Vjerojatnost i statistika

Vjerojatnost i statistika E. Kovač Striko B. Ivanković T. Fratrović 12. ožujka 2007. Sadržaj 2 Vjerojatnost 27 2.1 Uvod...................................... 27 2.2 Intuitivne definicije vjerojatnosti...................... 28 2. Algebra dogadaja............................... 0 2.4 Vjerojatnosni prostor............................. 1 2.5 Konačan vjerojatnosni prostor........................ 2.6 Prebrojiv vjerojatnosni prostor....................... 5 2.7 Zadaci..................................... 41 2.7.1 Rješenja zadataka........................... 42 2.8 Geometrijska definicija vjerojatnosti..................... 4 2.9 Zadaci..................................... 45 2.9.1 Rješenja zadataka........................... 45 2.10 Uvjetna vjerojatnost............................. 46 2.11 Potpuna vjerojatnost. Bayesova formula................... 49 2.12 Zadaci..................................... 5 2.12.1 Rješenja zadataka........................... 5

FPZ - Vjerojatnost i statistika (1912/2007) 27 2 Vjerojatnost 2.1 Uvod U teoriji vjerojatnosti osnovni pojmovi koji se definiraju su pokus (eksperiment) i ishod (elementarni dogadaj). Ishod pokusa (ili pojave) može biti jednoznačno odreden (determiniran) ili ishod nije jednoznačno odreden, tj. ishod je slučajan (stohastičan). Primjer pokusa za koji je ishod jednoznačno odreden je: baca se novčić, a ishod je novčić će sigurno pasti na tlo. Ovakvi pokusi nazivaju se determinističkim pokusima. Pokus kod kojeg je ishod slučajan naziva se slučajnim pokusom. Primjer 2.1 Baca se novčić i gleda da li je palo pismo (P) ili glava (G). Primjer 2.2 Bacaju se dva novčića i gleda da li je palo pismo ili glava na prvom ili drugom novčiću. Primjer 2. Registrira se broj automobila koji prode kontrolnu točku na ulici u odredenom vremenskom intervalu. Primjer 2.4 Baca se novčić dok dva puta uzastopno ne padne ista strana novčića. Primjer 2.5 Svaki dan na odredenom mjestu u odredeno vrijeme se mjeri temperatura zraka u Zagrebu u stupnjevima Celzijeve skale. Primjer 2.6 Mjeri se težina i visina studenata na drugoj godini FPZ-a u Zagrebu 2007. godine. Primjer 2.7 Mjeri se kašnjenje vlaka u minutama iz Rijeke u Zagreb svaki dan u 2007. godini. Ishodi navedenih pokusa su slučajni. U primjerima 2.1 i 2.2 unaprijed znamo skup mogućih ishoda, dok u ostalim primjerima do skupa mogućih ishoda dolazimo empirijskim postupkom (mjerenjem). Dogadaj koji se može, ali i ne mora realizirati, naziva se slučajnim dogadajem. Teorija vjerojatnosti bavi se proučavanjem slučajnih dogadaja, pronalazi zakonitosti i formule za odredivanje mogućnosti realizacije dogadaja. Teorija vjerojatnosti počela se razvijati kao samostalna znanost 1654. godine. Tada je započela razmjena pisama izmedu B. Pascala i P. Fermata povodom jednog hazardnog problema. Sve do dvadesetog stoljeća, teorija vjerojatnosti nije se smatrala matematičkom disciplinom. Tek 19. ruski matematičar A.M. Kolmogorov uveo je aksiomatsku definiciju vjerojatnosti i od tada se teorija vjerojatnosti smatra granom matematike. Teorija vjerojatnosti temelj je matematičke statistike, teorije slučajnih procesa, teorije informacija, teorije pouzdanosti,...

FPZ - Vjerojatnost i statistika (1912/2007) 28 2.2 Intuitivne definicije vjerojatnosti Skup svih mogućih ishoda slučajnog pokusa označava se s Ω. Svaki element ω Ω naziva se elementarnim dogadajem, a Ω skupom elementarnih dogadaja. Za pokuse u primjerima 2.1-2.7 odredimo skup Ω: U primjeru 2.1 je Ω = {P,G}. U primjeru 2.2 je Ω = {PP,PG,GP,GG}. U primjeru 2. je Ω = {0, 1, 2,..., n}. U primjeru 2.4 je Ω = {GG,PP,GPP,PGG,GPGG,PGPP,...}. U primjeru 2.5 je Ω = 40, +45 R. U primjeru 2.6 je Ω = {(t, v) t min t t max, v min v v max } R R. U primjeru 2.7 je Ω = [0, 180 R. Skup elementarnih dogadaja Ω može biti diskretan (konačan ili prebrojivo beskonačan) ili neprekinut odnosno kontinuiran (neprebrojiv). U primjerima 2.1-2., Ω je konačan, u primjeru 2.4 prebrojivo beskonačan, a u primjerima 2.5-2.7 je neprebrojiv. Neka je Ω diskretan skup elementarnih dogadaja. Svaki podskup A Ω naziva se slučajnim dogadajem ili kraće dogadajem. Dogadaj A je nastupio ako je u pokusu realiziran bilo koji od ishoda (elementarnih dogadaja) iz skupa A. Primjer 2.8 Baca se pravilna simetrična kocka. Odredimo skup elementarnih dogadaja Ω i dogadaje A = {dobiven je broj } i B = {dobiven je paran broj}. Rješenje: Ω = {1, 2,, 4, 5, 6}, A = {, 4, 5, 6}, B = {2, 4, 6} Skup svih podskupova od Ω naziva se partitivnim skupom i označava s P(Ω) = {A A Ω}. Poznato je da vrijedi k(p(ω)) = 2 kω, pa je broj svih mogućih dogadaja jednak 2 kω. Budući da je Ω P(Ω) i on sam je dogadaj, a kako sadrži sve ishode (elementarne dogadaje) nazivamo ga sigurnim dogadajem. Prazan skup P(Ω) ne sadrži nijedan ishod i nazivamo ga nemogućim dogadajem. Za dogadaj A Ω želimo odrediti mogućnost pojavljivanja u konkretnom pokusu - vjerojatnost dogadaja A. U statističkim istraživanjima vjerojatnost dogadaja A definira

