M-Te-01-T List 1 Objem povrch hrnolov RNDr. Mrián Mcko U: ko by si chrkterizovl n-boký hrnol? Ž: Je to teleso, ktoré má dve význčné steny, ktorými sú zhodné n-uholníky. Leži v nvzájom rovnobežných rovinách. U: Tieto steny nzývme podstvy hrnol. Rovnobežnými všk musi byť j odpovedjúce si strny týchto n-uholníkov. 5 4 n 3 1 5 4 n 3 1 Ž: To znmená, že pltí 1 1, 3 3, 3 4 3 4,... n 1 n 1. U: Uvedené strny n-uholníkov nzývme podstvné hrny. Ž: Spomínm si, že hrnol má j bočné hrny. Sú to nvzájom rovnobežné úsečky rovnkej dĺžky. Podľ nášho oznčeni sú to npríkld bočné hrny 1 1,, n n. n-boký hrnol ich má n. U: Spolu s podstvnými hrnmi vytvárjú bočné steny hrnol. kými rovinnými geometrickými útvrmi sú bočné steny? Ž: Vzhľdom n rovnobežnosť, o ktorej už bol reč, sú to rovnobežníky. Spolu má ted n-boký hrnol n + stien. U: Spoločné body hrán n-bokého hrnol s nzývjú vrcholy hrnol. Ž: To znmená, že n-boký hrnol má n vrcholov.
M-Te-01-T List U: Pripomenieme si ešte niekoľko špeciálnych prípdov hrnolov. Kolmý hrnol má všetky bočné hrny kolmé n roviny podstáv hrnol. 4 5 3 4 1 5 3 1 Ž: To le znmená, že bočnými stenmi kolmého hrnol sú obdĺžniky. U: Máš prvdu. k nvyše podstvmi kolmého hrnol budú prvidelné n-uholníky, tk hrnol nzveme prvidelným. Ž: Prvidelný n-boký hrnol má ted podstvy prvidelné n uholníky bočnými stenmi sú zhodné obdĺžniky. U: Nše pripomenutie zákldných pojmov o hrnoloch zkončíme kvádrom kockou. Vieme, že ptri medzi hrnoly. Čím s vyznčujú? Ž: Kváder by som zrdil medzi kolmé štvorboké hrnoly. Jeho podstvou je obdĺžnik. U: No nkoniec, kváder, ktorého kždá sten je štvorec, s nzýv kock. H G H G E F E F D C D C U: Skôr, než uvedieme všeobecný vzorec pre objem n-bokého hrnol, pripomenieme si niektoré zákldné vlstnosti, ktoré plti pre objem telies. Z vlstnej skúsenosti vieme, že objem teles je vždy kldné reálne číslo. Djú s porovnť objemy zhodných telies? Ž: No, k sú telesá zhodné, tk musi mť rovnký objem.
M-Te-01-T List 3 U: Čstokrát s stáv, že dné teleso s dá rozložiť n vicero jednoduchších, nvzájom s neprekrývjúcich telies. Vieš, ký je súvis medzi objemom dného teles objemmi telies, z ktorých pozostáv? Ž: Logicky vychádz, že objem dného teles je súčtom objemov telies, z ktorých je ono zložené. U: Posledná vlstnosť stnovuje, čo je jednotkou objemu. Ž: Jednotkou objemu je preds meter kubický. le môže to byť j centimeter kubický, dokonc j liter. U: V kždom prípde jednotkou objemu je objem jednotkovej kocky. Je to kock s hrnou jednotkovej dĺžky. Čiže zákldom merni objemu je objem kocky s hrnou dĺžky. Ž: Vzorec n jeho výpočet je V = 3. U: Máš prvdu. Tento vzorec je zo všetkých vzorcov pre objemy telies njjednoduchší. Dôležité