikli alebo je v pokoji na stole, ak sa bycikel bude pohybovať rovnomerne priamočiaro. Princíp relativity je vlastne rozšírením Galileovho princípu relativity v mechanike na všetky fyzikálne zákony. Majme dvoch pozorovateľov v pokoji v dvoch rôznych inerciálnych sústavách, ktoré sa vzhľadom na seba pohybujú rovnomerne priamočiaro v smere osi x. ct A B ct' B' A' O=O x' Obrázok 1.10: Princíp relativity Pozorovateľ v jednej sústave vníma, že pozorovateľ v druhej sústave sa pohybuje rýchlosťou v. Avšak pre druhého pozorovateľa sa pohybuje prvý pozorovateľ. Rovnakou rýchlosťou, ale opačným smerom. Princíp relativity hovorí, že je relatívne, ktorý z pozorovateľov je v pokoji, a ktorý v pohybe, pre obidvoch platia rovnaké fyzikálne zákony. To znamená, že všetky inerciálne sústavy sú rovnocenné. Pozrime sa, ako prípad ich vzájomného pohybu (s rýchlosťou v) vyzerá v Loedelových diagramoch. Nech sa pozorovatelia v čase t = 0 nachádzajú v začiatku súradnicovej sústavy O = O (obr.:1.10). Z prvého diagramu vidíme, že pre pozorovateľa v nečiarkovanej sústave sa za čas t 1 pozorovateľ v čiarkovanej sústave vzdialil do vzdialenosti AA. Pre pozorovateľa v čiarkovanej sústave sa pohybuje pozorovateľ v nečiarkovanej sústave opačným smerom a ten sa vzdialil za čas t 1 = t 1 do vzdialenosti B B. Z diagramu vyplýva, že AA = B B. To znamená, že tieto dve inerciálne sústavy sú si čo do vzájomného pohybu rovnocenné. Zapamätaj si: Princíp relativity hovorí, že vo všetkých inerciálnych sústavách platia rovnaké fyzikálne zákony. Či by sme už leteli lietadlom rovnomerne priamočiaro konštantnou rýchlosťou alebo by sme stáli na štartovacej dráhe, nedokázali by sme x

1.6. ZÁKLADY ŠPECIÁLNEJ TEÓRIE RELATIVITY 9 rozhodnúť na základe žiadneho fyzikálneho triku 4 o tom či letíme alebo stojíme. Aby sme to zistili, musíme sa jednoducho pozrieť z okna. 1.6.2 Princíp konštantnej rýchlosti svetla V úvode sme hovorili o konečnej rýchlosti svetla. Ak by sme si však zobrali galaxiu napr. Andromedu ktorá sa k nám blíži obrovskou rýchlosťou, akú má voči nám rýchlosť svetlo vyslané z tejto galaxie a akú voči galaxii? Albert Einstein prišiel s prekvapujúcou myšlienkou, ktorá je ako si myslíme správna. Rýchlosť svetla meraná voči nám bude c, ale súčasne bude rovná c aj voči svojmu zdroju! Bude teda konštantná, nezávislá od rýchlosti zdroja i pozorovateľa. 5 Teraz sa pozrime na to, ako to vyzerá v Loedelových diagramoch. Hovorí, že svetlo má v každej inerciálnej sústave konštantnú a rovnakú rýchlosť. Pre svetelný signál vo vákuu, ktorý prejde z bodu A do bodu B musí platiť, že invariantný interval 6 ( s) 2 = (c t) 2 ( x) 2 = 0, (1.14) pretože vzdialenosť, ktorú prejde svetelný signál za čas t je rovná c t. Z toho vyplýva, že x = c t. Znázornime si to v Loedelových diagramoch (obr.:1.13). Svetelný signál bude reprezentovaný priamkou, ktorá je totožná s osou uhla súradnicových osí 7. Pre čiarkovanú súradnicovú sústavu musí platiť to isté, pretože platí Obrázok 1.12: Andromeda. Obrázok 1.13: Rýchlosť svetla v Loedelových diagramoch. ( s ) 2 = ( s) 2 = 0 a predchádzajúca úvaha sa dá zopakovať aj pre čiarkované súradnice Loedelov diagram to ukazuje jasne. Svetelný signál je teda osou súradnicových osí aj čiarkovaného pozorovateľa. Loedelove diagramy verne zobrazujú rovnocennosť pozorovateľov (čiarkovaného a nečiarkovaného). Našli sme teda obraz svetelného signálu v Loedelových diagramoch, ktorý je vyslaný v smere pohybujúceho sa pozorovateľa. Pre svetelný signál vyslaný opačným smerom platia tie isté pravidlá. 4 ktorý sa obmedzuje na vnútrajšok lietadla; 5 preto sa tento princíp trošku nevýstižne nazýva princípom konštantnej rýchlosti svetla; 6 Uvažujeme šírenie svetla len v smere osi x, o ostatných smeroch nebudeme uvažovať. 7 Prečo? Pozrite si obrázok 1.13 a majte na mysli, že x B = ct B.

10 1. Kapitola ct ct' B B' x' A x Obrázok 1.14: Konštantná rýchlosť svetla. Obrázok 1.15: Či auto stojí (hore) alebo sa pohybuje (dole) neovplyvňuje rýchlosť svetla. Tá je stále konštantná. Princíp konštantnej rýchlosti svetla Jeho rýchlosť musí byť konštantná v obidvoch sústavách. Keďže rovnica (1.14) je splnená aj pre prípad, keď c t = x. Zobrazením tejto rovnosti v Loedelových diagramoch dostávame, že svetočiara signálu vyslaného dopredu a svetočiara svetelného signálu vyslaného dozadu sú na seba kolmé 8 (obr.:1.14). Ukázali sme obraz (svetočiaru) svetelného signálu v Loedelových diagramoch. Tým sa stala zrejmou aj rovnocennosť inerciálnych sústav, lebo svetelný signál je v obidvoch sústavách len jeden (v jednom smere len jedna svetočiara). Zapamätaj si: Svetelný signál má v každej inerciálnej sústave rovnakú rýchlosť, ktorá je vo vákuu rovná 299800 km/s 8 Kolmosť sa týka len svetočiar kreslených v Loedelovom diagrame.

