ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Παρασκευή, 0/05/06 ΘΕΜΑ ο Α. Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελίδα 5 Α. Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελίδα 87 Α. Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελίδα Α. α) Σωστό. β) Λάθος. γ) Σωστό. δ) Σωστό ε) Λάθος. ΘΕΜΑ ο Β. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (ως πολυωνυμική) με: f ( ) 5 6, f ( ) 5 6, f ( ) 0 5 6 0, f ή ( ) 0 5 6 0 f Ο πίνακας μεταβολών της f είναι ο επόμενος: ( ) 0 5 6 0
f + - + f ( ) Τ.Μ. Τ.Ε. Άρα η μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης f (η οποία είναι και συνεχής στα σημεία, ) είναι: Γνησίως φθίνουσα στο διάστημα,. Γνησίως αύξουσα στα διαστήματα Τοπικό Ελάχιστο στο Τοπικό Μέγιστο στο,, το 7 και στο f.,το f.,. Β. Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο A 0, f (0) είναι της μορφής (, ). Θα προσδιορίσουμε τα,. f (0), επομένως το σημείο είναι A0,. f 0 6 Επειδή η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A0, οι συντεταγμένες του Α θα επαληθεύουν την εξίσωσή της. Άρα: 0 Επομένως η ζητούμενη εξίσωση είναι 6 Β. Έχουμε διαδοχικά: 6 f ( ) 5 6 5 6 lm lm lm lm lm 6 6 7 ΘΕΜΑ ο Γ. Με βάση το δεντροδιάγραμμα παίρνουμε το δειγματικό χώρο Ω:,,,,,,, με Ν(Ω)=8 Γ. Τα ενδεχόμενα Α, Β, Γ με αναγραφή των στοιχείων τους είναι:
,,,,,,,,, Γ. α) Είναι: A B,, με Ν(Δ)=, άρα A B P P A B. ( ) 8 5 PE P P( A) P( B) PA B 8 8 8 8,,,, N( Z) και PZ P Z AAA, AAK N( ) 8 Επομένως: P( ) N( ) ( ) 8 ( ) 5 P( E) ( ) 8 ( Z) P( Z) N( ) 8 β) Ζητάμε την πιθανότητα του ενδεχομένου H, άρα: 5 P ( H ) P P PE 8 8 Ζητάμε την πιθανότητα του ενδεχομένου,όπου τα Α-Β και Β-Α είναι ασυμβίβαστα ενδεχόμενα (έχουν τομή το κενό σύνολο) άρα: Επομένως: ΘΕΜΑ ο P( ) P P P P( A) P A B P( B) P A B P( A) P( B) PA B 8 8 8 8 P( H) 8 P( ) Δ. Οι κλάσεις είναι: [8, 8+c ), [8+c, 8+c), [8+c, 8+c), [8+c, 8+c) Στην η κλάση είναι: 8 c 8 c 6 c 8c c
Δ. Συμπληρώνουμε τον πίνακα προσθέτοντας μια επιπλέον στήλη και έχουμε τον επόμενο πίνακα: [8, ) 0 0 00 [, 6) 5 0 [6, 0) 8 0 80 [0, ) ΣΥΝΟΛΑ ν=5+ 590+ Με βάση τον παραπάνω πίνακα έχουμε: 590 590 5 v 5 590 60 8 0 5 Ο παραπάνω πίνακας συμπληρωμένος είναι: [8, ) 0 0 [, 6) 5 [6, 0) 8 0 [0, ) 5 ΣΥΝΟΛΑ ν=50 Τα έγχρωμα στοιχεία είναι αυτά που συμπληρώθηκαν Δ. v 0 5 0 5 5 5 0 5 5 v v υπολογιστές, αφού είναι οι συχνότητες της ης, ης και ης κλάσης μαζί με το (9,0, ά) της ς της ης κλάσης, λόγω της ομοιόμορφης κατανομης των παρατηρήσεων στις κλάσεις. Δ. Με βάση τις τελευταίες στήλεςτου επόμενου πίνακα
v [8, ) 0 0 6 0 [, 6) 5 0 0 [6, 0) 8 0 6 60 [0, ) 5 6 0 ΣΥΝΟΛΑ ν=50 800 800 s v 6 50 s s s 6 ( 0) s CV, άρα το δείγμα δεν ειναι ομοιογενές 7 0 Δ5. Αν θεωρήσουμε Υ την τυχαία μεταβλητή των νέων χρόνων, μετά την αντικατάσταση του επεξεργαστή του υπολογιστή και η μέση τιμή των νέων χρόνων 0,8 και s η τυπική απόκλιση των νέων χρόνων έχουμε: 0,8. Επομένως ο νέος συντελεστής s 0,8 s μεταβολής ομοιογενές. CV είναι CV 0,8 CV 0,, άρα το νέο δείγμα δεν ειναι επίσης 0,8s Επιμέλεια λύσεων : www.mathp.gr Συντονιστής: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών 5