DRUXTVO MATEMATIQARA SRBIJE MATEMATIQKA TAKMIQEǋA SREDǋOXKOLACA 2014/2015

DRUXTVO MATEMATIQARA SRBIJE MATEMATIQKA TAKMIQEǋA SREDǋOXKOLACA 014/015 Zajeqar, 015

Organizacioni odbor 57. Drжavnog takmiqeǌa iz matematike 1. Prof. dr Aleksandar Lipkovski, predsednik DMS. Dr Bojan Baxi, PMF, Novi Sad, predsednik Drжavne komisije 3. Srđan Stanojevi, direktor Gimnazije u Zajeqaru 4. Srđan Miliji, profesor Gimnazije u Zajeqaru 5. Nataxa Stanojevi, profesor Gimnazije u Zajeqaru 6. Dragana Sekuli, profesor Gimnazije u Zajeqaru 7. Ana Paxali, profesor Gimnazije u Zajeqaru 8. Danijela Mitov, profesor Gimnazije u Zajeqaru 9. Жivka Milenovi, profesor Gimnazije u Zajeqaru 10. Жeǉko Antijevi, profesor Gimnazije u Zajeqaru 11. Vesna Petrovi, profesor Gimnazije u Zajeqaru 1. Biǉana Simonovi, profesor Gimnazije u Zajeqaru 13. Violeta Simi, profesor Gimnazije u Zajeqaru 14. Sandra Nikoli, profesor Gimnazije u Zajeqaru 15. ǈiǉana Glavoni, profesor u penziji Organizaciju takmiqeǌa pomogli 1. PZP,,Zajeqar a. d. Strabag. Centar za kulturu i turizam,,cekit, Zajeqar 3. Pozorixte,,Zoran Radmilovi, Zajeqar 4. Medicinska xkola, Zajeqar 5. Ekonomsko-trgovinska xkola, Zajeqar 6. TF KABLE Fabrika kablova, Zajeqar 7. Dom uqenika, Zajeqar Redakcija i obrada: dr Bojan Baxi

1 Zajeqar kroz istoriju Zajeqar se kao naseǉe u istorijskim izvorima pomiǌe jox davne 1466. godine. U turskim tefterima zabeleeno je kao selo sa osam porodica i,,dva neoжeǌena. Narodna tradicija kazuje da je prvo naseǉe bilo preko Crnog Timoka, u podnoжju Belog brega. Zajeqar je tada pripadao Vidinskoj nahiji. Podaci o Zajeqaru se mogu prona i u turskim i austrijskim izvorima. Znaqajan trenutak za razvoj Zajeqara je oslobađaǌe od turske vlasti i prikǉuqeǌe Kneжevini Srbiji. Civilna i upravna vlast je uspostavǉena 1833. godine. Nakon toga usledilo je osnivaǌe vaжnih varoxkih institucija, tako da je Zajeqar iste godine dobio i prvu osnovnu xkolu, poxtansku ustanovu sa menzulom,,,kasapno mesto i,,opxtinski kantar. Naredne godine Zajeqar je postao i sedixte Timoqke eparhije. Pored osnovne xkole 1836. godine dobio je i polugimnaziju. Prikǉuqeǌe Zajeqara Kneжevini Srbiji dalo je mogu nost brжem ekonomskom razvoju. Xezdesetih godina XIX veka, ustanovǉeǌem telegrafske sluжbe i stacioniraǌem vojnih garnizona, zaokruжeno je formiraǌe svih institucija od znaqaja za daǉi privredni, kulturni i druxtveni razvoj. Za potrebe drжavnih organa i ustanova u Zajeqaru pristizao je veliki broj qinovnika i sluжbenika sa strane. U potrazi za xto boǉom zaradom u varox su pristizali strani trgovci, mehan ije, Jevreji, Srbi,,preqani i drugi. Stalni priliv stanovnika doveo je do urbanog razvoja Zajeqara, koji od tipiqnog seoskog naseǉa prerasta u jednu osredǌu varox. Period turske okupacije uticao je na daǉi demografski, privredni i kulturni razvoj ove varoxi. Krajem osamdesetih godina XIX veka, Zajeqar stiqe svoje prve industrijske objekte, banke, rudnike i to zahvaǉuju i ulagaǌu nekolicine zajeqarskih trgovaca. Oni su bili inicijatori mnogih kulturnih i humanitarnih akcija, osnivaqi kulturno-obrazovnih druxtava i udruжeǌa. Privredne, demografske i druxtvene promene odrazile su se i na sam izgled varoxi. Zajeqar, u skladu sa tadaxǌim arhitektonskim promenama, poqela su da krase nova zdaǌa: osnovna xkola, gimnazija, opxtinski sud, esnafski dom, bolnica, artiǉerijska kasarna. Uvođeǌe telefonske veze (1903), elektriqne struje (1909) i жelezniqke pruge uzanog koloseka (191) Zajeqar poqiǌu da vode ka modernizaciji. Balkanski ratovi, Prvi svetski rat i bugarska trogodixǌa okupacija nepovoǉno su uticali na razvoj Zajeqara jer je deo građana

napustio varox, a ve i deo muxke populacije bio je u redovima srpske vojske. Nakon ovih ratnih dexavaǌa i formiraǌa Kraǉevine Srba, Hrvata i Slovenaca, usledila je nova etapa u razvoju Zajeqara. U skladu sa novom administativnom podelom drжave (19), Zajeqar je postao sedixte Timoqke oblasti sa velikim жupanom. Ova administrativna podela bila je na snazi sve do 199. godine, kada je Zajeqar postao sastavni deo Moravske banovine sa sedixtem u Nixu. Nakon Prvog svetskog rata dolazi do oжivǉavaǌa privrede, obnavǉaǌa i otvaraǌa novih radǌi, trgovaqkih i zanatlijskih, ali poqiǌe i razvoj i unapređeǌe mlinarske, pivarske, koжarske, staklarske i tekstilne industrije. Nakon Drugog svetskog rata Zajeqar je i daǉe zadrжao primarno mesto u Timoqkoj Krajini. Gimnazija u Zajeqaru Za razvoj xkolstva u Srbiji od velikog znaqaja je prvi zakon o xkolama, donet 1833. godine, kojim je bilo predviđeno da svaki okrug u Kneжevini Srbiji mora imati po dve xkole o drжavnom troxku, a da svaka opxtina koja ima crkvu mora imati i xkolu. Tada je odobreǌem kǌaza Miloxa u Kragujevcu otvorena Velika xkola, koja je dve godine kasnije prerasla u Gimnaziju, prvu gimnaziju u Kneжevini Srbiji, a 1836. i glavne xkole tj. gimnazije u Xapcu, Qaqku i Zajeqaru. Za direktora svih xkola u Srbiji postavǉen je Petar Radovanovi. Zajeqarska gimnazija osnovana je. avgusta 1836. godine, ali je svoje prve đake primila krajem iste godine. Profesor prvih uqenika zajeqarske xkole bio je Жivojin Kereqki. Zajeqarska gimnazija bila je smextena u zgradi postoje e osnovne xkole. Politiqke prilike u Kneжeveni Srbiji uticale su da kneжevsko namesnixtvo 1839. godine odluqi da se mesto stolovaǌa timoqkog vladike prebaci iz Zajeqara u Negotin, a takođe i zajeqarska glavna xkola sa celokupnim svojim inventarom. Dotadaxǌi zajeqarski đaci svoje xkolovaǌe nastavili su u Negotinu, gde je xkola podignuta na vixi rang qetvororazredne polugimnazije. Knez Milox je odobrio da se episkop Dositej i polugimnazija iz Negotina ponovo premeste u Zajeqar. Direktor obnovǉene gimnazije bio je Stojan Boxkovi, qijim je zalagaǌem Gimnazija dobila xkolsku biblioteku. Boxkovi je vaжio za izuzetno uqenu i uvaжavanu liqnost, ne samo u Zajeqaru ve u qitavoj Srbiji. Xkolske 1878/79. dvorazredna zajeqarska realka je prerasla u niжu qetvororazrednu gimnaziju.

