BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami Izv. prof. dr.. Tomilav Kišiček dipl. ing. građ. 0.10.014. Betonke kontrukije III 1
NBK1.147 Slika 5.4 Proračunki dijagrami betona razreda od C1/15 do C90/105, lijevo: u obliku parabole horizontalnog prava; deno: bi linearni, [4] NBK1 100 0.10.014. Betonke kontrukije III
NBK1 97, Tablia 4.1 Razredi čvrtoća betona 0.10.014. Betonke kontrukije III 3
M 1/r dijagram primjer Potrebno je proračunati i nartati točke dijagrama (M 1/r) za neovijeni i ovijeni beton (σ 0,10 f k ) uz korištenje bilinearnog (σ ) dijagrama betona, za pravokutni prejek b/h/d35/55/50 m, za razred betona C30/37, te čelik B500B i armaturu 5φ. 0.10.014. Betonke kontrukije III 4
M 1/r dijagram primjer Ulazni podai: Dimenzije prejeka: b/h/d35/55/50 m Ugrađena vlačna armatura: 5φ 19,01 m Beton: C30/37 tablia 3.1 iz EN 199 1 1 ili tablia 4.1 u kriptama NBK1, tr. 97. f k 30 N/mm 3,0 kn/m f tm,9 N/mm 0,9 KN/m E m 33000 N/mm 3300 KN/m 3 0,00175 u3 0,0035 Čelik: B500B f yk 500 N/mm 50 kn/m E 00000 N/mm 0000 kn/m 0.10.014. Betonke kontrukije III 5
Točka (1) Neovijeni beton Pojava prve pukotine u betonu doegnuta je vlačna čvrtoća makimalno napregnutog vlakana u poprečnom prejeku I 0 b h 3 /1 35 55 3 /1 48560,4 m 4 y 0d h/ 7,5 m α e E /E m 00000/33000 6,06 Položaj neutralne oi za tanje naprezanja I (beton +armatura) y Id ( ) ( α 1 A d + b h ) e ( α 1) e 6, 43m 1 A + b h yig h yid 55 6, 43 8, 57m / ( ) ( 6, 06 1 19, 01 5, 0 + 35 55 ) ( 6, 06 1) 19, 01+ 35 55 / 0.10.014. Betonke kontrukije III 6
Točka (1) Neovijeni beton Moment tromoti poprečnog prejeka za tanje naprezanja I (beton +armatura) Moment avijanja kod pojave prve pukotine: M r Zakrivljenot: 3 b h h Ι I + b h yig + e y 1 35 55 1 531644, 68m ftm y Ι 0d 0 3 + 35 55 4 0, 9 55 ( α 1) A ( d ) 8, 57 + 48560,4 7,5 5117, 9 3300 531644, 68 Ig ( 6, 06 1) 19, 01 ( 50 8, 57) 5117, 9 knm 1/m 5117, knm 1 r 6 4 r r M E m Ι I, 91 10, 91 10 0.10.014. Betonke kontrukije III 7 1/m
Točka () Neovijeni beton Pojava popuštanja vlačne armature. Za bilinearni proračunki dijagram betona y fyk / E 500 / 00000 0, 005 σ f yk 500 N/mm 50 kn/m Za beton C30/37: 3 1,75 0,00175 u3 3,5 0,0035 0.10.014. Betonke kontrukije III 8
Točka () Neovijeni beton Unutarnje ile u poprečnom prejeku Za bilinearni proračunki dijagram betona 0.10.014. Betonke kontrukije III 9
Točka () Neovijeni beton Sila u vlačnoj armaturi: F A fyk 19, 01 50 950, 5 kn Iz uvjeta ravnoteže unutarnjih ila u poprečnom prejeku treba proračunati relativnu tlačnu deformaiju betona,. Kod određivanja rezultante tlačnih naprezanja u betonu moguća u dva lučaja: 3 linearna rapodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona 1. SLUČAJ 3 < u3 bilinearna rapodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona. SLUČAJ 0.10.014. Betonke kontrukije III 10
Točka () Neovijeni beton Za beton C30/37 i armaturu B500B, granični koefiijent armiranja očitan je iz tablie 1.1, (tr. iza) i iznoi: ρ,gr, 0, 01353 Koefiijent armiranja poprečnog prejeka jet: ρ A b d 19, 01 35 50, 0 01086 ρ 0,01086 < ρ,gr, 0,01353 3 (linearna rapodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona) 1. SLUČAJ 0.10.014. Betonke kontrukije III 11
