SVEUČILIŠTE JOSIPA JURAJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD
|
|
- Πραξιτέλης Δαμασκηνός
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 SVEUČILIŠTE JOSIPA JURAJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ZAVRŠNI RAD Osijek,
2 SVEUČILIŠTE JOSIPA JURAJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ZAVRŠNI RAD TEMA: USPOREDBA REZULTATA PRORAČUNA STATIČKI NEODREĐENIH SUSTAVA DOBIVENIH RAZLIČITIM METODAMA Osijek,
3 JOSIP JURAJ STROSSMAYER UNIVERSITY OF OSIJEK FACULTY OF CIVIL ENGINEERING FINAL PAPERWORK SUBJECT: RESULTS COMPARISON ANALYSIS OF STATICALLY UNDERTERMINED SYSTEMS GAINED WITH DIFFERENT METHODS Osijek,
4 SVEUČILIŠTE JOSIPA JURAJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ZNANSTVENO PODRUČJE: ZNANSTVENO POLJE: ZNANSTVENA GRANA: TEMA: PRISTUPNIK: NAZIV STUDIJA: TEHNIČKE ZNANOSTI TEMELJNE TEHNIČKE ZNANOSTI TEHNIČKA MEHANIKA USPOREDBA REZULTATA PRORAČUNA STATIČKI NEODREĐENIH SUSTAVA DOBIVENIH RAZLIČITIM METODAMA SIMONOVIĆ NEDELJKO PREDDIPLOMSKI SVEUČILIŠNI STUDIJ ZAVRŠNI RAD Sveučilišni preddiplomski studij Pristupnik treba usporediti rezultate proračuna dobivene: metodom sila; metodom pomaka; iteracionom metodom i numeričkim modelom na dva primjera. Treba usporediti nekoliko veličina. Statički sustavi su zadani u prilogu na slici. Odabrati prozivoljno presjeke i materijal nosača. Rad treba sadržavati tekstualni dio, grafičke priloge, te popis literature i internet stranica sa koji su prikupljeni podatci za rad. Rad treba predati u 3 primjerka (original + 2 kopije), spiralno uvezana na A4 formatu i cjelovitu elektroničku datoteku na CD-u. Osijek, Mentor/ica: Predsjednik/ica Odbora za Završne i diplomske ispite:
5 SADRŽAJ: str. 1.) Uvod o metodama proračuna Metoda sila Metoda pomaka Cross-ova metoda 7. 2.) 1. Primjer Metoda sila Metoda pomaka Cross-ova metoda Numerički model-računalni porgram Autodesk Robot 21. structural analysis professional Usporedba rezultata ) 2. Primjer Metoda sila Metoda pomaka Cross-ova metoda Numerički model-računalni porgram Autodesk Robot 41. structural analysis professional Usporedba rezultata ) Literatura 43.
6 UVOD O METODAMA PRORAČUNA METODA SILA Metoda sila se računa u 7 koraka. 1.) Potrebno je odrediti stupanj statičke neodređenosti konstrukcije (n). 2.) Statička neodređenost konstrukcije n odgovara broju veza koje je potrebno ukinuti i time transformirati statički neodređeni sustav u statički određeni sustav. Takav sustav se naziva osnovni sistem. 3.) Na mjestu oslobođenih veza j, postavljaju se nepoznate sile Xj(sile u prekobrojnim vezama) koje odgovaraju reakcijama ukinutih ležaja. 4.) Primjena danog opterećenja ili prisilnih pomaka na osnovni sistem-u smislu crtanja dijagrama unutarnjih sila. Računaju se pomaci zbog zadanog opterećenja na mjestima ukinutih veza u osnovnom sistemu. Ovi pomaci se označavaju 10, 20..., n0 5.) Na mjestu ukinut. pridržanja-veza j u osn.sistemu, postavljaju se jedinične sile X j =1. Izračunavaju se pomaci zbog ovih jediničnih sila na mjestima ukinutih veza u osnovnom sistemu. Ovi pomaci se označavaju 1j, 2j..., nj. 6.) Računanje sila