Geodetski fkultet, dr sc J Beb-Brkić Predvj iz Mtemtike 8 NIZOVI Pojm iz Nek je N skup prirodih brojev Prem ekom prvilu svki broj iz N zmijeimo ekim brojem:,,,, R Št smo dobili? Budući d je svkom elemetu skup N pridruže smo jed elemet skup R, zključujemo d se rdi o fukciji s N u R Defiicij Niz je fukcij f : N R f ( f M f - prvi čl iz - drugi čl iz - ti ili opći čl iz N Ozk: ili smo Primjeri: Nek je formulom (fukcijom f zd iz relih brojev Npisti prvih ekoliko člov iz Rješeje: f (, 5 f, f (, 5 7 9 ( :,,,,, K K,, K 4 5 Npisti ekoliko prvih člov iz ko je opći čl: 4 9 6 ( :,,,, K + 5 7 9 b b b : c c ( c : + d d d : 85
Geodetski fkultet, dr sc J Beb-Brkić Predvj iz Mtemtike e e ( e : + f f ( f : + g g ( g : Odrediti opći čl iz ko je prvih ekoliko člov iz:, 4, 7, 0,, b,, 7, 4,, Npome: Pomoću ekoliko zdih početih člov iz sm iz ije jedozčo određe, li se može pretpostviti jegov opći čl Grfički prikz iz či Budući d je iz fukcij, promtrmo prove (, f grfu zde fukcije, f N G f {( } Grfički prikz iz iz primjer : 5 7 9 f :,,,,, K K,, 4 5 ; K fhl, tj skup točk rvie koji pripd 0 4 5 6 7 či Prikz iz brojevom prvcu: 5 7 9 f :,,,,, K K,, 4 5 ; K 4 0 5 7 4 86
Geodetski fkultet, dr sc J Beb-Brkić Predvj iz Mtemtike Ogrđei izovi, mootoi izovi ( Nek je zd iz relih brojev Što čie jegovi človi? ö Podskup skup relih brojev Pitmo se d li je tj skup brojev ogrđe (omeđe Defiicij (ogrđeost Z iz relih brojev ( N ko M,m R, m M, N Td je: M gorj ogrd iz (, m doj ogrd iz kžemo d je ogrđe ko je skup {,, K,,K } Defiicij (mootoost Niz ( relih brojev je rstući ko je +, N Niz ( relih brojev je pdjući ko je +, N Alogo, Niz ( relih brojev je strogo rstući ko je < +, N Niz ( relih brojev je strogo pdjući ko je > +, N Sve su to mootoi izovi + Z mootoe rstuće izove vrijedi + 0, odoso + Z mootoe pdjuće izove vrijedi + 0, odoso Zdtk Ispitti mootoost sljedećih izov zdih općim člom: b b c c ( ogrđe, tj Defiicije Svku fukciju f S R, S {,,,} : K zovemo kočim izom u R Okoli relog broj je svki otvorei itervl relih brojev koji sdrži tj broj (N primjer, ekoliko okoli broj : (0,, (09,, - okoli broj A je otvorei itervl ( A,A +, R, > 0 87
Geodetski fkultet, dr sc J Beb-Brkić Predvj iz Mtemtike Rel broj A je gomilište iz mogo člov tog iz N ko svk - okoli broj A sdrži beskočo 4 A-e A A+e koco mogo Grič vrijedost ili limes iz Defiicij Postoji li točk A tkv d se u svkoj jezioj - okolii lze gotovo svi človi iz (, kžemo d je iz ( koverget i d je A limes ili gric tog iz Pišemo: lim A, Čitmo: Limes od, kd teži u beskočo, je A Vrijedi: Ako je iz koverget, od je limes tog iz jegovo jedio gomilište Defiicij Broj A zovemo gričom vrijedošću ili limesom iz ( ko z svki pozitiv broj, d z sve člove iz, ideksi kojih su veći od možemo ći tkv prirod broj 0 A < 0, vrijedi Ako broj A postoji iz zovemo kovergetim Defiicij zpis formulom: > N > A < ( 0( 0 ( 0 Primjer Provjer kovergecije iz 5 7 9 Nek je d iz s općim člom, tj ( :,,,,, K K,, K 4 5 (Vidi grfički prikz sti 86 Odberimo eki (po volji mli pozitivi broj ( > 0 Uvijek postoje človi iz čij je udljeost od broj mj od tog broj N primjer, 00 99 00 00 00 00 Uzmimo fl svi sljedeći človi iz, +, +, Ksu udljeosti mjoj od 00 od broj 00 88
Geodetski fkultet, dr sc J Beb-Brkić Predvj iz Mtemtike 000 999 000 000 000 Pišemo: lim 000 Divergeti izovi su izovi koji isu kovergeti Niz je diverget u užem smislu, ko je ispujeo:, itd lim + ili lim Niz je diverget u širem smislu ko je diverget ije diverget u užem smislu + N primjer, iz s općim člom, ( :000,,,,, KK, divergir u širem smislu jer im dv gomilišt, 0 i Svojstv kovergetih izov Teorem Koverget iz im smo jed limes, tj ko je lim A i lim B, td je A B Dokz Pretpostvimo d je ispujeo: A B i 0 A B > lim A > A < lim B > B < Ozčimo: mx{, } 0 Budući d gorje dvije jedkosti vrijede z > 0, slijedi A B A + B A + B A + B < + A B <, što je emoguće Dkle, A B Teorem Koverget iz je ogrđe : A B Dokz ( je koverget iz lim A Odberimo li 0, tkv d je > A <, tj 0 A < < fl A < < A+ ( 89
