ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT (Discrt Tim Fourir Transform / 55
2 / 55
3 / 55
Γενικά Μορφές Μετασχηματισμού Fourir Σήματα που αντιστοιχούν στους τέσσερους τύπους μετασχηματισμών α Μετασχηματισμός Fourir β Σειρά Fourir γ Μετασχηματισμός Fourir Διακριτού χρόνου DTFT δ Διακριτή σειρά Fourir 4 / 55
Σειρά - Ανάλυση αφορά περιοδικά σήματα Fourir Συνεχής χρόνος 2 συνεχής συνιστώσα Τ - - b n 2 πn εαν εαν n n αρτιος περιττος 3η αρμονική n η αρμονική 5 / 55
Σειρά - Ανάλυση αφορά περιοδικά σήματα Fourir Συνεχής χρόνος 6 / 55
squar signal, sw(t squar signal, sw(t squar signal, sw(t squar signal, sw(t Σύνθεση παράδειγμα 9 3 b 7 k 5 b kk k k 5 (t k b k sin(kt sw 9sw (t 3 sin(kt (t sin(kt sw 7 sin(kt kk.5.5.5.5.5.5.5.5 -.5 -.5 -.5 -.5 - - - - -.5 -.5 -.5 -.5 2 2 4 4 6 8 t 6 8 t 2 2 4 4 6 6 8 8 t t 7 / 55
Άλλο παράδειγμα 8 / 55
f(t = a o + n= (a συνnω t + b ημnω n ο n ο t Μιγαδική μορφή σειράς Fourir Συνεχής χρόνος jn t = n t + j n t f(t = a o + n= (a n jnωt + 2 -jnωt + b n jnωt - 2j -jnωt = a o + n= a ( n - jb 2 n jnωt + a n + jb 2 n -jnωt C =a o o n n C n= a - jb 2 n n C -n= a + jb 2 f(t = C o + δηλ. f(t = n= (C n=- n C n jnωt jnωt + C -n -jnωt 9 / 55
Μετασχ. Fourir ορισμός Συνεχής χρόνος F( f(t 2π t f(tdt F( t dω { } = μετασχηματισμός Fourir του { } / 55
V o τ Παράδειγμα ωτ to+τ ημ τ -t F(j ω = dt = τ 2 -(to+ Vo Vo 2 ωτ to 2 t o t o + τ F ( j / τ f / 55
Μετασχηματισμός Fourir Διακριτοποίηση DTFT X(j = - jt x(t dt Διακριτοποιούμε : ολοκλήρωμα άθροισμα T nt s dt T s 2 / 55
X(jΩ = x(t - jωt x(nt dt jωnt s T s X( Τ s Τι συνεπάγεται η σχέση αυτή?. Την εμφάνιση του DTFT X( iω [x(n] n x(n n 2. Σχέση Μετασχ. Fourir και DTFT X(jΩ Τ s X( 3 / 55
παράδειγμα x(t= -5t u(t x(nt= -5nT u(nt X( 5nT jωtn 5T X(jΩ 5 jω Fourir Διακριτού χρόνου jωt ( 5Τ jωt T 5 jω Για μικρά x Fourir Συνεχούς χρόνου 4 / 55
DTFT DTFT(ορισμός Αναφέρεται σε ψηφιακά σήματα x(n Ορισμός IDTFT X( x(n 2π n π π x(n X( jnω jnω Χ ( j Ω dω j Ωt x ( t dt 5 / 55
DTFT(συνέχεια X( j x(n n jn x(n[cos(n n jsin(n] x(ncos(n j n n x(nsin(n j 6 / 55
DTFT(συνέχεια ω X( j A jb A x(n cos(nω n άρτια συνάρτηση B n x(n sin( nω περιττή συνάρτηση 7 / 55
DTFT(συνέχεια Πολική Μορφή X( j X( j ( X( j ( tan 2 B A 2 8 / 55
X( DTFT (συνέχεια Απόκριση μέτρου και απόκριση φάσης 6 X( j X( j ( 4 2-2 -2π -π π 2π ω rad 9 / 55
Γραφικός υπολογισμός του X( 5 ω=. rad/sampl το σήμα x(n -5 2 3 4 5 6 7 8 9 X( n x(n jnω 2 / 55
x(n 5 Γραφικός υπολογισμός του X( j. X( n Αρχικό σήμα x(n x(n jnω -5 2 3 4 5 6 7 8 9 cos(.n.5 sin(.n.5 2 3 4 5 6 7 8 9 Για ω=.rad/sampl Έχουμε: cos(.n και sin(.n 2 3 4 5 6 7 8 9 5 x(n cos(.n -5 2 3 4 5 6 7 8 9 x(n sin(.n - 2 3 4 5 6 7 8 9 Σx(ncos(.n=.367 Σx(nsin(.n= 4.7535 Αρα X( j. =.367-j4.7535 2 / 55
