59 Κφάαιο 3 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΑΣΕΩΝ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ, ΛΕΠΤΟΤΟΙΧΑ ΚΕΛΥΦΗ 3.1 Ειαγωγή Στο κφάαιο αυτό πριγράφται η ντατική κατάταη δομικά τοιχία όγω διάτμηης (διατμητικές τάις και παραμορφώις), δίνονται γνικοί μαθηματικοί οριμοί για ορθές και διατμητικές παραμορφώις και παρουιάζται ο γνικυμένος νόμος του Hooke για τη χέη τάων παραμορφώων την τριδιάτατη ντατική κατάταη. Στη υνέχια δίνονται φαρμογές για τις πριπτώις καταπόνηης κυφών μικρού ή μγάου πάχους. 3. Σχέη διατμητικών τάων - παραμορφώων Οι διατμητικές τάις ένα δομικό τοιχίο έχουν ως αποτέμα την ανάπτυξη διατμητικών παραμορφώων, τις οποίς μπορούμ να φαντατούμ ως πού μικρές μταβοές την αρχική ορθή γωνία μταξύ δύο υποθτικών πιπέδων το τοιχίο. Οι μικρές αυτές γωνίς μτρούνται rad. (α) (β) (γ) Σχ. 3.1 Πιθανές πριπτώις διατμητικής παραμόρφωης όγω: (α) τ y, (β) τ z, (γ) τ yz. Η διατμητική παραμόρφωη υμβοίζται γνικά μ διατμητικές τάις (Σχ. 1.3α): διατμητική τάη γ ij, κατ αντιτοιχία μ τις γ ij ίναι η διατμητική παραμόρφωη που προκαί η τ ij. Αναόγως των διατμητικών τάων που αναπτύονται ένα
6 τοιχιώδς τμήμα, οι αντίτοιχς διατμητικές παραμορφώις παριτάνονται το Σχ. 3.1. Το Σχ. 3. δίνι τη διατμητική παραμόρφωη όγω διατμητικών τάων την πίπδη ντατική κατάταη, όπου για απότητα παραίπονται οι δίκτς τα τ και γ. Όπως και την πρίπτωη των ορθών τάων, για γραμμικά ατικά υικά οι τ και γ ίναι ανάογς (Σχ. 3.3). Η μταξύ τους χέη αποτί το νόμο του Hooke για την πρίπτωη διάτμηης, που διατυπώνται ως: τ = Gγ (3.1) Η ταθρά αναογίας G αποτί, όπως και το, χαρακτηριτική ιδιότητα για κάθ υικό, και ονομάζται μέτρο διάτμηης. ή (α) (β) Σχ. 3. Καθαρή διάτμηη την πίπδη ντατική κατάταη. Σχ. 3.3 Γραμμική χέη διατμητικών τάων και παραμορφώων καθαρή διάτμηη.
61 Στην πρίπτωη όκιμων υικών ο κατατατικός νόμος τ γ ίναι μη γραμμικός (π.χ. Σχ. 3.4α), αά υνήθως ξιδανικύται ως διγραμμμικός (Σχ. 3.4β), μ τάη διαρροής διάτμηη ίη μ τ y. (α) (β) Σχ. 3.4 (α) Μη γραμμική χέη διατμητικής τάης παραμόρφωης και (β) ξιδανικυμένη διγραμμική χέη. Παράδιγμα 3.1 Το ατομρικό φέδρανο του Σχ. 3.5 αποτίται από ένα τμάχιο καουτούκ ανάμα δύο απόυτα δύκαμπτς μταικές πάκς. Αφού προομοιάτ το φέδρανο μ ατήριο διατμητικού τύπου, να υποογίτ τη ταθρά του ατηρίου k s. Το μέτρο διάτμηης για το καουτούκ ίναι.7 Ν/mm. t = 8 mm a = 4 mm (α) b = mm (β) Σχ. 3.5 (α) Εφέδρανο από καουτούκ και (β) διατμητική παραμόρφωη. Κατά προέγγιη ίναι γ = Δ / t, και από το νόμο του Hooke τ = G γ = GΔ / t. Επίης, F = τ ab = GΔab / t, οπότ k s = F / Δ = Gab / t =.74/8 = 7 N/mm.
