REDOVI POTENCIJA 3 6. Redovi potencija Rekli smo da je funkcija f analitička na nekom skupu R ako ona ima derivaciju u svakoj točki R i ako je ta derivacija neprekidna funkcija. Tipične primjere analitičkih funkcija dobivamo pomoću redova potencija. Red potencija je poopćenje polinoma i ima oblik a + a (z z ) + a 2 (z z ) 2 + + a n (z z ) n +, (6..) gdje su a, a,...,a n C koeficijenti, z zadani kompleksni broj, a z kompleksna varijabla. Kraća oznaka za red potencija je Za red potencija a n (z z ) n. n= a + 2a 2 (z z ) + + na n (z z ) n +, (6..2) kažemo da je dobiven iz red potencija (6..) deriviranjem član po član, a red a (z z ) + a 2 (z z ) 2 + + a n n + (z z ) n+ +, (6..3) je dobiven iz (6..) integriranjem član po član. Red kompleksnih brojeva c + c + + c n + konvergira, ako konvergira njegov niz parcijalnih suma s = c s = c + c. s n = c + + c n,
6. REDOVI POTENCIJA REDOVI POTENCIJA 32 tj. ako postoji s = lim n s n. Ako postoji, limes tih parcijalnih suma s, zove se suma reda. Očito red (6..) konvergira za z = z i suma mu je a, pa skup svih kompleksnih brojeva za koje red konvergira nije prazan. Nas zanima koliki je radijus najvećeg kruga oko z takav da red unutar tog kruga još uvijek konvergira. Taj radijus zovemo radijus konvergencije reda (6..). Označimo taj krug unutar kojeg red konvergira s K(z, r) = {z C z z < r}. Može se pokazati da redovi (6..), (6..2) i (6..3) imaju isti radijus konvergencije. Za redove potencija vrijedi sljedeći teorem. Teorem 6... Red potencija a + a (z z ) + a 2 (z z ) 2 + + a n (z z ) n +, s radijusom konvergencije r definira analitičku funkciju f na krugu K(z, r). Nadalje je f (z) = a + 2a 2 (z z ) + + na n (z z ) n +, za svako z K(z, r). Ovaj teorem opravdava da ćemo na analitičke funkcije moći gledati kao na redove potencija.
7. KOMPLEKSNI INTEGRAL KOMPLEKSNI INTEGRAL 33 7. Kompleksni integral 7.. Definicija Kompleksni integral definiramo na sličan način kao što smo to radili s krivuljnim integralima realnih funkcija. Prvo moramo parametrizirati krivulju, a zatim integrirati po parametru. Za krivulju kažemo da je jednostavna glatka krivulj ili Jordanov luk, ako je dana parametrizacija x = ϕ(t), y = ψ(t), t [a, b] ili u kompleksnom obliku z = ζ(t) = ϕ(t) + iψ(t), t [a, b], koja inducira orijentaciju A = (ϕ(a), ψ(a)), B = (ϕ(b), ψ(b)), tako da vrijedi (a) ϕ i ψ imaju neprekidnu prvu derivaciju na [a, b], (b) preslikavanje t (ϕ(t), ψ(t)) je bijekcija a [a, b] na, (c) ϕ 2 (t) + ψ 2 (t) > za svako t [a, b], što je ekvivalentno s ζ (t) za svako t [a, b]. Neka je f kompleksna funkcija definirana na krivulji. Tada je f(ζ(t)) definirana na segmentu [a, b]. Ako funkcija f(ζ(t)) ζ (t) ima konačan integral na [a, b], onda je f integrabilna na i pišemo dz = b a f(ζ(t)) ζ (t) dt. (7..) Integral (7..) naziva se krivuljni integral funkcije f duž orijentirane krivulje. Ako izaberemo neku drugu glatku parametrizaciju za krivulju, onda možemo zamijeniti varijablu u integralu (7..), ali se rezultat neće promijeniti, što znači da integral ne ovisi o parametrizaciji.
7. KOMPLEKSNI INTEGRAL KOMPLEKSNI INTEGRAL 34 Ako je po dijelovima glatka krivulja dobivena nastavljanjem Jordanovih lukova, 2,..., n (lukovi su spojeni sljedeći na prethodnog), onda je dz = dz + + dz. n Tako definirani integral ima uobičajena svojstva [α + βg(z)] dz = α dz + β g(z) dz, α, β C. Primjer 7... Neka je z = x + iy kompleksan broj i neka je r > realan broj. Neka je pozitivno orijentirana kružnica (Obratno od kazaljke na satu) sa središtem u z radijusa r. Glatka parametrizacija te kružnise dana je s t [, 2π, odnosno x = x + r cos t y = y + r sin t, ζ(t) = (x + r cost) + i(y + r sin t) = z + re it, t [, 2π. Tada je ζ (t) = ire it, pa funkciju f definiranu na ( je zapravo kružnica z z = r, ali zbog kratkoće ćemo pisati samo sve do finalne formule) možemo integrirati kao Stavimo sad kao funkciju gdje je m cijeli broj. Tada je dz = 2π f(z + re it )ire it dt. = (z z ) m, 2π (z z ) m dz = (z + re it z ) m ire it dt = 2π r m e imt ire it dt = ir m+ 2π e i(m+)t dt. Sada razlikujemo dvije situacije. Ako je m =, onda se ne radi o eksponencijalnoj funkciji, nego je naš integral jednak 2π (z z ) dz = i dt = it 2π = 2πi.
