Uvod u Teoriju operatora

UNIVERZITET U TUZLI PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET Nermin Okičić Uvod u Teoriju operatora - Skripta - Tuzla, 2017.

Sadržaj 1 Linearni operatori 1 1.1 Ograničenost i neprekidnost................... 6 1.1.1 Skup ograničenih linearnih operatora.......... 15 1.1.2 Primjene operatorske konvergencije........... 20 1.2 Inverzni operator......................... 24 1.2.1 Opšta teorija o inverznom operatoru.......... 24 1.2.2 Primjena teorije inverznog oparatora.......... 26 1.2.3 Princip otvorenog preslikavanja............. 35 1.3 O još dva principa........................ 41 1.4 Zatvoreni operator........................ 46 2 Linearni funkcionali 54 2.1 Geometrijski smisao linearnih funkcionala........... 55 2.2 Hahn-Banachov teorem..................... 59 2.3 Reprezentacije ograničenih linearnih funkcionala....... 65 2.3.1 Konačnodimenzionalni prostori............. 65 2.3.2 Beskonačnodimenzionalni prostori........... 68 3 Konjugovani prostori i konjugovani operator 83 3.1 Konjugovani prostori i refleksivnost............... 83 3.2 Konjugovani operator...................... 89 4 Slaba topologija 95 4.1 Slaba topologija na X...................... 95 4.2 Slaba topologija........................ 100 4.2.1 O još jednoj motivaciji za uvodenje slabe topologije. 105 5 Spektar linearnog operatora 107 5.1 Definicija spektra operatora................... 107 5.2 Spektralni radius......................... 111 6 Kompaktni operatori 118 6.1 Neke osobine kompaktnih operatora.............. 119 i

Sadržaj 7 Ograničeni linearni operatori na Hilbertovim prostorima 125 7.1 Ortogonalna projekcija...................... 125 7.2 Dual Hilbertovog prostora.................... 129 7.3 Konjugovani operator na Hilbertovim prostorima....... 131 7.4 Samokonjugovani i unitarni operatori.............. 134 7.5 Slaba konvergencija na Hilbertovim prostorima........ 138 Bibliografija 144 Dodatak A Prostori u funkcionalnoj analizi 145 Dodatak B Grčki alfabet 146 ii

1 Linearni operatori 1.1 Ograničenost i neprekidnost............ 6 1.1.1 Skup ograničenih linearnih operatora........ 15 1.1.2 Primjene operatorske konvergencije......... 20 1.2 Inverzni operator.................. 24 1.2.1 Opšta teorija o inverznom operatoru........ 24 1.2.2 Primjena teorije inverznog oparatora........ 26 1.2.3 Princip otvorenog preslikavanja........... 35 1.3 O još dva principa.................. 41 1.4 Zatvoreni operator.................. 46 Neka su X i Y dva proizvoljna skupa. Preslikavanje A : X Y nazivamo operator, pri čemu koristimo standardnu definiciju preslikavanja, da svakom elementu iz podskupa od X pridružujemo po nekom pravilu jedinstven element iz Y. Dakle, pod terminom operator podrazumijevamo najopštiji oblik preslikavanja, a opštost se ogleda u tome da se područje originala nalazi u proizvoljnom prostoru X, a područje slika u proizvoljnom prostoru Y. Ako nije drugačije naglašeno, u daljem izlaganju podrazumijeva se da su X i Y linearni vektorski prostori. Često se umjesto termina operator koriste i termini preslikavanje, transformacija ili funkcija. Sa D A X ćemo označavati domen preslikavanja operatora A D A = {x X A(x) je definisano }, i podrazumijevamo da je on linearan vektorski prostor. Uobičajeno se podrazumijeva da je domen operatora čitav X, osim ako nije precizirano drugačije. Sa R A Y (ili sa Rang(A)) označavamo područje slika ili kodomen operatora A R A = {y Y y = A(x) za neko x X}. Za x X, djelovanje operatora A uobičajeno ćemo zapisivati sa Ax, umjesto A(x). Definicija 1.1. Za operator A : X Y kažemo da je aditivan ako i samo ako za proizvoljne x 1,x 2 D A X, vrijedi A(x 1 +x 2 ) = Ax 1 +Ax 2. 1

Definicija 1.2. Za operator A : X Y kažemo da je homogen ako i samo ako vrijedi ( x D A X)( λ Φ) A(λx) = λax. Definicija 1.3. Za operator A : X Y kažemo da je linearan operator ako i samo ako je on istovremeno aditivan i homogen, tj. ako vrijedi ( x 1,x 2 D A X)( λ,µ Φ) A(λx 1 +µx 2 ) = λax 1 +µax 2. Lema 1.1. Za proizvoljan linearan operator vrijede osobine: 1. A0 = 0. 2. A( x) = Ax. Dokaz : 1. Iz osobina linearnog vektorskog prostora i linearnosti operatora imamo Ax = A(x+0) = Ax+A0, a zbog jedinstvenosti neutralnog elementa za sabiranje imamo A0 = 0. 2. Koristeći gornju osobinu i linearnost operatora, imamo 0 = A0 = A(x +( x)) = Ax+A( x), iz čega je zbog jedinstvenosti inverznog elementa za sabiranje onda A( x) = Ax. Primjer 1.1. Neka su V i W konačnodimenzionalni linearni vektorski prostori, pri čemu je dim(v) = m i dim(w) = n (m,n N). Neka je B V = {v 1,v 2,...,v m } baza prostora V, a B W = {w 1,w 2,...,w n } baza prostora W i neka je F : V W linearno preslikavanje. Za proizvoljan v i (i {1,2,...,m}) njegova slika Fv i leži u prostoru W, pa postoje jedinstveni koeficijenti a 1i,a 2i,...,a ni Φ, takvi da je Fv i = n a ji w j. j=1 Označimo sa A = [a ij ] m n (1 i m, 1 j n) matricu koju dobijemo tako što svaki vektor baze B V preslikamo preslikavanjem F, a pri tome jedinstveno odredene koeficijente postavimo kao kolone matrice A. Za matricu A kažemo da je matrična reprezentacija linearnog operatora F u odnosu na baze B V i B W ili jednostavnije to iskazujemo sa time da je A matrica linearnog operatora F. Iz geometrije znamo da je rotacija linearna transformacija. Ako posmatramo R 2 kao linearan vektorski prostor neka je R α : R 2 R 2 rotacija realne ravni za ugao α [0,2π]. Neka je {e 1,e 2 } = { (1,0) T,(0,1) T} standardna baza u R 2. Tada R α e 1 treba da predstavlja rotirani vektor e 1, a R α e 2, rotirani vektor e 2 za ugao α. Nije teško vidjeti da vrijedi 2

UVOD U TEORIJU OPERATORA R α e 2 α 1 e 2 R α e 1 α e 1 1 Slika 1.1: Rotacija ravni za ugao α R α e 1 = (cosα,sinα) T, R α e 2 = ( sinα,cosα) T, tj. operator rotacije je reprezentovan matricom [ ] cosα sinα A = sinα cosα. Sada za proizvoljan vektor x = (x 1,x 2 ) T R 2, na osnovu reprezentacije linearnih preslikavanja u konačnodimenzionalnim prostorima imamo, [ ] [ ] [ ] cosα sinα x1 x1 cosα x R α x = A x = = 2 sinα sinα cosα x 1 sinα+x 2 cosα x 2 Gornji primjer nam govori da su matrice na konačnodimenzionalnim prostorima ustvari linearna preslikavanja. Tojest vrijedi, Lema 1.2. Neka su V i W linearni vektorski prostori dimenzija m i n respektivno i neka su B V i B W njihove baze. Neka je F : V W linearan operator i A = [a ij ] m n. Matrica A reprezentuje operator F ako i samo ako je za proizvoljan vektor x V Fx = A x. Dokaz : Neka je A = [a ij ] m n matrica linearnog operatora F. Za proizvoljan x V neka je x = (b 1,b 2,...,b m ) T njegova reprezentacija u bazi B V. Tada imamo, m m Fx = F b j v j = b j Fv j = m j=1 j=1b j ( n j=1 a ij w i ) = n m a ij b j w i. j=1 3