1.6. ZÁKLADY ŠPECIÁLNEJ TEÓRIE RELATIVITY 11 Pre učiteľov: Tu je na mieste povedať, že existujú aj teórie, ktoré tvrdia, že rýchlosť svetla je závislá od rýchlosti zdroja. Jedným z najrozpracovanejších teórii je Ritzova teória, balistická teória alebo teória zdrojov, ktorá má stále veľa priaznivcov. W. de Sitter spochybnil práve tieto teórie na príklade obyčajnej dvojhviezdy dvojice hviezd obiehajúcich spoločné ťažisko po kružnicovej dráhe. W. de Sitter uviedol, že ak platí Ritzova teória, tak je nemožné zosúladiť pozorovania s Keplerovými zákonmi. Predstavme si, že by platila Ritzova teória, podľa ktorej rýchlosť svetla závisí od rýchlosti zdroja tak, že výsledná rýchlosť je rovná súčtu rýchlosti svetla a rýchlosti zdroja (klasické skladanie rýchlostí). Tu je na mieste otázka, aký obraz spomínanej dvojhviezdy by sme pozorovali z dostatočne veľkej vzdialenosti? Rozoberme si podrobnejšie tento príklad. Pozeráme sa na dvojhviezdu, ktorá obieha okolo ťažiska v rovine, ktorá zviera s pozorovateľom uhol α. Pre zjednodušenie nechajme jednu z týchto dvojhviezd vyhasnúť. (Týmto sme sa však nedopustili ničoho zlého, pretože takéto dvojhviezdy reálne existujú.) Podľa Einsteinovej teórie relativity by sme pozorovali jednu hviezdu, ktorá sa pohybuje po kružnicovej trajektórii. Podľa Ritzovej teórie by obraz závisel od uhlovej rýchlosti, polomeru jej trajektórie a vzdialenosti dvojhviezdy od pozorovateľa. Ak by sme boli dostatočne vzdialený od takejto dvojhviezdy, pozorovali by sme znásobenie obrazu v určitom bode. V bode, keď sa k nám hviezda blíži (obr. 1) by sme pozorovali 1 2 vznik ďalšieho obrazu hviezdy (obr. 2), ten by sa rozdvojil a jeden z nich by sa pohyboval proti smere pohybu a druhý v smere 3 4 skutočného pohybu hviezdy (obr. 3). Po strete obrazu, ktorý sa pohybuje v protismere a pôvodneho obrazu hviezdy by zanikli obidve a pozorovali by sme znova len jeden obraz hviezdy (obr. 4). Ten sa pohybuje v smere pohybu hviezdy, až kým sa nedostane do bodu, kde sa znova znásobí. Keďže predpokladáme, že každá desiata hviezda našej galaxie je dvojhviezda, takýto efekt by mohol byť pozorovateľný. Avšak, zatiaľ nie je známe, že by bol takýto efekt pozorovaný. Za posledných 100 rokov overovania teórie relativity všetko napovedá, že teória relativity a druhý postulát konštantnej rýchlosti svetla by mali byť správne. 1.6.3 Relatívnosť súčasnosti Z druhého princípu konštantnej rýchlosti svetla vyplýva, že to čo sa stane naraz v jednej sústave sa nestane naraz v druhej sústave. 1 2 3 4 5 Obrázok 1.16: Pozorovanie dvojhviezdy podľa Ritzovej teórie.

12 1. Kapitola Obrázok 1.18: Chlapec vo vlaku. Obrázok 1.19: Dievča na nástupišti. Relatívnosť súčasnosti Obrázok 1.17: Z pohľadu chlapca vo vlaku. Vysvetlime si túto zvláštnu skutočnosť z pohľadu chlapca, ktorý sa nachádza v pohybujúcom sa vlaku a potom z pohľadu dievčaťa stojacom na nástupišti. Pohľad chlapca. Chlapec vo vlaku stojí presne v strede vagóna. Nad chlapcovou hlavou zasvieti lampa S (obr.:1.17). Svetelný signál sa šíri v smere aj v proti smere pohybu vlaku. Chlapec registruje, že svetelný signál dopadne na začiatok 1 a koniec 2 vagóna súčasne, lebo ct 1 = ct 2 (obr.:1.18). Pohľad dievčaťa. Pre dievča vonku, ktorá je v pokoji vzhľadom na trať, sa to udeje trocha inak (obr.:1.20). Pre ňu tieto udalosti (dopad svetla na prednú a zadnú stenu vagóna) nie sú súčasné. Ona vidí, že svetlo dopadne najprv na koniec vagóna a až o chvíľu neskôr na začiatok vagóna: ct 2 < ct 1 (obr.:1.19). Označme dĺžku vagóna z pohľadu dievčaťa 9 L, potom z Loedelovho diagramu na obrázku 1.19 vyplýva, že Obrázok 1.20: Z pohľadu dievčaťa ct 1 = S1 = L + Z1 na nástupišti. a ct 2 = S2 = L K2, kde Z1 = ct 1 sin α, K2 = ct 2 sin α a sinα = v c. Jednoduchou úpravou dostávame čas dopadu na začiatok a koniec vagóna. t 1 = L c v a t 2 = L c + v. (1.15) Dopad signálu na konce vagóna je súčasný pre chlapca vo vagóne (ct 1 = ct 2), ale nie je súčasný pre dievča vonku (ct 1 ct 2 ). Zapamätaj si: Z teórie relativity vyplýva, že čo pre jedného pozorovateľa je súčasné t 1 = t 2, nie je (nemusí byť) súčasné pre druhého pozorovateľa t 1 t 2. 9 Existuje kontrakcia dĺžky, tá ale teraz nie je pre naše pojednávanie dôležitá, predsa sme pre istotu zdôraznili, že hovoríme o dĺžke vagóna z pohľadu dievčaťa.

