onja Krstić ONOVE ELEKTROTEHNKE priručnik za vežbe u laboratoriji VŠER eograd 0.
Magnetiza adržaj:. TALNA ELEKTROMAGNETNA POLJA...3 Teorijska Osnova...3 Zadatak Vežbe...6. AMPEROV ZAKON...8 Teorijska Osnova...8 Zadatak Vežbe... 3 3. KALEM... 9 Teorijska Osnova... 9 Zadatak Vežbe... 3 4. FARADEJEV ZAKON... 34 Teorijska Osnova... 34 Zadatak Vežbe... 38 5. PREGNUT NAMOTAJ... 40 Teorijska Osnova... 40 Zadatak Vežbe... 43
vežba broj. TALNA ELEKTROMAGNETNA POLJA U ovoj vežbi: Magnetna indukcija Magnetni oent Lorencova sila Teorijska Osnova U prirodi su agnetne pojave prvi put uočene u okolini rude gvožđa agnetita, koja se ponaša kao stalni agnet. Magnetne pojave postoje i u okolini svakog naelektrisanja koje se kreće. Zato je za objašnjavanje osnovnih agnetnih pojava uzeta ala zaišljena strujna kontura nekog naelektrisanja u kretanju (slično kao probno naelektrisanje u elektrostatici). Glavni paraetar strujne konture (svake, pa i probne) je njen agnetni oent: r r Njega čine proizvod struje te električne strujne konture i n orijentisane površine te strujne konture. Površina je orijentisana jedinični vektoro norale: r r n lika. Ako probnu konturu uneseo u agnetno polje, kontura će se postaviti tako da će pravac i ser norale na konturi definisati pravac i ser polja. Ako postavio konturu u neki drugi položaj, javiće se ehanički oent sila koji teži da vrati strujnu konturu u prvobitni položaj: r r r r r M rojni eksperienti pokazuju da aksialni ehanički oent ne zavisi od oblika konture (potrebno je da je ravna i dovoljno alih dienzija), već je: r r r r r r v M ax sin ( n, ) Magnetna indukcija je količnik aksialnog ehaničkog oenta i agnetnog oenta konture: r r M ax r Ovaj je uvek konstantan i jednak za sve probne konture. Zato je taj odnos proizveden u novu fizičku veličinu agnetnu indukciju. 3
Magnetna indukcija r je vektorska veličina (deluje različito u različiti pravcia i serovia oko naelektrisanja koja se kreću). Linije agnetne indukcije u okolini provodnika sa strujo su koncentrične kružnice. Pretpostavlja se da je struja ravnoerno raspoređena po poprečno preseku provodnika. Linije agnetne indukcije su linije na koje je vektor agnetne indukcije uvek tangentan. Linije agnetne indukcije izviru iz severnog (N), a uviru u južni () pol. lika. lika.3 Jedinica za agnetnu indukciju je Tesla [T]. Na pravolinijski provodnik dužine l kroz koji protiče električna struja, koji se nalazi u spoljašnje agnentno polju indukcije r, deluje agnetna sila: r r r F l. Ako se električna struja posatra na nivou naelektrisanja koja se kreću, agnetna sila ože se izračunati kao: r r r F Q v. Ova sila se zove Lorencova sila. 4
Prier Pravolinijski provodnik dužine l, kroz koji protiče stalna električna struja jačine, nalazi se u spoljašnje hoogeno agnetno polju indukcije r. Na njega deluje agnetna sila Fr, sera kao na slici. (Orijentacija provodnika v l uzia se prea seru struje koja kroz njega prolazi.) r r r r r r r π F l sin( l, ) l sin r r r F l F l lika.4. 5
Zadatak Vežbe Na osnovu urađenog priera reši preostale navedene zadatke.. Pravolinijski provodnik, dužine l, sa strujo jačine 0,5 A, nalazi se u hoogeno agnetno polju, indukcije T, i postavljen je noralno na linije polja. Odrediti silu koja deluje na provodnik (njen intenzitet, pravac i ser). Rešenje: F l l F lika.5 Na slici.5 prikazan je pravolinijski provodnik u hoogeno agnetno polju, gledano iz dva ugla. Na slici je prikazan vektor lr, koji ia intenzitet jednak dužini provodnika, pravac koji se poklapa sa pravolinijski provodniko i ser koji se poklapa sa sero prostiranja struje kroz provodnik. ila koja deluje na provodnik je: r r r F l r r r r r r r π F l sin l, l sin F l ( ) 0,5 A T N r Pravac sile, kao rezultat vektorskog proizvoda vektora l i r, noralan je na ravan koju obrazuju ova dva vektora. er sile određujeo prieno nekog od pravila: pravila desne ruke, pravila tri prsta ili pravila desne zavojnice (tj. zavrtnja). Prea pravilu desne ruke ispruženi palac će pokazivati ser vektora (u naše slučaju vektora F r ) dobijenog vektorski noženje dva vektora (l r i r ), ako savijeni prsti pokaziju ser okretanja prvog vektora (l r ) koji bi se on najkraći pute poklopio sa drugi vektoro ( r ). Prea pravilu tri prsta ako palac userio kao prvi vektor (l r ), kažiprst kao drugi ( r ), srednji prst će pokazivati rezultat vektorskog proizvda ova dva vektora (F r ). Po pravilu desne zavojnice ser rezultata vektorskog proizvoda (F r ) poklapa se sa sero kretanja zavojnice, ako bi se ona okretala zajedno sa prvi vektoro (l r ), tako da se najkraći pute poklopi sa drugi vektoro ( r ). 6
dl dl dl F F F lika.6 7
vežba broj. AMPEROV ZAKON U ovoj vežbi: Osnovni pojovi o agnetni aterijalia Materijali sa slabi i jaki agnetni uređenje Magnetno eki i tvrdi aterijali Aperov zakon Magnetizacija aterijala Teorijska Osnova - Osnovni pojovi o agnetni aterijalia vi agnetni aterijali, i prirodni i sintetički, ogu se podeliti prea svo agnetno uređenju na: a) aterijale sa slabi agnetni uređenje, b) aterijale sa jaki agnetni uređenje. MATERJAL A LAM MAGNETNM UREĐENJEM To su : dijaagnetici (relativna agnetna pereabilnost μ r i je neznatno anja od ), paraagnetici (relativna agnetna pereabilnost μ r i je neznatno veća od ). Kod ovih aterijala je zavisnost izeđu agnetne indukcije i jačine agnetnog polja linearna. MATERJAL A JAKM MAGNETNM UREĐENJEM To su: feroagnetici (relativna agnetna pereabilnost μ r i je nogo veća od ), feriagnetici (relativna agnetna pereabilnost μ r i je nogo veća od ), antiferoagnetici (kod njih se eđusobni uticaj doena poništava). Kod ovih aterijala je zavisnost izeđu agnetne indukcije i jačine agnetnog polja nelinearna. 8
lika. 0 lika. H Za prienu u elektrotehnici su najznačajniji fero i feriagnatici. Oni se ogu podeliti i prea svojoj prvobitnoj krivoj agnećenja (vidi na strani 8), na: a) agnetno eke, b) agnetno tvrde. MAGNETNO MEK MATERJAL Ovi aterijali iaju uspravnu krivu prvobitnog agnećenja (jako veliku relativnu agnetnu pereabilnost μ r ). Histerezisna petlja i je uska i uspravna, pa su i histerezisni gubici veoa ali. Prienjuju se u naizenični proenljivi agnetni poljia, za izradu liova za transforatore i električne ašine. MAGNETNO TVRD MATERJAL Ovi aterijali iaju položeniju krivu prvobitnog agnećenja (relativna agnetna pereabilnost μ r i je velika, ali ne kao kod agnetno ekih aterijala). Histerezisna petlja i je položenija i ia veću površinu, pa su i histerezisni gubici veliki. Prienjuju se za izradu stalnih agneta (jer bi priena u naizenično polju bila preskupa zbog velikih histerezisnih gubitaka). H H lika.3 lika.4 9