Narodna skupxtina Kraǉevine Srbije na svom XXV zasedaǌu u Nixu, 10. juna 1884. godine, odluqila je da Zajeqar, prvi od svih gradova istoqne Srbije, dobije vixu gimnaziju. Zajeqarska gimnazija svoju novu zgradu dobila je 1893. godine. ǋeni temeǉi su postavǉeni 1891. godine. Zakonom o sredǌim xkolama, jula 1898. godine, određeno je da sredǌe xkole mogu biti potpune, sa osam razreda, i nepotpune, sa qetiri i xest razreda. Zajeqar je uspeo da saquva svoju gimnaziju. Pre ovog događaja, Ukazom od 1. januara 1899. godine, zajeqarska gimnazija je dobila naziv,,gimnazija Dositeja Obradovi a, dok su ostale potpune gimnazije u kraǉevini nosile, uglavnom, imena qlanova dinastije Obrenovi a. Ovaj naziv je ukinut ukazom od 10. aprila 1904. godine, kada joj je vra eno staro ime,,gimnazija u Zajeqaru, a nakon ujediǌeǌa i stvaraǌa Kraǉevine SHS,,,Drжavna realna gimnazija u Zajeqaru. Xkolske 191/1913. godine, nakon opxte mobilizacije, zgrada gimnazije uzeta je za bolnicu i u ǌoj su prestala predavaǌa. Svi nastavnici poqeli su da izvrxavaju vojne zadatke. Izuzetan doprinos u prikupǉaǌu pomo i za bolesne i raǌene dali su i uqenici gimnazije. Veliki rat je zaustavio xkolovaǌe. Opet su se profesori i uqenici odazvali opxtoj mobilizaciji i zajedno sa srpskom vojskom proжiveli golgotu. U izvextaju iz 1918. godine o ratnoj xteti koju je xkola pretrpela nalaze se i podaci da je zgrada jako oxte ena; od namextaja nixta nije ostalo, uqila gotovo da i nema, a biblioteka ne postoji. Sve ovo nije omelo gimnazijalce da, iako u oteжanim uslovima, nastave da stvaraju i rade. Politiqka previraǌa u Kraǉevini Jugoslaviji 1941. godine odrazila su se i na rad zajeqarske gimnazije. Xkolska 1941/194. godina proxla je sa vixe prekida nastavnog procesa. Zbog neredovnih prilika povremeno se radilo po uqeniqkom domovima. U skladu sa reformama koje su pratile xkolstvo pedesetih godina, 1957. usledila je i promena naziva xkole u,,moxa Pijade. Gimnazija je xkolske 1959/1960. godine, odlukom Saveta za prosvetu Narodnog odbora Sreza, prebaqena iz svoje matiqne zgrade u adaptiranu zgradu oblasnog odbora. Qetiri godine kasnije, gimnazija dobija svoju novosagrađenu zgradu u okviru sredǌoxkolskog centra, gde se i danas nalazi. Poqetkom 1990. godine izvrxena je ponovna korekcija zakonskih propisa u obrazovaǌu, koja vra a gimnazije kao tip xkole. Xkola je svoju delatnost upisala u sudski registar kod Okruжnog privrednog 3

4 suda u Zajeqaru pod imenom Gimnazija u Zajeqaru. Gimnazija danas ima tri smera prirodno-matematiqki, druxtveno- -jeziqki i informatiqki i ukupno 16 odeǉeǌa. Uqenici Gimnazije u posledǌih deset godina osvojili su vixe od 40 nagrada na drжavnom i međunarodnom nivou. Najboǉi maturanti novqano se nagrađuju iz Fonda majora Colovi a, nekadaxǌeg đaka zajeqarske Gimnazije, na dan Svetog Save. U xkoli uspexno radi aqki parlament, koji organizuje akcije posve ene mladima i pripada Uniji đaqkih parlamenata. Xkola sarađuje sa razliqitim deqjim organizacijama, tako da su deca boravila u Xvajcarskoj, Americi, Norvexkoj, Nemaqkoj, Austriji i Francuskoj. U okviru vaspitno-obrazovne funkcije xkole organizuju se ekskurzije za uqenike u Grqkoj, Italiji, Qexkoj itd. Gimnazija u Zajeqaru je jedna od xkola u Srbiji koja je prexla na uqeǌe francuskog jezika pomo u francuskih nastavnih metoda. Takođe, uveden je i nov naqin uqeǌa engleskog jezika po engleskim metodama. Kao drugi strani jezik, pored francuskog, uqenici Gimnazije mogu da uqe nemaqki, ruski i xpanski jezik. Xkola aktivno sarađuje sa Istraжivaqkom stanicom u Petnici i Centrom za talente u Boru. Biblioteka xkole ima preko 5000 kǌiga. Kroz zajeqarsku Gimnaziju proxli su mnogi đaci. Mnogi od ǌih su postali uqeni i poznati ǉudi koji su prevazixli svoje uqiteǉe: Nikola Paxi, Adam Bogosavǉevi, Jovan Atanackovi, Stevan Stojanovi Mokraǌac, orđe Genqi, Petar Жivkovi, Milan Gavrilovi, Branko Lazarevi, Zoran Radmilovi i mnogi drugi.

5 DRЖAVNA KOMISIJA za takmiqeǌa iz matematike uqenika sredǌih xkola, xkolska godina 014/015. 1. Balti mr Vladimir, Matematiqka gimnazija, Beograd. Baxi dr Bojan, PMF, Novi Sad predsednik komisije 3. Boжin dr Vladimir, Matematiqki fakultet, Beograd 4. Dugoxija dr orđe, Matematiqki fakultet, Beograd 5. iki Marko, PMF, Nix 6. uki Duxan, Maxinski fakultet, Beograd 7. Ili dr Aleksandar, PMF, Nix 8. Kneжevi dr Miǉan, Matematiqki fakultet, Beograd 9. Luki dr Milivoje, Rajs, SAD 10. Marinkovi Rastko, Kǌaжevaqka gimnazija, Kǌaжevac 11. Markovi dr Petar, PMF, Novi Sad 1. Mati dr Ivan, Djuk, SAD 13. Milosavǉevi Milox, Gimnazija,,Svetozar Markovi, Nix 14. Pejqev dr Aleksandar, Maxinski fakultet, Beograd 15. Petkovi dr Marko, PMF, Nix 16. Petrovi dr Nikola, Institut za fiziku, Beograd 17. Radovanovi Marko, Matematiqki fakultet, Beograd 18. Seniqi mr Aleksandar, Gimnazija, Kraǉevo 19. Stojakovi dr Milox, PMF, Novi Sad 0. Tomi Ivanka, Gimnazija, Vaǉevo Prevod na mađarski jezik: 1. Pei dr Hajnalka, Građevinski fakultet, Subotica

6 OPXTINSKO TAKMIQEǋE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDǋIH XKOLA, 13. 1. 014. Prvi razred A kategorija 1. Dokazati da ne postoje celi brojevi m i n takvi da vaжi (m + n + ) = 3(mn + 1).. a) Neka je uređena qetvorka (x, y, z, w) rexeǌe jednaqine x + y + z + w = xyzw. Dokazati da je i (yzw x, y, z, w) takođe rexeǌe iste te jednaqine. b) Dokazati da jednaqina x + y + z + w = xyzw ima beskonaqno mnogo rexeǌa u skupu prirodnih brojeva. 3. U ravni je nacrtano nekoliko pravih. Prava a seqe taqno tri od ostalih pravih, a prava b seqe taqno qetiri od ostalih pravih. Prava c seqe taqno n od ostalih pravih, pri qemu je n 3 i n 4. Koliko je pravih nacrtano u ravni? 4. U konveksnom xestouglu ABCDEF vaжi AB F C DE, BC AD EF i CD BE. Dokazati da vaжi i BE F A. 5. Za okruglim stolom sedi 014 ǉudi. Svako od ǌih ili uvek govori istinu, ili uvek laжe. Svako od ǉudi za stolom rekao je slede u reqenicu:,,ne razmatraju i mene i moje prve susede s leve i desne strane, svi ostali ǉudi za ovim stolom uvek laжu. Koliko ima ǉudi za stolom koji uvek govore istinu? Drugi razred A kategorija 1. Rexiti jednaqinu x +È3 + x = 3.. Dokazati da broj qiji se dekadni zapis sastoji samo od nula i dvojki ne moжe biti potpun kvadrat. 3. Na preqniku AB kruжnice k nalazi se taqka C. Neka su P i Q taqke na kruжnici k sa iste strane preqnika AB takve da je P CA = QCB.