všk je, by si si uvedomil, že tento vzorec s nedá dokázť. Je dný xiomticky. Vzorce pre objem všetkých osttných telies s už djú n jeho záklde záklde spomenutých prvidiel odvodiť. ko s dá čo njvšeobecnejšie vyjdriť objem hrnol? Ž: Pmätám si n vzorec V = S p v, kde S p je obsh podstvy v je výšk hrnol. U: Pritom výškou hrnol rozumieme vzdilenosť rovnobežných rovín, v ktorých leži podstvy hrnol. U: Okrem objemu vieme určiť j povrch hrnol. kú predstvu máš o tomto pojme? Ž: Povrch súvisí s obshom všetkých stien hrnol. U: Všetky steny hrnol tvori jeho hrnicu. Hrnicou n-bokého hrnol je zjednotenie dvoch n-uholníkov n rovnobežníkov. Ž: Rovnobežníky sú vlstne bočnými stenmi hrnol. Vytvárjú plášť hrnol. U: Preto všeobecný vzorec pre povrch hrnol má tvr S = S p +S pl, kde S p je obsh podstvy S pl obsh plášť hrnol. Ž: Výpočty objemov hrnolov budú závisieť od toho, ko vyzerjú ich podstvy bočné steny. U: Máš prvdu. Vzorce pre objem povrch hrnol s pre konkrétne hrnoly djú vyjdriť cez zdné veličiny. Pmätť si ich, všk má zmysel ib v dvoch špeciálnych prípdoch. Ide o kocku kváder. Ž: le to je ľhké. Objem kocky je V = 3 jej povrch S = 6. U: Prečo je vo vzorci pre povrch vyjdrenie 6? Ž: Kock má preds šesť zhodných stien. Sú to štvorce so strnou. Obsh jednej steny je preto. U: ký bude objem kvádr, k má rozmery, b c? Ž: Objem kvádr bude V = bc jeho povrch je dný vzorcom S = (b + bc + c).
M-Te-01-T List 4 U: Výrz b vyjdruje obsh podstvy. Obe podstvy sú zhodné obdĺžniky, preto je tento výrz vo vzorci pre povrch zrátný dvkrát. To isté pltí j o dvojici predná zdná sten, ko j o dvojici bočných stien.
M-Te-01-1 List 5 Príkld 1: Dĺžky hrán kvádr sú v pomere : b : c = 1 : 3 : 4. Povrch kvádr je 34 cm. Vypočítjte objem kvádr. Ž: Zo zdného pomeru dĺžok hrán kvádr vyplýv, že hrny môžem vyjdriť pomocou jednej neznámej. Použijem premennú x. Potom pltí = x, b = 3x, c = 4x. U: Doplním, že neznám x ptrí do množiny kldných reálnych čísel. Poznáme povrch kvádr. Vzorec by neml byť problém. Ž: Povrch kvádr s rozmermi, b, c vypočítme podľ vzorc S = (b + bc + c). U: Z dĺžky hrán dosdíme vyjdreni = x, b = 3x c = 4x. Dostávme Uprv výrz n prvej strne. Ž: Členy v zátvorke vynásobím mám S = (x 3x + 3x 4x + x 4x). S = (3x + 1x + 4x ). Po sčítní vynásobení dvomi dostneme vyjdrenie povrchu kvádr v tvre S = 19x = 38x. U: Podľ zdni je povrch kvádr rovný 34 centimetrov štvorcových. Získme preto rovnicu Vypočítj hodnotu neznámej x. 38x = 34. Ž: Vydelím číslom 38 x = 34 38 = 9. Riešením kvdrtickej rovnice v množine kldných reálnych čísel je číslo tri. x = 3. U: Hrny kvádr budú mť preto dĺžky = x = 3 cm, b = 3 3 = 9 cm, c = 4 3 = 1 cm. Zvyšok riešeni úlohy už dokončíš sám.