- Aperov zakon Aperov zakon glasi: irkulacija vektora agnetne indukcije duž zatvorene konture jednaka je proizvodu agnetne pereabilnosti vakuua μ 0 i sue svih struja koje ta kontura obuhvata: r r dl μ0 k μ 0 je agnetna pereabilnost vakuua i vazduha (i još nekih aterijala sa slabi agnetni uređenje): 7 N H μ 0 4π 0 ili [ ] A Aperovi zakono se izračunava vektor agnetne indukcije r. Drugi rečia, Aperovi zakono se posatra doprinos vektora r duž željene konture (putanje). Aperov zakon važi o vakuuu, vazduhu i aterijalni sredinaa sa slabi agnetni uređenje (na prier, paraagneticia). U drugi sredinaa važi uopšteni Aperov zakon: cirkulacija vektora jačine agnetnog polja duž zatvorene konture jednaka je sui svih struja koje ta kontura obuhvata: r r H dl k k k Pri toe je vektor jačine agnetnog polja r H r r M μ 0 gde je M r vektor agnetizacije (vektor gustine agnetnog oenta). Jedinica za jačinu agnetnog polja je A. Jedinica za vektor agnetizacije je A. - Magnetizacija aterijala Kada se neki fero ili feriagnetni aterijal unese u spoljašnje agnetno polje dolazi do agnetizacije tog aterijala. To se objašnjava postojanje doena u aterijalu. U okviru jednog doena su svi agnetni oenti strujnih kontura orijentisani u isto seru, ali su ti serovi različiti za različite doene. Kada se ovakav aterijal unese u polje, postepeno dolazi do naagnetisavanja doena, odnosno do preuseravanja vektora agnetnog oenta u seru spoljašnjeg agnetnog polja. To je okarakterisano prvobitno krivo agnećenja i histerezisno krivo: 0
PRVOTNA KRVA MAGNEĆENJA HTEREZNA KRVA R 0 H _ H 0 H H lika.5 lika.6 Ako aterijal prethodno nije bio Histerezisna petlja karakteriše ponašanje naagnetisan kriva kreće iz koordinatnog nelinearnih agnetnih aterijala u početka. naizenično spoljašnje agnetno zasićenje, kada su svi oenti svih polju. doena orijentisani u seru polja. Kad je postignuto zasićenje ne ože se Dalji povećanje spoljašnjeg polja ne više povećavati indukcija. ože se ništa postići u sislu povećanja Kad se sanjuje intenzitet polja istog indukcije sera indukcija opada, ali sporije nego po prvobitnoj krivoj agnećenja. Kad polje padne na nulu postoji zaostala (reanentna) indukcija R. Kad polje proeni ser i počne da raste u suprotno seru, indukcija u jedno trenutku padne na nulu. Vrednost polja kad je indukcija nula je koercitivno polje H. Kad polje dalje raste u suprotno seru, opet agnetna indukcija ulazi u zasićenje. Ovaj proces se ponavlja za svaki naizenični ciklus. Histerezisna kriva predstavlja nelinearnu zavisnost vektora agnetne indukcije od vektora jačine agnetnog polja, što je slučaj kod nelinearnih aterijala (fero i feriagnetici). Ako je aterijal linearan (na prier, paraagnetici), onda je zbog linearne zavisnosti vektora indukcije od vektora jačine polja proračun nogo jednostavniji: r r r H μ μ H μ 0 r
gde su μ0 - agnetna pereabilnost vakuua, μ - apsolutna agnetna pereabilnost μr - relativna agnetna pereabilnost, Često se i grafik nelinearnog aterijala ože linearizovati u određeno segentu. Tako se pojednostavljuje proračun. μh H lika.7
Zadatak Vežbe Na osnovu urađenog priera reši preostale navedene zadatke.. a) Kolika je agnetna indukcija u tački A, koja se nalazi na rastojanju r A c od beskonačnog pravolinijskog provodnika sa strujo jačine A? b) Ako bi se na rastojanju r A c od provodnika, paralelno sa nji, postavio drugi pravolinijski provodnik dužine l, sa strujo jačine ' A, istog sera kao struja, kolika bi sila delovala na taj provodnik? Da li je ova sila privlačna ili odbojna? r A A Rešenje: dl dl r A A dl r A dl A a) b) lika.8 atraćeo da je struja ravnoerno raspoređena po poprečno preseku provodnika pa su zbog sietrije linije vektora agnetne indukcije kružnice sa centro na osi provodnika, kao što je prikazano na slici.8a. Vektor agnetne indukcije r je u svakoj tački tangentan na ove linije. er vektora r određujeo na osnovu pravila desne ruke, odnosno pravila desne zavojnice u odnosu na ser struje kroz provodnik. Po pravilu desne ruke ako se palac postavi paralelno sa provodniko i ispruži u seru struje, onda ser savijenih prstiju pokazuje ser vektora agnetne indukcije (slika.8b). Po pravilu desne zavojnice, zavojnica postavljena paralelno sa provodniko, kretaće se u seru struje koja teče kroz provodnik, ako se zavrće u seru koji se poklapa sa vektoro agnetne indukcije (slika.9a). Pravilo desne ruke, odnosno zavojnice, koristi se i za određivanje sera vektora, koji je rezultat vektorskog proizvoda dva 3
vektora, sa koji so se sreli kod određivanja sile na provodnik sa strujo koji se nalazi u agnetno polju. a) pravilo desne ruke b) pravilo desne zavojnice lika.9 Radi boljeg razuevanja, na slici.8b prikazan je presek u ravni noralnoj na provodnik (provodnik je noralan na papir, pa su linije vektora agnetne indukcije paralelne sa ravni papira). Na istoj slici pod a) prikazan je pogled sa strane (provodnik je u ravni papira, a linije vektora agnetne indukcije su noralne na papir). Prienio Aperov zakon na konturu koja se poklapa sa linijo agnetnog polja, tj. sa kružnico prikazano na slici.8b. (Konturu na koju prienjujeo Aperov zakon ožeo proizvoljno odrediti, ali je za račun najlakše usvojiti konturu koja se poklapa sa linijo agnetnog polja.) Kružnicu ožeo useriti proizvoljno. Usvojio ser kružnice koji se poklapa sa sero vektora r (slika.8b). Pošto se provodnik nalazi u vazduhu ožeo prieniti Aperov zakon u obliku: r r dl μ0 k. dl je beskonačno ali deo konture, a vektor d r l je useren kao kontura i prikazan je na slici.8b. k predstavlja algebarski zbir struja koje su obuhvaćene konturo, i to: struje čiji je k ser vezan sa sero konture pravilo desne ruke uziaju se sa pozitivni predznako, i obrnuto. U naše slučaju konturo je obuhvaćen sao provodnik sa strujo, čiji je ser vezan sa sero konture pravilo desne ruke, pa je predznak ove struje pozitivan. a slike.8b vidi se da su vektori r i d r l u svakoj tački konture istog pravca i sera, pa je ugao izeđu njih uvek jednak nuli (cos 0 ). Prienio ovu činjenicu na skalarni proizvod ova dva vektora: r r r r dl dl cos, dl dl μ. k ( ) U svi tačkaa na konturi vektor r ia isti intenzitet, pa se intenzitet ovog vektora ože izvući kao konstanta ispred integrala: dl μ 0. 0 4