1.6. ZÁKLADY ŠPECIÁLNEJ TEÓRIE RELATIVITY 13 1.6.4 Synchronizácia hodín Doteraz sme často hovorili o súčasnosti. V dôsledku relatívnosti súčasnosti, je súčasnosť viazaná ku konkrétnej inerciálnej sústave (čo je súčasné v jednej sústave 10, nemusí byť súčasné v inej). Obmedzime sa teda na jednu inerciálnu vzťažnú sústavu. Predstavme si, že v každom bode priestoru máme hodiny. Hodiny sa vzájomne nepohybujú, sú v danej inerciálnej sústave v pokoji. Hodiny boli vyrobené rovnakým spôsobom a sú presné. Dva deje, ktoré sa odohrajú ďaleko od seba sú súčasné, pokiaľ v okamihu, keď sa odohrajú ukazujú hodiny na týchto miestach rovnaký čas. Einstein bol veľmi opatrný pri budovaní teórie relativity, aby nestaval teóriu na predpokladoch, ktoré by sa nedali realizovať. Navrhol preto procedúru, pomocou ktorej sa dajú nastaviť hodiny v inerciálnej sústave požadovaným spôsobom, tj. aby ukazoval rovnaký čas pre súčasné deje. Procedúru nazývame synchronizáciou. Synchronizácia dvoch hodín (aby ukazovali rovnaký čas) je založená na jednoduchej myšlienke. Jedny hodiny vyšlú údaj o tom, že koľko ukazujú a druhé si nastavia tento čas plus dobu, ktorú trvalo signálu doletieť k nemu. Detailne vypadá synchronizácia dvoch hodín nasledovne: Synchronizácia hodín 1. Určí sa vzdialenosť medzi hodinami, alebo doba, ktorú trvá signálu preletieť od jedných hodín k druhým ( r alebo t). Einstein navrhol použiť svetlo. Jedny hodiny (A) vyšlú svetelný signál a druhé (B) odrazia signál zrkadlom. Prvé hodiny zmerajú dobú, ktorá uplynula medzi vyslaním a návratom signálu. Signálu trvá cesta od jedného k druhému (od A k B) polovicu tejto doby ( t/2). 2. Doba letu signálu ( t/2) sa oznámi hodinám B. 3. Hodiny A vyšlú časový údaj (t A ). 4. Hodiny B prijmú časový údaj (t A ) a svoje hodiny si nastavia na hodnotu t B, ktorá je opravená o dobu letu signálu t B = t A + t/2. Takto ukazujú hodiny A a B v tom istom okamihu rovnaký čas. Procedúru možno urobiť so všetkými hodinami v sústave. V skutočnosti je jedno, či použijeme svetlo, alebo iný spôsob prenosu signálu (poslíček, ktorý sa pohybuje s presne definovanou rýchlosťou). Výsledok je vždy ten istý. To, že rýchlosť svetla je rovnaká v každej inerciálnej sústave nehrá úlohu. Vďaka synchronizácii hodín viete, že v tomto okamihu ukazujú na opačnom konci galaxie hodiny (vo vašej inerciálnej sústave) presne 10 Pokiaľ nepovieme iné, sústavou budeme rozumieť vždy inerciálnu vzťažnú sústavu

14 1. Kapitola t t' Obrázok 1.21: V každom bode časopriestoru sú hodiny a ukazujú čas príslušnej sústavy. Obrázok 1.22: Súčasnosť v červenej a modrej sústave. x' x taký istý čas, ako vaše hodiny. Ukazujú rovnaký čas napriek tomu, že medzi nimi nie je kauzálny (príčinný) vzťah 11. Dôležité! Povedali sme, že všetky hodiny ukazujú v tom istom okamihu ten istý čas. Takúto synchronizáciu môžeme urobiť pre každú inerciálnu sústavu ale pozor, inerciálne sústavy sa už synchronizovať medzi sebou nedajú. Túto skutočnosť ukazuje Loedelov diagram doplnený hodinami (červené ukazujú čas v červenej inerciálnej sústave a modré v modrej inerciálnej sústave). Pozrite si poriadne obrázok uvidíte relatívnosť súčasnosti i dilatáciu času. Napriek tomuto zdanlivo chaotickému stavu sa v Loedelových diagramoch znázorňuje pohyb predmetu jedinou svetočiarou. Pomocou zosynchronizovaných hodín sa dá rekonštruovať kde a kedy sa predmet nachádzal. Pospájaním týchto bodov vzniká svetočiara. Dve sústavy majú odlišnú synchronizáciu hodín, ale svetočiara je jediná. Červeným a modrým pozorovateľom zostrojená svetočiara predmetu bude tá istá. Vyjadruje to myšlienku Einsteina, že časopriestor je absolútny, len čas a priestor sú relatívne (každý pozorovateľ vníma inak, má inú synchronizáciu hodín). Dilatácia času, kontrakcia dĺžky a relativita súčasnosti vytvárajú vzájomne prepojenú trojicu. Zvláštny stav je dôsledkom existencie konečnej maximálnej rýchlosti. Odráža sa to aj vo zvláštnom výsledku synchronizácie hodín dvoch vzájomne sa pohybujúcich sústav (pozri ešte raz obrázok 1.23). Ničmenej synchronizácia hodín je len nástrojom na vyjadrenie súčasnosti. Túto zvláštnu vlastnosť, ktorú vyjadruje obrázok 1.23, má samotný časopriestor. Synchronizácia hodín na tom nič nemení, len ju verne popisuje. 1.6.5 Relativistické sčítanie rýchlostí Z princípu relativity a konštantnej rýchlosti svetla vyplýva, že v skutočnosti sa rýchlosti nebudú skladať tak, ako to poznáme z našej každodennej skúsenosti. Aj keď pri našich malých rýchlostiach je to nepatrný rozdiel, ale predsalen tu rozdiel je. Zoberme si napríklad strieľajúci tank. Ak sa tank pohybuje rýchlosťou v a vystrelí strelu v smere pohybu rýchlosťou v, pre výslednú rýchlosť strely nebude platiť klasické 11 keby sa totiž hodiny na opačnej strane galaxie pokazili práve v tomto okamihu, tak sa o tom nedozviete skôr, než sem signál dorazí. Najrýchlejší signál je svetelný a trvalo by mu to cca. 80 000 rokov opačná strana Mliečnej dráhy je od nás približne vo vzdialenosti 80 000 ly (ly je označenie pre svetelný rok, vzdialenosť, ktorú svetlo preletí za jeden rok.)

