ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] είναι όριο? β) Για να βρούμε το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] πρέπει να υπολογίσουμε ένα όριο? α) Σωστά. Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] είναι όριο και συγκεκριμένα ορίζεται ως εξής: v f ( lim f( ξ ) x, όπου v + k= k x= και ξ k ένα οποιοδήποτε v σημείο των διαστημάτων x, x ], όπου k =,,..., v [ k k β) Όχι αναγκαία. Συνήθως για την εύρεση του ορισμένου ολοκληρώματος μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] χρησιμοποιούμε το θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού, προσδιορίζοντας μια παράγουσα της. Ερώτηση α) Κάθε συνεχής συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] έχει παράγουσα? β) Για να βρούμε όλες τις παράγουσες μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ, αρκεί να προσδιορίσουμε μια οποιαδήποτε παράγουσα της f στο Δ? α) Σωστά. Κάθε συνεχής συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] έχει παράγουσα τη συνάρτηση. x = F ( f( dx, x [, ]. Δηλαδή: f( dx = f(, x [, ]
β) Σωστά, γιατί αν F, G δύο παράγουσες της f σε ένα διάστημα Δ, τότε: F ( = G (, για κάθε x και επομένως κατά τα γνωστά από τον διαφορικό λογισμό, υπάρχει σταθερά c, τέτοια ώστε: F ( = G( + c, για κάθε x Ερώτηση 3 Αν η f συνάρτηση συνεχής στο [α,β] ισχύει ότι: f ( f( t) dt f ( f( dt Είναι σωστό ότι: f ( f( t) dt, αφού το ορισμένο ολοκλήρωμα εξαρτάται μόνο από τα όρια ολοκλήρωσης και τον τύπο της συνάρτησης. Είναι λάθος ότι: μεταβλητή της συνάρτησης. f ( f( dt, γιατί στο β μέλος η μεταβλητή ολοκλήρωσης είναι διαφορετική από την Ερώτηση 4 Για να βρούμε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης f, τον άξονα x χ και τις ευθείες x= και x= υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα f ( dx?
Λάθος. Το ζητούμενο εμβαδόν βρίσκεται υπολογίζοντας το ολοκλήρωμα: f ( dx Ειδικότερα: Ερώτηση 5 Δύο συμμαθητές διαφωνούν για τον υπολογισμό του εμβαδού Ε του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση μιας μη μηδενικής συνεχούς συνάρτησης f στο [, ], τον άξονα x x και τις ευθείες x= και x=. Η Βάλια ισχυρίζεται ότι υπολογίζεται από τη σχέση E = f( dx και ο Ζαφείρης από τη σχέση E = f( dx. Ποιος έχει δίκιο? Δίκιο έχει η Βάλια. Ο υπολογισμός με τη σχέση που προτείνει ο Ζαφείρης δίνει γενικά τιμή μικρότερη από την πραγματική. Ειδικότερα, ισχύει ότι f ( dx f( dx, γιατί: Εξάλλου, αφού η f δεν είναι παντού μηδέν στο [,] και f( 0, έχουμε f ( dx>0 και επομένως: ( dx f f( dx 3
Ερώτηση 6 Για τη συνεχή συνάρτηση f στο [,], ισχύει f( 0 f( dx 0, για κάθε x [, ]? Λάθος. Συγκεκριμένα: Είναι σωστό ότι: f( 0 f( dx 0, αφού σ αυτή την περίπτωση το ολοκλήρωμα εκφράζει εμβαδόν. Είναι λάθος ότι: f( dx 0 f( 0 για κάθε x [, ] Για παράδειγμα, x 4 3 x = = αλλά f ( = x< 0 για x [, 0) Ερώτηση 7 Αν για τις συνεχείς συναρτήσεις f, g σε ένα διάστημα [, ] ισχύει f( g( για κάθε x [, ] και οι f,g δεν είναι παντού ίσες στο διάστημα αυτό, τότε f ( dx> g( dx? Σωστά, γιατί: f( g( f( g( 0 και επειδή η συνάρτηση f-g δεν είναι παντού μηδέν στο [,], παίρνουμε: ( f x g x ) dx> 0 ( ) ( ) 4
Ερώτηση 8 Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις δύο συνεχών συναρτήσεων = f,g στο διάστημα [,] και τις ευθείες x=, x=, είναι: E f( dx g( dx Λάθος. Το εμβαδόν που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις δύο συνεχών συναρτήσεων f,g στο διάστημα [,] και τις ευθείες x=, x=, είναι: = f( E g( dx Ερώτηση 9 Αν για την συνεχή f στο διάστημα [,] συνάρτηση ισχύει ότι f( 0 για κάθε x [, ], τότε f ( dx 0 Σωστά, γιατί αφού η f είναι συνεχής και δεν μηδενίζεται στο [,], τότε διατηρεί πρόσημο στο [,]. Επομένως: 5
Ερώτηση 0 Η συνέχεια μιας συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] είναι αρκετή για την ύπαρξη τιμής ξ (, ), ώστε να ισχύει: F( ) F( ) = f( ξ)( ), όπου F μια παράγουσα της f στο [, ]? Σωστά, γιατί αφού η f είναι συνεχής στο [,], μια παράγουσα της στο [, ] είναι η συνάρτηση Επειδή η F είναι παραγωγίσιμη στο [,], ισχύει το ΘΜΤ του Διαφορικού Λογισμού και επομένως υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ), τέτοιο ώστε: Ερώτηση Έστω η συνεχής σε ένα διάστημα Δ συνάρτηση f, η συνάρτηση g( G ( = f( t) dt και. Τότε: α) Το πεδίο ορισμού της G είναι το Δ? β) Η G είναι παραγωγίσιμη στο A, όπου A το σύνολο στο οποίο η g είναι παραγωγίσιμη? α) Λάθος. Η G είναι σύνθεση των συναρτήσεων g και F: F ( = f( dx, x [, ], οπότε ορίζεται για τα x Dg για τα οποία g ( β) Λάθος. Αν Δ το διάστημα στο οποίο ορίζεται η G και A το διάστημα στο οποίο είναι παραγωγίσιμη η g, x τότε η G είναι παραγωγίσιμη στο A 6
Ερώτηση Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f με συνεχή παράγωγο f ( > 0, σε ένα διάστημα [, ]. Πως βρίσκουμε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνεχούς συνάρτησης τον τύπο της f, τον άξονα y y και τις ευθείες y=f(), y=f() όταν δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε f? Το ζητούμενο εμβαδόν Ε είναι: (γιατί;) Θέτουμε και επομένως x= f(u) οπότε dx = f ( u) du, =, u u = 7