6 3.3 Εατική νέργια παραμόρφωης διατμητική καταπόνηη Στο απιροτό τοιχίο του Σχ. 3.6α, διατάων ddydz, ξαιτίας της ξωτρικής φόρτιης αναπτύται διατμητική τάη, η οποία αυξάνται ταδιακά και γραμμικά μ την παραμόρφωη γ, έως ότου φθάι την τιμή τ. Το τοιχίο την παραμορφωμένη κατάταη δίνται το Σχ. 3.6β, θωρώντας το κάτω πίπδο αμτακίνητο. Κατά τη διάρκια της παραμόρφωης η μέη δύναμη το πάνω πίπδο ίναι ( 1/ )τddz και η μτατόπιη γ dy, υνπώς το έργο που παράγται ιούται μ ( 1/ )τddz γdy. (α) (β) Σχ. 3.6 ιατμητική καταπόνηη τοιχίου. Υποθέτοντας ότι το τοιχίο παραμορφώνται γραμμικά ατικά χωρίς απώις νέργιας, το παραπάνω έργο ιούται μ την νέργια που αποθηκύται το τοιχίο, du s (νέργια διατμητικής παραμόρφωης). Έτι μπορούμ να γράψουμ: du s 1 1 1 = τddz { γdy = τγddydz = τγdv 1 443 απόταη δύναμη 1444 4443 έργο (3.) όπου dv ο όγκος του τοιχίου. Από την ξ. (3.) υποογίζται η νέργια διατμητικής παραμόρφωης ανά μονάδα όγκου, που ονομάζται ιδική νέργια διατμητικής παραμόρφωης (ή πυκνότητα νέργιας διατμητικής παραμόρφωης) U o, s : Uo, s dus τγ τ = = = (3.3) dv G Οοκηρώνοντας την υποογίζται η νέργια διατμητικής παραμόρφωης U o, s όο τον όγκο του διατμητικά φορτιζόμνου τοιχίου U s :
63 Us τ = dv G V (3.4) Στο ημίο αυτό έχι νδιαφέρον να παρατηρήουμ την ομοιότητα των ξ. (3.)- (3.4) μ τις ξ. (.14)-(.16) για την αξονική καταπόνηη. 3.4 Μαθηματικός οριμός της παραμόρφωης και τανυτής παραμορφώων Θωρούμ ότι το υικό νός δομικού τοιχίου διάφορα ημία μτακινούνται όγω αξονικής καταπόνηης όπως δίχνι το Σχ. 3.7α. Το ημίο Α μτακινίται κατά u το A και το Β κατά u + Δu το B. δομένου ότι το u αποτί κοινή μτακίνηη για όα τα ημία πάνω το ΑΒ, η μήκυνη του ΑΒ ίναι Δ u, και άρα η ορθή παραμόρφωη μπορί να οριθί ως Δu du = lim = (3.5) Δ Δ d (α) (β) (γ) Σχ. 3.7 (α) Ορθή παραμόρφωη μία διύθυνη, (β) ορθές παραμορφώις δύο διυθύνις και (γ) διατμητικές παραμορφώις πίπδη ντατική κατάταη. Ακοούθως θωρούμ ένα απιροτά μικρό πίπδο τοιχίο μ διατάις d και dy το ύτημα αξόνων y του Σχ. 3.7β. Μτατρέποντας την κανονική παράγωγο