ntegral dl predstavlja zbir eleentarnih delova dl po konturi, pa je integral upravo jednak obiu konture. Kontura je kružnica poluprečnika r A, pa je obi jednak π r. Konačno je: A 0 Zaenio brojne vrednosti iz zadatka: μ πr π r μ 7 N 4π 0 A π 0 A 0 μ πr 0. A T 0 0 7+ 5 A b) Na slici.0 prikazan je siste ova dva provodnika. U svi tačkaa provodnika sa strujo ', provodnik sa strujo stvara agnetno polje, indukcije koju so izračunali u zadatku pod a). Kao što se vidi sa slike, vektor agnetne indukcije je noralan na provodnik sa strujo '. Pravilo desne ruke ili desne zavojnice određujeo ser sile. Prea zadatku. je: r r r F l r r r F l sin r r ( l, ) F l A 0 r r l -5 sin T 0 Vidio da je u ovo slučaju sila privlačna. Da je ser struje ' suprotan, i sila bi bila suprotnog sera, tj. sila bi bila odbojna. Na osnovu ovoga ožeo zaključiti: ako su struje kroz dva paralelna provodnika istog sera, sila izeđu njih je privlačna, i obrnuto, ako su struje kroz dva paralelna provodnika suprotnog sera, sila izeđu njih je odbojna. -5 π N T A ' r A F l l F r A ' lika.0 5
. Dva beskonačna pravolinijska provodnika postavljena su paralelno jedan drugo na rastojanju d 5 c, u vazduhu. Kroz prvi provodnik protiče stalna struja jačine A, a kroz drugi provodnik protiče stalna struja jačine 0,5 A, prea serovia prikazani na slici (struje kroz provodnike su istih serova). a) Odrediti vektor agnetne indukcije (izračunati intenzitet, a ucrtati pravac i ser) u tački A, koja se nalazi izeđu ova dva provodnika, u ravni koju oni određuju, a udaljena je od provodnika sa strujo za r A 4 c. b) Odrediti vektor agnetne indukcije (izračunati intenzitet, a ucrtati pravac i ser) u tački D, koja se nalazi u ravni koju određuju ova dva provodnika, sa strane provodnika sa strujo, a udaljena je od njega za r D c. c) Da li je sila kojo provodnici deluju jedan na drugi privlačna ili odbojna? Rešenje: d A r A r D D 6
7
.3 Dva beskonačna pravolinijska provodnika postavljena su paralelno jedan drugo na rastojanju d 0 c, u vazduhu. Kroz prvi provodnik protiče stalna struja jačine 3 A, a kroz drugi provodnik protiče stalna struja jačine 4 A. Odrediti tačke u prostoru u kojia je vektor agnetne indukcije jednak nuli, i to u slučaju: a) da su struje u provodnicia istog sera, b) da su struje u provodnicia suprotnog sera. Rešenje: 8
vežba broj 3 3. KALEM U ovoj vežbi: Fluks vektora agnetne indukcije Kale olenoid i torus Torus sa vazdušni jezgro i sa jezgro od feroagnetika Teorijska Osnova - Fluks vektora agnetne indukcije Kao što so u elektrostatici proračunavali fluks vektora elektrostatičkog polja, tako ćeo i u elektroagnetizu proračunavati fluks vektora agnetne indukcije. Fluks se uvek isto proračunava: posatra se koliko linija neke vektorske veličine prolazi kroz zadatu površinu kroz koju tražio fluks. r r Φ d Kod agnetnog polja važi i zakon o konzervaciji fluksa: r r d 0 Prea ovo zakonu fluks vektora agnetne indukcije kroz zatvorenu površinu uvek je jednak 0. Jedinica za agnetni fluks je Veber [Wb]. - Kale Kale je električna koponenta koja se sastoji od naotaja izolovane, provodne žice i deluje kao nogo eleentarnih strujnih kontura zajedno naotanih jedna do druge (to su zavojci naotaja). Postoje različiti kaleovi po obliku (solenoid, torus), a i zavojci ogu biti otani bez razaka (jedan do drugog) i sa razako. vi kaleovi iaju kalesko telo (koje se pravi od dielektričnog aterijala) na koje se ota naotaj (od bakarne žice). Neki kaleovi iaju i jezgro, koje se postavlja kroz kalesko telo (telo je šuplje) i izrađeno je od papira, kartona, feroagnetika... 9
OLENOD TORU N b lika 3. h lika 3. a b olenoid je kale štapićastog oblika koji ia velike gubitke, jer se put agnetne indukcije zatvara kroz vazduh. Zato se oklopljava u kućište. Torus je takoreći idealan kale, jer se ože satrati da je kopletna agnetna indukcija zadržana u njeu (ukoliko je naotaj otan zavojak do zavojka). To znači da nea rasipanja agnetne indukcije. Za svaki kale ože se izračunati agnetna indukcija, jačina agnetnog polja, fluks kroz jezgro i induktivnost. nduktivnost je glavna karakteristika kalea. Ona je različita za razne vrste kaleova. nduktivnost zavisi od oblika i dienzija kalea, broja zavojaka i vrste aterijala od kog je jezgro napravljeno. 0
TORU A VAZDUŠNM JEZGROM TORU A JEZGROM OD FEROMAGNETKA dl H dl μ 0 N μ r N h μ 0 n d h μ r n d a r dr b a r dr b lika 3.3 lika 3.4 Kako ožeo izračunati induktivnost kalea sa jezgro od vazduha ili kartona? prvo Aperovi zakono izračunao agnetnu indukciju kalea: r r dl μ0 k k r r dl cos(, dl ) μ0n 0 b a π r μ N 0 μ0n, a < r < b πr izračunao fluks koji ta agnetna indukcija pravi kroz površinu naotaja: Φ N Φ 0, gde je Φ 0 fluks kroz jedan r zavojak r r r Φ d d cos, n ( ) μ0n μ0n b h dr h ln πr π a μ0n b Φ N Φ 0 h ln π a induktivnost kalea jednaka je količniku izračunatog fluksa i električne struje od koje taj fluks potiče: Kako ožeo izračunati induktivnost kalea sa jezgro od nekog feroagnetika? - prvo uopšteni Aperovi zakono izračunao vektor jačine agnetnog polja u kaleu: r r H dl k k r r ( H, dl ) N H dl cos H πr N N H, a < r < b πr linearno vezo izračunavao agnetnu indukciju u jezgru: N μ H μ0μr, a < r < b πr izračunao fluks koji ta agnetna indukcija pravi kroz površinu naotaja: Φ N, gde je Φ 0 fluks kroz jedan Φ 0 zavojak r r Φ d 0 b a d cos μn μn b h dr h ln πr π a r r (, n )
Φ μ N b L 0 h ln π a Ako torus ia ali poprečni presek on se ože satrati tanki, i da je agnetna indukcija u njeu hoogena (konstantna je po celo poprečno preseku). Tada se u proračunu vrši aproksiacija: l πr, gde je l dužina srednje linije torusa N H l μ 0N l Φ N Φ N 0 Φ L μ 0 N l μ N 0 l μn b Φ N Φ 0 h ln π a induktivnost kalea jednaka je količniku izračunatog fluksa i struje od koje taj fluks potiče: Φ μn b L h ln π a Ako torus ia ali poprečni presek on se ože satrati tanki, i da je agnetna indukcija u njeu hoogena (konstantna je po celo poprečno preseku). Tada se u proračunu vrši aproksiacija: l πr, gde je l dužina srednje linije torusa N H l μn l μn Φ N Φ 0 N l Φ μn L l Kod torusnog naotaja sva agnetna indukcija je koncentrisana u jezgru.to nije slučaj sa drugi kaleovia. Fluks kroz naotaj torusa je fluks vektora agnetne indukcije kroz površinu koja se naslanja na svih N zavojaka torusnog naotaja. er agnetne indukcije r određuje se pravilo desne zavojnice u odnosu na ser struje u naotaju. er jediničnog vektora norale n r određuje se pravilo desne zavojnice u odnosu na ser orijentacije konture. Kada je u pitanju jedan kale uvek su ta dva sera ista: ser orijentacije konture uvek je isti kao ser struje koja protiče kroz konturu (ako struja u konturi postoji). Proističe da se i vektor r i vektor n r određuju pravilo desne zavojnice prea isto referentno seru (seru struje tj. seru orijentacije konture ako nea struje). zato je fluks kroz kale uvek pozitivan i naziva se sopstveni fluks. induktivnost kalea takođe je uvek pozitivna i naziva se sopstvena induktivnost. Jedinica za induktivnost kalea je Henri [H].
