. Temejna zamisao Metoda sia () V. S. & K. F. Rješavajući zadatak izračunavanja sia u jednostrano upetoj gredi Navier je dodatnu jednadžu izveo iz uvjeta kompatiinosti pomakâ u desnom ežaju (pogavje Statički neodredeni sistemi definicija i osnovne karakteristike, od stranice 5. nadaje). Kjučni je korak pritom io anaitičko rješavanje diferencijane jednadže progine inije grede. Znamo, medutim, da je u soženijim sučajevima naaženje tog rješenja dugotrajno i mukotrpno. U Navierovu postupku vaja uočiti dvije pojedinosti: anaitički izraz za proginu iniju potrean je samo za uvrštavanje runoga uvjeta na mjestu i po pravcu djeovanja odarane prekorojne sie, reakcije B; u tom se izrazu od nepoznanica pojavjuje samo vrijednost B sie B pa se ona može iz njega neposredno izračunati. Umjesto zadane jednostrano upete grede AB promatrat ćemo sada konzou Ā B istoga raspona i istih geometrijskih i materijanih karakteristika EI, opterećenu siom u istom poožaju te siom X, zasad nepoznate vrijednosti X, na pravcu koji odgovara pravcu djeovanja reakcije B (sika..). Sia X zamjenjuje reakciju B, a time i ežaj B jednostrano upete grede. (U n puta statički neodredenom nosaču pojavit će se n sia čije su vrijednosti na početku proračuna nepoznate; označavat ćemo ih sa X, X 2,..., X n.) Zamisit ćemo da na konzou u početku djeuje samo sia (sika.c.). Reakcije i unutarnje sie jednake su tada reakcijama i unutarnjim siama u mogućem ravnotežnom stanju grede AB uz pretpostavku B 0; usporedite, primjerice, momentni dijagram prikazan na sici.d. s dijagramom na sici 3.c. na stranici 4. pogavja Statički neodredeni sistemi. No, vidjei smo da to moguće stanje ravnoteže nije stvarno stanje. Sada Õ možemo dati još jedno tumačenje te tvrdnje: kako je reakcija B izraz otpora ežaja B vertikanom pomaku, pretpostavka B 0znači da se ežaj tom pomaku ne odupire. Vrijednost vertikanoga pomaka ežajne točke stoga i ia jednaka vrijednosti vertikanog pomaka soodnoga kraja konzoe: dx EI ³± a2ô2. 6EI δ BÔÕ 0 IÔxÕ ÔxÕ M 0ÔxÕm E a2»¹ ³± 2 2 3 3»¹
a. A a B x z. Ā B c. X d. a M 0 e. f. m g. δ B() h. X δ B(X ) i. j. M 0 X m k. M(0) M(a) M Sika. 2
Vrijednost pomaka izračunai smo primjenom metode jedinične sie. Momentni dijagram za jediničnu siu u točki B, orijentiranu kao X (sika e.), prikazan je na sici.f. δ B δ BÔÕ δ BÔX Õ. Sada ćemo zamisiti da je, nakon što se konzoa prognua pod siom (sika.g.), počea djeovati i sia X. Na temeju principa superpozicije ukupni je vertikani pomak točke B zroj pomakâ zog neovisnih djeovanja sia i X pa je njegova vrijednost: S pogedom unaprijed, na proračun n puta statički neodredenih sistema, uvest ćemo sustavan način označavanja vrijednostî