64 μρική, όγω της ύπαρξης δύο αξόνων, οι ορθές παραμορφώις τις διυθύνις, y (και z, αν μας νδιαφέρι και η τρίτη διάταη, κάθτα το πίπδο y ) ίναι, y (και z ), αντίτοιχα: u = y v = y w z = (3.6) z όπου u, v και w οι μτακινήις τους άξονς, y και z, αντίτοιχα. Πέον των ορθών παραμορφώων το τοιχίο μπορί να αναπτυχθούν και διατμητικές, οι οποίς δίχνονται το Σχ. 3.7γ. Η αρχικά ορθή γωνία μταξύ των πυρών D και DC του τοιχίου μταβάται κατά u / y + v /, οπότ ύμφωνα μ τον οριμό της διατμητικής παραμόρφωης μπορούμ να γράψουμ: v u γ y = γ y = + (3.7) y Στα παραπάνω υποθέαμ ότι οι μταβοές γωνιών ίναι πού μικρές, ώτ οι φαπτόμνς αυτών να ίναι πρίπου ίς μ τις γωνίς, μτρημένς rad. Επίης οι παραμορφώις (ορθές ή διατμητικές) ορίζονται ως θτικές όπως ακριβώς δίνονται το Σχ. 3.7. Οι οριμοί για τις διατμητικές παραμορφώις τα πίπδα z και y z δίνονται κατ αντιτοιχία μ την ξ. (3.7), δηαδή: γ z = γ z w = u + z w v γ yz = γ zy = + (3.8) y z Εξτάζοντας προκτικά τις ξ. (3.6) (3.8) παρατηρούμ ότι οι 6 ξιώις παραμορφώων μτακινήων πριέχουν 3 ανξάρτητς μτακινήις, u, v και w. Συνπώς οι ξιώις αυτές δν μπορί να ίναι ανξάρτητς. Θα μπορούαν όμως να γίνουν ανξάρτητς αν βρίκαμ τις χέις μταξύ των, y, z, γ y, γ yz και γ z (υμβιβατό των παραμορφώων), κάτι που όμως τίθται κτός των ορίων του παρόντος υγγράμματος. Οι ορθές και διατμητικές παραμορφώις, κατ αναογία μ τις τάις, μπορούν να γραφούν μητρωική μορφή, ορίζοντας έτι τον τανυτή παραμορφώων. Για όγους καύτρης μαθηματικής διαχίριης των ξιώων (π.χ. κατά το μταχηματιμό των παραμορφώων άα υτήματα υντταγμένων, που αποτί αντικίμνο του πομένου κφααίου) υνήθως ο τανυτής παραμορφώων γράφται μ τις διατμητικές παραμορφώις όπως ορίτηκαν παραπάνω διαιρμένς διά.
65 γ y γ z γ γ y y zy γ γ z yz z (3.9) Το μητρώο (3.9) ίναι υμμτρικό, όπως και το αντίτοιχο για τις τάις (1.). Επίης, πάντα κατ αντιτοιχία μ τις τάις, το μητρώο παραμορφώων μπορί να γραφί ως διαγώνιο: 1 3 (3.1) Τέος, αν τα τοιχία της τρίτης ιράς και τρίτης τήης του μητρώου ίναι μηδνικά, αυτό γράφται γ y γ y y ή γ y γ y 1 ή y (3.11) και η αντίτοιχη πρίπτωη παραμόρφωης ονομάζται πίπδη παραμόρφωη. Στην πόμνη νότητα θα δούμ ότι η πίπδη παραμόρφωη δν αντιτοιχί πίπδη ντατική κατάταη [μητρώο (1.4)]. 3.5 Γνικυμένος νόμος του Hooke για ιότροπα υικά Μ τη βοήθια της αρχής της παηίας και των απών χέων τάης παραμόρφωης που έχουμ παρουιάι μέχρι τώρα για γραμμικά ατικά και ιότροπα υικά, τη υνέχια θα διατυπώουμ τη γνικυμένη μορφή του νόμου του Hooke για τη γνική τριδιάτατη ντατική και παραμορφωιακή κατάταη. Κατ αρχήν θωρούμ το αφόρτιτο τοιχίο του Σχ. 3.8α. Μονοαξονική φόρτιη τη διύθυνη (Σχ. 3.8β) έχι ως αποτέμα ορθές τάις και αντίτοιχς παραμορφώις = /. Οι ορθές παραμορφώις τις γκάρις διυθύνις y και z ίναι y = z = ν = ν /. Αν η φόρτιη ακίται τη διύθυνη y (Σχ. 3.8γ) οι ορθές τάις ίναι y, η παραμόρφωη τη διύθυνη y ίναι y = y / και οι