1.6. ZÁKLADY ŠPECIÁLNEJ TEÓRIE RELATIVITY 15 t t a x O O x Obrázok 1.23: Loedelov diagram dvoch vzájomne sa pohybujúcich inerciálnych sústav (červená - nečiarkovaná a modrá - čiarkovaná). Tento Loedelov diagram zodpovedá rýchlosti 180000 km/s ( 3 5 c). Nájdite deje, ktoré sa v červenej sústave odohrajú o 12:00. O koľkej sa odohrávajú tieto deje v modrej sústave? sčítanie rýchlosti u = v + v. Toto tvrdenie je zvláštne a ťažko predstaviteľné, ale je skutočne správne. Rýchlosť, akou sa strela bude pohybovať je daná Einsteinovým vzorcom pre skladanie rýchlostí u = v + v 1 + v.v c 2. (1.16) Ukážeme si to pomocou Loedelových diagramov. Nečiarkovaná sústava nech je povrch Zeme, po ktorej sa pohybuje tank rýchlosťou v. Čiarkovaná sústava je tank a v tejto sústave je vystrelená strela rýchlosťou v v smere pohybu tanku. Rýchlosť strely voči čiarkovanej sústave je daná vzťahom v = x t. Rýchlosť strely voči nečiarkovanej sústave je potom u = x t. Z Loedelovho diagramu

16 1. Kapitola vyplýva, že ct x'sin ct' ct ct' x' x Svetoèiara strely x' ct'sin Obrázok 1.24: Relativistické skladanie rýchlosti. x x = ct = Potom pre rýchlosť strely dostávame u = x t x + ct sin α, cos α ct + x sin α. cos α = x + ct sin α. (1.17) t + x c sin α Ak výjmeme s čitateľa aj z menovateľa t dostávame u = t ( x t + csin α) t (1 + x ct sin α) = v + v, (1.18) 1 + v.v c 2 kde sme znova využili toho, že sinα = v c. Aj keď v našom každodennom živote je takéto sčítane viac menej zbytočné, dáva nám však presnejší obraz o našom svete, ktorého sme súčasťou. Zapamätaj si: Einsteinov vzťah pre skladanie rýchlosti Relativistické sčítanie rýchlosti u = v + v 1 + v.v c 2. (1.19) Paradoxy Paradox auta a garáže 1.7 Paradoxy Paradoxom nazývame také deje, ktoré sa nám zdajú byť v protiklade s našimi skúsenosťami zo života. Práve také zvláštnosti ako je kontrakcia dĺžky, dilatácia času alebo relatívnosť súčasnosti je zdrojom paradoxov v teórii relativity, ako sa môžeme presvedčiť napr. v prípade paradoxu auta a garáže, paradoxu dvojčiat, atď. 1.7.1 Paradox auta a garáže Majme auto, ktoré je príliš dlhé na to, aby sa normálne (tj. v pokoji) zmestilo do garáže, ktorá je tiež v pokoji. Pokiaľ sa auto bude pohybovať dosť rýchlo, špeciálna teória relativity ukazuje, že auto sa môže zmestiť do garáže na určitý časový interval t. Pozrime sa na túto situáciu pomocou Loedelových diagramov (obrázok 1.25), kde sme znázornili svetočiary rozhodujúcich častí auta a garáže. Rozmery sa určujú pomocou meraní polohy vykonaných súčasne. Súčasnosť v každej sústave je predstavená vždy priamkou,

1.7. PARADOXY 17 ct ct' t 2 3 x' l' 1 A B x l' A B Obrázok 1.25: Pohľad pozorovateľa stojaceho v garáži. ktorá je rovnobežná s priestorovou osou tejto sústavy (v nečiarkovanej os x, v čiarkovanej os x ). Auto má v pokoji dĺžku l. Vnútorný rozmer garáže, tj. vzdialenosť medzi vchodovými dverami A a východovými dverami B, ktoré sú oproti, je l g. Podľa zadania paradoxu je auto v pokoji väčšie ako garáž, tj. l > l g. Auto sa pohybuje dostatočne rýchlo, čo v reči Loedelových diagramov znamená, že uhol α je dostatočne veľký. Na obrázku 1.25 sú naznačené svetočiary koncových bodov auta dĺžky l a garáže, ktorá má v pokoji dĺžku l g. Svetočiary prechádzajúce bodmi A a B predstavujú vchodové a východové dvere garáže. Z pohľadu pozorovateľa stojaceho v garáži vidno (obr.:1.25), že pohybujúce sa auto môže byť v garáži celé, aj keď auto v pokoji je očividne dlhšie ako dĺžka garáže. Na začiatku vstupné dvere (A) sú otvorené a výstupné (B) zatvorené. Bod 1 znamená, že auto vchádza do garáže. Bod 2 znamená, že koniec auta práve vošiel do garáže. Inými slovami auto sa nachádza celé v garáži a vchodové dvere môžeme zavrieť. Bod 3 znamená, že predná časť auta je na úrovni východu z garáže. Východové dvere garáže musíme otvoriť, ak nechceme, aby do nich auto narazilo. Z pohľadu pozorovateľa v garáži, sa vchodové dvere garáže zavreli o t skôr, než sa otvorili východové dvere. Auto po túto dobu bolo zavreté v garáži napriek tomu, že jeho pokojová dĺžka l je väčšia, než rozmer garáže (l g ). Je to spôsobené tým, že auto sa pohybuje voči pozorovateľovi (a garáži) s dostatočne veľkou rýchlosťou. Kontrakcia