X 1 do X n koristeći uvjete kompatibilnosti s početnom statički neodređenom konstrukcijom. Iz osnovnog sistema se vraćamo u statički neodređeni sustav. Za to nam služe jednadžbe: δ 10 + X 1 *δ 11 + X 2 *δ X n *δ 1n =0 δ 20 + X 1 *δ 21 + X 2 *δ X n *δ 2n =0... δ n0 + X 1 *δ n1 + X 2 *δ n X n *δ nn =0 7.)Izračunavanje sila S na određenim mjestima na st. n. konstrukciji korištenjem slijedećih funkcijskih veza: S = S 0 + X 1 S 1 + X 2 S X n S n, gdje su veličine Xj izračunate iz sistema jednadžbi danih u prethodnom koraku. S 0 je sila uslijed zadanog opterećenja ili prisilnih pomaka na osnovnom sistemu. S j je sila uslijed jediničnih sila Xj=1 na osnovnom sistemu. Veličina S može biti moment savijanja, poprečna ili uzdužna sila, reakcija ili pomak. Da bi izračunali površine ispod krivulja dijagrama koristimo Vereščaginov teorem: Integral umnoška dviju neprekinutih funkcija u granicama (a,b), pri čemu je jedna funkcija linearna, jednak je umnošku površine, omeđene nelinearnom funkcijom i osi x, u granicama integracije, i ordinate linearne funkcije ispod težišta površine nelinearne funkcije. 6
7 METODA POMAKA Metodom pomaka mogu se proračunavati i statički određeni i statički neodređeni sistemi. U metodi pomaka sve se svodi na posmatranje elemenata i čvorova. Metodu pomaka računamo tako da odredimo pomake čvorova konstrukcije, translaciju ili rotaciju štapova. Nepoznanice su kut zaokreta čvora(φ) i translacijski pomak (u). Broj neopoznanica odgovara stupnju statičke neodređenosti. Određuje se kutevi zaokreta štapova (Ψ) i krutost štapova (k). Sljedeći korak je rastaviti konstrukciju na zasebne dijelove i promatrati utjecaj vanjskog opterećenja na svaki štap zasebno, a to se radi izračunom momenta upetosti. Nakon momenta upetosti ispisuje se jednadžbe momenata na krajevima štapova. U slučaju da je obostrano upet jednadžba glasi: M xy =k xy *(4φ x +2φ y -6Ψ xy *u)+m xy ' Kada je to štap upet samo s jedne strane jednadžba glasi: M xy =k xy *(3φ x -3Ψ xy *u)+m xy ' Potrebno je tako dobivene vrijednosti uvrstiti u jednadžbu ravnoteže čvora i jednadžbu rada. -jednadžba ravnoteže čvora M B M B =0 -jednadžba rada M ik *Ψ ik + P*δ=0 Iz jednadžbi se izračunaju nepoznanice i te vrijednosti se vraćaju u jednadžbe momenata na krajevima štapova. Te se zatim crta momenti dijagram. CROSS- METODA Drugim nazivom Metoda distribucije momenta. Postupak se provodi na grafičkoj shemi konstrukcije, nacrtamo konstrukciju, na mjestu nepoznatog kuta zaokreta ucrtamo krug ili kvadrat s razdjelim koeficijentima. Na krajeve greda i stupova upisujemo pripadne momente upetosti, a potom,redom u proračunu, raspodijeljene i prenesene momente. Izračunamo rezidualne momente slobodnih čvorova Iteracije-"otpustimo" uklještenje u čvoru sa najvećim rezidualnim momentom, on se zaokreće i zauzima ravnotežni položaj, tada se neuravnotežni moment uravnoteži u priključenim štapovima u omjerima krutosti pojedinih štapova. Pri tom uravnoteženju šaljemo dio momenta na druge krajeve priključenih štapova. Redom nastavljamo uravnoteženje na drugim slobodnim čvorovima i ponavljamo iteracije. Postupak iteracije teče tako dugo dok je 7