M-Te-01-1 List 6 Ž: Použijem vzorec pre objem kvádr V = bc. Dosdím dĺžky hrán po vynásobení čísel dostávm výsledok 34 centimetrov kubických. V = bc = 3 9 1 = 34 cm 3. Úloh 1: Dĺžky hrán kvádr sú v pomere : b : c = : 4 : 3. Povrch kvádr je 13 dm. Vypočítjte objem kvádr. Výsledok: V = 3 dm 3
M-Te-01- List 7 Príkld : Dĺžky hrán kvádr sú v pomere : b : c = : 3 : 6. Jeho telesová uhlopriečk má dĺžku 14 cm. Vypočítjte objem povrch kvádr. Ž: Zo zdného pomeru dĺžok hrán kvádr vyplýv, že hrny môžem vyjdriť pomocou jednej neznámej. Použijem premennú x. Potom pltí = x, b = 3x, c = 6x. Viem, že dĺžky hrán kvádr sú kldné reálne čísl. Preto j neznám x je kldné reálne číslo. U: N jej výpočet využijeme telesovú uhlopriečku. Máš predstvu, koľko telesových uhlopriečok má kváder? Ž: k oznčím vrcholy kvádr CDEF GH, tk telesovými uhlopriečkmi budú úsečky G, H, CE DF. Všetky mjú rovnkú veľkosť. H G E F u D C U: Dĺžku telesovej uhlopriečky H vyjdríme z prvouhlého trojuholník DH. Prvý uhol je pri vrchole D. Podľ zdni je dĺžk hrny DH rovná 6x. Ž: udeme všk potrebovť dĺžku stenovej uhlopriečky D. U: Vyjdríme ju z prvouhlého trojuholník D s prvým uhlom pri vrchole. D b = 3x = x
M-Te-01- List 8 Ž: Poznám dĺžky odvesien, lebo = = x D = b = 3x. Použijem Pytgorovu vetu D = + D. Dosdím vyjdreni strán, umocním sčítm. Dostávm D = (x) + (3x) = 4x + 9x = 13x. U: Vrátime s k výpočtu telesovej uhlopriečky H. Vyjdríme ju z prvouhlého trojuholník DH. Prvý uhol je pri vrchole D. Opäť využijeme Pytgorovu vetu v tvre H = D + DH. Z prvý člen n prvej strne dosdíme 13x z dĺžku hrny DH výrz 6x. Dostávme H = 13x + (6x) = 13x + 36x = 49x. Ž: Dĺžk telesovej uhlopriečky je podľ zdni rovná 14 cm. Preto pltí 14 = 49x. Po umocnení čísl 14 vydelím rovnicu číslom 49. Kvdrtická rovnic bude mť tvr x = 196 49 = 4. U: Hodnot neznámej x bude rovná číslu dv. Môžeme vyjdriť číselné hodnoty dĺžok hrán kvádr. Ted = x = 4 cm, b = 3x = 6 cm, c = 6x = 1 cm. Ž: Vypočítť objem už nebude problém. Použijem vzorec V = bc. Dosdím číselné hodnoty Objem kvádr je 88 centimetrov kubických. V = bc = 4 6 1 = 88 cm 3. U: Povrch kvádr vypočítš podľ vzorc S = (b + bc + c). Ž: j to je ľhké. Z dĺžky hrán dosdím číselné hodnoty. Potom číselné hodnoty vynásobím sčítm. S = (b + bc + c) = (4 6 + 6 1 + 1 4) = (4 + 7 + 48) = 88 cm. U: Dosť zujímvý výsledok. Objem j povrch kvádr je vyjdrený tým istým číslom, to 88.