pomakâ: δ i,j. rvi indeks, ièö, n, označava da je riječ o pomaku hvatišta sie X i po pravcu njezina djeovanja:øδ i,j δ i,jøe i, pri čemu jeøe i jedinični vektor na pravcu djeovanja sie X i, orijentiran kao ta sia:øx i X iøe i uz X 0. Očito je da predznak vrijednosti δ i,j daje smisao pomaka u odnosu na smisao djeovanja sie X i. Drugi indeks, j, oznaka je uzroka pomaka: j 0 označava sva zadana djeovanja, a jèö, n jediničnu siu u hvatištu, na pravcu i u smisu djeovanja sie X j. rema tom su načinu označavanja δ BÔÕ δ,0 i δ BÔX Õ X δ,. Dake: δ,0 vrijednost je pomaka hvatišta sie X po pravcu njezina djeovanja (dake, po vertikanom pravcu kroz točku B), izazvanog zadanim opterećenjem (u našem primjeru siom ), dok je δ, vrijednost pomaka hvatišta sie X po pravcu njezina djeovanja zog jedinične sie, orijentirane kao X, u toj točki i na tom pravcu. Za δ,0 doii smo negativnu vrijednost kako sia X djeuje prema gore,øδ,0 pomak je prema doje. Desna strana izraza δ BÔX Õ X δ, pokazuje da i u izračunavanju te vrijednosti primjenjujemo princip superpozicije: uzrokuje i jedinična sia pomak čija je vrijednost δ,, sia vrijednosti X prouzročit će pomak čija je vrijednost X δ,. ritom je, primjenom metode jedinične sie, δ, EI ³± 3 0 3EI ; ÔxÕ m 2 E IÔxÕdx δ, ima isti smisao kao i sia koja ga je izazvaa. 2»¹ ³±2»¹ 2 3 δ B δ BÔÕ δ BÔX Õ 0. Budući da sia X zamjenjuje ežaj B jednostrano upete grede, njezinu ćemo vrijednost odarati tako da točku B vrati u početni poožaj (sika.h.): Iz tog uvjeta, koji ćemo, dosjednije, napisati u oiku δ, X δ,0 0, () Ostajemo u okviru Bernoui Euerove teorije savijanja. retpostavjat ćemo uvijek da je po pojedinim dijeovima sistema E const (iako razičiti dijeovi mogu imati razičiti modu eastičnosti; mogu, primjerice, iti izvedeni od razičitih gradiva: etona, čeika, drva...). A kao što zapis IÔxÕu općem izrazu za pomak pokazuje, poprečni se presjeci mogu i duž pojedinih dijeova mijenjati. 3
Õ možemo izračunati potrenu vrijednost X sie X : δ, 6EI X δ a2ô2,0 uvrstimo i još a, doit ćemo 3 3EI X 3 a2 a 3 2 3. Õ a2ô2 ; 2 3 Usporeda doivenoga izraza s izrazom za vrijednost B reakcije B, koji smo izvei Navierovim postupkom (Statički neodredeni sistemi, stranica 6.), pokazuje da je, zaista, X B. Ukratko, zamjena jednostrano upete grede konzoom općenitije: statički neodredena sistema odredenim omogućia je izračunavanje vrijednosti pomaka odarane točke metodom jedinične sie, čime smo izjegi potreu za rješavanjem diferencijane jednadže progine inije. I k tomu još, primjena principa superpozicije itno je pojednostavia postupak učinivši ga pritom zornijim i pregednijim: izrazi za vrijednosti pomaka izazvanih neovisnim