18 1. Kapitola ct' ct 2 3 x' t' l' 1 A B x Obrázok 1.26: Situácia z pohľadu šoféra. dĺžky spôsobuje, že v sústave garáže je pohybujúce sa auto skutočne kratšie ako garáž. S pohľadu šoféra to však bude úplne iná situácia (obr.:1.26). Šofér sediaci v aute je pozorovateľom v čiarkovanej sústave. Udalosť 3 sa odohráva pred udalosťou 2 o t skôr. Šofér (čiarkovaná sústava) v bode 3 bude v situácii, keď predná časť auta dorazila k výstupným dverám (B). Udalosť 3 predstavuje, ako sme už povedali vyššie, že výstupné dvere B sa otvoria. Šofér teda uvidí ako sa pred ním otvárajú východové dvere garáže, pričom zadná časť auta ešte do garáže nevošla. Auto sa postupne presunie cez garáž a v okamihu, keď zadná časť auta sa dostane na úroveň vstupných dverí (A), tie sa zavrú (bod 2). V tomto okamihu je však už predná časť auta vonku z garáže. Ďalej. Šofér nezažil situáciu, že by boli obidve dvere (A aj B) zavreté súčasne. Nedošlo však ani k poškodeniu auta. Pre pozorovateľa v garáži boli dvere po dobu t zavreté, ale nikdy neboli otvorené súčasne. V sústave vodiča sediaceho v rýchlom aute sa to teda odohralo inak. Garážové dvere nikdy neboli súčasne zavreté, ale po dobu t boli oboje otvorené. Loedelove diagramy ukazujú, že odpoveďou na zdroj paradoxu je relativita súčasnosti. Takéto efekty vyžadujú mimoriadne rýchlosti. V našich diagramoch sme ilustrovala rýchlosť 0,866c (α = 60 ), aby efekty boli dostatočne zreteľné. Paradox dvojčiat 1.7.2 Paradox dvojčiat Ak sa dvaja voči sebe pohybujú, tak každý vidí pomalší chod hodín toho druhého. Nejedná sa len o chod hodín, ale aj o pomalšie plynutie

1.7. PARADOXY 19 fyzikálnych a biologických procesov. Ak sa voči mne niekto pohybuje, tak vidím, že pomalšie starne. Paradoxné je to, že on má vidieť to isté o mne, tj. že starnem pomalšie než on. Zoberme si dvojčatá, z ktorých jedno sa stalo kozmonautom. Odchádza na misiu pozrieť sa na novo objavenú planétu Z v blízkosti dvojhviezdy Sírius A a B. Planéta je od Zeme vzdialená 17,32 svetelných rokov 12 a je voči nej prakticky v pokoji. Raketa poletí rýchlosťou 0,866c a cesta potrvá 20 rokov t Zem = 17,32 ly 0, 866c = 20 rokov. Kozmonaut počas cesty k planéte zostarne v dôsledku dilatácie času len o 5 rokov t Zem = t kozmonaut ( v ) = 2 1 c 10 10 = 10 1 0,866 2 1 0,75 0,5 = 20 rokov Cestu naspäť absolvuje rovnakou rýchlosťou. Brat, ktorý zostal na Zemi pri tom zostárol o ďalších 20 rokov, ale kozmonaut znova len o 10 rokov. Až sa stretnú na kozmodróme, bude medzi nimi vekový rozdiel 20 rokov. Pre niekoho, kto uvažuje len o dilatácii času a kontrakcii dĺžky, sa jedná o paradoxnú situáciu. Z pohľadu kozmonauta sa totiž pohybuje voči nemu jeho brat na Zemi (a samozrejme aj Zem), preto starne pomalšie jeho brat na Zemi. Z pohľadu kozmonauta sa pohybuje voči nemu Zem a planéta Z rýchlosťou 0, 866c, preto vzdialenosť medzi týmito planétami bude len (kontrakcia dĺžky) ( v ) 2 l kozmonaut = l Zem-Z 1 17,32 0,5 = 8,66 ly. c Kozmonaut teda dospieva k názoru, že skutočne zostarne počas cesty o 10 rokov. V dôsledku pohybu Zeme (a jeho brata na nej) voči kozmickej lodi rýchlosťou 0, 866c však čas na Zemi plynie dvakrát tak pomaly. Počas 10 ročnej cesty uplynie na Zemi len 5 rokov. Pri ceste k planéte Z i späť je táto situácia rovnaká. Až sa stretnú na kozmodróme, jeho brat na Zemi by mal byť mladší od kozmonauta o 10 rokov. To je skutočne paradoxná situácia. Alebo nie? Ako to vlastne je. Svoju zásadnú úlohu tu hrá znova relatívnosť súčasnosti. Pozrime si Loedelov diagram cesty kozmonauta na planétu Z (obrázok 1.27). Riešenie paradoxu dvojčiat 12 Svetelný rok, označovaný v astronómii ako ly, je vzdialenosť, ktorú svetlo preletí za jeden rok.

20 1. Kapitola t Brat musel dorazi na planétu Z. Kozmonaut dorazil na planétu Z. t' 2420 2420 2410 2415 x' svetoèiara Zeme svetoèiara kozmonauta 2410 2405 2410 2410 2405 x' 2400 2400 Bratia sa lúèia na Zemi. Obrázok 1.27: 1-ho januára 2400 vyráža kozmonaut na planétu Z, zanechávajúc za sebou na Zemi svoje dvojča. Vzdialenosť medzi Zemou a planétou Z je 17,32 ly. Kozmická loď s kozmonautom letí rýchlosťou 0,866c. Hrubé čiary znázorňujú svetočiaru dvojčiat kozmonautova je modrá(ct ), dvojčaťa na Zemi červená (ct). Trhacie kalendáre ukazujú dátum v určitých okamihoch. Vysvetlenie paradoxu umiestníme do ďalekej budúcnosti. Príbeh začína 1-ho januára 2400, keď sa dvojčatá rozlúčia na Zemi a kozmonaut sa vydá na cestu. Každý z nich má svoj vlastný trhací kalendár (na obrázku 1.27 rozlíšený farebne). Vodorovné červené čiary s priestorovou osou x znázorňujú súčasnosť dvojčaťa na Zemi (a tiež na planéte Z, ktorá je v tej istej inerciálnej sústave). Šikmé modré čiary rovnobežné s priestorovou osou x znázorňujú súčasnosť z pohľadu kozmonauta za letu. V okamihu, keď kozmonaut doletí k planéte Z, jeho trhací kalendár ukazuje dátum 1. január 2410 a z jeho pohľadu je na Zemi 1-ho januára 2405. Na planéte Z však ukazuje kalendár dátum 1. január 2420, o čom sa môže presvedčiť, keď z kozmickej lode vystúpi. Nie je to protirečenie. Je to relatívnosť súčasnosti. Udalosť, že dorazil na planétu Z porovnávame s dvomi rôznymi udalosťami, lebo v dôsledku relatívnosti súčasnosti súčasnosť závisí od výberu inerciálnej sústavy (kozmická loď, alebo planéta Z). V prvom prípade je príchod k planéte Z súčasná s udalosťou trhania kalendára na Zemi 1-ho januára 2405, v druhom prípade je súčasná s trhaním kalendára na Zemi 1-ho januára 2420. Kozmonaut vystúpi na planétu a vidí, že je rok 2420. Je to podobné tomu, keď cestujete lietadlom z Bratislavy do Austrálie. Celú dobu sa riadíte vlastnými hodinkami a máte aj svoj vlastný biologický rytmus. Keď dorazíte do Austrálie zistíte, že vaše hodiny ukazujú o