FPZ - Vjerojatnost i statistika (1912/2007) 29 se na sljedeći način: Neka je n broj pokusa izvedenih pod istim uvjetima u kojima je n A puta nastupio dogadaj A. Broj n A nazivamo apsolutnom učestalošću dogadaja A, a kvocijent n A n relativnom učestalošću. Pri tome je 0 n A n 1. Pokazuje se da relativna učestalost ima tendenciju stabiliziranja oko jedne čvrste vrijednosti kada broj ponavljanja pokusa teži u beskonačnost. Ta vrijednost označava se sa P (A) tj. n A P (A) = lim n n i naziva se vjerojatnost a posteriori dogadaja A. Ovo je empirijski način odredivanja vjerojatnosti dogadaja A, koji se temelji na prethodno izvedenim pokusima (opažanjima). Primjer 2.9 Ako želimo uspostaviti telefonsku vezu s nekim gradom onda svaki od tih pokušaja je jedan pokus. Ovakav pokus rezultira s dva ishoda: A = {veza je ostvarena}, B = {veza nije ostvarena}. Broj pokušaja n = 10000, a veza je uspostavljena u n A = 6900 pokušaja. Kolika je vjerojatnost da se veza uspostavlja? Rješenje: n A n = 0, 69, što znači da je mogućnost uspostavljanja veze 69%. U nekim slučajevima vjerojatnost dogadaja može se odrediti i bez prethodno izvedenih pokusa. Neka slučajan pokus ima konačno mnogo jednako mogućih ishoda. Neka je dogadaj A vezan za taj pokus. Kažemo da je ishod povoljan za dogadaj A ako njegovo pojavljivanje povlači da se realizirao dogadaj A. Vjerojatnost dogadaja A je omjer broja m (broja povoljnih ishoda za A) i broja n (broja svih mogućih ishoda pokusa): P (A) = m n. Skup svih ishoda je Ω, a A Ω, te je P (A) = ka kω. (6) Ovako je definirana vjerojatnost a priori (Laplace, 1812.). Ova definicija ima samo ograničenu mogućnost primjene, jer se zahtjeva da je skup svih ishoda Ω konačan i da su svi ishodi jednako mogući. Primjer 2.10 Primjenom formule (6) dobivamo 1. Vjerojatnost da će kod bacanja simetričnog novčića pasti pismo jednaka je 1 2.

FPZ - Vjerojatnost i statistika (1912/2007) 0 2. Vjerojatnost da će kod bacanja kocke pasti broj 6 jednaka je 1 6.. Vjerojatnost da će kod izvlačenja jedne karte iz špila od 2 biti izvučena karta boje karo jednaka je 8 2 = 1 4. 4. Ako na sistemskom listiću igre Loto 7/9 igramo 2 broja, vjerojatnost dobitka sedmice jednaka je ( ) 2 7 ( ). 9 7 Primjer 2.11 U društvu je 5 muškaraca i 10 žena. Odrediti vjerojatnost da pri slučajnom razdvajanju društva na 5 jednakih grupa, u svakoj grupi nade po jedan muškarac. Rješenje: Razdvajajući ( ) 15 članova društva na 5 grupa ( ) po tri člana, prvu grupu možemo 15 12 izabrati na K15 = načina, drugu na K12 = načina id. Ukupan broj načina na koji se društvo može razdvojiti je n = K15 K12 K9 K6 K = 15! (!). 5 Slično, broj načina na koji od 10 žena možemo izabrat u 5 grupa po 2 žene jednak je K10 2 K8 2 K6 2 K4 2 K2 2 = 10!, pri tome se za prvu grupu žena može izabrati jedan od 25 5 muškaraca na K5 1 = 5 načina, za drugu jedan od preostala 4 (K4 1 = 4) itd. Dakle je 10! 5! m =. 2 5 Tražena vjerojatnost je P = 10!5!(!)5 = 0, 0809. 2 5 15! 2. Algebra dogadaja Neka je Ω skup svih elementarnih dogadaja. Dogadaji su izvjesni podskupovi od Ω. Definiramo relacije i operacije nad dogadajima, analogno operacijama u teoriji skupova. 1. Unija ili zbroj dogadaja A i B je dogadaj koji se realizira ako i samo ako se realizira barem jedan od dogadaja A ili B. Označavat ćemo ga s A B (A + B). 2. Presjek ili umnožak dogadaja A i B je dogadaj koji se realizira ako i samo ako se realiziraju i A i B. Označavat ćemo ga s A B (AB).. Za dogadaje A i B kažemo da su disjunktni ili da se isključuju ako je A B =.

FPZ - Vjerojatnost i statistika (1912/2007) 1 4. Komplement ili suprotni dogadaj dogadaja A je dogadaj A c, koji se realizira ako i samo ako se A ne realizira. Očito vrijedi: A A c = Ω, A A c =, (A c ) c = A, Ω c =, c = Ω. 5. Razlika dogadaja A i B je dogadaj koji se realizira ako i samo ako se realizira dogadaj A, a ne realizira dogadaj B. Označavamo ga s A \ B. Vrijedi A c = Ω \ A. 6. A povlači dogadaj B ako vrijedi A = A B, tj. iz realizacije dogadaja A slijedi realizacija dogadaja B. Pišemo A B. 7. Ako je A B i B A, kažemo da su dogadaji A i B ekvivalentni (sastoje se iz jednakih ishoda). Vrijede sljedeće De Morganove formule: (A B) c = A c B c, (A B) c = A c B c. (7) Neka je Ω skup svih elementarnih dogadaja (ne mora biti konačan, ni prebrojiv, već može biti i kontinuiran). Dogadaji će biti izvjesni (općenito ne svi!) podskupovi od Ω. Familiju svih dogadaja označimo sa F i nazivamo je algebrom dogadaja. Ona mora imati sljedeća svojstva: 1. F 2. A F A c F. A, B F A B F. Kako je Ω = c, to je i Ω F, a slično možemo zaključiti i za A B = (A c B c ) c F i A \ B = A B c F. 2.4 Vjerojatnosni prostor Definicija 2.1 (Aksiomatska definicija vjerojatnosti) Vjerojatnost je preslikavanje P : F [0, 1] sa sljedećim svojstvima: 1. P (A) 0 za svaki A F 2. P (Ω) = 1. P (A B) = P (A) + P (B) za sve A, B F takve da je A B =. Uredenu trojku (Ω, F, P ) nazivamo vjerojatnosnim prostorom (prostor vjerojatnosti). Ova definicija vjerojatnosti odnosi se na algebru s konačnim brojem dogadaja. Proučavanje vjerojatnosti može se proširiti i na algebre koje imaju prebrojivo beskonačno mnogo dogadaja, tzv. σ-algebre. Za naše primjene to neće biti potrebno. Od svojstava vjerojatnosti izdvajamo