M-Te-01-3 List 9 Príkld 3: Telesová uhlopriečk kvádr má dĺžku u = 10 cm zvier s rovinou podstvy kvádr uhol ϕ = 60. Tký istý uhol zvierjú uhlopriečky podstvy. Vypočítjte objem kvádr. U: Čo potrebujeme poznť n výpočet objemu kvádr? Ž: Dĺžky jeho troch rôznych hrán. Vzorec pre objem je V = bc. U: Nepoznáme všk dĺžku židnej hrny kvádr. Preto ich musíme njskôr vypočítť zo zdných hodnôt. Kde nmerime uhol, ktorý zvier telesová uhlopriečk G s rovinou podstvy? H G E F u = 10 ϕ D Ž: Uhol ϕ bude medzi úsečkmi G C. Ted pri vrchole v prvouhlom trojuholníku CG. U: Tento trojuholník má prvý uhol pri vrchole C. V trojuholníku poznáme dĺžku prepony, čo je telesová uhlopriečk u = 10 cm ostrý uhol pri vrchole. Nepoznáme dĺžku protiľhlej odvesny CG, čo je vlstne hrn c kvádr. ϕ C
M-Te-01-3 List 10 G u = 10 c ϕ u s C Ž: Tk si ju vypočítm. Použijem funkciu sínus pre uhol ϕ. Je to pomer protiľhlej odvesny k prepone. Preto pltí sin ϕ = c u. k rovnicu vynásobím dĺžkou uhlopriečky, dostnem hrnu c: c = u sin ϕ. U: Dosdíme zdné číselné hodnoty využijeme, že hodnot funkcie sínus pre 60 stupňov je 3. c = 10 sin 60 = 10 3 = 5 3. Z toho istého trojuholník vypočítme j dĺžku stenovej uhlopriečky C. Ž: Terz použijem funkciu kosínus. Pltí cos ϕ = C u, čiže pre stenovú uhlopriečku C dostávm C = u cos ϕ. U: Hodnot funkcie kosínus pre 60 stupňov je rovná číslu 1, preto C = 10 cos 60 = 10 1 = 5. Ž: ko vypočítme dĺžky podstvných hrán b? U: Využijeme terz vypočítnú dĺžku stenovej uhlopriečky C uhol, ktorý uhlopriečky v podstve zvierjú. Podľ zdni má tento uhol tiež 60 stupňov. D S 60 5 5 C b
M-Te-01-3 List 11 Ž: Viem, že uhlopriečky v obdĺžniku mjú rovnkú veľkosť. Ted S = SC =, 5 cm, lebo dĺžk celej uhlopriečky je 5 centimetrov. Trojuholník je rovnormenný. U: Dokonc je rovnostrnný, lebo uhol medzi rmenmi je 60 stupňov. Keďže uhly pri zákldni mjú rovnkú veľkosť súčet veľkostí vnútorných uhlov trojuholník je 180 stupňov, j uhly pri zákldni mjú veľkosť 60 stupňov. Ž: Ted dĺžk hrny b kvádr je b =,5 cm. Hrnu vypočítm z prvouhlého trojuholník C. Poznám dĺžku prepony, čo je strn C jednu odvesnu. To je vypočítná strn b. Použijem Pytgorovu vetu v tvre = C b. U: Po dosdení číselných hodnôt dostávme = 5, 5 = 5 6, 5 = 5 5 4 = 75 4. Hrn kvádr má veľkosť = 5 3 cm. Vypočítj objem kvádr. Ž: Dĺžky hrán dosdím do vzorc V = bc. Potom U: Objem kvádr je 375 4 cm3. V = 5 3 5 5 3 = 375 4.
M-Te-01-4 List 1 Príkld 4: Vypočítjte objem povrch prvidelného šesťbokého hrnol, ktorého podstvná hrn má dĺžku 4 cm telesová výšk v = 6 cm. Ž: Objem šesťbokého hrnol vypočítm tk, že obsh podstvy vynásobím telesovou výškou. V = S p v. U: Telesovú výšku poznáme. Úlohou zostáv vypočítť obsh podstvy. kým rovinným útvrom je podstv zdného teles? Ž: Ml by to byť prvidelný šesťuholník, lebo hrnol je prvidelný šesťboký. le ko s vypočít obsh prvidelného šesťuholník, to potrebujem pripomenúť. U: Výpočet je jednoduchý. Určite s pmätáš, že prvidelný šesťuholník s dá rozdeliť n šesť rovnostrnných trojuholníkov. Ž: Jsné! Už si spomínm. Tomuto útvru s dá opísť kružnic, ktorej polomer je rovnký ko strn šesťuholník. Preto strny S S mjú dĺžku. E D F S C v S 0 U: Obsh šesťuholník bude šesťnásobkom obshu jedného trojuholník. k oznčíme obsh trojuholník S S, tk obsh podstvy bude S p = 6 S S. U: by si vyjdril obsh trojuholník S, potrebuješ vypočítť výšku n strnu. Ž: Výšk rozdelí rovnostrnný trojuholník n dv prvouhlé trojuholníky. V trojuholníku S 0 S je strn S preponou. Má dĺžku rovnú 4 centimetrom. Odvesn S 0 má polovičnú dĺžku. Podľ Pytgorovej vety pltí ( ) v =.