8 neuravnoteženi moment u svakom čvoru manji od unaprijed odabrane vrijednosti Mij ; Konačni momenti na kraju štapa dobiju se zbrajanjem momenta upetosti i prirasta tijekom iteracije Sile na krajevima štapova Tij i Nij određuju se na isti način kao kod metode pomaka. 8
9 1. PRIMJER Dimenzije elementa: b/h=30/35[cm] Modul elastičnosti: 3 [kn/m²] 9
10 METODA SILA 1.) Statička neodređenost S= 2*Č-(Š+K+L) = 2*3 (2+1+4) = -1 sustav je jedanput statički neodređen metodom sila oslobađamo ležaj u sredini, postavljanjem odgovarajuće zamjenske reakcije u obliku sile X 1 =1kN 2.) Geometrijske i materijalne karakteristike EI= = 3*10⁷x = knm² EA= 3*10⁷*(0.3*0.35)= kn -koeficijenti M= = 1 N= = ) Osnovni sustav 4.) Momentni dijagram za X 1 =1kN -reakcije M A =0 -V C *7+X 1 *4=0 V C =0.571kN M C =0 V A *7-X 1 *3=0 V A =0.429kN F y =0 1-V A - V C = =0 10
11 - momenti u ključnim točkama M A =M C =0 knm M AB/2 =-0.429*2=-0,858 knm M B =-0.429*4=-1.716kNm M BC/2 =-0.429* *1.5= knm -momenti dijagram m 1 5.) Momentni dijagram za vanjsko opterećenje -reakcije M A =0 V C * *2=0 V C = kn M C =0 -V A *7+100*5+100=0 V A = kn - momenti u ključnim točkama M A =M C =0 knm M AB/2 =85.714*2= knm M B =85.714*4-100*2= knm M L BC/2=85.714* *3.5= knm F y =0 V A +V C -100= =0 0=0 11
12 M D BC/2= = knm -momentni dijagram M 1 7.) Koeficijenti fleksibilnosti δ 11 = ( ) ( ) ( ) ( ) δ 11 = = kombinacija m 1 i M 1 12
13 δ 10 = ( ) ( ) ( ) ( ) δ 10 = = ) Jednadžba kontinuiteta δ 11 *X 1 + δ 10 = * X =0 X 1 = knm 8.) Konačni momentni dijagram M A =M C =0 knm M 1 = (0.858* )= knm M 2 = (1.716* )= knm M 3 L = (0.860* )= knm M 3 D = = knm -konačni momentni dijagram 9.) Diferencijalni M-V odnosi 13
14 V 1 = V 2 = V 1 = V 1 = = kn = kn = kn = kN -konačni V dijagram 14
15 METODA POMAKA 1.) Nepoznanice - nepoznanica φ B 2.) Proračun krutosti elemenata EI G =E 0 I 0 = kn/m 2 k AB = =0.25 k BC = = ) Momenti upetosti M AB '=M CB '=0 knm M BA '= = =-75 knm M BC '= = =12.5 knm 15
16 4.) Jednadžba momenata na krajevima štapova M AB =k AB *(3φ B -3Ψ AB *u)+m BA '=0.25*(3*φ B -0)-75=0.75 φ B -75 M BC =k BC *(3φ B -3Ψ BC *u)+m BC '=0.333*(3*φ B -0)+12.5=φ B ) Jednadžba ravnoteže čvora M B =0 M AB + M BC = φ B φ B +12.5=0 φ B = izračun momenata sa φ B M AB =(0.75 *35.735)-75= knm M BC = =48.20 knm -izračun momenata na mjestima opterećenja M B =0 V A *4+100* =0 V A =37.95 kn M AB/2 =V A *2=75.90 knm M B =0 V C * =0 V C =49.40 kn (-) M BC D =V C *1.5=-74.1 knm M BC L = =25.9 knm 6.) Konačni M dijagram 16
17 7.) Diferencijalni M-V odnosi V 1 = V 2 = V 1 = V 1 = =37.95 kn = kn =49.40 kn = 49.40kN - konačni V dijagram 17
18 METODA CROSSA 1.) Proračun krutosti elemenata EI G =E 0 I 0 = kn/m 2 k AB = =0.25 k BC = = ) Proračun razdjelnih koeficijenata ČVOR ŠTAP k i k i μ i μ A-B B B-A ) Prijenosni koeficijent α=0.5 4.) Momenti upetosti M AB '=M CB '=0 knm M BA '= = =-75 knm M BC '= = =12.5 knm 5.) Iteracija M 1 = =-62.5 knm iteracijski moment M=62.5 knm - postupak iteracije 18