Dakle, vektor Fx u bazi B W ima reprezentaciju m m m Fx = a 1j b j, a 2j b j,..., a nj b j j=1 j=1 j=1 T = A x. Obratno, neka je B matrica takva da je Fx = B x, za sve x V i neka je A matrica operatora F. Birajući vektor x = (1,0,...,0) T V, očigledno je prva kolona matrice B jednaka prvoj koloni matrice A. Analogno se utvrduje jednakost i ostalih kolona, tj. mora vrijediti B = A. Definicija 1.4. Neka je A : X Y linearan operator. Skup Ker(A) = {x X Ax = 0}, nazivamo jezgro operatora ili nul-prostor operatora. Skup nazivamo rang operatora A. Rang(A) = {y Y ( x X) Ax = y}, Osobine injektivnosti i surjektivnosti lagano izražavamo preko novouvedenih skupova. Tako imamo da je linearan operator injektivan ako i samo ako je Ker(A) = {0}, a surjektivan ako i samo ako je Rang(A) = Y. Bijektivnost imamo ako je operator istovremeno i injektivan i surjektivan. Takode vrijede i sljedeće osobine. Teorem 1.3. Neka je A : X Y linearan operator. Tada vrijedi: 1. Ker(A) je linearni vektorski potprostor od X. 2. Rang(A) je linearni vektorski potprostor od Y. 3. Ako su X i Y konačnodimenzionalni prostori onda je dim(x) = dim(ker(a)) + dim(rang(a)). Primjer 1.2. Neka je X skup svih polinoma četvrtog stepena, definisanih na ( 1,1), tj. X = { P 4 (x) = ax 4 +bx 3 +cx 2 +dx+e a,b,c,d,e R, x ( 1,1) } i analogno Y = { P 3 (x) = ax 3 +bx 2 +cx+d a,b,c,d R, x ( 1,1) }. Posmatrajmo preslikavanje Du = du dx = u, u X. Očigledno je operator D sa X u Y. Za u,v X je D(u+v) = (u+v) = u + v = Du+Dv. Osim toga jeza u X i λ Φ, D(λu) = (λu) = λu = λdu. Dakle, D je linearan operator sa prostora X u prostor Y. 4

UVOD U TEORIJU OPERATORA Kako je izvod konstante 0, to je jezgro ovog operatora skup svih polinoma nultog stepena (konstante), dakle Ker(D) {0}, pa operator nije injektivan. Za proizvoljan polinom trećeg stepena v(x) = P 3 (x) = ax 3 +bx 2 +cx+d, polinom P 4 (x) = P 3 (x)dx = a 4 x4 + b 3 x3 + c 2 x2 +dx+c X, te vrijedi Rang(D) = Y, tj. operator je surjekcija. Primjetimo da će preslikavanje D : C 1 [0,1] C[0,1] R, definisano sa ( u Du = ) (x), u(0) biti injektivno preslikavanje, šta više bijekcija. Primjer 1.3. Desni šift operator A R definisan na l (R) je operator zadat sa A R (x) = A R (x 1,x 2,x 3,...) = (0,x 1,x 2,x 3,...), (x n ) n N l (R), a lijevi šift operator A L na l (R) zadat je sa A L (x) = A L (x 1,x 2,x 3,...) = (x 2,x 3,x 4,...), (x n ) n N l (R). Očigledno je Ker(A R ) = {0}, a rang operatora je skup svih ograničenih nizova kod kojih je prva koordinata 0, Rang(A R ) = {x = (0,x 1,x 2,...) x l (R)}. Jezgro operatora A L je jednodimenzinalan potprostor Ker(A L ) = {x = (a,0,0,...) a R}, a njegov rang je cijeli prostor l (R). Dakle, operator A R jeste injektivan, ali nije surjektivan, dok operator A L nije injektivan, a jeste surjektivan. Primjedba: Ovakva situacija nije moguća kod linearnih preslikavanja na konačnodimenzionalnim prostorima. Naime, ako je A : R n R n (n N) linearan operator, tada vrijedi: Ker(A) = {0} ako i samo ako je Rang(A) = R n. Primjer 1.4. Fredholmov integralni operator K : C[0, 1] C[0, 1], definisan sa Kf(x) = 1 0 k(x,y)f(y)dy, je linearan operator za proizvoljnu neprekidnu funkciju k(, ) koju nazivamo jezgro integralnog operatora (Jezgro integralnog operatora nema nikakve 5

1.1. Ograničenost i neprekidnost veze sa Ker(K)). Za ovaj operator kažemo da je degenerisan ako mu je jezgro oblika n k(x,y) = φ i (x)ψ i (y), gdje su φ i,ψ i : [0,1] R neprekidne funkcije. Bez umanjenja opštosti možemo pretpostaviti da su skupovi {φ 1,φ 2,...,φ n } i {ψ 1,ψ 2,...,ψ n } linearno nezavisni. Tada je rang operatora K konačnodimenzionalan potprostor razapet sa {φ 1,φ 2,...,φ n }, a jezgro operatora je { 1 } Ker(K) = f C[0,1] f(y)ψ i (y)dy = 0,ı = 1,2,...,n. 0 Može se pokazati da su i jezgro i rang ovog operatora zatvoreni potprostori od C[0,1]. 1.1 Ograničenost i neprekidnost Definicija 1.5. Za linearan operator A : X Y kažemo da je neprekidan u tački x 0 D A ako i samo ako za svaku okolinu V tačke Ax 0, postoji okolina U tačke x 0, tako da je za svako x U, Ax V. Ako su X i Y metrički prostori, gornju definiciju iskazujemo sa ( ε > 0)( δ = δ(ε) > 0)( x D A )(d X (x,x 0 ) < δ d Y (Ax,Ax 0 ) < ε), a u normiranim prostorima sa ( ε > 0)( δ = δ(ε) > 0)( x D A )( x x 0 X < δ Ax Ax 0 Y < ε). Kažemo da je linearan operator neprekidan na skupu D ako je neprekidan u svakoj tački skupa D. Za definisanje pojma neprekidnosti možemo koristiti i nizovnu definiciju. Definicija 1.6. Za linearan operator A : X Y kažemo da je neprekidan u tački x 0 D A ako za proizvoljan niz (x n ) n N X, takav da x n x 0 (n ), vrijedi Ax n Ax 0, (n ). Teorem 1.4. Ako je aditivan operator A : X Y neprekidan u jednoj tački domena, onda je on neprekidan na čitavom domenu. Dokaz : Neka je A : X Y aditivan operator i neka je x 0 D A tačka u kojoj je operator neprekidan. Neka je sada x D A proizvoljan. Uzmimo proizvoljan niz (x n ) n N D A, takav da x n x (n ). Posmatrajmo niz (x n x+x 0 ) n N D A. Očigledno vrijedi x n x+x 0 x 0, (n ), 6

UVOD U TEORIJU OPERATORA pa zbog neprekidnosti operatora u tački x 0 imamo A(x n x+x 0 ) Ax 0, (n ). Na osnovu aditivnosti i osobina limesa, sada vrijedi iz čega je onda lim A(x n x+x 0 ) = lim (Ax n Ax+Ax 0 ) n n = lim n Ax n Ax+Ax 0 = Ax 0, lim Ax n = Ax, n tj. operator je neprekidan i u tački x. Zbog proizvoljnosti x D A, zaključujemo da je A neprekidan na čitavom skupu D A. Definicija 1.7. Neka je A : X Y linearan operator. Kažemo da je A ograničen linearan operator ako važi ( M > 0)( x X) Ax Y M x X. (1.1) Infimum svih brojeva M za koje važi (1.1) nazivamo norma operatora A i označavamo je sa A X Y ili jednostavno sa A, podrazumijevajući djelovanje operatora. Linearan operator je ograničen ukoliko mu je norma konačna i pri tome onda vrijedi ( x X) Ax Y A X Y x X. Teorem 1.5. Neka je A : X Y ograničen homogen operator. Tada vrijedi Ax A = sup = sup Ax = sup Ax. x X\{0} x x 1 x =1 Dokaz : Označimo sa Ax α = sup x X\{0} x Tada za svako ε > 0, postoji x X\{0}, takav da je Ax / x > α ε, tj. Ax > (α ε) x. Na osnovu definicije norme operatora onda imamo A > α ε, za proizvoljno ε > 0, odnosno A α. Ako bi bilo A > α, tada bi za neko ε > 0 vrijedilo A α = ε. Tada bi iz α < A ε/2 imali Ax x α < A ε 2,. 7