M-Te-01-4 List 13 U: Dosdením hodnôt dostávme Výšk n strnu má veľkosť v = 3. v = 4 = 1. Ž: Vypočítm obsh podstvy. Do vzorc S p = 6 S S = 6 v = 3v dosdím číselné hodnoty. S p = 3 4 3 = 4 3. U: k obsh podstvy vynásobíme telesovou výškou, dostneme objem hrnol. Preto pltí V = S p v = 4 3 6 = 144 3 cm 3. Vypočítť povrch prvidelného šesťbokého hrnol, už nebude problémom. Ž: N výpočet povrchu použijem vzorec S = S p + S pl. Obsh podstvy už poznám, S p = 4 3 cm. Plášť hrnol tvorí šesť zhodných odĺžnikov s rozmermi = 4 cm v = 6 cm. Preto povrch hrnol bude mť tvr S = S p + 6 b. U: Dosď číselné hodnoty. Ž: Po dosdení známych hodnôt dostnem S = 4 3 + 6 4 6 = 48 3 + 144. U: Povrch prvidelného šesťbokého hrnol je 48 3 + 144 centimetrov štvorcových.
M-Te-01-5 List 14 Príkld 5: ko s zmení objem povrch kocky, k s hrn kocky ) trikrát zväčší, b) zmenší o 5 percent? U: ký objem má dná kock, k dĺžk jej hrny je? Ž: To je triviálne. Objem bude V = 3. U: Podľ zdni zväčšíme hrnu kocky trikrát. Preto s jej dĺžk dá vyjdriť v tvre = 3. ký bude terz objem kocky? Ž: Objem bude V = ( ) 3. Po dosdení dostávm Objem je 7 krát väčší. V = (3) 3 = 3 3 3 = 7 3. U: N otázku, ko s zmenil objem, s dá odpovedť minimálne dvojko. Môže nás zujímť, koľkokrát s zmenil objem, lebo o koľko s zmenil objem. Ž: Máte prvdu. To som si neuvedomil. O zmene objemu som uvžovl podľ zdni, ktoré hovorí o zmene hrny. k s pýtte, o koľko s zmení objem, ni to nebude ťžké vypočítť. Objemy terz odrátm. V V = 7 3 3 = 6 3. U: k s hrn kocky zväčší trikrát, objem kocky s zväčší o 6-násobok objemu pôvodnej kocky. N druhej strne uznávm, že prirodzenejši odpoveď n otázku v zdní úlohy je tá, ktorú si uviedol ko prvú. Porovnj povrchy. Ž: Pôvodná kock bude mť povrch S = 6, kde je dĺžk jej hrny. Po trojnásobnom zväčšení hrny kocky bude hrn = 3 ted povrch novej kocky bude S = 6 ( ) = = 6 (3) = 6 9 = 54. Tento povrch je deväťkrát väčší ko povrch pôvodnej kocky. U: Všeobecne pltí, že povrchy sú v pomere druhej mocniny pomeru dĺžok hrán kocky. Podobne vyriešime úlohu b). Hrn kocky s terz zmenší o 5 percent. ko s dá vyjdriť dĺžk hrny kocky po zmenšení, k hrn kocky ml pôvodne dĺžku? Ž: Viem, že hrn kocky s zmenšil o 5 percent. ude preto predstvovť 75 percent pôvodnej dĺžky hrny. Potom pltí = 0,75. U: To znmená, že j objem kocky s zmenší. Z tohto vyjdreni zmeny jej hrny vypočítme, o koľko percent. Ž: Objem terz bude V = ( ) 3 = (0,75) 3 = 0,41875 3. U: Objem 3 predstvuje 100 percent objem 0,41875 3 vyjdruje 4,1875 percent zo zákldu. To znmená, že objem s zmenšil o 57,815 percent. Porovnj povrchy. Ž: Povrch pôvodnej kocky je S =. Po zmenšení hrny bude povrch S = 6 ( ) = 6 (0,75) = 6 0,565. To je 56,5 percent pôvodného povrchu. Povrch s zmenšil o 43,75 percent.