7 Neka su O 1 i O centri opisanih kruжnica za P CA i QCB, respektivno. Dokazati: O 1 O AB. 4. Neka su x i y realni brojevi. Ako su x y, x 3 y 3 i x 4 y 4 racionalni brojevi razliqiti od nule, da li tada i broj x y mora biti racionalan? 5. U jednom selu, n oqajnih doma ica istovremeno su saznale ukupno n razliqitih traqeva, pri qemu je svaka saznala taqno po jedan traq. Zatim je usledio niz telefonskih razgovora, pri qemu u svakom razgovoru uqestvuju taqno dve doma ice, i one tom prilikom međusobno razmene sve traqeve koje su qule do momenta zapoqiǌaǌa razgovora. Koliko je minimalno potrebno telefonskih razgovora da bi svaka od n doma ica saznala svih n traqeva? Tre i razred A kategorija 1. Neka je A = {1,,..., n}. Funkcija g : A A zadata je na slede i naqin: g(x) = x + 1, za x < n; 1, inaqe. Koliko ima funkcija f : A A takvih da za sve x A vaжi f(f(x)) = g(x)?. U oxtrougli ABC upisani su kvadrati P 1 Q 1 R 1 S 1, P Q R S i P 3 Q 3 R 3 S 3 na slede i naqin: taqke P 1 i Q 1 leжe na duжi BC, taqka R 1 na CA i taqka S 1 na AB; taqke P i Q leжe na duжi CA, taqka R na AB i taqka S na BC; taqke P 3 i Q 3 leжe na duжi AB, taqka R 3 na BC i taqka S 3 na CA. Neka je M 1 sredixte duжi P 1 Q 1, M sredixte duжi P Q i M 3 sredixte duжi P 3 Q 3. Dokazati da se prave AM 1, BM i CM 3 seku u jednoj taqki. 3. Odrediti najve i prirodan broj n koji ima osobinu da je deǉiv svim prirodnim brojevima koji nisu ve i od 3 n. 4. Neka je dat trougao qije su duжine stranica tri uzastopna prirodna broja i najve i ugao je dva puta ve i od najmaǌeg. Dokazati da je takav trougao jedinstven. 5. Koliko ima puteva između taqaka P i Q najkra e mogu e duжine, pri qemu je dozvoǉeno kretati se iskǉuqivo duж stranica kvadratne mreжe na crteжu?

8 P Q Qetvrti razred A kategorija 1. Dat je prirodan broj n. Neka su x 1 x x n 0 realni brojevi koji zadovoǉavaju jednakosti i x 1 + x + + x n = 1 x 1 + x + + x n = x 1. Odrediti sve mogu e vrednosti broja x 1.. Na i maksimalan proizvod prirodnih brojeva qiji je zbir jednak 013. 3. U kvadrat ABCD upisana je kruжnica k. Za svaku taqku T kruжnice k, neka su α T i β T uglovi pod kojima se vide dijagonale AC i BD kvadrata. Dokazati da za svako T k vaжi tg α T + tg β T = 8. 4. Neka je a 0 proizvoǉna cifra. Za n N 0, neka a n+1 predstavǉa cifru jedinica broja 0 a 0 + 1 a 1 + + n a n. Dokazati da je niz (a n ) n=0 periodiqan poqev od nekog qlana. 5. Merlin, pomo nik kraǉa Artura, ustanovio je da postoji 013 vitezova okruglog stola, i da pritom svaki od ǌih ima taqno dva neprijateǉa među ostalim vitezovima. Merlin je daǉe utvrdio da svi vitezovi mogu sesti za okrugli sto na takav naqin da između svaka dva neprijateǉa sede taqno 18 druga viteza. Znaju i da je mogu ovakav raspored za okruglim stolom, odrediti na koliko naqina moжe biti odabrana grupa vitezova (grupu qini bar 1 vitez) u kojoj nikoja dva viteza nisu u neprijateǉskim odnosima.

9 Prvi razred B kategorija 1. Odrediti najve i prirodan broj n takav da broj 5! + 6! bude deǉiv brojem 3 n.. Koliko ima puteva između taqaka P i Q najkra e mogu e duжine, pri qemu je dozvoǉeno kretati se iskǉuqivo duж stranica kvadratne mreжe na crteжu? Q P 3. Na ostrvu жive samo dva tipa ǉudi: vitezovi (koji uvek govore istinu) i podlaci (koji uvek laжu). Turista je sreo dva qoveka koji жive na ostrvu i pitao vixeg od ǌih da li su oni obojica vitezovi. On mu je odgovorio, ali na osnovu tog odgovora turista nije mogao da zakǉuqi ko su oni. Zato je pitao niжeg da li je vixi vitez. Nakon ǌegovog odgovora turista je znao za svakog od ǌih dvojice kom tipu ǉudi pripada. Kom tipu pripadaju ǉudi koje je turista sreo? 4. Ispitati da li je formula tautologija. ( r (p q)) (p q r) 5. Zlatar ima qetiri mala lanqi a kao xto je to ilustrovano na slici: (Dakle, lanqi i su sastavǉeni od 5, 4, 4 i 3 alki.) ǋegovi troxkovi su 1 $ da raskine bilo koju alku sa ovih lanqi a i $ da sastavi opet istu alku. Koliki su ǌegovi minimalni troxkovi u $ ako жeli da pomo u ovih alki napravi zatvoren lanqi?

10 Drugi razred B kategorija 1. U pravouglom trapezu ABCD, s pravim uglovima u temenima A i D, duжine osnovica su AB = a i CD = b, pri qemu je a > b. Poznato je da kruжnica s preqnikom AD dodiruje krak BC. Izraqunati povrxinu trapeza ABCD (odgovor dati u zavisnosti od vrednosti a i b).. Pera i Mika igraju slede u igru. Oni dodeǉuju vrednosti koeficijentima a, b i c u jednaqini ax + bx + c = 0. Pera igra prvi i upisuje proizvoǉan realan broj umesto nekog od koeficijenata. Zatim Mika upisuje proizvoǉne brojeve umesto preostala dva koeficijenta, uz uslov da sva tri upisana broja moraju biti međusobno razliqita. Mika pobeđuje ako tako dobijena jednaqina ima taqno jedno realno rexeǌe, a Pera pobeđuje u svim ostalim sluqajevima. Ko od ǌih dvojice ima pobedniqku strategiju? 3. Dokazati da postoji prirodan broj koji poqiǌe sa 134567890 i koji je deǉiv sa 013. 4. Neka su x, y i z realni brojevi takvi da su xy, yz i zx racionalni brojevi razliqiti od nule. Dokazati: a) broj x + y + z je racionalan; b) ako je x 3 + y 3 + z 3 racionalan broj razliqit od nule, onda su x, y i z racionalni brojevi. 5. Koliko ima qetvorocifrenih brojeva koji se zapisuju pomo u cifara 1, i 3, ali tako da se nijedna cifra ne pojavǉuje vixe od dva puta u zapisu broja? Tre i razred B kategorija 1. U skupu realnih brojeva rexiti jednaqinu sin 8 x + cos 8 x = 17 3.. Poǉa table formata (m+1) (n+1) obojena su sa boje na proizvoǉan naqin. Poǉe te table nazivamo kraǉevskim ako među svim poǉima u ǌegovoj vrsti ima vixe onih koja su obojena ǌegovom bojom naspram onih koja su obojena suprotnom bojom. Poǉe te table nazivamo carskim

11 ako među svim poǉima u ǌegovoj koloni ima vixe onih koja su obojena ǌegovom bojom naspram onih koja su obojena suprotnom bojom. Dokazati da postoji bar m + n + 1 poǉa koja su istovremeno kraǉevska i carska. 3. Odrediti sve dvocifrene brojeve deǉive proizvodom svojih cifara. 4. Duжa osnovica jednakokrakog trapeza je a, a oxtar ugao α. Dijagonala trapeza normalna je na krak. Trapez rotira oko duжe osnovice. Na i zapreminu dobijenog tela. 5. Deqak ponedeǉkom i utorkom govori istinu, subotom uvek laжe, dok ostalim danima u nedeǉi govori istinu ili laжe nasumiqno. Sedam uzastopnih dana ponavǉano mu je pitaǌe:,,kako se zovex? Prvih xest dana davao je redom slede e odgovore:,,ivan,,,marko,,,dragan,,,toma,,,petar,,,toma. Koji odgovor je dao sedmog dana? Qetvrti razred B kategorija 1. U skupu realnih brojeva rexiti jednaqinu 4 x + 4 4 x =.. Dokazati da za svaki prirodan broj n > 1 vaжi nejednakost! 4! (n)! > ((n + 1)!) n. 3. Odrediti kompleksne brojeve z i z 3 tako da je Oz 1 z z 3 romb sa oxtrim uglom kod temena O (koordinatni poqetak) jednakim 45, pri qemu je z 1 = + i. 4. Dokazati da za x (0, π ) vaжi tg x > x + x3 3. 5. Da li među svim xestocifrenim brojevima ima vixe onih koji se mogu predstaviti kao proizvod neka dva trocifrena broja, ili vixe onih koji se ne mogu tako predstaviti?