1.1. Ograničenost i neprekidnost tj. za svako x X \{0} bi vrijedilo ( Ax A ε ) x. 2 Posljednje nije u saglasnosti sa tim da je norma operatora infimum svih brojeva koji zadovoljavaju (1.1), pa dakle mora vrijediti Ax A = α = sup x X\{0} x Zbog homogenosti operatora dalje imamo ( ) Ax sup = sup x x X\{0} x A = sup Ax. x X\{0} x x =1 Ostaje još pokazati drugu jednakost. Naime, ako posmatramo samo elemente koji zadovoljavaju x 1, tada imamo Ax Ax A = α = sup sup sup Ax. x X\{0} x x 1 x x 1 Sa druge strane, kako je supremum na većem skupu veći, to vrijedi sup Ax sup Ax = A, x 1 x =1 pa zaključujemo da mora biti A = sup Ax. x 1 Za linearna preslikavanja vrijedi sljedeća lijepa osobina. Teorem 1.6. Linearan operator je neprekidan ako i samo ako je ograničen. Dokaz : Neka je A : X Y neprekidan linearan operator. Pretpostavimo da on nije ograničen. Tada Posmatrajmo sada sljedeći niz, Za njega vrijedi ( n N)( x n X, x n = 1) Ax n > n. z n = x n n, n N. z n = x n n = 1 n 0, n, tj. z n 0 (n ). Ali tada imamo Az n = 1 n Ax n 1, n N,. 8

UVOD U TEORIJU OPERATORA a to znači da Az n 0 (n ), što je u suprotnosti sa neprekidnošću operatora. Neka je sada A ograničen operator, tj. A < +. Uzmimo proizvoljno x D A i neka je (x n ) n N D A, takav da x n x (n ). Zbog ograničenosti sada imamo 0 Ax n Ax = A(x n x) A x n x 0, n. Dakle, A je neprekidan u tački x, pa je prema Teoremi 1.4, on neprekidan operator. Teorem 1.7. Neka je A : X Y linearan operator. Operator A je neprekidan ako i samo ako ograničene skupove iz X preslikava u ograničene skupove u Y. Dokaz : Neka je A : X Y ograničen linearan operator, tj. ( x X) Ax A x, ( A < ) i neka je S X ograničen skup, tj. ( M > 0)( x S) x M. Označimo sa S sliku skupa S, S = {Ax x S}. Za proizvoljno y S tada vrijedi y = Ax A x M A = M <, te je S ograničen skup. Neka A slika ograničene skupove u ograničene skupove. Kako je jedinična kugla K = {x X x 1}, ograničen skup u X, to je i skup ograničen u Y, a to znači odnosno AK = {Ax x 1} ( M > 0)( y AK) y M, ( M > 0)( x X, x 1) Ax M. Posljednja činjenica nije ništa drugo do ograničenost operatora ili što je ekvivalentno, njegova neprekidnost. U ispitivanju ograničenosti proizvoljnog operatora A : X Y prvo nastojimo pokazati da za svako x X vrijedi Ax M x, za neko M > 0 (po mogućnosti najbolju aproksimaciju), čime ustvari pokažemo ograničenost operatora ( A M). Pokazati da je A = M znači naći konkretan element x X, za koga je Ax = M x. Ovo bi značilo da je A M, što sa ranije pokazanim daje ukupno A = M. 9

1.1. Ograničenost i neprekidnost Primjer 1.5. Linearni operator A : R R, definisan sa Ax = ax, gdje je a R, je ograničen operator čija je norma A = a. Primjer 1.6. Identičko preslikavanje I : X X, Ix = x, je primjer ograničenog linearnog operatora za proizvoljan normiran prostor X i norma mu je I = 1. Ukoliko neki operator ima normu 0, onda to mora biti nuloperator tojest, 0x = 0. Primjer 1.7. Posmatrajmolijevi idesnishiftoperator nal 2, tj. preslikavanja A L : l 2 l 2 i A R : l 2 l 2, zadata sa A R x = (0,x 1,x 2,...), A L x = (x 2,x 3,x 4,...) za x = (x 1,x 2,x 3,...) l 2. Oba operatora su očigledno linearna. Pri tome je A R x = ( x i 2 )1 2 = x, a odavde je onda A R = 1. Za lijevi shift imamo A L x = ( i=2 x i 2 )1 2 ( x i 2 )1 2 = x, tako da je A L 1. Ako posmatramo specijalno vektor oblika x = (0,x 1,x 2,x 3,...) l 2, tada je te je A L = 1. A L x = ( i=2 x i 1 2 )1 2 = x, U nešto težim primjerima, pretpostavimo da je pokazana ograničenost operatora tojest, za sve x X vrijedi Ax M x. Ako je moguće naći niz (x n ) n N X, takav da je Ax n x n M, (n ), iz toga onda zaključujemo da je A = M. Primjer 1.8. PosmatrajmooperatorT : L 2 (a,b) L 2 (a,b)(a,b R,a < b), zadat sa Tx(t) = f(t)x(t), 10

UVOD U TEORIJU OPERATORA gdje je f C[a, b]. Linearnost se jednostavno pokazuje, a za ograničenost imamo ( b ) 1 ( Tx = f(t)x(t) 2 2 b ) 1 dt = f(t) 2 x(t) 2 2 dt a max a t b f(t) ( b a a ) 1 x(t) 2 2 dt Dakle, Tx L2 (a,b) f C[a,b] x L2 (a,b), izčegaondaimamo T f C[a,b]. Kako je f neprekidna funkcija na segmentu [a,b], postoji c [a,b] u kojoj funkcija uzima maksimalnu vrijednost (ne gubeći na opštosti, neka je c (a,b)). Za n N, posmatrajmo funkcije { 1 ; t c < 1 x n (t) = n 0 ; inače Tada imamo Tx n x n = n 2 ( c+ 1 n c 1 n f(t) 2 dt )1 2. f(c), (n ), zato što je f neprekidna funkcija. Iz ovoga onda zaključujemo da je T = f(c) = max a t b f(t) = f C[a,b]. Primjer 1.9. Neka je X = C[0, 1] sa standardnom normom. Posmatrajmo operator K : X X, definisan sa Kf(x) = x 0 f(t)dt. Integralni operator sa promjenljivom granicom se naziva Volterrin integralni operator. Za njega vrijedi x x Kf = sup f(t)dt f sup dt = f. 0 x 1 0 x 1 0 Dakle, K 1 te je K ograničen linearan operator. Šta više, za izbor konstantne funkcije f 0 (x) = 1, ta norma se i dostiže tojest, K = 1. Rang ovog operatora je skup neprekidno diferencijabilnih funkcija na [0, 1] koje se anuliraju za x = 0, C0 1 [0,1]. On jeste linearan vektorski potprostor od C[0,1], ali zbog toga što nije zatvoren skup (C0 1 [0,1] C[0,1] i posmatramo indukovanu normu sa C[0, 1]), on nije Banachov potprostor. Nedostatak zatvorenosti se ima zbog efekta glatkosti operatora K, koji neprekidne funkcije slika u diferencijabilne funkcije (integral povećava glatkost funkcije) 0 11

1.1. Ograničenost i neprekidnost Primjer 1.10. Na osnovu Leme 1.2, linearna preslikavanja na konačnodimenzionalnim prostorima su reprezentovana matricama i uobičajeno sa A označavamo i linearno preslikavanje i njemu korespondiranu matricu. Različite norme na R n i R m inudukivat će i različite norme matrice koja reprezentuje linearni operator. Neka je A : R n R m linearan operator i neka je norma x 2 2 = xt x = x 1 2 + x 2 2 + + x k 2 (k N). Na osnovu definicije norme operatora, normu možemo izračunati maksimizacijom veličine Ax 2 2 na jediničnoj sferi x 2 2 = 1. Dakle, u pitanju je uslovna ekstremizacija, čija je Lagrangeova funkcija f(x,λ) = (Ax) T Ax λ(x T x 1), gdje je λ Lagrangeov multiplikator. Računajući gradijent funkcije f i izjednačavajući ga sa 0, f = 0, dobijamo da mora vrijediti uslov A T A x = λx. (1.2) Vidimo da je x svojstveni vektor matrice A T A i da je λ odgovarajuća svojstvena vrijednost. Pri tome je A T A matrica formata n n koja ima konačno mnogo realnih, nenegativnih svojstvenih vrijednosti. Množeći (1.2) sa x T sa lijeve strane dobijamo uslov x T A T Ax = (Ax) T Ax = λx T x, ili što je isto Ax 2 2 = λ x 2 2, a kako je x 2 = 1 zaključujemo da je Ax 2 2 = λ. Dakle, maksimalna vrijednost od Ax 2 2 predstavlja maksimalnu svojstvenu vrijednost matrice A T A. Ako sa r(b) označimo najveću apsolutnu vrijednost svojstvenih vrijednosti operatora B (spektralni radijus), onda Euclidsku normu matrice A možemo zadati sa A 2 = r(a T A). (1.3) Ako koristimo maksimum normu, x = max x i, zbog 1 i n T n n n A x = a 1j x j, a 2j x j,..., a nj x j, imamo da je j=1 j=1 Ax max 1 i m j=1 max 1 i m j=1 = max j=1 n a ij x j n 1 i m j=1 a ij max 1 j n x j n a ij x. 12

