ΜΑΘΜΑ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝ ΥΛ ΜΑΘΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ /6/9 ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ Α Α α) Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 β) i) Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 ii) Σχολικό βιβλίο σελίδα 5-6 Α Σχολικό βιβλίο σελίδα 4 Α Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 Α4 α) Λάθος, γιατί δεν είναι ορισμένη σε διάστημα πχ, x,, x, Β) Λάθος, για να ισχύει lim = x xx πρέπει η να είναι συνεχής στο x A x dx x dx x dx x dx 4 Α5
ΘΕΜΑ Β Β x lim x lim e x x Β Θεωρώ συνάρτηση g με g x x x, x, H g είναι συνεχής στο, e ως πράξεις συνεχών με g e g x, Από θεώρημα Bolzano, υπάρχει μία, τουλάχιστον, ρίζα H g είναι παραγωγίσιμη με g ' x e x, x, g x τέτοια ώστε, οπότε η g είναι γνησίως φθίνουσα στο, κι επομένως η ρίζα x είναι μοναδική Β είναι παραγωγίσιμη με x ' x e, x R, οπότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο R, άρα και - κι επομένως αντιστρέψιμη x x y x e e y, πρέπει y y x e y x ln y x ln y Άρα, x ln x,, Β4 lim x lim ln x γιατί: lim x, οπότε lim ln u x x Δηλαδή η x είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C από τα αριστερά της x u x, x e R w x ( x) ln x, x, h x x xr
ΘΕΜΑ Γ x x, x e x x, Γ παραγωγίσιμη στο R άρα και συνεχής στο R άρα συνεχής και στο x Δηλαδή lim x lim x e x Για x : x e x x x x x a, x, x x x a x x lim lim lim lim x x x x x x x x e x e ax e a x lim lim lim lim x x x x x e lim a a x x Γιατί x x x u u u e e e lim lim lim x u u DLH u H είναι παραγωγίσιμη στο άρα x x lim lim a a x x Τελικά a Γ x, x e x x, παραγωγίσιμη στο x, με x e και στο, με x x και, οπότε x, x e, x
4 x, Για κάθε, x x Άρα x Για κάθε x,, x e Άρα, γνησίως αύξουσα στο γνησίως αύξουσα στο, εφόσον είναι συνεχής στο Δηλαδή γνησίως αύξουσα στο R lim, lim, x συνεχής και γνησίως αύξουσα στο, οπότε x x συνεχής και γνησίως αύξουσα στο, R,, R οπότε x, lim, x Γ i Το οπότε η εξίσωση x έχει μία ρίζα στο η οποία είναι μοναδική γιατί γνησίως αύξουσα στο lim x x οπότε υπάρχει τέτοιο ώστε συνεχής στο, R και e Από Θεώρημα Bolzano υπάρχει ρίζα x τέτοια ώστε, x ii Έστω ότι η εξίσωση x x x έχει ρίζα στο Τότε θα υπάρχει x x τέτοιο ώστε x x x, Τότε : x, x x x x x x x ή x x Αν x, άτοπο γιατί η x μοναδική ρίζα της x Αν x x x x, άτοπο γιατί ισχύει x x x x x ενώ x ίύ
5 Γ4 Για x x x MOK MK OK x x x t x t t, xt t x tt t Τη χρονική στιγμή t xt το Μ διέρχεται από το Α και τότε ισχύουν x t και Τελικά, για t t : t x t t t 8 τμ/sec ΘΕΜΑ Δ Δ είναι παραγωγίσιμη στο ' ln Ισχύει επίσης ότι R με ' ln x x x, οπότε: x x Δ Για κάθε, x ισχύει ότι x x x ln x x x x x x ln με την ισότητα να ισχύει για x x x dx x ln x dx du x dx du x dx Θέτω x u, οπότε x ό u x ό u ln udu u' ln udu u ln u u du ln ln du u ln
6 Δ i x x x x ln Για κάθε xr: x x ln ln και x x, με το = να ισχύει μόνο για x Άρα x x x ln ln x x ii Αρκεί να δειχθεί ότι : ln ln συνεχής στο, και παραγωγίσιμη στο, ως πράξη παραγωγίσιμων Από ΘΜΤ υπάρχει, x Από Δi ισχύει τέτοιο ώστε άρα
7 Δ4 και τότε g x x g x x x Έστω τα σημεία, για κάθε A a, a και B, g xr: Τότε η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο Α είναι η : y a a x a y a x a a a η εξίσωση της εφαπτομένης της C g στο B είναι η B : y g g x y g x g g Οι C, C g δέχονται κοινή εφαπτομένη αν υπάρχουν, R τέτοια ώστε οι ευθείες και να ταυτίζονται a ln a Τότε πρέπει a g a a a ln a a a Όμως a ln a και a a Άρα πρέπει Άρα οι, με εξίσωση και a a g a ln a C C δέχονται μοναδική κοινή εφαπτομένη στα σημεία A, και, y g x g g y g x g y x B g αντίστοιχα