Maxwellove jednadžbe

Maxwellove jednadžbe

Povijesni uvod - u početku bijaše elektricitet i magnetizam grč. ελεκτρον = jantar Magnesia, pastir Magnus -električni naboj stvara električno polje; ne postoji magnetski naboj (monopol) -Oerstedov pokus (18.): električna struja stvara magnetsko polje koje zakreće magnetsku iglu -veza elektriciteta i magnetizma (nisu više odvojene pojave) -Faraday elektromagnetska indukcija: promjena magnetskog polja stvara električno polje ε = Eds = K dφ d = BdS DIREKTNA VEZA ELEKTRIČNOG I MAGNETSKOG POLJA.

-Maxwell promjenjivo električno polje stvara magnetsko polje Amperov zakon Amper-Maxewllov zakon -postojanje elektromagnetskih valova koji se šire i u praznom prostoru (naizmjenično titranje električnog i magnetskog polja) -svjetlost nije ništa drugo nego jedan takav elektromagnetski val -pronašao je brzinu širenja elektromagnetskog vala u vakuumu = brzina svjetlosti c koja je ista za radio valove, infracrveno zračenje, svjetlost, ultraljubičasto zračenje, x-zrake i γ-zrake -pitanje: treba li svjetlost medij kroz koji se širi kao val (eter) NE (Michelson-Morleyev eksperiment)

-Einstein: c je konstantna u svakom sustavu (bez obzira gdje se nalazi promatrač i kako se giba) -Maxwell: 1861. objavio svoju teoriju u časopisu Philosophical Magazine -1873. remek djelo A Treatise on Electricity and Magnetism u kojem ujedinjuje elektricitet, magnetizam i svjetlost tri različite pojavnosti jedne prirodne pojave: elektromagnetizma -1885. eng. znanstvenik Oliver Heaviside i njem. fizičar Heinrich Hertz nezavisno su objavili Maxwellove jednadžbe u obliku u kojem ih danas poznajemo i neko vrijeme nakon 1885. god. su se zvale Hertz-Heavisideove jednadžbe MAXWELLOVE JEDNADŽBE

Matematički aparat: Operator nabla: = i + x Maxwellove jednadžbe - uvod j y + k z Stokesov teorem (povezuje integral kroz površinu s krivuljnim integralom): Gaussov teorem (povezuje tok nekog vektora kroz zatvorenu površinu s divergencijom toka vektora u volumenu koji ta površina zatvara): AdS = AdS = V Ads -integral normalne komponente rotacije vektora A po zatvorenoj plohi jednak je linijskom integralu tangencijalne komponente vektora A po krivulji koja omeñuje tu plohu AdV -tok vektora A kroz bilo koju zatvorenu plohu jednak je integralu divergencije vektora A preko volumena kojeg zatvara ta ploha

1. MAXWELLOVA JEDNADŽBA Gaussov zakon = tok električnog polja kroz bilo koju zatvorenu površinu S jednak je algebarskom zbroju naboja koji se nalaze unutar te površine / ε 1 EdS = ρdv ε S V Primjenimo Gaussov teorem iz EdS = EdV matematike S V E = dive = ρ ε 1. Maxwellova jednadžba

. MAXWELLOVA JEDNADŽBA Opisuje činjenicu da ne postoje magnetski monopoli. Izvod: Od prije, zbog činjenice da su magnetske silnice zatvorene krivulje (Gaussov zakon za magnetizam). BdS = = BdV B = S V Gaussov teorem B =. Maxwellova jednadžba

3. MAXWELLOVA JEDNADŽBA Faradayev zakon indukcije Faradayev zakon elektromagnetske indukcije (Brzina promjene toka mag. polja kroz petlju jednaka je EMS induciranoj u petlji.). dφ ε = Φ = BdS = B cosϕ ds ϕ = Kut izmeñu smjera indukcije B i okomice na element površine ds. Od prije: napon (ind. ems)= rad po jedinici naboja, tj: ε = Eds K Faraday ε = Eds = K dφ d = BdS d = B cosϕ ds DIREKTNA VEZA ELEKTRIČNOG I MAGNETSKOG POLJA.

K Eds = d S BdS Pomoću Stokesovog teorema: d Eds = EdS = BdS K S S E = db 3. Maxwellova jednadžba Vremenski promjenjivo polje indukcije B stvara oko sebe kružno električno polje.