Točka () Neovijeni beton 0.10.014. Betonke kontrukije III 1
Točka () Neovijeni beton 1. lučaj: 3 linearna rapodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona Izjednačavanjem izraza za ile u betonu i armaturi dobije e kvadratna jednadžba, 1 1 f k 3 b d 3, 0 35 50 0, 00175 1500000 A f yk 19, 01 50 19, 01 50 0, 005 čije rješenje jet relativna deformaija betona, 0,001615 A f yk 950, 5, 3765 y 0 0 0 0.10.014. Betonke kontrukije III 13
Točka () Neovijeni beton 1. lučaj: 3 linearna rapodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona Debljina tlačnog područja poprečnog prejeka: x xy d + y 0, 001615 50 19, 6 m 0, 001615 + 0, 005 krak unutarnjih ila u trenutku popuštanja armature, z y : xy 19, 6 zy d 50 43, 46 m 3 3 Makimalno tlačno naprezanje betona: fk 3, 0 σ 0, 001615, 77 kn/m 0, 00175 3 0.10.014. Betonke kontrukije III 14
Točka () Neovijeni beton 1. lučaj: 3 linearna rapodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona Sila u betonu: 1 1 F σ xy b, 77 19, 6 35 95108, kn F 950, 5 kn Moment avijanja iznoi : M y F z y 950, 5 43, 46 41308, 73 knm 413, 08 knm Zakrivljenot poprečnog prejeka: 1 y 5 3 r y d x y 0, 005 50 19, 6 8, 9 10 1/m 8, 9 10 1/m 0.10.014. Betonke kontrukije III 15
Točka (3) Neovijeni beton Slom poprečnog prejeka Preko betona Preko armature u3 u Hoće li lom natati preko betona ili armature ovii o koefiijentu armiranja ugrađene armature i o graničnom koefiijentu armiranja 0.10.014. Betonke kontrukije III 16
Točka (3) Neovijeni beton Za beton C30/37 i armaturu B500B, granični koefiijent armiranja očitan je iz tablie 1.3 i iznoi:, gr,3u, 0 00944 Koefiijent armiranja poprečnog prejeka jet: ρ 0,01086 > ρ,gr,3u 0,00944 Slom preko betona ρ ρ A b d 19, 01 35 50, 0 01086 0.10.014. Betonke kontrukije III 17
Točka (3) Neovijeni beton 0.10.014. Betonke kontrukije III 18
Točka (3) Neovijeni beton Slom preko betona tj. kada armature ima više od A,max što je nepovoljno Relativna deformaija betona u tlačnom području je u3 Proračunava e relativna deformaija armature između vrijednoti y i u, tj. f / E < y ( ) yk u Za B500A u 5,0 Za B500B u 50,0 Za B450C u 75,0 Za u3 bilinearma rapodjela u tlačnom dijelu betona 0.10.014. Betonke kontrukije III 19
Točka (3) Neovijeni beton Slom preko betona Izjednačavanjem izraza za ile u betonu i armaturi određuje e relativna deformaija armature, f k b d u3 A f 3 yk A f yk u3 3, 0 35 50 0, 0035 0, 010999 0, 00175 19, 01 50 19, 01 50 0, 0035 y 0, 005 < u 0, 05 0.10.014. Betonke kontrukije III 0
Točka (3) Neovijeni beton Slom preko betona Sila u armaturi: F A fyk 19, 01 50 950, 5 kn Debljina tlačnog područja poprečnog prejeka: u3 0, 0035 x xu d 50 1, 07 m + 0, 0035 + 0, 010999 u3 Udaljenot vlakana a relativnom deformaijom betona, 3, od neutralne oi: 3 0, 00175 x' u xu 1, 07 6, 035 m u3 0, 0035 Sila u betonu: F 1 1 1 fk xu b fk x' u b fk b xu x' u 3, 0 35 1, 07 6, 035 950, 5 kn 0.10.014. Betonke kontrukije III 1
Točka (3) Neovijeni beton Slom preko betona Kako bi e proračunao krak unutarnjih ila u trenutku popuštanja armature, z u potrebno je odrediti položaj ile u betonu, F, koja e može rataviti na dvije komponente, F 1 i F : 0.10.014. Betonke kontrukije III