UVOD U TEORIJU OPERATORA Dakle, Ax max 1 i m j=1 n a ij. Pretpostavimo da se maksimum desne strane dogodi za i = i 0. Birajući x 0 R n tako da su mu koordinate x j = sgn(a i0 j), imamo da je x 0 = 1 i Ax 0 = a i0 1 + a i0 2 + + a i0 n = n a i0 j. Kako je A Ax 0, zaključujemo da je norma operatora data sa A = max 1 i m j=1 n a ij. Sličnom argumentacijom bi za izbor norme x 1 = x 1 + x 2 + + x k, dobili da je m A 1 = max a ij. 1 j n Primjedba: Može se pokazati da je za proizvoljno 1 < p < zadovoljeno 1 p A p A 1 A 1 1 p. Primjedba: Svaka od gore navedenih normi matričnog operatora je proizašla iz pretpostavljenih normi na domenu i kodomenu preslikavanja. Medutim, postoje norme ovih opertatora koje nisu pridružene niti jednoj normi na R n i R m. Takav primjer je Hilbert-Schmidt norma m A = j=1 n a ij 2 1 2 j=1. Primjer 1.11. U Primjeru 1.4 smo posmatrali Fredholmov integralni operator K : C[0,1] C[0,1], definisan sa Kf(x) = 1 0 k(x,y)f(y)dy, gdje je jezgro k : [0,1] [0,1] R neprekidna funkcija. To je ograničen linearana operator sa normom K = max 0 x 1 1 0 k(x,y)dy. Ovo na neki način predstavlja analogon maksimalnoj sumi po vrstama kod -norme za matrične operatore. 13

1.1. Ograničenost i neprekidnost Linearna preslikavanja na konačnodimenzionalnim prostorima su obavezno ograničena ili ekvivalentno, neprekidna. Medutim, na beskonačnodimenzionalnim prostorima to nije uvijek slučaj. Primjer 1.12. Neka je X = C [0,1] (skup funkcija definisanih na [0,1] koje imaju neprekidan izvod bilo kog reda) sa supremum normom. X jeste normiran prostor ali nije Banachov prostor jer nije kompletan. Posmatrajmo operator diferenciranja D : X X, Du = u. On jeste linearan operator, ali nije neprekidan. Zaista, posmatrajmo funkcije f n (x) = e nx. Kako je Df n (x) = ne nx, jasno je da će tada vrijediti Df n f n = n, a desnu stranu gornje jednakosti možemo učiniti po volji velikom, te operator D ne može biti ograničen. Jedna od fundamentalnih teškoća primjenjene matematike upravo je neograničenost operatora diferenciranja. Naredna tvrdnja nalazi mnoge primjene, a govori o produženju linearnog ograničenog operatora Teorem 1.8. (Ograničena linearna transformacija) Neka je X normiran prostor i Y Banachov prostor. Ako je M svuda gust potprostor od X i ako je A : M Y ograničen linearan operator, tada postoji jedinstven ograničen linearan operator A : X Y, takav da je Ax = Ax za sve x M i A = A. Dokaz : Za svako x X postoji (x n ) n N M, takav da x n x kad n. Definišimo preslikavanje Ax = lim n Ax n. (1.4) Y je kompletan prostor, a (Ax n ) n N je Cauchyjev niz jer je (x n ) n N Cauchyjev niz i A je ograničen operator na M, pa zaključujemo da gornji limes postoji za svako x X. Neka su (x n ) n N i (x n) n N dva različita niza koji konvergiraju ka x X. Na osnovu relacije trougla je pa puštajući da n teži ka imamo x n x n x n x + x x n, lim x n x n n = 0. A je ograničen operator na M pa vrijedi Ax n Ax n A x n x n 0 (n ). 14

UVOD U TEORIJU OPERATORA Dakle, nizovi (Ax n ) n N i (Ax n) n N konvergiraju ka istoj vrijednosti, te granični proces (1.4) ne ovisi o izboru niza. Ovim potvrdujemo da je preslikavanje A dobro definisano. Linearnost operatora A slijedi iz linearnosti operatora A. Za x M, birat ćemo konstantni niz x n = x (n N), te je očigledno Ax = Ax za x M. Ograničenost operatora A slijedi iz nejednakosti Ax = lim n Ax n lim n A x n = A x, tojest A A i činjenice da je Ax = Ax za x M. Dakle, A = A. Ostaje još pokazati jedinstvenost ovakvog operatora A. Neka je i à još jedno preslikavanje sa datim osobinama. Za proizvoljno x X neka je (x n ) n N niz u M koji konvergira ka x. Tada je Ãx = dakle, à = A. Ã( lim x n) = lim Ãx n = lim Ax n = Ax. n n n I naredno tvrdenje govori o produženju operatora, a na odreden način je upštije od tvrdnje Teorem 1.8. Naime, ograničen linearan operator često je definisan na potprostoru nekog šireg prostora, a bilo bi poželjno proširiti domen tog oparatora bez promjene norme operatora. Teorem 1.9. (Teorem o produženju) Neka je X normiran prostor i neka je X njegovo kompletiranje. Neka je Y Banachov prostor i A : X Y ograničen linearan operator. Tada postoji jedinstven A : X Y takav da je Ax = Ax za sve x X i A = A. Dokaz ove činjenice je u potpunosti analogan dokazu Teorem 1.8. Operator A uveden u gornjoj tvrdnji nazivamo produženje operatora A. Kao što rekosmo, česte su situacije u kojima je primjena ovakvog teorema od velike koristi. Naime, ako radimo sa linearnim ograničenim operatorom definisanim na normiranom prostoru koji nije kompletan, a kako nam je kompletnost esencijalna za mnoge karakteristike, ovo tvrdenje nam dozvoljava dodefinisati operator na širi prostor od startnog, koji je kompletan, tako da operator zadrži sve karakteristike sa startnog prostora i norma mu se ne promjeni na širem porstoru. 1.1.1 Skup ograničenih linearnih operatora Skup svih ograničenih linearnih operatora koji djeluju sa prostora X u prostor Y označavat ćemo sa L(X,Y), L(X,Y) = {A : X Y A ograničen i linearan }. 15

1.1. Ograničenost i neprekidnost Specijalno, ako je X = Y koristit ćemo oznaku L(X). Na L(X,Y) možemo definisati operacije sabiranja i množenja skalarom. Neka su A,B L(X,Y) i neka je λ Φ. Za x X definišemo (A+B)x def = Ax+Bx, (λa)x def = λax. Pri tome je D A+B = D A D B i D λa = D A. Neka su x,y X i λ,µ,α Φ. Tada imamo (A+B)(λx+µy) = A(λx+µy)+B(λx+µy) = λax+µay +λbx+µby = λ(a+b)x+µ(a+b)y, αa(λx+µy) = α(λax+µay) = αλax+αµay = λ(αa)x+µ(αa)y. Dakle, A+B i αa su linearni operatori. Osim toga vrijedi (A+B)x = Ax+Bx Ax + Bx ( A + B ) x, x X, i (αa)x α A x, pa zaključujemo da su oni i ograničeni operatori, tj. A+B,αA L(X,Y), čime smo pokazali da je L(X,Y) linearan vektorski prostor. Šta više, vrijedi Teorem 1.10. Neka je X proizvoljan normiran prostor i Y Banachov prostor. L(X,Y) je Banachov prostor. Dokaz : Već smo pokazali da je L(X,Y) linearan vektorski prostor. Kako je svaki A L(X,Y) ograničen operator, onda je veličina dobro definisana. Pri tome vrijedi: Ax A = sup x X\{0} x Ax 1. 0 A = sup < +. x X\{0} x, (1.5) 2. Ax A = 0 0 = sup Ax x X\{0} x x Ax 0, x X \{0} Ax = 0, x X \{0} Ax = 0, x X \{0} A 0., x X \{0} 16