4. MAXWELLOVA JEDNADŽBA Amperov zakon Promatramo nabijanje ili izbijanje kondenzatora. Dok se kondenzator nabija, vodičem teče struja, a na pločama kondenzatora se skuplja naboj i pojačava električno polje izmeñu ploča kondenzatora. Kondenzator predstavlja prekid strujnog kruga, pa (da bi vrijedio 1. Kirchhoffov zakon) pretpostavljamo da provodna struja koja vodičem doñe do ploča kondenzatora, nastavlja teći izmeñu ploča kondenzatora kao struja pomaka. Jer mora vrijediti jednadžba kontinuiteta struje (zakon sačuvanja naboja) Provodna struja i struja pomaka moraju biti jednake.

Potražimo vezu izmeñu struje pomaka i toka el. polja: Uzimamo zatvorenu plohu koja obuhvaća pozitivno nabijenu ploču kondenzatora Gaussov zakon daje: Provodna struja jednaka je struji pomaka. I pom d = S ε EdS S EdS Q = ε dq I pr = = I pom Ukupna struja pomaka kroz zatvorenu površinu oko ploče.

Provodna struja takoñer stvara mag. efekte pa Amperov zakon (povezuje el. struju i mag. polje) moramo pisati kao: K K ( ) Bds = µ I + I d Bds = µ I + ε EdS S pr pom Poopćeni Amperov zakon (Ampere-Maxwellov zakon) Provodnu struju prikazujemo pomoću gustoće struje: I = d S Bds = µ JdS + µ ε EdS K S S Primjenimo Stokesov teorem: de Bds = BdS = µ JdS + µ ε ds K S S S de B = µ J + µ ε 4. Maxwellova jednadžba JdS

permeabilnost vakuuma µ ε = 1 c c = 3 1 8 m/s = brzina svjetlosti c J de B = + ε dielektrična konstanta vakuuma de B = µ J + µ ε / c 4. Maxwellova jednadžba

Maxwellove jednadžbe u diferencijalnom obliku: ρ ρ E = dive = ε ε B = divb = db db E = rote = J de J de c B = + c rotb = + ε ε 1. Maxwellova jednadžba. Maxwellova jednadžba 3. Maxwellova jednadžba 4. Maxwellova jednadžba

S S K B ds Eds EdS = = = 1 ε Maxwellove jednadžbe u integralnom obliku: 1 ε d S BdS d c Bds = JdS + EdS K S S V ρdv Gaussov zakon za električno polje Gaussov zakon za magnetsko polje Faradayev zakon indukcije Poopćeni Amperov zakon

Elektromagnetski valovi Maxwellove jednadžbe: a) u prostoru sa strujama i nabojima b) u vakuumu I II III IV ρ E = ε B = db E = J de c B = + ε E x E I II III IV E z E = -raspišemo 1. jednadžbu: x y z E = + + = y B = db E = de c B = -pretpostavimo da nema promjene u y i z smjeru ostaje samo 1. član: = x E x

x E x = -rješenje ove jednadžbe je da je E x = const. uprostoru; to je statičko polje (odaberemo E x =) -tražimo dinamičko rješenje za E vidimo da E mora biti okomito na smjer širenja u y i z smjeru Pretpostavimo da se elektromagnetski poremećaj širi u x smjeru (derivacije E i B po y i z iščezavaju). Napišimo jednadžbe u komponentama: i x E x III E j y E y k z E z = = db d ( B i + B j + B k ) x y z B = t x E z B y = x t E y x B = t z

de IV c B = i j k 1 d = E i + E j + E k x y z c B B B x y z B = t x E z B y = x t E y x B = t z ( ) x y z -ostaju derivacije polja po x-smjeru: 1 c E x = t B z E = By 1 E = x c t 1 y x c t z 1 c E t x = B z E = B 1 y x c t = 1 E y z x c t -pojednostavljenje: E ima y i z komponentu odaberemo E y (E z =) -ostaju jednadžbe: Ey Bz = x t B z E = x c t 1 y

-deriviramo svaku jednadžbu parcijalno po x i t A) B) Ey Bz = / / x t x t Ey Bz = x x t E y x t = B t z C) D) B z 1 E y = / / B z E = x c x t x c t x t 1 y B z E = x t c t 1 y A+D: Ey 1 E = x c t y U oba slučaja smo dobili VALNE JEDNADŽBE: B+C: B 1 B x c t z z = f x = 1 v f t brzina širenja vala = c

1 8 v = c = 3 1 m / s ε µ Elektromagnetski valovi u vakuumu se šire brzinom svjetlosti. Električno i magnetsko polje titraju okomito na smjer širenja vala, a titraju i okomito jedno na drugo. x Rješenja jednadžbi: Ey = E sinω t v x Bz = B sinω t v B B

Primjer: sinusoidalni linearno polarizirani ravni val koji putuje u +x smjeru brzinom c. Promjene vektora E i B u vremenu u nekoj točki y-z ravnine.