FPZ - Vjerojatnost i statistika (1912/2007) 2 0 P (A) 1 Ako je A B, tada je P (A) P (B) Vjerojatnost unije dogadaja P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Vjerojatnost unije n dogadaja n n P ( A i ) = P (A i ) P (A i A j )+ i<j + n P (A i A j A k ) + + ( 1) n+1 P ( A i ) i<j<k Vjerojatnost suprotnog dogadaja jednaka je P (A c ) = 1 P (A) Dokaz: kako je A A c = i A A c = Ω, primjenom svojstava 2. i. iz definicije slijedi 1 = P (Ω) = P (A A c ) = P (A) + P (A c ). Odavde odredujemo vjerojatnost suprotnog dogadaja P (A c ). Vjerojatnost nemogućeg dogadaja: P ( ) = 0 Dokaz: iz = Ω c, vjerojatnosti surotnog dogadaja i svojstva 2. iz definicije vjerojatnosti slijedi P ( ) = 1 P (Ω) = 0. Za dva dogadaja A i B kažemo da su nezavisni dogadaji ako i samo ako vrijedi P (A B) = P (A) P (B). Primjer 2.12 U metu gadaju istovremeno dva strijelca. Prvi gada s vjerojatnošću 0,5, a drugi s vjerojatnošću 0,7. Kolika je vjerojatnost da će meta biti pogodena? Rješenje: Označimo dogadaje A i = {i-ti strijelac je pogodio metu}, pa vrijedi P (A 1 ) = 0, 5 i P (A 2 ) = 0, 7. Dogadaj meta je pogodena znači: metu je pogodio prvi ili drugi ili oba tj. A 1 A 2. Dobivamo P (A 1 A 2 ) = P (A 1 ) + P (A 2 ) P (A 1 A 2 ). A 1 i A 2 su nezavisni dogadaji, pa je P (A 1 A 2 ) = P (A 1 ) P (A 2 ) = 0, 5 0, 7 = 0, 5 i nadalje P (A 1 A 2 ) = 0, 5 + 0, 7 0, 5 = 0, 85.

FPZ - Vjerojatnost i statistika (1912/2007) 2.5 Konačan vjerojatnosni prostor U konačnom vjerojatnosnom prostoru je Ω = {ω 1, ω 2,..., ω n }. Ovdje je F = P(Ω) partitivni skup od Ω (skup svih podskupova od Ω i kf = 2 n ). Vjerojatnost je zadana ako znamo njenu vrijednost na elementarnim dogadajima ω i Ω, tj. ako su zadani brojevi p i = P ({ω i }) = P (ω i ) sa svojstvima: n Odavde slijedi P (Ω) = P ( ω i ) = 1) p i 0, za i = 1,..., n n 2) p i = 1. n P (ω i ) = Ako je A F, tada je P (A) = ω i A P (ω i ). n p i = 1. Primjer 2.1 Bacaju se tri novčića i promatra se koliko se puta okrenulo pismo. Skup elementarnih dogadaja je Ω = {0, 1, 2, }. Kad bacamo tri novčića, mogu nastupiti V 2 = 2 = 8 mogućnosti. Vjerojatnost da se nijednom nije okrenulo pismo je P (0) = 1, vjerojatnost da se na 8 jednom novčiću okrenulo pismo je P (1) = 8 i slično P (2) = 8 i P () = 1. Vidimo da 8 vrijedi 4 P (ω i ) = P (0) + P (1) + P (2) + P () = 1. a) Kolika je vjerojatnost dogadaja A da se barem na jednom novčiću okrenulo pismo? b) Kolika je vjerojatnost dogadaja B da su se sva tri novčića okrenula na istu stranu? Rješenje: a) Kako je A = {1, 2, } slijedi P (A) = P (1) + P (2) + P () = 7 8 ili P (A) = 1 P (A c ) = 1 P (0) = 1 1 8 = 7 8. b) B = {0, }, pa slijedi P (B) = P (0) + P () = 1 4. Ako za svaki elementarni dogadaj ω i Ω, vrijedi P (ω i ) = p i = p i ako je kω = n, onda je p = 1 n. Za dogadaj A za koji je ka = m vrijedi P (A) = m ka, tj. P (A) = n kω, što predstavlja klasičnu definiciju vjerojatnosti a posteriori: P (A) = broj ishoda povoljnih za dogadaj A. broj svih mogućih ishoda

FPZ - Vjerojatnost i statistika (1912/2007) 4 Primjer 2.14 Bacaju se dvije kocke. a) Kolika je vjerojatnost da je na obje kocke pao isti broj ili zbroj 10? b) Kolika je vjerojatnost da je barem na jednoj kocki pala šestica? Rješenje: Skup elementarnih dogadaja je Ω = {(i, j) i, j = 1, 2,..., 6} i kω = V 2 6 = 6 2 = 6. a) Dogadaj A = {okrenuo se isti broj na obje kocke} = {(i, i) i = 1, 2,..., 6} i dogadaj B = {zbroj na kockama jednak je 10} = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)}. Imamo P (A) = 6 6, P (B) = 6, P (A B) = 1 6, te je P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = 6 6 + 6 1 6 = 8 6 = 2 9 Kako je P (A B) = 1 6, a P (A) P (B) = 1 6 1, vidimo da 12 P (A B) P (A) P (B), tj. dogadaji A i B nisu nezavisni. b) Neka je A 1 dogadaj da je pala šestica na prvoj kocki, a A 2 dogadaj da je pala šestica na drugoj kocki. Traži se P (A 1 A 2 ). Imamo P (A 1 A 2 ) = P (A 1 ) + P (A 2 ) P (A 1 A 2 ) jer su A 1 i A 2 nezavisni dogadaji, što nam daje = P (A 1 ) + P (A 2 ) P (A 1 ) P (A 2 ), P (A 1 A 2 ) = 6 6 + 6 6 1 6 = 11 6. Drugi, alternativni način izračuna je sljedeći. Dogadaj da je barem na jednoj kocki pala šestica je suprotan od dogadaja da niti na jednoj nije pala šestica, pa možemo računati P (A 1 A 2 ) = 1 P (A c 1 A c 2) = 1 P (A c 1) P (A c 2) = 1 5 6 5 6 = 11 6, jer nezavisnost dogadaja A 1 i A 2 povlači i nezavisnost dogadaja A c 1 i A c 2.