Zadatak Vežbe Na osnovu urađenog priera reši preostale navedene zadatke. 3. Pravougaona kontura stranica a c i b 5 c, nalazi se u hoogeno agnetno polju indukcije 0,5 T i postavljena je: a) a) noralno na linije polja, b) pod uglo od π α u odnosu na linije polja. 6 Odrediti agnetni fluks kroz konturu. Rešenje: n n a) b) lika 3.5 Na slici 3.5a prikazana je kontura u hoogeno agnetno polju, koja je noralna na linije agnetnog polja. Magnetni fluks kroz površinu, ograničenu pravougaono konturo je: r r Φ d. d je eleentarni deo površine. Pravac vektora d r poklapa se sa pravce norale na površinu d. Pošto je u pitanju otvorena površina, ser norale nije jednoznačno određen (setio se da so, kada so obrađivali Gausov zakon u elektrostatici, poenuli da je usvojeno da je norala uvek userena iz zatvorene površine). Kod otvorenih površina ser norale određujeo na osnovu sera konture koja ograničava zadatu površnu. U ovo slučaju kontura je kvadrat stranica a i b. Kada je u pitanju provodna kontura sa strujo, ser konture se uvek poklapa sa sero struje. Pošto to ovde nije slučaj, proizvoljno userio konturu, kao na slici 3.5b (na ovoj slici isprekidano linijo predstavljen je udaljeniji deo konture). er vektora norale r n određen je na osnovu usvojenog sera konture prea pravilu desne ruke (zavojnice). Vektor norale r n je vektor čiji je intenzitet jednak, pa je: r d r n d Vidio da je ugao izeđu vektora r n i r jednak nuli. zračunajo skalarni proizod: r r Φ d cos, n d ( ) 3
obziro da je agnetno polje hoogeno, intenzitet vektora r je konstantan, pa ga ožeo izvući ispred integrala: Φ d. ntegral d predstavlja suu svih eleentarnih površina d koje čine površinu, pa je integral jednak površini : - - -4 Φ a b 0,5 T 0 5 0 5 0 Wb. Napoena: Da so usvojili suprotan ser konture dobili biso negativan fluks. b) α π / 6 n π / α π / 3 n a) b) lika 3.6 Kao u prvo delu zadatka userio proizvoljno konturu. Prea ovo seru je odeđen ser norale na površinu. a slike 3.. vidi se da je ugao izeđu vektora r n i r jednak π / π / 6 π / 3. r r π 4 (, n ) d cos d d,5 0 Wb r r Φ d d cos 3. 4
3. Torusni naotaj sa slike se sastoji od N 000 gusto i ravnoerno otanih zavojaka, kroz koje protiče struja jačine,5 A. Unutrašnji poluprečnik torusa je a c, spoljašnji poluprečnik je b 5 c, a visina je h 5 c. a) Odrediti kako se enja agnetna indukcija unutar torusnog naotaja. b) zračunati intenzitet vektora agnetne indukcije u sledeći tačkaa: tački koja se nalazi na unutrašnjoj strani torusa, tački koja se nalazi na srednjoj liniji torusa i tački koja se nalazi na spoljašnjoj strani torusa. c) Odrediti induktivnost torusnog naotaja, prea tačnoj foruli i u slučaju da ga ožeo satrati tanki. Rešenje: a) Jedan način da intuitivno razueo izgled linija agnetnog polja u torusu je sledećii: posatrajo jedan provodni prsten sa stalno strujo jačine, koji je prikazan na slici 3.7a. vaki eleentarni deo provodnog prstena sa strujo stvara oko sebe agnetno polje. uperpozicijo agnetnih polja svih eleentarnih delova provodnog prstena u bilo kojoj tački prostora dobijao ukupno agnetno polje, a linije vektora agnetne indukcije prikazane su na slici 3.7a. Vektor agnetne indukcije je u svakoj tački tangentan na ove linije, a ser je određen pravilo desne ruke (zavojnice) u odnosu na struju kroz prsten, kao što je prikazano na slici 3.7b. a) b) lika 3.7 Zavojke na torusu ožeo aproksiirati prstenovia, poređani jedan do drugog. Magnetno polje u torusu kanalisano je ovi prstenovia, tako da ožeo satrati da agnetno polje postoji sao unutar jezgra torusa, a da izvan torusa nea agnetnog polja. Pošto su zavojci ravnoerno i gusto otani, ožeo zaključiti da su zbog sietrije, linije vektora agnetne indukcije r kružnice sa centro na osi torusa, kao što je prikazano na slici 3.8. er vektora r je određen na osnovu agnetnog polja koje stvaraju prstenovi, kao što je pokazano na slici 3.7b. 5
a b c d μ 0 lika 3.8 r r dl dl cos zaberio jednu kružnicu (kontura ) koja se poklapa sa jedno linijo vektora r, poluprečnika r, orijentišio je proizvoljno (na prier, prea seru vektora r ) i prienio na nju Aperov zakon (u pitanju je torus sa vazdušni jezgro): r r dl μ0 k. a desne strane Aperovog zakona se pojavljuje sua struja koje su obuhvaćene konturo. Ako pogledao sliku 3.8 vidio da je konturo obuhvaćeno N struja jačine i da je ser ovih struja povezan sa sero konture pravilo desne ruke (zavojnice), pa su sve struje sa pozitivni predznako: r r dl μ 0 N. dl je eleentarni deo konture, a vektor d r l je useren kao kontura. Vektori r i d r l su u svakoj tački konture istog pravca i sera, pa je ugao izeđu njih uvek jednak nuli (cos 0 ): r r dl dl cos k r r (, dl ) dl μ N Zbog sietrije, u svakoj tački konture vektor r ia isti intenzitet, pa ga ožeo izvući kao konstantu ispred integrala. ntegral dl predstavlja suu eleentrnih delova kružnice. Ova sua je jednaka obiu kružnice. dl π r μ 0 N μ0n. πr Napoena: Da so usvojili suprotan ser konture, ugao izeđu vektora r i d r l bi bio jednak π ( cos π ): r r (, dl ) dl dl πr. 0. 6
a desne strane, ser struja u ovo slučaju nije povezan sa sero konture pravilo desne ruke (zavojnice) pa su sve struje sa negativni predznako. Konačno je: 0 πr μ N Obe strane jednačine ožeo podeliti sa - i naravno dobijao isti rezultat. b) x D A r E r r D x A xe lika 3.9 Tačka koja se nalazi na unutrašnjoj strani torusa (označio je sa A) nalazi se na kružnici poluprečnika r A a,5 c. U toj tački je, prea izvedenoj foruli za agnetnu indukciju u torusu: A 7 H 4π 0 000,5 A μ0n μ0n πr πa π 3 0 A 0,067 T 6,7 T. Označio tačku koja se nalazi na spoljašnjoj strani torusa sa D. Ova tačka se nalazi na kružnici poluprečnika r b 5 c, pa je agnetna indukcija u toj tački: 7 H 4π 0 000,5 A μ0n μ0n D 0,0 T 0T. πr πb π 5 0 D l sr rednja linija torusa nalazi se u sredini izeđu unutrašnje i spoljašnje strane torusa, pa je poluprečnik srednje linije torusa jednak aritetičkoj sredini unutrašnjeg i spoljašnjeg poluprečnika torusa. Označio tačku koja se nalazi na srednjoj liniji torusa sa E. Tada je: a + b 3 c + 5 c r E 4 c. 7 H 4π 0 000,5 A μ0n μ0n E sr 0,05 T,5 T πr a + b E π 4 0 π Dužina srednje linije torusa je dakle: l sr a + b π Na slici 3.8 prikazan je grafk proene agnetne indukcije unutar torusa. Napoena: Priliko izbora oznaka za tačke izbegli so slova i, koja se koriste za označavanje fizičkih veličina u agnetizu, kako ne bi došlo do zabune. Magnetnu indukciju na srednjoj liniji torusa označili so i sa sr, jer ćeo je kasnije još koristiti. c) Kada kroz naotaj torusa teče struja, ona stvara agnetno polje unutar torusa, kao što so pokazali u prethodno delu zadatka. (Da precizirao, jedan naotaj se sastoji od više zavojaka.) Magnetni fluks kroz jedan zavojak torusa je: r r Φ 0 d, 7