66 γκάρις παραμορφώις ίναι = z = ν y = ν y /. Τέος, αν η φόρτιη ακίται τη διύθυνη z (Σχ. 3.8δ) οι ορθές τάις ίναι z, η παραμόρφωη τη διύθυνη z ίναι z = z / και οι γκάρις παραμορφώις ίναι = y = ν z = ν z /. Στην πρίπτωη ταυτόχρονης δράης των, y και z, οι υνοικές ορθές παραμορφώις ίναι = + +, y = y + y + y και z = z + z + z. Συνδυάζοντας τα παραπάνω μ το νόμο του Hooke για διατμητική καταπόνηη τα πίπδα y, y z και z γράφουμ: = y ν ν z y = ν y + ν z y z z = ν ν + τ γ y = G y (3.1) τ γ yz = G yz τ γ z = G z Οι ξ. (3.1) μπορούν να αντιτραφούν ώτ να πιύουμ ως προς τις τάις υναρτήι των παραμορφώων. Το αποτέμα κφράζι το γνικυμένο νόμο του Hooke, που μητρωική μορφή ίναι: μ + y z = τ y τ yz τ z μ + μ + G G y z γ y γ yz G γ z (3.13) όπου μ και ίναι γνωτά ως ταθρές του Lamé, ίς μ: μ = 1 ( + ν ) = ν ( 1+ ν )( 1 ν ) (3.14)
67 Αρχικό χήμα Τικό χήμα Τικό χήμα Τικό χήμα (α) (γ) (β) (δ) Σχ. 3.8 Παραμορφώις τοιχίου όγω ορθών τάων τις διυθύνις του υτήματος υντταγμένων. Αν η καταπόνηη του υικού οφίται και μταβοή της θρμοκραίας κατά T Δ, τις τρις πρώτς χέις της ξ. (3.1) θα πρέπι να προτθί και ο όρος T Δ α. Οι διατμητικές παραμορφώις όμως δν πηράζονται από την T Δ. Η πίδραη της θρμοκραίας μτατρέπι το γνικυμένο νόμο του Hooke την παρακάτω μορφή: ( ) Δ + + + = 1 1 1 1 ν α γ γ γ μ μ μ τ τ τ T G G G z yz y z y z yz y z y (3.15) Στο ημίο αυτό τονίζται και πάι ότι οι παραπάνω χέις τάων παραμορφώων ιχύουν μόνο για γραμμικά ατικά και ιότροπα υικά. Γιαυτό και το ύτημα αξόνων z y μπορί να ίναι οποιοδήποτ τριορθογώνιο ύτημα. Αν οι ορθές παραμορφώις που δίνι η ξ. (3.1) ίναι ταθρές κατά μήκος νός δομικού τοιχίου, η μταβοή μήκους του τοιχίου αυτού υποογίζται ύκοα ποαπαιάζοντας την παραμόρφωη πί το αρχικό μήκος: L = Δ (3.16)