djeovanjima zadane i jedinične sie znatno su kraći i stoga manje podožni greškama no što je to izraz za vrijednost ÔxÕ pomaka pri istodonom djeovanju sia i X. Izvest ćemo, kontrasta radi, i taj izraz. Momentni dijagram pri zajedničkom djeovanju sia i X (sika 2.a.; podsjećamo, vrijednost X zasad je neodredena) skiciran je na sici 2.. pa je M XÔxÕm δ B dx 0 EIÔxÕ Õ»¹»¹ ³± EI ³± 2 X a»¹ ³± 3 2 3 3 a 6EI 2Ô2 2X a 2 a a 2 3. Iz uvjeta δ B 0 sijedi»¹ Õa»¹ ³± 2 2Ôa X 3 3 X a uvrštavanje a daje već poznati izraz za X. Õ a 2Ô2 2Ôa 2 a a 2 3Õ, ³± 2 X 2»¹ ³±2 Kao što je vrijednost konačnoga pomaka točke B zroj vrijednosti pomakâ zog sie i zog sie X, tako se i vrijednosti drugih kinematičkih i statičkih veičina mogu izračunati zrajanjem utjecajâ jedne i druge sie. Time nismo reki ništa novo riječ je tek, ponovo, o neposrednoj primjeni principa superpozicije. No, tim postupkom, a to je za rješavanje statički neodredenih zadataka svakako vro važna spoznaja, doivamo ujedno i vrijednosti odgovarajućih veičina u jednostrano upetoj gredi. Ako, naime, s pomoću sie X zadovojimo na konzoi Ā B uvjet δ B 0, tada su konzoa i jednostrano upeta greda AB u istim mehaničkim stanjima: ponajprije, sia X mora iti jednaka reakciji B; potom, iz uvjetâ je 4
a. a X. a X X M X c. m Sika 2. ravnoteže očito da su i ostae reakcije i unutarnje sie u konzoi i gredi medusono jednake. A jasno je da su jednake i njihove progine inije: sike.h. i.i. na stranici 2. rema tome, vrijednost momenta savijanja MÔxÕu presjeku x jednostrano upete grede, na primjer, možemo izračunati 0ÔxÕ Ôa xõ prema izrazu m ÔxÕ, (2) gdje su za 0 x a, M Ô xõ 0 za a x i 0ÔaÕ X m ÔxÕ X vrijednosti momenata u presjeku x od neovisnih djeovanja sia i X na konzou. Napose, MÔaÕ M X a2 2 4 a 3 a 4. 2 3 rimjena principa superpozicije u duhu je prethodnih koraka pa se takav postupak oično smatra kanonskim. Crtanje dijagrama M na temeju otprije poznatih dijagrama M 0 i m (sike.d. i f.; str. 2.) prikazano je na sikama j. i k. No, za crtanje momentnog dijagrama na jednostrano upetoj gredi (sika.k.) potrene su nam samo vrijednosti MÔ0Õ M A, MÔaÕiMÔÕ M B. Budući da je B X, iz ravnoteže momenata oko točke x 0 za dioü0, jednostrano upete grede doivamo MÔ0Õ a B a X 2 a2 3 a 2 a 3, 2 2 a iz ravnoteže momenata oko x a za dioüa, MÔxÕ M 0ÔxÕ X m ÔaÕ 0 X MÔaÕ B X X Ô aõ 3 Ô aõ 3 5 a2 2 4 a 3 a 4 2 3 ;