1 OKRUЖNO TAKMIQEǋE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDǋIH XKOLA, 31. 1. 015. Prvi razred A kategorija 1. Na tabli je zapisan pozitivan realan broj x. U jednom koraku dozvoǉeno je uraditi slede e: ukoliko je na tabli ve zapisan broj a, dozvol jeno je dopisati neki od brojeva a + 1 ili 1 a, ili, ukoliko su na tabli ve zapisani brojevi a i b za koje vaжi a > b, tada je dozvoǉeno dopisati neki od brojeva a + b ili a b. Dokazati da je posle konaqno mnogo koraka mogu e dobiti na tabli broj x.. Neka je P (n) proizvod svih cifara prirodnog broja n. Na i sve prirodne brojeve n za koje vaжi n = P (n) + 18. 3. Neka su a i b prirodni brojevi. Dokazati da prirodni brojevi c i d takvi da vaжi a + b + c = d postoje ako i samo ako je bar jedan od brojeva a i b paran. 4. Kruжnice k 1 i k seku se u taqkama P i Q, pri qemu kruжnica k 1 prolazi kroz centar kruжnice k. Razliqite taqke A i B leжe na delu kruжnice k 1 koji je unutar k i pritom su jednako udaǉene od centra kruжnice k. Ako prava P A seqe k u taqki D P, dokazati da tada vaжi AD = P B. 5. U bioskopsku salu koja ima 015 mesta uxlo je 014 posetilaca, među kojima je i Mika. Svi ovi posetioci seli su na proizvoǉna mesta, ne obaziru i se na to koje mesto im je nameǌeno prema karti. Na pola filma u salu ulazi 015. posetilac. On жeli da sedne bax na svoje mesto prema karti, i ukoliko je ono zauzeto, podi i e s tog mesta gledaoca koji tu sedi. Podignuti gledalac potom gleda koje je ǌegovo sedixte, i ako je ono zauzeto, i on e podi i gledaoca koji sedi na ǌegovom mestu. Ovakav postupak se nastavǉa sve dok ne bude podignut gledalac kome je prema karti dodeǉeno mesto koje je slobodno (i on e tada sesti na to mesto). Neka je a broj onih poqetnih rasporeda za koje e tokom qitavog ovog komexaǌa i Mika u nekom momentu biti podignut, a b broj preostalih poqetnih rasporeda. Koji od slede a tri odnosa vaжi: a > b, a = b ili a < b?

13 1. Rexiti sistem jednaqina: Drugi razred A kategorija uv = 3u v + 1; vw = 3v w + 1; wu = 3w u + 1.. Pred Rajom Ratkom na tabli stoji zapisan prirodan broj u kome su sunđerom obrisane dve cifre između kojih se nalazi paran broj (poznatih) cifara. Raja zna ostatke polaznog broja pri deǉeǌu sa 9 i sa 11 i pokuxava da otkrije dve obrisane cifre. Ispostavilo se da Raja nije u mogu nosti da otkrije cifre koje nedostaju, tj. postoji vixe uređenih parova cifara (x, y) takvih da se, za svaki takav uređen par, upisivaǌem cifara iz tog uređenog para na mesto obrisanih cifara dobija broj koji pri deǉeǌu sa 9 i sa 11 daje upravo one ostatke koji su poznati Raji. Odrediti između kojih mogu nosti za uređen par (x, y) Raja Ratak ne moжe da se opredeli. 3. U ABC vaжi BAC = 45 i CBA = 15. Na produжetku stranice AC preko taqke C uoqena je taqka M takva da vaжi CM = AC. Odrediti AM B. 4. Dat je ABC u kom vaжi C = 90. Neka je P taqka na kra em luku AC kruжnice opisane oko ABC. Normala iz taqke C na pravu CP seqe prave AP i BP u taqkama K i L, redom. Dokazati da odnos povrxina BKL i ACP ne zavisi od izbora taqke P. 5. Neka je uoqen prirodan broj n deǉiv sa 8. Posmatrajmo sve podskupove skupa {1,,..., n} qija je kardinalnost deǉiva sa 4 ili daje ostatak 1 pri deǉeǌu sa 4. Neka je broj takvih podskupova jednak m. Pokazati da m u binarnom zapisu sadrжi taqno dve cifre 1. Tre i razred A kategorija 1. Neka je p 3 prost broj. Dokazati: p p p + 1 + ((p 3)!) 1+(p 1)!.

14. Odrediti sve vrednosti parametra c za koje sistem jednaqina: x yz = 1; y zx = ; z xy = c ima rexeǌe u skupu nenegativnih realnih brojeva. 3. U konveksnom qetvorouglu duжine svih stranica i dijagonala su racionalni brojevi. Da li tada i duжine odseqaka dijagonala na koje ih deli ǌihova preseqna taqka moraju biti racionalni brojevi? 4. Na tabli je na poqetku zapisan broj 1. U n-tom koraku sprovodi se slede i postupak: svaki broj na tabli se obrixe i umesto ǌega se zapixe niz brojeva, i to tako xto se, ukoliko je obrisan broj i, umesto ǌega napixe niz 1,,..., i 1 (specijalno, ukoliko je obrisan broj 1, umesto ǌega se u ovom momentu ne upisuje nixta); potom se dodatno na tablu dopixe broj n + 1. Odrediti koliko e brojeva biti na tabli nakon 015 ovakvih koraka. 5. U konveksnom qetvorouglu ABCD poznati su uglovi: BCA = 40, BAC = 50, BDA = 0 i BDC = 5. Odrediti ugao koji zaklapaju dijagonale tog qetvorougla. 1. Na i skup vrednosti izraza uz ograniqeǌa x, y, z > 0 i xyz = 1. Qetvrti razred A kategorija xy + xz + yz x + y + z. Na i sve brojeve sa 31 01 015 cifara takvih da se izmenom ma koje cifre uvek dobija broj koji nije deǉiv sa 11. 3. Na beskonaqno velikoj tabli zapisani su svi prirodni brojevi, svaki taqno po jedanput. U jednom koraku dozvoǉeno je izbrisati konaqno mnogo brojeva s table, recimo a 1, a,..., a n, i umesto ǌih napisati ili broj a 1 + a + + a n, ili broj 1 1 a 1 + 1 a + + 1. a n

15 Dokazati da je za ma koji pozitivan racionalan broj q mogu e nakon konaqnog broja opisanih koraka dobiti na tabli broj q. 4. Neka je C taqka na kruжnici k 1. Kruжnica k sa centrom C seqe k 1 u taqkama P i Q. Tangenta iz centra O kruжnice k 1 na kruжnicu k dodiruje k u taqki N i seqe k 1 u taqkama A i B, pri qemu vaжi AN > BN. Prave AC i P Q se seku u taqki K, a prava NK seqe k u taqki L N. Dokazati: AL P Q. 5. Da li postoji rastu i niz prirodnih brojeva (a n ) n=1 takav da se svaki prirodan broj m N moжe na jedinstven naqin predstaviti u obliku m = a i a j za neke i, j N? Prvi razred B kategorija 1. Dati su skupovi A = {1, } i B = {1, {1}, {1, }}. Odrediti skupove A B, A B, A \ B i B \ A.. Neka su AA 1, BB 1 i CC 1 visine u ABC, i neka je H ǌegov ortocentar. Ako je A 1 HC 1 = 116 i A 1 HB 1 = 108, odrediti BAC. 3. Prirodan broj n je potpun kvadrat koji se ne zavrxava nulom. Brisaǌem posledǌe dve cifre broja n dobijamo broj koji je takođe potpun kvadrat. Na i najve u mogu u vrednost broja n. 4. Odrediti koliko ima uređenih parova prirodnih brojeva (x, y) takvih da vaжi NZS(x, y) = 6!. 5. Na tabli je zapisano n prirodnih brojeva u nizu. Dokazati da je mogu e obrisati neke od ǌih (mogu e je i ne obrisati nijedan), a potom ispred svakog od preostalih brojeva upisati znak,,+ ili,, na takav naqin da rezultat dobijenog izraza bude deǉiv sa n 3. 1. Rexiti jednaqinu Drugi razred B kategorija 1 b x a = a b a + x ax, gde su a i b fiksirani realni brojevi, a x je nepoznata.. Dat je ABC u kom vaжi BAC = 60, AB = x i AC = 3x (gde je x neka zadata duжina). Da li je mogu e ovakav trougao ise i na tri dela i od ǌih sastaviti pravilan xestougao?