19 -izračun momenata na mjestima opterećenja M B =0 V A *4+100* =0 V A =37.95 kn M AB/2 =V A *2=75.90 knm M B =0 V C * =0 V C =49.40 kn (-) M BC D =V C *1.5=-74.1 knm M BC L = =25.9 knm 6.) Konačni M dijagram 7.) Diferencijalni M-V odnosi 19
20 V 1 = V 2 = V 1 = V 1 = =37.95 kn = kn =49.40 kn = 49.40kN - konačni V dijagram 20
21 NUMERIČKI MODEL RAČUNALNI PROGRAM AUTODESK ROBOT STRUCTURAL ANALYSIS PROFESSIONAL momentni dijagram - dijagram poprečnih sila 21
22 USPOREDBA REZULTATA PRORAČUNA STATIČKI NEODREĐENOG SUSTAVA DOBIVENIM RAZLIČITIM METODAMA Metoda Metoda Cross-ova ROBOT sila pomaka metoda M AB/ knm M B knm L M BC/ knm D M BC/ knm R A kn R B kn R C kn ZAKLJUČAK: Uzimajući u obzir računalni program Robot kao referentno rješenje, može se zaključiti da Metoda sila, Metoda pomaka i Cross-ova metoda daju odgovarajuće rezultate. Odstupanja u odnosu na rješenja iz Robota su bazirana iza decimalne točke, te samim time zanemariva. Sve tri metode su uspješno izračunale rezne sile statički neodređenog sustava. 22
23 2. PRIMJER Dimenzije elementa: -greda: b/h=30/30[cm] -stupovi: b/h=30/40 [cm] Modul elastičnosti: 3 [kn/m²] 23
24 METODA SILA 1.) Statička neodređenost S= 2*Č-(Š+K+L) = 2*4 (3+1+6) = -2 sustav je dvaput statički neodređen metodom sila oslobađamo upete ležajeve, postavljanjem odgovarajućih zamjenskih momenata u obliku momenta X 1 =1kNm i X 2 =2kNm 2.) Geometrijske i materijalne karakteristike EI G = =3*10⁷x = knm² EA G =3*10⁷*(0.3*0.3)= kn EI S =3*10⁷x = knm² EA G =3*10⁷*(0.3*0.4)= kn -koeficijenti M= = 1 ; M= = N= = ; N= = ) Osnovni sustav 4.) Momentni dijagram za X 1 =1kN 24
25 -reakcije M A =0 -V D *7+X 1 =0 V D =0.143kN M D =0 -V A *7+X 1 =0 V A =0.143kN M C DOLJE =0 H D *4-V D *2=0 H D =0.072kN H A =H D =0.072kN - momenti u ključnim točkama M D =M C =0 knm M A =-1 knm M AB/2 = *2=-0,856 knm M B = *4=-0.712kNm M BC/2 = * *2.5= knm -uzdužne sile N AB = kn N BC =0.072 kn N CD =0.143*cos *cos63.43 =0.160 kn - momentni dijagram m 1 i dijagram uzdužnih sila n 1 5.) Momentni dijagram za X 2 =1kN 25
26 -reakcije M D =0 -V A *7+X 1 =0 V A =0.143kN M A =0 -V D *7+X 1 =0 V D =0.143kN M C DOLJE =0 1-H D *4-V D *2=0 H D =0.072kN H A =H D =0.072kN - momenti u ključnim točkama M A =M C =0 knm M AB/2 =-0.179*2= knm M B =-0.179*4=-0.716kNm M BC/2 =-0.719* *2.5= knm M D =1 knm M DC/2 = * *1=0.5 knm -uzdužne sile N AB = kn N BC = kn N CD =0.143*cos *cos63.43 =0.048 kn - momentni dijagram m 2 i dijagram uzdužnih sila n 2 6.) Momentni dijagram za vanjsko opterećenje 26
27 -reakcije M D =0 -V A *7-100*2+10*5* =0 V A =17.86kN M DOLJE C =0 100-H D *4-V D *2=0 H D =41.07kN M A =0 V D * *2-10*5*2.5=0 V D =32.14kN F X =0 H A = H A =58.93kN - momenti u ključnim točkama M A =M C =M D =0 knm M AB/2 =58.93*2= knm M B =58.93*4-100*2=35.72kNm M BC/2 =58.93* * *2-10*2.5*1.25=49.12 knm M DC/2 DOLJE =32.14* *2=-50 knm M DC/2 GORE = =50 knm -uzdužne sile N AB = kn N BC = = kn N CD =-32.14*cos *cos63.43 = kn - momentni dijagram M 1 i dijagram uzdužnih sila N 1 7.) Koeficijenti fleksibilnosti δ 11 = ( ) ( ) δ 11 = =2.098 δ 22 = δ 22 = =
28 - koeficijent fleksibilnosti δ 10 δ 10 = ( ) ( ) ( ) δ 10 = = koeficijent fleksibilnosti δ 20 δ 20 = ( ) ( ) ( ) δ 20 = =
