Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odjel Sonja Štimac Topološka klasifikacija Knasterovih kontinuuma s konačno krajnjih točaka Disertacija Voditelj rada: Dr. sc. Sibe Mardešić, profesor emeritus Sveučilišta u Zagrebu Zagreb, 2002.
Sadržaj Uvod ii 1 Kodiranje Knasterovih kontinuuma K s 1 2 Struktura kompozante krajnje točke c 32 3 Različitost kontinuuma K s i K t 63 4 Homeomorfizam medu kompozantama od K n 96 Literatura 112 Sažetak 115 Summary 117 Životopis 119 i
Uvod Klasični Knasterov kontinuum K 2, poznat još i kao kablićeva ručka ( bucket handle ), promatrao je još 1911. godine Z. Janiszewski u svojoj pariškoj doktorskoj disertaciji [J] posvećenoj kontinuumima ireducibilnim izmedu dviju točaka. K. Kuratowski u svom radu na istu temu [K1] iz 1922. godine navodi taj kontinuum kao jednostavan primjer indekompozabilnog kontinuuma. Dani opis kontinuuma Kuratowski pripisuje B. Knasteru ([K1], str. 209) te nakon toga taj kontinuum često nosi Knasterovo ime. Otada su izučavanju Knasterova kontinuuma i njegovih poopćenja posvećeni mnogi radovi. J. R. Isbell u radu [I] iz 1959. godine, dokazuje da je svaki lukoliki ( arc-like ) kontinuum, dakle i K 2, homeomorfan nekom inverznom limesu segmenata. Vrijedi i obrat, tj. svaki inverzni limes lukova je lukoliki kontinuum ([N], str. 246). Interes za Knasterovim kontinuumom znatno je porastao kada je S. Smale u svom radu [Sm] iz 1967. godine pokazao da je K 2, pod nazivom potkova ( horseshoe ), atraktor odredenog smještenja kvadrata u samog sebe. M. Barge i S. Holte u radu [Ba-H] iz 1995. godine pokazuju da su i vrlo poopćene potkove unutar tzv. Hénonove familije homeomorfne inverznim limesima segmenta s funkcijama kvadratne familije kao veznim preslikavanjem. Funkcije kvadratne familije dio su šire familije unimodalnih funkcija. Svaka unimodalna funkcija bez lutajućih intervala, restriktivnih intervala i periodičnih atraktora konjugirana je nekoj šatorskoj funkciji ( tent map ) ([M-S], str. 240), a konjugirane funkcije generiraju homeomorfne
iii inverzne limese. Stoga su rezultati proučavanja inverznih limesa šatorskih funkcija značajni za razna područja. Dva su važna pitanja na koja se pokušavaju dati odgovori u mnogim istraživanjima u posljednje vrijeme. Jedno pitanje odnosi se na opis strukture inverznih limesa K s s nagibom s [0, 2]. = lim {[0, 1], g s } šatorskih funkcija g s : [0, 1] [0, 1] Sljedeće je pitanje klasifikacija navedenih inverznih limesa, tj. nalaženje nužnih i dovoljnih uvjeta na funkcije g s i g t, s, t [0, 2] uz koje su inverzni limesi K s i K t homeomorfni. Promatraju se i inverzni limesi K n = lim {[0, 1], f n } višešatorskih funkcija f n : [0, 1] [0, 1] stupnja n N, n 2, gdje je n i nagib i broj strogo monotonih područja. I tu se postavlja pitanje njihove strukture i klasifikacije. Postoje mnogi parcijalni odgovori na ta pitanja. Znamo da klasični Knasterov kontinuum K 2 nije lukovima povezan. Postoji neprebrojivo mnogo lukovima povezanih komponenti od K 2 koje su ujedno i njegove kompozante. Jedna od njih je posebna, jer sadrži jedinu krajnju točku od K 2. Sve druge kompozante sadrže samo prerezne točke ( cut-points ), (vidi [K2]). Knaster je još u ranim pedesetim godinama postavio pitanje da li su sve kompozante od K 2 koje ne sadrže krajnju točku homeomorfne. U pokušaju da odgovori na Knasterovo pitanje, a i da razjasni strukturu od K 2, D. P. Bellamy u svom radu [Be] iz 1979. godine analizira način na koji preslikavanje pomaka ( shift ) permutira kompozante te pokazuje da je svaka kompozanta od K 2, osim one koja sadrži krajnju točku, homeomorfna barem jednoj drugoj kompozanti od K 2. Godine 1991. J. M. Aarts i R. J. Fokking u radu [A-F]
iv izmedu ostalog dokazuju da postoji neprekidna bijekcija izmedu kompozanti koje ne sadrže krajnju točku. Cjelovit odgovor na Knasterovo pitanje daje C. Bandt 1994. godine u [B] dokazavši da su sve kompozante od K 2, koje ne sadrže krajnju točku, medusobno homeomorfne. Bandt dokazuje da je K 2 homeomorfan kvocijentnom prostoru svih dvostranih nizova nula i jedinica u odnosu na odgovarajuću relaciju ekvivalencije te svojstva prostora koja dobiva iz tog prikaza koristi za konstrukciju homeomorfizma. Godine 1995. pojavljuje se nekoliko radova koji se bave inverznim limesima unimodalnih funkcija. K. M. Brucks i B. Diamond u [B-D] pokazuju da se inverzni limesi lokalno završno surjektivnih ( locally eventually onto, leo ) unimodalnih funkcija mogu reprezentirati kvocijentnim prostorima odgovarajućih klasa dopustivih dvostranih nizova. Pomoću takvog prikaza daje se algoritam za smještenje opisanih prostora u ravninu. M. Barge i J. Martin u [Ba-M] istražuju uvjete na neprekidne funkcije na segmentu da bi pripadni inverzni limesi imali krajnje točke. Izmedu ostalog dokazuju da inverzni limesi jezgri ( core ) šatorskih funkcija g s, s (1, 2], imaju krajnje točke ako i samo ako je druga iteracija točke ekstrema gs(1/2) 2 rekurentna. Štoviše, ti inverzni limesi imaju N N krajnjih točaka ako je gs(1/2) 2 periodična točka s periodom N, imaju beskonačno mnogo krajnjih točaka ako je gs(1/2) 2 rekurentna, ali ne i periodična, a nemaju krajnjih točaka ako i samo ako g 2 s(1/2) nije rekurentna. U radu W. T. Ingrama [In], pokazuje se da inverzni limesi šatorskih funkcija g s sadrže indekompozabilni pravi potkontinuum kada je s > 1.