16 3. Neka su p, q i r prosti brojevi za koje vaжi p + q + 1 = r. Dokazati da je broj pq + 34 sloжen. 4. Na kracima AB i AC jednakokrakog ABC određene su taqke P i Q tako da je P MB = QMC, gde je M sredixte osnovice BC. Dokazati da je BQ = CP. 5. Na takmiqeǌu iz matematike uqenici rade 7 zadataka, i na svakom od ǌih mogu ostvariti 0, 1,, 3, 4 ili 5 poena. Nakon pregledaǌa ispostavilo se da postoji taqno 500 uqenika koji u skoru imaju 30 poena. Da li među ovih 500 uqenika moraju postojati dva koji su na svakom zadatku ostvarili pođednak broj poena? Tre i razred B kategorija 1. Dokazati da za sve realne brojeve t vaжi t + t + 1 3ž + t + 3ž = 3t. (Za realan broj x, sa x oznaqavamo najve i ceo broj koji nije ve i od x.). U skupu R rexiti jednaqinu (sin x + 3 cos x) sin 4x =. 3. Na prirodnom broju n sprovodimo slede u operaciju: posledǌu cifru dekadnog zapisa broja n mnoжimo sa 4 i to saberemo sa brojem koji se dobija brisaǌem te posledǌe cifre (na primer, na taj naqin od broja 1345 dobijamo broj 4 5 + 134 = 154; specijalno, ukoliko je broj n jednocifren, uzimamo da nam nakon brisaǌa te ǌegove jedine cifre ostaje broj 0, pa ovakvom operacijom od ǌega dobijamo broj 4n). Ovaj postupak nastavǉamo sa svakim novodobijenim brojem, neograniqen broj puta. Pretpostavimo da je u nekom koraku dobijen broj 015. Dokazati da se među svim brojevima koji su bili dobijeni u nekom prethodnom momentu, kao i među svim brojevima koji e tek uslediti, ne nalazi nijedan prost broj. 4. Neka su AA 1 i CC 1 teжixne duжi u ABC. Na stranici AC odabrana je proizvoǉna taqka P, i kroz ǌu su povuqene prave paralelne sa AA 1 i CC 1. Ove prave seku stranice BC i AB u taqkama E i F, redom. Dokazati da duжi AA 1 i CC 1 dele duж EF na tri jednaka dela. 5. Koliko ima xestocifrenih brojeva sa razliqitim ciframa qija je najve a cifra za osam ve a od najmaǌe cifre?

17 Qetvrti razred B kategorija 1. Neka su x, y i z pozitivni realni brojevi takvi da vaжi xyz = 015(x + y + z). Odrediti minimalnu vrednost izraza xy + yz + zx.. Neka je n = a 1 a... a 9 dekadni zapis broja n. Koliko ima neparnih devetocifrenih brojeva n deǉivih sa 375 kod kojih je a a 3 a 8? 3. Neka je CD visina pravouglog ABC, C = 90. Kruжnice s centrima A i B i polupreqnikom BD seku se u taqki na pravoj BC. Odrediti odnos DB : BC. 4. Dokazati da od svih pravih kruжnih vaǉaka konstantne zapremine najmaǌu povrxinu ima vaǉak qija je visina jednaka preqniku osnovice. 5. Dokazati da postoji prirodan broj k > 015 takav da k 015 k!. DRЖAVNO TAKMIQEǋE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDǋIH XKOLA, 8.. 015. Prvi razred A kategorija 1. Neka su a, b i c proizvoǉni prirodni brojevi. Dokazati nejednakost NZD(a, b 1) NZD(b, c 1) NZD(c, a 1) ab + bc + ca a b c + 1, kao i da se jednakost dostiжe za beskonaqno mnogo trojki (a, b, c).. Dat je jednakokraki ABC, pri qemu vaжi AB = AC. Unutar ABC uoqena je taqka P takva da vaжi BP C = 90 + BAC. Takođe je uoqena taqka Q takva da vaжi BP Q = P QA = 90. Neka je R taqka na duжi QB takva da vaжi BR = RQ. Dokazati da su taqke R, P i C kolinearne. 3. Quvar banke ima n sefova koje mora da quva i svaki sef ima svoj jedinstven kǉuq koji ga otvara. Kǉuqevi su po izgledu identiqni. Quvar je dobio na raspolagaǌe dovoǉan broj identiqnih kruжnih metalnih alki. Na svaku alku mogu e je zakaqiti proizvoǉan broj kǉuqeva ili drugih alki (ali ne mogu na istom kǉuqu biti prikaqene dve alke), pri qemu su alke takve da se, nakon xto quvar prikaqi sve xto жeli, cikliqan redosled zakaqenih objekata na alki potom ne e remetiti. Quvar жeli da pomo u alki spoji sve kǉuqeve u jednu celinu na takav naqin da nadaǉe uvek bude u mogu nosti da, na osnovu rasporeda kǉuqeva i alki, identifikuje kǉuq koji mu zatreba za otvaraǌe određenog sefa (bez isprobavaǌa kǉuqeva na sefu). Za zadat broj n > 1, odrediti najmaǌi broj alki koje su potrebne quvaru ukoliko:

Dokazati: qx +Èx x <. 18 a) kǉuqevi imaju jednu osu simetrije u ravni kǉuqa (slika levo); b) kǉuqevi nemaju nijednu osu simetrije u ravni kǉuqa (slika desno)? 4. Da li postoji polinom P (x) kome nisu svi koeficijenti celobrojni P (a) P (b) takav da vaжi P (0) = 0 i da je a b ceo broj za svaka dva razliqita cela broja a i b? Drugi razred A kategorija 1. Neka je x realan broj takav da je izrazqx Èx x definisan i vaжi qx Èx x 1.. Neka funkcija obrt preslikava cifre 0, 1,, 5, 6, 8, 9 u cifre 0, 1,, 5, 9, 8, 6, redom. Prirodan broj n = t k t k 1 t 1 t 0 nazivamo obrtabilan ako su mu sve cifre iz skupa {0, 1,, 5, 6, 8, 9} i pritom vaжi t 0 0, i definixemo obrt(n) = obrt(t 0 )obrt(t 1 ) obrt(t k 1 )obrt(t k ) (drugim reqima, funkcija obrt predstavǉa obrtaǌe ekrana kalkulatora za 180 ). Dokazati da postoji beskonaqno mnogo prirodnih brojeva n sa slede im osobinama: 1 n je obrtabilan i obrt(n) = n; n je obrtabilan i obrt(n ) = n ; 3 41 n. 3. Na svakom poǉu table 3 n nalazi se jedan жeton koji je sa jedne strane obojen belo a sa druge strane crno. U poqetku su svi жetoni okrenuti crnom stranom nagore. Dozvoǉeno je u jednom potezu izabrati proizvoǉno poǉe i okrenuti sve жetone na poǉima koja imaju bar jedno zajedniqko teme sa izabranim poǉem ali ne i жeton na izabranom poǉu.

19 Za koje n je mogu e da posle izvesnog broja poteza svi жetoni budu okrenuti belom stranom nagore? 4. Dat je oxtrougli ABC. Taqka N je takva da vaжi NBA = NCA = 90, a D i E su taqke na stranicama AC i AB, redom, takve da vaжi BNE = CND. Prava DE seqe pravu BC u taqki F, a K je sredixte duжi DE. Ako je X taqka preseka kruжnica opisanih oko ABC i ADE razliqita od taqke A, dokazati da vaжi KXF = 90. Tre i razred A kategorija 1. Niz (x i ) i=0 je definisan uslovima x 0 = 1 i x i+1 = x i + y i 1, gde je y i najmaǌi prirodan broj koji ne deli x i. Da li vaжi x n = 0! za neki prirodan broj n?. Dat je konveksan petougao ABCDE takav da su mu uglovi kod temena C i E pravi i vaжi EDA = CDB. Neka je N podnoжje visine iz temena D u oxtrouglom ABD, i neka je M sredixte duжi AB. Dokazati da su taqke C, M, N i E koncikliqne. 3. Neka je n fiksiran prirodan broj. Neka je k bilo koji prirodan broj ne ve i od n i neka je S skup nekih k razliqitih prostih brojeva. Marija i Marko igraju naizmeniqno slede u igru. Svako od ǌih bira jedan prirodan broj ve i od 1 qiji svi prosti delioci pripadaju skupu S i koji nije deǉiv nijednim od prethodno izabranih brojeva. Gubi onaj ko ne moжe da povuqe potez. Dokazati da Marija ima pobedniqku strategiju za bar 3n mogu ih vrednosti parametra k. 4. Uqenici tre eg razreda su za doma i imali slede i zadatak: Odabrati pozitivne realne brojeve a i b i skicirati (u istom koordinatnom sistemu) grafike funkcija f, g : R R definisane sa f(x) = a x + b i g(x) = b x + a. Pri pregledu doma eg zadatka, doxavxi do Perice, profesor je rekao:,,perice, ne znam koje si brojeve a i b odabrao, ali nisi dobro skicirao grafike. Naime, nije mogu e da grafici ovakvih funkcija imaju taqno dve zajedniqke taqke. Da li je profesor u pravu? Qetvrti razred A kategorija 1. Koliko najmaǌe razliqitih kompleksnih nula moжe imati polinom P (x) = ax n + x 014 + 1,

