MEHANIKA FLUIDA dio 2 prof. Željko Andreić Rudarsko-geološko-naftni fakultet Sveučilište u Zagrebu zandreic@rgn.hr http://rgn.hr/~zandreic/ Željko Andreić Mehanika fluida P2 1
Kratki sadržaj: 1. dimenzionalna analiza 2. kinematika fluida 3. model kontinuuma 4. zakon neprekinutosti Željko Andreić Mehanika fluida P2 2
Dimenzionalna analiza Metoda za pronalaženje funkcionalnog oblika raznih fizikalnih formula i zakona uz pomoć analize dimenzije fizikalne veličine koja se tim zakonom opisuje. Ne može dati iznos konstante proporcionalnosti! Princip homogenosti: svi članovi jednadžbe koja opisuje neku fizikalnu pojavu moraju imati iste dimenzije. Željko Andreić Mehanika fluida P2 3
Dimenzionalna analiza 2 Princip analitičnosti: ako neka pojava ovisi o većem broju fizikalnih veličina x 1, x 2,..., x n, ta se pojava može opisati nekom analitičkom funkcijom oblika: f(x 1, x 2,...,x n )=0 Ovisno o broju fizikalnih veličina x i postoje dva pristupa rješavanju problema. Željko Andreić Mehanika fluida P2 4
1. mali broj varijabli x i (3-4 max.): Jednadžbu prepišemo u eksplicitni oblik, primjerice: x 4 =f(x 1,x 2,x 3 ) Dimenzije lijeve i desne strane moraju biti jednake (princip homogenosti). Željko Andreić Mehanika fluida P2 5
1. primjer - brzina zvuka: ZNAMO: Mali poremećaji (=zvuk) šire se kroz sretstvo konstantnom brzinom v 0. Brzina reakcije sretstva ("poništavanja poremećaja") proporcionalna je modulu elastičnosti E. Tromost sretstva koja se tome suprotstavlja proporcionalna je gustoći sretstva ρ. Željko Andreić Mehanika fluida P2 6
1. primjer - brzina zvuka 2 Sad slažemo našu jednadžbu: B je bezdimenzionalna konstanta proporcionalnosti, a x i y racionalni brojevi. U idućem koraku umjesto samih fizikalnih veličina u gornju jednadžbu uvrštavamo njihove dimenzije: (l = duljina, m = masa, t = vrijeme) Željko Andreić Mehanika fluida P2 7
1. primjer - brzina zvuka 3 sa rješenjem: Željko Andreić Mehanika fluida P2 8
1. primjer - brzina zvuka 4 Ovako dobivene eksponente vratimo u početnu jednadžbu, pa nalazimo: Točnost ovako izvedenog zakona i vrijednost konstante B mora se odrediti pokusima. Za tekućine se tako nalazi da je B=1 a za plinove B=C p /C v. Željko Andreić Mehanika fluida P2 9
1. primjer - brzina zvuka 5 Ako postoji više rješenja, desna strana je zbroj članova sa svim mogućim kombinacijama eksponenata: Ako ne postoji rješenje, dimenzionalna jednadžba nije dobro postavljena (neku veličinu smo previdjeli ili sl.). Željko Andreić Mehanika fluida P2 10
2. veliki broj varijabli x i : π teorem (Vaschy-Buckingam teorem): izraz f(x i )=0 ne smije ovisiti o sistemu mjernih jedinica. To znaći da f mora biti bezdimenzionalna! Odatle slijedi da se f može napisati kao π i su bezdimenzionalni monomi složeni od varijabli x i tako da je svaki monom kombinacija svih osnovnih fizikalnih veličina i jedne izvedene. Uvoñenje ovakvih monoma smanjuje broj varijabli za broj osnovnih fizikalnih veličina. Željko Andreić Mehanika fluida P2 11
2. primjer - otpor tijela: Otpor koji tijelo pruža pri gibanju kroz fluid ovisi o ρ, v i karakterističnoj dimenziji tijelal. Otpor uz to očito ovisi i o viskoznosti µ. Imamo dakle: Od 5 varijabli u argumentu funkcije f su 3 (ρ,l i v) osnovne veličine, a 2 (F i µ) izvedene. Prema π teoremu imat ćemo 5-3=2 monoma u funkciji Φ: Željko Andreić Mehanika fluida P2 12