v Godine 1996. M. Barge, K. M. Brucks i B. Diamond u [Ba-B-D] proučavaju lokalna topološka svojstva kontinuuma K s, s [1, 2]. Oni pokazuju da za gust podskup parametara s [1, 2], za koje točka ekstrema od g s ima konačnu orbitu, svaka točka od K s, osim njih konačno mnogo, ima okolinu koja je homeomorfna produktu Cantorova skupa i luka. No, za gust G δ -podskup parametara s, K s nije nigdje lokalno homeomorfan produktu Cantorova skupa i luka, već pokazuje visok nivo samosličnosti. Ne samo da svaki otvoreni podskup sadrži homeomorfnu sliku cijelog prostora, već sadrži i homeomorfne slike svih prostora familije K s, s [1, 2]. Ta bogata struktura kontinuuma K s i činjenica da postoji neprebrojivo mnogo različitih kontinuuma K s ovisno o s (vidi [Ba-D]), čini problem klasifikacije zanimljivim i složenim. Još je 1982. godine W. T. Watkins u [W] klasificirao kontinuume K n, n N, n 2, dokazavši da su K n i K m homeomorfni ako i samo ako n i m imaju iste proste faktore. U radu L. Blocka i S. Schumanna [Bl-S] iz 1995. godine, analiziraju se uvjeti na unimodalne funkcije da bi pripadni inverzni limesi bili točka ili luk. Primijenimo li te rezultate na familiju K s, s [0, 2], zaključujemo da je K s točka za sve s [0, 1), dok je K 1 luk. Budući da su krajnje točke topološke invarijante, a problem klasifikacije inverznih limesa šatorskih funkcija se svodi na klasifikaciju inverznih limesa pripadnih jezgri (vidi [Ba-B-D]), već spomenuti rad M. Bargea i J. Martina o krajnjim točkama [Ba-M] iz 1995. godine, daje grubu klasifikaciju kontinuuma K s, s (1, 2]. Iste godine, M. Barge i B. Diamond u [Ba-D2] dokazuju da za odredenu klasu Markovljevih funkcija home-
vi omorfnost inverznih limesa povlači jednakost algebarskih proširenja Q(α) i Q(β), gdje su α i β spektralni radijusi matrica prijelaza pripadnih Markovljevih funkcija. Medutim, taj se uvjet teško provjerava. U istom radu se pokazuje da za jedine tri šatorske funkcije familije g s, s [0, 2], čije su točke ekstrema periodične s periodom pet, medu pripadnim inverznim limesima nema homeomorfnih. Godine 2000. H. Bruin u radu [Br] algebarskim metodama dokazuje da za šatorske funkcije g s i g t, čije točke ekstrema imaju konačne orbite, vrijedi da K s i K t nisu homeomorfni ako log s log t nije racionalan broj. L. Kailhofer u svojoj doktorskoj disertaciji [Ka1] iz 1999. godine i u radu [Ka2] iz 2000. godine dokazuje da za s, t [ 2, 2] kontinuumi K s i K t nisu homeomorfni ako šatorske funkcije g s i g t, čije su točke ekstrema periodične, imaju različite nizove tiještenja ( kneading sequence ). Pristup i metode su topološke i inspirirane su Watkinsovim pristupom klasifikaciji familije K n, n N, n 2 u [W]. Medutim, kontinuumi K s koje promatra Kailhofer imaju složeniju strukturu te je i njihov opis složeniji. U ovom radu razvijena je metoda simboličke dinamike koja omogućava proučavanje svojstava odredenih klasa inverznih limesa. Budući da jezgre šatorskih funkcija g s, s [ 2, 2], dopuštaju točku čija je orbita gusta (vidi [Ba-M]), one su lokalno završno surjektivne (vidi [B-D]). To nam omogućuje da u prvom poglavlju, inspirirani Bandtovim radom [B] i radom K. M. Brucks i B. Diamond [B-D], prikažemo inverzne limese jezgri šatorskih funkcija g s, s [ 2, 2], s periodičnom točkom ekstrema, kao kvocijentne prostore dvostranih dopustivih nizova nula i jedinica u odnosu na
vii odgovarajuću relaciju ekvivalencije koja je direktna posljedica specifičnog oblika pripadnog niza tiještenja (propozicija 1.15). U nastavku prvog poglavlja karakteriziramo dvostrane dopustive nizove konačnim dopustivim nizovima fiksne duljine (korolar 1.14), te definiramo relaciju uredaja na kompozantama eksplicitnom formulom (definicija 1.22). Ovaj konstruktivni pristup daje eksplicitni opis strukture promatranih kontinuuma. Budući da su krajnje točke topološke invarijante, zanima nas struktura kompozante neke krajnje točke. Zbog jednostavnosti biramo krajnju točku c vezanu uz niz tiještenja te u drugom poglavlju proučavamo strukturu te kompozante. Definiramo p-i-točke koje su karakterizirane relacijom ekvivalencije na kvocjentnom prostoru, odnosno nizom tiještenja (definicija 2.2). Takoder definiramo p-mostove (definicija 2.19). To su specijalno odabrani lukovi koji spajaju odredene p-i-točke. Opisujući odnose medu p-i-točkama i p-mostovima, opisujemo i strukturu kompozante i pokazujemo svojstvo da je prvi (p 1)-most u strukturi svakog p-mosta istog tipa kao i prvi most proizvoljne razine koji sadrži krajnju točku c (korolar 2.47 i teorem 2.52). U trećem poglavlju konstruiramo niz lanaca koji se profinjuju i koji imaju svojstvo da se svaka krajnja točka nalazi u samo jednoj kariki svakog lanca (definicija 3.1 i korolar 3.8). Ako postoje dva homeomorfna kontinuuma iz klase koju promatramo, postoji i homeomorfizam h koji preslikava kompozantu krajnje točke c jednog kontinuuma na kompozantu krajnje točke c drugog kontinuumu. Pomoću tog homeomorfizma definiramo odgovarajuće preslikavanje h q,p medu kompozantama krajnjih točaka c, odnosno c, čija
viii smo svojstva već proučili. Ako h postoji, dokazujemo da tada postoji prirodan broj r veći od p za koji preslikavanje h q,p preslikava prvi most razine q + 1 na prvi most razine r (teorem 3.40). Tada zaključujemo da su nizovi tiještenja pripadnih šatorskih funkcija jednaki pa je s = t. Drugim riječima, za šatorske funkcije f s i f t, s, t [ 2, 2], s periodičnim točkama ekstrema, ako je s t, kontinuumi K s i K t nisu homeomorfni (teorem 3.46). Opći problem kada su K s i K t homeomorfni ostaje otvoren. U četvrtom poglavlju promatramo familiju kontinuuma K n, n N, n 2. Svaki kontinuum K n kodiramo dvostranim nizovima od n simbola. Primjenom analogne metode poopćujemo Bandtov rezultat iz [B] i dokazujemo da za svaki K n iz promatrane familije vrijedi da su sve kompozante koje ne sadrže krajnju točku homeomorfne. Rezultati četvrtog poglavlja objavljeni su u [S].
Poglavlje 1 Kodiranje Knasterovih kontinuuma K s Knasterov kontinuum K s, s [0, 2], je inverzni limes niza koji se sastoji od kopija jediničnog segmenta I = [0, 1] i kopija šatorske funkcije g s : [0, 1] [0, 1] dane sa g s (ξ) = { sξ, 0 ξ 1/2, s(1 ξ), 1/2 ξ 1, (slika 1.1). Problem topološke klasifikacije Knasterovih kontinuuma K s = lim{[0, 1], g s }, s (1, 2], još je otvoren. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Slika 1.1: Šatorska funkcija i njena jezgra. 1
1. Kodiranje Knasterovih kontinuuma K s 2 Za svaki s (1, 2] vrijedi g s (1/2) > 1/2 i g 2 s(1/2) = s(1 s/2) < 1/2, a za svaki ξ [0, 1] vrijedi g s (ξ) g s (1/2). Neka je ξ [g 2 s(1/2), g s (1/2)]. Ako je ξ < 1/2, iz ξ < g s (ξ) dobivamo da je g 2 s(1/2) ξ < g s (ξ). Ako je ξ > 1/2 iz ξ < g s (1/2) i g s [1/2, 1] je padajuća dobivamo da je g s (ξ) > g 2 s(1/2). Dakle, g s (ξ) [g 2 s(1/2), g s (1/2)] za svaki ξ [g 2 s(1/2), g s (1/2)]. Restrikcija g s [g 2 s (1/2), g s (1/2)] zove se jezgra funkcije g s (slika 1.1). Problem klasifikacije inverznih limesa šatorskih funkcija svodi se na klasifikaciju inverznih limesa pripadnih jezgri (vidi [Ba-B-D]) te ćemo u nastavku promatrati inverzne limese lim {[0, 1], f s }, gdje su f s : [0, 1] [0, 1], reskalirane jezgre od g s (slika 1.2), tj. { sξ + 2 s, 0 ξ s 1, f s (ξ) = s s 1 s(1 ξ), ξ 1. s 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Slika 1.2: Reskalirana jezgra Primijetimo da je funkcija f s surjektivna. Kontinuume lim {[0, 1], f s } u nastavku ćemo označavati sa K s, dakle, od sada na dalje K s = lim {[0, 1], f s }.
1. Kodiranje Knasterovih kontinuuma K s 3 Točka ξ [0, 1] je rekurentna točka od f s, ako postoji niz prirodnih brojeva (n i ) i N, n i, takvih da f n i s (ξ) ξ. Točka ξ [0, 1] je periodična točka od f s s periodom N N, ako je f N s (ξ) = ξ i f i s(ξ) ξ za sve i {1,... N 1}. Točka x K s je krajnja točka od K s, ako za svaka dva potkontinuuma A, B od K s za koje je x A B, vrijedi ili A B ili B A. Za s (1, 2] kontinuum K s ima krajnju točku ako i samo ako je 0 rekurentna točka od f s. Štoviše, K s ima N N krajnjih točaka ako i samo ako je 0 periodična točka od f s s periodom N, K s ima beskonačno mnogo krajnjih točaka ako i samo ako je 0 rekurentna točka od f s, ali ne i periodična, a K s nema krajnjih točaka ako i samo ako 0 nije rekurentna točka od od f s (vidi [Ba-M]). Ako je h : K s K t homeomorfizam izmedu kontinuuma K s i K t, x krajnja točka od K s i A, B K t potkontinuumi koji sadrže h(x), tada su h 1 (A), h 1 (B) K s potkontinuumi od K s koji sadrže x. Budući da je x krajnja točka od K s vrijedi ili h 1 (A) h 1 (B) ili h 1 (B) h 1 (A) pa je ili A B ili B A. Dakle, krajnje točke su topološke invarijante pa je jedan slučaj u topološkoj klasifikaciji Knasterovih kontinuuma K s, klasifikacija familije {K s : s (1, 2], 0 je periodična točka od f s }. U ovom radu topološki ćemo klasificirati familiju K = {K s : s [ 2, 2], 0 je periodična točka od f s }. Razlog za ograničenje na segment [ 2, 2] je u činjenici što je za s [ 2, 2] funkcija f s lokalno završno surjektivna ( locally eventually onto, leo ), tj.