gde je površina poprečnog preseka torusa, kao što se vidi sa slike 3.8, odnosno površina obuhvaćena jedni zavojko. Vektor agnetne indukcije enja se u zavisnosti od udaljenosti od ose torusa. Usvojio da je d površina visine h, a beskonačno ale debljine dr, tako da u svi tačkaa te površine ožeo satrati da vektor r ia isti intenzitet. d h dr Vektor r je noralan na površinu, a ser je vezan sa strujo kroz zavojke pravilo desne ruke (zavojnice) i prikazan je na slici 3.8. Vektor d r ia, kao i do sada, pravac norale, a ser je određen prea seru konture koja ograničava površinu na osnovu pravila desne ruke (zavojnice). er ove konture nije proizvoljan već je određen sero struje kroz zavojak, kao što je prikazano na slici 3.8. Vidio da su vektori r i d r istog pravca i sera, pa je ugao izeđu njih jednak nuli. Prienio ovu činjenicu na skalarni proizvod: Φ r r d r d cos r (, n) d 0. Zbog činjenice da su vektori r i d r uvek istog pravca i sera (jer je ser vektora d r vezan sa sero konture pravilo desne ruke, ser vektora je vezan sa sero struje kroz zavojak pravilo desne ruke, a ser konture usvaja prea seru struje), sopstveni fluks je uvek pozitivan, pa je i sopstvena iduktivnost uvek pozitivna. Prietio da vektor r nije konstantnog intenziteta, kao što je to bio slučaj u prieria do sada, već se enja u zavisnosti od r (slika 3.8). Zaenio u izrazu za agnetni fluks izraze za agnetnu indukciju i površinu d, pri čeu na proenljiva u integralu postaje rastojanje od ose torusa, r, pa će granice integrala biti a i b: Φ 0 b a μ0n h dr πr dr zvucio konstante ispred integrala. Tako dobijao tablični integral, čije je rešenje r ln r, u granicaa od a do b. Na kraju prienio osobinu logaritaa da je razlika logaritaa jednaka logaritu količnika. b μ0nh Φ 0 π a dr r μ Nh b 0 μ0nh ln r π a π ( lnb ln a) μ0nh ln π Fluks Φ 0 je fluks koji struja kroz naotaj torusa stvara kroz jedan zavojak. Torus ia N zavojaka, pa je ukupan sopstveni fluks torusa: μ0nh b μ0n h b Φ NΦ 0 N ln ln. π a π a nduktivnost torusa jednaka je količniku sopstvenog fluksa kroz zavojak i struje kroz naotaj: μ0n h b ln Φ L π a μ0n h b ln π a b a 8
Dakle, tačan izraz za induktivnost torusa sa vazdušni jezgro, sa N naotaja, pravougaonog poprečnog preseka, unutrašnjeg i spoljašnjeg poluprečnika a i b i visine h je: Zaenio brojne vrednosti zadate u zadatku: μ0n h L ln π b a 4π 0 7 H 000 π μ0n h b L ln. π a 4 0 5 0 ln 3 0 5 8ln 0 3 3 H 4, H. Torus ožeo satrati tanki ako su dienzije poprečnog preseka nogo anje od dužine a + b srednje linije, odnosno da je za torus pravougaonog poprečnog preseka b a << π. Ako usvojio da je torus tanak onda ožeo satrati da je vektor agnetne indukcije istog intenziteta po celo poprečno preseku torusa, koji je jednak tačno intenzitetu vektora agnetne indukcije na srednjoj liniji torusa sr, kao što je prikazano isprekidano linijo na slici 3..d. Fluks po jedno zavojku je tada: r r r Φ 0 d d cos, r ( n) d d gde so sada intenzitet vektora agnetne indukcije sr ogli da izvučeo ispred integrala, jer satrao da je konstantan. ntegral d jednak je površini poprečnog preseka. Na dalje je postupak isti: μ0n μ0n Φ NΦ 0 N sr N l l sr sr sr sr sr, Φ L μ0n lsr μ0n l sr Dakle, aproksiativni izraz za induktivnost tankog torusa sa vazdušni jezgro, sa N naotaja, površine poprečnog preseka, bilo kakvog oblika poprečnog preseka, čija je srednja linija dužine l sr je: μ N L 0. l Poprečni presek je pravougaonog oblika, pa je površina poprečnog preseka: a dužina srednje linije je: pa je induktivnost: sr ( b a) h, l sr a + b π, 9
30 ( ) ( ) H 4 H 0 4 0-3 0 5 0 4 0 5 3 000 H 0 4 3 7 0 + + π π π μ a b h b a N L Ako uporedio brojne vrednosti dobijene iz tačnog i aproksiativnog izraza vidio da su odstupanja jako ala, a što je torus tanji, odstupanja su anja.
3.3 Odrediti induktivnost tankog torusnog naotaja kružnog poprečnog preseka,.poluprečnika r 5. Poluprečnik srednje linije torusa je R 0 c. Torus ia N 00 zavojaka. Koliki je sopstveni fluks kroz jedan zavojak torusa, ako je struja kroz naotaj A? Rešenje: 3
3.4 a) Odrediti agnetnu indukciju u solenoidu sa kartonski jezgro, dužine b 5 c. olenoid ia N 0 gusto i ravnoerno naotanih zavojaka žice, kroz koje protiče stalna struja jačine A. Poluprečnik kartonskog jezgra na koje je naotan kale je r c. b) zračunati induktivnost ovog solenoida. Rešenje: 3
3.5 Na torus pravougaonog poprečnog preseka je gusto i ravnoerno naotano N 700 zavojaka, kroz koje protiče stalna struja jačine i stvara agnetno polje indukcije 0,8 T. Jezgro je napravljeno od feroagnetskog aterijala, za koji se, za date uslove, kriva agnećenja ože linearizovati i satrati da ia relativnu agnetnu pereabilnost μ r 00. Pre uspostavljanja struje jezgro torusa je bilo nenaagnetisano. Odrediti ukupan sopstveni fluks, fluks po jedno zavojku, induktivnost torusa i struju kroz naotaj, ako satrao da je torus tanak. Unutrašnji poluprečnik torusa je a 0 c, spoljašnji poluprečnik je b 4 c, a visina je h 5 c. Rešenje: 33
vežba broj 4 4. FARADEJEV ZAKON U ovoj vežbi: Generator jednosernog signala (teorijski odel) Generator naizeničnog (prostoperiodičnog) signala Teorijska Osnova Magnetna polja koja so do sada analizirali bila su stalna jer su posledica konstantne električne struje u vreenu i provodnika sa strujo koji iruje u prostoru. Šta se dešava ako se strujna kontura kreće u spoljašnje agnetno polju? Šta se dešava ako kroz provodnik propuštao vreenski proenljivu električnu struju? ve te pojave se ogu objasniti Faradejevi zakono elektroagnetne indukcije: ndukovana elektrootorna sila, koja se javlja na krajevia provodnika, suprodstavljaju se proeni agnetnog fluksa: dφ e. dt Proena agnetnog fluksa ože nastati ako se kontura kreće u spoljašnje agnetno polju, ako izvor agnetne indukcije poerao u prostoru, ili ako iao vreenski proenljivu električnu struju u provodniku. er indukovane elektrootorne sile određuje se Lencovi pravilo: Ako se agnet približava provodniku, fluks raste. ndukovaće se elektrootorna sila takvog sera koja će se truditi da sanji tu proenu fluksa i da ga održi na početno nivou. e + e + N N lika 4. Ako se agnet udaljava, onda fluks kroz konturu opada. ndukovana elektrootorna sila će biti takvog sera da teži da poveća fluks ne bi li ostao kakav je bio na početku Ako je kontura zatvorena, onda će se osi elektrootorne sile indukovati i električna struja u konturi. er te struje se određuje na isti način kao i ser elektrootorne sile. 34