68 όπου L το μήκος τη διύθυνη. Παρόμοις χέις ιχύουν και τις άς διυθύνις. Αν οι παραμορφώις ίναι μταβητές η μταβοή μήκους υποογίζται μέω οοκήρωης. Μία τυταία παρατήρηη αφορά τη διαφορά μταξύ πίπδης ντατικής κατάταης και πίπδης παραμόρφωης. Στην πίπδη ντατική κατάταη οι μη μηδνικές τάις ίναι, y και τ y, μ αποτέμα να αναπτύονται παραμορφώις, y, γ y και z. Στην πίπδη παραμόρφωη οι μη μηδνικές παραμορφώις ίναι, y και γ y, νώ οι αντίτοιχς τάις ίναι, y, τ y και z. Παράδιγμα 3. Ένας μταικός κύβος ακμής 5 mm φορτίζται μ ομοιόμορφη πίη MPa κάθ πυρά. Να υποογιτί η μταβοή μήκους κάθ ακμής. Το μέτρο ατικότητας του υικού ίναι = GPa και ο όγος Poisson ίναι ν =.5. Από την πρώτη χέη της ξ. (3.1) γράφουμ (προέχοντας ότι η πίη προκαί θίψη, δηαδή αρνητικές τάις): Δ ( ) ( ) ( ) 4 =.5.5 = 5 1 3 3 3 1 1 1 4 = L = 5 1 5 =.5 mm (βράχυνη) Φυικά, το πρόβημα αυτό ίναι = y = z και Δ = Δy = Δz. Παράδιγμα 3.3 Μ γνωτές τις παραμορφώις την πίπδη ντατική κατάταη να υποογιτί η παραμόρφωη z (κάθτα το πίπδο y ). Από την τρίτη ιρά της μητρωικής ξ. (3.13) γράφουμ: ( )( ) [( ν ) ( )] z + ν y 1+ ν 1 ν + z = 1 (3.17) Θέτοντας z = βρίκουμ: ( ) ν + z = y (3.18) 1 ν
69 3.6 Σχέις μταξύ των ταθρών Ε, G και ν Παραπάνω ίδαμ ότι οι τάις χτίζονται μ παραμορφώις μέω των τριών ατικών ταθρών, G και ν. Εδώ θα αποδίξουμ ότι οι ταθρές αυτές υνδέονται μταξύ τους, οπότ την πραγματικότητα οι ανξάρτητς ατικές (α) ταθρές νός υικού ίναι δύο. Για την απόδιξη θωρούμ ένα ττράγωνο τοιχίο (έαμα) πυράς a και πάχους dz (ΑΒCD το Σχ. 3.9α) καθαρή διάτμηη. Ακοούθως κάνουμ μία τομή κατά την έννοια της διαγωνίου AC, οπότ για να ιορροπήι το προκύπτον ύθρο ώμα ΑΒC απαιτίται μία ορθή τάη 1 κάθτη τη διαγώνιο AC, έτι ώτ 1 = τ (Σχ. 3.9β). Οι τάις το ύθρο ώμα ABC δίνονται (β) το Σχ. 3.9γ (προοχή, το χήμα αυτό η τατική ιορροπία δν ικανοποιίται φυικά από τις τάις αά από τις δυνάμις, δηαδή από το γινόμνο των τάων πί το μβαδόν της πιφάνιας όπου ακίται η κάθ τάη). Στη υνέχια (γ) πανααμβάνουμ το ίδιο μ τη διαγώνιο BD (Σχ. 3.9δ), πί της οποίας προκύπτι ορθή τάη = τ (θιπτική). Τα αποτέματα των δύο πριπτώων δίνονται το Σχ. 3.9, το οποίο ίναι ιοδύναμο μ το Σχ. 3.9α, δηαδή η πρίπτωη (δ) καθαρής διάτμηης ιοδυναμί μ ίς φκυτικές και θιπτικές τάις υπό γωνία 45 ο ως προς τη διύθυνη των διατμητικών τάων. Ακοούθως θωρούμ το παραπάνω τοιχίο την παραμορφωμένη του κατάταη, Σχ. 3.1, και προδιορίζουμ την παραμόρφωη της διαγωνίου DB μ δύο τρόπους: πρώτον βάι της διατμητικής καταπόνηης και δύτρον βάι της δράης των ιοδύναμων ορθών τάων. () Σχ. 3.9 Μταχηματιμός καθαρής διάτμηης ιοδύναμς ορθές τάις.