1. Kodiranje Knasterovih kontinuuma K s 4 za svaki interval J [0, 1] postoji n N takav da je fs n (J) = [0, 1] (vidi [P-Y], str. 40). Prvo ćemo kodirati kontinuume familije K na sličan način kao K. M. Brucks i B. Diamond u [B-D], odnosno kako je C. Bandt kodirao K 2 u [B]. Fiksirajmo N N, N > 2. Neka je s [ 2, 2] takav da je točka 0 periodična točka funkcije f s s periodom N. Dakle, fs N (0) = 0 i fs n (0) 0 za svaki n N, n < N. Orbita O s (ξ) funkcije f s u točki ξ I je skup O s (ξ) = {ξ, f s (ξ), f 2 s (ξ), f 3 s (ξ),...}, ([C-E], str. 63). Dakle, orbita O s (0) je konačan skup od N elemenata. Označimo točku ekstrema od f s sa c, tj. c = s 1 s. Budući da je f s(1) = 0 i f 1 s (0) = {1} te f s (c) = 1 i fs 1 (1) = {c} i vrijedi f s (f s (fs N 2 (0))) = f s (fs N 1 (0)) = fs N (0) = 0. Zaključujemo da je fs N 1 (0) = 1 i fs N 2 (0) = c, tj. 1 i c su elementi orbite O s (0). Neka je O s (0) = {0 = ξ 0 < ξ 1 <... < ξ N 1 = 1}. Neka su I i = [ξ i, ξ i+1 ], i {0,..., N 2}. Tada familija podsegmenata {I i } čini particiju, jer su nutrine svaka dva segmenta familije medusobno disjunktne. Takoder vrijedi N 2 i=0 I i = I. Funkcija f s je Markovljeva, tj. f s je surjektivna, C 1 i monotona na svakom od intervala inti i, i {0,..., N 2} te vrijedi: (i) postoji α > 1 takav da je f s(x) α, za svaki x I i, i {0,..., N 2}, (ii) ako je f s (inti i ) inti j, tada f s (inti i ) inti j, i, j {0,..., N 2}, (vidi [P-Y], str. 39). Markovljev graf funkcije f s : I I pridružen particiji {I i } je graf čiji su vrhovi segmenti I i particije {I 0,..., I N 2 }, a bridovi su parovi (I j, I k ) takvi da f s (I j ) I k. Takvi bridovi označavaju se I j I k,
1. Kodiranje Knasterovih kontinuuma K s 5 ([M-S], str. 83). Pokažimo da za svaku točku ξ I postoji barem jedan put Markovljevog grafa I i0 I i1 I ik sa svojstvom f k s (ξ) I ik za svaki k Z +. Budući da je N 2 i=0 I i = I, postoji I i0 takav da je ξ I i0. Pretpostavimo da smo konstruitali put I i0 I i1 I ij. Po pretpostavci indukcije f j s (ξ) I ij pa je fs j+1 (ξ) f s (I ij ). Ako fs j+1 (ξ) leži u nutrini nekog segmenta I k particije, tada je f s (inti ij ) inti k. Ako je fs j+1 (ξ) zajednička rubna točka dvaju susjednih segmenata I k, I k+1 particije, tada je ili f s (inti ij ) inti k ili f s (inti ij ) inti k+1. Svakako za I ij+1 = I k ili I ij+1 = I k+1 vrijedi f s (inti ij ) inti ij+1. Budući da je funkcija f s Markovljeva, tada vrijedi f s (inti j ) inti j+1, tj. put I i0 I i1 I ij I ij+1 je Markovljev. Dakle, za svaku točku ξ I postoji barem jedan put Markovljevog grafa I i0 I i1 I ik sa svojstvom f k s (ξ) I ik za svaki k Z +. Za svaki takav put reći ćemo da je pridružen točki ξ. Takoder vrijedi da za svaki put u Markovljevom grafu I i0 I i1 I ik postoji barem jedna točka ξ I i0 I za koju je f k s (ξ) I ik za svaki k Z + ([M-S], str. 83). Primijetimo da c ne pripada nutrini niti jednog podsegmenta I i, jer je c O s (0). Zato je ili I i [0, c] ili I i [c, 1] za svaki i {0,..., N 2}. Označimo I 0 = [0, c] i I 1 = [c, 1]. Neka je I i0 I i1 I ik neki put Markovljevog grafa (konačan ili beskonačan). Svakom takvom putu pridružimo niz x 0 x 1... x k... (konačan ili beskonačan) tako da je x j = { 0, Iij I 0, 1, I ij I 1.
1. Kodiranje Knasterovih kontinuuma K s 6 Dakle, za svaki j, I ij I x j. Definicija 1.1 Konačan ili beskonačan niz nula ili jedinica zovemo dopustiv ( allowed ) (u odnosu na funkciju f s ) ako postoji put Markovljevog grafa kojemu je taj niz pridružen. Ako je niz x 0 x 1... x n... dopustiv, onda je i svaki njegov konačni dio x j... x j+k dopustiv. Lema 1.2 Neka je x 0 x 1... x N 1 dopustiv niz duljine N. Svi putevi Markovljevog grafa kojima je taj niz pridružen počinju iz istog vrha. Dokaz: Neka su I i0 I i1 I in 1 i I j0 I j1 I jn 1 dva puta Markovljevog grafa kojima je pridruženi niz x 0 x 1... x N 1. Neka su I ik = [ξ ik, ξ ik +1], I jk = [ξ jk, ξ jk +1] i J k = conv(i ik I jk ), k {0,..., N 1}, gdje conv(a) označava konveksnu ljusku od A. Budući da je vrhovima I ik i I jk pridružen isti element x k dopustivog niza x 0 x 1... x N 1, segmenti I ik i I jk su oba ili lijevo od c ili desno od c. Dakle, c / int J k i f s Jk je strogo monotona za svaki k {0,..., N 1}. Zbog toga i zato što f s (I ik ) I ik+1 i f s (I jk ) I jk+1 dobivamo: I ik I jk I ik+1 I jk+1. Pretpostavimo da je I i0 I j0. Tada je I ik I jk za svaki k {0,..., N 1}. Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je i 0 < j 0. Tada je f s (ξ i0 +1) int J k za svaki k {0,..., N 1}. No, ξ i0 +1 O(0) pa postoji K N, K N 1 takav da je fs K (ξ i0 +1) = c što je u suprotnosti s tvrdnjom da c / int J k za svaki k {0,..., N 1}. Dakle, I i0 = I j0.
1. Kodiranje Knasterovih kontinuuma K s 7 Lema 1.3 Neka je x 0 x 1... x N+1 {0, 1} N+2 konačan niz duljine N + 2. Ako su x 0 x 1... x N i x 1 x 2... x N+1 dopustivi nizovi onda je i niz x 0 x 1... x N+1 dopustiv. Dokaz: Neka je I i0 I i1 I in put Markovljevog grafa kojemu je pridružen niz x 0 x 1... x N, a I j1 I j2 I jn+1 put Markovljevog grafa kojemu je pridružen niz x 1 x 2... x N+1. Niz x 1 x 2... x N je dopustiv niz duljine N, te prema lemi 1.2 svi putevi Markovljevog grafa kojima je taj niz pridružen počinju iz istog vrha. Dakle, I i1 = I j1 pa postoji put oblika I i0 I j1 I j2 I jn+1. Budući da je tom putu pridružen niz x 0 x 1... x N+1, on je dopustiv. Lema 1.4 Ako je x 0 x 1... x n... niz kojemu je za svaki n N početni dio x 0 x 1... x n dopustiv, tada je i niz x 0 x 1... x n... dopustiv. Dokaz: Dokaz provodimo indukcijom. Budući da je konačan niz x 0 x 1... x 2N 1 dopustiv, postoji put Markovljeva grafa I j0 I j1 I j2n 1 koji mu je pridružen. Zbog leme 1.2 početni dio duljine N + 1 je jedinstveno odreden. Označimo ga sa I i0 I i1 I in. Želimo pokazati da taj put možemo produžiti do puta Markovljevog grafa pridruženog nizu x 0 x 1... x n.... Budući da je konačan niz x 0 x 1... x 2N dopustiv, postoji put Markovljeva grafa I k0 I k1 I k2n koji mu je pridružen. Zbog leme 1.2 početni dio duljine N + 2 je jedinstveno odreden. Početni dio duljine N + 1 upravo je I i0 I i1 I in, a vrh na mjestu N + 1, koji je jedinstven, označimo sa I in+1.