7. KOMPLEKSNI INTEGRAL KOMPLEKSNI INTEGRAL 35 Ako je m, onda je (z z ) m dz = ir m+ 2π = rm+ (m + ) e i(m+)t dt = ir m+ i(m + ) ei(m+)t [ e i(m+)2π ] 2π = rm+ [cos(i(m + )2π) + i sin(i(m + )2π) ] =. (m + ) Prema tome, vrijedi z z =r (z z ) m dz = { 2πi za m =, za m. Primjer 7..2. Nadimo kompleksni integral funkcije = Re(z), (a) duž pravca koji spaja točke i + i, (b) duž pravaca od do, pa zatim po pravcu od do + i. (a) Ovaj pravac je y = x, pa je njegova parametrizacija x = t y = t, s tim da je t [, ], odnosno ζ(t) = t + it, t [, ]. Onda je ζ (t) = + i, pa imamo Rez dz = xdz = t( + i) dt = ( + i) t2 2 = ( + i). 2 (b) Parametrizirajmo po dijelovima ovu krivulju. Za pravac od točke do (dio x osi), parametrizacija je x = t y =,
7. KOMPLEKSNI INTEGRAL KOMPLEKSNI INTEGRAL 36 s tim da je t [, ], odnosno Onda je pa po tom dijelu krivulje je ζ(t) = t, t [, ]. Rez dz = ζ (t) =, t dt = t2 2 = 2. Za pravac od točke do + (pravac paralelan s y osi), parametrizacija s tim da je t [, ], odnosno Onda je pa po tom dijelu krivulje Sada je x = y = t, ζ(t) = + it, t [, ]. 2 Re z dz = ζ (t) = i, i dt = it = i. Rez dz = Re z dz + Re z dz = 2 + i. 2 Primijetimo da funkcija koju smo integrirali nije analitička i da integral ovisi o putu. 7.2. Cauchyjeva integralna formula. Cauchyjev teorem U prošlom poglavlju naučili smo da vrijedi z z =r (z z ) m dz = { 2πi za m =, za m, gdje je z C i m Z. Uočimo fundamentalnu ulogu tog integrala za red potencija = a + a (z z ) + a 2 (z z ) 2 + + a n (z z ) n +,
7. KOMPLEKSNI INTEGRAL KOMPLEKSNI INTEGRAL 37 koji na krugu K(z, r), gedje je r radijus konvergencije tog reda, definira jednu analitičku funkciju. Prisjetimo se, ne samo da je f analitička u tom krugu, već su to i sve njezine derivacije, pa lagano izlazi da je odnosno f (n) (z ) = a n n!, a n = f(n) (z ), n! s tim da je a = f(z ). Kao što smo već rekli, takav red potencija može se integrirati član po član, pa vrijedi dz = a dz + a Odatle odmah slijedi sljedeći zaključak. (z z ) dz + + a n (z z ) n dz + + Ako je f analitička, onda je z z =r dz =. pa je Nadalje, podijelimo analitičku funkciju f faktorom z z. tada dobivamo dz = a z z z z =r Odatle odmah slijedi da je dz + a z z dz = a z z dz + + a n (z z ) n dz + +, z z dz = 2πia = 2πif(z ). Ako je f analitička, onda je f(z ) = 2πi z z =r z z dz.
