ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k ( ) + ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) + +, g ( ), h ( ) 9, k ( ) ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) + + ln( ), g ( ) ln, συν ) Δίνεται η συνάρτηση ( ). ln( ) h ( ) 9 k ( ), ln ln i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. ii) Αποδείξτε ότι ( ) + ( ) συν, για κάθε A. 5) Δίνεται η συνάρτηση ( ). ln i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. ii) Αποδείξτε ότι η γραφική παράσταση της βρίσκεται πάνω από τον άξονα.

6) Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln. i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της. ii) Αποδείξτε ότι η γραφική παράσταση της, διέρχεται από τα σημεία Β (, ). Α(, ) iii) Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της με τον άξονα. iv) Για ποιες τιμές του η γραφική παράσταση της, βρίσκεται κάτω από τον άξονα των ; και Όριο Συνέχεια Συνάρτησης 7) Να αποδείξετε ότι: i) lim ( ln ) v) lim 5 + + ii) ln( + ) + lim 0 + vi) 7+ 6 lim 5 5+ 6 iii) lim vii) + lim 0 iv) + 8 lim viii) 7 lim 6 + 8) Να αποδείξετε ότι: i) lim + iv) lim ii) lim 8 v) + lim 0 + + 5 iii) lim 8 vi) lim 0

9) Δίνεται η συνάρτηση ( ). Να αποδείξετε ότι: ( ) i) lim 9 ii) ( ) (0) lim 0 + iii) ( h+ ) () lim h 0 h 0) Δίνεται η συνάρτηση ( ), αβ, α + β + R. Θεωρούμε ότι η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα στο 0 και διέρχεται από το σημείο Α (, 6). i) Να υπολογίσετε τα α, β R. ii) Αν α και β 5, να αποδείξετε ότι lim ( ) 7 + 6. ) Δίνεται η συνάρτηση 5, ( ) 7, συνάρτηση είναι συνεχής στο 0.. Να αποδείξετε ότι η ) Δίνεται η συνάρτηση, > ( ) α+, αριθμό α, ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής στο 0.. Nα βρείτε τον πραγματικό ) Δίνεται η συνάρτηση i) Να βρείτε το ln ln, 0 < ( ), lim ( ) ii) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο.

) Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( ). i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii) Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού κ, ώστε το σημείο Α(,κ) να ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. ( ) ( ) iii) Να αποδείξετε ότι lim. iv) Να αποδείξετε ότι ( ) +. 5) Έστω συνάρτηση συνεχής στο R, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(,). Να αποδείξετε ότι: ()( ) i) lim + ii) ( )( ) lim 8 + iii) ( ) ( ) lim ( ) ( ) + Παράγωγος συνάρτησης 6) Στη πρώτη στήλη είναι ο τύπος της συνάρτησης. Με την προϋπόθεση ότι ορίζεται να βρείτε τη παράγωγό της. (η απάντηση βρίσκεται στη δεύτερη στήλη). Στήλη Α Στήλη Β ) ( ) + ) ( ) ) ( ) + ) + ( ) ) ( ) + ) ( ) + ) ( ) 5 + ) ( ) + 5 5 5) ( ) ημ συν 5) ( ) συν + ημ 5

6) συν ( ) 7) ( ) + ln 8) ημ ( ) 5 6) 7) 8) ( ) ( ) + + + ημ ημ + συν ( ) 9) ( ) + 9) + ( ) ( + ) 0) ( ) + ) ln ( ) + ημ ) ( ) ) ( ) ln 0) ( ) ( + ) ) ( ) + ln ( ) ( + ) ) συν ημ ( ) ( + )ln ) ( ) ln ) 5) ln ( ) + ln ημ ( ) ημ + συν ) ln ( ) ( + ln ) 5) ( ) ( ημ + συν ) 6) ( ) 6) + ( ) ( ln ) 7) ( ) + 8) ( ) εφ σφ 9) ( ) ( )(ln + ) 0) ( ) ln 7) ( ) ln + ln 8) ( ) συν ημ 9) () (ln+ ) + ( ) 0) ( ) (ln + + ln ) 6

) ( ) + ) ( ) ) ( ) ( + ) 5 ) ( ) 5 ( + ) ) ) ( ) + ( ) ln( + ) ) ) ( ) ( ) + + 5) π 6 ( ) ημ( + ) 5) π + 6 ( ) συν ( ) 6) ( ) 5 ημ 6) ( ) 5ημ συν 7) ( ) ημ 5 7) ( ) 5 συν 5 8) ( ) + 8) ( ) + 9) ( ) ln(ln ) 9) ( ) ln 0) ( ) ln( συν ) 0) ( ) εφ ) ( ) ημ(ln ) ) συν (ln ) ( ) ) ( ) ln ) ( ) ln ) ( ) + ) ( ) + ) ( ) + ) ( ) + + 5) ( ) ημ 5) ( ) ημ 7