DTFT βασικών σημάτων δ(n X( n δ(n δ(n-κ a n u(n X( X( δ(n k a n n n n n k (a 2 ( a (a... n a 22 / 55
Έχει η u(n DTFT??? X( επειδή jnω n n n x(n jnω DTFT δεν υπάρχει n jnω 23 / 55
X( x(n Παράδειγμα X( n x(n jnω x(n=u(n+2-u(n-3=.8 =δ(n-2+δ(n-+δ(n+δ(n++δ(n+2.6.4.2-5 5 X( 2 2cosω 2cos2ω sin sin 5 2 2 ω ω 2 6 4 2 Φάση= -2-2π -π π ω rad 2π 24 / 55
X( x(n συνέχεια X( n x(n jnω x(n=u(n-u(n-5= =δ(n+δ(n-+δ(n-2+δ(n-3+δ(n-4 X( 2 3 4 2j 2 2 2j 2cosω 2cos2ω 5 2j sin 2 sin 2 6 4 2.8.6.4.2-5 5 Φάση=-2ω -2-2π -π π ω rad 2π 25 / 55
x(n=u(n-u(n-ν Γενίκευση του Παρ. ( j jn / 2 j / 2 n n- j x(n N / 2 j / 2 - jn jn / 2 j / 2 nν- n - jn j(n / 2 j j2 sin(n / 2 sin( / 2... j(n jn j sin(n / 2 ( j sin( / 2 j N sin(n/ 2 ( 2 sin( / 2 26 / 55
x(n Παράδειγμα 2 Να βρεθεί ο DTFT για την ακολουθία : x(n={.5,.5 2,.5 3,.. }.5.4.3.2. -2 2 4 6 n Χ( x(n n =.5+.5 2 - +.5 3 -j2ω +... =.5{+.5 - +.5 2 -j2ω +...}=.5.5.5.5cosω j.5sin ω φάση X(.8.6.4.2-2 - 2 ω xπ rad Πως βρίσκεται το μέτρο X(??? Και η φάση???.5 -.5 - -2-2 27 / 55
Παράδειγμα 3 Να σχεδιασθεί η απόκριση συχνότητας Χ. 3. 5 ( Υπολογίζω: j.3(cosω-jsinω.3cosω j.3sinω (.5(cosω-jsinω.5cosω-j.5sinω 2 2.3sinω.3cosω.3cosω j.3sinω.3cosω.3sinω tan.5cosω -j.5sinω.5cosω.5sinω tan 2 2 -.5sinω.5cosω Μερικές τιμές:. 3 ω Χ( j. 4667. 5 jπ/ 4 jπ / 4. 3 ω π/4 Χ(. 583229. 7 jπ / 4. 5............ ο Matlab?? 28 / 55
DTFT - Ιδιότητες X( n x(n jnω Περιοδικότητα Ο Μετασχηματισμός Fourir Διακριτού Χρόνου είναι περιοδικός ως προς ω με περίοδο 2π X( 2π X( 29 / 55
απόδειξη X( n x(n jnω X( j(ω2π n x(n jn(ω2π n x(n jn jn2 n x(n jn n x(n jn X( j Επομένως για τον υπολογισμό του DTFT αρκεί το διάστημα [,2π] ή [-π,π] 3 / 55
Συμμετρία Ισχύει μόνο για πραγματικά σήματα X( n x(n jnω X( X( n x(n jnω jnω? x(n?? n n n x(n cos(nω x(n cos(nω j j n n x(nsin( x(nsin( nω nω Α Α jβ jβ X( - =A-jB =X*( Λόγω των παραπάνω για τη σχεδίαση του Χ( αρκεί μισή περίοδος ω π 3 / 55
Μετατόπιση στο χρόνο X( n x(n jnω x(n X( x(n n jn ω X( απόδειξη n x(n n jnω mnn m x(m j(mn ω jnω jmω jnω m x(m Χ( 32 / 55
X( n x(n jnω Γραμμικότητα ( 2( DTFT ( j ax n bx n ax bx 2( j Συνέλιξη * F x n x n F x n F x n 2 2 j j X 2 33 / 55
X( n x(n jnω Μετατόπιση στο πεδίο της συχνότητας jn DTFT j( x( n X ( Πολλαπλασιασμός (περιοδική συνέλιξη DTFT ( ( ( j j ( ( x n y n X Y d 2 Ενέργεια θεώρημα Parsval φασματική πυκνότητα ενεργείας Φ(ω j 2 2 x x n d 2 n Φ(ω Χ( π 2 34 / 55
Πίνακας Ιδιοτήτων DTFT Ιδιότητα Ακολουθία DTFT Γραμμικότητα Μετατόπιση στο Χρόνο Αντιστροφή στο Χρόνο Μετατόπιση συχνότητας Συνέλιξη στο Χρόνο j j ax( n by( n ax ( by( x( n jn n j X ( x( n ( j X jn x( n j( X ( x( n* y( n j j X( Y( 35 / 55
Σύστημα και Απόκριση Συχνότητας δ(n σύστημα h(n x(n h(n y(n y(n = x(nh(n X( H( Y( Y( = X( H( 36 / 55
Σύστημα και Απόκριση Συχνότητας x(n h(n y(n Y( = X( H( 37 / 55