29 - koeficijent fleksibilnosti δ 12 δ 12 =δ 21 = ( ) δ 12 =δ 21 = = ) Jednadžba kontinuiteta δ 11 *X 1 + δ 12 *X 2 + δ 10 =0 δ 21 *X 1 + δ 22 *X 2 + δ 20 = X X = X X =0 X 1 =70.33 knm X 2 =21.43 knm 9.) Izračun momenta i uzdužnih sila M C =0 knm M A =-1*70.33= knm M AB/2 = * *21.43=50 knm M B = * *21.43= knm M BC/2 = * *21.43=16.48 knm M D =21.43 knm M CD/2 DOLJE = *21.43= knm M CD/2 GORE =50+0.5*21.43=60.71 knm N AB = * *21.43= kn N BC = * *21.43= kn N CD = * *21.43= kn *Napomena: za konačni momentni dijagram potrebno je mjesto (x) ekstremnog momenta iz V dijagrama! 29
30 -konačni dijagram uzdužnih sila 10.) Diferencijalni M-V odnosi 30
31 V 1 = =60.17 kn V 2 = = kn V 3 = =30.94 kn V 4 = = kn V 5 = =27.17 kn V 6 = =27.17 kn -konačni dijagram poprečnih sila ekstremnog momenta M x -mjesto M x =30.98* * *2-10*3.09*1.545=18.34 knm - konačni momentni dijagram 31
32 METODA POMAKA 1.) Nepoznanice -nepoznanice φ B i u 2.) Proračun krutosti elemenata i kuteva zaokreta EI G = =3*10⁷x = knm² EI S =3*10⁷x = knm² k AB = =0.593 k BC = =0.2 k CD = =0.53 -pomoćne veličine za izračun kuteva zaokreta x= =1.12m y= =0.5m Ψ AB = =-0.25 Ψ BC = =0.1 Ψ DC = =
33 3.) Momenti upetosti M BA '= = =-50 knm M AB '=-50 knm M BC '= = =31.25 knm M CB '=0 knm M BC '= = =12.5 knm M CD '=0 knm 4.) Jednadžba momenata na krajevima štapova M AB =k AB *(4φ A +2φ B -6Ψ AB *u)+m AB '=1.186 φ B +0.89u+50 M BA =k AB *(4φ B +2φ A -6Ψ AB *u)+m BA '=2.372 φ B +0.89u-50 M BC =k BC *(3φ B -3Ψ BC *u)+m BC '=0.6φ B -0.06u M DC =k DC *(3φ D -3Ψ DC *u)+m DC '=0.398u ) Jednadžba ravnoteže čvora i jednadžba rada -jednadžba ravnoteže čvora M B M B =0 M BA +M BC = φ B +0.89u φ B -0.06u+31.25= φ B +0.83u-18.75=0 φ B = u...(1) -jednadžba rada M ik *Ψ ik + P*δ=0 Ψ AB *(M AB +M BA )+ Ψ BC *M BC + Ψ DC *M DC +100* * *5*0.25=0-0.25*(3.558φ B +1.78u)+0.1*(0.6φ B -0.06u *(0.398u+12.5) =0 (1)... φ B = u uvrstimo u jednadžbu u-0.551u+12.5=0 u= φ B = izračun momenata sa φ B i u M AB =1.186 φ B +0.89u+50=70.21 knm M BA =2.372 φ B +0.89u-50= knm M BC =0.6φ B -0.06u+31.25=29.86 knm M DC =0.398u+12.50=21.56 knm 33
34 -izračun momenata na mjestima opterećenja M B =0 -V A *4+100* =0 V A =60.09 kn M AB/2 =V A * =49.97 knm M C =0 -V D * =0 V D =27.19 kn M BC L =V D * =39.19 knm M BC L = = knm - momentni dijagram bez ekstremnog momenta 6.) Diferencijalni M-V odnosi 34
35 V 1 = =60.09 kn V 2 = = kn V 3 = =30.97 kn V 4 = = kn V 5 = =27.18 kn V 6 = =27.21 kn -konačni dijagram poprečnih sila -mjesto ekstremnog momenta M x M x =30.98* * *2-10*3.09*1.545=18.14 knm - konačni momentni dijagram 35
36 CROSS-OVA METODA -postupak Cross-ove metode na translatorno pomičnom sustavu 1.) Proračun krutosti elemenata i kuteva zaokreta EI G = =3*10⁷x = knm² EI S =3*10⁷x = knm² k AB = =0.593 k BC = =0.2 k BC '=0.2*0.75= ) Razdjelni koeficijenti ČVOR ŠTAP k i k i μ i μ i B-A B B-C ) Prijenosni koeficijent =0.5 4.) Momenti upetosti M BA '= = =-50 knm M AB '=-50 knm M BC '= = =31.25 knm M CB '=0 knm M BC '= = =12.5 knm M CD '=0 knm 5.) Iteracija na nepomičnom sustavu M 1 = = knm iteracijski moment M=18.75 knm 36