0 ako je a realan broj a n prirodan broj razliqit od 014?. Dokazati da za svaki prirodan broj n postoji n-tocifren prirodan broj qije cifre su iz skupa {1,, 3} i koji je deǉiv zbirom svojih cifara. 3. Neka je, u ABC, B 1 sredixte stranice AC, B 0 podnoжje visine iz temena B, a B osnosimetriqna slika temena B u odnosu na simetralu A. Neka su P i Q taqke dodira upisane i spoǉa pripisane kruжnice sa stranicom BC, i neka je k kruжnica nad preqnikom P Q. Tangenta t iz taqke B dodiruje kruжnicu k u taqki T. Dokazati da kruжnica opisana oko B 0 B 1 T dodiruje pravu t. 4. Dato je n taqaka u ravni među kojima nikoje 3 nisu kolinearne. Posmatrajmo sve mogu e odabire od po n duжi qiji su krajevi u datim taqkama (svaka taqka je kraj taqno jedne od tih duжi) i među kojima se nikoje dve ne seku. Dokazati da je broj takvih odabira bar n 1, i odrediti za koje se sve prirodne brojeve n moжe dosti i jednakost za bar jednu poqetnu konfiguraciju od n taqaka. Prvi razred B kategorija 1. Odrediti najmaǌi prirodan broj koji ima taqno 015 delilaca.. Data je kruжnica k, ǌen preqnik AB i taqka C na duжi AB razliqita od taqaka A i B. Taqke X i Y pripadaju kruжnici k i simetriqne su u odnosu na AB, pri qemu jox vaжi CY AX. Dokazati da je qetvorougao BY CX romb. 3. Vextak na sudu treba da iz gomile od 14 novqi a izdvoji 7 laжnih (ǌemu je poznato koji novqi i su laжni a koji pravi). Sudu je poznato da su laжni novqi i lakxi od pravih i da ih ima taqno 7. Vextak na raspolagaǌu ima vagu bez tegova za izvođeǌe svojih dokaza pred sudom. Dokazati da u najvixe 3 mereǌa vextak moжe sudu da dokaжe koji su novqi i laжni. 4. Na koliko se naqina mogu obojiti temena petougla ABCDE pomo u qetiri boje ako susedna temena ne mogu biti iste boje? 5. Ako je polinom deǉiv polinomom izraqunati 3a + b. ax 5 + bx 4 + bx 3 + ax + cx 6 x 5x +,

1 Drugi razred B kategorija 1. Odrediti sve prirodne brojeve n takve da je n + 015 n racionalan broj.. Unutar kvadrata ABCD data je taqka M za koju vaжi M BD = MDC = 8. Izraqunati MAD. 3. Kraǉica Amazonki Goba je imala 5 erki; 6 od ǌenih жenskih potomaka su imale po 4 erke svaka, 11 od ǌenih жenskih potomaka su imale po erke svaka, a preostale nisu imale dece. Ako je poznato da kraǉica Goba nije imala muxkih potomaka, koliko je ukupno жenskih potomaka imala ova kraǉica? 4. Za koje vrednosti realnog parametra a je skup rexeǌa nejednaqine x a(1 + a )x + a 4 < 0 podskup intervala ( 3, 1)? (Prazan skup je podskup bilo kog skupa.) 5. Neka su a, b i c kompleksni brojevi jediniqnog modula takvi da vaжi a + b + c = 1. Dokazati da je bar jedan od brojeva a, b ili c jednak 1. Tre i razred B kategorija 1. U skupu prirodnih brojeva rexiti jednaqinu 1 x + 1 y = 101.. Perica ima j jabuka i k korpi koje su raspoređene za okruglim stolom. Za koje vrednosti j i k Perica moжe rasporediti jabuke u korpe na takav naqin da se za svake dve susedne korpe brojevi jabuka u ǌima razlikuju taqno za 1? 3. Dokazati jednakost 16 sin 4 10 + 8 sin 3 10 1 sin 10 4 sin 10 + 1 = 0. 4. Pozitivni brojevi x i y zadovoǉavaju nejednakost x + y x + y.

Dokazati da tada vaжi x + y 5. 5. Na ravan sto postavǉene su qetiri lopte pri qemu se svake dve dodiruju. Polupreqnici tri od te qetiri lopte iznose, 3 i 6. Izraqunati polupreqnik qetvrte lopte. Qetvrti razred B kategorija 1. Pet razliqitih celih brojeva a, b, c, d i e zadovoǉavaju jednakost Izraqunati a + b + c + d + e. (3 a)(3 b)(3 c)(3 d)(3 e) = 1.. Odrediti koliko ima n-torki (x 1, x,..., x n ) kod kojih je svaka koordinata iz skupa {0, 1, } i pritom je zbir x 1 + x + + x n paran. 3. Odrediti sve mogu e vrednosti parametra a R takve da sve nule polinoma P (x) = x 4 + ax + a x 1 imaju međusobno jednake module. 4. U konveksnom qetvorouglu ABCD vaжi AD =, ABD = ACD = 90 i rastojaǌe između centara upisanih kruжnica u ABD i ACD iznosi. Na i duжinu stranice BC. 5. Na i najmaǌu i najve u vrednost izraza (x y) + xy, uz uslov x + y = 4.

3 REXEǋA ZADATAKA OPXTINSKOG TAKMIQEǋA IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDǋIH XKOLA, 13. 1. 014. Prvi razred A kategorija 1. Za svako k N vaжi tvrđeǌe: 3 k 3 k, tj. 3 k 9 k. Ako bi postojali celi brojevi m i n za koje vaжi (m + n + ) = 3(mn + 1), sledilo bi 3 (m+n+), pa i 9 (m+n+), tj. i 3 mn+1. Iz 3 mn+1 sledi da nijedan od brojeva m i n ne moжe biti deǉiv sa 3, niti oba mogu davati jednake ostatke pri deǉeǌu sa 3. Dakle, jedan od ǌih daje ostatak 1 pri deǉeǌu sa 3, a drugi daje ostatak. Zapiximo m = 3p + 1 i n = 3q + za neke p i q. Ali tada imamo m + n + = 3(p + q + 1) +, xto je nemogu e jer 3 m + n +. Dakle, ne postoje celi brojevi m i n takvi da vaжi (m + n + ) = 3(mn + 1). (Tangenta 7, str. 14, zad. M113.). a) Pretpostavimo da vaжi x + y + z + w = xyzw. Tada imamo (yzw x) + y + z + w = y z w xyzw + x + y + z + w = y z w xyzw = (yzw x)yzw. b) Primetimo da je (,,, ) rexeǌe postavǉene jednaqine. Neka je (x, y, z, w) takvo rexeǌe za koje vaжi x y z w. Odatle dobijamo yzw x 4w x 3w > w. Prema delu pod a), od rexeǌa (x, y, z, w) dobijamo rexeǌe (y, z, w, yzw x) (gde su, u obe qetvorke, brojevi sortirani po veliqini), i dobijeno rexeǌe je razliqito od prethodnog budu i da je yzw x ve e od w. Poqevxi od (,,, ), ponavǉaǌem ove procedure dobijamo beskonaqno mnogo razliqitih rexeǌa. 3. Neka je k broj nacrtanih pravih. Kako prava a seqe taqno 3 od ǌih, među povuqenim pravima postoje k 3 među kojima su svake dve paralelne, i među kojima se nalazi i prava a; oznaqimo skup ovih pravih sa A. Primetimo da među ǌima nije ni prava b ni prava c (jer bi u suprotnom i one sekle taqno 3 druge prave). Dakle, prave b i c su dve od tri prave koje prava a seqe. Prave b i c nisu paralelne, budu i da bi u tom sluqaju one sekle isti broj pravih, a xto je u suprotnosti s uslovom zadatka. Neka je d preostala prava koju seqe prava a, razliqita od pravih b i c. Ako bi prava d sekla obe prave b i c, tada bi prave b i c sekle podjednak broj pravih, xto je nemogu e. Pretpostavimo d c. Tada prava b seqe ukupno k 1 pravu (sve prave iz klase A, i jox prave c i d), odakle imamo k 1 = 4, tj. k = 5. Prava c u tom sluqaju seqe prave koje saqiǌavaju klasu A, i jox pravu b, xto je ukupno 3 prave,