Točka (3) Neovijeni beton Slom preko betona Komponente ile u betonu i njihova udaljenot od gornjeg ruba poprečnog prejeka: F 1 k ( x x' ) 3, 0 ( 1, 07 6, 035) 35 633, 68 kn f b u u F x x' 1, 07 6, 035 u u, 3 08 m 1 fk x' u b ili F F F1 950, 5 633, 68 x' u 6, 035 xu 1, 07 8, 05 m 3 3 316, 8 kn 0.10.014. Betonke kontrukije III 3
Točka (3) Neovijeni beton Slom preko betona Udaljenot rezultantne ile u betonu F od gornjeg ruba prejeka, x Tu : xu x' u x' u F1 + F xu 3 x Tu F + F Krak unutarnjih ila: z 1 633, 68 3, 08 + 316, 8 8, 05 633, 68 + 316, 8 50 4, 74 u d xtu, 45 6 m 4, 74 m 0.10.014. Betonke kontrukije III 4
Točka (3) Neovijeni beton Slom preko betona Moment avijanja iznoi: M u F z u 950, 5 45, 6 43019, 63 knm Zakrivljenot poprečnog prejeka: u3 0, 0035 4, 90 10 1/m, 90 10 x 1, 07 1 r u u 430, 0 knm 1/m Koefiijent duktilnoti: δ 1 ru 1 ry, 90 10 8, 9 10 4 5 3, 5 0.10.014. Betonke kontrukije III 5
Točka (3) Neovijeni beton Dijagram M 1/r: 0.10.014. Betonke kontrukije III 6
Karakteritična tlačna čvrtoća ovijenog betona: f f Ovijeni beton ( 1, 15 +, 5σ / fk ) za σ > 0, 05 fk tj. σ 0, 1 fk > 0, fk k, fk 05 k, ( 115, +, 5 3, 0 / 30) 415 N/mm 30, Relativne deformaije ovijenog betona: 3, 3 ( ) f / 0, 00175 ( 415, / 30) 0, 00331 f k, k u3, +, σ / f 0, 0035 + 0, 3, 0 / 30 u3 0 k 0, 035 0.10.014. Betonke kontrukije III 7
Ovijeni beton Vlačna čvrtoća i modul elatičnoti ovijenog betona: Srednja vlačna čvrtoća za betone f k 50 MPa: f tm, f 3 3 0, 3 k, 0, 3 415, 3, 58 N/mm, 0 36 kn/m Srednja tlačna čvrtoća: f m, 8, 0 8, 0 1 415, 1 + 5, 5 30 fk, + fk Veličine f tm, ; f k, ; f m, ; f k ; te brojke 10 i 8 dane u u N/mm Sekantni modul elatičnoti betona: N/mm E m, f 000 10 m, 0, 3 5, 5 000 10 0, 3 3618, 4 N/mm 361, 84 kn/m E m,, f m, i brojka 10 dani u u N/mm 0.10.014. Betonke kontrukije III 8
Točka (1) Ovijeni beton Pojava prve pukotine u betonu doegnuta je vlačna čvrtoća makimalno napregnutog vlakana u poprečnom prejeku I 0 48560,4 m 4 y 0d 7,5 m α e E /E m 00000/3618,4 5,54 Položaj neutralne oi za tanje naprezanja I (beton +armatura) y Id ( ) ( α 1 A d + b h ) e ( α 1) e 6, 53m 1 A + b h yig h yid 55 6, 53 8, 47m / ( ) ( 5, 54 1 19, 01 5, 0 + 35 55 ) ( 5, 54 1) 19, 01+ 35 55 / 0.10.014. Betonke kontrukije III 9
Točka (1) Ovijeni beton Moment tromoti poprečnog prejeka za tanje naprezanja I (beton +armatura) 3 b h h Ι I + b h yig + e y 1 35 55 1 57077, 73m 3 + 35 55 4 55 ( α 1) A ( d ) 8, 47 + Ig ( 5, 54 1) 19, 01 ( 50 8, 47) Moment avijanja kod pojave prve pukotine: ftm, Ι 0 0, 36 48560,4 Mr, 635, 5 knm y 0d 7,5 Zakrivljenot: r 3, 336 10 63, 53 knm 1 r, 6 4 r, E M m, Ι I 635, 5 361, 84 57077, 73 1/m 3, 336 10 0.10.014. Betonke kontrukije III 30 1/m
Točka () Ovijeni beton Pojava popuštanja vlačne armature. Za bilinearni proračunki dijagram betona y fyk / E 500 / 00000 0, 005 σ f yk 500 N/mm 50 kn/m Za ovijeni beton C30/37: 3, 3,31 0,00331 u3, 3,5 0,035 0.10.014. Betonke kontrukije III 31
Točka () Ovijeni beton Unutarnje ile u poprečnom prejeku 0.10.014. Betonke kontrukije III 3