FPZ - Vjerojatnost i statistika (1912/2007) 5 2.6 Prebrojiv vjerojatnosni prostor Pretpostavimo da je Ω beskonačan prebrojiv skup: Ω = {ω 1, ω 2, ω,...}. Algebra F i sada je jednaka skupu svih podskupova P(Ω). Ona zadovoljava uvjet ako su A n F (n N), tada je A n F. Vjerojatnost P na algebri F mora zadovoljavati uvjet P ( A n ) = P (A n ), ako je A m A n = za sve m n. n=1 n=1 U ovom slučaju algebru F nazivamo σ-algebrom. Kako i prije, vjerojatnost P je zadana ako su zadani brojevi p i za koje vrijedi: n=1 1) p i = P (ω i ) 0, za i = 1, 2,..., n,... 2) p i = 1. Nisu svi elementarni dogadaji jednako vjerojatni, pa klasična definicija vjerojatnosti u ovom slučaju gubi smisao. Za A Ω ponovno imamo P (A) = ω i A P (ω i ). Primjer 2.15 Baca se novčić dok ne padne pismo. Skup elementarnih dogadaja je Ω = {1, 2,,...}. ω 1 = 1 ω 2 = 2. ω n = n znači: u prvom bacanju palo je pismo, znači: u drugom bacanju je prvi put palo pismo, znači: u n-tom bacanju je prvi put palo pismo,. Računamo P (1) = 1 2, P (2) = 1 2 2,..., P (n) = 1 2 n,... P (ω i ) = ( ) n 1 = 2 1 2 1 1 2 = 1.

FPZ - Vjerojatnost i statistika (1912/2007) 6 ( suma geometrijskog reda za q = 1 2 i a 1 = 1 2 ) Kolika je vjerojatnost dogadaja A = {1, 2}? Rješenje: P (A) = P (1) + P (2) = 1 2 + 1 4 = 4. Primjer 2.16 Igra na sreću sastoji se od bacanja dviju kocaka. Odredite vjerojatnost da zbroj na kockama bude veći od 9? Rješenje: Označimo traženi dogadaj s A. U ovom slučaju broj elementarnih dogadaja je kω = 6, a prebrojavanjem povoljnih ishoda, tj. onih kada je zbroj na kockama veći od 9, dobivamo k(a) = 6. Vjerojatnost iznosi P (A) = 6 6 = 1 6. Primjer 2.17 U Beli se dijeli osam karata. Odredite vjerojatnost dobivanja: a) jednog asa, b) barem jednog asa? Rješenje: a) Od ukupno osam karata koje se dijele iz špila od 2, jedna karta treba biti jedan od četiri asa, a sedam karata se dijeli od preostalih 28. Tražena vjerojatnost je dakle ( ) ( ) 4 28 1 7 ( ). 2 8 b) Suprotni dogadaj je taj da niti jedna od dobivenih karata nije as, pa je tražena vjerojatnost ( ) 28 8 1 ( ). 2 8 Primjer 2.18 Student je izašao na ispit znajući 20 od 25 pitanja. Na ispitu se izvlače tri pitanja. Kolika je vjerojatnost da student zna odgovor na: a) na sva tri pitanja b) na barem jedno pitanje?

FPZ - Vjerojatnost i statistika (1912/2007) 7 Rješenje: a) Broj povoljnih mogućnosti da će ( student ) znati odgovoriti na sva tri pitanja ( (nazovimo ga dogadajem A) je m =, a svih mogućnosti izbora ima n =, ) 20 25 te je ( ) 20 P (A) = ( ) = 0.495. 25 b) Dogadaj da student zna odgovor na barem jedno pitanje suprotan je dogadaju da ne zna odgovor niti na jedno od tri odabrana pitanja, te je tražena vjerojatnost: ( ) 5 1 ( ) = 0.9957. 25 Primjer 2.19 Kolika je vjerojatnost da dvije slučajno izabrane osobe imaju rodendane istog dana? Rješenje: Ω = {(i, j), 1 i, j 65} A = {(i, i), 1 i 65} P (A) = 65 = 0, 00274. 652 Primjer 2.20 Kolika je vjerojatnost da izmedu n osoba budu barem dvije koje imaju rodendan istog dana? Izračunajte za n = 5. Rješenje: Neka je A n dogadaj da svih n osoba ima rodendane u različite dane. Tada je tražena vjerojatnost Za n = 5 imamo p 5 = 0.027. p n = P (A c n) = 1 P (A n ) = 1 65 64 (65 n + 1) 65 n. Primjer 2.21 Iz špila od 52 karte na slučajan način, jednu za drugom, izvlačimo dvije karte i to a) prvu izvučenu kartu vraćamo u špil (dogadaj A),

FPZ - Vjerojatnost i statistika (1912/2007) 8 b) prvu izvučenu kartu ne vraćamo u špil (dogadaj B). Kolika je vjerojatnost da izvučemo oba asa? Rješenje: a) P (A) = 4 2 4 2, b) P (B) = 4 2 1. Primjer 2.22 Kolika je vjerojatnost šestice na lotu 7/9? 0 @ 7 10 A@ 2 1 A 6 Rješenje: 0 @ 9 1 A 7 Primjer 2.2 Kolika je vjerojatnost da dijete dobije šesticu ako kocku baca triput uzastopce? Rješenje: Traži se vjerojatnost dogadaja suprotnog dogadaju da u tri bacanja nijednom nije pala šestica: p = 1 ( 5 6 ) = 0.42. Primjer 2.24 Simetričan novčić bacamo 5 puta. Kolika je vjerojatnost da je pismo palo triput? Rješenje: p = ( ) 5 ( ) 5 1 = 0.125. 2 Primjer 2.25 U kutiji se nalazi 4 puta više ispravnih nego neispravnih proizvoda. Na slučajan način biraju se tri proizvoda. Vjerojatnost da medu njima bude barem jedan neispravan proizvod iznosi 29. Koliko je proizvoda u kutiji? 57 Rješenje: Neka je n broj neispravnih proizvoda u kutiji. Tada je 4n broj ispravnih proizvoda. Dogadaj da medu tri slučajno izabrana proizvoda bude barem jedan neispravan suprotan je dogadaju da su sva tri izvučena proizvoda ispravna. Slijedi ( ) 4n 1 ( ) = 29 5n 57 4n(4n 1)(4n 2) = 28 5n(5n 1)(5n 2) 57 7n 2 159n + 44 = 0 n 1,2 = 4; 11 7.