1. Kodiranje Knasterovih kontinuuma K s 8 Pretpostavimo da smo put I i0 I i1 I in+1 na jedinstven način produžili do puta I i0 I i1 I in+k, tj. I i0 I i1 I in+k je jedinstveni početni dio puta Markovljevog grafa pridružen dopustivom nizu x 0 x 1... x 2N+k 1. Budući da je x 0 x 1... x 2N+k dopustiv, postoji put Markovljeva grafa I l0 I l1 I l2n+k koji mu je pridružen. Zbog leme 1.2 početni dio duljine N + k + 2 je jedinstveno odreden. Početni dio duljine N + k + 1 je upravo je I i0 I i1 I in+k, a vrh na mjestu N + k + 1, koji je jedinstven, označimo sa I in+k+1. Dakle, imamo put Markovljevog grafa I i0 I i1 I in+k I in+k+1 koji je jedinstveni početni dio puta pridruženog nizu x 0 x 1... x 2N+k. Propozicija 1.5 Niz x 0 x 1 x 2... {0, 1} Z + je dopustiv ako je svaki njegov konačan dio duljine N + 1 dopustiv, tj. ako je za svaki j Z + konačan niz x j x j+1... x j+n dopustiv. Dokaz: Zbog leme 1.4 treba samo dokazati da je za svaki k N konačan niz x 0... x k dopustiv. Dokaz se provodi indukcijom uz primijenu leme 1.3 i leme 1.2. Budući da ćemo u nastavku koristiti razne vrste nizova, da bismo izbjegli moguću zabunu, uvodimo sljedeće oznake: dvostrane nizove označavat ćemo sa x = (x i ) i Z =... x 2 x 1 x 0 x 1 x 2...,
1. Kodiranje Knasterovih kontinuuma K s 9 nadesno beskonačne nizove označavat ćemo sa x = (xi ) i Z+ = x 0 x 1 x 2..., nalijevo beskonačne nizove označavat ćemo sa x = (x i ) i N =... x 3 x 2 x 1. Neka je x 0... x k konačan niz i y = (y i ) i Z+. Označavat ćemo: (x 0... x k ) n = x 0... x }{{} k x 0... x }{{} k... x 0... x }{{} k n puta (x 0... x k ) = x 0... x }{{} k x 0... x }{{} k... puta x 0... x k y = x0... x k y 0 y 1.... Neka je X + s = { x {0, 1} Z + : x je dopustiv} prostor svih dopustivih nizova u odnosu na funkciju f s. Neka je d metrika na prostoru X + s dana na sljedeći način: za dva niza x, y X + s, x = (x i ) i Z+, y = (y i ) i Z+, d( x, y ) = { 0, x = y, 2 k, x y, gdje je za x y, k = min{j Z + : x j y j }, ([P-Y], str. 41). Neka je σ : X + s X + s preslikavanje pomaka definirano sa σ((x i ) i Z+ ) = (x i+1 ) i Z+. Preslikavanje σ je neprekidno, ([P-Y], str. 41). Lema 1.6 Prostor X + s je kompaktan.
1. Kodiranje Knasterovih kontinuuma K s 10 Dokaz: Neka je X + prostor svih nadesno beskonačnih nizova. Prostor X + je kompaktan, ([P-Y], str. 41) i X + s X + pa je dovoljno pokazati da je X + s zatvoren. Neka je ( x i ) i N, x i X + s, proizvoljan niz dopustivih nizova koji konvergira prema nekom nizu x 0 X +. Pokažimo da je tada x 0 X + s, tj. da je x 0 dopustiv. No, ( x i ) x 0 povlači da postoji podniz ( x i k ) takav da je d( x i k, x 0 ) < 1/2 k, tj. x i k j = x 0 j za sve 0 j k 1. Dakle, svaki konačni početni dio x 0 0... x 0 k 1 niza x 0 je dopustiv pa je po lemi 1.4 i niz x 0 dopustiv. Svakoj točki ξ I može se pridružiti dopustiv niz i s (ξ) = i s,0 (ξ)i s,1 (ξ) takav da vrijedi i s,j (ξ) = { 0, f j s (ξ) I 0, 1, fs j (ξ) I 1. Dovoljno je odabrati Markovljev put za koji vrijedi f j s (ξ) I ij te uzeti za i s,j (ξ) {0, 1} jedinstvenu vrijednost za koju je I ij I i s,j(ξ). Dopustiv niz i s (ξ) zove se itinerer točke ξ u odnosu na funkciju f s. Ukoliko je jasno na koju funkciju f s se itinerer i s (ξ) odnosi, pisat ćemo samo i(ξ). Svakoj točki ξ I \ i=0{fs i (c)} pridružen je jedinstven itinerer i(ξ). Pokažimo da je točki 1 I takoder pridružen jedinstven itinerer. Neka je I i0 I i1 I ik neki put Markovljevog grafa pridružen točki 1. Pokažimo prvo da je taj put jedinstven. Budući da je 1 I N 2 i 1 / I j, j {0,..., N 3}, I i0 je jedinstven, tj. I i0 = I N 2. Jer je f s (1) = 0 I 0 i 0 / I j, j {1,..., N 2}, I i1 je jedinstven, tj. I i1 = I 0. Vrijedi fs 2 (1) = f s (0) f s (I 0 ) pa postoji jedinstveni k {0,..., N 2} takav da je fs 2 (1) I k i f s (I 0 ) I k. Pretpostavimo da su I i0, I i1,..., I il jedinstveni takvi da je fs j (1) I ij,
1. Kodiranje Knasterovih kontinuuma K s 11 j {0,..., l} i f s (I ij 1 ) I ij, j {1,..., l}. Budući da je fs l+1 (1) f s (I il ), postoji jedinstveni m takav da je fs l+1 (1) I m i f s (I il ) I m. Dakle, I i0 I i1 I ik je jedinstven. Jer je 1 periodična točka s periodom N, vrijedi I in = I i0 pa je zbog upravo dokazane jedinstvenosti put I i0 I i1 I ik periodičan, tj I ipn+m = I im za svaki p Z + i m {0,..., N 1}. Neka je x = x 0 x 1... x k... dopustiv niz pridružen putu I i0 I i1 I ik. Budući da vrijedi f k s (1) I ik I x k za svaki k Z +, niz x je itinerer točke 1. Pretpostavimo da itinerer točke 1 nije jedinstven, tj. da postoji dopustiv niz y x, y = y 0 y 1... y k... takav da je f k s (1) I y k za svaki k Z+. Jer je y dopustiv niz, postoji put Markovljevog grafa Ij0 I j1 I jk kojemu je niz y pridružen, tj. put sa svojstvom I jk I y k za svaki k Z+. Za taj put postoji točka ξ I j0 za koju vrijedi f k s (ξ) I jk za svaki k Z + pa je niz y i itinerer točke ξ. Takoder vrijedi I j0 I i0 = I N 2, jer je put koji kreće iz vrha I N 2 jedinstven. Dakle, ξ 1. Zbog 1 I 1 vrijedi y 0 = 1 pa je i ξ I 1. Budući da je f s I 0 i f s I 1 strogo monotona, a f k s ([ξ, 1]) I y k za svaki k Z +, dobivamo da je f k s ([ξ, 1]) I y k za svaki k Z+, što je u suprotnosti s činjenicom da je f s lokalno završno surjektivna. Dakle, itinerer točke 1 je jedinstven. Budući da je 1 periodična točka s periodom N i njen itinirer je periodičan s istim periodom. Označimo i(1) = 1 = (1 0 1 1... 1 N 1 ). Točki c pridružena su dva itinerera: 0 1 i 1 1. Svakoj točki ξ I za koju postoji k N takav da je fs k (ξ) = c i fs j (ξ) c za j N, j < k, takoder su pridružena