37 - određivanje sile R F X =0 R= =7.26 kn 6.) Iteracija na pomičnom sustavu - kut zaokreta štapova iz Metode Pomaka za u=100 Ψ AB = =-25 Ψ BC = =10 Ψ DC = = momenti na krajevima štapova M AB '=M BA '=-6*k AB * Ψ AB =-6*0.593*(-25)=88.95 knm M BC '=-3*k BC * Ψ BC =-3*0.15*10=-4.5 knm M DC '=-3*k DC * Ψ DC =-3*0.398*(-25.06)=29.92 knm M 1 = =84.45 knm => iteracijski moment M= knm 37
38 -određivanje sile R' F X =0 R'= =24.53 kn 7.) Izračun stvarnog pomaka u i momenata na sustavu R+R'u= u=0 u=0.296 M AB =57.48+(55.25*0.296)=73.33 knm M BA = (21.56*0.296)= knm M BC =35.04+(-21.56*0.296)=28.66 knm M DC =12.5+(29.92*0.296)=21.36 knm 38
39 -izračun momenata na mjestima opterećenja M B =0 -V A *4+100* =0 V A =61.29 kn M AB/2 =V A * =48.75 knm M C =0 -V D * =0 V D =27.15 kn M BC L =V D * =39.32 knm M BC L = =60.68 knm - momentni dijagram bez ekstremnog momenta 8.) Difernecijalni M-V odnosi 39
40 V 1 = =61.29 kn V 2 = = kn V 3 = =30.73 kn V 4 = = kn V 5 = =27.15 kn V 6 = =27.15 kn -konačni dijagram poprečnih sila -mjesto ekstremnog momenta M x M x =61.29* * *2-10*3.07*1.535=18.55 knm - konačni momentni dijagram 40
41 NUMERIČKI MODEL RAČUNALNI PROGRAM AUTODESK ROBOT STRUCTURAL ANALYSIS PROFESSIONAL momentni dijagram -dijagram poprečnih sila 41
42 USPOREDBA REZULTATA PRORAČUNA STATIČKI NEODREĐENOG SUSTAVA DOBIVENIM RAZLIČITIM METODAMA Metoda Metoda Cross-ova ROBOT sila pomaka metoda M A knm M AB/ knm M B knm M X knm M D knm DOLJE M DC/ knm GORE M DC/ knm ZAKLJUČAK: Uzimajući u obzir računalni program Robot kao referentno rješenje, može se zaključiti da Metoda sila, Metoda pomaka i Cross-ova metoda daju odgovarajuće rezultate. Odstupanja u odnosu na rješenja iz Robota za Metodu sila i Metodu pomaka su bazirana iza decimalne točke, te samim time zanemariva. Cross-ova metoda u nekim točkama ima odstupanja manja od 5%, što je dopušteno odstupanje. Sve tri metode su uspješno izračunale rezne sile statički neodređenog sustava. 42
43 LITERATURA - Lozančić S., Kalman T., Grubišić M.: Nastavni materijali - Milutin Anđelić,Građevna statika II; Građevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu - K. Fresl: GS Bilješke i skice predavanja, 43
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραPROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA)
ROS GRED (ROSO OSONJEN GRED) oprečna sila i moment savijanja u gredi y a b c d e a) Zadana greda s opterećenjem l b) Sile opterećenja na gredu c) Određivanje sila presjeka grede u presjeku a) Unutrašnje
Διαβάστε περισσότεραDimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe
Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju
Διαβάστε περισσότεραSVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek, 15. rujna 2015. Dragana Zekić SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK
Διαβάστε περισσότεραSVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET ZAVRŠNI RAD
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET ZAVRŠNI RAD Osijek, 15. rujan 2017. Ivan Kovačević SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET ZAVRŠNI RAD
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραDijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.
Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =
Διαβάστε περισσότεραProstorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
Διαβάστε περισσότεραBetonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Διαβάστε περισσότεραPRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA
PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Statički sustav glavnog krovnog nosača je slobodno oslonjena greda raspona l11,0 m. 45 0 65 ZAŠTITNI SLOJ BETONA
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραBETONSKE KONSTRUKCIJE 2
BETONSE ONSTRUCIJE 2 vježbe, 31.10.2017. 31.10.2017. DATUM SATI TEMATSA CJELINA 10.- 11.10.2017. 2 17.-18.10.2017. 2 24.-25.10.2017. 2 31.10.- 1.11.2017. uvod ponljanje poznatih postupaka dimenzioniranja
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραKolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21,
Kolegij: Konstrukcije 017. Rješenje zadatka. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu 1. ULAZNI PARAETRI. RAČUNSKE VRIJEDNOSTI PARAETARA ATERIJALA.1. Karakteristične vrijednosti parametara tla Efektivna Sloj
Διαβάστε περισσότεραMasa, Centar mase & Moment tromosti
FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:
Διαβάστε περισσότεραSVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek, 15. rujan 2015. Marija Vidović SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJE
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραSVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKKULTET ZAVRŠNI RAD
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKKULTET ZAVRŠNI RAD SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKKULTET ZAVRŠNI RAD TEMA: IZRAČUN UNUTRAŠNJIH SILA I PLANOVA
Διαβάστε περισσότεραSTATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
STTIČKI ODREĐENI SUSTVI STTIČKI ODREĐENI SUSTVI SVOJSTV SUSTV Kod statički određenih nosača rješenja za reakcije i unutrašnje sile su jednoznačna. F C 1. F x =0 C 2. M =0 3. F y =0 Jednoznačno rješenje
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραMetode pomakâ (1) V. S. & K. F.
1. O metodama pomakâ Metode pomakâ (1) V. S. & K. F. Metode pomakâ su metode proračuna štapnih sistema u kojima su nepoznanice vrijednosti translacijskih pomaka i kutovi zaokreta odabranih točaka sistema
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραVrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici.