FPZ - Vjerojatnost i statistika (1912/2007) 9 Dobiva se da u kutiji neispravnih proizvoda ima 4, ispravnih 16. Primjer 2.26 U kutiji je 12 kuglica: plave, žute i tri crvene. Na slučajan način biramo tri kuglice. Ako vjerojatnost da izaberemo po jednu plavu, žutu i crvenu kuglicu iznosi, koliko je žutih kuglica u kutiji? 11 Rješenje: Neka je n broj ( ) žutih kuglica. Tada plavih kuglica ima 9 n. Od 12 kuglica 12 tri se mogu izvući na načina. Povoljno je da to bude jedna od crvene, jedna od n žutih i jedna od 9 n plavih: ( ) ( ) ( ) n 9 n 1 1 1 ( ) = 12 11 n(9 n) = 20. Dobivaju se dva rješenja za broj žutih kuglica: n = 5 ili 4. Primjer 2.27 U dvorani je prisutno 12 studentica i 18 studenata. Slučajnim se izborom bira tročlana delegacija. Kolika je vjerojatnost da su izabrana: a) tri studenta (dogadaj A), b) tri studentice (dogadaj B), c) dvije studentice i student (dogadaj C)? Rješenje: a) P (A) = ( ) 18 ( ) = 0.20, 0 ( ) 12 b) P (B) = c) P (C) = ( ) = 0.05, 0 ( ) ( ) 18 12 1 2 ( ) = 0.2926. 0

FPZ - Vjerojatnost i statistika (1912/2007) 40 Primjer 2.28 Kutija sadrži 12 loptica za stolni tenis, od kojih su 4 loše. Na slučajan način izvadimo odjednom 7 loptica. Kolika je vjerojatnost da će medu njima biti a) najviše jedna loša loptica (dogadaj A), b) 2 loše ili 4 loše loptice (dogadaj B)? Rješenje: a) P (A) = b) P (B) = ( ) 8 7 ( ) 8 5 ( ) ( ) 8 4 + 6 1 ( ), 12 7 ( ) ( ) ( ) 4 8 4 + 2 4 ( ). 12 7 Primjer 2.29 Kolika je vjerojatnost p(n) da se šestica pojavi u n bacanja kocke? Koliko puta treba baciti kocku da je vjerojatnost šestice barem 0,9? Rješenje: ( ) n 5 p = 1 6 ( ) n 5 1 0, 9 6 ( ) n 5 0, 1 6 Logaritmiranjem dobivamo n 1.

FPZ - Vjerojatnost i statistika (1912/2007) 41 2.7 Zadaci 1. U kutiji se nalazi 16 proizvoda, od kojih su 4 neispravna. Na slučajan način se izvlači 5 proizvoda. Kolika je vjerojatnost da medu njima bude barem jedan neispravan? 2. Student je izašao na ispit znajući odgovor na 20 od mogućih 26 pitanja. Profesor postavlja tri pitanja za redom. Kolika je vjerojatnost da student zna odgovor: a) na sva tri pitanja b) na barem jedno pitanje?. Uzorak sadrži dva puta više ispravnih nego neispravnih proizvoda. Ako slučajno biramo četiri proizvoda, vjerojatnost da medu njima budu dva ispravna i dva neispravna iznosi 0/91. Koliko proizvoda sadrži uzorak? 4. U kutiji se nalazi 20% manje bijelih nego crnih kuglica. Na slučajan način biramo dvije kuglice. Ako vjerojatnost da izvučemo barem jednu bijelu kuglicu iznosi 12, 17 koliko je crnih kuglica u kutiji? 5. Iz kutije u kojoj se nalaze 4 plave, 5 žutih i crvene kuglice, na slučajan način izvlačimo dvije kuglice. Vjerojatnost da ne izaberemo nijednu crvenu iznosi 0%. Koliko je kuglica u kutiji? 6. U kutiji je 15 kuglica: crvene, plave i tri žute. Na slučajan način biramo tri kuglice. Vjerojatnost da izaberemo po jednu crvenu, plavu i žutu iznosi. Koliko je plavih 1 kuglica u kutiji? 7. Koji postotak peteroznamenkastih brojeva a) sadrži znamenku 5, b) djeljiv je s 20, a ne sadrži znamenke 8 i 9? 8. U kutiji se nalazi 50% više bijelih nego crvenih kuglica. Na slučajan se način biraju tri kuglice. Ako je vjerojatnost da izvučemo jednu crvenu kuglicu i dvije bijele jednaka 0, 5, koliko je bijelih kuglica u kutiji? 9. U četiri vagona na slučajan način ulazi 16 putnika. Kolika je vjerojatnost da: a) u prvi vagon udu 4 putnika, b) u svaki vagon udu po 4 putnika?

FPZ - Vjerojatnost i statistika (1912/2007) 42 2.7.1 Rješenja zadataka 1. 2. a) b). 4. 5. 6. 7. a) b) 8. 9. a) b) ) ( 16 12 4 4 16, ( ) ( ) ( ( ) 16 12 8 4 4 4 4) 4 4 16.