Točka () Ovijeni beton Sila u vlačnoj armaturi: F A fyk 19, 01 50 950, 5 kn Iz uvjeta ravnoteže unutarnjih ila u poprečnom prejeku treba proračunati relativnu tlačnu deformaiju betona,. Kod određivanja rezultante tlačnih naprezanja u betonu moguća u dva lučaja: 3, linearna rapodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona 1. SLUČAJ 3, < u3, bilinearna rapodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona. SLUČAJ 0.10.014. Betonke kontrukije III 33
Točka () Ovijeni beton Za ovijeni beton C30/37 i armaturu B500B, granični koefiijent armiranja iznoi: ρ,gr, 1 f f k, yk y 3, + 3, 0, 00331 0, 005 + 0, 00331 Koefiijent armiranja poprečnog prejeka jet: 1 4, 15 50 0, 035 ρ A b d 19, 01 35 50, 0 01086 ρ 0,01086 < ρ,gr, 0,035 3, (linearna rapodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona) 1. SLUČAJ 0.10.014. Betonke kontrukije III 34
Točka () Ovijeni beton 1. lučaj: 3, linearna rapodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona Izjednačavanjem izraza za ile u betonu i armaturi dobije e kvadratna jednadžba, 1 f k, 3, b d 1 4, 15 35 50 0, 00331 1090445, 6 A f yk čije rješenje jet relativna deformaija betona, 0,001975 A f yk y 19, 01 50 19, 01 50 0, 005 950, 5, 3765 0 0 0 0.10.014. Betonke kontrukije III 35
Točka () Ovijeni beton 1. lučaj: 3, linearna rapodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona Debljina tlačnog područja poprečnog prejeka: x xy, d + y 0, 001975 50 0, 001975 + 0, 005 krak unutarnjih ila u trenutku popuštanja armature, z y : xy, 07 zy d 50 4, 64 m 3 3 Makimalno tlačno naprezanje betona: σ f 415,, 07 m k,, 0, 001975, 46 kn/m 3, 0, 00331 0.10.014. Betonke kontrukije III 36
Točka () Ovijeni beton 1. lučaj: 3, linearna rapodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona Sila u betonu: 1 1 F, σ, xy, b, 46, 07 35 950, 1kN F 950, 5 kn Moment avijanja iznoi : M y, F z y, 950, 5 4, 64 4059, 3 knm 405, 9 knm Zakrivljenot poprečnog prejeka: r 1 y 5 3 y, d x y, 0, 005 50, 07 8, 951 10 1/m 8, 951 10 1/m 0.10.014. Betonke kontrukije III 37
Točka (3) Ovijeni beton Slom poprečnog prejeka Preko betona Preko armature u3, u Hoće li lom natati preko betona ili armature ovii o koefiijentu armiranja ugrađene armature i o graničnom koefiijentu armiranja 0.10.014. Betonke kontrukije III 38
Točka (3) Ovijeni beton Za ovijeni beton C30/37 i armaturu B500B, granični koefiijent armiranja iznoi: ρ,gr,3u f f k, yk u3, u3, Koefiijent armiranja poprečnog prejeka jet: ρ + 3, A b d 4, 15 50 19, 01 35 50, ρ 0,01086 < ρ,gr,3u 0,045 Slom preko armature u 0, 00331 0, 035 0, 035 + 0, 05 0 01086 0, 045 0.10.014. Betonke kontrukije III 39
Točka (3) Ovijeni beton Slom preko armature tj. kada armature ima manje od A,max što je povoljno Relativna deformaija vlačne armature u Za B500A u 5,0 Za B500B u 50,0 Za B450C u 75,0 Proračunava e relativna deformaija betona između vrijednoti 0 i u3,, tj.: 0 u3, Sila u vlačnoj armaturi: F A fyk 19, 01 50 950, 5 kn 0.10.014. Betonke kontrukije III 40