i e e i N N lika 4. Dinaička indukcija je ona indukcija koja nastaje kada se provodnik kreće u spoljašnje agnetno polju. Za ovakav slučaj indukovana elektrootorna sila se ože proračunavati u neki slučajevia preko forule Faradejevog zakona (gore navedenog), a u svi slučajevia preko izraza: r r r e v dl l ( ) tatička indukcija je onaj tip indukcije kod koje provodnik iruje u spoljašnje agnetno polju, a kroz njega propuštao vreenski proenljivu električnu struju. Jedinica za indukovanu elektrootornu silu je Volt [V]. Postoji nekoliko jako značajnih priena Faradejevog zakona u praksi: generatori jednosernog i naizeničnog signala, koutator, fluksetar... 35
- Generator jednosernog signala (teorijski odel) Teorijski odel generatora jednosernog signala je prototip. Ne koristi se u praksi (nepraktičan je jer je zasnovan na translatorno kretanju). Kako radi ovaj generator? zeđu polova stalnog agneta su postavljene dve paralelne provodne šine. Preko tih šina je položena pravolinijska provodna šipka dužine l. Pod silo tereta šipka se kreće stalno brzino v r (bez trenja) u hoogeno spoljašnje polju agneta. Zbog tog kretanja na šinaa se indukuje razlika potencijala (taj napon se ože izeriti voltetro na krajevia šina). _ + l N v x l v e r r r ( v ) l r r r r r ( v sin ( v, ) l cos( v, ) l π v sin l cos 0 vl Pošto je indukovana elektrootorna sila konstantna, obeležava se veliki slovo: E vl lika 4.3 R + l N v x l v Ako se šine prespoje otporniko, javiće se jednoserna indukovana električna struja. E R lika 4.4 a pojavo struje u kolu javlja se i agnetna sila koja deluje na pokretni provodni štap: r r r F l 36
- Generator naizeničnog (prostoperiodičnog) signala Kako radi generator naizeničnog signala? Naotaj od N zavojaka provodne žice rotira u spoljašnje hoogeno agnetno polju indukcije r. Fluks koji se to priliko r stvara je: r Φ N cos(, n ) N cosα ndukovana elektrootorna sila je onda: dφ d e ( N cos α ) dt dt dα N sin α, dt dα gde je ω ugaona brzina (kružna učestanost). dt dα ω dt α ωt + const U početno trenutku vreena početni ugao je 0: t 0 0 > α const 0 N n 0 α ωt N n α ω lika 4.5 N a α 0 0 lika 4.6 e ωn sinα Konstantni deo ω N E je aplituda ovog sinusnog signala pa je: e E sinωt Ako na krajeve generatora priključio potrošač, kroz njega će proteći indukovana električna struja (koja je sinusnog oblika kao i elektrootorna sila). R i ω N a i e E sinωt R R sinωt lika 4.7 37
Zadatak Vežbe Na osnovu urađenog priera reši preostale navedene zadatke. 4. Na slici su prikazane dve paralelne nepokretne provodne šine u hoogeno agnetno polju indukcije T. Duž šina, noralno na njih, klizi provodna šipka brzino v /s. Rastojanje izeđu šina je l. a) zračunati razliku potencijala izeđu nepokretnih šina. b) Ako se na jedno kraju šine spoje otporniko otpornosti R 00 Ω, a otpornost šina i šipke se ože zaneariti, odrediti ser i intenzitet indukovane struje. c) Šta će se desiti ako šipka proeni ser kretanja, a brzina ostane ista? l N v Rešenje: 38
4. Na slici su prikazane dve paralelne nepokretne provodne šine u hoogeno agnetno polju indukcije 0,5 T. Duž šina, noralno na njih, klizi provodna šipka brzino v 3 /s. Rastojanje izeđu šina je l. Na jedno kraju šine su spojene generatoro elektrootorne sile E V i unutrašnje otpornosti R Ω. Odrediti ser i intenzitet struje u kolu. E R + v Rešenje: 39
vežba broj 5 5. PREGNUT NAMOTAJ U ovoj vežbi: pregnuti naotaji sa stalni strujaa pregnuti naotaji sa vreenski proenljivo strujo olenoid i torus Torus sa vazdušni jezgro i sa jezgro od feroagnetika Teorijska Osnova - pregnuti naotaji sa stalni strujaa Šta su spregnuti naotaji? Kada na isto jezgro naotao dva naotaja kroz koje propuštao električne struje, onda će indukcija koju proizvodi struja u jedno naotaju praviti fluks i kroz površinu drugog naotaja. obrnuto. Takvi naotaji koji utiču jedan na drugi zbog zajedničkog jezgra zovu se spregnuti naotaji. Međusobni fluks je agnetni fluks koji indukcija koja potiče od električne struje u jedno naotaju pravi kroz površinu drugog: Φ N Φ0 r r r b r μn μn b Φ0 d d cos(, n ) h dr h ln πr π a a μnn b Φ hln π a U zavisnosti od ugla izeđu r i r n, ovaj fluks ože biti pozitivan ili negativan. Međusobna induktivnost je količnik eđusobnog fluksa i struje od koje taj fluks potiče: Φ μnn b L h ln π a Međusobna induktivnost, kao i eđusobni fluks (jer direktno zavisi od njega) takođe ože biti pozitivna ili negativna. Može se izračunati i fluks Φ koji indukcija r od električne struje u drugo naotaju,, pravi kroz površinu prvog naotaja: μnn b Φ h ln π a eđusobna induktivnost L je onda: N N 5. 40
Φ μnn b L h ln π a Važno je uočiti da su eđusobni fluksevi za spregnute naotaje različiti (jer ih čine različite struje), a da su eđusobne induktivnosti iste (jer induktivnosti ne zavise od električne struje!!!). Način otanja spregnutih kaleova definisan je koeficijento sprege k, gde je k [ 0, ] Tako se eđusobne induktivnosti ogu izračunati i kao: L ± k L. L - pregnuti naotaji sa vreenski proenljivo strujo Proenljiva agnetna polja su bitna i za rad spregnutih naotaja (transforatora). Ako kroz jedan naotaj propuštao vreenski proenljivu električnu struju, ona će proizvesti vreenski proenljivi agnetni fluks kroz drugi naotaj i indukovaće se elektrootorna sila na krajevia drugog naotaja (elektrootorna sila eđusobne indukcije). Zbog proticanja vreenski proenljive električne struje kroz pojedinačne naotaje stvaraće se vreenski proenljivi fluks, pa će se na njihovi krajevia indukovati elektrootorna sila saoindukcije. Kako se šeatski prikazuju spregnuti naotaji u električno kolu? i k i i k i u L L u u L L u L > 0 L < 0 lika 5. Tačkaa se definiše znak agnetne indukcije: a) ako je eđusobna induktivnost L pozitivna, obe tačke se stavljaju na ulaz naotaja (ili obe na izlaz); b) ako je eđusobna induktivnost L negativna, tačke se stavljaju naizenično, jedna na ulaz, jedna na izlaz; c) ulaz naotaja je kraj naotaja u koji struja ulazi, a izlaz je onaj kraj naotaja iz koga struja izlazi. Važno je ovi tačkaa obeležiti predznak eđusobne induktivnosti, jer se to na šeatsko prikazu inače ne vidi (vidi se sao na realno spregnuto kolu). Prea ekvivalentnoj šei spregnutih naotaja ogu se pisati jednačine po i Kirhofovo zakonu: u + e + e 0... () u + e + e 0... () Pošto i kod vreenski proenljivih električnih struja važi da je induktivnost: Φ L i 4