M-Te-01-6 List 15 Príkld 6: Prvidelný šesťboký hrnol s objemom 81 3 cm 3 má telesovú výšku dvkrát väčšiu ko dĺžku podstvnej hrny. Vypočítjte povrch hrnol. U: Njskôr vypočítme dĺžku podstvnej hrny. Využijeme vzorec pre objem prvidelného šesťbokého hrnol V = S p v. Ž: le viem, že telesová výšk je dvkrát väčši ko dĺžk podstvnej hrny. Pltí ted v =. Objem hrnol potom vyjdrím vzorcom V = S p. U: Zostáv nám vyjdriť obsh podstvy hrnol pomocou dĺžky podstvnej hrny. Podstvou je prvidelný šesťuholník. Ten s dá rozdeliť n šesť rovnostrnných trojuholníkov. Preto obsh podstvy bude šesťnásobkom obshu trojuholník S. S p = 6S S. E D F S C v S 0 Ž: Keďže trojuholník S je rovnostrnný so strnou dĺžky, nebude problém vyjdriť jeho obsh. Rozdelím si ho výškou v n dv prvouhlé trojuholníky. Pre trojuholník S 0 S použijem Pytgorovu vetu. Prepon S má dĺžku, odvesn S 0 polovičnú veľkosť ko prepon. Výšku v, čo je druhá odvesn v tomto trojuholníku, vyjdrím v tvre ( ) v =.
M-Te-01-6 List 16 U: Po umocnení odčítní pre druhú mocninu výšky dostávme v = 3 4. Odmocníme, čím dostneme výšku v tvre v = 3. U: Vyjdri obsh šesťuholník. Ž: Obsh podstvy, ko sme povedli, je šesťnásobkom obshu jedného trojuholník. Ted S p = 6 S S = 6 v 3 = 3 v = 3 = 3 3. U: Toto vyjdrenie dosdíme do vzorc pre objem V = S p dostávme V = 3 3 = 3 3 3. Ž: Objem poznám, tk ho dosdím: 81 3 = 3 3 3 terz rovnicu vykrátim číslom 3 3. Pre tretiu mocninu podstvnej hrny pltí 3 = 7. Podstvná hrn má veľkosť 3 centimetre, lebo = 3 7 = 3. U: Povrch šesťbokého hrnol vypočítme podľ vzorc S = S p +S pl. Obsh podstvy sme už vyjdrili, stčí dosdiť vypočítnú číselnú hodnotu. Plášť predstvuje zjednotenie šiestich obdĺžnikov, ktorých rozmermi sú podstvná hrn telesová výšk. Preto s povrch dá vyjdriť j v tvre S = 3 3 + 6 v. Ž: V prvom člene vykrátim dvojky potom dosdím číselné hodnoty. Povrch hrnol je Po vynásobení dostávm S = 3 3 3 + 6 3 6. S = 7 3 + 108. U: Povrch hrnol s objemom 81 3 centimetrov kubických je 7 3 + 108 centimetrov štvorcových.