1. Kodiranje Knasterovih kontinuuma K s 12 dva itinerera: i 0 i 1... i k 1 0 1 i i 0 i 1... i k 1 1 1, ([B], str. 233). Budući da za svaki put u Markovljevom grafu I i0 I i1 I ik postoji točka ξ I i0 ξ I x 0 za koju vrijedi f k s (ξ) I ik, za svaki dopustiv niz x postoje točka i itinerer i(ξ) takvi da je x = i(ξ). Na prostoru svih dopustivih nizova X + s dan je linearni uredaj na sljedeći način: za x, y X + s vrijedi x y ako postoji l 0 takav da je x i = y i za i {0,..., l 1} i εx l < εy l, gdje je ε = l 1 i=0 ( 1)x i = l 1 i=0 ( 1)y i { 1, 1}. Takoder vrijedi x y ako je x y ili x = y. Ako su ξ 1, ξ 2 I i i(ξ 1 ), i(ξ 2 ) X + s takvi da je i(ξ 1 ) i(ξ 2 ), tada vrijedi ξ 1 < ξ 2. Dokaz je sličan dokazu leme II.1.2 u [C-E] (str.66). Zato za svaki x X + s, x 1, vrijedi x 1. Pokažimo da linearni uredaj ne ovisi o izboru itinerera i(ξ) točke ξ. Lema 1.7 Neka je ξ i=0{f i s (c)} i i(ξ) i (ξ) dva itinerera točke ξ. Tada ne postoji z X + s takav da je i(ξ) z i (ξ). Dokaz: Označimo zbog jednostavnosti x = i(ξ) i y = i (ξ). Budući da su x y, postoji k Z+ takav da je x i = y i za i {0,..., k 1}, x k y k = 1 i (x i ) i=k+1 = (y i) i=k+1 = 1. Pretpostavimo da je k 1 i=0 ( 1)x i = 1. Tada je x k = 0 i y k = 1. Pretpostavimo da postoji z X + s takav da je x z y. Tada je xi = z i za i {0,..., k 1}. Ako je z k = x k = 0, tada je k i=0 ( 1)x i = k i=0 ( 1)z i = 1 i iz x z slijedi da je 1 (z i ) i=k+1, što je nemoguće. Ako je z k = y k = 1, tada je k i=0 ( 1)y i = k i=0 ( 1)z i = 1, i iz z y opet dobivamo 1 (z i ) i=k+1 što je nemoguće. Dakle, ne postoji
1. Kodiranje Knasterovih kontinuuma K s 13 z X + s dokaz je analogan. takav da je x z y. Uz pretpostavku k 1 i=0 ( 1)x i = 1, Za itinerere i(ξ 1 ) i(ξ 2 ) vrijedi ξ 1 < ξ 2. Budući da je linearni uredaj, vrijedi i obrat, tj. ako su ξ 1, ξ 2 I takve da je ξ 1 < ξ 2, tada je i i(ξ 1 ) i(ξ 2 ). Lema 1.8 Neka je s [ 2, 2] i i s (1) itinerer točke 1 u odnosu na funkciju f s. Preslikavanje s i s (1) je strogo rastuće. Dokaz leme dan je u [B-D2]. Dokaz: Za svaki s [ 2, 2] i n N, f n s maksimalnih intervala na kojima je f n s inducira particiju koja se sastoji od strogo monotona. Neka je l n (s) broj tih intervala. Budući da je topološka entropija h(f s ) = lim n 1 n log l n(s) (teorem 7.2 u [M-S], str. 169), iz korolara iza teorema 7.2 u [M-S] (str. 171) slijedi h(f s ) = log s. Jer je f s (1) = 0 za svaki s, prve dvije koordinate u itinereru i s (1) za svaki s su 1 pa 0. Zato za s, t [ 2, 2] takve da je i s (1) i t (1) vrijedi i t (0) i s (0). Neka je za s [ 2, 2], S s = {x 0... x n 1 {0, 1} n : i s,0 (0)... i s,n 1 (0) x 0... x n 1 i s,0 (1)... i s,n 1 (1)}. Ako je i s (1) i t (1), tada je card S s card S t. Iz teorema II.3.8 [C-E] (str. 89) slijedi da za svaki x {0, 1} Z + sa svojstvom i s (0) x i s (1) i σ k x i s (1) za svaki k N, postoji ξ I takav da je i s (ξ) = x. Drugim riječima, svaki x {0, 1} Z + takav da je i s (0) x i s (1) i σ k x i s (1) za svaki k N, je dopustiv. Zato iz card S s card S t slijedi card {x 0... x n 1 S s : x 0... x n 1 je dopustiv} card {x 0... x n 1 S t : x 0... x n 1 je dopustiv}.
1. Kodiranje Knasterovih kontinuuma K s 14 Neka je s [ 2, 2] i x 0... x n 1 {0, 1} n dopustiv niz u odnosu na f s. Tada je { ξ I : i s,0 (ξ)... i s,n 1 (ξ) = x 0... x n 1 } = { ξ I : f j s (ξ) I x j, j {0,..., n 1}} segment maksimalne duljine na kojemu je f n s strogo monotona pa je card {x 0... x n 1 S s : x 0... x n 1 je dopustiv} = l n (s). Zato za s, t [ 2, 2] takve da je i s (1) i t (1) vrijedi l n (s) l n (t). Pretpostavimo da je s > t i i s (1) i t (1). Tada je l n (s) l n (t) pa je i h(f s ) = lim n 1 n log l n(s) lim n 1 n log l n(t) = h(f t ) što je u suprotnosti sa h(f s ) = log s > log t = h(f t ). Dakle, preslikavanje s i s (1) je strogo rastuće. U prostor X + s uvodimo relaciju ekvivalencije. Za x, y X + s, x = (x i ) i Z+, y = (y i ) i Z+, kažemo da je x y ako je ili x = y ili postoji k Z + takav da je (1) x i = y i, 0 i < k, (2) x k y k = 1, (3) σ k+1 ( x ) = σ k+1 ( y ) = 1. Na taj način dobivamo kvocijentni prostor X + s /. Propozicija 1.9 Jedinični segment I i prostor X + s / su homeomorfni. Ta propozicija je za slučaj s = 2 dana u [B]. Propoziciju 1.9 dokazat ćemo konstrukcijom homeomorfizma s kvocijentnog prostora X + s / na segment I. Definirajmo prvo preslikavanje π : X + s I na sljedeći način: za x X s +, x = (x i ) i Z+, neka je π( x ) = i=0fs i (I x i ), gdje je fs i = (fs) i 1.
1. Kodiranje Knasterovih kontinuuma K s 15 Pokažimo da je preslikavanje π dobro definirano. Za svaki k Z + neka je J k ( x ) = k i=0fs i (I x i ). Budući da je x dopustiv, postoji put Markovljevog grafa kojemu je taj niz pridružen. Neka je I i0 I i1 I ik početni dio tog puta pridružen konačnom nizu x 0 x 1... x k. Dakle, za svaki j vrijedi f s (I ij ) I ij+1 I i0 f 1 s pa fs k (I i0 ) fs k 1 (I i1 ) f s (I ik 1 ) I ik. Zato vrijedi (I i1 ) f k+1 dobivamo I i0 f 1 s s (I i1 ) f k (I ik 1 ) f k s (I ik ). Budući da je I ij I x j, s (I ik ) I x 0 fs 1 (I x 1 ) fs k (I x k ) = J k ( x ). Dakle, J k ( x ) je zatvoren i J k ( x ). Takoder vrijedi J 0 ( x ) J 1 ( x )... J k ( x )..., pa je k=0 J k( x ). Sada ćemo pokazati da je diam(j k ( x )) 1 s k. Pokažimo prvo da za svaki skup S [0, 1] i x {0, 1} vrijedi diam(i x fs 1 (S)) 1 diam(s). ( ) s Funkcija f s ima svojstvo da je diamf s (P ) = s diam(p ) za svaki P I 0 ili P I 1. Kako je P = I x f 1 s (S) I x i f s (P ) f s (fs 1 (S)) S, to je diam(p ) = 1 s diamf s(p ) 1 s diam(s). Jer je diam(j 0) = diam(i x 0 ) 1, tvrdnja vrijedi za k = 0. Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za k = n 1, n 1. J n = I x 0 f 1 s (I x 1 ) f n s (I x n ) = I x 0 fs 1 (I x 1 fs n+1 (I x n )). Po pretpostavci indukcije vrijedi diam(i x 1 f n+1 s (I xn )) 1 s n 1. Iz ( ) slijedi diam(j n ) 1 s diam(ix 1 f n+1 s (I x n )) 1 s n. Dakle, diam(j k ( x )) 1 s k 0 kada k pa je i=0(fs i (I x i )) jedna točka. To je po definiciji točka π( x ). Neka je π : X + s / I preslikavanje definiramo sa π([ x ]) = π( x ), gdje je [ x ] klasa od x s obzirom na relaciju ekvivalencije. Preslikavanje π je dobro definirano jer ne ovisi o izboru predstavnika x [ x ].
