PREDMECI ZA TVORBU DECIMALNIH JEDINICA

OSNOVNE S. I. JEDINICE Naziv jedinice Znak jedinice Fizikalna veličina i znak metar m duljina s, d, l kilogram kg masa m sekunda s vrijeme t amper A jakost električne struje I, i kelvin K termodinamička temperatura T mol mol množina (količina tvari) n kandela cd svjetlosna jakost I PREDMECI ZA TVORBU DECIMALNIH JEDINICA Predmetak Znak Vrijednost Predmetak Znak Vrijednost eksa E 0 8 deci d 0 peta P 0 5 centi c 0 tera T 0 mili m 0 3 giga G 0 9 mikro µ 0 6 mega M 0 6 nano n 0 9 kilo k 0 3 piko p 0 hekto h 0 femto f 0 5 deka da 0 ato a 0 8 IZVEDENE S. I. JEDINICE S POSEBNIM NAZIVIMA I ZNAKOVIMA Naziv Znak Veza Fizikalna veličina i znak bekerel Bq s aktivnost A Celzijusov stupanj C K Celzijusova temperatura džul J Nm rad W, energija E, toplina Q farad F C/V električni kapacitet C grej Gy J/kg apsorbirana doza D henri H Wb/A induktivnost L herc Hz s frekvencija f kulon C As količina elektriciteta q, Q luks lu lm/m osvjetljenje E lumen lm cd sr svjetlosni tok Φ njutn N kg m/s sila F om Ω V/A = S električni otpor R paskal Pa N/m tlak p simens S A/V = Ω električna vodljivost G sivert Sv J/kg ekvivalentna doza H tesla T N/(A m) magnetna indukcija B vat W J/s snaga P veber Wb Tm magnetni tok Φ volt V Ω/A električni potencijal ϕ, napon U radijan rad kut α, Θ, θ, β,. steradijan sr ugao (prostorni kut) Ω PRIBLIŽNA VRIJEDNOST OSNOVNIH KONSTANTI I VELIČINA Brzina svjetlosti u vakuumu c 3 0 8 m/s Unificirana masa u =,6605 0 7 kg u = 93,5 MeV/c Elementarni naboj e =,6 0 9 C Gravitacijska konstanta G = 6,67 0 m 3 /s kg Masa elektrona m e = 9, 0 3 kg m e = 0,5 MeV/c Plinska konstanta R = 8,34 J/mol K Avogadrova konstanta N A = 6,0 0 3 mol Masa protona m p =,676 0 7 kg m p = 938,7 MeV/c Boltzmanova konstanta Stefan-Boltzmanova konst. k B =,38 0 3 J/K σ = 5,67 0 8 W/m K 4 Masa neutrona m n =,6750 0 7 kg m n = 939,57 MeV/c Molni volumen idealnog plina S.U. V m =,4 0 m 3 /mol Rydbergova konst. R =, 0 7 m Permitivnost vakuuma ε 0 = 8,85 0 F/m Comptonova duljina λ C =,43 0 m Permeabilnost vakuuma µ 0 = 4 π 0 7 H/m Bohrov polumjer r = 5,9 0 m Planckova konstanta h = 6,63 0 34 J s Akceleracija težne sile g = 9,8 m/s 0 m/s

DEFINICIJE OSNOVNIH JEDINICA (SI) Metar je duljina puta kojega svjetlost prijeđe u vakuumu za vrijeme od /9979458 sekunde. Kilogram je masa međunarodne pramjere kilograma. Sekunda je trajanje 99 63770 perioda zračenja koje odgovara prijelazu izmedu dviju hiperfinih razina osnovnog stanja cezija 33. Amper je jakost stalne električne struje koja, prolazeći dvama usporednim ravnim vodičima neograničene duljine i zanemarivo malog kružnog presjeka, razmaknutim jedan metar u vakuumu, uzrokuje među njima silu od 0 7 njutna po metru duljine. Kelvin je termodinamička temperatura koja je jednaka /73,6 termodinamičke temperature trojne točke kemijski čiste vode u prirodnoj izotopnoj mješavini. Kandela je jakost izvora monokromatskog zračenja frekvencije 5.40 0 4 herca koji u danom smjeru zrači /683 vati po steradijanu. Mol je količina tvari sustava koji sadržava toliko elementarnih jedinki koliko ima atoma u 0,0 kilograma izotopa ugljika. NAZIVI DECIMALNIH BROJEVA VEĆIH OD MILIJUNA Broj Naziv Naziv u SAD-u (engl.) 0 6 milijun million 0 9 milijarda billion 0 bilijun trillion 0 5 bilijarda quadrillion 0 8 trilijun quintillion 0 - setillion 0 4 kvadrilijun septillion 0 7 - octillion 0 30 kvintilijun nonillion