UVOD U TEORIJU OPERATORA 3. Za λ Φ, (λa)x (λa)x λa = sup = λ sup x X\{0} x x X\{0} λx Ay = λ sup = λ A. y X\{0} y 4. (A+B)x ( A + B ) x tojest, A+B A + B. Dakle, sa (7.4) je definisana norma na L(X,Y), te je L(X,Y) normiran prostor. Neka je sada (A n ) n N L(X,Y), proizvoljan Cauchyjev niz tojest, neka vrijedi A n A m 0, n,m. Tada za proizvoljan x X imamo A n x A m x A n A m x 0, n,m, odnosno, za svaki x X, niz (A n x) n N Y je Cauchyjev niz. Zbog kompletnosti prostora Y, ovi nizovi su konvergentni. Označimo sa A 0 x = lim n A nx, x X. Neka su x,y X i α,β Φ proizvoljni. Tada, A 0 (αx+βy) = lim n A n(αx+βy) = lim (αa nx+βa n y) n = α lim A nx+β lim A ny n n = αa 0 x+βa 0 y, pa je A 0 linearan operator. Iz cauchyjevosti niza (A n ) n N imamo ( ( ε > 0)( n 0 N)( n,m N) n,m n 0 A n A m < ε ) 2. Ako je x X, x 1, onda za n,m n 0 vrijedi (A n A m )x A n A m < ε 2. Držimo li n fiksnim, a pustimo da m teži u beskonačnost, dobijamo iz posljednjeg (A n A 0 )x ε 2, 17

1.1. Ograničenost i neprekidnost ili sup (A n A 0 )x ε x 1 2 < ε. Dakle, za svako n n 0, operator A n A 0 je ograničen, pa kako su i A n ograničeni operatori, takav mora biti i operator A 0 odnosno, A 0 L(X,Y). Osim toga iz gornjeg imamo ( ε > 0)( n 0 )( n N)(n n 0 A n A 0 < ε), što ne znači ništa drugo nego da A n A 0 (n ), tj. niz (A n ) n N je konvergentan u L(X,Y) odnosno, L(X,Y) je kompletan prostor. Iz svega rečenog imamo da je L(X,Y) Banachov prostor. U dokazu gornje teoreme smo koristli konvergenciju niza operatora u operatorskoj normi na L(X,Y). Definicija 1.8. Neka je niz (A n ) n N L(X,Y) i A L(X,Y). Ako A n A 0 kada n tada kažemo da niz (A n ) n N uniformna konvergira ka A i ovu vrstu konvergencije operatora nazivamo uniformna konvergencija. Uniformna konvergencija diktirana je topologijom na L(X, Y) koja je indukovana standardnom normom na L(X, Y). Ova topologija (uniformna topologija) u opštem slučaju nije jaka topologija. Šta više, kad god je X beskonačnodimenzionalan prostor jaka topologija na L(X, Y) je različita od topologije indukovane normom na L(X, Y). Primjer 1.13. Neka je X = C[0,1]. Za n N neka je K n : X X definisan sa, K n f(x) = 1 0 xy n f(y)dy. Za proizvoljan n N je K n L(X,X) i pri tome vrijedi K n 0 (n ) jer je K n f(x) max f(y) max y [0,1] x [0,1] 1 0 xy n dy = f 1 n+1 0, n. Možemo posmatrati i generalni slučaj. Neka su k n (x,y) neprekidne funkcije na [0,1] [0,1] i neka su njima definisani operatori 1 K n f(x) = 1 0 k n (x,y)f(y)dy. Ako max k n (x,y)dy 0 (n ), tada će niz (K n ) n N uniformno x [0,1] 0 konvergirati ka nul-operatoru. 18

UVOD U TEORIJU OPERATORA Definicija 1.9. Neka je niz (A n ) n N L(X,Y) i A L(X,Y). Ako je lim A nx = Ax za svako x X, n kažemo da niz (A n ) n N jako konvergira ka A i ovu konvergenciju operatora nazivamo jaka konvergencija. Jaka konvergencija operatora je u stvari konvergencija po tačkama, u odnosu na normu u prostoru Y. Uniformna i jaka konvegrencija vektora u Banachovom prostoru su jednoteista stvar, dok kod operatora na Banachovim prostorima to su dva različita pojma. Uniformna konvergencija je jača od jake konvergencije. Teorem 1.11. Ako niz operatora (A n ) n N uniformno konvergira ka operatoru A tada on i jako konvergira ka operatoru A. Primjer 1.14. Posmatrajmo projektivna preslikavanja P n na prostoru l 2. Dakle, P n : l 2 l 2 i definisan je sa P n (x 1,x 2,...,x n,x n+1,...) = (x 1,x 2,...,x n,0,0,...). Za n,m N i n m imamo P n P m = 1 te dakle niz (P n ) n N nije uniformno konvergentan. S druge strane, za proizvoljan x l 2 je P n x x (n ) tojest, niz (P n ) n N konvergira jako ka identičkom opeeratoru I. Primjer 1.15. Za n N posmatrajmo preslikavanja T n : C[0,1] R, definisana sa T n f = 1 0 sin(nπx)f(x)dx. Neka je p = p(x) proizvoljan polinom. Koristeći se parcijalnom integracijom imamo T n p = p(0) cos(nπ)p(1) nπ + 1 nπ 1 0 cos(nπx)p (x)dx. Puštajući da n, jasno je da T n p 0, za proizvoljan polinom p. Neka je sada f C[0, 1] proizvoljna. Prema Weierstrassovom teoremu, za proizvoljno ε > 0 postoji polinom p, takav da je f p < ε 2, a prema pokazanom, postojat će i n 0 N, takav da za sve n n 0 će biti T n p < ε 2. Kako je T n 1 za proizvoljno n N, onda je T n f = T n f T n p+t n p T n f p + T n p < ε. Zajključujemo da će vrijediti T n f 0 (n ), za proizvoljno f C[0,1] tojest, niz (T n ) n N konvergira jako ka nul-operatoru. 19

1.1. Ograničenost i neprekidnost Ako specijalno izaberemo funkcije f n (x) = sinnπx C[0,1], za koje je f n = 1 i T n f = 1 2, jasno je da tada vrijedi T n 1 2 (provjeriti da je zaista T n = 2 π ) te očigledno ovaj niz operatora nije uniformnokonvergentan. Kompozicija linearnih operatora je takode linearan operator. Šta više, kompozicija ograničenih operatora je ograničen operator. Teorem 1.12. Neka su X,Y i Z normirani prostori i neka je A L(X,Y) i B L(Y,Z). Tada je BA L(X,Z) i vrijedi BA A B. Dokaz : Za proizvoljno x X, zbog ograničenosti operatora A i B imamo (BA)x = B(Ax) B Ax B A x. Odavde je očigledno BA A B. Kao posljedicu gornje tvrdnje imamo da za proizvoljne A L(X,X) i n N vrijedi, A n A n. Dakle, u opštem slučaju ne vrijedi jednakost norme kompozicije i proizvoda normi. Naime, neka su A,B : R 2 R 2 zadata matricama A = [ λ 0 0 0 ] i B = [ 0 0 0 µ Euklidske norme ovih matrica su A = λ, B = µ, dok je AB = BA = 0, te za λ,µ 0 očigledno vrijedi BA < A B. Linearan vektorski prostor na kome je definisano množenje naziva se algebra. Kompozicija operatora definiše produkt na prostoru L(X, X), te dati prostor predstavlja algebru. Kako je kompozicija preslikavanja asocijativna (AB)C = A(BC), to je L(X,X) asocijativna algebra, ali ne i komutativna jer u opštem slučaju ne vrijedi AB = BA. ]. 1.1.2 Primjene operatorske konvergencije Iskoristimo pojam operatorske konvergencije za definisanje eksponencijalne funkcije sa operatorskim eksponentom. Neka je A : X X ograničen linearan operator na Banachovom prostoru X. Po analogiji za razvoj eksponencijalne funkcije u McLaurinov red, stavimo e A = I +A+ 1 2! A2 + 1 3! A3 + + 1 n! An + (1.6) Stavljajući specijalno A umjesto A u gornjoj jednakosti, dobijamo običan numerički red e A = 1+ A + 1 2! A 2 + 1 3! A 3 + + 1 n! A n +, 20