4 kontradikcija. Dakle, preostaje d b. Tada prava b seqe ukupno k prave, odakle imamo k = 4, te dobijamo rexeǌe k = 6 (prava c u tom sluqaju seqe 3 prave koje qine klasu A, i jox prave b i c, xto je ukupno 5 pravih, pa je uslov zadatka ispuǌen). (Tangenta 73, str. 48, zad. 4.) 4. Iz prvog para paralelnosti sledi P F AB = P ABC i P CDE = P DEF, a iz drugog para P ABC = P BCD i P DEF = P EF A. Posledǌa paralelnost daje P BCD = P CDE, pa sada imamo P F AB = P ABC = = P EF A. Prema tome, taqke E i B su na jednakom rastojaǌu od prave F A, tj. BE F A. 5. Prvo, nemogu e je da za stolom nema uopxte iskrenih ǉudi, jer tada bi izjava bilo kog od ovih 014 ǉudi (laжova, dakle) bila istinita, xto je nemogu e jer oni stalno priqaju neistinu. Zatim, poxto sada znamo da imamo bar jednog iskrenog qoveka, onda je jasno da su svi Op 014 1A 4 ostali, osim ǌega i moжda ǌegovih suseda, laжovi. Dakle, postoje najvixe 3 iskrena qoveka za stolom. Pretpostavimo da postoje taqno 3 iskrena qoveka. To bi morala biti 3 uzastopna qoveka za stolom. Oznaqimo ih sa A, B i C, pri qemu je B između A i C. No tada bi iskazi ǉudi A i C bili netaqni, xto je u kontradikciji s pretpostavkom da su oni iskreni ǉudi. Pretpostavimo sada da je samo 1 iskren qovek za stolom. Tada bi iskazi ǌegovih prvih suseda s leve i desne strane bili istiniti, ali to je nemogu e jer su oni po pretpostavci laжovi, te ne mogu davati istinite iskaze. Dakle, za stolom moraju sedeti taqno iskrena qoveka. Raspored u kom ova dva qoveka sede jedan do drugog predstavǉa primer da je ovakva situacija zaista mogu a. Drugi razred A kategorija 1. Prvo rexeǌe. Oqigledan uslov je x 0. Daǉe, zbogè3 + x = 3 x mora vaжiti x 3. Kvadriraǌem posledǌe jednaqine dobijamo 3+ x = 9 6x + x, tj. x = 6 6x + x. Kvadriramo i ovu jednaqinu, uz uslov 6 6x + x 0, posle qega dobijamo x = x 4 1x 3 + 48x 7x + 36, xto se svodi na x 4 1x 3 +48x 73x+36 = 0. Potraжimo jednostavnije faktore polinoma na levoj strani: nalazimo da je deǉiv sa x 1 i x 4, tj. dobijena jednaqina moжe se zapisati u obliku (x 1)(x 4)(x 7x+9) = 0.

Odatle, ǌegove nule su x 1 = 1, x = 4, x 3 = 7 13 i x 4 = 7+ 13. Drugu i qetvrtu nulu odbacujemo jer ne upadaju u interval [0, 3]. Tre u nulu takođe odbacujemo jer za ǌu vaжi 6 6x 3 + x 3 = 1 13 < 0. Ostaje x = 1 kao jedino rexeǌe polazne jednaqine. Drugo rexeǌe. Uoqavamo da je x = 1 jedno rexeǌe postavǉene jednaqine. Za x > 1 vaжi x +È3 + x > 1 +È3 + 1 = 3, a za x < 1 vaжi x +È3 + x < 1 +È3 + 1 = 3. Prema tome, x = 1 je jedino rexeǌe. (Tangenta 70, str. 31, zad. II.4.). Neka se posmatrani broj, oznaqimo ga sa n, zavrxava sa taqno k nula, gde je k 0. Dakle, n = x 10 k za neki prirodan broj x koji se zavrxava cifrom. Primetimo da je broj n deǉiv sa 5 k ali ne i sa 5 k+1. Dakle, da bi n bio potpun kvadrat, k mora biti paran broj. Sada iz n = x 10 k = x (10 k ) sledi da i x mora biti potpun kvadrat. Ukoliko je broj x jednocifren (dakle, broj ), imamo odmah kontradikciju. Dakle, x ima bar dve cifre. No, bez obzira na to da li je pretposledǌa cifra broja x jednaka 0 ili, u oba sluqaja dobijamo da dvocifreni zavrxetak broja x nije deǉiv sa 4, pa zakǉuqujemo da je broj x deǉiv sa ali ne i sa 4; odatle, x ne moжe biti potpun kvadrat, kontradikcija. (Tangenta 74, str. 36, zad I.4.) 5 3. Neka su k 1 i k kruжnice opisane oko P CA i QCB, redom. Oznaqimo P CA = QCB = α i P AQ = P BQ = β. U sluqaju da je C sredixte duжi AB, tvrđeǌe je oqigledno zbog simetrije. Inaqe, neka je O drugi presek kruжnice opisane oko P CQ sa preqnikom AB. Imamo OP Q = QCB = P CA = P QO, te sledi OP = OQ. Dakle, Op 014 A 3 O se nalazi na simetrali duжi P Q, koja jedino moжe da seqe preqnik kruжnice k u centru, pa sledi da je O centar kruжnice k. Imamo P CQ = P OQ = P BQ = β, te sledi 180 = ACP + BCQ + P CQ = α + β, tj. α + β = 90.

6 Neka je c normala u taqki C na AB. Neka je X presek c i BP. Poxto imamo XCA = XP A = 90, sledi da X pripada kruжnici k 1. Daǉe, poxto imamo XCP = XAP = β, sledi da taqka X pripada i duжi AQ. Na sliqan naqin se sada dokazuje da X pripada i kruжnici k, te je CX zajedniqka tetiva dve kruжnica k 1 i k. Dakle, O 1 O CX AB, te sledi O 1 O AB. 4. Iz uslova zadatka imamo x + y = x4 y 4 x y Q; iz ovoga i x y Q sledi x, y Q. Daǉe, za neki nenula racionalan broj q imamo x 6 = (x 3 ) = (y 3 + q) = y 6 + qy 3 + q, pa kako x 6, y 6 Q (zbog x 6 = (x ) 3 Q), iz posledǌe jednakosti dobijamo y 3 Q. Sada iz y Q i y 3 Q sledi y Q. Analogno se dokazuje x Q. 5. Jasno je da je za n = 1,, 3 minimalan potreban broj razgovora jednak 0, 1, 3, redom. Dokaжimo da za n 4 minimalan broj razgovora iznosi n 4. Za n = 4 minimalan broj razgovora je 4, xto se postiжe tako xto prva doma ica priqa s drugom, zatim tre a s qetvrtom, potom prva s tre om i najzad druga s qetvrtom. Direktno se proverava da za n = 4 maǌe od 4 razgovora nije dovoǉno. Pokaжimo sada kako za n > 4 doma ice mogu razmeniti traqeve u n 4 razgovora. Izdvojimo qetiri doma ice koje emo nazvati,,glavne traqare. Najpre jedna od glavnih traqara pozove preostale n 4 doma ice. Potom qetiri glavne traqare međusobno razmene sve traqeve (za xta im trebaju 4 razgovora), i zatim ponovo jedna od glavnih traqara pozove preostale n 4 doma ice; to qini ukupno n 4 + 4 + n 4 = n 4 razgovora. Preostaje dokazati da u sluqaju n > 4 doma ice ne mogu razmeniti traqeve u maǌe od n 4 razgovora. Pretpostavimo suprotno, i neka je n najmaǌi broj za koji je doma icama dovoǉno n 5 ili maǌe razgovora. Fiksirajmo jedan takav niz razgovora S. Lema. U nizu S ne e se dogoditi da neka doma ica quje sopstveni traq od druge doma ice. Dokaz. Pretpostavimo suprotno: neka postoji doma ica D koja e u jednom momentu quti sopstveni traq. Tada u nizu razgovora S moжemo uoqiti podniz r 1, r,..., r k takav da za svako i jedna od doma ica koje uqestvuju u razgovoru r i uqestvuje i u razgovoru r i+1, i pritom doma ica D uqestvuje samo u razgovorima r 1 i r k. Sada emo od niza S konstruisati određen niz razgovora T u kom uqestvuju sve doma ice osim doma ice D. Najpre iz niza S izbriximo razgovore r 1 i r k. Za sve ostale razgovore r u kojima uqestvuje doma ica D i pritom razgovara npr. s doma icom P, uoqimo, ako postoji, prvi od razgovora r, r 3,..., r k 1 koji sledi nakon razgovora r, neka je to r i, i oznaqimo sa A doma icu koja uqestvuje u razgovorima r i i r i 1 a ako takvo i ne po-