1.7. PARADOXY 21 10 hodín menej, než aký je čas doma. 13 Kozmonaut to berie na vedomie. Jeho dvojča na Zemi v tomto okamihu pozerá na rovnaký list kalendára, ako on na planéte Z. Synchronizácia času verne zrkadľuje tok času v tejto inerciálnej sústave. Keď na planéte Z je rok 2420, je v tom okamihu toľko aj na Zemi. Kozmonaut musel doladiť svoju predstavu o tom, že čo ukazuje bratov kalendár na Zemi, lebo prestúpil z jednej inerciálnej sústavy do druhej (z kozmickej lodi na planétu Z). Musel pripočítať 15 rokov (2405 + 15 = 2420) x Bratia sa znova strétávajú na Zemi t'' t svetoèiara Zeme svetoèiara kozmonauta 2435 2410 2440 2420 2430 2430 2415 2425 2420 Brat musí dnes vyrazi naspä. Kozmonaut vyráa naspä 2420 2410 x'' Obrázok 1.28: Pri ceste späť na Zem je inerciálna sústava kozmickej lode iná, než pri ceste zo Zeme. Stále ju ukazujeme ako modrú sústavu, ale s dvomi čiarkami. Kozmonaut nastúpi na kozmickú loď (ktorá to smeruje k Zemi rýchlosťou 0,866c). V tomto okamihu pre neho prestane byť súčasné to, čo je súčasné pre planéťanov. Pre planéťanov je súčasnosť na Zemi 1. január 2420, pre kozmonauta 1. január 2435. Pri ceste naspäť sa deje to isté. Keď nastúpi na kozmickú loď, tak vidí, že kalendár na planéte ukazuje 1. január 2420. Pre planéťanov je súčasne aj na Zemi rok 2420. Pre kozmonauta už ale nie. Pre neho je súčasné už niečo iné. Je to rok 2435 (znova musí pripočítať 15 rokov, teraz na začiatku cesty; 2420 + 15 = 2435). Počas cesty jeho dvojča na Zemi zostarne o ďalších 5 rokov, takže až sa stretnú, bude mať na kalendári dátum 1. január 2440.

22 1. Kapitola t h 2 t 1 r 2 H r 1 α r 2 r 1 2 x 1 α x Obrázok 1.29: Loedelov diagram 1.7.3 Relativistická hmotnosť a hybnosť V klasickej fyzike poznáme pojem hmotný stred alebo ťažisko. Pre jednoduchosť sa obmedzíme na prípad dvoch hmotných bodov nachádzajúcich sa na jednej priamke, ktorých hmotnosti sú m 1 a m 2. Nech priamka, na ktorej sa nachádzajú, je os x. 14 Hmotný stred je bod definovaný tak, že platí Relativistick m 1 r 1 = m 2 r 2, (1.20) kde od hmotného stredu H je bod 1 vzdialený na vzdialenosť r 1, kým bod dva 2 na vzdialenosť r 2. Hmotný stred H sa nachádza medzi hmotnými bodmi 1 a 2. Táto definícia platí aj vtedy, keď hmotné body 1 a 2 sa pohybujú (v našom prípade len pozdĺž osi x). Vyžaduje to samozrejme, aby vzdialenosti r 1 a r 2 sa merali súčasne. V relativistickej mechanike to má ďalekosiahle dôsledky. Musíme si najprv uvedomiť, že sme stále v inerciálnej sústave a pokiaľ na hmotné body nepôsobia žiadne sily, tak sa pohybujú rovnomerne a priamočiaro, alebo zostávajú v pokoji (to platí aj v špeciálnej teórii relativity). Rovnomerne a priamočiaro sa bude pohybovať aj hmotný stred tejto sústavy. Svetočiary hmotných bodov 1 a 2, ako aj hmotného stredu bude v Loedelovych diagramoch priamka. Uvažujme o dvojici hmotných bodov, ktoré sa vzájomne pohybujú rýchlosťou v predpokladajme napríklad, že sa od seba vzďaľujú. 13 Samozrejme ani toto prirovnanie nie je presné, ale dobre demonštruje skutočnosť, čo urobí kozmonaut. 14 Tento predpoklad skutočne nijakým spôsobom neobmedzuje všeobecnú platnosť toho, čo si v nasledujúcom povieme.