2. primjer - otpor tijela 2 Svaki od dva monoma slaže se od produkta jedne izvedene i svih osnovnih veličina: Za svaki od ovih monoma napravimo dimenzionalnu analizu: Željko Andreić Mehanika fluida P2 13
2. primjer - otpor tijela 3 Rješenje prvog je x 1 =-1, y 1 =-2 i z 1 =-2, pa je: A rješenje drugog x 2 =0, y 2 =-1 i z 2 =-1, pa slijedi: Željko Andreić Mehanika fluida P2 14
2. primjer - otpor tijela 4 Odnosno: Odtuda nalazimo izraz za silu F: Željko Andreić Mehanika fluida P2 15
2. primjer - otpor tijela 5 Ako stavimo: dobijamo Newton-ovu formulu za otpor tijela: Koeficijent C ovisi o R e i obliku tijela i odreñuje se eksperimetalno. Željko Andreić Mehanika fluida P2 16
2. kod automobila C se zove C w... Željko Andreić Mehanika fluida P2 17
Kinematika fluida 1. proučava gibanje fluida bez obzira na uzroke tog gibanja. 2. fluid smatramo kontinuumom. 3. koristimo se pojmom čestice fluida: maleni volumen fluida konstantne mase. Željko Andreić Mehanika fluida P2 18
Model kontinuuma čestica fluida 1 Čestica fluida: vrlo mali djelić fluida promjenjivog oblika i volumena ali konstantne mase! V 1, m V 2,m V 3,m Željko Andreić Mehanika fluida P2 19
Model kontinuuma čestica fluida 2 Kontinuum: matematička tvorevina koja se može dijeliti u beskonačno malene dijelove. Diferencijalni elementi kontinuuma: dy dx ds dy da dz dv dx Željko Andreić Mehanika fluida P2 20
Lagrange-ov pristup (supstancijalni pristup) z R(t 3 ) v x y R(t 1 ) R(t 2 ) v v Željko Andreić Mehanika fluida P2 21
Euler-ov pristup (lokalni pristup) z y x R M M v Željko Andreić Mehanika fluida P2 22
Euler-ov pristup 2 Tečenje promatramo u jednoj odreñenoj točci u prostoru: Fizikalne varijable koje opažamo u toj točci funkcije su koordinata te točke i vremena, npr. brzina je: odnosno, po komponentama: Željko Andreić Mehanika fluida P2 23
Euler-ov pristup 3 Trenutni iznos brzine je: a njen smjer: Ako se smjer i/ili iznos brzine u danoj točki prostora mijenja u vremenu, kažemo da je tečenje NESTACIONARNO. Željko Andreić Mehanika fluida P2 24
Euler-ov pristup 4 Ako je smjer i iznos brzine u danoj točki prostora vremenski nepromjenjiv, kažemo da je tečenje STACIONARNO. Stacionarnost tečenja ovisi o izboru koordinatnog sustava. Ako je to moguće, koordinatni sustav bira se tako da proučavano tečenje u njemu bude stacionarno. Stacionarnost tečenja dakle nije fizikalno svojstvo tečenja, već ovisi o točki gledišta (=koordinatni sustav). Željko Andreić Mehanika fluida P2 25
Euler-ov pristup 5 R(t) za opažača na obali optjecanje vode oko broda je NESTACIONARNO! Željko Andreić Mehanika fluida P2 26
Euler-ov pristup 6 Opažač na brodu uvijek vidi istu sliku optjecanja vode oko broda. Za njega je to optjecanje STACIONARNO! Željko Andreić Mehanika fluida P2 27
Staza čestice fluida = putanja čestice u prostoru t=t 1 t=t 2 t=t 3 t=t 4 t=t 5 itd... Željko Andreić Mehanika fluida P2 28
Strujnica = smjer gibanja mnogo čestica u jednom trenutku čestica A B C D E itd... Željko Andreić Mehanika fluida P2 29
Strujnica 2 kod toga se slijedeća čestica nalazi na vektoru brzine prethodne čestice itd... Željko Andreić Mehanika fluida P2 30
Strujnica 3 Brzina je tangenta na strujnicu! Nestacionarno tečenje: strujnice s vremenom mijenaju svoj oblik. Stacionarno tečenje: strujnice su uvijek iste i poklapaju se sa stazama čestica. Praksa: strujnice se čine vidljivima mlazom dima (plinovi) ili ubacivanjem sitnih čestica, mlaza obojene tekućine i sl. u strujanje (tekućine). Željko Andreić Mehanika fluida P2 31