7 stoji, oznaqimo sa A doma icu koja u razgovoru r k priqa s doma icom D; zamenimo sada razgovor r razgovorom između doma ice P i doma ice A. Niz razgovora T dobijen na ovakav naqin sastoji se od ne vixe od n 5 = (n 1) 5 razgovora, u ǌemu uqestvuje n 1 doma ica, i po konstrukciji niza T sledi da e na ovaj naqin tih n 1 doma ica razmeniti sve traqeve (prepostavǉaju i, naravno, da je niz S takav da e n doma ica koje tu uqestvuju razmeniti sve traqeve). Ovo je kontradikcija sa minimalnox u broja n, qime je lema dokazana. Nastavimo sada dokaz. Iz leme sledi da je svaki razgovor ili istovremeno poqetni razgovor za obe doma ice koje uqestvuju u ǌemu, ili ni za jednu od ǌih, i isto tako je ili istovremeno posledǌi razgovor za obe, ili ni za jednu od ǌih. Jasno, nijedan razgovor ne moжe biti istovremeno poqetni i posledǌi (za doma ice koje uqestvuju u ǌemu), pa ukupno ima m razgovora koji su bilo poqetni bilo posledǌi za doma ice koje tu uqestvuju. Nazovimo sve preostale razgovore, kakvih ima najvixe n 5,,,sredǌi. Posmatrajmo kako se traqevi xire putem iskǉuqivo sredǌih razgovora. Kako imamo n doma ica a ne vixe od n 5 sredǌih razgovora, ovih n doma ica moжemo podeliti na bar 5 klasa takvih da nikakve informacije ne stiжu od doma ica iz jedne klase do doma ica iz druge klase putem iskǉuqivo sredǌih razgovora. Uoqimo neku doma icu D. Posmatraju i sada sredǌe i poqetne razgovore, traq doma ice D putem ǌih xiri se samo kroz dve klase (klasu doma ice D i klasu doma ice s kojom je razgovarala prvi put). Sliqno, posmatraju i sredǌe i posledǌe razgovore, putem ǌih doma ica D dobija informacije iz samo dve klase (svoje klase i klase doma ice s kojom je posledǌom razgovarala). Dakle, za ma koju doma icu D postoje bar dve od posmatranih klasa takve da razgovori unutar tih klasa ne igraju nikakvu ulogu u xireǌu traqa doma ice D niti informisaǌu doma ice D o tuđim traqevima. Oznaqimo sa c(d) broj razgovora koji ne igraju ulogu u prenoxeǌu traqeva doma ici D niti xireǌu traqa doma ice D. Da bi traq neke doma ice bio prenet svima potrebno je bar n 1 razgovora, a da bi ona bila obavextena o svim traqevima potrebno je takođe bar n 1 razgovora. Prema lemi, jedini razgovori u kojima se prenosi traq neke doma ice D a koji istovremeno imaju ulogu u prenoxeǌu tuđih traqeva doma ici D jesu samo oni razgovori u kojima doma ica D uqestvuje (u suprotnom bi doma ica D u nekom momentu qula sopstveni traq). Dakle, potrebno je bar n v(d) razgovora da bi se potpuno raxirio traq doma ice D i da bi se ǌoj saopxtili svi traqevi, gde je v(d) broj razgovora u kojima ona uqestvuje. Kako mora vaжiti nejednakost n 5 n v(d) + c(d), dobijamo v(d)

8 3 + c(d) 3. Odatle zakǉuqujemo da svaka doma ica mora obaviti bar jedan sredǌi razgovor, pa sledi da se unutar svake od klasa iz prethodnog pasusa odvio bar jedan razgovor (suprotno bi bilo mogu e jedino ako je doma ica sama u svojoj klasi, tj. ukoliko uopxte nije imala sredǌe razgovore, a upravo smo videli da to ne moжe biti ispuǌeno). No, sada iz zakǉuqka iz prethodnog pasusa sledi c(d) za svaku doma icu D, pa imamo v(d) 3 + c(d) 5 za svaku doma icu D, ali tada ukupan broj razgovora iznosi bar 5n, kontradikcija. Time je dokaz zavrxen. Tre i razred A kategorija 1. Za n = 1 trivijalno imamo jednu takvu b 1 funkciju. Nadaǉe pretpostavǉamo n. b n Neka je f jedna takva funkcija. Primetimo da je g = f f bijekcija. Dokaжimo da onda i f mora biti bijekcija. Ako f ne bi bila,,1-1, postojali bi a, b A takvi da vaжi f(a) = f(b), pa i f(f(a)) = f(f(b)), tj. g(a) = g(b), xto je nemogu e. S druge strane, ako f ne 3 b + b + 1 bi bila,,na, postojao bi element a A b 1 takav da ne vaжi f(x) = a ni za jedno x A. Međutim tada ne bi vaжilo ni g(x) = a ni za jedno x A, xto je ponovo kontradikcija. Op 014 3A 1 Daǉe, moжemo uoqiti da za svako x A postoji m N takvo da {z } m puta vaжi x = g(g(... g(1)... )) (kaжemo: svaki element x A pripada orbiti elementa 1 za bijekciju g). Odatle sledi i da svaki element x A pripada orbiti elementa 1 za bijekciju f. Obeleжimo b = f(1). Iz uslova zadatka vidimo da mora vaжiti f(b) = g(1) =. Indukcijom pokazujemo da za sve x koji ispuǌavaju x n b + 1 vaжi f(x) = x + b 1, a da za sve x koji ispuǌavaju x b vaжi f(x) = x b +. Zaista, za bazne sluqajeve uzimamo x = 1 i x = b; zatim, ukoliko za x > 1 vaжi x n b + 1, tada induktivni korak glasi f(x) = f(f(x + b )) = g(x + b ) = x + b 1 (primetimo da su ispuǌene nejednakosti x + b + b = b i x + b n b + 1 + b = n 1, xto omogu ava prikazani raqun), a za x > b sliqno imamo f(x) = f(f(x b + 1)) = g(x b + 1) = x b +,

9 qime je tvrdǌa dokazana. Specijalno, f(n) = n b +, odakle sledi f(n b + ) = f(f(n)) = g(n) = 1. Primetimo da vaжi f(n) < b (ako bi vaжilo f(n) b, sledilo bi f(f(n)) = f(n) + b 1 b 1, ali s druge strane imamo f(f(n)) = g(n) = 1). Poxto je svaki element x A u orbiti elementa 1 za bijekciju f, među elementima 1, f(1), f(f(1)),..., n, n b + nalaze se svi elementi skupa A. No, primetimo da smo na ovaj naqin, ne raqunaju i posledǌi element, izlistali upravo sve elemente x za koje vaжi nexto od 1 x n b+1 ili b x n (elementi iz,,prve grupe i,,druge grupe javǉaju se naizmeniqno), tj. ukupno smo izlistali (raqunaju i i posledǌi) taqno (n b+1)+1 elemenata. Odatle zakǉuqujemo (n b + 1) + 1 = n, tj. n = b 3. Dakle, ako je n paran broj, ne postoji takva funkcija f. Ako je n neparan broj, ona je jednoznaqno određena gorǌim razmatraǌima, tj. f(x) =8 > < >: x +. Neka je D podnoжje visine iz C na AB, x = P 3 Q 3, p = AD = b cos α, q = BD = a cos β i h = CD = b sin α = a sin β. Imamo AP 3 = px h i BQ 3 = qx h, te vaжi AM 3 = px h + x i M 3 B = qx h + x, odakle dobijamo AM 3 M 3 B = p + h q + h = b cos α + b sin α a cos β + a sin β = b a cos α + sin α cos β + sin β. n + 1 x n 1, za x n 1 ;, inaqe. Op 014 3A Oqito mnoжeǌe ovog i analognih izraza za BM1 M i CM 1C M A daje 1, te se prema Qevinoj teoremi prave AM 1, BM i CM 3 seku u jednoj taqki. 3. Broj 40 ima navedenu osobinu: zaista, 40 = 3 4 5 7 i 7 < 3 40 < 8. Pretpostavimo da je n > 40 broj koji ima navedenu osobinu. Tada brojevi 3, 4, 5 i 7 dele n, pa sledi n 840 > 79 = 9 3. Odatle jox