Otkriće EM valova -Heinrich Hertz (1857-1894), njem. fizičar - LC titrajni krug izvor EM valova -kada je ugodio prijemnik na istu frekvenciju, dobio je iskrenje u prijemniku; time je pokazao da je inducirana struja u prijemniku nastala zbog EM valova u predajniku -pokazao je da takvo zračenje ima valna svojstva interferencije, difrakcije, refleksije, loma i polarizacije baš kao i svjetlost; jedino što se po frekvenciji razlikuje od svjetlosti -izmjerio je i brzinu EM valova i dobio da je v = c (brzina svjetlosti)

Svojstva elektromagnetskih valova: -rješenja Maxwellovih jednadžbi su valne jednadžbe koje zadovoljavaju oba polja E i B -komponente E i B ravnog elektromagnetskog vala meñusobno su okomite jedna na drugu kao i na smjer širenja vala (elektromagnetski valovi su transverzalni valovi) -elektromagnetski valovi u vakuumu putuju brzinom svjetlosti -za elektromagnetske valove vrijedi princip superpozicije -vrijedi u svakom trenutku za elektromagnetski val u vakuumu: omjer iznosa električnog i magnetskog polja jednak je brzini svjetlosti; -ali to ne znači da je E >> B (jer to su dva polja koja imaju različite mjerne jedinice)

Poyntingov vektor energija elektromagnetskog vala Elektromagnetski valovi mogu prenositi energiju (Sunce EM valovima šalje svjetlost i toplinu). Odredimo energiju koju ravni EM val prenese u jedinici vremena, tzv. gustoću toka energije. Promatramo valjak osnovice površine S i debljine dz. Ukupna energija EM polja je jednaka zbroju gustoća el. i mag. polja (od prije): 1 1 w = ε E y + B z µ Može se pokazati da su doprinosi el. i mag. polja jednaki, tj. vrijedi: 1 w = ε Ey = Bz µ

Promatramo valjak osnovice površine S i debljine dz. 1 w = ε Ey = Bz µ Za vrijeme, kroz površinu S proñe energija: P = wdv = wsdz = wsv P P ' = = wv Snaga EM vala po jediničnoj površini (gustoća toka). S Bz P ' = vε Ey = v P' = Poyntingov vektor µ 1 Poyntingov vektor je vektorska veličina, a smjer mu P ' = E B je jednak smjeru širenja vala. µ

Intenzitet vala (srednja vrijednost P po jednom periodu) : ' EB 1 E B 1 I = P = = = EB µ µ µ 1 1 w = ε E = B -srednja gustoća energije EM µ vala u jed. volumenu (po periodu) I = cw -intenzitet EM vala jednak je umnošku usrednjene gustoće energije i brzine svjetlosti

Impuls i tlak EM vala -šireći se kroz prostor EM val prenosi energiju, ali i linearni impuls -kada se impuls apsorbira na nekoj površini, na tu površinu tada djeluje tlak EM vala -pretpostavimo da EM val upada okomito na površinu i prenosi ukupnu energiju U -ukupni impuls predan površini -tlak na površinu P = P ' c

-ako je površina savršeni reflektor (zrcalo): -ukupna promjena impulsa tada je ukupni tlak na površinu: 1 dp 1 U P ' P = = = A A c c -ureñaj za mjerenje tlaka svjetlosti (torziona nit) Mariner 1 jedri na Sunčevom vjetru oko Merkura (male korekcije putanje).

Nastajanje EM valova -akceleracija naboja (stacionarni naboj ili stalne struje ne mogu stvoriti EM val) -kadgod se naboj ubrzava/usporava, mora zračiti energiju -dipolna antena -kutna ovisnost intenziteta zračenja dipolne antene

Spektar EM zračenja