ove jednačine se ogu napisati i kao: di di u L L 0... () dt dt di di u L L 0... () dt dt 4
Zadatak Vežbe Na osnovu urađenog priera reši preostale navedene zadatke. 5. Dva naotaja su ravnoerno i gusto, jedan preko drugog, naotani na tanko kartonsko torusno jezgru, kao što je prikazano na slici. Prvi naotaj ia N, a drugi N zavojaka. Odrediti sopstvene induktivnosti ovih naotaja, eđusobne induktivnosti i koeficijent sprege. Kartonsko jezgro je pravougaonog poprečnog preseka. Unutrašnji poluprečnik jezgra je a, spoljašnji poluprečnik je b, a visina je h. N N Rešenje: l sr N N ser struje, prea koe se odreduju serovi vektora i d h μ0 ser struje, prea koe se odreduju serovi vektora i d n a b n lika 5.3 Pretpostavio da kroz naotaje teku struje i, prea proizvoljno usvojeni serovia prikazani na slici 5. Kasnije ćeo videti da od serova struja i načina otanja naotaja zavisi znak eđusobne induktivnosti. 43
44 Prea Aperovo zakonu, svaki od naotaja stvara agnetno polje unutar torusa, a agnetne indukcije od pojedinih naotaja su: r N π μ 0, r N π μ 0. erovi vektora agnetnih indukcija prikazani su na slici 5., a određeni su pravilo desne ruke (zavojnice) u odnosu na ser struje kroz odgovarajući naotaj. opstvene induktivnosti pojedinih naotaja izvode se, pod pretpostavko da je torus tanak (tj. da je agnetno polje hoogeno raspoređeno po poprečno preseku torusa). Odredio najpre sopstveni fluks kroz jedan zavojak prvog naotaja: ( ) d d n d d 0, cos r r r r Φ, gde je agnetna indukcija na srednjoj liniji torusa: sr 0 i N μ, a d je eleentarni deo površine (površine poprečnog preseka torusa), pri čeu se pravac vektora d r poklapa sa noralo na površinu d : d n d r r a ser vektora d r je određen prea pravilu desne ruke (zavojnice) na osnovu sera konture koja ograničava površinu, a koji se poklapa sa sero struje. Prvi naotaj ia N zavojaka pa je ukupan sopstveni fluks kroz prvi naotaj: l N l N N N N Φ Φ sr 0 sr 0 0 μ μ, a induktivnost je: l N l N L Φ sr 0 sr 0 μ μ, gde je ( ) a b h. Analogno se određuje induktivnost drugog naotaja, pri čeu je ser vektora d r određen prea pravilu desne ruke (zavojnice) na osnovu sera konture koja ograničava površinu, a koji se poklapa sa sero struje, kao što je prikazano na slici 5.: d n d r r ( ) d d n d d Φ 0, cos r r r r sr 0 i N μ l N l N N N N Φ Φ sr 0 sr 0 0 μ μ l N l N L Φ sr 0 sr 0 μ μ.
Međusobna induktivnost prvog i drugog naotaja, L, određuje se kao odnos ukupnog fluksa Φ koji struja u prvo naotaju,, stvara kroz drugi naotaj i jačine struje u prvo naotaju. Odredio najpre fluks Φ 0 koji stvara struja u prvo naotaju kroz jedan zavojak drugog naotaja. Na slici 5. prikazan je ser vektora r, koji je određen pravilo desne ruke (zavojnice) u odnosu na ser struje. Od ugla izeđu vektora r i d r zavisi znak fluksa Φ 0, odnosno znak eđusobne induktivnosti. U naše slučaju je ugao izeđu ova dva vektora jednak π pa je skalarni proizvod anji od nule ( cos π ): r r r r - Φ d d cos n d d ( ) 0, Drugi naotaj ia N zavojaka pa je ukupan fluks Φ koji struja u prvo naotaju,, stvara kroz drugi naotaj: μ0n μ0nn Φ N Φ 0 N N. lsr lsr Međusobna induktivnost prvog i drugog naotaja je: μ0nn Φ lsr μ0nn L. lsr Prietio da, za razliku od sopstvene induktivnosti, eđusobna induktivnost ože biti i pozitivna i negativna. Pojednostavljeno se ože shvatiti da je eđusobna induktivnost pozitivna ako su vektori agnetnih indukcija r i r, koje stvaraju pojedini naotaji, istog sera kroz svaki od naotaja (odnosno, preciznije rečeno, da je ugao izeđu ovih vektora izeđu π i π ). Onda je eđusobna induktivnost negativna ako su vektori agnetnih indukcija r i r suprotnog sera kroz svaki od naotaja (odnosno, preciznije rečeno, da je ugao izeđu ovih vektora izeđu π i 3π ). U naše slučaju ova dva vektora su suprotnog sera (ugao izeđu njih je π ) pa je eđusobna induktivnost negativna. Da je struja nekog od naotaja suprotnog sera od usvojenog, ili da je neki od naotaja drugačije otan na jezgro, eđusobna induktivnost bila bi pozitivna. Na slici 5.3 pod a i b prikazani su načini otanja naotaja i serovi struja kada je eđusobna induktivnost pozitivna, na istoj slici pod c i d prikazani su načini otanja naotaja i serovi struja kada je eđusobna induktivnost negativna. Međusobna induktivnost drugog i prvog naotaja, L, određuje se kao odnos ukupnog fluksa Φ koji struja u drugo naotaju,, stvara kroz prvi naotaj i jačine struje u drugo naotaju. Odredio eđusobnu induktivnost L na analogan način kao eđusobnu induktivnost L. Odredio najpre fluks Φ 0 koji stvara struja u drugo naotaju kroz jedan zavojak prvog naotaja, pri čeu vodio računa o serovia vektora r i d r : r r r r - Φ d d ( n ) d 0 cos, d Prvi naotaj ia N zavojaka pa je ukupan fluks Φ koji struja u drugo naotaju,, stvara kroz prvi naotaj: μ0n μ0n N Φ N Φ 0 N N l sr l sr Međusobna induktivnost drugog i prvog naotaja je: 45
L Φ μ0n N l sr μ0n N. l Vidio da su eđusobne induktivnosti L i L jednake. Generalno, u linearni sredinaa u agnetno pogledu (kakva je vazduh) u kojia agnetna pereabilnost ne zavisi od struja u konturaa važi: L L. a to će biti slučaj u svi naši zadacia. sr N N N N b) L L > a) 0 N N N N d) L L < lika 5.4 Veza izeđu sopstvenih induktivnosti, L i L, i eđusobne induktivnosti L ože se predstaviti pooću koeficijenta sprege k: L ± k L L. Koeficijent sprege je uvek pozitivan i važi: 0 k. Koeficijent sprege definiše jačinu sprege izeđu posatranih naotaja. Ako je fluks koji jedan naotaj stvara kroz drugi jednak nuli tada su eđusobna induktivnost i koeficijent sprege jednaki nuli. To je slučaj kada su naotaji veoa udaljeni jedan od drugog, ili kada je jedan naotaj izolovan Faradejevi kavezo od drugog. Ako sav fluks koji stvara jedan naotaj prolazi kroz drugi naotaj (nea rasipanja) tada je koeficijent sprege jednak. Odredio koeficijent sprege posatrana dva naotaja: 0 c) 46
47 sr 0 sr 0 sr 0 l N l N l N N L L L k μ μ μ, što je očekivani rezultat, jer sav fluks koji stvara jedan naotaj prolazi kroz drugi naotaj (satrao da nea rasipanja).