1. Kodiranje Knasterovih kontinuuma K s 16 Lema 1.10 Preslikavanje π je homeomorfizam. Dokaz: Pokažimo prvo da je preslikavanje π neprekidno. Neka je ɛ > 0 i k N takav da vrijedi 1/s k/n < ɛ. Neka su x, y X + s takve da je d( x, y ) 1/2 k+1. Tada je x i = y i za i {0,..., k}. Dakle, π( x ), π( y ) J k ( x ), pa vrijedi d(π( x ), π( y )) diam(j k ( x )) 1/s k/n < ɛ. Preslikavanje π je surjekcija. Za svaku točku ξ I \ i=0fs i (c), postoji jedinstveni dopustivi niz x = (x i ) i Z+ takav da je f i s(ξ) int I x i za svaki i Z + i π( x ) = ξ. Budući da je slika od X + s po π kompaktan skup koji sadrži gusti podskup, π je surjekcija. Pokazat ćemo sada da za svaki ξ I skup E(ξ) = { x X + s : π( x ) = ξ} sadrži ili jedan ili dva elementa. Posebno, skup točaka ξ I takvih da E(ξ) sadrži dva elementa je prebrojiv skup i=0f i s (c), jer je svaki f i (c)konačan. Pretpostavimo da je ξ = π( x ) = π( y ), x = (x i ) i Z+ (y i ) i Z+ = y. Ako je x 0 y 0, tada je ξ I x 0 I y 0 = {c}. No, tada je do na izbor x 0 = 0 s ili x 0 = 1 niz x = (x i ) i Z+ jedinstveno odreden sa π( x ) = c. Dakle, E(c) ima dva elementa. Ako je x j = y j za j = 0,..., k 1 i x k y k, tada je f k s (ξ) I x k I y k = {c}. No, tada je do na izbor xk = 0 ili x k = 1, ostatak niza (x i ) i=k, a time i cijeli niz (x i) i Z+, jedinstveno odreden sa π( x ) = ξ. Dakle, E(ξ) može imati najviše dva elementa, a ima točno dva elementa samo za ξ i=0{fs i (c)}. Primijetimo da su x i y ekvivalentni, ako i samo ako je π( x ) = π( y ). Dakle, π inducira bijekciju π koja je neprekidna pa je π homeomorfizam jer je X + s / kompaktan.
1. Kodiranje Knasterovih kontinuuma K s 17 Preslikavanje π : X + s I je semikonjugacija izmedu preslikavanja σ : X + s X + s i funkcije f s : I I ako je π surjekcija i vrijedi π σ = f s π, ([B], str. 233, [P-Y], str. 41, 42). U dokazu leme 1.10 pokazali smo da je π surjekcija. Budući da za svaki x X + s, x = (x i ) i Z+, vrijedi (f s π)((x i ) i Z+ ) = f s ( i=0f i s (I x i )) = f s (I x 0 ) ( i=0fs i (I x i+1 )) i=0fs i (I x i+1 ) = π((x i+1 ) i Z+ ) = (π σ)((x i ) i Z+ ), a f s (π( x )) i π(σ( x )) su neprazni jednočlani skupovi, zaključujemo da je zaista π σ = f s π, dakle π je semikonjugacija. Ako postoji niz y [ x ] za koji vrijedi y x, on je jedinstven i označavat ćemo ga sa x = (x i ) i Z+. Ako ne postoji y [ x ] takav da je y x tada je x = x. Neka je π : X + s X + s / kvocijentno preslikavanje. Neka je topologija T na X + s / kvocijentna topologija, tj. T = {U : U X + s /, π 1 (U) je otvoren u X + s }. Za klasu [ x ] X + s / i m Z + neka je U [ x ] m = {[ y ] : [ y ] X + s /, v [ y ], v 0... v m {x 0... x m, x 0... x m}}, tj. U [ x ] m je skup svih klasa [ y ] čiji se svaki niz podudara u prvih m + 1 elemenata ili s nizom x ili s nizom x. Neka je B = {U [ x ] m : [ x ] X + s /, m Z}. Lema 1.11 Familija B je baza topologije T. Dokaz: Očigledno je B T i B je pokrivač za X + s /. Pokažimo da ako je U 1, U 2 B, [ x ] U 1 U 2, onda postoji U B takav da je [ x ] U
1. Kodiranje Knasterovih kontinuuma K s 18 U 1 U 2. Neka je U 1 = U [ y ] m = {[ w ] : [ w ] X + s /, v [ w ], v 0... v m {y 0... y m, y 0... y m}}, U 2 = U [ z ] n = {[ w ] : [ w ] X + s /, v [ w ], v 0... v n {z 0... z n, z 0... z n}}. Budući da je [ x ] U 1 U 2, tada za svaki u [ x ] vrijedi u 0... u m {y 0... y m, y 0... y m} i u 0... u n {z 0... z n, z 0... z n}. Pretpostavimo da je n m. U [ x ] m Tada je {z 0... z n, z 0... z n} = {y 0... y n, y 0... y n} pa je [ x ] U 1 U 2. Za m n zaključak je analogan. Lema 1.12 Preslikavanje pomaka σ : X + s / X + s / definirano sa σ([ x ]) = [σ x ] je neprekidno. Dokaz: σ je dobro definirano preslikavanje. Pokažimo da je σ neprekidno. Neka je U X s + / otvoren podskup. Želimo pokazati da je σ 1 (U) otvoren u X s + /. No, σ 1 (U) je otvoren u X s + / ako je π 1 ( σ 1 (U)) = ( σ π) 1 (U) otvoren u X s +. Budući da je σ π = π σ i π σ je neprekidno, ( σ π) 1 (U) = (π σ) 1 (U) je otvoren u X + s te je σ neprekidno. Na prostoru X s + / definiramo linearni uredaj relacijom [ x ] [ y ] ako je x y. Iz leme 1.7 slijedi da uredaj ne ovisi o izboru predstavnika. Iz konstrukcije homeomorfizma π vidi se da π 1 : I X s + / svakoj točki ξ I pridruži njen itinerer i(ξ). Već smo pokazali da za ξ 1, ξ 2 I, ξ 1 < ξ 2 povlači i(ξ 1 ) i(ξ 2 ) te da i(ξ 1 ) i(ξ 2 ) povlači ξ 1 < ξ 2. Dakle, homeomorfizam π : X s + / I čuva uredaj pa kažemo da je uredaj prirodan.
1. Kodiranje Knasterovih kontinuuma K s 19 Definicija 1.13 Za dvostrani niz x = (x i ) i Z {0, 1} Z kažemo da je dopustiv ako je svaki njegov desni rep x j x j+1 x j+2... dopustiv. Korolar 1.14 Dvostrani niz (x i ) i Z {0, 1} Z je dopustiv ako je svaki njegov konačan dio duljine N + 1 dopustiv. Neka je X s = { x {0, 1} Z : x je dopustiv} prostor svih dopustivih nizova. Neka je d metrika na prostoru X s dana na sljedeći način: za dva niza x, ȳ X s, x = (x i ) i Z, ȳ = (y i ) i Z, d( x, ȳ) = { 0, x = ȳ, 2 k, x ȳ, gdje je za x ȳ, k = min{ j : j Z, x j y j }. Neka je σ : X s X s preslikavanje pomaka definirano sa (σ x) i = x i+1 za svaki i Z. Preslikavanje σ je homeomorfizam, ([P-Y], str. 2). Na prostor X s uvodimo relaciju ekvivalencije. Za x, ȳ X s, x = (x i ) i Z, ȳ = (y i ) i Z, kažemo da je x ȳ ako postoji k Z takav da je x i = y i za i < k i x k x k+1 x k+2... y k y k+1 y k+2.... Na taj način dobivamo kvocijentni prostor X s /. Propozicija 1.15 Prostori K s i X s / su homeomorfni. Ta propozicija je u nešto širem kontekstu dokazana u [B-D], a za slučaj s = 2 dokazana je u [B]. Dokaz: Iz definicije relacije slijedi da uvijek možemo izabrati k 0 takav da je x i = y i za i < k i x k x k+1 x k+2... y k y k+1 y k+2.... Za svaki k 0 neka je Y + s,k = {(y i) i=k : (y i) i=k je dopustiv }. Neka je σ k : Y + s,k 1 / Y + s,k /
1. Kodiranje Knasterovih kontinuuma K s 20 preslikavanje pomaka definirano analogno kao σ u lemi 1.12, tj. za [ y ] Y + s,k 1 /, y = (y i ) i=k 1, neka je σ k([ y ]) = [σ k ( y )], gdje je preslikavanje σ k : Y + s,k 1 Y + s,k dano sa σ k((y i ) i=k 1 ) = (y i) i=k. Tada za svaki k postoji homeomorfizam h k : Y + s,k / X + s / dan sa h k ([ y ]) = [ x ], x = (x i ) i Z, x i = y k+i, i Z, takav da vrijedi h k σ k = σ h k 1. Dakle, u sljedećem dijagramu svi četverokuti su komutativni. Y + s,k 1 / σ k Y + s,k / Y + s,( 1) / σ 0 Y + s,0 / h k 1 h k h ( 1) h 0 X + s / σ X + s / X + s / σ X + s / π π π π I f s f s I I I Zato su i inverzni limesi lim {Y + s, k /, σ k } k=0, X s / = lim {X + s /, σ} i K s = lim{i, f s } medusobno homeomorfni. No, lim{y + s, k /, σ k } k=0 = {(..., [ y k 1 ], [ y k ],..., [ y ( 1) ], [ y 0 ]) : σ k ([ y k 1 ]) = [ y k ], k Z + } i za svaki u k [ y k ], u k = u k u k+1 u k+2..., postoji v k 1 [ y k 1 ] takav da je v k 1 = v k 1 u k u k+1.... Zato možemo pisati (..., [ y k 1 ], [ y k ],..., [ y ( 1) ], [ y 0 ]) = [ȳ] gdje je ȳ = (y i ) i Z X s, i vrijedi x = (x i ) i Z [ȳ] ako i samo ako postoji k 0 takav da je x i = y i za i < k, a (x i ) i=k i (y i) i=k su predstavnici iste točke [ y ] Y + s,k /.