znamo da je M B 0. Dake, kad je vrijednost odarane prekorojne sie poznata, vrijednosti ostaih reakcija i unutarnjih sia možemo izračunati iz jednadži ravnoteže; taj postupak može iti kraći od primjene principa superpozicije. (Dijagram poprečnih sia možemo, ako je poznat momentni dijagram, nacrtati i na temeju diferencijanoga odnosa T M½. [Nacrtajte taj dijagram na sva tri načina!]) U oradenom su primjeru sadržani svi itni koraci proračuna statički neodredenih sistema metodom sia. Zamišjenim raskidanjem veza zadani se sistem pretvara u statički odredeni, koji nazivamo osnovnim sistemom, a raskinute se veze nadomještaju siama koje odgovaraju siama koje su te veze prenosie. Vrijednosti tih sia potom izračunavamo iz uvjetâ kompatiinosti pomakâ na mjestima raskinutih veza sie moraju povratiti narušenu neprekinutost poja pomaka ii osigurati podudaranje pomakâ na mjestima ukonjenih ežajeva sa stvarnim ežajnim uvjetima. Vrijednosti pomakâ koji se pojavjuju u uvjetima kompatiinosti proračunavamo metodom jedinične sie; na temeju principa superpozicije možemo to uraditi za zasena djeovanja zadanoga opterećenja i pojedinih jediničnih sia u raskinutim vezama. Iako smo dosad, govoreći o pomacima, misii samo na transacijske, sve što je rečeno može se primijeniti i na rotacijske pomake. Umetanjem zgoa umjesto krute veze omogućavamo zaokret osi grede 2 ; raskinuta je veza prenosia moment savijanja. Tako upeti ežaj A naše jednostrano upete grede (sika 3.a.) sprečava pomak te točke i zaokret osi u njoj tangenta na proginu iniju mora se u toj točki pokapati s osi nedeformirane grede. Uacivanjem zgoa nastaje prosta greda Ā B u kojoj se os u ežaju može soodno zaokretati. Reaktivni moment M A, a time i upetu vezu jednostrano upete grede, nadomjestit ćemo u osnovnom sistemu momentom X (sika.); njegovu ćemo vrijednost odarati tako da poništi zaokret zog zadanoga opterećenja, sie. Kut zaokreta osi u ežaju Ā proste grede zog djeovanja sie (sika 3.e.) je ĀÔÕ»¹»¹ ϕ dx 0 ³± EI ³± a a 2 2 IÔxÕ ÔxÕ M 0ÔxÕm E a»¹ ³± 3 2 3»¹ ³± 2 3 2 a2 3 a 2 a 3. 6 EI Dijagrami M 0 i m na osnovnom sistemu za siu i za jedinični moment u Ā, istoga smisa kao X, prikazani su na sikama 3.c. i d. Dijagram M 0 podudara se, naravno, s dijagramom za moguće ravnotežno stanje zadane grede uz pretpostavku M A 0, sika 3.e. na stranici 4. pogavja Statički neodredeni sistemi. 2 risjetite se usput: u Timošenkovoj je teoriji savijanja odgovarajuća veičina zaokret normae na ravninu poprečnoga presjeka. 6
a. A B. Ā B X c. a M 0 d. m e. ϕ Ā () f. ϕ Ā (X ) X g. X m ĀÔÕ M M 0 Sika 3. Uvjet kompatiinosti pomakâ naaže iščezavanje zaokreta osi pri istodonom djeovanju sia i X (sika 3.f.): ÔxÕ ϕ Ā ϕ ϕ ĀÔX Õ 0. ritom je kut zaokret samo od momenta X ϕ ĀÔX Õ X δ,, pri čemu je m δ, 2 0 E IÔxÕdx EI ³± 2»¹ ³±2 Uz ϕ ĀÔÕ δ i ϕ ĀÔX Õ X δ, uvjet kompatiinosti pomakâ imat će formano isti zapis kao jednadža () na stranici 3.:,0 Iz njega sijedi δ,0 X δ, X δ,0 0. 2 a2 3 a 2 a 3. δ, 2 2 7 3»¹ 3 EI.