FPZ - Vjerojatnost i statistika (1912/2007) 4 2.8 Geometrijska definicija vjerojatnosti Promatrat ćemo jedino one neprebrojive skupove elementarnih dogadaja Ω koji imaju konačnu geometrijsku mjeru m(ω) kao npr. duljina, površina, obujam. Vjerojatnost dogadaja A Ω, tj. vjerojatnost da je slučajno odabrana točka iz A, jednaka je omjeru mjere od A i mjere od Ω: P (A) = m(a) m(ω). Funkcija P zadovoljava sve aksiome vjerojatnosti i ovako definirana vjerojatnost naziva se geometrijska vjerojatnost. Primjer 2.0 U krug je upisan kvadrat. Kolika je vjerojatnost da s propisane udaljenosti pikado pogodi dio kruga unutar kvadrata? Rješenje: Tražena vjerojatnost jednaka je omjeru površine kvadrata upisanog krugu m(a) i površine kruga m(ω): P (A) = (r 2) 2 r 2 π = 2 π. Primjer 2.1 Dva vlaka duljine 200m kreću se brzinom 72km/h prugama koje se medusobno križaju. Trenutak u kojem će oni ući u križanje je slučajan i izmedu 22 sata i 22:0. Kolika je vjerojatnost da će se vlakovi sudariti? Rješenje: Neka je x - trenutak ulaska prvog vlaka u križanje, y - trenutak ulaska drugog vlaka u križanje. Ako prvi vlak ude u križanje točno u 22 sata i stavimo x = 0s, onda u 22:0 je x = 1800s, slično i za drugi vlak. Skup elementarnih dogadaja je Ω = {(x, y) x [0s, 1800s], y [0s, 1800s]}. Ω je kvadrat u xoy ravnini, a jedinice na koordinatnim osima su sekunde. Vlakovi će se sudariti (dogadaj A) ako je x y 200m 20m/s, jer je 72km/h = 20m/s, tj. A = {(x, y) x y 10s} Ω. Crtanjem područja Ω (kvadrat) i njegovog podskupa A (točnije područja odredenog nejednadžbama y x + 10 i y x 10 unutar kvadrata) dobivamo m(ω) = 1800 2, m(a) = 1800 2 1790 2,

FPZ - Vjerojatnost i statistika (1912/2007) 44 te je P (A) = 18002 1790 2 1800 2 = 0, 011. Primjer 2.2 Prometna nesreća dogodila se izmedu 8 i 9 sati. Kolika je vjerojatnost da se dogodila izmedu 8:25 i 8:40? Rješenje: m(ω) = 60min, m(a) = 15min, te je p = 15 60 = 0, 25. Primjer 2. Na segmentu T 1 T 2 duljine 1 slučajno su odabrane točke L i M. Kolika je vjerojatnost da se a) točka L nalazi bliže točki T 1 nego točka M (dogadaj A)? b) točka L nalazi bliže točki M nego točki T 1 (dogadaj B)? Rješenje: Neka su točke L i M smještene na intervalu [0, 1] i odredene s L(x) i M(y). Tada Ω = {(x, y) x, y [0, 1]} je kvadrat u koordinatnom sustavu xoy i m(ω) = 1. a) Budući da je točka L bliže točki T 1 nego točka M kada je y x > 0, vrijedi A = {(x, y) Ω y x > 0} Ω, što je pravokutni trokut s katetama duljine 1 i m(a) = 1 2. Dobivamo P (A) = 1 2. b) Točka L je bliže točki M nego točki T 1 ako je x > y ili ako za x < y vrijedi y x < x. Odavde slijedi da je B = {(x, y) Ω y < 2x} Ω, za koji vrijedi m(b) = 4. Dobivamo P (B) = 4.

FPZ - Vjerojatnost i statistika (1912/2007) 45 2.9 Zadaci 1. Na zidu dimenzija 8m 5m nalaze se četiri prozora svaki dimenzija 1.8m 1.2m. Kolika je vjerojatnost da dječak koji nasumice puca loptu u zid pogodi bilo koji prozor? 2. Na realnom pravcu slučajno su odabrane točke a i b tako da je 0 a i 2 b 0. Kolika je vjerojatnost da je udaljenost izmedu točaka a i b veća od?. Iz intervala [0, 10] biraju se dva realna broja. Kolika je vjerojatnost da njihov zbroj bude veći od 8, a apsolutna vrijednost njihove razlike veća od? 4. Iz intervala [0, 1] na slučajan način biraju se dva broja. Kolika je vjerojatnost da njihov zbroj bude veći od 1, a apsolutna vrijednost njihove razlike manja od 1? 5. Iz intervala [ 1, 1] biraju se dva broja. Kolika je vjerojatnost da njihov zbroj bude pozitivan, umnožak negativan, a zbroj kvadrata manji od 1? 6. Iz intervala [0, 2] na slučajan se način biraju dva broja. Kolika je vjerojatnost da njihov zbroj bude manji od, a razlika po apsolutnoj vrijednosti manja od 1? 7. Dečko i cura dogovore susret izmedu 7:00 i 8:00 na trgu. Dogovore se da onaj tko dode prvi, čeka drugog najviše 20min. Kolika je vjerojatnost da će se susresti? 8. Dvije osobe imaju jednaku vjerojatnost da dodu na zakazano mjesto u svakom trenutku vremenskog intervala T. Kolika je vjerojatnost da jedna osoba drugu ne čeka duže od t (vremenski interval)? 2.9.1 Rješenja zadataka 1. 0, 216. 2. 1.. 9 200. 4. 4 9. 5. 6. 5 8. 7. 8. 5 9. T 2 (T t) 2 T 2.

FPZ - Vjerojatnost i statistika (1912/2007) 46 2.10 Uvjetna vjerojatnost Neka je B F dogadaj s pozitivnom vjerojatnošću P (B) > 0. Definiramo uvjetnu vjerojatnost da će nastupiti dogadaj A, ako je nastupio dogadaj B s P (A B) = P (A B) P (B) za svaki A F. (8) Odavde je P (A B) = P (B)P (A B). (9) Ako je P (A) > 0 tada je P (B A) = P (B A) P (A) = P (A B), P (A) pa je Dakle, vrijedi P (A B) = P (A)P (B A). (10) P (A B) = P (B)P (A B) = P (A)P (B A). Vrijedi i P (A 1 A 2 A ) = P (A 1 A 2 )P (A A 1 A 2 ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A A 1 A 2 ). Slično se može pokazati i za P (A 1 A 2 A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A A 1 A 2 ) P (A n A 1 A 2 A n 1 ). Ako je Ω konačan i ako svi elementarni dogadaji imaju jednaku vjerojatnost, tada zbog P (A B) = k(a B), P (B) = kb kω kω slijedi P (A B) = k(a B) kb. Primjer 2.4 Bacaju se dvije kocke. Ako je pao zbroj 6, kolika je vjerojatnost da je na jednoj kocki pao broj 2? Rješenje: Definirajmo B = {pao je zbroj 6}, A = {na jednoj kocki je pao broj 2}.