1. Kodiranje Knasterovih kontinuuma K s 21 Projekcije π k : X s / I dane su sa π k ([ x]) = i=0f i s (I x i k ) Često ćemo identificirati K s sa X s / preko homeomorfizma iz dokaza propozicije 1.15. Niz ȳ [ x] takav da je ȳ x označavat ćemo sa x = (x i ) i Z. Ako ne postoji ȳ [ x] takav da je ȳ x, tada je x = x. Za dvostrani niz x = (x i ) i Z, nadesno beskonačan niz (x i ) i=j, tj. desni rep od x, označavat ćemo sa x j = (x i ) i=j. Zanima nas topologija na K s. Znamo da je K s = lim {X + s /, σ}. Za i N, neka je π i : K s X + s / i-ta projekcija. Tada je U = {π 1 i (V ) : V je otvoren u X + s /, i N} baza topologije prostora K s. Lema 1.16 Za [ x] K s, n Z +, m Z, n m, neka je U [ x] n,m = {[ȳ] : [ȳ] K s, v [ȳ], v n... v m {x n... x m, x n... x m}}. Neka je V = {U [ x] n,m : n Z +, m Z, n m, [ x] K s }. Familija V je baza topologije i generira istu topologiju kao i baza U. Dokaz: Analogno dokazu Leme 1.11 može se pokazati da je familija V baza neke topologije na prostoru K s. Pokažimo da baza topologije V generira istu topologiju kao i baza U. Neka je B iz leme 1.11 baza topologije prostora X + s /. Neka je U [ z ] k B proizvoljan. Tada je π 1 i (U [ z ] k ) = {[ȳ] : [ȳ] K s, v [ȳ], v i... v i+k {z 0... z k, z 0... z k}}. Dakle, za svaki [ x] K s i za svaki n, k Z + postoji [ z ] X + s /, [ z ] = [ x n ] takav da je U [ x] n,n+k = π 1 n (U [ z ] k ) pa je V U. Još treba pokazati da za
1. Kodiranje Knasterovih kontinuuma K s 22 svaki U U i za svaku točku [ x] U, postoje n, k Z + takvi da za U [ x] [ x] n,n+k V vrijedi [ x] U n,n+k U. Neka je U U i [ x] U. Tada postoje otvoreni skup V X s + / i n Z + takvi da je U = πn 1 (V ). Budući da je B baza topologije prostora X + s /, postoje k Z + i U [ x n] k U [ x n ] k V. Tada je i πn 1 (U [ x n ] k ) U, tj. [ x] U [ x] n,n+k U. B takvi da je Preslikavanje pomaka σ : K s K s dano sa σ([ x]) = [σ x] dobro je definirano. Lako se vidi da je σ homeomorfizam. Definicija 1.17 Nalijevo beskonačan niz x = (x i ) i N je dopustiv ako je svaki njegov konačan dio duljine N + 1 dopustiv. Za dvostrani niz x = (x i ) i Z, nalijevo beskonačan niz... x j 2 x j 1 x j zvat ćemo lijevi rep od x i označavat ćemo ga x j =... x j 2 x j 1 x j. Ako je x dopustiv, svaki njegov lijevi rep x j je dopustiv. Kompozanta kontinuuma K s od točke [ x] K s je skup svih točaka [ȳ] K s takvih da postoji pravi potkontinum A K s koji sadrži točke [ x] i [ȳ]. Propozicija 1.18 Neka je [ x] K s. Skup svih [ȳ] K s sa svojstvom da postoji j N takav da je y j = x j je kompozanta točke [ x]. Dakle, svaki nalijevo beskonačan dopustiv niz opisuje neku kompozantu od K s, a dva nalijevo beskonačna dopustiva niza y i z opisuju istu kompozantu ako i samo ako imaju isti lijevi rep. Ta propozicija je u nešto širem kontekstu dokazana u [B-D], a za slučaj s = 2 dokazana je u [B].
1. Kodiranje Knasterovih kontinuuma K s 23 Dokaz: Neka su [ x], [ȳ] K s. Pokažimo prvo da ako postoji j N za koji vrijedi x j = y j, tada su [ x] i [ȳ] sadržani u nekom luku od K s. Neka je A = {[ z] : [ z] K s, z j = x j }. Tada c / int π i A, za sve i j, tj. f s πi A je strogo monotona za sve i j. Dakle, A je po propoziciji 1.9 luk od K s i [ x], [ȳ] A. Pokažimo sada da za pravi potkontinuum P od K s vrijedi lim i diam( π i P ) = 0. Pretpostavimo suprotno, tj. da postoji ɛ > o takav da je diam( π j P ) > ɛ za beskonačno mnogo j. Budući da je f s lokalno završna surjekcija, postoji k N takav da za svaki podinterval J I, diam(j) > ɛ, vrijedi f k s (J) = I. Dakle, π i P = I za beskonačno mnogo i, što je u suprotnosti s pretpostavkom da je P pravi potkontinuum od K s. Pokažimo da ako se x 1 i y 1 razlikuju u beskonačno mnogo koordinata, tada [ x] i [ȳ] ne pripadaju istoj kompozanti od K s. Neka je P pravi potkontinuum od K s koji sadrži [ x] i [ȳ]. Izaberimo ɛ > 0 takav da za svaki i j, 0 i, j N vrijedi f i s(c) f j s (c) ɛ. Budući da je P pravi potkontinuum, postoji m N takav da za svaki j N, j m, vrijedi diam( π j P ) < ɛ. Zato π j P sadrži najviše jedan element iz O s (c) = {c, 1 = f s (c),..., fs N 1 (c)}. Neka su m k < l takvi da vrijedi x k y k, x l y l i x i = y i za m i < l, i k. Tada je c π l P i c π k P. Budući da je c periodična s periodom N vrijedi c π l pn P za svaki p N takav da je l pn 1 i c / π i P za m i < l, i l pn. Dakle, k = l qn za neki q. Zato je x l+i = y l+i = 1 i 1 za 1 i l m, i k = l qn i x l+qn y l+qn. No, to je nemoguće, jer je f s πi P strogo monotona za sve i,
1. Kodiranje Knasterovih kontinuuma K s 24 l qn < i < l (q 1)N, f qn 1 s (c) π l qn+1 P pa ne postoji ξ π l qn+1 P, π l qn+1 ([ x]) < ξ < π l qn+1 ([ȳ]) takva da je f s (ξ) = c. Prvi dio dokaza propozicije 1.18 ujedno dokazuje sljedeću tvrdnju: Korolar 1.19 Svaka kompozanta od K s je lukovima povezana. Definicija 1.20 Neka je a = (a i ) i N dopustiv niz. Za n Z + definiramo osnovni luk A n a = {[ x] : [ x] K s, x [ x], x n = a } Umjesto A n pišemo samo A n kada je jasno na koji niz a se osnovni luk a A n odnosi. Zbog propozicije 1.9 osnovni luk A n a je doista luk. Neka je y =... y 3 y 2 y 1 nalijevo beskonačan dopustiv niz. Neka je C kompozanta Knasterovog kontinuuma K s opisana nizom y. Ako je A n osnovni luk sadržan u kompozanti C, tada postoji k N takav da je v v k y n k i v k 1 = y n k 1. Kada je jasno koji niz y je predstavnik kompozante u kojoj je osnovni luk A n sadržan, umjesto A n v pisat ćemo v samo A n v, gdje je v = v k... v 1, jer je tada jasno da je v k 1 = y n k 1. Definicija 1.21 Neka je n Z +. Neka je P (n) = card { i : y i = 1, 1 i n}. Ako je n = 0, neka je P (0) = 0. Kažemo da je luk A n paran (odnosno neparan), ako je P (n) paran (odnosno neparan). Luk A n v, v = v k... v 1, v k y n k, je paran (odnosno neparan) ako je ( 1) P (n+k) = k i=1 ( 1)v i (odnosno ( 1) P (n+k) k i=1 ( 1)v i ).