UVOD U TEORIJU OPERATORA koji je konvergentan za proizvoljno A <, a što onda znači da je red na desnoj strani u (1.6) apsolutno konvergentan na L(X), a time i konvergentan. Šta više, vidimo da vrijedi e A e A. Ako operatori A i B komutiraju, onda množenjem i rearanžiranjem sume u eksponencijalnom razvoju nam daju da vrijedi e A e B = e A+B. Rješenje Cauchyjevog problema za linearnu, skalarnu običnu diferencijalnu jednačinu x t = ax, sa polaznim uslovom x(0) = x 0, dato je sa x(t) = x 0 e at. Ovaj rezultat možemo generalizovati na linearni sistem ovakvih jednačina tojest, x t = Ax, x(0) = x 0 (1.7) gdje je x : R X, X Banachov prostor i A : X X ograničen linearan operator. Ne toliko očigledno, ali očekivano će rješenje problema (1.7) biti x(t) = e ta x 0. To imamo zbog sljedećeg, d dt eta = lim h 0 = e ta lim h 0 = e ta lim = Ae ta. ( ) e (t+h)a e ta h ( e ha ) I h 0 n=0 h 1 (n+1)! An h n Kao važan specijalan slučaj gornjeg rezultata imamo konačne linearne sisteme ODE, gdje je X = R n, a A kvadratna matrica formata n n. Primjer 1.16. Nekajek : [0,1] [0,1] RneprekidnafunkcijaiK integralni operator Rješenje problema, Ku(x) = u t (x,t)+λu(x,t) = 1 1 za u(,t) C[0,1] je u = e (K λi)t u 0 0 0 k(x, y)u(y)dy. k(x,y)u(y,t)dy, u(x,0) = u 0 (x), Jednoparamatarska familija operatora T(t) = e ta se naziva tok evolucione jednačine (1.7). Operator T(t) preslikava rješenje koje imamo u trenutku 0 u rješenje koje imamo u vremenskom trenutku t. Za ovu familiju vrijede naredne tvrdnje. 21

1.1. Ograničenost i neprekidnost Teorem 1.13. Neka je A : X X ograničen linearan operator i neka je T(t) = e ta za t R. Tada vrijedi: 1. T(0) = I. 2. T(s)T(t) = T(s+t). 3. T(t) I uniformno kada t 0. Proizvoljna jednoparametarska familija {T(t) t R} koja zadovoljava 1., 2. i 3. gornje teoreme, naziva se jednoparametarska uniformno neprekidna grupa. Osobine 1. i 2. impliciraju da ovakvi operatori formiraju komutativnu grupu u odnosu na kompoziciju, dok osobina 3. znači da T : R L(X) je neprekidno preslikavanje u odnosu na norma topologiju na L(X) u tački t = 0. Osobine grupe impliciraju da je T uniformno neprekidna na R tojest, T(t) T(t 0 ) 0 kada t t 0, za svako t 0 R. Svaka jednoparametarska uniformno neprekidna grupa operatora može biti zapisana u formi T(t) = e ta, za pogodan operator A, koga onda nazivamo generator grupe. Generatora ovakve grupe možemo dobiti izračunavajući A = lim t 0 T(t) I t Mnoge linearne parcijalne diferencijalne jednačine predstavljaju evolucione jednačine oblika (1.7), gdje je A neograničen operator. Pod odredenim uslovima na operator A, postoji rješenje familije T(t), koje je moguće definisano samo za t 0 i koje je strogo neprekidno po t, radije nego uniformno neprekidno. Za ovakvu familiju onda kažemo da predstavlja C 0 -semigrupu (primjer za ovo je jednačina toplote). Kao drugi primjer gdje koristimo operatorsku konvergenciju navodimo numeričku analizu. Neka su X i Y Banachovi prostori i A : X Y nesingularan linearni operator. Za zadato f Y posmatrajmo operatorsku jednačinu. Au = f, (1.8) sa nepoznatom u. Pretpostavimo da možemo aproksimirati jednačinu (1.8) jednačinom A ε u ε = f ε, (1.9) čije rješenje u ε možemo naći na jednostavniji način. Pretpostavljamo da je A ε : X Y nesingularan linearan operator koji ima ograničen inverz. Familiju jednačina (1.9) nazivamo aproksimaciona šema problema (1.8). Naprimjer, ako je (1.8) diferencijalna jednačina, tada je (1.9) odgovarajuća diferentna šema, gdje je ε mrežna podjela. Jedna od komplikacija može biti da numerička aproksimacija A ε djeluje na prostoru X ε koji je različit od X. Zato jednostavnosti radi pretpostavimo da to nije slučaj tojest, da A i A ε djeluju sa istog prostora X. Primarni zahtjev na aproksimacionu šemu je da je ona konvergentna, što uvodimo definicijom. 22

UVOD U TEORIJU OPERATORA Definicija 1.10. Aproksimaciona šema (1.9) konvergira ka (1.8) ako i samo ako u ε u (ε 0), kada f ε f. Ideju da A ε aproksimira A preciziramo kroz pojam konzistentnosti. Definicija 1.11. Aprokismaciona šema (1.9) je konzistentna sa (1.8) ako i samo ako A ε v Av (ε 0), za svako v X. Drugačije rečeno, aproksimaciona šema je konzistentna ako A ε konvergira jako ka A kada ε 0. Konzistentnos nije sama po sebi dovoljna za konvergenciju. Za to nam je potrebna još jedna osobina aproksimacione šeme. Definicija 1.12. Aproksimaciona šema (1.9) je stabilna ako i samo ako postoji konstanta M neovisna o ε, takva da je A 1 ε M. Konzistentnost i konvergencija uvezuju operatore A ε i A, dok je osobina stabilnosti samo vezana za operator A ε. Stabilnost će igrati krucijalnu ulogu u konvergenciji jer spriječava povećanje greške u aproksimacionom rješenju kada ε 0. Teorem 1.14. Konzistentna aproksimaciona šema je konvergentna ako i samo ako je stabilna. Dokaz : Posmatrajmo problem Au = f i njegovu aproksimativnu šemu A ε u ε = f ε i neka je aproksimaciona šema konzistentna. Neka je aproksimaciona šema stabilna. Ako na jednakost u u ε = A 1 ε (A εu Au+f f ε ), primjenimo normu i iskoristimo definiciju norme operatora i nejednakost trougla, dobijamo u u ε A 1 ε ( A ε u Au + f f ε ). Kako A ε u Au kada ε 0 (konzistentnost) i kako je A 1 ε M (stabilonost), zaključujemo da će vrijediti u uε kad f ε f, a to predstavlja konvergenciju aproksimacione šeme. Pretpostavimo sada da je aproksimaciona šema konvergentna. Za proizvoljno f Y neka je u ε = A 1 ε f. Puštajući da ε 0 iz konvergencije imamo da je u ε u tojest, niz (u ε ) je konvergentan, a time i ograničen. Dakle, postoji konstanta M f neovisna o ε, takva da je u ε = A 1 ε f M f. Teorem o unifromnoj ograničenosti (koga ćemo raditi nešto kasnije) nam tada garantuje da će postojati univerzalna konstanta M > 0 takva da je A ε M, a to prdstavlja stabilnost aproksimacione šeme. Na žalost, neki ovakav generalni kriterij za konvergenciju aproksimacione šeme ne postoji za nelinearne probleme. 23