7 Για μικρές παραμορφώις ίναι sin γ tanγ γ και cosγ 1, οπότ βάι του Σχ. 3.1 η μήκυνη της διαγωνίου DB όγω διάτμηης ίναι αγ /. Το αρχικό μήκος της διαγωνίου DB ίναι α, υνπώς η ορθή παραμόρφωη κατά μήκος της διαγωνίου ίναι ο 45 = γ /. Από τη χέη τ = Gγ γράφουμ τ ο 45 = (3.19) G Ακοούθως φαρμόζουμ την πρώτη από τις ξ. (3.1) θωρώντας τον άξονα πάνω τη διαγώνιο DB. Για τη χέη αυτή ίναι = 1 = τ, y = = τ και z =, οπότ γράφουμ: τ = 1 ν o 45 = ( 1+ ν ) (3.) Τέος, ξιώνοντας τις δύο παραπάνω χέις αποδικνύται ότι G = (3.1) 1 ( +ν ) Για τα πριότρα υικά ο όγος Poisson ίναι γύρω το.-.3, πομένως το μέτρο διάτμηης ίναι (κατά κανόνα) μικρότρο από το μιό του μέτρου ατικότητας. Σχ. 3.1 Γωμτρική μέτη παραμορφωμένου τοιχίου. 3.7 Ανηγμένη διόγκωη και μέτρο διόγκωης Στην νότητα αυτή υποογίζουμ την πίδραη των τάων της γνικής τριδιάτατης κατάταης τη μταβοή του όγκου νός τοιχίου αρχικών διατάων
71 d, dy και dz. Το μήκος των πυρών μτά την παραμόρφωη γίνται ( 1 + y )dy και ( 1+ z ) dz, υνπώς η μταβοή όγκου ίναι ( 1+ ) d, ( 1+ ) d (1+ y ) dy (1 + z ) dz ddydz ( + y + z )ddydz Στην παραπάνω ξίωη τα γινόμνα y + y z + z + y z θωρήθηκαν πού μικρές ποότητς και αγνοήθηκαν. Έτι η μταβοή όγκου ανά μονάδα όγκου, e, γνωτή και ως ανηγμένη διόγκωη, δίνται ως e = + y + z (3.) Υπνθυμίζται ότι η προαναφρθία μταβοή όγκου οφίται αποκιτικά ορθές παραμορφώις, δδομένου ότι οι διατμητικές δν πιφέρουν μταβοή όγκου παρά μόνο χήματος. Αντικαθιτώντας από την ξ. (3.1), η ανηγμένη διόγκωη μπορί να υποογιθί υναρτήι των τάων και των ατικών ταθρών του υικού: ( + ) 1 ν e = + y + z = y + z (3.3) Η τυταία χέη ημαίνι ότι η διόγκωη του υικού ίναι ανάογη του αθροίματος των ορθών τάων. Τέος θωρούμ το υικό υπό ομοιόμορφη ( υδροτατική ) πίη p, έτι ώτ = y = z = p. Από την ξ. (3.3) ( 1 ν ) p 3 e = (3.4) Το μέτρο διόγκωης του υικού ορίζται ως ο όγος της υδροτατικής πίης προς την ανηγμένη μταβοή όγκου και ιούται μ p K = = (3.5) e 3 ( 1 ν ) 3.8 Λπτότοιχα κυινδρικά και φαιρικά κύφη Κέυφος ονομάζται ένα καμπύο δομικό τοιχίο του οποίου το πάχος t ίναι μικρό υγκρινόμνο μ την ακτίνα καμπυότητας r της μέης πιφάνιάς του. Αν ο όγος t / r ίναι πού μικρός, π.χ. t / r <1, το κέυφος χαρακτηρίζται ως πτότοιχο, νώ αν ίναι μγαύτρος χαρακτηρίζται ως κέυφος μ χονδρά τοιχώματα. Χαρακτηριτικό παράδιγμα πτότοιχων κυφών ίναι οι δξαμνές αποθήκυης υγρών ή αρίων υπό
7 πίη. Τα τοιχία αυτά υμπριφέρονται ως μμβράνς, δηαδή ανααμβάνουν την ωτρική πίη αναπτύοντας κυρίως ορθές τάις που ίναι φαπτομνικές το τοίχωμα, γνωτές ως μμβρανικές τάις. Στην νότητα αυτή θα αχοηθούμ μ πτότοιχα κύφη τα οποία έχουν αξονική υμμτρία και καούνται κύφη κ πριτροφής, δηαδή κύφη των οποίων η μέη πιφάνια δημιουργίται μ πριτροφή μίας πίπδης καμπύης γύρω από έναν άξονα (άξονας υμμτρίας). Τομές της πιφάνιας του κύφους που πριέχουν τον άξονα υμμτρίας καούνται μημβρινές τομές, νώ τομές που ίναι κάθτς τον άξονα υμμτρίας καούνται παράης τομές. Λόγω της υμμτρίας φόρτιης (ωτρική πίη) και γωμτρίας, τις μημβρινές και παράης τομές του κύφους δν αναπτύονται διατμητικές τάις, αά μόνο ορθές. Οι ορθές τάις 1 τις μημβρινές τομές ονομάζονται πριφριακές τάις ή τάις δακτυίου, νώ οι ορθές τάις τις παράης τομές ονομάζονται διαμήκις τάις. Εωτρική ακτίνα (α) (β) (γ) (δ) () (τ) Σχ. 3.11 Ανάυη κυινδρικού κύφους υπό ωτρική πίη. Για καύτρη κατανόηη, θωρούμ κατ αρχήν ένα κυινδρικό κέυφος υπό ωτρική πίη p (Σχ. 3.11α). Κάνοντας δύο παράης τομές απόταη L και μία μημβρινή τομή απομονώνουμ το τμήμα του Σχ. 3.11β, το οποίο φαίνονται οι διαμήκις τάις και οι τάις δακτυίου. Η πίη p μία τοιχιώδη πιφάνια Lr i dθ (Σχ. 3.11γ) ιοδυναμί μ μία δύναμη plr i dθ κάθτη την πιφάνια αυτή, μ οριζόντια υνιτώα plr i dθ cosθ, οπότ από ιορροπία την οριζόντια διύθυνη η υνοική οριζόντια δύναμη τη μημβρινή τομή ιούται μ
73 π / P = plri cos dθ = pril (3.6) Λόγω υμμτρίας, το μιό της παραπάνω δύναμης αναπτύται το πάνω τμήμα της μημβρινής τομής και το άο μιό το κάτω τμήμα. Έτι η τάη 1 (φκυτική) υποογίζται διαιρώντας την P μ τον μβαδόν διατομής του κάθ τμήματος, ίο μ A = tl : pr = i 1 (3.7) t Στο παραπάνω αποτέμα θα μπορούαμ να οδηγηθούμ και μ απούτρο τρόπο, αποφύγοντας την οοκήρωη. Βάι του Σχ. 3.11δ, οι δύο δυνάμις P τα πάνω και κάτω τμήματα της μημβρινής τομής θα πρέπι να βρίκονται ιορροπία μ την οριζόντια προβοή της πίης, δηαδή P = A1 p = (ri L) p. ιαιρώντας και πάι την P μ το μβαδόν A = tl καταήγουμ την ξ. (3.7). Ένας τρίτος τρόπος υποογιμού της 1 καταδικνύται μέω του Σχ. 3.11, το οποίο δίνι τις δυνάμις τμήμα του κύφους που προκύπτι από δύο παράης τομές ( απόταη L ) και δύο μημβρινές τομές. Λόγω υμμτρίας η δύναμη P ίναι παντού ίδια (ανξαρτήτως της γωνίας α ) και ακίται φαπτομνικά κάθ ακτίνα του κύφους. Τέος ημιώνουμ ότι πιδή τα πτότοιχα κύφη ri ro r, η ξ. (3.7) γράφται υνήθως χωρίς το δίκτη την