1. Kodiranje Knasterovih kontinuuma K s 25 Definirat ćemo uredaj na kompozanti C. Za [ x], [ z] C, neka je k = k([ x], [ z]) = max{i N : x i y i ili z i y i, x = (x i ) i Z [ x], z = (z i ) i Z [ z]}. Ako je x i = y i i z i = y i za sve i N, x [ x], z [ z], neka je k = 0. Definicija 1.22 Parnosno-leksikografski uredaj na C definiramo na sljedeći način: kažemo da je x z ako je ili ( 1) P (k) x k < ( 1) P (k) z k ili postoji l Z, l > k, takav da je x i = z i za k i < l i ( 1) P (k) εx l < ( 1) P (k) εz l, gdje je ε = l 1 i= k ( 1)x i ako je x z ili x = z. = l 1 i= k ( 1)x i { 1, 1}. Kažemo da je [ x] [ z] Pokažimo da je uredaj dobro definiran. Lema 1.23 Neka su x = (x i ) i Z, z = (z i ) i Z X s. Neka je k = k( x, z) = max{i N : x i y i ili z i y i }. Neka je l Z, l > k, takav da je x i = z i za k < i < l. Neka je k N, k > k, Tada vrijedi: ( 1) P (k) ( ( 1) P (k ) ( l 1 i= k l 1 ( 1) x i )x l < ( 1) P (k) ( i= k ( 1) xi )x l < ( 1) P (k ) ( l 1 i= k l 1 ( 1) x i )z l i= k ( 1) xi )z l. ( ) Dokaz: Pretpostavimo da su P (k) i P (k ) iste parnosti. Tada je card{y i : y i = 1, k + 1 i k } paran. Takoder vrijedi x i = y i za k + 1 i k. Dakle, ( 1) P (k) = ( 1) P (k ) i k 1 i= k ( 1) x i = 1 pa vrijedi ( ).
1. Kodiranje Knasterovih kontinuuma K s 26 Pretpostavimo da su P (k) i P (k ) različite parnosti. Tada je card{y i : y i = 1, k + 1 i k } neparan. Budući da je x i = y i za k + 1 i k imamo ( 1) P (k) = ( 1) P (k ) k 1 i= k ( 1) x i pa vrijedi ( ). Lema 1.24 Uredaj na C ne ovisi o izboru predstavnika x točke [ x]. Dokaz: Neka su [ x], [ z] C, [ x] [ z], takve da je x z i postoji ū [ x], ū x. Ako je ū x, tada je i ū z. Pretpostavimo da je x ū. Neka je k = k( x, ū, z) = max{i N : x i y i ili u i y i ili z i y i }. Tada su [ x], [ z] A k. Pretpostavimo da je A k paran. Tada je x k z k i x k u k. Budući da je ū [ x], postoji ū x, po lemi 1.11 u k z k. Dakle vrijedi ū z. Za A k neparan dokaz je analogan. Za [ x], [ z] C, [ x] [ z], takve da je x z i v [ z], v z dokaz je analogan. Lema 1.25 Neka je C kompozanta i a = (a i ) i N i c = (c i ) i N dva predstavnika kompozante C. Neka je a uredaj na C u odnosu na predstavnika a, a c uredaj na C u odnosu na predstavnika c. Neka su [ x], [ȳ], [ū], [ v] C takve da vrijedi [ x] c [ȳ] i [ū] c [ v]. Ako je [ x] a [ȳ] tada je [ū] a [ v]. Dokaz: Budući da su [ x], [ȳ], [ū], [ v] C, postoji k N takav da je x k 1 = y k 1 = u k 1 = v k 1 = c k 1 = a k 1. Neka su l 1, l 2 k takvi da je x i = y i za k i l 1 i x l1 y l1 te u j = v j za k j l 2 i u l2 v l2. Neka je P c (k) = card{c i : c i = 1, 1 i k} i P a (k) = card{a i : a i = 1, 1 i k}. Budući da je [ x] c [ȳ] i [ x] a [ȳ],
1. Kodiranje Knasterovih kontinuuma K s 27 vrijedi ( 1) Pc(k) εx l1 < ( 1) Pc(k) εy l1 i ( 1) Pa(k) εx l1 < ( 1) Pa(k) εy l1, gdje je ε = l 1 1 i= k ( 1)x i = l 1 1 i= k ( 1)y i. Dakle, P c (k) = P a (k) pa tada iz [ū] c [ v] slijedi [ū] a [ v]. Parnosno-leksikografski uredaj na C ovisi o izboru niza y. Izborom nekog drugog reprezentanta kompozante C dobiva se ili isti ili suprotni uredaj. Ako je C kompozanta koja ne sadrži krajnju točku od K s, postoji neprekidna bijekcija φ : R C koja čuva uredaj, tj. za ξ 1, ξ 2 R ako je ξ 1 < ξ 2 tada je φ(ξ 1 ) φ(ξ 2 ). Ako je C kompozanta koja sadrži krajnju točku od K s, tada postoji neprekidna bijekcija ψ : [0, C i reprezentant kompozante y takav da ψ čuva uredaj. U tom smislu kažemo da je parnosno-leksikografski uredaj prirodan. Takoder, parnosno-leksikografski uredaj je linearan. Definicija 1.26 Točku [ x] K s zovemo identifikacijska točka ili kraće i- točka ako postoji m Z + takav da je x m+1 = 1. Neka je [ x] K s i-točka i neka je x x. Kažemo da [ x] ima razinu L[ x] = m ako je x m x m = 1. Ako je x = x, kažemo da je L[ x] =. Ako je [ x] K s točka za koju postoji m Z + takav da je x m+1 = 1, tada je i x m+1 = 1, tj. i-točke su dobro definirane. Neka su a = (a i ) i N, b = (b i ) i N, a b, dopustivi nizovi, n N i A n a = {[ x] : [ x] K s, x [ x], x n = a }, A n = {[ x] : [ x] K s, x [ x], x n = b } b
1. Kodiranje Knasterovih kontinuuma K s 28 osnovni lukovi. Ako postoji [ x] A n a A n b tada je x n = a i x n = b. Dakle, [ x] mora biti i-točka pa postoji m n takav da je: a i = b i za m < i, a m b m = 1, a m+i+1 = b m+i+1 = 1 i za 0 < i < m 2, a za [ x] vrijedi x i = x i = a i za m < i, x m x m = 1 i x m+1 = x m+1 = 1, tj. L[ x] = m n. Takoder vrijedi ako je [ȳ] A n a i-točka i L[ȳ] > n tada je [ȳ] A n a. Zaista, ako [ȳ] / A n a, ȳ ȳ i y n = a, tada za svaki [ z] A n a, z n = a takav da je [ȳ] [ z] vrijedi ȳ z ȳ, što nije moguće. Za y n = a dokaz je analogan. Zanima nas struktura kompozante krajnje točke. Zato nadimo sve krajnje točke Knasterovog kontinuuma K s. Lema 1.27 Krajnje točke Knasterovog kontinuuma K s su: 1 = [ x], σ( 1), σ 2 ( 1),..., c = σ N 1 ( 1), gdje je x = (x i ) i Z takav da vrijedi x jn x jn+1... x jn+n 1 = 1 0 1 1... 1 N 1 za svaki j Z. Dokaz: Dokažimo prvo da je 1 krajnja točka od K s. Neka je y = 1 1. Označimo odgovarajuću kompozantu od K s sa C. Vrijedi 1 C. Neka su A B pravi potkontinuumi od K s koji sadrže točku 1. Tada je A C i B C te postoje j, k Z takvi da je j = min{i : x i 1 i, x = (x i ) i Z, [ x] A} i k = min{i : x i 1 i, x = (x i ) i Z, [ x] B}, gdje je 1 i i-ta koordinata od