FPZ - Vjerojatnost i statistika (1912/2007) 47 Traži se P (A B) = k(a B). Kako je kb B = {(1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2), (, )}, kb = 5, A B = {(2, 4), (4, 2)}, k(a B) = 2, slijedi P (A B) = 2 5 = 0, 4. Primjer 2.5 Statistički je utvrdeno da od 10000 muškaraca 500 boluje od daltonizma, a od 10000 žena njih 25. Kolika je vjerojatnost da slučajno odabrana osoba bude daltonist i muškarac? Rješenje: Neka je Traži se P (A B). Po (9) imamo Kako je slijedi P (A B) = 1 2 A = {odabrana osoba je daltonist}, B = {odabrana osoba je muškarac}. P (A B) = P (B)P (A B). P (B) = 10000 20000 = 1 500, P (A B) = 2 10000 1 20 = 1 = 0, 025. 40 Primjer 2.6 Vjerojatnost da zrakoplov bude oboren prije nego što stigne do cilja je 5%. Vjerojatnost da uništi cilj, ako do njega dospije, je 40%. Kolika je vjerojatnost da zrakoplov dospije do cilja i uništi ga? Rješenje: Neka je A = {zrakoplov je dospio do cilja}, P (A) = 0, 95, B = {cilj je uništen}. Traži se P (A B). Zadano je još P (B A) = 0, 4. Po formuli (10) P (A B) = P (A)P (B A) = 0, 95 0, 4 = 0, 8. Primjer 2.7 U skupu od 100 proizvoda, 10 je neispravno. Kolika je vjerojatnost da ćemo biranjem nasumice u tri uzastopna pokušaja izabrati neispravna proizvoda, ako pri tom odabrani proizvod ne vraćamo natrag?

FPZ - Vjerojatnost i statistika (1912/2007) 48 Rješenje: Neka je A i dogadaj da je izabran neispravan proizvod u i-tom pokušaju, i = 1, 2,. Tražena je vjerojatnost P (A 1 A 2 A ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A A 1 A 2 ). Znamo P (A 1 ) = 10. Vjerojatnost izbora drugog neispravnog proizvoda ako je već 100 izabran jedan takav iznosi P (A 2 A 1 ) = 9, a vjerojatnost izbora trećeg neispravnog 99 proizvoda ako su već prethodno izabrana dva takva je P (A A 1 A 2 ) = 8 98. Dobivamo P (A 1 A 2 A ) = 10 100 9 99 8 98 = 72 = 0, 000742. 97020 Primjer 2.8 Vjerojatnost u postocima da su oba blizanca muškog spola je 40%, a da su ženskog je 5%. Pri porodu, prvo se rodilo muško dijete. Kolika je vjerojatnost da i drugo dijete bude muško? Rješenje: Blizanci mogu biti: Traži se A - dva dječaka, B - dvije djevojčice, C - djevojčica i dječak. P (A (A C)) = P (A (A C)). P (A C) Vjerojatnost da se rodio barem jedan dječak P (A C) = 1 P (B) = 1 0, 5 = 0, 65. Slijedi P (A (A C)) = 0, 4 = 0, 615. 0, 65 Prisjetimo se da su dva dogadaja A i B nezavisni dogadaji ako vrijedi i da u protivnom kažemo da su zavisni. Ako su dogadaji A i B nezavisni vrijedi: P (A B) = P (A) P (B), P (A B) = P (A), P (B A) = P (B). Vjerojatnost da se desi barem jedan od dogadaja A ili B jednaka je P (A B) = P (A) + P (B) P (A)P (B).

FPZ - Vjerojatnost i statistika (1912/2007) 49 Vjerojatnost da neće nastupiti ni dogadaj A, ni dogadaj B jednaka je P (A c B c ) = (1 P (A))(1 P (B)). Vjerojatnost da se desi barem jedan od dogadaja A ili B suprotan je dogadaju da se ne desi ni A ni B, pa je P (A B) = 1 P (A c B c ) = 1 (1 P (A)) (1 P (B)). Vjerojatnost da se barem jedan od dogadaja A i B neće realizirati je P (A c B c ) = 1 P (A)P (B). Primjer 2.9 Tri strijelca gadaju metu. Prvi pogada s vjerojatnošću 80%, drugi sa 60% i treći s 90%. Kolika je vjerojatnost da u meti završi samo jedan metak, ako sva trojica gadaju samo s po jednim metkom? Rješenje: Budući da pogodak ili promašaj bilo kojeg od njih ne utječe na gadanje ostalih, tražena vjerojatnost je: P = 0, 8 0, 4 0, 1 + 0, 2 0, 6 0, 1 + 0, 2 0, 4 0, 9 = 0, 116. Zadatak 2.40 Tri strijelca gadaju jednu te istu metu. Vjerojatnost pogotka kod svakog strijelca redom iznosi 0,80, 0,70 i 0,60. Kolika je vjerojatnost: a) točno jednog pogotka u metu, b) barem jednog pogotka u metu, c) najviše dva pogotka u metu? Rješenje: 2.11 Potpuna vjerojatnost. Bayesova formula. Potpun sustav dogadaja čine dogadaji H 1, H 2,..., H n Ω, ako vrijedi sljedeće: n H i = Ω i H i H j = za i j.