OBRADA REZULTATA MJERENJA Tijekom izvođenja mjerenja, vrijednosti izmjerenih veličina valja bilježiti u pregledno organizirane tablice. Pritom je važno u vrhu svakog stupca tablice staviti oznaku fizikalne veličine i uz nju mjernu jedinicu u uglatim zagradama ili odvojeno kosom crtom. Primjerice, t[s] predstavlja vrijeme u sekundama ili odvojeno kosom crtom t/s. Veličina je svojstvo pojave, stanja, tvari i tijela, koje se može kvalitativno razlikovati i kvalitativno odrediti. Mjerna jedinica je dogovorena, poznata i obnovljiva vrijednost veličine. Mjernim su jedinicama dogovorno dodijeljena imena i znakovi. Za kompjutorski zapis: fizikalne veličine se pišu kosim (italic), a mjerne jedinice okomitim slovima (normal). Primjerice, brzina v = 5 m/s.. PISANJE LABORATORIJSKIH IZVJEŠĆA (REFERATA) Izvješća mogu biti pisana na kompjutoru (preporučljivo) ili čitljivim rukopisom na papiru formata A4 ili u posebnoj bilježnici, a svako izvješće obvezno mora sadržavati:. Ime i prezime učenika.. Naslov vježbe. 3. Cilj vježbe u nekoliko rečenica. 4. Skica mjernog uređaja s označenim dijelovima. 5. Sažeti opis mjernog postupka (koje se veličine mjere i kako) te kako se dobije konačni rezultet primjerice izvod formule za određivanje rezultata iz mjerenih veličina. 6. Zapis rezultata mjerenja (u tabeli) iz kojeg je vidljivo što je mjereno i u kojim jedinicama. 7. Neodređenost odnosno pogrešku rezultata mjerenja. 8. Posebno istaknute izmjerene konačne veličine u pravilnom obliku ispisa. 9. Grafički prikaz rezultata (izrađen ručno na milimetarskom papiru, ili kompjutorski ispis). 0. Osobni komentar vježbe (kvaliteta rezultata, eventualni nedostaci aparature, prijedlozi za poboljšanja). 3

. PRAVILA ZA ZNANSTVENI ZAPIS BROJEVA Teorija sigurnih znamenki bavi se pouzdanošću znamenki brojeva koje bilježimo. Kad smo mjerenjem ustanovili da je visina neke osobe 75 cm, to znači da smo sigurni za i 7, te da 5 bolje odgovara nego 4 ili 6; dakle, sve tri su sigurne znamenke. Sigurna znamenka predstavlja broj čiji iznos je potvrđen pouzdanim mjerenjem. Broj sigurnih znamenki zabilježen mjerenjem ovisi djelomice o mjernom uređaju, a djelomice o tome što mjerimo. Kada objekt kojeg mjerimo nema dobro definirane krajeve, tada mjerenje može samo po sebi biti nepouzdanije od najmanjeg podjeljka mjernog instrumenta. Primjer za ovo je mjerenje duljine podlaktice. Sličan problem susrećemo npr. kad pomičnom mjerkom određujemo dimenzije predmeta čiji se rubovi pod pritiskom lako deformiraju, ili kad zadnja znamenka na nekom digitalnom mjernom instrumentu stalno oscilira. Sve su to slučajevi kad treba pažljivo ocijeniti pouzdanost mjerenja, te u skladu s time odrediti kako ćemo bilježiti očitanje. Kada mjerimo s pouzdanošću do na centimetar, ne smijemo zabilježiti mjerni rezultat kao 35. cm jer bi to značilo da je mjerenje pouzdano do na desetinku centimetra. Zato moramo rezultat zabilježiti kao 35 cm. Svako mjerenje koje obavljamo mora imati prikladan broj sigurnih znamenki. Nema smisla bilježiti mnogo znamenki koje nisu sigurne. Ispis brojeva Ispis brojeva je obično jednostavan postupak, no u fizici nailazimo na brojeve koji su toliko mali ili pak toliko veliki da to često postaje nezgodno. Udaljenost (u metrima) do zvijezde najbliže našem Sunčevu sustavu je: 3000000000000000 m iza kojeg je 5 nula. Budući da 0 predstavlja s dvije nule, prethodni broj, tj. udaljenost se može pisati kao: 3 0 5 m odnosno 3. 0 6 m. Kažemo da je red veličine te udaljenosti 0 6. Primjerice, masa elektrona (u kilogramima) je 0.9 s još 30 nula između decimalne točke i 9. Primjenom istih pravila za eksponent masa elektrona može se napisati kao 9. 0 3. Ova pravila znače da kad god pomaknemo decimalnu točku za jedno mjesto ulijevo, eksponentu od 0 dodaje se, a kad je pomaknemo udesno, dodaje mu se +. (Primjerice, prelaskom od 3 na 3 broj se smanjuje za faktor 0.) Mnogi kalkulatori automatski daju rezultat u ovom obliku (ako odaberete tzv. znanstveni zapis što je na kalkulatoru često označeno znakom "sci"). Obično se decimalna točka postavlja nakon prve znamenke različite od 0 (znanstveni zapis). Primjerice: Znamo da je masa elektrona m e = 9, 0 3 kg i Avogadrova konstanta N A = 6,0 0 3 mol. Kako izgleda mogući ispisi brojeva na kompjuteru i kalkulatoru? FIZIKALNA VELIČINA MOGUĆI ISPISI NA EKRANU m e = 9. 0 3 kg 9. 3 9. E-3 N A = 6.0 0 3 mol 6.0 3 6.0 E 3 Broj ispred E naziva se mantisa, a broj iza E potencija. 4

Pravila za standardni zapis brojeva Sve znamenke nekog broja, različite od 0, su sigurne. Primjerice, 35. cm ima tri sigurne znamenke. Nule koje leže između dvije znamenke različite od 0 su sigurne. Primjerice, nula u 03 je sigurna. Nule koje slijede nakon posljednje znamenke različite od 0 (npr. u broju 3000) najčešće predstavljaju samo red veličine, osim ako je drukčije naznačeno, npr. povlakom iznad nula. U tom slučaju i naznačene nule su sigurne. Ako broj sadrži decimalnu točku: Nule koje leže između decimalne točke i prve znamenke različite od 0 predstavljaju samo red veličine. Takav broj ima onoliko sigurnih znamenki koliko ih se nalazi od prve znamenke različite od 0 pa dalje udesno. Primjerice, 0.003 ima tri sigurne znamenke, 0.00030 ih ima pet,.0003 ih ima šest. Nule koje slijede znamenke različite od 0 sigurne su u svakom broju s decimalnom točkom. Primjerice, 30.00 ima šest sigurnih znamenki. Napomena : umjesto decimalnog zareza sve češće se piše točka-iako još u Hrvatskoj to nije zakonski regulirano. U znanstvenom zapisu, sve znamenke u broju su sigurne. Ovaj zapis uvodi brojeve napisane kao umnožak decimalnog broja (s jednom znamenkom različitom od 0 lijevo od decimalne točke) i neke potencije broja 0. Primjerice:.3 0 5 = 3000 (3 sigurne znamenke).300 0 5 = 3000 (5 sigurnih znamenki).3 0 3 = 0.003 (3 sigurne znamenke).300 0 3 =0.00300 (5 sigurnih znamenki) Pravila za određivanje broja sigurnih znamenki u konačnom rezultatu Kad zbrajamo ili oduzimamo brojeve, rezultat smije imati najviše onoliko sigurnih decimalnih odnosno dekadskih jedinica koliko ih je u pribrojniku koji ih ima najmanje. Primjerice: 7.3 + 5 = 58 (ne 58.3) 3.45 0 5 +.3 0 4 = 3.57 0 5 (ne 3.573 0 5 ili 35.73 0 4 ). Razlog za ovo je jasniji primijetimo li da je.3 0 4 = 0.3 0 5, dakle on ima jednu sigurnu dekadu (u ovom zapisu decimalu) više nego drugi pribrojnik. Kod množenja ili dijeljenja, rezultat treba imati isti broj dekadskih ili decimalnih jedinica kao onaj od uključenih brojeva koji ih ima manje. Primjerice: 6.3 504 =.6 0 4 (a ne 5775. ili.5775 0 4 ) Zaokruživanje Valja uočiti da u rezultatu decimale ne smiju biti samo odrezane, već broj mora biti pravilno zaokružen na sljedeći način: ako se prva odrezana znamenka nalazi u intervalu 0-4, znamenka ispred nje zaokruživanjem ostaje ista. ako se prva odrezana znamenka nalazi u intervalu 5-9, znamenka ispred nje zaokruživanjem se povećava za. 5

Kako računati? Ukoliko se račun, putem kojega iz mjerenih vrijednosti dobijamo konačni rezultat, sastoji iz više koraka (što je najčešće slučaj), pri čemu nastaje više međurezultata, tada u međurezultatima valja uvijek zadržati sve decimale koje nam daje računski instrument, a rezanje decimala i zaokruživanje obaviti tek kod konačnog rezultata, i to na osnovi broja sigurnih znamenaka u ulaznim veličinama. Na taj se način izbjegava povećanje nepouzdanosti konačnog rezultata uslijed višestrukog zaokruživanja tijekom računskog postupka. U konačnom rezultatu, dobijenom računskom obradom izmjerenih vrijednosti, uobičajeno se navode sve sigurne znamenke i još jedna koja je nesigurna. (Navođenje svake sljedeće nesigurne znamenke nema nikakvog smisla ako je već znamenka ispred nje nesigurna.) Taj rezultat najbolje je pisati u znanstvenom obliku, pri čemu srednja vrijednost i pripadna pogreška obvezno trebaju imati jednak broj znamenki nakon decimalnog zareza. Iznimka: ako je zadnja znamenka pogreške koju želimo ostaviti jednaka, a sljedeća bi trebala nestati zaokruživanjem. Tada ostavljamo i tu sljedeću znamenku, jer bi se zaokruživanjm napravila relativno velika razlika. Srednju vrijednost i pogrešku stavljamo u oble zagrade, a iza njih potenciju (red veličine) i mjernu jedinicu. Primjer zapisa obujama nekog tijela: V = (3. ± 0.) 0 3 m 3 6

3. RAČUN POGREŠAKA Nema savršenog mjerenja, pa je svaki mjerni rezultat više ili manje netočan, tj. više ili manje odstupa od (prave) vrijednosti mjerne veličine (ili je slučajno jednak pravoj vrijednosti, ali mi to ne možemo saznati). Pri mjerenju neke fizikalne veličine javljaju se neizbježno pogreške. Pogrešaka imamo tri vrste; Sistematske pogreške, Slučajne pogreške, Grube pogreške. Sistematske pogreške Sistematske pogreške prouzročene su poznatim uzrocima i u načelu mogu biti uklonjene. Pogreške ovog tipa rezultiraju izmjerenim vrijednostima koje su konzistentno previsoke ili pak preniske. Dijelimo ih u 4 vrste prema uzroku. Instrument: Loše baždaren instrument, npr. termometar koji pokazuje 0 C u kipućoj, a C u zaleđenoj vodi pri normiranom atmosferskom tlaku. Takav instrument pokazivat će izmjerene vrijednosti koje su konzistentno previsoke. Opažač: Primjerice očitavanje skale metra pod nekim kutom. Okolina: Primjerice pad napona u gradskoj mreži uslijed kojeg će izmjerene struje biti stalno preniske. Teorija: Uslijed pojednostavljenja modela ili aproksimacija u jednadžbama koje ga opisuju. Primjerice, ako prema teoriji temperatura okoline ne utječe na očitanja, a u stvarnosti utječe, taj će faktor predstavljati izvor pogreške. Slučajne pogreške Slučajne pogreške su pozitivne i negativne fluktuacije koje čine otprilike polovinu mjerenih vrijednosti preniskim, a polovinu previsokim. Uzroci slučajnih pogreški ne mogu uvijek biti identificirani. Mogući uzroci su sljedeći: Opažač: Primjerice, greška u prosudbi opažača kad očitava vrijednosti na najmanjem podjeljku skale. Okolina: Primjerice, nepredvidivo kolebanje mrežnog napona, temperature ili mehaničkih vibracija uređaja. Za razliku od sistematskih, slučajne pogreške mogu biti obrađene statističkom analizom te na taj način obično može odrediti koliki je utjecaj ovih pogreški na fizikalnu veličinu. Kao primjer za razliku između sistematskih i slučajnih pogrešaka možemo uzeti uporabu zapornog sata za mjerenje trajanja 0 titraja nekog njihala. Jedan od uzroka pogreške bit će vrijeme reagiranja opažača. Kod jednog mjerenja možemo slučajno početi prerano a stati prekasno, kod drugog obrnuto. To su slučajne pogreške ako su obje situacije jednako vjerojatne. Ponovljena mjerenja daju seriju rezultata koji se malo međusobno razlikuju. Oni na slučajan način odstupaju od srednje vrijednosti. Ako je nazočna i sistematska pogreška, npr. ako zaporni sat ne počinje od nule, rezultati će na slučajan način odstupati ne od srednje, već od neke pomaknute vrijednosti. Grube pogreške Gruba pogreška nema veze ni s jednim od gore navedenih čimbenika, već je rezultat grubog, subjektivno uvjetovanog propusta u mjernom postupku. Opažač može zabilježiti krivu vrijednost, krivo očitati sa skale, zaboraviti znamenku prilikom očitavanja sa skale ili učiniti drugi sličan propust. Rezultati s ovakvim pogreškama trebali bi vidljivo odskakati od ostalih, ako je učinjeno više mjerenja ili ako jedna osoba provjerava rad druge. Oni se ne bi smjeli uključiti u analizu podataka. 7

Srednja vrijednost je broj koji će predstavljati rezultat našeg mjerenja u slučajevima kad smo izvršili više uzastopnih, nezavisnih mjerenja iste veličine. Označimo tu veličinu sa, broj mjerenja sa n. Tako se dobija distribucija mjerenja (,, 3,..., n ). Ovo razmatranje ima smisla uz pretpostavku da su pogreške nastale u mjernom postupku isključivo slučajne prirode. Računanje srednje vrijednosti provodi se po formuli: = n i= Taj broj ne možemo smatrati pravim iznosom tražene veličine.to je samo najbolja aproksimacija tog iznosa koja se može dobiti iz određene serije mjerenja, uz pretpostavku da su pogreške nastale u mjernom postupku isključivo slučajne prirode. Mjera za disperziju rezultata oko srednje vrijednosti dana je iznosom standardne devijacije: n i σ = n i= ( ) i n Ova formula rezultat je teorijskih razmatranja. Za veliki n (>5) obično se umjesto n u nazivniku stavlja n. Standardna devijacija predstavlja točnost s kojom je izvršeno pojedino mjerenje. Što je ona manja, za niz mjerenja kažemo da je točniji. Prema teoriji vjerojatnosti, za veliki broj mjerenja čije vrijednosti variraju prema načelu slučajnosti, približno 68% rezultata bit će unutar intervala polumjera σ oko srednje vrijednosti, 95% rezultata nalazit će se unutar polumjera σ, a 99% unutar polumjera 3σ. Dakle, unutar intervala ± 3σ nalaze se praktički sve pogreške mjerenja. Konačni rezultat bilježimo u obliku: = ± σ pri čemu je σ standardno odstupanje ili standardna devijacija aritmetičke sredine: σ = n i= ( ) i n ( n ) Ova se formula dobija primjenom formule za pogreške izvedenih veličina ako shvatimo aritmetičku sredinu kao funkciju od n pojedinačnih mjerenja (,, 3,..., n ) od kojih je svako određeno s vlastitom pogreškom jednakoj standardnoj devijaciji σ. 8

Neka su podaci mjerenja: MJERENJE I NEODREĐENOST a, a, a 3,...a n Tu slovo n znači koliki broj mjerenja smo obavili. Srednja vrijednost (aritmetička sredina) Srednju vrijednost dobijemo tako da zbrojimo sva mjerenja i podijelimo s brojem mjerenja: a + a + a3 +... an a = n Maksimalna apsolutna pogreška Odstupanje (po apsolutnoj vrijednosti) pojedinog mjernja od srednje vrijednosti a nazivamo apsolutnom pogreškom i bilježimo kao: a a n = a n Apsolutna vrijednost najvećeg odstupanja od srednje vrijednosti naziva se maksimalna apsolutna pogreška i bilježi kao a m. Rezultat mjerenja tada zapisujemo kao: a = a ± a m To znači da se prava vrijednost a nalazi između vrijednosti: a + a m i a a m. Rezultat mjerenja zapisujemo tako da, uz sigurne znamenke, zadržavamo samo jednu nesigurnu znamenku. Maksimalna relativna pogreška Kad bismo htjeli procijeniti koliko je neki rezultat mjerenja točan tada nam je potrebno usporediti apsolutnu maksimalnu pogrešku sa srednjom vrijednosti. To se postiže uvođenjem relativne pogreške. Ona se definira kao omjer apsolutne maksimalne i srednje vrijednosti pomnoženom sa 00 i iskazuje se postotkom: r a a m m = 00% U konačnom rezultatu, dobijenom računskom obradom izmjerenih vrijednosti, uobičajeno se navode sve sigurne znamenke i još jedna koja je nesigurna. Navođenje svake sljedeće nesigurne znamenke nema nikakvog smisla ako je već znamenka ispred nje nesigurna. Taj rezultat najbolje je pisati u znanstvenom obliku, pri čemu srednja vrijednost i pripadna pogreška obvezno trebaju imati jednak broj znamenki nakon decimalnog zareza. Srednju vrijednost i pogrešku stavljamo u oble zagrade, a iza njih potenciju (red veličine) i mjernu jedinicu. Primjer: V = (3. ± 0.3) 0 3 m 3 0.3 V rel. maks. = 00% = 9.4% 3. To znači da se izmjereni obujam može nalaziti u danom intervalu vrjednosti od.9 0 3 m 3 do 3.5 0 3 m 3. Maksimalna relativna pogreška nam govori o točnosti mjerenja. Iznimka: ako je zadnja znamenka pogreške koju želimo ostaviti jednaka, a sljedeća bi trebala nestati zaokruživanjem. Tada ostavljamo i tu sljedeću znamenku, jer bi se zaokruživanjm napravila relativno velika razlika. Primjerice: I = (.6 ± 0.4) 0 A 9 a a m. a + a m. a

POGREŠKE IZVEDENIH VELIČINA Pretpostavimo da nas zanima neka fizikalna veličina y koju ne možemo izmjeriti izravno, ali možemo nezavisno izmjeriti veličine,, 3,..., n koje su s njom funkcijski povezane na nama poznat način, te je iz njih izračunati. Zato takvu veličinu nazivamo izvedena veličina. Primjerice računanje površine pravokutnika A iz mjerenja duljine njegovih stranica a i b. Svaku od mjerenih veličina dobijamo kao srednju vrijednost s pripadnom pogreškom, te iz toga računamo srednju vrijednost i pogrešku izvedene veličine. Primjer: Izračunajte površinu stola A = a b, ako mjerite stranicu a i b. b A ± A = ( a ± a m ) ( b ± b m ) I. način: Apsolutna pogreška je: A A = ( A ) ma Amin : A = a b : Arel. = 00% A II. način: Radi jednostavnijeg zapisa kod računa ispuštamo povlaku nad a i b i indeks m. A ± A = (a ± a) (b ± b) = a b ± a b ± b a ± a b Produkt a b možemo zanemariti prema ostalim članovima, jer su to male vrijednosti te je i njihov produkt još manji, pa neznatno utječe na rezultat. A ± A = a b ± (a b + b a) Pritom je maksimalna apsolutna pogreška za površinu: A = a b + b a Srednja vrijednost površine je: A = a b Relativna pogreška iznosi: a A rel. A = 00% A Kod množenja i dijeljenja relativne se pogreške zbrajaju!!!!! 0

UTJECAJ POGREŠAKA IZMJERENIH VELIČINA NA IZVEDENE VELIČINE Pri mnogim mjerenjima neće nam biti dovoljno da neposredno izmjerimo jednu ili više veličina. Često ćemo rezultat y izračunati tek pomoću izmjerenih veličina primjerice i. Neka su i veličine koje se mogu mjeriti, a veličina y se pomoću njih izračunava. Veličine se mogu zbrajati, oduzimati, množiti, dijeliti itd. Kako se iz pojedinih pogrešaka dobiva rezultantna pogreška predočeno je u tabeli: FIZIKALNA VELIČINA y = y ( i ) MAKSIMALNA APSOLUTNA POGREŠKA y = + y = + y rel = y = y = + y rel = y = n y = n y rel = y = y = + y rel = y = 3 y = 3 + 3 + 3 y rel = y = + y = MAKSIMALNA RELATIVNA POGREŠKA + y rel = + + + + + y = n y = n n- y rel = n y = y = y rel = y = /n ( n) / n y = y rel = n n y = ln y = y rel = ln 3 + y = log y = M y rel = M log gdje je M = 0,4349 y = sin y = cos y rel = ctg y = cos y = sin y rel = tg y = tg y = y = ctg y = cos sin y rel = y rel = sin sin Kada je računska operacija iz koje moramo odrediti pogrešku kombinacija operacija navedenih u tabeli, pogrešku izračunavamo njihovom postupnom primjenom! 3

Primjer Odredite pogrešku za put kod jednoliko ubrzanog gibanja s početnom brzinom ako smo izmjerili v 0, t i a. Put je dan jednadžbom: Prema retku. iz tabele: s = v 0 t + a t s = (v 0 t) + ( a t ) gdje su članovi: Prema retcima 3. 4: (v 0 t) = t v 0 + v 0 t ( a t ) = t a + a t tj. ( a t ) = t a + a t t Prema tomu za apsolutnu pogrešku puta dobijemo: s = t v 0 + v 0 t + t a + a t t GRAFIČKO PRIKAZIVANJE EKSPERIMENTALNIH PODATAKA Cilj mnogih pokusa je pronalaženje ovisnosti među izmjerenim veličinama. To se može postići grafičkim prikazivanjem dobijenih rezultata. Pretpostavimo da smo u našem pokusu mijenjali neku fizikalnu veličinu i time uzrokovali promjenu neke druge, o njoj zavisne, fizikalne veličine y. Na taj način dobijaju se parovi mjerenih vrijednosti ( i, y i ) koje onda kao točke u pogodnom mjerilu ucrtavamo u koordinatni sustav. Pritom valja slijediti ove upute: Nacrtati graf na papiru dovoljne veličine, kako točke ne bi bile suviše sabijene jedna uz drugu. Naime, iz sabijenog grafa možda neće biti sasvim uočljiv karakter ovisnosti među izmjerenim veličinama, npr. možemo segment parabole proglasiti pravcem ili obratno. Uz graf se treba nalaziti vrlo kratki opis (nekoliko riječi), u kojem će biti naznačeno o kojim se veličinama radi, te eventualno podaci o ostalim parametrima i uvjetima vezanim uz nacrtanu seriju mjerenja. Nezavisna varijabla (veličina koju vršitelj pokusa može neposredno podešavati po svojoj volji) ucrtava se duž apscisne osi (-os), a zavisna (ona koja se tijekom pokusa mijenja uslijed promjena nezavisne varijable) ucrtava se duž ordinatne osi (y-os). Uz krajeve svake osi označiti veličinu koja joj je pridružena, te jedinice u kojima je os baždarena (npr. t/s je vrijeme u sekundama). Ako smo os baždarili u jedinicama koje su decimalni dijelovi ili pak dekadski višekratnici dotične veličine, to također valja naznačiti (npr. B/0 5 T znači da podjeljak skale duljine na osi predstavlja promjenu magnetnog polja B za 0 5 T). Veličine moraju moraju obvezno biti izražene u jedinicama međunarodnog sustava (SI), pri čemu je dozvoljeno koristiti predmetke (npr. mm, hpa itd.) Svaku os izbaždariti tako da nakon ucrtavanja točaka ne ostane previše praznog prostora ni u jednom smjeru. Primjerice, ako nam se vrijednosti veličine prikazane na osi nalaze u rasponu od 0. do 0.8, tada je zgodno odabrati skalu koja ide od 0 do.0; ako

bi stavili primjerice od 0 do.0, ostalo bi nam previše praznog prostora. Svaku os valja početi od 0 ukoliko je to moguće, tj. ukoliko najmanja vrijednost na nekoj osi nije puno veća od raspona između najmanje i najveće vrijednosti. Ucrtati pravac (ili glatku krivulju) koja najbolje odgovara eksperimentalnim točkama, naznačivši parametre ovisnosti dobijene računom (kompjutorski ili "pješice"). 3

Grafički prikaz omogučava nam uočavanje međusobne ovisnosti mjerenih veličina. Primjer Tijelo pustimo kliziti niz kosinu. Hoćemo naći odnos prijeđenog puta s i vremena t. Mjerenja su prikazana tabelom: s / cm t / s 0,,0,,5 40,6,0 6,5,5 88,8 3,0 3,7 3,5 60,0 4,0 Unesimo podatke mjerenja u graf. Na os apscisa nanosimo vrijeme - nezavisno promjenjljivu veličinu, a na oordinatnu os put - zavisno promjenjljivu veličinu. Veličina djelova skale na jednoj i drugoj osi ne mora biti jednaka, ali brojčane vrijednosti moraju biti tako odabrane da se svi podaci mogu prikazati. Osi moraju biti obilježene simbolom pripadne veličine i mjernom jedinicom koja se piše iza kose crte; Primjerice put iskazan u centimetrima s/cm. Podatke na grafu prikazujemo točkama koje tada okružimo primjerice kružićima. Kod crtanja ne spajamo točke ravnom crtom već nastojimo pogoditi matematičku ovisnost, te krivulju (ili pravac) povlačimo tako da je podjednaki broj točaka (kružića) iznad i ispod krivulje. Zbog toga neće sve točke ležati na krivulji! Pogledajte crtže dolje! 60 put s /cm 40 0 00 80 60 40 0 0 3 4 5 vrijeme t /s put s /cm 60 40 0 00 80 60 40 a s = t 0 0 3 4 5 4 vrijeme t /s

Ispitujući eksperimentalnu krivulju teško je sa sigurnošću uočiti identitet te krivulje (parabola, hiperbola itd) osim kada je grafički prikaz pravac. Pravac je jedini pouzdan ključ u analizi grafičkog prikaza jer se on jedini može sa sigurnošću prepoznati. Zbog toga, u analizi grafa treba eksperimentalne podatke unositi u takav graf da se dobije pravac. Unesimo naše podatke u graf koji na osima ima odabrano put s i kvadrat vremena t. Dobili smo pravac pa sa sigurnošću možemo reći da je put proporcionalan kvadratu vremena: s t To je dakle jednoliko ubrzano gibanje za koje vrijedi: a s = t gdje je a akceleracija. s / cm t / s t /s 0,,0,00,,5,5 40,6,0 4,00 6,5,5 6.5 88,8 3,0 9.00 3,7 3,5,5 60,0 4,0 6,00 60 put s /cm 40 0 00 80 60 40 t = 4 = s = 40 0 = 0 0 0 4 6 8 0 4 6 8 0 vrijeme t /s Iz nagiba grafa možemo odrediti akceleraciju kojom se tijelo gibalo. Kako to učiniti? Jednadžba pravca je y = k, gdje je k nagib pravca prema apscisnoj osi. Usporedimo li izraze: i s = a t y = k Vidimo da je nagib pravca k = a a = k. Da nađemo nagib našeg pravca odaberimo na grafu dvije udaljene točke A i B koje možemo lako očitati i na apscisi i na oordinati. Primjerice : točka A (, 0) i B (4, 40). Iz navedenog proizlazi: s 0 cm k = = = 0 cm/s t s pa je a = k = 0 = 0 cm/s. Tako smo došli do podatka za akceleraciju tijela tj. veličinu koju nismo mogli izravno mjeriti. 5

Nadopunite tabelu! Na preciznoj vagi važete tijelo i zapisujete njegovu masu u tabelu: masa m /kg srednja vrijednost m srednja /kg apsolutna pogreška m / kg zapis rezultata: m = (m sr. ± m maks. ) relativna pogreška 0.670 0.550 0.690 0.680 0.700 masa m /kg 0.670 0.550 0.690 0.680 0.700 srednja vrijednost m srednja /kg 0,658 apsolutna pogreška m / kg m m sr. 0.00 0.008 0.003 0.00 0.004 zapis rezultata: m = (m sr. ± m maks. ) m = (0.658 ± 0.008) kg relativna pogreška 4.06 % Koliko sigurnih znamenaka imaju brojevi: a) 5 b) 8.50 c) 5.05 d) 0.05 e) 0.0055 f) 34 g) 6500 R: Koliko sigurnih znamenaka imaju brojevi: a) 3 b) 4 c) 3 d) e) f) 4 g) 6