1.2. Inverzni operator 1.2 Inverzni operator Neka je A : X Y linearan operator čiji je domen D A X i kodomen R A Y. Ukoliko za svako y R A, jednačina y = Ax ima jedinstveno rješenje x D A, onda kažemo da postoji inverzno preslikavanje, u oznaci A 1, preslikavanja A i zapisujemo x = A 1 y. Pri tome je D A 1 = R A i R A 1 = D A. Dakle, za postojanje inverznog operatora linearnog operatora A : D A R A, dovoljno je da A bude injektivno preslikavanje. Kao što je pokazano ranije injektivnost je direktno vezana za jezgro operatora. Naime, linearanoperator Ajeinjektivanakoisamoako jeker(a) = {0}. Ukoliko je Ker(A) = {0} kažemo da je operator nesingularan, u suprotnom je operator singularan. 1.2.1 Opšta teorija o inverznom operatoru Definicija 1.13. Za operator A kažemo da je inverzibilan ako postoji operator B takav da vrijedi A B = B A = I, gdje je I identičko preslikavanje. Tada za operator B kažemo da je inverzni operator operatora A i označavamo ga sa B = A 1. U konačnodimenzionalnim prostorima uslov A B = I je dovoljan za zaključak da je operator A inverzibilan i da je B = A 1, a razlog je taj što su u konačnodimenzionalnim prostorima linearna preslikavanja odredena matricama i što nam uslov det(a) 0 obezbjeduje postojanje inverzne matrice. U beskonačnodimenzionalnim prostorima stvari su nešto drugačije. Naime, poslužimo se primjerom lijevog i desnog shift operatora na l 2. Za x = (x n ) n N l 2 neka su A R : l 2 l 2 i A L : l 2 l 2 definisani sa Za x l 2 sada imamo A R x = (0,x 1,x 2,...) i A L x = (x 2,x 3,...). (A L A R )x = A L (A R x) = A L (0,x 1,x 2,...) = (x 1,x 2,...) = x, tojest, A L A R = I. Ali (A R A L )x = A R (A L x) = A R (x 2,x 3,...) = (0,x 2,x 3,...) x, odnosno A r A L I, te je jasno da ova dva operatora jedan drugom nisu inverzni. Teorem 1.15. Ako postoji, inverzni operator linearnog operatora je i sam linearan operator. Dokaz : Neka postoji inverzni operator i neka su y 1,y 2 D A 1 = R A i α,β Φ proizvoljni. Tada postoje jednoznačni x 1,x 2 D A, takvi da je 24

UVOD U TEORIJU OPERATORA Ax 1 = y 1 i Ax 2 = y 2, a ovo znači i x 1 = A 1 y 1, x 2 = A 1 y 2. Sada imamo, A 1 (αy 1 +βy 2 ) = A 1 (αax 1 +βax 2 ) = A 1 A(αx 1 +βx 2 ) = αx 1 +βx 2 = αa 1 y 1 +βa 1 y 2. Sljedeće dvije elementarne tvrdnje za inverzni operator navodimo bez dokaza. Teorem 1.16. Ako postoji inverzni operator od A, tada je ( A 1) 1 = A. Teorem 1.17. Neka za operatore A i B postoje inverzni operatori. Tada postoji inverzni operator od A B i vrijedi (A B) 1 = B 1 A 1. Teorem 1.18. Neka je A : X Y linearan operator. A ima ograničen inverzan operator na R A ako i samo ako vrijedi Pri tome vrijedi A 1 1 m. ( m > 0)( x X) Ax m x. (1.10) Dokaz : Neka A ima ograničen inverzni operator, tj. neka vrijedi ( M > 0)( y R A ) A 1 y M y. Kakoza svakoy R A, postojix D A tako dajea 1 y = x, gornjučinjenicu možemo iskazati i sa ( M > 0)( x D A ) x M Ax, odnosno stavljajući da je m = 1 M imamo ( m > 0)( x D A ) Ax m x. Neka sada vrijedi (1.10) pri čemu A : X R A Y. Neka je Ax = 0 za neko x X. Tada na osnovu (1.10) vrijedi 0 = Ax m x, a odavde je onda x = 0, te je x = 0. Dakle, A ima inverzni operator A 1 : R A X, pa jednačina y = Ax ima jedinstveno rješenje x = A 1 y. Na osnovu ovoga, iz (1.10) onda imamo ( m > 0)( y R A ) y m A 1 x, ili ( m > 0)( y R A ) A 1 y 1 m y. Ovo znači da je operator A 1 ograničen, a osim toga, prema definiciji ograničenosti operatora, zaključujemo i da vrijedi A 1 1 m. 25

1.2. Inverzni operator 1.2.2 Primjena teorije inverznog oparatora Teorem o geometrijskom redu Jedan specijalan slučaj egzistencije inverznog operatora dajamo u sljedećoj tvrdnji, a često se pojavljuje u numeričkoj analizi i primjenjenoj matematici. Teorem 1.19. (Teorem o geometrijskom redu) Neka je X Banachov prostor i A L(X) takav da je A < 1. Tada je I A bijekcija na X, njegovo inverzno preslikavanje je ograničen linearan operator za koga vrijedi (I A) 1 = A n i (I A) 1 n=0 1 1 A. Dokaz : Neka je n 0 proizvoljan. Posmatrajmo red M n = p N proizvoljno vrijedi M n+p M n = n+p i=n+1 A i n+p i=n+1 Koristeći pretpostavku A < 1, zaključujemo Dakle, A i n+p i=n+1 n A i. Za i=0 A i. M n+p M n A n+1 1 A. (1.11) sup M n+p M n 0, n, p 1 tejedakle(m n ) n N CauchyjevnizuL(X), akakojeovaj kompletan prostor, postoji M L(X) takav da M n M, n. Koristeći definiciju od M n, jednostavnim računom se provjerava da vrijedi Puštajući da n imamo (I A) M n = M n (I A) = I A n+1. (I A) M = M (I A) = I. Gornje znači da je (I A) bijekcija na X i pri tome je M = (I A) 1 = lim n M n = A n. n=0 26

UVOD U TEORIJU OPERATORA Za proizvoljno n 0 je n M n = A i i=0 n A i i=0 n A i i=0 1 1 A. Puštajući da n zaključujemo ograničenost operatora M, M = (I A) 1 1 1 A. Gornji teorem nam govori da pod pretpostavkama teorema, za proizvoljno y X, jednačina (I A)x = y ima jedinstveno rješenje x = (I A) 1 y X. Šta više, ovo rješenje je neprekidno zavisno o y X. Zaista, ako je (I A)x 1 = y 1 i (I A)x 2 = y 2, tada je odakle je onda x 1 x 2 = (I A) 1 (y 1 y 2 ), x 1 x 2 C y 1 y 2, gdjeje C = 1 1 A. Teorem nam omogućava dobiti i aproksimativno rješenje jednačine (I A)x = y sa x = lim x n, n n gdje je x n = A i y. i=0 Primjer 1.17. Posmatrajmo linearnu integralnu jednačinu drugog reda λu(x) b a k(x,y)u(y)dy = f(x), a x b. Neka su λ 0, k(, ) neprekidna funkcija po x,y [a,b] i f C[a,b]. Neka je X = C[a, b] sa standardnom maksimum normom. Gornju jednačinu uobičajeno simbolički zapisujemo u formi gdje je K integralni operator generisan jezgrom k, Ku(x) = (λi K)u = f, (1.12) b a k(x, y)u(y)dy. Jednačinu (1.12) možemo transformisati u jednačinu (I A)u = 1 λ f, 27

1.2. Inverzni operator gdje je A = 1 λk, čime problem prelazi u domen teorema o geometrijskom redu. Pod pretpostavkom da je A = 1 λ K < 1, tada postoji (I A) 1 i pri tome je (I A) 1 1 biti zadovoljena ako je K = max a x b b a 1 A. Pretpostavka će k(x, y) dy < λ (1.13) i tada možemo tvrditi da će postojati (λi K) 1 i da će biti zadovoljeno (λi K) 1 1 λ K. Dakle, pod pretpostavkom (1.13) za f C[a, b], jednačina (1.12) će imati jedinstveno rješenje u C[a,b] za koga će vrijediti u (λi K) 1 f f λ K Primjetimo da je teorem o geometrijskom redu potpuna generalizacija slučaja realnog geometrijskog reda ili kompleksnog slučaja (1 x) 1 = (1 z) 1 = x n, x R, x < 1, n=0 z n, z C, z < 1. n=0 Iz dokaza teorema vidimo da će za A L(X) na Banachovom prostoru X, za A < 1 red A n konvergirati u L(X) i to ka ograničenom linearnom n=0 operatoru (I A) 1. Još generalnije, možemo definisati operatorsku funkciju f(a), pomoću realne funkcije f realne promjenljive (ili kompleksne funkcije kompleksne promjenljive) kojajeanalitička funkcijazax = 0tojest, možeserazvitiupotencijalni red f(x) = a n x n, x < δ, n=0 28