7. KOMPLEKSNI INTEGRAL KOMPLEKSNI INTEGRAL 38 Na sličan način dobiva se formula za više derivacije Ako je f analitička, onda je pri čemu je n N. f (n) (z ) = n! 2πi z z =r dz, (z z ) n+ Može se pokazati da svi rezultati ovog poglavlja vrijede ako kružnicu zamijenima s konturom. Kontura je zatvorena, po dijelovima glatka krivulja koja se ne presijeca. Izrecimo pripadne teoreme. Ako želimo naglasiti da se radi o integralu po konturi, onda umjesto simbola pišemo. Teorem 7.2.. (Cauchyjev teorem) Ako je funkcija f analitička na Ω C i ako je konture koja zajedno sa svojim unutarnjim područjem leži u Ω, onda je dz =, Cauchyjev teorem se može i poopćiti i na područje s rupama. Naime, područje jednostruko povezano ako se svaka zatvorena krivulja može stisnuti u točku. U protivnom je područje višestruko pozevano. Recimo zatvorana krivulja koja obuhvaća rupu ne može se stegnuti u točku. Teorem 7.2.2. (Cauchyjev tm. za višestruko povezana područja) Neka su,,... n C konture koje imaju ova svojstva:. Krivulje se ne sijeku, tj k =, k l = za sve k, l, 2.,..., n leže u unutarnjem području krivulje, 3. za k l krivulja k leži u vanjskom području krivulje l (tj. krivulje k ne mogu ležati jedna unutar druge). 2 D n
7. KOMPLEKSNI INTEGRAL KOMPLEKSNI INTEGRAL 39 Neka je D skup koji dobijemo tako da iz izbacimo unutarnja područja od k. Ako je f analitička funkcija na d i ako su sve konture pozitivno orijentirane, onda vrijedi dz = dz + + dz. n Teorem 7.2.3. (Cauchyjeva integralna formula) Neka je f analitička funkcija na Ω C. Neka je z Ω i neka je pozitivno orijenatirana kontura unutar Ω u čijem unutarnjem području leži točka z. Tada vrijedi f(z ) = 2πi z z dz. Nadalje, f (n) (z ) = n! 2πi dz. (z z ) n+ Primjer 7.2.. Izračunajte (a) (b) (c) (d) (e) ()(z 2) ()(z 2) dz gdje je kružnica radijusa 2 sa središtem u točki 4, dz gdje je kružnica radijusa 2 sa središtem u točki, dz gdje je kružnica radijusa 2 sa središtem u točki, dz gdje je kružnica radijusa 3 sa središtem u točki, e 2z dz gdje je kružnica radijusa 3 sa središtem u točki. (z + ) 4 (a) Uočimo da je brojnik = analitička funkcija, i da je jedini singularitet funkcije točka. Točka ne leži unutar, pa je funkcija analitička unutar i za njen integral vrijedi Cauchyjev teorem dz =.
7. KOMPLEKSNI INTEGRAL KOMPLEKSNI INTEGRAL 4 (b) Ponovno je = analitička funkcija, ali za razliku od (a) se sada jedini singularitet funkcije, a to je nalazi unutar zadane kružnice, pa direktno primjenjujemo Cauchyjevu integralnu formulu dz = 2πif() = 2πi(sin(π) + cos(π)) = 2πi. (c) Podintegralna funkcija ima dva singulariteta, i 2, ali se samo nalazi unutar. Prema tome analitičku funkciju (unutar uzimamo pa je ()(z 2) = sin(πz2 ) + cos(πz 2 ), z 2 sin(π) + cos(π) dz = 2πif() = 2πi 2 = 2πi. (d) Podintegralna funkcija ima dva singulariteta, i 2, i oba se nalaze unutar. Da bismo mogli primijeniti Cauchyjevu integralnu formulu, moramo rastaviti na dvije funkcije, takve da svaka ima po jedan singularitet unutar. Dakle, rastavimo ()(z 2) = A + B z 2 na parcijalne razlomke. Množenjem prethodne jednakosti s ()(z 2) dobivamo = (A + B)z + ( 2A B). Odavde se izjednačavanjem koeficijenata uz iste potencije lako izračuna da je A =, B =, pa je ()(z 2) = + z 2. Prema tome, imamo dz ()(z 2) [ = sin(πz2 ) + cos(πz 2 ) + sin(πz2 ) + cos(πz 2 ] ) dz z 2 = dz + z 2 = (direktna primjena Cauchyjeve integralne formule) = 2πi(sin(π) + cos(π)) + 2πi(sin(4π) + cos(4π)) = 4πi. dz
7. KOMPLEKSNI INTEGRAL KOMPLEKSNI INTEGRAL 4 (e) Funkcija = e 2z je analitička, a jedini singularitet singularitet funkcije i to je nalazi unutar zadane kružnice, pa direktno primjenjujemo (z + ) 4 Cauchyjevu integralnu formulu s derivacijama. Pritom je n = 3, i f (3) (z) = 8e 2z, pa je e 2z 2πi dz = (z + ) 4 3! f(3) ( ) = 2πi 8e 2 = 8 3! 3 e 2 πi. 7.3. Obrat Cauchyjevog teorema Ne postoji potpuni obrat Cauchyjevog teorema potreban je dodatni uvjet, a to je neprekidnost funkcije f. Teorem 7.3.. (Morera) Neka je Ω C i f : Ω C neprekidna funkcija, a Ω područje bez rupa. Ako je integral funkcije f po svakoj konturi jednak nula, onda je f analitička na Ω.