Za adani sustav prostornih sila i j k () oktant i j k () oktant koje djeluju na materijalnu toku odredite: a) reultantu silu? b) ravnotežnu silu? a) eultanta sila? i j k 8 Vektor reultante: () i 8 j k
Διαβάστε περισσότεραBETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami
BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami Izv. prof. dr.. Tomilav Kišiček dipl. ing. građ. 0.10.014. Betonke kontrukije III 1 NBK1.147 Slika 5.4 Proračunki dijagrami betona razreda od C1/15 do C90/105, lijevo:
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραZadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače
Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Rožnjača je statičkog sistema kontinualnog nosača raspona L= 5x6,0m. Usvaja se hladnooblikovani šuplji profil pravougaonog poprečnog preseka. Raster rožnjača: λ r 2.5m
Διαβάστε περισσότεραGeometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio
Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραEksperimentalna i numerička analiza slobodnih vibracija grede
Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje DIPLOMSKI RAD Eksperimentalna i numerička analiza slobodnih vibracija grede Darko Dragojević Split, siječanj 2010. PREGLED PREZENTACIJE Uvod Analitičko
Διαβάστε περισσότεραF (t) F (t) F (t) OGLEDNI PRIMJER SVEUČILIŠTE J.J.STROSSMAYERA U OSIJEKU ZADATAK
OGLEDNI PRIMJER ZADAAK Odredte dnamčke karakterstke odzv armranobetonskog okvra C-C prkazanog na slc s prpadajućom tlorsnom površnom, na zadanu uzbudu tjekom prve tr sekunde, ako je konstrukcja prje djelovanja
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραSVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ZAVRŠNI RAD Osijek, 14. rujna 2017. Marijan Mikec SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ZAVRŠNI RAD Izrada projektno-tehničke dokumentacije armiranobetonske
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραDimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona.
Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona Prema osnovnoj formuli za dimenzionisanje maksimalni tangencijalni napon τ max koji se javlja u štapu mora biti manji
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραII. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA
II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA
JBAG 4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA PROGRA IZ KOLEGIJA BETONSKE I ZIDANE KONSTRUKCIJE 9 5 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU JBAG 4. Statiči proračun stubišta 4.. Stubišni ra 4... Analiza opterećenja 5 5 4 6 8 5 6 0
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραPrikaz sustava u prostoru stanja
Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja je jedan od načina prikaza matematičkog modela sustava (uz diferencijalnu jednadžbu, prijenosnu funkciju itd). Promatramo linearne sustave
Διαβάστε περισσότερα4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA
JBG 4. STTIČKI PRORČUN STUBIŠT PROGR IZ KOLEGIJ BETONSKE I ZIDNE KONSTRUKCIJE 9 6 5 5 SVEUČILIŠTE U ZGREBU JBG 4. Statiči proračun stubišta 4.. Stubišni ra 4... naliza opterećenja 5 5 4 6 8 0 Slia 4..
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότερα10. STABILNOST KOSINA
MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραGauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),
Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα3525$&8158&1(',=$/,&(6$1$92-1,095(7(120
Srednja masinska skola OSOVE KOSTRUISAJA List1/8 355$&8158&1(',=$/,&(6$1$9-1,095(7(10 3ROD]QLSRGDFL maksimalno opterecenje Fa := 36000 visina dizanja h := 440 mm Rucna sila Fr := 350 1DYRMQRYUHWHQR optereceno
Διαβάστε περισσότερα20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm
MMENT NERJE ZDTK. Za površinu prema datoj slici odrediti: a centralne težišne momente inercije, b položaj glavnih, centralnih osa inercije, c glavne, centralne momente inercije, d glavne, centralne poluprečnike
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότερα, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.
J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραPRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET
TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 1 PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET ODREĐIVANJE MOMENTA LOMA - "T" PRESEK Na skici dole su prikazane sve potrene geometrijske veličine, dijagrami dilatacija i napona,
Διαβάστε περισσότεραSavijanje statički neodređeni nosači
Savijanje statički neodređeni nosači Statička neodređenost nosača Uslovi neprekidnosti elastične linije Prva jednačina savijanja Normalni napon u nekoj tački poprečnog preseka s M moment sprega s z M I
Διαβάστε περισσότεραDIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE
TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne
Διαβάστε περισσότεραISPIT GRUPA A - RJEŠENJA
Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga AB oslonjena je na dva čelična štapa u A i B i opterećena trouglastim opterećenjem, kao na slici desno. Ako su oba štapa iste dužine L,
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραII. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA
II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραGrafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
Διαβάστε περισσότεραSVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek, 15.07.2015 Marko Srdanović SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραKonstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE
Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότεραINTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Διαβάστε περισσότεραBIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe
BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραProračunski model - pravougaoni presek
Proračunski model - pravougaoni presek 1 ε b 3.5 σ b f B "" ηx M u y b x D bu G b h N u z d y b1 a1 "1" b ε a1 10 Z au a 1 Složeno savijanje - VEZNO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji za (M i, N
Διαβάστε περισσότερα( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min
Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότερα