UNIVERZITET U ISTOČNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET ELEKTROTEHNIKA 2. redovni profesor dr Slavko Pokorni, dipl. inž. el.

Transcript

1 NIVERITET ISTOČNOM SARAJEV ELEKTROTEHNIČKI FAKLTET redovni profesor dr Slavko Pokorni, dipl. inž. el. ELEKTROTEHNIKA Električne reže sa vreenski proenjivi strujaa Istočno Sarajevo, 05.

2 Sadržaj. OPŠTE JEDNAČINE ELEKTRIČNIH MREŽA SA VREMENSKI PROMENJIVIM STRJAMA Poja proenjive struje Osnovni eleenti u režaa sa vreenski proenjivi strujaa Otpornik Induktivni kale (idealan) Kondenzator (idealan) Kirhofovi zakoni za reže sa vreenski proenjivi strujaa Snaga u režaa sa vreenski proenjivi strujaa Osnovne razlike reža sa vreenski konstantni i proenjivi strujaa.... OSNOVNI POJMOVI O ELEKTRIČNIM MREŽAMA SA PROSTOPERIODIČNIM STRJAMA Osnovni pojovi o periodični i prostoperiodični veličinaa Prostoperiodične veličine Poređenje prostoperiodičnih veličina Srednja i efektivna vrednost Osnovni pasivni eleenti u prostoperiodično režiu Otpornik Kale Kondenzator Rešavanje reža u prostoperiodično režiu u vreensko doenu Predstavljanje prostoperiodičnih veličina pooću obrtnih vektora (fazora) Obrtni vektori austavljeni obrtni vektori Fazorski dijagrai Redna veza otpornika i kalea Redna veza otpornika, kalea i kondenzatora. Rezonansa Paralelna veza otpornika, kalea i kondenzatora. Antirezonansa Snaga u režaa sa prostoperiodični strujaa Trenutna i srednja snaga prijenika Prividna snaga prijenika Faktor snage prijenika Reaktivna snaga prijenika Faktor reaktivnosti prijenika REŠAVANJE ELEKTRIČNIH MREŽA SA PROSTOPERIODIČNIM STRJAMA KOMPLEKSNIM RAČNOM Predstavljanje fazora kopleksni brojevia Kirhofovi zakoni u kopleksno obliku. Ipedansa i aditansa Kopleksna ipedansa i aditansa Rezistansa, reaktansa, konduktansa i susceptansa Određivanje napona izeđu dve tačke Redna, paralelna i ešovita veza prijenika. Ekvivalencija veze prijenika u zvezdu i trougao Redna veza prijenika Paralelna veza prijenika Mešovite veze prijenika Ekvivalencija veze prijenika u zvezdu i trougao Ekvivalencija naponskog i strujnog generatora Metoda konturnih struja u kopleksno obliku... 50

3 3.5. Metoda potencijala čvorova u kopleksno obliku Kopleksna snaga prijenika i generatora Teoree električnih reža u kopleksno obliku Teoree linearnosti Teoree reciprociteta (uzajanosti) Teoree kopenzacije Teorea ekvivalentnog generatora (Tevenenova i Nortonova teorea) Teoree održanja kopleksne i trenutne snage Prilagođenje prijenika na generator (prilagođenje po snazi) Popravka faktora snage ELEKTRIČNE MREŽE SA MAGNETSKI SPREGNTIM GRANAMA Kola sa spregnuti kaleovia Osnovni pojovi o transforatoru u linearno radno režiu Savršeni i idealni transforator Autotransforator TROFANI SISTEMI Osnovni pojovi o onofazni i polifazni eleentia Trofazni eleenti Trofazni generatori Trofazni prijenici Priključivanje prijenika na trofazne generatore Sietrični, direktni i inverzni sistei Analiza trofaznih kola Veza prijenika u zvezdu Veza prijenika u trougao Snage trofaznih generatora i prijenika Prednosti trofaznog sistea nad onofazni Trofazni transforator Obrtno agnetsko polje Osnovni pojovi o obrtno agnetsko polju, sinhroni i asinhroni otoria Dvofazno obrtno agnetsko polje Trofazno obrtno agnetsko polje FREKVENTNE AVISNOSTI Otpornik, kale i kondenzator Redno i paralelno oscilatorno kolo Rezonantne i antirezonantne pojave u složeniji režaa sa jedni paro krajeva Ponašanje realnih eleenata pri visoki učestanostia... 9 LITERATRA

4 ELEKTRIČNE MREŽE SA VREMENSKI PROMENJIVIM STRJAMA. OPŠTE JEDNAČINE ELEKTRIČNIH MREŽA SA VREMENSKI PROMENJIVIM STRJAMA.. Poja proenjive struje tehničkoj praksi se češće koriste reže sa vreenski proenjivi strujaa nego reže sa vreenski konstantni strujaa (na prier, prenos električne energije od elektrane do potrošača). Prenos radio signala, TV signala, signala obilne telefonije, radarskih signala vrši se sao pooću vreenski proenjivih struja, posredstvo elektroagnetskih talasa koje takve struje proizvedu. režaa sa proenjivi strujaa, kao što i ie kaže, struje i naponi se enjaju u funkciji vreena. Te proene ogu biti različite. Pod vreenski proenjivo strujo, za razliku od vreenski konstantne struje (slika.a) podrazueva se struja koja u toku vreena enja: - sao intenzitet (slika.b i e), ili - sao ser (slika.f), ili - jedno i drugo (slika. c i d). Struja prikazana na slici.a je vreenski konstantna (stalna), a sve ostale su proenjive. Standardno je da se stalne veličine označavaju veliki slovo (na prier za struju I), a proenjive ali slovo (i). Postoje različite klasifikacije proenjivih struja. Proenjive veličine se ogu podeliti na: - aperiodične (slike.d) i - periodične (ostale slike osi.a i d. Prea ateatičkoj definiciji, periodične funkcije vreena, f (, su one funkcije za koje postoji pozitivna veličina T takva da za svako t važi f ( t + T ) = f (. Najanja veličina T naziva se (osnovni) period periodične funkcije f (. Funkcije koje nisu periodične, nazivaju se aperiodični. Struje prikazane na slikaa.a b i e iaju uvek isti ser. Takve veličine su jednoserne u šire sislu. Sve ostale struje povreeno enjaju ser i predstavljaju naizenične veličine u šire sislu. Međuti, terini ''jednoserne struje'' i ''naizenične struje'' koriste se u Elektrotehnici i u drugi, uži značenjia. Tako se pod jednoserni strujaa u uže sislu podrazuevaju sao stalne struje. Pod naizenični strujaa u uže sislu podrazuevaju se sao sietrične periodične veličine (slike.c i f). a njih važi f ( t + T / ) = f (, gde je T period. još uže sislu, pod naizenični strujaa se podrazuevaju sao sinusoidalne funkcije vreena (slika.c), koje se nazivaju i sinusni ili prostoperiodični veličinaa. Periodične veličine koje nisu prostoperiodične, ogu se, Furijeovo analizo, predstaviti kao zbir (konačnog ili beskonačnog broja) sinusoidalnih funkcija. ato se takve veličine nazivaju i složenoperiodični. Postoje i druge podele. Na prier, struja sa slike.d se ne ože opisati analitički, a sve ostale ogu, pa se razlikuju analitičke i neanalitičke veličine. eleentarni teorijski razatranjia obično se uziaju veličine čiji je analitički oblik (funkcija vreena) poznat u svako trenutku 4

5 vreena, < t < +. Takve veličine se nazivaju deterinistički. a razliku od njih, u većini praktičnih situacija, naponi i struje su poznati sao u prošlosti, ali ne i u budućnosti, a nazivaju se nedeterinistički ili stohastički veličinaa. ovo predetu, bavićeo se od podpoglavlja. nadalje, uglavno, kolia sa prostoperiodični strujaa i naponia. Na slici. su prikazane sao struje, ali te iste slike ogu predstavljati napone u kolu. Struje i naponi koji su funkcije vreena (slike.b do f) nazivaju se signali. Signal na slici.b naziva se ''podignuta'' sinusoida, na slici.d je prikazan signal koji odgovara ljudsko govoru, na slici.e su unipolarni pravougaoni ipulsi, a na slici.f bipolarni pravougaoni ipulsi. Slika.. Prieri proene struja zavisno od vreena.. Osnovni eleenti u režaa sa vreenski proenjivi strujaa režaa sa vreenski proenjivi strujaa koristi se veliki broj različitih eleenata. Obično se dele na: - aktivne (pretvaraju neku drugu vrstu energije u energiju vreenski proenjivog električnog polja); prier: elektronske cevi, tranzistori; - pasivne (neaju tu osobinu); prier: otpornici, kondenzatori, poluprovodničke diode. režaa sa vreenski proenjivi strujaa ćeo posatrati četiri osnovna eleenta: - generatore (naponske i strujne), - linearne otpornike, - kondenzatore sa linearni dielektriko, - kaleove bez feroagnetskog jezgra (odnosno sa feroagnetski jezgro ali u linearno režiu). Mreže sa takvi eleentia se nazivaju linearne reže. Kasnije ćeo ovi eleentia priključiti i agnetski spregnuta kola (spregnute kaleove) i transfoatore kao prier spregnutih kola. Kao i kod vreenski konstantnih struja i ovde se uvodi poja referentnog sera, ali je ovde sisao drugačiji. a takvu struju (napon) kažeo da je pozitivna u oni intervalia u kojia joj se stvarni ser poklapa sa referentni, a da je negativna u suprotno. isto sislu važe pojovi usaglašeni serovi za napon i struju prijenika i generatora, onako kako su definisani Neki autori usklađeni ser napona i struje generatora, onako kako so ga i definisali, nazivaju neusklađeni. 5

6 kod vreenski konstantnih struja (slika.). a prijenik, dakle, važi da je pozitivan onaj kraj u koji struja ulazi, a za generator onaj kraj gde struja izlazi. Slika.. saglašeni serovi u, i, e za generatore i prijenik Sa stanovišta teorije električnih reža, ponašanje nekog eleenta karakterišeo isključivo vezo izeđu napona koji postoji izeđu njegovih priključaka i jačine struje kroz te priključke. Sada ćeo definisati te veze za osnovne eleente: otpornik, kale i kondenzator.... Otpornik Pod otporniko se podrazueva eleent za koji, u skladu sa referentni serovia (slika.3a) za napon u ( izeđu njegovih priključaka i jačinu struje i( kroz njega važi u ( = R i( gde je R otpornost otpornika, koja je konstanta (ne zavisi ni od priključenog napona, ni od struje koja kroz njega protiče), pa je relacija linearna. Inverzna relacija (istovreeno dualna relacija) glasi i ( = G u(, gde je G provodnost otpornika ( RG = ). Iz relacija se vidi da se napon i struja otpornika uvek enjaju na isti način. Na prier, ako je struja otpornika bipolarna povorka pravougaonih ipulsa (slika.3b), onda je i napon otpornika istog oblika. Slika.3. Otpornik: a) sibol, b) prier napona i struje... Induktivni kale (idealan) Kada u kaleu postoji proenjiva struja, u njeu se indukuje elektrootorna sila. Ta es d ( je, po Faradejevo zakonu, eind ( Φ =, a računa se u odnosu na referentni ser struje. Kako je dt u ( t ) = e ind ( t ) (zbog referentnih serova sa slike.4a) i Φ ( t ) = Li( (gde je L induktivnost kalea, koja je konstanta), dobijao relaciju izeđu napona i struje idealnog kalea, di( u( = L dt (prea referentni serovia kao na slici.4a). Gornja relacija važi ako indukovano električno polje postoji sao u kaleu (izvan kalea B = 0 i E ind = 0 ), a specifična provodnost žice kalea veoa velika, tj. ako je napon izeđu priključaka kalea isti duž bilo koje putanje van kalea. 6

7 Drugi rečia, kod računanja napona kalea zaišljao da putanja integracije prolazi pored kalea (a ne kroz kale), kao što je crticaa označeno na slici.4a. Veza izeđu napona i struje kalea je linearna diferencijalna jednačina. Ova relacija je jednoznačna: ako je poznata struja, napon je potpuno određen. Inverzna relacija je nejednoznačna i glasi i ( = u( dt + I0, L gde je I 0 integraciona konstanta. Drugi rečia, ako je napon kalea poznat, struja je određena sa tačnošću do aditivne konstante. Ta konstanta se, pri rešavanju kola, određuje na osnovu nekog dodatnog uslova; na prier, na osnovu poznate jačine struje u jedno trenutku vreena (početni uslov). Napon kalea je, dakle, srazeran prvo izvodu struje po vreenu. Obrnuto, struja je srazerna integralu napona. opšte slučaju, stoga, napon i struja kalea se ne enjaju na isti način, tj. funkcionalno nisu dati isti izrazia. Kao prier, na slici.4b, pretpostavljeno je da je struja kalea bipolarna povorka trougaonih ipulsa. Napon kalea ia tada oblik bipolarne povorke pravougaonih ipulsa...3. Kondenzator (idealan) Slika.4. Kale: a) sibol, b) prier napona i struje Opterećenost kondenzatora je srazerna naponu, Q ( = Cu(, gde je C kapacitivnost kondenzatora. Opterećenost se računa u odnosu na referentni ser struje. Pri toe je naelektrisanje gornje elektrode kondenzatora jednako opterećenosti, Q (, a naelektrisanje donje elektrode je uvek suprotno, Q(, slika.5a. Kada je napon kondenzatora proenljiv, enja se i njegova opterećenost, a u provodnicia kondenzatora postoji struja du( i( = C dt 7 i dq( dt ( =. Odavde sledi relacija (prea referentni serovia kao na slici.5a), koja je dualna relaciji za kale (struja i napon su zaenili esta). ato su i ostali rezultati za kale i kondenzator dualni. Nagoilano naelektrisanje postoji, po pretpostavci, sao u kondenzatoru, ali je ukupno naelektrisanje njegove dve elektrode jednako nuli. Da bi jednačina kontinuiteta, prienjena na zatvorenu površ, dala prvi Kirhofov zakon, J ds = 0, ta površ ne se proći izeđu elektroda S kondenzatora, odnosno treba da zaobiđe zatvorenu površ označenu na slici.5a. Veza izeđu struje i napona je linearna diferencijalna jednačina. Ova relacija je jednoznačna: ako je poznat napon, struja je potpuno određena. Inverzna relacija je integralna i glasi u ( = i( dt + 0 C,

8 gde je 0 integraciona konstanta. Dakle, ako je struja kondenzatora poznata, napon je određen sa tačnošću do aditivne konstante (koja se ože odrediti, na prier, iz početnog uslova). Na slici.5b je pretpostavljeno da je napon kondenzatora bipolarna povorka trougaonih ipulsa. Struja kondenzatora ia tada oblik bipolarne povorke pravougaonih ipulsa. Slika.5. Kondenzator: a) sibol, b) prier napona i struje.3. Kirhofovi zakoni za reže sa vreenski proenjivi strujaa Neka se električna reža sastoji od proizvoljnog broja eleenata i stanje u reži se ože satrati kvazistacionarni (kvazistacionarnost detaljnije objašnjavao u odeljku.5), tada za svaki čvor reže, u svako trenutku, važi I Kirhofov zakon (I K) n k= i ( = 0 k gde je n broj grana koje se stiču u čvoru. Ako je referentni ser struje od čvora, u zbiru se uzia predznak +, a ako je ka čvoru -. Može se postaviti ( n č ) linearno nezavisnih jednačina. Posatrajo deo neke električne reža, kao na slici.6. Eleenti reže ogu biti generator (strujni i naponski), otpornik, kale, kondenzator i bilo koji drugi eleenti (pa na slici.6 nisu korišćeni siboli za R, L, C). Pošto su eleenti takvi da se izvan njih zapaža sao kvazistacionarna koponenta električnog polja, napon izeđu krajeva eleenata jednak je razlici potencijala izeđu tih krajeva, pa je napon (razlika potencijala) izeđu bilo koje dve tačke A i B u reži u AB ( = { u( } od A do B Pri suiranju, pri kretanju od A ka B duž grane, predznak + se uzia ako se prvo naiđe na referentni kraj, u suprotno se uzia -. a prier na slici.6. za napon izeđu tačaka A i B računat duž putanje ACEDB (dakle idući od A ka B) je ( = u ( + u ( u ( u ( u AB 3 4 Ako se napon računa isto putanjo, ali idući od B ka A, koristi se relacija u AB ( = { u( } od B do A ali se sada predznak + uzia ako se prvo naiđe na kraj koji nije referentni, u suprotno se uzia -. a isti prier na slici.6. za napon izeđu tačaka A i B računat duž putanje BDECA (dakle idući od B ka A) je Ako stanje nije stacionarno, površina koja obuhvata čvor ora biti vrlo ala. 8

9 što je isti rezultat kao i prethodni. ( = u ( u ( + u ( u ( u AB 4 3 Slika.6. z objašnjenje računanja razlike potencijala Ako se tačke A i B poklope, napon izeđu njih je jednak nuli n k= u k ( t ) = 0 što predstavlja II Kirhofov zakon (II K), koji važi za svaku zatvorenu konturu 3 foriranu od grana reža, u svako trenutku. Predznaci se uziaju na način kao kada se računa razlika potencijala tačaka A i B, ali idući od tačke B ka tačci A, odnosno ako se ser obilaska konture i ser napona 4 poklapaju uzia se predznak +, u suprotno - (referentni ser napona je od kraja označenog sa - prea kraju označeno sa + ). Može se postaviti n k = n g ( n č ) linearno nezavisnih jednačina. Na prier, jednačina po II K za konturu ACDBEA je: u ( + u ( + u ( u ( + u ( = Na isti način bi postupali ako bi iali poznate eleente (R, L, C) u granaa. Na prier za režu na slici.7, II K za konturu sa pet grana je ( + se uzia ako se prvo naiđe na kraj koji nije referentni) 5 k= u k ( u ( + u ( + u ( + u ( = 0 ( = e R L R Ovi jednačinaa treba pridružiti relacije izeđu struja i napona grana. Te relacije iaju različite oblike, zavisno od eleenata grane. Najjednostavniji slučajevi su idealni generatori (naponski i strujni) i otpornici. Tada su relacije opet jednostavne algebarske jednačine. Međuti, kod kaleova i kondenzatora, kao što so videli u odeljcia.. i..3, jednačine koje opisuju te eleente su diferencijalne jednačine prvog reda (sa konstantni koeficijentia). Alternativno, kaleovi i kondenzatori se ogu opisati integralni jednačinaa, ali se takav postupak retko prienjuje u praksi zbog integracionih konstanti. Prea toe, prethodna relacija se ože napisati u obliku: e ( R i ( ( di R + L + R ir C C dt C ( + i ( dt + 0 = Može se uočiti da ovde, za razliku od reža sa vreenski konstatntni strujaa ne dobijao siste linearnih algebarskih jednačina, jer se pored saih struja pojavljuju i njihovi izvodi i integrali po vreenu, pa rešavanje nije jednostavno. C 0 3 Važi za kvazistacionarna polja, inače postoji indukovana es u provodniku. 4 Ser napona je od - ka +, kao kod es. 9

10 Vreenska proena struje i napona ože biti, teorijski bilo kakva. Najjednostavniji ali i najvažniji slučaj je kada se napon i struja enjaju na jedan ustaljen način, na prier po prostoperiodično (sinusno) zakonu. Takvo stanje se naziva ustaljeno stanje. Slika.7. z objašnjenje pisanja jednačina po II K za kolo proenjivih struja Drugi, praktično važan, slučaj je proena napona i struja priliko proene radnog režia (uključivanje generatora prostoperiodične struje u režu ili isključivanje iz reže). Tada dolazi do postepenog uspostavljanja ili isčezavanja struje. Proces je obično brz, ali nije trenutan. Isto se događa i pri uključivanju ili isključivanju generatora vreenski konatantne es. Određivanje napona i struje u ovo slučaju je znatno složenije od analize ustaljenog stanja. Ovakva stanja se nazivaju prelazni procesi (režii). Dakle, reža se ože opisati sisteo algebarskih jednačina i linearnih diferencijalnih jednačina. Da bi se rešavanje pojednostavilo, videćeo da, ako u kolu postoji prostoperiodični reži (kada su svi naponi i sve struje prostoperiodične funkcije iste učestanosti), zadatak rešavanja kola je određivanje efektivnih vrednosti i početnih faza napona i struja, što je znatno jednostavnije..4. Snaga u režaa sa vreenski proenjivi strujaa Posatrajo bilo kakav prijenik sa dva kraja (priključka), priključen na napon u (. Neka je i ( jačina struje kroz priključke prijenika (slika.8a). intervalu vreena dt kroz prijenik prođe količina elektriciteta dq ( = i( dt. Prea definiciji napona, u to intervalu dt električne sile su izvršile rad ( u t i t da el. sila = 0 ( ) ( )dt pa je trenutna vrednost snage prijenika (snaga prijenika u to trenutku, snaga prijenika je brzina vršenja rada), za referentne serove kao na slici.8a, p ( = u ( i( kupna energija koja se predaje prijeniku od nekog trenutka t0 do nekog kasnijeg trenutka t dobija se kao zbir (odnosno integral) radova električnih sila u to vreensko intervalu A el. sila od t0 do t t = t 0 u ( i( Posatrajo idealni generator vreenski proenjive es ili struje (slika.8b). Trenutna vrednost snage generatora (tj. snaga koju generator predaje ostatku kola), za referentne serove kao na slici.8b, je pg ( = u g ( i ( g dt

11 a) b) Slika.8. saglašeni serovi za napon i struju: a) za prijenik, b) za generator Rad generatora od trenutka t0 do nekog kasnijeg trenutka t je A gen. od t 0 do t = t t 0 u g ( i ( Svi izrazi važe za referentne serove kao na slikaa.8a i b. Ako se proeni referentni ser za napon ili struju, izrazi dobijaju predznak -. slučaju vreenski proenjivih struja, p g ( i p( ogu u toku vreena biti pozitivni i negativni. bog toga i rad generatora i rad električnih sila pri održavanju struje kroz prijenik ogu u neko intervalu biti bilo pozitivni bilo negativni. z usvojene referentne serove, u intervalia vreena kada je snaga prijenika negativna ( p ( < 0 ), on se ponaša kao generator, tj. deo ranije dobijene energije vraća reži. intervalia kada je p ( > 0, prijenik se zaista ponaša kao prijenik. Prier.. Kondenzator kapacitivnosti C priključen je na napon u (, slika.9a. Napon u ( se enja kao na slici.9b (isto kao na slici.5b). Na osnovu opšte relacije koja povezuje struju du i napon kondenzatora ( ) ( i t = C, i poznatog zakona proene napona, ože se odrediti dt zakonitost proene struje kroz kondenzator (slika.9b). Na osnovu relacije za snagu p ( = u( i(, lako se nacrta i grafik proene snage (slika.9b). g dt Slika.9. Kondenzator: a) usaglešeni serovi za napon i struju, b) grafici napona, struje i snage intervalia u kojia je p ( < 0, energija iz kondenzatora se vraća reži u kojoj je kondenzator uključen. Iz tog razloga se kondenzator naziva reaktivni eleent. Ista je situacija i sa kaleo.

12 .5. Osnovne razlike reža sa vreenski konstantni i proenjivi strujaa Kod analize reža sa vreenski konstantni strujaa, videli so da se one sastoje od dva osnovna eleenta: generatora (naponskog i strujnog) i otpornika, koji su eđusobno, na proizvoljne načine, povezani provodni žicaa čija je otpornost ili zanearivana ili uračunata u otpornost grane. Na kraju so dodali i treći eleent, kondenzator, a ovde i kale, koji so obrađivali u elektroagnetizu. režaa sa vreenski proenjivi strujaa koristi se veliki broj različitih eleenata. Kod proenjivih polja se javljaju efekti koji ne postoje kod vreenski konstatnih struja: - kroz priključke kondenzatora ože postojati proenjiva struja, iako kroz kondenzator ne postoji galvanska veza izeđu priključaka (u vreenski konstatntni strujaa kondenzator se ponaša kao otvorena veza, tj. stalna struja ne teče kroz kondenzator); - u poslednje poglavlju elektroagnetiza je pokazano da su vreenski proenjive struje uvek praćene vreenski proenjivi indukovani električni polje, koje u provodnicia koji se u njeu nalaze, indukuju elektrootornu silu (es). Posredstvo tog indukovanog električnog polja postoji sprega izeđu grana reže, koja zavisi od oblika grana i njihovog eđusobnog položaja. bog toga jačine struja grana zavise, u izvesnoj eri, od geoetrijskog oblika reže. To usložnjava analizu ovih reža; - elektroagnetska indukcija (pojava es u provodnoj konturi) nije uslovljena postojanje konture, jer je svako proenljivo agnetsko polje praćeno proenjivi električni polje, i obratno. Tie se objašnjava pojava elektroagnetskih talasa (EMT). vezi sa ti je konačna brzina postiranja EMT (najveća brzina je brzina svetlosti) i pojava kašnjenja. Prier.. a geostacionarni satelit na visini oko k iznad površi elje, vree potrebno da EMT sa elje stigne do satelita je l 30000k t k = = = 0, s c 5 k 3 0 s a telefonsku vezu ukupno kašnjene je 0, s u seru od jednog do drugog pretplatnika posredstvo satelita, što se priećuje u razgovoru. Proenjiva polja se dele u dve grupe izeđu kojih ne postoji oštra granica. Prva grupa su polja koja se enjaju dovoljno sporo da se efekti prostiranja ogu zaneariti. To su sporoproenjiva ili kvazistacionarna (kvazistatička) polja. Takva polja, odnosno stanja, ćeo izučavati u elektrotehnici. Druga grupa su brzoproenjiva polja (pojava kašnjenja se neože zaneariti), gde spadaju i EMT. Prier.3. Posatrajo prostoriju dužine l = 6, i polje elektroinstalacija f = 50Hz Vree prostiranja elektroagnetskog polja je l 6 9 t k = = = 0 0 s = 0ns. Period (ciklus) ovog polja c 5 k 3 0 s T = = = 0,0s = 0s >> t k, odnosno t k << T pa je polje kvazistacionarno (ili preko talasne f 50s c dužine λ = = 6000k >> l ). f

13 Prier.4. a distributivnu režu elektroenergetskog sistea na teritoriji l = 3000k l 3000k t k = = = 0 s = 0s T = 0s c 5 k, pa stanje nije kvazistacionarno (u ovo slučaju 3 0 s λ = 6000 k = l ). Prier.5. prostoriji dužine l = 6 posatrajo EMT radio i TV prijenika, na prier FM radio prijenika f = 00MHz ( λ = 3 l ), ili t k = 0 ns T = 0ns pa je ovo polje brzoproenjivo. Prea toe periodično polje je kvazistacionarno ako su dienzije prostora (doena) u koe se polje posatra nogo anje od talasne dužine ( λ << l ) ili polje je kvazistacionarno ako u je period nogo veći od najvećeg vreena kašnjenja u posatrano doenu ( t k >> T ). Na kraju još da konstatujeo: - opšte jednačine reža sa vreenski proenjivi strujaa razlikuju se od jednačina za reže sa vreenski konstantni strujaa. Može se govoriti sao o trenutni vrednostia es, napona, struje i snage, tj. vrednostia tih veličina u neko trenutku, - jednačine iz kojih treba izračunati struje grana sadrže izvode i integrale struja po vreenu, pa je računanje složeno. Međuti, u slučaju prostoperiodičnih generatora iste učestanosti jednačine je oguće svesti na foralno isti oblik kao u slučaju vreenski konstantnih struja. nastavku ćeo se baviti upravo etodaa za rešavanje takvih reža. 3

14 . OSNOVNI POJMOVI O ELEKTRIČNIM MREŽAMA SA PROSTOPERIODIČNIM STRJAMA.. Osnovni pojovi o periodični i prostoperiodični veličinaa Pod vreenski periodični veličinaa podrazuevaju se veličine čije se vrednosti u jednaki vreenski razacia ponavljaju. Na prier periodični napon (slika.). Neka je T (naziva se period ili ciklus) interval vreena posle koga se vrednosti ponavljaju. Mateatički periodična funkcija f (, očigledno, ora da u bilo ko trenutku t zadovoljava uslov f ( t + nt ) = f (, n =..., -,-,,,... Slika.. Prier periodične proene napona Period T se izražava u sekundaa (s). toku jednog perioda posatrana veličina izvrši sve svoje proene (koje se zati periodično ponavljaju), ili se kaže da je izvršen jedan ciklus. Tako period predstavlja dužinu trajanja jednog ciklusa periodične funkcije. Neka je t N vree za koje periodična funkcija izvrši N potpunih ciklusa. Odnos naziva se učestanost (frekvencija) periodične funkcije. Ako je N=, onda je t = T, pa je f = N / t f = T Ova relacija daje vezu učestanosti i perioda. čestanost je brojno jednaka broju ciklusa periodične funkcije u jedinici vreena, i ne ora biti ceo broj. Izražava se u hercia (Hz), koji predstavlja = s. Na prier učestanost struje gradske reže u Evropi je 50 Hz, a u Severnoj s Aerici 60 Hz. Opseg učestanosti signala govora je od 0 Hz do 0 khz, EMT u radiodifuziji je 50 khz do 00 MHz, TV kanala 50 MHz do 000 MHz, veza preko satelita 4 do 5 GHz. elektrotehnici najvažniju ulogu iaju periodične veličine koje se enjaju po sinusno ili kosinusno zakonu. Pošto su ateatički najjednostavnije dobile su naziv prostoperiodične funkcije. Kako so kod definicije poja proenjive struje naveli, sve ostale periodične funkcije se nazivaju periodične ili složenoperiodične da bi se istakla razlika. Razatraćeo prostoperiodične struje i napone. Tada je analiza prostija nego za neku drugu periodičnu proenu struja. N 4

15 .. Prostoperiodične veličine Na slici. su prikazane sinusna funkcija ( y = sin x ) i kosinusna funkcija ( y = cos x ). Mateatički, arguent obeju funkcija (x) je čist broj, a predstavlja ugao izražen u radijania (rad). Ove funkcije su periodične, sa osnovni periodo π. Obe funkcije su ograničene po odulu ( y, odnosno y ), tj. aksiui su, a iniui -. Maksiui i iniui se javljaju alternativno, sa periodo π. Obe funkcije iaju nule koje se ponavljaju sa periodo π. Sinusna funkcija je neparna, a kosinusna parna. Izeđu sinusne i kosinusne funkcije postoje, izeđu ostalih, veze sin x = cos( x π / ) i sin x = cos( π / x). Prva od tih veza će na biti važnija jer ukazuje na to da se sinusna funkcija ože dobiti od kosinusne poeranje duž x-ose (translacijo) za četvrtinu perioda ( π / ) udesno. I obrnuto, kosinusna funkcija se ože dobiti translacijo sinusne za četvrtinu perioda ulevo. Slika.. Sinusna i kosinusna funkcija Elektrotehnici se pod prostoperiodično strujo (slika.3) podrazueva struja (i) koja je u, funkciji vreena (, data analitički izrazo i ( = I cos( ωt + ψ) (*) gde su I, ω i ψ konstante. Ova jednačina je kanonični oblik prostoperiodične struje 5. jednačini (*), i ( je trenutna jačina struje (trenutna vrednos. Konstanta I ( I > 0 ) naziva se aplitudo prostoperiodične struje. Aplituda je ista po prirodi kao i trenutna vrednost, pa su i i jedinice iste (aper). bog ograničenosti kosinusne funkcije, aksialna trenutna vrednost jednaka je I, a inialna I, odnosno I i( I. Arguent kosinusa u jednačini (*) je linearna funkcija vreena ( ), a naziva se fazo (trenutno fazo). Mateatički, to je neienovani broj, odnosno odgovara uglu izraženo u radijania (rad). a t = 0, faza je jednaka ψ, a naziva se početno fazo. Početna faza se izražava u radijania. S obziro na periodičnost funkcije (*), početna faza je određena sa tačnošću od kπ, gde je k ceo broj ( k = 0, ±, ±,... ). Stoga se početna faza svodi na interval čija je širina π, najčešće na π < ψ π, odnosno ψ ( π, π]. Ako početna faza nije u to intervalu ože se svesti na taj interval. Prier.. Neka iao prostoperiodičnu struju i ( = I cos( ω t + 7,π ). Taj izraz se ože napisati i u obliku i ( = I cos( ω t + 8π 0,9π ), odnosno i ( = I cos( ω t 0,9π ). ωt + ψ 5 Alternativno, za kanonični oblik se ože usvojiti i ( = I sin( ωt + ψ), što se koristilo u starijoj literaturi. Otuda naziv sinusna struja. 5

16 Početna faza, očigledno, ože biti pozitivna ili negativna. očiti da slika.3 odgovara slučaju ψ > 0, a da je aksiu funkcije (*) koji je najbliži koordinatno početku 6 apscisne ose u trenutku t = ψ / ω. (Ako je ψ > 0, taj aksiu je levo od koordinatnog početka, ako je ψ < 0, taj aksiu je desno od koordinatnog početka, a ako je ψ = 0, aksiu je u koordinatno početku.) Konstanta ω ( ω > 0) predstavlja brzinu kojo se faza enja, a naziva se kružno (ili ugaono) učestanošću. Jedinica kružne učestanosti je s ili, ekvivalentno, rad/s. Period prostoperiodične veličine je T = π / ω. Recipročna vrednost perioda je frekvencija (učestanos, f = / T, a ože se protuačiti kao broj perioda u jedinici vreena. Jedinica frekvencije je herc (Hz). Izeđu kružne učestanosti i ''obične'' učestanosti postoji relacija ω = πf. Slika.3. z definiciju prostoperiodične funkcije Posatrajo šta se dešava sa prostoperiodično funkcijo (*) ako se proeni sao jedna od konstanti I, ω i ψ slika.4). aislio jedan skup tih konstanti. Njeu odgovara funkcija označena sa I cos( ωt + ψ) na slici.4. Slika.4. ticaj pojedinih paraetara na prostoperiodičnu funkciju Ako se aplituda poveća dva puta, dobija se funkcija označena sa I cos( ωt + ψ ), čije se ekstrene vrednosti dobijaju noženje faktoro ekstrenih vrednosti funkcije cos( ωt + ψ) I. 6 Na apscisu se ože naneti proizvod ω t uesto vreena t. Tada je period T odgovara uglu π, a aksiu najbliži koordinatno početku je za ωt = ψ. Ako se na apscisu nanosi proizvod c t onda jedan period T odgovara talasnoj dužini λ. 6

17 Ako se kružna učestanost poveća dva puta (ekvivalentno, ako se učestanost poveća dva puta, odnosno period sanji dva puta), dobija se ''gušća'' sinusoida, označena sa I cos(ωt + ψ). Obrnuto, sanjivanje kružne učestanosti sinusoida se ''razređuje''. Najzad, ako se početna faza poveća za ψ (konkretno, sa π / 6 na π / 3, odnosno ψ = π / 6 ), grafik funkcije se poera ulevo za ψ / ω, što odgovara funkciji označenoj sa I cos( ωt + ψ). Obrnuto, sanjivanje početne faze poera grafik udesno. Iako su sve definicije navedene za struju, one važe i za druge linearne veličine u kolu, kao što je napon. Kanonični oblik prostoperiodičnog napona je u ( = cos( ωt + θ), (**) gde je aplituda napona (izražava se u voltia), ω kružna učestanost, a θ početna faza. Oznake početnih faza napona i struje se razlikuju iz operativnih razloga. a elektrootornu silu koristićeo izraz e( = E cos( ω t + θe) Ako su u neko električno kolu svi naponi i sve struje prostoperiodične funkcije iste učestanosti, kaže se da u kolu postoji (ustaljeni) prostoperiodični reži. (Aplitude struja i napona su pri toe proizvoljne, kao što su i početne faze proizvoljne.) Takav reži nastaje u linearnoj reži (kolu) 7 pod dejstvo prostoperiodičnih eksitacija (naponskih i strujnih generatora) istih učestanosti. Kada budeo analizirali kola u prostoperiodično režiu, iplicitno ćeo podrazuevati da je učestanost (odnosno kružna učestanos poznata. to slučaju, svaka prostoperiodična veličina (napon, struja) je potpuno određena svojo aplitudo i početno fazo..3. Poređenje prostoperiodičnih veličina Posatrao prostoperiodičan reži u neko kolu. Dve prostoperiodične veličine iste prirode, na prier, dva napona u toe kolu, u ( = cos( ωt + θ) i u ( = cos( ωt + θ), ogu se porediti po aplitudi i po fazi (slika.5). Kod poređenja po aplitudi, za napon čija je aplituda veća, kažeo da je veći, iako se izeđu njihovih trenutnih vrednosti ne ože uspostaviti relacija koja bi važila nezavisno od vreena. Konkretno, na slici.5 je = 0, 7, pa je > i za napon u kažeo da je veći od napona u, iako je u neki trenucia vreena u ( > u(, a u neki u ( < u(. Kod poređenja po fazi, uvodi se razlika faza (fazna razlika), θ = ω + θ) ( ωt + θ) ( t = θ θ. Ta razlika, očigledno, ne zavisi od vreena, a jednaka je razlici početnih faza (ako je kružna učestanost ista). Pošto svaka početna faza ože biti u poluzatvoreno intervalu ( π, π], ovako izračunata razlika faza ože biti u poluzatvoreno intervalu ( π,π]. Međuti, zbog periodičnosti funkcija u ( t ) i u ( t ), razlika faza se svodi na interval širine π, najčešće na ( π, π], tj. π < θ π. Ako je θ > 0, proene u ( t ) prednjače proenaa napona u ( t ). Na prier, aksiui napona u ( t ) nastaju pre aksiua napona u ( t ). Kaže se da tada napon u ( t ) fazno prednjači naponu u ( t ) za θ. To je konkretno slučaj na slici.5 jer je za nju uzeto θ = π / 6 i θ = π / 4, pa je 7 Kako so ranije rekli, za režu (kolo) se kaže da je linearna ako se sastoji od idealnih (nezavisnih) naponskih i strujnih generatora i linearnih pasivnih eleenata (otpornika, kaleova i kondenzatora). 7

18 θ = 5π /. Slično, sinusna funkcija je kosinusna funkcija zakašnjena za π /, tj. sinα = cos α π /. Nacrtajte sai takav prier za struje, napon, ili struje i napon. ( ) Ekvivalentno toe, kaže se da napon u ( t ) prednjači (u vreenu) naponu u ( t ) za θ / ω. Sinusoida na slici.5 koja predstavlja u ( t ) poerena je ulevo u odnosu na sinusoidu koja predstavlja u ( t ). a tu istu situaciju, kaže se da napon u ( t ) fazno zaostaje (kasni) za napono u ( t ) za odnosno napon u ( t ) kasni za napono u ( t ) za θ / ω. Ako je θ < 0, onda napon u ( t ) fazno zaostaje za napono u ( t ) za θ itd. Jasno je da se kod poređenja po fazi ora voditi računa o redosledu veličina koje se porede, tj. koja je veličina prva, a koja druga. θ, Slika.5. z objašnjenje poređenja dva prostoperiodična napona po aplitudi i fazi Ako je fazna razlika dve prostoperiodične veličine jednaka nuli, kaže se da su te dve veličine u fazi (slika.6a). Ako je fazna razlika jednaka ± π, kaže se da su te dve veličine u protivfazi (slika.6b). Tada je kašnjenje, odnosno prednjačenje jednako polovini perioda ( T / ), a te dve veličine su uvek suprotnih znakova. Najzad, ako je fazna razlika jednaka ± π / (prednjačenje, odnosno kašnjenje je ± T / 4), kaže se da su te dve veličine u kvadraturi (slike.6c, u ( t ) prednjači, i.6d, u ( t ) prednjači). Vrednost početne faze je vezana za izabrani referentni ser. struje, napona ili es. Proena referentnog sera enja znak ispred izraza trenutne vrednosti te veličine. Kako je i ( = I cos( ω t + Ψ) = I cos( ω t + Ψ ± π ) to je proena referentnog sera ekvivalentna proeni početne faze za + π odnosno π. Pri toe se usvaja onaj znak koji obezbeđuje da odifikovana faza bude u intervalu ( π, π ]. Dve prostoperiodične veličine različite prirode (a istih učestanosti), na prier, napon u ( = cos( ωt + θ) i struja i ( = I cos( ωt + ψ), ogu se porediti isključivo po fazi. Tada se uvodi fazna razlika φ = θ ψ, sa isto diskusijo kao za dve prostoperiodične veličine iste prirode. Napoenio da za prostoperiodični reži u neko kolu, početne faze napona i struja zavise od izbora početnog trenutka ( t = 0 ). praksi, trenutak t = 0 ože, na prier, odgovarati početku ispisivanja vreenske baze osciloskopa pooću koga se posatraju te veličine. Proeno (poeranje) početnog trenutka za t enjaju se početne faze svih veličina za isti iznos, ω t. Pri toe se fazne razlike ne enjaju jer se članovi ω t potiru pri računanju razlika. 8

19 Slika.6. Dva prostoperiodična napona: a) u fazi, b) u protivfazi, c) u kvadraturi (u prednjači), d) c) u kvadraturi (u prednjači) analizi kola u prostoperiodično režiu početni trenutak se ože zadati, na prier, definisanje početne faze jedne prostoperiodične veličine. Međuti, ako taj početni trenutak nije unapred definisan, iao slobodu da ga proizvoljno odabereo. Jedan od čestih izbora se svodi na to da usvojio da početna faza neke prostoperiodične veličine u kolu bude jednaka nuli. No, pri toe ne seo proizvoljno usvojiti početnu fazu nijedne druge prostoperiodične veličine, već ih određivati u odnosu na proizvoljno usvojenu, da ne biso narušili fazne razlike koje objektivno postoje u posatrano kolu..4. Srednja i efektivna vrednost ovo odeljku ćeo definisati srednju i efektivnu vrednost. Definicije se odnose na bilo kakve periodične veličine (napone, struje), a ne sao na prostoperiodične veličine Mateatički, srednja vrednost funkcije f ( na intervalu t ( a, b) generalno definiše se b b a a izrazo fsr = f ( dt. Posebno, ako je funkcija f ( periodična sa periodo T, usrednjavanje se radi na intervalu čija je širina jednaka periodu, odnosno fsr = f ( 9 a+ T T a dt, gde je a proizvoljna konstanta. Tako definisana srednja vrednost ne zavisi od a. Često se u računu uzia a = 0, odnosno ili a = T /, iao f sr = T T 0 f ( dt T, odnosno za struju I = i( T / T / ( f sr = f dt. T Elektrotehnici se srednja vrednost naziva i jednoserno koponento (zbog Furijeove analize). sr T 0 dt

20 Prier.. Ako je aksialna trenutna vrednost struja sa slika.7a i.7b jednaka I, onda je srednja vrednost obe struje jednaka I /, što lako ožete pokazati sai, analitički, a u ovi slučajevia i grafički. Slika.7. Prieri periodičnih veličina gde se srednja vrednost ože računati i grafički Srednja vrednost sietričnih periodičnih veličina je nula. Prier.3. Srednja vrednost prostoperiodične struje (slika.8a), i sietrične bipolarne povorke pravougaonih ipulsa (slika.8b) jednaka je nuli. Dokaz je očigledan jer su geoetrijske površine iznad i ispod t-ose jednake, ali se površina iznad ose uzia kao pozitivna, a ona ispod ose kao negativna. Stoga se te dve površine potiru u zbiru. Može se pokazati i analitički (uradite sai). Slika.8. Srednja vrednost prostoperiodične struje (a) i sietrične bipolarne povorke pravougaonih ipulsa (b) je nula Prier.4. neki tehnički prienaa (na prier, kod userača) javlja se funkcija oblika u( = cosωt (slika.9). Period ove funkcije je π / ω, odnosno dva puta je anji od perioda funkcije cos ωt. Srednja vrednost funkcije sa slike.9 (srednja vrednost ''userene'' ili π (ω) ω ''ispravljene'' (ko)sinusoide) je u( = sr = cosωt dt = = 0, 637. π π π (ω) Slika.9. z izračunavanje srednje vrednosti "ispravljene kosinusoide" 0

21 Efektivnu vrednost ćeo definisati na jedno prieru. Posatrajo otpornik prikazan na slici.0, u koe postoji periodična struja i ( čiji je period T. Trenutna snaga otpornika je p ( = Ri (. Srednja snaga otpornika (usrednjena toko jednog perioda) je jednaka T P = p( dt = Ri T T 0 T 0 ( dt = RI, gde je (ako je R=) I = T T 0 i ( dt Prethodni izraz predstavlja definiciju efektivne vrednosti struje i ( ćeo označavati veliko slovo bez indeksa, ada su u upotrebi i oznake ef. Efektivnu vrednost I i I eff. Slika.0. z definiciju efektivne vrednosti struje Efektivnoj vrednosti struje se ože dati sledeća fizička interpretacija. Posatrao otpornik sa slike.0. jedno slučaju u otporniku iao posatranu periodičnu struju i (. drugo slučaju zaislio da u otporniku postoji vreenski konstantna (stalna) struja I, takva da je srednja snaga otpornika u intervalu T ista u oba slučaja. Pošto je snaga otpornika pri jednosernoj struji, P = RI, konstantna, odavde sledi da jačina stalne struje treba da bude jednaka efektivnoj vrednosti periodične struje. očio da su oznake za efektivnu vrednost periodične struje i jačinu stalne struje iste, kao i oznake za srednju snagu, odnosno snagu. To neće dovesti do zabune jer, u nastavku, nećeo istovreeno posatrati stalne i proenjive struje. Efektivna vrednost prostoperiodične struje i = I cosω t jednaka je I odnosno = ( T T T T I + cos ω t I dt I cos t I cos ω t dt = dt = + T T T T ω 0 0 I = I = I 0, 707I Odavde se aplituda prostoperiodične struje ože izraziti preko efektivne vrednosti kao I = I, 44I Naravno, isti oblik izraza važi i za efektivnu vrednost prostoperiodičnog napona, Napoenio da su praktično svi instruenti koji ere prostoperiodične veličine (struje i napone) baždareni tako da pokazuju efektivnu vrednost. Razlog je u toe što je u tehnički prienaa efektivna vrednosti veoa važna jer se na osnovu nje računaju snage. Kao prier, efektivna vrednost napona na koji se priključuje onofazni prijenik u doaćinstvu (sijalica, računar) je 30 V. bog takve važnosti efektivnih vrednosti, kanonični oblik prostoperiodične veličine ćeo, uesto u obliku i ( = I cos( ωt + ψ) (videti odeljak.), češće pisati u obliku i ( = I cos( ωt + ψ) 0 0 dt

22 analizi kola u prostoperiodično režiu, svaka prostoperiodična veličina (napon, struja) je stoga potpuno određena svojo efektivno vrednošću i početno fazo. Ilustracije radi, pokažio i prier proračuna efektivne vrednosti za periodičnu veličinu. Prier.5. Efektivna vrednost periodičnog napona sa slike. je T / t dt = = = 0, 577 = T 0 T / 3 3 Slika.. Prier periodičnog testerastog napona.5. Osnovni pasivni eleenti u prostoperiodično režiu Pretpostavljao da su eleenti priključeni na prostoperiodični napon u( = cos( ω t + θ ) i treba odrediti trenutnu vrednost struje i trenutnu snagu. Referentni serovi su usklađeni kao za prijenik..5.. Otpornik Neka iao otpornik kao na slici.3a. a njega važi opšti izraz u ( = Ri( (videti odeljak..). Odatle je struja u( i ( =. Posle zaene izraza za u (, dobijao R i( = cos( ω t + θ ) = cos( ωt + θ ) R R Iz poređenja ovog izraza sa opšti (kanonični) obliko izraza za prostoperiodičnu struju i( = I cos( ω t + ψ ), sledi da je aplituda struje I = odnosno efektivna vrednost struje R I =, a početna faza struje ψ = θ. Prea toe struja kroz otpornik je takođe prostoperidična, i u R fazi sa napono. Kod otpornika, napon i struja su u fazi (pri usklađeni referentni serovia; pri neusklađeni serovia su u protivfazi), ali to nije tako kod drugih prijenika. Stoga se, kao karakteristika prijenika, uzia i fazna razlika napona i struje prijenika (pri usklađeni referentni serovia) 8 : φ = θ ψ. Kod otpornika, φ = 0. Grafički prikaz napona i struje dat je na slici.a (pretpostavljeno je da je θ = 0 ). Trenutna snaga otpornika (snaga koju otpornik pria od ostatka kola) jednaka je p ( = u( i( = Ri ( = G u ( = u ( / R = i ( / G. Kod otpornika je uvek p ( 0, tj. otpornik se uvek ponaša kao prijenik. Snaga otpornika je nula sao u trenucia kada je struja jednaka nuli, ili, što je isto, kada je napon jednak nuli. 8 Ova fazna razlika jednaka je arguentu kopleksne ipedanse prijenika, poja koji ćeo uvesti u odeljku 3...

23 Snaga otpornika u prostoperiodično režiu je 9 ( ω t + ψ ) = RI [ + cos( ω t + ψ )] = G [ + cos( ω + θ )] p( = u( i( = RI cos t Ta snaga je jednaka zbiru jedne konstante ( RI = G ) i jednog prostoperiodičnog člana čija je učestanost dva puta viša od učestanosti struje, odnosno napona (slika.b). Srednja vrednost tog prostoperiodičnog člana jednaka je nuli, pa je srednja snaga otpornika P = RI = G, što se i oglo očekivati na osnovu definicije efektivne vrednosti.. Slika.. Talasni oblici napona i struja (a) i snage (b) otpornika priključenog na prostoperiodični napon.5.. Kale Na isti način, kao za otpornik, za kale na slici.4a, polazeći od opšteg izraza za struju kroz kale i ( = u( dt + I0 L, posle zaene izraza za napon, dobijao i( = cos( t + ) dt + I0 = sin( t + ) + I0 L ω θ ω θ (iajući u vidu da je ax x sin ax ωl cos d = ), gde I 0 a predstavlja oguću vreenski konstantnu struju kroz kale (tzv. jednoserna koponenta). prostoperiodično režiu I 0 = 0. Iajući u vidu da je π sin( ωt + θ ) = cos ωt + θ, dobijao π i( = cos ωt + θ ωl Poređenje sa kanonični izrazo za prostoperiodičnu struju, sledi I = odnosno ωl π I =, i ψ = θ. Prea toe struja kroz kale je takođe prostoperidična, ali kasni za napono ωl vreenski za četvrtinu perioda ( T ), odnosno fazno za π. Kod kalea, π φ = 4. Grafički prikaz napona i struje dat je na slici.3a (pretpostavljeno je da je θ = 0 ). Slika.3. Napon i struja (a) i snaga (b) kalea priključenog na prostoperiodični napon =. 3 9 Koristi se trigonoetrijska transforacija cos α ( + cos α )

24 Prier.6. Neka je kale priključen na prostoperiodičan napon efektivne vrednosti = 30V, učestanosti 50 Hz, i neka je efektivna vrednost struje kroz kale I = 0A. Odrediti induktivnost tog kalea. Koristeći se izrazo I =, dobija se L = = 0,07H = 70H. ωl ω I Trenutna snaga kalea (snaga koju kale pria od ostatka kola), u opšte slučaju, je di( t ) d dw L ( t ) p ( t ) = u ( t ) i( t ) = L i( t ) = Li ( t ) =, d t d t dt gde je W ( ) Li L t = ( agnetska energija akuulirana u kaleu. intervalu vreena kada struja kalea raste po apsolutnoj vrednosti, raste i agnetska energija, pa je p ( > 0 i kale se ponaša kao prijenik, uziajući energiju od ostatka kola. Međuti, u intervalu vreena kada struja kalea opada po apsolutnoj vrednosti, opada i agnetska energija, pa je p ( < 0 i kale se ponaša kao generator, vraćajući energiju ostatku kola. Napoenio da je kale pasivni eleent. On se ne ože neograničeno dugo ponašati kao generator, već sao dok se ne iscrpi agnetska energija akuulirana u njeu. Snaga kalea u prostoperiodično režiu je 0 ( ω t + θ ) sin ( ω t + θ ) = ω LI sin ( ω + θ ) p ( t ) = u ( t ) i( t ) = ω LI cos t Ta snaga ia sao prostoperiodični član čija je učestanost dva puta viša od učestanosti struje, odnosno napona. Srednja vrednost snage jednaka je nuli, što je u skladu sa činjenico da je kale pasivni eleent bez gubitaka. Toko jedne četvrtine perioda struje (odnosno napona) kale pria energiju iz kola, da bi je toko sledeće četvrtine u potpunosti vratio kolu (slika.3b) Kondenzator du( a kondenzator na slici.5a, polazeći od opšteg izraza i( = C, posle zaene izraza za dt napon, dobija se d i( = C [ cos( ω t + θ )] = ωc sin( ωt + θ ), iajući u vidu da izvod dt ' ( cos ax) = a sin ax. Takođe iajući u vidu već korišćenu vezu sinusa i kosinusa, kod kalea, i da predznak - predstavlja poeraj za ± π,dobijao π π i( = ωc cos ωt + θ = ωc cos ωt + θ + π odnosno π i( = ωc cos ωt + θ + Poređenje sa kanonični izrazo za prostoperiodičnu struju, sledi I = ωc odnosno π I = ωc, i ψ = θ +. Prea toe struja kroz kondenzator je takođe prostoperidična, ali prednjači π π naponu za. Kod kondenuatora, φ =. Grafički prikaz napona i struje dat je na slici.4a. β = sin α + β sin 4 0 Koristi se trigonoetrijska transforacija cos α sin [ ( ) ( α β )]

25 Slika.4. Napon i struja (a) i snaga (b) kondenzatora priključenog na prostoperiodični napon Prier.7. Neka je kondenzator kapacitivnosti C = 00pF priključen na prostoperiodičan napon efektivne vrednosti = 30V i učestanosti 50 Hz. Odrediti efektivnu vrednost struje kroz 6 kondenzator. Koristeći se izrazo I = ωc, dobija se I = 7, 0 A = 7,µ A. Trenutna snaga kondenzatora (snaga koju kondenzator pria od ostatka kola), u opšte slučaju, je du d dw C ( t ) p ( t ) = u ( t ) i( t ) = Cu ( t ) = Cu ( t ) = dt dt dt gde je W C ( = Cu ( električna energija akuulirana u kondenzatoru. intervalu vreena kada napon kondenzatora raste po apsolutnoj vrednosti, raste i električna energija, pa je p ( > 0 i kondenzator se ponaša kao prijenik, uziajući energiju od ostatka kola. Međuti, u intervalu vreena kada napon kondenzatora opada po apsolutnoj vrednosti, opada i električna energija, pa je p ( < 0 i kondenzator se ponaša kao generator, vraćajući energiju ostatku kola. Kondenzator (kao i kale) je pasivni eleent, pa se ni on ne ože neograničeno dugo ponašati kao generator, već sao dok se ne iscrpi električna energija akuulirana u njeu. Snaga kondenzatora u prostoperiodično režiu je ( ωt + θ) sin( ωt + θ) = ωc sin( ωt + θ) p ( = u( i( = ωc cos Ta snaga ia sao prostoperiodični član čija je učestanost dva puta viša od učestanosti struje, odnosno napona. Srednja vrednost snage jednaka je nuli (kondenzator je pasivni eleent bez gubitaka). Toko jedne četvrtine perioda struje (odnosno napona) kondenzator pria energiju iz kola, da bi je toko sledeće četvrtine u potpunosti vratio kolu (slika.4b). Sve što je izvedeno za R, L i C, polazeći od napona, ože se uraditi polazeći od struje. Iz dobijenih izraza za struju kroz R, L i C, očigledno je da su struje kroz eleente priključene na prostoperiodičan napon, takođe prostoperiodične, iste učestanosti. Kao što ćeo videti to znatno olakšava rešavanje reža sa prostoperiodični strujaa. Ako uporedio izraze za vezu efektivnih vrednosti napona i struja za R, L i C, tj. I =, I =, I = ωc = R ωl ωc vidio da kod pasivnih eleenata (R, L i C) postoji proporcionalnost izeđu efektivne vrednosti struje i napona. Ta proporcionalnost se piše u opšte obliku I = ili = I. Veličina koja izražava tu proporcionalnosti () je karakteristika prijenika koja ia prirodu otpornosti, jedinica bog proporcionalnosti efektivnih vrednosti i aplituda, isto važi i za aplitudne vrednosti struja i napona. 5

26 joj je o (Ω), a naziva se ipedanso prijenika. Prea ovoj definiciji, 0. Ipedansa otpornika je R = R, ipedansa kalea L = ωl, a ipedansa kondenzatora 3 C =. ω C Može se forirati i dualna relacija, I = Y, gde koeficijent proporcionalnosti (Y) ia prirodu provodnosti, jedinica je siens (S), a naziva se aditanso prijenika 4. Izeđu ipedanse i aditanse postoji relacija Y =. Takođe važi Y 0. Aditansa otpornika je Y R = G = / R, kalea Y L =, a kondenzatora Y C = ωc. ω L.6. Rešavanje reža u prostoperiodično režiu u vreensko doenu odeljku.3 definisali so Kirhofove zakone za proenjive struje. Direktno rešavanje ovih jednačina analitički etodia, u vreensko doenu, nije lako. Ilustrujo to na prieru sabiranja dve prostoperiodične veličine, na prier dva napona, u ( = u( + u (, gde su u( = cos( ω t + θ) i u ( = cos( ω t + θ ). Ako pretpostavio da je rezultantni napon dat relacijo onda koristeći trignoetrijsku transforaciju identitet u( = = = cosωt cosθ cosωt cosθ u( = cos( ω t + θ ), sinωt sinθ sinωt sinθ + cos( α ± β ) = cosα cos β sinα sin β, ožeo pisati cosωt cosθ ( cosθ + cosθ ) cosωt ( sinθ + sinθ ) sinωt Da bi identitet bio ispunjen, koeficijenti uz cos ωt i ωt cosθ = cosθ + cosθ () sinθ sinθ + sin = () θ Ako relaciju () podelio sa relacijo () dobijao sinθ sinθ + sin θ tgθ = cosθ cosθ + cosθ = (3) sinωt sinθ sin u oba izraza oraju biti identični Ako napravio zbir relacija ( ) ( ) + + ( cos θ cos θ + sin θ sin ) = θ trigonoetrijske transforacije za kosinus razlike uglova, konačno je +, dobijao, odnosno, uz prienu već korišćene ( θ ) (4) = + + cos θ Relacije (3) i (4) služe za određivanje apitude i početne faze napona koji je zbir dva napona. Isti rezultati bi se dobili i ako bi se naponi enjali po sinusno zakonu. Ovako definisana ipedansa jednaka je odulu kopleksne ipedanse prijenika, koju ćeo uvesti u odeljku bog sličnosti sa relacijo za otpornost R, ipedansa kalea i kondenzatora se ponekad nazivaju induktivna i kapacitivna otpornost, što nije korektno. Korektno ih je nazivati reaktansa kalea i reaktansa kondenzatora, kao što ćeo videti u odeljku 3... Reaktansa se u kopleksno doenu označava sa X, pa se reaktansa kalea označava sa X L, a reaktansa kondenzatora sa X C. 4 Ovako definisana aditansa jednaka je odulu kopleksne aditanse prijenika. 6

27 Prier.8. Ilustrujo prienu ovih relacija na prieru redne veze otpornika i kalea, prikazane na slici.5. Neka je zadatak da odredio relaciju izeđu napona i struje te redne veze. Struja je, očigledno, zajednička za oba eleenta. Radi daljeg pojednostavljenja, usvojio da je početna faza struje jednaka nuli ( ψ = 0 ), tj. neka je struja data izrazo i( = I cos ωt. Napon di( otpornika je u R ( = Ri( = RI cos ωt, a napon kalea je u L ( = L = ωli sin ωt. Napon redne dt veze je u( = u ( + u ( = RI cosω t ωli sinω t = RI cosω t + ωli cos ω t + π /. R L ( ) Slika.5. Redna veza otpornika i kalea u prostoperiodično režiu Prieno relacije (4) se dobija = ( RI ) + ( ωli ) + RI ωli cos( 0 π / ) vađenja kvadratnog korena i delenja sa se dobija = I R + ( ωl). Količnik I = R + ( ωl) = / je ipedansa redne veze otpornika i kalea. ( π / ) ωl ( π / ) R, a posle 0 RI sin 0 + ωli sin ωl Prieno relacije (3) se dobija tg θ = =, odnosno θ = arctg 0 RI cos0 + ωli cos R (kako je R > 0 i ω L > 0, to je ugao θ u prvo kvadrantu). Konačno, napon je ωl u( = cos( ωt + θ ) = I R + ( ωl) cos ωt + arctg. R Da so krenuli obrnuti redo, od poznatog napona u ( = cos( ωt + θ), struju i ( bi di( direktno ogli odrediti sao rešavanje diferencijalne jednačine za ovo kolo, u( = Ri( + L. dt Međuti, koristeći se rezultato koji so dobili polazeći od struje, ožeo ovako rezonovati. ωl nao ipedansu redne veze, = R + ( ωl), a znao i faznu razliku napona i struje, φ = arctg. R Onda je struja potpuno određena jer joj znao efektivnu vrednost ( I = / ) i početnu fazu ψ = θ ), odnosno i ( cos( ωt + θ φ) / ( φ =. Ovakvi rezonovanje bi ogli brzo rešiti i proble ako bi bila zadata struja u opšte obliku, i ( = I cos( ωt + ψ), a traži se napon redne veze. Rezultat je u ( = I cos( ωt + ψ + φ). Već iz ovog jednostavnog priera se vidi da je sabiranje prostoperiodičnih veličina gloazno raditi direktno, u vreensko doenu. naredno odeljku ćeo uvesti fazore i račun sa fazoria, koji će deliično rešiti taj proble. Koristeći se kopleksni brojevia, račun sa fazoria se ože dalje pojednostaviti i foralizovati tako da analiza kola u prostoperiodično režiu postane gotovo identična analizi kola vreenski konstantnih struja. Na taj način ćeo etode rešavanja kola vreenski konstantnih struja oći relativno lako da prilagodio rešavanju kola u prostoperiodično režiu..7 Predstavljanje prostoperiodičnih veličina pooću obrtnih vektora (fazora) ovo odeljku je opisan jedan postupak predstavljanja prostoperiodičnih veličina vektoria koji se nazivaju fazoria. Taj postupak ia nekoliko korisnih strana. Prvo, oogućava 7

28 vizuelizaciju eđusobnog odnosa napona i struja u posatrano kolu. Drugo, pooću fazora, oguće je rešiti neka jednostavnija kola, a ponekad i rešiti problee na lakši način nego drugi postupcia. Treće, polazeći od računa sa fazoria, lako se uvodi račun sa kopleksni predstavnicia prostoperiodičnih veličina, koji je osnovni alat za analizu električnih kola, sistea i elektroagnetskih polja..7.. Obrtni vektori Posatrajo vektor A, koji se nalazi u ravni crteža na slici.6a. Početak vektora se poklapa sa koordinatni početko jedne ose, koju ćeo zvati fazno oso (f.o.). Neka je A = A odul (dužina) toga vektora, a α ugao koji taj vektor zaklapa sa fazno oso. Referentni ser za računanje uglova je suprotan seru okretanja kazaljke na časovniku (ateatički pozitivni ser). Projekcija vektora A na faznu osu je a = Acos α. Ta projekcija je skalarna veličina koja uključuje i znak (usereni skalar). aislio sada da se vektor A obrće u ravni crteža, u ateatički pozitivno seru, konstantno ugaono brzino ω (slika.6b). Tada je α = ω t + α 0, gde je α 0 ugao koji vektor A zaklapa sa fazno oso u trenutku t = 0, pa je projekcija toga vektora na faznu osu prostoperiodična funkcija vreena, a = A cos( ω t + α ). Aplituda projekcije ( 0 jednaka je dužini vektora A, kružna učestanost je jednaka ugaonoj brzini obrtanja vektora, a početna faza je jednaka uglu koji vektor A zaklapa sa fazno oso u početno trenutku ( t = 0 ). to slučaju kažeo da vektor A predstavlja prostoperiodičnu veličinu a (, tj. vektor A je predstavnik veličine a (. Takav obrtni vektor se naziva fazor. Fazor se izražava u isti jedinicaa kao i veličina koju predstavlja. Slika.6. Projekcija vektora na osu: a) nepokretni vektor, b) obrtni vektor Posatrajo proizvoljno kolo u prostoperiodično režiu. Fazoria se ogu predstaviti bilo koje prostoperiodične veličine u to kolu (naponi, struje). Dužina fazora je, u razeri crteža, jednaka aplitudi (ili efektivnoj vrednosti) odgovarajuće prostoperiodične veličine, ugaona brzina obrtanja fazora jednaka je kružnoj učestanosti, a ugao koji fazor zaklapa sa fazno oso u trenutku t = 0 jednak je početnoj fazi. Kao prier, posatrajo rednu vezu dva eleenta (slika.7a). Pravougaoniko ćeo označiti pasivni eleent (prijenik): otpornik, kale, kondenzator, ili čak njihove kobinacije. Neka je trenutna vrednost napona prvog eleenta u = cos( ω t + θ ) = cos( ω t + ), trenutna vrednost napona drugog eleenta ( θ ( = cos( ω t + θ ) = cos( ω t + θ ) ( = u ( + u ( = cos( ω t + θ ) = cos( ω t + θ ) u, a trenutna vrednost napona redne veze u. Fazori (obrtni vektori), koji predstavljaju ova tri napona prikazani su na slici.7b. Pošto je kružna učestanost svih tih prostoperiodičnih veličina ista, svi fazori se obrću sinhrono (isto brzino), u ateatički pozitivno seru. Pri toe fazori zadržavaju iste eđusobne odnose, tj. uglovi izeđu fazora se ne enjaju. Ti uglovi predstavljaju odgovarajuće fazne razlike. 8

29 Iz ateatike je poznato da je projekcija zbira dva vektora jednaka zbiru njihovih projekcija. Stoga se fazor koji predstavlja zbir dva napona dobija jednostavno vektorski sabiranje fazora koji predstavljaju ta dva pojedinačna napona. (Sabiranje se ože uraditi, na prier, po pravilu paralelograa ili nadovezivanje vektora.) Pošto se svi fazori okreću isto (konstantno) ugaono brzino, projekcija rezultantnog fazora na faznu osu je prostoperiodična veličina. Iz svega sledi da je zbir dve prostoperiodične veličine iste učestanosti takođe prostoperiodična veličina te iste učestanosti..7.. austavljeni obrtni vektori Obrtanje fazora je jednoznačno određeno ako je poznat položaj fazora (obrtnog vektora) u trenutku t = 0 (slika.7c): sliku koja sadrži fazore za t = 0 treba rotirati za ugao ω t da bi se dobila slika fazora u trenutku t. bog toga ćeo nadalje posatrati sao fazore u početno trenutku ( t = 0 ). Možeo zaisliti da se takva slika dobija fotografisanje obrtnih fazora u trenutu t = 0 ili zaustavljanje obrtnih vektora u toe trenutku (zaustavljeni fazori). Slika.7. Redna veza dva eleenta (a), obrtni vektori (b), obrtni vektori zaustavljeni u trenutku t = 0 (c), zaustavljeni vektori čije su dužine srazerne efektivni vrednostia (d) Najzad, kao što je ranije napoenuto, u tehnički prienaa se pretežno operiše sa efektivni vrednostia, a ne sa aplitudaa. Da bi se izbeglo noženje i deljenje sa, ubuduće ćeo crtati fazore tako da su njihove dužine srazerne efektivni vrednostia, a ne aplitudaa (slika.7d) prostoperiodičnih veličina. Poređenje slika.7c i.7d vidi se da je u stvari sao proenjena razera crteža. Takve fazore, zaustavljene i podeljene sa, označavaćeo crto ispod sibola. Na prier, fazor koji predstavlja napon u ( = cos( ωt + θ), označićeo sa. Dužina toga fazora jednaka je efektivnoj vrednosti napona u (,, a ugao koji fazor zaklapa sa fazno oso jednak je početnoj fazi napona, θ. Da biso to posebno naglasili, fazor napona pišeo u obliku = θ. prošćeno ćeo govoriti da je fazor napona u (. 9

30 .7.3. Fazorski dijagrai Crtež skupa fazora koji predstavljaju napone i struje nekog kola naziva se fazorski dijagra. Koristeći se fazorski dijagraia, oguće je analizirati neka jednostavnija kola. Kao uvod u tu analizu, posatrajo osnovne pasivne eleente, otpornik, kale i kondenzator. Referentni serovi su usaglašeni, kao za prijenik. tabeli. prikazane su osnovne relacije i fazorski dijagrai napona i struja tih eleenata. Fazor napona eleenta označavao sa = θ, a fazor struje sa I = I ψ. Količnik dužina (odula) fazora napona i struje jednak je ipedansi eleenta (), a ugao izeđu fazora struje i fazora napona jednak je faznoj razlici napona i struje (Φ). Eleent Tabela.. Osnovni pasivni eleenti u prostopriodično režiu Osnovna relacija = φ = θ ψ I Fazorski dijagra u = Ri R 0 di π u = L ω L dt u i = d C dt ω C π Napon i struja otpornika su u fazi, pa su fazori napona i struje otpornika kolinearni. Napon kalea fazno prednjači struji za π /. Stoga su fazori napona i struje uzajano noralni. Pravac i ser fazora napona dobijaju se rotacijo fazora struje za π / u ateatički pozitivno seru. Napon kondenzatora fazno kasni za strujo za π /. Fazori napona i struje su uzajano noralni, a pravac i ser fazora napona se dobijaju rotacijo fazora struje za π / u ateatički negativno seru. Fazorski dijagrai za idealne generatore su veoa jednostavni, pa ih nećeo crtati. a referentne serove kao na slici. i.9, fazor napona idealnog naponskog generatora se poklapa sa fazoro elektrootorne sile (tj. = E ), dok je fazor struje proizvoljan. a referentne serove kao na slici.9b, kod idealnog strujnog generatora je I = I g, dok je fazor napona proizvoljan. Do sada so na električni šeaa napone i struje označavali njihovi trenutni vrednostia (napisani pored odgovarajućeg referentnog sera), slika.8a. cilju uprošćenja tih šea, nadalje ćeo prostoperiodične napone i struje označavati sao njihovi efektivni vrednostia (napisani pored odgovarajućeg referentnog sera). Na slici.8b je prikazan prier takvih oznaka. Eleent prikazan na toj slici je proizvoljan pasivni eleent (otpornik, kale, kondenzator ili njihova kobinacija, koja ia dva priključka). Oznaka za takav eleent je (oznaka ipedanse toga eleenta). Na slici.8c je prikazan odgovarajući fazorski dijagra. 30

31 Slika.8. Proizvoljan prijenik (a i b), fazori napona i struje (c).7.4. Redna veza otpornika i kalea Posatrajo rednu vezu otpornika i kalea, prikazanu na slici.9a. To je ista redna veza kao sa slike.5, sao uz proenjene oznake. Pretpostavio da je poznato: otpornost (R), induktivnost (L), efektivna vrednost napona () i njegova početna faza (θ). (vek pretpostavljao da je poznata učestanost, odnosno kružna učestanost.) adatak je da se odredi efektivna vrednost struje (I) i njena početna faza (ψ). Struja je zajednička za oba eleenta, pa je pri crtanju fazorskog dijagraa lakše krenuti od fazora struje (slika.9b), nego od fazora napona. Takođe, fazor struje je pogodno postaviti horizontalno. Međuti, u to slučaju ne seo odah ucrtati faznu osu. Ako bi, na prier, i nju ucrtali horizontalno, to bi značilo da je ψ = 0, čie pravio grubu grešku. Stoga ćeo faznu osu ucrtati na kraju. Pošto ni efektivna vrednost struje nije poznata, crtao sao kvalitativan dijagra, unoseći dužinu fazora I proizvoljno. S obziro da su referentni serovi napona i struje usaglašeni za oba eleenta, na osnovu tabele. ucrtavao fazor napona otpornika ( R ) kolinearno sa fazoro struje, a fazor napona kalea ( L ) noralno na fazor I, zakrenut za ugao π / u ateatički pozitivno seru. Kada su zadate konkretne brojne vrednosti za R, L i ω, ožeo voditi računa o odnosu dužina fazora napona, tj. R / L = RI /( ωli ) = R /( ωl) jer je R = RI i L = ωli. ati ucrtavao fazor napona redne veze, = R + L. Ti korako već je određen ugao izeđu fazora i I, odnosno fazna razlika izeđu napona i struje (Φ). Redosled crtanja fazorskog dijagraa prikazan je na slici.9b. Iz pravouglog trougla koji čine fazori napona (trougao napona) ωl iao φ = arctg. Ako se naponi podele sa strujo, dobijao trougao otpornosti. R Na kraju, ucrtavao faznu osu tako da ugao izeđu fazora i fazne ose bude jednak zadatoj početnoj fazi napona (θ). gao izeđu fazne ose i fazora I jednak je traženoj početnoj fazi ωl struje (ψ). Računski, ψ = θ φ = θ arctg. esto ovakvog postupka, fazna osa se ože ucrtati R horizontalno, a onda se svi fazori zarotiraju za isti ugao (θ) tako da se dobije odgovarajući ugao izeđu fazne ose i fazora. Efektivna vrednost struje se ože odrediti računski, koristeći se nacrtani fazorski dijagrao. Pošto je ugao izeđu fazora R i L prav, po Pitagorinoj teorei iao = R + L, odakle je = + = I R + ( ωl). Odavde je R L I = / R + ( ω L) = gde je = R + ( ωl) ipedansa redne veze otpornika i kalea. očio da se ipedansa otpornika ( R ) i ipedansa kalea ( ω L ) ne sabiraju. Pazi!!! ( R + ωl ). Napišite izraz za struju i (. Nacrtajte sai fazorski dijagra za rednu vezu R i C eleenata. 3

32 Slika.9. Redna veza otpornika i kalea (a), postupak crtanja fazorskog dijagraa (b) Fazorski dijagra sa slike.9b se ože nacrtati i na drugi način, polazeći od poznatog fazora napona (), kao što je prikazano na slici.0. Sa slike.9b se vidi da je ugao kod tačke A (slika.0) prav ( π / ). Stoga se tačka A ora nalaziti na krugu konstruisano nad fazoro kao prečniko. (Taj krug je geoetrijsko esto tačaka pod koji se data duž, u ovo slučaju fazor, ωl vidi pod pravi uglo.) gao Φ je poznat ( φ = arctg ). ovo prieru taj ugao ože biti u R granicaa 0 < φ < π /. Preciznije rečeno, tačka A se zato ora nalaziti na desno polukrugu na slici.0. Slika.0. Postupak crtanja fazorskog dijagraa za kolo sa slike.9 polazeći od fazora napona Prvi korak crtanja dijagraa je ucrtavanje fazne ose i fazora napona. ati se konstruiše krug nad ti fazoro kao prečniko i povuče poluprava na kojoj leži fazor R, pod uglo Φ u odnosu na fazor. Presek te poluprave i polukruga je tačka A, koja predstavlja vrh fazora R. gao izeđu te poluprave i fazne ose je traženi ugao ψ. dijagra se ogu ucrtati fazori R i L (ada to nije neophodno). Najzad, dužina fazora struje se određuje računski. To se ože uraditi polazeći od efektivne vrednosti bilo koga napona (, R ili L ) deleći je odgovarajućo ipedanso (, R, odnosno ω L ). Da je u posatrano prieru bila zadata struja, a ne napon, konstruisanje fazorskog dijagraa na slici.9b bi bilo nešto jednostavnije. prvo koraku, krene se od fazora struje, koji se ucrta zajedno sa fazno oso. (Fazor struje se ože postaviti horizontalno, a fazna osa pod odgovarajući uglo.) drugo koraku se ucrtaju fazori napona otpornika i kalea, a u poslednje koraku se ta dva fazora saberu, čie se dobija fazor napona redne veze. 3

33 .7.5. Redna veza otpornika, kalea i kondenzatora. Rezonansa Drugi prier je redna veza otpornika, kalea i kondenzatora, prikazana na slici.a. Pretpostavio da je poznato: otpornost (R), induktivnost (L), kapacitivnost (C), efektivna vrednost napona () i njegova početna faza (θ). adatak je da se odredi efektivna vrednost struje (I) i njena početna faza (ψ). Fazorski dijagra je prikazan na slici.b. Crtao polazeći od fazora I. Fazor R je kolinearan sa fazoro struje, a fazori L i C noralni na fazor I. Pri toe je R = RI, L = ωli i C = I /( ωc). Pri crtanju slike.b je pretpostavljeno da je L > C. Fazor napona redne veze je = R + L + C. Pogodno je prvo sabrati fazore L i C nadovezivanje (crticaa je prikazan fazor C nadovezan na L ), a poto (nadovezivanje ili paralelograo) to zbiru dodati fazor ωl /( ωc) R. Fazna razlika izeđu napona i struje je φ = arctg i ože biti u granicaa R π / < φ < π /. Na kraju, ucrtao faznu osu. Kako je iao I / = R + L C ) = I R + ωl ( ωc =, gde je ipedansa redne veze otpornika, kalea i kondenzatora jednaka = R + ωl, što se ože videti i iz tzv. trougla "otpornosti" (slika.c), koji prozilazi iz ωc fazorskog dijagraa na slici.b). Može biti i trougao napona, ako se otpornosti ponože sa strujo. Struja je i = I ( ωt + Ψ) = I cos[ ωt + ( θ ψ )] cos. Slika.. Redna veza R, L i C (a), fazorski dijagra (b), trougao "otpornosti" (c) Iz izraza za ipedansu redne veze otpornika, kalea i kondenzatora zaključujeo da se ni ipedanse kalea ( ω L ) i kondenzatora ( ) ne sabiraju. Ako je R = ωc 0, onda je = ωl. ωc (Obratiti pažnju na odul.) Ova naizgled nejasna situacija postaće jednostavna kada budeo uveli kopleksne ipedanse, jer će se kod redne veze kopleksne ipedanse jednostavno sabirati. Kolo sa slike.a naziva se redno, prosto ili rezonantno oscilatorno kolo. O rezonantni kolia ćeo još govoriti u podpoglavljia 6. i 6.3. očio sa fazorskog dijagraa na slici.b da je, u posebno slučaju, kada je ωl =, odnosno kada je L = C, zbir ωc L + C = 0 (nacrtajte fazorski dijagra za ovaj slučaj). Tada su napon i struja oscilatornog kola u = fazi ( φ 0 ), a ipedansa je = R (realna), kao da u posatranoj grani postoji sao otpornik, a da kalea i kondenzatora nea. Kažeo da je tada kolo u rezonanciji (zove se i fazna rezonancija, ili 33

34 naponska rezonancija). slov rezonancije se ože napisati i u obliku ω r = LC, odnosno fr =, gde je ω r rezonantna kružna učestanost ( f r je rezonantna učestanos posatranog π LC kola. Tada je I =, a R =. Takođe je L = C. Nacrtajte fazorski dijagra za rezonanciju. R Ako je L > C ( ωl > ωc, odnosno ω > ω r ), tada je φ > 0, što je slučaj prividno isti kao redna veza otpornika i nekog kalea. a posatrano kolo kažeo da je tada pretežno induktivno. Najzad, ako je L < C ( ωl < ωc, odnosno ω < ω r ), tada je φ < 0, što je prividno isto kao redna veza otpornika i nekog kondenzatora, a za kolo kažeo da je pretežno kapacitivno Paralelna veza otpornika, kalea i kondenzatora. Antirezonansa Paralelna veza otpornika, kalea i kondenzatora prikazana je na slici.a. Pretpostavio da je poznato: otpornost (R), induktivnost (L), kapacitivnost (C), efektivna vrednost napona () i njegova početna faza (θ). adatak je da se odredi efektivna vrednost struje (I) i njena početna faza (ψ). Fazorski dijagra je prikazan na slici.b. Pri crtanju slike.b je pretpostavljeno da je I C > I L. Nacrtajte sai trougao provodnosti. Fazna razlika izeđu napona i struje je ωc /( ωl) φ = arctg i ože biti u granicaa π / < φ < π /. Aditansa ove paralelne veze je / R Y = R + ωc ωl, a ipedansa aditanse otpornika ( / R ), kalea ( =. Iz ovog priera zaključujeo da se kod paralelne veze Y ωl ) i kondenzatora ( ω C ) ne sabiraju. Kolo sa slike.a naziva se paralelno ili antirezonantno oscilatorno kolo. Kada je I L = I C, odnosno kada je ωc =, napon i struja ovog oscilatornog kola su u fazi ( φ = 0 ), odnosno ωl I L = I C (nacrtajte fazorski dijagra za ovaj slučaj, videti i sliku 3.3). Ipedansa kola je = R (realna), a kolo u antirezonanciji. slov (fazne) antirezonancije (zove se i strujna rezonancija) se ože napisati i u obliku ω = a LC, odnosno f = a π LC. Ako je ωl > ω, odnosno C ω > ωa, tada je φ < 0, pa je kolo pretežno kapacitivno. Ako je ωl < ωc, odnosno ω < ωa, tada je φ > 0, pa je kolo pretežno induktivno. Kada je u kolu sa slike.a, R=, tada je struja kroz zajedničku granu I = 0, ali kroz paralelne grane (L i C) postoji struja i ispunjava uslov I L + I C = 0 (energija sadržana u antirezonantno kolu se razenjuje izeđu L i C, bez gubitaka, kolo bi oglo da se odvoji od izvora, i razena bi se nastavila, teorijski beskonačno dugo). Slika.. Paralelna veza R, L i C (a), fazorski dijagra (b) 34

35 Sai nacrtajte fazorske dijagrae za paralelno RL i RC kolo..8. Snaga u režaa sa prostoperiodični strujaa okviru odeljka.5 o eleentia kola u periodično režiu već so se upoznali sa trenutno i srednjo snago otpornika, kalea i kondenzatora. Sada ćeo dopuniti te pojove. Posatraćeo prijenike (slika.3a) i generatore (slika.3b). svojićeo, kao i do sada usaglašene referentne serove za prijenike i generatore. a) b) Slika.3. saglašeni serovi za proizvoljni prijenik (a) i generator (b).8.. Trenutna i srednja snaga prijenika Posatrajo najpre prijenik (slika.3a). Kanonični oblici napona i struje prijenika su u ( = cos( ωt + θ), odnosno i ( = I cos( ωt + ψ). Fazna razlika napona i struje je φ = θ ψ. aeno izraza za napon i struju, dobija se p( = I cos( ωt + θ) cos( ωt + ψ). Na osnovu trigonoetrijskog identiteta cosα cos β = [ cos( α + β ) + cos( α β )] iao p = I cos t cos( ) (*) [ ( ω θ ψ ) θ ] ( ψ Prvi član u ovoe izrazu, I cos ( ωt + θ + ψ), je prostoperiodična funkcija dvostruko više učestanosti od učestanosti napona ili struje. Srednja vrednost toga člana je nula. Drugi član, P = I cos( θ ψ) = I cos( φ) je konstantan i predstavlja srednju (''aktivnu'') snagu prijenika. Ovaj rezultat je u skladu sa zaključcia izvedeni za srednje snage otpornika, kalea i kondenzatora (odeljak.5). Na slici.4 prikazana je trenutna snaga prijenika sa slike.3a, p ( = u( i( (za slučaj kada je prijenik pretežno induktivan). Slika.4. Grafik prostoperiodičnog napona, struje i snage za proizvoljan prijenik 35

36 Osnovna jedinica za trenutnu i srednju snagu je vat [W]. Od svih snaga koje se razatraju u ovoe odeljku, jedino te dve snage iaju fizičku interpretaciju, dok su ostale snage veštački uvedene veličine. Ako je posatrani eleent kola stvarno pasivan (prijenik), ora biti P 0. Odavde sledi uslov cos φ 0 π π (uslov pasivnosti), odnosno φ. odeljku 3.. ćeo videti da je Φ arguent kopleksne ipedanse prijenika, odakle sledi da ora biti u desnoj poluravni ili na iaginarnoj osi. Ako je u desnoj poluravni, tada je P > 0. Ako je na iaginarnoj osi ( π φ = ), tada je P = 0 (čisto reaktivan prijenik). π φ = ili.8.. Prividna snaga prijenika Iako nea fizičkog osnova za to, ožeo foralno izračunati proizvod efektivnih vrednosti napona i struje, S = I. Taj proizvod bi bio jednak srednjoj snazi sao kada bi bilo φ = 0 (odnosno cos φ = ), tj. ako bi prijenik bio čisto rezistivan (čist otpornik). Inače je P < S. Proizvod S = I se stoga naziva prividno snago. Da bi se prividna snaga što bolje razlikovala od snaga koje iaju fizički sisao (trenutne snage i srednje snage), jedinica za nju je volt-apter [VA]. Prividna snaga koristi u neki praktični proračunia (na prier, dienzionisanje transforatora). Posredstvo aktivne i prividne snage i ugla φ, relacija (*) se ože napisati u obliku.8.3. Faktor snage prijenika 36 [ ( ω t + ) Φ] p( = P + S cos θ Na osnovu definicije prividne snage, ožeo pisati k = cos φ = P / S naziva se faktor snage. a prijenike je uvek k. P S φ = ks = cos. Koeficijent Faktor snage je aksialan za čisto rezistivne (aktivne, otporne) prijenike ( k = za φ = 0 ). a čisto reaktivne prijenike je = Reaktivna snaga prijenika k. Da bi se napravila ''sietrija'' sa srednjo snago, P = I cosφ, uvodi se reaktivna snaga, Q = I sin φ = S sin φ. Jedinica za reaktivnu snagu je volt-aper reaktivni [VAr]. Jedna interpretacija reaktivne snage se dobija iz sledećeg izvođenja. elektroenergetski sisteia, generatori i prijenici su, grubo govoreći, vezani paralelno. a to postoji više tehničkih razloga. Na prier, da su aparati vezani redno, isključivanje jednog aparata bi poreetilo celu režu. bog te paralelizacije, često se prijenik proizvoljnog karaktera (slika.3a) ekvivalentno prikazuje u vidu paralelne veze jednog čisto rezistivnog eleenta (otpornika) i jednog čisto reaktivnog eleenta: kalea ako je prijenik pretežno induktivan, a kondenzatora ako je prijenik pretežno kapacitivan, kao na slici.5. Pošto je paralelna veza u sveu ekvivalentna posatrano prijeniku, to su i i snage iste pri isto naponu izeđu priključaka. (Posatrao napon, a ne struju, jer je napon kod paralelne veze zajednički za oba eleenta.) Izraz za trenutnu snagu posatranog prijenika, p( = I cos( ωt + θ) cos( ωt + ψ), transforisaćeo tako da izdvojio deo koji odgovara otporniku i deo koji odgovara paralelno vezano reaktivno eleentu sa slike.5. Izražavajući početnu fazu struje preko početne faze napona i odgovarajuće fazne razlike, iao p( = I cos( ωt + θ) cos( ωt + θ φ). Koristeći se trigonoetrijski identiteto

37 cos( α β) = cos α cosβ + sin α sin β, razvijao drugi kosinus u izrazu za snagu, čie dobijao p ( = I cos( ωt + θ )[ cos( ωt + θ ) cosφ + sin( ωt + θ ) sinφ], i prieno cos α sin β = [ sin( α + β ) sin( α β )], je ( ω t + θ ) + I sin φ sin( ω + θ ) ( = I cosφ cos t p () Slika.5. Ekvivalentiranje prijenika sa slike.3a paralelno vezo rezistivnog i reaktivnog eleenta Poredeći sa izrazia za trenutne snage iz odeljka.5, vidio da prvi član odgovara trenutnoj snazi čisto rezistivnog eleenta, a drugi član odgovara trenutnoj snazi čisto reaktivnog eleenta (kalea ako je φ > 0, a kondenzatora ako je φ < 0 ). Prvi član se, kao i kod otpornika, ože dalje predstaviti u vidu zbira konstante (jednake srednjoj vrednosti) i prostoperiodičnog člana dvostruke učestanosti, I cosφ cos ( ω t + θ ) = I cosφ + I cosφ cos( ω t + θ ) 0 Drugi član izraza () je prostoperiodičan dvostruke učestanosti, a njegova aplituda je jednaka reaktivnoj snazi Q = I sinφ = S sinφ Faktor reaktivnosti prijenika Kao ''sietrija'' faktoru snage, uvodi se faktor reaktivnosti, k r = sin φ = Q / S (odnosno Q = krs ). Faktor reaktivnosti ože biti u granicaa k r. a čisto reaktivne prijenike, k r =, za pretežno kapacitivne prijenike, k r < 0, za pretežno induktivne prijenike, k r > 0, a za čisto rezistivne prijenike, k r = 0. Očigledno važi S = P + Q. Ako su poznati S i Q, P je jednoznačno određeno, P = S Q, jer je za prijenike P 0. Međuti, Q se iz S i P ože odrediti sao sa tačnošću do znaka, = ± S P. Potreban je još neki uslov (na prier, podatak da li je prijenik pretežno kapacitivan Q ili induktivan), da bi se razrešila dilea oko znaka. a faktor snage i faktor reaktivnosti važi relacija k + kr =. Slično kao kod snaga, k je jednoznačno određeno ako je poznato k r, ali je k r određeno sa tačnošću do znaka ako je poznato k.. 37

38 3. REŠAVANJE ELEKTRIČNIH MREŽA SA PROSTOPERIODIČNIM STRJAMA KOMPLEKSNIM RAČNOM Glavni alat za analizu električnih kola u prostoperiodično režiu je račun sa kopleksni brojevia, odnosno kopleksni predstavnicia napona, struja i drugih veličina u kolu. Kopleksni račun se ože uvesti u analizu prostoperiodičnog režia u električni kolia na razne načine. Jednostavniji način je pooću fazora. 3.. Predstavljanje fazora kopleksni brojevia Posatrao zaustavljene fazore čije su dužine jednake efektivni vrednostia (slika 3.a, koja odgovara slici.7d odnosno.8b). odeljku o fazoria pokazali so da takvi fazori u potpunosti predstavljaju prostoperiodične veličine (u prostoperiodično režiu). Preklopio ravan u kojoj leže ti fazori i kopleksnu ravan, tako da se poklapaju koordinatni počeci, a da se fazna osa poklapa sa realno oso (slika 3.b). Vrhu svakog fazora sa slike 3.a odgovara jedan i sao jedan kopleksni broj 5. Prea toe, izeđu prostoperiodičnih veličina i kopleksnih brojeva postoji biunivoka korespondencija. Slika 3.. Prevođenje fazora (a) u kopleksnu ravan (b) Kopleksni predstavnici prostoperiodičnih veličina Kopleksni broj koji odgovara fazoru označićeo na isti način kao i sa fazor. Na prier, fazor na slici 3.b predstavlja prostoperiodični napon u ( = cos( ωt + θ). Odgovarajući kopleksni broj,, je kopleksni predstavnik napona u (, a skraćeno ćeo ga zvati kopleksni napono. Modul kopleksnog napona jednak je efektivnoj vrednosti prostoperiodičnog napona, a arguent kopleksnog napona jednak je početnoj fazi prostoperiodičnog napona. Dakle, = ) = jθ exp( jθ e. Najjednostavniji način za foriranje kopleksnog predstavnika prostoperiodične veličine (prelazak iz vreenskog doena u kopleksni) je da se ona napiše u kanonično obliku. Iz tog oblika se identifikuju efektivna vrednost i početna faza. Na kraju, forira se kopleksni broj čiji je odul jednak efektivnoj vrednosti, a arguent jednak početnoj fazi. 5 Svaki kopleksni broj ože se predstaviti tačko u kopleksnoj ravni. Ta tačka se ože opisati bilo svoji koordinataa (realni i iaginarni deo kopleksnog broja), bilo svoji odstojanje od koordinatnog početka (oduo kopleksnog broja) i uglo koji ta duž zaklapa sa realno oso (arguent kopleksnog broja). 38

39 Prier 3.. Neka je zadat prostoperiodični napon u( = 0sin ωt V. kanonično obliku, π π u ( = ( 5 ) cos ωt V. Efektivna vrednost napona je = 5 V, a početna faza je θ =. Kopleksni napon je π π π = 5 exp( j ) V = 5 cos sin = j5 V + j. Ako je poznat kopleksni predstavnik neke prostoperiodične veličine, ta veličina se u vreensko doenu najjednostavnije rekonstruiše na sledeći način (prelazak iz kopleksnog doena u vreenski). Kopleksni predstavnik se napiše u eksponencijalno obliku, iz koga se identifikuju odul i arguent. Veličina u vreensko doenu se zati napiše u kanonično obliku, pri čeu je efektivna vrednost jednaka odulu kopleksnog predstavnika, a početna faza jednaka arguentu. (Podrazueva se da je kružna učestanost poznata.) Prier 3.. Neka je poznata kopleksna struja I = ( j) A. eksponencijalno obliku, I 3π = exp( j ) A 4. (Setite se ( ) ( ) I = + =, ψ = arctg ). Vektor koji odgovara kopleksnoj struji leži u treće kvadrantu. Dakle, efektivna vrednost struje je I = A, a početna 3π 3π faza ψ =. Konačno je trenutna vrednost struje i ( = cos ωt A. 4 4 vođenje kopleksnih predstavnika, zaenili so fazorski račun kopleksni računo. To je pogodnije za rešavanje većine problea analize kola u prostoperiodično režiu. Pooću računara, oguće je prieno kopleksnog računa rešavati i veoa složena kola, sa stotinaa i hiljadaa eleenata. Složena kola prostoperiodične struje rešavaju se na sličan način kao i kola vreenski konstantnih struja, polazeći od prvog i drugog Kirhofovog zakona, kao i relacija izeđu napona i struja eleenata, odnosno grana. Iz Kirhofovih zakona se izvode etod konturnih struja i etod potencijala čvorova, koji obezbeđuju anji siste jednačina nego direktna priena Kirhofovih zakona. Jednačine za kola u prostoperiodično režiu pišu se u kopleksno doenu, a foralno iaju isti oblik kao jednačine za kola vreenski konstantnih struja, sao su ''obični'' naponi i struje zaenjeni kopleksni, a otpornosti zaenjene kopleksni ipedansaa. 3.. Kirhofovi zakoni u kopleksno obliku. Ipedansa i aditansa Kao što je izloženo u odeljku o analizi kola proenjivih struja u vreensko doenu, satrao da za ta kola važe Kirhofovi zakoni. Forulacija Kirhofovih zakona i topološki principi foriranja jednačina po ovi zakonia isti su kao kod vreenski konstantnih struja. Kada se, za kola u prostoperiodično režiu, jednačine po Kirhofovi zakonia napisane u vreensko doenu preslikaju u kopleksni doen, dobijaju se jednačine koje su foralno potpuno iste kao za kola vreenski konstantnih struja 6, sao što su siboli za napone i struje podvučeni, jer se sada radi sa kopleksni predstavnicia napona i struja. 6 Do Kirhofovih zakona u kopleksno obliku ože se doći i preko Kirhofovih zakona u algebarsko obliku. 39

40 Prvi Kirhofov zakon a kolo koje ia n č čvorova i n g grana (povezani graf), po prvo Kirhofovo zakonu (I K) se ože postaviti ( n č ) linearno nezavisna jednačina. Te jednačine pišeo za sve čvorove osi jednog. a jedan čvor, jednačina po I K ia oblik I = 0, tj. algebarski zbir struja grana koje se stiču u to čvoru je nula. Predznak struje grane je + ako je referentni ser grane od čvora, a ako je referentni ser ka čvoru. Drugi Kirhofov zakon n k Broj linearno nezavisnih jednačina po drugo Kirhofovo zakonu (II K) je = n g ( n č ). Te jednačine iaju oblik = 0, tj. algebarski zbir napona svih grana duž proizvoljnog zatvorenog puta (konture) u kolu jednak je nuli. taj zbir napon ulazi sa predznako + ako se ser obilaska konture poklapa sa referentni sero napona (referentni ser napona je od negativnog ka pozitivno kraju), a ako su ti serovi suprotni. Alternativni oblik II K je ( E, ) = 0 I bir je algebarski, a sabiranje ide duž odabrane konture. Pravila o predznacia su ista kao kod računanja napona izeđu dve tačke u kolu (videti i odeljak 3..3). Međuti, ovaj oblik II K važi pod uslovo da kontura ne prolazi kroz granu sa idealni strujni generatoro (ISG). Ako u kolu ia ISG, onda je postupak isti kao kod rešavanja kola stalnih struja. Siste kontura se odabere tako da kroz granu sa ISG prolazi jedna i sao jedna kontura. a tu konturu se ne se pisati jednačina oblika ( E, I ) = 0. esto te jednačine, piše se jednačina da je struja grane jednaka struji strujnog generatora (sa predznako + ili, zavisno od toga da li se serovi struje grane i strujnog generatora poklapaju ili ne). Ovakva procedura se prienjuje na svaki ISG koji postoji u kolu. Da bi se kolo oglo jednoznačno rešiti, ISG oraju tako biti raspoređeni u kolu da se ože forirati (akar jedno) stablo grafa kola koje ne sadrži nijednu granu sa ISG. Drugi rečia, ora postojati akar jedno stablo grafa takvo da sve grane sa ISG pripadaju kostablu. Izbor kontura Konture se ogu izabrati na razne načine, kao i kod kola vreenski konstantnih struja. Na šeaa ćeo konture crtati i označavati kao i kod vreenski konstantnih struja. Prvi način je da se za konture uzu eleentarne konture (okca). Taj postupak je prienljiv sao na planarne grafove. Kod nekih forulacija jednačina (po II K i po etodu konturnih struja) poteškoću pravi svaki ISG koji se nalazi u grani zajedničkoj za dva okca. Drugi način je heuristički algorita. Prva kontura se odabere proizvoljno, a svaka naredna tako da sadrži bar jednu granu koju ne sadrže prethodno odabrane konture. Ovaj postupak nekada jednostavno dovodi do odgovarajućeg sistea kontura, ali ia situacija kada izbor kontura zapadne u ćorsokak. Prier je kolo čiji je graf prikazan na slici 3.. Ako kao prvu konturu odabereo levo okce, a kao drugu desno okce, više ne postoji nijedna grana koja nije uključena u ove dve konture, tako da algorita ne ože pronaći treću konturu, iako je očigledno da bi to oglo da bude srednje okce. Dodatnu koplikaciju kod heurističkog algorita izazivaju ISG ukoliko jednačine koje se pišu zahtevaju da jedan generator ože pripadati jednoj i sao jednoj konturi. 40

41 Slika 3.. Prier grafa i redosled heurističkog izbora kontura koji ne dovodi do dobrog rezultata Treći način je izbor nezavisnih kontura zasnovan na topološkoj analizi, polazeći od stabla grafa. Broj grana stabla je ( n č ) za kola koja posatrao u okviru ovog predeta (kola sa povezani grafo). Ostale grane (spojnice), njih n k = n g ( n č ), čine kostablo. Svakoj spojnici se pridruži jedna i sao jedna kontura. Ta kontura obuhvata posatranu spojnicu, a ostale grane konture su odgovarajuće grane stabla. Grane sa ISG oraju biti u kostablu ako se za konture pišu jednačine u obliku koji zahteva da jedan strujni generator pripada jednoj i sao jednoj konturi Kopleksna ipedansa i aditansa Kod otpornika, za usaglašene referentne serove, u vreensko doenu važi relacija u ( = Ri(. Operacije sa fazoria direktno se preslikavaju na operacije sa kopleksni brojevia, što sledi iz načina uvođenja kopleksnog računa. relaciji izeđu napona i struje otpornika iao sao noženje konstanto, koje se u kopleksno doenu preslikava na noženje isto (realno) konstanto. Stoga su kopleksni napon i kopleksna struja otpornika povezani relacijo = RI. Ova jednačina je foralno ista kao za odgovarajuće fazore. Međuti, u doenu fazora ne definišeo deljenje fazora, dok u doenu kopleksnih brojeva nea problea da delio kopleksne predstavnike. Tako odavde iao / I = R. Videćeo da se količnik kopleksnog napona i struje ože forirati za bilo koji prijenik. Taj količnik se naziva kopleksno ipedanso prijenika (obično se kaže sao ''ipedansa''), odnosno = I Jedinica je o (Ω). a otpornik je = R i čisto je realan broj. opšte slučaju, eđuti, kopleksna ipedansa je kopleksan broj koji pišeo u jφ obliku = e, gde je odul kopleksne ipedanse, a Φ njen arguent. Iz relacije = / I sledi = / I, tj. odul kopleksne ipedanse jednak je količniku efektivnih vrednosti napona i struje prijenika. Dakle, odul kopleksne ipedanse je isto što i ipedansa definisana u vreensko doenu. To se slaže sa rezultato koji so dobili za otpornik jer je = R. Iz relacije = / I sledi i φ = θ ψ, odnosno arguent kopleksne ipedanse jednak je faznoj razlici napona i struje prijenika. Kopleksna ipedansa otpornika je čisto realna, što znači da je njen arguent φ = 0, pa su napon i struja u fazi. To je, takođe, u skladu sa rezultatia dobijeni analizo u vreensko doenu. Kopleksna ipedansa kalea je = jωl, a kondenzatora = /( jωc) = j/( ωc) 7. 7 di Ako uporedio relacije u = L i L I = jωli dt kopleksno doenu. Slično, ako poredio izraze i = udt i L =, kao da se izvod u vreensko doenu preslikava u ω I L = jωl =, kao da se integral preslikava u j u. jω 4

42 Kopleksna aditansa je recipročna vrednost kopleksne ipedanse, Y = Arguent kopleksne aditanse je φ, odnosno predstavlja faznu razliku izeđu struje i napona prijenika. Kopleksna aditansa otpornika je Y = / R = G, kalea Y = /(jωl) = j/( ωl), a kondenzatora Y = j ωc. Jedinica je siens (S). I ovi izrazi se slažu sa rezultatia analize u vreensko doenu. O kopleksnoj ipedansi i aditansi biće još reči kasnije. Na osnovu svega izloženog, u kopleksno doenu su relacije izeđu napona i struje obične algebarske relacije oblika = I ili I = Y (pri usaglašeni referentni serovia) Rezistansa, reaktansa, konduktansa i susceptansa opšte slučaju proizvoljnog prijenika (koji se sastoji od otpornika, kaleova i kondenzatora), kopleksnu ipedansu ožeo rastaviti na realni i iaginarni deo, tj. pisati = R + jx gde je R = Re{ } realni deo kopleksne ipedanse i naziva se rezistanso, dok je X = I{ } iaginarni deo i naziva se reaktanso. Jedinica za rezistansu i reaktansu je o (Ω). Ne treba ešati oznaku za rezistansu i oznaku za otpornost otpornika. Kod redne veze otpornika i kalea je, slučajno, rezistansa jednaka otpornosti otpornika, dok je kod paralelne veze izraz za rezistansu složen. Pošto je kopleksna veličina, ože se grafički prikazati u kopleksnoj ravni (slika 3.3). Ovakav prikaz je isti kao za fazore, pa se naziva i fazorski dijagrao, iako kopleksna ipedansa nije prostoperiodična veličina. Iz uslova pasivnosti (videti odeljak.8.) za rezistansu sledi ograničenje R 0, dok reaktansa ože biti proizvoljnog znaka. Slika 3.3. Prikaz kopleksne ipedanse algebarsko, eksponencijalno i trigonoetrijsko obliku izrazi za kopleksnu jϕ ipedansu glase: = R + jx = e = cosϕ + j sin ϕ. Odavde je R = cos ϕ i X = sin ϕ. Takođe iao = R + X. Pošto je R 0, ora biti π π φ. Stoga je X arctg, R > 0 R π, R = 0, X > 0 φ = π, R = 0, X < 0 0, R = 0, X = 0 Analogno kopleksnoj ipedansi, kopleksnu aditansu ožeo pisati u obliku Y = G + jb,. 4

43 gde je G = Re{ Y} realni deo kopleksne aditanse i naziva se konduktanso, dok je B = I{ Y} iaginarni deo i naziva se susceptanso. Jedinica za konduktansu i susceptansu je siens (S). Ne treba ešati oznaku za konduktansu i oznaku za provodnost otpornika. Kopleksna aditansa se ože prikazati u kopleksnoj ravni kao na slici 3.4. S obziro da je Y = j φ, iao = ν j Y Ye = e, odnosno izeđu odula važi relacija Y =, a arguenti su suprotni, tj. ν = φ (slika 3.5). Iako je uvedena oznaka za arguent kopleksne aditanse (ν), ona se retko upotrebljava, a arguent se uglavno označava sa φ. Dakle, u algebarsko, eksponencijalno i trigonoetrijsko obliku izrazi za kopleksnu jϕ aditansu glase: Y = G + jb = Ye = Y cosϕ jy sin ϕ. Dalje je G = Y cosϕ i B = Y sin ϕ. Pošto je cos φ 0 (jer ν ne ože biti u II ni III kvadrantu), za konduktansu važi ograničenje G 0, dok susceptansa ože biti proizvoljnog znaka. Takođe iao Y = G + B i B arctg, G > 0 G π, G = 0, B > 0 φ = π, G = 0, B < 0 0, G = 0, B = 0. Slika 3.4. Prikaz kopleksne aditanse Slika 3.5. Kopleksna ipedansa i aditansa Iz relacije Y = R jx R X sledi Y = = = j, odnosno R + jx R + X R + X R + X R R X X G = = i B = =. R + X R + X Analogno se izvode obrnute relacije, = =, odnosno Y G + jb G G B B R = = i X = =. G + B Y G + B Y Treba zapaziti da je RG = sao u posebno slučaju kada je X = 0 (odnosno B = 0 je XB = sao u posebno slučaju kada je R = 0 (odnosno G = 0 ). Napoenio da se ponegde u literaturi reaktansa kondenzatora definiše kao onda kopleksna ipedansa kondenzatora jx Određivanje napona izeđu dve tačke 43 ). Takođe X C =, ali je ωc = C. Analogno važi i za susceptansu kalea. Posledica drugog Kirhofovog zakona je da se napon izeđu dve tačke u kolu ože odrediti kao algebarski zbir napona duž proizvoljnog puta u kolu od druge tačke do prve, odnosno

44 =, uz isto pravilo o predznacia napona kao priliko foriranja jednačina po drugo Kirhofovo zakonu. Ako se duž putanje suiranja napona nalaze sao idealni naponski generatori (ING) i prijenici (odnosno, ako duž putanje nea ISG), onda se napon ože izračunati preko elektrootornih sila generatora i kopleksnih struja i ipedansi prijenika kao = ( E ), I. a svaki ING koji se nađe na putanji suiranja napona, elektrootorna sila ulazi u zbir sa predznako + ako se ser putanje i referentni ser elektrootorne sile poklapaju, inače je predznak -. a svaki prijenik koji se nađe na putanji suiranja, u zbir ulazi član oblika I ako se ser putanje i referentni ser struje grane poklapaju, inače ulazi član oblika + I Redna, paralelna i ešovita veza prijenika. Ekvivalencija veze prijenika u zvezdu i trougao Ovde ćeo posatrati veze prijenika, koji ogu da budu eleenti (R, L ili C) ili njihove kobinacije Redna veza prijenika Posatrajo rednu vezu više, n, (pasivnih) prijenika, prikazanu na slici 3.6a. Tu vezu želio da ekvivalentirao jedni pasivni prijeniko, čija je kopleksna ipedansa e (slika 3.6b). (Na šeaa se za proizvoljan pasivni eleent, pored pravougaonika kao sibola, ponekad označava sao odul kopleksne ipedanse, radi jednostavnosti.) Slika 3.6. Redna veza prijenika (a), ekvivalentan prijenik (b) Slično kao u analizi kola vreenski konstantnih struja, dve reže su ekvivalentne ukoliko iaju identične relacije izeđu kopleksnih napona i kopleksnih struja na svoji pristupia. Kod eleenta sa slike 3.6b ta relacija glasi = e I. Da biso odredili e, potrebna na je veza izeđu kopleksnog napona () i struje (I) posatrane redne veze prijenika. Iz drugog 44

45 Kirhofovog zakona, kopleksni napon te redne veze je = + +,..., n. Kopleksni napon i kopleksna struja pojedinih prijenika vezani su relacijaa = I, = I,..., n = n I, s obziro da je struja ista kroz sve prijenike u rednoj vezi. Posle zaene ovih relacija u prethodnu, i sređivanja, dobija se = ( + +,..., n )I. poređujući tu relaciju sa vezo izeđu kopleksnog napona i struje ekvivalentnog eleenta, vidio da je u ovo prieru Ili drugačije napisano,..., e = + + n n = k. e k = Ovaj rezultat se ože izraziti preko aditansi. Ako je Y e = / e ekvivalentna kopleksna aditansa, a Y k = / k, k =,..., n kopleksne aditanse prijenika, onda je = + n +,..., = Y n Y Y e Y Y k= k Prier 3.3. a ipedansu redne veze otpornika, kalea i kondenzatora (slika.a, dobija se e = R + L + C = R + jωl + = R + j ωl jωc ωc ili u obliku e = e jφ, gde je = ωl R + ω L, C ωc arctg ω. Φ = R Kod računanja ekvivalentne otpornosti redne veze otpornika u kolia stalnih struja, uvek je ekvivalentna otpornost bila veća od svake pojedinačne otpornosti. Kopleksni brojevi se ne ogu porediti po veličini (ada ogu njihovi oduli ili arguenti). Stoga nea sisla pitanje da li je ekvivalentna kopleksna ipedansa redne veze prijenika veća ili anja od pojedinačnih kopleksnih ipedansi. Međuti, oguć je jedan poseban slučaj, koji se ne ože javiti kod stalnih struja: ekvivalentna kopleksna ipedansa ože biti jednaka nuli (ekvivalentna kopleksna aditansa je beskonačna), iako je svaka pojedinačna kopleksna ipedansa različita od nule. Najjednostavniji prier je ako je na slici.a za kale induktivnosti L, i kondenzator kapacitivnosti C ispunjen uslov ω LC = (tj. redna veza kalea i kondenzatora je u rezonanciji). ω LC Tada je e = R + jωl + = R + j = R, odnosno ako je R = 0, tada je jωc ωc LC e = j ω ω L + = j = 0 jωc ωc, odnosno jωc Y e = ω LC Paralelna veza prijenika Posatrajo paralelnu vezu više, n, (pasivnih) prijenika, prikazanu na slici 3.7a. Iz prvog Kirhofovog zakona iao I = I + I +,..., I n, gde je I =, I =,, I n =, jer je n napon isti na svi prijenicia u paralelnoj vezi. Posle zaene u prethodnu relaciju i sređivanja, dobija se I = + +,...,. poređujući sa relacijo I = koja važi za kolo na slici n e 3.7b, dobija se opšta relacija za kopleksnu ipedansu n paralelno vezanih prijenika, izražena preko ipedansi 45

46 ili izraženo preko aditansi = + n +,..., = n e k= Y e = Y + Y +,..., Y n = Y k. n k = k Slika 3.7. Paralelna veza prijenika (a), ekvivalentan prijenik (b) Prier 3.4. Neka su kopleksne ipedanse dva paralelno vezana prijenika = R + jx ( R + jx )( R + jx ) e = = = = Re + jx e = R + jx. Tada je + R + jx + R + jx +, gde je i potrebno odrediti R e i X e. Kod računanja ekvivalentne kopleksne aditanse paralelne veze prijenika, oguć je slučaj da ta aditansa bude jednaka nuli (ekvivalentna kopleksna ipedansa je beskonačna), iako je svaka pojedinačna kopleksna aditansa različita od nule. Najjednostavniji prier je ako su na slici 3.7 sao dva eleenta, prvi eleent kale induktivnosti L, drugi eleent kondenzator kapacitivnosti C, i ako je uz to ispunjen uslov ω LC = (tj. paralelna veza kalea i kondenzatora je ω LC u antirezonanciji, videti odeljak.7.6). Tada je Y e = jωc + = j = 0, odnosno jωl ωl jωl jωc jωl e = =. jωl + ω LC jωc Mešovite veze prijenika Podrazuevaju se kobinacije veza koje čine redne i paralelne veze. Određivanje ekvivalentne ipedanse vrši se postepeni zaenaa rednih i paralelnih veza ekvivalentni vezaa, slično kao kod ešovitih veza otpornika kod vreenski konstantnih struja. određivanju se polazi od najjednostavnije (unutrašnje) veze, pa se, korak po korak, ekvivalencijo obuhvata sve više eleenata, dok se ne odredi ekvivalentna ipedansa (ili aditansa) čitave reže. Prier 3.5. Odrediti ekvivalentnu ipedansu ešovite veze prijenika na slici 3.8, gde je = R, = jx L, ( X L > 0) i = jx C, ( X C < 0). 46

47 Slika 3.8. Prier kobinovane veze prijenika (pasivnih eleenata) Očigledno, i 3 su u paralelnoj vezi, a sa njia u rednoj, prea toe 3 jx L jx C X L X C X L X C e = + = R + = R = R + j + jx + jx j X + X X + X Ekvivalencija veze prijenika u zvezdu i trougao L C ( L C ) L C Posatrao tri pasivna eleenta (tri prijenika) vezana u zvezdu i trougao, slika 3.9. slovi ekvivalencije su isti kao kod otpornika. Izvođenje relacija ekvivalencije je analogno izvođenju u analizi kola vreenski konstantnih struja. Kopleksne ipedanse grana zvezde su, i 3. Kopleksne ipedanse grana trougla su, 3 i 3. vezda se ože zaeniti ekvivalenti trouglo (tj. zvezda se ože transfigurisati u trougao), prikazani na istoj slici, ako su kopleksne ipedanse grana trougla = + +, = i Izraženi preko aditansi, uslovi ekvivalencije glase: Y = Y Y Y + Y + Y, 3 Y 3 = Y Y 3 Y + Y + Y i 3 + Y 3 3 = = Y 3Y Y + Y + Y. 3 Slika 3.9. z ekvivalenciju zvezde i trougla I obrnuto, trougao pasivnih eleenata se ože zaeniti ekvivalentno zvezdo (tj. trougao se ože transfigurisati u zvezdu) čije su kopleksne ipedanse = 3 + +, 3 3 = i Izraženi preko aditansi, uslovi ekvivalencije glase: YY 3 Y = Y + Y 3 +, Y Y 3Y Y = Y 3 + Y + i Y 3 3 = Y Y + Y = Y 3 + Y 3. Y 47

48 Relacije izeđu kopleksnih aditansi grana zvezde i trougla ogu se iskoristiti za izvođenje ekvivalencije izeđu zvezde i trougla kondenzatora. Foralno, jednačine su identične CC kao za aditanse, sao su kopleksne aditanse zaenjene kapacitivnostia: C = C + C + C, C 3 = CC3 C + C + C, C C + 3 C C 3 = C3C C + C + C, 3 C C + C 3 = C + C3 C, 3 3 C3C C = C3 + C + C i = C3 + C3 C. Kao prier, na slici.0 su prikazani sietrična zvezda i njoj ekvivalentan trougao.. a) b) Slika 3.0. Sietrična zvezda kondenzatora (a) i njoj ekvivalentan trougao (b) Priliko transfiguracije zvezde u trougao ili obrnuto, ože se naići na neke problee. Prvi proble je dobijanje negativnih rezistansi. Prier 3.6. Posatrajo zvezdu sa slike 3.. Neka je, konkretno, = j Ω, = j Ω i 3 = Ω. a ekvivalentni trougao je = ( + j) Ω odnosno rezistansa jedne grane trougla je negativna. ωl = R = Ω, odnosno i 3 = ( + j) Ω = 3, Slika 3.. Prier veze u zvezdu Slika 3.. Prier veze u trougao Takav rezultat znači da datoj zvezdi nije oguće fizički realizovati ekvivalentni trougao (jer ne postoji pasivni eleent sa negativno rezistanso). Međuti, ako se transfiguracija radi sao u cilju uprošćavanja kola (na prier, da bi se izračunala ekvivalentna ipedansa osta), negativna rezistansa ne seta u sledeći koracia. Na prier, ako se uprošćava ost, njegova ekvivalentna rezistansa ora biti nenegativna. (Ako se dobije negativna rezistansa, to je sao pokazatelj da je usput napravljena neka oaška.) Drugi proble je da se dobijaju nulte ili beskonačne kopleksne ipedanse ili aditanse. 48

49 Prier 3.7. Posatrao trougao sa slike 3.. Neka je, konkretno, = Ω i ω L = Ω. ωc Tada su kopleksne ipedanse grana trougla = jω =, 3 3 = jω, pa se dobija da su kopleksne ipedanse sve tri grane ekvivalentne zvezde beskonačne (odnosno aditanse su jednake nuli), te se takav trougao neože transforisati u zvezdu. Slična (dualna) situacija ože nastati kod transfiguracije zvezde u trougao, kada su ipedanse grana trougla jednake nuli (odnosno aditanse su beskonačne). takvi situacijaa treba pokušati rešavanje kola na drugi način, tako da se izbegne transfiguracija posatranog trougla, odnosno zvezde. Prier 3.8. Kao prier priene transfiguracija, izračunajo ekvivalentnu ipedansu osta prikazanog na slici 3.3a za sledeće brojne podatke: ω = 0 9 s, C = C = 0 pf, L = L = 00 nh i R = 00 Ω. Odavde su ipedanse eleenata: C = C = j50 Ω, L = L = j00 Ω i R = 00 Ω. Slično kao u kolia stalnih struja, ako se radi sa ipedansaa, pogodnije je transfigurisati trouglove u zvezde. Tako se dobija više rednih veza (kod kojih se ipedanse sabiraju). Ako se transfigurišu zvezde u trouglove, dobija se više paralelnih veza, što je pogodnije ako se radi sa aditansaa (jer se one sabiraju kod paralelnih veza). Međuti, u posatrano prieru, trougao C -C -L se ne ože transfigurisati jer je C + C + L = 0. ato transfigurišeo trougao L -L -R u ekvivalentnu zvezdu (slika 3.3b). Ipedanse grana zvezde su = ( 0 + j40) Ω i = 3 = (40 + j0) Ω. Dalje, redne veze C - i C - zaenjujeo ekvivalentni ipedansaa (slika 3.3c) 4 = ( 0 j0 ) Ω, odnosno = (40 j30) Ω, pa paralelnu vezu 4-5 zaenjujeo 5 ekvivalentno ipedanso (slika 3.3d) 6 = ( 5 j0) Ω. Na kraju, rednu vezu 6-3 zaenjujeo ekvivalentno ipedanso e = (5 + j0) Ω, što je traženi rezultat (slika 3.3e) e a) b) c) d) e) Slika 3.3. Veza pasivnih eleenata u ost (a), postupak transfiguracije za računanje ekvivalentne ipedanse (b - e) Ekvivalentna ipedansa proizvoljne reže ože se izračunati svođenje na rednoparalelnu vezu prienjujući transfiguracije trougla u zvezdu ili obrnuto. Ta ipedansa se ože 49

50 izračunati i na drugi način. Na priključke reže se veže generator (idealni naponski, idealni strujni ili realni generator), koji se naziva test-generatoro. ati se reši dobijeno složeno kolo (na prier, etodo potencijala čvorova) i izračunaju kopleksni napon i kopleksna struja na priključcia reže. Iz napona i struje dobija se tražena ipedansa (kao količnik napona i struje). Određivanje ipedanse koristeći se test-generatoro prienjuje se i u erenjia, i prograia za siulaciju električnih kola (kao što je, na prier, Spice). Sve što je rečeno za ipedansu, važi i za aditansu. Ovako ćeo postupati kod određivanja ekvivalentne ipedanse spregnutih kola Ekvivalencija naponskog i strujnog generatora Šea idelanog naponskog generatora (ING) prikazana je na slici 3.4a, a realnog naponskog generatora (RNG) na slici 3.4 b. Šea idealnog strujnog generatora (ISG) prikazana je na slici 3.5a, a relanog strujnog generatora (RSG) na slici 3.5 b. Slika 3.4. ING (a), RNG (b) Slika 3.5. ISG (a), RSG (b) RSG: Analogno kao kod vreenski konstantnih struja, dolazi se do uslova ekvivalencije RNG i =, I = = Y E S g S E čestanost f (ili kružna učestanost ω) oba generator su iste. g g 3.4. Metoda konturnih struja u kopleksno obliku Kako su sve etode i teoree za rešavanje električnih reža sa vreenski konstantni strujaa zasnovane na I i II Kirhofovo zakonu, a ti zakoni su foralno isti u kopleksno obliku za reže sa prostoperiodični strujaa, to sve etode i teoree izvedene za reže sa vreenski konstantni strujaa važe i za reže sa prostoperiodični strujaa. Razlika je sao u toe što se ovde radi sa kopleksni naponia i strujaa, i što uesto otpornosti stoji ipedansa. Ovde te etode nećeo ponovo dokazivati, već sao forulisati i ponegde ilustrovati prienu prieria. Siste od n k = n g ( n č ) jednačina po etodu konturnih struja (KS) se ože napisati u sledeće opšte obliku (ako nea ISG): 50

51 M n k I I k k I k ovo sisteu jednačina je:, i,..., n k, n I k I k k I k n k n k n I k kn I k k kn n k I = E = E kn k k k = E kn k. (*) ii = (običan) zbir ipedansi svih grana koje pripadaju i-toj konturi (sopstvena ipedansa i-te konture), uvek sa predznako +. ij, i, j =,..., nk, i j (običan) zbir ipedansi svih grana koje istovreeno pripadaju i-toj i j- toj konturi (eđusobna ipedansa i-te i j-te konture), sa predznako + ako se duž zajedničkih grana poklapaju serovi tih kontura, a sa predznako - ako su serovi suprotni. Očigledno je ij = ji (recipročnos. E k, i i =,..., n k, algebarski zbir elektrootornih sila svih ING grana koje pripadaju i-toj konturi (elektrootorna sila i-te konture). taj zbir elektrootorna sila ulazi sa predznako + ako se orijentacija konture poklapa sa referentni sero elektrootorne sila, a sa predznako - ako su ti serovi suprotni. koliko u kolu postoje grane sa ISG, postupak je sličan kao kod alternativnog oblika jednačina po Kirhofovi zakonia (podpoglavlje 3.). Konture se odaberu tako da grana sa svaki ISG pripada jednoj i sao jednoj konturi. Jednačina po etodu KS za takvu konturu se ne piše u obliku (*). esto toga, piše se jednačina da je odgovarajuća konturna struja jednaka struji strujnog generatora sa predznako + ako se orijentacija konture i referentni ser struje generatora poklapaju, a sa predznako - ako su ti serovi suprotni. koliko reža sadrži RSG, onda se oni ogu pretvoriti u RNG (pa postupiti na način kao kada reža ia naponske generatore), ili postupiti na prethodni način (jer je RSG paralelna veza grane sa ISG i grane sa unutrašnjo ipedanso strujnog generatora). Rešavanje sistea linearnih jednačina (*) dobijaju se konturne struje. Ako dve konture neaju zajedničkih grana, onda je eđusobna ipedansa te dve konture jednaka nuli. Međuti, dve konture ogu iati zajedničkih grana, a da eđusobna ipedansa ipak bude jednaka nuli. Na prier, to je slučaj ako je grana sa ING jedina grana zajednička za dve konture (jer je ipedansa takve grane jednaka nuli). Drugi prier je situacija kada su u zajednički granaa sao reaktivni eleenti (kaleovi i kondenzatori), ali je zbir njihovih kopleksnih ipedansi jednak nuli. Slična situacija je oguća i za sopstvenu ipedansu konture, ako su u konturi sao reaktivni eleenti Metoda potencijala čvorova u kopleksno obliku Siste od ( n č ) jednačina po etodu potencijala čvorova (PČ) ože se napisati u sledeće opšte obliku (ako nea ING): Y Y M Y V V ( n ) č + Y + Y V V V + Y Y ( n ) č Y V ( n ) č ( n ) č V V Y ( n ) č ( n ) ( n )( n ) č č = I = I č č V č ( n ) č = I č( n ) č. (**) 5

52 ovo sisteu je:, i =,...,( n č ), Y ii (običan) zbir aditansi svih grana koje se stiču u i-to čvoru (sopstvena aditansa i-tog čvora), uvek sa predznako +. Y ij, i, j =,...,( nč ), i j (običan) zbir aditansi svih grana koje direktno spajaju čvorove i i j (eđusobna aditansa i-tog i j-og čvora). Taj zbir u jednačine uvek ulazi sa negativni predznako, tj. - (u jednačinaa je napisan + ) 8. Očigledno je Y ij = Y ji (recipročnos. Ič, i i =,...,( n č ), algebarski zbir struja svih ISG i ekvivalentnih strujnih generatora grana koje se stiču u i-to čvoru ( Y E) + ( I S ) i i. Ekvivalentni strujni generator se dobija transfiguracijo RNG u RSG (kopleksna ipedansa ostaje ista, a struja ekvivalentnog strujnog generatora je I g = E /, gde je E elektrootorna sila naponskog generatora). ovaj zbir, struje ulaze sa predznako + ako je referentni ser struje generatora ka čvoru, a sa predznako - ako je referentni ser struje od čvora. (Ovo pravilo je suprotno od pravila za pisanje jednačina po prvo Kirhofovo zakonu.) koliko u kolu postoje grane koje sadrže sao ING, onda svi ti generatori treba da budu vezani za referentni čvor. Jednačina po etodu PČ za ''vrući'' čvor za koji je vezan ING se ne piše u obliku (**). esto toga, piše se jednačina da je potencijal čvora, za koji je vezan drugi kraj ING, jednak elektrootornoj sili generatora sa predznako + ako je referentni ser elektrootorne sile ka toe čvoru, a sa predznako - ako je referentni ser ka čvoru nultog potencijala. Rezultujući siste linearnih jednačina rešava se neki od standardnih etoda. Ako dva čvora neaju zajedničkih grana, onda je eđusobna aditansa ta dva čvora jednaka nuli. Međuti, dva čvora ogu iati zajedničkih grana, a da eđusobna aditansa ipak bude jednaka nuli. Na prier, to je slučaj kada su dva čvora spojena grano sa ISG (jer je aditansa takve grane jednaka nuli). Drugi prier je situacija kada su u zajednički granaa sao reaktivni eleenti (kaleovi i kondenzatori), ali je zbir njihovih kopleksnih aditansi jednak nuli. Slična situacija je oguća i za sopstvenu aditansu konture, ako su u granaa koje se stiču u čvoru sao reaktivni eleenti. Najzad, oguće je da aditansa neke grane bude beskonačna. Kada se odrede potencijali svih čvorova, jačina struje u nekoj grani izeđu čvorova j i k (slika 3.6), dobija se relacijo I = Y ( E + V ) j V k Slika 3.6. Prier grane izeđu dva čvora sa poznati potencijalia 3.6. Kopleksna snaga prijenika i generatora Kopleksna snaga prijenika Najzad, definisaćeo još jednu snagu, a to je kopleksna snaga (kopleksna prividna snaga). To je kopleksan broj čiji je realni deo srednja snaga, a iaginarni deo reaktivna snaga, 8 neki udžbenicia se relacije pišu tako se već u jednačinaa piše -, pa su onda eđusobne aditanse običan (pozitivan) zbir. 5

53 S = P + jq, drugačije napisano, = I( cosϕ + jsin ϕ) S. Jedinica za kopleksnu snagu je ista kao za prividnu snagu, volt-aper (VA). Očigledno, S = S i arg(s ) = φ j φ, odnosno = φ j S S e = I e. Kopleksna snaga se ože izraziti preko kopleksnog napona ( = e ) i kopleksne jψ j( θ+ψ) struje ( I = I e ) prijenika. Ako ponožio te dve kopleksne veličine, dobijao I = I e, što ne odgovara kopleksnoj snazi, jer je arguent zbir početnih faza napona i struje, uesto -jψ njihova razlika. Međuti, ako kopleksnu struju konjugujeo pre noženja, tj. uzeo I * = Ie, j( θ ψ) jφ dobijao I* = I e = I e = S. Dakle, * S = I Kao što se kopleksna ipedansa ože prikazati fazorski dijagrao, na isti način se ože prikazati i kopleksna snaga (slika 3.7). a zadati prijenik, fazorski dijagrai kopleksne ipedanse i kopleksne snage su identični, izuziajući razeru crteža. Napisaćeo izraze za snage prijenika u još nekoliko oblika. Neka je kopleksna ipedansa prijenika. Tada se izraz za kopleksnu snagu ože pisati u oblicia Kako je I = Y S = I = I I =, iao i oblike S = Y gde su P i Q aktivna i reaktivna snaga. = Y = I = RI = G + jxi jb = P + jq. = P + jq. jθ S =S Kopleksne snage generatora Slika 3.7. Prikaz kopleksne snage Što se tiče generatora (RNG, RSG, ING, ISG), trenutna, srednja, prividna, reaktivna i kopleksna snaga, kao i faktori snage i reaktivnosti, računaju se po isti forulaa kao za prijenik, sao u odnosu na prirodne referentne serove (usklađene za generator). π < φ Fazna razlika izeđu napona i struje generatora ože, u principu, biti proizvoljna, tj. (dok kod pasivnog prijenika podleže ograničenju π / < φ π / pri usklađeni referentni serovia). Ako je, kod generatora, ugao Φ u I ili IV kvadrantu, srednja snaga generatora je pozitivna (kao i faktor snage). Tada se generator stvarno ponaša kao generator. Ako je ugao Φ u II ili III kvadrantu, srednja snaga generatora je negativna (kao i faktor snage). Tada se generator stvarno ponaša kao prijenik. Izrazi aktivna i reaktivna koriste se ponekad i za struju. Tako π I cos Φ predstavlja aktivnu koponentu jačine kopleksne struje I (projekcija I na pravac kopleksnog napona ), 53

54 a I sin Φ predstavlja reaktivnu koponentu jačine kopleksne struje I (projekcija I na pravac upravan na pravac kopleksnog napona ) Teoree električnih reža u kopleksno obliku Teoree izvedene kod vreenski konstantnih struja izvedene su polazeći od Kirhofovih zakona. Prea toe one u foralno isto obliku važe i za reže sa prostoperiodični 9 strujaa, i nećeo ih izvoditi i dokazivati, već sao forulisati. Izuzetak je teorea održanja snage koja postaje teorea održanja kopleksne snage, koju ćeo dokazati Teoree linearnosti Teorea linearnosti tvrdi da je bilo koji odziv u kolu linearna hoogena kobinacija eksitacija (pobuda) 0. Na prier, ako u kolu iao tri naponske i dve strujne eksitacije, onda se neki odziv (na prier, napon) u to kolu ože napisati u obliku = a + E + a E + a3 E3 + a4 I g4 a5 I g5 Priroda kopleksnih konstanti u ovo izrazu je različita: a, a i a 3 su po prirodi čisti brojevi (transitanse napona), a a 4 i a 5 iaju prirodu aditanse (prenosne aditanse). Da je odziv kopleksna struja, koeficijenti uz elektrootorne sile bi po prirodi bili ipedanse (prenosne ipedanse), a koeficijenti uz struje idealnih strujnih generatora bi bili čisti brojevi (transitanse struje). Iz ovoga rezultata slede tri važna podslučaja. Teorea linearnosti u uže sislu (teorea proporcionalnosti) važi za slučaj kada u kolu deluje sao jedna eksitacija. Tada je bilo koji odziv u kolu linearno srazeran (proporcionalan) toj eksitaciji. Na prier, ako je eksitacija naponska (elektrootorna sila), a odziv napon, onda iao = ae. Ova teorea se dobija iz teoree hoogenosti kada se u njoj zadrži sao jedan član. Prier 3.9. Posatrajo kolo na slici 3.8. to kolu su napon i struja I linearno srazerni elektrootornoj sili generatora: = 3 E + + i I = E E I 3 Slika 3.8. z prier priene teoree linearnosti 9 Prostoperiodični reži iplicitno pretpostavlja da je kolo linearno. Da nije tako, prostoperiodični reži ne bi bio oguć. 0 Slično kao i u analizi kola stalnih struja, pod eksitacijo (pobudo) podrazuevao elektrootornu silu naponskog generatora ili struju strujnog generatora, sao što je sada eksitacija kopleksna. Pod odzivo podrazuevao neku linearnu veličinu u kolu (kopleksni napon, kopleksnu struju). Napoenio da kopleksna snaga ne spada u linearne veličine. 54

55 Teorea superpozicije tvrdi da se bilo koji odziv u kolu ože dobiti kao zbir (superpozicija) odziva na svaku pojedinačnu eksitaciju. aislio da u kolu deluje sao prva eksitacija, pri čeu su sve ostale eksitacije isključene, pa odredio odziv. ati, zaislio da deluje sao druga eksitacija, pri čeu su sve ostale eksitacije isključene, pa odredio odziv, itd. Na kraju, dobijene pojedinačne odzive jednostavno sabereo. Napoenio da isključivanje naponske eksitacije znači udaljavanje ING iz kola, pri čeu se tačke izeđu kojih je generator bio priključen u kolu kratko spoje. Dualno toe, isključivanje strujne eksitacije znači udaljavanje ISG iz kola, pri čeu se tačke izeđu kojih je generator bio priključen u kolu ostave otvoreni (u prazno hodu). Teorea linearnosti u šire sislu tvrdi da je, ako u kolu deluje više eksitacija, odziv na jednu eksitaciju linearna funkcija te eksitacije. a isti hipotetički prier kao za teoreu hoogenosti, odziv na eksitaciju je = a E + b, gde je b = a E + a3 E3 + a4 I g4 + a5 I g5. Treba razlikovati uslove pod kojia važe teorea linearnosti u uže sislu (sao jedna eksitacija u kolu) i u šire sislu (više eksitacija), kao i iskaze (odziv je linearna hoogena funkcija, odnosno linearna funkcija sa slobodni člano) Teoree reciprociteta (uzajanosti) Teorea reciprociteta (uzajanosti) ia više oblika. Mi ćeo forulisati dva oblika teoree reciprociteta za pasivne četvoropole. Četvoropol je reža sa dva pristupa (dva para krajeva). Ovde ćeo posatrati sao četvoropole sastavljene od otpornika, kaleova i kondenzatora (slika 3.9). svojićeo usklađene referentne serove napona i struja na oba pristupa, kao za generator, uz napoenu da se u analizi kaskadno vezanih četvoropola često uziaju neusaglašeni serovi na drugo pristupu (koji su onda autoatski usaglašeni za sledeći četvoropol vezan u kaskadi). oba oblika teoree reciprociteta, iao eksitaciju na jedno pristupu reže, a odziv ćeo posatrati na drugo pristupu. oba oblika su eksitacija i odziv različite prirode: jedno je naponska veličina, a drugo strujna. Slika 3.9. Mreža sa dva pristupa (četvoropol) Prvi oblik: naponska pobuda. Kada na pristup priključio ING elektrootorne sile E ', struja kratkog spoja na pristupu je I ', prea referentni serovia na slici 3.0. Kada na pristup priključio ING elektrootorne sile E ", struja kratkog spoja na pristupu je I ", prea referentni serovia na slici 3.0. Teorea reciprociteta tvrdi da ako je E ' = E ", onda je I ' = I " (jednaki eksitacijaa odgovaraju jednaki odzivi). Drugi oblik: strujna pobuda. Kada na pristup priključio ISG struje I g', napon praznog hoda na pristupu je ', prea referentni serovia na slici 3.. Kada na pristup priključio ISG struje I g", napon praznog hoda na pristupu je ", prea referentni Teoree reciprociteta se koriste najviše kod četvoropola, da bi se skratio njihov proračun ili uprostila erenja. 55

56 serovia na slici 3.. Teorea reciprociteta tvrdi da ako je I g' = I g", onda je ' = " (jednaki eksitacijaa odgovaraju jednaki odzivi). Slika 3.0. z teoreu reciprociteta za naponsku pobudu Teoree kopenzacije Slika 3.. z teoreu reciprociteta za strujnu pobudu Teoree kopenzacije iaju različite oblike. ajedničko je da se, pod određeni okolnostia, jedan deo kola (eleent, grana, složena reža) ože, u odnosu na ostatak kola, zaeniti sa ING ili ISG. Ti generatori se zovu kopenzacioni generatori. Posatraćeo opšti slučaj, prikazan na slici 3.. Kolo je podeljeno u dva dela, režu A i režu B. Ti delovi su eđusobno povezani sao pooću dva provodnika prikazana na slici 3.. Tačke i su tačke spajanja tih reža. ( slučaju da te reže iaju zajedničku ''asu'', ona se računa kao jedan provodnik.) Teorea kopenzacije ia dva oblika. Prvi oblik: naponska kopenzacija. Mreža A se u odnosu na režu B ože zaeniti sa ING čija je elektrootorna sila jednaka E k = (prea referentni serovia sa slika 3.a, b), a da se u reži B ništa ne proeni. Drugi oblik: strujna kopenzacija. Mreža A se u odnosu na režu B ože zaeniti sa ISG čija je struja jednaka I gk = I (prea referentni serovia sa slika 3.a, c), a da se u reži B ništa ne proeni. a) (b) (c) Slika 3.. Kolo sastavljeno do dve reže povezane sa dva provodnika (a), i priena teoree kopenzacije, kada je kada je reža A zaenjena sa ING (b) i ISG (c) Mreže A i B su proizvoljne. Mreža ože biti sao jedan eleent, jedna grana ili složena reža. 56