M-Te-01-7 List 17 Príkld 7: Podstvou trojbokého hrnol je prvouhlý trojuholník s ostrým uhlom 15 stupňov preponou c = 4 dm. Výšk hrnol má tú istú veľkosť ko prepon podstvy. Určte veľkosť hrny kocky, ktorej objem je rovnký ko objem tohto hrnol. Ž: Njskôr vypočítm objem trojbokého hrnol. Použijem vzorec V = S p v. Viem, že telesová výšk má veľkosť v = 4 dm, lebo je rovnko dlhá ko prepon podstvy. Problém vidím vo výpočte obshu podstvy. 15 b c C C U: Podstvou hrnol je prvouhlý trojuholník s prvým uhlom pri vrchole C. Jeho obsh vypočítme podľ vzorc S p = b, lebo jedn odvesn je výškou n druhú odvesnu prvouhlého trojuholník. Ž: le odvesny trojuholník nepoznáme. U: Vyjdríme ich pomocou prepony c uhl α. Ich veľkosti poznáme. Odvesn je protiľhlá k uhlu α, preto využijeme funkciu sínus. Pltí sin α = c. k rovnicu vynásobíme premennou c, dostneme vyjdrenie dĺžky odvesny : = c sin α. Ž: Nedosdíme hodnoty? U: Ztiľ nie. Hodnotu funkcie sínus pre 15 stupňov by sme počítli s využitím klkulčky. Dostli by sme všk približnú hodnotu. Skúsme vyjdriť všetky ztiľ neznáme dĺžky pomocou zdných veličín. Neskôr uvidíš, že s výpočty istým spôsobom zjednoduši. Vyjdri z prvouhlého trojuholník odvesnu b. Ž: Keďže je priľhlou odvesnou k uhlu α, tk použijem funkciu kosínus. Pre jej hodnotu pltí cos α = b c. Opäť vynásobím premennou c. Odvesn b bude mť vyjdrenie b = c cos α.
M-Te-01-7 List 18 U: Vyjdreni odvesien dosdíme do vzorc pre obsh podstvy S p = b dostávme To s dá uprviť n tvr S p = (c sin α) (c cos α). S p = c sin α cos α. Ž: Dosdíme zdné hodnoty? U: Ešte nie. Problém stále robi hodnoty goniometrických funkcií pre uhol 15 stupňov. Preto prejdeme k uhlu 30 stupňov. Ž: ko? U: Použijeme vzorec pre hodnotu funkcie sínus dvojnásobného rgumentu. Iste s pmätáš, že pltí sin α = sin α cos α. Ž: Tk, to by mi nenpdlo. le, je to zujímvý trik. Súčin hodnôt funkcií sínus kosínus sin α môžeme nhrdiť výrzom. U: Vzorec pre obsh podstvy môžeme vďk tejto finte uprviť n tvr S p = sin α c = c sin α. 4 Ž: Po dosdení hodnôt dostávm 16 sin 30 S p =. 4 U: Hodnot funkcie sínus pre 30 stupňov je jedn polovic, preto obsh podstvy je S p = = dm. Dopočítj objem trojbokého hrnol. Ž: Obsh podstvy vynásobím výškou, čo sú štyri decimetre. Dostávm V = S p v = 4 = 8. Objem hrnol bude osem decimetrov kubických. U: Tký istý objem má j kock, ktorej dĺžku hrny máme vypočítť. Ž: Je to už jednoduché. Vzorec pre objem kocky je V = h 3, kde h je hrn kocky. Keďže objem má byť osem decimetrov kubických, tk hrn kocky bude mť dĺžku dv decimetre. To preto, lebo h = 3 V = 3 8 =. U: Hrn kocky, ktorá má rovnký objem ko zdný trojboký hrnol, má dĺžku dv decimetre.
M-Te-01-8 List 19 Príkld 8: Vypočítjte objem povrch kocky, k jej telesová uhlopriečk má dĺžku 3 6 cm. U: N výpočet objemu povrchu kocky potrebujeme poznť dĺžku hrny kocky. H G E D u F C u s Ž: V náčrte kocky si vyznčím telesovú uhlopriečku DF. Vedel by som ju vyjdriť pomocou dĺžky hrny F kocky. V prvouhlom trojuholníku DF použijem Pytgorovu vetu. Pltí u = F + D, lebo prvý uhol v trojuholníku DF je pri vrchole. U: Hrn F má dĺžku. Zostáv nám vyjdriť dĺžku stenovej uhlopriečky D pomocou hrny kocky. Ž: Opäť využijem Pytgorovu vetu. Terz pre prvouhlý trojuholník D s prvým uhlom pri vrchole. D u s U: Dokonc, trojuholník je prvouhlý rovnormenný. Jeho odvesny D mjú dĺžku. Ž: Pre stenovú uhlopriečku D pltí D = + =. Rovnicu odmocním. U: Nie je to potrebné. Do vyjdreni telesovej uhlopriečky u v tvre u = F + D potrebujeme druhú mocninu stenovej uhlopriečky D. Ž: Dobre. Z výrz D dosdím dĺžk hrny F je hrn kocky. Dostávm u = F + D = + = 3.