Geodetski fkultet, dr sc J Beb-Brkić Predvj iz Mtemtike Ozčimo: K mx{,,, 0 } K, ( 0 K, K, KK, 0 K K K, K K, KK, K K (, tj 0 Ozčimo dlje: M mx{ K,A+ } i m mi{ K,A } Iz ( i ( slijedi: m M, N Teorem Ogrđe i mooto iz je koverget, što je i treblo dokzti Dokz Nek je mooto ogrđe iz uzlz Kko je iz ogrđe postoji jegov supremum i u svkoj okolii supremum im člov iz U protivom bi smi rub okolie bio supremum iz, i poovili bismo gorju tvrdju Ako u okolii supremum postoji jed čl iz, zbog uzlzosti iz su gotovo svi človi iz u toj okolii Dkle, u svkoj su okolii gotovo svi človi iz i iz je koverget, odkle slijedi d mu je limes supremum Alogo z silze izove, limes im je ifimum Teorem 4 (Teorem o sedviču Ako su izovi (, (b i (c tkvi d je b c z svki veći od ekog 0 i osim tog je je lim lim c, od kovergir i iz (b i lim lim b lim c Dokz Nek je lim lim c A Td, Odoso, ( 0(, N ( ( > A < > > c A < > < A< A < < A+ Ozčimo s mx{, } i > < c A< A < c < A+ Slijedi: > A < b c < A+, tj A < b < A+, tj ( > 0 > b A <, tj lim b A 90
Geodetski fkultet, dr sc J Beb-Brkić Predvj iz Mtemtike Teorem 5 (Rčuje s limesim Nek su i ( b kovergeti izovi relih brojev i ( ( lim ± b lim ± lim b A ± B ; ( lim( b lim lim b A B ( lim b lim lim b (4 lim lim A ; k ; lim A, B 0 i b 0, N; B k k (5 lim lim A, 0, A > 0, k R; (6 k k lim k lim A A, lim B Td je: b Dokz Dokzt ćemo smo prvo svojstvo, tj lim + b A + B, što piso formulom glsi ( N ( b ( A B 0 0 0 > > + + < Po pretpostvci je lim A i lim b B lim A, > A <, ( ( z lim b B, > b B < (4 Ozčimo: mx{, } 0 ( z Iz ( i (4 slijedi: ( > 0 ( + b ( A+ B ( A + ( b B A + b B < + Neki vžiji limesi + + Dokžimo d je tko zdi iz koverget Niz s općim člom + ; ( :,,,KK o Ko prvo pokžimo d je iz strogo rstući Beroullijev ejedkost: ( α ( α m + mα, α >, m N m > + mα, α >,m> 9
Geodetski fkultet, dr sc J Beb-Brkić Predvj iz Mtemtike Stvimo: Slijedi: + α, m + + + + > + + + + + + > + + + > o Niz s općim člom + je ogrđe Budući d je iz uzlz dovoljo je pokzti postojje gorje ogrde Beroullijev ejedkost z α i m + glsi: + + > + + + (5 Rspišimo: + ( + 4 + (6 Usporedbom (5 i (6 slijedi d je 4> +, > 0, p je iz i ogrđe Prem teoremu, iz je koverget Ozčimo jegov limes s e, tj ( e 78888K ; :,,,, K,, 4 Hrmoijski iz lim 0 K K 4, R; ( :,,,, K K,, K < lim 0 iz kovergir > iz divergir lim ( iz kovergir iz : -,, -,, divergir 4 4 ; ( :,,, 4, K K,, K lim lim + e, 9
Geodetski fkultet, dr sc J Beb-Brkić Predvj iz Mtemtike 4 5 ; ( :,,,, K K,, K lim Zdtk Izrčuti limese zdih izov, + b 5 b + 6 Aritmetički i geometrijski iz Aritmetički iz ili A-iz A-iz:,,, K,, K prvi čl iz + d, drugi čl iz + d d treći čl iz + M + d + ( d, -ti čl iz M d K K + K d diferecij ili rzlik, tj + + + + Dkle, svki čl A-iz jedk je ritmetičkoj sredii susjedih člov Sum prvih člov A-iz: + + K+ + + d + + d + K+ + d S ( ( K ( + + d +, tj Geometrijski iz ili G-iz b prvi čl iz b bq, drugi čl iz 9
Geodetski fkultet, dr sc J Beb-Brkić Predvj iz Mtemtike b b bq bq M b q b q treći čl iz, -ti čl iz M b b b b+ q K K K b b b b q kvocijet b b b, tj + b b b+ Dkle, svki čl G-iz jedk je geometrijskoj sredii susjedih člov Sum prvih člov G-iz: s b + b + K+ b b + bq+ bq + K+ bq q s q bq+ bq + bq + K + bq ( ( s s q s q b bq b q q s b q Sum svih člov G-iz: q Z q < s lims limb b q q 94
Geodetski fkultet, dr sc J Beb-Brkić Predvj iz Mtemtike 95