Točka (3) Ovijeni beton Slom preko armature Rezultanta tlačnih naprezanja u betonu i krak unutarnjih ila određuju e tako da e iz uvjeta ravnoteže unutarnjih ila u poprečnom prejeku proračuna relativna tlačna deformaija betona,. Kod određivanja rezultante tlačnih naprezanja u betonu moguća u dva lučaja: 3, linearna rapodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona 3, < u3, bilinearna rapodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona 0.10.014. Betonke kontrukije III 41
Točka (3) Ovijeni beton Za ovijeni beton C30/37 i armaturu B500B, granični koefiijent armiranja iznoi: ρ,gr,3 1 f f k, yk u 3, + Koefiijent armiranja poprečnog prejeka jet: ρ 3, A b d 1 4, 15 50 19, 01 35 50, 0, 00331 0, 05 + 0, 00331 0 01086 0, 0056 ρ 0,01086 > ρ,gr,3 0,0056 > 3, (bilinearna rapodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona). SLUČAJ 0.10.014. Betonke kontrukije III 4
Točka (3) Ovijeni beton Slom preko armature. lučaj: 3, bilinearna rapodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona A Relativna deformaija betona: f yk f k, u 0, 009488 + f b d b d A f k, yk 3, 0, 00331 19, 01 50 0, 05 + 4, 15 35 50 4, 15 35 50 19, 01 50 Debljina tlačnog područja poprečnog prejeka: x 0, 009488 xu, d 50 7, 97 m + 0, 009488 + 0, 05 u 0.10.014. Betonke kontrukije III 43
Točka (3) Ovijeni beton Slom preko armature. lučaj: 3, bilinearna rapodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona Udaljenot vlakana a relativnom deformaijom betona, 3, od neutralne oi: 3, 0, 00331 x' u, xu, 7, 97, 78 m 0, 009488 Sila u betonu: F f k x y b f f b d + 1 k 3 k x' y b y F, 1 fk, b xu, x' u, 4, 15 35 7, 97 1, 78 949, 99 kn 950, 5 kn 0.10.014. Betonke kontrukije III 44
Točka (3) Ovijeni beton Slom preko armature. lučaj: 3, bilinearna rapodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona Kako bi e proračunao krak unutarnjih ila u trenutku popuštanja armature, z u potrebno je odrediti položaj ile u betonu, F,, koja e može rataviti na dvije komponente, F 1, i F, 0.10.014. Betonke kontrukije III 45
Točka (3) Ovijeni beton Slom preko armature. lučaj: 3, bilinearna rapodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona F x F F x Komponente ile u betonu i njihova udaljenot od gornjeg ruba poprečnog prejeka: 1, u,,, k, ( x x' ) 4, 15 ( 7, 97, 78) 35 749, 31kN f b x' u, 1 f 1 f 3 k, k, x' x' u, u, u, b b ili u, 7, 97, 78, 60 m F,, 78 7, 97 3 F x' u, u,,, F 1, 1 4, 15, 78 35 00, 68 kn 6 1 m 0.10.014. Betonke kontrukije III 46
Točka (3) Ovijeni beton Slom preko armature. lučaj: 3, bilinearna rapodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona Udaljenot rezultantne ile u betonu F, od gornjeg ruba prejeka, x Tu, : x Tu F 1 Krak unutarnih ila: x u x' u + F x F + F 1 749, 31, 6 + 00, 68 6, 1 749, 31+ 00, 68 u x' 3 zu d xtu, 50 3, 34 46, 66 m u 3, 34 m 0.10.014. Betonke kontrukije III 47
Točka (3) Ovijeni beton Slom preko armature Moment avijanja iznoi: M u, F z u, 950, 5 46, 66 44350, 33 knm Zakrivljenot poprečnog prejeka: r u 0, 05 3 119, 10 1/m 119 10 d x 50 7, 97, 1 1 u, u, 443, 50 knm 1/m Koefiijent duktilnoti: δ 1 ru 1 ry 119, 10 8, 951 10 5 3 13, 9 0.10.014. Betonke kontrukije III 48
Točka (3) Ovijeni beton Dijagram M 1/r: 0.10.014. Betonke kontrukije III 49
Točka (3) Neovijeni i ovijeni beton Dijagram M 1/r: 0.10.014. Betonke kontrukije III 50