FPZ - Vjerojatnost i statistika (1912/2007) 50 Neka je A Ω. Tada je ( n ) n A = Ω A = H i A = (H i A) = (H 1 A) (H 2 A) (H n A). Dogadaji (H i A) i (H j A) se isključuju za i j, te je P (A) = P (H 1 A) + P (H 2 A) + P (H n A) = Izveli smo formulu potpune vjerojatnosti: n P (H i A) = n P (H i )P (A H i ). P (A) = n P (H i ) P (A H i ). (11) Bayesova formula služi za aposteriorno izračunavanje vjerojatnosti pojedinih hipoteza H j, ako je poznato da se dogodio dogadaj A: P (H j A) = P (H j A) P (A) = P (H j) P (A H j ), j = 1, 2,..., n. (12) n P (H i ) P (A H i ) Primjer 2.41 Tri stroja rade istovremeno pri čemu prvi daje 50%, drugi 0%, a treći 20% proizvodnje. Postotak neispravnih kod prvog stroja je 10%, drugog 20%, a trećeg 18%. a) Kolika je vjerojatnost da je slučajno odabrani proizvod neispravan? b) Ako je slučajno odabrani proizvod neispravan, kolika je vjerojatnost da je proizveden na prvom stroju? Rješenje: Neka je H i = {proizvod je proizveden na i-tom stroju}, i = 1, 2,. Imamo P (H 1 ) = 0, 5, P (H 2 ) = 0, i P (H ) = 0, 2. Definirajmo A = {odabrani proizvod je neispravan}. Zadano je P (A H 1 ) = 0, 1, P (A H 2 ) = 0, 2 i P (A H ) = 0, 18. a) Traži se P (A). Po formuli (11) P (A) = P (H 1 )P (A H 1 ) + P (H 2 )P (A H 2 ) + P (H )P (A H ) = 0, 5 0, 1 + 0, 0, 2 + 0, 2 0, 18 = 0, 146.

FPZ - Vjerojatnost i statistika (1912/2007) 51 b) Traži se P (H 1 A) = P (H 1 A) P (A) = P (H 1)P (A H 1 ) P (A) = 0, 5 0, 1 0, 146 = 0, 42. Primjer 2.42 Grupa od 10 studenata je došla na usmeni ispit. Trojica su pripremila ispit izvrsno, četvorica dobro, dvojica dovoljno i jedan loše. Pitanja su na listićima i ima ih 20. Izvrsno pripremljeni student zna odgovor na svih 20 pitanja, dobro pripremljeni na 16, dovoljno pripremljeni na 10, a loše pripremljeni na 5. Slučajno odabrani student je odgovorio na zadana pitanja. Odredite vjerojatnost da je to bio student koji je ispit pripremio: a) izvrsno, b) loše? Rješenje: Označimo sljedeće dogadaje H 1 = {student je pripremio ispit izvrsno}, H 2 = {student je pripremio ispit dobro}, H = {student je pripremio ispit dovoljno}, H 4 = {student je pripremio ispit loše}. Tada je P (H 1 ) = 10, P (H 2) = 4 10, P (H ) = 2 10 i P (H 4) = 1 10. Neka je dogadaj A = {student je odgovorio na sva pitanja}. Vjerojatnost da je student odgovorio na sva pitanja, ako je ispit pripremio izvrsno je ( ) 20 ako je ispit pripremio dobro P (A H 1 ) = ( ) = 1, 20 ( ) 16 ako je ispit pripremio dovoljno P (A H 2 ) = P (A H ) = ( ) = 0, 491, 20 ( ) 10 ( ) = 0, 105, 20

FPZ - Vjerojatnost i statistika (1912/2007) 52 a ako je ispit pripremio loše ( ) 5 P (A H 4 ) = ( ) = 0, 009. 20 a) Vjerojatnost da je na sva pitanja odgovorio izvrstan student, po Bayesovoj formuli (12) je P (H 1 A) = P (H 1)P (A H 1 ), P (A) dok je vjerojatnost dogadaja A po formuli (11) P (A) = P (H 1 )P (A H 1 ) + P (H 2 )P (A H 2 ) + P (H )P (A H ) + P (H 4 )P (A H 4 ) = 10 1 + 4 10 0, 491 + 2 1 0, 105 + 0, 009 = 0, 518. 10 10 Sada slijedi P (H 1 A) = 10 1 = 0, 5788. 0, 518 b) Analogno P (H 4 A) = P (H 4)P (A H 4 ) P (A) = 1 0, 009 10 = 0, 0017. 0, 518

FPZ - Vjerojatnost i statistika (1912/2007) 5 2.12 Zadaci 1. Žarulje se proizvode u tri pogona. Prvi pogon daje 50% proizvodnje, drugi 0% i treći 20%. Postotak neispravnih žarulja iz prvog pogona je 10%, iz drugog 15%, a iz trećeg 8%. a) Kolika je vjerojatnost da je slučajno izabran proizvod neispravan? b) Kolika je vjerojatnost da je neispravan proizvod proizveden na drugom stroju? 2. Jedan tip proizvoda izraduje se na 4 stroja. Na stroju S 1 izraduje se 40% proizvodnje od čega je 0, 1% škarta, na S 2 se radi 0% i od toga je 0, 2% škarta, na S 20% sa 0, 25% škarta i na S 4 10% proizvodnje sa 0, 5% škarta. a) Kolika je vjerojatnost da je slučajno odabrani proizvod ispravan? b) Ako je slučajno odabrani proizvod neispravan, kolika je vjerojatnost da je izraden na stroju S 1?. Strijelci Mate i Ante, svaki sa po jednim metkom, gadaju cilj. Mate pogada s vjerojatnosti 0, 8, a Ante s 0, 4. Utvrdeno je da je meta pogodena jednim metkom. Kolika je vjerojatnost da je metu pogodio Mate? 4. U uzorku ispitanika, u kojem je muškaraca 55%, 70% muškaraca i 60% žena puši. Kolika je vjerojatnost da slučajno odabrana osoba puši? Kolika je vjerojatnost da je slučajno odabrana osoba koja puši, muškarac? 5. Dva automobila voze noću jedan prema drugome. Ako vozači nisu pospani, automobili će se sigurno mimoići s vjerojatnošću 0,999. Ako je vjerojatnost da svaki od vozača bude pospan jednaka 0,1, onda je vjerojatnost da oba budu pospana 0,01. Ako je samo vozač A pospan oni će se mimoići s vjerojatnošću 0,7. Ako je samo vozač B pospan onda će se mimoići s vjerojatnošću 0,8. Ako su oba vozača pospana oni će se mimoići s vjerojatnošću 0,4. Odredite vjerojatnost s kojom će se automobili mimoići. 2.12.1 Rješenja zadataka 1. a) 0,11. 2. a). 4. b) 0,4. b) 5. 0,948.