Απόκριση Συχνότητας (συνέχεια X( H( Y( Συμπέρασμα Η απόκριση συχνότητας Η( χαρακτηρίζει ένα σύστημα στο πεδίο της συχνότητας Συμπέρασμα 2 H( h(n n 38 / 55
Υπολογισμός της Η( Βάσει του ορισμού από την κρουστική απόκριση: H( h(n n Παράδειγμα Δίνεται h(n=5δ(n-δ(n-+.5δ(n-2+.2δ(n-3+.δ(n-5 Βρίσκουμε: H( h(n n 5. 5 2. 2 3. 5 39 / 55
Υπολογισμός της Η( - συνέχεια Από την εξίσωση διαφορών N k N k a a M k y(n k bkx(n k k M k k k Y( bk Χ( k Η( Υ( Χ( M k N k b a k k k k b a o o b a... b... a M N M N Ποιές ιδιότητες του DTFT χρησιμοποιήσαμε?? 4 / 55
Παράδειγμα Δίνεται η ΕΔ: y(n=-.8y(n-+x(n-x(n- y(n -.8y(n- x(n - x(n- Υ( =-.8Υ( - +Χ( -Χ( - Υ( [+.8 - ]=Χ( [- - ] H( Y( Χ(.8 3 4 / 55
Παράδειγμα 2 Ε.Δ: y(n 3 k x(n k Y( 3 k 3 jkω jkω X( X( H( Y( X( 3 jkω ( 3 2cos ω Τι «πράξη» κάνει αυτό το σύστημα??? 42 / 55
Απόκριση συχνότητας και μιγαδική (εκθετική διέγερση X( n x(n jnω Απόκριση στη διέγερση x(n ω n j ο ω n j ο h(n y(n y(n o j on h(n n k h(k o k k h(k o n H( j (nk ο o 43 / 55
Απόκριση σε ημιτονικό σήμα x(n=acos(ω ο n Όταν η είσοδος είναι : Η έξοδος είναι: y(n x(n A AH( jo n ο o n Σε πολική μορφή : y(n A H( ο jθ o n A H( ο j(ω o nθ το πραγματικό μέρος : y(n A H( ο cos ω ο n H(ω o 44 / 55
Magnitud (db Phas (dgrs Παράδειγμα j j Y( ( j (.8 cos(.πn H( Acos(.πn+φ j Δίνεται: ζητούνται: Υπολογίζουμε: ( 2.24-2.895j=2.93.8 j. -j45.9493 j. Αρα Α=2.93 και φ=-45.949 ο 5 5-5 -..2.3.4.5.6.7.8.9 Normalizd Frquncy rad/sampl ( -2-4 -6..2.3.4.5.6.7.8.9 Normalizd Frquncy rad/sampl ( 45 / 55
Παράδειγμα -Matlab n=:2; x=cos(pi*.*n; subplot(2;stm(x(:2;hold; plot((:.:2,cos(pi*..*(:.:2 b=[]; a=[ -.8]; y=filtr(b,a,x subplot(22;stm(y(:2,'r' %frqz(b,a - 5 5 2 5-5 5 5 2 46 / 55
Ψηφιακά φίλτρα H( (α (β (γ (δ ω π 2π (α Βαθυπερατό, (β Ηψιπερατό, (γ Ζωνοπερατό και (δ Aπόρριψης ζώνης. Η ψηφιακή συχνότητα μεταβάλλεται από έως 2π rad, ή ισοδύναμα από έως f s Hz. Η διακεκομμένη γραμμή αντιστοιχεί σε πραγματικές προδιαγραφές 47 / 55
φίλτρα «comb» δεν κατατάσσονται σε καμία από τις γνωστές κατηγορίες Η(. 8 j8ω 5 Η( (db 5-5 - π/4 π/2 ω 3π/4 π 48 / 55
Υπολογισμός DTFT με MATLAB Η Εντολή H = frqz(num,dn,w Παράδειγμα Comb filtr Η(. 8 j8ω 49 / 55
H( j num=[] dn=[ -.8]; a=[:pi/256:pi]; H=frqz(num,dn,a; figur( plot(a/pi,abs(h xlabl('\omga/\pi' ylabl(' H(^{j\omga} ' titl('magnitud Rspons' 6 4 2 Magnitud Rspons.2.4.6.8 grid on / 5 / 55
phas(h( j figur(2 plot(a/pi,angl(h xlabl('\omga/\pi' ylabl('phas(h(^{j\omga}' titl('phas Rspons' grid on Phas Rspons.5 -.5 -.2.4.6.8 / 5 / 55
Απόκριση συχνότητας - εφαρμογές DTMF : ποιο πλήκτρο είναι?? ή # 52 / 55
29 Hz 336 Hz 477 Hz 633 Hz 697 Hz 77 Hz 852 Hz 94 Hz 4 7 * 2 5 8 3 6 9 # A B C D 53 / 55
%plhktro n=:; x=cos(2*pi*29/8*n; x2=cos(2*pi*697/8*n; [h,w]=frqz((x+x2/2,,24,8; plot(w,abs(h 54 / 55