1.7. PARADOXY 23 Z Loedelovho diagramu na obrzáku 1.30 vidíme, že vďaka relatívnosti súčasnosti je v nečiarkovanej (červenej) a v čiarkovanej sústave pomer vzdialenosti hmotných bodov 1 a 2 od hmotného stredu v inom pomere r 1 r 2 r 1 r 2 V nečiarkovanej sústave je hmotný bod v pokoji, kým hmotný bod sa pohybuje rýchlosťou v. V čiarkovanej je tomu naopak. Z toho, že pomer vzdialeností od hmotného bodu H sa nerovná (pričom podľa definície sa musí) vyplýva, že hmotnosti závisia od rýchlosti. Vyjadríme to nasledujúcim označením m 1 = m 1 (0), m 1 = m 1 (v) m 2 = m 2 (0), m 2 = m 2 (v). Vyjdime teraz znova z definície hmotného stredu, podľa ktorého musí platiť (podľa princípu relativity v každej inerciálnej sústave) V našom novom označení alebo čo je to isté m 1 r 1 = m 2 r 2 a m 1r 1 = m 2r 2, m 1 (0)r 1 = m 2 (v)r 2 a m 1 (v)r 1 = m 2 (0)r 2, m 1 (0)r 1 m 2 (v)r 2 = 1 = m 1(v)r 1 m 2 (0)r 2 (1.21) Z podobnosti pravouhlých trojuholníkov 1H1 a 2 H2 však vyplýva, že r 1 = r 2 r 1 r 2 = cos α. Usporiadajme teraz veličiny v rovnosti (1.21) tak, aby sme hmotnosti mali na ľavej strane a vzdialenosti na pravej. Dostaneme m 1 (v) m 1 (0) m 2 (v) m 2 (0) = r 1 r 1 r 2 = 1 r 2 cos 2 α = 1 1 v2 c 2 Hmotnosť m(v) telesa pohybujúceho sa rýchlosťou v je zrejme úmerná jej hmotnosti m(0) v pokoji, teda musí platiť všeobecne m(v) = m(0)f(v), kde f(v) je nejaká funkcia, ktorá od pokojovej hmotnosti telies nezávisí, je rovnaká pre každé teleso. Potom m 1 (v) m 1 (0) m 2 (v) m 2 (0) = f2 (v) = 1 1 v2 c 2,

24 1. Kapitola t = t 1 m 2 (0) h t = t 2 t t r 2 = v 2 t 2 m 1 (0) H m 2 (v) r 1 = v 1 t 1 α r 2 = v 2 t 2 r 1 = v 1 t 1 x m 1 (v) α x Obrázok 1.30: Hmotné body 1 a 2 boli v okamihu t = t = 0. v začiatku sústavy. V nečiarkovanej sústave sa vzdialia do pozície, ako ukazuje obrázok sa čas t = t 1. V čiarkovanej sústave zase za čas t = t 2. Z definície hmotného stredu a hybnosti je zrejmé, že v každej sústave je súčet hybností vzhľadom na hmotný stred nulový. čím sme obdržali jednu z významných predpovedí špeciálnej teórie relativity. Zapamätaj si: Hmotnosť telesa závisí od rýchlosti m = m 0 1 v2 c 2, (1.22) kde m 0 je hmotnosť telesa v pokoji a m hmotnosť telesa, ktoré sa pohybuje rýchlosťou v. Hmotnosť m sa nazýva tiež relativistická hmotnosť. Tento vzťah platí aj vtedy, pokiaľ pohyb hmotného bodu nie je priamočiary, alebo nie je rovnomerný. Hybnosť Hybnosť je úzko spojená s hmotným stredom. Súčet hybností hmotných bodov je voči hmotnému stredu nulový. Hybnosť p je vektorová veličina. V špeciálnej teórii relativity je definovaná ako p = m v, kde m je relativistická hmotnosť, teda rastie rýchlosťou. Z Loedelovho diagramu na obrázku vidieť, že skutočne je súčet hybností vzhľadom

1.7. PARADOXY 25 na hmotný stred H nulový, lebo m 1 r 1 = m 1 v 1 t 1 = p 1 t 1, m 2 r 2 = m 2 v 2 t 1 = p 2 t 1, z čoho dostaneme p 1 t 1 + p 2 t 1 = 0 teda p 1 + p 2 = 0. Obdobne to platí aj pre čiarkované veličiny. (Nezabudnime, že vectory r 1 a r 2 sú vzájomne opačne orientované. Vo vektorovom zápise znie definícia hmotného stredu m 1 r 1 + m 2 r 2 = 0.) Newtonov pohybový zákon, ktorý v klasickej fyzike môžeme písať dvomi rovnocennými formami ako Pohybový zákon F = m a alebo F = d p dt. V špeciálnej teórii relativity je správna tá forma, ktorú uvádzal pôvodne aj Newton (impulzová veta) F = d p dt. (1.23) Zoberme ako príklad rovnomerný pohyb hmotnéhobodu po kružnici. V tomto prípade je veľkosť v rýchlosti v konštanta a preto je konštantná aj hmotnosť hmotného bodu pohybujúceho sa po kružnici rýchlosťou v. Odstredivá sila je Odstredivá sila F od = d p dt = d( m(v) ) v dt = m(v) d v dt. Veľkosť F od odstredivej sily bude preto mať rovnaký tvar, ako v prípade klasickej fyziky F od = m v2 r, kde r je polomer trajektórie kružnice, po ktorej sa hmotný bod pohybuje. Jediný rozdiel je v tom, že v relativistickom prípade je m = m(v), tj. hmotnosť je relativistická hmotnosť. 1.7.4 Ekvivalencia energie a hmotnosti Einsteinov slávny vzorec pre ekvivalenciu energie a hmotnosti je E = mc 2 E = mc 2, kde E je energia (zmena energie) telesa hmotnosti m (o hmonosť m) a c = 3 10 8 m/s je rýchlosť svetla vo vákuu. Hovorí o Einsteinovej mimoriadnej intuícii. Einstein prehlásil, že tento vzorec platí úplne Pohybová energia univerzálne, pre všetky formy energie. Bolo to v dobe, keď jadrové