ακτίνα. Η διαμήκης τάη υποογίζται ύκοα κάνοντας μία γκάρια τομή (Σχ. 3.11τ) και γράφοντας τη υνθήκη ιορροπίας δυνάμων την αξονική διύθυνη του κύφους. Η υνοική οριζόντια δύναμη όγω της πίης p ίναι pπ r i, νώ η υνιταμένη των τάων (φκυτικές και αυτές) ίναι ( πro πri ), οπότ: pπ r i = ( πr πr ) o i pr pr pr pr i i i = = = (3.8) r r ( r + r )( r r ) ( r + r ) t t o i o i o Ενδιαφέρουα παρατήρηη ίναι ότι τα κυινδρικά κύφη η διαμήκης τάη ίναι ίη μ το μιό της τάης δακτυίου. Ο υποογιμός των 1 και ένα φαιρικό κέυφος (Σχ. 3.1α) γίνται κατ αναογία μ τα προαναφρθέντα. Κάνοντας μία τομή μέω του κέντρου της φαίρας απομονώνουμ ένα ημιφαίριο, για το οποίο η ξίωη ιορροπίας πίης τάων τα τοιχώματα οδηγί την ξ. (3.8). Επιδή όμως η τομή αυτή μπορί να έχι τυχαίο προανατοιμό (δηαδή όγω υμμτρίας), i o i
74 pr 1 = = (3.9) t (α) (β) Σχ. 3.1 Ανάυη φαιρικού κύφους υπό ωτρική πίη. Παράδιγμα 3.4 Θωρήτ κυινδρικό κέυφος μ ακτίνα r = 1 m και πάχος τοιχώματος t = 1 mm. Να προδιοριτούν οι διαμήκις τάις, οι τάις δακτυίου και η μταβοή της διαμέτρου του κυίνδρου όγω πίης p =.8 ΜPa. Υποθέτουμ ότι = GPa και ν =.5. Από τις ξ. (3.7) (3.8) ίναι pr.8 1 pr.8 1 1 = = = 8 MPa, = = = 4 MPa t 1 t 1 H τάη κάθτα το τοίχωμα ίναι 3 = p =. 8 ΜPa το ωτρικό και μηδέν το ξωτρικό, δηαδή γνικά πού μικρότρη από τις 1 και, υνπώς θωρίται αμητέα. Από την πρώτη χέη της ξ. (3.1) υποογίζουμ την παραμόρφωη 1 κατά την έννοια της πριμέτρου, 1 8 4 1 = ν =.5 =.35 1 3 3 1 1 3 Η παραμόρφωη αυτή ιούται και μ τη μταβοή του μήκους της πριμέτρου πί το αρχικό μήκος, δηαδή θωρώντας ότι όγω πίης η ακτίνα αυξάνται κατά Δ, μπορούμ να γράψουμ: π 1 = ( r + Δ) πr Δ = πr r
75 3 Έτι Δ = r =.35 1 1. 35 mm, οπότ η μταβοή της διαμέτρου ίναι.35 =.7 mm. 1 = Παράδιγμα 3.5 Θωρήτ φαιρικό κέυφος μ ακτίνα r = 1 m και πάχος τοιχώματος t = 1 mm. Να προδιοριτούν οι μμβρανικές τάις και η μταβοή της διαμέτρου της φαίρας όγω πίης p =.8 ΜPa. Υποθέτουμ ότι = GPa και ν =.5. Από την ξ. (3.9) ίναι pr.8 1 1 = = = = 4 MPa t 1 Από την πρώτη χέη της ξ. (3.1) υποογίζουμ την παραμόρφωη 1 κατά την έννοια οποιαδήποτ πριμέτρου, 1 4 4 3 1 = ν =.5 =.15 1 3 3 1 1 Η παραμόρφωη αυτή ιούται και μ τη μταβοή του μήκους της πριμέτρου πί το αρχικό μήκος, δηαδή θωρώντας ότι όγω πίης η ακτίνα αυξάνται κατά Δ, μπορούμ να γράψουμ: π = 1 ( r + Δ) πr Δ = πr r 3 Έτι Δ = 1 r =.15 1 1 =. 15 mm, οπότ η μταβοή της διαμέτρου ίναι.15 =.3 mm.
76