UVOD U TEORIJU OPERATORA za neko δ > 0 i a n = f(n) (0) n!, n N 0. Sada ako je X Banachov prostor i A L(X), takav da je A < δ, možemo definisati f(a) = a n A n. n=0 Red na desnoj strani je dobro definisan operator iz L(X) zahvaljujući pretpostavci A < δ. Primjeri ovakvih operatorskih funkcija bi bili sin(a) = arctg(a) = e A = n=0 n=0 n=0 gdje je A L(X), X Banachov prostor. 1 n! An, ( 1) n (2n+1)! A2n+1, ( 1) n 2n+1 A2n+1, A < 1, Generalizacija teorema o geometrijskom redu Teorem 1.20. Neka je X Banachov prostor i A L(X). Pretpostavimo da za neko cjelobrojno m 1 vrijedi A m < 1. Tada je (I A) bijekcija na X, njegov inverzni operator je linearan operator za koga vrijedi (I A) 1 m 1 1 1 A m A i. Dokaz : Operator A m zadovoljava uslove Teorema 1.19, te vrijedi da postoji (I A m ) 1 koji je ograničen linearan operator na X i pri tome je i=0 (I A m ) 1 = (A m ) i u L(X). i=0 Pri tome vrijedi procjena Iz jednakosti (I A) ( m 1 (I A m ) 1 i=0 A i ) = 1 1 A m. ( m 1 A ) (I i A) = I A m, i=0 29

1.2. Inverzni operator zaključujemo da je (I A) bijekcija na X, a množenjem posljednjeg sa odgovarajućim inverzima imamo da vrijedi ( m 1 (I A) 1 = A ) (I i A m ) 1. Pri tome je (I A) 1 = ( m 1 1 1 A m i=0 A ) (I i A m ) 1 i=0 ( m 1 ) i=0 A i ( m 1 ) A (I i A m ) 1 i=0 Gornji rezultat će nam poslužiti za nalaženje rješenja integralne jednačine Volterrinog tipa drugog reda u(x) x 0 h(x,y)u(y)dy = f(x), x [0,β], gdje je β > 0, h(, ) neprekidnafunkcija za 0 y x β i f C[0,β]. Ako bi smo koristili Teorem 1.19, za egzistenciju i jedinsvenost rješenja polazne jednačine bi nam trebala procjena max 0 x β x 0 h(x,y) dy < 1. Medutim, koristeći se Teoremom 1.20 možemo doći do istog na drugačiji način. Polaznu jednačinu posmatrajmo u formi (I A)u = f, gdje je A : C[0, β] C[0, β], linearan ograničen integralni operator, zadat sa Au(x) = x 0 h(x,y)u(y)dy, 0 x β. Iterirani operator A k (kompozicija operatora sa samim sobom) ima sljedeću formu A k u(x) = x 0 h k (x,y)u(y)dy, za k = 1,2,3,.., gdje je h 1 (x,y) = h(x,y) i pri čemu je h k+1 (x,y) = x y h k (x,z)h(z,y)dz. Iz pretpostavke o neprekidnosti funkcije h imamo njenu ograničenost i neka je M = max 0 y x β h(x,y). 30

UVOD U TEORIJU OPERATORA Tada je h 1 (x,y) M za 0 y x β. Pretpostavimo da je za neko cjelobrojno k 1 zadovoljeno h k (x,y) M k(x y)k 1 (k 1)!, 0 y x β. Sada imamo h k+1 (x,y) x y M k+1 x h k (x,z)h(z,y) dz y (x z) k 1 dz (k 1)! = M k+1(x y)k k!. Sada za proizvoljno k 1 i proizvoljno x [0,β] imamo A k u(x) iz čega zaključujemo da je x 0 x 0 h k (x,y) u(x) dx M k(x y)k 1 dy u (k 1)! = M kxk k! u, A k M kβk k!, k = 1,2,3,... Jasnojesadadaćeza dovoljno veliko k biti zadovoljeno A k < 1te jezadovoljen uslov Teorema 1.20, iz čega onda dobijamo informaciju o ograničenosti operatora (I A) 1, a time i ograničenja za rješenje polazne integralne jednačine. Perturbaciona metoda Jedna važna tehnika u primjenjenoj matematici bazira se na zamjeni polazne jednačine njoj bliskom jednačinom za koju imamo egzistenciju rješenja. Važan alat u toj tehnici je sljedeći teorem o perturbaciji. Teorem 1.21. Neka su X i Y normirani prostori od kojih je bar jedan kompletan i neka je L L(X,Y) koji ima ograničen inverzan operator L 1 : Y X. Neka je A L(X,Y) koji zadovoljava A L < 1 L 1. 31

1.2. Inverzni operator Tada je A bijektivno preslikavanje na X, A 1 L(Y,X) i vrijedi Šta više, vrijedi A 1 L 1 1 L 1 A L. (1.14) A 1 L 1 L 1 2 A L 1 L 1 A L. (1.15) Za rješenja jednačina Lx 1 = f i Ax 2 = f tada vrijedi procjena, x 1 x 2 A 1 (A L)x 1. (1.16) 1 Dokaz : Neka je A L(X,Y) takav da A L < L 1. Ukoliko je Y kompletan prostor izrazimo ovaj operator sa A = (I (L A) L 1 ) L, a ukoliko je X kompletan onda stavimo A = L (I L 1 (L A)). Bez umanjenja opštosti pretpostavimo da je Y kompletan prostor. Tada je operator (L A) L 1 linearan na Y i za koga prema pretpostavkama tvrdenja vrijedi (L A) L 1 (L A) L 1 < 1, te je on i ograničen. Tada prema Teoremu 1.19 postoji (I (L A) L 1 ) 1, pri čemu je (I (L A) L 1 ) 1 Dakle, postoji A 1 i pri tome je i za koga vrijedi procjena (1.14), 1 1 (L A) L 1 1 1 L A L 1. A 1 = L 1 (I (L A) L 1 ) 1, A 1 L 1 (I (L A) L 1 ) 1 L 1 1 L A L 1. Kako je L 1 A 1 = A 1 (A L) L 1, onda vrijedi i procjena (1.15), L 1 A 1 A 1 (A L) L 1 L 1 2 A L 1 L 1 A L. Neka je Lx 1 = f i Ax 2 = f. Iz utvrdene egzistencije inverznih operatora imamo da je x 1 = L 1 f i x 2 = A 1 f. Tada je x 1 x 2 = (L 1 L 1 )f = A 1 (A L) L 1 f = A 1 (A L)x 1, 32

UVOD U TEORIJU OPERATORA što nakon uzimanja norme i korištenja ograničenosti odgovarajućih operatora daje x 1 x 2 A 1 (A L)x 1 Operator A u gornjoj teoremi se naziva perturbacija operatora L. Gornji teorem bi mogli parafrazirati na sljedeći način: Operator koji je blizu operatora koji ima ograničen inverz i sam će imati ograničen inverz. Ova ideja je okvir koji se koristi u mnogim problemima rješivosti linearnih diferencijalnih i integralnih jednačina, a varijacija ovakve ideje se koristi čak i pri rješavanju nelinearnih problema. Nejednakost (1.15) možemo čitati kao lokalnu Lipschitz neprekidnost operatorskog inverza, a nejednakost (1.16) možemo shvatiti kao procjenu greške rješenja koja nastaje ako za zadati operator A koristimo njemu bliski operator L, ili ako za poznati operator L koristimo njemu perturbovan operator A, dakle zavisno od načina pristupa rješavanju problema. Posmatrajmo jednačinu Lx = f kao egzaktan problem i posmatrajmo niz alroksimacionih problema L n x n = f (n N). Pod pretpostavkom da niz (L n ) n N konvergira ka operatoru L možemo primjeniti teorem o perturbaciji i konstatovati da će za dovoljno veliko n, problem L n x n = f imati jedinstveno rješenje x n, za koga će vrijediti x x n L 1 n (L L n )x. (1.17) Postojanost (konzistentnost) aproksimacije definisana je uslovom da (L L n )x 0, n. Stabilnost rješenjajedefinisanauslovomdajeniz(l n ) n k unifrmnoograničen. Jasno je da konzistentnost plus stabilnost daju konvergenciju, x x n 0, n. Procjena greške (1.17) daje nam dovoljne uslove za konvergenciju (i procjenu reda greške pod pretpostavkom o regularnosti rješenja x) čak i prije nego riješimo aproksimacioni problem L n x n = f. Ovakvu procjenu nazivamo a priori procjena greške. Drugi način korištenja procjene(1.16) jeste posmatranje stvarnog problema Ax = f i L n (n N) kao aproksimacije operatora A. Neka je x n rješenje aproksimacionog problema L n x n = f, koji ima jedinstveno rješenje za dovoljno veliko n. Tada opet imamo procjenu x x n A 1 (A L n )x n. Pretpostavimo da imamo procjenu za A 1. Nakon što nademo aproksimativno rješenje x n, gornja procjena nam daje gornje ograničenje greške rješenja polaznog problema. Ova procjena se naziva a posteriori procjena greške. 33