5. Na kartonsko jezgru naotana su dva naotaja, zavojak do zavojka, kao na slici. Dužina jezgra je b 3,95 c, poluprečnik poprečnog preseka je r, a broj zavojaka svakog od naotaja je N 00. a) Odrediti induktivnost svakog naotaja. b) Odrediti koeficijent sprege. c) Nacrtati ekvivalentnu šeu veze ako su spojeni krajevi A' i ' i odrediti eđusobnu induktivnost. d) Nacrtati ekvivalentnu šeu veze ako su spojeni krajevi A' i i odrediti eđusobnu induktivnost. e) Nacrtati ekvivalentnu šeu veze ako su istovreeno spojeni krajevi A' i ' i krajevi A i, i odrediti eđusobnu induktivnost. A A' ' Rešenje: 48
5.3 Na kartonsko jezgru naotana su dva naotaja, zavojak do zavojka, kao na slici. a) Nacrtati ekvivalentnu šeu veze ako su spojeni krajevi A' i '. b) Nacrtati ekvivalentnu šeu veze ako su spojeni krajevi A' i. c) Nacrtati ekvivalentnu šeu veze ako su istovreeno spojeni krajevi A' i ' i krajevi A i. A A' ' Rešenje: 49
50
A struje adržaj: 6. PROTOPERODČNE TRUJE... 53 Teorijska Osnova... 53 Zadatak Vežbe... 58 7. OTPORNK U KOLU PROTOPERODČNE ELEKTRČNE TRUJE... 6 Teorijska Osnova... 6 Zadatak Vežbe... 64 Korišćenje osciloskopa... 66 8. KALEM U KOLU PROTO-PERODČNE ELEKTRČNE TRUJE... 7 Teorijska Osnova... 7 Zadatak Vežbe... 73 9. KONDENZATOR U KOLU PROTOPERODČNE ELEKTRČNE TRUJE... 77 Teorijska Osnova... 77 Zadatak Vežbe... 79 0. REDNO RL KOLO... 83 Teorijska Osnova... 83 Zadatak Vežbe... 85. PARALELNO RL KOLO... 9 Teorijska Osnova... 9 Zadatak Vežbe... 95. PRETVARANJE REDNE RL VEZE U PARALELNU... 03 Teorijska Osnova... 03 Zadatak Vežbe... 04 3. NAGE U PROTOPERODČNOM REŽMU... 06 Teorijska Osnova... 06 Zadatak Vežbe... 08 5
5
vežba broj 6 6. PROTOPERODČNE TRUJE U ovoj vežbi: Vreenski proenljive električne struje Aplituda prostoperiodičnih električnih struja Trenutna i početna faza Kružna učestanost Učestanost Period oscilacije rednja vrednost električne struje Efektivna vrednost električne struje Teorijska Osnova Vreenski proenljive električne struje u svako trenutku vreena enjaju intenzitet. i lika 6. Naizenične električne struje su one vreenski proenljive struje koje pored intenziteta povreeno enjaju ser. One ogu biti neperiodične ili periodične, a periodične ogu biti složenoperiodične i prostoperiodične. i t t lika 6. Mi ćeo proučavati sao prostoperiodične električne struje (struje sinusnog i kosinusnog oblika). Ove struje se koriste u elektrotehnici, jer su sao za njih na svi eleentia u kolu (otpornik, kale, kondenzator), oblici napona i struje isti. 53
i t lika 6.3 Grafički prikaz električne struje i napona ia isti oblik u zavisnosti od proene vreena i u zavisnosti od proene faze. Zato se nekad crta grafik i(t), a nekad i(ωt) ( i(t) je u stvari grafik istog oblika kao grafik i(ωt) ). Trenutna vrednost električne struje i je vrednost koju struja ia u neko trenutku vreena. i ψ ω t i ( t ) sin( ω t +ψ ) lika 6.4 Aplituda prostoperiodične električne struje je aksialna vrednost koju struja ože iati (kada je sin ( ωt +ψ ) ) Aplituda je isključivo pozitivna veličina. lika 6.5 Trenutna faza je faza koju ia struja u neko trenutku vreena: ω t + ψ. Početna faza ψ je faza (ugao) koju struja ia u početno trenutku posatranja. Početna faza ože biti i pozitivna i negativna i jednaka 0. 54
i i ψ 0 ω t ψ < 0 ω t lika 6.6 i lika 6.7 ω t ψ > 0 lika 6.8 Kružna učestanost ω je brzina rotacije generatora naizeničnog (prostoperiodičnog) signala: π ω πf T gde je f učestanost (frekvencija) [Hz], T period oscilacija [s], jedinica za kružnu učestanost je rad ili s -. s Period funkcije T je vree za koje se i funkcija počne ponavljati na isti način. Učestanost (frekvencija) f je broj ponavljanja perioda u jednoj sekundi. Obrnuto je srazerna periodu: t f. T Jedinica za učestanost je Herc [Hz]. rednja vrednost električne struje je: sr T rednja vrednost sinusoide je 0, pa je zato i srednja vrednost takvih struja i napona jednaka 0. Efektivna vrednost električne struje je ateatički izraz za srednju kvadratnu vrednost: T 0 T i () t T 0 i dt () t Efektivna vrednost električne struje sinusnog oblika je:. dt T lika 6.9 55
ve ove definicije važe i za napone. u θ ω t u ( t ) U sin( ω t + θ ) lika 6.0 Električne struje i naponi ogu se porediti po aplitudi i po fazi. Prier u(t) u u ω t lika 6. Napon u ia veću aplitudu od napona u. 56
Prier i i ψ ω t ψ lika 6. Fazna razlika izeđu struje i i i je Δ ψ ψ ψ. Važi da je ψ > ψ, pa je i Δψ > 0. Tada kažeo da struja i fazno prednjači struji i za Δ ψ, odnosno da struja i fazno kasni za strujo i za Δ ψ. Za trenutne vrednosti prostoperiodičnih napona i struja važe Oov, i Kirhofov zakon. 57
Zadatak Vežbe Na osnovu urađenog priera reši preostale navedene zadatke. 6. Na slici je prikazan grafik zavisnosti vreenske proene napona izeđu dve tačke u jedno kolu. a) Odrediti aplitudu, efektivnu vrednost, početnu fazu, kružnu učestanost i frekvenciju ovog napona. b) Napisati izraz po koe se enja trenutna vrednost ovog napona. c) Kolika je trenutna vrednost napon u trenutku t 0 s? 5 u [V] -5 0 5 0 5 0 5 30 t [s] -5 Rešenje: a) Vreenski periodične veličine su veličine čije se vrednosti ponavljaju u jednaki vreenski intervalia. Taj vreenski interval naziva se period i obeležava se sa T. Prostoperiodične veličine se enjaju po sinusno zakonu. Mi ćeo proučavati linearne reže sa vreenski prostoperiodični strujaa i naponia. Vrlo je bitno zapatiti da su u pojedinoj ovakvoj reži svi naponi i struje iste frekvencije (pod pretpostavko da su svi generatori iste frekvencije, što će biti slučaj u svi naši prieria). Opšti oblik napona koji se enja po prostoperiodično zakonu je: u ( t ) U sin( ω t + θ ). početna faza [rad] kružna učestanost [ rad ili s s ] Na slici 6.3 obeležene su sve poenute veličine za analizu datog prostoperiodičnog napona. Aplituda prostoperiodične veličine je aksialna apsolutna vrednost koju ože iati ta prostoperiodična veličina. Pošto se prostoperiodične veličine enjaju po sinusno zakonu, čija se vrednost enja izeđu i -, aplituda je vrednost sa kojo se noži sinusna funkcija, a u slučaju prostoperiodičnog napona to je veličina U. Dakle, u opšte slučaju aplitudu obeležavao veliki slovo koje označava prostoperiodičnu veličinu sa ali slovo u indeksu. a slike 6.3 vidi se da je aplituda analiziranog napona: 58 aplituda [V]