Superpozicija dijagramâ M 0 i X m, kojom doivamo konačni momentni dijagram na jednostrano upetoj gredi, prikazana je sici 3.g. Funkcijski izraz za vrijednost momenta savijanja formano je ponovo 0ÔxÕ ³²³±Ô aõ 0ÔxÕ Ô xõ MÔxÕ M X m ÔxÕ, no sada su x za 0 x a, M a za a x ; x m ÔxÕ. oseno, za x 0 doivamo MÔ0Õ X 2 a2 3 a 2 a 3 Ô Õ X. 2 2 Dok smo umetanjem zgoa na mjestu upetoga ežaja omogućii apsoutni zaokret osi u ežaju, zgoom unutar raspona grede (sika 4..) omogućavamo reativni zaokret osi neposredno ijevo u odnosu na os neposredno desno pa se progina inija omi : sika e. Da zagadimo nastai šijak, dodati moramo par momenata jednakih intenziteta, ai suprotna smisa vrtnje: sika f. Dijagrami momenata savijanja na osnovnom sistemu, koji je sada jednostavni Gererov nosač (sika 4..), pri djeovanju sie te pri djeovanju para jediničnih momenata oko zgoa prikazani su na sikama c. i d. (Uacivanjem zgoa upravo u hvatište sie oakšai smo izračunavanje vrijednosti pomaka metodom jedinične sie. Smjestimo i zgo u neki presjek ijevo od tog hvatišta, dijagram M 0 it će soženijeg oika [nacrtajte ga!]. Za sve poožaje zgoa desno od hvaišta taj dijagram ostaje kao na sici c. [dokažite!]. No, ako je zgo u hvatištu, vrijednosti u dijagramu m izražene su samo s pomoću već poznatih geometrijskih veičina, dok i se pri drugim poožajima pojavie još neke veičine [provjerite!].) ri prijeazu preko umetnutoga zgoa kut je reativnog zaokreta prognute osi Gererova nosača zog djeovanja sie,0 EI ³± ϕ zôõ δ 3»¹ a2ô3 a2»¹ ³± 2 2 3 6 EIÔ aõ; to je kut izmedu tangenata na proginu iniju u točkama neposredno ijevo i neposredno desno od zgoa (sika 4.e.). Kako su u zadanoj jednostrano upetoj gredi u točki koja odgovara poožaju umetnutoga zgoa ijevi i desni dio medusono kruto spojeni, progina se inija ne smije somiti možemo reći (možda uz stanoviti nedostatak matematičke strogosti) da u toj točki dijeovi imaju zajedničku tangentu. Dodani momenti X moraju 8
a. A B. Ā B X X c. a M 0 d. m e. ϕ z() f. ϕ ijevo z (X ) ϕ z desno (X ) X X g. M 0 X m M Sika 4. stoga dovesti tangente na siom somjenu Õ proginu iniju do pokapanja. Svaki moment zatvara dio kuta na svojoj strani (sika 4.f.): ϕ ijevo ÔX z ϕ z desno ÔX Õ ϕ zôx Õ. Kako je ϕ zôx Õ X»¹ δ,, gdje je δ, aõô aõ EI ³±»¹ ³±2 3 2 3 3, EIÔ aõ2 uvjet kompatiinosti pomakâ δ, X δ,0 0 (taj ste izraz već vidjei, zar ne?) daje δ X a2ô3 δ, 3 a2 2 4 a 3 a 4. 2 3 2 3,0 Kao i ranije, s drugim osnovnim sistemima, uz poznatu vrijednost X momenata X, vrijednosti reakcija i unutarnjih sia u odaranim presjecima jednostrano upete grede možemo 9
izračunati primjenom principa superpozicije ii iz jednadži ravnoteže njezinih pogodno odaranih dijeova. Na isti način možemo izvesti i funkcijske izraze za vrijednosti unutarnjih sia duž cijeog raspona. rimjerice, 0ÔxÕ prema principu superpozicije funkcijski je izraz za vrijednost momenta savijanja 0ÔxÕ Ôa xõ i sada formano MÔxÕ M X m ÔxÕ, ai se u nj uvrštavaju izrazi za 0 x a, M 0 za a x ; ÔxÕ x m a. oseno je MÔaÕ X 3 a2 2 4 a 3 a 4. 2 3 Crtanje momentnog dijagrama superpozicijom dijagrama M 0 i X m prikazano je na sici 4.g. [Izvedite funkcijske izraze i nacrtajte dijagrame momenata savijanja i poprečnih sia ako je zadano jednoiko distriuirano opterećenje po cijeoj dujini grede! Za osnovni sistem uzmite prostu gredu. Izvedite funkcijske izraze za momente i poprečne sie i nacrtajte dijagrame ako jednoiko distriuirano opterećenje djeuje samo na dijeuö0, a! Za osnovni sistem uzmite sada Gererov nosač sa zgoom u x a.] 0