7) Αν θεωρήσουμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη, να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων: ( ) i) g ( ) ( ημ) ii) h ( ) (+ ) iii) ( ) φ + ημ( ( )) 8) i) Δίνεται η συνάρτηση h ( ) ( g ( )), όπου, g συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο R. Αν είναι g() 6, g () και (6) 8, να αποδείξετε ότι h (). ii) Δίνεται η συνάρτηση h ( ) ( g ( )), όπου, g συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο R. Αν είναι g(), g () και () 5, να αποδείξετε ότι h () 0. iii) Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση ορισμένη στο R, για την οποία ισχύει () 5. Αν είναι g ( ) ( + + ), να αποδείξετε ότι g (0) 5. 9) i) Δίνεται η συνάρτηση ( ), R. Να αποδείξετε ότι: ( ) + ( ) + ( ) 0, για κάθε R. ii) Δίνεται η συνάρτηση () +, R. Να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) + για κάθε R. iii) Δίνεται η συνάρτηση ( ) ημ, R. Να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) ( ) + ( ) για κάθε R. iv) Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln, (0, + ). Να αποδείξετε ότι: ( ( )) + ( ) 0 για κάθε (0, + ) 0) Δίνεται η συνάρτηση ( ), R. Να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) + ( ) 0 για κάθε R. ) Δίνεται η συνάρτηση ( ) ημ, R. Να αποδείξετε ότι: ( ) + ( ) + ( ) 0 για κάθε R. ) Δίνεται η συνάρτηση ( ) ημ (ln ), > 0. Να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) + ( ) 0 για κάθε > 0. 8

) i) Δίνεται η συνάρτηση ( ) ημ, R. Να αποδείξετε ότι: ( ) + ( ) + 5 ( ) 0 για κάθε R. ii) Δίνεται η συνάρτηση ημ + συν π ( ), κπ +, κ Ζ. ημ συν Να αποδείξετε ότι: α) ( ) + ( ) + 0 β) Αν ( ) 0, τότε ( ) 0. λ ) Δίνεται η συνάρτηση ( ) +, R. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ ώστε να ισχύει ( ) ( ) + 0 για κάθε R. +β 5) Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( + a), R και α, β τυχαίοι πραγματικοί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί ( κ), ( κ), ( κ ) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό κ. Εξίσωση εφαπτομένης 6) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης: i) ( ) στο σημείο A(, ()). ii) ( ) + + στο σημείο A(, ()). iii) ( ) στο σημείο με τεταγμένη. iv) ( ) ( + ) στο σημείο με τετμημένη. 7) Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ) ( + )( + ) στο σημείο με τετμημένη. 8) Δίνεται η συνάρτηση ( ) +. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της, η οποία i) έχει συντελεστή διεύθυνσης. o ii) σχηματίζει με τον άξονα γωνία 5. iii) είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση + y 0 iv) είναι παράλληλη στον άξονα. 9

9) i) Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) a β +, a, β R. Να υπολογίσετε τα a, β R, ώστε η ευθεία με εξίσωση y να είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο με τετμημένη ίση με. ii) Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) a + β, a, β R. Να υπολογίσετε τα a, β R, ώστε η ευθεία με εξίσωση y να είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο της A (, ). 0) i) Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της, η οποία είναι παράλληλη στη διχοτόμο της γωνίας Oy. ii) Δίνεται η συνάρτηση ( ). Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της, η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση y 5 iii) Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( + 5). Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της, η οποία είναι παράλληλη στον άξονα. ) Δίνεται η συνάρτηση ( ). Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της, οι οποίες διέρχονται από το σημείο A(, ). Μονοτονία συνάρτησης ) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις: i) iv) ( ) + 5 ii) ( ) + iii) ( ) v) ln ( ) vi) ( ) ( ) vii) 5 5 ( ) + ( ) + 0

) Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις δεν έχουν ακρότατα. i) ( ) + + 5 ii) iv) vii) ( ) + + v) () 5 +, 0 ) Δίνεται η συνάρτηση ( ) iii) + vi) ( ) ln > viii) ( ) ημ συν, ( ) ln, > 0 5 5 ( ) + + ( ) + ( ) π 0, i) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ii) Να αποδείξετε ότι 5) Δίνεται η συνάρτηση ln για κάθε (0, + ). ( ) ( a) a( ), a + R i) Να αποδείξετε ότι η παρουσιάζει ελάχιστο για a. ii) Να βρείτε την τιμή του a R, για την οποία η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης γίνεται μέγιστη. 5 6) Δίνεται η συνάρτηση ( ) + +. Να βρείτε το σημείο της γραφικής παράστασης της στο οποίο η εφαπτομένη έχει την ελάχιστη κλίση. Ρυθμός Μεταβολής 7) Από όλα τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα με εμβαδόν 00 m, να βρείτε εκείνο που έχει τη μικρότερη περίμετρο. 8) Δίνεται η συνάρτηση () +. Να βρείτε πότε ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης γίνεται ελάχιστος και ποιά είναι η ελάχιστη τιμή του. 9) Δίνονται τα σημεία ( 0, ) A + και (,0) B. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής i) της απόστασης των σημείων A και B ως προς, όταν είναι. ii) του εμβαδού του τριγώνου όταν είναι. OAB, όπου O η αρχή των αξόνων, ως προς,

0) Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln και το σημείο της γραφικής της παράστασης M ( a, ( a )). Να βρείτε: i) Την εξίσωση (ως συνάρτηση του α ) της εφαπτομένης της C στο Μ. ii) Τα σημεία τομής A, B της εφαπτομένης με τους άξονες και yy. iii) Το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου OAB, όπου O η αρχή των αξόνων, ως προς a, όταν a Θέματα σε όλο το κεφάλαιο ) Δίνεται η συνάρτηση ( ) ημ+ συν i) Να αποδείξετε ότι ( ) + ( ) 0 ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο σημείο Α(0,). iii) Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ, για την οποία ισχύει π λ π. (Θέμα 00) ημ ) Δίνεται η συνάρτηση ( ). + συν i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii) Να αποδείξετε ότι ( ) + συν π iii) Να αποδείξετε + (0) iv) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της π στο σημείο Α,. v) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η προηγούμενη εφαπτομένη με τους άξονες και yy.

) Δίνεται η συνάρτηση ( ). i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii) Nα εξετάσετε αν υπάρχει σημείο της γραφικής παράστασης της, ώστε η εφαπτομένη σε αυτό να είναι παράλληλη στον άξονα. iii) Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής της για είναι. iv) Θεωρούμε τη συνάρτηση h () (). Να αποδείξετε ότι lim h ( ). ) Δίνεται η συνάρτηση, η οποία είναι δυο φορές παραγωγίσιμη και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(,). Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση g ( ) ( + ), R. i) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της g διέρχεται από το σημείο Β(0,). ii) Να βρείτε την g ( ). g ( ) iii) Να αποδείξετε ότι g ( ) ( + ) +, 0. iv) Αν η γραφική παράσταση της, έχει στο σημείο Α εφαπτομένη παράλληλη προς την ευθεία y +5, να βρεθεί το g (0). 5) Δίνεται η συνάρτηση ( ) α β+ 5, R, α, β R, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(0,7). Α) Αν η εφαπτομένη της C στο Α είναι κάθετη στην ευθεία με εξίσωση y, να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β. Β) Αν α και β i) Να αποδείξετε ότι ( ) ( ), R. ii) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. iii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα σημείο της γραφικής παράστασης της, στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα. ( ) iv) Να αποδείξετε ότι lim. 5 5 0

6) Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( ) i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii) Να αποδείξετε ότι η δεν έχει ακρότατα. iii) Να αποδείξετε ότι ( ) ( ) + ( ) 0. 7) Ένα κατάστημα ανοίγει στις 8 π.μ. και παραμένει ανοικτό συνεχώς μέχρι τις 6 μ.μ. Οι εισπράξεις του καταστήματος σε εκατοντάδες δίνονται από τις τιμές της 0t συνάρτησης () t, όπου ο χρόνος t μετριέται σε ώρες και η μέτρηση t + 6 αρχίζει αμέσως με το άνοιγμα του καταστήματος. i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii) Να αποδείξετε ότι οι εισπράξεις του καταστήματος στις 0 π.μ. είναι 00. iii) Να βρείτε ποια ώρα το κατάστημα πραγματοποιεί τις περισσότερες εισπράξεις και πόσες είναι αυτές. iv) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής των εισπράξεων του καταστήματος στις μ.μ. 8) Η τιμή ενός προϊόντος είναι 000 ανά τόνο. Το κόστος παραγωγής είναι 500 ανά τόνο και τα έξοδα ασφάλισης του προϊόντος είναι συνολικά 000 για όλη τη παραγωγή. i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση που δίνει το κέρδος από την πώληση τόνων του προϊόντος έχει τύπο P ( ) + 500 000. ii) Να βρείτε την παραγωγή που πρέπει να έχουμε, ώστε ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους να είναι 00 ευρώ. iii) Να βρείτε την ποσότητα που πρέπει να παράγουμε, ώστε να επιτύχουμε το μέγιστο κέρδος. iv) Να βρείτε το μέγιστο κέρδος.

9) Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln. i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της διέρχεται από το σημείο Α(,0). iii) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της άξονα γωνία 5 ο. C στο σημείο Α σχηματίζει με τον iv) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. v) Να αποδείξετε ότι: ( ) + ln α) lim 0 vi) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της ( ) + ln+ β) lim 9 6 C στο σημείο M (, ()). 50) Δίνεται η συνάρτηση ορισμένη και δυο φορές παραγωγίσιμη στο R, για την οποία ισχύει ( ) ( ) για κάθε R. i) Να αποδείξετε ότι (). ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της iii) Να υπολογίσετε τα όρια: α) lim h 0 ( + h) h β) lim h 0 5) Δίνεται η συνάρτηση ( ) +. i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii) Να αποδείξετε ότι lim 6 ( ) 5. 6 8 ( + h) h iii) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία. C στο σημείο A(, ()). iv) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο A 6, 6.. ( ( )) v) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η εφαπτομένη με τους άξονες και y y. 5

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ A R {} * Ag R Ag [0, + ) ) ) ) A R A (,) h A (, + ) k A h k (, ] [, + ) A (, + ) A [0,) A g h [, + ) A (0,) A (0,) (, ) (, + ) k ) A R * 5) i) A (0,) (, + ) ii) Να αποδείξετε ότι ( ) > 0, για κάθε A. * 6) i) D R, iii) M (,0), N(,0), iv) (,0) (0, ) ) α - 5/ ) i) ln, ii) οχι ) i) D (, + ], ii) κ. 7) i) g ( ) ( ημ) συν ii) ) λ0 ή λ. ln h ( ) (+ ) iii) φ + 6) i) y + ii ) y 9 iii ) y iv ) y 8 5 π 7) 5 8) i) y ii ) y iii ) y iv ) y 9) i) α 5, β 7. ii ) α 0, β -. 0) i) y + ) ε : y, ε : y 6 9 ( ) ( ) ( ) συν( ( )) ( ) ) i) γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (,] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, + ), έχει ελάχιστο το (). ii) γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα (, ] και [, + ), γνησίως αύξουσα στο διάστημα [,], έχει ελάχιστο το ( ) και μέγιστο το () 0. iii) γνησίως φθίνουσα στo διάστημα [,], γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα (, ] και [, + ), έχει ελάχιστο το () και μέγιστο το ( ). vi) γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (, ] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, + ), έχει μέγιστο το ( ) 7 8. 6

v) γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [, + ) και γνησίως αύξουσα στο διάστημα (0, ], έχει μέγιστο το (). vi) γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [,] και γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα (, ] και [, + ), έχει μέγιστο το ( ) και ελάχιστο το () 0. vii) γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (,] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, + ), έχει ελάχιστο το () ) Η συνάρτηση (ii) είναι γνησίως φθίνουσα, οι άλλες είναι γνησίως αύξουσες ) ελάχιστο στο. 5) ii) α / 6) στο (0,) 7) Το τετράγωνο 8) Α (.) 5 9) i) d () ii) E () a 0) i) y (ln a+ ) a ii) A(, 0), (0, ) ln a + B a iii) 8 ) ii) y +, iii) λ π ) i) κπ ± π, κ Ζ. iv) y +, v) ) i) (, ] [, + ), ii) όχι ) iv) g (0). 5) ελάχιστο στο 0 ln 6) i) (,0) π E 7) i) t (0,0), ii) (), iii) t 6 άρα στις μ.μ., iv) (8) 8) ii) 600 τόνοι, iii) 000 τόνοι, iv) P(000) 9) i) (0, + ), iii) (), iv) μέγιστο στο 0 50) ii) y, iii) (), () 6 5) iii) γνησίως αύξουσα στο [, + ), iv) y 7, vi) 9 +, v) E τ. μ. y + 7