M-Te-01-8 List 0 U: Dosdíme dĺžku telesovej uhlopriečky u = 3 6. Pre hrnu kocky dostávme rovnicu 3 = ( 3 6). Ž: Súčin čísel n prvej strne umocním tk, že umocním kždé z nich výsledky vynásobím 3 = 3 ( 6 ) = 9 6 = 54. U: Rovnicu vydelíme tromi. Druhá mocnin dĺžky hrny kocky je rovná číslu 18, pretože = 54 3 = 18. Ž: Dĺžku hrny dostneme po odmocnení = 18 = 3. U: Výborne! Nezbudol si n čistočné odmocnenie čísl 18. Vypočítť objem povrch kocky, by už terz pre teb neml byť problém. Ž: Použijem vzorec pre objem kocky V = 3. Dosdím číselnú hodnotu umocním To by ml byť výsledok. V = 3 = ( 3 ) 3 = 33 ( ) 3 = 7 ( ) 3. U: Treti mocnin druhej odmocniny z čísl dv s dá zpísť ko súčin troch rovnkých činiteľov ( ) 3 =. Ž: h! Súčin prvých dvoch dáv číslo dv. Pltí ted ( ) 3 =. U: Objem kocky s dá vyjdriť v tvre V = 7 ( ) 3 = 7 = 54. Objem kocky je 54 centimetrov kubických. Vypočítj povrch kocky. Ž: Použijem vzorec S = 6. Po dosdení dostávm S = 6 ( 3 ) = 6 3 ( ) = 6 9 = 108. Povrch kocky je 108 centimetrov štvorcových.
M-Te-01-9 List 1 Príkld 9: Objem prvidelného štvorbokého hrnol je 19 cm 3. Veľkosť jeho podstvnej hrny telesovej výšky sú v pomere 1 : 3. Vypočítjte povrch hrnol. U: Vzorec pre objem hrnol je V = S p v, kde S p je obsh podstvy v je telesová výšk. Vyjdriť obsh podstvy by pre teb neml byť problém. Ž: Podstvou prvidelného štvorbokého hrnol je štvorec so strnou. Obsh podstvy bude obsh štvorc, to je S p =. U: Telesovú výšku v vyjdríme pomocou podstvnej hrny. Vieme, že ich veľkosti sú v pomere : v = 1 : 3. Ž: Výšk musí byť trikrát väčši ko podstvná hrn. Preto pltí v = 3. U: Všetky získné skutočnosti dosdíme do vzorc pre objem hrnol. Preto pltí V = S p v = (3) = 3 3. Ž: Z objem dosdím hodnotu 19 vypočítm dĺžku podstvnej hrny. Dostávm 19 = 3 3. Predelím tromi odmocním. Výsledok je 4, lebo treti odmocnin z čísl 64 je číslo štyri. = 3 19 3 = 3 64 = 4. U: Terz už poznáme j veľkosť telesovej výšky. Je trikrát väčši ko podstvná hrn, ted má dĺžku v = 1 cm. Môžeme vypočítť povrch hrnol. D C v = 3 D C Ž: Vzorec n výpočet povrchu hrnol je S = S p + S pl. Podstv je štvorec so strnou 4 centimetre plášť pozostáv zo štyroch zhodných obdĺžnikov. Ich rozmermi sú podstvná hrn = 3 cm telesová výšk v = 1 cm.
M-Te-01-9 List U: Vzorec pre povrch hrnol s preto dá uprviť n tvr S = + 4v. Dosď číselné hodnoty dopočítj. Ž: Po dosdení číselných hodnôt dostávm S = 4 + 4 4 1 = 16 + 16 1 = 3 + 19 = 4. Povrch hrnol je 4 centimetrov štvorcových.