26 1. Kapitola sily ešte neboli známe. Táto formula obstála zatiaľ v každej skúške, preto by sme jej význam mali vysvetliť dôkladne. Pohybová energia je veľkosť práce, ktorú musíme telesu v pokoji dodať, aby sme ho donútili pohybovať sa rýchlosťou v. Pokiaľ teleso v pokoji má hmotnosť m 0 = 1 kg, potom pri rýchlosti 3 m/s bude mať relativistickú hmotnosť m = 1 1 kg ( 3 m/s 3 10 8 m/s ) 2 = 1 1 10 16 (1 + 0,5 10 16 ) kg. (Tu sme využili približnú formulu 1/ 1 x 1+ 1 2 x, ktorá platí pre x, ktorej hodnota je blízka nule či už je kladná alebo záporná.) Hmotnosť telesa sa teda zvýšila o 0,5 10 16 kg. Princíp ekvivalencie hmotnosti a energie hovorí, že hmotnosť telesa sa zvýšila preto, lebo má väčšiu energiu. Tento nárast energie E sa rovná E = 0,5 10 16 kg (3 10 8 m/s) 2 = 4,5 J. Hmotnosť telesa sa zvýšila, lebo sme ho dostali do pohybu. Zvýšila sa aj jej energia (úmerne hmotnosti) a nakoľko je dôsledkom pohybu, nazývame ju pohybovou alebo kinetickou energiou. Tento výsledok je v úplnom súlade s klasickým výsledkom E kin = 1 2 m 0v 2 = 0,5 9 = 4,5 J. Dávajú oba spôsoby výpočtu výsledky, ktoré sa líšia len veľmi málo. Pre veľké rýchlostio však dáva správne výsledky prvý (relativistický) spôsob výpočtu pomocou relativistického nárastu hmotnosti. Ak ste zohriali 1 liter vody z 10 C na 11 C, dodali ste vode 4,2 kj energie. Podľa princípu ekvivalencie energie a hmotnosti ste zvýšili hmotnosť vody o m = 4,2 103 (3 10 8 ) 2 = 4,67 10 14 kg. Nie je to len hra so slovami. Nehovoríme dodaním energie ako by ste zvýšili hmotnosť telesa. Skutočnosť je taká, že dodaním energie sa skutočne zvýši hmotnosť telesa. Vypočítané zvýšenie hmotnosti vody 4,67 10 14 kg zodpovedá hmotnosti 1,56 10 12 molekúl vody. Zohriatím vody sa samozrejme nezvýšil počet molekúl vody (ten zostáva nepozmenený). Zvýši sa hmotnosť jednotlivých molekúl vody, ktoré sa pohybujú v dôsledku zvýšenej teplote rýchlejšie. V tomto prípade sme previedli teplotu na pohyb a jasne vidíme, že zvýšenie rýchlosti teploty vedie k zvýšeniu hmotnosti v dôsledku rýchlejšieho pohybu molekúl.

1.7. PARADOXY 27 E kin m 0 c 2 E kin = mc 2 m 0 c 2 E kin = 1 2 mv2 Obrázok 1.31: Klasický spôsob výpočtu kinetickej energie podľa vzťahu 1 2 m 0v 2 sa pre malé rýchlosti veľmi dobre zhoduje s relativistickým spôsobom výpočtu mc 2 m 0 c 2. Do rýchlosti 0,4c rozdiel nie je nijak významný, ako to vidieť aj na grafe. Na vodorovnú os sme vynášali rýchlosť (v jednotkách rýchlosti svetla, tj. β = v/c), kým zvislá os je kinetická energia v jednotkách pokojovej energie telesa. β Tento princíp ekvivalencie energie a hmotnosti však v iných prípadoch môže byť prekvapivá. Ak stlačíte pružinu, tak stlačená pružina má väčšiu hmotnosť, než nezdeformovaná pružina. Nárast hmotnosti je úmerný veľkosti práce dodanej na deformáciu pružiny. Táto práca zostáva nahromadená v pružine po dobu deformácie. Zmena energie a hmotnosti môže byť aj záporná. Neporušená keramická šálka má menšiu hmotnosť, než šálka s ulomeným uchom. Hmotnosť je menšia úmerne práci, ktorú budeme musieť vykonať k ulomeniu ucha šálky. Prácu konáme na prekonanie väzbovej energie, ktorá drží pohromade šálku a ucho šálky. Väzbová energia je vlastne záporná energia, energia ktorá chýba k tomu, aby šálka a ucho mohli byť oddelene od seba. Tento princíp ekvivalencie je prítomný všade: v biológii, v chémii, v mechanike, v jadrovej fyzike i v astronómii. Príklady by sme mohli uviesť ďalšie a ďalšie. V každodennom živote je pozorovateľnosť zmeny hmotnosti veľmi obtiažna, lebo zmeny sú mimoriadne malé. Pri výbuchu jadrovej bomby v Hiroshime sa hmotnosť atómovej bomby zmenila o jeden jediný gram!

28 1. Kapitola Zapamätaj si: Akákoľvek zmena energie systému spôsobuje zmenu jej hmotnosti podľa Einsteinovho vzťahu E = mc 2. Zmena hmotnosti môže byť aj záporná. Energiu, ktorú predstavuje hmotnosť telesa v pokoji m 0 nazývame pokojovou energiou. 1.7.5 Energia a hybnosť Videli sme, že čas a priestor tvoria jeden celok tak, že ( s) 2 = (c t) 2 ( x) 2 je pre každého pozorovateľa rovnaká. Rovnakým spôsobom tvoria jednotu energia a hybnosť. Hodnota E 2 (pc) 2 = (m 0 c 2 ) 2 (1.24) je pre každého pozorovateľa rovnaká. Tu je E celková energia a p je hybnosť telesa, kým m 0 je jeho pokojová hmotnosť. pokojová hmotnosť je len jediná, preto je logické, že E 2 (pc) 2 = (m 0 c 2 ) 2 = E 2 (p c) 2, ľavá a pravá strana rovnice vyjadruje energiu a hybnosť pre dvoch rôznych pozorovateľov. Ak priestor a čas dvoch pozorovateľov spája konkrétna Lorentzova transformácia, potom tá istá transformácia spája aj energiu a hybnosť telesa, ktorú spoločne pozorujú. Inými slovami, energia a hybnosť sa dá znázorniť v Loedelových diagramoch. Trik je rovnaký, ako v prípade časových a priestorových súradníc. Pre jednoduchosť predpokladajme, že teleso sa pohybuje pozdĺž osi x, pozdĺž ktorej sa pohybujú aj pozorovatelia (ostatné zložky hybnosti sa v tomto prípade nemenia, ako sa nemenili ani súradnice y a z). Platí potom E 2 + (p c) 2 = E 2 + (pc) 2 (1.25) a Loedelov diagram zkonštrujeme tak, ako to ukazuje obrázok. Aj v tomto prípade je uhol α určený rovnicou sin α = v c.