Strujna cijev A A' Pratimo sve strujnice koje prolaze kroz plohu A. Nakon neke udaljenosti one sve prolaze kroz A'. 3D cjevasti oblik koji tako dobivamo nazivamo strujna cijev. Željko Andreić Mehanika fluida P2 32
Strujno vlakno da da' Ako gledamo strujnu cijev vrlo malog presjeka da nazivamo ju strujno vlakno. Strujnica koja prolazi kroz centar strujne cijevi naziva se os strujne cijevi. PAŽNJA, ona je opčenito krivulja u prostoru! Željko Andreić Mehanika fluida P2 33
Zakon neprekinutosti (kontinuiteta) z v 2x dy dx 2 v(x,y,z,t) dz 1 ρ(x,y,z,t) v 1x y x Željko Andreić Mehanika fluida P2 34
Zakon neprekinutosti 2 x-komponentu brzine razvijemo u Taylor-ov red: A isto napravimo i sa gustoćom: Željko Andreić Mehanika fluida P2 35
Zakon neprekinutosti 3 U vremenu dt u naš volumen kroz prednju plohu uñe volumen fluida: Odgovarajuća masa fluida je: y i z komponente brzine paralelne su plohi pa ne doprinose toku fluida kroz plohu! Željko Andreić Mehanika fluida P2 36
Zakon neprekinutosti 4 Istovremeno kroz stražnju plohu iz volumena izlazi masa fluida: Razlika ove dvije jednadžbe je masa fluida koja je u x-smjeru napustila volumen V: Sreñivanjem, uz formule razvoja brzine i gustoće, nalazimo: Željko Andreić Mehanika fluida P2 37
Zakon neprekinutosti 5 Na isti način našli bismo gubitak mase u smjerovima y i z: Željko Andreić Mehanika fluida P2 38
Zakon neprekinutosti 6 Ukupni gubitak mase je: Masa fluida je sačuvana, pa gubitak mase iz volumena mora rezultirati smanjenjem gustoće: Kad ove dvije jednadžbe izjednačimo i sredimo, nalazimo: Željko Andreić Mehanika fluida P2 39
Zakon neprekinutosti 7 Ovo je opća jednadžba kontinuiteta (neprekinutosti) i pretstavlja zakon sačuvanja mase za fluide. Ona se jednostavnije zapisuje u nekoliko oblika: Željko Andreić Mehanika fluida P2 40
Zakon neprekinutosti 8 gdje je tzv. nabla operator: Željko Andreić Mehanika fluida P2 41
Posebni oblici jednadžbe neprekinutosti 1. stacionarno strujanje: 2. tekućine: Željko Andreić Mehanika fluida P2 42
1-D jednadžba neprekinutosti Element volumena prelazi u element dužine, da isčezava: ili za tekućine: Odatle v=konst., nema praktične primjene! Željko Andreić Mehanika fluida P2 43
Kvazi 1-D jednadžba neprekinutosti 3D slučaj kod kojeg je strujanje uvijek u smjeru neke prostorne krivulje. Element dužine te krivulje ds formalno poistovjetimo s dx, zanemarujući u ovom času promjene smjera na krivulji. U tom slučaju v y i v z isčezavaju, da=dydz je okomita na brzinu v x a u vremenu dt kroz da protekne masa fluida dm: Odatle definiramo maseni protok kao: Željko Andreić Mehanika fluida P2 44
Kvazi 1-D jednadžba neprekinutosti 2 da maleno ---> v i ρ na njemu konstantni, pa je Umnožak površine presjeka toka i brzine naziva se (volumni) protok: Ako je da malo, ovo je OK i govorimo o toku u strujnom vlaknu. Željko Andreić Mehanika fluida P2 45
Kvazi 1-D jednadžba neprekinutosti 3 Za realne presjeke A moramo: i su srednje vrijednosti brzine i gustoće na plohi A. Drugačije napisano (simbole usrednjavanja ispuštamo!): Željko Andreić Mehanika fluida P2 46
Kvazi 1-D jednadžba neprekinutosti 4 Za tekućine je još jednostavnije: a maseni i volumni protok postaju proporcionalni: Zapamtite: v i ρ su srednje vrijednosti brzine i gustoće na plohi A. Željko Andreić Mehanika fluida P2 47